位相幾何学

〔問題〕
Gを少なくとも3個の頂点を持つ有限連結平面的グラフとする。
Gには、次数が5以下の点が少なくとも１つはあることを示しなさい。

解説つきで、よろしくお願いします。

分かスレ３５０
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1296285009/545 , 551

>>545

背理法による。
頂点の数をv, 辺の数をe, 多角形の数をf とおく。
すべての頂点が6次以上だったとすると　e ≧ 6v/2 = 3v,,
各多角形は3以上の辺をもつから、2e > 2e(in) + e(out) ≧ 3f,
辺々たすと、3e > 3v + 3f,
∴　v-e+f < 0,
これは平面におけるオイラーの定理 v-e+f = 1　に反する。(終)