★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十八問

>>553 >>556
その方針だったら

任意のε>0 に対し、
　n > N ⇒　|A_n| < ε,　|B_n| < ε^2,　|C_n| < ε^3,
となる自然数 N が存在する。

下の補題 により、
　|a_n| ≦ 2ε,　|b_n| ≦ 2ε,　|c_n| ≦ 2ε,


〔補題426〕
複素係数の1変数代数方程式
　z^m + �納j=1,m] a(j) z^(m-j) = 0,
の根は |z| ≦ 2･max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} を満たす．

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426
　不等式スレ４

>>564
〔補題426〕の略証

Max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} = M とおくと

　0 = -|z|^m + |Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j) |
　≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
　≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
　=　(2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-1-j)} - M^m
　≦ (2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-j)},
いま {･････} > 0 だから
　|z| ≦ 2M.　　　(終)
ぬるぽ

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426-431
　不等式スレ４

三辺の長さの和と、面積の値が等しい三角形の三辺の長さをa,b,cとする。このとき

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 16(a+b+c)

となることを示せ。

>>566
ヘロンの公式よりS=(a+b+c)=\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}/4より両辺を2乗して題意が示される。
ヘロンの公式自体の証明は余弦定理より出来るがry＜略＞。

>>564-565
m次多項式の零点は係数の 1/m ヘルダー連続となる証明ですね。
元ネタはこれでしょう。
偏微分方程式入門 金子 晃 に書かれてあった記憶がある。