不等式への招待 第４章

複素係数の1変数代数方程式

z^m＋�納j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0

の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす．

>>423

軸を45ﾟ回す。
　x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2,
　(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2,
よって
　√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|,
　√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|,
辺々たす。
　(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2,

>>418
y=√x は上に凸だから
　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)},
　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)},
　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)}
　= 3√{2(st-u)}
　≦ 3√{2(st-u + F_1)}
　= 3√{2(s^3 -3st +8u)}
　= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)},
ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
ジャマイカ?

>>427
　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？

>>426 の証明をお願いします

>>426,430

Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと
　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M)
　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m,
いま |z| > 2M と仮定すると、
　M/(|z|-M) < 1
となり、題意を満たさない。
∴　題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M.