★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十八問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/

乙

744 ：１３２人目の素数さん：2009/09/25(金) 08:58:50
Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。

893 ：１３２人目の素数さん：2009/10/11(日) 09:15:48
円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.

451 ：１３２人目の素数さん：2009/09/07(月) 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=��(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。

ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51059691.html
この漸化式難しくない？

>>4
1つの平面上には存在しない。
(理由)
点Aと円錐の頂点Oをとおる直線（母線）で切った展開図を考える。
これは点Oを中心とする扇形OA'A" となる。
　α　⇒　線分A'A",
　∠OA'A" + ∠OA"A' = 180ﾟ - ∠A'OA" < 180ﾟ,
∴　点Aにおけるαの2本の接線は、一直線上には存在しない。
∴　αは1つの平面上には存在しない。
（∵　2つの平面の交線は1本の直線)

区間0 =< x =< \pi/2において、y=3 e^{-x} sin xのグラフを
与えられたグラフ用紙に描け。
尚、e=2.71...、\pi=3.14...とする。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/49160
(パスキー: todai)

【問題】
3枚のコインがある。　この3枚のコインを机の上に並べ次の操作を繰り返し行う
『操作』：サイコロを振り、出た目が1,2なら左端のコイン、3,4なら真ん中のコイン、5,6なら右端のコイン
を裏返す。
この時、3枚が「表表表」である状況から初めて、ｎ回の操作の結果「表表表」又は
「表裏表」となる確率を求めよ。

作問者が媚びるスレになったか．．．

某スレ見てて思いついた問題

x^3+ax^2+bx+cの解をα、β、γとする。
a、b、c及び複素数の定数から
四則演算と平方根を有限回用いて得られる式 f(a,b,c) で
　任意の複素数a,b,cに対して f(a,b,c) はα、β、γのいずれかと等しい
を満たすような式 f(a,b,c) は存在しないことを示せ。

>>11
なんでそれを東大作問者スレに書き込むんだ。
他にスレがいくらでもあるだろうに。
もうちょっと東大っぽくアレンジしたら？

新型インフルエンザにかかり、来年度の国立大学の２次試験を受けられない受験生への対応を検討していた国立大学協会は２６日、
各大学が本試験のおおむね１週間後に追試験を実施するなどの救済措置をとる方針を決めた。

２０１０年度だけの特例措置で、基本的に新型インフルエンザ患者と疑われる人が対象。
本試験の１週間前から当日までに診断書や追試験受験申請書を提出させるなどして認定する。
ただ、方針に拘束力はなく、追試験を実施するかを含め、具体的な日程や方法は、各大学の判断にゆだねる。

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問(前スレ)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/

m,nを自然数とする.
1<n<mならば、a^m+b^m=c^n　をみたす(a,b,c)は無数に存在するか？

ただし、a,b,cは正整数であるとする.

f(x) は区間 [0,1] で連続rとする．
∫[0,1]f(x)dx＝∫[0,1]x・f(x)dx＝∫[0,1]x^2･f(x)dx＝0
が成り立つとき，f(x)＝0 は区間 [0,1] ですくなくとも3個の相異なる実数解をもつ事を示せ．

ちょっと難し過ぎたか？

＞連続r

中国の方ですか？

>>16
LCD(m,n)=1 ならば、 qn-pm=1　なる自然数(p,q) について
　(2^p)^m + (2^p)^m = (2^q)^n,
また (p,q) は無数に存在する。

>>18は簡単すぎて誰も解かないのかも

>>16

LCD(m,n) =L ≧ 3 ならば、
　a^(m/L) =A, b^(m/L) =B, c^(n/L) =C とおくと、
　A^L + B^L = C^L,　L≧3,
となり、フェルマーの大定理に反する。
よって存在しない。

LCD(m,n) =2 の場合を考えればよい。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1202124936/10-11
casphy - highmath - 東大数学について

>>20
>>22

正解です.

LCD(m,n) =2 の場合の証明はそんなに難しいの？

LCDとかなんだよ
知らねえし

>>25
　GCDですた。　ｽﾏｿ.

>>25
発光ダイオード

　液晶ディスプレー
と言ってほしかった....


>>27
　LED

>>25
麻薬

>>29
　LSD（Lysergsäure Diäthylamid）

m,nを自然数とする.ただし,mとnの最大公約数は２であるとする.このとき

a^m+b^m=c^n

をみたす自然数の組(a,b,c)は無数に存在するか？

(2^n+3^n)/n

が自然数となるような自然数nをすべて求めよ.

>>31
m=n=2も許しちゃうの？

>>32
明らかに、n=1の時与式は自然数。

2^n+3^nは明らかに2でも3でも割り切れない為、nは「2の倍数及び3の倍数」とならない。
nが2及び3と互いに素である時、フェルマーの小定理より
2^n+3^n=2+3(mod n)

よって満たす数は1及び5>>32

＞nが2及び3と互いに素である時、フェルマーの小定理より
＞2^n+3^n=2+3(mod n)

ダウト
フェルマの小定理が成立するのはnが素数でなければならない。
実際2^n≡2(mod n)はnが奇数といえども必ずしも成立しない、
例えばn=9のとき
2^9=512≡8 (mod 9)

>>34

n=５が成立することが分かったら……あと少し。

>>33

どのような(m,n)の組についても

を追加します。

一辺の長さがa（0<a<3)で、残りの３辺の長さが１の四角形がある.
これの面積が最大となるのは、どのようなときか.

>>37
簡単すぎて拍子抜けしたんだが、どこか間違ってるかな。

a=1+2cosθと置くとその最大面積Sは
S=sinθcosθ+sinθ
と書ける。θで微分して最大値を求めるとθ=1/2の時最大。よって
a=1+√3の時に最大面積を取る。

>>32

〔補題〕
n>0 は奇の自然数で
　5^e | (2^n + 3^n),
ならば
　5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),

(略証)
　(x^5 + y^5)/(x+y) = (x^2)^2 -(x^2)xy + (xy)^2 -xy(y^2) +(y^2)^2,
　2･2 ≡ 3･3 ≡ -1 (mod 5)
　2･3 ≡ 1　(mod 5)
より
　{2^(5n) + 3^(5n)}/(2^n + 3^n) = 2^(4n) - 2^(2n)･6^n + 6^(2n) -6^n･3^(2n) + 3^(4n)
　　≡ 1 - (-1)^n + 1 - (-1)^n + 1
　　= 5
　　≡ 0　(mod 5)

〔系〕
　nが5の冪乗のとき
　　5 | (2^n + 3^n) /n,

ミスミス。cosθ=1/2の時最大で、a=2

>>38
>>40

問題の書き方が悪かったようです…すみません
aは定数です.

>>37
正解です

>>37
じゃなくて
>>39でした

>>32, >>36

〔補題〕
n>0 が奇の自然数ならば
　5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),

〔系〕
　nが5の冪乗のとき
　5 | (2^n + 3^n) /n,

〈訂正版〉
一辺の長さがa（aは定数：0<a<3)で、残りの３辺の長さが１の四角形がある.
この四角形の形を、４辺の長さを変えずに変化させるとき、この四角形の面積が最大になるような形はどのようなものか.

東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html

>>18
は誰か解けないかい？

>>42
ちょっとおかしいぞ nは2^n+3^nを割り切るようなｎとし、
2^n+3^n = abn (a,b は自然数)とすると、
an は 2^{an}+3^{an} を割り切る　実際 2^5+3^5 = 275 = 5^{2}*11
で 2^{55}+3^{55}は55で割り切れる

>>32の自然数をすべて求めるのは不可能だと思うけど？

>>18
[0,1]内でのf(x)の零点がa,b（0<a<b<1）だけとすると

f(x)の符号変化が+-+なら 0<∫_[0,1] (x-a)(x-b)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が-++なら 0<∫_[0,1] (x-a)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が+++なら 0<∫_[0,1] f(x)dx=0より矛盾

他の場合も同じようにして矛盾が出る

>>47
試しにプログラムに解かせてみたら55を筆頭に出るわ出るわ。
(2^n+3^n)/nが整数になる数nのうち小さいもの
1,5,25,55,125,
275,605,625,1375,3025,
3125,6655,6875,15125,15625,
30025,31375,33275,34375,73205,
75625,78125

>>48
よく分かりました。有難う。

>>5
ｉってその形であらわせるんかな？

違った、−ｉはあらわせるのかな

>>5
問題文が曖昧
誰か書き直して

問題文はおかしくないだろ

Cnが有限数列なのか無限数列なのか、
a+biに依存するのかしないのかはやや曖昧で
文法的には両方の解釈が出来る。
まあ文脈と常識で補えるけど、数学の大学入試問題の場合、
「いかなる悪意をもって解釈しても」こういう風にしか解釈できない
というのがベストで、実際そういう東大や京大の問題文は
そういう感じになってるはず。

>>55
0,1無限列(Cn)がa,bによらず一様に取れて、適当な有限和でa+bi=�納k=1,n]C(k)(1-i)^k
なのか、それとも
0,1有限列(Cn)がa,bを決めるごとに定まるかということだな

文脈的に捉えると下？

下の場合、−ｉは作れる？

整数を n 進法で表すのと同じような話なんだよね

この場合ガウス整数を (-1 + i) 進法で表すという話

-i 無理みたいだね

つうか b は必ず偶数になりますね

−ｉ＝１＋（ｉ−１）＋（ｉ−１）＾２。

y=f(x)が有理数係数多項式の時任意のx,yについて
xが有理数⇔yが有理数
を満たすためのf(x)の必要十分条件を求めよ

｢n,m,pは自然数
n!はm^pで割り切れる。pの最大値をp[max]とするとき
極限値lim(n→∞)p[max]/nを求めよ｣

m=1.
p[max]=inf.

m≧2なる自然数で

pはいくらでも大きく取れるからp[max]はない

k,lを自然数として
n=m^k^lとおくとp[max]=k^l+k^(l-1)+k^(l-2)+･･･+1=(k^(l+1)-1)/(k-1)
よってlim(n→∞)p[max]/n
=lim(n→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)
=lim(l→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)=0

n→∞ と m^k^l→∞ は同値なのか凄いね

9×6664213698523614
=2222222236254Ｘ
Ｘの値を求めよ

正八面体を1つの平面で切断する。
切り口がN角形であるとすると、N≦6であることを示せ。

lim(x→+0){(1/x^n)-(1/sin^nx)}を求めよ。

{1/tanx^n-1/sinx^n}＜{(1/x^n)-(1/sin^nx)}＜0
(sinx＜x＜tanx)
lim(x→0){(cosx^n-1)/sinx^n}
=lim(x→0)x^n/sinx^n×(cosx^n-1)/x^2n×x^n
=(定数)*0=0
あとは挟み撃ち
(∵cosx^n-1=√(1-sinx^2n)-1
=-sinx^2n/(√(1-sinx^2n)+1))

>>18

>>48のとちょっと違う方法で解けてみます。



0 = ∫［0,1] x^2・f(ｘ）ｄｘ
=[ｔ・∫[0,t] s・f(s）ｄs][t=0,1] - (∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt ) (部分積分法)
=(∫[0,1] s・f(s）ｄs - 0) - ∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt
= 0 -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt (∵∫[0,1] s・f(s）ｄs = 0)
= -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt

∴∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt = 0

∃ａ∈[0,1] s.t. ∫[0,ａ] s・f(s）ｄs = 0

>>73 すみません、手が滑ってしまいました…

そして自分の証明に問題あったのを気付きました。証明を完成したから出直します。

>>62
　n=2 のとき -1,
　n>2 のとき ∞

>>65
　1/(m1 -1),　m1はmの最大の素因数。

>>70
隣接する面が△と▲になるように色付けする。
４つの△（▲）のうち、３つと交わる平面はあるが、４つと交わる平面はない
ことを示す。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1206257132/48-54
casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる

>>63がmとnを決めたときのpの最大値をp[max]としたのだとしても
>>75は間違ってるよ。

>>71
ライプニッツの微分公式とテイラー展開使うから解けない。
まあ上記の二つを証明して解くなら別だが…

0に近い時sinx≒xと、
帰納法でできたりしない…？

【問】
m^a+n^aが(mn)^bで割りきれるための自然数組(a,b,n,m)の必要十分条件を求めよ

>>79
　{mnの素因数} = {mの素因数} U {nの素因数},
素数p が {mの素因数}、{nの素因数} の一方のみに含まれるとすると, 題意に矛盾する。
∴　{mの素因数} = {nの素因数} = {mnの素因数} = S,
そこで
　S = {p_1,p_2,････,p_#S}
　m = Π(i=1,#S) (p_i)^(μ_i),
　n = Π(i=1,#S) (p_i)^(ν_i),
とおく。与式より
　∀(1≦i≦#S)　　a･min(μ_i,ν_i) ≧ b･(μ_i+ν_i),

>>80
正解

んなわけない

おぱーいの横の断面図は4次関数で表せることを示せ。

>>83
命題が偽

>>83
両乳によるはさみうちの原理

ｆ(x) = 1/√x とおく。

(1) nを正の整数として、
　f(n+1) < ∫[n,n+1] f(x)dx　及び　f(n) > ∫[n,n+1] f(x)dx + (1/2)( f(n) - f(n+1) )
が成り立つことを示せ。

(2) Σ[k=1,100] f(k) の値を、小数第一位を四捨五入して求めよ。

19ぐらいだったっけ。

>>80
ｍ＝２。
ｎ＝２。

>>88 すみません、手が滑ってしまいました…

そして自分の証明に問題あったのを気付きました。証明を完成したから出直します。

4444^3333+3333^4444を7で割ったときの余りは？

つまらなすぎるだろ >>90

>>86

(1)　y=f(x) は下に凸だから、
　f(n+1) < ∫[n+0.5, n+1.5] f(x)dx,
　(1/2){f(n) + f(n+1)} > ∫[n, n+1] f(x)dx,

(2)
　S < ∫[0.5, 100.5] f(x)dx = [ 2√x ](x=0.5, 100.5)
　　= 2(√100.5 - √0.5)
　　= 18.635724093390326301957049778242…
　S > ∫[1, 100] f(x)dx + (1/2)f(1) + (1/2)f(100)
　　= [ 2√x ](x=1,100) + (1/2) + (1/20)
　　= 18.55
　平均をとって 18.59

　S = Σ[k=1,100] f(k) = 18.589603824784153422358163109306･･･

>>90
余り0
4444 = (-1) mod 7、3333 = 1 mod 7より、4444^3333 = (-1) mod 7、3333^4 = 1 mod 7

これはどこのFランの問題ですか？

解けるか分からんの出していいよねー？

次の証明の真偽を答え、それを証明せよ。

m,nを実数とする。
x^2+m=xsinxを満たす解、x^2+m=xsin2xを満たす解が存在しない時、
x^2+m=xsinnxを満たす解は存在しない。

訂正
×m,nを実数とする。
○m,nを正の数とする。

>>95-96 偽

0.204<m<1/4, x=√m　のとき
　x + m/x < 1,

>>95-96
　|x| < π/3 では |sin(2x)| =2|sin(x)|cos(x) > |sin(x)|,
だから sin(2x) の方に注目する。
　f(x) = x･sin(2x) - x^2 = {sin(2x)/2}^2 -{(1/2)sin(x) -x}^2 ≦ {sin(2x)/2}^2 ≦ 1/4,
∴　m>1/4 のとき、f(x)=m の解は存在しない。
m≦1/4 のとき
　f(x0) = m0 が重解 x=x0 をもつとしよう。
x=x0 で極値をとることから
　f '(x0) = sin(2x0){1 - 2x0･tan(x0)} = 0,
∴　tan(x0) = 1/(2x0),
∴　x0 ≒ 0.653271187･･･
∴　m0 = (x0^2)(3-4x0^2)/(1+4x0^2) ≒ 0.203831351･･･
∴　m0 < m < 1/4, n = π/(2√m)) のとき
　g(x) = x･sin(n･x) - x^2 とおくと
　g(0) = 0 < m,
　g(√m) = √m - m > m,
∴　g(x) = m　は 0<x<√m に解をもつ。　　（← 中間値の定理）

y=tan(x+0.57)とy=tan(x/225)-xは1以上2以下の解を持つか？

【問題】OA＝OB＝OC＝p，AB＝c，BC＝a，CA＝b の四面体OABC
の成立条件を p，a，b，c を用いて表せ．

【発展問題】(未解決)
上記の成立条件および p＋a＋b＋c＝1 を満たすとき，
四面体OABCの体積の最大値を求めよ．

ここ、未解決問題晒すとこじゃないんだけど

>>99訂正するから、その間この問題やっといて

y=frac(tanx)とy=(10x+6.5)^2-0.7は-1以上0以下の解を持つか？
ただし、frac(x)はxの小数部分を持つ関数である。

>>99の訂正
tan(x)/169.178-xとtan(x+0.6)は１以上２以下の解を持つか？




100frac(tanx)は-7<x<7の範囲で解を４つ持つ。
これを証明せよ。（難）

小数点こねくりまわして楽しい？

このスレに数学専攻者ってどれくらいいるのだろうか

>>103
くだらねぇ問題スレで書いてこいよ。

ちょっと簡単すぎるかもしれんが。

１．時刻t=0において、正k角形（kは3以上の自然数）のある頂点に動点Aがある。
Aは、今いる頂点に留まるか、正k角形の辺上又は対角線上を通って他の頂点に移動するかを１秒ごとに選択する。
Aがある頂点を選ぶ確率が全て1/kであるとき、時刻t=n（nは非負整数）において訪れている頂点の数の期待値E(n)を求めよ。
ただし、Aの移動速度は一定ではなく、時刻t=0,1,2,・・・,nにおいて必ずどこかの頂点にあるものとする。

２．ある格子点(a,b)を中心とする半径r(>0)の円Cを考える。
rの大きさを色々と変化させる時、円周上に少なくともn個の格子点があるような円Cが存在する事を示せ。

Ａ，Ｂは事象、Ｐ(・)はある事象が起こる確率とする。
(1)不等式Ｐ(Ａ∩Ｂ)≦Ｐ(Ａ)≦Ｐ(Ａ∪Ｂ)を示せ。
(2)等式Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)―Ｐ(Ａ∩Ｂ)を示せ。
(3)事象ＡとＢは空でないとする。Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。(1)の不等式をみたすときlimＰn(Ａ)＝1であることを示せ。

>>100
取りあえず，体積を a,b,c,p で表す事はできた．

>>109
結果をつる山塊

>>110
底面△ABC の外接円の半径をR, 面積を�� とすると
　R = abc/(4��),
４面体の高さをh,　体積をVとすると
　V = (1/3)�勍h = (1/3)�凵�(p^2 - R^2) = (1/3)√{(�勍p)^2 - (abc/4)^2},
　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
　s = (a+b+c)/2,

>>111
最後まで書くように．

>>108
簡単だけど、俺は好き

>>112
　(a+b+c)/2 = s とおくとき、
　s-a >0,
　s-b >0,
　s-c >0,
　p > abc/{4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]},

自然数の数列 {a[n]} を次の(ア)と(イ)を満たすように定める。
(ア)　a[1] = 1
(イ)　ｎを自然数として、
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは 　a[n+1] = a[n] + 2
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
(ちなみに、{a[n]}の項を初項からいくつか順に並べると 1,3,4,5,7,9,11,・・・ となる。)

Nを自然数とし、{a[n]}の項でN以下のものの個数をF(N)で表す。
このとき、 F(4N) = 2N + F(N) が成り立つことを示せ。

>>115 の問題文に ちょっとミスがあった。
誤
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは 　a[n+1] = a[n] + 2
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1

正
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在するときは 　a[n+1] = a[n] + 2
　・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1

>>79
こういう先っぽだけちょろっとのぞいてる仮性包茎大好き

ごめんなさい、誤爆しました

これはひどいｗ

【問】
(1)A_(n+1)=1+2/A_n,A_1=1/2を満たす数列A_nの一般項を求めよ
(2)A_nが整数値をとるnを全て求めよ
(3)lim(n→∞)A_nを求めよ

いつもより易しいかも

>>117
ほもおつ

日本人の成人男性にケツ毛が生えている確率を求めよ。ただし、ケツ毛とはお尻に生えている毛のことをいう。

俺は穴周りは脱毛してるからな？

>>122
よくできた問題ですね

予備校の東大模試には採用されなかった問題ですか？

(1)平面の方程式は適当な実数定数a,b,c,dと変数x,y,zを用いて
ax+by+cz+d=0
が成り立つことを示せ。
(2)xyz空間において、点(p,q,r)と(1)の平面の距離をDとすると
D=|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)
が成り立つことを示せ。

>>115
F(2N)＝2N−F(N)が成り立つことを証明する。これが示せれば、
F(4N)＝4N−F(2N)＝4N−(2N−F(N))＝2N＋F(N)となる。

a[n＋1]−a[n]＝1 or 2 であるから、「a[1],a[2],a[3],…」と
並べて眺めると、隣り合った2つのa[i],a[i＋1]について、
その差が1のときは、この2つは連続しているということであり、
差が2のときは、この2つは連続しておらず、間に「虫食い」が
1個あるということである。そこで、「F(2N)＝2N−虫食いの個数」
という形で計算することを考える。

上記の考察から、一般に、自然数kが「虫食い」であるのは、
a[n＋1]−a[n]＝2かつa[n]＜k＜a[n＋1] を満たすnが
存在するときに限る。このときk＝2a[m]となるmが存在する。
逆に、k＝2a[m]のとき、kは「虫食い」になることが言える
(自明ではないが、難しくもないので証明は省略する)。
以上より、虫食いは2a[1],2a[2],2a[3],…で全てである。
特に、1,2,…,2Nの中にある虫食いは
2a[1],2a[2],…,2a[M] (Mは2a[M]≦2N＜2a[M＋1]を満たす)
のM個である。a[M]≦N＜a[M＋1]であるから、M＝F(N)と
表せるので、以上より、F(2N)＝2N−F(N)を得る。

関数f(x)を次のように定義する。

f(x)=1(xが有理数)、0(xが無理数)
このとき、
∫[0,1]f(x)dx=0であることを証明せよ。

失笑

失禁

最近は高校もルベーグ積分を教えてるのか
ゆとりｗとか笑ってる場合じゃないな

最近の高校生は類体論までは必須らしい

23世紀の高校生ならあるいはそうかもな。

>>120
(1) A_n = { 2^n + (-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } と予想。帰納法で示すのは容易。
(2) A_n - 2 = { 3*(-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } 。　この右辺は、
　n=1のとき -3/2、n=2のとき 3、
　n≧3のときは(分子の絶対値)＜(分母)が容易に示せるので整数にならない。
　よって答は 「n=2」。
(3) 蛇足。

問　曲線y=cosxのx=t(0<t<π/2)における接線とx軸,y軸の囲む三角形の面積をS(t)とする。
(1)tの関数として,S(t)(0<t<π/2)を求めよ。
(2)S(t)はある1点t=t_0で最小値をとることを示せ。また、π/4<t_0<1を示せ。
(3)S(t_0)=2t_0cost_0を示せ。また、S(t_0)>(√2)π/4を示せ。

>>134
それは俺が受験した年の京大ではないか

合格したといいたいんでしょ

そらまあ合格はしたけど、そんなのこの板では何の価値もないでしょ

〜年の京大の問題ではないか

でいいっしょ。

別にそんなのどっちでもいいだろ

はい、おっぱっぴ〜

>>135
いつの問題?

なんだかな

97年前期理系の6だろ

【問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[n→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。

>>133正解です
【問】(B***くらい？)
0≦x≦n,0≦y≦2sin(πx/n)
を満たす領域をDnとして
Dn内の格子点の数をf(n)
面積をS(n)とするとき
lim(n→∞)f(n)/S(n)を求めよ

>>145
A**くらいだよこんなおなにー

>>145
> >>133正解です

(3)の答は「蛇足」が正答なのかww

このスレの人達って性格悪そう

滅茶苦茶でござりますがな

＞ lim[n→∞]f(x)/h

【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。

>>150
(2)はまだおかしい。

「lim[h→0]f(h)/hを求めよ。」 じゃないのか？

>>120
　A_n = B_n / B_(n-1)　とおくと、線形漸化式
　B_(n+1) = B_n + 2B_(n-1),
が出る。
　B_1 / B_0 = A_1 = 1/2,
より、
　B_n = (2^n) + (-1)^n,

　lim(n→∞) A_n = 2,

>>120
　(1/2)log(2) = a　とおくと、
　A_n = (√2)cosh(an)/cosh(a(n-1)),　　(n:偶数)
　A_n = (√2)sinh(an)/sinh(a(n-1)),　　(n:奇数)
とも表わせる。

>>151
ご指摘ありがとう

【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。

kを自然数とする
関数f_k(x)=x^ke^(-x)のx≧0における最大値をM_kとおく
(1) M_kを求めよ
(2) x≧0において，f_{k+1}(x)≦M_{k+1}が成り立つことを利用して，lim[x→∞]f_k(x)を求めよ
(3) lim[k→∞]M_{k+1}/kM_kを求めよ

>>154
(2) は h→∞ でいいの？　h→0 じゃなくて？

【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→0]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。

>>108
を誰かおしえてくれ

1,2,3の数が書かれたカードがそれぞれたくさんある.
これらのカードの中から無作為にn枚のカードをとりだし,一列に並べる.
このとき,どの隣り合う２枚のカードに書かれた数の和も奇数であるような確率を求めよ.

全素数の現れ方の定理を述べなさい

制限時間５００年

ｘ以下の素数の個数はｘ−１以下。

>>158
(1),(2)は普通に計算。(3)は
＞Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。
ここが意味不明。

>>157
誰か教えてくれ

>>163
どれも定義を確認していくだけの問題。

>>164　
答え教えてください
略解でいいので

>>157は宿題スレにでも行けば？

>>157　>>165
(1) 与式でs=t=0とすれば容易にf(0)=0を得る。
(2) f(h)/h = { f(h) - f(0)}/h (∵(1))。h→0とすればその極限値はf'(0)=1。
(3) { f(s+t) - f(s) }/t = f(s)*( e^t - 1)/t + { f(t)/t}*e^s で、t→0とすれば右辺は f(s)+e^s 。
　よってf(x)は任意のxで微分可能。とくに f'(x) = f(x) + e^x 。
(4) g(x)は g'(x) = 1 を満たす。g(0) = 0 とあわせて g(x)=x 。よってf(x)=xe^x

東大A
http://uproda.2ch-library.com/lib194460.pdf.shtml
東大A*
http://uproda.2ch-library.com/lib194461.pdf.shtml
東大B
http://uproda.2ch-library.com/lib194462.pdf.shtml
http://uproda.2ch-library.com/lib194463.pdf.shtml

>>168
TEXで作問?

なかなか良問揃えたな

>>168
そのAとかBとかってのは何だい？

A 優しい
B 普通
C 難しい
D very hard

*かける10分 が目安の時間

x^2+y^2=1　のグラフ上に異なる３点A,B,Cを、三角形ABCが鈍角三角形とならないようにとる.
OA↑+OB↑+OC↑=OX↑, X=(t,0) をみたすとき, tの最大値を求めよ.

出題者多いなwww
今日は>>168と>>172片付けようかな

優しいのか

優しい方がモテる

精々いい人止まり

結局は顔

そして日本は終わる

Kingさん〜

出典調べてみたら！？

>>172
t = |OX↑| = |OA↑ + OB↑ + OC↑|,
　∠(OA↑,OB↑) = 2∠ACB = 2∠C,
　∠(OB↑,OC↑) = 2∠BAC = 2∠A,
　∠(OC↑,OA↑) = 2∠CBA = 2∠B,
　t^2 = |OA↑|^2 + |OB↑|^2 + |OC↑|^2 +2|OA↑||OB↑|cos(2C) + 2|OB↑||OC↑|cos(2A) + 2|OC↑||OA↑|cos(2B)
　　　= 3 + 2{cos(2A) + cos(2B) + cos(2C)}
　　　= 1 - 8cos(A)cos(B)cos(C)　　　　(← A+B+C=π)
　　　≦ 1,　　　　　　　　　　　　　　(← 鋭角)
等号成立は、直角�� のとき。

>>168の略解頼む

-1≦ｘ≦2のときｙ=2ｘ^2-ａｘ-7ａ^2/16の最小値を求めよ
お願いしますm(__)m

>>183東京大学舐めんな

>>183
中学生でも解けそうだな

a_n＝6^n/(3^n + 7^n) ，n＝1，2，3，．．．
とおくとき，a_n の最大値を求めよ。

>>186
a_1 = 6/10 、 a_2 = 36/58 = 0.62・・・ 、 a_3 = 216/370 = 0.58・・・

n≧4 のとき、a_n < (6/7)^n ≦ (6/7)^4 = 0.53・・・ ≦ a_3 。

よって最大値は a_2 = 18/29 。

簡単過ぎましたか．．．
a_1＜a_2＞a_3＞a_4＞a_5＞．．．を示せ（a_2 以降単調減少）
も簡単ですよね？

逆数取れば明らかだろ

おそれいりました

>>5
数オリの本に一般的な定理の形で載ってる

>>168の出典求む

こんなのどうかな？

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

よくそんなの思いつくなw

良問すぎる！！！！！

いやいや、無意味な事を思い付くっちゅうんは難しいんだよ。

猫

>>193
東京大学の良問ｗ

曲線の長さの定義をきちんとやらない高校で、
その根源に関わる円周率の大きさの評価に関する問題は
悪問と言わざるを得ない。

そもそも面積の定義すら高校ではやらないんだが。

http://uproda.2ch-library.com/195077uGu/lib195077.jpg

1.
有理数で定義された実数値関数P(x)が
すべての有理数x.yについて、
P(x+y)=P(x)+P(y)
を満たしているとする。このときすべての有理数xについて
P(x)=P(1)*x
であることを示せ

2.
nを自然数とする
3^n+2^nと8*3^n+3*2^nの最大公約数を求めよ

そもそも積分の定義すら高校ではやらないんだが。
積分が出てくる問題は悪問と言わざるを得ない。

そもそも自然数の構成すら高校ではやらないんだが。

>>201
1は全く同じ問題を考えた事がある

>>201
1
P(x_1 + ・・・ + x_k) = P(x_1) +・・・+ P(x_k) が帰納法により示せる。
よって 正整数nに対してP(n)=P(1+・・・+1)=n*P(1) で、
また、正整数mに対して P(1) = P(1/m + ・・・ + 1/m) = m*P(1/m) となるので、P(1/m) = (1/m)*P(1) であり、
さらに P(n/m) = nP*(1/m) = (n/m)*P(1) がいえることが分かる。
つまり、正の有理数について題意は成り立つ。

一方、P(0+0)=P(0)+P(0)よりP(0)=0 (=0*P(1))。すると0 = P(x+(-x)) = P(x)+P(-x) より P(-x)=-P(x) がいえる。
これで0以下の有理数についても成り立つことが分かる。以上により題意は示された。


2
A=3^n+2^n , B=8*3^n+3*2^n
(A , B) = (A , B-3A) だから、3^n+2^n と 5*3^nのGCDを求めればよい。
3^n+2^nは3で割り切れず、
また 3^n+2^n ≡ (-2)^n + 2^n (mod.5)だから、nが奇数のときのみ3^n+5^nは5の倍数になる。
よって求める答は 「nが奇数のときは5、nが偶数のときは1」。

東大の古い入試問題を解説したサイトをご存知の方はいませんか？
1992年以前のものがあれば嬉しいです。

円に内接する六角形の面積は正六角形のときに最大となることを証明せよ｡

>>207
ジェンセンの不等式で一発

点はこないだろうな

　　　 ★
　　　 ┻
　　　┛┗　　　　　ＰとＱが異なる奇素数であるとき
　　 ┛　┗　　　　 Ｐ×Ｑは完全数でないことを証明せよ。
　　┛☆　┗
　 ┛　　☆┗
　┛━┳┳━┗
━━━┻┻━━━━
A merry Christmas to you.

>>209
イェンゼンの不等式は範囲外なのか?

>>211
範囲内外という事で言うなら京都大学でその不等式を背景にした
不等式の証明問題が出題されたときに、2変数までは使用を認める。
3変数以降に適用する場合は要証明というスタンスで原則採点する
と大学入試懇談会で発言したんだってさ。

ただ、範囲内外がどうこうというよりも大問1題として提供されたときに
瞬殺解答を提示するのは、出題者の望むところではなく
独りよがりな解答となるので点が来なくても文句はいえないというのが理由

最近の大阪大学の問題でも
�儖ABの周または内部に点Pがある条件を
OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。

>>210
PとQが異なる奇素数なので、任意の2つの奇素数P,Qについて
1+P+Q≠PQが言える事を示せば良い。
P=4n+1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+3
PQ=4(4mn+m+n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m+n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n+1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m-n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)-1
PQ=4(4mn-m-n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
故に、任意の2つの奇素数P,Qについて、1+P+Q≠PQ

>>207
いい問題だな

>>200 の4ってどうやるんだろ

>>215
それ昨日解いた。細部の証明は自力でやるべし↓

a[n]は自然数列だから、もし収束するとしたら、途中からずっと
一定の自然数Mになる。このときM＝[√M]^2＋2m が成り立つから、
こうなる自然数Mについて考える。c＝[√M]とおけばM＝c^2＋2mだから、
c＝[√M]＝[√(c^2＋2m)] となり、c≦√(c^2＋2m)＜c＋1 となる。
両辺を2乗して整理すると0≦2m＜2c＋1だからm≦cとなる。逆に、
m≦cのとき、M＝c^2＋2mはM＝[√M]^2＋2mを満たす。a[n]に戻って
考えれば、

m≦[√a[n]]なら、a[n＋1]以降はずっと一定の自然数になる

ということ(c＝[√a[n]]，M＝c^2＋2m＝a[n＋1]と見る)。
よって、m≦[√a[n]]となる最小の自然数nについて考察すればよい。
まず、m＝1のときは極限値がすぐに出せるので、m≧2として考える。
次に、m≦[√a[n]]となる自然数nが少なくとも1つは存在することを
示す(背理法で言える)。これが言えたら、m≦[√a[n]]となる最小の
自然数をpとおく。[√a[1]]＝1及びm≧2から、p≧2だと分かる。
また、pの最小性から

[√a[p−1]]＜m≦[√a[p]]

となる。d＝[√a[p−1]]とおいて、上の不等式をdを使って書き直して
計算すると、m≧3のときは、d＝m−1でなければならないと分かる。
このとき、a[p＋1]以降はずっとm^2＋2mとなる。つまり、m≧3のときは
a[n]はm^2＋2mに収束する。m＝2のときは地道に計算して極限値を出す。


試験に出すには難しすぎるような(´・ω・｀)

>>212
> 最近の大阪大学の問題でも
> �儖ABの周または内部に点Pがある条件を
> OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
> を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
> 案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。

出題者の能力不足。

非負整数 n に対し A_n = √(1+√(2+√(2^2+√(2^3+√(・・・+√(2^n)))))) と定める
2^(2/3) < lim[n→∞]A_n < 2 を示せ

>>218
2^(7/9) < lim[n→∞]A_n < 2 の間違いでした

空間上にA,B,Cの３点が存在し、３点は同一直線状にないものとする。
今、AB上にp:1-pに内分する点A(1) , BC上にq:1-qに内分する点B(1)
CA上にr:1-rに内分する点C(1)を取る。そして、A(1)B(1)、B(1)C(1),C(1)A(1)上に
それぞれ、p:(1-p),q:(1-q).r:(1-r)に内分する点A(2),B(2),C(2)をとり、
以下同様にして、A(k),B(k),C(k)(k=3,4…..n)を取る。
ここで、nが大きくなるにつれてA(n),B(n),C(n)はある収束点に近づき、その点をDとおく。
このとき、AD↑をAB↑およびAC↑を用いて表せ。

何時?

>>207の解答が気になる

どのような自然数n,kについても, ｛(n"C"2k-1)+1｝と｛(n"C"2k)-1｝は互いに素とならないことを示せ.

>>220
易しすぎ
どこのＦランの問題？

間違えた。やっぱなし

√(n^2＋1)（nは自然数）は無理数であることを証明せよ。

>>226
√(n^2+1)>0より、有理数と仮定すると、
√(n^2+1)=p/q(p,qは互いに素な自然数)と書く事が出来る。
q(n^2+1)=p^2/q
左辺が整数なので、右辺も整数。gcd(p,q)=1よりq=1
よって、√(n^2+1)=p
(p+n)(p-n)=1
(p+n,p-n)=(1,1)となり不適。
したがって、√(n^2+1)は無理数である。

king

草野球に参加したn個のチームが
どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を行い
勝ち星の多寡によって順位を定めるリーグ戦方式で戦う。
引き分けがなく、同順位のチームがないとすれば
どのチームもそれより下位のチームに必ず勝っていることを示せ

>>229
引き分けがないとき、勝敗成績としてありうるのは　n-k-1勝k敗 (k=0,1,・・・,n-1)　のn種類しかない。
よって本問の場合、これらn種類の成績のチームが1つずつある。
k敗のチームをA_k と表すと、
　A_0 は全勝。よってA_0はA_1に勝ち、またA_1の敗戦はその1敗だけ。
　A_0とA_1はA_2に勝ち、またA_2の敗戦はその2敗だけ。
　以下、帰納的に「A_0,A_1,・・・,A_(k-1)はA_kに勝ち、A_kの敗戦はそのk敗だけ」といえる。　

(2n+1)が素数のとき,1≦p≦n, 1≦q≦n をみたすどのようなk, lについても
｛(n"C"2p-1)+1｝と｛(n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.

訂正.
(2n+1)が素数のとき,1≦p≦n, 1≦q≦n をみたすどのようなp,qについても
｛(2n"C"2p-1)+1｝と｛(2n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.

n,kを非負整数とする。
n"C"kは整数であることを示せ。

>>218
不等号に等号付け忘れてる？
" < " じゃなくて " ≦ " が問題として適切だと思う

>>233
nについての帰納法による。 漸化式
Ｃ[n,k] = Ｃ[n-1,k-1] + Ｃ[n,k],
を使う。

>>233
nについての帰納法による。 漸化式
　Ｃ[n,k] = Ｃ[n-1,k-1] + Ｃ[n-1,k],
を使う。

>>181

cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A)cos(2B)cos(2C)
　= (1/2){1+cos(2A)}{1+cos(2B)}{1+cos(2C)} - (1/2){1-cos(2A)}{1-cos(2B)}{1-cos(2C)}
　= 4{cos(A)cos(B)cos(C)}^2 - 4{sin(A)sin(B)sin(C)}^2,　　　　　　････ (1)

cos(2A)cos(2B)cos(2C) - cos(2A+2B+2C) = cos(2A)sin(2B)sin(2C) + sin(2A)cos(2B)sin(2C) + sin(2A)sin(2B)cos(2C)
　= {cos(A)^2 -sin(A)^2}sin(2B)sin(2C) + sin(2A){cos(B)^2 -sin(B)^2}sin(2C) + sin(2A)sin(2B){cos(C)^2 -sin(C)^2}
　= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)sin(B)sin(C) +sin(A)cos(B)sin(C) +sin(A)sin(B)cos(C)}
　 -4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)cos(B)cos(C) +cos(A)sin(B)cos(C) +cos(A)cos(B)sin(C)}
　= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)cos(B)cos(C) -cos(A+B+C)}
　 -4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)sin(B)sin(C) +sin(A+B+C)}
　= [ 1 ] -4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) -4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C), ･････(2)

(1)-(2) より
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A+2B+2C) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) + 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C),

A+B+C+D=0 のとき
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),

>>232
2n+1が素数のとき、C[2n,2p-1]+1 も C[2n,2q]-1 もともに2n+1の倍数になることをいえばよい。

　C[2n,k+2] - C[2n,k]
= (C[2n,k+2]+C[2n,k+1]) - (C[2n,k+1]+C[2n,k])
= C[2n+1,k+2] - C[2n+1,k+1]
であり、ここで2n+1が素数なら C[2n+1,k+2] も C[2n+1,k+1] も2n+1の倍数なので、
よって2n+1が素数なら C[2n,k+2] - C[2n,k] も2n+1の倍数である・・・★

C[2n,1]+1 = 2n+1 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,1]+1, C[2n,3]+1, C[2n,5]+1,・・・はすべて2n+1の倍数。
C[2n,0]-1 = 0 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,0]-1, C[2n,2]-1, C[2n,4]-1,・・・はすべて2n+1の倍数。
証明終わり。

e^πとπ^eの大小を比べよ。

つまんね
どっかでみたことあるし

>>239
logx/xを考えれば終わり

>>238
難易度どれくらいでした？

>>242
中学入試レベル

y=x+1/x
z=y+1/y

を同時に満たすようなx.y.zを求めよ
もしそのようなx,y,zが存在しないのならばそのことを証明せよ
ただしxを実数,yを有理数,zを整数とする

y:有理数より、y=a/bと置くと(aは正の数で、bは非0であるとする。)
z=(a/b)+1/(a/b)=(a^2+b^2)/ab
a^2+b^2をabで割った余りが0になれば良い。
(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/aも整数であり、これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、
bはaの倍数である。
又、(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/bも整数であり、これは(a^2)/bが整数であることを意味する為、
aはbの倍数である。よってa=b又はa=-b。
すると
z=±2,y=±1(複合同順)となるが、y=±1としてxについて整理した式
x^2±x+1=0の解が複素数になってしまう。

故にx,y,zの組は存在しない。

pを素数とする。aとbは自然数で, a+b=pが成り立つとき, a^p+b^pはp^2で割り切れることを示せ。

>>237
A+B+C+D=0 をはずせば
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 2sin(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)･Ｓ_tan + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)･Ｓ_cot},
ここに
　Ｓ_tan = tan(A) + tan(B) + tan(C) + tan(D),
　Ｓ_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D),

>>244
駿台のコバタカの冬期講習のテキストにあった気がする

>>246
p=2のときは、a=b=1、1^2+1^2=2より成立しない。
pが奇素数とすると、
a^p+(p-a)^p = a^p + p^p - C[p,1] p^{p-1} a + ... + C[p,p-1] p a - a^p
で、C[p,k] (k=1,2,...,p-1)はpの倍数なので、p^2で割れる。

>>242
一見「難しそう・・・」。
実験してみるとみんな2n+1の倍数になるみたいで、これなら何とかなりそう。
Nが素数ならC[N,k] (1≦k≦N-1) はNの倍数になることが利用できそう・・・と考えて、方針が立つ。
20分ほどでなんとか解決、という感じでした。

>>247

A+B+C+D+E = 0 のとき
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E)
　= cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E)･(5-τ) -3sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E)･Ｓ'_cot,

ここに
　τ = tan(A)tan(B) + tan(A)tan(C) +　tan(A)tan(D) + tan(A)tan(E) + tan(B)tan(C) + tan(B)tan(D) + tan(B)tan(E) + tan(C)tan(D) + tan(C)tan(E) + tan(D)tan(E),
　Ｓ'_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D) + cot(E),

>>245
＞これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、bはaの倍数である。
b＝2，a＝4のとき、(b^2)/aは整数だが、bはaの倍数ではない

ある立体の異なる二つの平面による切り口はいずれも円であるという。この立体は球であることを示せ。

「任意の2つ」と書かないと偽だろ。

任意の平面による切り口は円である、で良いんじゃないの？
なんで「二つ」とか書いてるのか意味分からん

>>224
やっぱ優しすぎるよね？
模擬試験に出題しようとしていた
俺が馬鹿だったわort

>>224
疑うようで悪いが、俺のレベルの低さを
知る為に模範解答頼んでいい？

後、どこがどうFランレベルなのか
を解説付きで頼むわ

>>224
お前の数学以外の得意な科目も教えて
もらえないかな？

>>224
数学をやっていて良かったと思えること
Fランクの人間の数学レベルについて
けしからんと思う事もお願いします。

>>224
数学の難問の出題の仕方も伝授
出来ないでしょうか？
ぜひともお願いします。

キチガイと言うレスが来ると思うが
俺は分かってやっていますので
大丈夫ですよ＾＾

>>262
もしかしてあなたはケツ顎ですか？

>>262
Back come on!!

名、古、屋、は、エ、〜、エ、〜、で、♪の文字がそれぞれ書かれたカード10枚を一列に並べたとき，
名古屋はエ〜エ〜で♪
となる確率を求めよ．

>>262
解答？自明でしょ…わからない？視点をがらっとかえてごらんよ…わからない？……
数学以外の得意科目？物理学
難問作るコツ？悟りでも開けばみえてくるんじゃね？

別スレでスルーされましたので．．．

ttp://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_pdf/91zs.pdf

の6番の(2)以降がが分かりません．問題が古いので解答がなく困っています．
どなたかお助けを．

ちなみに (1) S(x)＝1/x^4，f(x)−2f(2x)＝4/x^5 となりました．

スレ違い

>>267
>(1) S(x)＝1/x^4，f(x)−2f(2x)＝4/x^5 となりました．
これはあってる。

(2)
(2^k)*f( (2^k) x) = A_k とおく。
(1)で得た f(x)−2f(2x)＝4/x^5 の x を (2^k)x に置き換えた式を作り、両辺に2^k をかけると
　A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
これを、k=0,1,・・・,nまで和をとると・・・・あとは頑張れ。

こめん。まちがえた。
下から2行め。

誤　A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
正　A_k - A_(k+1) = (2^(2-4k))/x^5

>>267
頑張って計算すると
2^n*f(2^n*x)=f(x)-64/(15x^4)*(1-(1/16)^n)
になってこれから
a(x)=f(x)-64/(15x^4)

さらに∫[x,2x]a(t)dt=0
がわかりこれが任意のxで成立しててa(x)≧0だからa(x)=0

>>269-271
どうも有難うございました！
おかげでぐっすり眠れそうです。

この解法って定石なんですかね。
a(x)＝0 となる所なんか上手く行き過ぎてるって感じがします。

東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html

xy平面において、
( 1, 0 ), ( -1/2, (√3)/2 ), ( -1/2, -(√3)/2 ) を頂点とする正三角形の周および頂点からなる図形をTとおく。
行列 ([a, -b][b, a]) が表す一次変換によるTの像をT'とする。
TとT'が共有点をもつとき、点( a, b ) の存在する範囲を図示せよ。

これは良問くさい

類題を見た事がある
相似＋回転の合成変換
ありきたりだ

そらまあ類題はいくらでもあるが、
斬新な問題よりも典型問題をちょっと発展させた問題の方が的中する可能性が高いのは事実だな。

実際これが出たら平均点はかなり低いと思う

自然対数の底をeとする。
またiを虚数単位とするとき、
e^(iθ)=cosθ+isinθ
が成り立つことを示せ。

「周および頂点」なんて書いてる時点で信用をなくしている

平面Ｐ上にある正三角形を他の平面Ｑ上に正射影する。
Ｑ上に射影された三角形の３辺の各々の長さの平方の和は
正三角形のＰ上への置き方に関係なく一定であることを示せ。

明らか

射影とか習わないよ

>>281
これ見たことあるわw
まず直角三角形考えてずらすんでしょ？

ここのHardあたりは、京大文系あたりでありそうなタイプ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/420

x軸とy軸に動点P,Qをそれぞれとる. 直線PQに関して原点と対称な点をRとする.
PQの長さが常に２であるときの, Rの軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ.

>>286
P(2sinθ,0)、Q(0, 2cosθ) と表せる。
このとき Rの座標は (2sin(2θ)*cosθ, 2sin(2θ)*sinθ) となる。
よってRの軌跡は極形式で r = 2sin(2θ) と表せる曲線である。

nを整数とする。このとき
x^3+3xy+y^3=n
をみたす整数の組(x,y)が無限個存在するようなnをすべて求めよ。

>>288
駿台：京大実践模試
理系乙大問３

2、2^2、2^3、・・・、2^nのn個の数のうち、最高位がNである個数をa(N)とする。
このとき、

lim[n→∞]a(N)/nを求めよ。

↑
N(1≦N≦9)つけ忘れ

>最高位がNである個数をa(N)とする。

こんな、日本語としておかしい問題文は、少なくとも東大ではありえない。

最高位がNであるものの個数をa(N)とする。

だろう。

0だな

それはない

0点だなの間違い

おｋ把握

>>292
解けないからって……

>>292
そうですね、問題文の指摘ありがとうございます。

>>290
log[10](1＋1/N)

>>290
大昔の東大の過去問の類題
代ゼミ荻野の真・天にも類題掲載

>>300
いつも思うけどこういうレスは何がしたいの？

>>301
既出だよと言いたい

類題≠既出

13cm幅の長い紙がある。
この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？

>>304
おもしろいなそれいただき！

引いた線と垂直にx軸をとり、紙の左端の位置をx=0とする。
左からm本目の黒い線の座標はx=m/23 (m=1,2,...22)
左からn本目の赤い線の座標はx=n/34 (n=1,2,...33)

ゆえにm本目の黒い線とn本目の赤い線の距離は
d(m,n)=|m/23-n/34|=|34m-23n|/(23*34)

よって|34m-23n|を最小にする場合を考えればよい。
34m-23n=0とすると34と23は互いに素だからmは23の倍数だがm=1,2,...23よりこれは不合理。
ゆえに|34m-23n|≧1だが、例えばm=2,n=3とすればこの等号は成立するので|34m-23n|の最小値は1である。

よってd(m,n)の最小値はd(2,3)=1/782

訂正

＞m=1,2,...23よりこれは不合理。

→
＞m=1,2,...22よりこれは不合理。

問題文には
13cm幅を等分する方向に引くとは書いてないんだが

>>237 >>247 >>251

A+B = nπ のとき
　cos(2A) + cos(2B) = (-1)^n･(2cc -2ss),

A+B+C = nπ のとき
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = (-1)^n･(3ccc -Ｓ_css),

A+B+C+D = nπ のとき
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = (-1)^n･(4cccc -4ssss),

A+B+C+D+E = nπ のとき
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = (-1)^n･(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss),

(略解)
　cos(2θ_k) = cos(θ_k)cos(θ_k) - sin(θ_k)sin(θ_k)
　　　= cos(θ_k)cos(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_n)
　　　- sin(θ_k)sin(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_k)
　　　=(-1)^n {cos(θ_k)cos(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_n)
　　　+ sin(θ_k)sin(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_k)}
　　　= (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) (L≠k) のn-1次の対称式},

　(左辺) = (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) のn次の対称式},

>>290
2進法で考えていいですか？

954 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 12:43:07 ID:b9YtkA/E0
９０年代の東大理系数学ムズすぎワロタｗｗｗ
９８年とかマジ鬼畜ｗｗｗ

コテの皆さんはどのくらい解けましたか？



955 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:36:51 ID:JMkeaBaOO
>>954
98年の確率の問題(後期だったかも)は予備校講師は誰も解けなかったらしいな


956 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:39:49 ID:XcivioAK0
９０年代の京大理系数学も難しいなあ

「一次変換fによって平面上の正三角形ABCが正三角形A'B'C'に移るならば
すべての正三角形のfによる像は正三角形にうつる」

この命題が成立しないときはそれを証明し
成立するならばやはりそれを証明せよ

　一次変換fによって平面上の　“ある”正三角形ABCが正三角形A'B'C'に移るならば

と書くほうがいいだろうな。また

　この命題が成立しないときはそれを証明し
　成立するならばやはりそれを証明せよ

は、

　この命題が偽なら反例を示し、真ならそれを証明せよ。

と書くほうがいいだろう。

>>312
与えられた命題は真である。

しまった証明書く前に送信しちった。

>>312
[証明]題意の一次変換をTとおく。
必要なら平行移動することにより、Cを原点としてよい。
A, Bの位置ベクトルをa, bと表す。また、原点中心60度回転変換をRと表す(その逆変換はR^と表す)。
必要なら点の名前を取り替えることにより、b = Ra としてよい。

適当な正の実数kと、原点中心の適当な回転変換Sを用いて、Ta = kSa と表せる。
また、適当な折り返し変換Uを用いて、Ta = kUa と表すこともできる。
仮定より、Ta と Tb は同じ大きさで60度の角をなすので、
Tb = RTa または Tb = (R^)Ta と書ける。

a と b は一次独立なので、任意のベクトルはx = λa + μb と書ける。

(case 1) Tb = RTa のとき：
Tx = λTa + μRTa = λkSa + μkRSa = λkSa + μkSRa (回転変換どうしは可換)
　= kS(λa + μb)　よって、T = kS (つまりTは拡大回転変換)

(case 2) Tb = (R^)Ta のとき：
Tx = λTa + μ(R^)Ta = λkUa + μk(R^)Ua = λkUa + μkURa　(∵ (R^)U = UR)
　= kU(λa + μb)　よって、T = kU (つまりTは拡大折り返し変換)

いずれにしても、Tは相似変換になり、よって任意の正三角形を正三角形に写す。

表現行列求めにいっちまったほうが楽なんじゃね。
計算はうざくなるか?

正三角形ABCの1辺のベクトル成分を(a.b)と設定して
(a.b)と60度回転させたベクトルを基底として
fの表現行列をAとすれば
A([a.b][a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2])
=([c.d][(c.d)を60度回転したもの])([c.d][c.dを-60度回転したもの])
(a.b)と(a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2)は一次独立だから
逆行列かければAが定まるし。

>>309

　cos(2A) + cos(2B) = cos(A+B)(2cc + 2ss),

　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = cos(A+B+C)(3ccc + Ｓ_css) + sin(A+B+C)(Ｓ_ccs +3sss),

　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = cos(A+B+C+D)(4cccc -4ssss) + sin(A+B+C+D)(2Ｓ_cccs +2Ｓ_csss),

　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)( ････ ),

>>317 の補足

cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)(3Ｓ_ccccs +Ｓ_ccsss -5sssss),

N君が1以上の整数を小さい順に発声する。（発声する数字は、発声のたびに1ずつ増えることとする）

★N君が「3の倍数」を発声する事象を「事象 A」と呼ぶ。
★「＜10進法表記においていずれかの桁に 3 が存在＞する数字をN君が発声する事象を「事象 H」と呼ぶ。
★「事象 A」と「事象H」の両方が該当するような数字をN君が発声するときの事象を、「事象O」 と呼ぶ。


また、N君が1から自然数mまで発声した時点での、「事象 O 」の累計成立回数を、
f(m) と表記する。

（１）f(31) を求めよ
（２）f(2010) を求めよ
（３）自然数 ｎについて、f(ｎ)を求めよ

>>318

　ccccc = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),

　Ｓ_ccccs = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),

　Ｓ_cccss = cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E)
　　　　　 + cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E),

　Ｓ_ccsss = cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E)
　　　　　 + sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E),

　Ｓ_cssss = cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E),

　sssss = sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E),

正四面体を平面により切断するとき、切り口が直角二等辺三角形になるようにできるか。

>>321

一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
かなり略して書いた↓
http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309837253.jpg

===
↓立方体とか考えてときたいけど。。。
http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309770645.gif

書き忘れた。

＞一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
＞かなり略して書いた↓
＞http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309837253.jpg
の図の下の２つは展開図。

字汚すぎﾜﾛﾀ

>>321
正四面体OABCの辺OA、OB、OC上に、OP=p、OQ=q、OR=r となるように点P〜Rをとる。
PQ^2 = p^2 + q^2 - pq 、QR^2 = q^2 + r^2 - qr 、PR^2 = p^2 + r^2 - pr である。
　PQ^2 = QR^2 (⇔ p^2 - r^2 = q(p-r)・・・(i) )　
かつ 　2PQ^2 = PR^2 (⇔ p^2 + 2q^2 -2pq +pr -r^2 = 0・・・(ii) )
が成り立てば△PQRは直角二等辺三角形になる。
(i)のとき、p = r または q = p+r だが、ここで q = p+r を(ii)に代入すると
・・・　p^2 - 3pr + r^2 = 0 、よって p = 0.5{3±√5}*r となる。

つまり、p : q : r = (3±√5) : (5±√5) : 2 のとき(複号同順)、△PQRはQを直角とする二等辺三角形になる。
よって答は「できる」。

a[0]=1, a[1]=p,
a[n+2] = 2p*a[n+1] - a[n] (n≧0)
により定められる数列{a[n]} がある。
n≧0において、次の(a) 〜 (c) が成り立つことを示せ。

(a) {a[n+1]}^2 -2p*a[n+1]*a[n] + {a[n]}^2 = 1 - p^2

(b) {a[n+2]}^2 - 2(2p^2-1)*{a[n+1]}^2 + {a[n]}^2 = 2(1-p^2)

(c) a[2n] = 2*{a[n]}^2 - 1

>>326

nについての帰納法により
　a[n] = T_n(p),　
が成り立つ。　T_n( ) はn次の第一種チェビシェフ多項式。

　|p| ≦ 1 のとき　a[n] = cos(nω),　cos(ω) = p,
　|p| ≧ 1 のとき　a[n] = σ^n･cosh(nω),　cosh(ω) = |p|,　σ = Sgn(p),

cos（´・ω・`）

以下英小文字はすべて自然数である
(1)Σ[k=r,n]nCk･kCr=nCr･2^(n-r)を示せ
(2)Σ[r=s,n]Σ[k=r,n]nCk･kCr･rCsを計算せよ

(3)作ろうと思ったけど思い浮かばないや

>>327
それは解答になっているのか

>>330
　ヒントだな…

>>329
(1)
　�納r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]} X^r
　= �納k=0,r] Ｃ[n,k] {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
　= �納k=0,r] Ｃ[n,k] (1+X)^k
　= {1+(1+X)}^n
　= (2+X)^n
　= �納r=0,n] Ｃ[n,r]･2^(n-r) X^r,

(2)
　�納s=0,n] {Σ[r=s,n]Σ[k=r,n] Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]･Ｃ[r,s]} X^s
　= Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] �納r=0,k] Ｃ[k,r] �納s=0,r] Ｃ[r,s] X^s
　= �納k=0,n] Ｃ[n,k] Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] (1+X)^r
　= �納k=0,n] Ｃ[n,k] [1+(1+X)]^k
　= {1+[1+(1+X)]}^n
　= (3+X)^n
　= �納s=0,n] Ｃ[n,s]･3^(n-s) X^s,

(1')　Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r] = Ｃ[n,r](A+1)^(n-r),　を示せ。

(略解)
　�納r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r]} X^r
　= �納k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
　= �納k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) (1+X)^k
　= (A+1+X)^n
　= �納r=0,n] Ｃ[n,r](A+1)^(n-r) X^r,

これを応用して (3) を作れ…

>>329
(1)
C[n,k]*C[k,r]=C[n,r]*C[n-r,k-r]より
Σ[k=r,n]C[n,k]*C[k,r]
=Σ[k=r,n]C[n,r]*C[n-r,k-r]
=C[n,r]Σ[k=r,n]C[n-r,k-r]
=C[n,r]*2^(n-r)

堀川先生っていい先生だったよね

>>286
　>>287 より、 r = 2sin(2θ) と表わせる（正葉線）ので、

S = ∫[0,2π] (1/2)r^2 dθ
　= ∫[0,π/4] 4r^2 dθ
　= ∫[0,π/4] 16{sin(2θ)}^2 dθ
　= ∫[0,π/4] 8{1 - cos(4θ)} dθ
　= [ 8θ - 2sin(4θ) ](0,π/4)
　= 2π,
・長さ2の鏡PQを滑らせたときの、原点Oの像の軌跡。

>>288
　(左辺) = x^3 +3xy +y^3
　　　　 = {x^3 -3(-1)xy +y^3 +(-1)^3} +1
　　　　 = (1/2)(x+y-1){(x-y)^2 +(x+1)^2 +(y+1)^2} + 1,
から n=1 はすぐ分かるが････

a,b を実数の定数とする。
xの2次方程式 x^2 + ax + b = 0 が異なる二つの解をもち、それらが
α, 1-2α と表すことができるとする。
このとき b の取りうる値の範囲を求めよ。

>>286-287

http://ja.wikipedia.org/wiki/バラ曲線
http://mathworld.wolfram.com/Rose.html

っ

>>336
簡単。すぐ解けた。どこのＦランの問題？ここは東大レベルの問題晒すとこなんだけど？もうちょっと練り直してこい

論理的にちゃんとした答案を書くにはそれなりの力が必要だろう。
ちなみに解答は？ >>339

東大だって簡単な問題も出すだろ
確率とかカスみたいなのもあるし

>>341
こちらへどうぞｗ

Fランク大学の数学の入試問題を考える。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/

実数α≠1/2をを媒介変数として求める方程式は
(X - α)(X - 1 + 2α) = 0 と書ける。
よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。
ゆえにbの取りうる実数値の範囲は[1/8, ∞)。

さすがに三行で解けるってのはどうよ。

>>343
αが実数であるとは明記されていないけど

ほんとだ。
bは任意の実数値を取り得るｗ

>>344
aが実数だから、α+(1-2α)=-aから、αも実数。

仮定からaは実数で、しかもa＝α−1なんだから
αも実数だよな

あれ、、、既に書いてる人がいたか

リロードしてから投稿しろよ

>>343
>よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。

>>322
>>325
間違い。

αと１-2αが異なる、も入れておかなきゃいけないし、343はgdgdだね

>>352
それは自明だろう。

異なる値がそれぞれα、1-2αと書き表せるんだから、
逆にαと1-2αは異なる値だよな。

は？
α≠1/3ということですよ。

>>336
これ高校入試で見たことある問題なんだけど

>>274 の解答ｷﾎﾞﾝﾇ

xyz空間にある放物線のxy平面への影は放物線もしくは半直線である事を示せ．

>>274
(A[1]∪A[3]∪A[5])∩B

但しA[k]は中心(cos(kπ/3), sin(kπ/3))で半径1の円の内部
BはTの外部

>>321
そういう切り口は無いのか・・・


十分大きい正の数rをとって
(0,0,0),(r,0,r),(0,r,r),(r,r,0)
を４頂点とする正四面体を考える

a,bを正の数として
O(0,0,0), A(a,0,a), B(0,b,b), C(1,1,0)
とおくと |CA↑|=|CB↑|, (CA↑,CB↑)=0 を同時に満たす
正の数a,bは存在しない事が簡単な計算でわかる


切り口が２頂点を含む場合も多分無理

>>325
その方針で良いと思うけど，p＝0.5{-3±√5}*r ＜ 0 で作れないんでないの？
簡単過ぎかな．

nを自然数とする。
|x|≦1 ⇒ 0≦Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)＜1
を証明せよ。

Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)≦Σ[k=1,n]1/k(k+1)=1-1/n＜1

x≧0で中辺≧0
-1≦x＜0では0＜x^2≦1より
Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)
f(n)=x^2-x^2(1-x)/2-x^3(1-x)/3…-x^n(1-x)/n-x^(n+1)/nとして
|x^n(1-x)/n|,|x^(n+1)/n|は単調減少であるから
nが偶数の時
…＞f(6)＞f(4)＞f(2)=x^2/2-x^3/6=x^2(3-x)/6≧0が成り立ち
nが奇数の時
各項＞0よりf(n)＞0で満たす

>>361
　a_1 > a_2 > ･･････ > a_k > ･･･ > 0
のとき
　|x|≦1　⇒　0 ≦ Σ[k=1,n] a_k･x^(k-1) < 0 ≦ Σ[k=1,n] a_k,

(左側: 2項づつまとめる。）

aを正の定数とする。
周の長さがaである弓形において、弦の長さをxとし、面積をSとする。
Sはxの減少関数であることを示せ。

>>364
教科書傍用問題集からなに抜いてんの

高校生が宿題をここに書いてるのかな？

「弓形」は数学用語じゃないから大学入試を作問するときはもちろん
答案に書くときもきちんと考えたほうがいいぞ

サイコロをｎ回投げて、目の最大が５、最小が２である確率を求めよ。

>>367
いつかの千葉大医学部の問題まんま載せてんじゃねぇよ

>>368
知らなかったんだけど。
たった今、俺が考えた問題だけど。
答えも出してみたけど、自信はあるよ。
検算したら合ってるみたいだし。

こんなB級超頻出問題出るわけがない

最大が5かつ最小が2だろ？難しいじゃん。医学部の問題だけのことはある。

>>367-369
　P(5以下,2以上) = (4/6)^n = (2/3)^n,
　P(4以下,2以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
　P(5以下,3以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
　P(4以下,3以上) = (2/6)^n = (1/3)^n,

∴　P(5,2) = P(5以下,2以上) - P(4以下,2以上) - P(5以下,3以上) + P(4以下,3以上) = (2/3)^n -2(1/2)^n +(1/3)^n
　　= (2/3)^n -(1/2)^(n-1) +(1/3)^n,

n回投げて、1及び6が出ない確率は
1-(2/3)^n
そのうち、2及び5が出る確率は
1-(2*(3/4)^n-(1/2)^n)
掛けて、答えは
(1-(2/3)^n)(1-2*(3/4)^n+(1/2)^n)
=1-2*(3/4)^n-(2/3)^n+3*(1/2)^n-(1/3)^n

合ってる自信がない。

あなた方教師の方もトライに負けず劣らず「汚い」ですよね・・
解答の棒読み、分からないコトは「次までに自分で調べてごらん」、子供に問題をさせておいて自分はメールのやりとり、
センセー、センセーって持ち上げてるからって、あまり勘違いしないでください

>>374
なんだよ・・・
どっかで喧嘩してるのか？
とりあえずリンク張れ

>>373
n回投げて、1及び6が出ない確率は
(2/3)^n,
　･･････
　･･････
掛けて、答えは
(2/3)^n･{1 -2*(3/4)^n +(1/2)^n}
= (2/3)^n -2*(1/2)^n + (1/3)^n,

逢ってる地震がある。

なんで俺あんな単純ミスしたんだろう。

しかし3/4は重症だろう

>>278
1も6もない4面のサイコロ(2〜5が出る)をn回振ったときに2、5が出ない確率はそれぞれ
(3/4)^n、(3/4)^n
2も5も出ない確率は
(1/2)^n
故に2も5も出る確率は
1-2(3/4)^n+(1/2)^n

と考えた。

安価ミス
278→378

最大が5かつ最小が2だろ？易しいじゃん。医学部の問題だけのことはある

【問】
y=f(x)が以下のいくつかの条件を満たすための多項式f(x)の必要十分条件を求めよ

�@最高次数が二次以下
�Ay=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
�By=f(x)上の任意の有理数組(x,y)について'xが整数⇔yが整数'を満たす

(1)�@と�Aを満たす
(2)�@と�Bを満たす
-(3)�Bを満たす
*(4)�Aを満たす
((3)はおまけ　(4)は自分も解けてない)

(4)
ある関数f(x)が存在し、
その関数について
y=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
ならば、かつそのときに限り関数f(x)について
y=e^f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが無理数⇔yが有理数'を満たす

ってのはありか？

ちなみにこの場合自明な例外があるけど。

>>382
(4)やってみた。間違ってたらゴメン。


f(x)はn次の多項式とする。f(x)の最高次の係数は正としてよい。
n≧2のときは、�Aを満たすf(x)が存在しないことを示す。

f(x)は�Aを満たすとする。このとき、簡単な議論によって、
f(x)∈Q[x]でなければならないことが分かる。よって、
ある自然数aとあるg(x)∈Z[x]が存在してf(x)＝g(x)/aと書ける。
fの最高次の係数は正だから、gもそうである。

n≠0であり、なおかつfの最高次の係数は正だから、
実数s＞0が十分大きければ、f(x)＝sは必ず実数解を持つ。
特に、s＝b/a (b∈Z)と置けば、b＞0が十分大きければ
f(x)＝b/aは必ず実数解αを持つ。ところで、b/aは有理数であり、
また、f(x)は�Aの仮定を満たすのだから、αは有理数でなければ
ならない。これとf(x)＝b/a ⇔ g(x)＝b から、次を得る。

・十分大きな自然数bに対して、g(x)＝bは必ず有理数解を持つ…(*)

(続き)
g(x)＝Σ[k＝0〜n]g_ix^i とおく。g_n＞0である。簡単な議論により、
g(x)＝b が有理数解x＝q/p　(q∈Z,p∈N,gcd(p,q)＝1)を持つためには
p｜g_nかつq｜(g_0−b)でなければならないことが分かる。
そこで、bとして特に(b−g_0)が素数であるようなものを選ぶ。
素数は無限にあるので、このような自然数bも無限にある。このとき、
q｜(g_0−b) からq＝±1,±(g_0−b)が導かれる。すなわち、
有理数解の候補は±1/p,±(g_0−b)/p の4通りに限られる。
これと(*)から、この4つの候補のうち少なくとも1つは
実際に解でなければならない。

x＝1/pまたは−1/pが解のときは、|x|≦1ということになるが、
bを十分大きくすれば、g(x)＝b の有理数解が|x|≦1 には
存在しないようにできる。よって、最初からそのような
bだけを考えることにすれば、x＝±1/pは解になり得ない。
このとき、解の候補は自動的に±(g_0−b)/pの2つに限られる。

x＝(g_0−b)/p が解のときは、g(x)＝bに代入してg((g_0−b)/p)＝b
ということになるが、両辺を((g_0−b)/p)^n で割って

b−g_0：素数，b→＋∞

という極限を取れば、左辺はg_nに収束し(∵lim[x→±∞]g(x)/x^n＝g_n)、
また、n≧2だから右辺は0に収束する(ここでn≧2が効いている)。
よってg_n＝0となるが、これはg_n＞0に矛盾する。
x＝−(g_0−b)/pのときも同様にして矛盾する。

(続き)
よって、�Aを満たすf(x)は定数関数か1次の多項式に限られる。
簡単な議論によって、

f(x)＝ax＋b, a∈Q,b∈Q,a≠0

だけが�Aを満たすと分かる。
以上より、多項式f(x)が�Aを満たすための必要十分条件は
「f(x)∈Q[x]かつdeg f(x)＝1」である。


書いてから気づいたけど、
＞有理数解の候補は±1/p,±(g_0−b)/p の4通りに限られる。
ここは語弊があって、正確には「pの取りうる値の個数×4」通りだった。
あと、bによってpの値は変化しうるから、議論の後半でb→＋∞の極限を
取るときには気をつけなくちゃいけなかった。どのみち、p｜g_n から
1≦p≦g_nが出てpは有界になるので、議論に差し支えはないけど。

kを定数とする。
xの方程式 x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k の1つの解をαとするとき、
この方程式の他の解をαを用いて表せ。

まず、x≠0,1…☆
x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k
x^2(1-x)+x-(x-1)^2=kx(1-x)
-x^3+3x-1=kx(1-x)
x^3-kx^2+(k-3)x+1=0…�@
αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…�Aと表せる（∵☆）
βについて�Aを展開すると
x^3-(α+β)x^2+(αβ-1/α)x+1より
αβ-1/α=k-3
k=α+β
弐式より
(α-1)β=(α+1/α-3)これを�Aに代入して

x^2-(α+1/α-3)x/(1-α)-1/α=0を解く
α(1-α)x^2-(α^2-3α+1)x-(1-α)=0
((1-α)x+1)(αx-(1-α))=0
∴x=1/(α-1),(1-α)/α （∵☆）

（∵☆）のところが分からないのですが…詳しくお願いします。

>>390
α≠0,1より1-αやαで割ることが可能ってことです

理解力が無くて本当に申し訳ないのですが

αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…�Aと表せる（∵☆）

の詳しい論理をお願いします…。

つ因数定理
まぁ�A式を立てるよりか�@式をx-αで割る方が早いと思うが

ごめんなさい、βを�@式の解の一つだと勝手に勘違いしていました。
お手数かけてすみません。

>>388
f(x)=1/(1-x) とおくと f(f(x))=(x-1)/x, f(f(f(x)))=x だから

もとの方程式は x+f(x)+f(f(x))=k と書けて

αがその解なら f(α) も f(f(α)) も解

>>387
なんか大体あってるような気がしたけど
>>386の後半でb→∞にもってくところがちょっと怪しい気がする…
十分大きいbだと十分0に近いg_nになって一応g_n＞0は保たれているんじゃ？
曖昧でごめん

中心がOで,半径が１である円C上の動点Pを中心に持つ円Dを考える.
円D上の動点Qは,Pと同じ向きに、２倍の速さで動く.　
円D自体は回転せず、始めO,P,Qは同一直線上にあるとする. 点Qの描く軌跡によって囲まれる面積を求めよ.

円Dの半径は１です

そんな典型問題が東大に出るわけない
宮廷レベル

東大は宮廷なんですが

>>396
bの値によってg_nが変動することはありえない。

g(x)はf(x)から作られた関数であって、bに依存していない。
つまり、g_nはbに依らない定数。

>>395

f(α) や f(f(α)) が α とは別の解であること
それ以外に解がないこと

をいわないと不十分かと

a^3-b^3=(a-b)^4
a>b>0
を満たす整数(a,b)をすべて求めよ。

>>403
存在しない。

a>b>0より
(a-b)^4>0
a^3-b^3<0

>>404
え？

すまん、よく見たらb>a>0ではなくa>b>0だった。

1辺の長さが１である正八面体の内部に存在しうる正四面体の体積の最大値を求めよ。

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>>397
初期条件をQ(2,0)とすると
↑OP(cosθ,sinθ)
↑PQ(cos2θ,sin2θ)と表せて
↑OQ(cosθ+cos2θ,sinθ+sin2θ)
OQ=rとすると
r^2=(cosθ+cos2θ)^2+(sinθ+sin2θ)^2
=2+2cosθcos2θ+2sinθsin2θ
=2(1+cosθ)
dS=πr(θ)^2*dθ/2π
→S=∫(0→2π)r(θ)^2/2dθ
=∫(1+cosθ)dθ
=[θ+sinθ](0→2π)
=π
あんま自身ない

いま日本の最高権力者は薩長連合(鹿児島県、山口県)の田舎侍たちです。
・坂本龍馬は日本をいまも破壊しているテロリスト薩長連合の工作員だっただけの者です。
・織田信長の時代から戊辰戦争まで、鉄砲隊のガンパウダーはガンパウダー１樽につき、
日本人の若い娘５０人を海外に売ることで調達していました。
・自殺者３万人(実際は８万とも)は薩長連合が原因です。日本はいまだに武家社会です。
・明治維新テロは薩長連合が海外の貴族やユダヤから金を借り(年利18％)て起こした国家転覆テロ。
・総理大臣、大蔵大臣、外務大臣や公安、警察、自衛隊の歴代トップは鹿児島県、山口県、
高知県、佐賀県、 長崎県出身者ばかりです。 公務員は薩長連合の使用人です。
公務員は国民を支配する道具。国策捜査は薩長連合やアメリカのための捜査です。
・日本経団連の企業は明治以前からの支配階級の関係者が興したものばかり。
・アメリカを代表する洗脳の専門家アーネスト・ヒルガードは戦後来日して
「戦後日本の教育の非軍事化」のために働き、スタンフォード大学からその功績を讃えられます。
鳩山由紀夫もスタンフォード大学卒業です。洗脳はいまも続いています。
・薩長連合は株式会社ゆうちょ銀行の郵便貯金を海外の貴族やユダヤに差し出そうとしている。
・アメリカ財務省証券購入で日本人は毎年アメリカに３０兆円以上差し出している。
・日本人が貯蓄した金が海外にいき、信用創造で1000倍になりそれで日本の土地が買われる。
日本は破産し、ＩＭＦ管理下でも 薩長連合は安泰で国民はＩＭＦに感謝するように洗脳される。
(参考：洗脳支配　　苫米地英人　　株式会社ビジネス社)
日本の政治家には朝鮮人の疑いのある人たちがいます。安★部、小★泉、菅★、小★沢。
２ちゃんねるはトウ一きょう会が運営してＩＰ集めや、自作自演して洗脳工作する場です。
http://jb★bs.liv★edoor.jp/bbs/read.cgi/news/20★92/11★94947143/
薩長連合は戦争やシベリア抑留で日本人の抵抗勢力を殺したのか。戦争は自国民を殺すためにも使われる。
薩長連合のために警察がインターネット規制をする。来年東京では匿名でネットカフェから情報を発信できなくなる。
情報遮断、ネット情報遮断、ネット検閲は戦後の洗脳と同じやり口。薩長連合は日本人ではない。ｗ

a^3-b^3=(a-b)^4
a-b≠0より
a^2+ab+b^2=(a-b)^3
3(a+b)^2+(a-b)^2=4(a-b)^3
a+b=Lp,a-b=Lqと置換して(Lは、a+bとa-bの最大公約数)
3p^2+q^2=4Lq^3
3p^2=(4Lq-1)q^2…�@
この式よりp^2はq^2の倍数である
(証明は略だが両辺の素因数を考えればよい)
∴pはqの倍数でp=kqとおけるがこの時q=1でないと
Lが最大公約数であることに反するためq=1としてよい
�@よりq=1から3p^2=4L-1
右辺奇数よりpも奇数でこの時
p^2≡1(mod4)より3p^2+1≡0(mod4)であるからpが奇数なら等式を満たすLが存在。
∴L=(3p^2+1)/4,p奇数であればよい
これよりa+b=pL=p(3p^2+1)/4,a-b=(3p^2+1)/4を解いて
∴a=(p+1)(3p^2+1)/8,b=(p-1)(3p^2+1)/8であればよい
p=2k+1とおけば
a=(k+1)(3k^2+3k+1),b=k(3k^2+3k+1)（kは自然数）として表せる

一応>>403です
【問】
nを非負の整数とする。
点P_nは全て単位円上に存在し、任意のnについて以下を満たす。
�@P_0(1,0)
�A線分P_nP_(n+1)の長さが(1/2)^n
�BP_1は第一象限にとり、以降P_nは小弧P_(n-2)P_(n-1)に含まれないようにとる。
この時、n→∞の時のP_nは第何象限に存在するか

>>413
∠P_0･O･P_n = θ_n とおく。
　θ_0 = 0,
　θ_1 = 2･arcsin(1/2) = π/3,
�A，�B より、
　θ_n - θ_(n-1) = 2･arcsin{(1/2)^n},
∴　θ_n = Σ[k=1,n] 2･arcsin{(1/2)^k},
ところで
　2･(1/2)^k < 2･arcsin{(1/2)^k} < arcsin{(1/2)^(k-1)},
だから、k=2,･････,n を加えて
　1 - (1/2)^(n-1) < θ_n - θ_1 < (1/2)θ_(n-1),
n→∞ のとき
　1 ≦ θ - θ_1 ≦ (1/2)θ,
　1 + θ_1 ≦ θ ≦ 2θ_1,　
θ_1 = π/3 を代入して、
　2.0471975511965977461542144610932 ≦ θ ≦ 2.0943951023931954923084289221863
∴　第2象限
（θ = 2.05330687777106････)

>>399-400
宮廷ハニー

http://www.youtube.com/watch?v=uiweA6MEcHU 03:12
http://www.youtube.com/watch?v=jcJbquLU0wM 03:03
（ライブ）

http://www.youtube.com/watch?v=OiQrVIWQoZo 04:24
http://www.youtube.com/watch?v=gvFjmxMJ5Uw 03:05

http://www.youtube.com/watch?v=DRZe4bLPSBs 02:59
http://www.youtube.com/watch?v=4gtFhpUaYJ0 02:58
（韓国版）

>>399-400
宮廷ハニーのオリジナル版　　前川陽子 (1973) original @ NHK

http://www.youtube.com/watch?v=YqXF0Kt-UNo 00:52
http://www.youtube.com/watch?v=Hp7cm6ZxQTs 01:29　
http://www.youtube.com/watch?v=BnzMcQIsPH8 01:27
http://www.youtube.com/watch?v=J30lzbM_S5A 02:14　
http://www.youtube.com/watch?v=Vuw9Wmgqj5A 02:17

>>410
点Qは極形式でr=(2cosθ+1）と表されるグラフをx軸方向に１だけ平行移動させたグラフだよな？
囲まれる図形って、どこだ？

＞円D上の動点Qは,Pと同じ向きに、２倍の速さで動く.

角速度か普通の速度か？Dの半径は？　

>>417
>点Qは極形式でr=(2cosθ+1）と表されるグラフをx軸方向に１だけ平行移動させたグラフだよな？
なんで？

どっちにしろ囲まれてるし

ごめんみす

13cm幅の長い紙がある。
この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？（さくら教研の宿題）

>>421
黒の線は13k/23、赤の線は13l/34の位置にある。従って、黒と赤の線の間隔は
(13/23*34)*|34k-23l|で書ける。(k=1,2,...22,l=1,2,...33)。
|34k-23l|の最小値は1で、例えば(k,l)=(2,.3)のときである。
従って最短距離は13/(23*34)

A,B,Cと書かれたカードがそれぞれたくさんある.これらのカードの中から無作為にn枚のカードをとりだし
一列に並べる.このとき,以下の条件が満たされる確率をP(n)とおく.
条件：Aと書かれたカードとBと書かれたカードは隣り合わない.
(1) P(5),P(6),P(7)を求めよ.
(2) n・P(n)の値が最大となるような自然数nの値を求めよ.

１辺４ｃｍの立方体に半径１ｃｍの動く球が２つ入っている。
この２つの球は互いに重なることはなく、立方体からはみ出すこともない。
このとき、２つの球が通過しうる領域の体積を求めなさい。

１辺４ｃｍの立方体に半径１ｃｍの動く球が２つ入っている。
この２つの球は互いに重なることはなく、立方体からはみ出すこともない。
このとき、２つの球が通過しうる領域の体積を求めなさい。

>>385-387

アク禁だったんで亀レスだけど

f(x)が多項式という条件を連続関数に緩めると，�Aを満たす関数はどうなるんだろう？
初等関数で表現できるものとしては f(x)＝ax＋b 以外では
f(x)＝1/(ax＋b ) とかいったものしか思いつかない．これを多少工夫すれば，C^1(R) には出来る．
しかし，実数全体で定義された解析関数としては， f(x)＝ax＋b しかないような気もする．．．

>>357
は直線になる場合もあるね。
でもどうやって証明するんだ労？

>>426 未解決問題

kwsk

xyz空間でA(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)を頂点とする正三角形Pを考える。
(1)Pをz軸のまわりに1回転してできる立体Qの体積を求めよ。
(2)Qをy軸のまわりに1回転してできる立体Rの体積を求めよ。

2次正方行列Aが A^2 ≠ O を満たすとき、
2次正方行列Bで B^3 = A を満たすものが存在することを示せ。

ｎ種類のカードが各々一枚ずつある。　　
（１）これらを任意の枚数ひくとき、ひき方をAn通りとする。Anを求めよ。
（２）n→∞のとき、An+１/Anはいくらか。

え？
nC0+nC1+…+nCn=2^nで

An+1/A_n=2ってことか？

πa^3/6
(2-√2)πa^3

n枚について「引く」or「引かない」の２択
って考えると2^nがすぐ出る

（１）立方体の各面を異なる６色すべてを用いて塗る方法は何通りか。
（２）立方体の各面を異なる５色すべてを用いて塗る方法は何通りか。　
　ただし、（１）（２）において、一方を回転して他方と同じになる２つの　
　塗り方は同じであるとみなす。

立方体ＡＢＣＤ−ＰＱＲＳがある。
この立方体の内部を、全て大きさの異なる立方体で、埋め尽くすことは可能か。
なお、立方体同士で隙間を作っていけない。また、ＡＢＣＤ−ＰＱＲＳの外部にはみ出してはいけない。

>>434

こまかいけど、aが-のときへんになる

>>437

ごめん高校数学の範囲ではとけないかも

無限個でも良いんだよね？じゃあ出来るんじゃない？

>>436
立方体ＡＢＣＤ−ＰＱＲＳ と同じ形の立方体を１つ、で埋められる。。。。ミスった。
ってことで、複数個、という条件追加。

>>440
あれ、できる？

アンカーみすった。

>>437=>>439=>>441≠>>436

>>437
　不可能

(解説)
山下純一: 『立方体のある分割について』
　数セミ増刊「数学の問題　第�A集」, p.185, 付録10, (1978.5)

>>443
　数セミ, 1968年8月号, NOTE欄の再録らしい。（投稿）

　背理法（無限降下法？）による。

>>426
xが有理数のとき f(x) が有理数
xが無理数のとき f(x) が無理数

を満たす連続関数は、f(x)＝ax＋b、f(x)＝(px＋q)/(rx＋s) および
これらを繋ぎあわせたもの以外にあるかと言う事だよね？

さてどうだろうか。ないとしたら証明方法が思いつかない。

http://mathnori.com/top/math/math_proof.asp?math_type=previous&level=&order=CREATION_DATE&sort=desc&ID=32

似てる気がする。

>>446は多項式の話だからもうすでに済んでいる話。

連続？
f(x)=|x|

>>448
ドコにレス？

>>445
話の流れを全く読んでないのであれだが、

xが有理数のとき f(x) が有理数
xが無理数のとき f(x) が無理数

を満たす連続関数は、f(x)＝ax＋b、f(x)＝(px＋q)/(rx＋s) および
これらを繋ぎあわせたもの以外にあるかと言う事だよね？


f(x)=|x|でよくね？ってこと。違ったらごめん。
そもそも、繋ぎ合わせたものって何よ？

あぁ、繋ぎ合わせたものってのは、f(x)=|x|も入るんだね……すまん、勘違いしてたみたい

高校の範囲を超えている悪寒

AB=AC=2である鋭角三角形ABCがある。ABCの3辺BC，CA，ABの中点をそれぞれL，M，Nとする。
線分LM，MN，NLに沿って三角形を折り曲げ四面体を作る。その際，線分BLとCL，CMとAM，ANとBNはそれぞれ同一視される。
このとき,完成した四面体に内接する球の半径の最大値を求めよ。

2次方程式 x^2-4x+1=0 の2つの実数解のうち
大きいものをα，小さいものをβとする。
[x]はxを超えない最大の整数とする。正の整数nに対して，
X_n=[α^n]
とおく。X_nが偶数となるようなnは存在しないことを示せ。

>>445が気になって眠れません。
誰か分かる人いませんか？

>>454
パクリっぽいし簡単。

>>454
題意より　α = 2+√3, β = 2-√3,
　α+β = 4, αβ=1,
　α^(n+1) + β^(n+1) = (α+β)*(α^n + β^n) - αβ{α^(n-1) + β^(n-1)}
　　　　　　　　　　　= 4*(α^n + β^n) - {α^(n-1) + β^(n-1)},
∴　4 | (α^n + β^n) = 4M,
　X_n = [ α^n ] = [ 4M - β^n ] = 4M -1 = (奇数).

ぢゃなかった...

∴　2 | (α^n + β^n) = 2M,
　X_n = [ α^n ] = [ 2M - β^n ] = 2M -1 = (奇数).

こういう問題って解答でごにょごにょ計算しないで
Proof. 解と係数の関係からα^n+β^nが偶数であることは容易に分かる。
　|β^n|＜|β|＜1よりα^nの整数部分は奇数となる。　　　□
みたいな書き方したら何点来るんだろう。
これでも数学の証明としては丁寧過ぎるくらいだけど。

それは丁寧な証明じゃなくて専門家向けの書き方
入試ではそのようなものは期待していない

東大の祭典基準は知らないが、>>459を減点する理由が見つからない。

大学のテキストじゃないんだから、証明を端折っては駄目だろ。
この問題で言えば、「α^n+β^nが偶数」 の部分は自明扱いはできない。

入試の意味を考えたら少しくどいくらいの方が良いんじゃないかね
そもそも大学のゼミでもこんな証明してたら突っ込まれるだろうに

しかも、、「α^n+β^nが偶数」 の部分は厳密には帰納法が必要。
帰納法を省略するにしても、「帰納的に明らかに．．．」の文言が
ないと俺なら減点する。

ま、オナニー解答は手前のノートだけにしておけって話だな

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

いい歳したオッサンが
「親が資産家だからｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ」とか笑わせるよなｗ

40代にもなって親の自慢ってｗ
自分の稼ぎじゃなく親の経済力の自慢
じゃあなんで実家暮らし独男なの？ｗ

無理数の定数pがあり、xは有理数全体を動くとする。
このとき,｜p-x｜の値はいくらでも小さくできることを示せ。

無限降下法

|p-x|^(-1)より大きい自然数 N をとって
x - (1/N)を考えれば良いんだがアルキメデスの原理は使って良いんだろうか。
証明しろと言われても実数の定義がない以上証明しようがないが。

>>468
マイナスにはならない

答えが３分のπになるなるべく難しい問題を作れ

age

http://www.killerjo.net/

>>474
！！ブラクラ注意！！

>>472
(2^n+1)/n^2が整数となるような自然数nに対して、π/nを求めよ。

>>476
　n=1 だから　π.

集合Xを
X={nは自然数|x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する}
と定義する。Xの要素の最大値があれば答えよ。

↑最大値をnとする。2π/3nを求めよ。

はげしくつまんないからもう書かなくていいよ

工房の数学自体が、ハゲしくつまんねーからw　

だからつまんないから書かなくていいって言ってるじゃん。

書かなくて良いってことは、別に書いちゃ駄目ってこととは限らんよな？

何を？

nを整数とし、さらに以下を満たす。

x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する

nの最小値は存在するか？

nを整数とし、さらに以下を満たす。

x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する

nの最小値は存在するか？

>>485-486
n = -2,
　(a,b,c) を直角三角形の辺長とし、x=bc, y=ca, z=ab とおくと
　　x^(-2) + y^(-2) - z^(-2) = (a^2 +b^2 -c^2)/(abc)^2 = 0,

もし n ≦ -3 に対して成立すれば
　(yz)^(-n) + (zx)^(-n) - (xy)^(-n) = (x^n + y^n - z^n)･(xyz)^(-n) = 0,
が成り立つ。これはフェルマーの最終定理に反する。

>>445が気になって、セクキャバ嬢の乳首を吸っているときも上の空です．
誰かおいらに安心してセクキャバに行ける様にして下さい．

>>485-486
　それを満たす整数nは {±1, ±2} の4つしかないお。

>>488
　安心しなくてもいいお。

半径rの円Ｄに内接する３つの円があり、これを円Ａ、円Ｂ、円Ｃとする。
また、円Ａ、円Ｂ、円Ｃは、どの２つの円同士も、外接している。
円Ａ、円Ｂ、円Ｃの中心をそれぞれ点Ｐ，点Ｑ，点Ｒとするとき、
△ＰＱＲの面積の取り得る値の範囲を求めよ。

立方体の展開図は何通りあるか求めよ。ただし、裏返して同じ形になる場合同士は、あわせて１通りとみなす。

>>488
x-[x] の2進表記を文字列と見て左から次のように変換する
0 → 0
10 → 1
11 → 2
こうして出来た文字列を3進数と見たものを g(x) とする

例)
g( (0.000111000111000111000…)_2 )
= (0.000210021002100…)_3

f(x) ≡ [x] + g(x)
と定義すれば、f(x) は以下を満たす

・単調増加、連続、任意の点で微分不可能
・x が有理数 ⇔ f(x) が有理数

アク禁開放上げ

>>492
任意の点で微分不可能が未だよく分かりませんが、感動しました！
区間 [0，1] で構成して後は周期的に拡張ですよね。
どうやってこの方法を思いついたんですか？
高木関数を連想しました。

これで安心してセクキャバに行けます！

・・・・・・。

>>487
もしほんとに、回答の中で「フェルマーの最終定理に反する」って書いたら大幅減点されますでしょうか？
問題でしょうか？

by来年度受ける人

大幅減点って、満点でも20点だし、大した差はないだろ。

>>490
がスルーなのはカンタンすぎる？

>>495
もしそれ書いて減点になるのなら、
A.ワイルズ氏が「説明するだけで」3日間掛かったあの証明を書けと言ってる事になるんだがな。

>>498
いや、ちょー簡単な証明法が発見されたのかもしれん

>>495
そもそも、そんな問題出るわけないんだから考えるだけ無駄だと思うよ。

次の極限値を求めよ．

lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k)−sin(k-1) }

× lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k/n)−sin(k-1) }

○ lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k)−sin((k-1)/n) }

lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k/n)−sin((k-1)/n)}

だった．．．orz


お詫びに http://xvideos.com/tags/japanese

>>503
　cos(k/n) {sin(k/n) - sin((k-1)/n)}
　= cos(k/n) 2cos((k - 1/2)/n) sin(1/2n)
　= {cos((2k - 1/2)/n) + cos(1/2n)} sin(1/2n)
　= {cos((2k - 1/2)/n) sin(1/n)}/{2cos(1/2n)} + (1/2)sin(1/n)
　= {sin((2k + 1/2)/n) - sin((2k - 3/2)/n)}/{4cos(1/2n)} + (1/2)sin(1/n),
　Σ[k=1,n] ････ = {sin(2 + 1/2n) - sin(1/2n)}/{4cos(1/2n)} + (n/2)sin(1/n)
　　　　　→ sin(2)/4 + 1/2,　　(n→∞)

>>503
積分を使えれば･････

平均値の定理より
　sin(k/n) - sin((k-1)/n) = ∫[(k-1)/n, k/n] cosθ dθ = (1/n)cos(ξ_k),
ここに　(k-1)/n ≦ ξ_k ≦ k/n,

　x_k = k/n,　�凅 = 1/n　とおけば
　x_(k-1) ≦ ξ_k ≦ x_k,
∴　(与式) = lim[n→∞) �納k=1,n] cos(x_k) cos(ξ_k) �凅
　　　= ∫[0,1] cos(x)^2 dx
　　　= ∫[0,1] {cos(2x) + 1}/2 dx
　　　= [ sin(2x)/4 + x/2 ](x=0→1)
　　　= sin(2)/4 + 1/2,

>>503-504

素晴らしい！

>>490 >>497

http://mathworld.wolfram.com/OuterSoddyCircle.html
を読んで考えよう。
　△PQR の面積 ��
　外接円の半径 R'

3×3の魔方陣のような格子がある。ここに表が白、裏が黒のコインを投げ、その結果を

１２３
４５６
７８９

の順に記していく。このとき、

○○
○○

●●
●●

のような、
2×2以上の正方形の形ができる確率はいくらか。
但し、格子から2つ以上の正方形を取ることはできない。

だめな例
○○○　●●○
○○○　●●●
●●●　●●●

>>508
補足
○○○
○○●
○●●
のような場合はOK

×但し、格子から２つ以上の正方形を取ることはできない。
○但し、2×2の正方形が格子から２つまたは３つの正方形が取れる場合は除く。

f(t，x)＝−t x＋t^a x^p （a＞0，p＞0） とおく．

このとき f(t，x) が 0≦t≦1，x≧0 において上に有界となる
a，p の必要十分条件を求めよ．

※ 0≦t≦1，x≧0 において上に有界とは，ある実数 M が存在して，
0≦t≦1，x≧0 で常に f(t，x)≦M が成り立つことである．

>>510
　f(t,x) = -(tx) + t^(a-p)･(tx)^p,
より
　0 ≦ p ≦ 1 かつ 0 ≦ a-p,

・0 ≦ p < 1 のとき
　f(t,x) ≦ f(t,[p･t^(a-1)]^{1/(p-1)})
　　　= (1-p)･p^{p/(1-p)}･t^{(a-p)/(1-p)}
　　　≦ (1-p)･p^{p/(1-p)} = M,

・p=1 のとき
　f(t,x) = (-t + t^a)x ≦ 0 = M,

>>511
素晴らしい攻撃だ、タケちゃん万

Oを中心とする球面に内接する四面体がある。
この四面体の面をなす4つの三角形について、それらの重心がすべてOを中心とする同一球面上にあるとき、
それら4つの三角形はすべて合同であることを示せ。

>>508,509
まず2×2の白正方形の場合。回転対称性から、
○○●　
○○●　
●●●　

○○○
○○●
●●●

○○●
○○●
○●●

○○○
○○●
○●●

の４つの確率の和を４倍したものが白正方形の確率であり、その値は、
4*4*(1/2)^9 =16*(1/2)^9

黒の場合も同様で、16*(1/2)^9

3×3の正方形が出来る確率は、白黒2通り合わせて2*(1/2)^9

以上から、求める確率は　(16+16+2)*(1/2)^9 =17/256

>>513各面の重心がOを中心とする同一球面上ってだけなのが(・∀・)ｲｲﾈ!!

四面体の各頂点をA,B,C,Dとし、OA=OB=OC=OD=rとする。
また、vector(OX)=x (X=A,B,C,D。xはその小文字)と略記する。

a+b+c+d =sする。
四面体の各面の重心が同一球面上にあるから、
|(s-a)/3| =|(s-b)/3|=|(s-c)/3|=|(s-d)/3|
⇔(4式のうちから2式を比較していって)
s・vector(AB)=0,s・vector(AC)=0,s・vector(AD)=0,
s・vector(BC)=0,s・vector(BD)=0,s・vector(CD)=0

ここでs≠(零ベクトル)とすると、上式から、
vector(AB)⊥s,vector(AC)⊥s。よって(平面ABC)⊥s,
またvector(AD)⊥sより(平面ABD)⊥s
以上から(平面ABC)//(平面ABD)となるが、これは四面体の存在と矛盾する。

(続き)
よってs=(零ベクトル)
このときd=-(a+b+c)である。
a・b +b・c +c・a=tと置く。|a|=|b|=|c|=|d|=rであるから、上式を2乗すると、
t=-r^2
である。

AD=BC
⇔|-(a+b+c)-a|=|c-b|
⇔t=-r^2
であるから、AD=BCで、同様にしてAB=CD,AC=BDも成立する。
これらにより、四面体の各面は合同(三辺相等)

題意は示された。

拙い解法で申し訳ない。
球面が各面に接する場合は、重心が外心に一致するから各面が正三角形になって、
四面体は正四面体というのがすぐにわかってしまうな・・・

確率1/Nで起きることがN回連続で起きない確率を p_N とする。
N → ∞のときに p_N が収束することを示しその値を求めよ。



こんなアホな問題でも入試問題としては機能するんだろうな

>>517
p_N=(N-1/N)^N =[{1+(-1/N)}^(-N)]^(-1)
→e^(-1)
(N→∞)

東北の過去問に、eに収束させるもうちょい長いのがあった気がする

xy平面上に
４つの放物線があり、
P：y=x＾2
Q：x=y＾2
R：y=-x＾2
S：x=-y＾2
とする、これら４つの放物線で囲まれる領域をD（境界線総べて含む）

また、Dの内部に四角形ABCDがある。
四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。

って、カンタンかな？

>>519
で、四角形じゃない別の多角形にするとむずかしいのかな。

xy座標平面上に、原点O,A=(0,2010),B=(1,2010),M=(2010,0),N=(2010,1),P=(1,1)があり、折れ線AOMとBPNがある。
長軸がaで、短軸がbの楕円Ｅがある。上記の２つの折れ線によってはさまれた幅１の部分を道Ｄと読ぶ。（折れ線部も含む）
楕円Eが、道をはみ出すことなく、道のを通り抜けることができるような、a,bの条件を求めよ。

半径１の円周上に相異なる６点があり、それらを反時計回りに、Ａ，Ｂ、Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆと呼ぶ。

弦AB+弦BC+弦CD+弦DE+弦EF+弦FAの長さをＬとする。Ｌの取り得る値の範囲を求めよ。

自然数a,b,cについて、(abc)＾2010が８でわりきれるための、a,b,cの条件を求めよ。

すいません書きすぎました。たいしょうせいがすきなんで。

>>523

あ、ぼけてた・・・。
訂正。
自然数a,b,cについて、(abc)＾2010 を８で割ったときのあまりが1であるときの、a,b,cの条件を求めよ。

>>525 の類題

任意の自然数a,b,cについて(abc)＾2010を８で割ったあまりとして、ありえないのは、
0,1,2,3,4,5,6,7のうちどれか。

>>526
些細なことだが、問題文は
「余りとしてありうる数をすべて求めよ」のほうが普通だろ。

「・・・ありえないのは、0,1,2,3,4,5,6,7のうちどれか」なんて問題文は美しくなさすぐる。

>>527

あまりとして負の数も含める流儀もあるでしょ。
（って、計算機よりの数学だけ？）

だから、ねんのため「0,1,2,3,4,5,6,7」って書いた。

あと、「ありうる」ってかくより「ありえない」って書く方が、少しだけむづいかなと。
「ありうる」だと、ちょとヒントを連想させてしまうので。じつは。

ちょっと難しいのおいていきますね。

数列a_nを次のように定める。a_nの一般項を求めよ.

a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) / (a_n)^2+(a_(n-1))^2-(a_n)(a_(n-1)) = 1-(1/2)^(n+2)

↑訂正

a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) /｛(a_n)-(a_(n-1))｝＝2^(k+2)-1

↑訂正

a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) /｛(a_n)-(a_(n-1))｝^2＝2^(k+2)-1

kはnでいいんだよな
>>529-530、最初のはなんで訂正したの？

悪い寝ぼけてた
どっちも同じ式だな。単に式変形進めただけか

>>532
はい。kでなくてnです。何度もすいません

反応がない・・・。この時期いそがしい？それともカンタンすぎる？難しい？めんどい？

ちなみに、厳密に解いてないものも中にあります・・・

あと、
>>526 の問題が非常にトリッキーというかナンセンスだということに気づいた。。。

「任意の自然数a,b,cについて(abc)＾2010を・・・」
ってことは、
「任意の自然数nについて(n*n*n)＾2010を・・・」
とおなじだものな。。。
条件なにか追加すれば、少しは有意義になるだろうけど。

平面上に正三角形Eと直線Lが描かれており、次の２つの条件を満たす。
(i)直線Lは正三角形Eの重心を通る。
(ii)直線Lによって正三角形Eは2つの多角形に分割されるが、その2つの多角形の面積は等しい。
このとき、直線Lは正三角形Eのある頂点を通ることを示せ。

>>521

三角関数で面積出して半分になる時の角度を求める。

すいません、>>525-526 条件すくなすぎて、カンタンにとけますわ。。。。
焼き直し。

//-----------------------------------------------------------
自然数a,b,cについて、a=b+cがなりたつ。
(abc)＾2010 を８で割ったときのあまり（※）として取り得る値を求めよ。
なお、負の余りは考えないものとする。

ですが、かんちがいしてました。Ｄなんてありません。

そこで、結構やきなおした問題を、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1236874577
にかいてみました。
よろしければ是非。

>>522
角AOB = 2t_1、角BOC = 2t_2 などとおけば
L/2 = sin(t_1) + sin(t_2) + sin(t_3) + sin(t_4) + sin(t_5) + sin(t_6)
但し t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 = π、t_i ＞ 0 と書くことが出来る。
ここで曲線 y = sin x 上の6点
(t_1, sin(t_1) ), ........., (t_6, sin(t_6) )
の（為す6角形の）重心を G とおくと G の座標は G(π/6, L/12)となる。
[0, π]の範囲で y = sin x は上に凸だから G はグラフの下にある。
故にL/12 ≦ sin(π/6) つまり L ≦ 6であり、等号は t_i が全て相等しい時に成り立つ。
0 ＜ L であり、 t_i のいずれかが 2π に充分近ければ |L| は充分小さくなる。
L は t_i たちの連続関数の値だから中間値の定理よりその値域は (0, 6) の全てにわたる。　
よって L の値の範囲は (0, 6]

高校では中間値の定理は習わなかったと記憶しているけど
この部分はうまく高校の知識で処理出来ない気がする。
でも中間値の定理使って良いなら
L の最大値の存在も自明だとして
L が最大 → t_1 = t_2 etc., → L = 6
で良い気がするしなあ、、うーん、、

>>540
リンクをたどっていくと、３４のウェブプログラマとか東大文学部中退とかセックス依存症とかいろいろわかるが。
もちろんそれをわかっていてリンクをはっているんだろうな。

うむ

>>541

＞高校では中間値の定理は習わなかったと記憶しているけど
あ、そうなの？自分の時代（けっこう前）は、やったようなきが・・・。最近の話？

でも、補題として中間値の定理をしめしとけばｏｋだよね？

しかし、そーいう解き方は想定してなかった。。。

中間値の定理は現行課程でもやってるよ

あれ、どうやって証明してたっけ

証明はしてないんじゃないかな。ていうか証明は無理だし。
得意の ｢〜成り立つことが知られている｣ とか書いているのでは。

１のカードが２枚、２のカードが２枚、・・・、nのカードが２枚の合計2n枚のカードがある。
これらのカードを無作為に並べ、カードに書かれている数の列を左からa(1)、a(2)、a(3)、・・a(2n)と定める。
a(k)≧(k+1)となる最小の値kをXとする。
1≦m＜nを満たす整数mが存在すると考えると、X≧mとなる確率を求めよ。

簡単だったかすまん

「1≦m＜nを満たす整数mが存在すると考えると、X≧mとなる確率を求めよ。」
って意味不明なんだが。そう考えない場合は確率が変わると言いたいのか？

>>508にしてもそうなんだけどもうちょっと
問題の文章の表現の仕方を考え直した方が良い。

それにX って存在しないこともあるよね。
その場合どうするの？

lim[n→∞] (a_n＋b_n＋c_n)＝0，
lim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0，
lim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0

ならば，

lim[n→∞] a_n＝0，lim[n→∞] b_n＝0，lim[n→∞] c_n＝0

を示せ．

大学の知識を使えば瞬殺なので高校範囲でお願いします．

lim[n→∞] a_n≠0と仮定。
lim[n→∞] a_n＝xと置くと、lim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0より
lim[n→∞] b_n＝0又はlim[n→∞] c_n＝0
lim[n→∞] b_n=0と仮定するとlim[n→∞] (a_n＋b_n＋c_n)＝0より
lim[n→∞] c_n=-x。これはlim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0と矛盾。
lim[n→∞] c_n=0と仮定するとlim[n→∞] (a_n＋b_n＋c_n)＝0より
lim[n→∞] b_n=-x。これはlim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0と矛盾。
背理法より
lim[n→∞] a_n=0
以下同様に
lim[n→∞] b_n＝0、lim[n→∞] c_n＝0

では駄目なの？

>>551
１行目から怪しいが，２行目でアウト。
a_n の収束性を仮定している。
それを許しても２〜３行目でアウト。

A_n := a_n + b_n + c_n
B_n := a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n
C_n := a_n･b_n･c_n
とおく。（以下適宜添え字を省略する。）
a，b，cは x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 の解となる。
　|x^3 - Ax^2 + Bx - C|
　　≧ |x^3| - |Ax^2| - |Bx| - |C|
となる。ε≧|A|，|B|，|C|のとき
　　　　|x^3| - |Ax^2| - |Bx| - |C|
　　≧|x^3| - ε(|x^2| + |x| + 1)
εが充分小さい（例えばε＜1の）とき|x|＜1でなければならない。
このとき
　　　　|x^3| - ε(|x^2| + |x| + 1)
　　≧|x^3| - 3ε
つまり0 ≧ |x^3| - 3εだから 3ε ≧ |x^3| となる。
A，B，C → 0のときε:= max{A, B, C}→0とすることができて
このとき x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 の解 x に対して
|x|^3→0だからa，b，c→0でなければならない。

どこまでを高校範囲とするのか分からんが、
次の定理集(1)〜(4)を認めれば解ける。

定理集：
(1) lim[n→∞]x_n＝x, lim[n→∞]y_n＝y ならば、
　　任意の実数λ,μに対してlim[n→∞](λx_n＋μy_n)＝λx＋μy

(2) lim[n→∞]x_n＝x, lim[n→∞]y_n＝y ならばlim[n→∞]x_n・y_n＝xy

(3) a_n≦b_n≦c_n, lim[n→∞]a_n＝lim[n→∞]c_n＝x ならば、
　　lim[n→∞]b_n＝x (ハサミウチの原理)

(4) lim[n→∞](x_n)^2＝0ならばlim[n→∞]x_n＝0


>>550の証明：
(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2＝(a_n＋b_n＋c_n)^2−2(a_nb_n＋b_nc_n＋c_na_n)
だから、定理集の(1)(2)より、im[n→∞]{(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2)}＝0^2−2*0＝0
となる。 0≦(a_n)^2≦(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2 だから、定理集の(3)より
lim[n→∞](a_n)^2＝0となる。これと定理集の(4)より、lim[n→∞]a_n＝0 を得る。
b_n, c_nも同様。(なんかlim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0 を使う必要が無かったのだが……)

数列の値が実数値なら特殊事情で要らないね

そうか！
勝手に実数値の数列だと思ってたわ。
やり直して来よう……

高校範囲だから何も書かなければ実数列だと思う。
東大や京大はどちらにでも読めるような問題文にはしないはず。

ただ大学によっては、受験生が当然実数だと思って問題を解いたら
問題文にはそんなことは書いていない、ということで零点にした
酷い大学があったとかいう話を安田亨のブルーバックスで見た気がする。

零点にした　とは書いてなかった。というか、
虚数解を考えずに実数解だけ答えたのであれば部分点はそれなりにあるだろう。

>>553
収束列の有界性を使っている
範囲外

うーむ、一応できたが、大学の範囲を使ってしまった。
あと、やり方がゴリ押し。
ということで、俺も>>553の方針に鞍替えする(＾o＾)


An＝an＋bn＋cn
Bn＝an･bn＋bn･cn＋cn･an
Cn＝an･bn･cn

と置く。まずはlim[n→∞]an＝0を示す。
解と係数の関係から(あるいは直接計算から)
(an)^3−An･(an)^2＋Bn･an−Cn＝0 という等式が成り立つから、
これを変形して(an)^3＝An･(an)^2−Bn･an＋Cn となり、

｜an｜^3＝｜An(an)^2−Bn･an＋Cn｜
.　　　　　 ≦｜An｜｜an｜^2＋｜Bn｜｜an｜＋｜Cn｜
.　　　　　 ≦ (｜An｜＋｜Bn｜＋｜Cn｜)(｜an｜^2＋｜an｜＋1)

となる。この不等式全体を(｜an｜^2＋｜an｜＋1)＞0 で割って、

｜an｜^3/(｜an｜^2＋｜an｜＋1)≦｜An｜＋｜Bn｜＋｜Cn｜　…(*)

となる。ここで、x≧0に対してf(x)＝(x^3＋1)/(x^2＋x＋1)とおくと、微分して
増減を調べることにより、ある点t≧0においてf(x)は最小値f(t)＞0を取ることが
分かる。このときf(t)≦f(x) (∀x≧0) となるから、この不等式の両辺に
x^3/{f(t)(x^3＋1)} (x≧0)をかけてx^3/(x^3＋1)≦{1/f(t)}･x^3/(x^2＋x＋1) (x≧0)
を得る。これにx＝|an|を代入して、(*)とハサミウチの原理を使うと
lim[n→∞]｜an｜^3/(｜an｜^3＋1)＝0
となる。そこで、dn＝｜an｜^3/(｜an｜^3＋1) とおけば、明らかに0≦dn＜1であり、
また、lim[n→∞]dn＝0である。さらに|an|^3＝dn/(1−dn) となるので、
lim[n→∞]|an|^3＝0となり、よってlim[n→∞]an＝0 となる。bn, cnも同様にする。

>>560
その方針だったら

｜an｜^3/(｜an｜^2＋｜an｜＋1)≧｜an｜^3/(｜an｜＋1)^3＝｛｜an｜/(｜an｜＋1)｝^3

でいいんでないの？

地方公務員の試験問題にこんなのがあった。

正20面体を平面で切断してできる切り口はn角形となるが、
nの最大値はいくらか。

四面体ABCDにおいて、辺ABの中点と辺CDの中点をそれぞれM、Nとおく。
2点MとNを通る平面は四面体ABCDを二等分することを示せ。

>>553 >>556
その方針だったら

任意のε>0 に対し、
　n > N ⇒　|A_n| < ε,　|B_n| < ε^2,　|C_n| < ε^3,
となる自然数 N が存在する。

下の補題 により、
　|a_n| ≦ 2ε,　|b_n| ≦ 2ε,　|c_n| ≦ 2ε,


〔補題426〕
複素係数の1変数代数方程式
　z^m + �納j=1,m] a(j) z^(m-j) = 0,
の根は |z| ≦ 2･max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} を満たす．

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426
　不等式スレ４

>>564
〔補題426〕の略証

Max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} = M とおくと

　0 = -|z|^m + |Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j) |
　≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
　≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
　=　(2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-1-j)} - M^m
　≦ (2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-j)},
いま {･････} > 0 だから
　|z| ≦ 2M.　　　(終)
ぬるぽ

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426-431
　不等式スレ４

三辺の長さの和と、面積の値が等しい三角形の三辺の長さをa,b,cとする。このとき

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 16(a+b+c)

となることを示せ。

>>566
ヘロンの公式よりS=(a+b+c)=\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}/4より両辺を2乗して題意が示される。
ヘロンの公式自体の証明は余弦定理より出来るがry＜略＞。

>>564-565
m次多項式の零点は係数の 1/m ヘルダー連続となる証明ですね。
元ネタはこれでしょう。
偏微分方程式入門 金子 晃 に書かれてあった記憶がある。

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/index.html

東大は相変わらず詰まらん問題出すなぁ

理科
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=1&y=2010&n=1
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=2&y=2010&n=2
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=3&y=2010&n=3
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=4&y=2010&n=4
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=5&y=2010&n=5
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=6&y=2010&n=6

文科
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=1&y=2010&n=0_1
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=2&y=2010&n=0_2
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=3&y=2010&n=0_3
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=4&y=2010&n=5

>>570
解けない、と自己申告しているのですね。

京大は？

>>526
abcが偶数なら余りは0
abcが奇数なら余りは1

>>539
a=b+c なら abc は偶数

>>542
書いて辱めたいだけだろｗ

>>571
数学から離れて10数年立つが、
どれも意外と簡単だった。
（文系は見てない）

>>566 の類題

半径2の円に外接する三角形の三辺の長さをa,b,cとする。このとき

　(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 16(a+b+c),

となることを示せ。

>>567
正解です。
>>577
半径2の円に外接する時とたしかに同じですね。助言ありがとうございます。

今年の東大の問題どうでした。けっこう厳しいセットだったように思える。
漏れは、第二問と第四問は気持ちよく解けたが、あとは苦戦気味ですた。
B***
B**
B***
B**
C****
C***

今年は東大・東北・阪大が難しい。京大は理系乙の５番以外はゆとり。他は見てないから

しらん。

横国が意外に難しかったんだが・・・
３完しかできなかったが、ここそんなに難しかったか？
ttp://220.213.237.148/sokuho/data/2010/0y/m02/m0y102001m0.pdf

>>581
1、3は頻出問題。4は96年の東大の問題のパクリ。5はちょっと難しい。2はやってない。
難易度は1B 2? 3B 4C 5Cくらいだと思うよ。

5番ちっとも難しくなかったのだが。
むしろ3番で一瞬引っかかってしまった。

京大の方にも書いたけど

３°は作図可能か

可能。

正五角形と正六角形から12°を作図できる為。

>>585
できれば正六角形はいいとして正五角形の書き方を
書いて欲しかったんだよね。

>>586
俺小学の時描き方習ったけど。
もちろん定規とコンパスだけで。

(1/17)°は作図可能か？

不可能。正9角形を作図できないため。

>>584
cos72°＝(sqrt(5)-1)/4　を使う。
適当な長さを１と決め、縦が１で横が２の長方形を書けば対角線がsqrt(5)になる。
これでsqrt(5)が作図できるから、(sqrt(5)-1)/2も作図可能。
AB＝AC＝１、BC＝(sqrt(5)-1)/2　となる三角形を書けば、∠A＝36°、∠B＝∠C＝72°
正三角形を書けば60°は作図でき、半分にして30°も作図可能。
先ほど作図した36°と30°を合わせば差の6°が作図でき、半分にして3°が作れる。

大学入試に電卓、PCを持ち込んでよいのではないかな？
いまだに数千年前と同じ条件というのはおかしいのではないか？
えっ　貧富の差がでる。？　　　いいじゃんか

電卓は兎も角、ノートPCは最近のなら無線機能満載だから無理じゃないか？

(1/17)°でなんで正九角形が出てくるのか分からん
(1/3)°だったら分かるが

17角形、5角形、9角形がそれぞれ描ければ1/17°は描けるが、
肝心の9角形が描けないって事だろ。

>>588
つhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3#.E4.BD.9C.E5.9B.B3.E5.8F.AF.E8.83.BD.E3.81.AA.E6.AD.A3.E5.A4.9A.E8.A7.92.E5.BD.A2

いやいや(360/17°)は作図出来るんだから
当然(1/17)°も作図出来るでしょ。
17と360は互いに素なんだから。

実際 6・360 - 127・17 = 1

なんか勘違いしてたので596は無しで

数列 {a_n} の各項は a_(n+1) = a_n + √a_n を満たす。
このとき (a_n)/n^2 → 1/4 となることを示せ。
但し a_0 = 1 とする（実際は初期値は正であれば何でも良い）。

>>598
ヒント与えすぎでない会？

1マス目からｎマス目までのマスがあり、最初は1マス目にA君がいるとする。
A君は、1-p（0<p<1）の確率でそのときの位置に留まり、pの確率でその場に留まった数だけ
次のマス目に進むことができる。A君がｋマス目にいる確率をa_{k}とする。(a_{1} = 1)
（１）a_{ｎ}を求めよ。
（２）a_{n}が最大となるｐの数を求め、その時のlim[n->∞]a_{n}を求めよ。

「N回の試行の後に」kマス目に居る確率じゃないの？
なんかマス目の番号 k と試行回数 N を混同してる気がする
(あと n マスを超えた場合にどうするかも一応書いておいた方が良いような）

マスの試行w

ブルガリアのオリンピックの地区予選より
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/436

[x]は13程度でこれより遥かに絶対値が大きくなることはないから
あとは手間の問題だと思う

>>581 の横国の5番(1) の証明は次ので正しいですか？

各項が正の実数である数列{a[n]} が、a[1]=1と関係式
　a[n+1] - a[n] = (√n)*( 1 + 1/(a[n] + a[n+1]) )　(n=1,2,3,・・・)
を満たすとき、
a[n] ≧ √n を示せ。

[pf]
各項は正だから、1 + 1/(a[n] + a[n+1]) > 1 となるので、
与式から a[n+1] - a[n] ≧ √n 。よって a[n+1] ≧ a[n] + √n 。

よって、a[n]≧√n が真と仮定すれば
　a[n+1] ≧ √n + √n = 2√n ＞ √(n+1) となり、a[n+1] ≧ √(n+1) も真。
これとa[1]=1≧√1 と合わせて、帰納法によ(ry


代ゼミの解答だとずいぶん仰々しかったのですが・・・

それでいいと思う。
代ゼミの解答は途中まで読んで挫折した。

漸化式の分母を払うと
a[n+1]^2 - a[n]^2 = (√n)*( a[n+1] + a[n] +1 ) > 1
となってこれとa[1]^2=1よりa[n]^2≧n

で終わりだよな・・・

余計な情報がくっ付くと如何に惑わされるかということだね

>>598
簡単な議論によりan→＋∞ が分かる。よって

bn：＝{√a(n＋1)}−√an＝{√(an＋√an)}−√an＝{1＋√(1＋(1/√an))}^{−1} → 1/2

となるので、(1/n)Σ[k＝1〜n−1]bk → 1/2 となる。左辺は{√an−√a1}/nだから、
結局、(√an)/n → 1/2 となる。よって(an)/n^2 → 1/4 となる。

>>608
>(1/n)Σ[k＝1〜n−1]bk → 1/2 となる。

証明して。

{1＋√(1＋(1/√an))}^{−1}でan→∞なんだからそりゃそうなるよ
ただそこから(1/n)Σ[k＝1〜n−1]bk → 1/2をちゃんと導くのは意外と大変
anもbnも単調だから高校生でも出来るのは出来るけども

>>609,610
有名な定理。ε−δ論法で簡単に証明できる。
どうしても高校の範囲がいいなら↓で。


簡単な計算(帰納法も使う)により、an＞(1/16)n^2 と
なることが分かる。また、cn＝bn−1/2 とおけば、
簡単な計算により｜cn｜＜1/(8√an) となることが
分かる。よって｜cn｜＜1/(2n) ということになり、

0≦｜(1/n)Σ[k＝1〜n−1]ck｜≦(1/n)Σ[k＝1〜n−1]｜ck｜
≦(1/2n)Σ[k＝1〜n−1](1/k)≦(1/2n){1＋log(n−1)} → 0

となる(log(n−1)による評価は、よくやる区分求積の方法)。
はさみうちの原理から｜(1/n)Σ[k＝1〜n−1]ck｜→0 であり、
よって(1/n)Σ[k＝1〜n−1]ck → 0 であり、これとcn＝bn−1/2 から
(1/n)Σ[k＝1〜n−1]bk → 1/2 がすぐに出る。

東大試験[理]１の２が解けないんだけど
誰か解いてくれん？

代々木ゼミナールの解答例がすっきりしているよ。

>>605
蛇足だが･･････

　a[n+1] - a[n] ≧ √n ≧ (2/3){(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)},
より
　a[n] ≧ {2(n - 1/2)^(3/2) - √(1/2)}/3 + a[1],

>>612
あれって、要するに正の実数a、b、cがa+b+c=1をみたしているとき
acの取りうる値の範囲をbで表せ、ということだよね？

>>614
蛇足だが･･････

〔補題〕
n が自然数のとき
　√n > (2/3){(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)},

(略証)
　{(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)}^2
　= (n + 1/2)^3 + (n - 1/2)^3 -2(n^2 - 1/4)^(3/2)
　= 2n^3 + (3/2)n -2√{n^6 -(3/4)n^4 +(3/16)n^2 -(1/64)}
　> 2n^3 + (3/2)n -2√{n^6 -(3/4)n^4 +(9/64)n^2}
　= 2n^3 + (3/2)n -2n(n^2 - 3/8)
　= (9/4)n,
平方根をとって
　(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2) > (3/2)√n,

>>615
　それって要するに正の実数 a,c >0 が a+c = 1-b をみたしているとき
acの取りうる値の範囲をbで表せ、ということだよね？
　　　0 < ac ≦ {(1-b)/2}^2,


>>616
　略証の不等号、逆向きでつ.....

次の定理Aを高校の範囲で証明する。厳密には証明では無いが、
大学受験でバツが付かない程度には直観に頼らない議論をする。

定理A：数列anがαに収束することと、次のＰが成り立つことは同値である。
Ｐ「任意のε＞0に対して、ある自然数Mが存在して、n＞Mのとき常に｜an−α｜＜εとなる。」


以下の(i)(ii)は高校の範囲なのか分からないが、
これも証明なしで認めて使うことにする。

(i)lim[n→∞]xn＝0ならば、mk → ∞ を満たす任意の
自然数列mkに対してlim[k→∞]x_mk＝0である。
(ii)数列xnは、あるε＞0に対して常にxn＞εを満たすとする。
このとき、xnは0に収束しない。


定理Aの証明：
[STEP1]数列anがαに収束するとする。このときlim[n→∞]｜an−α｜＝0が
成り立つ。そこでbn：＝｜an−α｜ とおけば、lim[n→∞]bn＝0 が成り立つ。
ε＞0を任意に取る。bn≧ε を満たすnが有限個しか無いことを示す。もし
無限個あったとすると、そのようなnを小さい方から順番にm1,m2,m3,…とおけば、
任意のkに対してb_mk≧ε …(*)が成り立つ。lim[n→∞]bn＝0だったから、
(mk→∞に注意して) lim[k→∞]b_mk＝0 となり、これは(*)に矛盾する。
よって、bn≧ε を満たすnは有限個しかなく、そのようなnのうち
最大のものをMとおけば、n＞Mのときは常にbn＜εが成り立つ。よってＰが成り立つ。

[STEP2]Ｐが成り立つとする。自然数kを任意に取り、ε＝1/kと置いて、
このεに対して、Ｐを満たす自然数Mを1つ取り、これをMkと書く。次に、
Nk：＝k＋(M1＋M2＋…＋Mk) とおく。このとき、「n＞Nkならば｜an−α｜＜1/k」…(a)
が任意のkに対して成り立つ。次に、写像T：{n∈N｜n＞N1} → N を
以下のように定義する。

自然数列Nkは狭義単調増加だから、任意のn＞N1に対して、Nk＜n≦N(k＋1) を
満たすkが一意的に存在する。このkをTnと書く。kはnによって一意的に決まるので、
この定義はwell-definedである。

このようにして定義した写像Tは、
「任意のn＞N1に対してN(Tn)＜n≦N(1＋Tn)」 …(b)
を満たす。特にN(Tn)＜nに注目すれば、これと(a)から
「任意のn＞N1に対して｜an−α｜＜1/Tn」が成り立つことになる。
あとは、n→∞のときTn→∞となることが言えれば、はさみうちの原理から
｜an−α｜→ 0となって、anはαに収束することになる。
まず、Tは広義単調増加であることを示す。N1＜n＜mのとき、(b)を使って
N(Tn)＜n＜m≦N(1＋Tm) すなわちN(Tn)＜N(1＋Tm)となるので、Nが
狭義単調増加であることからTn＜1＋Tm となり、よってTn≦Tm を得る。
よってTは広義単調増加である。
次に、任意の自然数kに対して、Tn＝kを満たす自然数nが存在することを示す。
これは、Tの定義からT(N(k＋1))＝kが成り立つので明らかである。以上をまとめると
・Tnは広義単調増加
・任意のkに対して、Tn＝kを満たすnが存在する
となるので、Tのグラフを書けば、n→∞のときTn→∞となることは自明である。

>>611
そんな万独裁ことせずに、普通に挟み撃ちでいくんで内科医？
下からの評価はちょとややこいが。

>>620
俺は別に面倒くさいと思わないし、君の方法でも
＞下からの評価はちょとややこいが。
らしいから、どのみち大して手間は変わらないだろう。

勘違いなら失敬だが、an≧n は自明で、

√an＋1/2−1/√n ≦ a(n+1) ≦ √an＋1/2

で瞬殺だろ。

× √an＋1/2−1/√n ≦ a(n+1) ≦ √an＋1/2

○ √an＋1/2−1/√n ≦ √{ a(n+1) } ≦ √an＋1/2

>>623
高校の範囲に拘るなら、瞬殺になってない。
まず、左辺の不等号を示す手間がある。それに、
(1/n)Σ[k＝1〜n]1/√k → 0　を示す手間もある。
この手間は>>611と同等。

結局、611と大して変わらない。

同程度かどうかは第三者に委ねよう

>>581の横国2番の確率問題。
なんで 「いびつなサイコロ」を設定したのか分からん。
「ほにゃららの確率が最大になるようなpの値を求めよ」、なんて小問を作るならまだしも、
この問題なら、いびつかどうかなんて全く非本質的で、
別にどの目も確率1/6で出るという設定でいいじゃん。

答えがpに依存した値になる以上本質的でないとは言えないと思うけど

>>605に至っては如何に非本質的な情報に騙されないで
本質的な部分にのみ注目するかが問われていると言っても良いくらいだし

答はもちろんpに依存するが、
議論そのものは、3種類の移動確率はp,p,1-2p だろうが 1/3,1/3, 1/3 だろうが、本質的に違わないのだから、
まさにコケオドシ的な設定なのでは。
問題としてのエレガントさに欠けるというか。

計算はp,p,1−2pでやるから、6面体(サイコロ)という設定も無意味だよね
ポケットが3つのルーレットでいいじゃん
面積比がp：p：1−2pになってるルーレット

>>628
(3)での式の展開の処理を見たかったからなのかなと解釈したが・・・
まぁ、確かにその通りだよな

そういう目先の設定の違いでまどわされる学生は結構いるからなあ
横国受けるくらいだとどうかは知らないが

ありえない・・・
受験本番は緊張してるんだぞ
普通の問題文でさえ、勝手にミスリードして
自爆することだってあるのに

ミスリードを誘う姑息な目くらましの問題文で
受験生を篩いにかけて何の意味があるのか
まるで引っ掛けクイズ番組じゃないか
そんなの数学じゃねーだろ

いやこのサイコロの問題に
ミスリードを誘うような設定とかは無いだろ

うむ、ミスリードは言い過ぎだったｗ
でもなあ、なんか問題文が姑息な感じがする。
雑多な設定で目くらましさせようとしてる感じ。

まあ、このくらいなら許容範囲なのかねぇ。俺は嫌いだが。

二通りならコインの裏表
六通りならサイコロ
三通りでもサイコロ

コインかサイコロ以外使ったらいかんと言う取り決めでもあるんかと思うほど試験問題はたいていコインかサイコロだな
あとカード

横国の２流問題は他所で貼れ、カス

たしかにルーレットは物珍しいな。
一応分母は綺麗になるように配慮ししているところがまた・・・

>>611
＞簡単な計算(帰納法も使う)により、an＞(1/16)n^2 と

と

＞簡単な計算により｜cn｜＜1/(8√an) となることが

の部分を詳しくお願いします。

ついでに、>>622

＞√an＋1/2−1/√n ≦ a(n+1)

の部分も。

確率的な操作を行う手段として、他に分かりやすくて手ごろなのあるかな。>>635

迷えるPくんの究極の動作

そもそも何で横国の過去問がこのスレに？

>>611の必死ぶりにワろたw

簡単な計算によりの連発w

>>622-623

〔補題〕
　n/2 -(1/4)√n < √a_(n+1) - √a_1 < n/2,

(略証)
√a_k > 1/8 より、
　a_k + √(a_k) - 1/{8√(a_k)} + 1/(64a_k) < a_(k+1) < a_k + √(a_k) + (1/4),
平方根をとる。
　√(a_k) + (1/2) - 1/{8√(a_k)} < √a_(k+1) < √(a_k) + (1/2),
移項する。
　(1/2) - 1/{8√(a_k)} < √a_(k+1) - √a_k < 1/2,
a_k ≧ k より
　(1/2) - 1/(8√k) < √a_(k+1) - √a_k < 1/2,
　(1/2) - (1/4){√k - √(k-1)} < √a_(k+1) - √a_k < 1/2,　　　(*)
k=1,2,････,n について和をとる。
　n/2 - (1/4)√n < √a_(n+1) - √a_1 < n/2,　　(終)

(*)　2√k - 1/√k = (2k-1)/√k = √{(4k^2 -4k +1)/k} > 2√(k-1),

>>644
焼き直しにしか見えないのだが．．．

b_nは単調に増加しながら下から1/2に近づく。
よって1/2 - ε/2 < b_N <b_{N+1} < ......... < 1/2 となる N が存在する。
Σ_{k=1}^{k=N-1} b_k = N(1/2 - ε) + A とおくと云々

とかやって普通にΣb_k / n →1/2を示した方が早い気も。
高校生っぽい式変形ではないけどね。

ちなみに>>598の元ネタはWilliam Timothy Gowersの
Mathematics:A Very Short Introduction(Very Short Introductions)
「１冊でわかる数学」の最後の章。

>>646
それε−δじゃん

>>644
例えば同じ「礼状の書き方」という履修科目があったとして、
円谷選手の手紙を読ませるのが国公立、拝啓から型を教えるのがＦラン・専門だという事。
後者であれば形だけでも一定水準の実務能力が保証されているから社会に出ても一通りの仕事は出来るし、
志のある学生は自分でそれ以上に勉強して国公立の上位層を上回る水準に達している者も当然いる。
いっぽう前者はというと心構えを教えるだけで型は各自で調べなさいというスタンスなので一定水準の保証は無い。
国立大の出身者が使えないと世間でよく言われるのはこの底辺層の学生のこと。
何をすべきかを自分で考えて努力を続けて来た者は良いが、
大学生にもなって学校まかせで言われた事しかやって来なかった学生は全く使えない人材に育ってしまっている例が多い

なぜに644に……

にげろー　>>644
　　　　　　　　　　l　　　　　 /　　　 ヽ 　 　/　 　ヽ ＼
　　　　　　　　　 /　　　　　/ l　　　　ヽ　/　 　 　 |　　＼
｜　し　な　間　〉　／/　　l_ , ‐､　　　∨　i　l　 | |　　　 ＼　　　　　　は
｜　ら　っ　に　|／　l　,-､,/ﾚ‐r､ヽ　　|　　　／｀K ,-､　＜　　　し
｜　ん　て　あ　　　/　| l｀｀i　{　ヽヽ l | / , '／',｀ //｀|＿/　　　　　　 や
｜　ぞ　も　わ　 　 |>　ヽl´､i　'_ 　 ｡`､llｨ'｡´ _/　/,) /＼　　　　ろ
｜　｜　　　な　　　|`/＼ヽ'_i　,.,.,.⌒´)_ ｀_⌒ 　/__/l　　＼　　　　　　 く
っ 　 |　　　 く　　　 |/　/ l´,.-― ､l`ー一'_冫　/l l　|　　　/　　　っ
!!!!　｜　　　　　　　 ＼ ', /　 ／｀7-､二´､,.|　///　|　　 /
　　　　　　　　　　　lＴ´　{　 /　 /　　ト､　|::| ///　/　　/　　　　!!!!!
　　　　　　　　　　ｌ´　ヽ､ >　ｰ　 　 ,/　|ニ.ノ-'　／　／ ＿
　 　 　 　 　 　 　 i｀`` ､/ }　　　 ',,,..' 　|-'´,- '´　 　 ￣/　ヽ∧　　＿＿＿＿

横国・後期も難化してて面白い
ttp://nyushi.yomiuri.co.jp/10/sokuho/yokohamakokuritsu/koki/sugaku_ko/images/mon.pdf
1B**
2C***
3C***
4B**
5C***

>>651
これの2番の代ゼミの解答例、ちょっとひでぇな。
問の面白さが台無しだ。

代ゼミってだめなのね

どのくらい酷いのかと思って見てきたら、腕力に物を言わせた脳筋解答だった
こんなレベルで予備校とは呆れる(　＾ω＾)

(1)の意味に代ゼミの講師全員気づかなかったのか？

横国ごときの解答作成は代ゼミ内でも下位講師陣が担当するからだろう

それを言ったら、横国の「ごとき」の問題すらまともに解けない下位講師のほうが問題だろう

651=652=653=654=655=656

代ｾﾞﾐの解答より俺の方が凄い自慢のわかり易い自演乙

何言ってんだこいつ・・・

代ゼミの解法がひどいってのはわかる。
でもすれ違い
ID見れないのって不便ね

>>656
何が問題なのか？

まーた日本語不自由なやつがいるのかｗ

>>656
だから下位講師なのである

とループ

>>652
横国後期2番の(2)は、

結局、任意のyについて AP(y) = P(y+θ) が成り立つことが分かるので、
(A^n)P(y) = P(y+nθ) = P(y+2nπ) = P(y) となり、P(y)はインバースをもつので、A^n = E

でいいんですよね。

ある時刻において、地球上のすべての人間がウンコをしていないような確率をpとおく.
(1/10)^(n+1)＜p＜(1/10)^n　をみたすようなnを根拠をつけて予測せよ.
簡単のため、世界の人口を６０億人としてもよい.

>>652
すれ違いとは承知してるんだけど、もうちょっと。
高校生のために、で紹介されていた九州８年の３番の解答
ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho08/kyushu/koki/index.html
代ゼミの解答作成者、問題の誘導に乗らない解を出すことに生きがいを感じているのか。

点A_1:(2,0)を1つの頂点とし、円O:x^2+y^2=4に内接する正n角形A_1A_2…A_nを、各頂点が点B:(1,0)に重なるように折る。
このときにできるn本の折り線すべてで囲まれる部分の面積をS_nとする。 ただし、折り線は直線として扱う。
lim_{n→∞}S_nを求めよ。

以下の等式をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ
a^3+3ab+b^3=1

a^3+3ab+b^3-1=(a+b-1)(a^2+b^2-ab+a+b+1)

>>668

・前の因子から、(a,b) = (a,1-a),
・後の因子は
　a^2 +b^2 -ab +a +b +1 = (1/2){(a-b)^2 + (b+1)^2 + (a+1)^2} ≧ 0,
　∴ (a,b)=(-1,-1)

大数によると今年の東大理類は
C***
C***
C***
C***
C***
C****

>>670

1って、B＊＊○
かとおもうんだけど、なんでだろ

>>665
河合も同じジャン。どうしろという。

>>671
なんでかと言われれば、お前がどう思うかは大数の評価に関係ないからだろうな。

>>673

いや、自分の主観ってより、大数的にというか、
大数のほかの大学の難易度付けと比べても、おもうんだけど。。。

自分ならかかる時間は１５分くらい。

>>665
3番の、小問2の解答がひどい、ということだよね。

小問1の答は 「a≠0のとき x=2y , a=0のとき x,yは任意」。

a=0のときA＝Eで、これは明らかに不適。
a≠0のとき、小問1の結果から、Aが対称変換になるとしたらそれは直線x=2yに関する対称変換。
そうなるためには、Aが(-1,2)を(1,-2)に移すことが必要(かつ十分であることもすぐ分かる)。
よって a = -2/5 。

せめてこれくらいのを解答例にしないといかんよ＞代ゼミ

それにしても横国のは酷いｗ

半径r (r>0) の円Ｃ と、１辺の長さが　a (a>0) の正方形Ｑが、同一平面上にある。
円Ｃおよび正方形Ｑによって囲まれる領域をＳとし、Ｓの面積をＴとする。
円Ｃと正方形Ｑが、この平面上にて動くとき、Ｔのとりうる値を、aとrによって示せ。

＝＝＝＝
・・・って、２０年前くらいの問題のノリかな？

>>678

答えださないまま問題だしちゃったんだけど、
今解こうとしたら、１８パターンも考えないことに気づいた。
（対称性とかで半分に減るかもしれないけど）

だれかおしえてｗ

>>678-679
min (πr^2, a^2) <= T <= πr^2+a^2
ではないのか？

◯∧□

>>681
◯∧□をSとするなら、
0 <= S <= max (πr^2, a^2)
いずれにしても、入試問題にすらならない愚問。

あ、◯∧□をSって意味にとれなかったかもね・・・。
で、それを前提としても、
>>682 とか、
違うと思うんだけど・・・

たとえば、r=1,a=1.9のときとか考えてみて。

あーでも、冷静になって考えれば簡単かも。

でも、簡単なことを論理的に記述するような、京大的問題かも、

CとQの中心が一致する場合に、Tが最大になることを示せばよいのかな？

空間は閉じているから○の外側をどちらにみルカだ

次のような四面体が存在するとき、正の実数a, bの満たすべき条件を求めよ。

　6本の辺(稜)のうち、4本の長さがaで、残る2本の長さがb 。

>>686

(i)長さbの2辺が端点を共有するとき
　一辺aの正△ABCがあり、Dは辺BCの2等分面上 かつ 円周AX=a 上にある。
　辺ADがBCの中点Mをとおるときb/a→√(2-√3), DがAMの反対方向にあるとき b/a→√(2+√3)
　∴ √(2-√3) < b/a < √(2+√3),

(ii) 長さbの2辺がねじれの位置のとき
　正方形柱の互い違いの4頂点が四面体の頂点となる。
　正方形柱の側面対角線が長さaの辺で, 天井・底面の対角線が長さbの辺である。
　このとき、 0< b/a < √2,

(i)(ii)をあわせて、
　0 < b/a < √(2+√3),

687の解答でね、
答を 「b/a < √(2+√3)」と書いた場合、原点される？されないよね。
つまり、問題でa,bは正という仮定があるので、あえて　0 < b/a に言及しなくても大丈夫だよね？
どうかな。

下限があるかもだろ？

n^4+n^3+n^2+n+1が平方数となるのはn=3のときのみであることを示せ
ただし　nは自然数

解けていない問題
解いてほしい問題ある？

問題です。
たまたま集まった５０人のうち同じ誕生日の人がいる確率は何％？
ただし、１年は３６５日とします。

>>274 の答が >>358 になるというのは、感覚的に分かるのですが、
これは答案としてはどのように解けばいいのでしょうか。
計算だけで何とかするのは無理っぽく、図形的な議論も必要でしょうか。

球 : x^2+y^2+(z-1)^2=1 の表面から外に向かってあらゆる方向に光が出ている
(1, 1, 0), (1, 2, 0), (2, 1, 0), (2, 2, 0),
(1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 2, 1)を頂点にもつ立方体があるときに
xy平面上にできる陰の面積

>>692
しねよかす

感覚的にわかるというのは錯覚
ちゃんと説明できない時点でわかっていないということ

>>696
しねよかす

>>693
回転と相似だろ？a, b≠0のとき
√(a^2+b^2)R(θ)
cosθ=a/√(a^2+b^2), sinθ=b/√(a^2+b^2)

ろくに解答書けない奴がえらそうに書き込むなよ恥ずかしい奴 >>698

>>698

>>274 の問題の内容が
「正三角形Tを、その重心をを中心として相似＆回転変換してできる正三角形T’がTと共有点を持つとき、
　T'の頂点の存在範囲を図示せよ」
ということくらいは分かってます。

その解答(の流れ)を聞きたいのです。

高校数学の最高クラス。
白紙でも問題なかったと思われる。
（東京大学出題）


空間内に平面aがある。1辺の長さ1の正四面体Vのa上への正射影の面積をSとし、
Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小値を求めよ。
ただし、空間の点Pを通ってaに垂直な直線がaと交わる点をPのa上への正射影といい、
空間図形Vの各点のa上への正射影全体の作るa上の図形をVのa上への正射影という。

;

>>666はどうやって得んだ？

問題です。
たまたま集まった５０人のうち同じ誕生日の人がいる確率は何％？
ただし、１年は３６５日とします。


解いてからカスと言え

>>701
採点では、議論自体に不備があっても、最大値と最小値が正しく得られていれば13点を与えたらしいが

>>701
この年の理系の数学の合格ラインは３割
by 東京出版

>>704
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

議論の意味辞書で引けカス

とりあえず正射影の図形は3角形か4角形で
いくつかの状況に分けてその中での最大最小を論じて答えを見つける
一つの頂点を始点としてほかの頂点が正射影上のどこにうつるかを考えて計算
解答の方針は立ててみたがこれでできるかな？

>>703
(9π)/4

>>703
別スレで解決済み

>>711
kwsk

>>666
ほーらせんでーからめてー
{(√3)/2}πかなー

>>711
質問スレのだろ？
あれは、間違いだぞ

>>714
じゃあ正しい答え書けばいいじゃん

お前らの作る問題は低レベルすぎ、
より高度で難解な問題を問いかけるべき。
俺ならこれを出すね


x^n+y^n+z^n
2＜nの時

x,y,zを満たす解が存在しないことを証明せよ

と言いたいところだけど、最近のド低脳どもには無理だから

n=4のときだけでいいから証明しろ

せめて問題出すなら
x^n+y^n=z^n (x, y, z ∈C)
みたいな「方程式」を出してくれ

>>716
フェルマ・ワイルズの定理より（ｒｙ

x^n+y^n+z^n
2＜nの時

x,y,zを満たす解

って俺意味分からんのだが718は良く分ったな

x^n+y^n=z^n
って事じゃない？
反例１：n=0の時必ず成り立つ
反例２、３：n=±1の時(x,y,z)=(1,1,1)
反例４：n=1/2の時(x,y,z)=(2,2,2√2)

まだまだ反例があるが

>>720
えっ

>>721
おい、そいつに触れんな

>>716
何この中二病患者がうろ覚えで書いたような問題ｗ

反例１：n=0の時(x,y,z)=(1,1,2)
反例２、３：n=±1の時(x,y,z)=(1,1,2)
反例４：n=1/2の時(x,y,z)=(2,2,2√2)
だった　ｗ

てか、2＜nか。なら、

反例１：(x,y,z)=(0,0,0)とか？ｗ

>>722
お前はこのスレは相応しくないから帰れｗ

反例２：n=3の時(x,y,z)=(1,1,2^(1/3))
とか、他にもたくさんあるｗ

余白が足りない

記号に全角使ってるやつはきもい

記号に \TeX を使わない奴はきもい

もっとわくわくする問題を持って来いよ

1^{2010}+2^{2010}+ \cdots +2010^{2010}を16で割った余りを求めよ

16じゃなくて17のつもりだった

17じゃなくて15のつもりだった

17じゃなくてｎのつもりだった

ｎじゃなくてｐのつもりだった （ｐ：素数）

>>731
　(2m)^{4} ≡ 0,　(mod 16)
　(2m+1)^{4} ≡ 1,　(mod 16)
　(2m+1)^{2010} ≡ (2m+1)^{2006} ≡ ･････ ≡ (2m+1)^{2},　(mod 16)
　(8m±1)^{2010} ≡ 1,　(mod 16)　　…… 252個 + 251個
　(8m±3)^{2010} ≡ 9,　(mod 16)　　…… 251個 * 2
∴　5021 ≡ 13,　(mod 16)

>>732　>>735

フェルマーの小定理より
　a^{p} ≡ a,　(mod p)
　a^{2010} ≡ a^{2010-(p-1)} ≡ a^{2010-2(p-1)} ≡ ……
とくに　a^{2010} ≡ a^{10},　(mod 17)
　(pm±k)^{10} ≡ k^{10},　(mod p)
　(17m)^{10} ≡ 0,　(mod 17)
　(17m±1)^{10} ≡　1,　(mod 17)
　(17m±2)^{10} ≡　4,　(mod 17)
　(17m±3)^{10} ≡　8,　(mod 17)
　(17m±4)^{10} ≡ 16,　(mod 17)
　(17m±5)^{10} ≡　9,　(mod 17)
　(17m±6)^{10} ≡ 15,　(mod 17)
　(17m±7)^{10} ≡　2,　(mod 17)
　(17m±8)^{10} ≡ 13,　(mod 17)
　Σ[k=1,8] (17m+k)^{10} ≡ Σ[k=1,8] (17m-k)^{10} ≡ 0, (mod 17)
∴　(与式) ≡ Σ[1,4] (2006+k)^{10} ≡ Σ[1,4] k^{10} = 1108650 ≡ 12, (mod 17)

>>733-734
オイラーの定理より
　a^{1+φ(n)} ≡ a,　(mod n)
ここに φ(n) は オイラーの totient函数。
　a^{2010} = a^{2010-φ(n)} ≡ a^{2010-2φ(n)} ≡ …… (mod n)
とくに　φ(3･5) = (3-1)(5-1) = 8,
　a^{9} ≡ a,　(mod 15)
　a^{2010} ≡ a^{2002} ≡ …… ≡ a^{2},　(mod 15)
　(nm±k)^{2} ≡ k^{2},　(mod n)
　(15m)^{2} ≡ 0,　(mod 15)
　(15m±1)^{2} ≡　1,　(mod 15)
　(15m±2)^{2} ≡　4,　(mod 15)
　(15m±3)^{2} ≡　9,　(mod 15)
　(15m±4)^{2} ≡　1,　(mod 15)
　(15m±5)^{2} ≡ 10,　(mod 15)
　(15m±6)^{2} ≡　6,　(mod 15)
　(15m±7)^{2} ≡　4,　(mod 15)
　Σ[k=1,7] (15m+k)^{2} ≡ Σ[k=1,7] (15m-k)^{2} ≡ 5, (mod 15)
　Σ[k=1,45] (15m+k)^{2} ≡ 0,　(mod 15)
∴　(与式) = Σ[k=1,30] (1980+k)^{2} ≡ 5*4 ≡ 5, (mod 15)

※ 実は a^{5} ≡ a, (mod 15) が成り立つ。
　a^{5} - a = (a-1)a(a+1)(a^{2} +1) = (a-1)a(a+1){(a-2)(a+2) +5},

>>728
念のためだがそれは>>716にだけ言ってるんだよな？

念のためだが、オレは全角「記号」は＜しか使っておらず、
この「＜」は>>716の文から引用したんだが。
もし全角「数字」使ってるやつがキモイと言うのであれば、
>>728自信もキモイ事になるが。

2以上の自然数はいくつかの自然数の和で表すことができる
2010個の自然数の和で表されるもののうちその約数の個数が最大となるものを求めよ

自分も ＜, ＞ は全角だな
≦, ≧ と <, > を混ぜると気持ち悪い

やっぱり最小のやつで

三角形を2010個の相似な三角形に分割できるか

>>742
2048

素数になるときが約数の個数2個で最小じゃないの？

問題に改良の余地あり
素材は悪くないと思うが
2010個の自然数の和で表される自然数って無数にあるとういか
2010以上の自然数すべてだし
約数の個数って条件じゃ上に制限つかないから
いくらでも大きいものが用意できる

>>743

各辺の中点を結んで4等分する方法だと、△の数が3づつ増える。
2010-1 は 3で割り切れないから、この方法では無理……

各辺を44等分して結べば44^2=1936個に分割できてる
小三角形の3つを選びそれぞれ
各辺の中点を結んで4つに分割
各辺を3等分して9個に分割
各辺を8等分して64個に分割
とすれば元の三角形を1936+64-1+4-1+9-1=2010個に分割できる

>>748
それ相似な図形にならなくね

>>743

まづ、各辺の中点を結んで４つの△に分割し、
ラグランジュの４平方和の定理を使ってさらに分割する方法もある。
（但し n≠1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41, (4^k)*2, (4^k)*6, (4^k)*14）


http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1206257132/67-71
　casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86

http://mathworld.wolfram.com/LagrangesFour-SquareTheorem.html

>>750

辺の2等分をm_2回、辺の3等分をm_3回行うと、△の個数nは
　n = 1 + (2x2-1)m_2 + (3x3-1)m_3 = 1 + 3m_2 + 8m_3,
となる。
∴　n≠ 2,3,5,6,8,11,14 のとき、n個の相似な△に分割できる。

まあ、意匠(デザイン)的には >>750 が優っているが……

西暦の数使う問題って数オリとかだけじゃねぇの？
実際の入試で過去にあった？

結構あったような

>>752
入試問題を探せば無数に見つかる。
東大では2003年の数列のやつとか、2000年の場合の数の問題とか。

毎年出てるもんな

>>752

2010
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265367836/

2009
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1229082448/

正方形（これを素となる正方形と呼ぶ）を組み合わせて、縦と横の長さがそれぞれn（n≧2、n∈N）となり一致するn×nの正方形格子を作る
今、この正方形格子上の路（素となる正方形の一辺）上に、次のルールを満たすように障害物を置いてもよいこととする

１、障害物の置かれた路は通行できない
２、正方形格子上の、どの2×2の正方形格子に関しても、その2×2正方形格子上の路だけを見たときに最も左上にある点と最も右下にある点を繋ぐ経路が存在する

この正方形格子上の路を通って、正方形格子の最も左上にある点と最も右下にある点を繋ぐ経路が存在しないような障害物の配置が可能であるためのnの必要十分条件を述べよ

>>757
nは奇数。

略証：
最も左上の格子点を(0,0)、格子点(x,y)の右隣の格子点を(x+1,y)、
下隣を(x,y+1)と書くことにすると
nが偶数であれば必ず非負整数kについて(2k,2k)から(2k+2,2k+2)へ
移動できる為、nは偶数ではない(必要条件)
nが奇数である時、隣り合う二つの格子点(x,y)、(z,w)間の経路をV(x,y,z,w)と書くことにすると
全ての非負整数kについて、以下の経路に障害物を置いた時グラフは連続でなくなるため
最も左上の格子点からもっども右下の格子点への経路は存在しなくなる；
V(2k,2k,2k+1,2k),V(2k,2k+1,2k+1,2k+1),V(2k+1,2k+1,2k+1,2k+2),V(2k+2,2k+1,2k+2,2k+2)(十分条件)

×連続
○連結

船舶の燃料消費量は、水面に対する速度の3乗に比例するものとして、
速度cで流れる川の流れに逆行して特定の距離を進むとき、燃料消費量が最小となる船舶の水面に対する速度を求めよ。
簡単だけどね。

単位時間の燃料消費量が水面に対する速度の３乗に比例するっていうこと？

作ってみた
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1015434.pdf

サイコロをn回投げて１の目が２回以上連続しない目の出方は何通りあるか。

国なんか運営していると、
人に何かやらせることで頭がいっぱいになってしまうよ。

>>761そうだよ。
>>763
｛(5+3√5)^(n+2)-(5-3√5)^(n+2)｝/120√5*2^(n-1)

国際的な商社のあるリーマンが西回りに世界一周しながらあちこちで3時間ずつ
プレゼンしてきました。全部で10ヶ所でした、かれは超過勤務手当てを何時間分もらえますか？

東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html

任意の正整数はいくつかの異なるフィボナッチ数の和で表せるか

F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_3=2,…のようにF_nを決める。
F_3未満の正整数はF_1=1より表せる。
F_(n-1)未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せると仮定する。
その中のある正整数kについてkはF_(n-1)未満よりF_(n-1)を含まない。
F_(n-1)はそのまま満たす。1≦k≦F_(n-2)-1(k∈N)について
F_(n-1)+kは異なるフィボナッチ数の和で表せる。
またF_(n-1)+F_(n-2)-1=F_n-1よりF_n未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せる。
よって数学的帰納法より任意のnでF_n未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せる。
lim(n→∞)F_n=∞より任意の正正数は異なるフィボナッチ数の和で表せる。

正解

自分が作った解答は

ある正整数kに対して
F_n≦k<F_(n+1)を満たすようにnを定める
F_nを引くと、0≦k-F_n<F_(n+1)-F_n=F_(n-1)
0=k-F_nのとき
k=F_nとなり題意は満たされる
0≠k-F_nのとき
n-1以下の正整数のうち
F_m≦k-F_n<F_(m+1)を満たすmが存在ので
F_m引けば、0≦k-F_n-F_m<F_(m+1)-F_m=F_(m-1)
0=k-F_n-F_mのとき
k=F_n+F_m　⋀　m≠nなので題意は満たされる
0≠k-F_n-F_mのとき
同様の操作を行うことでまた同じ議論をすることになり
有限回の操作で０になることから題意は満たされた　■

三角形ABCの重心，外心，内心および垂心をそれぞれ G，O，I，H とする．
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．

『4点 G，O，I，H のうち任意の2点が一致すれば4点すべてが一致する』

△ABCの内心をI、外心をO、重心をG、垂心をHであるので
↑OH=↑OA+↑OB+↑OC=3↑OGが成り立つ
O＝Hのとき
O＝Gとなり△OAB、△OBC、△OCA がすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる
O＝Gのとき
O＝Hとなり△OAB、△OBC、△OCAがすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる。
O＝Iのとき
△OAB、△OBC、△OCA がすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形。
G＝Hのとき
G＝Oとなり、△OAB、△OBC、△OCAがすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる。
H＝Iのとき
G＝Hとなり、△ＡＢＣ は正三角形となる。
G＝Iのとき
内接円と△ABCとの交点をそれぞれD、E、Fとおけば
△AGD,△CGD,△CGE,△BGE,△BGF,△AGFは全て合同なので △ABCは正三角形となる
従って、任意の2点が一致すれば正三角形になることが示せた
逆を考えれば、正三角形の重心，外心，内心、垂心は全て一致することは明らかなので
題意は満たされた。　

A_n=n^2(n､kは正整数)と定義する
A_n+A_(n+1)=A_kを満たす(n,k)が無限に存在することを示せ

>>772
素晴らしい

n^2+n^2+2n+1=k^2

n^2+n^2+2n+1/k^2=1

n^2+n^2+2n+1-k^2/k^2=0

2n^2+2n+(1-k^2)/k^2=0

D=4-2*4*(1-k^2)
=4-8(1-k^2)
=4-8+8*k^2
=-4+8*k^2
=2*k^2-1

D>0

オイラー線の事実から外心重心垂心はどれか重なれば3つとも重なる。

n^2＋(n＋1)^2＝k^2　…(*)
を満たす自然数(n,k)の組が無限に存在することを示す。

2n^2＋2n＋1＝k^2
4n^2＋4n＋2＝2k^2
(2n＋1)^2＋1＝2k^2
∴ 2x^2−y^2＝1，(x,y)＝(k,2n＋1)

ペル方程式 2x^2−y^2＝1 の自然数解は無数に存在することが
知られている。また、y^2＝2x^2−1≡1 (mod 2) だから、
自然数解(x,y)において、yは必ず奇数になる。
よって、(*)を満たす(k,n)も無限に存在する。

n+1=2ab=ab+ab
n=(a^2-b^2)
k=a^2+b^2
2ab-1=a^2-b^2
(b-a)^2-2b^2=-1
(a+b)^2-2a^2=1
(p+q2^.5)^t
b-a=p
a=q
b=p-q
n=q^2-(p-q)^2

a_1,a_2,...,a_nはそれぞれ整数で総和は1である。
このとき数列(a_1,a_2,...,a_n)および順次左に１つずつ巡回シフトして得られるn種の数列
(a_1,a_2,...,a_n)
(a_2,a_3,...,a_n,a_1)
：
(a_(i+1),a_(i+2),...,a_n,a_1,..,a_(i))
：
(a_n,a_1,...,a_(n-1))
の中にその全ての部分和が正になるものが１つだけ存在することを示せ。
(a_(i+1),a_(i+2),...,a_n,a_1,..,a_i)の部分和とは
a_(i+1)
a_(i+1)+a_(i+2)
：
a_(i+1)+a_(i+2)+...+a_n+a_1+...+a_i
である。

775は不正解
777正解だが拡張ペル方程式は解が存在しないときがあるので　
　　解が無限に存在することを示す必要がある
778は多分不正解
773の続き
B_n=n^3と定義する
B_n+B_(n+1)=A_kとなる(n,k)を全て求めよ
多分超難問だと思う

ペル使うときはペルを証明してないとアウトだな。

文学部出身だけど、なんか、あっさりとけそうでこわいので、途中まで（実質ほとんど？）だけどいちお・・・
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
題意の「ｎ種の数列」として、数列｛a_n｝からシフトして得られるｎ種の数列を考える。
（｛a_n｝の項数が１のときは題意は明らかに成立するので、ｎ≧２として以下考察する。）

与条件より、
{a_n}の各項は整数・・・・�@
Σ{i=1,n}｛a_n｝ = 1・・・・・�A


以下、(a_1,a_2,...,a_n)を数回（または０回）シフトし、初項がa_tとなるもの、つまり、
(a_t,a_(t+1),...,a_(t-1))
を、
『｛a_n｝のｔシフト数列』とよぶこととする。(t=0,1....,n-1）
（また、{｛a_n｝のｔシフト数列』｜t=0,1....,n-1} を総称して、｛a_n｝のシフト数列、とよぶ）

｛a_n｝のシフト数列のうち、全ての部分和が正になるものが複数あると仮定する。
このとき、｛a_n｝の０シフト数列と、ｐシフト数列（ｐはn-1以下の正整数・・・�B）が該当するとして、一般性は失われない。

仮定と�Aより
｛a_n｝の０シフト数列について、
Σ{i=1,p-1}｛a_i｝ = 1 - Σ{i=p,n}｛a_i｝ > 0・・・★

｛a_n｝のｐシフト数列について、
Σ{i=p,n}｛a_i｝> 0・・・☆

★と☆より、
0 < Σ{i=p,n}｛a_i｝ < 1
しかし、これは、�@に反するので、前述の仮定は成立しえない。

ゆえに、｛a_n｝のシフト数列のうち、
部分和が正になるものは、たかだか１つしか存在しない。

アンカー忘れた。

>>779
のとちゅうまでね。かんちがいしてるかな？？

失礼・・・・

日本語が変だった・・・。

＞部分和が正になるものは、たかだか１つしか存在しない。

でなくて・・


｛a_n｝のシフト数列のなかで、
すべての部分和が正となるようなシフト順列は、たかだか１種類しか存在しない。。
（なのであとは存在をしめせばおｋ？）

存在を示すのなら帰納法
n=1のときは明らかに成立
n=kのとき存在を仮定する
n=k+1のとき
a_mとa_(m+1)を足して項数をk個にする
ただし{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}を満たす
この条件を満たすmの存在証明は各項の総和が１であることを利用すれば明らか
すると、この新たにできたk個の項は題の条件を満たしているので 仮定から題意を満たすk種の数列が存在する
条件を満たすようにシフトを行った後a_mとa_(m+1)にばらしても
{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}であるため
題意を満たす よって帰納法により示せた

追加
n=2のときは明らかに成立
n=2だけ
{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}
を満たさない場合があった

難問D#

p,qは
p/q=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…-(1/1318)+(1/1319)
となるような正の整数である。このとき、pが1979で割り切れることを示せ。

難問D#(ただし有名問題)

小さな定規が1つある。
この定規と鉛筆だけを用いて、遠く離れている2点P,Qを結ぶ直線は引けるか。
引ける、引けないにせよ、それを数学的に証明せよ。

あー788は問題としては不適切かな…788はなしで。

n＝1のときは明らかだから、n≧2のときを考える。
簡単のため、数列{a_1,a_2,…,a_n}を周期nの周期数列に拡張する。

S_k＝a_1＋…＋a_k　(k∈N)

と置く。1≦k≦nにおけるS_kの最小値をαとおく。S_n＝1だからα≦1である。
α＝1のときは{a_1,…,a_n}が題意を満たす。
以下、α＜1の場合を考える。1≦k≦nにおいて、S_k＝αを満たすkを考え、
その中でkが最大になるものを i と置く。S_n＝1＞α だからi＜nであり、
S_i＝αであり、i＜k≦nのときはS_k≠αである。次に、

S'_k＝a_{i＋1}＋a_{i＋2}…＋a_{i＋k}　(k∈N)

と置く。1≦k≦nにおいてS'_k≧1が成り立つことを示す。S_i＝αに注意して、

S'_k＝S_{k＋i}−S_i＝S_{k＋i}−α　　　　　　　　　　　(1≦k≦n−i)
S'_k＝S_n−S_i＋S_{k−n＋i}＝1−α＋S_{k−n＋i}　(n−i＜k≦n)

となるから、S'_k≧0 (1≦k≦n−i)及び S'_k≧1 (n−i＜k≦n)が分かる。
あとは、S'_k≧1 (1≦k≦n−i) が示せればよい。つまり、S'_k≠0が言えればよい。
もしS'_k＝0 なるkが1≦k≦n−iの範囲に存在したら、S_{k＋i}＝α, i＜k＋i≦n
ということだから、iの最大性に矛盾する。

>>788
P,Q点に鉛直に鉛筆を立てる。　中間の適当な点を日本の鉛筆の視線がかさなるようにつくる。
適当な数だけこれをつくる。
鉛直は定規で正確にはかること。

787
p/q=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…-(1/1318)+(1/1319)
=1+…+(1/1319)-2((1/2)+(1/4)+…+(1/1318)
={(1/660)+(1/1319)}･･･{(1/989+1/990)}
=1979*k/(660*･･･*1319) kは正整数
1979は素数であり、分母を素因数分解したとき因数全ては1319以下
従ってpは1979で割り切れる　■

各項は全て正整数であり、A_(n+2)=A_(n+1)+A_nで定義された数列について
連続する4つの項の積が面積であるような各辺が整数である直角三角形が存在することを示せ

半径rの球に内接する正十二面体の重心と、中心の距離を求めよ。

１〜１０００万まで足してみな（高校生には簡単すぎかな？）

>>795
50000005000000

ポニャ君がゲームをした。
ゲームは１回ごとに勝つと持ち点に1点追加され、負けると(m-1)点持ち点から引かれる。
ゲームに引き分けは無いものとする。
ポニャ君の開始時の持ち点は0点であり、(mn+1)回ゲームを行った後持ち点は1点であった。
ポニャ君は開始時を除き、ゲーム途中持ち点が0点以下になることはなかったという。
但し、mは1以上の整数、nは0以上の整数とする。

(1)ポニャ君は何勝何敗だったか。
(2)ポニャ君の1回目から(mn+1)回目までの勝敗のパターンは何通り考えられるか。

半径 r の球面に内接するような
サッカーボール（普通の正六角形と正五角形で形成）の体積 V を求めよ。

ボールを計算してあとは相似を使えば厨房の問題

ボールは角錐の計算

Solve for the radius using the formula for the circumference:

Circumference = 2pi(r), where r is the radius
69 = 2pi(r) (divide both sides by 2pi)
69/(2pi) = r
10.98 = r

Volume of sphere = (4/3)pi(r^3)
V = (4/3)pi(10.98^3)
V = 5,544.92 <===

Surface area of sphere = 4pi(r^2)
SA = 4pi(10.98^2)
SA = 1,515.01 <===

http://www.wolframalpha.com/entities/polyhedra/soccer_ball/hr/r9/ct/

>>797は>>779の続きである。just in case.

y=2**x -2x で　y=0　の時のｘを求めるって高校範囲を超えてんの？

BAN回避放送を発見した。
hiwai-heavy-industrialを違反通報してみてくれ

>>804
2^x-2x ？
それなら自明解 x=2 を求めたら、y=2^x と y=2x のグラフを考えればおｋだろ。高校生だと、ここらは厳密に考えなくていいし。

では

2^x＝x^2

は？

>>806
いや厳密じゃなくてもいいけど、高校レベルで解析的に回答に至れるかな？という質問なんです

>>808
実数全域で定義された連続（2回連続的微分可能としてもよい）な凹関数と直線の交点の数を調べてみたらいい。
高校の範囲でも分ることだろう。

x=1とx=2が　2^x=2x　の解になっていることが直ちに分るから、あとは・・・。

>>793
(フィボナッチで試してみる。
1,1,2,3,5,
1,1,2,3→面積6→(3,4,5)の直角三角形 3=1*3, 4=2*(1*2), 5=1^2+2^2
1,2,3,5→面積30→(5,12,13)の直角三角形 5=1*5, 12=2*(2*3), 13=2^2+3^2に気付けということか。)

(A[n]*A[n+3])^2 + (2*A[n+1]*A[n+2])^2 = (A[n+1]^2 + A[n+2]^2)^2　を示す。

a=A[n], b=A[n+1], c=A[n+2], d=A[n+3] とおく。 d=b+c, c=a+b　である。
左辺=(ad)^2 + ((b+c)^2-(b^2 + c^2))^2 = (ad)^2 + (d^2-(b^2+c^2))^2
= (ad)^2 + d^4 -2*d^2*(b^2+c^2) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2+d^2-2*(b^2+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2+(b+c)^2-2*(b^2+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2-(b^2-2*bc+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2-(b-c)^2) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a+b-c)(a-b+c) + (b^2+c^2)^2
= (b^2+c^2)^2 = 右辺
よって示された。

>>810
aとdをbとcで表せばすぐだった。
a=c-b, d=c+b
左辺=(ad)^2 + (2bc)^2
=((c-b)(c+b))^2 + (2bc)^2
=(c^2-b^2)^2 + (2bc)^2
=(b^2 + c^2)^2

442

微分可能な偶関数を微分すれば奇関数になることを示せ

f(x)=f(-x) 両辺微分して f'(x)=-f'(-x)

>>814
見事な攻撃だ、竹ちゃん万

log[e](√2)と1/eの大小を比較せよ。ただし、eは自然対数である。

eは自然対数ってのも変な話だ。揚げ足取りに過ぎんが。

>>816
y=log(x)/xを調べるだけ。
ここは宿題スレになったのかｗ

次の条件によって定められる数列{a_n}の一般項を求めよ。
a_1=1
a_(n+1)=a_n+4|An^2+Bn|

a_n=1+4Σ[k=2,n]|A(k-1)^2+B(k-1)|

AやBって複素数？それとも実数？

実数です。

Σ[k=1,n-1] k*|k - α| を計算するだけの問題。

無理数の平方根は必ず無理数になる事を示せ。（非常に簡単）

最近このスレでの東大レベルの基準がよく分からん
東大の標準レベルでも簡単ってレスがあるんだけど
かなり独創的だったり難問じゃないと駄目なの？

俺にも良く分からんが
>>1を満たせば何でも良いんじゃないか？

高校数学範囲内だと解法が力技onlyってのは関心しないが

１辺の長さが１の正四面体の２つの面の重心を結ぶ直線に関して正四面体を一回転したときの体積を求めなさい。

>>827
宿題かよ。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1281455724/193

次式を示せ。但しxは実数、nは正の整数。
又、[x]はxの整数部分とする。

Σ[k=0,n-1]([x+k/n])=[nx]

また宿題か。昔からある[　]の練習問題。

>>829
とりあえず、
　nx = nq + r + {nx},　q,r:整数、0≦r<n
とおいてみる.

>>827

AB // z, CD // y となるように(x,y,z)軸をとろう。すなわち
　A(-(1/3)√2, 0, 1/2)
　B(-(1/3)√2, 0, -1/2)
　C((1/6)√2, 1/2, 0)
　D((1/6)√2, -1/2, 0)
とする。
　△ACD の重心は (0,0,1/6),
　△BCD の重心は (0,0,-1/6)
　回転軸はz軸
となる。

この正四面体を高さzの平面で切った断面は
　(-(1/3)√2, 0, z)　((1/6 - |z|)√2, ±(1/2 - |z|), z)
を頂点とする二等辺三角形。

　z軸から最も遠い点までの距離をR(z), z軸から最も近い点までの距離をr(z)とすると、
求める回転体の断面積は
　S(z) = π{R(z)^2 - r(z)^2},

求める体積は
　V = ∫[-1/2, 1/2] S(z)dz = 2∫[0, 1/2] S(z)dz,

>>827

0 < |z| < 1/18 のとき、R(z)^2 = 3z^2 -(5/3)|z| +(11/36), r(z) = 0,
1/18 < |z| < 1/6 のとき、R(z)^2 = 2/9, r(z) = 0,
1/6 < |z| < 1/2 のとき、 R(z)^2 = 2/9, r(z) =（|z| - 1/6)√2,

　∫[0, 1/18] S(z)dz = 85π/(8*729),
　∫[1/18, 1/6] S(z)dz = (1/9)(2π/9) = 2π/81,
　∫[1/6, 1/2] S(z)dz = 4π/81,

　V = 2∫[0, 1/2] S(z)dz
　　= 2*{85π/(8*729) + 2π/81 + 4π/81}
　　= 517π/(4*729)
　　= 0.556997051408…

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1206257132/76-77
　casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる