代数的整数論 012

sup {ν_n(f); n = 1, 2, ...} = sup {∫ inf(g, n)f dμ; n = 1, 2, ...}
この右辺は Lebesgueの単調収束定理(過去スレ007の435)より、
∫ gf dμ = ν(f) である。
よって、ν = sup {ν_n; n = 1, 2, ...} である

>>16より、y ∈ B である。
y ≦ x である。
z = x - y とおく。
A = {t ∈ E; 0 ≦ t ≦ na となる整数 n ＞ 0 がある} とおく。
任意の t ∈ A に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。
u ≦ x - y だから u + y ≦ x
s ∈ A; x ≧ s のとき s ≦ y である。
よって、u + s ≦ u + y ≦ x
u ≦ t だから u ∈ A である。
よって、u + s ∈ A
よって、u + s ≦ y である。
左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y
よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。
よって、z ∈ C である。
証明終