1と一緒にラング「解析入門」を読んでいくスレ

解析入門は第3版を使用。

私のレベルは
・ゆとり
・高木の解析概論は数ページで挫折
・生物系だけど数学は好き
・熱力学などでdSとか使って式を立てることに違和感を感じる
　ので、微積をもう一度学ぶことによって違和感を解消したい
・大学で微積、線形代数、ベクトル解析の単位を取ったことは
　あるが昔すぎて殆ど内容は忘れた

よろしくお願いします。

終了

ラングの解析入門を選んだわけは

・説明が適度な量のようだ
・初歩から内容が始まる
・証明がきっちり記載されてそう
・家にたまたまあった
・同氏の書いた「さあ数学しよう」という本が面白かった

という理由です。とりあえずは１日１章を目指します。

>>2
まあま、そう言わずお付き合いくださいな。
一緒に読んでくれたり相談したりする友達いないんですよ…。

今日はとりあえず序文を読みました。

■序
・脚注は全て訳者のものらしい

※xii中段、xiii上段で「詳しくは付録におさめた」と書いてあるけど、その付録が見当たらない。「続・解析入門」のほうに付録はあるのだろうか？
→p.379からの第V章「εとδ」の中に入っていた。

※この本では、テイラーの公式に出てくる剰余項を積分の形にしているとのこと。どこかで"テイラー展開の剰余項は本によって色んな形で記載されているが、積分の形をしているのが本当の形"と書いてあるのを見た記憶がある。

※xiv、xvにて「配列」ではなく「排列」となっている。そういうもの？

※この本、20年くらいずっと第３版のままなんですね。第４版って無いんですね。

(ﾟωﾟ)お断りします

だがことわりゅｗｗｗｗ

■１−１：整数、有理数および実数
※p.2。第３章から読んでも構わないらしい。ま、一応はじめから読んでくけど。

※p.3。「これらの性質の証明は付録の中に」。だから付録はどこにあるの？
→p.379からの第V章「εとδ」の中に入っていた。

・数の導入。

・ルート２が無理数であることの証明。
→奇数の２乗が奇数、偶数の２乗が偶数であることを利用した普通の証明だが、
　結構丁寧に記載してある。

※p.6。「有理数かどうかを決定するのは難しい。」確かに。
　ルート３が無理数であることの証明を考えたが分からない。
　eが無理数という証明も思い付かない。
　テイラー展開するとe=1+1/3!+........。
　右辺は有理数の無限和で表されるのに左辺は無理数なのか。なんか難しいなぁ。

>>1さん
誰もあなたの話を聞いていません。
無意味な連続投稿はサーバーに負荷がかかるので慎んでください。

こんなもん楽勝だろ。一人で読めボケ。

１と一緒に何かをするという趣旨のスレが、その面妖な目的を果たしたことはいまだかつてない

「読んだけどココがわからない」という糞スレでさえ、１が途中で逃亡するのが相場
それにすら劣る、まだ読んでもいない本についての実況など推して知るべし

> ・熱力学などでdSとか使って式を立てることに違和感を感じる

この辺はご同情申し上げるけどねー
そんな本を一から読むのは遠回りすぎる

>>11
そもそもそういうスレって基本的に他力本願だもんな。
やる気がある奴は勝手にやって、分からない所だけ質問しに来る。
みんなで仲良くやりましょうなんて、自分ひとりじゃモチベーションが続かない。
女子中学生が集まって試験勉強するようなノリ。

数学の本を一冊きちんと読めばどこかに書いてあるだろうってのが違うんだよなあ
生物や熱力学でそれなりの演習問題があるだろうから
そっちをやってるうちに納得がいくはずだ

数学の本を一冊きちんと読めばどこかに書いてあるだろうってのも違うし
>>1はその数学の本を一人で1冊読破する事すらままならないだろう。
対人関係が主な文系学問ならともかく、>>1に数学は向いてない。
そもそも学問に向いていない可能性すら否定できないが、生物系で、一応生き物という生身の対象を扱っているのでなんとか続いているんだろう。

>>7
お前は復活しなくてよい

まぁ>>1は気楽に頑張ってください
空気読めない人が削除依頼することはないだろうし

　　( ﾟдﾟ )　だが断る
＿(__つ/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

このスレ自体が釣りだろおい。
ここに書き込んだ奴、ハエ取り紙にやられたなw

■１−２：不等式
※p.7。「POS」って何だ？
　ちょっとググってみたけどpostulate（公準）のことか？

※POS2の前にPOS0「数の一意性」みたいなものを公理として導入すると、
　POS2はPOS0から導かれる定理にならないだろうか？

・POS1とPOS2から不等式の基本定理を証明していた。
　なんか改めてPOS1とPOS2という風に考えるのは不思議な感じがした。
　１が正の数であることを（−１）が正でないこと
　（マイナス１を２回掛けると１になること）によって証明していた。
　「ハァ、そうですか」という感じだったが、確かにこうやって積み上げて
　考えていくとマイナスを掛けると不等号が変わること（p.8）が
　スンナリ納得できた。

・絶対値を導入し、三角不等式を証明。

※絶対値→場合分けや２乗で計算すると良いんですね。

○問題演習開始。いちいち裏を参照するのが面倒なので解答だけ別にコピーをした。

○問題22,23,24は少し考えた。２２のヒントは「(x+y)と(-y)を三角不等式に代入せよ」
　の方が分かりやすいのでは？23は(x-y)と(+y)の代入、
　24は(x-y)と(+y)の22への代入で導出できた。

■１−３：関数
・関数の導入をしている。高校１年くらいの内容かな？
※練習問題６、10→ここでは虚数は考えない前提なのね。

■１−４：べき
・べき乗の導入


第１章はほぼ全て高校範囲だと思う。
この中では、１−２不等式でPOS1、POS2から定
理を証明していったところが面白かった。

>>8
でeのテイラー展開おもきり間違ってもーたｗ
しかもeが無理数の証明は大学受験でそこそこ出題される問題らしい。

>>1
kingなんか放っといて俺とやらないか。
俺のはでかいぜ。

　　　　　　　　　 　 r ―――――-- ､
　　　　　　　　,ィ／￣￣￣￣￣￣￣`ヽヽ､
　　　　 　 ／／__, ィ―――､――､　　　＼ヽ､
　　 　 ∠_／´7 : : : : ィ´ : : : : : : :ﾊ`ヽ､　　＼ ＼
　　　　　/ : : / : : ／ : : ／/ : : /: :! :ヽ :＼　 ヽ　＼
　 　 　 /: : //: : / : : ／: :/: : : ﾉ: : |: : !ヽ: : ヽ ヽ　 ヽ
　　　 /: : : /: : /: :／: : ／: : ／: :i ∧: : :|: :ヽ!　 } /＼ヽ
　　　 ! i : : !: :/: :/: : ／: : ／ィ: : /: : ヽ: :!: : : !　Y_　　ヽヽ
　 　 .!: :| : : !/､_/_／ _ィ／/: : /∧: : : : !: : : : }　|　｀ヽ､ ヽ!
　　　 ! ﾊ: : |.／＞￣／　ノ :入〈　 !: : : : !: : : :! /!　　　 `ヽ!
　　　 |〉､ヽ ! ﾞﾐﾐ三､　 ／／　　`〈__! : : /: : : :ｲ: :!
　　　 | 「ヽ!`ゝ::: 　 　　　　ﾐ､､＿　 〉へ : : :ノ :|: :| 　以下、腐女子のための濃厚なホモスレに移行します
　　　 | | ヽヽ 　::::　 l　　　 ::: `ﾞﾞ=ﾐ/: :／:／ /: ! : !　　皆様、乞うご期待くださいですぅ。。。
　　　 | | ヽ　＼　 　 !ｰｧ　　 :::　／:／／　 /: : |: :|
　　　 ! .＼　　　＼　`´　　　 ,イ⌒ア^〉 　/| : : !: :!
　　 /|　　 }-､,-､__}＞r-ァ´￣　／　/　 /: :! : : |: :!
　／: !　　>-､＿ 7―､`/　　　　　 ノ　 /: : :! : : ヽ:|
/ : : /　 /＼　　/==Y〈`-"⌒ヽ＜　　/ : : : |: : : : :ヽ

■２−１：座標
■２−２：グラフ
・p.27 "非常に大きな負の数"とは|x|が大きいxのことを言う、とのこと。
　こういう言い方、この本だけなのかな？

■２−３：直線
・p.29中段のy=ax+bがy=axを平行移動させた直線だという説明。
　ここの説明文だけだと少し分かりにくかった。
※ここまで練習問題は全て１つ１つ解いてきたけど少し面倒くさくなったｗ。
　なので、問題文を見て解き方が分かる問題はこの節では逐一解くのは止めてしまったｗ

■２−４：２点間の距離
※p.35"座標にマイナスの符号がついている場合にもこの公式が正しいことを確かめよ"
　こういうのをしっかりやる姿勢が好きだ。

■２−５〜２−８：曲線の方程式、円、放物線、双曲線
・いわゆる２次曲線についての解説についての節。
・平方完成をして円やら放物線やらだと示す例題。すっかり忘れてた。
・2-6の4-12の問題では説明抜きで楕円のグラフが出題されている。
※平行移動の一般形y-y0=f(x-x0)という式は提示されていない。

第２章の感想
いわゆる２次曲線なんてスッカリ忘れていたのでいいリハビリになりました
（特に双曲線）。第３章からはいよいよ微分。楽しみです。

king、いや失礼キム愚、弟子が呼んでるぞ。相手してやれよ。

■１−２：不等式
の付記。

>自明として受け入れられる性質を公理（axioms) または共通概念
> (common notions）とよび，要請あるいは仮定されるべき性質を
>公準(postulate)とよんでいる．
ttp://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html#f1
とのこと。ただ、公理と公準をほぼ同じ意味で使う場合もあるらしい。


POS1とPOS2から不等式の定理が証明されていたが、このPOS1+POS2
ではない別のPOSから不等式の理論を組み立てていくのも面白いと思った。
この脳味噌では特に具体的には思い付かないがｗ

１頑張っとるな

■３−１：微分係数
※この段階では微分の公式が導出されてないこともあり、
　練習問題では逐一定義通り微分係数を計算して接線の傾きなどを
　導出することになる（次節３−２でも同様）。
　わざわざ定義通り計算するのが結構新鮮だった。


■３−２：導関数
・p.53"ニュートン商"って言葉、久々に聞きました。

※p.53。"df/dxはdfをdxで割ったものではないし、
　全体として初めて意味を持つ。のちにある状況下では
　ちょうど分数のように扱うことができることを示す"
→うーむ。最初はこんなこと言ってその後に合成関数や逆関数
　では確かに分数のように扱って良いことが示されるが、
　その後は変数分離形あたりで好き勝手にdxdyを使うのが
　高校数学の恐ろしいところだった。
→2chのdxスレなども参照して得た現在の自分のイメージは、
　dxは無限小の大きさを持つ微小な数であり、
　大きさは高次の微小とかdf=2dxなんかで比較できる。
　様々な定理がこういうイメージを持つ事を許している
　…なんてイメージだ。ちなみに微分形式というのは知らない。
　だから今はdf/dxを見ると反射的に
　"dfをdxで割ったもの"って考えちゃっているわ…。

（３−２続き）
・p.55で右微分係数(h>0)と左微分係数(h<0)登場。
　アホなのでh→+0、h→-0よりも、この本のような
　h→0 h>0 とか h→0 h<0 という表記の方が分かりやすくて好きだｗ

・p.56で微分係数の定義を新たに明文化。
　(1) 右、左微分係数がともに存在し
　(2) それらが等しいこと
　結構節末にこの練習問題がある。
　例５、練習問題12〜15が面白かった。

■３−３：極限
・極限の和、差、定数倍、積、商。不等式、はさみうちの性質の記載
・0/0型の極限について。
※この辺りから、３章は相当丁寧に記載されていると思う。

■３−４：べき
・ついにｘのa乗の微分公式登場。
※p.65でしっかりaが負、有理数のときも考えてくれるのが◎。
　"後の章で一般的な結果を証明するため先延ばしにする"、と明言して
　くれているのでスッキリして良い。できれば"○○ページで述べる"
　と記載があればなお良いのだが。
　まぁ、後で出てきたら自分で書きこむようにしよう。

■３−５：和、積、商の導関数
・p.67の連続性の導入部分であまり強調せずに
　微分可能⇒連続　を使っているので少し分かりずらかった。
　（p.68で後ほど示されてはいるのだが。）
　"f(x)が微分可能な関数と仮定すると、p.67の第1行の右辺第2項の
　この部分が確定値をもつと保証されるため、この項はh→0のとき→0になる
　と考えることができる"
　と説明があっても良いかと思う。
　数学の本の著者は私と比べるとみんな明らかに頭が良すぎるため、
　こうしたレベルの違いが数多く出てくる。
　著者の想像を超える馬鹿は自分で相当行間を埋めなければならない…。

・p.68。連続性について詳しく考えるのは先延ばしにする、とのこと。

・p.69　和の導関数を非常に丁寧に説明。そして積の導関数についても同様。
　±f(x)g(x+h)をつけ加えることによって証明。
　これって±f(x)g(x+h)ではなく±f(x+h)g(x)をつけ加えて証明しても良いんだよな多分。
※p.69の下のほうで"積の導関数については、いろいろな試みがなされた後に、
　正しい法則が発見された"とある。今となっては一瞬で導出できるように
　思えるこの証明も、歴史的にはいろいろな試みを経て導出された、ということか。
　和の導関数まで学んで積の導関数をまだ学んでない初学者に
　「積の導関数はどうなるか考えよ」と問うたら、一体どれだけの人が
　積の導関数の公式を導出できるのか、気になるところだ。

（３−５続き）
・商の微分法についても、式変形を含めて丁寧に証明してあった。
　その後すぐに具体例で説明してくれる。分かりやすい。
※p.72　８行目からの４行（商の微分公式の記憶法の部分）は
　英語で何と書いてあったのか気になるなぁ。


■３−６：合成微分律
※私にとってはこの法則の証明部分が第３章のキモであった。

・p.75でこの本では初めてsin, cos, log, expが登場。
　読み方をしっかり記載してくれているのが嬉しい。
　私が精神的ヒキコモリだった高校１年時分、数学を先取りして
　独習しててlog abの読み方が分からず数ヶ月もどかしい思いをした
　苦い経験があるので。

・p.77　"この一般法則（注：合成関数の微分）も施行錯誤を
　繰り返したのちに発見されたものである"
→積の微分と同じように、これもそうなのか。合成微分律の証明を初めて
　見たときは何だか騙されているような気がしたものだが。

（３−６続き）
・アホなのでchain ruleの証明を自分でh→Δx、k→Δgと置き換えて
　考えると分かりやすかったｗ

・h→0のときk→0になる、というのはg(x)が微分可能なので保証される、
　ということで良いのですね？

・p.78でk=0の場合も考えて証明してくれてるのがとても良かった。

・p.78の証明部分(k=0の場合も考えた証明)をしっかりと理解するのに
　１時間はかかった（今でも理解したかは疑問だが、少なくとも自分なりに
　納得はできて、自分で何も見ずに証明できるようにはなった）。
　１読目は確かに１つ１つ追っていくと論理に破綻はないが証明法がやたら
　技巧的な気がして、自分で導出するのは難しく感じた。

　その後、自分なりに考えた証明のポイントとしては、
　(i) 私レベルの脳だと途中でこんがらがってlim k→0としてしまうが、
　　　あくまでlim h→0 ベースで考える。
　(ii) 証明の自然な流れはp.78の下４行目から。(i)にある通り、
　　　lim h→0(k→0でない)で分母もｈである(kでない)ことに留意。
　　　h→0で考えるかk→0なのかしっかり区別する。
　(ii) k=0になるといけない→分母にｋが出てくるとマズいため、
　　　p.78中段あたりのようにφ(k)を導入しておいて（ここがキモか）、
　　　1/kを使うことなくf(u+k)-f(u)を変形することに成功する。
　　　（f'(k)=…という形に慣れているので、φ(k)の導入は
　　　　f'(k)=f(u+k)-f(u)/k　+φ(k)という形でも良）

ラング「解析入門」ってレベル的にはどうなの？
解析概論ぐらい？
見たこと無いんで分らないんだけど。

（３−６続き）
・p.81 問37,問38。この本で初めて練習問題　間違ってしもーた。

・自分の場合、1/e^xの微分は何も考えずに自動的に -e^(-x) と解いていた。
　考えてみるとこれは　{f(ax+b)}'= a f(ax+b) で、
　これはラングの本では定理としては提示されていない。
　p.81 問39は一瞬間違った答えを出してしまったか？と
　思ってしまう答えの記載になっていた。

・p.81 問40 "休め"　ｗ

■３−７：高次導関数
・p.82 第80次導関数とか100次導関数を導出させる問題は面白いが、
　問10から唐突に答えが記載されていない。
　問10:-cos x, 問11:sin x, 問12:cos x で良いのだろうか。
　４回微分すると元通り、を使った。

■３−８：変化率
・例2-4など、問題が具体的で面白くなってきた。

第３章の感想
導関数が計算でき変化率を求められるようになりテンションあげあげ。
合成微分律の証明のところで無い脳味噌を使いました。
この章はとても丁寧に書かれていると感じました。

>>34
第３章までしか読んでませんが、いまのところまだ高校レベルです。

「続・解析入門」も読むつもりですが、「解析入門」では目次を見る限り
ε-δ、テイラー展開、偏微分くらいまでしか扱ってません（重積分なし）。

解析概論よりずっと易しいです。

>>36
レスサンクス。

なるほど。
可能な限りこのスレを続けてくれ。

■第3章、終わりの章末問題
・p.84 練習問題1-(c) 。やられた！加速度a=6tなので　
　条件a=-5となる時刻はt=-5/6、と解いたら"定義されない"だと。そりゃそーだｗ

・p.85"立方体の稜〜"　稜って意味が分からなかったけど一辺ってことなんですね？
　そう仮定して計算すると答えが合っていたので良いみたいだ。

・p.88 問1 y=4tの場合、問題文通りに解けばdx/dt=±1ではなかろうか？
　（答えは+1のみになっている）。答えが1のみの場合には、
　問題文に(x>0)という但し書きが必要ではなかろうか。

・p.88 問2　"直角三角形の側辺"という言葉、初めて聞きました。
　答えが載っていないが、１で良いのだろうか？
　（x=8-t,y=6+2t,S=xy/2で両辺をtで微分した）

・問４も答え記載ないが　16/5 m/secで良いのだろうか。
　y=(289-x^2)^(1/2)をtで微分した。

（第３章、章末問題の続き）
・p.88 問5は長く考えたが、貯まった水の深さをxとするとV=125x^2/2、
　これをtで微分すると答えが出た。

・p.88 問6は深さhだけ水が貯まっているとすると、水が貯まった円錐部分の
　半径r'=2h/5、ゆえに水部分の体積Ｖ＝2・2・πh^3/3・5・5
　これをtで微分して、結局答えは5/4π

・p.88 問８の答えは（５、−５）

・p.88 問10は駅の位置を原点とし、第2列車が出発してからの時間をtとすると
　列車間の距離は2点（0,100+50t）（60t,0）間の距離となるから、
　この距離を時間で微分し、答えは結局10/ルート(1549)

※練習問題の答えの記載が飛び飛びになっており、
　せっかく計算しても正しいか確認できないのがつらい…。
　ネット上に落ちてないかしら（ちょっと探した限りでは落ちていない）。

>>1よ、老婆心ながらアドバイスしよう。
今のままだと、ただの独白になっていて、誰も入り込んでいけないぞ。
スレを見てもらえばいいのかもしれないが、参加していても楽しくない。
もう少し読者と接点を持てるよう努力をしてみたらどうだろうか。

>>40
たとえば？

>>40
妙案が思い付きませんが、とりあえず本の終わりに答えが載っていない
演習問題の解答をこれからはもっと載せてみることにします。


p.88の問題は結構ボリュームがあって時間がかかってしまった。
常々思うのだが、問題全てにしっかり詳解をつけて、さらに
解き方のポイントや考え方の流れを丁寧に記載してる本にしたら
もっと分かりやすいし、売れて儲かると思うのだが。
なんで殆どの本は（酷いものは演習書なのに）略解どまりにしているのだろう？


■４−１：正弦関数および余弦関数
・p.89 "角の場合はsine,cosine　数の場合はsin cosを用いている"
　この表記法というか区別は初めてみたが欧米では一般的なのだろうか？

※てゆーかsineだと死ね、cosineだとこう死ねだなｗ
※そもそも何で正弦とか余弦て言うのだろうか。何か正しかったり余ったり
　するのだろうか。確かに余弦定理でのcosの項は余っている感じがしたが。
　英語でsinと書くのはsin（罪）とは関係あるのか？
→ググったら色々でてきました。
　ttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa2677162.html

（４−１の続き）
・p.89 sin, cosの定義。私の中でsin, cosの定義は
　単位円上のx座標、y座標…と刷り込まれているが
　ここでの定義は原点からの距離rを用いた定義になっている。

・そしてp.90でsinやcosの値が"座標のとり方に関係しない"
　ことがしっかり証明されている。
　単位円での定義で考えると、単位円ではなく半径rの円で考えても
　sinx,cosxの値が一つに定まる保証、でしょうか。

・p.90"平角"って聞きなれないので一瞬何かと思った。180度のことですね。

・p.91〜ラジアン導入は割とあっさり記載されている。
　角度にπを使う考え方は、はじめて見たとき「何だコリャ！」って
　凄く変な感じがした。で、l=rθ（本書ではこの場面では記載なし）
　や(sinx)'=cosxを使って「ああ便利だな」と思って慣れていったものだ。

（４−１の続き）
・p.92 cosA=sin(A+π/2）を平面幾何学の定理を用いて証明せよ、と。
　三角関数の定理の証明を平面幾何を使って行う場面でいつも思うのだが、
　どうも任意のAについて証明せねばならぬのに、Aを0<A<π/2のみ考えて証明して
　「あとは自分でやっといて」とお茶を濁している本が多い気がする。
　平面幾何を使う場合は三角形を作って証明することが多いため、こうした場合
　私が考える証明の手順としては
　(i)まずは0<A<2πの範囲内で
　　0<A<π/2、π/2<A<π、π<A<3π/2、3π/2<A<2π
　　４つの場合について各々正しいことを証明する。
　　４つに分ける必要があるのは、各々の象限でsinA,cosAの符号が変わるから。
　(ii)三角形を作らない場合：A=nπ/2（n=0,1,2,3)について
　　これも４つの場合各々について証明する。
　(iii)Ａ>2πの場合。sin(2π＋A)＝sinAなどを用いて証明。
　(iV)Ａが負の場合。sin(-A)=sinAを用いて証明。
　…と、少なくとも(i)〜(iv)のプロセス全てが必要な気がする。
　この考えは正しいだろうか？もっと上手い方法があるのだろうか？
→「三角形」なんて面倒なものを考えずに証明できる加法定理を先に
　証明してしまえば、加法定理を用いてcosA=sin(A+π/2）の類は
　あっさり証明できるな。あとy＝sinx、cosxのグラフの平行移動を
　考えても直感的に理解できる。

■４−２：グラフ
・p.96 グラフを書く問題。e(y-c)=f{a(x-b)}がy=f(x)のグラフを
　x軸方向にb,y軸方向にcだけ平行移動させて
　x軸方向にa,y軸方向にeだけ拡大（縮小）させたもの、というのを
　利用して解くと良い気がする。

・p.96の問6〜10は微分可能や連続の問題で頻出するx^n・sin(1/x)パターン。

1さんがんばってらっしゃて、すごくいいことだと思って、感心してます。
Google bookで原著の5版みたいなの見つけたので、よかったら参考までに。
↓のプレビューではところどころのページが見れませんけど。違う本だったらゴメンナサイ。

Serge Lang「A first course in calculus」
http://books.google.co.jp/books?id=xNipwIAOq2EC

>>45
ありがとうございます。
話題の進め方や不等式のPOS1,POS2の考え方なんかは確かにこの本ですね。
和訳は第３版の和訳しか出ていないようです。


■４−３：加法定理
・p.98-加法定理の証明。単位円上の2点間の距離が
　角度α＋β、角度(−α)＋β両方で考えて等しいことから証明。
　三角形云々を考えなくても良いうまい証明だなー。

　後にオイラーの公式を利用して
　e^(α＋β）＝e^α・e^β
　両辺をe^θ=cosθ＋isinθを利用して解いて実部と虚部を比較して
　加法定理が得られて「これは使える！」と思ったものだが、
　この証明が循環論法になっていないか不安はある。
　要はオイラーの公式を導く際に加法定理を使ってないか、だが
　多分使ってないような気はする。

・p.100の問１sin(7π/12)なんかは受験の頃ルート6±ルート2/2として
　いつの間にか暗記していた値だ。懐かしいｗ

・sin(π/6)＝ルート1/2、sin(π/4)＝ルート2/2、sin(π/3)＝ルート3/2
　として計算すると練習問題3の答えは約分が楽で良いと思う。

■４−４：導関数
・答え載ってない問題の解答など。問16（単なる接線の問題）
　(b)y=-x/2+　(π+6ルート3)/12、(d)y=6x+　(2-3π)/2
　(f)y=ルート2*x+　(4-π)ルート2/4、(h)存在しない？
　(j)6y=-(ルート3)πｘ＋3＋(ルート3)π
　(l)3(ルート3)y=4(ルート3)πｘ-2(ルート3)π/3　+3
・問17(a)y=12tanθをtで微分。(b)z=10(ルート2)/sinθをtで微分。
　　　(c)x=2cosθをtで微分。x=1よりθ=π/3。
・問18：θ＝π/6あるいは5π/6地点でのdy/dtを求める。y=25sinθ。
　　　観覧車の下端は地上５mの位置。
・問19：y=300tanθ、dy/dt=90/(cosθ)^2であとは計算するだけ。

■４−５：２つの基本的な極限
・h→0のときのlim(sinh/h)、lim(1-cosh)/hの導出。
　まずh>0として2つの三角形、1つの扇型の面積をはさみ打ちしてsinの式を証明。
　cosの式は1+coshを掛ける変形をしてsinの式にして証明。
　h<0のときはsinが奇関数なのを利用して証明。
　以上、理解しやすいがなかなか自分では思い付かない証明だなぁ（特に最初のとこ）

第４章の感想
・全部高校レベルでした。
　第2章の感想と同じく、ああ復習したなという感想ｗ

　次の章は平均値の定理になります。平均値の定理といえばイメージするのは
・計算問題ではあまり役に立ったことはない
・f'(x)>0ならその区域でf(x)は増加することを証明する際に使う定理
くらいですが、なんか第５章は23ページあります。

■５−１：最大点と最小点の定理

・p.110 "臨界点"という言葉は初めて聞いた。
※p.113 cで極大(小)→f'(c)=0の証明は左右の微分係数が等しいことを利用している。
　この証明で等号をつけるかつけないか、等号の扱いが気になった。
　p.113 一番下の式から等号が【さりげなく】つけられていて、これが最後に
　利用されることになる。(f'(c)≦0、f'(c)≧0、ゆえにf'(c)=0)
　ただ、初めの段階ではf(c+h)-f(c)<0のように等号なしでも良いわけで、
　lim(ｈ→0)を考えた時点で等号を考えてもいい…と思う。
　このあたり、直感的には理解できるが考えの進め方にやや飛躍があるように感じた

■５−２：平均値の定理
・"直感的には明らかであるので証明は省略しても良い"とのこと。
　それでもしっかり証明を書いてくれてるところに好感が持てる。
※ロルの定理の証明はほとんど直感のままのように思えた。
　一方、平均値の定理の証明はロルの定理をうまく利用し、
　f(x)と{f(x)の端点を結んだ直線}との差を使って証明していた。納得できた。

※p.119　"平均値の定理の有効性は、理論的考察への応用にあり、
　　　　　cの値をはっきり定めることは、それほど意味がない"
→はじめて平均値の定理を見たときは、こんな自明みたいな定理に
　何の意味があるのか訝しく思ったのを思い出した。
　確かに「平均値の定理を満たすcの値を求めよ」という演習問題を見たことないな。

■５−３：増加・減少関数
・p.120 "強い意味で増加＝強増加"という言葉は初めて聞いた。

・p.121 "f'(x)>0であればその区間は単調増加"であることの証明。
　平均値の定理を使うのがポイントなのですね？
　この証明は大学受験の問題でも見かけるが、いざ証明しろと言われると
　普段当たり前のように利用している事項にもかかわらず手が止まってしまう。
　平均値の定理を使うことを思い出すのはなかなか難しいと思う。

・p.123の例3、p.128の問26,問27は
　初等幾何の問題を微積で問く良い問題だと思った。
　微分を使えるようになると、こういう興味深い問題をそれほど頭を使わず
　（ひらめきを使わず）に解けて良いのう。微積のありがたみが分かります。

・p.124下の段落とp.125例7。関数間の不等式を証明する手法。
　こんなの忘れてました。アホなのでいちいち
　h(x)=g(x)-f(x)の形にした方が分かりやすいｗ

・p.127問11は（本中では明言されてないが）マクローリン展開の形キタコレ

（ここまで律儀に節末問題、章末問題を解いてきたが、
　５−３の章末問題を解くのは後回しにする。
　詳解のついている演習書を用いた方が自分好みのため。）

>>50
で言及した p.128の問26,問27
>初等幾何の問題を微積で問く良い問題だと思った

「与えられた面積をもつすべての三角形のうちで、正三角形が
　最小の周をもつことを示せ。」
「与えられた周長をもつすべての三角形のうちで、正三角形が
　最大の面積をもつことを示せ。」

エラそうなこと書いてしまいましたが、簡単には解けませんでしたｗｗｗ
てか、ここで議論されてた問題でした。
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/

■６−１：xが大きくなるときの様子
・第6章は「グラフを書こう」という章（だと思う）。
　
・p.134例1で、δを使った不等式がやや唐突に出てきた。
　この節では例1でしかこの考えは出てきてないので、
　言ってることは分かるがやや消化不良。

・p.136でlim(x→∞),lim(x→-∞)の表記が初めて登場。
・p.136の問7,9は多項式の商の極限の練習問題。
　最大次数で分子・分母を割ることで極限を判別する問題（よく見かける）だが、
　面倒くさがって直感で解こうとしたら間違った。
　ともに(分子の次数)＞(分母の次数)で分子の最大次数が偶数の問題のため
　x→-∞のときは極限値は+∞になると考えたのだが、それは間違いだった。
　きちんと最大次数で分子・分母を割ってから考えなければダメだった。

何章まであるんだっけ？

20章までです。

■６−２：曲線をえがくこと
・p.133にあるポイント1-7(8)を逐一使用して各関数のグラフを
　求めている。分かりやすい。
　特に不連続点近傍、x→±∞時の議論が丁寧（ポイントの6,7）

■６−３：凸関数
・上に凸、下に凸の直感的定義（p.142 line6)と
　数式を用いた定義（p.144の*)の紹介。

・平均値の定理を用いた凸関数の定理の証明。
　p.145の定理１の証明のポイントはcとx（←！）に平均値の定理を
　使うということか。だから証明の初めのところでc,dと２つの数を
　予め用意してある。
　x<cとc<xで場合分けしてきちんと証明するのもポイントか。

・p.147定理３は直線の方程式を0<t,s<1としてt,(1-t)やs,tで
　表示して下に凸を表したもの。ただそれだけだと思う。
　この表記法を見るのは久しぶりすぎて少し面食らった。

■６−４：極座標
※私の世代は高校で極座標を殆ど習わなかった世代なので、ここからは新鮮だ。

・p.149の例題について、θ＝π/3ではなくてπ/3+2nπではないか？と思ったら
　p.149 "同一の点に対して、多くの極座標が存在することに注意しよう"
　p.150 "実際には0と2πとの間に制限した角の値を用いることが多い"
　とフォローされていた。

・p.150 r=sinθ（0<=θ<=π）のグラフを書く例題。
　中段に早々と円のグラフが表示されているため、
　この段階で円だと分かるのか？と焦ったが
　結局直交座標に変換して円の方程式が導出されていた。

　r=sinθ上の点ならば(0,1/2)中心でr=1/2の円上の点になると証明されたが、
　逆に円上の点ならば全てr=sinθ（0<=θ<=π）で表せられるか、という
　逆の議論がもう少し必要なのではないか？と感じた。
　もしθの定義域が0〜πでなく0〜π/2とかだったらどうすんの？と。
　自分で手を動かしてみたけどよくワカンネｗ

■６−４：極座標つづき
・p.152 直線の傾きがtanθなんて忘れてたｗ
　そしてθ＝１の極方程式を直交座標で表示すると
　y=(tan1)x (x>=0) 。
　なる半直線。この x>=0 はうっかり忘れちゃいそうだなー。

・p.152下〜p.153下。
　p.153 "(rが)負になる可能性について注意しなければならない"
　"r<0となるところでは点は表れないのである"
　ラング流の扱いでは、r<0のときはlogxのxを(x>0)とするように
　考えないようにする、とのこと。

※極方程式って慣れないし難しいですね。
　r=sinθやr=1+sinθ、r=1+2sinθって少し違うだけでも
　全然形が違ってくるのが難しいし面白い。

※r=f(θ)の場合、θを動的に動かしていく感覚で考えると
　分かりやすいように思えた。自分の場合。

■６−５：パラメーター表示による曲線
※まずい、詰まってしまった。
　p.157 単位円を　t=y/(x+1)で表示する
　という例なのですが。

　tがtan(θ/2)に等しいということを第1象限の(x,y)について
　図を書いて幾何学的に正しいとサラリと言及していたので、
この説明だけでは物足りなさを感じ、
　自分で何象限でも正しいことを一般的に証明しようとしたのです。
　見事に詰まりました。

　tan(θ/2)=Bと置いて。便宜的にtanθ≠0,x≠0,y≠0として。
　B=tan(θ−θ/2)=tanθ-B/(1+Btanθ)
　これはBについての2次方程式なのでBについて解くと
　tanθ=y/xを代入して　B=（-x±1）/y　←変な答えになってもーた。

　どこで間違ってしまったのか。ワカンネーす。

B=tan(θ-(θ/2))= (tanθ-B)/(1+Btanθ)で、
B^2 tanθ+2B -tanθ=0より、B=-(1/tanθ)±(1/sinθ)
だけど何がしたいか分からん。x^2+y^2=1でt=y/(x+1)なら、
x=(-t^2±1)/(t^2+1), y=2t/(t^2+1)か0と書けて、t=tan(θ/2)で
一般的なx=cosθ, y=sinθの媒介変数表示になる。円周角なので

>>59
アドバイスありがとうございます。

>何がしたいか分からん。
僕がしたかったのは、tan(θ/2)が本当にy/(x+1)という形で
書けるのかを証明することです。

B^2 tanθ+2B -tanθ=0　
解の公式を使って　B=-(1/tanθ)±(1/sinθ)
までは僕もきました。

Bの式にtanθ=y/x、sinθ=yを代入すると、
B=（-x±1）/y　になってy/(x+1)にならないので
おかしいなぁー？？？と悩んでいたのです。

ここではtan(θ/2)=y/(x+1)が正しいと仮定して読み進めてみる。
p.156の例2の言わんとしてることは分かるし直感的には正しそうだ。
そもそもsinθやcosθの関数をtan(θ/2)で表して積分する、というのは
1つのパターン問題でもあったと思う。

しかしこの例2、どうにも「完全には」スッキリしない。それは
"逆に任意のtの値からxおよびyが得られることが分かった"
という部分が本の説明だけでは私にはしっくりこないからだ。

円周上の点が全て(x≠1) x=(1-t^2)/(1+t^2)、y=2t/(1+t^2)
という形で表せるというのは納得できた。しかし
逆にこの式を満たす点が全て円周上におさまるというのは自明なのだろうか？
式変形をみていくと全て同値な変形をしているので問題ないようにも思うが、
ことパラメーターという新しい変数(t)を導入していても本当に「同値」なのか
（各変数の変化範囲は問題ないのか。−∞〜ｔ〜＋∞という範囲内でｔを定義
　すると良いという保証は？？？？？tが0〜＋∞と定義してはダメな理由は？
　tが-∞〜＋∞で定義すると、例えば過不足のうち「過」にならないか？などを
　しっかり説明してもらわないと私の脳レベルでは理解できないｗ）が不安になる。
これは極座標(6-4)のp.150の例題で感じたモヤモヤと一緒だ。

なので、実際に自分でtを動かしたときのx,yの挙動を計算してみた。
x=(1-t^2)/(1+t^2)、y=2t/(1+t^2)
　　　t　　　x　　　y
　　−∞　　−１　　０
　　−１　　　０　−１
　　　０　　　１　　０
　　　１　　　０　　１
　　＋∞　　−１　　０
確かにtを−∞〜＋∞まで動かしてもx,yともに
・-1から1までをカバーしているし
・-1から1以外の数値はとっていない
ので、端点だけを考えると確かに円周上の点をカバーしているように思える。

しかし、これはあくまで直感的なものなので、もっと否応無く
（私でも納得できるような）考え方なり証明なりがないだろうか…。

まー、文章力がないので私が何に納得できていないか
他のヒトにはどうも伝わらないと思いますが…。


お次の第７章は逆関数か！
これ、xとyを取り替えたりして？？？になったなー。

６章、まだ残りがあったｗ

・p.158 例３の逆条件の説明はしっくりくる。

・p.159 問10：フェルマーの予想（だっけ？）キタコレ。
　この本が出された段階ではこれがまだ解かれてなかったんだね。

>>60 B=tan(θ/2)なら、tanθ=2B/(1-B^2)=y/x, cosθ=±(1-B^2)/(1+B^2)=±x, sinθ=±2B/(1+B^2)=±y
であることが使えて、1=(cosθ)^2+(sinθ)^2=x^2+y^2から、(1-x)(1+x)=y^2 つまり (1-x)/y=y/(1+x)も言える。
よって、B=-(1/tanθ)±(1/sinθ)=（-x+1）/y=y/(x+1)。でどうでしょうか？

>>62 x=(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2)なら、1+x=2/(1+t^2), y/(1+x)=tであるため、
y=2y(1+x)/((1+x)^2+y^2), (1+x)^2+y^2=2(1+x)から、x^2+y^2=1。でどうでしょうか？

俺が何がしたいか分からんくなってた、スレ汚しスマソ。がんがれーage

>>64さん
考えるヒントになりました。ありがとうございます。
59さんが書いてくれた通りに考えたわけではないのですが、
自分なりに考えて、

・上の段落については、
　x^2+y^2=1　という条件下では
　（-x+1）/y=y/(x+1)　を満たす
　（↑この式を変形をしてったら確かにx^2+y^2=1になる）
　ということで解決しますた。

・下の段落については
　x=(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2)
　x^2+y^2を作ってtを代入すると（分母）＝（分子）＝t^4+2t^2+1
　になって確かに１になることから解決しますた。

続・解析概論も買ったど

真剣に読めば一週間で２冊とも消化できる。

679

age

第７章：逆関数
・私にとっては恐怖の逆関数。
・y=f(x), x=g(y)あたりの議論は良いが、
　いつの間にかy=g(x)のようにgとfが入れ替わっていたり、
　dy/dxで表しているものが"y=f(x),x=g(y)系"でのものなのか、
　"y=g(x)系"でのものだったか分からなくなってしまったり、
　私にとっては苦手意識のある逆関数の章です。


■7-1：逆関数の定義
・y=f(x)があってxとyが1:1対応していればx=g(y)。ok。
・p.161"基本的な2つの関係f(g(y))=y, g(f(x))=xが成立する"
　これもok。
・1:1というのが重要なのか、ここからp.162中間値の定理が登場。
　"証明は付録で与える"→その付録がどこなのか見つからないぞｗ
　中間値の定理って当たり前すぎて証明が難しくないか？

（7-1続き）
・p.163"逆関数のグラフを視覚的にとらえることはやさしい。
　45度線に関してy=f(x)のグラフをおり返したものがx=g(y)のグラフを
　与えているのである。"
　"x=g(y)のグラフのほうは、y軸を水平軸、x軸を垂直軸としてかかれ
　ている。x軸、y軸のふつうの位置に関していえば、この図でx=g(y)
　のグラフとなっているのはy=g(x)のグラフである。"
→ここまでは納得。ここまで文字で説明してくれたら混乱しないぜ！
　y=f(x)←→x=g(y)のグラフは当然同じもので、45度でおり返して
　重なるものはy=f(x)とy=g(x)ってことね。

・ここから暫くは1:1でない関数の場合、逆関数をどう定義するのか
　→1:1となるよう値を区切れば良い、という話へ。無問題。

・p.166"多くの場合、このような逆関数の形を具体的に書き表す
　ことはできない。"ok。

（7-1続き）
・中間値の定理の証明はp.397の「εとδ」の場所に載っていた。
　付録が結構長いので場所を見つけるの大変だ。

・さてさて、次の節はいよいよ逆関数の導関数です。
　dy/dxがy=f(x)のものかy=g(x)のものか混乱しなきゃいいなぁ。
　横にdy/dx(g)とかって書いてくれてたら良いのに。

> dy/dx(g)

これじゃあgは変数になってしまう。

>>72
そんなに自分の中で問題意識がはっきりしているのなら、
テキストの内容をノートに写経するつもりで、
df(x)/dxやdg(x)/dxのように函数を明示したものに書き換えて
ついでに行間も埋めたりして、まるまる書き出してみればいいんじゃないの？
そしたら、できあがったものを再度読みこなせば混乱は解消してるはずでしょ。

>>41
現状だと独り言・感想交じりの簡単なまとめで読者が内容にあまり触れられないので、
セミナー発表用のレジュメ書くくらいのもう少し纏まった分量の文章で
もう少し明確な形でのまとめが書かれるとよいのではないか。
まとめと感想は別に分けたほうがフレンドリーだと思う。

> もう少し明確な形でのまとめ

というか、本文の要約

>>74
レスありがとうございます。
ですね。混乱しそうになったら、そうします。

>>75
問題は、僕が数学のセミナーやゼミというのに一度も出たことがないので、
どういうレジュメが普通なのか全く分からないところですね…。
講義であれば一般教養時代に微積、線型代数、物理数学あたりは
出たことあるんですが。

>>77
> どういうレジュメが普通なのか全く分からないところですね…。

大雑把に言って>>74の言ってるみたいなもん。
他人が読むこと前提の自分ノート・自分教科書とでもいえばいいだろうか。
まあ掲示板に書くものとしては大袈裟過ぎるかもしれないけど。

極端な例が「代数的整数論」スレのKummerがやってるみたいな感じのこと。
あくまでも極端な例だけどね。

ま、気が向いたら考慮してやってください。気にしすぎる必要はないですから。

三十代のおっさんがこのスレに興味を持ちました
僕もこの本を使って数学を勉強してみよう
因みに文系卒ｗ

とりあえず第7章の内容はほぼこれまで通りに記載することにします。
第8章から少しずつ変えていこうと思います。

・の先が本にあった記載項目。
"　"内は本からの抜粋部分。
→の先は1の感想。

■7-2：逆関数の導関数
(まとめ)逆関数の導関数を導出するだけの節です。
------------------------------------------------
・p.166"与えられた関数の導関数を、もとの関数の導関数を用いて
　表すために次の定理がある。g'(y)=1/f'(x) "

・ここから1ページに渡って上記の定理の証明が記載されている。
　（p.169にはより洗練された別の証明も記載されている）
　証明法は、y=f(x) (x=g(y)) 上の近傍の2点(x,y)(x+h,y+k)を考え、
　ニュートン商から証明する方法だ。
　利用するもの：h=g(y+k)-g(y), k=f(x+h)-f(x)
　ここから素直にニュートン商を計算し、もとの関数の導関数を利用するために
　k,g(y)をそれぞれf(x),hで表して証明終了している。
→この証明で少し引っかかった点がある。それは…
　p.167 "hが0に近づくとき、kも0に近づく。逆にkを0に近づければ
　hも0に近づく" ため、lim(k→0)式=lim(h→0)式として式が進んでいる点だ。
　これって良いんだろうか…。本当に証明になってるのかな？
　例えばh=ak^2とかhとkの次数が違ったりh=2kとかならオカシイ事になる
　可能性はないか？
　まぁ直感的には上記の証明法でも良い気はするが…。
　(って、実際p.168の脚注に"ここの説明は少し簡単すぎるが直感的に明らか"とある）。
→この証明であれば、Δy/Δx=1/(Δx/Δy)としてサクっと証明してしまうのも大差ない
　ような気がした。

■7-2続き
・p.168　g'(y0)=1/f'(x0)を利用する例題。
→予めy0に対応するx0の値を導いておく必要があるので少し面倒だｗ

・p.168　"ここで導関数g'(y)は変数xを用いて表されており、yを用いた
　式ではないことに気をつけて欲しい"
→上の項目でも書きましたが、変数が変わってしまっているから計算が
　面倒なのですね。後述の逆三角関数ではg'(y)がxではなくyで表す
　ことができているので、計算がワンステップ不要でやりやすい！

・p.169　合成微分律を用いた逆関数の導関数の証明。
→より洗練された証明の記載。
　本によってはこの証明だけを載せていることもある。
　これまでは「y=f(x)をxについて微分」という形ばかりだったため、
　「f(y)=g(y)の両辺をyについて微分」という操作がここで初めて出てきて
　違和感を感じてしまう。そんな操作をして本当に良いんだろうか、と。
　まぁ良いとは思うんだけどね…。

■７−３：逆正弦関数、７−４：逆正接関数
（まとめ）逆三角関数の定義の後、その性質の記載、導関数の導出の節。
-----------------------------------------------------------
→何で逆三角関数なるケッタイなものを考えるのか最初よく分からなかったが、
　節末の練習問題を解くと確かに知ってると便利だなーと感じた。
　また、この導関数の公式は積分のときに相当役立つらしい

・p.171 にx=Arcsiny のグラフが書かれている。
　"ここで、横軸を同時にx軸、y軸とよぶことはできない"
→即ち、グラフ左右にy軸、上下にx軸なことに注意したい。
　逆関数をx=g(y)のまま考えていて、安易にxとyを入れ替えて
　ない所が私にとっては分かり易かった。

・p.172"これで導関数をyだけを用いて表すことができた。"
→だから逆三角関数の導関数は計算しやすいんですね？

・p.176の気球の例題。
→７−４節の練習問題でもこの種の問題が頻出しているが、
　なるほどdθ/dt（視角の時間的変化）を求めるときには
　逆三角関数の微分がホント役立ちますね。

この節はスラスラ読めた。次から暫くは練習問題の解答私案。

■７−４節の長文練習問題23.25.27.29.31の5題について。

いずれも解答の考え方としては…
最初に
　tanθ=ｆ(x)←→θ＝arctan　{f(ｘ)}
という式をたて、次にこの両辺をｔについて微分し
　dθ/dt＝（dθ/dx）・（dx/dt）
を計算するものだった（と思う）。
なお、27のみarctanではなくarcsinを用いる。

【問23の解答案】
観測者が飛行機をみる仰角をθ(rad)とおき、
観測者と飛行機の水平方向の距離をx(m)とすると
　　tanθ＝1500/x　←→　θ＝Arctan（1500/x）
が成り立つ。両辺を時間ｔ(sec)で微分すると、
　　dθ/dt＝（dθ/dx）・（dx/dt）
　−5/100＝（−1500/x^2）・{1/（1+1500^2/x^2）}・（dx/dt）
うまく式変形してからx＝1500を代入してやると
　（dx/dt）＝150
が大した計算をしないで導けました。

>>1さんへ
私も今、解析入門を読んでいます。
今はまだ正弦と余弦のところですが、
>>1さんのレスを参考にしながら読んでいきたいと思います。

>>84
読んでて感じたことをガンガン書いちゃって下さい。
もうこのスレを乗っ取る勢いで！


■７−４節の長文練習問題23.25.27.29.31の5題について(続き)
問23と同様に、そんなに頑張って計算しなくても解答を得られたが、
問31だけは滅茶苦茶計算が大変になったｗ
で、答えを見たらやっぱり計算が大変なようで、ラングも最後まで計算してない。
ヤラレタｗｗｗ

■第8章：指数関数と対数関数
（序の内容まとめ）
１：直接、指数関数の導関数を求めようとすると…
２：lim(h→0)a^h-1/hの極限が分からないので行き詰まる。
３：(x=0におけるa^xの傾きが1に等しくなるような数aの存在を
　　　仮定すると)上の極限は1になる。
４：「直感的に」そういう数aが存在することが推察され、
　　　これをeとする。
５：eを用いると、指数関数b^xの導関数はb^x・logbと導ける。
６：逆関数の導関数を用いて、log(b)xの導関数も導ける。
-------------------------------------------------------
(感想)
→この議論では４の部分で直感を用いているので、ラング自身も
p.183"eやいくつかの極限の存在を直感的に導いたのであって、
証明したわけではないことに注意しておかなければならない"
と注意しており、さらにp.183
"論理的な観点からは、(中略)全くはじめから出直すこととする"
とある。確かに直感の部分はあるが、十分説得力があり納得できる
説明だったと感じた。

→次の節からはこの序の内容とは逆に、まず対数関数→次に指数関数
　という話の流れになります。高校のときとは逆の流れで面白いｗ

■8-1：対数関数
（内容）
1:対数関数を1からxまでの1/xの面積により定義する。0<x<1とx>1で場合分けし、
　0<x<1では面積に-1を掛けて定義する。x>1のときはそのまま。
2:d/dx(logx)=1/x　の導出
3:微分して1/xかつx=1のとき0となる関数はlogxしかない説明
4:log(ab)=loga+logbの証明
5:logxのグラフを考える
-----------------------------------------------------------
（感想）
1:これまで習ってきた『指数関数→対数関数』の流れではなく
　対数関数から議論が始まります。1/xの面積による定義で、
　しかもxが1より大きいかどうかで場合分けを必要とする定義です。
　こりゃまたケッタイな定義じゃのう…と感じましたｗ
　既に積分を習ったことのある身なので何故1/xがここに出てくるか(logxの微分なので)
　納得できますが、全く初学者だったら唐突ですし、イメージしずらい
　だろうと思います。
　ここから理論を進めていって、私の既知であった対数関数の性質が
　違った出発点からでも徐々に明らかになっていくのが面白い。

2:この証明が気に食わない。h>0とh<0で場合分けして証明しているのは
　○だが、この時点でのlogxの定義はxが1より大かどうかで場合分けした
　定義なのだから、この点に於いても場合分けして証明すべきでは？
　少なくともp185の証明ではx>1の場合しか想定してないように思う。
　さらに、xが1の近傍であってx+hが1をまたぐ場合なんかも想定してないのでは？
　(場合分けされて定義された関数において、場合分けの境となる点に
　於いてその微分係数がただ1つの値をもちうるか、ということとか)

4:p187"この議論がいかにすっきりとしていてしかも効率的であるか十分に味わってほしい"
　いや本当、この証明は巧みだと思いました！

大急ぎで微分まで読みきりました。
しかし積分に入ったとたん、難しい・・・。
急にレベルが上がったような感じがしました。
挫折しそうですが読めるところまで読んでみようと思います。

わかると思って読み飛ばしていたところに宝石が眠っていたりする、それが幸せ。

手元にあるのは Second Edition の日本語訳なので微妙に文章が違うかも >>88

> 　少なくともp185の証明ではx>1の場合しか想定してないように思う。

「はじめに h > 0 とする. そのとき, log (x+h) - log x は x から x+h ま
での区間における曲線 1/x と x 軸の間の面積である.」という記述は x > 0
であれば常に成立するわけ、というか成立するように log を定義したのです。

わざわざ 0 < x < 1 で log x を「影の部分の面積に -1 を掛けたものと定義」
したのは、まさにこのためだということです。

この対数関数の話は、積分前提であれば、関数 log(x) を関数 1/t の 1 から x ま
での定積分で定義することと同値なわけで、そう考えれば x=1 で場合分けする必要
はないことが理解し易いように思います。

792

みなさん勉強してますか？
p268の三角関数の積分のとこがむずかしい・・・

>>93 まずＰ267を100回よみなさい

やだ

>>95 じゃ200回だ！

じゃあ・・・いいよ・・・

>>94
ｐ２６７は前の単元の演習問題なのですがｗ

本を見ていないだけ。
適当に答えているだけ。
返答が早すぎるでしょｗｗ

>>98 数学は根性じゃ気力じゃ勢いじゃ！

>>100
了解した。今夜はオールで勉強しまくるっす

>>101 まくれ

>>101 まくったか？

>>
まくりましたけど結局分りませんでした＞＜；；
とりあえず一冊全体を終わらせてから戻って理解しようと思います。

とりあえず、頭に？？？？がいっぱい浮かぶまでは
どんどん進めて行けば？

>>105
はいっ！焦らず、たゆまず理解しながら進んで行こうとおもいます！
複素函数論をしっかり理解するのが夢です。

今日もオールで勉強ですっ

>>107
あなた三角関数の方（失礼！）ですか？
がんばってくださいね。

高木の解析概論なんかを読むよりはこっちの方が遥かに有益だ。
同じ出版社から出てるのが不思議だがｗ

おいらもラング「懐石入門」を読み始めました。

本をもっない俺には訳がわからないな。
単に１の印象批評を書き綴っていくスレにも見えるが、本を持っている人にとっては有益なスレなのか？

>>111
学習日記的なノリじゃねW
それはさておき、数学苦手はタイプの人は関数のおさらいからしてくれるラングが有難いよね。
でもsin、cosが「正弦」「余弦」ってのはかえって判りにくいね。
だって「シンコスコスシン」「コスコスシンシン」って覚えてるのに、
「正余余正」「余余正正」って言い換えるんず？たんだでね。

>>112
俺にとってはチラ裏でも、本を持っている人に役立ってるなら別にいいんだが。
じゃあ、>1よ、気にせず続けてくれ。

独学でやってる人にとっては役に立つと思うよ
一緒にやってる人がいればやる気も出るだろうし

>>1には続けて欲しいな。最近更新がないからｗ

Lang と Spivakって後者が高度なの？
偉い人教えて！

>>111
>> 本を*持た*ない俺には訳がわからないな。
>> 単に１の印象批評を書き綴っていくスレにも見えるが、本を持っている人にとっては有益なスレなのか？

同感だね。パラノイアのモノローグにしか見えん。

本を持っている人には有益だからおｋ

その割にはスレの伸びが悪いな
正月休みか？

　ラングの元本はもう５版ぐらいが出てると思うよ
　松坂和夫先生はもう９０近いので翻訳は更新されないと思われる

　なおラングは亡命ユダヤ人ですよ〜　ウイスコンシン大数学科には日本人の
　教授もいますよ〜

>>119
松坂先生「90近い」は言いすぎ。
1927年生まれだから82歳です。
>>115
SpivakのCALCULUSって、Langと違って著者も健在（1940年生まれ）で著書も版を重ねているようだし、
アメリカの初級解析教科書の定番なのでは？

tes

向学心のある定年退職者の数学ファンにすすめるとしたら
ラングか松坂の解析入門どっちがいいの？

ウイスコンシン大は小野Jr？　日本語しゃべれるのかな？

>>122
ラング。
（理由）
とにかく説明が懇切丁寧。式の跳躍がないので安心して読める。
松坂先生の解析入門は全部読むと金銭的に負担が大、かつ大判なので持ち運びに不便。

ラングは練習問題の節々にジョークがちりばめられていて好きだ

↑知ったかクン　乙ｗ

以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝


>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
>お前は数学という学問への良心や献身の精神すら残ってないんだね

>その数学者の業績が高々30年以内に消えてしまうような数学者はマクロに見れば存在しようがしまいがどうでも良いんだよ
>そんなレベルの数学研究の従事者は世界全体で見れば掃いて捨てるほどいるからな
>そいつがそれなりに大事な定理を発見して証明したとしても、そいつがいなくても誰かがいずれは見つけてるんだよ
>その程度の独創性しかないからこそ30年未満で消えていくんだ

>そういう掃いて捨てるレベルの数学従事者に求められるのは研究よりも教育だよ
>教育者に求められるのは中途半端な数学の研究業績よりもちゃんとした人間性だ

>女性への欲望を押えられなくて痴漢に及ぶのなんてのは教育従事者としては論外だな
>自分の業績でウソをつくのも教育従事者としては論外だな
>盗撮も論外だ

>最低でも30年以上は業績がリファーされるほどの才能もなく教育従事者としての適性もない数学しかできん半端者に税金から給料を払う必要なんてないのさ
>何をやろうと許されるのは数学史に名前が刻まれるレベル、つまりそいつが消えれば数学の歴史が変わってしまうであろう本当の天才だけだ
>それ以外の少し数学が得意なだけの幾多の凡人は社会人としての常識がなければ社会では必要ないのさ
>社会で必要ないってことは大学や組織が給料を払ってやる必要はないってことだ

EOF

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

773

本は読んだけど対数のあたりで書いたメモを紛失しちゃって、
そのままにしちゃったな…。

hoge

235