代数学総合スレッド Part5

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/

。

Ｌ=Ｃ(x,y)を複素数体Ｃ上の2変数有理関数体、Ｍ=Ｃ(x+y,xy)、Ｋ=Ｃ(x^2+y^2,xy)とする。
ＬのＣ上の自己同型σ,τを、
σ：(x,y)→(y,x)
τ：(x,y)→(-x,-y)
で定義し、σとτで生成される群をＧとする。

問一 拡大の次数［Ｌ：Ｍ］、［Ｍ：Ｋ］を計算せよ。

問二 Ｌ／ＫはＧをガロア群とするガロア拡大であることを示せ。

問三 Ｇの部分群を全て求めよ。

問四 Ｌ／Ｋの中間体を全て求めよ。

>>3
問四：
C(x+y, xy)、C(x-y, xy)、C(x^2, y^2, xy) (= K(x^2) = K(ｙ^2) = K(x^2 - y^2))

S = x^2 + y^2、T = 2xy とおくと、
x = (√(S + T) + √(S - T))/2
y = (√(S + T) - √(S - T))/2
L/K は複二次拡大。

群Gの交換子群を[G,G]で表すとき
SL(n,C)⊂[GL(n,C),GL(n,C)]
である事を示すのに
#1 あるp,qがあってA=(a_ij) (a_ij=1(i=j), a_ij≠0(i=p,j=q), a_ij=0(それ以外))と
　　表せる様な行列の積でSL(n,C)の元が表せることを示す
#2 上記の行列Aに対しA=BCB^(-1)C^(-1)となるようなB,Cがあることを示す

という2ステップで示す方法を考えたのですが
もっと簡単に示せる方法ありませんか

u

sge

1

sage

Z_pやQ_p上の力学系を…考えても大して面白くないな

>11
知り合いに聞いたけど、既にそういうのあるらしいよ。
面白いかは知らない。

あるよ。Deningerとか。

有限群Gに対して、Gから複素数体Cへの写像の全体のなすC線形空間をF(G)で表す。
F(G)の部分空間H(G)を、
H(G)={ψ∈F(G)｜∀g,h∈G：ψ(gh)=ψ(hg)}
で定義し、H(G)の元を類関数と呼ぶ。
H(G)のC基底を構成し、C(G)の次元がGの共役類の個数に等しいことを示せ。

A=
1 -1 -1 1 1
3 0 2 -2 -2
3 -1 3 -2 -2
3 -1 2 -1 -2
3 -1 2 -2 -1

(５×５の行列です）

このＡの最小多項式を求めよ。
またジョルダン標準形も求めよ。

導出過程もお願いします。

>>15
とりあえず、定義にしたがって、A-λEの絶対値を取ってみなさい。
それぐらいの計算はできるよな？


あ、Eは5×5の単位行列ね。

>>16
行列の絶対値ってなんですか？

>>17
失礼。絶対値じゃなかった。
まず、行列式det(A-λE)を取ってみよう。

>>17 なんでしょうねｗｗｗｗｗｗｗ？？

>>15です。

最小多項式は(t+2)(t-1)(t-1)
であっていますでしょうか？

そこからt=-2,1のときに固有ベクトルを求めたいのですが、
t=1のときに固有ベクトルが
(1,1,0,0,1)(0,0,1,0,1)(0,0,0,1,-1)

の３つとなるのですが、、、ここからどうすればよいかわかりません。

UFDの部分環がUFDになるとは限りませんか？

もうひとつ
A:UFD, S⊂A：部分環, π∈S：Aの中で既約元.
このとき、S∩πA=πSになるとは限らないでしょうか？

どなたか教えて頂けると大変嬉しいのですが。

>>21
両方とも限らない。

アーベル群の基本定理って
一般にn=Πp_i^{r_i} (但し,p_iは素数,r_i∈N)と素因数分解される時,
Z_nの部分群(アーベル群(?)全体の集合は{(+)[i=1..k]Z_{{p_i}^{r'_i}};1≦r'_i≦r_i,r'_1+r'_2+…+r'_k=r,1≦k≦r}となるのですよね。

下記の可換群でどれとどれとが同型,どれとどれとが非同型であるとどうやって判定すればいいのでしょうか?

位数が400である可換群は
Z_{2^4}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_5,
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_5(+)Z_5.
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_5(+)Z_5
Z_{2^4}(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_{5^2},
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_{2^4}(+)Z_{5^2}
があると思います。

位数32である可換群は
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^3},
Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_{2^4},
Z_[2^2}(+)Z_{2^3},
Z_{2^5}
があると思います。

>>22
そうなんですか。
ありがとうございます。

>>23
ちゃんとした教科書で構造定理を調べれば分かる。
その定理の形は不完全だ。

>>23
あちこち荒らしてんじゃねーよ、ｳﾞｫｹ

ベクトル空間Ｖがｎ次元ならば、次を証明せよ

ｎ＋１個のベクトルは全て１次従属。

これが分からないのですが、分かる方教えていただけないでしょうか？

> ｎ＋１個のベクトルは全て１次従属。

なんかおかしな表現だな。
「任意に選び出した n+1 個のベクトルは一次従属」
とかじゃねーの？

もちろん、一次独立だったらVがn+1以上の次元を持つことになって仮定に反するからだが。

n次元が何を意味しているかさえ分かっていれば自明

ミスった…

「ｎ個の１次独立なベクトルが存在する。」

>>30は一体、Vがn次元であることをどう定義してるんだ？
釣りにしか見えないのだが

> 「ｎ個の１次独立なベクトルが存在する。」

なんかおかしな表現だな。
「n個のベクトルからなる一次独立なベクトルの集合が存在する」
とか
「n個のベクトルで一次独立系を成すものが存在する」
とかじゃねーの？

釣りじゃないよ…

小テストに出たまんま書いたんだが…

何か申し訳無いです

その問題は代数スレじゃなくて線形代数スレで訊く質問だろ
スレ違い。あと問題は正確に記載しないとつっこまれるよ。

とりあえず違う代数の参考書読みながら頑張ってみます。

それでも分からなければ、また来ます。

皆さん本当にありがとうございます。

>>34
線形代数と代数は別なんですか！？
無知ですいません。まだ大学１年なので…。

スレ違いですいませんでしたm(．．)m

算数と数学の違いみたいなもんだからなあ。

総合なんだから線型も良いと思うけどね
ただ行列とか線型空間とか基本的なのは専用スレでな

あぼーん

こんにちは。

(G,・)を位数p^3(pは素数)の非アーベル群とする。Gの中心Z(G):={x∈G;∀a∈G,ax=xa}は全ての交換子[a,b]=aba^-1b^-1で生成される部分群である事を示せの問題で困っています。

∀x∈Z(G)を採って、、、　どのようにできますでしょうか?

自明な中心元から考えればいいんじゃね？

>>40
G/Z(G)から攻めろ。p群の性質を復習しろ。

> 41
> 自明な中心元から考えればいいんじゃね？

自明な中心元は単位元eですよね。これはe=eee^-1e^-1となっているから交換子ですよね。
その他の中心元a (ax=ax,∀x∈G)についてはa=axx^-1からaxa^-1x^-1に持っていけません。
どうすればいいんですか?

> 42
>>>40
> G/Z(G)から攻めろ。p群の性質を復習しろ。

上記のように攻めてみましたが…。
Sylowの定理「Gを有限群とする。この時,(1)HをGのp-部分群(H={1}でもよい)とするとHを含むGのSylow p部分群が存在する」
の他には
|G|=np^m(但し,pは素数)なら|H_i|=p^i(0≦i≦p)なる部分群H_iが存在する。P,P'がp部分群なら∃x∈G;P'=xPx^-1.
とかありましたがこれから任意x∈Z(G)に対し,x=aba^-1b^-1と持っていけるのですか?

よろしくお願い致します。

G_1,G_2,…,G_nを群とする。
G_1(+)G_2(+)…(+)G_n:={(g_1,g_2,…,g_n);g_i∈G_i}を外部直和分解という。

H_1,H_2,…,H_nを群Gの正規部分群とする。
(i) もし,g=h_1h_2…h_n (但しh_i∈H_i)
(ii) 任意のi∈{1,2,…,n}に対し(H_1∪H_2∪…∪H_{i-1})∩H_i≠φ
ならH_1×H_2×…×H_n:=Gと表し,内部直和分解という。

[問題] G={1,4,11,14,16,19,26,29,31,34,41,44}がmod45の乗法群とする。
Gを素数べきの位数の巡回群の外部直和分解,内部直和分解として表せ。

という問題です。

#<1>=#{1}=1
#<4>=#{1,16,19,31,34,}=5
#<11>=#{1,11,31,26,16,41}=6
#<14>=#{1,14,16,44,31,29}=6
#<16>=#{1,16,31}=3
#<19>=#{1,19}=2
#<26>=#{1,26}=2
#<29>=#{1,29,31,44,16,14}=6
#<31>=#{1,31,16}=3
#<34>=#{1,34,31,19,16,4}=6
#<41>=#{1,41,16,26,31,11}=6
#<44>=#{1,44}=2

なので素数べき位数の元は4,16,19,26,31,44となりました。
よって外部直和分解<4>(+)<16>(+)<19>(+)<26>(+)<31>(+)<44>でいいのでしょうか?

<1>,<4>,…,<44>は正規部分群で<1>∩<4>∩…∩<44>={1}≠φなので内部直和分解として表せ,
従ってG=<1>×<4>×…×<44>

となったのですがこれでもいいのでしょうか?

>>44
最近いろんなスレでアホな質問してる子だよね。
まともな教科書買ったほうが良いよ。内部直和の定義が変。

>>43
p群の中心は自明ではない、を使う。

> 46

>>>44
> 最近いろんなスレでアホな質問してる子だよね。
> まともな教科書買ったほうが良いよ。

お勧めは何ですか。

> 内部直和の定義が変。

(ii) 任意のi∈{1,2,…,n}に対し(H_1∪H_2∪…∪H_{i-1})∩H_i={e}
(eは単位元)

とすればいいのですね。

> 47

p^2の時だけアーベル群になるんですよね。だからp^3は非可換群。

>>>43
> p群の中心は自明ではない、を使う。

という事はZ(G)はGの真の部分群。{e}<Z(G)<G

位数p^3の非自明な部分群は位数がpとp^2がある。
またP_1,P_2をp群(同じ素数)とすると∃x∈G;P_1=xP_2x^-1が言えるんですよね。
だから,今このGはp群なので∃x∈G;G=xGx^-1で,,, これからどうなりますか?

>>49
中心の位数はp^2には成り得ないよ。

一般に群Hについて、、#H/Z(H)は素数ではない。

よって、#G/Z(G)=p^2.。　故に、G/Z(G)はアーベル群。（何故か）

>>49
君にはその問題は早すぎるよ。
他に大量にしてる質問に対する受け答えを見る限り、全然体力が足りてない。
ちゃんと基礎から復習していらっしゃいな。

> 50,51
>>>49
> 中心の位数はp^2には成り得ないよ。

|Z(G)|=p^2なら,|G/Z(G)|=pで位数が素数だからG/Z(G)は巡回群。
よってGはアーベル群(∵命題"G/Z(G)が巡回群ならGはアーベル群")
これは仮定に矛盾。
よって|Z(G)|=pしか有り得ない。

> 51
> よって、#G/Z(G)=p^2.。　故に、G/Z(G)はアーベル群。（何故か）

[命題] 位数p^2の群はアーベル群。
(証) Z(G)=Gを言えばよい。
命題"Gがp群ならZ(G)は単位元以外の元を含む"より,|Z(G)|=pかp^2
もし,|Z(G)|=pならZ(G)に含まれない元aについての正規化群N(a)とすると
N(a)⊃Z(G)∪{a}(∵正規化群の定義)なので|N(a)|>pで|N(a)|=p^2となる(∵Lagrangeの定理)
つまり,N(a)=Gでこれは∀x∈Gに対し,ax=xaを意味するので(∵正規化群の定義)
a∈Z(G)でなければならない(∵中心の定義) これは矛盾。
よって|Z(G)|=p^2でなければならい。即ち,Z(G)=G.
よって中心の定義からGはアーベル群。

よってこの命題をG/Z(G)=p^2に適用すれば G/Z(G)はアーベル群。ですよね。

次に全ての交換子で生成される部分群{aba^-1b^-1;a,b∈G}=:Kの位数は1でない
(∵もし1ならK={e}となり,ab=baでGはアーベル群となり矛盾)
よって|K|≧p.

ここでK⊂Z(G)が言えればおしまいなのですが
aba^-1b^-1∈Kに対して,(aba^-1b ^-1)x=x(a.ba^-1b^-1) (for∀x∈G)が言えません。
どうすれば言えますでしょうか???

>53
HはGの正規&G/Hはアーベル群⇔D(G)⊂H で無事いけました。

中傷台数さっぱりわからん。
逝ってよし！

代数は道具だから、それを作るのが、というのではなく理解するのが難しいというなら、あなたが去ればよい。
学問にとっても、あなたにとっても損は無い。

マジレス乙

よろしくお願い致します。

Z_6={0mod6,1mod6,…,5mod6}は外部直和分解Z_3(+)Z_2={(0mod3,0mod2),(0mod3,1mod2),…,(2mod3,1mod2)}に同型だが
内部直和分解Z_3×Z_2には同型でない。そもそもZ_3×Z_2は群をなさない。

という事を知ったのですがZ_3×Z_2は何の2項演算をもって非群であると言ってるのでしょうか?

また,Z_m(+)Z_nもZ_m×Z_nも両方とも群をなす例ってあるのでしょうか?
もしあればご紹介ください。

>>58

何度でもいうが基礎からちゃんとやり直せ

>>58
> 非群であると

言いません。

発狂したかと思った

位数が合成数の体の例を教えてください。

F9

部分群が全てアーベル群であっても、その群は、必ずしも、アーベル群ではない簡単な例を教えてください。

>>64
位数最小の非アーベル群が自然にその条件を満たす。
なお、この群は３次の置換群。

>65
>この群は３次の置換群。

S_3は非アーベル群でその部分群S_3は非アーベル群なので
"全ての部分群がアーベル"という条件を満たさないのではないでしょうか?

>>66
部分群として自明なものも含めるのであれば、
そのようなものは明らかに存在しない。

>67
了解。

>>66
何だこのレス？ あほくさ...

にゃにおう
誰がアホだというのだ？

Gが有限群でH,KがGの可換な正規部分群でH∩K={e}ならG=HKと書ける時,
Gは可換群と言えるのでしょうか?
もし,言えないなら簡単な例をお教え下さい。

>>71
∀x∈H、∀y∈Kの交換子　xy(x^-1)(y^-1)∈H∩K={e}から明らか

>72 ありがとうございます。

11 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/21(土) 23:37:42
Z(整数)の無限集合 I 上の直積が加群として自由加群(Zの直和)と同型でないことの証明が出来ません


これ誰かヒントください

濃度が違う。>74

自由にならないことでしょ
添え字集合は同じじゃなくていいんじゃ？

「自由にならないこと」はどうやって証明すんの？>76

>>77
実は簡単じゃないな
英語で失礼します
If I is smaller than the first measurable cardinal,
then it is a known fact (and not an extremely difficult one;
see e.g. Laszlo Fuchs, Abelian Groups)
that Z^(I) (the free abelian group on I) is isomorphic to its bidual:
Hom(Z^I, Z) = Z^(I).
But if Z^I were free, its bases would have cardinal 2^I,
and hence its dual would be at least as big,
which Z^(I) isn't (it is of cardinal I).

I really don't know whether the result holds when I is
at least as large as a measurable cardinal, though.

でも Z^(I)≠Z^I を証明するのは難しくない。>>75のいう通り、濃度が違う。

Iが可算無限集合の時、
ZのI上の直和は可算集合
ZのI上の直積は非可算無限集合
だから同型でない。でOK?>78

OKです

Z^(I)がbidualと同型っていうのはdualはtopological dual じゃなくても正しいの？
Pontryagin dualityは知ってるけど

勘違い、失礼

>>74
以前ブルバキの演習にあったのをやったことがある（代数第7章§3の演習8）。
証明の概略は以下のとおり。
(0) I が可算のときに示せば十分（∵Z 上の自由加群の部分加群は自由だから）。
以下I=N（自然数の集合）とする。
(1) Z^N は可算基底をもち得ない（∵濃度の計算より）。
(2) p を勝手にとった素数とし、Z^N の次のような部分加群 S を考える。
S = {(z_n) ∈Z^N | 自然数の増加列 k(n) が存在して、すべての n で z_n が p^k(n) の倍数}｡
このとき Z/pZ ベクトル空間 S/pS (＝ S と Z/pZ のテンソル積） の次元の濃度は可算。
(3) 一方、 φ: Z^N → S、φ((x_n)) = (x_n p^n) なる単射準同型が存在する。
Z^N が自由加群だとすると、部分加群Sも自由だから、(1)、(2)より矛盾。

Zを一般の単項イデアル整域に置き換えても、同じ事がほぼ同じ証明でいえる。

IをRの部分環とする。
(i) ∀r∈R,∀x∈Iに対し,rx∈I, (ii) ∀r∈R,∀x∈I,xr∈I
の時にIをRのidealと呼ぶ。

と定義を習ったのですがどの本もIはRの部分集合で定義されてます。Iを部分環で定義して好都合,不都合はありますか?

>>85
単位元の扱いをどうするかくらいか。

Iがただの部分集合だとそのイデアルは部分環にはならなくないか？

ごめん。>>84 の (2) の S の定義がちょっと変だった。
S = {(z_n) ∈Z^N | 無限大に発散する自然数列 k(n) が存在して、すべての n で z_n が p^k(n) の倍数}
に変更

> 86
単位元の扱いって具体的にどんな事ですか?

>87
部分環になりますね。だから部分環と仮定してもいいのですね。

>>89
例えば部分環の定義に単位元の存在を入れ、
イデアルを部分環で定義すると、全てのイデアルが自明になる。

例えば部分環の定義に単位元の存在を入れないで、
イデアルを部分環で定義すると、全てのイデアルが部分環になる。

部分環の定義に単位元の存在を含める流儀と含めない流儀と両者あるから
「部分環」という用語は入れないほうが無難だと思う。
どうせ同値なんだし。

イデアルは環の特殊な部分集合なんだから、
部分環として理解したいという気持ちもわかるんだけど、

そもそも部分環が環の自然な部分構造じゃないんだよね。

* 環と部分環
* 単位的環と単位的部分環

この二つを区別すれば良いだけ

イデアルは環上の加群として理解すべき構造だな。

>>94
単位的部分環って、単位元を全体と共有する必要があるんだっけ？
もちろん流儀によると思うけど、メジャーどころはどうなってるの？

永田の可換環論はわざわざ例書いてたな
どうなってたっけか

>>96
単位的環を対象とし、単位的環準同型を射とする圏では部分環が拡大環と単位元を共有しないということはできません。

>>96
単位的環を「環」という流儀（最近はこっちが主流）では、環準同型も単位的と
仮定するので、部分環といったら、もちろん単位元を全体の環と共有すると
仮定する（そうしないと標準単射が「環準同型」にならないので不都合）。

たとえば、Z/6Z の部分集合 2Z/6Z は、それ自体は単位元 4 を持つ
環だが、全体の環Z/6Zと同じ単位元ではないので、「部分環」とは呼ば
ない（「イデアル」である）。

89です。どうもidealについて迚も参考になりました。

環といったら単位的可換環、だな俺にとっては

非可換で必ずしも単位的でない環ばっかりでてくるので嫌になります

>>98-99
そのとおりだね．ありがとう．

可換環は多項式環の一般化に見えるので単位的であってほしい
非可換環は行列環の一般化に見えるので非単位的であってほしい

>>104
> 行列環の一般化に見えるので非単位的であってほしい
それは線型代数群のリー環とかそういう意味か？

law of composition て日本語でなんていうの？

>>106
前後を見ないと意味までは判らんが、それだけを直訳するなら「合成律」

うむ

>>106
群論とかでは結合法則じゃなかったっけ？
桂の代数学のやつでそう訳されてた気が

>>109
結合律 (associative law) のことじゃないよ、たぶん群演算そのもののことを言ってる。

>>106 積でいいんじゃねーの？
　アーベル群なら和とか。

>>110
そうだわ
今見たら二項演算(law of composition)って書いてた

結合法則と取り違えたりしないよ、ふつうｗｗｗｗｗ

LangのAlgebra読み始めました
今ringのところです。
これって問題の解答乗ってるサイトor別冊の本ってないのかね？

Rを単位元も零因子も持たない環としZを整数全体の集合とする。
任意のx∈Rに対し,(r_1r_2+z_2r_1+z_1r_2)x+(z_1z_2)x=0 (但し,r_1,r_2∈R,z_1,z_2∈Z)
が成り立つならr_1=r_2=z_1=z_2=0はどうすれば示せますか?
どなたか教えて頂けると大変嬉しいのですが。

>>115 単位元ないのに環？

>>115
R=2Zで反例がある。

>>116が何を言いたいのかさっぱり分からん…

>>117
2Zは単位元を持つ

>>118 日本語の本で勉強したことないからよくわからんが
　単位元って1のことじゃねーの？
　カンの公理に1の存在は含まれてるだろ。

>>120
いいえ。

零元は必須だが単位元はなくてもいい

>>120
単位元の存在を仮定するのはunital ring（単位的環）の公理。
単位的なものだけを扱い、それを環と略称する流儀が無いわけではないが、
そのことが「一般に環の公理には単位元の存在が含まれる」という言及を
肯定する事には繋がらない。

単位元ない場合準同型とかはどう定義すんの？
Z〜nZとかになっちゃうの？

(R, +, ・) is required to be a monoid under multiplication:
1. Closure under multiplication. For all a, b in R, the result of the operation a ・ b is also in R.c[?]
2. Associativity of multiplication. For all a, b, and c in R, the equation (a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c) holds.
3. Existence of multiplicative identity. There exists an element 1 in R, such that for all elements a in R, the equation 1 ・ a = a ・ 1 = a holds.

>>124
準同型写像は通例の通り、備えている演算と可換 (compartible) な写像として定義される。
Z→nZ (x→nx) は加法群としての同型だが、乗法は保たないので安心しろ。

すまん、typoだ。
×compartible
○compatible

Ring で単位元のある環，Rng で単位元のない環を表す流儀がある．
with/without 'I' dentity ってことでちょっと洒落た名前だと思った．

環の圏

結局、115の答えは？

単位元ある環に埋め込めば
(r_1+z_1*1_R)(r_2+z_2*1_R)x=0

単位元があるとは限らない環？
それとも文字通り単位元の無い環？

なにいってんのこいつ

>>115

r_1=0 in R , z_1=0　in　Ｚ　とすれば、　r_2∈Ｒ、z_2∈Ｚ　をどう取ろうが、　
任意のx∈Ｒに対して,(r_1r_2+z_2r_1+z_1r_2)x+(z_1z_2)x=0　だから
r_1=r_2=0 in R , z_1=z_2=0 in Z とは言えない。

>>119
もたない

MOTTAINAI

>>132
数学の本や論文を素直に読めないタイプだなあ。
書いてないことがアレコレ気になってページがめくれない。わかるよ、君の気持ち。

>>128
そうそう。
あとidentityがなくても、identityをもつringとそれへの準同型が存在する。

単位元のない環Ｒにおいて、
R/Iが単位元のある環になるイデアルＩってありますか？

>>139 I=Rのときtrivialな間になる。(1=0)

>>140
後だしジャンケンですが、乗法単位元≠加法単位元=零元で教えてください。

R=2Z, I=6Z,。
R/Iの単位元は4。

>>142
なるほどー！　Z/3Zと同型なんですね。
すると自然数　a,bについて　(aZ)/(abZ)が単位元を持つ環になりますか。
もっと一般の環でこのような　Ｉ　に関する一般論はあるのでしょうか？

>>143
> すると自然数　a,bについて　(aZ)/(abZ)が単位元を持つ環になりますか。
本当にそうか証明してみてくれ。

中心冪等元に関するスペクトル分解環が得りゃ良さ層だが。

>>144
普通にx=ay∈aZに対してxmodb(=aymodb)を対応させれば
環準同型にはなっているが、1modbに行く元があるためには(a,b)=1が必要か。

>116,,>138
後日訂正がありました。
「r_1=r_2=z_1=z_2=0」
↓
「r_1=z_1=0 か r_2=z_2=0」
でした。
>134
ありがとうございます。解決できました。

再度115です。

環準同型の定義をただの環上でf(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)と習ったのですが
多書では単位的環上でf(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),f(1)=1'となっています。
それぞれの環準同型の呼び分けはどうすればいいのでしょうか?

>>147
呼び方に拘らず適当にただし書きすれば宜しい。
単位的環の準同型、（必ずしも単位的でない）環の準同型などの呼び方で
区別することも出来るかもしれないが、いずれにせよ
通じればいいし通じなければ意味が無い。

再度115です。 ただの環でring eimorphimsやring monomorphismやring isomorphimも定義できるでしょうか?

環の圏 Rng や単位的環の圏 Ring でそれぞれ好きなだけ考えればいいとおもうが、
さすがにもうこれは釣りだろうと今になってようやく気付く自分がいる。

>>149
いくらなんでもtypo酷くないか

ringの定義に1入れなかったらringってcategoryになんなくね？

>>152
ならないことを説明してご覧

>>152
RNGもRINGもカテゴリーがあるから安心しなさい

環の圏よりも代数学分科会の研究集会のページにいつになったら今年の予定が出るんだ

Zを整数環とする。環Rを2×2のZ上の行列全体とする。この時,(C+A)(C-A)≠C^2-A^2なるC,A∈Rの存在を示す問題なのですが
このようなC,Aを見つけれません。どのようなものがありますか?

>>156
非可換なAとCなら何でもいいんじゃ。

正規部分群の記号（三角形の記号）がありますが部分群の記号はないのですか？

不等号を使う流儀もある。別に文脈で判るからどうでもいい

自分で作れ

いやです

> 157
できました。

すみません。質問させてください。
堀田良之先生の「代数入門」を読んでいるのですが、射影加群のところで
苦しんでいます。「射影加群は自由加群の直和因子」という証明は
わかる（つもり？）のですが、実際のところ、「それ自体は自由加群でない
射影加群」ってどんなものでしょう。
どなたか例を教えていただけないでしょうか。
あるいは参考書でも。よろしくお願い致します。

・Dedekind環の単項でないイデアル。
・多様体上の自明でないベクトル束の切断が作る加群。

>>164
ありがとうございます。
どちらもまだ勉強していませんが、とっかかりがつかめました。

カルデロン一家支援者は極左暴力集団だったことが判明
http://tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1239600174/

http://jp.youtube.com/watch?v=h5wIULfI88s
http://jp.youtube.com/watch?v=n5RGVjE3vuE

質問していいですか？
「体はネター環である」って正しいですよね？
体を環と思うと、自明なイデアルしかない。
で、0イデアルは元が1つだけ。
体自身は1を生成元にするイデアル。QED
この証明、正しいでしょうか？

正しいことなら
何でも言っていいと
思っているなら
大間違いだべ

環の定義は「+で可換群,・で半群,分配法則」です。
イデアルは「部分環でa∈I,r∈Rならar∈I,ra∈I」です。
Iを環Rのイデアルとする時,Iは極大イデアルだがI[x]は極大イデアルではない例を挙げよ。
という問題ですが簡単例を教えてください。(I[x]は多項式イデアル)

Ｒ=Ｚ,Ｉ=ｐＺ

I⊂I[x]⊂R
I[x]≠R
I=I[x]

>>167
ちょっと違うんでね？
×　で、0イデアルは元が1つだけ。
○　0イデアルは0を生成元にするイデアル

>>171
>I⊂I[x]⊂R
激しく泣きたくなってきたｵﾚｶﾞｲﾙ

>>173
フツーにデキナイ子ちゃんが混ざってるのかと思てたよ。

大学3年の数学科なんだけど
よく教授が代数はむずいといっているんだけど
代数の難しさはどんなところなの？

非数学科の大学生なんですが、初学者ににお勧めの本を教えて下さい。

松坂の代数学入門とかなら素人でも読めるんじゃない

>>177
図書館で見てみます

>>175
幾何は目に見える（高次元とかでも類推でどうにか）。
解析はグラフで視覚化できる（高次元とかでも類推でどうにか）。
代数の視覚化はせいぜい演算表を書くぐらいで、それですらも少し複雑になると構造的に把握しにくい。
結果、代数がいちばん抽象性が際立つ。

と代数が専門でない俺は思うのだがどうよ

>>175
その教授が代数の何を引き合いに出して考えているか、だな。

よく定義された定義はあるのに、
その具体的な対象は全然計算できないようなやつってのが代数にはよくあるけどね。
そんなのをイメージしてるのかな。

>>179
レスありがとうございます。確かに代数は
イメージが難しいから、定義に戻って進めていく
感じがあります。（まだあまり深くは習ってませんが…）

研究室選びの参考に聞きました。
どうもありがとう。

>>180さんもありがとう。

代数はいろいろ手動かして"実験"しなきゃ解けないような問題が多いんだよ。
だから代数の証明はほかの分野に比べて奇抜なものが多い。

どなたか２次の特殊線形群が群をなすことの証明が出来る方は
いらっしゃいませんでしょうか？

>>184
特殊線形群の定義を書いてみ

>>184
それはこれで証明できる。

【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】

より

【子供たちとの草サッカー】

の方が力士としての品格に欠け極悪な犯罪とされる。
これがル・サウンチマン(＝知的ルサンチマン)に苛まれた知的土人のまじない師どもが
日夜アホダラ経を唱えるサル・パラダイス、日本なのだよ。

>>181
いやいやいやいや、、、ｗ

幾何や解析だって高次元版は絵になんてかけないよ。
定義に戻って考えるのはいつでも基本。
絵というイメージだけで考えるなんてできない。

逆に、代数については、
定義が人工的だから、全体の構造としてすっきりしているという見方もできる。
（例えば、ホモロジー代数とかはその発想になる）
その観点だと、幾何の方が、ごちゃごちゃして分かりにくいともいえる。

もちろん抽象化度（特に、現代の代数幾何）は高いし、
整数論とかは数学で一番難しい分野とも言われるから難しいともいえる。

要するに、その先生の数学観でどうとでも表現できる。

その先生の専門が何で普段どういう代数を研究している人かというのにもよるよ。

代数の抽象化度なんて公理的集合論に比べれば大したことないよ

>>188
誰も、公理的集合論が簡単とは言ってないんだが。

公理的集合論って具体的じゃん

具体的とか抽象的とか測定可能なのか？
どの程度具体的だと言ってるの？

>>188は最近暴れてる基礎論キチ害なので触らないようにお願いします

そもそも数学に抽象的なものなんてないだろう
一般化≠抽象化

「抽象代数」という名称もよく使われるが、その内容は演算の一般化であって抽象的なものなど何一つない。

> 170
> Ｒ=Ｚ,Ｉ=ｐＺ

Iが極大イデアルがあることが分かりましたが,I[x]が極大でない事はどうすれば示せるんすか?
I[x]⊂J⊂R[x],I[x]≠J≠R[x]なるイデアルJの存在はどうすれば言えますか?

>>194
まぁ、たしかにそうだね。

数学知らない人からすると、訳のワカラン事って事になるけど
専門家にとっては、いわゆる数覚を用いてイメージする具体的なものだしな。

アホなこと聞いてすまないんだが、俺には一般化と抽象化の違いがよくわからない。

具体的な何々群でも、いろいろ計算して“感じ”をつかむしかなくて、
幾何や解析みたいに（多少嘘でも）「それらしい絵」を描いてイメージを伝える、
ってことがしにくい。
巡回群なら正多角形描けばいいけど。正四面体群とかもね。あ、てことは点群なら結晶か。

coxeter群やLie型の群ならいっぱい図形書けるじゃないの

○○図形

>>195
R[x]/I[x] で x の逆元がないので体にならない。

>>199-201
それを例えて言うなら

【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】

より

【子供たちとの草サッカー】

の方が力士としての品格に欠け極悪な犯罪とされる
ル・サウンチマン(＝知的ルサンチマン)に苛まれた知的土人のまじない師どもが
日夜アホダラ経を唱えるサル・パラダイス、日本だな。

>>195
真に大きいイデアルが存在する
pZ[X]⊂pZ+XZ[X]

>>197
「抽象的」には「一般的」と同じ意味もあるけど、
「抽象論」や「抽象表現」などと使われるように主観的で曖昧なニュアンスを持つ事がある。
って感じかな？

pZ[X]=pZ+XZ[X]

広く知られることと、本質を抽出すること（不要な情報を排除すること）がなぜに同列で扱われるんだ・・・

> 203
>>>195
> 真に大きいイデアルが存在する
> pZ[X]⊂pZ+XZ[X]

I:=pZとすれば確かにこのIは極大イデアルになってますね。このIより大きいイデアルはZしかない。
そして
pZ[X]⊂pZ+XZ[X]⊂Z[X] (但し,pZ[X}≠pZ+XZ[X]≠Z[X])となっているのですね。
2≦m≦p-1に対してmxはpZ[x]には含まれない。mはpZ+XZ[X]に含まれない。
ですね。

任意の環に極大イデアルが存在するって本当ですか？

>>208
R={0}ときはどうするのー？

選択公理は成り立たない

I[x]はR[x,y]の極大イデアルではない

σ(a)＝(σ(ai))(1≦i≦n)
σ(ai)＝(ai)a

この時、単位元e以外で、(ai)a＝aiとなるのはないよね？

まず記号の意味を

代数学のお勧めの参考書ってなんですか。
ぜひ教えてください。

S.Lang の Algebra

松村　可換環論

整式の定義を教えてください

>>217
最高次の係数が１

自明な例だと、
一次方程式の場合は、整式と整数が同型になる。

>>218
>217
> 最高次の係数が１
ホーッ

ホアー

あ痛たたたたたたたた

ちぇっ、足挫いちゃった

サンクス、モニカ〜♪

群論の基礎レベルからの問題が一杯載ってるやつ何かないっすか？

>>224
群論演習, 渡辺哲雄, 槇書店, ISBN：9784837504801 とか

群・環・体入門とかそんな名前の本があったような

>>226
その本は数学を専攻する人には簡単すぎると思う

ヴェルデンでいいじゃん

ほっちゃーん！ ほ、ほーっ、ホアアーッ!! ホアーッ!!

激古いけどschaum's outlineのgroup theoryでいいじゃん

p≡2(mod3)の時がf(x):=x^2+x+1はZ_pで既約となるのは何故なんですか?

1の三乗根が存在しないから

あほあほな質問していい？
なんでR[X]とR[[X]]って区別してるの？

交換子 D(G) = < [x,y] | x,y∈G > だと ( [x,y] で生成 )
x,yが”任意” , [x,y]∈D(G) でも”任意の”D(G)と一致しないのではないでしょうか
任意のが必要なんで困ります

>>234
普通D(G)って、交換子で生成された”群”のことを差すね。
で、D(G)の任意の元が交換子であるというわけではない。

君が書く”任意の”D(G)って何のこと、D(G)がいくつもあるのか？

>>233
R[[X]]　が形式的冪級数環のことを指すなら、当然。

>>235 > D(G)の任意の元が交換子であるというわけではない。
そうなのに証明では[x,y]∈D(G)を任意のD(G)の元と
してるようなんですね。わざわざ交換子が生成すると交換子全体自体でない
としてるのにこれでD(G)を全てカバーしてしまっている
証明とは D(G)=正規部分群 と G/Nがアーベル群⇔D(G)⊂N のことです

>>237
それって、任意の交換子がＮにふくまれているから、交換子で生成される交換子群もＮに含まれる、
という証明の流れなんじゃないの。

>>238
任意の[x,y]∈D(G)をとる。任意のg∈Gに対し、
ｇ[x,y]g-1=[gxg-1,gyg-1]∈D(G)　つまりD(G)の生成元の共役元も再び生成元したがって、Ｄ（Ｇ）は正規。
G/Nがアーベルなら、[x,y]N=N。したがって[x,y]∈N

>>239　任意の[x,y]∈D(G)≠任意のD(G)の元、生制元以外でも成立するのでしょうか
>>238　納得しました

>>240
D(g)の任意の元は交換子の積で書けているから、いちいち細かに書けば
g（Π[x_{i},y_{i}])g=Π[gx_{i}g^-1,gy_{i}g^-1]　となるけど、
交換子についてのみ確認すれば十分なこと。

>>241
訂正

> g（Π[x_{i},y_{i}])g^-1=Π[gx_{i}g^-1,gy_{i}g^-1]　となるけど、

>>242難そうですがやってみます

G:有限群
a∈G
F:a→F(a) Gの行列表現（準同型写像）

全ての表現Fについて、
C^(-1)F(a)Cがユニタリー行列　（∀a∈G）
となる上三角正則行列Cが存在する。


ひとつ疑問。
無限群なら成り立たないのか？

>>244
その証明を追えばどんな群と表現空間で主張が成り立たないか分かるよ

奇数位数群は可解であることを証明してください＾＾；

>>245
>>244はその証明がわからないのでは？？

>>247
>>244が証明を聞いているならともかく、ただ独り言を言ってるだけだろ？
知ってると考えるほうが妥当じゃないかな。

>>246
hard job

>>246

Feit-Thompsonを読みなはれ。

ヒルベルトの基底定理の逆を証明できない…だれか教えてくれorz

>>251
マルチ

>>251

どういう事？

環Aに対して、多項式環A[T]がネーセリアンならAもそう、ってこと？

>>254

A[T]/(T)=A なので　A は当然ネーセリアン

有限群の線型表現の完全可約性って、無限群だと無理なの？
理由も教えてエロい人

岩沢代数関数論ってどうですか？
いまだ旧字体ですか？

今の証明をそのまま使う限りは愚問なんだろうけれど、
でも「そんな主張」が何か特定の無限群であったら面白い
んでしょうな。

>>257
見ればわかるだろうに

>>259
どこで？うちの図書館には復刊書は無いです

＞でも「そんな主張」が何か特定の無限群であったら面白い
んでしょうな。

まあ釣りをしているのだろうがｗ

グロモフ

無限次元でもユニタリー表現だったら主張が出来ますね
但しこの場合は関数解析を通過しなければいけないので
全部を代数だけでやろうとすると、その主張の証明は
取り敢えずは保障出来ないのは仕方が無いのでしょうか
グロモフくらい解析の力があれば、必要な事くらいは
証明するんでしょうが、まあ猫は釣堀で小魚でも釣りますかね・・・

Ｌ⊃Ｋを体の有限次分離拡大，Ｌ*をＬのＫ上のGalois閉包とすると，
Gal(Ｌ*/Ｌ)は可解群ですか？

古本でかなり程度のよい
「代数学　現代数学演習叢書 弥永昌吉　岩波書店 1968.1」
を真っ当な値段で見つけた

でも後ろの略解は思いっきりそっけなくってなぁ…

問題の解答を別の専門書読んで知ってたら
ずばり本質をついた見事な解答だねぇ、って思うのだが
知らなけりゃ取り付く隙も無いって感じ

惜しいけど、多分買うまい
どうせ復刊もするだろう

多項式環のK[X]のXって何が入るんですか？

いえ、何も。

>>266 任意濃度個の変数

>>268
なこたあない

>>266
＞ 多項式環のK[X]のXって何が入るんですか？

夢と希望です

>>266
カルタンの教科書では
それは(0,1,0,0,0,0,・・・)の別名だったかな。

a[i]∈KでKは環
a[n]X^n+…+a[0]∈K[X]

だっけ？

いまいち
a[n]X^n+…+a[0]とa[n]Y^n+…+a[0]が同型っていうのがピンとこない

シローの定理の証明がわからん　てか軌道の概念がまだしっくりこない
たすけて

何遍も読み返すしかないな。

ですよね　がんばります

ほんとに軌道だとおもうんだよね。惑星のような衛星のような、動きのある

軌道を同値類と発音して読んどけば？

軌道がわからないってのは群の作用をよく理解できてないんじゃないのか？
一度正則行列群とか考えて作用の実例作ってみれば？

軌道ってまんま軌道だよね

頭悪くて人気者

とりあえず、そう思うようになるのに数ヶ月くらい使っちゃった

有理関数体K(X1,･･･Xn)は,多項式環K[X1,･･･Xn]を含む最小の体である
ことの証明教えて貰えますでしょうか？

また代数学の初心者向けのサイトを知ってる方教えていただけないでしょうか

証明というか、K[X_1, ..., X_n]から出発して子息演算すれば
K(X_1, ..., X_n)のエレメントは全部入るでしょ？
有理関数体は体ですよね。

>>282
多項式環を含む任意の体Lがその関数体を含む事を考えれば自明

>>283
>>284
だからさ、>>282はfiled of fractionsを理解していないんだよ。

はい、イメージがピンとこないです

>>286
>はい、イメージがピンとこないです

では、有理整数環Zから有理数体Qを構成する手順をもう一度よく眺めなされ。

quotient ring とidealからやりなおせ。

アルチン整域は体ですか

いえす

ん、じゃなかったｗｗ
整域の時点で既にクルル次元≧1だから
アルティンじゃねーな。

そのアルティン整域って言葉が既に間違ってると思われ

>>291
その理屈だと体は整域じゃないことになるね

R上有限生成なR[x_1, x_2, ・・・,x_n] がネターなら、Rはネターですか？

>>291
>ん、じゃなかったｗｗ
>整域の時点で既にクルル次元≧1だから
>アルティンじゃねーな。

>そのアルティン整域って言葉が既に間違ってると思われ

>>292
> >>291
>その理屈だと体は整域じゃないことになるね

292の言うとおりだね。
可換なArtinian domianは体だよ。 Atiyah-MacDonaldを見てみな。

因みに可換なArtinian domianについて書いている本はAtiyah-MacDonald以外あまりないな。
「自明で面白くない」とでも言うんだろうか？

>>293
非ネター付値環とその商体の組で反例が構成出来ませんか。

剰余類の定義が本によってまちまちなのですがホントの剰余類の定義ってなんですか？

部分群となる必要十分条件の同値関係ならばなんでもいいってことですかね？

>>296 俺は一つしか定義しらんからそのまちまちっての書いてみてくれ。

群Ｇを
　g1≡g2（mod.Ｈ）⇔g1g2^-1∈Ｈ
という関係で類別したとき
　Ｈe､Ｈg1､Ｈg2､…をＧのＨによる右剰余類という

とか

群Ｇがその部分群Ｈよって
　Ｇ＝Ｈa＋Ｈb＋Ｈc＋…
の形に類別されたときＨa､…をＧ右剰余類といいこの類別をＨによるＧの右分解という

でこの教科書では
　y＝hx（∃h∈Ｈ）
の関係の同値関係になってます

>>299-301
どうみても同値な定義

>>299-301 それが全部違って見えるって
　集合論の基礎から勉強したほうがいいぞ。ｗ

大抵の教科書に
「これは同じことであるが云々」
って書いてある

これは明らかにスレ保全疑似餌

すみません。
これは似てるやつで似てないのが

Ｇを群、ＨをＧの部分群、aをＧの元とする。
このとき、Ｈを法としてaと左合同であるＧの元全体の集合をaのＨを法とする左剰余類という。

です

どっちが左剰余類でどっちが右剰余類なのかわからなくなることがしばしば

確かにフェイント

>>307
まあ、いちおうどっちの流儀もあるからな。
左作用を受ける方を左と呼ぶ（右も同様に呼ぶ）流儀のほうが現状では主流な気はするが。

>>293
正しい。295の言っている意味はよく分からんが。

>>294
体や整域って0は素イデアルで…
クルル次元ってどこから数えるんだっけ?？
自分自身しかない素イデアル列の長さ0って事かな？
あっ、そうだっけか…

>>>293

ネーター環の剰余環がネーターであるから正しいよ〜〜〜

>>312
そりゃ主張の逆だろう

>>313
R[x_1, x_2, ・・・,x_n]という表記は多項式環ではない？？

多項式環ならたぶん「有限生成」とか書かんだろう。
それに、多項式環だとしても、主張は逆だ。

>>315
たびたびすみませんが、もし多項式環とすれば
R[x_1, x_2, ・・・,x_n]/(x_1, x_2, ・・・,x_n)=R
からネターは出ませんか？

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_matrix
↑
ここにある３種類のカルタン行列のうち、
1.Lie algebraのカルタン行列と
2.Representation theory of finite dimensional algebrasのカルたん行列は
全くの別物なの？

読む限り別物だと思うけど。

有限群の単純群って何個あるんでしょうか？

>>319
無限個ある。

位数が素数の巡回群を思いつかない時点でセンスなし

素数って無限個あるんですか！！！

それはかなりスベってると思うよ

>>319
を好意的に解釈してやろうか？

>有限単純群って何種類あるんでしょうか？
と聞きたかったのかな？

何種類って？ｗ

>>324
その通りです。お恥ずかしい

同型類は無限種類あるが。

まあまあまあ、M1のセミナーじゃないんだから！

>>328
荒らすな

別に荒らしてへんがな！
それとも、もっといちゃもん付けたろか？

わしの先生はそんなん言いませんでしたよ

>>330
荒らすな

>>322
ユークリッドに2147483647回謝れ！！！！

そやからワシは荒らしてへんし、いちゃもんも付けてへんと言うとろうが！

>>334
無意味かつ面白くないことをいちいち書くな。

>>334
荒らすな。

http://mathworld.wolfram.com/ClassificationTheoremofFiniteGroups.html

整数論…全然ダメ
まるで勉強進まない
しかも整数の掛け算・割り算の話だから凹む

類数の有限性がわからん

学部レベルの群環体論を一通り終えたら次はどこに行こうかやや迷っています。
代数がらみといったら表現論　数論　代数幾何あたりがぱっと思いついたのですがこの中で群論の知識が生きるのはどこになりますか？
表現論？群の知識というかシローの定理とか使ってある位数の群の判別とかがすごく面白く興味深かっただけなんですが

有限単純群のモンスターがどうのとかそこらへんはどうだろう

やっぱし群論っちゅうと「そっち」へ行くんかなァ
ワシが院生の頃はマッカヰ・オブザベーションとか皆言ってましたが

はあ、そんで真っ赤意傍観は
今、どんくらい出来ているんですか？
３次元？

ワシは専門家じゃないから細かい話は何も知りませんな
そやけど、あの大きな風呂敷は色んなモンを包むから、
話としては極めて面白いじゃないですか
保型表現とかモジュラー形式とかね

解説があったら読んでみたいので、教えて下さい

>>338
整数論と言ったって、有理整数の話じゃあるまいに凹むことはなかろうｗ

>>340
> 表現論、数論、代数幾何あたり
また急に高度なところへ逝こうとしてるねｗｗｗ

表現論は函数解析をやってからのほうがいいと思うが、
有限群の表現論ならば線型代数だけでも何とかなるかも知れん。
数論なら高木の本やセールの本をまずやる。
代数幾何はグロタンのやり方に手を触れない可換環論の範疇であれば
手を進められる可能性はある。

有限群論、組み合わせ論があるじゃないか
それらのからみで組み合わせ表現離散帰化とか

>>340
>代数がらみといったら表現論　数論　代数幾何あたりがぱっと

代数どころか幾何も解析も縦横無尽に駆使する必要のある
先端的な複合分野を選ぶってのは、なんだかなあ。

>表現論？群の知識というかシローの定理とか使って
>ある位数の群の判別とかがすごく面白く興味深かっただけなんですが
これは>>347が言ってる有限群論じゃないの？
表現論じゃないと思うよ。

古典的な数論が好きなら、体の付値論あたりをやるか、環の拡大の理論あたり、
代数幾何を目指すなら、まずはホモロジー代数（+圏論の初歩）あたりだろうか。

最先端というが、べつに恐れることはない。
全部勉強してからとか思わずに面白いことを追いかけていたら
自然に必要なことは覚えられる。
代数幾何とか数論とかいうけど、要点はべつにそう難しいわけじゃないよ。

どれを追いかけるには、あいだが抜け落ちてないかって話だろ

には->にも

>>349
真理だとは思うが、本がどういう性質を有しているのかにもよる

特に
自分が異常に苦労しながらも、さらっと書いている本はやたらと難しい
傑作とか、名著と言いながら、そんなのを優秀な人でも学生のうちに
まっとうに読めるわけない

まだ、実験重視的な内容の方がまだ分かりやすいこともないが、
ああも、当時最先端の理論を微積の教科書みたいに整備されまくると、
「どうやって運用するの？」って突っ込みたくなる。

>>340は運用スキルが低いに1869カルタン〜1951カルタン

ガロア理論研究しようと思ってるんだがどこの大学院がいいですかね？

Meidai...

いやね、皆さんアソコをボロクソに言わはりますけどネ、
凄い数学者かて居てはるじゃないですか！
あんなのがアソコに居るなんてちょっと事故みたいやけどサ

あそこってどこ？

凄い数学者って禿藁のことだろ？

>>355
とりあえず、半年ROMろうか。コテがつまらん。

>>355
荒らすな

位数が素数の群の構造は巡回群だけですが何故かわかります？

図書館に行って代数学の教科書を
二、三冊くらい調べりゃ証明載ってるよ

>>360 部分群は元の群の位数を割る位数をもつから。
　一元生成群を考えればいい

>>362
真部分群が存在しないのは分かるのですがそこから何故構造がただ一つに決定できると断言できるのでしょうか？

>>363
単位元でない元の位数を考えてみよ。

たとえネタのつもりでもあまりに幼稚すぎて
読んでてこっちが赤面する

猫藁ワロタｗｗ　よくゆーよ

355 ：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 ：2009/07/18(土) 08:32:24
いやね、皆さんアソコをボロクソに言わはりますけどネ、
凄い数学者かて居てはるじゃないですか！
あんなのがアソコに居るなんてちょっと事故みたいやけどサ

357 ：１３２人目の素数さん：2009/07/18(土) 16:11:59
凄い数学者って禿藁のことだろ？

新聞沙汰になったのにアソコに居るなんて事故だろ

>>364
そこから分かる結論は全ての元の位数が群の位数と一致する事実だけだが、巡回群の構造でない群の構造が存在しないと断言できる根拠は？

からかっているのか？
同型も知らない振りかな

>>368
>そこから分かる結論は全ての元の位数が群の位数と一致する事実だけだが、

単位元でない元が生成する巡回群が元の群と一致することがわからないようでは。

生成元を生成元に対応させれば明らかに同型対応がつくよね

元の位数はその元が生成する巡回群の位数に一致する。
こういう基本的な性質を知らん振りするから、
「巡回群の構造でない群の構造が存在しないと断言できる根拠は？」
などというトンチキが出てくる。

↑彼は素数の定義が理解できてないのでは？（笑）

>>363
真部分群が存在しないけど、巡回群じゃない場合にどうなるか考えてみたら？

夏にしても腐敗したたぐいの夏だな

エサを与えるから、いつまでもいつくんだろう

y=x^2がトーラスになる理由を教えて下さい。

ビルゴになるよ

ビルゴって何？

>>374
なるほど
真部分群をもたない群⇒巡回群
つまり
単純群⇒巡回群⇒巡回群の構造は一つのみ
ということですかね？

>>379

　　ば　　か

どうなってんねん

「真部分群をもたない群⇒巡回群」　この短絡がたまりませんなあ。
そしてとどめは
「単純群⇒巡回群⇒巡回群の構造は一つのみ」　字面から術語の意味を推定する大らかさ。

>>376にレスして欲しいんだけど・・・。

>>379
に聞きたいんだが、何故個々のtechnical termの意味を確認しないの？
そんな調子じゃ何一つ理解でけまへんで。

>>376
C^2においてy=x^2のRiemann Surfaceがトーラスと同相になる理由かね？
それとも違う事を言って言るのかな？
その辺り、明確に書かないと誰も返答しないよ。

>>379
「単位元でない元が生成する巡回群」って意味分かりますか？
式で書いてみて

>>385
単位元eとは異なる元をaとする。aの位数をnとするとaが生成する巡回群とは
集合{a,a^2,a^3,・・・,a^(n-1),e}　である。　a^n=eに注意。

>>363=>>379=>>386？？

おまえらこっちでやれ↓

学部生のための数学の質問スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1240143686/

no

>>384
そうだと思います。
記憶があいまいで・・・。
リーマン被覆の意味もお教え下さい。

だが頑張れば素数を位数とする群で巡回群でない群もつくれそうな気がするのは何故？

>>391
素数がどういう数か理解していないから。

加えて、結合法則がどれだけ強い制限なのかわかっていないから。

>>391
そりゃ気の迷いです

数学科の一年生が根拠も無く、
自分は将来大物の数学者になれそうだという気がしているのと同じ

おまいら、おもちゃは大切に扱えよw

わかってまんがな。
そやさかい、>>386では代筆

>>384
リーマン面でしたね。ウィキペディアで調べました。
それでお願いします。

どのくらいのことなら分かっているのか？

素数位数のリーマン面は可解群。

位数nの群の構造の数mはコンピューターで調べると

n　m
1 1
2 1
3 1
4 2
5 1
6 2
7 1
8 5
9 2
10 2
11 1
12 5
13 1
14 2
15 1
16 14
17 1
…
10000　?

となってしまいますが一般のnについて構造の数は分からないのですか？

また構造の数が3と4の群は存在しないのですか？

>となってしまいますが

ってお前が調べたのかよ。どんなプログラムで？

http://www59.wolframalpha.com/input/?i=FiniteGroupCount[n]%2C+n%3D1+to+20

nが因数分解された形で与えられていたら
構造の数のオーダーくらいは知りたいよね
有限集合上の位相構造とかもそうだけど。

＞構造の数が3と4の群は存在しないのですか？
構造の数が3と4の「位数」だよね。
位数が28とか44とか（p≡1 (mod.4)でないような5以上の素数に対して4p）のとき4、
位数が75のとき3だね

>>402
ギャップとかいうソフトらしいです

>>404
なるほど
しかし構造の位数は1と2を除けば5と14が圧倒的に多いですが何か理由があるのですか？
また構造の位数7の群は存在しますか？

あと化学勉強してて思ったのですがアルカンの構造異性体の数は代数学の力を使えば一般化出来ないですかね？
指数関数並に強そうです

>>405
> 構造の位数

なんじゃそりゃｗｗｗ
構造の数が○○になるような群の位数nの話してたんじゃねーのかよｗｗ

やっと規制解けた
アドバイスして下さった方ありがとうございます。

有限単純群のモンスターで調べたらすごく面白そうですね
存在自体は聞いたことあったんですが改めて調べてみるとすごく興味深いです。
群環体(+加群)をメインにしつつ、高木貞治の数論の初歩系のを読んでいこうと思いました。

そういえば素数位数の群は巡回群のみの話題が出てましたが、そこらへんの不思議さから群論好きになった覚えがあります。
学びたてのときはびっくりでした

確か炭素数nの（飽和？）炭化水素の種類の数とかは
既に研究されて答えも出てたと思う

397 ：376：2009/07/21(火) 09:17:49
>>384
リーマン面でしたね。ウィキペディアで調べました。
それでお願いします。

この書き込み無視しないで下さいよ〜！
宜しくお願いします。

>>409
y=x^2のRiemann Surfaceはトーラスと同相にはならない（球面と同相）。
トーラスと同相になる例としては、y=((x-1）^2)(x-4)^2))^(1/2)なんかがあるな。

間違い
トーラスと同相になる例としては、y=((x^2-1）(x^2-4))^(1/2)
と読み直してくれい。

相手するな

>>412
>相手するな

Roger.

>>411
もっと単純な式のものがトーラスになった記憶があるのですが
違ったかな？
記憶違いでしょうか？
思い出せなくて困っています。

y^2 = x^3 + 1

で、
　シローの定理
ってなんですか？

サブローの補題

トーラスですよね、
ソレで良かったっけ？

>>415
それだったかも知れないと言う気がしますが・・・、だとすると
どうしてトーラスだったでしょうか？
分かりやすくお教え下さい。

高橋の複素関数でも読めば。

親切な〜を手元にお持ちの方いますか？

群の正規部分群を見つけるコツは共役類に分類することですが、
群から共役群を見つけるコツってありますか？
コツコツやるしかないのでしょうか？

すみません。
ここで聞くべきか分かりませんが、質問します。

二次の多変数多項式は行列とベクトルを使って簡単に書くことができると思います。

f(x) = a + b^t x + x^t Q x

3次以上の多変数多項式も、行列とベクトルで表記することはできますでしょうか？

>>423
常に (1, x, x^2, x^3, ...) というベクトルと (a0, a1, a2, ...) というベクトルの内積で書けるけど。

多変数を忘れていたが (1,x,y,x^2,xy,y^2,...) で同様。

多変数のベクトルをxとして、xと係数ベクトル、係数行列で書きたいです。

二面体群Ｄ4とＤ5の共役類分解ができません
コツってありますか？

高木 代数的整数論
ってどうですか？
特に後半。
類体論初心者なのですが、代数一般書一冊でガロア理論までひととおりざっとやっただけなのですが
読んだ人いますか？

>>427
生成元の基本関係式から導くだけ。
生成元は2個なんだから、
まず全ての正規部分群を求めることができるかどうかを、やってみたら？。

>>428
十分読める。

>>430
ありがとうございます
ひとつ気になるのですが、類体論講義という足立先生の本があって
前書きに目的は類体論を最小の予備知識で最短距離で習得することを目的とする、
とあるのですが、どうやらこの本は、高木代数的整数論の前半を仮定しているようなのです
日本の学生ならまず読んでいるだろうとしています。
でも同じ本の後半に類体論があるのに、なぜ足立先生は前半を仮定し、
後半を仮定してないのでしょうか？足立先生は類体論の初心者用に書いているようです
もしかして高木の後半の類体論は難解で有名なのでしょうか？

>>431
足立の本は読んでないからわかんないけど、比較的新しい本だから
群のコホモロジーを使った証明なんかな？
高木のはいわゆる解析的証明ってやつだからそれとはちょっと違う。
整理が行き届いているとは言えないので、わかりやすくはないかもね。

>>432
最短を目指しているので、コホモロジで統一するとか算術的証明にこだわるとか
は一切していないそうです
高木代数的整数論を読んだ日本の読者には馴染みやすいように書いたとのこと
局所類体論から入るという普通の自然な方法をとっていないそうです

すいません、質問させてください!
｢Aをn次行列とし、すべてのn次行列Bにたいして AB=BA が成り立つようなAの形を答えよ｣
という問題なんですが、解答を頼みますm(_ _)m

>>434
n次全行列環は既約なので、交換子環は単位行列のスカラー倍。

>>434
Aの成分をa_{i,j}，Bの成分をb_{i,j}として、
AB,BAの成分を表して比較してみる。
そのとき、Bの内容によらずAB,BAの成分が一致することから
Aのほとんどの成分は0でないとならないが、一部の成分だけ
0でなくてもよい。（つまり、そのAの成分を含む項だけは
AB,BAの成分の中で一致している。）

この結果を整理すれば、それが答え。

>>434
B=(b_[i,j])としてk番目の対角成分b_[k,k]=1で残りの成分が全て0である行列をとり
ＡＢ＝ＢＡとなっているとき、Aのk行の成分、k列の成分がどうなっているかをまず調べる。
それから、次に、B=(b_[i,j])として、　各k,l（k≠l)について、b_[k,l]=b_[l,k]=1、残りの成分が全て0である行列をとり
AB=BAのなっているとき、対角成分a_[k,k]、a_[l,l]がどうなっているかを調べる。

ま、手を動かしてみ。そうすりゃ、分かるから。

こういう問題はまず何か特殊な行列
（要素がほとんど 0 で、どこか一個だけ 1 とか）
を取って試してみる

>>434
。。。つまり、それだけ異なる解法があるって事だ。。。

>>431
高木の類体論の前半は冗長な感じがする。
代数体の判別式やトレースとか、
要はガロア理論が分かっていれば十分読める。

お前が読めていないことはわかったｗ

>>439
>　>>434
>。。。つまり、それだけ異なる解法があるって事だ。。。

いやはや、世もすゑぢゃ。

線型代数スレなら良かったのかねえ

巡回群で部分群をもつ場合ってあるんですか？

・・・以前の人？

例えば位数 4 の巡回群（Z4）で考えてみたら良いよ

つうか何でそれが自分で分からないの、という話なんだが
数学全然分かってないでしょ

あとシローp-部分群が一個しかないとき正規部分群になるのは何故ですか？

>>447
pシロー群は互いに共役（シローの定理）で、１つしか無いから自分と共役。

>>447
共役な部分群同士はどういう性質をもっているのかな？

代数学スレとしては>>435の回答が筋が良い気がする。
ほかは線型代数スレの答えだな。

なんとなく分かりました。
シローの定理から群を決定する際
異なった２つのアーベル群生成群はアーベル群になるのは何故ですかね？

あと質問は
巡回群で真部分群をもつのはあるのですか？
でした

>>451
> 異なった２つのアーベル群生成群はアーベル群になるのは何故ですかね？

アーベル群生成群って何？

> あと質問は
> 巡回群で真部分群をもつのはあるのですか？
> でした

群の例は幾つ知っている？

>>452
アーベル群から生成される群は何故アーベル群になるのでしょうか？

群は有限群の場合、
巡回群、二面体群、対称群、交代群、クライン
を知ってます

>>453
>>452の質問に戻るけど、
２つのアーベル群から生成される群には
アーベル群も、非アーベル群も、どちらもある。
また、その二つのアーベル群が共に有限群であっても、生成する非アーベル群が無限群であることもある。

「異なった２つのアーベル群生成群はアーベル群になる」という群としては具体的にはどんな群を考えているのかな？

あとの質問については、
位数の６の巡回群はどんな群なのかを考えてみるとよい。

質問です。

nが4以上であればn次対称群の任意の元は
ふたつの位数2の元の積で書けることを証明せよ。

という問題で、たしかに4-cycleなら、

(1234)
= (14)(13)(12)(13)(13)
= (14)(23)(13)
= (14)(23) * (13)

となり二つの位数2の元の積に分解できます。

ここから任意の巡回置換について示せれば証明がほぼ終わる
ような気もしますが、すでに5-cycleの時点で詰んでしましました。

何卒お助け願います。

>>455
帰納法

>>454
位数６の巡回群で部分集合見つかりました
一般に位数が素因数分解できるとき部分群が存在するんですね

例えば因数15の群Ｇの構造を決定するとき

３シロー群と５シロー群はただ一つで共通元は単位元のみ
よって３シロー群５シロー群はともに巡回群になるので
　ab＝ba（a､bはシロー群の元）？？？
よってabはアーベル群となり位数が１５となる
　Ｇ＝<ab>

とありますがabの元がbaとなるのは何故ですか？

(1234) = (24) * (14)(23)
(12345) = (25)(34) * (15)(24)
(123456) = (26)(35) * (16)(25)(34)
(1234567) = (27)(36)(45) * (17)(26)(35)
(12345678) = (28)(37)(46) * (18)(27)(36)(45)
(123456789) = (29)(38)(47)(56) * (19)(28)(37)(46)

規則性はわかるよな。

>>456
すみません
よってabは巡回群となってです

>>457は>>455な。>>456は別人。（帰納法？）

>>459
数学的帰納法を使えば一般の場合に証明できる

>>460
簡単に数学的帰納法が適用できる問題には見えないんだが。
題意を取り違えていなければよいのだが。

>>461
一般にn置換は互換n個の積として表される

>>462
なんの話をしてるんだ？

>>457
おお、できてる！
どういう方針で見つけたのでしょうか？

(1,2,3,...,k)
= (2,k)(3,k-1)…(ceil(k/2),k-ceil(k/2)+2) * (1,k)(2,k-1)…(floor(k/2),k-floor(k/2)+1)
※　ceil()は天井関数、floor()は床関数とする

それがkまで成り立つとすれば、前半に1を含まないので
(1,2,3,...,k+1)
= (1,k+1)(1,2,3,...,k)
= {(1,k+1) * (2,k)(3,k-1)…略} * {略}
とできるので、k+1のときも2つの位数2の元の積にできて
帰納法まで一直線ですね。

ここさえクリアできれば、任意の元についての証明はすぐでした。
おかげさまです。ありがとうございます。
----
任意の巡回置換αは
α=σ_1*σ_2（σ_1,σ_2はともに位数2）とあらわせる。

対称群の任意の元は互いに素な巡回置換の積なので
α、βを互いに素な巡回置換とすれば、

αβ
= (σ_1*σ_2) * (σ_3*σ_4)
= (σ_1*σ_3) * (σ_2*σ_4) 　∵ σ_2とσ_3は互いに素

となり、またσ_1とσ_3、σ_2とσ_4のそれぞれのペアは
互いに素なので、αβが二つの位数2の元の積であらわせた。
３つ以上の積については帰納法により簡単に示せる。

…って

(1,2,3,...,k)
= (2,k)(3,k-1)…(ceil(k/2),k-ceil(k/2)+2) * (1,k)(2,k-1)…(floor(k/2),k-floor(k/2)+1)

の規則そのものが成り立つことを証明してなかった。。

>>464
＞どういう方針で見つけたのでしょうか？
単にいくつかやってみて、規則性を見つけただけ。
たとえば位数７の巡回置換なら、先にやる置換の中に(12)が含まれると仮定し
１回目に(12)をやると、２回目には(13)は必須
２回目に(13)をやるなら、１回目には(37)は必須
…と考えると、
(13)(47)(56)*(12)(37)(46)
が自動的に決まる。
あとは、規則性がより明確になるように、１つずらして
(27)(36)(45)*(17)(26)(35)
に変えた。

>>457のパターンが成立することを示すのは、
帰納法よりも、nの偶奇で場合分けして、被置換集合の各要素の行き先を
直接確認した方が簡単では。

ちなみに、>>464の証明では抜けがあって
二つの位数2の元の積に分解できるのは位数３以上なので、
対称群の任意の元を互いに素な巡回置換の積に分解した際に
その巡回置換を位数２のものと３以上のものを区別して扱う
必要がある。
特に、もとの対称群の元が単独の互換の場合、
(12)=(34)*(12)(34)
のようなことをしないといけない。（そのための「nが4以上」という制約）

修正：
二つの位数2の元の積に分解できるのは位数３以上なので、　→
二つの位数2の元の積に分解できるのは位数３以上の巡回置換なので、

>>466
そうですね。互換のみの場合は(12) = (12)(34)(34)

また、σ_1*σ_2のどちらかに互換が含まれる場合は
変形せずそのまま残すと書いておいた方がよいですね。

あとは(123) = (13)(12)とあわせて>>457の
規則を適用すれば>>464の下の証明でよいと。

> 被置換集合の各要素の行き先
1, 2, 3, ..., k
k, k-1, k-2, ..., 3, 2, 1（右側の置換)
2, 3, ..., k-2, k-1, k, 1（左側の置換)

となることは明らかですね。なるほど。
細かい部分まで親切にありがとうございます。

> σ_1*σ_2のどちらかに互換が含まれる場合は
でなくてαβのどちらかに…でした。
例： (12)(34567) = (12)(47)(56)*(37)(46)

あと(123) = (23) * (13)で規則の内でしたね。失礼。

シャハレヴィッチの「代数学とは何か」が著しく難しいのですが…。

で、天井関数、床関数は初めて知りました。このスレに出された問題を
如何なる問題に対して何のソースもなしに解ける人はいるのでしょうか？

>>470
Basic Notions of Algebraの翻訳かね？
(翻訳を持っていないので)推測される理由としては

1)日本語訳が悪い：　笑うかも知れんが、此れ結構あるぞ
2)教科書だと思っている：　ありゃあある程度判った人間に、｢土地勘」を与えるための本だ
3)(稀)470が読む前提を満たしていない：　この可能性も0ではないな

蟹江幸博訳ね、あれはいけない。
ワイルの古典群の訳も酷かったようだね。

>>473が訳しなおしてPDFでうｐれ。

>>474

それより、英語のヤツを読むことを勧めたいね。

古典群の訳が酷いってのは聞いたことあるけど
「代数学とは何か」の訳が悪いってのは聞いたこと無いけどな

誤植もそんなに見つかってないようだし、
見つかった誤植は刷が新しくなるごとにちゃんと訂正されてるし

>>475がちゃんと日本語に訳してくれたら問題ないよ。

で、>>473と>>476のどちらが、実情を良く現しているんだい？

古典群の訳が酷いというのも、
訳語が変だとかいうのが主だった気がするけど

superstractureが超構造とか
（著者のサイトによると新しい刷では上部構造に訂正したみたい）

>>477
> >>475がちゃんと日本語に訳してくれたら問題ないよ。

悪いが、俺は自分用にFuchs,Fomenko,Gutemacherを訳そうとしてるんで、そんな余裕はないよ。
（何せ、錆付いたロシア語だから一体どれ位時間がかかるやら・・・）

>>472〜>>480
ありがとうございます。虚数乗法をやる場合、代数幾何、
グロタンのスキーム理論は必要なのでしょうか？とりあえ
ず、理解できるか、理解出来ないかはさておき虚数乗法に
逝ってきます。

>>480
ケーニヒスベルク…（´・ω・`）

いらんよ。

夏休みなのにお金がない…
数学はペンと紙だけあればいいと言うが、
一か月に2万円位は数学書代とコピー費用、文房具の費用に消える

ルーズリーフの50枚組も1日2日で切れるし、私が頭が悪いだけなの
だろうか…。

age

age

やかましい！

age

>>483 明らかに使い方がおかしい。
　文房具なんてボールペンとやすいコピー用紙使えば
　一か月で1000行くわけない。
　数学書なんて本当にほしいものだけ買えばよくて
　基本は大学の図書館で借りたほうがいい。どうせたいていの本は一回読んだら
　もうほとんど見ないだろ？
　GTMの立派な分厚い名著でも一万超えるのなんてあんまりないのに
　それは買いすぎ。

分数イデアルとはなんですか？

純粋数学の場合は基本的には自分の頭だけで勝負が
出来る筈で、まあ精々いいとこ紙とペンだけでしょうね。
余計なモノがあればある程「眼が曇る」という要素も
かなりある訳で、素朴という観点を忘れてはいけない
と思います。

コレは猫の場合だけかも知れませんが。

純粋数学の場合は基本的には自分の頭だけで勝負が
出来る筈で、まあ精々いいとこ紙とペンだけでしょうね。
余計なモノがあればある程「眼が曇る」という要素も
かなりある訳で、素朴という観点を忘れてはいけない
と思います。

コレは猫の場合だけかも知れませんが。

ポントリャーギンなんてめくらなのに

ピアニストでもリヒテルとかが居ますからねぇ
スティービー・ワンダーだってそうでしょう
但し天才は猫の参考には全然ならないんですが。

猫は誰の参考にもならない

そりゃそうでしょうな
自分で判ってますんで。

猫ってちんこにピアスしてるの？

>>490
荒らすな

>>491
荒らすな

>>493
荒らすな

>>495
荒らすな

>>493
>ピアニストでもリヒテルとかが居ますからねぇ

リヒテルが盲目だったという話は聞いた事がないね。
日本公演をやったとき見たが、盲目ではなかったぞ。
誰か他の人間と間違えてんじゃんねえのか？

点O(0,0,0,)、Ａ(0,2,0),B(-1,1,2)について答えよ
c⊥a　、c⊥ｂになることを示す
という問題がわからないのですが誰が解いてくれる方がおられませんか

すいません、Ｃ（4, 0, 2)が抜けました

あやまるところはそこではない

久しぶりの書き込みの中、質問で失礼いたします。


Z[x] ：整数環Z 上の１変数多項式環
I をZ[x] の素イデアルとする

(1) I ∩ Z = (0) のとき，
IQ[x] ∩ Z[x] = I
であることを示せ．ただし, IQ[x] はI により生成されるQ[x] のイデアルを
表す。

IQ[x] ∩ Z[x] ⊂ IZ[x]を示したいのですが、どうやって手をつければいいか困っています。
Iが単項イデアルということを使えばできそうなのですが、これは(2)で示すものなのでこれを解くのに使用できません。
直感的にはわかるのですが、どうやって議論をすればいいのか…

どなたかご教授願えれば幸いです。

確かにリヒテルは盲目とはちゃいますなァ
何言いたかったか忘れました。スンマヘン。

>>501
突っ込み方に腹抱えて笑った

>>502
>(1) I ∩ Z = (0) のとき，
これがそもそも解釈不能

ロシア語が難しい･･･

>>503
どうでもいい話だが、横市に対する抗議文に署名したん？

横市は何処に向かっているんだろう。

>>505
ごめんなさい(0)じゃなくて{0}です。ごめんなさい

それは式の意味は違っても式の値は一緒じゃねーの？

>>507
501的に突っ込ませていただきたい
「あやまるところはそこではない」

>>505
>(1) I ∩ Z = (0) のとき，
>これがそもそも解釈不能

やれやれ。

もしかして(1) I ∩ Z = (0) の(1)の部分でしょうか
これは小問(1)の意味です。紛らわしくてすいません。無視してください。

>>501はマルチしまくったことを先にちゃんと謝れという意味なんだが……

>>502

Spec(Z[X])を決定する問題かね？
Gauss lemmaと、Lying-over（の概念）を理解していれば出来る筈なんだが・・・

>>513
何を言っているのかさっぱりわからん

>>514
> >513
>何を言っているのかさっぱりわからん

なら、理解するための前提条件を満たしていないんだな。もう少し勉強しろ。

>>479
>訳語が変だとかいうのが主

そんなことはない
http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugaku1947&cdvol=58&noissue=2&startpage=203&lang=ja&from=jnltoc

>>479>新しい刷
へえそんなの出たんだ
めでたいね

>>516
Thanks!
特に
「原著に馴染みのない読者が,理解しがたい原因を自分の能力の足りなさなどに誤って帰さな
いよう,幾分か注意を喚起したい」は名言だね。

>>513
遅くなりました。ありがとうございました。
まさにSpec(Z[X])の決定問題です。もう一度Gauss lemmaあたりを勉強してきます。
読んでたらいけそうな気がしてきました。

申し訳ないのですがLying-overは日本語だとどういう定理になるのでしょうか？
Zで既約ならQでも既約みたいな感じの定理でしょうか。

>>519
>Lying-overは日本語だとどういう定理になる

申し訳ないが、日本語で如何言うのか知りません。
可換環の本で｢環のIntegral Extension(多分"整拡大"と訳すのでしょう)」を見てください。
それから、もしどうしても解答が思いつかなかったら、
例えばUndergraduate Commutative Algebra(Reid)に解答がありますが、
見る前に自分で考えた方がいいでしょう。

>>516
メルシー。

落合先生の「微分幾何(上)」が初読でちらほら理解が出来ない箇所があるからやり直すかどうか考えている。orz

>>470
たぶんメガイプシロンボルトって何かわからないんだとおもう

メガわからん

八元数のこと英語で何？
octavion
って書いてある本があるのですけんどほんまですか

wikipediaにはオクトニオンoctonion;とある。

昔調べてみたけど octanion octonion, octanian, octonian
全部使われてる。それっぽければ何でもいいらしい。

>>521
>落合先生の「微分幾何(上)」が初読でちらほら理解が出来ない箇所がある

amazon.co.jpの書評で滅茶苦茶に貶している奴がいたな。

自分のばかを棚にあげているのだろう。

のう日体大の学長殿？

>>521
「隗より」も知らず、有名どころしかみない軽佻な人なんだろうね。

たとえ、誤植だらけのマイナーな悪書でも自分にとっては全て一読したら研究の手掛りがあるかもしれんから。

全て一読

>>526
octavion はあり？

>>531
さすがにvは誤植だと思う。Octavianと混同したとか。

octavionでぐぐっても人名しか出ないね

まあ自分で書くときは岩波数学辞典とかに従っといたほうが無難かも

>>532
その本ＨＰに正誤表があるのに訂正されてないす

おくたびあぬす

>>534
指摘したら正誤表に入るかもね

367 ：１３２人目の素数さん：2009/08/27(木) 17:59:09
四元数から四元数への写像を考えてるんだが、なんか参考文献無い
だろうか？H^2の多様体も考えてる。
372 ：367：2009/08/27(木) 20:33:38
そしたら、２次元の普通の意味での多様体の分類はトーラスと
球面と射影平面とそれらの連結和だけど、代数多様体の分類は
２次元だとどうなるか知ってる？もしくは参考文献教えて。

「四元数以上の数って」に投稿した質問です。
代数学総合スレッドの人になら、質問に答えてもらえるかもと
思って投稿します。よろしくお願いします。

複素関数論の四元数verの文献を見たいということか
少なくとも日本語の文献は見たこと無い

>>538
「四元数以上の数って」の372の質問は分かりますか？

>>537の367はマスサイネットが無いと分からないかも知れないけど
372は普通に代数幾何の人ならわかるはずだと思うけど・・・。

四元数は非可換体だから、掛け算とか普通に定義できない
か・・・。

乗法が無くてどうやって体とか非可換とか定義してんのこいつ…

>>542
乗法はあるけど、非可換だから、ｘｙとｙｘじゃ違うって事に
なるから、普通にグラフが考えにくいんじゃあないかと思う
のだが。

考えていることを相手に説明する能力が皆無、ということだな……

グラフに積の順序がどう関係あるってんだ？？？

>>545
順序こみでグラフを考えれば良いって事？

>>545
納得。グラフ考える事が出来るかもしれないね！

独り言しか言わないならチラシの裏にでも書いとけ

これってひょっとして新しい事、それとも、誰かすでに考えてる事？
マスサイネット出来る環境の人居るかな？新しい事なら、誰か
先生に相談しなければいけないと思うけど、誰に相談すれば良い？

>>537の372の質問にも誰か答えてくれないでしょうか？

うるせーな。
そんなに死減数が好きなら
ハミルトンが書いた600pくらいの本でも読んでろ。

>>551
その本にH^2の多様体の話とかも出てくる？
その本の題名も教えて欲しいんだが。

楕円曲線論の勉強を始めたいのですが、必要な予備知識を教えてほしいです。

群・環・体の基本はやってあります。
他にやっておくべきことがあれば教えてください

ワシも知りたい。教えて、教えて！！

>>552の質問に答えて欲しいんだが・・・。

渡辺敬一　後藤四郎両先生で、環論の本を書いてるって言う話しどこに言ったんだろな。

>>553
函数論。

群論とガロア理論ってどっちが先に出来たんですか？
ガロア理論が群論誕生の契機づけの一つとなっているのかな

どっちもガロアが発端と言って良いんじゃないの？
微積とニュートン力学が同時に生まれたのと似たようなもんです

群論もガロアが発端なんですか。
ガロアは本物の天才なんですね
あと10年でも長生きしてれば今の数学は別物になってるかもしれない。

いや、方程式の根の置換の為す群を考えたのが群という概念の発端なので。

つまり群という概念は最初はガロア理論で使うからという理由で出てきたということ。

こういう実例では無くて、抽象的な代数系としての群論は18Cか19Cのドイツ。
ただ抽象的なガロア理論もたぶんその時代のドイツなのでどっちが先かはやっぱり微妙な問題。

群の基本的な考え方は2000年以上前くらいからあったんだが

タイル張りの問題とかね。現代の目で見れば群論的なものは大昔からある。

>>560
>ガロワは本当の天才
死ぬか、ぎりぎりの瀬戸際だとただの数キチでも可能。だが、今時ガロワやラマヌジャンみたいなアホ行為をする勇気を持つ学生なぞいない。

ごもっとも、ガロワの生まれるもっと前にアーベル群を知ってたのか疑わしい数キチがいるが、「群の概念を発見しようがしまいがどっちでも良くね？」と言うのが数学とその他のとんでも学の明確な違いだと思う。

で、数学史に酔う程度だと一流の数学者になれない。それを肝に銘じるべきと思う。

↑長文すまんorz

ノイマン辺りも知るべきだと。
あの人は確か志賀直哉がごとき、
主語は一つ、述語は一つ、
を科学でやっているような
人だが･･･。

「群の概念を発見しようがしまいがどっちでも良くね？」
→群の概念を発見したのが誰だろうがどうでも良くね？ってことね。
群の概念なんて発見されてなくてもどうでも良くね？だったらとんでもないが。

数学史に酔う程度だと一流の数学者になれない。
→ヴェイユは564より余程数学史を重要だと思ってるよ。
逆に言うと、一流どころだとそれくらいしか数学史に詳しい人物は思いあたらんが、
一流の数学者が二流三流の数学者より数学史に疎いと言うことも無いので
（平均的には二流の人より微妙に詳しいと思う）、
数学の研究と数学史の知識はほとんど関連が無いというのが正しいはず。

佐藤幹夫もクロネッカー全集を読んで新しい発見をしてたと思う
（予想だったか概念の定式化だったのかちょっと失念したが）。
ただし佐藤は自分にとっての新しいアイディアを見つけるために読んでいたのであって
史的事実関係を調べるために読んでいたのでは無いことに注意。

きもいなあ
誰も聞いてないのに、
何一人で向きになってるんですか？

何で数学史自体を攻撃するのかなあと思って

数学社になれなかったお前らが三流の数学社云々行ったところで
全く説得力ないんだけど　ｗ

>>569もそうじゃん

>>564も>>566も>>569も説得力ないんだから
数学史に関しては自分で考えて好きにしろ、でFAってことで

はぁ？偉そうに説教めいたこといってんのお前だけだろ。
話そらすなよアホ

数学史に酔う程度だと一流の数学者になれない。それを肝に銘じるべきと思う。

これが説教でなくて何なんだ

571ってだれでしょうね

俺だよ俺、俺

>>566
解釈はそれであっている。
郷土史をやるのならまだ分かるが、
歴史に独り善がりな哲学擬を混ぜ併せたり
アイドルの追っかけみたいなことを
やるのなら女々しく見える。

クレルレとかの数学者も今は墓場にいるが、
どんな気持ちになるのか？
少しは気配りというものをして欲しい。

>>564で言いたかったのは>>575

説教めいたように受け取ったのなら、どうもすみません。

一段目は意味が分かった
>>558、>>560のレスからわずかにそういう傾向が伺えるのも分かる

二段目は意味が分からん

>>577は>>575へのレスです

説教めいたという気はあまりしなかったけど
「数学史が面白いと思うような奴は二流以下だ」
といういう風に読んでしまったので

群の概念の発端はラグランジュの論文による

K を可換環とし、A, B, C, D を K 上の有限生成の自由加群とする。
A, B, C, D の K 上の階数をそれぞれ n, m, p, q とする。

A, B, C, D の K 上の基底をそれぞれ (a_i), (b_j), (c_k), (d_l) とする。
f: A → C
g: B → D
を K 上の線型写像とする。

f の基底 (a_i), (c_k) に関する表現行列を M = (μ_(k, i)) とし、
g の基底 (b_j), (d_l) に関する表現行列を N = (ν_(j, l)) とする。

f(a_i) = Σμ_(k, i)c_k
g(b_j) = Σν_(l, j)d_l
である。

(f※g)((a_i)※(b_j)) = f(a_i)※g(b_j) = (Σα_(k, i)c_k)※(Σβ_(l, j)d_l)
= Σα_(k, i)β_(l, j)(c_k)※(d_l)

よって、f※g の基底 ((a_i)※(b_j)), ((c_k)※(d_l)) に関する表現行列は、
(μ_(k, i)ν_(l, j)) である。

(続く)

>>580の続き

A※B の基底を

(a_1)※(b_1), (a_1)※(b_2), ..., (a_1)※(b_m),
(a_2)※(b_1), (a_2)※(b_2), ..., (a_2)※(b_m),
.
.
.
(a_n)※(b_1), (a_n)※(b_2), ..., (a_n)※(b_m)
の順に並べる。

同様に C※D の基底を
(c_1)※(d_1), (c_1)※(d_2), ..., (c_1)※(d_q),
(c_2)※(d_1), (c_2)※(d_2), ..., (c_2)※(d_q),
.
.
.
(c_n)※(d_1), (c_n)※(d_2), ..., (c_p)※(d_q)
の順に並べる。

この基底に関する f※g の表現行列は、次のようになる。

μ_(1, 1)N, ..., μ_(1, n)N
μ_(2, 1)N, ..., μ_(2, n)N
.
.
.
μ_(p, 1)N, ..., μ_(p, n)N

この行列を M と N の Kronecker積という。

で、テンソルでも講義したいわけ？

サクッと代数全般を復習しときたいんだけど、
東大出版の代数学1〜3っていいの？

>>583
「代数全般」が何を指してるか分からん。
言葉通りをまともにやろうとしたら、それぞれ専門書１冊読んでも足りんだろ。

自由群とは、元の間に二項関係がない群のことである。
ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、
および一方が他方の逆元であるかどうかは判定できる。

この定義って意味不明というか、間違ってますよね？

意味不明なのはどの記述

またウィキペディアか。
しかも嫌ウィキペディア厨のレベルがウィキペディア以下だからさらにタチが悪い。

堀田良之「代数入門」のp73の下から五行目について質問です。
各diの素元分解において、どのdiの素元分解も素元の個数がsになっているのですが、これはどうしてでしょうか？
どなたか、よろしくお願いします。

自身と同型になるような自明でない部分群が存在するような群って存在しますか？

>>589

Abelian group Z
2Z is a subgroup of Z which is isomorphic to Z. Right?

Ah...Fuck you^^

>>590 For nonabelian group,what can you say ?

>>592
無限個の元が生成する自由群

まあ自明っちゃ自明だけどなｗ

>>588
maxをsにすればいいんじゃね？

>>595
ああ、なるほど！うっちゃられた気分ですが、確かにそう解釈すればその後の部分とも上手くつながりますね。
どうも、ありがとうございました。

E.Artinのガロアの本は現代でも使えるような内容ですか？

>>597が使うってのは何に使うの？

対称群S3の既約指標と既約次数を全て求めよ。

簡単な方針もお願いしますm(__)m

>>597
>E.Artinのガロアの本は現代でも使えるような内容ですか？

勧めないな。

>>599
共役類に分けて個数を数えて後は直感

S_3 は簡単だろ

簡単杉

位数6。正規表現を力尽くで分解しても大した手間でもないような。

可換群ってよく「abel群」って書くじゃないですか
「Abel群」じゃなくて「abel群」って小文字で始まる
普通は「Galois群」みたいに大文字でしょ
他に小文字から始まる人名からきた数学用語ってなんかありますか？

固有名詞があまりにも膾炙されると普通名詞化される。
Galoisがgaloisになれる日はいつか？

abelian というのは名詞でなく形容詞な
単に可換な群にアーベルの名前を付けるのは大げさという意識があるのかもしれない。
しかし commutative group というのは長いし。

>>605
ふつうはAbelian group, Abel群などとかくが、あまりにも人口に膾炙してしまったため
abelian group とか abel群などと書いてしまっても見逃しやすいということだよね。
ときどき小咄程度の笑いのネタになる程度のことだが、そう目くじらを立てることでもないわな。

>>608
>ふつうはAbelian group, Abel群などとかくが、

なこたあない
Abelian group なんて普通は書かない(冠詞なしで文の頭にくるとき意外は)
文の頭にくるときだって冠詞をつける場合がほとんどだから
An abelian groupとか The abelian groupとか書く

でも「An Euclidian space」だよね

んなこたない、普通はAbelian groupだ。

コンマ以下のことだろ
意味が通じりゃどーでもいいよ

他人の書いたことを勘違いして、自分の勘違いを否定する書き込みは笑える。

＞コンマ以下のこと
って何？

有限群と有限体はどんな物があるのか完全に分かってるようですが
有限環の場合はどうなってるのでしょうか

>>615
有限群は単純群など特殊な場合しか分類出来てない。
有限環も特殊な場合しか分類出来てないはず。

artinian ringの極一部。
群の場合は単純群ができてるわけだから拡大の一般論が、どれくらいできてるとみなすかによるんじゃ。

もちアルティンはアルティンローカルの有限個の積だよ。

>>618
非可換環は違うだろ

>>617
ほとんど何も出来てない

根基のある非可換環についてはほとんど何も分類されてないはず。

>>620
全くの素人なので、よかったら教えてください。

群Nと単純群Sが与えられたとき、形式的には
1→N→G→S→1
となるGは移送団の同値類(用語に自信無し)として分かっていると言える気もするのですが、ほとんど分からないというのはどういう意味なのでしょうか？

>>622
（例えば生成元と基本関係で）勝手に与えられた群を目にしたとき、
きみはそのような拡大の塔と単純群からその群を構成できるということですか？

すみません。
ほとんど分からないじゃなくて、
ほとんどできてない
でしたね。
何ができたら満足できるのですか？

もちろん、生成系とリレーションを与えられたときという設定じゃなくて、単純群の列が与えられたときに、組成列がそれになるような群の同型類が列挙できれば十分じゃないのと。
きっと十分じゃなと思うんだけど、その理由が良く分からないのです。

>>624
N と S から G の構造が全て決定できるならさしあたって満足

>>626
すみません。まだ、わかってません。
trivialな意味ではGの構造は分かっている気がするのですが。
G→Sの集合論的セクションを取ってNとSの元のペアの積の不確定度がコホモロジーもどきではかれますよね？
これだと、どういう意味で不十分なのでしょうか？

ネター環も 小文字で noetherian だな俺は。

分類の仕方が分った、という程度にしか見えないけど。

>>629
「見えない」というのはどういう意味でしょうか？
構造（ていうか単に積が確定し、同型類が特定できただけだけど）が決まったとはなぜ言えないのでしょう？
どっかつまんないことを勘違いしてるかな？

>>628
abelianとかmoetherianは性質を表す形容詞だけど、extension galoisienne
（ってフランス語だと普通だよね）
はある対象のガロア群を考えるのが普通だからじゃないかな？
Qの絶対ガロア群とか。

すみません。typoかつ日本語になってないな。

萌えたりあん…

萌えてリアン

あるチン環は　artin ring と書く人と artinian ring と書く人と両方いるよね

>>627
例えば具体的に位数を与えた場合、その位数を持つ群の同型類を全部決定
することは時間と手間をかければ出来る。それは有限環だって同じ。
しかし、それは分類とは違う。

>>635
なこと言ったら、あるチン環という人間だっているだろ。
あるチンポコ環という人間だっているし。
あるマンポコ環という人間だっている。

あるチン環
the penis ring...

>>635
あるマンコ環という人間だっているし
あるチンカス環という人間だっている
あるマンカス環という人間だっている

>>635
あるアナル環という人間だっているし
つーかしつこいｗ

環論の人でマルチンコフスキーという数学者が居るらしい

ホモロジー代数学者なのにマンコスキーという数学者が居るらしい

>>636
いや、そんな一般的な話をしているんじゃありません。
単純群の列とそれから順次構成されるコホモロジーもどきの元の列とから、与えられた単純群の列を組成列として持つ群の全体を列挙することはできるのに、
それで十分ではないというのは、どういう意味なのかな？と。

「十分ではない」じゃなかったですね。
>>620で「ほとんど何も出来てない」
と書かれていたので、どういう意味だろうと思ったのでした。

>>643

1) 例えば具体的に位数を与えた場合、その位数を持つ群の同型類を全部決定

2) 単純群の列とそれから順次構成されるコホモロジーもどきの元の列とから、与えられた単純群の列を組成列として持つ群の全体を列挙することはできるのに、

>いや、そんな一般的な話をしているんじゃありません。

1) と 2) も同程度に一般的だと思うが

有限生成アーベル群を分類って言ったら、
ZとZ/p^nをbuilding blockとして、それらの直和で書ける
というので普通満足しますよね。

可換じゃないと、単に直和というわけにいかないので捻ってくっつけるけれど、
そこまでだと、全然できていないというのがよくわからないのです。

>>635

artin ring　　　の検索結果 約 41,700,000 件
artinian ring 　の検索結果 約 53,700 件

"artin ring" の検索結果 約 4,240 件中 1 - 10 件目 (0.12 秒)
"artinian ring" の検索結果 約 32,400 件中 1 - 10 件目 (0.08 秒)

すまんかった
検索の基本をしらんかった

Results 1 - 10 of about 7,360 for "artin rings". (0.25 seconds)
Results 1 - 10 of about 34,700 for "artinian rings". (0.41 seconds)

エーベリアンとかネーセリアンとかみたいに、
日本人名で形容詞になってるのってないの？

http://en.wikipedia.org/wiki/Sasakian_manifold

tannakian category

　痰啼庵　狸庵？

>>654
淡中忠郎

淡中ｻﾝ大数で連載してたよね

アンカーつけなかったのがよくなかったのかな？
>>646は>>645に対するレスです。あなたの並べた1)と2)はレベルが全然違ってますよね？

>>657
有限アーベル群が与えられたら位数を素因数分解してやることで構造が決まるが
お前さんが言っているのはまったく逆のことだろ？それじゃ構造が決まったとは言わない。

>>658
不思議なこと言いますね。

あなたは有限生成アーベル群は分類できていないと思うのですか？(有限じゃないよ)

このての状況で分類するということで期待するのは、
0 基本要素がなにかが決まる
1 基本要素を組み合わせる方法があり、それによる標準的な表示を与えられる
2 二つの標準的な表示が与えられたとき、それらが同じか違うかを判定できる

ぐらいだと思うのですけど？

あなたの1)は対象の定義と同型の定義を与えることだけにすぎないので、それで分類ができたとは誰も言わないでしょう。

>>659
おまえは構成要素を寄せ集めて群を分類できたとよろこんでるだけ。
与えられた群を構成要素に分解して理解することには何の寄与もしてない。

> 有限生成アーベル群は分類できていないと思うのですか？
誰がそんなこと言ったの？
構造が分類できてるってのはお前の言ってる方向とまったく反対の話が必要
と言ってるんだけど。
> (有限じゃないよ)
有限でも有限生成でもPID上有限生成でも同じだよ。

>>660
うーん。やっぱり単なる馬鹿？

>>658であなたは
> 有限アーベル群が与えられたら位数を素因数分解してやること
と言っていますが、Z/4とZ/2+Z/2の区別がついてますか？

ましてや、
> > 有限生成アーベル群は分類できていないと思うのですか？
> 誰がそんなこと言ったの？
と言っていますが、一般のPID上であなたの言っている「お前の言ってる方向とまったく反対の話
」 なんてできるの？
例えばB_dR[X]（PIDだよね？係数体が大きいけど）の上の有限型加群とか？

普通は
>>659
ぐらいが穏当だと思うけど、あなたの言っている反対の話の例なんてありますか？

>>661
話にならんね

この手の〜〜では〜〜だ、
みたいなマイルール持ち出されても……

>>622
つまんない。

>>661
二次元閉多様体の種数による分類と
三次元閉多様体のサーストン分類との違いを考えればいいんじゃねーの。
まともに分類できないから妥協した結果としてファクターだけは分りましたよ
で分類できたことにしちゃったというなんともすっきりしない状況をさ。
#確かにそれ自体は凄いことなんだけどね。

>>662
話になってないのはどっちでしょう？
>>663
マイルールと言いますが、およそ分類とか構造定理とか言われているもので、このマイルールから逸脱しているものって何があるの？
>>664
まあつまんないのはつまんないね。
でもつまんないのとできてないのは違う話だよ。
>>665
オリエンテーションが入らないと種数だけじゃだめだけど。
向きづけ可能なコンパクト曲面が種数で分類できるとかいう話よりは、今のケースは有限生成アーベル群の構造定理の状況の方が良い類似じゃないですか？
明らかに「既約」じゃない合成物達の分類なので。

>>662はどっちとも言ってないが、さてどっちだろうね

>>666
三次元閉多様体と幾何化予想の話をしてるんだがね。

>>666
あんたがつまらない人間だ、といってますがね。

>>668
そんなの分かってるって。
ここで幾何化予想の話を出すのがコンテクストに合わないと言ってるだけ。
>>669
そんなことしか言えないの？

>>670
お前の言ってる事は幾何化予想が分類なんだから俺のいってるのも分類なんだい
というレベルのただの強弁だろと言ってるんだがねえ。

>>670
あんたがあまりにもつまらなすぎるのが問題なんだよ。

>>670
「まともに分類できないから妥協した結果としてファクターだけは分りましたよ
で分類できたことにしちゃったというなんともすっきりしない状況」
が今の場合のお前の主張のよい類似であるということだ。

ふーん。
あなたの考える満足な分類って何？
あなたの知的キャパに収まる程度と言う意味なの？

いい加減に「お前のかーちゃんでーべーそー」レベルの罵り合いはやめれ
どっちもどっちだ

>>675
thanks.

で、>>620の「ほとんどできていない」というのはリテラルには正しいと思うのですが、それはどういう意味なのでしょうか？

結局その程度か。

>>677
最初から全くの素人って言ってるじゃん。（苦笑）
群論は学部の学生程度のことしかわからないので興味を持ったのです。

でもここで今までいたのって学部学生以下のレベルでしょ。

当の>>620がいない中くだらないレスを俺とやり取りしてるお前は結局俺だ。

>>679
あなたはもう徹頭徹尾くだらないので、
出てこないでいてくださるとありがたいのですが。
あるいは判りやすい固定ハンドルを使うとか。

でも不思議なんだけど何が楽しいのかな。
自分が分かってもいないことをわめき散らすのが。

本当に>>679がレスしてたと思ってるのか……
真面目に答えて損した気分だ orz

>>680

そんなことを言っちゃ>>622がかわいそうですよ。
分らないなりに一生懸命考えてレスしてるみたいなのに。

>>682
ほんとに素で頭悪いのね。

私 = >>680 = >>678 = >>676 = >>674 = >>670 = >>666
だよ。
あなた日常生活でも苦労が絶えないでしょ。
挫けずにがんばってね。

>>682
そんなことはない、>>622は頭が悪すぎて使い物にならない。

>>622
定性的な構造理論で分類が出来ていると思うようではいかんなあ。

どこが定性的やねん！
完全に具体的やん！

あ、それじゃバカにはわかんないか。
Sは有限単純群、
Nは再帰的にこの構成で得られた有限群、
だよ。

>>622
あんたの言いたいことは、
「N と S を具体的に与えたとき G の構造は完全に決定できる。
だから有限群の分類は出来ている」
だよね？

あんたの理屈が正しいなら、
「具体的に位数を与えた場合、その位数を持つ群の同型類を全部決定できる。
だから有限群の分類は出来ている」
も正しくなる。

だから、>>615
「有限群と有限体はどんな物があるのか完全に分かってるようですが
有限環の場合はどうなってるのでしょうか」
に対する答えは、自明となる。
つまり、
「具体的に位数を与えた場合、その位数を持つ有限環の同型類を全部決定できる。
だから有限環の分類は出来ている」


なこたあない

(N, S)とGが一対一でさえないのに
>>659みたいなことを主張できるのが分からない

> あんたの言いたいことは
全然違うよ。

> あんたの理屈が正しいなら
これも全然違うよ。
あなたが言ってるのは、数学的対象とその同型を定義した瞬間に自動的に決まる話でそれを分類とか構造定理とか言う人はいないよ。
で、私が言っているのは、基本要素（有限単純群）とその組み合わせ方の具体的な構成（特殊なタイプの拡大）です。

> (N, S)とGが一対一でさえないのに
そうだよ。その不確定度がコホモロジー群もどきで決まるって言ってるじゃん？

実際のところは（特殊なタイプに限定したとしても）群の拡大の理論が、まだ、あまり整備されていないんですかね？

関係ないけど、可換なカテゴリーだと有限環は特殊なアルティンだからアルティンローカルの有限個の積として良く分かるよね？
可換性を外して、さらに半単純性も外すのってなんか意味あるのかなぁ？
あまり考えたことがないので、何かおもしろいことをご存知だったら教えてください。

>>690
>全然違うよ。

なら何が言いたい？

>>690
>で、私が言っているのは、基本要素（有限単純群）とその組み合わせ方の具体的な
>構成（特殊なタイプの拡大）です。

有限単純群 S と N を具体的に与えたとき 1→N→G→S→1 となる G の同型類は
決定できる。
しかしそれで有限群が分類出来たことにはならい。
で何が言いたい？

>>691, >>692
何が言いたいのやらサッパリわかりません。

なんか根本的に分かってなさそうなので、解説。

>>617で
> 群の場合は単純群ができてるわけだから拡大の一般論が、どれくらいできてるとみなすかによるんじゃ。
と書いたら、
>>620で
> ほとんど何も出来てない
とのことだったので、
>>622と書いた流れだよ。
分かりますか？

>>694
何が言いたいのやらサッパリわかりません。

>>694

>>617は>>616に対して書いたものだろ
だから>>620の「ほとんど何も出来てない」というのは
有限群の分類という目的に関しては現在の拡大理論は無力という意味。
「拡大の一般論が全然出来ていない」という意味ではない。
(有限群論の入門レベルの)常識で考えろ。

>>696
>>622は救いようのないレベルのバカなんだからそれじゃまたわからずに喚きだしちゃうよ。

若くして京大教授に就任した加藤毅氏のMathSciNetにおける引用の少なさ（自身をのぞくとわずか2件）が話題になっています。

引き続き公益にかなう議論をお願いします。
事実無根の誹謗中傷は決して書かないよう、日本国憲法で保障された言論の自由の意味をよく理解したうえて、公益にかなう議論を展開して行きましょう

>>696
あなたは>>620を書いた人ですか？

> 「拡大の一般論が全然出来ていない」という意味ではない。
と書かれていますが、群論の中の人ではないユーザーから見ると、拡大の一般論があるようには見えないと思いますよ。
拡大の一般論というのは、何らかの可換性の仮定を利用して拡大がコホモロジー*群*で書ける時に限られるんじゃないですか？

あなたが考える有限群の分類というのは、どういう感じのものなのですか？

>>699
>拡大の一般論というのは、何らかの可換性の仮定を利用して拡大が
>コホモロジー*群*で書ける時に限られるんじゃないですか？

仮にそうだとしてもそういう拡大の一般論はあるわけだ
で何が言いたい？
負け惜しみで揚げ足とりに方向転換か？

>>699
相手の言っていることを否定することが目的化していては
あなたに未来はありませんよ。

>>700
ハハハ、「仮に」ってなんだよ？
>>701
あなたの未来の方が心配だよ。
相手の間違いを指摘して（とても全部はしきれないけど）、不明瞭な点は質問してるだけです。

負け惜しみもなにも、尋ねてるだけ。

>>702
なにが間違いを指摘して質問してるだけだよ。
（一般論ができてるから）分類ができてるといったり
一般論ができてない（から分類ができてない）といったり
あまりにも支離滅裂すぎて、呆れるのも通り越して早く消えて欲しいよ

A「ないの？」
B「ある」
A「どうせまともなもんじゃないんだろ？」

ガキは帰れ

>>703 / >>704
あなた本読んでも支離滅裂に見えるでしょ？
それは本が支離滅裂なんじゃなくて、あなたが支離滅裂なの。

>>705
自己紹介乙

>>706
残念ながら私は違います。
ゴメンね。

>>699
「拡大の一般論は全然出来てない」と思ってるのか思ってないのか
どっちなの？

>>707
主張が支離滅裂な奴はみんなそういうんだ。

>>708
もちろん可換性の仮定を用いないような、剰余が一般の単純群となる拡大の一般論のことは知りません。
なので、プロパーな人にそこらへんのことはどれくらい進んでいるのかお尋ねしたかったのです。
普通の教科書や数学辞典（の有限群の項）を見てもそういったことは難しいという情報しか取れないので。
（この手のことは多分あまり良いアプローチではないと思われているのかな？と）

関係ないけど、支離滅裂な本が一つもないというのは正しくないな。
数学書と言い難いけど「プライムナンバーズ」って本、すごいよ。
おそらく訳者が全く数学のことを知らないので（だけでなく英語の意味すら取れてない）めちゃくちゃ加減が半端じゃありません。

元々支離滅裂な人ならスムーズに読めたりするのかも。

>>710
ごちゃごちゃ書かなくていいから>>708に答えろよ
簡単な質問だろ

「無い」とはどういう意味で無いのでしょうか？
とか言われても無いものは無いとしか言いようがないような
「ある」ならまだしも

「知らない」って書いてるじゃん。

「分かっていると言える気もする」とも書いてるし
「拡大の一般論があるようには見えない」とも書いてるだろ
今更知らないとか言い出されても

何らかの可換性の仮定を利用して
拡大をコホモロジー群でもって表すようなもの以外は
自分は拡大の一般論として認めませんって明言してるんだから
もし有限群の専門家が居ても誰も答えないと思うけど

どうせぐだぐだ文句付けられて終わるに決まってるんだから

なんか間に変なのが入ってるので
>>713は>>711へのレス。

こちらから質問。
有限生成アーベル群は分類できていると思っていますか？
PID上の有限型加群でもDedekind環上の有限型加群でも良いけど。

>>712 >>714 >>715
いいの、いいの。
あなたは何にも分かっていないのだから、
そんなこと心配しなくても。

>>717の補足。
正確にいうと、あなたが私の書いたことを理解しないで誤ってパラフレーズしてくれてるおかげで、
めちゃくちゃ読みにくくなってしまっているので迷惑です。

何で自分で理解できないものにいちいち反応するの？

>>622が頭悪すぎることが全ての元凶です。

>>716
わからないなら
>>715の
有限群と有限体はどんな物があるのか完全に分かってるようですが

これは、どっから出てきた？

単純にお前のレスが支離滅裂なのが悪いんだろ
責任転嫁するなよ

まったくその通りだ、>>622の発言が支離滅裂なことが全ての元凶なんだから、責任転嫁すべきじゃない。

>>719 >>720 >>721 >>722
まだ反応してたんだ。
可哀想に。

>>716 に対するあなたの答はなんなの？

>> 720 で「わからないなら」とかとんちんかんなこと書いてるけど私がわからないわけないじゃん。

>>723
>>> 720 で「わからないなら」とかとんちんかんなこと書いてるけど私がわからないわけないじゃん。

>>716で知らないって書いてあるだろ。

>>723
まだ荒らし足りないのかよ

>>724 >>725
大変ですね。何がおもしろいのやら。
あなたぐらい現状はちゃめちゃだと、逆にこれからのノビシロがほぼ無限大だね。
がんばってください。

>>726
誤魔化すなよ。
>>716で
>>713は>>711へのレス。
と書いてるだろ。

>>720に答えろ

　　　　　　　　http://www.age.ne.jp/x/eurms/

>>727
答えてあげても別にいいけど、>>720で何を訊いているのか意味不明です。
レスを参照しないで簡潔に質問をまとめられないの？

あなたにそれができて、>>716に「はい」か「いいえ」で答えることができたら、答えてあげるよ。

中国人剰余定理ってイデアルのインデックス有限じゃなくても成り立ちますか？

>>729
>レスを参照しないで簡潔に質問をまとめられないの？

そういう問題じゃない
レスを参照するのは言い逃れできないようにするため

>答えてあげても別にいいけど、>>720で何を訊いているのか意味不明です。

頭悪いな

>>715の
有限群と有限体はどんな物があるのか完全に分かってるようですが

この根拠は何かと聞いている
何故、有限群はどんな物があるのか完全に分かってると思う？

>>731
頭悪いのあんただよ。

あんたが噛みついてる相手は、NがアーベルのときはNのSによる拡大はH^2(S, N)で表せることを分かった上で拡大の一般論がどれくらいできてるのかを訊いてるわけだろ？
(これは俺も知りたい)

それが全然わからないで支離滅裂なカキコして荒らしてるのはお前。

>>732
>>715がこの騒ぎの発端なわけ
拡大の理論がどの程度出来てるか聞きたいってのは順序が逆だろ
それを知らないで>>715をよく書けるな
そういうのを支離滅裂という
あんたも頭悪いな
ひょっとして>>722と同じ人間かｗ

>>715じゃなく>>615な

>>733
騒ぎねぇ。
おんなじじゃないけど、>>615は普通に有限群は全然わからない。有限体は簡単。有限環は可環なら簡単、必ずしも可環じゃないと知らね。が普通じゃ。

まああんたがバカなのは間違いないなら荒らすのやめな。

間違いないなら
じゃないや。
間違いないから

>>735
>>>615は普通に有限群は全然わからない。

どうやったら>>615がそう解釈できる？
頭悪すぎて話しにならない

>>737
バカだなあ。>>615に対する普通の回答としてはだよ。
>>615は良く分かっていないヒトの（事実誤認を含んだ）素朴な質問だろ？
それをどう解釈しろと？

>>738
>>>615に対する普通の回答としてはだよ。

話が通じなさ過ぎて頭いたくなるぜ
そんなのは当たり前なんだよ

それを
>>617の馬鹿が
>群の場合は単純群ができてるわけだから拡大の一般論が、どれくらいできてるとみなすかによるんじゃ。

と群の拡大を持ち出して来たから騒ぎが大きくなったんだろ
あんたも奴とおなじくらい馬鹿だからあっち行けよ

>>738
バカなのはお前のほうだろ、>>622はH^2による拡大の一般論があるから
単純群の列を組成列と見なすだけで満足しろと言ってる、
かつ、そのおなじ口で拡大の一般論はないとも言ってる。意味不明すぎる。

　「知らない」って書いてるじゃん。
といった本人が
　私がわからないわけないじゃん。
とも言ってるしね。
今度は「知らない」とは言ったが「分からない」とは言ってない、
とか言い出すんだろうか。
それとも自分の主張はそれ以前の発言と整合的でないといけない、
というコミュニケーションの最低限の原則を知らない人なんだろうか

>>740
>かつ、そのおなじ口で拡大の一般論はないとも言ってる。意味不明すぎる。

だから>>622は支離滅裂だと言ってるだろ
なんで俺にからんでくるの？
あんたも意味不明なんだよ

ぜんぶ>>615=>>622が支離滅裂すぎるのが悪い。
そう、>>742おまえのことだよ。

>>694=>>617=>>622=>>699=>>702=>>710でしょ

>>622は>>617の発言もしてるらしいから>>615とは別の人物の可能性も高い

でも
731が「噛みついてる相手」
＝
「NがアーベルのときはNのSによる拡大はH^2(S, N)で表せることを分かった上で拡大の一般論がどれくらいできてるのかを訊いてる」人
＝>>710=>>699=>>622＝>>694=>>622=支離滅裂な人
こっちは間違いないでしょ

>>743
俺は>>615=>>622じゃねえよ
なんでそう思う？
ほんと頭悪すぎ

このようなしょうもない言い争いを減らすために
数学板にもidをつけてほしい

ついとるがな

ごめんなさい
俺が悪かった

お前が見えないだけだよ

>>732さん、どうもありがとう。まともな人がいてよかったです。

上でグダグダ言っているみなさん、
あなたたちは群のコホモロジーを知ってるんですか？（苦笑）
私は>>617だけど、もちろん>>615じゃないよ。（そんな勘違いする余地ないと思うけど）

非アーベルなNの単純群Sによる拡大の一般論はどれくらいできているのか、ご存知の方がいれば、どうか教えてください。

613 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/10/26(月) 00:37:48
あの…コピペ荒らしがキモクてすぐスレが流れてしまうのでもう一度書きますが、
(1) z^2 = -195/7 + 4i
(2) z^3 = -Sqrt[11] + 58i
を満たすzの解き方をおしえてください。
数学が得意だと自称している数ヲタの話しだと因数定理で解くそうなんですがわかりません。
本来因数定理は根（因数）を求める方法じゃないですよね。
実は(1)は連立方程式にして解けました。
ただの数式操作なので概念とか理論的なところはあまりないし自称数ヲタさんたちなら朝飯前ですよね。
特に(2)の解法をよろしくお願いします。

>>751
スレ違い。

>>750
偉そうにｗ
群のコホモロジーと群の中心拡大の関係なんて群論の初歩でやることだろ。
勘違いしてるようようだけど、その場合に限ったとしても群の構造がわかったとは
いえない。問題をコホモロジーに言い換えただけにすぎない。

>>753
あのね。だから最初から中心拡大の話なんかちっともしてないの。
なんで、「偉そう」って言われるんだ？
どう考えても私は「馬鹿そう」に書いてるつもりなんだけどな。

今の時点で群の拡大におけるこのコホモロジーの使い道って、
「コホモロジーが消えるから拡大は分裂する」程度のことだろ

「コホモロジーが消えるから拡大は分裂」だけだったら、確かにコホモロジーは全く使ってないよね。
そういうトートロジーっておもしろいんですか？

ゴメン。不明瞭だった。
> 確かにコホモロジーは全く使ってないよね。
より
> 確かにコホモロジー群は全く使ってないよね。
の方がよかったかも。
Nが非アーベルのときは、全く何もないのですか？

良識を持った大人なら
>全くの素人なので
>群論は学部の学生程度のことしかわからないので
こういう記述があるからって相手を「馬鹿そう」とは思わない
思う奴が居たらそいつがおかしい

>うーん。やっぱり単なる馬鹿？
>あなたの知的キャパに収まる程度
>あなた日常生活でも苦労が絶えないでしょ。 挫けずにがんばってね。
こんなこと書いて2chで煽り合いしてるのは確かに馬鹿っぽい
ぐだぐだ言われてるのは全部自分自身のレスが原因だと気付いたほうが良い

本当に専門の人からレスが欲しいならもう少し考えたほうが良い
傍から見るとそんなのはどうでも良くて、
2chで煽り合いして暇を潰したいようにしか見えない

>>756
素人、ですか？

>>758
君の長文は単なる「ご老体の説教」ってことは分かってる？
知らず知らずのうちにスレにいついちゃってる君の方が馬鹿っぽいよ

>>758
正直に言って、あなたが何をおっしゃりたいのか良く分かりません。
私は全くの素人ですし、全く関係ないレスがしつこく投げられたら、
（最初はレスの意図を理解しようとしましたが意味不明なので)
やめていただけませんか？としかいえません。

>>759
ええ。

>>761
トートロジーにならないような構造定理がない、という意味で群の公理は弱過ぎるのですよ。

「やめていただけませんか？」とそのまま書きゃ良かったんだよ。
無視してスルーしても良い。>>675でも別の人にも言われてるのに
全然分かってないね。

>>762
Sylowの定理は構造定理でしょ。分類じゃないけど。

「自給自足的」ということこそ有限群論の本質であり，証明が長くなる理由ではないだろうか．
BrauerもThompsonの業績紹介講演の中で，次のようなことを言っている．
「有限群論では数学を良く知っていても役には立たない．」
またThompsonは，どんな技法を使ったかと問われて，あながち冗談でもなく
「Sylowの定理です」と答えたという．

http://homepage3.nifty.com/gomiken/math/cfsg.htm

>>754
>あのね。だから最初から中心拡大の話なんかちっともしてないの。

だから頭悪いって言われるんだよ
こっちが親切にもっとも簡単な場合を例としてあげてやってるだけだよ
それすら有限群の分類には無力なわけ

>>764
>「有限群論では数学を良く知っていても役には立たない．」

なこたあない
Chevalley群は有限群論のなかで重要な位置を占めるが、これはChevalleyによる
Lie群の研究から出てきたもの

それから有限体上の線型群の表現には数論幾何におけるエタールコホモロジー理論が
使われる。

有限群論と他分野のかかわりをもっと言うと
有限群の表現は代数的整数論の知識がいる

群の高次元コホモロジー理論はトポロジーから出てきた

壁に向かって呟いている人は放っておきましょう。

人への念の盗み見による介入を阻め。

岡田外務大臣ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!
h‍ttp‍:‍/‍/‍q‍b5.2‍ch.net/t‍est/rea‍d.cgi‍/sak‍u2ch/1256‍630318/1



早く記念カキコしないと埋まっちゃうｗｗｗ

つーか、おまいら代数学すごい理解してるんだな
尊敬するわ
抽象的すぎて巡回群で挫折したわｗｗ

>>763
どうもありがとう。
やめていただけませんか？

>>765
はぁ。
あなたは私が中心拡大を知らないと思ってるわけ？
有限群のコホモロジーは別に群論プロパーの話じゃなくて、数学の一般教養でしょ？
それ無しだとガロアコホモロジーもままならないし、ガロア理論で具体的な例も作れないじゃん。

分類ができているできていないというのは、自明なケースを除けばある意味主観の問題だけど、一言まったくできていないと言うよりは何かしら意味のあることを言う方が面白くないか？

代数じゃないけど、例えば、一般型の代数曲面の分類を訊かれたら、
「何もできてません」と言うより、
極小モデルはできていて、(c_1^2, c_2)毎のGieseker流のcoarse moduliの構成はできている
と言う方が情報多いじゃん。

私は興味無いけど、
あなたがどうしても中心拡大を例にして、「単純群の拡大による構成」の分類としての不十分さを主張したいのだったら、
私に絡まないで勝手にやっていただけないでしょうか？
（超可解の場合とかかな？）

こんなこと、ことわるまでもないと思うけど、>>617 は不思議質問に対する冗談のレスだよ。

dim(R) = sup{ ht(m) | mはRの極大イデアル}はどうして間違いなのですか？
ht(P) > sup{ ht(m) | mはRの極大イデアル}なる素イデアルPは存在し得るのでしょうか？

存在するよ

あるサイトから引用：
ガロア理論とは....中略....天才ガロアの生み出した理論である。
（ ちなみにフランス語では、ガロワと発音するのが正しいらしく、草場先生はわざとそういう表記を使っているが、
日本では一般にガロアが流布している） 。
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、
現代代数の先駆けとなったスゴモノである。

これって本当？ガロアの目標って、
「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ことを証明することだったの？

>「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ことを証明すること

それも目標には入っていただろうけれど
もっと大きなことを視野に入れていた

>>777
例えば？代数方程式を群で見ることとか？

777だけに大当たりじゃあ

>>779
なるほどねえ。サンクス

>>730
∩pＺ＝0　，ＺキZ/2Z×Z/3Z×Z/5Z×・・・．

>>264(再記)
Ｌ⊃Ｋを体の有限次分離拡大，Ｌ*をＬのＫ上のGalois閉包とすると，
Gal(Ｌ*/Ｌ)は可解群ですか？

可換群になる例しか思いつきませんでした．
簡単に反例が作れるような気が一瞬したのですけれども・・・

加藤毅は引用２

>>264>>781
n 次対称群 S_n をガロア群に持つ Q 上ガロア拡大が存在するという事実と
ガロア理論の基本定理を使えば一発で構成出来る。
S_n ⊃ S_k, n ＞ k ＞ 1 で、S_k で生成された S_n の正規部分群は S_n となるから。

ついでに
>>781>>730
Z のプロ有限完備化で考えればおｋ

もう一つついでに
>>264>>781
n 次対称群 S_n をガロア群に持つ Q 上ガロア拡大が存在するという事実
を使わなくとも函数體で考えれば自明

age

KはRまたはCです。
M_x,y(K)はk∈Kを要素とする(x,y)形行列全体の集合です。
さて、Aが(l,m)型K-行列であるとき、M_m,n(K)からM_l,n(K)への
線形写像L:X→AXの階数を求めよ と言う問題です。
LはAによって決まる線形写像だと考え、答えをr(A)（Aの階数)としたのですが
答えはnr(A)（=n×r(A))でした。僕の答えのどこがおかしいのでしょうか。

>>783>>784>>785
おはずかしい限りですm(_ _)m .

>>787
単純なケースで、

Aを2次単位行列 E とする。当然Aの階数は2。
2次正方行列の集合をM(2)として、
L : M(2) → M(2) を L(X) = AX で定義したらどう？
勿論LはM(2)上の同型射。M(2)は4次元だから L の階数は4だぞ。

>>787
> LはAによって決まる線形写像だと考え
これ↑。LをAのR^m上でのトートロジー表現だと考えたことが間違い。

位数が４８の群が自明でない正規部分群を持つことを示せ

インフルで休んでてわからない。ぼっちだから聞けない。誰か助けて

>>791
2-sylow 群が正規部分群でないとすると、3 個ある。
共役作用によりこの 3 個の群の組の置換が引き起こされ、
これは S_3 への準同型写像を定める。
その核が自明でない正規部分群になっている。

>>792
ありがとう。
どうも俺が休んでた日は他にも休んだ人が多かったらしく、また説明してくれた。なんとかがんばれそうです

L/Kを有限次相対代数体、p ： K → R を K の実数体 R への埋め込み準同型とする。
このとき、ｐをLへ拡張した準同型β ： L → R　が存在する。
は正しいですか？お願いします。

>>794
例えばQ上の虚二次体はRへ埋め込めない。

証明をつけてください

実数タイの中には2乗して-1になる元はないだろ
ちっとは考えろ

詳解 代数入門

彌永昌吉、有馬哲、浅枝陽

これの評判ってどうですかね？

>>798
昔、買うには買ったけどあまり感動のない平凡な代数の基本部分の教科書だと感じてそのまま本棚のどこかに埋もれてしまってる
ちゃんと読んだ人がいたら俺も意見を聞きたい

>>798
このレベルの本では加群やテンソル積まで扱っているのは珍しいと思います

>>798の本買おうと思ったけど絶版だった
中古で48,000だった

そんな値段をつける奴とは関わらんほうがいい

>>801
http://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3-%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%BD%8C%E6%B0%B8-%E6%98%8C%E5%90%89/dp/448900317X

うん・・・

>>801,803
上に名前が出てる明倫館とか京都の吉岡みたいにちゃんとした理工系専門の古本屋ならどんなに高くてもその10分の1までの本だ。
それにその馬鹿高いのって書き込みありだったり書き込みを消したとかで状態も良くないじゃないか。
Amazonのマケプレは非常識に高い値段を付けるのが増えてるから本気で買いたければちゃんとした古書店で探した方がいい。

>>804
なるほど・・・
ちなみに大阪だとどこが有名ですか？

代数学入門: 永田 雅宜, 吉田 憲一

http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%B0%B8%E7%94%B0-%E9%9B%85%E5%AE%9C/dp/4563002399

これの評判ってどう?

>>805
すまん、大阪の古書店は全く知らない

だけど今は「日本の古本屋」ってサイトで全国の古本屋の多くの在庫が検索できるし、会員登録（無料）すればそこから直接に注文もできるから
物理的に遠くの古書店でも何も問題ないよ（古本屋によってはクレジットカード払いも可能）
ttp://www.kosho.or.jp/top.do

但し、上に名前が出てる東京神田神保町の明倫館書店は日本の古本屋の在庫検索には参加してないんだけど
明倫館は自分のＨＰを持ってて検索や注文が可能（残念ながらクレジットカードは扱ってない）
ttp://www.meirinkanshoten.com/index.asp

本来のスレッドの主題の代数とはかけ離れた参考書中毒スレみたいな内容になっちゃったね、ごめん

>>807
どうもありがとうございましたm(__)m

>>798
>>799
それで代数の勉強したんで感想をつらつら書きます。
内容は>>800のレスしてる通りガロア理論＋加群の本。
・演習にはちゃんと解答がついてるし、その問題も結構練られてる。
・200ページでガロア理論までコンパクトにまとめられている。
・定理、補題、またその系にも全てに完全な証明がつけられてる。
当時はかなり丁寧で独習向きの参考書と評判だった。
ウェダーバーンの定理のような細かいのは流石に載ってないけど
代数を専攻しない人にはこれで十分な気がする。
定価が2800円だから3000円ぐらいなら買ってもいいんじゃないかと。

当時は丁寧だったと書いたように今なら新妻さんの群・環・体入門や
中島さんの代数方程式とガロア理論の方が丁寧だから
わかりやすさを期待してるならこっち買った方がいいねｗ

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

可解群途中までいきましたはいさようなら
可解群という意味さえわかればよかったのにまさにそこが

kを体、Lをk係数2変数有理関数体L=k(x,y)、Kをその部分体K=k(x+y,xy)とおくとき、
Aut(L/K) は有限群でつか？

σinAutL/K
⇒
σ(x+y)=x+y,σ(xy)=xy
σ(x)=f(x,y),σ(y)=g(x,y)とおくと
f+g=x+y,fg=xy
f^2+xy=(x+y)f
(f-x)(f-y)=0
g^2+xy=(x+y)g
(g-x)(g-y)=0
∴f=x,g=y or f=y,g=x
∴Aut(L/K)=~S_2

メビウス反転公式の途中で
　
　
　Σd|n μ(d)Σa|n/d f(a)=Σa|nΣd|n/aｆ(a)μ(d)

の等号成立の理由がわかりません。

どなたか教えてください。

あーっ、マルチしちゃったね。

・Gを２次元ユークリッド空間R＾2上の直交変換群とし、GをR＾2に自然に作用させる。
このとき、２点v.w∈R＾2の原点からの距離が等しいことは、v.wが同じG軌道に属するための必要十分条件であることを示せ。


どなたかよろしくお願いします。

あーっ、マルチしちゃったね。

>>816
大雑把な感覚だと、
|x|^2 = tx x (tx はベクトルxの転置)
Aを直交行列とすると
|Ax|^2 = t(Ax)(Ax) = tx tA A x = tx x (tA A = E) = |x|^2
すなわち、直交変換は原点からの距離を保つような変換。
ここら辺を使うか、あるいはもっと吹っ切れて、回転行列でおｋとか。

適当で申し訳ない・・。

√(81)=9

Basic Algebra I,II: Second Edition Nathan Jacobson
Algebra : Volume I,II B.L. van der Waerden

こうてしもた

読みもしない癖にな　ｗ

ふむ

朝からぜんぜん勉強する気が起きずに
ナルトのコミックばっか読んでます。

好きな忍者はヒナタ様
が、しかし47巻で犬死してしまいました…

最後の台詞は
　　　　　　　　　　「キャ！！」
　　　　　　　　　　　　　↑
　　　人から発せられたとも思えない音でした

yapppa one piece dane

>>820読まないで何の本で代数勉強すんだ

本屋でBasic Algebra見たことあるけど
あの分量で2000円程度ってのはさすがに安いと思う

群は鈴木、環は永田、体は藤崎くらいでいいんじゃないか

『pが4で割ると1余る素数ならば
p=x^2+y^2となるx,y∈Zが存在する』

が

『pが4で割ると1余る素数ならば、
p=αα~(αはZ[i]の素元、したがってα~もZ[i]の素元)の形になり
αZ[i]≠α~Z[i]である』

に帰着されるということですが

１、何故この命題に帰着されるのか
２、αがZ[i]の素元ならなぜα~もZ[i]の素元になるのか
３、2i∈αZ[i]なら、なぜ2∈αZ[i]
になるのか教えてください

1. Z[i]のノルムを考えれば
2. Z[i]で素元は既約元だから
3. iは単元だから

>>829
帰着されるのではなくただ言い換えただけ。
「帰着される」というのは、一般的な状況をその中の特殊な場合に制限しても
（簡単な議論でもとの一般な状況を復元できるという意味で）一般性を失わない
という場合に使う。

>>830
ありがとうございます
３は分かりました

>>831
本にそう書かれてました

捨てちまえそんなもん

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
＞p-進距離の定める位相に関して Zp は Qp の開かつ極大コンパクトな部分環である。

距離空間(X,d)のコンパクト集合は(X,d)の閉集合だと思うのですが、どうして
「開」と書いてあるのでしょうか。もしかして、「Zpは距離空間(Qp,dp)の開集合」
という意味ではなくて「Zpは距離空間(Zp,dp)の開集合」という意味なのでしょうか。
でも、後者だと書く意味が無いと思います。

p進展開で表示しながら計算したら
Zpは(Qp,dp)の開集合になってました。
すみませんでした。


そもそも、(X,d)が連結じゃなかったら
開かつ閉もありえるんだった……

wikipediaみれねーから分からんが記述がなんか駄目だったりしてるのかもしれんな

Gを有限群、Hをその部分群とし、|G|=m|H|が成り立ったとする。
すべてのg ∈ Gに対してg^m! ∈ Hが成立することを証明せよ。

これ、、わかりません。。

>>837
Hの剰余類への作用を考えることで
m次の対称群への準同型が定まる。

ab=ba、a≠bとします。
aの位数をp、bの位数をqとすればabの位数mはp、qの最小公倍数に
なるような気がするのですが、正しいですか？

本には、a^m=b^(-m)=eが成り立つ、みたいなことが書かれていますが、
二番目の等号が分かりません。

よろしくお願いします。

g^i H i = 0, 1, ...., m
が全て異なる左剰余類ということになり得ない。
つまり
g^i H = g^j H となる 0 ≦ i < j ≦　m
が存在する。上記の等号に左からg^{-i}をかけて
g^{j-i} が H の元となる。
g^{m!} は g^{j-i}　のベキになっているから
これも H の元

>>840 は >>837

>>839

前半について：
aの位数を3とする。 b = a^2　とおくと, a・b = e でこの位数は
1 となるが、a, b　の位数は ３　であり、
a ≠　b, a b = b a

つまり反例

>>839

b^(-m) = (b^m)^{-1}
b^m = (b^q)^{m/q} = e^{m/q} = e

教えてもらった人は礼くらい書けよ

>>842は >>839の後半ね

あ、ごめん。>>839
>>842の m は p q の最小公倍数でした。
>>839の後半は間違いだね。前半の反例が後半の弐番目の等式の
反例になっているｗ

>>841-844
ありがとうございます。
>>839の後半ですが、簡略化しすぎました。
本の通りに書くと以下の条件が付きます。

1)p、qはそれぞれa、bの位数で、ab=ba
2)b^p≠e
3)ある素数sに対し、「s^uはqを割るがpを割らない」ような最大のuを取る
4)c=b^(q/(s^u))
5)mはacの位数

このとき、cの位数がs^uで、p=t*(s^v)、v<u、(t,s)=1となるように取ると、
mはtで割り切れ、a^t、c^(-t)の位数はそれぞれs^v、s^uとなる。
したがって、a^m=b^(-m)=e

a^m=b^(-m)=eの二番目の等号が分かりません。
何度も済みませんが、よろしくお願いします。

>>845
間違えました。
×a^m=b^(-m)=e
○a^m=c^(-m)=e

自己解決しました。
お騒がせして済みませんでした。

>>832
>831
はなにもわかってないから気にするな

最近、代数を勉強し始めたんだけど、>>845の２番目の等号が成り立つ理由が理解できない。
誰か教えてください。

>>849

>>846の訂正によるとa^m=c^(-m)=e　の二番目の等号のことだね。

>>845の1)の　ab=ba　と　4)　から　ac=ca　そして5)から　(ac)^m=e　である。
ここでac=caから　(ac)^m=(a^m)(c^m)　となることと　a^m=e　とから　b^m=e

>>849
自家発電したんじゃないのか？　８４７にそう書いたじゃんｗ
分からなくなって、再度、質問するならいいが
自演するなよｗ

244 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/04/14(水) 18:17:55
ブンゲンってよ。ハンサムだし、ちゃんと、京大の准教授なんかやってんのに
なんで、２ｃｈでは馬鹿にされてるんだ？

俺様をだれだとおもってるんだ

圏とか意味わかんねー

なら層・圏・トポスを読んでみるといい。わかりやすいよ

>>855 そもそも圏ってなにに使うんだ？

箱根の山につかう

direct limit はどんどん先に埋め込んでいったものって感じでいいと思うんだけど、
inverse limit ってどんな感じ？(群、環、加群の)

hoge

どんどん先に埋め込んでいくって感じの表現でいいのなら
有限小数の桁数がどんどん伸びていく感じ。
有限小数というのは、ま、なんというか言葉の綾だけど。

すみません、リー代数のルート分解について質問です。

リー代数
S_3 = { ((0, -b2, -b1), (b1, a, 0), (b2, 0, -a)) | a, b1, b2 ∈ K }
をルート分解することを考えた時、部分集合
H = { diag(0, λ, -λ) | λ ∈ K }
は可換で極大な部分集合となっているので、∀h ∈ H について
[h, e_α] = α(h) e_α
[e_α, e_{-α}] = h_α ∈ S_3
なる e_α(≠0) ∈ S_3 と α: H → K を取れて、このα がルートである。

実際に計算を行うと、α = λ, -λ だと分かりました。
ただし、λは
h_1 = diag(0, 1, -1) に対して、λ(h_1) = 1 を与えるものとしました。
このとき、
e_λ = ((0, 0, -1), (1, 0, 0), (0, 0, 0)),
e_{-λ} = ((0, -1, 0), (0, 0, 0), (1, 0, 0))
で、h_λ = h_1 となりました。
本では、α(h_α) = 2 だとあるのですが、この場合
α(h_α) = 1 となってしまいます。

何か根本的な間違いを犯しているような気はするのですが、
よく分からなくなってしまったので教えていただければ助かります。

>>861
その定義だと，e_α(およびh_α)は定数倍の意味で一意でないから，
たとえばe_λとして√2倍した奴を取れば，α(h_α)=2になる．
(Kがどういう体か分からないけど)
ちなみにαは一意．

>>862
どうもありがとうございます。
確かに、e_λは固有ベクトルですから、定数倍をとってこれますね。
う〜ん・・・ルート分解、ウェイト分解あたりはもっと勉強しないと
いけないみたいですね。

大学院への代数学演習以外で群環体（できたら加群、圏論を含む）を扱った良い問題集を知りませんか？
洋書でも構いません。

ブルバキ

SETS FOR MATHEMATICS
圏論の基礎
この二冊で十分

すみません十分ではありませんでしたね

現代代数学演習とか

ArtinのAlgebraは問題集にも使える。
学部の間はこれ一冊で十分。

宮西さんが代数の教科書を出しましたね

だれだよそいつ？
糞ザ個が自己宣伝してんじゃねえｗ

抽象代数幾何学とか書いてるだろ
871が知らんだけ
超一流かどうかは知らんが871より雑魚ではないぞ

なんで相対評価持ち出すのか意味不明ｗ

鉄板雑魚には分からなくてもよい。

Atiyah-McDonaldは読んでおいた方がｲｲ？

>>850
２番目って書いてあるんだから１番目は分かってるんだから
証明すべきなのはc^(-m)=e(a^m=e)なのに１番目だけ証明してて
２番目が証明せずに突然出てきてるね(a^m=e　とから)

高1だけど、微積、線型代数、集合位相終わったから、代数学やりたいんだけど、代数概論(森田)と代数系入門(松坂)ならどっちがいい？それぞれ特徴教えて。
受験期入るまでにガロア理論理解したいの。

チャート式でもやってろ

俺の知ってる森田の本なら、聞く時点で無理だな

JKの振りすんな

四則演算ってなんで０で割っちゃいけないの？詳しく教えてください

体がQ ∪ { +∞, -∞ }なら別に割ってもいいよ

>>881 逆元がないから。
　零体でもない限りどう頑張っても矛盾なく逆元を追加することは出来ない。

ありがとう

>>882
それ体じゃないだろ

加群の話なのですが、
代数的閉体K上の有限次元代数Aがあったとき、
(a) A自身が右加群として半単純であること
(b) A自身が左加群として半単純であること
(a') Aの任意の右加群が半単純であること
(b') Aの任意の左加群が半単純であること
これらは同値だということは、どのように証明すればよいのでしょうか？

例えば、(a) -> (a') を示そうとして
A = A_1 + ... + A_s (+ は直和とする）となりおいて
適当なAの右加群をVとしたら、
V = VA_1 + ... + VA_s と直和分解することが出来たのですが
これだと結局、各VA_iが半単純かどうかの問題になってしまい
話が循環してしまいます。

ここら辺の内容は、基本的な内容だとは思うのですが、ヒントや
あるいは詳しく説明されてある文献などがあったら教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

↑そういう問題は定義とにらめっこして自分で解決しないと意味ないよ。

最近数学科の初年度で習う（自習しておく）ような
自力で理解できなきゃいけないような問が
アチコチの質問スレに多過ぎるよ

>>888 そんなの理解してなくても卒業しちゃえばこっちのもんだからなｗｗ

>>887
えーと、とりあえず単純の定義だけで議論できるということですよね。
Wedderburn-Artin の定理の一部でこれが載っていて、証明が略に
なってたので、ひょっとしたら高等なテクニックが必要なのか、と
思っていました。
Aの単位元とかは利用していたのですが、肝心の単純性やら有限次元やら
を使ってないので、それらを使ってみて考えてみようと思います。
どうもありがとうございました。

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