線形代数/線型代数 5

線型代数に関する話題全般のスレッドです。

過去スレ

線型代数に関する話題はこちら
http://cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html
線形代数/線型代数 総合スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/
線形代数/線型代数 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/
線形代数/線型代数 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/
線形代数/線型代数 4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/

。

21時ジャストすげ

>>1
スレ建てお疲れ様です。

議論の出発点としていきなり抽象ベクトル空間をもってくるとか、
具体的な数ベクトル空間からはいってくるとか、
行列から、行列式から、複素数から、と
書物によって、講義によって多彩なのが線型代数のひとつの特徴ですが、
数学を専門でやる場合、どういうはいりかたがベストなんでしょうか。
私個人としては、公理的にいきなり抽象ベクトル空間からはいっていくのが
いいと思っているのですが…。どうなんでしょう？

ベストなんて存在しない。

自分の好きにしてしまへ

＞書物によって、講義によって多彩なのが線型代数のひとつの特徴ですが
そうかな？線型代数は微分積分の次に誰が授業やっても変わらない科目だと思うけど。
それなのに先生によって学生の理解度が違うのは抽象代数的思考に慣れていないからで、
それを考えると講義のスタイルとしては公理は後の方で導入した方が良い。

あと最初から公理的にやってしまうと、数ベクトル空間という特殊例と一般例の議論を
並行して進めていく事になるのでその点は、先に数ベクトル空間の性質を全部調べてから
一般論をやったほうが議論が整理されててクリアとも言えるよね。

学部向けテキストだと、（少々の動機付けを与えた上で）ベクトル空間の定義からスタートするか、
数ベクトル空間ではじめるかの二通りくらいかなぁ．

あとは行列式を「どの程度避けるか」に特色があるかな．

最近線型代数の復習ノートを作ってて思ったんだが、技術的な部分はほとんど行列論（行列式論を含む）に
帰着できるけれども、操作の意味を図形的な言葉で述べられるのが線型代数の強みだと感じた．このような
分離をむしろ積極的に推し進めたほうが議論の構造をつかみやすいとも思った．もちろん、そのようにしたら
学部向けの議論にはなりえないけど．

age

いや、それじゃageにならないだろ

問）a1 a2 a3 a4で生成される部分空間Wの１組の基底と次元DimWを求めなさい

攻め方教えてください

>>12
一次独立のを選べばいんでない

ありがとう。全然わかりません

>>12
まずは　a1, a2, a3 そして a4 をちゃんと書いてくれなきゃ答えようがない．

Cを複素数体とする。VをC上の有限次元内積空間とする。A:V→Vが線形写像の時Aの随伴写像をA^*で表す。
A,BをV→Vの線形写像とし,AA^*=A^*A,BB^*=B^*BでAB=BAが成り立っている時,
(AB)(AB)^*=(AB)^*(AB)
となる事を示せと言う問題です。

(AB)(AB)^*=(AB)(B^*A^*)=A(BB^*)A
とか色々いじってみたのですがどうしても
(AB)(AB)^*から(AB)^*(AB)に持っていけません。

どのように変形すればいいのでしょうか?

>>16
(1) A A* = A A* のとき A はユニタリ行列で対角化可能．
(2) ユニタリ対角化可能な行列 A, B について A B = B A なら
A と B は同じユニタリ行列で対角化可能．

この二つを認めれば A, B は対角行列として一般性を失わず，
対角行列なら (A B) (A B)* = (A B)* (A B) は自明．

高校の数C、大学1年の線形代数で行列のn乗を計算する方法をいくつも学びましたが、
「行列のn乗を計算できると何がうれしいのか」は最後までわかりませんでした。
（行列の有用性はわかりました）

結局、行列のn乗を計算できると何がうれしいのでしょうか？

別に一般化しただけだよ

そういう方向に疑問を持っちゃうと辛いだろうねえ

漸化式や連立線型微分方程式を解くとき

みなさん、ありがとうございます。

>>19
確かに、他の分野（数列や確率など）でも一般化はよくしますが、
行列のn乗だけは「これでもか！」ってくらい様々な方法で計算したので
何か特別な理由があるのかどうか気になっていました。

>>20
しかし、勉強を進めてこういった疑問が解消したときの喜びで、
大学に入ってから数学や物理が好きになりました。

>>21
なるほど、それなら確かにうれしいかもしれません。

たかが道具に凡人がそんなに拘っても
勉強ができるようになるわけじゃあない。

> 何か特別な理由があるのかどうか気になっていました。

線型代数では行列の計算をして終わりではなく
そこに出てくる様々な考え方を見てもらいたい

それこそ高校あたりでは行列のn乗ぐらいしか使い道がないわけだが・・・

高校で行列をやる意味ってあるのかね？

高校数学で教わる行列っていったい何をしたいのか分かりません！
http://okwave.jp/qa4045537.html

＞行列のn乗だけは「これでもか！」ってくらい様々な方法で計算したので
普通の教科書は行列のn乗の計算法だけにそんなにこだわったりはしないと思うけど。
単に>>22が非常に様々な方法で計算してみたというだけじゃないの。

ただ次数が落とせるということは一般的には意味があるよね。

>>25
高校レベルだと、座標変換に集約されるだろうね。
それこそ、回転行列で簡単に座標が回せるという考え方は重要だし。

もっとも、今の教育課程だと、複素数でも計算できるけど。

理系に進む人なら、大学で線型代数習うときに、
ああ何か高校で2×2の行列の計算習ったなあ、と思うだけでも
意味があると思う。それで良いじゃないか。

>>27
いわゆる進学校に通っていたので、
学校の授業/テストで何通りもの方法が出てきました。
なので、自分で調べたりしたわけではありません。

現在覚えているだけでも
・固有値、固有ベクトルを求めて体格化（固有値が2つの場合と1つの場合それぞれ）
・多項式の割り算（CH定理を利用した次数下げ）
・スペクトル分解
・推測して数学的帰納法で証明
・三角行列のn乗
は高2の授業でやりました。

>>28
現行過程では複素数平面がカットされているので、
基本的に回転は行列で行います。

Rを実数体とする。VをR上のn次元内積空間とし,
Aをn×nの実正則行列とする。
その時,t^AAは対称行列で∀v∈Vに対し,<Av,v>>0となる。
そして,B^2=t^AA,B(t^AA)=B(t^AA)を満たす対称行列Bが存在する。

そこでU=AB^-1とするとUはユニタリ行列になる事を示せ。

と言う問題です。
ユニタリ行列だと言うのだから
(AB^-1)t^(AB^-1)=AB^-1t^B^-1t^A
から=I(:単位行列)
持っていけません。

どうすればユニタリ行列である事が示せますでしょうか?

>>31
転置を t^A とは書かない．これだと t の右上に A が来る．
転置を tA と書くことにして，普通に計算すると
(A B^{-1}) t(A B^{-1})
= A B^{-1} tB^{-1} tA
= A B^{-1} B^{-1} tA　(∵ B 対称 <=> tB = B)
= A (B^2)^{-1} tA
= A (tA A)^{-1} tA　(∵ B^2 = tA A)
= A A^{-1} tA^{-1} tA
= I

>17
どうもありがとうございました。

>32
どうもありがとうございました。

座標変換で,ｵｲﾗｰの角って言うのがありますよね
それに関する質問なんですけど,右手系のxyz座標軸を考えて,まず
�@z軸周りにφの回転をして,次に
�A�@の回転で新たにできたy軸周りにθの回転をして,最後に
�B�Aの回転で新たにできたz軸周りの回転をする
この操作を考える問題なんですけど,
回転角の符号に関しては『座標の回転方向を右ねじの回転方向と一致させて,その時の固定軸の方向が右ねじの方向と一致している場合を正』としています
しかし,�Aの回転を与える行列において角に-θを使用していました。
これが意味するのは,『y軸を固定したとき,x軸→z軸の時計まわりの方向に回転させる』ということなんですかね？
そうだとすると,�@や�Bでは右ねじの方向に回しているのに�Aではその逆回転をしていることになってしまって,回転方向を決める基準がわかりません。
�@,�Bでは反時計方向,�Aでは時計方向というのは決まり事なんですか？
長くなってすみません。どなたか教えてください

集合Sに対して,S上のK-値関数全体F(S)はK上のベクトル空間になる.
S=Nとして,写像D,D':F(N)→F(N)をそれぞれ
(D(f))(n)=f(n＋1)-f(n),
(D'(f))(n)=f(1)＋f(2)＋…＋f(n)
で定めると,D,D'は一次写像であることを示せ.更に,
((D◦D')(f))(n)=f(n＋1),
((D'◦D)(f))(n)=f(n＋1)-f(1)
を示せ.

この問題がわかりません.誰か教えてください.お願いします.

>>36
D, D' が線型なのは定義を確認するだけ。
合成がその形になるのも定義から直ちに従う。
どこが分からんのだ？

行列式のラプラス展開とはどのようなものですか
内容を解説している書籍があれば紹介してください

>>38
|a b c| = a |e f| - b |d f| + c |d e|
|d e f|　　　|h i|　 　　|g i|　　　|g h|
|g h i|
みたいなやつ（これは１行目に関するラプラス展開）。
ほとんどどんな本にも書いてある。

>>37
うまく証明できません。
だから厳密な証明を示してくれたら、ありがたいのですが…

>>40
高校でやる、シグマと階差数列が判ってれば解けると思うけど。

>>40
a, b ∈ K, f, g ∈ F(N) と n ∈ N に対して
D(a f + b g)(n) = (a f + b g)(n+1) - (a f + b g)(n) = 中略 = a (D f)(n) + b (D g)(n)
なので D は線型。同様に
D'(a f + b g)(n) = (a f + b g)(1) + ... + (a f + b g)(n) = 中略 = a (D' f)(n) + b (D' g)(n)
なので D' も線型

さらに任意の n ∈ N に対して
(D D' f)(n) = (D (D' f))(n) = (D' f)(n+1) - D' f)(n) = 中略 = f(n+1)
同様に
(D' D f)(n) = (D' (D f))(n) = (D f)(1) + ... + (D f)(n) = 中略 = f(n+1) - f(n)

中略の部分は本当にただの計算

３９さんへ
ありがとうございます　調べてみます

これが証明できないのは単純に基礎力が無いということなので、
もっとちゃんと問題演習した方が良いよ。
定義から直ぐにわかるはずのことが確認できないということだから。

一次変換の定義を

f (a + b) = f (a) + f (b)
f は連続写像

としても同値ですか？

R^nとかC^nの上の変換の場合は同値になるけど、
「連続」ってのは距離とかが入ってないと定義できないから
代数的でない無駄な性質を定義に使ってしまうことにはなるよね。

たとえば多項式とか数列とかはベクトル空間の構造を持つけど
多項式の変換が「連続」って何っていう話で。

あと位相空間の構造の入った線形空間で必ず同値になるか、
とか言われるとちょっと分かりません。

あ、多項式なら自然に距離が定義できるか。まあいいや。

>>45
それは加法的函数としかいえんだろ

>>46
> 位相空間の構造の入った線形空間で必ず同値になるか
実数に離散位相を入れたものは位相線型空間。
あとは Hamel基を入れて f(x+y) = f(x) + f(y) だけど
f(x) ≠ αx と書けない関数を構成してやれば反例。

>>45
係数体を明示してください。

位相体なら？

>>51
p-adicな世界ではムリです

素早いリプライ有り難うございます。
勉強になります。

説明不足でしたが､脳内で R^n → R^m の1次変換で、
係数体は R、位相はユークリッドノルムを想定してました。

実1変数実数値関数が f (a + b) = f (a) + f (b) を満たすとき、f(x) ≠ αx
を満たすものが構成できると何かで見たことがあったので、一般の1次変換で
同様の類推ができるなかなとふと疑問に思った次第です。

>>53
まず、実数上に普通の位相を入れると
f(a+b) = f(a)+f(b) から f(x) = αx が導出できる。
（有理数に対して f(p/q) = α(p/q) は一般に従い、
　連続性から極限を取って f(x) = αx になる。）

R^n → R^m の場合でも、R^n の基底に対する値さえ
定めれば線型写像が定まるので、全く同様の議論ができる。

> R^n → R^m の1次変換

一次変換じゃないじゃん

>>55

変換じゃないね。正確には写像というべき。

>>56
その場合、n=mのときだけだよね、変換が考えられるの

n=m でなくても1次変換は1次変換。

>>59
あたま大丈夫？

>>60
自分から自分への写像のみを変換と呼ぶのは一部の流儀

ということも知らないの？

>>61
呼ばないほうが少数派だからね。

斎藤先生の本によると、
R^n → R^m の場合､線型変換と書いている。
よって１次変換で宜しい。

>>62
そうでもないよ。
少なくとも相手の流儀を気にせず一方的に押し付けられるほど多数ではない。

行列式のラプラス展開について
今日本屋へ行って棚に並んでいる線形代数の参考書十数冊を調べてみた。
斉藤の線形代数入門同演習をはじめ多くの本には掲載されていませんでした。掲載されているのは，せいぜい二三冊のみでした。
岩波の「線形代数と一次変換」にはあったけど，砂田の「行列と行列式」は未掲載。

余因子展開が書いてない本なんてそうそう無いと思うが

余因子展開も今やそんな扱いか

「ラプラス展開」で調べたらその名前では載ってなかったってだけだろ

に百ペリカ。

dayone-

>>68
本を実際に見てそんなことはありえまい、
十数冊程度ならあたりをつければ小一時間も要らないし

と思いたいけどねぇ……

質問です
流水算の解き方を教えて下さい

たしか砂田の「行列と行列式」には普通に余因子展開載ってたぞ

>>65は数学に向いてないんじゃないか

２ちゃんねるには向いているんだろう

同じ本を十数冊調べたんじゃね？

すまんすまん
行列式の余因子展開は勿論承知しています
最近行列式のラプラス展開というのを学習したわけですが
中身は余因子展開と同様のものであることは解っていましたよ
ラプラスに敬意を表してそのような名前づけをしているのでしょうが
一様に余因子展開とはせずに
「ラプラス展開ともいう」に（）付け表記の方が発明者であるラプラスを示す配慮も必要でしょうね
と思いました次第です
統計力学で「ボルツマンの原理」のことを「ボルツマンの関係式」と表記している書籍があり
用語の統一も行われず使われている場合があるので学習者を惑わさないような工夫も必要かと
小生全く数学には不向きなので皆々様方のような専門家には御不興とは存じますが平にお許しを

> 発明者であるラプラスを示す配慮

君は何か重大なことを思い違いしてるようだ。

>>76
> 行列式のラプラス展開とはどのようなものですか
と >>38 では聞いているのに >>76 では
> 中身は余因子展開と同様のものであることは解っていましたよ
となるのはどういうことか．

＞行列式の余因子展開は勿論承知しています
＞中身は余因子展開と同様のものであることは解っていましたよ
じゃあLaplaceの名前がクレジットされていないって書けよｗ
載ってないって言ったら数学的内容が載ってないのかと思うだろ。
「高校数学の教科書には一冊としてNapier数（＝自然対数の底）
に触れているものがない」とかと同じで。

あと真面目にやりだすと、微分積分の本でも、
これはNewtonとLeibnitzがほぼ独立（ただし異説あり）、
これはEuler、これはBernoulliでこれはTaylorやMaclaurin、
これがLagrangeでこれはLegendre云々とか書かないといけないことになる。
（因みに藤原松三郎の微分積分學はそういう本。）
もっとハイレベルな本になると誰に先取権があるのかそもそも誰も知らない、
とか多数の人物の寄与があってそもそも一人に決められない、とかそういうことばかりだったりする。

たとえばCauchy-Bunyakovski-Schwarzとかもそうだよね。Bunyakovskiって誰だよっていうｗ

>>42
中略の計算部分はこれでいいのでしょうか？

(D(a*f＋b*g))(n)
=(a*f＋b*g)(n＋1)-(a*f＋b*g)(n)
=a*f(n＋1)＋b*g(n＋1)-a*f(n)-b*g(n)
=a*(f(n＋1)-f(n))＋b*(g(n＋1)-g(n))
=a(D(f))(n)＋b(D(g))(n)

(D'(a*f＋b*g))(n)
=(a*f＋b*g)(1)＋(a*f＋b*g)(2)＋…＋(a*f＋b*g)(n)
=a*f(1)＋b*g(1)＋a*f(2)＋b*g(2)＋…＋a*f(n)＋b*g(n)
=Σ[k=1,n]a*f(k)＋Σ[k=1,n]b*g(k)
=a(D'(f))(n)＋b(D'(g))(n)

((D◦D')(f))(n)
=(D(D'f))(n)
=(D'f)(n＋1)-(D'f)(n)
=Σ[k=1,n＋1]f(k)-Σ[k=1,n]f(k)
=f(n＋1)

((D'◦D)(f))(n)
=(D'(Df))(n)
=(D(f))(1)＋(D(f))(2)＋…＋(D(f))(n)
=(f(2)-f(1))＋(f(3)-f(2))＋…＋(f(n＋1)-f(n))
=f(n＋1)-f(1)

>>80
OK

>>81
とりあえず合ってて良かった…
点検ありがとうございます

NO-NAME は、しょっちゅう頓珍漢なことを書いては
トンズラだからな・・・

>>76はぜんぜん誤魔化せてないな

R3の部分空間
V={(x,y,z)|2x-3y+z=0}
からR2への線形写像f:V→R2の基底
{(1,1,1),(0,1,3)},{(-1,5),(4,0)}
に関する行列表示が
（1 3）
-7 -20

（うまく表せない・・・左上が1右上が3左下-7が右下が-20）

のときf(8,5,-1)を求めよ

学部一年の問いですが助けてください
基底をfで変換した後のベクトルまでは求められるんですがfを具体的に出せません

>>85

fは既に分ってるんだから
(8,5,1)を基底の線型結合で書いて
f((8,5,1))を基底の線型結合に書き直すだけだろ
あたまおかしんじゃねーの？

すみません
fが具体的にわからないんですがどうやって求めるのですか？

>>87
問題にもう与えられてるじゃん
求めるとかなんかのギャグ？

うわあぁぁあ
当たり前のようにかかれてることがわらん
fって問題文に書かれてるって本当？
問題分写したのにリアルわからない

なんだ、冷やかしだったか

>>85
いったん基底の線形結合にする。
(8,5,1)=a(1,1,1)+b(0,1,3)
φ(8,5,1)=(a,b)
とする。
与えられた表現行列に列ベクトル(a,b)をかける。
その答えを(c,d)とする。
ψ(c(-1,5)+d(4,0))=(c,d)として、
ψ^(-1)(c,d)=c(-1,5)+d(4,0)
が求める答え。
φ
V → (a,b)
↓ f ↓与えられた行列
R^2← (c,d)
ψ^(-1)

って感じかな。
与えられた行列をFとすると、
fはψ^(-1)Fφで表せる。

>>91
> ψ(c(-1,5)+d(4,0))=(c,d)として、
> ψ^(-1)(c,d)=c(-1,5)+d(4,0)

これは笑うところか？

一応ψを定義しておこうと思って。

うるさい。

行列の分解について教えてください。

教科書には行列の分解について事細かに書いてありますが、
いまいちなんの為に分解するのかピンときません。

でも今日数学の簡単な読み物を読んでいたら、
特異値分解は、情報の集約をしているというのを見て目が覚めた感じがしました。

他にも××分解は△□することができると簡単に説明してくれませんでしょうか？
応用方法が知りたいです。

>>95
行列の分解なんて、細かいのを入れれば最低でも数十種類ある。
せめて説明してほしい「××分解」のほうを列挙してください。
あなたが知らない分解について長々と話されても困るでしょ。

それではお言葉に甘えさせていただきます。

下記行列の存在理由、及び応用方法を教えてください。

固有値分解
LU分解
QR分解
コレスキ分解
グラム・シュミット分解

>>97
本当にざっとだけ説明するよ．もっと掘り下げて聞きたければ
もっとポイントを絞って質問しとくれ．広すぎて答えるのが大変．

(1) 固有値分解
特異値分解がピンと来るならそれと対比して説明する．
一番基本的な線型写像はスカラー倍だから，
「線型写像をスカラー倍に分解しよう」というのが
固有値分解，特異値分解の共通のコンセプト．

V, W を線型空間としたとき，特異値分解は線型写像 A: V → W に関して
　V と W をそれぞれうまく変換（直交変換）してやると
　A が V → W のスカラー（特異値）倍の直和に見える　
ということを主張している．

一方，固有値分解は A: V → V （手元＝行先）を相手にして，
　V をうまく変換（問題依存）してやると
　A が V → V のスカラー（固有値）倍の直和に見える
というストーリーを目指す．しかし，特異値分解と違って変換が弱いので，
常にスカラー倍にまで分解できるとは限らないのが重要な違い．
＃どこまでを固有値分解と言うかは流儀が分かれるところで，
＃スカラー倍まで行くのだけを言う人と，もっと粗くても言う人がいる．

まあ標語的に言えば，V → V 型の変換を要約したい，というのが
固有値分解の存在理由（cf. V → W 型なら特異値分解）．
応用は V → V 型の変換が現れるいたるところにあり，一言では説明しづらい．

>>97 つづき．
残りは全部「数値線型計算のアルゴリズム」を行列で書いたもの．
（もちろん他の見方もあるけど，それを並べる人ならこれで多分よい）
アルゴリズムの線型代数的な性質はこれらの分解の性質で特徴付けられる（存在意義）

(2) LU分解：A = L U（L：下三角，U：上三角）
・「ガウスの消去法」を行列で書いたもの．すなわち
左から L^{-1} をかけることが前進消去，
左から U^{-1} をかけることが後退代入に，それぞれ相当する．
（三角行列の逆が簡単に求まることが重要！）
・主な応用は A x = b を解くことと，det A を求めること．

(3) コレスキ分解：A 正定対称，A = L L* （L：下三角）
・LU分解の正定対称行列へのスペシャルケースで，
「ガウスの消去法」の改良版を行列で書いたもの．すなわち，
左から L^{-1}, 右から L*^{-1} をかけて前進消去することで，
『実行中に常に対称性が保たれる消去法』になる．
・基本的な応用はLU分解と同じだけど，正定対称行列に対して
普通のLU分解を計算するよりも高精度高速に計算できる．

(4) QR分解：A = Q R（Q：直交，R：上三角） = グラム・シュミット分解
・「グラム・シュミッドの直交化法」を行列で書いたもの．すなわち，
A の右から上三角行列 R^{-1} をかけて直交行列にすることが
（A の列ベクトルの）グラム・シュミッドの直交化に相当する．
・主な応用は直交基底の計算，固有値分解（QR法）．
もちろん A x = b や det A も求まるけれど，
それが目的ならLU分解を用いたほうがよい（計算量と疎性）．

行列の実例への応用例を，目の覚めるような書き方してるものが，なにか欲しいんだが…

逆ギレの予感

通りすがりですが、 >>98-99 の目の覚めるようなわかりやすさに感動しました。
ありがとうございます！

>>96
岩澤分解
カルタン分解
ブリュア分解
岩堀分解

あたりについての解説と応用を頼む

97です。ご丁寧な説明をありがとうございます。
後日じっくりと読ませていただきます。

K={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}
Describe P_n(×)_K R by giving a basis of the vector space over R.

という問題です。
質問の意味が良く分かりません。テンソル積P_n(×)Rを具体的に表せという問題なのでしょうか?
それでしたら
P_n(×)_K R={(v,w)modT;(v,w)∈span(P_n×R)}となるかと思います。
(但しT:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(x,ry)-r(x,y),(rx,y)-r(x,y)})
となるかと思います。

ご助言お願い致します。

>>105
それじゃテンソル積の定義を言い換えただけだからだめ。
R上の基底で表せ、といっている（ところで「R」は実数体のことだよね？）。
実はその問題はちょっとイジワルだ。K={a+b√5;a,b∈Q}やRとかいう具体的な
体じゃなくて、抽象的な体KとL（K⊆L）で考えたほうがかえってわかりやすいはず。

ご回答ありがとうございます。

>>>105
> それじゃテンソル積の定義を言い換えただけだからだめ。

そうでしたか。

> R上の基底で表せ、といっている（ところで「R」は実数体のことだよね？）。

はいそうです。

> 実はその問題はちょっとイジワルだ。K={a+b√5;a,b∈Q}やRとかいう具体的な
> 体じゃなくて、抽象的な体KとL（K⊆L）で考えたほうがかえってわかりやすいはず。

うーん,どうすればいいかわかりません。

P_n(×)RのR上の線形空間の基底は
{x^n(×)1,x^(n-1)(×)1,…,1(×)1}だと思います。
よって、
P_n(×)Rは｛Σ[i=0..n]a_ix^i；a_i∈R｝と同型だ
といえるかと思います。これでいいのでしょうか?

ベクトル空間の元が関数のとき、それらが線形独立であること示す問題って、
af+bg=0などとして変数に0や1の具体的な数をいくつか入れるだけでa=0b=0しかなければ、それで示せたことになるのですか？

>>98
>(1) 固有値分解
>特異値分解がピンと来るならそれと対比して説明する．
>一番基本的な線型写像はスカラー倍だから，
>「線型写像をスカラー倍に分解しよう」というのが
>固有値分解，特異値分解の共通のコンセプト．

「線型写像をスカラー倍に分解」する理由・動機は何ですか？

ベクトル空間Ｖの一次変換f:Ｖ→Ｖがf^2=fを満たしているとする。
IdvをＶの恒等変換とする　Ｉmf={x∈Ｖ|f(x)=x}
という問題なんですが。像の定義に沿って証明しようとしたですが、
線形代数も写像になり段々難しくなり全然わからないです。
少しでも教えてくださいお願いします。
後皆様方は証明など抽象的な数学の勉強はどうやってしたらいいのでしょうか
？先生に聞いても教科書読め、参考書買えぐらいしか
言ってくださらないので・・・。　
演習の授業等も問題は山ほどあるのですが
解説が全くなくてほとんどわからないのです。
よろしくお願い致します。

>>110
Imｆ⊂{x∈Ｖ|f(x)=x}、Imf⊃｛x∈Ｖ|f(x)=x}
を証明すれば良い。後者は自明。
だから前者だけを示せば良い。

>>110
> 後皆様方は証明など抽象的な数学の勉強はどうやってしたらいいのでしょうか

キミに心配される必要は無いよ

>>112 してるのでしょうか？ですねｗ
>>111 一次変換の　V→Vの像の定義は{x∈Ｖ|f(x)=x} なので
これだけで示せているのじゃないのですか？　よくわからないです。

＞一次変換の　V→Vの像の定義は{x∈Ｖ|f(x)=x} なので
違うだろ。

VをF上の有限次元線形空間とする。
V=W+W^⊥
(Wは部分空間,W^⊥はWの直交補空間)と表せれることを示したいのですが
V⊂W+W^⊥が示せません。
∀v∈VをとってからどうすればvがWとW^⊥の和に表される事が示せますでしょうか?

>>115
Wの正規直交基底を w_1, ..., w_m として
v = Σ(v, w_i) w_i + 残り と展開する。(, ) は内積。
このとき Σ の項は W の元で、残りの部分は
すべての w_i と直交するから W の直交補空間の元。

>>109
>>98から引用
>まあ標語的に言えば，V → V 型の変換を要約したい，というのが
>固有値分解の存在理由（cf. V → W 型なら特異値分解）．
>応用は V → V 型の変換が現れるいたるところにあり，一言では説明しづらい

これは嘘。このような表面的、形式的な理解では固有値分解の本質は
見えてこない。

>>117
本質が知りたいので貴方様の理解を書いてください

>>103についてもお願いします

どうもどうも
線形代数の本は著者によって記述内容が様々で選択に迷うこと暫し
線形空間や内積空間も扱っているものにどんなものがありますか？

普通の本だったらその２つは大抵扱ってると思うよ。
特に線型空間を扱わない線型代数の本は相当珍しいはず。

[問]A,Bを体Kの元を成分とするn×n行列とせよ。そしてBを正則行列とせよ。その時,全自然数nに対し,(B^-1AB)^n=B^-1A^nBが成り立つ。そこでf∈K[t](K係数の多項式環)を採るとf(B^-1AB)=B^-1f(A)Bを示せ。

がどうしようもありません。どうすれば示せますでしょうか?

自明だろ、ayumiさんよ。

普通に書くだけだよ、nanami君

単項式のときとかで考えてみりゃ良い。ほぼ自明。

たとえば R^2 とかで考えてみれば良いんじゃないの？
抽象的に書くことで書いてある事の意味が分からなくなるようじゃダメだよ。

下記の問題です。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/hoge1.jpg
Let f(t)=t^n+…+a_0 be a polynomial with complex coefficients, of degree n, and let α be a root. Show that |α|≦n・max_i|a_i|.
[Hint: Write -α^n=a_{n-1}α^{n-1}+…+a_0. If |α|>n・max_i|a_i|,devide by α^n and take the absolute value,together with a simple estimate to get a contradiction.

f(t)=t^n+…+a_0を複素係数のn次多項式とし,αをある解とする。|α|≦n・max_i|a_i|となる事を示せ

まずα=0の時は自明。
次に1≦|α|の時は|α^n|=|a_{n-1}α^{n-1}+a_{n-2}α^{n-2}+…+a_0|
≦|a_{n-1}α^{n-1}|+|a_{n-2}α^{n-2}|+…+|a_0|で端辺を|α^{^n-1}|で割ると
|α|≦|a_{n-1}1/α|+|a_{n-2}1/α^2|+…+|a_0・1/α^{n-1}|
≦|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+…+|a_0|≦n・max{|a_{n-1}|,|a_{n-2}|,…,|a_0|}

となりますが0<|α|<1の場合はどうすればいいのか分かりません。
是非,ご教示ください。m(_ _)m

>>126
スレ違い。

>125
どもあがとうございました。

>116
どうもです。

>>>115
> Wの正規直交基底を w_1, ..., w_m として
> v = Σ(v, w_i) w_i + 残り と展開する。(, ) は内積。

どうしてこのように展開できると分かるのでしょうか?


> このとき Σ の項は W の元で、残りの部分は
> すべての w_i と直交するから W の直交補空間の元。

どうして残りは全てw_iと直交すると分かるのでしょうか?

>>129
前半：できないわけがないよね。残り := v - Σ(v, w_i) w_i 。

後半： (残り, w_i) = 0 を各 i について確認してごらん。

121さんへ
コメントありがつございます。
よくよく調べてみると大所の線形代数の書籍では「線形空間」を扱っていないものはないですね。
著者によって表現内容が異なり明示的に「内積空間」の用語は使っていないけれど「内積」の項目の説明を読むと内積空間のことを説明していると理解できました。

砂田利一の「行列と行列式」は線形空間，内積空間についてかなり詳しく触れている。
グラム行列とは何ぞやということで調べてみたけれど，よく解らなかった。

N次正方行列(Nは1000くらい)を扱ってて逆行列を求めたいのですが、
rankがN-1となって逆行列が計算できません。
どこが線形従属になっているか調べるよい方法はありませんか？

[Q] Let V be a finite dimensional space over R, with a positive definite scalar product,and let {v_1,v_2,…,v_n}=B and {w_1,w_2,…,w_n}=B' be orthnormaml bases of V.
Show that the matrix M_B_B'(id) is real unitary.[Hint:Use <w_i,w_j>=1 and <w_i,w_j>=0 if i≠j,as well as the expression w_i=Σ[i=1..n]a_ij_vj,for some a_ij≠R.]
(b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that M_B_B'(F) is unitary.

の(b)について問題についてです。M_B_B'(f)は基底Bと基底B'に関してのfの表現行列を意味してます。

[解]
tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのだと思います。
F(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n
F(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n
:
F(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n
なのでM_B_B'(F)=
(1,0,0,…,0)
(0,1,0,…,0)
:
(0,0,0,…,1)
と求まると思います。この行列は単位行列なので後は明らかに
tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=Iが成り立ちますが
ペケになってまして、
<Fv,Fv>=<v,v>を示さねばならないようなのです。
私は素直にM_B_B'(F) is unitaryを示したつもりでしたが…。
どうして私の解答は間違っているのでしょうか?

>>134
> tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのだと思います。

多分これが違う．

何も言わずにユニタリと言ったらそれでいいのだけど，
今は内積が指定されているから，それはユニタリの条件にならない．
（それがユニタリの条件になるのは内積が <x,y> = Σx_i~ y_i で定義されていないとだめ）

sinx,sin2x,…,sin(nx)　が一次独立であることを証明する手順を教えていただき
たいのですが。略解には数学的帰納法を用いよとしか書いていないので。よろしく
お願いします。

sin2x=2sinxcosx
a,b∈K
asinx+bsin2x=0と置けば
asinx+2bsinxcosx=0
sinx(a+2bcosx)=0
sinxはx≠nπ(n∈N)のとき0ではないためa+2bcosx≡0
然るにcosxはx≠(n+1/2)π(n∈N)のとき≠0であるからa=0,b=0でなければならない
即ちsinxとsin2xは一次独立

>>136
マルチ

ありがとうございます。


>>>134
>> tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのだと思います。
> 多分これが違う．
> 何も言わずにユニタリと言ったらそれでいいのだけど，
> 今は内積が指定されているから，それはユニタリの条件にならない．
> （それがユニタリの条件になるのは内積が <x,y> = Σx_i~ y_i で定義されていないとだめ）

ユニタリ写像の定義から<Fv,Fv>=<w,w>を示さねばならないという訳ですね。
それなら
(b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that F is unitary.
という問題文にしないといけないのではないでしょうか?

(b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that M_B_B'(F) is unitary.
だと行列に対して証明せよって解釈してしまいますよね。

どうでもいいよそんなの

>>139
134の指摘を全然理解理解してないだろ。
(a) と解釈しても (b) と解釈しても全く問題は無いぞ。

>141
> 134の指摘を全然理解理解してないだろ。

すいません。

(b)についての質問なのですが
<F(v),F(v)>=<v,v>を示そうとしているのですが
∀v∈Vをv=Σ[i=1..n]a_iv_i (a_1,a_2,…,a_n∈R)と表すことにすると,
<F(v),F(v)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)>
=Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵Fは線形写像?と内積の性質)
=Σ[i=1..n]a_i^2<w_i,w_i> (∵w_iは直交)

の形になると思います。

これからどうすれば =<v,v>に持っていけますでしょうか?
なにとぞお助けください。m(_ _)m

>>133
任意のm(<N)からなるm×N行列でのrankを計算するぐらいしかないんじゃない？

mや取ってくる列を総当りで。

いわゆるクロネッカーのδijの値はマイナス符号を取りうることがあるのか？

>>142
orthogonal basis でなく orthonormal basis なので <w_i, w_i> = 1 を使ってよい。
<v, v> も同様に計算する。

>>143
いくらなんでもそれはないよ。

ガウス消去を実行して破綻する行を取ればいいんだから
O(n^3)でできるのはあたりまえで、問題はそれより小さくなるかでしょ。

>>146
ガウスの消去法で破綻する行を取る組み合わせの選び方は？
消去法計算中で利用した行＝>143の総当り方法って事になるんだろうけど。

あらかじめ、元の行列のrank求めて、
その中ランクでのの小行列のrankを計算と大差ないような気が・・・

>>147
ごめん、理解できない。
「破綻する行を取る組合せの選び方」って何？

>145

>>>142
> orthogonal basis でなく orthonormal basis なので <w_i, w_i> = 1 を使ってよい。
> <v, v> も同様に計算する。

具体的にどのようにすればいいのでしょうか?
ご教示ください。すいません。

>>149
少しは頭を使おうよ。

142 の最後の式で <w_i, w_i> = 1 を使えば <F(v), F(v)> = Σa_i^2 になるでしょ。
<v, v> も <F(v), F(v)> とおなじように計算していくだけ。

> 150
ありがとうございました。
お蔭様で上手くいきました。

相対性理論におけるミンスキー空間では
内積が負となりクロネッカーのδがマイナスの値をとるということだそうです
今迄そんなことはナイト思っていましたので

>>152
ミンスキーじゃなくてミンコフスキー．まあそれはいいとして，
内積の負をクロネッカーのδに押し付けるのは珍しい流儀だと思う．
（物理系の人はしばしばそう書いてるけど，すごく違和感がある）

普通は（非正値）内積に対する正規直交基底を <e_i, e_j> = λ_{i} δ_{ij} で定義して，
係数 λ_i のほうにプラスマイナスを押し付けるもんだと思う．

コメントありがとうございます
そうでしたミンコフスキーでした
時間軸の個数が奇数個ある場合に負の値になるとのことでした
最初はδについた係数の符号によると思っていましたので
外積算法の講義の中で内積が±δとなるとの説明があったので
クロネッカーのδに±の符号が付くのは
おかしいのではないかとの質問があり調べてみ見たところです
内積の符号定数について調べていたら
ミンコフスキー空間についての記事があったというわけです。
調べに当たった本は佐竹，斎藤の線形代数，砂川の行列と行列式，線形代数学大全第2部
細部に詳しいので重宝なんだけど絶版でマグロウヒル大学演習線形代数（下）
柴岡線形空間それにネットで

>>154
まあ統一されてればどうでもいいけどね。そういう定義なんだろうし。
個人的にはその講義以外の場で負値を取るクロネッカーδを使うなら
予め断っておいたほうが無難だと思う。

x+y+z=1
ax+by+cz=k
a^2x+b^2y+c^2z=k^2
a^3x+b^3y+c^3z=k^3

これを満たすx y zを求めよ
ただしa b c は相異なる。


この問題のkは求められるのでしょうか？
お願いします

>>156
|1 　 1 　 1　 ||x| = |1　|
|a 　 b 　 c　 ||y|　 |k　|
|a^2 b^2 c^2||z|　 |k^2|
|a^3 b^3 c^3|　　　|k^3|
を解け、ということなので，最初の三式を取って
|1 　 1 　 1　 ||x| = |1　|
|a 　 b 　 c　 ||y|　 |k　|
|a^2 b^2 c^2||z|　 |k^2|
を解いて（a, b, c が相異なるので係数行列は正則），
第四式に突っ込んで整理すると
(a-b)(b-c)(c-a)(a-k)(b-k)(c-k) = 0
となる．よって k は a, b, c のどれか．

a, b, c と異なる定数 d と新たな変数wを用いて
x+y+z+w=1
ax+by+cz+dw=k
a^2x+b^2y+c^2z+d^2w=k^2
a^3x+b^3y+c^3z+d^3w=k^3
としてクラメルとヴァンデルモンドからwを求めてw=0とおく

Aを3次正方実行列、Eを3次単位行列、Oを3次正方零行列とするとき、
以下の条件を満たすAの例を挙げよ

A^3−7*A^2＋16*A−12*E＝O
A^2−5*A＋6*E≠O

この問題の解法を教えてください

>>159 ここで聞くくらいだから、A=2*E 以外の解があると見た！

>>159
２　１　０
０　２　０
０　０　３

>>161
どうやって求めたの？

最小多項式が
X^3−7*X^2＋16*X−12＝O
となる行列の例を探せばいい

やっと踏ん切りがつきました。石川晋・成慶明「線形代数学大全１２３」を買い揃えたので，まじめに線形代数学に取り組んでいこうと思います。
もちろん線形代数学の入り口まで到達できるように。

A=2*Eは解ではなかった…orz。>>161さんの解がジョルダンの標準形っぽいので以下のようにこじつけてみました↓

まず >>159 を、「Aを3次正方実行列、Eを3次単位行列、Oを3次正方零行列とするとき、
(A - 2*E)^2 (A - 3*E) = O , A ≠ 2*E , A ≠ 3*E のAを求める」という問題におきかえると、

どんなAでも ある3×3正規直交行列Pとジョルダンの標準形A'を用いて A = P A' P^{-1}
と書ける事より、E = P P^{-1} をふまえると、(A - 2*E)^2 (A - 3*E) = P (A' - 2*E)^2 (A' - 3*E) P^{-1} = O
なので (A' - 2*E)^2 (A' - 3*E) = O とならなければならず、これを満たすジョルダンの標準形A'が

>>161さんの解となることから、任意の3×3正規直交行列Pについて A = P (>>161) P^{-1} が求める解となる。
…という感じでどうでしょうか？ジョルダンの標準形じゃなくても A = diag([2,2,3]) で満たすと思うけど、
もっと一般化でまとめるにはどう言ったらいいのかなぁ。と思た

A = diag([2,2,3]) は解ではないよ。
代入してみ

ほんまやー A = diag([2,2,3]) だと A^2−5*A＋6*E = O やー（恥）
奥深いッすねー

2009年1月1日までまだ3時間11分あるけど
このスレッドに大変お世話になりました

てｓｔ

>>165
> これを満たすジョルダンの標準形A'が
> >>161さんの解となることから、

たぶん，この部分をちゃんと理解できてないから，
一般化の方針が立たないんだと思う．

一般的に書くには，
　(1) A の最小多項式の候補を探す
　(2) 最小多項式に対応するジョルダン標準形を列挙する
の二つに注意する必要がある．

(1)．
(A-2)^2 (A-3) = 0 より A の最小多項式は (z-2)^2 (z-3) の因子，
しかも (A-2)(A-3) ≠ 0 なので (z-2) (z-3) の因子ではない．
よって A の最小多項式は (z-2)^2, (z-2)^2 (z-3) のどちらか．

(2)．
(z-2)^2 を最小多項式に持つジョルダン標準形の行列は以下の一通り．
　|2 1 0|
　|0 2 0|
　|0 0 2|
(z-2)^2 (z-3) を最小多項式に持つジョルダン標準形の行列は以下の一通り．
　|2 1 0|
　|0 2 0|
　|0 0 3|


類題として，(A-1)^2 (A-2)(A-3) = 0, (A-1)(A-2)(A-3) ≠ 0 なる 4×4 行列を
全て求めてみると，理解が深まると思われる．

質問者の159さんもですが、161さん163さん166さん特に >>170さん、
とても勉強になります！とてもありがとうございます！

正式名称では「行列方程式の解法」というのでしょうか？そこらへん大学ではやった気が
してなくて、放送大学の授業でnilpotent?みたいのは聞いたことがあるくらいでした。
これからがんばります！２ちゃんのみなさんも、あけましておめでとうございます！

> 正式名称では「行列方程式の解法」というのでしょうか？

なんでそんな間抜けな名前を付けたがるの

>>172 ぐぐって見てたのが↓だったんだ。。「行列方程式の解法と最小多項式について」
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/K_Oguri/g_houteisiki/g_houteisiki.htm

>>171 >>173
こんな普通の計算テクニック一つに名前なんかつかんよ

高校教師や塾教師なんかは記憶に定着させるために
何でもかんでも名前をつけてくけど、そんなのは卒業すべき

このスレ未だに正月休みか
早く線型代数に目覚めよ

ハーイ坊や
早く大きくなって卒業してね

ほんと
このスレ本当に寝ちゃって起きないよ
あー休眠中が
何時起き出すのやら

二次形式　x^2+2axy+y^2=a
は、a∈Ｒ(実数集合)の値が変わるとどんな形が取れるんでしょう。

図書館で線形汎関数について調べていたらマグロウヒル大学演習線形代数学にぶち当たった。本書は残念ながら既に絶版，元本も絶版，うーん残念。記述が広範囲で内容が結構詳しいく手元にあったらと思ったのに。
McGraw-Hillの「Schaum's outlines Linear algebra」は問題集で刊行中でした。

行列の対角化の話なんだけど、固有値を求めて固有ベクトルを出すときに任意定数を置くと思うんだが
この任意定数の取り方によって答えが変わったりする？

何をさして答えと言ってるの?

>>180 各固有空間の基底の並べる順に酔って変わるが
　同じ固有空間内で違う基底をとってきて同じ場所においても
　変わらない。

答えは対角行列の数値だった。スマソ
１　１　１
０　０　０
０　０　０
をｘ＋ｙ＋ｚ＝0って置いて固有ベクトルを求めようとしたんだが
二つの任意定数をどの文字に置くかによって固有ベクトルの式が変わっちゃってどの置き方でも対角化したとき同じ答えが出るのかなと。
３ｘ３だからこの場合もうひとつ固有値があるんだけどそのとき取った任意定数に合わせないといけない？

> 任意定数を置く

ってなんか主従関係がおかしいと思うんだが……

説明が日本語でおｋになっちまう・・・
ｘ＝-y+（-z）とするとｙとｚを任意定数とおくと
−１　と　　−１
−１　　　　　０
　０　　　　　−１
って２つの固有ベクトルがでると思うんだが
y=−ｘ＋（−ｚ）としてｘとｚを任意定数にすると
１　　　と　　０
−１　　　−１
０　　　　　　１
って2つの固有ベクトルになって対角化したときに答えが変わりそうな気がする

ミスった
一個目は
−１　と　　−１
１　　　　　　０
０　　　　　　１
だ

うぜえなクソ馬鹿
てめえだけ明らかに場違いで浮いてんだよ。
そんなのも理解できないのは
固有値の定義も知らないから。

>>185
で、変わったのか？

>>185
なぜ固有ベクトルを並べたもので行列を挟むと
対角化できるのか、を真面目に考えると分かるよ。

問　
Pをn次正則行列とする。n次正方行列Aの固有値とP^-1APの固有値が等しい事を証明せよ。

どなたかお願いします。

>>190 例えば、AとP^-1APの最小多項式が一致するから。
　証明は(P^-1AP)^n=P^-1A^nPを考えれば明らか。
　最小多項式は固有値を買いに持つ一次式の積からなり、
　また固有値はかならず最小多項式の解となる。

もっとわかりやすい照明
AとP^-1APは違う基底による同じ線形写像の表現行列と考えることができる。
この写像をfとすれば、明らかにλがAの固有値⇔ｆの固有値⇔P^-1APの固有値⇔

>>192
無駄に分りにくくなってるんじゃねーの
Pが座標変換になってるって直接的に言えばいいじゃん。

Ax=αxのときPxがP^(-1)Aの固有ベクトル

複素数でも指数対数でもeでもlimでもπでもルートでもどんな既存の「代数学にある概念」を用いても構いません。
得意の「代数学」でこの幾何学日本猿を表現してくださいよ。

貴方がた数学パズル愛好家が完成させた「γΔ�煤汕｢鼻叫喚関数f(x)」が
もし正しければ、そこに0.5とか1とか1.1とか1.2とか実数を入れてったら私の希望する幾何学日本猿
つまりこの「猿」という「現実」が現れるわけですな。

要するに、まず図形（＝実在する物理空間）があって、そこで起こる問題を解決する方法の
一つとして「代数学（＝思考のツール）」があるのであって、「俺の好きな思考のツール単体を弄りまわせ」
と相手に押し付けるのは、順序が逆でしょう。

そういう話なんですよ。当然、「代数学」は優れたツールなのですぐグラフを数式で表現できるんですよね？
さあはやくやれってんだよ？できんの？どうかな？w

代数学じゃなく解析学と書いてあったら割と完成度たかかったのに、残念。

もう月曜日なのになー

>>194
スパはニュー速に帰れよ

線形代数のテキストで、ジョルダン標準形あたりまで分かりやすく書いてある
テキストを教えてください。
佐武や斉藤以外でお願いします。
私が読んだテキストはサイエンス社と培風館のものですが、ジョルダン標準形は
培風館のテキストに証明抜きで例が少し出てくる程度なので不満です。
ポントリヤーギンの『常微分方程式』を読めるぐらいの知識がつくテキストが欲しいのです。

>>198
だったら佐武や斉藤でいいじゃないか

>>198
ジョルダン標準形だけ別に
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/8/0078030.html
を読むとかどうよ．

>>200
>>198です。
それ、分かりやすいのでしょうか？
著者が著者だけに…orz

>>198
佐武とか斎藤とかがいいんじゃねー？

ジョルダン標準形が分かりやすい本を聞かれて齊藤を薦める鬼畜が集うスレはここですか？

>>198
マリツェフ

斎藤の説明で分からないなら
ジョルダン標準系の理論を理解するのは無理だと思うよ

つか、「わかりやすい」本で手っ取り早く理解できるなら
世の中その本がバカ売れで、数学者だらけになるだろ

結局数学で躓く奴って定義をちゃんと認識してないんだよね。
一般固有空間の定義ちゃんと理解してる？

>>201
私はわかりやすいと思った．

まあこれだけのページ数で１つのことだけを書くんだから，
それなりに丁寧に書いてあるよ．

>>206
ジョルダン標準形の理解が難しいから数学者の絶対数が少ないという理解で
よろしいのでしょうか？

斎藤のジョルダン標準形の章の評判があまりにも悪いので、別の本で大枠を
つかんでから斎藤に行こうと思っていたのですが、なかなか厳しいようですね。
古いところでは笠原、新しいところでは長谷川や川久保を考えていたのですが、
どんなものなのでしょうか？
私の実力ですが、杉浦解析の証明をフォローするぐらいなら特に困難を感じません。
大学の線形代数のテキストが斎藤の線型代数演習だったので、わざわざ演習のほうを
指定するあたり斎藤の入門には何か難があるのだろうと思って質問しました。

>>209
何事にもハードルはあるって言ってんの。
合う合わないは個人差もあるから、評判だけで物事を決めるのもどうかと思うけど。

あとでやるつもりがあるなら、かって無駄になるってことも無いんだし、
まず読んでみればいいじゃん

> 何か難があるのだろうと思って質問しました。

なんでそう言って質問しないの？

>>209
佐武とか斎藤とかがいいんじゃねー？

>>211
斎藤の入門は既に持っています。
単因子論以外の方法があると聞いたので別のテキストを考えていたのですが、
そういうテキストを紹介してもらえるとうれしいというのが質問の趣旨です。
要はポントリヤーギンが読めればいいので、単因子論や斎藤には拘らないという
スタンスです。

杉浦がスラスラ読める奴が、斎藤で躓くなんてまず考えられない。

矛盾したことを書き込んでしまいました。
斎藤が読めればいいけれど、目的はあくまでポントリヤーギンという意味です。

> 単因子論以外の方法があると聞いたので別のテキストを考えていたのですが、
> そういうテキストを紹介してもらえるとうれしいというのが質問の趣旨です。


はじめからそう書けばいいのに……
佐武読めばいい。

ポントリャーギン読むのに斎藤で足りないってこたねーだろ…？

自分なりに考えがあるなら手当たり次第に読んで
別に害もないんじゃないの？
解析概論にチャレンジして遭難する高校生とは違うんだからｗ

>>215
そうでしょうか？
杉浦は何でもかんでも証明していくので親切だと思いますが…。
特に実数論の章は涙ものです。
対して、斎藤はずいぶん砕けた感じで、厳密に詰めようと思うと却ってきついのです。

>>220
それは単因子論がわからないのじゃなくて、行間を埋める能力が
君に足りないってこと？
結局何が問題なのかわかんないから答えようが無いじゃないか。
>>219に一票だな。

> 斎藤の入門には何か難があるのだろうと思って質問しました。

難があるのは質問者の脳ミソのほうだったようだ。

> 斎藤の入門は既に持っています。
> 斎藤はずいぶん砕けた感じで、厳密に詰めようと思うと却ってきついのです。

情報小出し・後だしにも程があるだろ……

>>221
>行間を埋める能力が 君に足りないってこと？

たぶんそうだと思います。

>>222
斎藤のあとがきに、ジョルダン標準形はもっと楽な証明方法があると書いてありますが…。

そう虐めてやるなｗ

それでも変に効率を求めすぎだ
脳が汚染されるわけじゃなし難しい本を読んでも無駄にはならんよ

この質問者には石村園子をお勧めする

>>224
つか、一般固有空間使って導出したければ佐武読めで終わってるだろ。
いつまでごちゃごちゃイチャモン付けて粘着スンだよ

マリツェフ線型代数学ｵﾇﾇﾒ

>斎藤のジョルダン標準形の章の評判があまりにも悪い

知らなかった・・・

だいたい事情は分かりましたが、私が大学を卒業した20年前とあまり状況が
違わないようですね。
テキストを書くという仕事は評価されにくいのでしょうか。
とりあえずマリツェフ、佐武、杉浦あたりをチェックしてみます。
ありがとうございました。

線型代数学ってのは、例えば（5+c）×（4+2）÷（3×a）＝X
X+（4+3）×b+3+4+5+6・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

という数式が延々と続いてるのが「純粋理性批判」なのである。
例えば「超越論」という単語、例えば「超越論的観念論」という単語、
例えば「アプリオリ」という単語、例えば「分析判断」という単語、

「総合判断」という単語、延々と数十数百と続くこれらの単語を
数学の「変数aとかcとかc」と考えたまえ。そしてこの連立方程式は、
700ページにも及んでおり、変数の数は数十数百と続いている。

>>230には一生何かを得ることはムリだろうな。

っていうかマリツェフって東京図書だろ
再販する気ねーなら版権を手放せよこの馬鹿

東京図書と岩波書店はどうしようもない

？
岩波がどうしようもないのは何で？
古い本の再販は一番盛んだと思うけど。

んなこたーない

岩波は重版未定が多すぎる

あと、岩波は絶版にするのが早すぎる

ジョルダン標準形、解決しました。
部屋に転がっていた古いテキストに書いてありました。
単因子論ではないみたいですが…。
この程度でいいのなら初級のテキストでも十分扱えると思うのですが、
避けて通る著者が多いのはなぜなのでしょうか？

難しい話だからです

>>239
著者がその程度でよいと思っていないとか

>>241
>>200で紹介されていたテキストはバリバリに書いてあるみたいですから、
ジョルダン標準形はその気になればいくらでも引っ張れるのでしょうね。
世の中のニーズは別のところにあるみたいですが…。
私が読んだテキストではさらっと６ページでしたが、これでも堪能しました。

で、ジョルダン標準形は何の役に立つわけ？

ぐぐれ

>>243 たとえば微分方程式といたり。　

で、微分方程式といたりは何の役に立つわけ？

微分方程式なんて科学の基礎中の基礎。
ありとあらゆる現象に現れる。

線型の授業も担当してた代数系の教授がジョルダン標準形なんて何にも使わないけどねｗって言ってたが

解析系にしか応用されないんじゃない？

で、科学の基礎中の基礎は何の役に立つわけ？

おまえの人生の役には立たないよ。

で、おまえの人生の役は何の役に立つわけ？

建国

例えば教養で量子コンピュータの概論みたいな授業を
習ったときに、先生が線型代数を使うので各自自習のこととか言ってたんだけど、
そのときジョルダン標準形まで勉強してなかったから、ジョルダン標準形とかの議論は
要りませんよね、とか言ったら「いや普通に使うから勉強してください」的な答えだった。

解析でも使いますね。でも代数学ではあまり使いませんね。
その前の一般的な線型空間の議論は非常に広く応用されるんだけど。

>>254
>でも代数学ではあまり使いませんね。

ジョルダン標準形は特定の線型作用素を一般固有空間へ分解して挙動を理解するという視点だけど、
代数学は個々の作用素よりは代数系の構造などを問題にする事が多いからかなぁ

それでも表現論に首を突っ込み始めると、表現空間の適当な分解を考えるときに
ちょくちょく顔を出したりするわけですよ。

代数学で使わないとか言ってる人は見識が狭いんじゃないかなあ。
表現論における基本的な道具でしょ。

でもp-進表現論とかだと、ジョルダンよりも一般標準形のほうが

使わないといえばDedekind切断の使えなさは異常ｗ

>>259
もっと線型代数スレに沿ったネタで頼む

フェルマーの最終定理の使えなさも異常ｗ

何か役に立ったかと言われると即答できないが
じゃあ無駄だったか無意味だったかと言われると
そうでもないような・・・

三流私大の工学や経済の学生相手に斉藤を教科書にするのは無理がありますか？
どうせ全部やる訳でもないし、買わないのも結構いるし、講義と演習の工夫次第で何とかなるような
気もしますが

馬鹿をたくさん作るという目的には合致する。

誰かが私に10億円以上贈呈するという現象にも合致してもらおう。

>>263
工学はわからんが、経済はやめておけ。
三流私大の経済だと、本当に分数の計算ができなくて、分母を払うと
変な結果になるのがいる．．．

抽象概念を話してもほとんどついてこれないので、

「プログラミングのための線形代数」平岡 和幸, 堀 玄、オーム社とか
岩波の「キーポイント線形代数」薩摩 順吉、四ツ谷 晶二

あたりが、いいのでは。
まあ、岩波のは全体を網羅してるとは言いがたいが、全部やらないなら
これくらいでいいと思うよ。

アホには園子たんだろ…

>>267
園子たんのって、胡散臭いので目を通したこともないんだ．．．

目を通したことすらないのに
胡散臭いとわかる能力

園子たんのはともかく
いちいち目を通さないと胡散臭さが分からん奴は胡散臭い

胡散臭いというのは臭いなのだから目を使わなくてもわかるのだ

>>263 三流私大じゃ行列の積教えるだけでひと月はかかる。

三流私大ってどのレベル？
日大とか？

斉藤レベルのなんて
東大京大以外じゃどこも授業で使ってないよｗ

>>274
愛媛大学理学部数学科で齊藤の線型代数入門を使ってます

>>275
ずいぶんと学生に無理をさせているなあ。
今は分かりやすい本があるから、わざわざドMな選択肢をえらばなくてもいいと
思うのだけれど。
そこに山があるのなら登れ、というポリシーの教官なのだろうか。
昔の東大でも斎藤を指定しなかった良心的な教官がいたぐらいなのに…。

ド駅弁が背伸びしすぎ。
馬鹿は分かってないってことが理解できないから
分かったつもりになってるやつも多いんだろうな。

>>274
電通大や上智でも使ってるな。
「線型代数入門 齋藤 正彦 シラバス」とかでググるとたくさん出る。

>>276
基本的に、講義のレジュメをしっかり作っていれば教科書はなんでもよい。
教科書は予復習両面に使うことを考えて指定しておくべきで、
線型代数からさらに先へ進んだ勉強をするときにも参照することも
考えに入れていれば、噛めば噛むほど味が出る斎藤や佐武を選ぶのは
決して悪い選択肢ではない。

線型代数って代数学の教科書とかほど
教科書によるレベルの差はないと思うんだけど。
何が違うの？ほとんど一緒じゃん。
（単因子論がどうのとかは例外として）

斉藤って評判悪いの？
結構良い本だと思うが。

良い本だけどむずいの

>>280
理論はそこそこに計算力重視の工学系用の本と、逆に理論重視の
理学系用の本ではかなり違う。
入り口の部分や応用の方向性でも結構違う。
しかし、学部初年度級の線型代数に必要な部分だけ見れば
あまり差異はないと思わなくも無いかな。

確かに工学部の先生が書いた教科書とかとは違うけど、
どっちかというとレベルの差というよりは扱うトピックの差だと思う。

偏差値50ちょいの私大の学生で、斎藤正彦のやつ自分で買って読んでるんだけどちゃんと読めてないのかな。
自分にはそれほど難しいとは思えないんだけど

同出版の演習がほとんど解けるようなら
読めてると言ってもいいんじゃない？
難しいといっても所詮線形だし。

>>279
オレは講義にはほとんど出席しなかったから、つい自習前提で考えてしまうんだよな。
確かに、引っかかりそうなところを講義でちゃんと説明してくれて、かつ、学生が
講義にちゃんと出席してくれるのであれば、斎藤はいいと思うよ。

>>286
章末問題はだいたい解けるのですが…演習の方も時間があれば手を出してみることにします。

どんな分野でも同じだが
系統的にきちんと説明しており
段階的に次のステップに進めるような記述内容であれば
例えば石川晋・成慶明「線形代数学大全（第1,2,3部）」のような記述であれば
学力が高くない学習者の頭の中にも線形概念の初歩はすんなり入るだろう

>>289
失せろ

>>290は何を怒っているんだ？
著者に恨みでもあるのか？

>>291
そこのアホコテにうんざりしてるだけだよ

>>242
亀レスだが、ヘボイ本の多くは、ジョルダン標準形の一意性（ブロックの
並び替えを除いて一意）の証明は書いてない。
ジョルダン標準化可能の証明もなかったり。

もちろん計算できたらそれでいいという人も多いだろうが

>>266、>>268　だが

工学の場合は実際に使えるかってのが重要だし、経済でも計量などで計算しないと
いけない場合がある。
それに、三流私大で抽象論をやっても、学生が飽きてしまうだけなので、とりあえず
具体的な計算だけでもできるように講義をしておいた方が、やる気のある学生のため
にも、やる気のない学生のためにもいい。

やる気のあるのは、計算方法が入っていれば、抽象論を学ぶときに役に立つし、
やる気のないのには、試験のときに計算問題を出せば、教える側も教わる側も
ハッピー！

>>263
正彦？毅？

>>293
30年ぐらい前に出版されたテキストですが、最後の６ページだけなので、
ジョルダン標準化可能の証明とジョルダン標準形の一意性の証明しか書いて
ありませんでした。
計算例は載っていませんでしたね。
異様に分かりにくいテキストと思って放置プレイだったのですが、
意外なところで役に立ちました。
最近のテキストはジョルダン標準形を避ける傾向があるので、ジョルダン標準形が
神格化されてしまい、読者をますます遠ざける結果になっているのではと思います。
一般化された固有空間から導出するのなら、それほど難しいとは思えないのですが…。

>>296
厚い本は売れないからという理由でページ数を制限してくる出版社にも
問題はあるのでは？

なら一番の原因は厚い本を買わない消費者だな

>>298
でも、教科書を指定するのは教官だろ？

>>296
30年前の教科書は、そういうスタイルが普通。理論中心で計算例は
やればできるでしょうという感じ。

今は、数学科でも >>294みたいな感じ。何も神格化してるわけではなく、
1年生の終わりごろは、行列・行列式・数ベクトルの理解までで、
部分空間などの概念が正確に身についてない学生が多いのですよ。
（昔の学生がよくできたというよりも、昔は、よくできる上位学生に
合わせて講義すれば良かったが、今は中間層の引き上げを重視される）

厚い教科書を指定すると、学生評価に「教科書が難しい、高い」などと
酷評される時代。学生評価なんてバカ学生の嫌味ばかり、クソなんだから
無視すればいいのだが、学生に甘い時代ですから。

>>300
20年前の東大の教養のクラスはひどかったですよ。
ウチのクラスは数学なんてみんなほとんど理解していなかったと思います。
線型代数なんて試験前に掃き出しとグラム・シュミットをやっただけで単位が取れましたから。
今は学生評価があったり出席点があったりと教官・学生ともに真面目という印象を受けます。
いや、マジで昔はひどかったです。

教養がさっぱり信用できんから本郷に来てからもっかい線型代数をやるうちの学科

昔は良かったも、昔はひどかったも、どちらも想い出伝聞フィルタが
かかって、良い点も悪い点も強調されるからな…

>>302
「本当にわかっている学生にだけ微積と線型の単位を出す」とすれば、
本郷がガラガラになるｗ

教養の終わりまでは護送船団方式でていねいに教えたほうがいいのかな。
入学時にあれだけ数学ができた学生の大半が教養で落ちこぼれてしまうのは
大変な損失だと思う。
実にもったいない…。

勉強なんて大学生の仕事じゃないだろ。
今の学生はあんた等おっさんが学生時代やってたことを繰り返しているだけで、
学生の質なんて今も昔も同じ。ま、過去を過大評価しないことだな。

>>305
今でも昔でも変わらないことは、学生は入学後は受験時代より
勉強しない。中でどう勉強しても関係なく、就職さえできればよい
と思ってる学生がほとんど。

そこを変える方法がない限り、教科書を変えても講義を丁寧にしても
何も変わらない。駒場にしても、学生の多様化もあって、進振りも
昔よりは楽になってる。

>>307
入試を欧米式に変えればいい

>>308
それだと今度は高校の勉強がさらにスカスカになって
大学初年度級の講義がもっとキツキツになる。

まぁ実際ジョルダン標準系ってそんなに重要じゃないんでしょ。
佐竹とか2ページくらいで終わってるし。

ジョルダンは閉体上の話だからね。佐武は実数体上の表現とかも視野に入れて書かれてるし。

McGraw-Hillの演習書Schaum's outlinesをみていたら
Matrics operationとLinear algebraは別々の冊子になっていた
問題の内容は広範囲で易しくはない
でも恐ろしく価格が安い

>>312
失せろごみ野郎

>>312
死ねカス

３１３だとか３１４だとかなんて
このスレに顔をだすなよ
ここは線型代数のスレだよ

ていうかその前に線型代数って意味あるのか？
行列と行列式と固有地固有ベクトル対角化三角化ジョルダン細胞ユークリッド空間ベクトル空間内積空間
数学的に意味あるの線型空間の話だけじゃないか？

数学的に意味ある　の定義は？
少なくとも上にお前が書いたことのほとんどは
たいていの分野で使うよ。
(多様体、多変数解析、微分方程式、実解析,etc・・・）

>>315
死ねボケ

国賊が死ぬのが先だ。

NO-NAMEとKing、どっちがクソコテか

どちらも糞です

Reply:>>320-321 お前は来なくてよい。

>>317
現代数学で意味あるかって話。
平面幾何学など高校で習った数学は現代数学には意味ないのが多い。
そうすると行列の話は高校数学と同様現代数学には何も意味ない気がする。

可積分系の半分は行列でできている

>>323
おいおい無知にも程があるぞ

>>276
＞昔の東大でも斎藤を指定しなかった良心的な教官がいたぐらいなのに…。

それは話が逆なんですよ。東大や京大の教員は、学生のレベルに合わせて
柔軟に教科書を選択するだけの力量がある。あるいは、自分で書く。
良心的というより、教育にも秀でている。

ド駅弁や三流私大の窓際教授といえ、大昔には東大卒だったりする。
で、自分が習ったようにしか教えられず、高木や斎藤がいまだに教科書に
使われる。自分で教科書を書く場合でも、定番教科書の劣化コピペに
すぎない。

>>323
群表現論でアホほど使う

>>323
微積分も線型代数も、初等幾何同様新しい発展はない死んだ分野。

現代数学には何の意味もないので、アカポス狙う人は両方とも
捨てて何も問題ありませんよ（棒

意味が無いと思うなら自分がやらなきゃいいだけの話

微積と線形の土台を固めておかないで、
何の数学をやろうとゆうのか。

厨房は夜更かしせずにはよ寝ろや

昔射影幾何学というのがあってだな

>>331
ふむふむ

>>328
>微積分も線型代数も、初等幾何同様新しい発展はない死んだ分野。

勉強不足ですね。線形代数は現役の研究対象。

>>333
例をあげよ。

古典数学も学べないやつに現代数学が使いこなせるわけねーじゃん(笑
ある日突然新しい概念がぽろって出てくるとでも思ってんの？（笑

線形の偏微分でシステムやってる人は思いっきり線形代数使ってるよ。

相加相乗平均の証明でも、昨年論文が出たくらいだしな

１　Linear Algebra and its Applications
２　Linear and Multilinear Algebra
３　Numerical Linear Algebra with Applications

主なジャーナル。具体的な研究内容が知りたければ後は御自身でお調べになって。

そんなこというなれば三平方の原理は100以上の証明方法がみつかっている
二番煎じな意味はない

一番意味がないのはお前の存在

>>339
まず日本語の勉強からだ。

さっさと逃げればいいのに叩き潰されるところが厨房だよな

まあ一般的な意味での線型代数はあまり研究すること無いよね。
かなりマニアックなネタはあるにはあるけど。
大学教授にも専攻が線型代数です、という人は居ない。

>>334
アダマール予想

dimW(数字が入る)= とか
W( )=　ってなんですか？

ロンスキー行列じゃない？

>>345
さてね

今手元にMcGraw-Hillの演習書Schaum's outlines Matrix Operationsがある
中身は濃く易しくはない　これをマスタすれば学力アップ

>>326
>ド駅弁や三流私大の窓際教授といえ、大昔には東大卒だったりする。
>で、自分が習ったようにしか教えられず、高木や斎藤がいまだに教科書に
>使われる。自分で教科書を書く場合でも、定番教科書の劣化コピペに
>すぎない。

そんなに高木や斎藤を使いたいのなら、いっそのこと解説書を書いて欲しいですね。
長年、高木や斎藤を教科書に指定していたのであれば、どこで学生が躓くか
よく分かっているでしょうに…。
学生に理解されないような講義をやっていて空しくないんでしょうか？
人生の浪費だと思いますけどね…。
C言語のスタンダードと言われるK&Rでも解説書が出ているぐらいですから、
需要はあると思うのですが…。

>そんなに高木や斎藤を使いたいのなら、いっそのこと解説書を書いて欲しいですね。

それには反対。大学一二年の頃には、こういうちょっとばかし行間がある本にじっくりと腰を落ち着けて取り組む姿勢を涵養するのがまず第一だと思うから。
解説書が出てしまうと、本来なら独力で行間を埋めることが出来る人でもついそちらの方に手を出してしまうのが人情だろうし、それだと数学書を読む姿勢は養われない。

>需要はあると思うのですが…。

需要があるということは、供給すべきことをなんら意味しない。

>>350
数学科はそれでいいだろうが、工学部なんかだとそこまでやらなくても、
という気がする。
まあ、学科によりけりってとこかな。
オレは理解できるのなら何でもいいという方針だから、解説書があれば
手を出すと思う。
自力で解決できなければ他人に尋ねたり、別の本を読んだりってことに
なるから、他力本願な点では解説書を紐解くのと同じだと思わないか？

数学書を読む楽しみって行間を埋めることだと思うのだが。
ていうか高木や斉藤に書いてあることを理解するためには
あの程度の行間が埋めれないと駄目だよ。
行間を埋めた解説書なんか読んでも分った気分になるだけで
結局分ってない。

別に「行間」があるのは悪いことじゃないけど
良い事でも無いと思うけどね。

「行間」を埋められないとダメというのは同意だけど、
著者がまあ多分証明できるだろうと楽観して
適当に書いてるような場合も多くて、
どう見ても後で出て来る定理使わないと解けないだろ、
というような場合も結構多い。
ほとんどの場合、いわゆる「行間」は主に著者が
自分にとってどうでも良い事を省略するために入れるもので、
読者のことを考えて敢えて入れられるようなもんじゃないよ。

だってちょっと考えて見てよ
読者が行間を埋めなければ内容を読み取れない教科書って
それって教科書かいな
説明不足の教科書って最悪だ
斎藤正彦の「入門線型代数」「同演習」両著とも証明をずばずばと省略したり
普通の間隔で言う「入門」ではないよ
結構索引がしっかりしているから辞書代わりに使える
佐武一郎の「線型代数学」は難しいけど
斎藤の著書では触れていなかった内容の記述が随所に見られる
両著とも辞書代わりに重宝

>>354
死ね

>>355
まあまあ…。
このスレ、なんだか殺伐としているな。
そもそも、教育的配慮から斎藤や佐武を指定する教官がどれぐらいいるかが疑問。
確かに無難だしあとあと役に立つことは否定しないけど、最初の一冊としてはどうか
と思うような大学が教科書に指定しているのは問題だと思う。
教官が同僚に批判されるのを恐れて、「定番」と言われるものを指定せざるを得ない
雰囲気が大学にあるのかと疑ってしまう。

いや線型代数の教科書なんて何読んだって
そう大して変わらんだろ。証明の省略の仕方とかも含めて。

講義があるんだから寧ろ非本質的な事は書いていない
教科書のほうが良い、という考え方は充分にありうるんじゃないの。
数学者は特にそういう考え方をしがちだと思う。

歴史的には佐武の線型代数学は難しいので斎藤が入門線型代数を書いたのが事実らしい。
他者曰く　斎藤は難しいということで自分でテキストを書いた人がいる
確かに最初の一冊とは到底思わないけど
少なくとも横浜国大と横浜市大ではテキストとして指定していない

>>358
死ね

>>358
横国と横市のどこに数学科が？？

>>357
線型も解析もテキストによって結構違うよ。
前書きに、ウチみたいな私立向けに書いた、とか、学生にもっと分かりやすいテキストが
欲しいと言われたので書いた、と明言しているテキストもあるぐらい。
そういうテキストは分かりやすいよ。
だからと言ってレベルが低いとも言い切れない。
証明なんかもちゃんと書いてあるし。
だから、最初の一冊としてはそういうものを選んだほうがいいと思う。

「最初の一冊」ねぇ……

読めなかったら自分で別の自分に合ったのを探すのが大学生として
最低限持っているべき矜持じゃネーの？

比較的やさしいといわれる本でもはじめの方にページ数を割てるだけで
対角化や標準化あたりになるとどれもそれほど難しさは変わらない、それだったら斉藤佐竹の
ほうがいい（ジョルダンまできっちりやるなら）。それかいっそわりきって応用中心
にするか、掃き出し法あたりまでで斉藤という手もあるが

>>362
大学は授業料を取っているのだから、そうもいかないよ。
あれだけ金を取っておいて、テキストは勝手に探せ、では学生の理解は得られない
と思うのだが…。
少なくとも金を出している保護者は納得しないよ。
大学生用の数学のテキストのガイドブックが出ているけど、ぜんぜん使えないし。
なんだかんだ言っても、大学はまだまだ教育に不熱心だと思う。
大学の教官は教育者である前に研究者だという意見も根強いのだろうけど、
他人がやる研究のために授業料を払わせられる１、２年の学生はたまったものではないよ。

>>364
自分の金で大学に行けばいい話だろ

>>364
テキストは指定しているし、図書館は自由に利用できる。
テキストが合わないとピーチク吠える暇があったら、
せっかく高い授業料払ってるんだから使える施設は使い倒すべきだよ。
図書館でいい本が見つかったら、借りるなり買うなりすればいい。

授業料払って大学にいるのに、元を取ることを考えないなんてのは
ただの甘え。

線型代数の教科書の「レベル」の違いは、
同じ内容を3行で済ますか10行書くかとか、
要は読むのに必要な根気の違いなので。

>>364
別に、自分に合う教科書探しを一人でやれってことじゃないよ。
講義の担当教官に別の参考書を紹介してもらったっていい話だし、
オフィスアワーとか利用して判らないところを質問することもできる。
教官が担当してる院生を紹介してもらえるかも知れんし、
空き教室を利用して自主ゼミをやったっていい話だ。

要するに、金出してるんだから努力しなくていいってのは、間抜けな考え。

>>364
もったいないと思うならもったいなくならないように自分からも動けよ、アホかｗ

>>366
要は、教官の心構えの問題なのだろうなあ。

>>367
それ、納得。

>>364
親の金で大学行くのが当たり前だと思ってるのなら、それこそ甘えでしかないな。
奨学金借りて、バイトして、卒業後自分で返すなんてざらにある話だ。
親の金で大学行ってる時点で甘えてんだから、それ以外のことくらい
少しは自分で頑張れよ、あたりまえのことだろ？
あたりまえのことが出来るようになるための義務教育はとっくに修めてるはずの
大学生が、あたりまえのことまで手抜きするってのはどういう了見だ？

>>370
学生の心構えの問題だろ

>>372
じゃあ、教官の仕事は何なんだ？
セクハラやパワハラをするやつが普通にいる職場で、これ以上教官の
立場を強くするメリットとは？

>>373
普通にはいねーだろｗｗｗ
それ、世の中には普通に痴漢がいるから男に権利は必要ないとか
いってるのとかわらねーぞ。
どっかの殺人鬼がｱﾆｦﾀ・ｹﾞｰｦﾀだったからって、アニメやゲームが
犯罪の温床になってるなんて言ったら人格を疑われる話だ。

>>371は親から援助を受けずに大学に行ったのか？
実はオレはバイトで全額賄ったのだが、そこまで強く出る自信はないよ。

>>373
立場を強くする？なんか勘違いしてるんじゃねーの。
なんも努力しない学生が、そんなに偉いの？
資料集めなんて、中学生でも自分でやるぞ？

それにな、教官は学生の敵じゃない、普通の人間。
自分から何もせずに思い通りに動くはずも無いし、うまく味方につけて
教科書探しなりなんなりで利用するんなら、自分からうまく立ち回るのが
不可避なことは言わずもがなだろ。

幼稚園児か、お前は。

>>374
いや、パワハラは普通にある。
セクハラのもみ消しもあったし。

>>375
全額バイトで賄ったやつの話なら、保護者が納得しなくても問題ないことじゃないの？

>>377
おまえ、お前の周りとか一部の報道とかを「普通」って言ってないか？
そんなこといったら、日本は殺人事件や戦争が普通の世の中ってことになるぞ。

>>376
オレの知っている大学教官は、教官には教育の義務があると言っているよ。
大学へ行くのが普通の世の中では大学や教官の立場はじゅうぶん強いよ。
そうでなければ、あれだけの授業料は取れない。

>>378
オレ個人の話をしているわけではない。
授業料を徴収する機関のあるべき姿についてだ。

>>379
日本っていま戦争をやっているのか？知らなかったよ。

授業料がどうのこうの愚かなことを言った>>364は晒し首
相手をした者も同罪

>>370は日本語が読めない
>>373までいくと狂人

線型代数に興味のない狂人は出ていってくれないか

>>380
ガザ地区での戦争の報道は日本でも行われているからな

>>382
ついエキサイトしてしまった。
悪かったな。

>>380
いくら教育の義務があったって、学生にやる気が無けりゃ無力だつってんだよ、ハゲ

NO-NAMEが全て悪い

ま、正直な話、教科書が一冊でなんでも片がつくと思ってるやつはいないだろ。
大抵は2,3冊並行して読むもんだし、完璧を求めても仕方ない話なんだよねえ。

というか、数学科の学生半分以上は
線形代数を理解してないという現状が・・・

行列の計算はできる人多いけどねｗ

著者によって記述内容が大きく異なることは
物理の熱力学，統計力学，流体力学の参考書の記述内容を比較していたときに気が付いていた。
線型代数でも同様ということで複数参照していけばよいということ。

>>389
黙れ、死ね

コテをつけているだけ優秀．NG指定できる．

線型代数の有名な未解決問題を投下していきますよ

n 次正方行列 A に対して
perm(A) := Σ[π:{1,...,n}の置換] A_{1,π(1)} ... A_{n,π(n)}
をAのパーマネントという（行列式の定義で sgn(π) を落としたもの）。

予想： A, B を可逆な n 次正方行列とする。
このとき A と B を並べてできる行列 [A B] の n×n 部分行列 C で
perm(C) ≠ 0 なるものが存在する。

もう１つ

予想：F を要素を4つ以上含む有限体とする。任意の F 上の可逆行列Aに対し、
すべての成分が非ゼロのベクトルx, yで Ax = y を満たすものが存在する。

何予想って言うの？誰の予想？

うんこだな

線形の何が難しいかって、意味不明な概念持ち出されるのが難しい
dimとかkerとか核とか部分空間とか複素固有値とかエルミート行列、ユニタリー行列・・・
線形空間って何？内積空間って何？座標の軸が直線な空間のこと？

教科書はあえて意味不明に書いてあるとしか思えない
こんな本は、読んでいて全く面白くない
理系離れとかの原因はこれだよ
大学全入時代の今こそ、誰でも理解できるような本が真に求められる

by　Ｆラン工学部　学部１年

>>351
＞自力で解決できなければ他人に尋ねたり、別の本を読んだりってことに
＞なるから、他力本願な点では解説書を紐解くのと同じだと思わないか？

うん、解説書を紐解くのと同じで他力本願だと思う。(別の本を読むというのはまだマシな気がするが・・・)
だからこそ、他力本願な選択肢をこれ以上増やさないためにも、解説書の刊行には反対ってわけ。

>>354
＞読者が行間を埋めなければ内容を読み取れない教科書って
＞それって教科書かいな
＞説明不足の教科書って最悪だ

俺が常々思うに、教科書というのは親による子供へのしつけのようなものだ。
つまり、厳しすぎれば子供は萎縮して(またはグレて)親から離れていくし、甘すぎれば子供は親に依存して成長できなくなる。
同じように、数学の教科書に関しても、行間がありすぎれば学生は数学から離れていってしまうし、なさすぎればいつまでたっても思考力が磨かれない。
だから、行間が「適度に」あるのは、むしろ教科書として好ましいことだと思う。(何をもって適度とするかは難しいが、やはり齋藤正彦の本の行間くらいは無難だと・・・)

よく分からんが他人に聞いたり他の本を読んだりしたりするのは
「他力本願」だから本来はしないほうが良いって言ってるの？

んなこと無いけど。

高校＆浪人の時にベクトル行列一次変換空間図形にハマるといいよ

>>397の様な偏屈な頑固オヤジみたいなやついるせいで、数学は難解になっている
しかし、現実の数学者はこういう基地外しかいないんだろうな
だから、難しい教科書が多い
>>397＞＞（行間が）なさすぎればいつまでたっても思考力が磨かれない。
思考力は演習で身につければ良いです
初学でいきなり思考力を問うのは、スパルタ過ぎる
そんなんじゃ皆離れていく
最近、クソ簡単な教科書（単位がとれる〜（？）とか）がよく売れているのが良い例
数学者になれるくらいの才能のある人間なら、それくらいのスパルタ教育で良いかもしれんが
そうでないものにとっては厳し過ぎる

馬鹿すぎｗ

真実を受け止めれず、一笑してしまうのは簡単ですが
そこに発展は生まれません
こういうのを知能が高い馬鹿というのですな

オチコボレに合わせる必要なんてありませんからね。
大学は義務教育じゃないんで。

講義聴くよりも教科書読んでたほうがいい。

>>403
それは大学のレベルでそれぞれ教えることが違うのと同じこと
でもやり方ひとつで結構変わるものだ
>>403の様な人間が、講師になると教育は腐敗するだろうな
辞めたい人は辞めて良いですと言わんばかりに、適当に講義をする、最悪だ
最近こういうモラルのない人増えたね、死ねばいいのに

お前が死ねばいいと思うよｗ

毎回同じテスト配って、しかも問題の間違い訂正すらしない狂授が旧帝に居ますがｗ

わからないのは他人のせい
わかるのは自分の御陰
と思っていたあの頃が懐かしい

同じ条件で分かってる奴がいる以上
分からないのは自分のせい、だと思うけどな

何でall or nothingなんだよ

>>410
数学板だから

ここは自己責任論者の巣窟だからなあ。
まあ、そうは言っても全員が東大・京大の教官になれるわけではなし、
遅かれ早かれ現実に向き合う羽目になるのだろうけれど。
いま数学が理解できないと嘆いている人たちも悲観するには及ばないよ。
社会人になって杉浦や斎藤を見直してみたらあっさり読めたという知り合いもいるし。
高校数学は少ない知識でそれなりに厳密な体系を作っていて楽しめるが、この感覚が
残っている間は大学数学はしっくりこないのだと思う。
社会人になるころには高校数学の残滓もほぼ抜けるだろうから、そこであらためてテキストを
見直してみるのも有益ではなかろうか。
テキストの問題は結局愛着の問題で、自分が自信を持って選んだテキストには無名でも
愛着が湧くし、いくら有名なテキストでも自分に合わないものは捨てたほうがいいと思う。
どうしてもそのテキストを読まないといけないという状況にある人は別として。
健闘を祈る。

>>412
なれってのもあってさ。
いまいちわからないまま放っておいて、他のことをいろいろやったと後に
見てみると、「ああ！」ってのも多い。

考え方に慣れたのもあるし、他のことをやったおかげで周辺知識が増えた
ってのもある。

まあ、１年の最初から、理解しないと進まないなんてのをやってると、逆に
理解の妨げになるとは思う。

うちの数学科、線形代数は初回に教科書嫁でおわった。講義はなしで宿題の回収だけ。

わかるためには、わかるまで考える、もっとわかりやすい本に乗り換える、
教官に質問する、などの行動が必要だが、いずれも自分自身の行動だから、
そういう意味では自己責任だ。

線型代数の未解決問題を張っていきますよ


予想：任意の正整数 n に対して次の条件を満たす4n×4n行列Aが存在する．
(1) Aの成分は±1, (2) A A^T = 4n I

問題：実数 a_1, ..., a_n が非負行列の固有値となる必要十分条件は何か．
（非負行列：すべての成分が非負）

予想：正定行列 A, B に対し，多項式 tr (A+tB)^k の係数は非負．

>>396
抽象的な定義ではあるな。
単なる言葉に執着していると先に進まない部分。

>>396
禿堂
いきなり意味不な言葉出されても分かるわけねーよ

ちゃんと定義も書いてるだろうがｗ
それでも文句言うのは英語できないのに
アメリカいって言葉通じないとか言って文句言ってんのと同じ。

本当は線型空間の定義とかをやっていくよりも、
まず最初にどうして抽象的な代数系というものを考えるようになったのか、
とかそういう概論的な話をしないといけないんだよね。

確かに数学の教科書はそこらへんが抜けてるよね。

>>418
語感とかはどうでも良くて
定義が全てなので。

kerはあくまでゼロ元の逆像という意味で、
「コアとなる部分」みたいな語感に頼った訳の分からない理解はしないほうが良いよ。

ちょっと昔は高校でも群の定義だけは教えていたので
やっていたので今よりも分かりやすかったんだと思う。

>>418とか
線形空間だって像だって核だって、最初は誰もがわからないもんだよ。
天才数学者とかうたわれている人間でさえ、最初の最初は何だこれ？と思っただろう。

でもそういったものは、問題解いたり定理の証明を追ったりして、だんだんと実体が見えてくるんだ。
中高生の時代を思い出せ。sin、cos、tanだって、すぐにはわからなかっただろ。

東大出版の線形代数の世界を読んだ
なかなか読みやすくて良いね。

Gを結合法則を持つ2項演算･をもつ集合とせよ。このGにおいて左単位元e_l(つまり,∀a∈Gに対してe_l･a=a)と左逆元(つまり,∀g∈Gに対してg^l･g=e_l)が存在する時,Gはe_lを単位元,g^lをgの逆元として群をなす事を示せ。

[証] a･e_l=e_l･a･e_l=e_l･a･(a^l･a)=e_l･(a･a^l)･aからa･a^l=e_lが言えればお仕舞いなのですがどうすればa･a^l=e_lが言えますでしょうか?

a･a^l=e_lが言えれば後半部は
a^l･a=e_l=a･a^lとなりa^lがaの逆元にもなっている事がいえるのですが…

>>424
スレ違い

>>424
眠いから分けの判らんことしてても知らんけど


gの左逆元g^lに対し、その左逆元(g^l)^lは(g^l)^lg^l=e_lゆえに右からgを乗じて
(g^l)^l=gすなわちgg^l=e^l

>426

有難うございます。

> gの左逆元g^lに対し、その左逆元(g^l)^lは(g^l)^lg^l=e_lゆえに右からgを乗じて
> (g^l)^l=gすなわちgg^l=e^l

右からgを乗じたら
(g^l)^l･e_l=gになると思いますが…
(g^l)^l･e_l=g^l^lになるとどうして分かるのでしょうか?

> 眠いから分けの判らんことしてても知らんけど

スレ違い

>>424
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1232536981/436

>430
有難うございます。納得できました。

>>422
そんなこと思わんよ。
そんな言葉が出てくる頃には実例がたくさん出てるから
言葉がないだけでそういったものは既に分かっている。

> 中高生の時代を思い出せ。sin、cos、tanだって、すぐにはわからなかっただろ。

どんな阿呆だ

数学では定義が始まりだと誰かが言っていたけど
定義を足がかりにして順番に読み解いていけばある程度までは理解可能ということか

ひとりごとはブログでどうぞ

クソなコテハンの＞NO-NAME

>>434
死ね

　 　　　　　　　　　　　　　　　∩ 　　ピンポーン!!
　　　　　　　　　　　　　 　 　( ⌒)　 　 　 ∩_ _
　　　　　　　　　　　　　　 　/,. ノ　　 　　 i　.,,E）
　　　　　　　　　　　　　　 ./　/"　　 　 　/ /"
　　　　_n ピンポーン!!　 ./　/_、_　 　 ／ ノ'
　　　（　l　　 　_、 _ 　　/　/ ,_ノ` ）／ ／ _、 _　　　　ピンポーン!!
　　　 ＼ ＼ （　<_,`　）（　　　　　　　／（　,_ﾉ` ） 　 　　　n
　　　　　 ヽ___￣￣　ノ　ヽ 　　　　 /　￣　　　　＼ 　 （ E）
　　　　　 　　/　　　/　　　＼　　　ヽフ　　　/ ヽ ヽ_／／
　　　　　　　　　 n　　　　　　|　　　|.　　　　　 n
　　　　　　　　（ヨ ）　　　 　 /　　　|　　　　　（ E）
　　　　　　　　/　| 　　　 _、/　　　 _、_　　　　 |　ヽ
　ピンポーン!!＼ ＼/（　,_ﾉ` ）／（ <_,`　）ヽ／ ／ ピンポーン!!
　　　　　　　　　 ＼(uu　　　　　/　　　　 uu)／
　　　　　　　　　　　|　　　　　 ∧　　　　　/

　 　　　　　　　　　　　　　　　∩ 　　ピンポーン!!
　　　　　　　　　　　　　 　 　( ⌒)　 　 　 ∩_ _
　　　　　　　　　　　　　　 　/,. ノ　　 　　 i　.,,E）
　　　　　　　　　　　　　　 ./　/"　　 　 　/ /"
　　　　_n ピンポーン!!　 ./　/_、_　 　 ／ ノ'
　　　（　l　　 　_、 _ 　　/　/ ,_ノ` ）／ ／ _、 _　　　　ピンポーン!!
　　　 ＼ ＼ （　<_,`　）（　　　　　　　／（　,_ﾉ` ） 　 　　　n
　　　　　 ヽ___￣￣　ノ　ヽ 　　　　 /　￣　　　　＼ 　 （ E）
　　　　　 　　/　　　/　　　＼　　　ヽフ　　　/ ヽ ヽ_／／
　　　　　　　　　 n　　　　　　|　　　|.　　　　　 n
　　　　　　　　（ヨ ）　　　 　 /　　　|　　　　　（ E）
　　　　　　　　/　| 　　　 _、/　　　 _、_　　　　 |　ヽ
　ピンポーン!!＼ ＼/（　,_ﾉ` ）／（ <_,`　）ヽ／ ／ ピンポーン!!
　　　　　　　　　 ＼(uu　　　　　/　　　　 uu)／
　　　　　　　　　　　|　　　　　 ∧　　　　　/

　 　　　　　　　　　　　　　　　∩ 　　ピンポーン!!
　　　　　　　　　　　　　 　 　( ⌒)　 　 　 ∩_ _
　　　　　　　　　　　　　　 　/,. ノ　　 　　 i　.,,E）
　　　　　　　　　　　　　　 ./　/"　　 　 　/ /"
　　　　_n ピンポーン!!　 ./　/_、_　 　 ／ ノ'
　　　（　l　　 　_、 _ 　　/　/ ,_ノ` ）／ ／ _、 _　　　　ピンポーン!!
　　　 ＼ ＼ （　<_,`　）（　　　　　　　／（　,_ﾉ` ） 　 　　　n
　　　　　 ヽ___￣￣　ノ　ヽ 　　　　 /　￣　　　　＼ 　 （ E）
　　　　　 　　/　　　/　　　＼　　　ヽフ　　　/ ヽ ヽ_／／
　　　　　　　　　 n　　　　　　|　　　|.　　　　　 n
　　　　　　　　（ヨ ）　　　 　 /　　　|　　　　　（ E）
　　　　　　　　/　| 　　　 _、/　　　 _、_　　　　 |　ヽ
　ピンポーン!!＼ ＼/（　,_ﾉ` ）／（ <_,`　）ヽ／ ／ ピンポーン!!
　　　　　　　　　 ＼(uu　　　　　/　　　　 uu)／
　　　　　　　　　　　|　　　　　 ∧　　　　　/

　 　　　　　　　　　　　　　　　∩ 　　ピンポーン!!
　　　　　　　　　　　　　 　 　( ⌒)　 　 　 ∩_ _
　　　　　　　　　　　　　　 　/,. ノ　　 　　 i　.,,E）
　　　　　　　　　　　　　　 ./　/"　　 　 　/ /"
　　　　_n ピンポーン!!　 ./　/_、_　 　 ／ ノ'
　　　（　l　　 　_、 _ 　　/　/ ,_ノ` ）／ ／ _、 _　　　　ピンポーン!!
　　　 ＼ ＼ （　<_,`　）（　　　　　　　／（　,_ﾉ` ） 　 　　　n
　　　　　 ヽ___￣￣　ノ　ヽ 　　　　 /　￣　　　　＼ 　 （ E）
　　　　　 　　/　　　/　　　＼　　　ヽフ　　　/ ヽ ヽ_／／
　　　　　　　　　 n　　　　　　|　　　|.　　　　　 n
　　　　　　　　（ヨ ）　　　 　 /　　　|　　　　　（ E）
　　　　　　　　/　| 　　　 _、/　　　 _、_　　　　 |　ヽ
　ピンポーン!!＼ ＼/（　,_ﾉ` ）／（ <_,`　）ヽ／ ／ ピンポーン!!
　　　　　　　　　 ＼(uu　　　　　/　　　　 uu)／
　　　　　　　　　　　|　　　　　 ∧　　　　　/

　　　　rっ　　　　　　　　　　rっ 　 　 　 　 　 　 　 rっ
　　　 │|　　　　　　　　　　│|　　　　　　　　　　 │|
　 　　 |∧,,∧　　　　　　　　|∧,,∧　　　　　　　　 |∧,,∧
ﾋﾟﾝﾎﾟ━(*ﾟ∀ﾟ) ━━━━━ (*ﾟ∀ﾟ) ━━━━━ (*ﾟ∀ﾟ) ━━━!! ━━ﾝ！！！
　　　　 | 　　_二二二つ　 　 | 　　_二二二つ　 　 | 　　_二二二つ
　　　._ノ 　 /　　　　　　 　._ノ 　 /　　　　　 　　._ノ 　 /
　　 (´ .＿ノ　　　　　　　 (´ .＿ノ　　　　　　　 (´ .＿ノ
　　　＼＼ ＼　　　　　　　＼＼ ＼　　　　　　　＼＼ ＼
　　　　 レ’＼＼　　 　　　　 レ’＼＼　　　 　　　 レ’＼＼
　　　　　　　　レ’　　　　　　　　　　レ’　　 　　　　　　　レ’

何してんの

ピンポン♪

ピンポーン！！！！！！！！！！！！！！！！

にげろー

なんで独り言なんて言いませんよ
つまらんこと言っていないで参考書情報でも提供してよ

>>446
死ね

NO-NAMEのレスって情報価値の無いレスが非常に多いよね

せっかく誰かが未解決問題とか書いてくれてるんだからそれについて議論しないか

このスレいつも外から刺激を与えていないと休眠してしまうらしい
Lang, Serbe(2000):"Linear Algebra(3rd ed.)"の評価は如何ほどでしょうか？
情報提供をお願いします

>>328
そんな姑息な吹き込みで将来のライバルを減らしたいですかｗ

>>331
今はないとでもいいたげに聞えるのは私だけですか？

>>353
だね。行間を埋めやすそうで、なんとなくわかるんだけど埋めようとすると大変な本がある。
ひどい場合には単に著者の思い違いだったりすることもある。本の1/3がそのようにして
混乱に陥っていた本も実在する。証明論の大家の書いた本だけど、他にもあるかもしれない。


逆に一見堅苦しく書かれているけれど所々挟まれている問いを順番にやっていると
有機的な構成が理解できるようなタイプの本もある。

どの程度本格的に学びたいのかとか読む人の個性にもよるので一概にどちらが良いとか悪い
というようには言えない。

>>450

死ね

線形の問題でわからないものがあるので教えてください。お願いします

(1)3次元ベクトルaが与えられたものとする。
このとき、ベクトルxに対してa*xを対応させる変換は線形変換か？
線形変換である場合は、その変換に対応する行列を答えよ
　　　　　　|1|
ただし、a=|2|とする
　　　　　　|3|

(2)３次行列A=({a_1,a_2,a_3)を考える。a_iは行列Aの第i列である。
　　　　　　　　　　　　　　　　|x|
行列Aの各列をベクトルx= |y|
　　　　　　　　　　　　　　　　|z|
で置き換えてできる以下のような行列式を考える。
A_1(x) = det({x,a_2,a_3),
A_2(x)=det(a_1,x,a_3),
A_3(x)=det(a_1,a_2,x)
　　|121 |　　　　　　　　　　　　　　|x|
A=|0-12|である場合、ベクトルx=|y|に対して
　　|312 |　　　　　　　　　　　　　　|z|
|A_1(x)|を対応させる変換は線形変換か？
|A_2(x)|線形変換である場合は、その変換に対応する行列を答えよ。
|A_3(x)|

(3)3次元ベクトルa_1,a_2,a_3を列ベクトルとする行列Aを考える。
A=(a_1 a_2 a_3)
Aの行列式の値は1であったとする。
このとき、以下の行列式の絶対値を最小にするようなxの値を求めよ。
det ((3x+6)a_1+3a_2+(2x-1)a_3,-4a}_1+(x+7)a_2-a_3,5a_1+5a_3)

どうしても言われたいのか？

「何処まで考えたか書けこのボケ」

ひさしぶりに豪快な丸投げをみた

問題文を打つ努力はするのに、自分で少しでも考えるという努力はしないんだな

問題がわからない、自分で考える、以前に、定義がわかってないんだろ。

(1)(2)は「問題文の意味がわかりますか？」というレベルだからｗｗ

斎藤毅の「線型代数の世界」の位置づけは中間レベル？
中身は双対空間と双線形空間それに商空間・・・

>>460
市ね

>>450
何が刺激だ
帰れ

Aは実対称行列で対角化可能である。これにBを加えることで
A+BがAと同じ固有値を持ち、かつ対角化可能でないような、対角行列でない
実対称行列Aと行列Bの例を挙げよ
という問題なのですがどのように考えればいいのか全くわかりません。
よろしくお願いいたします。

（対角行列でない実対称行列A） ＋ （行列B）
= （正規直交基底） （対角行列） （正規直交基底）^T ＋ （正規直交基底） （冪零行列） （正規直交基底）^T
= （正規直交基底） （ジョルダン行列） （正規直交基底）^T
= （Aと同じ固有値を持ち対角化可能でないようなA+B）
みたいな感じに思った！上の（正規直交基底）は全部同じで、その相似変換で対角行列が対角行列でなくなるような
やつ。ってことで、どうすか？

>>463

まず「Aが対角行列でない」という条件を外してそういう例を作り、
その例のA、Bに、勝手にとった直行行列UとtUを左右から
かければよい。2次正方行列の範囲でそういう例を作れる。

＜大相撲初場所＞「私は帰ってきた」朝青龍
http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20090125-00000045-mai-spo


【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】

より

【子供たちとの草サッカー】

の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまうジャップ噴死ｗｗｗｗｗｗｗｗ
朝青龍が復活優勝。

固有値が同じ部分ないとジョルダンとかダメでした…
こうなったら、Aの固有値は全部同じ値ってことで！どうすか？>>463

>>357
無知だね

>>358
その話は数セミかなんかに自伝的に語られていましたね。確かに、行列式とCramerをなるべく
使わない方向にすることで大学一年生の負担を軽減したことは理解できるんだけど、ある段階
になったら行列式を基本的な道具としてガンガン使ったほうが簡潔な証明が出来ることを実感する。

そういう意味で、線型代数には、教養学部生向けテキスト以外に、大学の専門学生および大学院生向けの
復習用テキストがあっていい．佐竹なんかはそれに近いけれど、教養学部生向けに書かれたところも多いので
この用途に使うには少しイライラする。

>>362
教科書が違うと線型写像のrankの定義まで違ったりするから試験などで困るんだよ。
もちろん、線型写像の観点から定義したrankと、線型写像の表現行列に即したrank
の定義は一致するわけだが、定義と定理の位置づけが逆転した教科書を使うと色々
周囲とのコミュニケーションに差支えがあったりするわけだ。

まあ君みたいな天才君にはそんな苦労がなかったからわからないんだろうけどね．．．

>>390
お前コテ付けろよ。NG指定してやるから。

目的により内容がいろいろある、
それが微分積分よりも面白い点ですよ線形代数の世界は

> 定義と定理の位置づけが逆転した教科書を使うと色々
> 周囲とのコミュニケーションに差支えがあったりするわけだ。

別に天才じゃなくても
そのぐらいあれこれ本を見ればすむことだろ
必死になれよ

著者によって定義が異なることって数学であるんですか？
見ている切り口が違うからじゃないの

わしに帰れって言ったって
帰るところがないので当分居座るつもりだが
4月から線形代数学の学習が始まる

>>474
死ね

>>475
死ね

>>475
土に還れ

斎藤毅「線型代数の世界」は外積代数を除けば石川・成「線形代数学大全」でカバーできる

>>479
死ね

>>474
定義が違う事はある。

でも、本を読み進めていくと、次の１〜５は同値であるとかいう風な命題の証明があって
結局どれを定義にしてもいいという事が分かる。

適用範囲や細かな制限・例外などの扱いが違うものの
最大公約数的な部分が同じなので同じ名前を付ける
ということもよくある。

内積とは何かときたとき
実空間では・・・複素空間では・・・

>>483
死ね

居座るって嫌がらせかよ。
線型代数の話ならともかくそうでないなら雑談スレにでも行ってくれよ。

585 ：考える名無しさん：2009/01/28(水) 02:44:32 0
日本はアジアに悪いことをやりまくり
経団連にはその残党が大量にいて貧困層を未だに作り出している
反日の支持こそ真の日本を愛する者だよ

もち　線型代数の話に決まっているじゃ

>>463 …ジョルダン行列は最低2×2行列が必要で、この場合の相似変換には正規直交基底は3×2行列が必要だと思った。
以下、1例。
　　　| 1　0　　0　　 |
A = | 0　1/2　1/2　|
　　　| 0　1/2　1/2 |

　　　| (√2)/3　-1/3　-1/3 |
B = | (√2)/3　-1/3　-1/3　|
　　　| (√2)/3　-1/3　-1/3 |

　　　　　| 1/√3　2/√6　|　| 1　1　|　| 1/√3　1/√3　　1/√3　|
A+B = | 1/√3　-1/√6　| |　0　1 |　| 2/√6　-1/√6　-1/√6 |
　　　　　| 1/√3　-1/√6 |
相似変換の直交基底をうまく選べば、もっと綺麗になると思います。思ったより深い問題でした。。ってことで、どすか？

>>487
死ね

このNO-NAMって馬鹿、物理板でも相手にされてないぜ

スルーか、ＮＧ登録で対処かと

>>463>>488
俺も作ってみた

　　　　25 0 0
A =　　0 9 12
　　　　0 12 16

　　　　0 3 4
B =　　0 0 0
　　　　0 0 0

しねしねって馬鹿の一つ覚え
知恵がないね全く

>>492
死ね

死ねっていうやつは、NO-NAMEをNGにすればいいのに

自作自演であることに気づけ。

>>492
死ね

どなたか次の問題を教えてください。
座標空間の平面Ω：x+2y+3z=8と点P。(5,4,3)に対して、
(1)点P。を通り、平面Ωに垂直な直線の方程式を求めよ。
(2)(1)の直線と平面Ωとの交点を求めよ。

受験板で聞け

ジャップの限界やな

>>491さん すごく美しイィ（・∀・）！私的に このA+Bは↓のように分解できましたが、
　　　　　| 1　 0　 | | 25　5 |　| 1　 0　　　0　|
A+B = |　0　3/5 | | 0　25 |　| 0　3/5　4/5 |
　　　　　| 0　4/5 |
私のこの相似変換の基底のとり方だと ↑はジョルダン分解（右肩が1）ではないと思うので、
このA+Bをジョルダン分解したらどうなるのか、どなたか教えていただけるとありがたいです。

>>497さん 3次元ユークリッド空間の標準基底に対する座標(x, y, z)を用いれば、
私的に (1)x-5=(y-4)/2=(z-3)/3、(2)(x, y, z)=(4, 2, 0) と書けると思ったのですが、
「座標空間」という言葉がどういう経緯で使われたのか 逆に私に教えてください。

>>500
なんかあなたのやり方が普通じゃないように見えるんだけど、
ジョルダン分解の定義（どんな変換でどんな形にするのか）を書いてくれる？

>>501さん 500の分解は>>464を基に、>>491さんのAを固有値分解した正規直交基底の相似変換で
Bを表し足して作ったもので、私がいろいろ勘違いしていてジョルダン分解とは関係ありませんでした。

ttp://linalg.u-aizu.ac.jp/Linear_Algebra/lesson_9.pdf
今は↑などを見た結果、任意の正方行列について464の逆順の感じで↓のようになると考えてます。

（任意の正方行列）
= （可逆行列） （ジョルダン標準形） （可逆行列）^{-1} 【←ジョルダン分解】
= （可逆行列） （対角行列） （可逆行列）^{-1} + （可逆行列） （冪零行列） （可逆行列）^{-1}
= （固有値が同じで対角化可能な行列S） ＋ （対角化に余分な行列N） 【←SN分解】

以上をふまえて、>>491さんのA+Bをジョルダン分解すると下記のように書けると思いました。

| 25　3　 4　|　　| √5　　　0　　　　 0 　|　| 25　1　0 |　| 1/(√5)　　　0　　　　0　　 |
|　0　 9　12　| = |　　0　3/(5√5)　4/5　| |　0　25　0 | |　 0　　　 3/(√5)　4/(√5) |
|　0　12　16 |　　|　　0　4/(5√5) -3/5 |　| 0　 0 　0 |　|　0　　　　 4/5　　　-3/5 　|

私はまだ任意の正方行列のジョルダン分解の方法について調べ中の身ですが、
おかしいところなど ご指摘していただけるとありがたいです。（長文スマソ）

任意の正方行列のジョルダン分解の方法なら、そこの会津のpdfにも
長ったらしく書いてあるし、佐武にも数ページでちゃんと書いてる。

商空間を理解してないと、会津のpdfみたいに長々とわかりにくくなるね。

>>502
ヨルダン分解って（半単純）+（冪零）にすることじゃねーの？

>>504
ヨルダン分解とは「イスラエルとイラクを隔てること」です

>>505
ジョーダン分解は？

ダブルクラッチ＋ダンクシュート です

野球選手になることも

和空間、積空間の求め方がサッパリ分かりません。
教科書やノートを見ても、数行で理論を説明してるだけで具体的な例題はなく・・・

和空間、W1+W2　　積空間、W1∩W2　　の次元と基底を求めよ。
という問題なのですが、和空間・積空間の求め方が分かりません。
（次元や基底の出し方は分かります。）

W1=<a1,a2>　W2=<a3,a4>
a1=(3,0,2,2)　a2=(0,1,0,-3)　a3=(0,0,1,4)　a4=(6,3,8,11)

解き方を教えて下さい。

>>509
> 和空間、W1+W2　　積空間、W1∩W2　　の次元と基底を求めよ。
> という問題なのですが、和空間・積空間の求め方が分かりません。
> （次元や基底の出し方は分かります。）

この日本語の意味が分からん。
次元と基底の求め方が分かってればそれで終わりじゃないか。

次元と基底を出すには、まずW1+W2、W1∩W2が必要ですよね。
その出し方が分からないという意味なんですが

>>509
まず、和空間は 和する対象の空間の基底を全て使って張られる空間なので、
W1+W2=<a1,a2,a3,a4>=<a1,a2,a3>（列の基本変形で線型従属なa4を消せる）となる。

次に、積空間は 積する対象の空間どちらにも含まれる共通部分の空間なので、
a4 = 2 a1 + 3 a2 + 4 a3であることより、W1∩W2 = <2 a1 + 3 a2> = <a4 - 4 a3>となる。

dim(W1∩W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1+W2)（この場合=1）という等式もあるらしく、
授業で正式なこの等式の名称やこの問題の解き方を教わったら、俺にも教えて下さい。

>>511？次元と基底と理論がわかってて、空間の出し方がわからないんですか？

やっと目覚めたようだ
S. Lang：Algebraの評価は如何に

>>511
> 次元と基底を出すには、まずW1+W2、W1∩W2が必要ですよね。
> その出し方が分からないという意味なんですが

「W1+W2、W1∩Wの出し方」って具体的には何を言ってるの？

>>513 今まだ一章の途中までしか読めてないけど難しいよ。
　でも演習問題は割と溶けたりする。
　しっかりした本で暑さの割に安いから持ってていいと思う。

>>512
＞a4 = 2 a1 + 3 a2 + 4 a3であることより、

この間の考え方が分かりません。

＞W1∩W2 = <2 a1 + 3 a2> = <a4 - 4 a3>となる。



＞dim(W1∩W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1+W2)
ネットで色々と調べているうちに、どこかのHPで見かけましたが
教科書には載ってません。

便乗質問。

>>512の、W1+W2=<a1,a2,a3,a4>みたいな表記をした時って、下のどちらの方ですか？

(3,0,2,2)
(0,1,0,-3)
(0,0,1,4)
(6,3,8,11)

（3,0,0,6）
（0,1,0,3）
（2,0,1,8,）
（2,-3,4,11）

線形代数は抽象的すぎて何が何だかサッパリですヽ(`Д´)

>>516
任意の実数s1,s2,s3,s4を使って、W1=<a1,a2>とW2=<a3,a4>の共通部分の空間は
W1∩W2 = <s1 a1 + s2 a2> = <s3 a3 + s4 a4>と書ける。

ここで、和空間の基底とかから、a1,a2,a3,a4の間には a4 = 2 a1 + 3 a2 + 4 a3 と
いう1つの式が成り立ってるので、s1:s2:s3:s4 = 2:3:4:-1 を満たしていなければならない。

この比を代入することで、この共通空間は W1∩W2 = <2 a1 + 3 a2> = <4 a3 - a4> の
1次元空間となることがわかる。

だと私的には思いますが、記号の使い方とか詳しくは授業や先生から聞くといいと思います。

>>517
ゴメンナサイ。私の趣味でほとんど列ベクトルで考えてしまってて後者？のつもりで列の基本変形とか言ってしまいましたが、
たぶん、前者で行の基本変形で考えていいと思います。教科書や人によっていろいろ表記があると思うので、
2chや授業のデフォルトとか他人に伝わる書き方がいいと思います。　と、私も人のこと言えませんが…

趣味で列ベクトルとか変態だろｗ

函数の左記法f(x)と合わせる形で行列が定める線型写像を
行列の左からの積で書きたければベクトルは縦に書くことになる。
冪記法などで右からの作用を考えることに慣れてるのならば
行列を右から掛けるほうをとってベクトルを横に書いても不都合はない。

>>517-518
一つ間違っていることは
> <a_1, a_2, a_3, a_4>
は a_1, a_2, a_3, a_4 を含む最小の部分空間（a_1, a_2, a_3, a_4が張る部分空間）
の意味であって、集合としては a_1, a_2, a_3, a_4 の線型結合の全体
{c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 + c_4a_4 | c_1, c_2, c_3, c_4 は実数}
だから
> 下のどちらの方ですか？
については、「どちらでもない」がまともな返答。

>>518
何となく分かりました。
月曜、試験なのに・・・

>>519 縦より横のが長い行列は なんか気持ち悪いわー 変態です（笑）
>>520 >>521 フォローありがとうございます！>>504 抽象代数学わからんー
>>522 演習問題いろいろ解いておけば単位落とすことはなくない？
　「優」狙ってる？ガンバレッ

ｗ＋２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝１
２ｗ＋３ｘ＋４ｙ＋５ｚ＝２
２ｗ＋３ｘ＋４ｙ＋５ｚ＝３
２ｗ＋ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝−１
クラメル解法を利用して上の連立一次方程式を解け。


この問題はどうやって解けばいいですか？
三元一次方程式までしかクラメルが分かりません。

間違えました。
ｗ＋２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝１
２ｗ＋３ｘ＋４ｙ＋５ｚ＝２
２ｗ＋４ｘ＋５ｙ＋６ｚ＝３
２ｗ＋ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝−１
です。

線型代数の思い出（このスレタイ見て、思い出した）

合コンの最中に「明日、線形代数の試験あるから」と言って抜けたこと。
しかし、実際に試験を受けたのか覚えていないし、それより線型代数の
内容すら覚えていない…

あれ？　漢字って線形代数だったかな？

線形＝線の形、線型＝線のような、という感じなので、
教科書とか出版する場合は一般的に「線形」を使う慣習だけど、
気持ち的に「線型」を使いたい。と誰かが言ってたので、俺は「線型」派です。

たぶん、放送大学の長岡先生かな？昔の教授だったかな？

528を読んで、やっと527の意味がわかった。

俺もどっちでも良い派
身の安全のため静観してたほうがケガしないだろうの立場

「函数」vs「関数」のような
無駄に不毛な言い争いは目にあまる

こんなことはおそらく数学板だけなんだろうな

>>528
亡くなった永田先生は、字義から線型を使えとおっしゃっていたな。

「線形」は「型」が当用漢字から一時期はずれていたための措置なので、
「型」が当用漢字に入った今では、「線形」を使う理由はむしろない。

他方で「函」のほうは、今も当用漢字にない。

専門用語の場合、当用漢字を使うかどうかは「専門家の判断に任せる」と
いうのが国語審議会の立場です（新語については、当用漢字の中に
収めることが望ましい、とも）。

とか言ってる間に既に当用漢字というものは廃止

>>524-525
俺の教科書には、むしろｎ変数のときしか書いてなくて、（係数行列の行列式）≠0のとき、
（i番目の変数）＝（係数行列の第i列を定数項で置き換えた行列式）／（係数行列の行列式）とかある。

あえて手計算で、式�A−２×式�@、式�B−２×式�@、式�C−２×式�@ をやった後、
x,y,zの三元一次方程式にして解かせたいという 「出題者の意」 を変数ｗの係数から感じる！

手書きの時は画数の少ない方
活字の時はより正しい方

常用漢字にないけど、高校までに表れる数学用語に用いられる文字は
「錐」。教科書では「円錐（すい）」とルビをふるか「円すい」。

函数は用語について良く知識がある人でも、
元がfunctionの中国語への音訳なので別に関数でもいいじゃん、とか言ったりする。
まあ大昔の中国語の発音が関と函で同じなのかとかそういう問題はあるけど
（科挙の受験参考書とかが残ってるので意外と分かったりする）
まあそういうのはさすがに瑣事だろう。

まあ要するに「共軛」を使わないくせに函数とか書いて調子に乗ってる奴は死ねってことだ

なら抛物線も正しく書けよ、と

普段から「凾數」ですが、何か？

岩澤健吉のは「代數函數論」だったような・・・

まあ、あれを読めないヤツは数学やる資格ないな

変数の間の関係を表しているものだから関数の方がしっくりくる

>>538
だよねー、新字旧字の問題と正字代用字の問題を混同するのはよくないよねー。

スカラーというのがよくわかりません。よくスカラー倍などという言葉も耳にします。
普通に掛け算しているようにしか見えません。
資料によればスカラーとは「ある一つの位置に対して値がひとつに定まる量（ex.温度）」
という風になっています。もう少し噛み砕いてどなたか教えて頂けませんか？

普通に掛け算です。


はい次

543はbaka

>>544は天才だから>>542に今直ぐ答えます。

>>542 数学的な定義では体のことをスカラーと呼んでる。
　何って言われるとかなり難しい。

>>542 スカラー(scalar)とは、方向を持たない量のことをいう。大きさと方向を持つベクトルに対比する概念である。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC
上で不満なら、あとは、ぐぐってくれ。

女体を知らない童貞にはスカラーは理解しにくい。
フーゾク行って来い

体のことはフィールドって呼ぶだろ。
ベクトルもテンソルもなしにスカラーって呼んでる奴がいたらただのアホだ。

>>549 Field(Scalar)みたく書いてる代数の本は結構あるよ。

>>542
数学屋的にはスカラーは点や線と同じく無定義術語（一定の公理に従うという以外は正体不明）だから、
こんなところで訊くだけ無駄。あんたの持ってる資料とやらは物理屋の範疇。

>>550
代数（＝係数環を持つ環）の係数のことを一般にスカラーと呼ぶことはあるので
「体のこと」というと余計に語弊が出るね。

3(1,2)=(3,6)というのを普通に掛け算しているだけというのならそうだけど、
じゃあ3÷(1,2)を普通に割り算してみて下さい、とか
普通に足し算してみてください、とか意地悪を言ってみたくもなる

>>542
大漁だな（藁

>>536
私は自分の学生が「函数」でなく「関数」を使っていたら
厳しいことを言うようですが「君は数学に向いていないようだから諦めなさい」と
はっきりと伝えますし、同僚が万が一そんな用語を使っていたら
次からはその人とは口を聞きません。恥を知りなさい。

んなやつは数学者には居ないから問題ない。
旧文部省の漢字狩り政策が成功した現在となっては、函か関かはただの趣味。

「凾」ですよ
老眼ですか？

じゃあ社会科の教科書では函館は関館になってるんですか？

日本史では箱館じゃないか

>>557
函数vs関数は正字と代用字のどちらを重用するかということであり、
旧字を使う厨房は必要ありません。

数学的には
ベクトルは直積集合の元
スカラーは集合の元
と俺は思ってる

>>560

>>557じゃないけど、「凾」は口から入れて、又から出すんだ。
って説明がすきなんだが。ｗ

>>561
どういう演算が構造として入っているかは無視するのか？
「数学的には」をおまえの「個人的には」に変えるとより良いと思う。

>>562
うんこかよ

>>561 じゃあ一次元ベクトルはスカラーなのか？ｗ
　つーか直堰集合と集合なんて区別できないだろｗ

>>563
「数学的には」を「個人的には」に変えると
「俺は思っている」と重なるので、よろしくない。

「俺は思う」が用意されている以上
ここで言われている「数学的には」は、
「数学界一般では」という意ではなく
「俺の数学の知識では」と解するのが一般的であろう。

行列的には
ベクトルは行列の一部分
スカラーはベクトルの成分
と俺は思てるヽ(`Д´)

>>525 その4式のうち1式は線型従属だったのでクラメルでは解けませんでした。
拡大係数行列の行の基本変形で下記のように解きました。
|w|　 | 0 |　　| 0 |
|x| = | 2 | + |　1 | s （sは任意のスカラー値）
|y|　 |-１ |　 | -2 |
|z|　　| 0 |　　| 1 |

ベクトルを直積集合の元スカラーを集合の元とすると、複素数体上のｎ次元ベクトルのスカラーは複素数となって順序律が成り立たなくなるんだがいいのか？

１次の正方行列は行列だと思えば他行列との積は制限される。
しかしスカラーだと思えば自由に掛け算できる。
なんで？

> なんで？ 

１×１の正方行列はスカラーではないから。
とするのが妥当だと思うがどうか？

いやもちろん、行列の積の定義について
１×１行列のときだけの例外を作ってもなにも問題ないがな。

寺田先生の教科書には１×１行列　（a）　は通常数とみなす事が多く
単に　a　と書くとあります。

>>568
行列の乗法とスカラー倍はまったく別の演算だが？

>>572
>>568は別の演算だと言っているが…

>>571
言っているのが権威のある人であるということをのぞけば
568と同じことのような気がする。

>>573
>>572はまったく別の演算だからなんでも不思議も難も無いと言っているのだが？

>>568はなぜ別の演算が定義されているのだ？という問いかけなのだが
不思議かどうかが>>573の論点なのか。

１で割っていいのに０で割っちゃいけないのは何で？

別の数字だから不思議でもなんでもない。

>>576
別の幾何学的操作が別の代数演算に対応してるだけだから何も疑問に思わないが？

>>576
>>568をそう読めというのはさすがに無理あるだろ

○○が別なのが疑問なのだがなぜだろう？

俺には疑問じゃないよ

>>579
>>586が、それが不思議かどうかのアンケートを
とってるという解釈のほうが無理があると思うが。

別だとわかっているからこそ違うのはなぜだという疑問だろうに
違うからというのじゃ答にならんわな。

「この問題がわかりません。」という質問に
「おれにはわかるよ。」と答えるようなもの。
文意が読めないっておもしろいな。

>>581
なんで、と訊くからなんでもくそもないと言ってるだけで
だれもアンケートだなんて思ってないし、そんな返答もしてないが？

いや>>586は不思議に思った人集まれ！って仲間募集をしてるんだと思う。

>>582
お前の言ってる事は、実数には足し算と掛け算があるけどなんでだろうってのと変わらんわけだが。

１＋１が２なのはなんで？

なんでもくそもない。

模範的な回答ですね。

>>586
実数には足し算と掛け算があるのか？
実数同士の演算という意味か？

>>586
変わらんからなんだ？ 
その質問に「違うからだ」と答えるのと
「和を求めるためと差を求めるために両方用意されてるんだよ」と答えるのと
どちらが相応しいかもわからないのか？
文意が読めないととはそういうことだろ。

文意が読めるかどうかというよりは、センスの問題だわな。
面白いと思って答えたんだろうよ。

2ｃｈで相応しい回答を求めるほうもどうかとは思うが
クソ回答の言い訳を続けるのもどうかと思う

どっちもどっち。

n×m行列のn=1かつm=1の場合（片方が1だからベクトルでもある）と
スカラーの係数体は、同型なだけで入れている構造が違うから、で良いんじゃないの。

こういうのは圏論的に扱えば割ときちんと処理できるんじゃなかったっけ。
まあこれだけだと、わざわざそんなことする気にならないけど。

単に、体K上の行列環Mとしてみたときの
Mの掛け算と、体KのMへの作用の違いでしょうに。

>>589
掛け算で差は求まらないよな、
文意の表れてる文章が書けないとはそういうことだ。

そもそも１×１の場合はそこまで区別する理由もあんまり感じないけどな。

>>594
お、引き算と読み間違えていたよ。訂正ありがとう。

>>596
なんで？

つまらん突っ込みどころを残しておく高等テクニック成功ですな。
見事にかかったね。最後の逃げ道になるんだろうなあ。

>>597
俺の目が悪いからだと思う。

>>598 お前はうるさい。

文意がそこだと思ってる

>>601 いいからもうお前はやめろ

>>594
>>589が何をいいたいかは、そこだと思ってるのか？

>>593
「そうみてないから」の「みる」「みなす」って数学的に何っていう話で。
「〜だとみる」は「〜だと思う」だ、じゃ>>568への答えになってない。

或る問題の答えが片方ではyesになって、片方ではnoになるんだから
その理由が説明出来ないといけないはずだけど、
純粋数学者って「みる」は「みる」だ馬鹿やろう！とか
君は数学に向いていないようだから諦めなさい、とか言う人が多い気がする。

だからもうやめろって。 せっかくのが台無しじゃないか。

>>604
ちょっと抽象的すぎるような気がする。

>>599
なんで？

>>603
>>594が何をいいたいかはｿﾚﾀﾞと思ってる？

>>604
なんで？

だって「〜だと思えば」を「〜だとみれば」に言い換えただけで
理解した気になるのはおかしいじゃん。

>>610
なんで？

うんこだな

>>610
なんで？

あ〜あ だから追い詰めちゃダメだって言ったのに。

なんで？

今日も快便だな

和＝足し算した値だから足し算が何故あるかに和を求めるためって答えるのって
足し算は足し算した値を求めるためにあるって言ってるだけだな

足し算は何故あるか、っつったって
在るから在るとしか答えようが無いような。

小さな自然数の和を認識する能力のある
類人猿がたまたま生き残ったからだ、
もしかしたらその能力があったほうが生存に有利だったのかもしれない、
とかそんな感じでしょ。

と個人的にはこういう答えをするようにしてる。

和に積における0のような数を導入できないだろうか
つまりそれをaとすれば
・aを足すとaになる（0倍に対応）
・aを引くことは許されない（0で割ることに対応）
・a倍は単位元、即ち0になる（0乗に対応）
・aaは不定（0^0に対応）
　：
　：
etc.

そんなので楽しめるとは正直うらやましい

キレの悪いうんこだな

>>618
＞ もしかしたらその能力があったほうが生存に有利だったのかもしれない

全然数学と関係ない話で恐縮だが、
ダーウィンほど古くない修正された進化論をかじってみると
生存に有利なほうが生き残ると限ったわけではなかったりして面白いぞ。

集団遺伝学面白いよね。
或る変異が適応度を a% 上昇させるとすると
a << 1 のときその変異が
生き残る確率は 2a% である、とか何とか。

高校でも出てくることのあるHardy-Weinbergの法則ってあるけど、
G.H.Hardyはこんなtrivialな事実の名称として自分の名前が
残ってしまったのは好ましくない、と考えていたとか。

>>623 かわいい女の子におれの遺伝子を植えたいんだけど＾＾

残念だかそれは0%だ。

しかしもしかしたら、残念なのはひとりだけで
他の大勢は安心な場合は残念とは言わないかもしれない

>>604
要するに、環とか作用素が理解できません。
という事だよね？

>>617
足し算の必要性が高いということも言っている。

>>627
言ってない

「言えていない。」ならまだわかるが
どういう根拠があって「言っていない」と言うんだ？
本人か？

いえてるいえてない以前に、そんなことにはまったく言及されていませんよ。

このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
放送大学大学院 Part 11 [生涯学習]
FF13でPS3は上手に負けることができるか [ハード・業界]
日本人に言いたい事がある。 [ハングル]
↑！？（笑）スレ伸びすぎでウケルけど、そろそろ線型代数の話も聞きたいぉ

次の問題を誰か教えてください．

Aをｎ次正方行列とし，α_i をAの固有値とする．
また A＝(a_ij) に対して ||A||＝�納i,j] |a_ij| と定義する．
このとき，任意の A 及び ε＞０ に対して あるｎ次正則行列 N が存在して
||N^（-1）A N||＜�納i] |α_i|＋ε とする事ができる事を示せ．

>>632 ||A-B||<ε、|α_i-β_i|<εとなるような
　対角可能行列Bの存在を示せばいい。

>>629
「足し算の必要性が高いということも言っている。」←ねこは可愛いといっているか？

>>632
A がジョルダン標準形になっている場合を考えれば十分．
各ジョルダン細胞について考える．例えば３次のジョルダン細胞なら
　|z 1 0|
　|0 z 1|
　|0 0 z|
という形をしているが，
　N :=
　|t^2 0 0|
　|0 t 0|
　|0 0 1|
という行列を両側から作用させると
　N^{-1} A N =
　|z 1/t 0|
　|0 z 1/t|
　|0 0 z |
となるので t を十分大きく取ると非対角成分を任意に小さくできる．

6=√(36)

>>634-635
どうも有り難うございます．
ジョルダン標準形まで考えなくても三角化で十分ですよね？

>>637
そだね．それで diag(t^{n-1}, t^{n-2} ... 1) でも使えば十分．

今誰かいますか？

いません

>>640
対角化の質問なんですが
三次正方行列の
| 0 -1 0 |
| 0 0 0 |
| 0 0 1 |
の対角化ができなくて困ってます・・・
どうやったらいいのでしょう。おねがいします

それは対角化できません

| 0 -1 0 |
| 0 0 -2 |
| 0 0 1 |
でしたすいません

| 0 -1 0 |
| 0 0 -2 |
| 0 0 　0 |でした。つってきます

達者でな

>>644
それも対角化できません

もしかして、「対角化できない行列がある」という事を知らないのか

すいません、証明問題なのですが、どこから手をつければいいのかわからず困っています。

３次正方行列　X＝| x11 x12 x13 |
　| x21 x22 x23 |
| x31 x32 x33 |

Xを構成する３つの列ベクトル　ｘ1=| x11 | ｘ2=| x21 | ｘ3=| x31 |
| x12 | | x22 | | x32 |
| x13 | | x23 | | x33 |

が線形従属ならば　｜X｜＝　０　である証明を示せ。　

ご教授の程よろしくお願いします。

>>648
AX=0 (Aはn次正方行列、Xはn項数ベクトル)

この式で、detA=0　の時はXがどのような解になるかを考える
（Aの列ベクトルを考慮する）

デターミナントの定義そのものじゃん

>>634
それは本人でないとわからない。

>>650
>>649のどこをどう読んだら「定義そのもの」なんだ

>>649しか視界に入っていないひと

>>653
・>>648宛だとしても「定義そのもの」ではない
・アンカーが無かったら直前のレス宛として読むのが普通

上には同意するが、下は一般にはなんとも言えない気がする

>>647が>>646宛に見えるとは

>>648も視界に入ったらしいひと 

>>655
確かに、統計的資料なしに、さも事実のように書いちゃまずかったと思う

>>556
「普通」ってそこまで強い言葉じゃないだろう
>>654で「普通」と言ったのは、全員がそうしている、とか、そうすべき、という意味じゃない
俺だって、そうしない事もあるよ

そうしないこともあるが今回は>>649しか視界に入っていなかったひと 

>>659
そんな感じ

556 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/02(月) 23:22:28
んなやつは数学者には居ないから問題ない。
旧文部省の漢字狩り政策が成功した現在となっては、函か関かはただの趣味。
「普通」ってそこまで強い言葉じゃないだろう
>>654で「普通」と言ったのは、全員がそうしている、とか、そうすべき、という意味じゃない
俺だって、そうしない事もあるよ

普通そのような編集は改竄と言う

いや、>>658の文章の意味を図りかねているだけなのだが。

それだと 「>>556」 を削ってしまったら、ますます意味がわからなくなるだろうよ。

それを削らなければ、単なる「5」と「6」のタイプミスで「>>556」ではなく「>>656」に
言ったのだと想像するのはそんなに難しくはない。

>>556と痴漢するという意味ではないと本当に言い切れるだろうか

>>658の「>>556」は>>656宛アンカーをタイプミスしたものです
ごめんなさい

656 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/05(木) 10:52:36
>>647が>>646宛に見えるとは
「普通」ってそこまで強い言葉じゃないだろう
>>654で「普通」と言ったのは、全員がそうしている、とか、そうすべき、という意味じゃない
俺だって、そうしない事もあるよ

------------------------------------
余計に意味を図りかねる…

わからんと騒ぐ前に前後をもうすこしまとめて読めよ。

読んでもわからなきゃ、おまえに国語の才能がないってことだ。

>>658の「>>556」は>>656宛アンカーをタイプミスしたものです

の何処をどう読み間違えればいいのだろう

ここは自分が正気だと思ってる方が譲って少し黙れ

>>648
> 証明を示せ。
なかなか珍しい問題文ですね。

>>671
「証明せよ」ではなく「証明を示せ」なんだから

教科書○○ページ中ほど」とか書けばいいんじゃないの？

証明できることを証明しろってことじゃないの？

何でお前らそんなにひねくれてんだｗ

常に疑問を持つこと、それこそが大事だということです

厳密にいきましょう

「証明できることが証明できる」のは
「証明できる」ことのとほぼ同じだよね。
ただ「証明できることの証明」は証明よりも弱いよね。

「φの証明が存在する」をコード化した算術の命題をProv(φ)とする。
定理　T |- Prov(Prov(φ)) ⇔ T |- Prov(φ)
証明　（←）derivability conditionの一番
D1:T |- φ → T |- Prov(φ)
より従う。
（→）Löbの定理から T |- φ⇔ T |- Prov(φ)→φ
このφにProv(φ)を代入すれば良い。

なおLöbの定理から、
T |- Prov(Prov(φ))→Prov(φ) は一般に言えないことが分かる。
T から証明できない命題G_Tや¬Prov(0≠0)が反例になっている。

　　　　　　　　/　 ＼
　　　　　　　 / ' 3 ` ＼
　　　　 　 ⊂＼＿＿ / つ-、
　　　　　 ／／/　　 /_/:::::/
　　　　　 |:::|/⊂ヽノ|:::| ／」 はいはいわろすわろす
　　　 ／￣￣旦￣￣￣／|
　　／＿＿＿＿＿＿／ | | 〃∩ ∧＿∧
　　| |-----------| 　　　 ⊂⌒（ 　・ω・）　
　　　　　　　　　　　　　　　　　｀ヽ_っ⌒/⌒ｃ 　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ⌒ ⌒

次の問題なのですが、どなたか助けてください・・・。

ｎ次正方行列Aが、任意のｎ次正方行列Bと可換ならば
A=
| c 0 … 0 |
| 0 c … 0 |
| :　:　　　: |
| 0 0 … c |
=CE
の形をしていることを示せ。

可換ということは、AB＝BA　ということですよね？
それならばどうしてこうなるのか、という証明の持っていき方（話の運び方？）がわかりません・・・。.
よろしくお願いします。

Bとして(i,j)成分が1で他の成分が0の行列を考える

>>677
よく分からないから
１０００行ぐらいに噛み砕いて説明してｗ

数学板って基礎論ネタに弱いね

なーにが基礎論ネタだ阿呆
一匹二匹ゴキブリがいたらゴキブリの巣ですか
VIPに帰れキチガイ

お前の方が余程キチガイじみてるが

キチガイだからといって普通の人がキチガイに見えるわけではないんですよ。

ま　た　在　日　か

誰か教えてください
これ基礎問題ですよね？
けどわからなくて・・・
もし時間があるかたがいれば教えてください


次の写像ｆが線形写像であるかどうか検討せよ。

φ:Ｒ^2→Ｒ^3
φ([x y])＝[x＋2y 3x−y 2x＋3y]

はい、基礎問題です。

φ(xy)=(x+4xy+3y) ですか？

基礎ですよねー・・
すみません

いえ、xとyは別です
縦に並べて考えてください
わかりにくくてすみません

n、k、qを自然数としｎ≧ｋと仮定する。q個の元をもつ体Ｆ上のｎ次元ベクトル空間のｋ次元部分空間は
何個あるか？

この問題が分りません。
誰か助けてください。

5個の元をもつ体Ｆ上の4次元ベクトル空間の3次元部分空間は何個あるか？

>>668ですけど誰もわかりませんかね？
参考書もみてるんですけど・・・

>>693
>>668なのか？

はい、誰もわかりません。

>>693
668は俺だ。
やはり国語も不得意なようだな。

国語は参考書を読むよりも、たくさんの本を読め。
そのときは名作といわれるものを読め。
流行のものは、わざと国語的におかしな表現を
してあるようなものもあるので、あまりお薦めしない。

結局、>>693って誰だったんだろう

国語が不得意のようだから
ひょっとしたら現職総理かもしれない

森元さんかも

基底を数える。

>>691
936 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2008/07/21(月) 13:30:50
n,kを自然数とし、n≧kとする。
q(<∞)元体F_q上のn次元数ベクトル空間Vの、k次元部分ベクトル空間の
個数はいくつですか？

類題を見たことが無い問題で困っています。わかる方、お願いします。

なお、求める個数をs(k)と表すとき　s(m)=s(n-m)　(0≦m≦n)
が成り立つそうなのですが、この証明もわかりません。
944 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/07/21(月) 16:06:37
>>936
俺もなれてないから間違ってたらすまん

Vの基底v1…vnを選べばVと(F_q)^qは同型と思えるので
V＝(F_q)^nとしてよい
Vの1次元部分ベクトル空間は
Vから0でない元v1を一つ選ぶごとに{av1：a∈F_q}として定まる
これを(F_q)(v1)と書くと、明らかに(F_q)(v1)＝(F_q)(a[1]v1)＝…＝(F_q)(a[q-2]v1)
ただし0,1,a[1],a[2],…,a[q-2]はF_qのq個の元である。
したがって一次元部分ベクトル空間の個数は
（x1の選び方）÷（重複）＝(q^n-1)/(q-1)
同様に二次元ベクトル空間はVから一次独立な２元v1,v2を選ぶごとに定まる
v1と一次独立で"ない"元は、つまり(F_q)(x1)の元であるので、q個ある。
したがってx1,x2の選び方は（x1の選び方）×（x2の選び方）＝(q^n-1)(q^n-q)
ここで、一つの二次元部分ベクトル空間（(V_q)^2と同型）に対して、その基底の選び方は(q^2-1)(q^2-q)
したがって２次元ベクトル空間の個数は(q^n-1)(q^n-q)/(q^2-1)(q^2-q)＝(q^n-1)(q^(n-1)-1)/(q^2-1)(q-1)以下略

945 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/07/21(月) 16:56:59
>>944
長々とありがとうございます。

>ここで、一つの二次元部分ベクトル空間（(V_q)^2と同型）に対して、その基底の選び方は(q^2-1)(q^2-q)

とありますが、（「(V_q)^2と同型」は単に「(F_q)^2と同型」の間違いですよね）
これは、(F_q)^2の基底{e_1,e_2}（順序もこめて考える）をひとつとったとき、
(F_q)^2の任意の基底（順序もこめたもの）と、最初にとった基底からの変換行列が
1対1に対応して、かつそのような変換行列（F_q成分２次正則行列）と
(F_q)^2から一次独立な２元を（順序も考慮して）とる方法が1対1に対応するから、
ということでしょうか。

同じ計算で、k=3のときだったら
(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)/(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)
＝(q^n-1)(q^(n-1)-1)(q^(n-2)-1)/(q^3-1)(q^2-1)(q-1)
一般にΠ[j=1,k](q^(n-j-1)-1)/(q^j-1)
でしょうか。（確かにこれなら>>936のs(m)=s(n-m)も成り立ちます）

Grassmannだ

>>701-702
�d�d
助かりました。

またまた冬眠か　随分と長い冬眠だな　外は既に春の足音が忍び寄って来ているよ

24

ベクトルとスカラーって、あえて日本語に訳すと何ですか？

元と係数

それはないだろ
いや、過去にそう訳した人がいるのかもしれないが……

vectorは分子生物学とかにも出て来る用語だよね。
いや全然関係ないけどさ。

日本語訳が必要なら新しい熟語を造語しないと無いんじゃないの。

矢だね

中国語だとベクトルは矢量って書くらしいけどな。
ナマモノ系のベクトルは運搬者

確か「スカラー」は係数，「ベクトル」矢印，幾何ベクトル

生物学・医学方面では「媒介者」

矢野健太郎は，講演の際，「自分の姓を英語に訳せば vector field だ」
といった．
西洋人数学者たちが，その場にいた中国人数学者に，「それは本当か？」と聞いたところ，
その中国人数学者は「本当だ」と答えたという．

>>715
そのエピソードって、ペアでもう一個なかったっけ？

( ；∀；)ｲｲﾊﾅｼﾀﾞﾅｰ

矢野 健太郎（やの けんたろう、1957年10月3日 - ）は、日本の漫画家。
大阪芸術大学芸術学部デザイン学科を、四年次に中退（単位ミスにより）。

終戦まもなく渡米留学してアインシュタインに教えてもらえた人なんだー

大学生みんなやってるみたいだけど．これって将来必要なの？？

そういう質問をする人には必要ない

どゆこと？

知らないことは使えない

というか、大学生だろ・・・？
必要かどうかなんて自分で判断しろよと。

>>716
確か、「じゃあ小林昭七の小林は？」と聞かれて "Littlewood" と答えたら、絶対ウソだと言われたとか。
ちなみに「中国人数学者」ってのは確か Chern

>>716 >>725
面白いね。何かネタ本でもあるの？

Littlewoodは小木でしょ
小林ならLittlewoodsになるはず

small forest のほうがいい気がするけどなあ
オレはbear field かな

・熊野
・熊原
・熊畑
・熊場
・熊体

>>729
Qさま漢字でやくみつるに挑戦してこい！

狢原かもしれない

みんな頭いいね

おれは単に field かな

>>733
729を参考にすると
畑　か　野原　？

原かも

>>735
なるほろ

|a b c d|
|b c d a|
|c d a b|
|d a b c|の因数分解ときかたを教えてください

>737
与えられた行列式を二次正方行列四つに区分けして(左上と右下、右上と左下の部分がそれぞれ等しいことに着目)、適当にいじれば簡単な形になる

二次正方行列の区分けの過程をおしえてもらえませんか

ab
bc　をA

cd
da　をBとすれば

|a b c d|
|b c d a|　＝|A B|
|c d a b|　　 |B A|
|d a b c|

ありがとうございます
意味はわかったんですが
|A B|にしたあと最後までのとき方を教えてもらいたいです。
|B A|　　

第1行を第2行に足す
第2列を第1行から引く
すると上三角形になるから対角成分の積が行列式の値となる
従ってそのときの値|A+B||A-B|=|A^2-AB+BA+B^2|を計算すればいい
最後のは2次の行列式だからすぐに計算できるはず

2行目訂正
※第2列を第1行から引く→第2列を第1列から引く

ありがとうございます
収集がつかない感じになりました。答えがきれいに
まとまらなかったのは腑に落ちませんが多分できたんじゃないかと思います

>>742がミスってるせいかも
|A+B||A-B|は|A^2-AB+BA+B^2|ではなく|A^2-AB+BA-B^2|
さらにA,Bはともに対象行列だからAB=BAとなり、|A+B||A-B|=|A^2-B^2|

ヨインシでよくね？

複雑だなあ

>>727 >>728
そんなことどーでもいいだろ。矢野健太郎か小林昭七に言ってくれ。
ちなみにこれはもちろん数学者の Littlewood にひっかけた洒落。

>>737
対角化すれば固有値の積が答になります
(1, i^(k), i^(2k), i^(3k))　　（k=0,1,2,3；　i=√(-1)）
（の転置）が固有ベクトルです

Maximaで検算するといいです
M:matrix([a,b,c,d],[b,c,d,a],[c,d,a,b],[d,a,b,c]); factor(determinant(M),i^2+1);

線形代数（齋藤正彦）のP77,78がようやくわかりました
夜中に閃きました
ここ何日もこの行列式の定義のところがわからなくって悩んでたけど、ようやくわかった
嬉しいので思わず書き込みますが華麗にスルーしてくださいね
いやあ本当に良かった
ていうか書き方悪いよ齋藤先生(´･ω･｀)

たいていは前の部分を読み返せばわかる
あと演習な

ていうか理解力悪いよ>>750(´･ω･｀)

初心者が勢い勇んで線形代数勉強始めても大半が行列式の定義で
つまずいて先に進めなくなってしまう。
|A|=|A^t|,|A||B|=|AB|あたりが
大山になる。
この辺をわかりやすく書いた本が出たらベストセラー間違いないだろうな。

まあ、その、なんだ、がんばれ

>>753
そんなところでつまづくのか。初心者は大変だな。

>>753
大半が？

ひとつ、ふたつ、たくさん
って感じ？

はじめに「定義」があーだこーだと明示的に示されていれば
躓かないと思うけど
抽象的な概念表示に慣れてこないと　時間が掛かる
諦めずに繰り返し　慣れてくると　山を越えるれるのでは

自分で計算しないからだ

定義を明示的に書かない本もあるのか。

よくわからないけど、頑張れ。未来は君のものだ。

定義を丁寧に読み取れば

大学受験や各種資格試験向けのサイトが揃っています。見て損はないと思われ。。
勉強法の研究サイト・大学や語学試験の参考書ショップ・頭のいい京大生のホームページなどもありますよ。
線形代数の参考書選びや中古の値段の参考に、ここのいろいろなサイトを参考にしました。
http://saturi.alink7.uic.to/

>>762
マルチポスト本人乙

行間を読みたい奴は解説書読まなきゃいいだけだろｗ

>>753
行列で躓く奴は少ない。
ベクトル空間から躓く奴は増えるけど。

だからわたしが主張したように「抽象概念の獲得」が一つ一つの越えねばならぬ山になる
例えば「ベクトル空間」⇒「線形空間」⇒「双対空間」⇒「双線形空間」⇒「内積空間」・・・

>>766
そりゃ定義が増えていく訳だから、
１つ１つ理解していく事＝超えなければ成らない山でしょう。

線形代数に関わらず、あらゆる数学がそうで。

>>766
ベクトル空間と線型空間は一緒でそ
なんで分けてんの？

各々方己の子供時代を振り返ってみれば
「抽象概念」を一つ獲得することによって飛躍的に理解が進む
「数の概念」の獲得が如何に君達の数学の頭脳を発達させてた原動力になったことか

NO-NAMEはスルー

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　デンデン
デンデン
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,.─-- x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/:::::::::::::/,,ヽ 　,●
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●　i:::::::::::::::ｉ ii`!l／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼ｌ::::::::::::::ｌ ﾄ,ﾞji 　　））
　　　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ⌒ヽ（（ 　|:::::::::::::| し/
　　　　　　　　　　　　　/　 　　　　　ヽ 　　ヽ::::::::;;t_ノ
　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　ヽ　　 　|::::|、　　　　ﾃﾞﾝﾃﾞﾝ
　　　　　　　　　　　/　　　 　　　　　　ヽ　　,|::::（|
　　　　　 l⌒l　 　/　 　　　　　Ｙ　　 　ヽ　（つ:(/ 　　　デンデン
　　　　　 |　 つ / 　　 　 　　　八　　　 ヽ/　,`''　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　デンデン
　　　　　 |　 | （　　　　　　__／/.　ヽ　,, , ） / 　　　　このスレを荒らす奴は俺が許さない！！
　　　　　 |　 | 丶1,,,,;;::::::::::: 　 八.,　　''''''!　/　　皆のもの！！ 世直しじゃ、一揆じゃ、平成維新じゃ皆の衆！
　　　　　 |　 | ／ "　　　=＝ｭ　　r＝=　j/ 　　　　　陽線時代の幕開けじゃー！ 　
　　　　　 |　 |' 　／　　　ｨ赱､ i　i r赱ﾐ　|　　 　　　　　　　Lの時代じゃーー！
　　　　　 ヽ＿／|　　　　｀"" ,l　l ｀""　　|　
　　　　　　　　　 |　　　　　,　ｨ''｡_｡ヽ、　　|　　　 デンデン
　　　　　　　　　|ﾉ　　　　　/ ＿lj＿ }　　│ 　 　
　　　　　　　　　(　　　　　　^' ='= '^　　　│　 　
　　　　　 　　　 │　　　　　　｀""´　　　　|　 　 デンデン
　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　|　 　
　　　　　　　　　| 　 　　　　　　　　　　 　|
　　　　　　　 　　＼　∵∴∴∴∴∴∴/　　
　　　　　　　　　／`　 　　∴∴∴∴／^"　　 デンデン
　　　　　　　　/　　　／`ー―'ω'''' 　｛　/
　　　　　　　/　　ノ　　　　　　　　　　/ /＿ デンデン
　　　　　　　＼　 `ヽ　　　　　　　　　i＿__,,｣
　　　　　　　　＼　＼
　　　　　　　　　ノ　　_>

線型代数を教えるときは、本当は、
代数系とはなにかという抽象代数学の基礎の基礎を教えるのが筋なんだけど、
そうなると最初に群と体の定義から始めないといけないからちょっと無駄が多いんだよね。
それにそういうやり方をするならなんで環上の加群として議論しないんだということにもなるし。

>>766
その矢印（⇒）の意味が何一つ分からんのだが。
あんたが勉強した順番？

線型空間から係数体への線型写像は、線型汎関数と線型形式のどちらが一般的な呼び名ですか？
手元の本では線型汎関数と書かれているのが1冊、線型形式と書かれているのが1冊、両方書かれているのが1冊でした

「汎関数」は物理屋が使うときの用語じゃないかな

線型空間が関数空間など無限次元の位相線型空間を考えるときは
汎関数（関数と区別するため）、有限次元的の場合は線型形式と
使う人が、一般には多いと思う。

>>774-775
ありがとうございました

>>750
行列式の定義は自分も初めてのときは戸惑った。N=2の場合の幾何学的な意味、つまり平行２N胞体の符号付
体積と思ってN次元ベクトルのN重線型写像だと考えると自然にその定義にいたる事に気づいてから納得した。

聞いてみたら、周りの人もみんなそうだった。

関係ないけど777おめでとう、俺

定義ってそんなに疑わしいかなあー

数学科マスタでも応用はできないんだよね。
教科書の中では最高で満足なのかな。

>>777
砂田さんの「行列と行列式」が良かった
解の公式から順列という流れで説明されたのがとてもわかり易かったよ

「よくわかる線形代数の基本と仕組み」小林道正著も良かった
図がたくさんあって物理屋としてはありがたかった
これで齋藤先生の線形代数を最後まで読み通せる気がしてきたよ

ゆとりって大変だね

ここのスレッドはいつも刺激を加えていないと寝込んでしなうね
眼が覚めるような話題をお願いしますよ

たかが線型代数にいつもいつも何か書くようなことは無いだろ。
寝込んでしまうとか言うなら自分が何か価値のあることを書け。

自分が情報価値のあるレスが読みたいから
誰か書けとか、冗談じゃない。お断りします。

NO-NAMEはスルーですよ

ゆとり世代はまっとうな教育を授けてもらえなかった被害者。
20歳以降、死ぬまでずっと年金を支給してあげるべきだ。

>>786
勉強なんて自分でするもの。勉強してこなかった奴が悪い。

まっとうな教育をしている、と文部科学大臣が太鼓判を押すから
数多くの子弟が青春の数年間を学校にささげたわけだ。
しかし、教育内容の実態は壊滅的だったわけだ。

これは国家的詐欺なんだよ。国が賠償すべきだ。

NO-NAME君は上のほうに出てた線型代数の未解決問題でも解いててくれ。

［問題］
実数成分からなる n 次正方行列 A と x∈R^n が，
　||A^k x||=1 (k=0,1,...,n)
を満たすとする（||・|| はユークリッドノルムを表す）。

このとき，
　||A^k x||=1 (∀k≧0)
が成り立つと言えるか。

>>790
このn=2のときが今年の京大で出てなかったかな。
勘違いかも

>>790
任意の n次実正方行列Aが、ある n次正規直交行列Pと n次上三角行列Λを用いて
A=PΛP^T と分解できる（？何分解？）とすれば、下記のようになると私は思った。

k=0,1,…,nについて、||A^k x|| = x^T (A^T)^k A^k x = p_x^T (Λ^T)^k Λ^k p_x
（？(Λ^T)^k Λ^k = (Λ^T Λ)^k か？） = p_x^T (Λ^T Λ)^k p_x = 1 となる場合は、
Λ^T Λ = E（n次単位行列）でなければならない？（P x = p_x と書いた）

よって、0を含む任意の自然数 kについて、||A^k x|| = p_x^T (Λ^T Λ)^k p_x = p_x^T p_x = 1となる。

…？Aの固有値（特異値）が全部1になるってことすかね？まだn=2のときとか ちゃんと計算とかはしてないですが…

>>792
(Λ^T)^k Λ^k = (Λ^T Λ)^k は一般には成り立たない

>>793　まじか…　ほんとだ、納得しました…　ありがとう！
792は全然違いそうなので、||A^k x||=1 (k=0,1,...,n) という場合なら全て
単位ベクトルxを 回転だけする変換行列A だと言えるのか 考えてみます。

>>792 は A=(P^T)ΛP とか ||A^k x||^2= とか いろいろ間違ってました（欝）

ん、これは、k=(n+1)についての数学的帰納法を使う予感！　しかし、ダメだった…

Ａ＝［［０，３／５］，［１，４／５］］。
ｘ＝［［１］，［０］］。

>>796
そうだ，すまない。detA=1 の仮定を書き忘れてた。
元ネタは，>>791の言うとおり，今年の京大。
n=2のときに，detA=1，||A^k x||=1 (k=0,1,2) ⇒ ||A^k x||=1 (∀k≧0) を示す問題が出題された。

一般のnに拡張しようとしたのだが，>>790に detA=1 を課しても，
なかなか真とも偽とも示せない難しい命題になっている。

detA=1 書き忘れたのは申し訳なかったけれど，怪我の功名で，
detA=1 を外したときに >>796 の反例が存在することが分かったのは興味深い。

「ヒルベルト空間」とはどのような空間なのですか？

>>785

単射と全射がわかりません
例えば、
x,y∈C
y=x^3
この関数は前射ではあるが単射ではない、であってる?

>>800
あってる。けどスレ違い。

スレチでしたか、スレタイがいかにもだったので
すんません
そしてありがとう

何が「いかにも」なのか分からん。

いやまあ線形写像が全射か単射かとか考えたりすることもそりゃあるけどね。

数学科の人たちって、行列式の多種多様な性質（第ｎ行を定数倍して第ｋ行に足しても行列式の値は不変）とかって覚えてるの？

>>804
行列式はいたるところで使うので、基本的な性質は自然と覚えるよ。
例に挙げられてる性質もそのような類のもの。定義からも簡単にわかるしね。

もちろん行列式の性質は山ほどあるから、ぱっと出てこない性質もたくさんあるけどね。

同じ行があれば行列式の値はゼロ。
平行四辺形の面積とか平行六面体の体積とかの拡張なんだから当たり前。

あとは列に関する線型性が分かってればほぼ明らか。

>>804
それなんかは連立方程式の解法でしょ
納得いかないかなあ

それ本当ならすげえな数学科

覚えるもんじゃないだろ。
なんでもかんでも丸暗記しようと思うから
いつまでたっても馬鹿なんだよお前ｗ

そうそう
俺記憶力悪いから直前に準備しないと何聞かれても答えられんよ

何かでも春宵十話読んだら、
岡潔は卒業前の試験は（いっぺん覚えたら忘れないというのでなく、
しばらくの間覚えているという）まる暗記でこなしたとか書いてたよ。

岡がそうなんだから試験対策が目的ならそれでも良いんだろ
まあ線型代数がそれじゃまずかろうが。

毎日まる暗記すればよい。

日々これ精進
ちりも積もれば山となる

塵は積もっても山にならないベールの定理

開近傍のとれる精進のしかたをしよう

>>804
行列式の性質は当たり前すぎて暗記する必要がない。

>>816
第ｎ行を定数倍して第ｋ行に足しても行列式の値は不変なのはなぜ当たり前なんですか？

簡単に証明できるからです。

定義から計算してもほぼ明らかだし

4月から線形代数学の勉強が始まる
期待と不安が入り混じっている

>>816
例えばGrassmann-Plucker関係式とか当たり前？

>>821
埋め込みといっても、しょせん行列式のヤコビ型関係式だからね

http://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf
から一題･･･

Problem 2.
Let a1 〜 a5 be real numbers satisfying the following equations:
　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2) = 1/(k^2),
for k=1 〜 5.　Find the value of
　a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41,
　(Express the value in a single fraction.)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/850-851
不等式スレ３

>>823
(略解)
　ベクトル　(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)† に行列
　[　1/2,　1/3,　1/4,　1/5,　1/6 ]
　[　1/5,　1/6,　1/7.　1/8,　1/9 ]
　[ 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14 ]
　[ 1/17, 1/18, 1/19, 1/20, 1/21 ]
　[ 1/26, 1/27, 1/28, 1/29, 1/30 ]
を作用した結果が
　(1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25)†

上記の逆行列は
　[　(25*13*17)/(8*9), -(4*5*13*17)/3,　(5*11*169*17)/16,　-(2*25*13*17*19)/9,　 (125*13*17*29)/(16*3)]
　[ -(81*11)/2,　　　　 (4*243*11),　　-(2187*11*13)/4,　　 (2*27*11*17*19),　　-(27*5*11*13*29)/4　　]
　[　(49*19),　　　　 -(64*3*7*19),　　(3*49*11*13*19)/2, -(32*49*17*19),　　　 (3*5*7*13*19*29)/2 　]
　[ -(4*5*13*29)/9, 　　(8*25*13*29)/3,-(2*25*11*13*29),　　(8*5*13*17*19*29)/9,-(2*125*169*29)/3　 　]
　[　(9*5*49)/8,　　　 -(4*9*5*49),　　 (243*5*7*11*13)/16,-(2*9*5*7*17*19),　　 (27*5*49*13*29)/16 　]
これを使ってa_kを求めると、
　a_1 =　1105/72,
　a_2 = -2673/40,
　a_3 =　1862/15,
　a_4 = -1885/18,
　a_5 =　1323/40,
これより
　b_6 =　187465/(3*37*38*39*41)　　　　≒ 1.00061649483987･･･ / 36,
　b_7 =　　1197/(5*13*17*53) 　　　　　≒ 1.00150260394436･･･ / 49,
　b_8 =　 85345/(16*13*17*23*67) 　　　≒ 1.00240485551780･･･ / 64,
　b_9 =　277289/(9*17*41*43*83)　　　　≒ 1.00321917612728･･･ / 81,
　b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100,
　b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･
ここに b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2),

そんな分数だらけの5・5行列の逆行列だせとか
いじめだな＾＾；

根性出さずに済む方法は無いのかね

>>823 の設問を追加。

　b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2),
とおくとき
　b_n *(n^2) → 1 + (1/5!)　　(n→∞)
を示せ。

>>827

　b_n *(n^2) → a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1 + (1/5!)　　(n→∞)
ぢゃね?

>>826

　a_1/(1+x) + a_2/(2+x) + a_3/(3+x) + a_4/(4+x) + a_5/(5+x) - (1/x) = P(x)／{x(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)(5+x)},
　P(x) は5次以下の多項式。
題意より
　P(1) = P(4) = P(9) = P(16) = P(25) =0
因数定理より
　P(x) = (1/5!)(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-25),

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/855
不等式スレ３

直交行列Ｔ (det(Ｔ)=1) のオイラー表示について

(方針)
　直交行列Ｔ (det(Ｔ)=1) が定点のまわりの剛体の回転を表わすことを使って、ベクトル計算する。

剛体の運動学における〔オイラーの定理〕
Euler's theorem (in rigid-body kinematics)
　定点のまわりの剛体の回転は、定点を通る固定軸のまわりの回転θで達せらせる。

固定軸の向きに、長さ sin(θ/2) のベクトル ｑ↑ をとる。
　|ｑ↑| = sin(θ/2),
　ｅ = ｑ/|ｑ| = ｑ/sin(θ/2),
は単位ベクトル。しからば、
　Ｔ(ｒ) = ｅ(ｅ・ｒ) + cosθ･{ｒ−ｅ(ｅ・ｒ)} + sinθ･(ｅ×ｒ)
　　　　= 2ｑ(ｑ・ｒ) + cosθ･ｒ + 2cos(θ/2)･(ｑ×ｒ),
右辺をテンソル成分で表わせば、オイラー表示

　[　p^2 +q^2 -r^2 -s^2, -2ps + 2qr,　　　　　 2pr + 2qs　　　　　]
　[　2ps + 2qr,　　　　　 p^2 -q^2 +r^2 -s^2, -2pq + 2rs　　　　　]
　[ -2pr + 2qs,　　　　　 2pq + 2rs,　　　　　 p^2 -q^2 -r^2 +s^2 ]

が出る。ここに、p=cos(θ/2), (q,r,s) はｑの成分。

>>830 に補足
　Ｔ(ｒ') = ｅ(ｅ・ｒ') + cosθ･{ｒ−ｅ(ｅ・ｒ')} + sinθ･(ｅ×ｒ')
　　　　= 2ｑ(ｑ・ｒ') + cosθ･ｒ' + 2cos(θ/2)(ｑ×ｒ')
　　　　= 2ｑ(ｑ・ｒ') + (p^2 -q^2 -r^2 -s^2)ｒ' + 2p(ｑ×ｒ'),

※　ベクトルのｒ' とｑの成分の r は無関係です...orz

ラグランジュ未定乗数法についての質問なんですが、

↓の28枚目のスライドで、
ttp://nlp.dse.ibaraki.ac.jp/~shinnou/zemi2006/mva/kamitsu2.ppt

f=a'Ra-λ(aa'-1)をaについて微分すると
df/da = 2Ra-2λa
となるのがなぜかわかりません。

>>832
pptを開く気は無いから適当に横レスするけど
a' は a の転置でしょ？
a の関数だから a で微分するときそっちも微分しないと

それで2が出る

ヒントそれくらいであとは考えて

新大学生なんだけど速攻ピンチに陥っているので助けてください

僕は○智大学に通っているのですが、ほかの大学では週２コマを一年かけてやるのに対して線形代数の授業が週１コマでしかも半年しかありません
そのことについて教授に講義しましたがどうしようもありません・・
ということで中途半端にしかやらない授業の捨てて０から独学をしようと思うのですが
数学の記号が全くわからない前提で０から学べる線形代数の参考書を教えてくれませんか？

>>834
教授に"講義"したのかね？

>>835
携帯から書き込みます

抗議でしたね(^^;

>>834
>>数学の記号が全くわからない

どのぐらいのレヴェルなのかね？
高校数学で「？」だと、独学で線形代数の参考書などという段階ではないのでは？

指定された教科書を買った上で講義した教授と友達と図書館と本屋で半年やってみたら？
他の大学では線型代数演習という計算練習を含めて週2で1年やってるんじゃね？
何が分かって何が分からないのか次にどういう方向に進みたいのか理解してから参考書のが普通じゃね？

経験上、授業や教科書で理解できないなら何読んでもダメで、
まして、数学の記号が全くわからない○痴大学生では何やっても無理かとは思いますが。
まぁ今は単位だけとっといて論文書くときとかに本気出すとか。
教授に抗議（笑）や2ちゃんねるなんてしてないで、若い人はもっと有意義に遊んでくれや。

【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】 2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1236240837/

>>834
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d.html/ref=mp_sim_p_dp_1/378-0804881-4430668?a=4061546538

>>834
集合の記号とか、論理記号（∀∃）は、別の本で記号の意味を調べた方がいいかもしれない。
こういう記号で躓く人多いから。

線形代数独自の表記法は、どっかに定義があるはずだから、順番に勉強していけばOK

まじかよ　私立はろくな授業ねぇなまじで

線型代数くらい自分でやれってことだろ
ある意味正しい

いや、国立は手厚く一年かけて52回も授業をして解説するのに上智がそれをしないのは教育放棄だろう。
めんどくさいから教えねぇんだよ。たまったもんじゃねぇ。教育放棄してらくらくぬくぬく生活してる糞教授にもっと文句言え。

30回だろ

　　　　　　　　　　　　 ／）
　　　　　　　　　　　／／／）
　　　　　　　　　 ／,.=゛''"／　　　こまけぇことはいいんだよ！！
　　　／　　　　 i f　,.r='"-‐'つ＿＿＿_　
　　/　　　　　 /　　　_,.-‐'~／⌒　　⌒＼
　　　　／　 　,i　　　,二ニ⊃（ ●）.　（●）＼
　　　/　 　　ノ　　　 il゛フ::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼
　　　　　　,イ「ト、　　,!,!|　　　　　|r┬-|　　　　　|
　　　　　/　iトヾヽ_/ィ"＼ 　　 　 `ー'´ 　 　 ／

教授もいろいろ忙しいのさ。文句じゃなく質問してやってくれ。うざがられない程度に。
どこにでもいる低きに流れる人はほっとくとしても、敵ではなく味方を作る生き方をしてほしいなと。

>>844
上智のような糞大に入った時点で敗北確定。
勝ち組に成りたかったら文学部にでも転部して女とやりまくれって。
レベルの高い女が多い点では勝ち組だから。数学科の女なんてのは、
ドブスか変態ばかり。

基本的に数学なんて独学した方が理解が早いよ。

私のところでは4月から一年間掛けて線形代数学を
写像特に逆写像は説明が上手でないとかえって解りにくくなる
別のところでは2年次の線形代数では半期で4単位内2単位は演習だとか
微分積分学（多変数のみ）も半期で4単位含む演習2単位
これは詰め込みで結構大変

講義は基本的にペースメーカー
「おらおら、のんびりしてると追い越しちゃうぜ、さっさと勉強しろ」
という感じで学生を煽るだけの存在でしょ

演習込みで半期4単位だと
ぞろっぞろと履修を断念する学生続出今や10人程度

分割行列の行列式・分割行列の逆行列の導出を詳しく展開されている本を教えてください
自分で勉強したいので、ここでかいてもらわなくても構いません
また、分割行列は主にどういう分野でどのようなときに使われていますか？
お願いします

>>853
分割行列とは？

test

>>853 英語のWikipediaにある↓とかのことかな？
http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Blockwise_inversion ←逆行列
http://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity ←導出詳しい
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma ←行列式

日本語で言うと、ブロック分割された行列の逆行列と行列式の導出かな？（個人的には略はブロック行列かな）
実用的には、疎な行列の逆行列などの計算量を減らしたり、式として美しくするために逆に使ったりとか？（適当）
本屋に置いてある線型代数の本ではあまり見たことが無く、日本ではあまり流行ってないかもですが、英語の論文などにはあるかも。

>>856
全然違う。オランウータンビーツでググってみ

>>857
一般的でない用語で質問して、ググレとは・・ｗ
他人の煽りならスマン

ブロック分割の意味なら、それのみでの応用は無いと思う。
行列の理解を助けるとか、
M(n_1+n_2, m_1 + m_2) = M(n_1,m_1) × M(n_1, m_2) × M( n_2, m_1) ×M(n_2, m_2)
という行列環としての分解がある（個数増えても同じ）とかぐらいだろう。

>>858
オランウータンビーツは定番の煽りだよ。

その手の話は，伊理：一般線形代数が詳しい．
応用数学としては非常に重要で，東大計数の人たちが好んで使う技法．

レスありがとうございます
理学部ではなく経済学の院生でして、コースワークで初めて見て、
学部の時に使っていた線形代数の本にものってないし困ってました
助かりました　伊理の一般線形代数当たってみます

>>860
全然違う。オランウータンビーツでググってみ

A=
3 0 0
1 4 1
-3 -3 0
を対角化したときの変換行列Tってどうなりますか？？
固有値λ=1,3,3で
λ=1に対しての固有ベクトルv1=(0,1,-3)^tとなりますが、
その後
(3I-A)v2=0,
(3I-A)v3=v2
を解いてもv2=(0,0,0)^tとなってしまいうまくいきません。

まるち

>>863
それって対角化可能？

>>863
　|Ａ| = 9,
∴　0はＡの固有値でない。(射影ではない.)
∴　ＡはＲ^3 を Ｒ^3 に移す。(|Ａ| = Jacobian は体積の拡大率であった･･･)
∴　固有ベクトルは3つある。
　ｖ2, ｖ3 は (1/√3, 1/√3, 1/√3) に垂直な2方向とする。
　Ｔ = [ｖ1, ｖ2, ｖ3 ] とおくと、
　Ａ･ｖ1 = 3･ｖ1,
　Ａ･ｖ2 = ｖ2,
　Ａ･ｖ3 = ｖ3,
これを横に並べると
　Ａ Ｔ = Ｔ Ｄ,
ここに　Ｔ = [ｖ1, ｖ2, ｖ3 ],
　　 [ 3, 0, 0 ]
Ｄ = [ 0, 1, 0 ]
　　 [ 0, 0, 1 ]
とおいた。
　det|Ｔ| ≠ 0 だから Ｔ^(-1) は存在する。

>>863
訂正････orz
　Ａ･ｖ1 = ｖ1,
　Ａ･ｖ2 = 3･ｖ2,
　Ａ･ｖ3 = 3･ｖ3,
これを横に並べると
　Ａ Ｔ = Ｔ Ｄ,
ここに　Ｔ = [ｖ1, ｖ2, ｖ3 ],
　　 [ 1, 0, 0 ]
Ｄ = [ 0, 3, 0 ]
　　 [ 0, 0, 3 ]

>>853
ラプラス展開 Laplace's expansion
ビネ=コーシーの定理 Binet-Cauchy's theorem

なんていう検索ワードも覚えておくといいよ

このスレの過去ログを倉庫に格納しました。
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

>>869 グッジョブ！線型代数スレ１でスルーされてた質問のコピペ
178 名前：１３２人目の素数さん：03/08/27 20:17
　仕事で線形代数使ってる人いますか？
　Ｃ、Ｃ++のライブラリとして一番使われているのはなんでしょうか？

俺は仕事で使ってないけど、ライブラリはoctaveのやつがいいと思ってます。

A = [[1+i, 3i][7i, 2-5i]]　に対して
A~, (1+2i)A, tA, 1/2(A+A~), 1/2(A-A~), -i/2(A-A~)　を計算せよ。

本の答えがそれぞれ

A~ = [[1-i, -3i][7, 2+5i]]
(1+2i)A = [[-1+3i, -6+3i][7+14i, 12-i]]
tA = [[i+i, 7][3i, 2-5i]]　　※本当に i+i になっています
1/2(A+A~) = [[1, 0][7, 2]]
1/2(A-A~) = [[i, 3i][0, -5i]]
-i/2(A-A~) = [[1, 3][0, -5]]

になってるんですけど、
自分の答えは

A~ = [[1-i, -3i][ "-7i", 2+5i]]
(1+2i)A = [[-1+3i, -6+3i][ "7i-14", 12-i]]
tA = [[ "1+i", "7i"][3i, 2-5i]]
1/2(A+A~) = [[1, 0][ "0", 2]]
1/2(A-A~) = [[i, 3i][ "7i", "5i"]]
-i/2(A-A~) = [[ "1/2", "3/2"][ "7/2", "5/2"]]

になりました(本と異なる部分は" "で囲ってあります)。
誤植もあるので本が間違ってところもあると思うんですけど
自分の答えにも自信がないので、
どうか答えを確認してください。
お願いします。

問題がA = [[1+i, 3i][7, 2-5i]]の誤植だった、でファイナルアンサー

>>872
答えじゃなくて問題の方が誤植でしたか・・・
よく見ると第12刷目ですけど第1版目ですね・・・誤植まだありそう・・・
するどいファイナルアンサー、ありがとうございました！

>>873 ↓の「エルミート行列 - Wikipedia」のページに似たような計算とその意味がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97

>>874
ありがとうございます、まだ習ってませんが名前だけは覚えておきます。

『体Ｋを成分とするn次正方行列 A, B が与えられたとき、
A・B = I ならば B・A = I
（ただし、・は行列の積で、I は単位行列）』

という定理がありますね。

私はこの定理を、行列式の余因子展開を用いた逆行列の成分表示を用いて
証明出来る事を承知しています。

そこで質問なのですが、この定理の、行列式を使わない証明は存在するでしょ
うか？

ｘ−＞Ｂｘとｘ−＞Ａｘで次元は大きくならずｘ−＞ＡＢｘで次元は変わらないのでｘ−＞Ｂｘは全射。
ｙに対してｙ＝Ｂｘとなるｘをとると
ＢＡｙ＝ＢＡＢｘ＝Ｂｘ＝ｙ。

循環論法だな

876、877は分かっているような顔をして実は分かってない学生の典型。

>>876
易しいことを仰々しく書いてはいかんぞ。

テンソル積についてネットで調べていたら
積を表す"xを○囲んだ記号"の読み方と英語での表記？

⊗⊕

ひょうき？

>>876
対称行列と交代行列に分解する。

票数は２では無いとして、

>>884
つまり一票なのか、ならおれがもう一票入れるからこれで票数は２になった。

票数２でも問題無かった

票数という言葉を言ってみたかったのか。
和に分解しても積の問は解けんが。

標数な、おまいら。

>>878>>879どこが

うんこスレ

転置の問題なんですけど
t［ｋＰ(Ａ＋Ｂ)tＱ］の展開ができません＞＜
展開していったらt［ｋＰＡtＱ＋ｋＰＢtＱ］ってなったんですけど
ここまでは合ってますかね？このあとが分かりません
どなたか教えてくださいお願いします(=。_。)

kQ(tA+tB)tP

テンソル積の記号の件について昨日専門家の方にお伺いしたら特別な名称はなく「テンソル積」英語では「tensor product」とのことでした。

ほんとレスの一つ一つに頭の悪さがにじみ出てるよねぇ。

>>894
つ　鏡

知りたいと思ったら調べてみる
これは頭の悪さとは関係ないよ

>>893
LaTeX での記号のコマンド名を調べると、慣習的にどう呼ばれてるのかわかったりすることもあるね。

偶然にも流れに乗って、記号のことで質問です。
線形写像のところで突然、

f: [[x[1]], [x[2]]] ト→　[[x[1] - 2x[2]], [5x[1] + 7x[2]]]
のように使われる"ト→"という記号が出てきました。
普通の矢印の尻尾に短い縦線が入っている記号です。
これはなんと呼ばれていて、どういう時に使われるんですか？

ちなみに写像の定義のところでは
f: X →　Y
のように縦線の付かない普通の矢印が使われています。

R->R
x|->x^2

>>898
矢印自体に特に名前は無いけど
f: X -> Y (定義域と値域), f: x |-> y (元と対応先) と区別して使われる．
後者は f(x) = y ということ．
TeXの記号で言うと前者が \to で後者が \mapsto

>>898
写像による、元と元の対応を表記するのに使う。

例： >>899

数学のセンスの一つが記号の認識力だと思う。
>>899程度なら説明されなくても文脈でわかるレベル。

縦線の有無の使い分けについて聞いてるんだろ。

答え
使い分けは適当、呼び名も適当

うん、そこで止まっちゃうというのも
調べられないというのも問題アリだ

>>903
バカ

>>903
こいつはひどいバカだな

問題はわかっているつもりで使っている記号
その意味と使い方等第三者に説明できるかだ
専門家というものはどんな些細な点でも説明を求められれば応える必要があるというものだ
わからん奴は馬鹿だなとのたまわっているものほどよほどの馬鹿だと思うが
写像のところででてくる→は集合の写像　それ以外の矢印は関数関係元と元との対応とかと理解しているけど間違っていたらごめんなさい

無意味に長いコメント。by 文系かw

質問させてください。
互換（２　３）を実行するということは、次の置換
（１　２　３　４）
（１　３　２　４）
をすることとは別のことなんですよね？
２「番目」と３「番目」の数字を入れ替えるのではなくて、２と３そのものを入れ替えるということですよね？

ああ？
（１　２　３　４）
（１　３　２　４）=(２ ３)だよ。
多分置換の定義自体理解できてないんだろう。
{1,...,n}→{1,...,n}の全単射が置換な。
二番目とか三番目とか何が言いたいのかわからん。

すみません、何番目というのは忘れてください…

でも置換の積を計算する問題で、
（１　３）（２　３）（２　４）
というのがあると、
（１　２　３　４）（１　２　３　４）（１　２　３　４）
（３　２　１　４）（１　３　２　４）（１　４　３　２）
と解釈して右から順に考えていって１→１→１→３、２→４→４→４、３→３→２→２、４→２→３→１となるから、
（１　２　３　４）
（４　３　１　２）
と解くと間違いですよね？どうしてでしょうか。写像の積だから１→１→１→３のように数字を追いかけていってもいいはずなのに。

１→１→１→３、２→４→４→４、３→３→２→２、４→２→３→１となるから、
（１　２　３　４）
（４　３　１　２）
???１→１→１→３、２→４→４→４、３→３→２→２、４→２→３→１なら
（１　２　３　４）
（３　４　２　１）daro

あ、そうか。ひどい勘違いをしていました。ありがとうございます。

スレ汚し失礼しました。

>>909が訊きたいのは、たとえば2 1 3 4という数字の列に(2 3)を実行したら、2 3 1 4ではなく3 1 2 4になるよね？
ということだろうか。
なんか訊き方が悪いような気がする。

って、もう話が終わってた……

909です。
>>914氏
そういうことです。どう違うのかな、と思って。

集合{1,2,3,4}と巡回列(1 2 3 4)の区別がついてないんだろうな。

巡回列…ですか？巡回列と置換は別物ではないんですよね？

集合と巡回列…よくわからないです。

９０８
↑
ここに登場してくる数学者を標榜している方々は論理的な思考の持ち主と言うよりも感情的な情動で判断する方々と思われる。

ほんとウンコだなぁw

>>892
ありがとうございます

>>899　& >>901
なるほど、ありがとうございます

>>900
丁寧なレス、ありがとうございます

>>902
それはあまり数学的じゃないですね
まず、この本にはこの矢印についての説明は一切なく
いきなり書かれてるんですよ
定義が無ければ
たとえ矢印の意味は予想は出来ても
それが当たっている保証はないですよね
というのもどういう使われ方がされているか
すべてのパターンを見ない限りは
矢印の意味が確定できないからです
それこそ悪魔の証明ですよ

写像f: R^n → R^mが線形写像であるとは、
R^nの任意のベクトル、a, b と任意のスカラー k に対して
(1) f(a + b) = f(a) + f(b)
(2) f(ka) = kf(a)
が成り立つときにいう

と書いてあるんですが、
これって(1)だけが成り立って(2)が成り立たない場合なんてあるんですか（またはその逆も）？
あるならば是非それらの例を教えてください

この本に載っている例はすべて(1)も(2)も成り立つ例ばっかりなんで
(1)が成り立てば同時に(2)も成り立つような気がしてなりません

>>922
そんなこと言ってたら論文とかとても読めないぞ

>>923
(1) だけ満たす例は存在する．以下のHamel基底を用いる構成が有名：

まずR を Q 上の線型空間と考えて基底 {u1, u2, ...} を１つ取る．
すると任意の実数 x は有理数 q1, ..., qm を使って x = q1 u1 + ... + qm um と書ける．
f: R → R を次のように構成する：
基底に対する値 f(u1), f(u2), ... は適当に設定する．
実数 x = q1 u1 + ... + qm um について f(x) = q1 f(u1) + ... + qm f(um) と定義する．
この f は明らかに (1) を満たし，(2) を満たさない．

>>878-879

>>922
屁理屈ばかり覚えてきたんならそれで食っていく工夫をしなさい
とにかく数学は駄目だ

>>922
わからないなら２ちゃんねるで聞いてないで調べろバカ

正方行列でC(ij)=C(ji)を満たす行列(元の行列=転値行列)の名前はついているでしょうか？

名前がわかれば自分で調べたい(逆行列を速くとく方法)と思っています。

大笑行列

>>927
数学は屁理屈とちゃうの？

>>931
　へりくつ【__屁理屈】
　道理に合わない､くだらない理屈｡筋道のたたない議論。

数学は当てはまらないだろうな。

>>925
(1) だけ満たす例が存在することは分かりました
何をやってるのかはまだ想像もできませんがorz

ということは、(1)も(2)も満たすか確認して
初めて線形写像とみなされるわけですね
ありがとうございました！

>>924
いいたいことも、その気持ちもよくわかるが
定義もせずに新たな記号を持ち出すような論文を書くほうが
どう考えても悪い

>>932
相手の論に対して「屁理屈だ」と言うのは
「論理的な反証はできないが、気に入らない」というのと同義なんだよ。

みんな分かってるよな。>>922みたいなこと言う学生が絶望的にできないことを。

そうでもないだろ。 イマドキそんなのふつうにごろごろいる。
むしろ疑問を持った分、ちゃんと本読んでるんだと解るぶん
勉強に対する姿勢もよい。

「絶望的にできない」のレベルは、ここ２０年でものすごく落ちた。

>>925
> まずR を Q 上の線型空間と考えて基底 {u1, u2, ...} を１つ取る．

誰かが書くかと思ってたけど、だれもかかないので、ちょっとした違和感を。
この『基底{u1, u2, ...}』の書き方は、可算基底に見えてしょうがねえ

>>925そんなものが存在するとは信じられない。
お前、俺を(ry

定理
任意のσ、τ∈S[n]について
sgn(σ^1)=sgn(σ)

証明
σ^1σ=εが成り立つからsgn(σ^1)sgn(σ)=sgn(ε)=1。
そして、sgn(σ)=(-1)^rの形であるから、sgn(σ^1)=sgn(σ)が成り立つ。　←？

この証明の二行目がどうしても分かりません。
sgn(σ)もsgn(σ^1)もrの数は同じはずですから
sgn(σ^1)=(-1)^rということですか？

sgn(σ^1)=sgn(σ)

証明
σ^1=σゆえ自明。

>>940
もしかして

『sgn(σ^{-1})=sgn(σ)』

のタイプミス？

>>940
sgn(σ)＾2＝１だろ

>>878

分割された行列| Ａ ａ|の逆行列が
　　　　　　　|tａ ｃ|

| Ａ^-1 ０|　 　　　１　　　|-Ａ^-1ａ|
|　　　　 |＋ ーーーーーーー|　　　　||-tａＡ^-1，１|
|t０　　０|　 ｃ-tａＡ^-1ａ |　　１　|

であることを示せ。


この問題が分かりません
計算も途中で止まってしまいます
どなたかおしえてくださいお願いします(=。_。)

分割されすぎだろ

>>946
吹いた

馬鹿みたいな顔文字をやめて、ズレを直して>>856などを参考に計算する。
ブロック分割行列といったら伊理正夫先生という印象があるが、どうか。

>>942
当たりです。
しかも投稿してすぐに
sgn(σ^-1)=(-1)^r=sgn(σ)
と気付きました。
もう一行書いててくれると嬉しいんですけどね、この本。

Ａが対称行列であるとき、すべての行列ＢについてtＢＡＢは対称であることを示せ。

どう解いていけばいいんですか？

Xが対称行列とは tX = X が成り立つことだろ。それを確かめればいいだけ。ほとんど自明じゃないか。