★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問

(84753+228i)^{87}は実数か？

>>688
実数じゃない

ちょっと遅くなりましたが、

> 242 名前： 240 投稿日： 01/10/10 02:25
>
> >>241
> こちらが想定したとおりの解法です。全部◎
> 解いてみた感想を聞かせて。


小問の誘導が適切で解きやすかったです。いい問題だと思いマスタ。

>>688
任意の自然数nについて(84753+228i)^nが実数でないこと、
もっと一般に(a+bi)^n (a,bは整数でa≠0,b≠0,a≠±b)が実数でないことを
証明したかったのですが挫折しました。

(84753+228i)^87が実数でないことは以下のようにわかります。

数列a(n),b(n)を次の漸化式で定めると、(84753+228i)^87=a(87)+b(87)iである。
a(1)=84753,b(1)=228,a(n+1)=84753a(n)-228b(n), b(n+1)=84753b(n)+228a(n)

以下合同式はmod(5)であるものとすると、
a(1)≡3, b(1)≡3, a(n+1)≡3a(n)-3b(n), b(n+1)≡3a(n)+3b(n)であるから、
a(2)≡0,b(2)≡3
a(3)≡1,b(3)≡4
a(4)≡1,b(4)≡0
a(5)≡3,b(5)≡3
以降周期4の繰り返しであるから、b(87)≡b(3)≡4よりb(87)≠0,
よってa(87)+b(87)iすなわち(84753+228i)^87は実数とはならない。

>>690
ちょっと遅いってレベルじゃねーぞ！ｗｗ

(a+bi)^n が実数でないことの証明って京大で出なかったっけ

πが無理数であることを証明せよ、

じゃなくて、πが無理数であることを
最初に証明した人について知るところを述べよ。
（５０点）

Lambertとか数学科の学生でもほとんど知らんだろ。

一応できたつもりだが、何とも泥臭い(＾q＾)
とりあえず前半。合ってるかな？

(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。

STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2−b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2−b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2−b^2＝ 2ab ⇔ (a−b)^2＝2b^2 ⇔ a−b＝±b√2 ⇔ a−b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2−b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2−b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2−B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。

>>690
遅すぎるんだTYO！
一応過去ログから問題と解答を再掲してやろう。

240 名前： 名無し 投稿日： 01/10/10 00:21
有名問題ですが，誘導付きにしてみました。これなら文科の問題としても
使えるか？理科には易しすぎ？解いたことのない人は解いてみて。
誘導も含めて講評して。

nを2以上の自然数とする。
(1) 2^k≦n<2^(k+1)となる自然数kを考える。1,2,・・・，nの中に2^kの倍数は何個あるか。
(2) 1,2,・・・,nの最小公倍数をSとする。S,S/2,S/3,・・・,S/n の中に奇数は何個あるか。
(3) 1+1/2+1/3+・・・+1/n は整数とならないことを示せ。

241 名前： 理�T志望 投稿日： 01/10/10 01:37
>>240
(1) 2^(k+1)＝2*2^k なので、2^k以上2^(k+1)未満の整数のなかで
　2^kの倍数は2^k自身しかない。
　2^k未満の自然数のなかに2^kの倍数はないので、
　よって答は1個。
(2) (1)のkをもちいると、Ｓは、
　　Ｓ＝(2^k)*(奇素数の積)
　とあらわされる。よって、1≦m≦nを満たす自然数mに対して、
　　Ｓ/m が奇数 ⇔ m が2^kの倍数
　となるが、(1)の結果からこのようなmは1つだけ。
　∴答は1個。
(3) 与式の分母をＳで通分すると、分子は
　Ｓ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n であり、(2)からこれは奇数となる。
　一方Ｓは偶数なので、ＳはＳ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n の約数ではない。
　ゆえに与式は整数にはならない。（証終）

それ、高校生のときエルデシュの伝記みたいなやつに問題だけ載ってたな。懐かしい。
当時の俺はこうやって解いたぞ。

n≧2のときSn＝奇/偶 となることを、数学的帰納法で証明する。n＝2,3のときは
明らかに成り立つ。n≦2k のとき成り立つとすると、n＝2k＋1のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k)}＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋(1/奇)
＝(奇・奇＋偶)/(偶・奇)＝奇/偶 となり、成立。また、n≦2k＋1のとき成り立つと
すると、n＝2k＋2のときは、

Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k＋1)}＋1/(2k＋2)
＝{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2k＋1)}＋{1/2＋1/4＋…＋1/(2k＋2)} (この分け方がミソ)
＝(整/奇)＋(1/2)*{1＋1/2＋…＋1/(k＋1)}
＝(整/奇)＋(1/2)*(奇/偶)
＝(整/奇)＋(奇/偶)
＝(整・偶＋奇・奇)/(偶・奇)
＝奇/偶
となり、やはり成立。

帰納法じゃなくて直接証明もできるな

>>696の続き。

nを自然数とする。整数係数多項式Tn(x)は、任意のx∈Rに対して
Tn(cosx)＝cos(nx)を満たすとする(チェビシェフの多項式)。
Tn(x)の最高次の係数は2^(n−1)である。また、nが奇数のときは
Tn(0)＝0だから、Tn(x)＝xfn(x)なる整数係数多項式f(x)が取れる。…(*)
(f(x)とは書いたが、これはnに依存して決まるので、本来はfn(x)と
書いた方がよい。)


STEP2：nが奇数のときのa,bを求める。
a＋bi＝re^{ix}と極座標表示すれば、cosx＝a/√(a^2＋b^2)だから、cos(2x)＝2cos^2x−1
＝2a^2/(a^2＋b^2)−1となり、cos(2x)は有理数となる。
(a＋bi)^nが実数になるための必要十分条件は、x＝kπ/n となるk∈Zが存在することである。
このようなkに対して、Tn(cos(2x))＝cos(2nx)＝cos(2kπ)＝1 だから、c＝cos(2x)とおけば
Tn(c)＝1である。これと(*)より、cf(c)＝1を得る。
cは有理数だったから、c＝q/p (p,qは互いに素な整数)とおけて(q/p)f(q/p)＝1を得る。
f(x)の次数をm≧0とすれば、r：＝f(q/p)*p^mは整数になり、q*r＝p^(m＋1)となる。
この式からq｜p^(m＋1)となるから、pとqが互いに素であることより、q＝±1となるしかない。
よってc＝1/p となり(本当は±1/pだが、マイナスがつくときは−pを改めてpと置く)、
(1/p)f(1/p)＝1となる。ここで、f(x)＝Σ[i＝0〜m]ai*x^iと表し、(1/p)f(1/p)＝1の分母を
払って整理するとΣ[i＝0〜m]ai*p^(m−i)＝p^(m＋1) となる。両辺をmod pで考えると
am≡0 (mod p)となる。すなわちp｜amとなる。チェビシェフ多項式の最高次の係数は2のベキ乗
だったから、amは2のベキ乗であり、これとp｜amより、pもまた2のベキ乗である。
つまり、あるk≧0に対してc＝±1/2^k となる。

STEP2続き：まず、c＝1/2^kのとき。c＝cos(2x)＝2cos^2x−1＝2a^2/(a^2＋b^2)−1だったから、
これとc＝1/2^kより、式を整理して(2^k−1)a^2＝(1＋2^k)b^2…(**)となる。この式から
(2^k＋1)｜(2^k−1)a^2が分かるが、(2^k＋1)と(2^k−1)は互いに素だから、(2^k＋1)｜a^2となる。
よってa^2＝(1＋2^k)sなる整数sが取れる。これを(**)に代入してb^2＝(2^k−1)s となる。よって、
(ab)^2＝(4^k−1)s^2となり、ab＝±s√(4^k−1) となる。もしk≧1なら、4^k−1は平方数に
ならないから(***)、√(4^k−1)は無理数となり、よってab＝0かつs＝0となり、よって特に
「a＝0またはb＝0」を得る。k＝0のときはab＝±s√0＝0となり、やはり「a＝0またはb＝0」を得る。

(***)：4^k−1が平方数だとすると、4^k−1＝y^2なる整数yが取れるはずだが、両辺をmod 4で考えて
−1≡y^2 (mod 4)となる(k≧1なので)。一方、y^2≡0,1 (mod 4)にしかならないので、矛盾。

あとはc＝−1/2^kの場合を考える。上と同様にして、適当な整数sに対してa^2＝(2^k−1)s,
b^2＝(2^k＋1)sとなるから、(ab)^2＝(4^k−1)s^2となり、同様にしてa＝0またはb＝0に辿り着く。■

>>696,>>700-701
凄い。cosで考えるのが突破口だったとは。
tanθ=b/aとして、例の「tan1°は有理数か」と同じようにtanの加法定理と
数学的帰納法でいけないだろうかと考えていました。

間違い発見(＾o＾)修正します。
×　nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
○　nが奇数のとき：b＝0
証明には ほとんど影響は無いと思う。


>>702
693が気になって調べてみたんだが、確かに京大に出ていた。

「pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数ではないことを示せ。」
ttp://www.kyoto-math.jp/2000-4.html

で、リンク先の解答だと、チェビシェフの多項式なんて出てなくて、もっと初等的に解いている。
この結果を元にすると、「nが奇数のとき：b＝0」となることが696みたいなやり方で証明できて、
nが偶数のときは696自身を使えばよくて、結局、チェビシェフの多項式を使わずに解けるという・・・

まだ間違いが・・・

×　nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0

○　nが偶数だが4の倍数ではないとき：a＝0またはb＝0
　　 nが4の倍数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0

証明は、>696の方に影響が出てしまうが、ちょっと修正すればすぐに直る。

イケメン東大生と変態したい。

漸化式a_1=a_2=1、a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(nは自然数)で定められる数列について、a_{100}の桁数を求めよ。
但し、0.3010 <log_{10} 2 < 0.3011、0.4771 < log_{10} 3 < 0.4772、0.8450 < log_{10} 7 < 0.8451とする。

フィボナッチ

Ｓｏ　ｗｈａｔ？

>>707の一般項を二次方程式の解の公式なりなんなりつかって出して
その第百項の対数をとるだけだろう

Reply:>>705 取引場所をMailで連絡せよ。
Reply:>>709 黄金比が出てくるが、それはどうするか。

>>706
φ=(1+sqrt(5))/2 とすると、この数列(フィボナッチ数列の一般項)は
a(n)={φ^n-(-φ)^(-n)}/sqrt(5) である。

nが大きいとき(-φ)^(-n)→0だから、まずb(n)=φ^n/sqrt(5)の桁数を評価する。

底の10は省略。
1.6＜φ＜1.62だから、
4log2-1＜logφ＜log2+4log3-2
0.2040＜logφ＜0.2099

log b(100)=100logφ-(1-log2)/2だから、
20.0505＜log b(100)＜20.64055
よって、b(100)は整数部分が21桁の数である。

一方、
a(100)=b(100)-(1/sqrt(5))(1/φ)^100＞b(100)-1　であるが、
10^0.0505 ＞2^(1/6)＞1.1 (∵0.0505*6=0.303＞log2、1.1^6=1.771561)
だからb(100)＞1.1*10^20であり、高々1を引いても桁数は下がらない。

∴ a(100)は21桁の整数 (答)

>>711
素晴らしい！正解です。

>>712
後半(a(100)とb(100)の桁数が同じことを示す)は必要ですか？
以前、4^n+3の桁数についての問題を見たことがあって、
4^nの1の位は4,6の繰り返しだから3を加えても絶対繰り上がらない
→4^nと4^n+3は桁数が同じ、というところを厳密にやっていたので。

>>713
必要だと思います。まあほとんど自明ですが。

>>713
今の場合は0 < (-\phi)^{-100}/\sqrt{5} < 1で、a_{100}が整数だから、
\phi^{100}/\sqrt{5}の整数部分がa_{100}と論じてもっと簡単に
話を済ますことはできそうですね。

10^n-3の形で表される整数で、素数でないものはあるか。

関数f(x)=log2｛x+√（x＾2‐4）｝‐1 について
f(x)=100をみたすxの整数部分の桁数を求めよ。
ただし、log10 2=0.301とする。

>>716
10=7+3だからn=7のとき素数じゃないな。

>>716
9997/13=769

確率１／１００の宝くじを１０回引いたときの当たる確率はいくつ？

>>720
こういう問の書き方を見ると、1/100はなんの確率なのか、とまず訊いてみたくなる。

いやオランウータンビーツでしょ

血液型分布は
近親婚がない、
且つ、ランダムに婚姻する、
という条件において、

最初の分布比率が保たれ
世代の更新により
変化しないことを証明しなさい。


生物屋のいうには変わらないらしい。

それは高校一年の生物でやるぞ
馬鹿なの？

問題の前提が不明だな
最初A型とB型しかいない場合は、途中でAB型が生まれてくるから、分布が変わるんだけど

>>723
その法則は Hardy の名前が付いている。

Hardy-Weinberg の法則は遺伝子の分布についての法則だから、
血液型の分布にはあてはまらないんだが……
遺伝子と表現型を混同してないか？

>>727
そうね。MN 型の話だった。

>>727
遺伝子頻度から遺伝子型の頻度が説明できるという話じゃないの。

>>729
何言ってるのかよく分からんけど、遺伝子の頻度は変わらなくても、
血液型の頻度は変わり得るでしょってことなんだけど

>>725
おいおいｗ

と思ったが、何事においてもある事柄のルールを知らない人間だと
その事柄の注目すべきレベルがわかんないのは当然か…
確かに数学的でもないし、前提が説明不足だわな

近親婚てどこまでが近親なんだよ
>>723がもし成り立つのなら別にこの仮定いらなそうな希ガス
自分以外を近親としないとしたときとかもね
なんとなくだけど

最初の世代の比率がＡ型とＢ型１：１だったら、子孫もＡとＢ１：１ってこと?

>>716

n=1+6m, n=4+6m, n=11+16m, n=5+18m　(m≧0)　など。

(略証)
　10^6 = (10^3 -1)(10^3 +1) +1 = (10^3 -1)･7･11･13 +1 ≡ 1　(mod 7･13)
　10^16 = (10^8 -1)(10^8 +1) +1 = (10^8 -1)･17･5882353 + 1 ≡ 1　(mod 17)
　10^18 = (10^9 -1)(10^9 +1) +1 = (10^9 -1)･19･52631579 + 1 ≡ 1　(mod 19)
より
　10^(1+6m) -3 ≡ 10^1 -3 = 7 ≡ 0　(mod 7)
　10^(4+6m) -3 ≡ 10^4 -3 = 13･769 ≡ 0　(mod 13)
　10^(11+16m) -3 ≡ 10^11 -3 = 17･5882352941 ≡ 0　(mod 17)
　10^(5+18m) -3 ≡ 10^5 -3 = (19^2)･277 ≡ 0　(mod 19)

>>733
そういう意味にしか読めんわな

3次元直交座標空間に球面Ｓがある。この球面Ｓ上の任意点（ｐ、ｑ、ｒ）について、ｐ、ｑ、ｒのうち2つの数字が整数ならば残りの1つも必ず整数である。
このような球面Ｓは何種類あるか。その半径として考えられるものをすべて求めよ。
ただし、球面Ｓは格子点を少なくとも1つ通るとする。

m：整数、n：1<n<100の整数の時
n!=m^2
となるn,mの組は存在しないことを示せ。

正直、きれいな証明じゃないので微妙。

ちなみに、これはベルトラン予想の限定。
実際は2以上のすべての自然数nにおいて上の式が成り立ちます。

>>736

　(x-1/2)^2 + y^2 + z^2 = 1/4,　　　　　　　半径 1/2,
　(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + z^2 = 1/2,　　　　半径 (√2)/2,
　(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + (z-1/2)^2 = 3/4 or 11/4,　半径 (√3)/2 or (√11)/2,
　x^2 + y^2 + z^2 = 1,　　　　　　　　　　　半径1,

>>737
n!=m^2について
pを素数として
p!の素因数のうち最大の素数はpである。
p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
またこの時pの次に大きい素数をqとして、p≦n＜qである自然数nについても最大の素数はpである。…�@
p=2ならp^2=4までに3がある
同様に
3(9)→7
7(49)→47
47(47^2)→101
(5は7,11〜43は47,53〜97は101が対応する)
よってp!が平方数になることはない。(1＜p＜100)
また、これと�@より1＜n＜100についても示される。

>>739
大体あってるけど、
＞p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
p^2じゃなくて2p。
なので、実際は
2 3 5 7 13 23 43 83 というステップになる。

・　1/2 < e^π-π^e < 3/4 を示せ。
・　�納n=1〜∞]n^(-3) > 6/5 を示せ

こういうのは意外に高校生にはキツいかも
aを実数とする
xの方程式
x＾5-x＾4＋ax＾3＋ax＾2‐x＋1＝0
の5つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する。
このとき、aの値及び、一致する解を求めよ。

メロンパンナのメロメロパ〜ンチ
だな。
ついでに問題の書き方がおかしいな。
>少なくとも2つの解が一致する
って実際そうなるか解答者側から見ればまだ分からないことジャン。
出すんだったら保証させることも含めろよ。

≫743
・・・2つの解が一致するとき、aの値及び・・・
でいいですか？

文章おかしくてスマソ

いや、そうじゃなくて、そもそも
「方程式
x＾5-x＾4＋ax＾3＋ax＾2‐x＋1＝0
の5つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する」
ような実数aはあるのか、ということも含めて出題する
(これはa=0とすれば問題ないことだが)。
そして、どうせやるなら、「もしあれば」、2つの解が一致するようなaの値と
そのときの一致する解だけでなく「他のすべての解」を、それぞれすべて求めさせる。
こうした方がいい。

>>742の問題文が変だとは思わないが簡単すぎる

≫745
成程、確かにその方が親切ですね。
≫746
今の自分なら解けますが、高校時代なら最後までは
解けないな〜、って感じたので出題してみました。

xy平面上の２つのベクトルをp,qとし、p,qのなす角をθとするとき、次の式を示せ
p・q=|p||q|cosθ

7=√(49)

>>744
なんで「重解をもつとき」ってしないの？

≫750
問題文より自明ですが、解く過程で重解となることを認識させたいので。

≫

>>751
ふーん、重解の定義って、なんか小難しいわけ？

≫753
ここの住人は厳しいですね(^o^;
自分としては高次方程式を題材に、重解条件を考えさせたく
以下の2点をポイントとして出題してみました。
�@式の特徴に着目して、解の候補を考える
�Aより低次の方程式に帰着させる

問題文が不完全なのは認めますので、これくらいで
ご勘弁をm(__)m
ちなみに誰か解答お願いします。

因みにもう一つ作ってあります。
これも同じような問題です。
a、bを実数として
f(x)=x＾2+ax+b、g(x)=f(f(x))とおく。
�@方程式g(x)-x=0が重解をもつとき、a、bの関係式を求めよ。
�Aa、bをa＞bをみたす整数とする。
方程式g(x)-x=0の重解も含めた4つの解のうち、
2つは整数で残りの2つが虚数となるとき、a、bの値を求むよ。

>>754
　>>742 の解答
　(左辺) = (x+1){(x^2 +1)(x-1)^2 +a･x^2},

　a=0 のとき　1(重根), -1, ±i, 　　(左辺) = (x+1)(x^2 +1)(x-1)^2,
　a=-8 のとき　-1(3重根), 2±√3, 　(左辺) = (x+1)^3 (x^2 -4x+1),
かな？

>>741 下

Σ[n=1,∞) 1/(n^3) = 1 + (1/8) + (1/27) + (1/64) + (1/125) + (1/216) + (1/343) + Σ[n=8,∞) 1/(n^3)
　　> 1 + (1/8) + (1/27) + (1/64) + (1/125) + (1/216) + (1/343) + Σ[n=8,∞) 1/n(n+1)(n+2)
　　= 1 + 3･4771443/(N^3) + Σ[n=8,∞) {1/[2n(n+1)] - 1/[2(n+1)(n+2)]}
　　= 1 + 3･4771443/(N^3) + 1/(2･8･9)
　　= 1 + 3･4942943/(N^3)
　　= 1 + (1/5) + 3･3743/(N^3)
　　> 1 + (1/5),
ここに　N = 3･4･5･7 = 420 とおいた。

≫756
そこまでは正解です。
ここで、g(x)=(x＾2+1)(x-1)＾2+ax＾2と置き
g(x)=0の4つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する
場合を考えなければなりません。

相反方程式にするんだよ。

>>758
　g(x) = (x^2 +1)^2 -2x(x^2 +1) + ax^2 = (x^2 -x+1)^2 + (a-1)x^2,

　a=1 のとき (1±i√3)/2 (重根), -1.　(左辺) = (x^2 -x+1)^2,

>>741 下
　y=1/(x^3) は 下に凸なので、台形公式
　(1/2){1/(k^3) + 1/(k+1)^3} > ∫[k,k+1] 1/(x^3) dx,

Σ[n=1,∞) 1/(n^3) > 1 + 1/(2^3) + 1/(3^3) + 0.5/(4^3) + ∫[4,∞) 1/(x^3) dx
　= 4043/(128*27) + [ - 1/(2x^2) ](x=4,∞)
　= 1.169849537037････ + 1/32
　= 1.201099537037････

f_1(x) g_1(x)をx>0に対して定義された関数とし、任意の自然数nに対してf_{n}(x),g_{n}(x)を
f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-e^{x}g_{x}, g_{n+1}(x)=f_{n}(x)-(logx)g_{n}(x)
によってx>0に対して定義する。
このとき、f_1(x) ,g_1(x)の共通解が存在しないとすると、任意の自然数nに対してf_{n}(x),g_{n}(x)の
共通解も存在しないことを示せ。

訂正　f_1(x) ,g_1(x)の共通解→f_1(x)=0 ,g_1(x)=0の共通解

>>762
関数の共通解とは？

ま、共通零点、のことかな、とは思うが。

>>763
わざわざ訂正するなら、４行目の後半もしておかないと。

訂正
f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-e^{x}g_{n}(x)→f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-g_{n}(x)
f_{n}(x),g_{n}(x)の共通解→f_{n}(x)=0,g_{n}(x)=0の共通解
>>762のままじゃ全然面白くないです。

≫760
正解です。
自分の用意した答えはまとめると
a＝8、0、1　で各場合の一致する解はそれぞれ
x=-1、1、(1±√3i)/2ですやっぱり簡単過ぎた様です。

東大文３出身の元学コンマンです。（わけあって中退したので文３か理１か慶応SEC環境情報学部に入りなおそうかと思案中）
それはともかく・・・なんとなく問題つくってみたけど、自分で解けてない...
直線Ｌと半径１の球Ｓがあり、直線Ｌと、球Ｓとの最短距離は１である。
直線Ｌを軸として球Ｓが１週したときの、球Ｓの軌跡をＭとする。（いわゆる円環）
また、Ｍと、Ｍの内側の空白を合体させた領域をＮとする。

（１）動点Ａ、ＢがＭに含まれるとき、線文ＡＢの最大長を求めよ。
（２）動点Ａ、ＢがＮに含まれるとき、線文ＡＢの最大長を求めよ。
（３）正四面体ＦがＮに含まれるとき、正四面体Ｆの１辺の最大長を求めよ。
（数学久し振りにやったので、言葉を忘れてしまって文章が分かりづらくてすみませんＳはいわゆる円環（ドーナツ）、Ｔは、ドーナツ＋ドーナツの穴の領域です）
てか、高校数学（今の高校数学の履修範囲をわかってないです）で解けないかも

出題ってのはちゃんと意図をもってやるべきもので、
自分でどういう工夫をすべきかすら把握できてないのに出しても意味無いだろ

問題を（１）（２）に分けたのはどういう状態を想定したんだ？そしてこんなシンプルな問題がなぜ解けない？
それに自分が使ってる文字すら把握できてないぞ
＞Ｓはいわゆる円環（ドーナツ）、Ｔは、ドーナツ＋ドーナツの穴の領域です）

さすが文系

>>768
細かいことだけど、誤字脱字が多いな

>>768
下手したら中学数学でも解けるんじゃね？

こういうのは如何ですか？
平面上に、｜x↑|=|y↑|＝1の２つベクトルx↑、y↑があり
x↑、y↑のなす角θに対して、tanθ/2は無理数である。
整数m、nに対してp↑=mx↑+ny↑で表される点の集合をSとする。
Sから4点を選び4角形をつくるとき、正方形は作れない
ことを証明せよ。

どっちかと言うと京大好みかも。

>>773
どのように選んでも、とするのが京大流。

京大の問題文はくどい。

>>773
tanθ/2ではtan(θ/2)の意味か(tanθ)/2の意味か分かりません

≫775

tan(θ/2)です。

>>775
カス市ね

>>773の問題は下記の文章に似てる。

テラキモんだ？今週なんだ？今週のサザエさんはこんがるか？っつーの
すでに運知思想だろーがっつーの
今から思うと、1969年のアポロがターニングポイントだったね
神国日本の威厳を体現するのは私のお稲荷さんであるということです
クラフトワークがテクノの元祖ということですッチんチン
こんな糞スレで、森尾由美好きが多数派の勝ち組であり、
ロリコンは少数派の負け組という事実が判明するとはな。
ネットの力はおそろしい。
無駄な抵抗はよせ
貴様の包囲網はジワジワと、こんなスレッドにまで迫っているぞ。

質問ですが、東大の９８年後期の大問３をその当時に解いた予備校教師はいたのでしょうか？

放物線y=x^2+5と円x^2+y^2=2と直線Lを考える。放物線とLは異なる2点で交わり、円とLも異なる2点で交わっている。
・Lのy切片が整数
・放物線とLで囲まれる部分の面積が整数
・Lが円から切り取られる弦の長さが整数
の３つが成り立つとき、直線Lの方程式を求めよ。

東大文系の標準〜やや難　を想定し作問。
最後まで解ければ文系数学2完半か3完レベルかなぁ

１辺の長さが１の立方体がある。

ただし以下３つの条件を前提とする。
（Ａ）この立方体において、頂点を選択するとき、各頂点とも選ぶ確率は等しいものとする。
（Ｂ　選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。
（Ｃ）長さ（問１の場合）、面積（問２の場合）、体積（問３、４、５）の値が、
　　　正なる値を持たない場合、上記の長さ／面積／体積を０とみなす。

（１）頂点を２つ選ぶ。これらを端店とする線分の長さの期待値を求めよ。

（２）頂点を３つ選ぶ。これらを頂点とする３角形の面積の期待値をもとめよ。

（３）頂点を４つ選ぶ。これらを頂点とする立体の面積の期待値をもとめよ。

（４）頂点を５つ選ぶ。これらを頂点とする立体の体積の期待値をもとめよ。

（５）頂点を６つ選ぶ。これらを頂点とする立体の体積の期待値をもとめよ。

ごめん、問題訂正。

（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
四面体、五面体、六面体 に変えてください。

∵たとえば（４）で、２点だけ重複すると、
（問題の文章を読むと）立体が四面体と見なすことができるかもしれいから、

そういう、ただ労力をかければすむようなひねりのない問題を
しかも自分で吟味もせずに出題するのはやめようぜ。
センターレベル以下じゃん

＞（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
＞四面体、五面体、六面体 に変えてください。
変える意図がわからん
どういう出題意図なのか知りたい（あるのなら）

しかも、
そこまで考えずに頂点重複を避けさせようとして
頂点の数と面の数は一致するわけじゃないことに気付かず
勘違いしてるっぽい浅はかさを感じる

>>782
よく分からんが……頂点６の六面体ってどんなの？
五角錐しか思い浮かばん。

>>784
>>782が検討してない証拠だろう

＞（Ｂ　選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。
を踏まえれば、立方体のうちの頂点５つで６面体にはできるが
６面体限定にせよ，６頂点限定にせよ
＞体積（問３、４、５）の値が、正なる値を持たない場合、上記の長さ／面積／体積を０とみなす。
わざわざこんな条件つけてまで期待値の問題にしてる意味がなくなるんだよね。

いろんな意味でお粗末

あれ、問題文の日本語変だった？

>>783

＞（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
＞四面体、五面体、六面体 に変えてください。
===
＞そこまで考えずに頂点重複を避けさせようとして

そじゃなくて、逆。頂点重複もＯＫとする。
三角形の場合、３点が、Ａ、Ａ，Ｂなら、面積は０という次第。

出題意図は、簡単にいうと、「確率」と「面積/体積」が融合すると、
＞ただ労力をかければすむようなひねりのない問題
でなく、労力かけずにスマートに解ける問題、ってこと。

＞頂点の数と面の数は一致するわけじゃないことに気付かず
もちろん気づいてた。そこでひかっかるかなと思ったが簡単？

>>784
やっぱ、頂点が重複すると、六面体の体積は正なる値にならない。
（小学生レベルの言い方すると、「頂点が重複すると、六面体にはなりえない」）

だから、「頂点６の六面体ってどんなの？」って、題意の立方体そのもの鹿「あり得ない。

まあ、（１）と（５）は、ネタ的問題で、即効解ける。

あ、そか、

>>782 勘違いしてた。
「頂点が重複しない条件のもとでの立体」
って意味のつもりだったんだけど、>>782 の書き方だと意味が異なる。ミスった。

立方体は頂点が6つですと言ってるようにしか見えないんだが。

>>786
やっぱいろんな意味で浅はかだな。

＞そじゃなくて、逆。頂点重複もＯＫとする。
だったら
＞（問題の文章を読むと）立体が四面体と見なすことができるかもしれいから、
こんなことを書く理由がないんだよね。

＞やっぱ、頂点が重複すると、六面体の体積は正なる値にならない。
最低限確認はしようよ。>>785にも挙げてあるんだしさ。
そもそも「正なる値」ってのがまずおかしい。よほど数学になじみがない人ですかねえ。

で、堂々と間違いを晒しておいて
＞もちろん気づいてた。そこでひかっかるかなと思ったが簡単？
この負け惜しみ開き直りはすごいね。

どつぼですな・・・

ごめんなさい。コーヒーブレイク。

===

ナベアツ君は、数字を言ったとき、その数字が、
３の倍数または３の付く数字のときだけアホになる。

１から初め、10^n まで数字を数えて言うとき、アホになる回数を求めよ。

※ただし、連続してアホになる場合、１つの数字ごとにアホ回数をカウントする
（30、31、32・・・39 のとき、ずっとアホだからｗ）

===

っていうか、既出？
でも解き方が数通りあると思われ。

逆に>>781向けの練習問題が必要だな
中学内容の空間図形や確率の初歩がわかってないようだから

（１）立方体の８つの頂点のうち異なる５つを選んでできる多面体は何通りあるか求めよ
（合同な立体は１通りと見なす）

（２）異なる５つの頂点をランダムに選ぶとき、できる多面体が六面体になる確率を求めよ

スレタイ読めない人が増えたかな？

＞出題意図は、簡単にいうと、「確率」と「面積/体積」が融合すると、
融合(笑)

確率論は測度論であって、測度論は「面積/体積」(及びその一般化)を扱う理論。
つまり、確率論は最初から面積や体積も普通に相手にしている(融合でも何でもない)。
無知すぎる。

＞そもそも「正なる値」ってのがまずおかしい。よほど数学になじみがない人ですかねえ。

「頂点を４つ選んだとき、４点全てが平面上に存在する場合は体積を０とみなす」
と書こうとしたけど、難しくしようとして、「正なる値」って言ってみたorz

数学じゃなくて国語を勉強します・・・

>>780
ほとんど整数問題だな

>>786
あぁ……少しずつ分かりかけてきたかも知れん。
あれかな、凸包をイメージすればいいのかな？

確率バージョンにすると、こんな感じか？　でも簡単すぎる気がするんだが……

----


空間上に立方体Sがあり、Sの８頂点のうち、いくつかの頂点をランダムで選ぶ。
ただし以下の条件を前提とする。
（Ａ）この立方体において、頂点を選択するとき、各頂点とも選ぶ確率は等しいものとする。
（Ｂ）選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。

（１）頂点を２つ選ぶ。これらの凸包が線分になる確率を求めよ。
（２）頂点を３つ選ぶ。これらの凸包が三角形になる確率を求めよ。
（３）頂点を４つ選ぶ。これらの凸包が四面体になる確率を求めよ。
（４）頂点を５つ選ぶ。これらの凸包が５面体になる確率を求めよ。
（５）頂点を６つ選ぶ。これらの凸包が６面体になる確率を求めよ。

>>795
ｶﾞﾝｶﾞﾚ
数学の言葉使いは国語の力のせいとは限らないよ
数学の問題に親しんでないとどんなに国語力つけてもボロが出る
テクニカルタームみたいなもんだし

まずは>>792が目標か

>>797

これは…
>>781以上に数学の苦手な人か？
背伸びして用語だけ調べたのか？

>>799
自分でも言ってることがおかしいと思うんだが、>>781がよく分からなくてね

>>797 そうそう。それを、期待値の問題に変えたかった。

>>786
＞だから、「頂点６の六面体ってどんなの？」って、題意の立方体そのもの鹿「あり得ない。
ってのは、どういう意味なの？
立方体は頂点が８個あると思うんだけど……

>>799
ちなみに、お前は何がおかしいと思ってるの？

>>799
一応、どこら辺が数学苦手だと感じたのか説明してほしい。
ちなみに、言うまでもなく>>797の目的は>>781の俺的意訳であって、出題じゃないんでね。
それを踏まえたうえで説明してほしい。一応>>781本人は>>801で正しいといっているので、
俺の解釈に誤りはなかったわけだが……以上２点繰り返すと

・ 出題や解答が目的ではなく、あくまで>>781の翻訳が目的
・ >>801にて、>>781本人が正解であると言っている。

これらを踏まえて、どこら辺がおかしいと感じたか説明してもらえると助かる。
一応、目的から逆算すれば、ある意味完全正解だったわけだけど……（>>801）

ちなみに、どう考えても確率は明らかにｘｘだろ、的な回答は期待してない。
それは分かった上で>>797を書いているので。

問題文に不備があるからって攻撃的になるのはやめろ

あーだめだ・・・。１０年数学やってなかったから、ボロボロだ。
英語も、中学レベルの単語のスペル忘れるし・・・脳細胞死にまくり・・・

>>804
期待値の問題だったのに
期待値のカケラもない

これこそまさに>>801が言ってるね

それに、「確率バージョンにする」と宣言して
期待値の問題を自分でシンプルにしすぎておいて
「簡単すぎる気がする」はさすがにないと思うな

翻訳が目的なら問題の勘所を曲げるのはおかしいからね
もっとも>>781自身が出題意図を明確に持ってないから仕方ないといえば仕方ないが
それにしても>>781と同じくらい数学に対する感覚が鈍くない限り
ちょっとありえないと思う

>>789とか>>794は性格悪すぎだろう。人を見下すのが楽しいか？

>>794は誰か知らんが>>789は確かに人格否定しすぎだったね。言葉もすぎるかもしれない

ただ、出題者が出題意図もろくに持ってない投げっぱなしの上
指摘されてもどこがおかしいか気付けないようじゃ
あきれられたり見下されるのは仕方ないんじゃないかねえ。
>>786がなければここまで呆れ果てることはなかったと思うんだけど。

まあいいじゃないですか
807だって失敗だったと認めてるんだし
他人がズルズルとスレ違いの話題をひきのばして傷口を広げることはないでしょ

どうでもいいから>>780やってくれよ

ある自然数 x について、

===========================================
x が偶数であれば、x/2 を求める。
x が奇数であれば、(3x+1)/2 を求める。
===========================================

上記動作において、求めた数をxに置き換える。
そして、上記動作を永遠に繰り返す。

最初のxがいかなる自然数であっても、
上記動作を繰り返すと必ず、いつかは、x が1となることを示せ。

>>814
ヒントをくださいｗ

>>809
まずは出題者の意図を理解することが目的なのに……
自分でズレたことを言ってる自覚はないのか？

>>780

＞Lが円から切り取られる弦の長さが整数
「円から切り取られる弦」は２つあるんだけど、どっちの長さが整数？どっちでもいいの？

>>816
本人かな？
何がズレてるのかわからない人にとっては
何をズレてるといわれてるのか自覚できないってやつだね。
平行線かなぁコレ。

では出題者>>801の意図とはなんですか？
理解していますか？

>>817
気はたしかですか？

>>816

ごめんもう許してｗ

実は、某所で見つけた問題（過去問ではない）を拡張させようとして、間違った・・・

上塗りしすぎっしょ

あ・・・弦を弧と読んでしまったｗ

>>818
理解していない。
俺が>>797を書いた時点や、今の段階では情報が少ないため、断定できないが正しい。
ゆえに>>797を書いて、理解の助けにしようと考えた。

お前さんがもし>>809なら、逆になぜ、勘所がどーこーと分かったのか聞きたいところだ。
極端な話をすれば、出題時点では、781本人が書き間違いなどのミスをしている恐れすらありえるんだぞ。
その状態で、何が勘所かを判断する十分なソースがそろっていると判断したことのほうが不思議で仕方ない。


と書いているうちに、本人から>>820で出てきたな。
お前こそ、理解してたか？

と思ったら、>>820は微妙に違うね。
まーいっか。

x^2 - [y]^2 = 20.09
y^2 + [x]^2 = 2009
を満たす実数x,yを全て求めよ。

>>780
直線の式をy=ax+m(m∈Z)とおく。
放物線とLで囲まれる面積S∈Nはこれらの交点の二つx座標α,βを用いて
S=1/6*(β-α)^3=1/6*((α+β)^2-4αβ)^(3/2)
=1/6*(a^2+4m-20)^(3/2)
⇔6S=(a^2+4m-20)^(3/2)(*)
a^2+4m-20> 0が放物線とLが異なる2点で交わる条件であることに注意しておく。

円で切り取られる弦の長さをl∈Nとする。
原点とLの距離が|m|/√(a^2+1)だから
(l/2)^2=2-m^2/(a^2+1)⇔a^2=4m^2/(8-l^2)-1(**)

ここで0<l<円の直径=2√2<3なのでl=1,2なので二通りに場合分けして考える。

1)l=1のとき
(**)よりa^2=4m^2/7-1　これを(*)に代入すると
6S=(4m^2/7+4m-21)^(3/2)
⇒36S^2=(4m^2/7+4m-21)^3
左辺は整数なので右辺も整数で右辺の()内も整数（∵整数でない有理数のベキもまた整数でない）
よって4m^2/7は整数でGCD(4,7)=1なので整数Mを用いてm=7Mとかけ、
36S^2=(28M^2+28M-21)^3 となるが左辺は偶数、右辺は奇数で不合理である。

2)l=2のとき
(**)からa^2=m^2-1 これを(*)に代入し
6S=(m^2+4m-21)√(m^2+4m-21)
ゆえに√(m^2+4m-21)は有理数、つまりm^2+4m-21は有理数の二乗である整数であるから、これは平方数である。
正の整数kを用いてm^2+4m-21=k^2⇔(m+2)^2-25=k^2⇔(m+2-k)(m+2+k)=25
これより容易に(m+2-k,m+2+k)=(1,25)⇔(m,k)=(11,12)だけ適することがわかる。
このときa^2=m^2-1=120からa=±2√30

以上からy=±(2√30)x+11が求める直線の式である。

もうそろそろウザイんで俺もやめにするが、念のために一つ
>>797で簡単すぎると書いたのは、期待値バージョンでも簡単だと書いたのよ
念のためね

ま、かきまちがえたのはすまんかった

>>814
コラッツ予想だっけ？数論の超難問だよ。

コラッツ予想は解けるわけないが、少しもじるだけで高校生でも解ける問題に変わるのでたまに出題されてる。
けど、灯台レベルじゃ出てるのを見たことがない。

だれか、>>791 解かない？
簡単すぎてスルーされてる？

専用スレがあった気がする。

>>823
何を理解しろというの？

結局わかったのは>>823が出題失敗してたってことだけでしょ。
最初から指摘してたけど。

＞逆になぜ、勘所がどーこーと分かったのか聞きたいところだ。
ここってどういうスレでしたっけ？
数学の問題って、どういうコトをさせたくてそういう問題にしたかという
背景やストーリーや意図がちゃんとあるもんだと思うんだけどね。
そういうこと気にする意識すらないの？
（なさそうだから>>799のように感じたわけだけど）

あれば出題者が失敗してるのくらい誰でもわかるところじゃないかなあ。
よほど数学に疎いか、まだその単元になじんでなくて出題意図まで考えるところまで気が回らない人でない限り。
ミスでどうこうなる類の失敗じゃないでしょ。

でも失敗かどうか判断もできないから意訳などという無意味な>>797を書き込んでしまったんだろうし
いまだに>>823みたいなこと言ってると。


つーか>>820がいやがってるのにまだスレ違いの内容続けたいの？
ここは>>797を啓蒙するスレじゃないんだけど。

>>828

あれ、そうだっけ。
だとしたら、

>>829
で言ってる＜少しもじるだけで高校生でも解ける問題に変わるのでたまに出題されてる。＞
ってのを前に見たかもしれない。

2008人の男子と2009人の女子が円周上に等間隔に座っている。
このとき間にちょうど1000人の人(男女どちらでもよい)が座っているような2人の女子の組が存在することを示せ。

>>826
正解。やるね〜。難易度どうだた？
ちなみに作るとき、円の半径をいくつにするかとか放物線をどうするかとかかなり手探りして、
それなりに解ける問題としてまとまったときは嬉しかった
「図形と方程式」「整数問題」の融合でした。

>>835
放物線や円の方程式がシンプル(大きな数字を使っていない)なわりに
答えが本質的に一通りに定まったから個人的にはかなり良問だと思った。
難易度的にも東大入試としてちょうどいいと思う。

作問のアイディアはいくつか出てきても解ける問題にしようと思ったら見た目が汚くなったりして
なかなかキレイな問題を作るのは難しいよね。

>>834
4017と1000が互いに素で
あとは鳩の巣だな

>>835
手探りｗ

>>836
良問と言ってくれると嬉しいぜw

まあ俺東大落ちwww和田政経(数学受験)wwwだから大したことないけどwwww

またなんか思いついたら来るﾉｼ

>>837
1000？互いに素？

>>834
2009年の問題にしたいのか知らんが
女子を何人まで減らせるかとかいう問題くらいにしないとつまらんでしょ

x,y,zはどの2つをとっても互いに異なる整数であり、x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。

>>841
x,y,zのいずれかが0だとxyzで割るが定義されないのでどれも0でないとする。
xyz|yx^2+zy^2+xz^2
より
x|yx^2+zy^2+xz^2⇒x|zy^2
GCD(x,zy^2)=1よりx=±1でなければならない
同様にしてy=±1,z=±1
逆にこのとき条件は満たされる。
いずれの場合も
a=x
b=y
c=z
とa,b,cを定めればx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわされるので示された。

>>842

｜
と
GCD
っってどういう意味？

>>843
普通、整数a,bに対して
a|bでaがbを割り切ること
GCD(a,b)でaとbの最大公約数(Greatest Common Divisor)を表す。

>>781
立方体の頂点をABCD-EFGHとする。(1)(2)(3)では点Aを選ぶ、(4)(5)では点Aを選ばないとして一般性を失わない。
(1) AB,AD,AEの長さ1が3通り、AC,AF,AHの長さ\sqrt{2}が3通り、AGの長さ\sqrt{3}が1通りなので期待値は
(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})/7

>>842
x=1,y=4,z=2の時
xyz = 8
yx^2 + zy^2 + xz^2 = 4*1^2 + 2*4^2 + 1*2^2 = 4 + 32 + 4 = 40

>>846
「どの2つをとっても互いに異なる」
を
「どの2つをとっても互いに素」
って読み間違えてた。もっかいやってみます。

続き
(2) ABCタイプは9通りで面積1/2、ACEタイプは面積\sqrt{2}/2で9通り、ACHタイプは面積\sqrt{3}/2で3通り。
(一辺aの正三角形の面積は\sqrt{3}a^2/4なので)
期待値は (3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})/14
(3) 4点が同一平面上にあるとき、ABCDタイプは3通り、ABGHタイプは3通りで何れも体積0。
ACFHタイプは体積1/3で1通り、ABCEタイプは体積1/6で27通り、ACHGタイプは体積1/6で1通り。
期待値は(1/6*27+1/3*1+1/6*1)/35=1/7
(4) 選ばない点がABCタイプのとき、底面がAFGH、高さ1の錐体なので体積は1/3。場合の数は9通り。
ACEタイプのとき。FGH-BDは錐体を成さないので体積0。これは9通り。
ACHタイプも同様に錐体を成さず、3通りである。
期待値は(9*(1/3))/21=1/7
(5) 選ばない2点が立方体の辺AB,AD,AEのとき、体積は元の立方体の半分なので1/2である。
それ以外は錐体を成さないので体積0。従って期待値は(3*(1/2))/7=3/14

(3)の出典はは益田塾の阪大模試ですね。
http://88.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath3&c_num=96513

益田さん匿名になったんですね

有限項の正の整数列Aは次の条件を満たす。
条件：A(n+2) は A(n)をA(n+1)で割ったあまりである。（0＜A(n+2)＜A(n+1)）
ただし、A(n)がA(n+1)で割り切れる場合、A(n+2)は定義されないものとし、
このとき、「有限項の数列Aは長さがn+1である」と言うものとする。

0＜A(1)＜100、かつ、0＜A(2)＜100を満たすとき、数列Aの長さの最大値と、そのときのA(1)、A(2)の値を求めよ。

例）
A(1)=６０、　A(2)=36としたとき、
A(3)=24、A(4)=12となり、数列Aの長さは4である。

>>845
間違い。
同じ点を選んでもいいと設問にある。以下もだが。

>>848
（２）も０を無視していて期待値になっていない
（３）は０を無視せずカウントしている
一貫性がなくない？

（４）（５）錐体を成してない立体をカウントしないなら０もカウントしてはいけない
これは問題の不備だが。

x-y-z空間上に次の立方体がある。
-R≦x、y、z≦R　（ただし、R＞0）
この立方体の中に含まれていて、かつ、(x + y + z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)を満たす領域の体積をV(R)とおく。

このとき、lim[R->∞]V(R)/(8*R^3)　を求めよ。

これ極限って必要ですか

>>852
　x^(1/3) + y^(1/3) + z^(1/3) ≧ 0,
だが･･･

>>854
？

>>841回答着本

記号ΠはΣ記号を掛け算に置き換えたものである。
たとえば、Π[p≦x、pは素数]pはx以下の素数を全てかけたものであり、Π[p≦5、pは素数]=2*3*5=30となる。

このとき、x＞0に対し

3^x ＞ (Π[p≦x、pは素数]p)*(Π[p≦√x、pは素数]p)*(Π[p≦x^(1/3)、pは素数]p)*(Π[p≦x^(1/4)、pは素数]p)*……

を示せ。

P(N)をNの素因数のうち最大のものであるとする。
例） P(16)=2、　P(120)=5など。
このとき、２より大きい任意の自然数kに対し、ある互いに素な自然数a,d（d＞1）が存在し、
P( a*(a + d)*(a + 2d)*……*(a + (k-1)d) ) ≦ k
を満たすことを示せ。

例） k=3の時、a=2、d=7が条件を満たす。

先日ふと、マンコの数が気になったので数えてみることにした。
１マンコ２マンコ３マンコと私は順調にマンコを数えていった。
そしてそれがある数に達したとき突然異変は起こった。
それは、９９９７マンコ…９９９８マンコ…９９９９マンコ…と数えた後である。
９９９９マンコのあと、次の数を数えようとしたところ、なんと１マンコに戻ってしまったではないか！

不思議に思い、また最初から数えなおしたのだがまたしても９９９９マンコの次で最初に戻ってしまった。
その後数回繰り返し実験してみたが、結果は同様であった。
試しにチンポを１から数えてみたところ、そのような現象は起こらなかった。

この発見を次の学会で発表するつもりである。

コラッツ予想が解けたと聞いてとんできますた

このスレだけなのか昔からなのかわからないが
理系らしさがあまりかんじられないな、ここ。

>>341
問題に不備が多い

>>852
　(x,y,z) が 与式を満たす。　⇔　(-x,-y,-z) は与式を満たさない。
なので、対称性より
　V(R)/(8R^3) = 1/2.

857
素数pを1つ固定する。
　{1,2,3,････,x} の中に、 p^kで割り切れるものはあるが p^(k+1) で割り切れるものはない
とすると、
　与式の右辺は pをk回含む。
∴　与式の右辺はLCM(1,2,3,････,x)

>>863
上
略すならもっと略す
書くならもうすこし書く
略し方がありえない

下
論外

>>864
＞略し方がありえない
そうでもない

ま、わかってない証拠だろ

>>857
同じことだが････
素数p に対して整数 k_p を
　p^k ≦ x < p^(k+1)
で定めると
　(右辺) = Π[p≦x, pは素数] e^k = LCM(1,2,3,････, x)

なにがしたいのやら

>>841に誘導付けてみた

0でない整数x,y,zはどの2つをとっても互いに異なり、x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。

なお、以下では記号 | を 整数mが整数nを割り切るとき、m|nという意味で用いるものとする。

（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。

（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
このとき、自然数q,rが存在して、 p^q|x　かつ　p^r|y　かつ　p^(q+1) はxを割り切らず、　p^(r+1)はyを割り切らないとするとき、
q,rの関係式を求めよ。

（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。

＞0でない整数x,y,zはどの2つをとっても互いに異なり

普通こんな言い方はしない。
0でない相異なる整数x,y,zとかく。

>>870
すまん

0でない相異なる整数x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。

なお、以下では整数mが整数nを割り切るとき、記号 | を用いて、m|nと記す。

（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。

（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
このとき、自然数q,rが存在して、 p^q|x　かつ　p^r|y　かつ　p^(q+1) はxを割り切らず、　p^(r+1)はyを割り切らないとするとき、
q,rの関係式を求めよ。

（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。

もっと言われそうなので、適当に直しとくか


>>870
すまん

0でない相異なる整数x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。

なお、以下では整数mが整数nを割り切るとき、記号 | を用いて、m|nと記す。

（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。

（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
qを、p^n|xを満たす自然数ｎの最大値、rをp^n|yを満たす自然数nの最大値とする時、
q,rの関係式を求めよ。

（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。

文系スレと名乗った方がいいのかもしれない

誘導つけた途端に簡単になった。特に(2)はクリティカル

lim[θ→0](sinθ)/θ=1となることを示せ

sinθ=θ+O(θ^2)より明らか

>>791, >>830

(1)　「3」のつかない数は　　9^n 個、

a が3の倍数　⇔　aの各桁の数字の和が3の倍数。ところで、
　0,6,9 ≡ 0 (mod 3),
　1,4,7 ≡ 1 (mod 3),
　2,5,8 ≡ 2 (mod 3),
う〜む、和が3の倍数となる頻度は、どう考えても1/3 だろうなぁ。という訳で、
　(1/3)(9^n)

(2) 「3」の付く数は　10^n - 9^n 個、

合計すると、
　10^n - (2/3)(9^n)　　････　答。

>>861
特に最近ここに投下される問題は文章に洗練さが感じられんな
てか問題文がきもい
しょうがないから俺が>>872の文を改善してやる

0でない相異なる整数x,y,zは最大公約数が1で、
xyz|yx^2 + zy^2 + xz^2である。
ただし、整数m,nに対し、mがnを割り切るとき、m|nと書く。
次の各問に答えよ。

（1） p|xなる素数pに対して、p|yzであることを示せ。
（2） p|x,p|yなる素数をpとする。
　　p^n|x, p^m|yを満たす自然数n,mのうち最大のものをそれぞれq,rとするとき、
　　q,rの満たす関係式を求めよ。
（3） x=ab^2、y=bc^2、z=ca^2を満たす整数a,b,cが存在することを示せ。

これでだいぶましになっただろ

>>878
肝心の答えは？

>>857
　x→∞ のとき、π(x)log(x)/x → 1,　　　　　　(素数定理)
∴ x>N　⇒　log(3) > π(x)log(x)/x,
　3^x = exp(log(3)x) > exp(π(x)log(x)) = x^π(x) = Π[p≦x, pは素数] x > Π[p≦x, pは素数] p^k = LCM(1,2,3,････,x).

x≦N のときは確認の必要が････orz

>>879
お前が答えれば？

>>881

。

>>878
文だけの問題でもないけどな
そんなもん何を言おうとしてるかが分かればいいわけだから
よほど違和感のある使い方でない限りどうでもいい
というかそこまで要求するのは贅沢だろう、ここでは

それより、そういう言葉使いとか、記号の使い方とかの目先にばっかとらわれてて
内容がほとんどないところが理系らしくない

>>884
どういう意味？　内容がないってのは、何に対して、どういう理由で言ってるんだ？

>>878
誘導なしなら良かったと思うんだが……少なくとも>>847は解けなかったみたいだし

>>885
理系ならわかるんじゃないか？
スレタイ見て期待した理系が解いた甲斐あったと思うような問題ってここにはほとんど無いよ。

「こういう発想を問う」「こういう工夫を求める」という部分が明確じゃない、
というか存在してないのが多い

数学センスのない人間が、とにかく自分にとっての難易度だけ上げてみたとか、
どっかにある良問を、その問題のポイントを踏まえずにただ数値などをいじってみた
（結果、ポイントがわかってないのに変えてしまって良問である所以が失われた）
解けるかどうかも分からず、でたらめに作ってただ投げっぱなしてみた
というような感じのが多い

>>887
>>886

>>888

なるほど文系スレだわ

>>889
自分の感覚だけで語るところが特にね

多分お前の人間性は2億年経っても否定しかできないと思う

正数xを与えて、
　　　　　　2 * a(1) = x、　2 * a(2) = {a(1)}^2 + 1、…、2 * a(n+1) = {a(n)}^2 + 1、 …
のように数列 a(n) を定めるとき
(1)　　x≠2ならば、a(1)＜a(2)＜…＜a(n)＜…となることを証明せよ。
(2)　　x＜2ならば、a(n)＜1となることを証明せよ。このとき、正数εを1-(x/2)より小となるようにとって、
　　a(1)、a(2)、…、a(n)までが1-ε以下になったとすれば、個数nについて次の不等式が成り立つことを
　　証明せよ
　　　　　　　　　　2 - x ＞ nε^2

与えられた実数係数の整式f(x)について
　　　　　　　∫[0→1] f(x)dx = 2、　∫[0→1] xf(x)dx = 3
となるとする。そのとき、
　　　　　　　∫[0→1] { f(x) - ax - b }^2dx
の値を最小にする実数aおよびbの値を求めよ。

定数でない整数係数の多項式 f(x) であってすべての実数 x に対して
f (f '(x))=f '(f(x))
をみたすものをすべて求めよ。

（見にくいから一応補足するとg(x)=df/dxとおいたときf(g(x))=g(f(x))ということ。）

a+b+c=3をみたす正の実数a,b,cに対して不等式

a/(1+2b)+b/(1+2c)+c/(1+2a)≧1

が成立することを示せ。

>>895
1+2a=x,1+2b=y,1+2c=zと置くと、
a/(1+2b)+b/(1+2c)+c/(1+2a)
=(x-1)/(2y)+(y-1)/(2z)+(z-1)/(2x)
=(1/2)*(x/y+y/z+z/x)-(1/2)(1/x+1/y+1/z)
≧(3/2)*((x/y)*(y/z)*(z/x))^(1/3)-(1/2)*9/(x+y+z)=1　（∵相加相乗調和平均の関係、x,y,z>0、x+y+z=9）
等号はx=y=z、つまりa=b=cのとき成立

(*ﾟ∀ﾟ)=3　ﾊｧﾊｧ

だからなんでこんなに問題文がきもいの？
もっと良い言い回しはないかとかもうちょっと短くできないかとか
より良い表現を目指して考えないの？
意味が伝わればいいと上の方で誰か言ってたが
このスレはただの問題投稿スレではなく
入試作問者になったつもりのスレなんだから
そこまで意識してもらいたい

>>894-895はよし

>>897
確認するが、>>892,>>893はダメか？

一応、実際の入試問題をかなり意識して書き込んだつもりなので、
問題文と内容、難易度などについて評価してもらえればうれしい。
そんなわけでよろしく頼む

>>897
とりあえず理由は良いから、問題文、難易度の２つについて５段階評価ぐらいで評価してくれ。頼む892と893ね

>>893 は去年の夏の東大実戦の理系第１問の数値替えだね。

>>892は難度は大数でいうところの（Ｃ寄りの）Ｂと見た
>>892は自分は一番最後の部分だけ解くのに手間取ってしまったけど、頻出問題だと思うし
大数のＢ評価の問題でもこれより難しい問題はあると思う
>>893は自分は難度Ａ評価で、解いてみたあとの感じが難度Ａの問題と変わらなかった

>>892
71年東大の第二問そのまま。

>>893
これも71年東大の第三問そのままだね。
東大の過去問以外で出題してくれると嬉しいんだけど。

>>896
> =(1/2)*(x/y+y/z+z/x)-(1/2)(1/x+1/y+1/z)
> ≧(3/2)*((x/y)*(y/z)*(z/x))^(1/3)-(1/2)*9/(x+y+z)

最初の項にAMGM使ってるのはわかるけど後の項の
-(1/x+1/y+1/z)≧-9/(x+y+z)
はどうやってるの？

>>897の気持ちはわかる。
問題文に違和感があると少しだが解く気を滅入らせられる。
まぁ解きたい人が解けばいいし、問題文の表現なんかより問題の本質のが大事だから
俺は別に「変えてくれ」、なんて言わないけどね。

>>894
最高次数の項を a[0]x^n とおいて，両辺の次数を比較してn=1．
f(x)=ax+(a-a^2) (aは実数)となる，でいいのかな．

>>907
＞両辺の次数を比較してn=1

fが何次でも両辺の次数は等しくなると思うが・・・(degf=n>1ならdegff=degf'f=n(n-1))

>>894
解いてみた。あってるかわからんが。
http://www1.axfc.net/uploader/He/so/225293

n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような正の整数nをすべて求めよ。

>>910
誘導無しで入試に出すのはきついと思う。

n^{2011}+n^{2009}+1　は　n^2+n+1 で割り切れるので、
n^{2011}+n^{2009}+1　が素数ならば、　n^2+n+1 = 1 または　n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 である。
n^2+n+1 = 1 は正整数解を持たず、n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 の正整数解は n = 1 だけ。
逆に n = 1 のとき n^{2011}+n^{2009}+1 = 3 は素数である。
以上より、条件を満たす正整数は n = 1 だけである。

>>894
f(x) = (1/2)x^2 +b, (bは実数)

>>911
お見事

>>912
整数係数。
でも実数係数だったら解は求まるのかな？

>>911
何で割り切れるの？

>>914
n^2009(n^2+n+1)- (n^3)^670+1

>>897が核心ついたな

「入試作問者になったつもりのスレ」だから体裁のほうを優先的に気にして
中身は換骨奪胎や失敗作でも気にしない出題が多いと。
で、そこが気にならない人種だけが淘汰を免れて残ってると。

ハジケる幸せペニシリン・ロック

>>911
高１なら誘導なしは難しいかもな

京大ならありうるな

しかし、どんな誘導をつける？

(1)整式　x^3 - 1 を因数分解せよ
(2)自然数n、mについて　n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1 は　n^2 + n + 1　　でわりきれることをしめせ。

うーむ、イマイチ。こういうのも難しいな。

数学に熟練したやつなら誘導いらんだろ。
ベキ数の大きさからも因数分解できるのだろうと見当をつけられるはず・・

(1)n^{2011}+n^{2009}+1を割り切る定数でない整数係数多項式のうち最も次数の小さいものを一つ求めよ。

(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような正の整数nをすべて求めよ。

こういうのはどう？

k(≧2)個の連続する自然数の集合Sには、次の条件を満たすxが必ず含まれることを示せ。
条件：xはSの他の要素全てと互いに素である。

>>924
大嘘

マジか？　すまん勘違いしてた。

>>924
>>925

じゃあ、

＝＝＝
k(≧2)個の連続する自然数の集合Sには、次の条件を満たすxは存在しないことを示せ。
条件：xはSの他の要素すべてと互いに素である。
＝＝＝
だとどうとくの？

>>921

（１）これおれ計算間違いか勘違いしてんのかなあ。。。

f(x)=x^3 - 1とおくと、f(1)=0
よって、
f(x) = (x-1)(x-α)(x-β）とおける。
計算すると、x^3 + { -(α＋β）-1} * x^2 + {αβ＋(α＋β）)} *x + αβ
ところでx^3 - 1 なので、{ -(α＋β）-1} ＝ {αβ＋(α＋β）)} ＝０、αβ=1

これを満たす実数α、βは存在しない。よって因数分解できない。
==============---
てか、グラフからあきらか？？？

>>927
それも誤り。

>>927
否定文の作り方がおかしい。924の否定は

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
あるk≧2について、
次の条件を満たすxが存在しないような、
k(≧2)個の連続する自然数の集合Sが存在する。
条件：xはSの他の要素すべてと互いに素である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

だぞ。

存在すんの？

>>924
某所の問題に似ているなk=16で固定なら、そこと同じだ。

>>930
>>931
具体的にはk=17で題意のxが存在しないようなSを構成できる。


S={a_1,a_2,...,a_17}とおいたとき
a_1≡0 (mod 2, mod 5 mod 11)
a_2≡0 (mod 3)⇔a_1≡-1(mod 3)
a_3≡0 (mod 7)⇔a_1≡-2 (mod 7)
a_4≡0 (mod 13)⇔a_1≡-3 (mod 13)

となるようにa_1を設定できれば十分だが、中国剰余定理からこれを満たすa_1は存在する。

27830+30030k

GJ

ここの人たちって何してる人なの？大学生？予備校講師？

予備校教師がこの時間からｒｙ

東大って群環体論的な問題出したことある？

時期によるんじゃね？
昔は群論って高校でやってたって聞いたことあるし。その時代は普通に出てただろ

>>921
(1)　x^3 -1 = (x-1)(x^2 +x+1),
(2)　x^m -1 = (x-1){x^(m-1) + x^(m-2) + ････ + x +1},
　　x=n^3 とおくと、
　　n^(3m) -1 = (n^3 -1){n^(3m-3) + (n^(3m-6) + ････ + n^3 + 1}
　　　　　　　= (n^2 +n+1)(n-1){n^(3m-3) + n^(3m-6) + ････ + n^3 + 1},
　与式 = (n^2 +n+1)n^(3m-1) - {n^(3m) -1}
　　　 = (n^2 +n+1){n^(3m-1) - (n-1)[n^(3m-3) + ････ + n^3 +1]},

うーむ、どこが難しい？？

>>940
いや、難しいといっているのは、>>910へよい誘導をつけること。
(1)文字nの整式n^3-1を因数分解せよ。
(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような正の整数nをすべて求めよ。

>>922さんの言うとおりいらんのかもね。

>>939
共通１次が始まるまえ、東大が自前の１次試験をしていた頃の一次試験の数学に
群論の「ぐ」の字もでてこないが、こんなような問題がでたことはある。
この通りの問題がでた、ということではない。もう少し凝っていたような気がする。

6個のxの関数　f_0(x)=x, f_1(x)=1/x, f_2(x)=1-x, f_3(x)=x/(x-1), f_4(x)(x-1)/x, f_5(x)=1/(1-x)
がある。
□の中に適当な数字(0,1,2,・・・,5)を入れよ
f_1(f_1(x))=f_i(x)　のとき、　i　は　□　である。
f_2(f_3(x))=f_j(x)　のとき、　j 　は　□　である。
f_4(f_k(x))=f_5(x)　のとき、　k　は　□　である。
f_m(f_5(x))=f_3(x) のとき、　m　は　□　である。

　

(1)x^2＋x＋1＝0の2つの解をa,bとおくとき、x＝a,bに対してx^2011＋x^2009＋1＝0になることを示せ。
(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような自然数nをすべて求めよ。

>>928
(x-1)(x^2+x+1)と因数分解できる
そこまで因数分解するつもりなら複素数まで含めて因数分解してもいいと思うがなｗ

>>944

おいら、あほだったｗ

高校数学課程に複素数が存在したころのニンゲンなもんで、
反射神経的に、(x-1)(x-α)(x-β)としてしまったｗ

こういう因数分解の問題って普通
実係数の範囲か複素係数の範囲のどっちで因数分解するか指定されてないか？

されない。

>>895

　f(x) = 1/(1+2x),
は単調減少かつ下に凸。よって Jensenより
　(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ (a+b+c)f((ab+bc+ca)/(a+b+c)) ≧ 3･f(1) = 1,
∵　(ab+bc+ca)/(a+b+c) ≦ (a+b+c)/3 = 1,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/891-893
不等式への招待３

そういえば数検一級の問題で実数係数の範囲で因数分解させる問題が出題されたが、ネットで公開された模範解答が整数係数の分解まででストップ。ここの板の住民が文句を言っても直らなかったため、秋山仁に直訴して模範解答を訂正させたなんてこともあった。

>ここの板の住民が文句を言っても
ちゃんとした手続きは踏んだのか？
ここでぼやいてるだけで訂正されるほど世の中おめでたくないぞ

当然ここで言ってるだけで訂正されるわけないでしょw
メールで協会に指摘したり、それに対し向こうが開き直ったりの経過報告もされていたよ。
で、結局下にいくら言っても話にならんからと仁さんに直訴になった。
それで直さなきゃマスコミ使うかなんて話も出てた。

>>921 の（２）を、
（１）を無視して、以下のように解こうとしたけど、解けそうで解けなかった・・・。
無謀でしょうか？ by もと文系。

f(n,m) = n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1　, g(n,m) = n^2 + n + 1 とする。
（１）n=1,m=1のとき、n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1 = 3、n^2 + n + 1 = 3　よって題意は成り立つ。
（２）n=p,m=qのとき、題意が成立すると仮定する。（p.qは自然数）

この仮定のもとで、下記（２−Ａ），（２−Ｂ）がともに成り立つ

（２−Ａ）f(p,q+1) は g(p,q+1)で割り切れる。
（２−Ｂ）f(p+1,q) は g(p+1,q)で割り切れる。

よって、数学的帰納法により題意は示された。

===
高校生のとき、このやり方で何回か模擬試験を解いた。

任意の自然数kに対し、a^k - b^k　が自然数になるとき、a,bは自然数であることを示せ。



プラスにした場合は明らかに……

>>953
a=2,b=-1

すまん整数だった

任意の自然数kに対し、a^k - b^k　が整数になるとき、a,bは整数であることを示せ？

ume

>>956
a^k - b^k　は正の整数とかにしなきゃ問題にならんだろ

>>952
>>943 (1)のようにすれば一発です。

>>953
a,bは何

√(961) = 31 のｱｲｽｸﾘｰﾑっ

すまん寝ぼけまくってた

a,bを異なる実数とする。
任意の自然数kに対し、a^k - b^k　が整数になるとき、a,bも整数であることを示せ。

k=1 a=3/2 b=1/2

しかもそれｋ＝２でも成り立つな。

>>946
普通は指定されてない場合は実数の範囲で行う
複素数は極形式表示を考えると一意に定まらないからじゃないかな．a+biのように表示すると一意だが．

>>963-９64
kは「任意」じゃないの？ｗ

簡単な考察を行うことにより、
a＝(px＋r)/p,b＝(py＋r)/p　(p,x,y∈Z,gcd(p,r)＝1,p＞0,0≦r＜p)
という表示を得る。

任意の自然数mについてa^m−b^m∈Zだから、
a^m−b^m＝{(px＋r)^m−(py＋r)^m}/p^m∈Zとなり、
よってp^m｜{(px＋r)^m−(py＋r)^m} を得る。
｜の右側＝Σ[k＝1〜m]mCkp^kr^(m−k)(x^k−y^k)
＝(x−y){p^m(x^m−y^m)/(x−y)＋Σ[k＝1〜m−1]mCkp^kr^(m−k)(x^k−y^k)/(x−y)}
であるから、結局 p^m｜(x−y)Σ[k＝1〜m−1]mCkp^kr^(m−k)(x^k−y^k)/(x−y)
となる。少し変形して
p^(m−1)｜(x−y)Σ[k＝1〜m−1]mCkp^(k−1)r^(m−k)(x^k−y^k)/(x−y)　…(*)
となる。ここで、s｜pなる素数sを任意に取るとき、
g ：＝gcd(s,Σ[k＝1〜m−1]mCkp^(k−1)r^(m−k)(x^k−y^k)/(x−y))＝gcd(s,mr^(m−1))＝gcd(s,m)
となる(∵gcd(p,r)＝1よりgcd(s,r)＝1)。よって、gcd(p,m)＝1なる自然数mを取れば、
そのときgcd(s,m)＝1となるので、g＝1となる。これはs｜pなる任意の素数sで成り立つ。
よって、gcd(p,Σ[k＝1〜m−1]mCkp^(k−1)r^(m−k)(x^k−y^k)/(x−y))＝1
となり、これと(*)より、p^(m−1)｜(x−y) となる。これがgcd(p,m)＝1なる任意の自然数mに
ついて成り立つから、x−y＝0あるいはp＝1でなければならない。x−y＝0のときはa≠bに
矛盾するので、p＝1となり、このときa＝x＋r,b＝y＋rとなって、a,bともに整数である。

>>965
すまん、あほな勘違いしてた

ume

>>911
何で割り切れる　という事がすぐ分かるの？

>>969
>>943

>>969
すぐに分かるというわけではない
数字が大きいのと，素数という条件から因数分解出来ると考えるのが自然で試しに
(n±1)(nの2010次式)と因数分解することを試みる．(以下整数係数で考える)
数定理よりn=±1で与式は0となるはずだがならないので却下．
次に次数の低い2次式を考えると
n^{2011}+n^{2009}+1＝(n^2+an±1)(nの2009次式)
という形となる．これがどのnでも成り立つ整数aを見つければよい．
試しに＋側を取り，n=±1を代入すると
3＝(2+a)(整数),-1＝(2-a)(整数)
となることからa=1と取れ，結局与式は(n^2+n+1)(nの2009次式)と因数分解出来る．

>>943は(x-a)と(x-b)で割り切れる→(x-a)(x-b)＝x^2＋x＋1 で割り切れるって方針だね
>>910のままだと旧帝向けだな(なんか九州大学とか名古屋大学が好きそう)

>>971
>数定理よりn=±1で与式は0となるはずだがならないので却下．
因数定理より〜ね

x^2＋x＋1＝0が成り立つxについて、x^3＝1が成り立つから、そのとき
x^2011＝x^(1＋670*3)＝x
x^2009＝x^(2＋669*3)＝x^2
となってx^2011＋x^2009＋1＝x＋x^2＋1＝0となる。

勘が鋭ければ1の3乗根ωについて知ってれば
ω^3=1,ω^2+ω+1=0から
ω^{2011}+ω^{2009}+1
=(ω^3)^{670}*ω+(ω)^{669}*ω^2+1
=ω+ω^2+1=0となって

n^{2011}+n^{2009}+1が(n-ω)(n-~ω)=n^2+n+1で割り切れると見抜けるでしょう。

ボケッとしてて勘が鋭くなくてもも>>971で解けるから誘導無しでおｋだな
まとりあえず x^2009(x^2+1)+1 と括って何か(裏が)あるなと思えるようになって欲しいが

>>962

中学生or高１or２的な考え方で、方向性を変えないまま突っ走って解こうとしてみた・・・けど、あとちょっと？で解けない。。。

与条件において、「a^k - b^k　が整数」⇔ 「b^k - a^k が整数」なので、
a,b の対称性と、与条件の a≠bにより、a > b のときについて、題意を示せば十分・・・（Ａ）

また、一般的に、相異なる整数同士の「和」は整数であり、相異なる整数同士の「差」は整数である。

そこで、x > y なる任意の整数x,yがあるとき、以下の事実がなりたつ。

x+y, x-y はともに整数である・・・（１）

∴ (x + y) + (x - y) = 2*x , (x + y) - (x - y) = 2*y はともに整数である・・・（１）
∴ 2*x + 2*y = 2*(x + y) , 2*x - 2*y = 2*(x - y)はともに整数である・・・（２）
∴ 2*(x + y) + 2*(x - y) = 4*x = 2*{2*x}, 2*(x + y) - 2*(x - y)=4*y=2*{2*y}はともに整数である・・・（３）
∴ 4*x + 4*y = 4*(x + y) = 2*{2*(x + y)}, 4*x - 4*y = 4*(x - y) = 2*{2*(x - y)}はともに整数である・・・（４）

以下同様に、帰納的に、
--------------------
任意の自然数 t について、
（１）、（３）により、2^t * x, 2^t * yはともに整数であり、
（２）、（４）により、2^t * (x + y), 2^t * (x - y)も、ともに整数である。
--------------------
・・・（Ｂ）

・・・つづく・・・

>>976 の続き。
さて、f(k) = a^k - b^k (kは整数)とおくと、予条件により、任意の自然数において、f(k) は整数。
すると、k>=2なる任意の自然数において
----------------------------------------------------------------------
f(k + 1) + f(k - 1) = a^(k - 1) * (k^2 + 1) - b^(k - 1) * (b^2 + 1) は整数である・・・（４）
f(k + 1) - f(k - 1) = a^(k - 1) * (k^2 - 1) - b^(k - 1) * (b^2 - 1) は整数である・・・（５）
----------------------------------------------------------------------
が成立する。
再度、整数同士の和は整数であり、整数同士の差も整数なので、（４）、（５）より、
----------------------------------------------------
2 * { a^(k + 1) - b^(k + 1) } は整数・・・（６）
2 * { a^(k - 1) - b^(k - 1) } は整数・・・（７）
----------------------------------------------------

以下同様に、加算、減算を繰り返し行うと、（Ｂ）により・・・
k>=2なる任意の自然数において
----------------------------------------------------
2^t * { a^(k + 1) - b^(k + 1) } は整数
2^t * { a^(k - 1) - b^(k - 1) } は整数
2^t * {( a^2 + 1) - ( b^2 + 1)} は整数
2^t * {( a^2 - 1) - ( b^2 - 1)} は整数 （tは任意の自然数）
----------------------------------------------------
が成立する。・・・（Ｃ）
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
ここから先、解けそうでとけない・・・。
（Ｃ）において、
　　　t = 1 のときを考え、
　　　2 * { a^(k + 1) - b^(k + 1) }は整数（kは2以上の任意の整数）
　　　2 * { a^(k - 1) - b^(k - 1) }は整数（kは2以上の任意の整数）
　　　2 * {(a^2 + 1) - ( b^2 + 1)}は整数
　　　2 * {(a^2 - 1) - ( b^2 - 1)}は整数
このあと、t やk に適当な数字を入れて、そいつを因数分解してみたり、剰余を考えたりしたけど、解けそうで解けない・・・。

>>976-977
>>966

>>974
>>973に全く同じことが書いてある。

二百五十六日。

レベル的には中学向けか

さしずめ「高校への数学」スレってとこだな

私は東大卒ですが、文科一類から理科三類までの並べ方にはちゃんと意味があります。
本当は偏差値もこの順になるように分けてます。
文科の場合は実際に１，２，３と大幅に易しくなっていくしとてもわかりやすいですよね・・・
理科の場合、論理的な思考が出来る知能の高い人が物理系研究者養成のための理一、そうでない人が生物系研究者養成のための理二・三，
その中でも末端のサービス業者養成のための理科三類が一番易しくなるように並べてあります。
また、三権に関わる文系を理系より先に置いて優越性を表示しています。
裁判官になれる人なら３日も勉強すれば医師国家試験で合格点取れます。
簡単なマルチョイで論述試験がある司法試験と比べたら屁のようなもの。
あの程度の試験に受かったくらいで他人を素人呼ばわりするのは傲慢ではないですか。
駒場の学生証番号は文一が１で始まり、文二は２，文三は３・・・理三は６で始まり、学生証番号もこの順になっています。私は１でしたけど。
何故か、偏差値が理三＞他科類なのでみんな勘違いしているけど、東大の創設者は社会的地位の順番に科類を並べました。
ただ、最近は医師の質も落ちていて本当に理三が一番易しくなると思います。昨年度の足切りは400点で全科類中最低。
本当は価値の低い医学部医学科を騙されて高い値段（偏差値）で買ったことにはご愁傷様としか言いようがないです。
ネットオークションでとんでもない落札価格になってることがありますが、あれと同じですね。でも、自分でお手付きしてしまったのだから文句言う資格無し。
今後の人生では貧乏くじを引かないように気を付けて下さい。そして自分の職能をしっかり果たして下さい。

koko ha nani sure desu ka ?

>>982
ググッたらいっぱいでてきた。
有名なコピペなのか？

>>981
なんか感じ悪い奴増えたなぁ……

>>982
東大の医学部は東大よりも歴史が古いのにｗｗｗ
とコピペにレスっとく

>>985
ほっとけ

こぴぺにマジレスするのもアレだが……
入学偏差値と大学の能力が釣り合わない所は確かに存在する。
しかし、東大理三は間違っても、そんな所ではない。
でも、確かにそんな所はある。でも、どこかは言わない……って、普通に調べてりゃ分かるわな

>>985
「高校への数学」甘く見ちゃダメだろ。
ああいうのを楽しんでる数学マニアの中学生と
非マニアの理系受験生だと

基礎知識は後者の方が安定してるかもしれないが
こういう場所では
>>981がけなし言葉になるほど前者が劣ってはいないだろ

あ、でも
「レベル的に中学向け」は明かにけなし言葉だな

二百五十七日。

nを自然数とする。
n*(n+1)*(n+2)が7以上の素因数を持たないとき、nの値を全て求めよ

ume

ume

n(n+1)(n+2)は連続した3つの整数の積より、6を因数に含む。
n=2kのとき。
1≦k∧n+2=2(k+1)≦6より1≦k≦2
したがってn=2,4
n=2k-1のとき
1≦ｋ∧n+2=2k+1≦6より1≦ｋ≦2
したがってn=1,3
よってn=1,2,3,4

>>994
正気ですか

ume

ume

ume

ume

ume

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