不等式への招待 第３章
〔問題895〕
正の実数a,b,cに対して不等式
a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,
が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895
東大入試作問者スレ１６
a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
正の実数a,b,cに対して不等式
a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,
が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895
東大入試作問者スレ１６
a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
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892 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 22:56:21
893 ：１３２人目の素数さん：2009/05/12(火) 02:26:44
>>891
ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,
ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,