★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/

2ゲト1乙

前スレ未解決問題その1

781:MASUDA◆wqlZAUTQF. 08/27(月) 00:08
1を少なくとも1つ含む自然数を小さいものから並べた数列
　1,10,11,12,…
を{a[n]}とする．
(1) A[n]=1/a[1]+1/a[2]+…+1/a[n]とする．n→∞のときA[n]は発散することを示せ．
(2) S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
T[n]=1+2+3+…+(a[n]-1)+a[n]
とするとき，
lim[n→∞]S[n]/T[n]を求めよ．

前スレ未解決問題その2

828:08/28(火) 14:58 [sage]
辺の長さを1,2,3とする直方体内部(表面含む)に一辺の長さがaの正方形Sがある。
aの最大値を求めよ。

前スレ未解決問題その3

942:08/30(木) 06:13
sin(tan1)とtan(sin1)どちらが大きいか

前スレ未解決問題その4

965:MASUDA◆wqlZAUTQF. 08/31(金) 00:18
2つの球面S[1],S[2]は交円Cをもつ．このとき，以下の条件を全て満たす直線Lが存在することを示せ．
(条件1) 円Cの内部(周を除く)をLが通過する．
(条件2) 直線Lと球面S[1],S[2]との交点4つは等間隔に並ぶ．

文系仕様の問題もあるといいな。解けるものもあるんだろうけど。

接平面の点を結んだ線だってばよ。

y=sin(tanx)-tan(sinx)
dy=-cos(tant)sec^2t+sec^2(sint)cost
dy0=-1+sec1<0
y0=0-tan1<0

>>8
それじゃ全パターンが網羅されない

1/an=1/10-1/19->1/10*9
bn>(10^n-1)/10^n=1-10^-n->1
Sbn->S1>n

sonzaishoumeidayo

>>3
n=10^kの場合を以下で考える。それ以外の場合は挟み撃ち。
(1) m桁(1≦m≦k)の整数で1を含まないものは8*9^{m-1}個ある。
それらの中で最小のものは20・・・0 (m桁)=2*10^{m-1}
よって、m桁の整数で1を含まないものの逆数の総和U(m)は
U(m)<4*(0.9)^{m-1}であるから、Σ[m=1,k]U(m)<40
すなわち，A[n]=Σ[i=1,n] 1/i -Σ[m=1,k]U(m)は発散。
(2) m桁(1≦m≦k)以下の整数で1を含まないもの(9^m個)の総和をV[m]とすると，
V[m+1]=9*V[m]+(0+2+3+・・・+9)*(10^m)*(9^m)
従って、V[k]=p*{(90^m)-(9^m)} (p=(44)/(81))
一方，T[n]=Σ[i=1,10^k] i=(100^k+10^k)/2
∴{S[n]}/{T[n]}={T[n]-V[k]}/{T[n]} → 1

だめだ。(2)の途中から怪しい。

別スレの問。流れてしまうのが見えるようなので、勿体ないから再掲。

７＾ｎの下４桁が２００７になるｎはどのような自然数か？

球を書く。線をさす。２等辺三角形を作り、中点と同じ距離を球の外側に線の上にとり、中点とその点を通る別の球を書く。これで構成がおｋ。

楕円でもできるよ。

7^n-2007=a10^4

>>8
それじゃ条件1を満たさんと思うが
だいいち、どちらの球も相手の球の中心を内部に含むと中心を通る接平面すら引けない

n=log(a10^4+2007)/log7

>>14
n=61+2007k (kは0以上の整数) かな？

>>5（＝前スレ942）
cos(x)≧1-x^2/2 なので，
sin(1)=∫_[0,1]cos(x)dx≧∫_[0,1](1-x^2/2)dx=5/6 > π/4 (∵π < 10/3)
であるので，tanの単調増加性より
tan(sin(1)) > tan(π/4) = 1 ≧ sin(tan(1))

よって tan(sin(1)) ＞ sin(tan(1))

>>15
辻褄合うように見えるけど直線の存在証明になってないだろ。なんで後から球が設定できるんだよ。
思うに球と球じゃなく平面上の円と円で存在証明ができれば十分。あとは座標設定した方が確実だ。

2 tsu no kyu ha dou ni demo naru kara sa

７０ｍの津波が秒速２００ｋｍで来たとき、その運動量を受け止めて単振動に変えるとき、何ｋｇの振り子が必要か。

>>24
他スレでやれ

△ABCにおいて∠BACの大きさを3等分する2直線と辺BCとの交点をM,Nとする．△ABCの形状によらず以下の不等式が成り立つような整数kの最小値を求めよ．
(AB^2+AC^2)/(AM^2+AN^2)＜k

>>14
m^100の下3桁は001です(mが10と互いに素の場合)．これをふまえれば
n=61+100k
かと．

http://83.xmbs.jp/checkmath/

>>27
お見事。と言うか、自分の書き込みミスの低レベルさが情けない。

>>3
(2)はm桁以下の数で1が現れないのが9^m個あって、その最大値が10^m-1
であることから、1が現れないものの総和は9^m*(10^m-1)未満
よって、0<T[10^m]-S[10^m]<9^m*(10^m-1)
これとT[10^m]=10^m*(10^m+1)/2 より、T[n]/S[n] → 1
という感じでよろしいのでしょうか？

>>29
合ってます。

>>30
今も塾講師やってるんですか？

今はやってません．非常勤でお手伝いすることはありますが，別の事業をやっておりますゆえ．

幾何的解法誰か教えて。

976 １３２人目の素数さん sage 2007/08/31(金) 07:33:29
点Oを中心とする、半径1、中心角4θ（0<θ≦45°）の扇形OADの弧上に、
弧AB=弧BC=(1/2)弧CD
となる点B, Cをとる。
線分ACと線分BDの交点をPとするとき、長さの比AP/PCをθを用いて表せ。

マスダｗｗｗｗ

＞　一方、漫画・映画ともに私が傑作と認めているのが『DEATH NOTE』。
＞特に原作は途中からかなり難解な内容となり、論理的に考えねばついてはいけまい。
＞映画は原作に比して易しくしてあり、ストーリーもだいぶ変えられていたが、
＞なかなか楽しめるものだった。

＞　が、今日やっていたアニメ版は失敗としか思えないような…
＞原作に忠実であったが、なんと、Ｌが死んで終わりという、消化不良というかバッドエンドというか、
＞見終わって「嘘ぉ…」と思わず口にしてしまった。日テレ大失敗。

>>34
ぶっｗｗｗ
MASUDAに親近感わいたｗｗｗ

180が最大、高さをｄとすると真ん中は６０度、分母は2d^2/cos^2(a/2)、
分子は2d^2/cos^2(3a/2)

デスノートでＬを殺す方法
１　ノートでおもいっきしなぐる
２　ノートを丸めて口に詰めて鼻をつまむ
３　ノートに毒薬を塗っておく
４　ノートのなかに自分の名前を書くとキラがわかるとかく

(x,y)=r(cost,sint)->コンフォーマルマピングで扇をちじめてやる

半円を扇にマッピングする変換を考える
半円でばいせくとの交点と比を求める
扇にマッピングする

(x,y)=r(cost,sint)->(u,v)=r(cosat/pi,sinat/pi)

入試の回答って塾のやつはちからわざで解くのが多いけど、そうじゃないのに。

何がそうじゃないの？
ほんとはどうなの？

大学は入試の模範解答を出したほうがいいね。採点ミスの防止にもなるし。

>>36
？

Σ[k=1,2008]k^2008を7進法で表したときの各位の数の総和を6で割った余りを求めよ．

5 デスノートに縦読みで名前を書かせる。

14a-H-3 A=15核の正パリテイ準位

k^n mod 6
0,1,2,3,4,5,0
0,1,4,3,4,1,0
0,1,2,3,4,5,0
...
0,1,4,3,4,1,0
1+4+3+4+1+0+0,...

7^n mod 6=1
2008^2008*(2008^2008+1)/2 mod 6

1*(1+1)/2=1

>48-50
各位の総和じゃ？

Sk^2008=San7^n mod6=San
1,2,3,4,5,0 odd
1,4,3,4,1,0 even
1,2,3,4,5,0 odd
S(1+2+3+4+5+0)=S(3) mod 6
2008/6=339+1
339*3+1=3+1=4 mod 6

Sk^2008=San7^n mod6=San
1,2,3,4,5,0 odd
1,4,3,4,1,0 even
1,2,3,4,5,0 odd
S(1+4+3+4+1+0)=S(1) mod 6
2008/6=339+1
339*1+1=3+1=4 mod 6

x^x=3 mod 7

x,yは整数とする。
x^3-3xy+y^2が平方数となるようなx,yの値を求めよ。

x=0

非線形でおふぁんていん問題

nを正の整数とする．n個の整数a[1],a[2],…,a[n]があり，
　0＜a[1]＜a[2]＜…＜a[n]
を満たす．このn個の整数の中から選んだ異なる2数の和として考えられる値は全て異なり，かつ，それらを小さいものから並べると等差数列となる．
(1) nの最大値を求めよ．
(2) 0＜a[1],a[n]≦100であるとき，考えられる(a[1],a[2],…,a[n])の組み合わせは何通りあるか．

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdを示せ
ただしα（β＋γ）＝αβ＋αγの式を用いてはならない

元は非可換なんだろうか？

>>59みたいな問題を見ていつも思うのだが、「○○を使わない証明」って
どう定義するの？単に、証明中に○○が入ってなければいいの？これだと、
証明の表現を少し工夫するだけでOKになることが多く、トリビアル。
あるいは、○○と同値なものは全て使えない、とすると、あまりにも
荒唐無稽になってくるし。

（β＋γ）α＝βα＋γα　を使えという話？
ばかじゃねーね？

>>59
そもそもそんな制限をつけた問題を東大が出すわけがないだろ

>>63
同感です。内容よりもまず出題形式が東大としてはありえませんね。

そんなこと言うなら益田さんもちょっとは東大っぽい問題を出してください。

というかさっさと問題集作ってください。

いつもの馬鹿だろ

a+b<c+d
1,2,4,7,12,20,

a,a+d,a+2d,a+3d,...
e,j,d,2d,3d,...
a=e+j

>>65
ならお前が問題作ってみるか？
なんだかんだで結局このスレで一番東大に近い問題作ってるのはMASUDAだ
特に10スレ目入ってからはMASUDA以外のやつの問題は論外

>65
漏れに言わせりゃ>26とか>58は十分東大っぽいぞ

いや益田さんの能力と功績は認めるし、自分にはそんな能力はないんだけど、
また数列かよ、また整数かよ、また抽象的な証明問題かよ、って感じで食傷気味なので、
ちょっとぜいたくを言ってみただけです。

自分の中での「東大的問題」っていうのは空間で立体が移動したり、影の面積を求めたり、
動点が曲線を描いたり、現実に即した確率を求めたり、そういうイメージなので。
あくまでイメージですけど。

まあ益田さんがそういう問題は嫌いってのと、
このスレの住人の嗜好をよく分かった上で出題してるってのとがあって、
こういう傾向なんでしょう。
誰も立体の体積なんか計算する気にならないもんね。

とりあえず問題集期待してます。

空間は嫌いじゃないですよ。ただ、東大の空間・立体は質が高いので、なかなか問題が作れないのです。

x^2+y^2<=r^2
y^2+z^2>=r^2
z^2+x^2<=r^2
V(x,y,z)=?

rsintdwrdtdr
r^2sint^2<=r^2
r^2sint^2sinw^2+r^2cost^2>=r^2
r^2cost^2+r^2sint^2cosw^2<=r^r

>>65,71

ここのＭＡＳＵＤＡさんはどんな問題集を出すの？

>>73
東大過去問そのものです。
>>75
なぜそんな話が出てるのやら…

>>76

東大入試予想問題集を期待しているのでしょう。

a^2-a mod 10000
a=1 mod 2
a>2,<10000

lim xn+1=.5xn(1+e^-2xn+2), x0=a<.5

x^2+y^2+z^2<=r^2
y^2+z^2+t^2>=r^2
z^2+t^2+x^2<=r^2
t^2+x^2+y^2<=r^2
V(x,y,z,t)=?

z>a,w=Z-(z^2-2z)
max ww^

>>78-80
何やってるか知らんがスレ違いは失せろ

原点Oを中心とする球面上にいくつかの点があり，どの異なる2点P,QをとってもPQ≧OPを満たす．このような点を最大でいくつとることができるか．

f=logx/x
d^nf=(an+bnlogx)/x^n+1

予想問題集が出たらその問題は出ないだろう。
入試問題は直前まで最低５セットは準備する。
貞子でもいない限り５セット全部予想することはない。

仮に１０個あると無理数角度でオフセットできるから無限じゃないの？

>>58
(1)公差1で考えても一般性失われず、n≦5

>>86
んなわけあるか
どう考えても有限個だろ

球面上にその距離／２を半径にもつ円をパッチして埋めるパッキング問題だろ。

半径をr,P(a,b,c),Q(d,e,f)として、
2(ad+be+cf)<=r^2を見たす組み合わせの総数だろ？

条件忘れてた。
a^2+b^2+c^2=r^2,d^2+e^2+f^2=r^2を満たすね。
いずれにせよ半径を設定しないと無理。

座標にしたらわけわかんなくなる

具体的に出すのは無理じゃない・・？

半径ａの正三角形を球面に投影したとき囲まれる球面の面積を計算すればいい。
ステラジアンつかう？

立体幾何でいけそうな気がする。どの2点をとっても∠POQ≧60゜ってことだろ。たぶん答えは12個

図でいうと、

半径ｒの円上の点Ｐ，Ｑのうち、
ＯＰとＯＱの内積が円の半径の２乗の半分より小さな点。

あ、ごめん問題ちゃんと読んでなかった。「どの点を結んでも」か・・・

>>95
うん、そうそう。∠POQ≧60゜になるね。

答えは６個。

半径Rの球に外接できる半径Rの球は何個あるかという問題にいいかえればいいのか？
なら12個になるな

>>99
それ、円の場合
問題は球面

あれ、あ、１２かｗｗ
基本的な所を早とちりして間違えたｗｗｗ

訂正
半径Rの球に外接できる半径Rの球は最大で何個あるかという問題にいいかえられることができればいいのか

球じゃないと、円なら式が成り立たないわな。

論証ができん…12個の具体例は示せるからいいとして、13個は無理ってことを背理法で示そうと思ってんだけど…

１３個は点が打てないから無理なのは自明…

>>105
kissing number
newton sphere
等いろいろググると・・・
グラフ理論系の本で普通に載ってそうな有名問題だけど。

すごいねぇ…知識が

12個正解です。ようするに問題文をどう読むか、という論証問題です。球面という設定なしでもいいのですが、それだとあまりにも難しくなるので。

オレはほとんど数式で解いたので違う場合でも同じぐらい解けたと思うが、
みんなより明らかに遅い。しかも間違えたし。

>>108
皮肉乙ｗｗ
嫉妬すんなｗ

できるだけ数式で解くようにしている。頭が楽だしね…。

>>111
いや別に皮肉いってねえよｗ

n人が円卓に座っている。今、n人が「n人のどの人も、もとの席か隣の席に着く」を満たすように座りなおす(全員がもとの席に着いてもよい)。
そのような方法は何通りあるか。

素数様乙

a[n]通りとして1人を固定するとa[n-1]通り
固定した人の座り方は3通りあり、その人が座った方向へ円卓回転したら同じ
a[1]=1
a[n]=2*3^(n-2) (n≧2)

>>115
何だそれ。
>>116
n=1のときはあっているn≧2のときは違う

左右の入れ替えを何箇所やるかの組み合わせの円順列だろ

ある紙から扇形と円の2つの図形を切り取って円錐をつくることを考える．(1)(2)のそれぞれの場合について，できる円錐の体積の最大値を求めよ．
(1) 紙が半径1の円
(2) 紙が一辺の長さ1の正三角形

v=pir^2h/3
vr=vh->2h=r

√(121) = 11 pm

ｼｬﾊﾞﾀﾞﾊﾞ　ｼｬﾊﾞﾀﾞﾊﾞ

たぶん半円２個と扇を２個にすれば最大になる。

半円と小さい円はすぐわかるから、あとは小さい円を大きくして、接線で必要な円弧をとるとき、母線の長さが決まるから、体積が出る。
正三角形はちび太のおでん型に切り取るか、もういっぽうでやるかだけ

円錐に円錐をさしたとき、交点の曲線の式を分類しなさい。２０点

>>124
空間方程式は範囲外

壱、次の式を解き、頂点の座標を求めろ
１．Ｙ＝Ｘ^２−４Ｘ＋３　　　　２．Ｙ＝Ｘ^２＋２Ｘ＋２
３．Ｙ＝−Ｘ＾２＋２Ｘ＋２　　　４．Ｙ＝Ｘ^２＋３Ｘ
５．Ｙ＝−Ｘ^２＋６Ｘ＋１　　　６．Ｙ＝Ｘ^２−４Ｘ＋４
弐、次の条件を満たす放物線をグラフとする二次関数を求めよ
１．点(１，−３)を頂点とし、点(０，１)を通る放物線。
２．点(１，２)を頂点とし、点(１，１０)を通る放物線。

コーンネット問題とか？

２．点(１，２)を頂点とし、点(１，１０)を通る放物線。

幾何学辞典
問題解法
(第２版 )
代表問題4000問を収録。証明・軌跡・作図・計算・空間幾何・近世幾何・座標幾何の７編に分類し全問に精解を施す。

トレミーの定理（とれみーのていり）とは円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式

    AC*BD = AD*BC + AB*DC

が成り立つという幾何学の定理。トレミーとは古代ギリシャの天文学者プトレマイオスのことである。

>>126-130(>>127除く)
何このスレタイを理解できないバカは？

数列{a_n}、{b_n}が次のように定義されている。
a_1＝4、a_n+1＝a_n +3 (n=1,2,3,…) b_nは、a_n/4 (ヨンブンノエーエヌ) の整数部分である (n=1,2,3,…)
(1)a_nを求めよ。
(2)正の整数 k について、b_4k を求めよ
(3)正の整数 N について、Σ[l=1,4N]b_l を求めよ。
(4)Σ[l=1,n]b_l ＞2007 となる最小の n と、そのときのΣ[l=1,n]b_l を求めよ。


(4)の答え何になりました？
出来れば求めた過程もお願いします。

モーリーの定理
デザルグの定理
パスカルの定理

x≧０、y≧０、x＋y≦１のとき、z＝x＾２＋xy＋y＾２−x−yの最大値・最小値を求めよ。

>>132
質問ならよそでやれ

>>134
基本対称式で終了

　nは正の整数とする．数列{a[n]}は，任意のnについてもa[n+r]=a[n]を満たすような正の整数定数rが存在する．
(1) rの最小値をcとするとき，r/cは整数であることを示せ．
(2) 数列{a[n]}のとりうる値が1,2,…,m(mは2以上の整数)であり(とらない値があってもよい)，c=45であるとき，数列{a[n]}として考えられるものの個数をmを用いて表せ．

2007/09/02(日) 23:02:55.54 ID:n56OflClO
83:七つの海の名無しさん[kewell10]
2007/09/02(日) 22:17:52 ID:upqJ1uZL ?2BP(333)
>>82中
【パキスタン】軍の車列に自爆攻撃　兵士、市民ら５人死亡［09/01］
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1188668732/
下
【アフガニスタン】タリバーンの掃討作戦実施、韓国人人質事件のガズニ州など［09/01］
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1188666633/


>>76
>>81
>>82上
立てます
--- 以下スレ情報 ---
◆ニュース国際＋　スレ立て依頼所12◆
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1187687508/

a[n+r]=a[n]を満たすような正の整数 a[n mod r]

a[n mod kr]

>139-140
あんたいっつも何か書いていくけど全く解けないよね

>>141
夏休みだからなぁ
大学生ならあと一ヶ月耐えなきゃいかん

このスレの過去ログは誰か取っていないのでしょうか？前スレ保存するの忘れた…

前スレdat http://www.vipper.net/vip326133.lzh.html

>>144　さんくすです。

test

ｃｏｏｋｉｅｓ．ｔｘｔをdeleteするとproxi規制が解除されます。これっていったｉ？

ｒって定数なのに最小値ｃって。。。？
ｒ倍で同じならｋｒ倍は当然同じだろ。

>>148
バカが
周期数列の単位周期の意味も分からんとはな

>>148
1,2,3,1,2,3,1,2,3,…
ていう数列があったらrの値は3,6,9,12,…という無数の値をとるから最小値は3になる
だいいちrが定数ってのはnによらないだけ
お前の指摘は全くの見当違い

ブフフ…

問題ください。

　平面上に，原点O(0,0)を重心とする一辺の長さが2√3の正三角形ABCがあり，各頂点のx座標をa,b,cとする．また，xについての方程式x^3-3x-t=0(tは実数)の解が全て実数解のとき，その実数解をp(t),q(t),r(t)とする．
(1) p(t),q(t),r(t)を適当に並べかえるとa,b,cと一致するようなtが必ず存在することを示せ．
(2) p(t)≧q(t)≧r(t)であるとき，p(t)=2cosθ(0≦θ≦π/3)とおけば，
θ=-(1/3)∫[1,t/2]1/√(1-x^2) dx
が成り立つことを示せ．

平均値の定理がらみの問題を下さい

またえらく限定したリクエストですね。まあ作ってみます。

何コイツｗ詐欺犯罪者に天誅を！
↓
ttp://www.grand-fort.com/gakuryoku.html

>153
さくらスレから持って来なくても……

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187362449/898, 914-915, 983-984

z=e^i2pi/3+p=a,b,c

z=2e^i2pi/3+p=a,b,c
p=(3^.5,1)

>>157
さくらスレが何かよく知りませんが、x^3-3x-t=0という方程式は入試では超頻出です。方程式が同じだけで内容は全然違いますよ

>>143
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
に過去の全スレのログを置いておきました。

>157
それと>153がどう同じというのか

　全実数xについて定義された関数f(x)は，任意のxについて微分可能でありかつf(x)≧0を満たしている．
(1) xについての方程式
　∫[0,1]f(t)dt=f(x)
は区間0＜x＜1に少なくとも1つ実数解をもつことを示せ．
(2) nを負でない整数，a[k](k=0,1,2,…,n)を実数として，g[n](x)を
　g[n](x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]
と定める．xについての方程式
　∫[0,1]g[n](x)f(t)dt=f(x)
がf(x)によらず区間0＜x＜1に必ず実数解をもつとき，a[k]をn,kを用いて表せ．

√(16)=4

しかし問題をよくポンポン思い付くよなー

　∫[0,1]f(t)dt=f(x) ＝０−＞ｃ＝０？？？？？
左辺は定数でｘの関数って？

ｆ＝ただの０だろ

∫[0,1]f(t)dt=f(a)(1-0)

　∫[0,1]g[n](x)f(t)dt=f(x)
　g[n](x)∫[0,1]f(t)dt=f(x)
g[n](x)=f(x)/∫[0,1]f(t)dt
an=f^n(0)/n!∫[0,1]f(t)dt

>>167, >>168
何このアホ供ｗｗｗ

>>166-167
“方程式”と私は書きましたが

ΣＫ~4　(１≦Ｋ≦n)を求めよ

すみません、正しい表記はΣ[k=1~n]k^4、でした

>>163
a[k]=(k+1)/nでしょうか？

>>163
(1)が平均値の定理だなあと思ったら、>>154のリクエストに答えた問題だったんですね

>>173
分母がズレております
>>174
その通りです。頭に普通に(b-a)がくっついてたらあまりにも平均値まる分かりなのでちょっとカモフラしました。

>>171
そんなただの計算問題が東大ででるかっ
出直してこい

>>163
a[k]=(k+1)/(n+1)

nを自然数，aを実数とする．xy座標平面上に曲線C：y=x(|x|^n-a)があり，この曲線C上の原点とは異なる点をPとする．
(1) 点PにおけるCの接線とCの交点はP以外に1つしか存在しないことを示せ．
(2) (1)の点をQとし，線分PQを t：(1-t) (0＜t＜1)に内分する点をRとする．点Pが動くとき，点Rの軌跡が直線となるようなtの値の個数を求めよ．

最近図形や関数がらみの問題が増えてきて嬉しいです。

7^0、7^1、7^2、7^3、・・・、7^(100)
の101個の中に上位2桁が98、99になるものは存在しない。
ここで、これら101個の数の最高位の数字を左から順に並べて101桁
の数を作る。7^0=1、7^1=7、7^2=49、7^3=343、7^4=2401だから、
左から5桁までは17432である。さて、この101桁の数の並びを左から
見ていったとき、211という数の並びは何回現れるだろうか？

>>180
前スレあたりでMASUDAさんが同じ問題出してたね

>>181
私は3バージョンですけどね

>>180
これ、log7の値提示なしで解けるの？

>>183
私もlog7は必要だと思うのですが，なしで解く方法があるのでしょうか？

7^n,7^(n+1),7^(n+2)の最高位が2,1,1となるとき，7^(n+2)の上位2桁は14より小さくなり，7^(n+3)は繰り上がりがありません．7の巾乗で繰り上がりがないのは7^0→7^1をのぞけばこのパターンだけですから繰り上がりがない個数を調べればよく，log7=0.845から7^100は85桁．
よって100-85=15回が答えです．

log7を使わない方法を誰か教えてください．

根性で計算する

7*(1000/3)^33<7*343^33=7^100=49^50<(100/2)^50
から、1-(1/3)Log(3)<Log(7)<1-(1/2)Log(2)
Log(3)<0.478、Log(2)>0.301は知っている物とすれば
0.84<Log(7)<0.85はだせるな

えぇい京大系はまだか！！

スレタイ１００回読め

>>186
log2とlog3を知っているものとしてとか、そんな出題、東大どころかどこの大学もやらねーだろ

a,b,c,nは整数であり，
　1≦a≦b≦c
　S=1/a+1/b+1/c
を満たす．S＜1/nの範囲でSが最大になるときのa,b,cをnを用いて表せ．

↑nは自然数で

>>189
π=3.14...、e=2.718...なんかと同じで、Log2やLog3くらいは覚えているもんだがな
どうしても、覚えるのが嫌なら、
2^10=1024>10^3　から、log2>0.3
2^2*3^5=972<10^3　から、log3<(3-2log2)/5<0.48
ぐらいの頭は使え

>>190　　a=n+1,b=n^2+n+1,c=n^4+2n^3+2n^2+n+1

>>193
御名答

数列{a[n]}を以下のように定める．
　a[1]=1，a[2]=1
　a[n+2]=a[n+1]+a[n]
(1) 数列{a[n]}の一般項を求めよ．
(2) a[2008]は10進法で表すと421桁以下であることを示せ．必要ならば以下のことを用いてもよい．
log2=0.3010…，log3=0.4771…，√5=2.23…

√(196) = 14

また数列かよ。

>>197
だから文句言うならお前が出せって
俺は問題出してもらえるだけでもありがたいぞ

＞だから文句言うならお前が出せって

この論理は分からん。

>>199
よし、出題

この論理を正当化せよ

何が「また数列かよ」だよ
>>153>>163>>178>>180>>190
とずっと数列以外じゃねーか
上の５問解いてから言えよ

数列がいやならスルーすればいいだけのことです。

MASUDAがムカつくならスルーすればいいだけのことです。

MASUDA批判が嫌ならスルーすればいいだけのことです。

アンカーつけないで独り言すればよいのです。

ここは2chということを自覚すればいいだけのことです。

何やってんだお前らww

xyz座標空間に点A(0,0,6),B(0,0,3)があり，対角線の交点がBに一致するような一辺の長さが1の立方体をTとする．
また，Tに対して，Aを光源として光を照射してxy平面上にできるTの影をT'とする．
T'が六角形であるとき，T'の面積のとりうる値の範囲を求めよ．

>>208
不親切な問題だな。何か説明不足があるの気づかない？

>>195
ビネの公式使ってすごいダサい解法で解けちゃったんだけど、
MASUDAさんはもっとカッコイイ方法を想定！？

>209
十分意味が分かる俺はおかしいのか？

おかしい。
>>208の問題では対角線の意味が分からない。
正方形の対角線の交点なのか、立方体の中心なのか。

普通立体の対角線は中の対角線のことしかささないんじゃね？数オリでも普通に「立方体の対角線」て使い方だったが

立体の対角線って指導要領範囲外じゃね？

立方体の対角線が範囲外なわけがない

>>208
立方体内部の対角線で考えてください

>>215
じゃあ立体の対角線の定義が教科書のどこに書いてるのか教えてくれ。

前にもこういう>>217が現れたけど
出題レベルが範囲外ならまだしも
このスレで表現が範囲外とぬかすのは単なる屁理屈

>>208
1≦T'≦√3

間違えた、正射影じゃないんだな

書き直し

xyz空間において，点A(0,0,6),点B(0,0,3)があり，立方体PQRS-TUVWの直線PVとQWの交点がBに一致する．
点光源Aから光を照射するとき，この立方体にさえぎられてxy平面上にできる影の面積のとりうる値の範囲を求めよ．

>>190の解説お願いできますか？

>>221　
影の形が六角形であるときという条件はいらないのですか？

>>223
あっ、今度はそれが抜けました。六角形で考えてください。

10101010101010101010101010.......

素数は何通り？

10000以下、
1000以上の数を２以上の整数のかけ算で作る時、
整数は最高何回かけられるでしょうか？

>>225-226
お前の日本語大丈夫か？

>>227
225は

１０１０１０......１０
の間違いでした

>>228

おまえの脳みそ大丈夫か？

>>228
【】内にｎ個の１０(ｎ∈Ｎ)を含む時、【１０１０１０......】１０に素数は何通りあるかっていう問題だよね？

末尾に１０があるかぎり０通りじゃないの？

楕円:(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1の外側を、これに常に一点で接しながら滑らずに転がる半径1の円が一周したとき、この円の中心が描く曲線の長さをＮ、また、この円が同様のことを楕円の内側で行ったときの中心が描く曲線の長さをＭとするとき、Ｎ/Ｍを求めよ。(a,b>1とする)

a,b,c,nは整数であり，
　1≦a≦b≦c
　S=1/a+1/b+1/c
を満たす．S＜1/nの範囲でSが最大になるときのa,b,cをnを用いて表せ．
【a=n+1,b=n^2+n+1,c=n^4+2n^3+2n^2+n+1 】

1≦a≦b≦c ，S＜1/n
　ｎS=ｎ/a+1/b+1/c ＜１
　　　　　　　　　　・・・・・（？д？）

>>222
概略を書いておくと
(1)1/a+1/b+1/c=1/nを想定
(2)SがS＜1/nの範囲できるだけ大きくするには(1)のa,b,cについて(a+1,b,c),(a,b+1,c),(a,b,c+1)の3パターンが考えられる．a,b,cの大小関係から(a,b,c+1)が一番大きい．
(3)あとはaをできるだけ小さく，cをできるだけ大きくすることを考える．
(4)n≦aよりa=n+1として
1/b+1/c=1/n-1/(n+1)
⇔{b-n(n+1)}{c-n(n+1)}=n^2*(n+1)^2
cをできるだけ大きくするなら
b-n(n+1)=1
c-n(n+1)=n^2*(n+1)^2
∴(a,b,c)=(n+1,n(n+1)+1,n(n+1)(n^2+n+1))のときS=1/n
∴S＜1/nのときは
(a,b,c)=(n+1,n(n+1)+1,n(n+1)(n^2+n+1)+1)のときが最大

222です
>>233有難うございます

★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★

n,mを自然数とする､3から1001までの自然数の中で､ある素数を2n+1と表すとき､この素数から2(n+m)+1までの全ての奇数が素数であるという。これを満たす最大のmを求め､またそのときのnを全て求めよ

k(k+2)(k-2)=k(k+1)(k-1)+3k は3の倍数だから、
k、k-2、k+2の少なくとも1つは3の倍数である。
ゆえに、5以上で隣り合う3つの奇数がすべて素数となることはない。
3、5、7は連続する3つの素数だから、mの最大値は3、
またこのときn=1

m=2だった。

一辺の長さaの正方形があり，半径1の薄い円板n枚が互いに重なることなく正方形の中におさまるとき，以下の問いに答えよ．
(1) n=2のときaの最小値を求めよ．
(2) n=3のときaの最小値を求めよ．

2+√2
2+(√2+√6)/2

四角形ABCDで、∠A＝６０°、∠B＝７５°、AB＝６、BC＝４である。
△ABCの内心をIとするとき、△ICDの面積を求めなさい。
（いくつかの値をとる場合、その変域を答えなさい）

素数様

>>239
nを一般の自然数としてaとnの関係式のn→∞における極限値を求める問題とか作れたら面白そう。こんな時間だが何か考えてみよう・・・

>>243
球を立方体にどれだけ詰められるか、とかいう論文を見たことがあります。

a,b,c,dはa^2+b^2+c^2+d^2≠0を満たす実数である．
(a^2+b^2+c^2+d^2)/(|a|+|b|+|c|+|d|)=k
として，実数kのとりうる値の範囲を求めよ．

0<kで明らかじゃないの？

>>245
b=c=d=0とおけばよくね？

(a^2+b^2+c^2+d^2)/{(|a|+|b|+|c|+|d|)^2}=k
として、実数kの取りうる値の範囲を求めよ。

が意図だったのかな？でもこれでもシュワルツ

>>243 >>244
極限にすれば、挟み撃ちで程ほどの問題が作れそう。
一般的にa[n]をどんぴしゃで求めるのは、平面でも大変そうだね。

>>221 益田さん
これどうやってやるのでしょうか？
座標で
P,Vをxz平面上にとって固定し、残りの頂点を順番に取っていくと計算地獄になりました
六角形にするという条件で何か計算が楽にする方法があるのでしょうか？

２２１　平行光線ならただの四角

xy平面のノーマルベクター成分を引いてやればいい。光源と８つのすみの点を結ぶ
ベクターのｘｙ平面成分を出すだけ。

一辺の長さaの正方形があり，一辺の長さｂの正三角形の板n枚が互いに重なることなく正方形の中におさまるとき・・・

a+kap=(px,py,0)
kapz=-az
k=-az/apz
L:pnpm

曲率２の空間で半径１の球を光源ａからの光でxy平面に投影するとできる影の
面積は？

>245,248
　1/n ≦ k ≦ 1,

(左側) コーシーより
(a1^2 + a2^2 + ･･･ + an^2) - (1/n)(|a1| + |a2| + ･･･ + |an|)^2 = (1/n)Σ[1≦i<j≦n] (|ai|-|aj|)^2 ≧0,
　等号は |a1| = |a2| = ･･･ = |an| のとき,

(右側)
　等号は 1つを除いて ai=0 のとき.

G=[a^2+b^2+c^2+d^2]/(a+b+c+d)-r(a^2+b^2+c^2+d^2-p)
Ga=2a/()-[]/()^2-2ar=0
2()-[]/a=2r()^2=2()-[]/b->a=b=c=d
a=+/-p^.5/2
f=+/-p^.5/2

>>249
計算を楽にする方法はあります．最大・最小の“とき”だけを調べるなら影をつくる平面はxy平面に平行な平面であればどこでもいいですし．まあそれでも計算量は多いですが

１　nxnのチェス面でラダムウオークをやるとき、上限mステップでカバーする
面積を求めなさい。
２　縦横の遷移確率をｐ、ｑとして面積を求めなさい。

>>257
因みに模範解答ってどうなのですか？
最大最小だけと括っていますが
＞影をつくる平面はxy平面に平行な平面であればどこでもいい
これは単にｘｙ平面をずらしているのですぐにわかります。
ということは平面z=3で考えてその影を最大にした後z=0に影を写すように相似拡大せよということですよね。
計算量が膨大です。

８点を投影して線で結ぶだけ。

吹いたら負け　フタエノキワミああああー
http://anime2.2ch.net/test/read.cgi/asaloon/1189218197/

>>259
まさにおっしゃっている通りの投影法が模範解答です．各点とAを結んだ直線で考えていくしかありません．計算量の多さはこれ以上どうにもならないかと．私の問題設定が悪いんですけどね．結果的に一時期の学コンなみの計算量になってしまいました．
最小値144/25
最大値46008√3/11449

MASUDAさんとこのサイトに変な作問者現れたね、IQ200とかいう奴。撃退ご苦労さん。その問題を晒してみる

0≦θ＜2π
cosθ+sinθ+tanθ=１を解け(オリジナル)

IQ200のコメント「国際数学オリンピック級の超難問です」

一悶着あったようですが、
どういうやりとりがあったのか解説お願いします。＞益田さん

x+(1-x^2)^.5-...=1

あら，いつの間にかこちらに話がきてますね(笑)
上の>>263以外にも数題IQ200氏が問題をだし，全問ひろさんという方が解答したわけですが，問題に不備がいろいろあり，ひろさんがその不備の指摘も付けていました．
答案は正解であるにも関わらず，IQ200氏はトピックごと全て消去し，新たなトピックをたてて「僕の問題はおかしくない」「ひろさんの解答は間違い」と言い出す始末．
たまりかねて私が指摘したらそれもトピックごと消去．自分に不利だと思ったトピックは全て消去しています．

消されているので分かりませんが，一問に関しては私も一部見落としがあったので私にも否はありました．しかし，他の箇所についてはいまだに一切IQ200氏は説明なし．ひろさんの苦労して書いた答案も水の泡です．

c+s=(c-s)/c
c+s/c-s=1/c
1+t/1-t=(1+t^2)^.5

このスレにいそうな予感
ときどき変なやつが出てきてるし

たぶんレベルからしてこのスレにはいねーだろ
>>263を数オリ級とほざく奴のレベルなど知れてる

>>259 益田さん
ありがとうございます。
z=3の平面上にどの頂点かを固定して考えようかと思いましたが、この平面上にあるときが最大・最小になるとは限らないので結局まだわかりません。
もう少し整理してきます。

こちらの問題含め、前スレの問題等で質問があるときは益田さんのサイトで質問すればいいのでしょうか。
やはりこちらは新作問題を出すというスレですから。

>>270
私のサイトで質問してくださってもかまいません．
ちなみに自分のサイトと違い，ここでは私は主に試作品ばかり出題してますから悪問も混ざっておりますゆえ，そこまで本気で解かなくとも大丈夫です(出題ミスもけっこうやらかしてます)．要は方針立てばいいので．

MASUDAさんのサイトが微妙に荒れてるwww
全部IQ200に対するタタキっぽいから炎上とかじゃないけど

>>263
θ＝１／２π
こ、これは・・・ｗ

>>273
tan(π/2)は定義されない。

>>263
θ=0、arc{1/3+{1/27+√(13/216)}^(1/3)+{1/27-√(13/216)}^(1/3)}

行列Xに対して，S(X)でXの全ての成分の総和を表すものとする．
n次の正方行列Aに対して，以下の条件を全て満たすn次の正方行列Bが必ず存在することを示せ(nは2以上の整数)．
　S(A)+S(B)=n^2
　S(AB)=S(BA)
　S(A^2)-S(B^2)=n{S(A)-S(B)}

B=nE-A
Eはn次正方行列。

Eはn次単位行列 orz

aij+bij=n^2
aijbjk-bstath=0
aijajk-bstbth=n(aij+bst)

1,2,3,4,5と書かれたカードが2枚ずつ，合計10枚あり，これらを全て用いて2枚ずつの組を5組作る．このとき，全ての組において，2枚に書かれている数の差が1以下である確率を求めよ．

↑こういう問題、面白いなぁ。解けないけど・・・

(11-22-33-44-55)
(12-21-33-44-55)×4
(12-21-34-43-55)×3

55,54
45,44,43
34,33,32
23,22,21
12,11
5x5=25
13/25

>>283
不正解です

13/90

>>285
不正解です

>>280
フィボナッチだね
8/19

分母は間違い

次の方程式であらわされた曲線を図示せよ(同一座標平面上)
x^2+y^2=1
x^2+y^2=4
y=±x (3<|x|<4)
y=0 (3<|x|<4)
x=0

>>287
不正解です．
フィボナッチではありません．

>>280
軒並み不正解…ひさびさの難良問？

全ての組において...
55,54,45,44,43,34,33,32,23,22,21,12,11
55-44-33-22-11
55-44-33-21-12
55-43-34-21-12,54-45-33-21-12,54-45-32-23-11
54-45-43-34-21
54-43-34-21-12
...
55-

55-44-33-22-11
55-44-33-21-12,55-44-32-23-11,55-43-34-22-11,54-45-33-22-11,
55-43-34-21-12,54-45-33-21-12,54-45-32-23-11

55-44-33-22-11=0
(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)=a,b,c,d
ac,bd,ad
8/10*9*8*7*6=1/90*63

10!/5!=10*9*8*7*6

8/10*9*8*7*6=1/90*42

1/45

>>294
不正解です

11/135じゃね？

>>297
不正解です

>>295
正解でございます

10C2=10*9/2*1=45

自然数Nの約数の個数をAとする．N/(A^2)の最小値を与えるNの値を求めよ．

y=(p^x)/{(x+1)^2}は x=2/(log p)-1で極小かつ最小となる。
0<2/(log p)-1 となる 素数pはp=2、3、5、7のみ。
xを整数に限定すれば、p=2のときはx=2で最小。
p=3のときはx=1で最小。
p≧5ではx=0で最小。
よってN=(2^2)*(3^1)=12。

aとbを互いに素な自然数とし、b≧2とする。自然数xに対して、f(x)＝(xをbで割った余り)
と定義する。min[n＝1,2,…,b−1]f(na)/n を求めよ。

>>303
aは固定されていて、
min{ f(a),f(2a)/2, f(3a)/3,・・・,f(ba-a)/(b-1) } をaで表せ
ということですよね？

1/n

あ、問題読み間違えた。

半径1の円周C上に3点P,Q,Rがあるとき，C上にPX･QX･RX≧2となるような適当な点Xが存在することを示せ．

読み間違えないように。

>275 は

　θ=0, arccos{(1/3) + [(1/27)+√(13/216)]^(1/3) + [(1/27)-√(13/216)]^(1/3) } + π.

と読むのかな？

P(1、0)、Q(cosα、sinα)、R(cosβ、sinβ) (-π≦α≦β≦π)
X(cosθ、sinθ)とすると
PX・QX・RX＝8 sin (x/2) * sin((x-α)/2) * sin((x-β)/2)
xが動くとき、この式の最大値M(α、β)を最小にするのは
α=-2π/3、β=2π/3で、そのときM=2

>>309
不正解です．
途中からおかしなことになってますよ．

>>309
>>310
失礼，勘違いでした．正解です．

>309-311
θがxに変わってて論証もすっとんでるもんね
俺も最初はよく分からんかった

>307

中心Oから3本の弧PQ,PR,QRを見た角を ∠POQ=α, ∠POR=β, ∠QOR=γ とする。
　α+β+γ = 360ﾟ,
3本の弧のうち最も長い弧QRの中点をXとする。(ここで最大にはならないが｡)
　∠QOX = ∠ROX = γ/2,
　QX = RX = 2s,　s = sin(γ/4),
(1) 90ﾟ≦γ/2≦180ﾟ のとき
　∠POX ≧ γ/2,
　PX, QX, RX ≧ 2s ≧ √2,
(2) 60ﾟ≦γ/2≦90ﾟ のとき
　1/2 ≦ s ≦ 1/√2,
　α = 360ﾟ -γ -β ≧ 2(180ﾟ -γ),
　β = 360ﾟ -γ -α ≧ 2(180ﾟ -γ),
　∠POX(Qまわり) = ∠POQ + ∠QOX = α + γ/2,
　3γ/4　≧　∠POX(Qまわり) /2 ≧ 180ﾟ - 3γ/4,　
この区間は90ﾟを含むので、
　PX = 2sin( ∠POX /2 ) ≧ 2sin(3γ/4) = 2(3s-4s^3),
　PX･QX･RX ≧ 8(s^3)(3-4s^2) = 2 + 4(s -1/2) + 4s(1-2s^2)(4s^2 -1) ≧ 2.

任意の自然数nについても以下の不等式が成り立つことを示せ．
(√7)^(√n)≧(√n)^(√7)

>>304
そういうことです。が、aでは表せません。aとbから決まる、ある自然数を用いて表せます。

>>314
f(x)=(logx)/x極大かつ最大はx=eのときだから､|e^2ｰ6|,|e^2ｰ7|,|e^ｰ8|の大小を評価するのかな？

√7=2.64・・・
e=2.718・・・
だから、log(√7)/(√7)≧log(√8)/(√8)が示せれば十分だと思うんだけど。分からん。
反射的にlogx/xを持ち出すようではダメだとまた叱られそう。

>>316
極大点に関してグラフは左右対称じゃないけど？

log_[2]7≧(3√14)/4を示すことに帰着された。

>>317
対称じゃないからこそ6も評価すべきだと思ったので…

>317

log(x)/x は x=e で最大で、その両側で単調でつ。また、
　･･･ < √6 < √7 < e < √8 < 3 < ･･･
だから
　･･･ < (√6)^(1/√6) < (√7)^(1/√7) < e^(1/e) > (√8)^(1/√8) > 3^(1/3) > ･･･
でつ。あとは
　(√7)^(1/√7) > (√8)^(1/√8)
が示せれば
　nが自然数　⇒　(√7)^(1/√7) ≧ (√n)^(1/√n).

半径1の円周C上に3点P,Q,Rがあるとき，C上に PX+QX+RX≧4 となるような適当な点Xが存在することを示せ．

それ東大じゃなくて京大向けだね

>321
>313 と同じXをとる。　s = sin(γ/4)

(1) 90ﾟ≦γ/2≦180ﾟ のとき
　1/√2 ≦ s ≦ 1,
　PX + QX + RX ≧ 2s + 2s + 2s = 6s ≧ 3√2,

(2) 60ﾟ≦γ/2≦90ﾟ のとき
　1/2 ≦ s ≦ 1/√2,
　PX + QX + RX ≧ 2s + 2s + 2(3s-4s^3) = 10s -8s^3 = 4 + 2(2s-1){(1-s)+(1-2s^2)} ≧ 4,

>>321
もどきまで現れたか

>>320
で、それをどうやって示すのさ？

>320
そのやり方は従来と同じ。それじゃ解けない

MASUDAのとこに現れた二人目の馬鹿

ピーコ18歳
x^2+y^2+z^2+u^2=r^2で定義される半径rの四次元球の体積を求めよ。
(出典：東京大学)

ピーコの名言「俺は国語の偏差値35だったぞ！数学は最高で東大合格ライン超えだったがな！」

>>327
それ東大院の過去問だね。

ちなみに4項間漸化式の問題は何がいけなかったのか解説してほしい。

ただの難癖でしょ。
難癖にもなっていないかもしれんがね。先日のIQ20みたく。

四項間漸化式は文科省指定ガイドライン外であり，高校範囲ではありません．

>>327
MASUDAに対しては全く反論できなかったみたいだね
で、まわりの奴に八つ当たり。煽りにも思いっきり釣られてた

Sdx^dy^dz^du=Sn*vdA

四項間漸化式の問題には誘導がついていたのでいいと思われますが
誘導がついていてもいけないのですか？

f(x) = log(x) /x とおくと、
　f '(x) = {1-log(x)}/(x^2),
　(e-x)f '(x) ≧ 0,
で示された。したがって
　exp(f(x)) = x^(1/x) も x=e で最大、その両側で単調でつ。。。

カス

>>334
だからそれでどうやって
(√7)^(1/√7)＞(√8)^(1/√8)
を示すんだ？√7＜e＜√8ってこと分かってるか？

>>330
文科省指定ガイドラインなるものはどこに存在するのでしょうか。

また、高校範囲外の問題はどのように修正すれば出題可能となりますか。
たとえば四項間漸化式を出題したい場合など。

√(7.3) < e < √(7.4)

>>337
文科省にいくかなんかしてみろ
４項間がダメなのは常識

>>338
それがどうした。
クソの役にも立たんわ。

>>338
まさか
|e-a|＜|e-b|⇔a^b＞b^a
だと思ってんのか？

ジョーク　だよ

(;`ｰ´)o／￣￣￣￣￣￣~ >°))))彡 ﾂﾚﾀ

さっ、もう寝よっ

何が釣れただよww
できたと思った→これじゃ解けないことに今気づいた
ってなっただけだろwww

いまさっき医科歯科の過去問パラーってみてて目に留まった四項間漸化式が解けてまぢ快感ですww ぉッしゃあああああああああああああああああああって感じ笑2005年度です 医科歯科の過去問ある人ゎ見てみて下さいでもコメントによると、典型問題だとヵ四 ...

an+1=f(an)-g(an-1),a0=1,a1=1

>>346
誘導つきじゃね？

初等的にとける前科式はごく限られている。数値解析やるんだよ。

>346
ピーコか？www

はぁ？四項間が典型？赤本か？
大数のコメントは？

これか
http://d.hatena.ne.jp/gould2007/20070602

なんだ、思いっきり誘導ついてるじゃん。四項間単発かと思ってワクテカだったのにガックリだよ。

>>333
誘導つきならかまいません．私の指摘後，顔文字氏が誘導をつけた問題に訂正して下さいましたから，それには問題はありません．誘導なしの四項間のみだと範囲外の不適切出題となります．
>>353
単発出題を私立大学で見かけたこと1回ありますが，予想して帰納法で解けるものでしたので，まだ許容範囲かもしれません．国公立での単発出題例は見たことはないですね．

ちなみに2005年は横浜国大工学部後期でも四項間漸化式が出てる。
ちょっと古いが1981年に横浜国大と東京都立大で出てる。

>>353
三項間漸化式だって普通単発では出んだろ。

>>354
なるほど益田さんの見解では、
「範囲外の問題でも誘導つきであれば不適切ではない」ということですか。
ちなみに三項間漸化式も範囲外だから、誘導つきでないと不適切出題ということになりますか？

そもそも三項間を解く要となる特性方程式は受験業界では常識でもあくまで裏技。
三項間や分数漸化式が単発で出ることも案外ない。
範囲に厳しい旧帝大での単発出題率はゼロ。

益田さん作成の予想模試で「1次独立の定義を述べよ」という思い切り高校範囲外の知識を
ずばり聞いているのはどういう了見なんでしょうか。

>>356
　書き込もうとしたら>>357氏が既に書いておられますが…，
　三項間は教科書でも解説があるので単発もギリギリＯＫではないかと私は思いますが，特性方程式自体は指導範囲外ですから，実際の試験では特性方程式使用を「発想力」として見ることになり，これを問うのは一般受験生には酷かと思います．
　勿論，東大レベルの受験生なら知ってて当たり前ですが，指導範囲に厳しい旧帝大で，特性方程式の誘導なしに解かせてる出題例はほとんど見かけません．
(京大の確率では漸化式をたてさせて三項間を単発で解かせたことはあったと記憶していますが)．

人に厳しく、自分に甘く

>>358
あれは「一次独立性」という言葉を別の方法で問うべきでしたね．教科書定義を問いたかったのですが，教科書では「一次独立」の内容を掲載しているのに言葉が掲載されておらず，そのあたりを混同して出題してしまいました．

>>358
一次独立って言葉は範囲外だが一次独立の内容は教科書にのっている

>>361
ぶっwww
かぶったwww

>>361
なして訂正せんのら？

>>361
空間ベクトルの1次独立性については教科書に載っていないのでは？

うるせーな
教科書しか勉強しないような馬鹿は東大に入る資格はない。

>>364
出題してからだいぶたっていて，既にサイト訪問者から答案メールも何通もいただいていることもあって，数学的間違いがない以上今変えるのも微妙だったためそのままにしております．
　一次独立の概念は知っておいてほしいという気持ちもありますので(概念は教科書に掲載されてることなんですがね)．

>>365
嘘つけ
それだと空間ベクトルの係数比較が教科書範囲外になるだろが

>>368
それは教科書に載ってるのか。
まあいずれにしても、益田さんの模試の模範解答は
「ベクトルa, b, cの始点をそろえたとき、これらのベクトルが同一平面上にないこと」
とでもなるんだろうな・・・

>>369
それじゃ点数半分しかない

俺が高房のときは「1次独立」って言葉も習ったけどな。
大学の数学では「2次独立」とか習うのだろうとﾜｸﾃｶしていた
ものの、気づけば大学を卒業していた。未だに「n次独立」(n≧2)
を見たことがない。

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誰か>>314解いてくれ
俺はギブ

>>373
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log_[2]7≧(3√14)/4を示せばよい
2^22=4194304＜7^8=5764801＜2^23=8388608
∴22/8＜log_[2]7＜23/8
グラフの凸性よりlog_[2]7＞｛(22/8)+(23/8)｝/2=45/16

45/16＞(3√14)/4
15＞4√14
√225＞√224よりok

>>375
現実的な解法じゃないな

f=x^.5y^.5-y^.5x^.5
fx=fy=0->(.5y-1)x^.5y^.5-logy.25x^.5y^.5x^.5=0

>>346
書き方がピーコっぽいなwww
てか単なる四項間漸化式(しかも誘導つき)を解いて何が「快感」「っしゃあああああ」だよwww

>>378
MASUDAのとこ書き込み禁止になったから憂さ晴らしじゃね？でも結局誘導つきだったしねぇ

>>314, >325-326, >336, >373

　(29^2)*8 = 6728 > 6727 = (31^2)*7,
平方根とって
　29√8 > 31√7,　　　　　…… (1)

　7^31 = 15 77753 82034 84580 66150 42743 > 15 47425 04910 67253 43623 90528 = 2^87 = 8^29,
対数とって
　31･log(7) > 29･log(8),　　　…… (2)

(1)と(2)を掛けて
　(√8)log(7) > (√7)log(8),
　7^(√8) > 8^(√7),
だお。

>>380
これも非現実的だよな

p,qを素数としてnはn=p^q+q^pの形で表される整数とする．
(1) nが素数であるとき，nの値を全て求めよ．
(2) p≦qとして，nが9で割り切れるとき，qを18で割った余りを求めよ．

↑訂正
(2)はp=2としてください

(1)n=2^3+3^2=17のみ

p=qの場合は、nは偶数となり、不適
p<qとしても一般性は失わない。
q=p+rとすると、pが2で無い場合は、p,qが素数という条件から、rは偶数
p^q+q^p=p^(p+r)+(p+r)^p=p^(p+r)+p^p+Σ[k=0,p-1]C[p,k]p^k*r^(p-k)
=p^p*(p^r+1)+Σ[k=0,p-1]C[p,k]p^k*r^(p-k)
はｒが偶数なら偶数
従って、可能性は、p=2の時のみ
q=3の場合は、上記のように当てはまる
q=5の場合は、2^5+5^2=32+25=57=3*19で当てはまらない
それ以外の素数の場合、q=6k+1または、6k+5(k≧1)とおける
2^(6k+1)+(6k+1)^2=2*64^k+36k^2+12k+1=2*(63+1)^k+3*(12k^2+4k)+1
2^(6k+5)+(6k+5)^2=32*64^k+36k^2+60k+25=(30+2)*(63+1)^k+3*(12k^2+20k+8)+1
いずれも３の倍数なので、素数ではない

(2)2^(18k+r)+(18k+r)^2≡2^r+r^2(mod 9)
r=1,5,7,11,13,17の内、2^r+r^2≡0(mod 9)となるのは11と13

(1)は良問。そのぶん(2)は余計だからいらないと思う。

n=2のときp^q=1、q^p=1となるしかなく、これを満たすp、qは存在しない。
nが3以上の素数のとき、n=p^q+q^pは奇数
⇔p^q、q^pは偶数と奇数
⇔p、qは偶数と奇数
pを偶数とするとp=2
∴n=2^q+q^2
q=3のときn=2^3+3^2=17で素数
q＞3のとき
n≡(-1)^q+q^2≡-1+(±1)^2≡0 (mod 3)
(∵qは3と互いに素な奇数であり、q≡±1(mod 3))
∴nは素数とはならない
以上からn=17のみ

　α,β,γは0≦α≦π，0≦β≦π，0≦γ≦πをみたす．以下の不等式が成り立つとき，α+2β+3γのとりうる値の範囲を求めよ．

(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2-2cosαcosβcosγ≦1

[0,3π]

双子の素数が無限にないと困る理由を書きなさい。　１０点

益田さんログの問題別海ありますか

>>388
他スレにいけ

>>388
別に俺は困らない。ってか、数学の定理や予想は困るから存在するものじゃない。

>>389
私の用意した解答もlog[2]7を評価する方法です．log[14]2でも試みましたがこれは手計算は不可能に近いです．

2つの自然数a,bおよび3以上の素数pがあり，a+b=pを満たす．このときsa+tb(s,tは自然数)の形で表せない自然数の個数の最大値をpを用いて表せ．

題意を取り違えていなければ、
{(p+1)/2}{(p-1)/2}-(1/2){(p-1)/2}{(p-3)/2}=(p+5)(p-1)/8　かな？

訂正、上に１加える。従って、(p+1)(p+3)/8個

395の訂正は無かったことに^^;

>>391
一応出来た
(3√14)/4 > 101/36 と評価
7^36 = (7^4)^9 > (2^3*3*10^2)^9 = 2^27*3^9*10^18
となるから、
(7^36)/(2^101) > (3^9*10^18)/(2^74)
ここで、
2^74 = (2^16)^4*2^10 < (3^8*10)^4*2^10 = 3^32*10^4*2^10
よって、
(7^36)/(2^101) > (10^14)/(3^24*2^10)
さらに、3^9 < 10^4*2を用いれば、
(7^36)/(2^101) > (10^14)/(10^8*2^2*3^5*2^10) = (10^6)/995328 > 1
となる
よってlog[2]7 > 101/36 > (3√14)/4

>>397
私にレスしてどうする

失礼、>>397は>>392宛

>>397
(3√14)/4＞101/36あたりかなり力技な…お見事です．
>>394
御名答

難問をひとつ
半径1の球に含まれる正3角柱の体積Vの最大値を求めよ。　　(35点)

(1)一辺の長さが1の正方形に含まれる正八角形の面積の最大値を求め、その理由も示せ。
(2)nは固定された自然数で、n≧3とする。一辺の長さが1の正n角形に含まれる正2n角形の
面積の最大値を、nを用いて表し、その理由も示せ。

ヒントなしでは辛いかもしれない。

402のヒントは内接円に注目しろだろ。方針さえ定まれば、後は単純労働なので省略。

>>403
内接円に注目したあとが大切。2n角形を大きくすれば、内接円も大きくなり、
いずれn角形から はみ出すことになるが、どの大きさからはみ出し始めるのか、
そして、どうしてその大きさではみ出すのか(ここの論述が肝)を説明しなければ
ならない。

↑
こいつ馬鹿？

>>405
解答を実際に書いてみれば分かる。

>>401
それＺ会の問題か？

三角形内の点で二頂点を通る直線から最も遠いのはもう一つの頂点。

>>407
そう　よく考えたら出すんじゃなくて作るスレみたいだね

nを自然数として、
18^nの最高位の数字と末尾の数字が一致するようなnを一つ求めよ
ただし
0.3010＜log[10](2)＜0.3011
0.4771＜log[10](3)＜0.4772
0.8451＜log[10](7)＜0.8452
とする


箱の中に1,2,3と書かれたカードが一枚ずつ入っている
この中から無作為に一枚取り出しては戻すという試行を、
直前に出た数字より小さい数が出るまで繰り返す
このとき、取り出す回数Nの期待値を求めよ

MASUDAさーん
今日コマネチ大学数学科で放送されるらしいですね
おめでとうございます

(1) nは自然数とする．xについてのn次多項式f[n](x)は全ての項の係数が1(定数項も1)である．
このとき，a,bが2以上の互いに素な自然数ならば，f[a-1](x)=0とf[b-1](x)=0を同時に満たすxは存在しないことを示せ．
(2) 7個の数からなる集合Aがあり，x∈A,y∈Aならばxy∈Aである．このような7個の数の組み合わせは何通りあるか．

↑7個の数は全て異なるものとしてください．

Z/7Z

>>414
何の暗号だ？

(1)
f[n](x)=0の解はexp(2kπi/(n+1))　k=1,...,n

f[a-1](x)=0の解は、exp(2pπi/a)　　p=1,...,a-1
f[b-1](x)=0の解は、exp(2qπi/b)　　q=1,...,b-1

exp(2pπi/a)=exp(2qπi/b)　　→　　p/a=q/b
a,bが互いに素なので、これを満たすp.qは無い

(2)よくわからんが、とりあえず、
{exp(2kπi/7)|k=0〜6}
{0}Ｕ{exp(2kπi/6)|k=0〜5}
{0,i,j,k,-i,-j,-k|ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,0i=0j=0k=0}
らは条件を満たす

>>416
こらこら、それは高校範囲外答案だ

(1)はa＞bとして
f[a-1](x)=0を満たす解をωとして
f[b-1](ω)=0と仮定→互助る→矛盾
で示せる．

すまん
× 「互助る」
○ 「互除る」

互除るなんて日本語はありませんが。

日々新しい言葉は生まれている。

２ちゃんねるではスレを削除することを「sakuる」と言う。
俺の家ではビデオに録画することを「ビデる」と言う。

>419
何を今さら
ここは2chだ

>>421
高校範囲外

>>415
群論やれば分かるよ。高校範囲外だけどな。

(2)は
(0,1の6乗根の虚数4つ)
(1の7乗根)
の2通りだけかな？

>>420
高校範囲外る

高校範囲ガイル

…すまん、ちょっと言ってみたかったんだ
吊ってくる
λ......

>>425
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

x^n*(1+x)(1-x)　の最大値、及びそれを与えるｘを微積の知識を用いず求めよ。
ただし、ｘ≧０、ｎは１以上の整数とする。

だから「〜を使わずに」なんて出題は東大も京大もするわけないだろ

おぼえたばかりのボクチンのイオナズン！を見せびらかしたくて
しょうがないんだよ

三角形A_1B_1C_1とその内接円との接点をA_2B_2C_2とする。以下同様にA_nB_nC_n(n=1,2,3,.....)を定めていくとき
n→∞で最初の三角形A_1B_1C_1のどのような点に近づくか？

a,b,cは負でない整数の定数で，p,q,rは-1≦p≦1,-1≦q≦1,-1≦r≦1を満たす整数である．
p3^a+q3^b+r3^cのとりうる値を小さいものから全て並べると等差数列になるとき，a,b,cの満たす条件を求めよ．

>>431

a=b=cですか？ちがうかな。。。

0,1,2の内ひとつづつだろ。３進法の変形バージョン

>>433の訂正、差が１づつあれば、基準はなんでもいいだな
(a,b,c)=(m,m+1,m+2)及び、それの入れ替え
mは0以上の整数

どの2点間の距離も1以下である無数の点からなる集合をＡとする．
(1) いかなるＡについても，半径rの球の周および内部にＡが必ず含まれるとき，rの最小値を求めよ．
(2) いかなるＡについても，一辺の長さtの立方体の周および内部にＡが必ず含まれるとき，tの最小値を求めよ．

>>435
周って表面ってことでいいの？

表面と考えてください

435(1)は(4-√6)/4ジャマイカ

>>438、求める物間違えた　√(3/8)ジャマイカ

>>435
俺思うんだけど、
「周および内部」ではなくて「周または内部」じゃないとおかしいんじゃないかな？
およびを使うなら「周および内部を合わせた図形に」とでもしないと。
今の文章だと「Ａは周にも内部にも両方に必ず含まれる」という意味になります。

あと第二回東大理系模試の【３】の
「任意の実数x,yについて(cosx+siny+a)/(cosy+sinx+b)がとりうる値の範囲が実数全体となる」
という表現もおかしいと思うんです。
「任意の」を削除しないと。
今の文章だと「どんな定数x, yをとっても、変数a, bをうまく選べばあらゆる実数値をとる」という意味になります。
そういう意味なんですか？

ごめんなさいね、こんなとこでケチをつけて。

死ねよカス

「周および内部」は入試でもよく見かける表現

>>440
>Ａは周にも内部にも両方含まれる

それでもいいんじゃね
てか問題文には「いかなるＡについても」って言ってんだし

>>435
(1) √6/4
(2) √2/2かな？

>>444
(2)はそれだとはみ出るよ

ここには答えの数字だけを書く人がほとんどだけど、なぜ？

そんなの意味ないじゃん。

余白が足りないから。

論証せず推測だけで答え書く奴多いからね

結果の数字が簡単に推測できるようなものでない問題の場合は、
出てきた答えが合っていれば、おおよそ正解を正しく導いたとみなしてもいいだろうという
暗黙の了解がこのスレの常連の間では出来ている、ということかな、多分。
真似っこを楽しみ、解いて満足してもらえれば満足というスレだからね、
それでいいんじゃね。
特に過程が知りたければ「もっと光を」レスを返せばよい。

だが、「もっと光を」に対して「ゆとり乙」と返す奴もいる。
自明でないことを、自明だと勘違いしているため、タチが悪い。

大学入ってセミナーやったら
突っ込みどころ満載な気がする。

同じ答えが出たにしても、その過程は人それぞれ違うわけで、
そこが面白いんじゃないかと思うんだけどなー。

5以下の偶奇が異なる2つの自然数の定数p,qがあり，pまたはqからなる数列を{a[n]}(n=1,2,…)と定める．また，{b[n]}を
b[n]=Σ[k=1,n]a[k]6^(k-1)
と定める．このとき，任意のnについてb[n]/(2^n)が整数となるような数列{a[n]}がただ1つ存在することを示せ．

　ここは2chだから解き方とか云々にそこまでこだわる必要もないように思います．
　ただ，私自身のサイトでは必ず答案として書き込んでもらってるのですが，答えは簡単に推測できるけど論証がなかなかできないという問題が浮き彫りになりますね．
　例えば以下の東京工大の有名問題をサイトで掲載したところ，答えは分かるけど論証不足や誤答案が続出しました．
『異なる3つの数があり，この中から重複を許して選んだどの2数の積も3つの数のいずれかになるとき，この3つの数の組み合わせを全て求めよ
(1966,1996 東工大)』

>>452 これは、数学的帰納法を習う章の章末問題レベルの問題じゃ？
>>453 ３数の内、絶対値が最大の物をaとすると、|a|≧a^2が必要。以下一本道だとおもうが、．．．

>>454
どこがだ。。。

>>454
じゃあお前答案書いてみろよ
一本道ってんならかけるんだろ？
ちなみに複素数の絶対値はカリキュラム範囲外。まあそれ以前に>>453は絶対値使わずに解ける

複素数の絶対値が範囲外？
最近のゆとりはそこまで酷いのか？

ゆとりだろうが範囲は範囲。そこに文句つけるのはスレ違い

　　こんな性的リンチはゼッタイに許さない。！！　

足立区綾瀬で、少年Ａ＝横Ｏ祐Ｏ（当時 宮Ｏ）と少年Ｃ＝ミＯト伸Ｏは、
プラスティク工場からアルバイトを終えて帰る女子高生を自転車ごと
蹴り倒して誘拐、少年Ｃの自宅に４０日間監禁し暴行して殺害しました。
少年Ｃの両親と兄は自宅２階での監禁を知っていましたが黙認しました。
少年Ｃは街で知合った仲間を自宅に呼び込み金を受取り、女子高生を暴行させたり
ヌードダンスを踊らせていました。彼女はどのような気持ちだったでしょうか？
女子高生の遺体の手足には焼かれたヤケドがあり、乳首は溶け落ち、
性器と肛門に異物が挿入され、栄養失調で痩せ細った体でした。
　「女子高生コンクリート詰め殺人事件」
　　　
ご存知かもしれませんが、この事件の副主犯、少年Ｂ＝神Ｏ（旧姓はＯ倉）は
再び暴行・監禁事件を起こして服役していました。

>>454
確かに>>452は難しくはないですが，「教科書章末レベル」と言うのは数学ができる人目線の言い方ですね．そこまで一般高校生がすんなり解ける問題でもないですよ．
あと>>453で絶対値1には私のサイトでもみんな気づいてました．ただそこから先の論証がボロボロ．それに>>454氏がおっしゃってる通り複素数の絶対値を持ち出してる時点で高校範囲外答案になりますけどね．

複素数の絶対値は課程にはいったりはずれたりしてる

96年だと絶対値やってるかな
現行はまたはずれたね

1.
(-1+i+j+k)/2.
(-1-i-j-k)/2.

>>461
絶対値が高校範囲か否かに限らず>>453は絶対値使うまでもないわけだが

範囲内であっても使っちゃ駄目か

>>464
範囲内なら使ってもいいだろ。ここで重要なのは>>454が仮に絶対値使ったとして本当にちゃんとした答案書けるのか、って話。

>>462
なんで4元数で答えんだよｗ答え足りないけどｗ

　 整数
有理数
　 実数
複素数
四元数

>>462
問題文は「“全て”求めよ」
どうせやるなら全部書けよ

知ったかの>>454は>>452-453の答案まだぁ？

次の連立方程式を解け
2a-3b=1
2b+3a=8

>>469
章末問題以下

>>467
数の“全て”ってどこまで？

宿題ならよそでやれ
マルチすんな

>>471
「東大の入試作問者になったつもりのスレ」
↑この日本語読めない？

>>462>>467>>471ときてるのになんで>>473なの？

じゃあ8元・16元…と一般化して全部求めれば？

結局MASUDAの言う通り、>>453の答案は誰も書けない、と

絶対値が１より大きい数は含まないから−１と０と１

>>477
典型的誤答

>>452って教科書章末レベルなの？帰納法やろうとしたけど「ただ1つ存在」がなかなか示せないのは俺だけ？orz

>>479
できない奴にはなかなかできない、
できる人にとってはさほど難しくはない。
そういう意味では良い問題じゃない？

>>478
絶対値が１以下の数は三つしかないからその三つをとるしかない

何故５以下

>>478
だから、問題文は「全て求めよ」
それで全部のつもりか？

↑間違えた
>>478じゃなくて>>481

手打ち？

どうして自分は答えを書かずに，人の答にはえらそうに文句を付けてる人がいるの？

書くまでもないくらい簡単だから。

…スレが伸びすぎです．
>>477,>>481
一番やってはいけない誤答です．
>>482
5以下はなくてもいいんですが，あることを背景に作った問題なのであえてつけました．6以上もOKにしちゃうと個人的にはちょっと面白くなかったので．

> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。
> 書くまでもないくらい簡単だから。

ｂ（ｎ）／２＾ｎ＝（ｂ（ｎ−１）／２＾（ｎ−１）＋ａ（ｎ）３＾（ｎ−１））／２。

>>488
数と言ったら整数だろ

>>488
数と言ったら代数的数だろ

>>491
何この馬鹿www
じゃあ大学入試で「数」と書いてある問題は全部整数かwww

数ってのは素数のことだ

>>488
数と言ったら実数だろ

アホが東大スレにきちゃいけないだろ。さっさと巣に帰れ

アホばっか

大学入試では数は複素数

こたえ、0,1,-1　と　1,ω,ω^2
ωは1の複素3乗根の一つ

数=複素数
整数=整(複素数)=整複素数
複素数=複素複素数=複素複素複素数=複素複素複素複素数=複素複素複素複素複素数

なんで答えが>>498ででるまでこんだけ時間かかるんだか
てか絶対>>454は答案書けないな

題意を満たす相異なる３つの数のなす集合をXとおく。
0∈Xの時とそうでない時にわける。
0∈Xのとき、Xの0でない2元のうち一つは1でないのでそれをaとおく。もう一つの元をbとする。
0*a、a*a、b*aは皆相異なる。（もしa*a=a*bとすると0≠aなのでa=bになる。）
0≠b*a∈Xであるが、b*a=bとするとa=1となり不適。よってb*a=a。従ってb=1。このときa*a=b=1故、a=-1。
以上から、0∈XのときX={0,1,-1}
Xが0を含まないとき。やはり1≠aとなるaがある。のこりの２つをb、cとする。このとき、ａ＊ａ、b*a、c*aは皆相異なる
すなわちX={a,b,c}={a*a、b*a、c*a}　である。これから　とくにa*b*c=a*a*b*a*c*a。
両辺をa*b*c≠0　で除するとa*a*a=a^3=1。これから、a=ω（1の複素3乗根の一つ)。
ω、ω^2、ω^3=1で3つになるのでX={1,ω,ω^2}。

>462の4元数の一つをρとすると体同型R(ω）→R(ρ)⊆R(i,j,k)があるので
本質的に　X={1,ω,ω^2}で尽きるとしてよいのだろう。

>>501
御名答

すまん、ギブアップ
だれか>>452の解答を詳細にお願いします。

>>500に期待

>>453
1968年だかの京大にも、ある操作で閉じている数の集合を求める問題がありましたよね。
東大の一次では、3次対称群をなす一次分数関数（とその合成関数）の問題があったりして
当時の数学現代化の流れの中で今見ても結構面白い（古臭くない）問題が並んでいるのでビックリします。

>>452
b[1]=a[1]ゆえ、a[1]=p,qのうち偶数の方とする（一意に決まる)。
b[n]まで、b[k]/2^k（k=1〜n)が整数となるa[k](k=1〜n)が決まったとする。b[n]=A2^n:Aは整数とおける。
（b[n+1]を決めたいが次のようになる)　b[n]+B6^n=A2^n+B(2^n)(3^n)=(A+B3^n)2^n
ここでA+B3^n=A+B(2+1)^n=A+B+2C（C=(2+1)^nの2項展開の2^1より上の項をまとめたもの/2）である。
ここで、Aの偶奇に応じて、Bとしてp､qの奇偶の方を選ぶと（一意的に選ぶことになる）A+B3^nが偶数になる。
よって(A+B3^n)2^nは2^(n+1)で割り切れる。すなわち
a[n+1]=（上で決まったB）　とすると　b[n+1]/2^(n+1)は整数になる。
　

>>506
御名答

△ABCの外接円の半径をr，辺BC,CA,ABのそれぞれの中点をP,Q,Rとし，AP=x,BQ=y,CR=zとする．
(1) x,y,zを3辺の長さにもつ三角形が存在することを示せ．
(2) (x^2+y^2+z^2)/r^2≦27/4を示せ．

京大チックですがソフトな問題で．

MASUDA様、ソフトな問題は市販の問題集にもいっぱい載ってるので、ハードな問題も作っていただけませんか？
悶絶するくらい難しいのを待っています。

>>509
悶絶するくらいですか(笑)あんまりやりすぎると「数オリ向けだ」とか「東大レベルではない」とか言われるのでほどほどにしてきたんですが．

>>506

サンクス。でも

＞A+B3^n=A+B(2+1)^n=A+B+2C（C=(2+1)^nの2項展開の2^1より上の項をまとめたもの/2）

ここは
A+B(2+1)^n = A+B(Σ[i=0, n]nCi*2^i)
= A+B(1+Σ[i=1, n]nCi*2^i)
= A+B+2BC

（ただし、nCiはコンビネーション、C = 1/2{Σ[i=1, n]nCi*2^i}じゃない？
それと、

＞Aの偶奇に応じて、Bとしてp､qの奇偶の方を選ぶと
ここは「Aの偶奇に対して、Bとしてp,qの偶奇のほうを選ぶ｣にしないと
A+B3^nは偶数にはならないような。

違ってたらごめん。

ここってオリジナル問題じゃなくてもOK？

>>512
オリジナルな作問であればいいんじゃない？
有名問題をいじっただけの作問は大抵スルーされがちだが

オリジナルな作問？　で、かつオリジナル問題じゃないのか？
具体的にどんな問題

>>508でも十分入試になると思うんだけど。Cレベルはあるんじゃない？

>515

　AP↑ = (1/2)(b↑ + c↑) - a↑,
　BQ↑ = (1/2)(c↑ + a↑) - b↑,
　CR↑ = (1/2)(a↑ + b↑) - c↑,
辺々たすと
　AP↑ + BQ↑ + CR↑ = 0↑,

>>516
俺にレスしてどうする

>>509氏向け(悶絶レベルかは知りませんが難問です)
　pは4で割ると1余る素数とする．1,2,…,pと書かれたp個の球が袋に入っており，この袋から無作為に球を1個取り出してその球に書かれている数を記録し，球を袋に戻す，という操作を3回繰り返す．
　1回目,2回目,3回目に記録した数をそれぞれX,Y,Zとしたとき，XY+YZ+ZXをpで割ると1余る確率をpを用いて表せ．

>>516
簡単だと>>515に言いたいなら(2)を示してから言えよwww
中途半端すぎwww

>>518
[補題1]
p を素数，a を p の倍数でない整数，b を任意の整数とするとき，合同方程式 ax≡b (mod p) はただ一つの解を持つ。

[補題2]
pが4で割って1余る素数とするとき，合同方程式 x^2≡-1 (mod p) の解はちょうど２個存在する。

[>>518の解答]
(X+Y)Z≡1-XY (mod p) ……(☆) と変形して考える。

[補題2]で存在が保証された２つの値を a, b とする。

(1) X の余りが a,b 以外のとき (p-2 通り)
(1)-(i) Y≡-X でないとき (p-1 通り)
[補題1]より (☆) は Z の解をただ一つ持つ。(1通り)
(1)-(ii) Y≡-X のとき (1通り)
(☆) は 0Z≡1+X^2 となるが，Xは X^2≡-1 の解でないので，(☆)を満たす Z は存在しない。(0通り)

(2) X の余りが a または b のとき (2通り)
(2)-(i) Y≡-X でないとき (p-1 通り)
[補題1]より (☆) は Z の解をただ一つ持つ。(1通り)
(2)-(ii) Y≡-X のとき (1通り)
(☆) は 0Z≡0 となるので，任意の Z がこれを満たす。(p通り)

以上より，(☆) を満たす(X,Y,Z)の組の数は，
(p-2)*(p-1)*1 + 2*{(p-1)*1 + 1*p} = p^2+p
よって求める確率は
(p^2+p)/(p^3) = (p+1)/(p^2)

誰か>>435の解答(証明つきの)をお願い。

>>520
よくやるなぁ
俺には>>518は悶絶レベルだった…orz

>>520
御名答

>519
　解きますた。

>508 (2)
　OA↑=ａ, OB↑=ｂ, OC↑=ｃ, (ａ+ｂ+ｃ)/3 = OG↑ = ｇ とおくと
　AP↑ = (ｂ+ｃ)/2 -ａ = (3/2)(ｇ-ａ),
　x^2 = AP↑･AP↑ = (3/2)AP↑･(-ｇ-ａ) + 3AP↑･ｇ
　　　= (9/4)(|ａ|^2 -|ｇ|^2) + 3AP↑･ｇ,
よって
　x^2 + y^2 + z^2 = (9/4)(|ａ|^2 + |ｂ|^2 + |ｃ|^2 - 3|ｇ|^2) + 3(AP↑+BQ↑+CR↑)･ｇ
　　　= (9/4)(|ａ|^2 + |ｂ|^2 + |ｃ|^2 - 3|ｇ|^2),　　　　　　　　(← (1)より)

ここで Oを△ABCの外心とすると、|ａ|=|ｂ|=|ｃ|=r なので,
　x^2 + y^2 + z^2 = (27/4)(r^2 -|ｇ|^2),

ところで509=520だったのか？
ただの難問マニアがここを見ていて、難問ばかり集めた問題集としてTeXで打ってヤフオクとかにそのうちでまわりそう

>>525
難問マニアがくいつくほどのレベルの問題はそんなにないよ

xy平面上の第1象限に動点P(x,y)があり，Pはx^y=y^x,x≠y,x＞e,y＞0を満たしながら動く．このとき，Pの軌跡を表す曲線の式をy=f(x)とする．
a,bがa＞e,b＞eを満たす実数ならば，f((a+b)/2)≦{f(a)+f(b)}/2が成り立つことを示せ．
なお，eは自然対数の底とする．

MASUDAのとこから引っ張ってきたけど、この数学ファンて奴、このスレの住人だよな。

2007-09-16 07:42
[数学ファン] [編]
些細なことですけど、この問題は1996年の東工大では出題されていません。
出題されたのは1966年の1回のみです。
一応、事実関係のご指摘まで。
2007-09-16 08:41
[益田] [編]
それは旧課程出題のみです．96年はカリキュラム移行期で，新課程受験者に対してはこの問題が出題されております．再確認願います．
2007-09-16 09:57
[RF] [編]
僕も東工大の過去問持ってますが、この問題96年にちゃんと出題されてますよ。
96年前期２番は旧課程の一次変換と新課程の複素数の２題が出題されてます。

>>528
板違い

>>528
受験数学マニア益田ＶＳ知ったか数学ファン
てな感じだな
もし>>453の問題のことを指してんなら、大数がだしてる東工大入試の軌跡見りゃ96年に出てる

>>521
ヒント：性三角形

>>531
ずいぶん遠いヒントだな
せめて性四面体と言ってやれよ

↑
×性
○正

>>532 ルーローの四面体ジャマイナイノカ？

性海綿体が一番大きな多角形って
どうやって性明するの？

まず4点で考える

正８面体の辺上に異なる３点を正三角形になる取るとき
この正方形の取りうる範囲を求めよ

>>537
はぁ？何言ってんの？

>>537は痴呆

無能どもが涙目ｗ

>>537
ちゃんとした日本語書けやボケ

>>540=537か？

一辺の長さが１の正８面体の辺上に異なる３点を正三角形になる取るとき
この正三角形の取りうる範囲を求めよ (県立H高校期末試験)

余計なものつけたしたせいでスルーされそうだなｗ

数学しか能がないオタクども解いて見せろよｗ

ようするに定期試験で分からなかったから教えてってことだね。受験板に逝っとこい

>>542-544
煽っても無駄無駄。>>537の文章の時点でお前の知能レベルは知れてる
受験板へ帰んな

解けなくて泣いちゃったかｗ

>>542
まだ自分の文章がおかしいってことに気づいてないのか？
正三角形の面積か？通過領域か？
出すんならちゃんと書け

正三角形になる取る

↑これも変だね。小学校に行き直せ

じゃあ体積で

>>548
馬鹿だなぁ、宿題に釣られるなよww
こういう態度の奴は周期的に現れる。スルーしときゃいいんだよ

>>542 面積の範囲なら解けた。

答え最大最小順に半角でトリップに入れとく

>>552
それ、賢い答え方だな

通過領域の体積ならこれか

それにしても本当に体積なのか？面積ならいい問題とは思うが。ずいぶんいい加減な問題だな。

すいません思いつきで書いた問題です。答えありません。
ご迷惑をお掛けしました。

>>566
ずいぶんあっけないな

566に期待

3つの整数p,q,rは，a,nを2以上の整数として
p={a^n-1}/(a-1)
q={a^(n+2)-1}/(a-1)
r={a^(n+4)-1}/(a-1)
と表される．
(1) (p,q,r)が同時に素数になるとき，nの値を求めよ．
(2) nが(1)の値をとり，かつ(p,q,r)が全て合成数となるようなaを1つ見つけよ．

記述の短縮のため、整数mに対し　f_m(x)=�農{k=0,m-1}x^k=x^(m-1)+x^(m-2)+・・・+x+1 とおく。
整数m（≧4）が合成数ｓｔ(s,t≧2)のとき、
a^m-1=(a^s)^t-1=(a^s-1)f_t(a^s)、a^s-1=(a-1)f_s(a)ゆえ、
(a^m-1)/(a-1)=f_t(a^s)f_s(a)であり、f_t(a^s)、f_s(a)　はともに2以上の整数であるから(a^m-1)/(a-1)は合成数である。
よって、p,q,rの3つ共に素数なら、n,n+2,n+4はすべて素数でなければならない。n=3はそのような数である。
n,n+2,n+4はmod3で、n、n+1、n+2だから　nが4以上ならどれかは3の倍数である合成数である。
よって、p、q、rがすべて素数ならn=3。

a=b^2という形をしていれば、　a^s-1=b^(2s)-1=(b^s-1)(b^s+1)
よって　(b^s+1)/(b^2-1)が整数になっているようなbをもとめられればそれが例になる。
いま、3,3+2,3+4が奇数だから
b=2とするとa=4-1=3、2^(2k+1)+1=(4^k)*2+1≡0(mod3)で都合がよい。
a=4のとき　p=(2^3-1)*3=7*3、q=(2^5-1)*11=31*11、r=(2^7-1)*43=127*43

>>560
御名答．
ちなみに，p,q,rが全て素数となるようなaが2以外に存在するのかどうか現在探してますがなかなか見つからず．誰か見つけましたら是非御一報を．

xについての2つの方程式
　x^3 + mx^2 - 4 = 0
　x^3 + mx + 2 = 0
は実数mがどんな値をとっても共通解をもたないことを示せ．

>>561
a=17,2450,3020,3234,4653,7182,7514,8945,10967,...
560の(1)の証明では、n=3は必要条件。もし、問題文でaが３以上だと、実際にその様な
p、q、rが存在するかどうか、自明ではない。そのようなａの存在にも言及して「御名答」のはず。

６２３７。

これわかる人いる？
■,13,17,○,22,23,2▲
○−■＝Y
Y−▲＝X

これわかる人いる？
■,13,17,○,22,23,2▲
○−■＝Y
Y−▲＝X

実数a,b,c,d,eがa+b+c+d+e=8,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16を満たしてる時
aの最大値を求めよ

わかりません

>>567
新スタンダード演習の問題とほとんど同じでつまらん
もうちょいひねれよ

ある平面上に７個の点がある。この中の１つの点から他の２つの点が
作る辺に垂直な直線をひくということをすべての点についておこなっ
た時この直線と直線との交点の個数の最大値をもとめよ。

コイン投げを99回繰り返して表になった確率100パーセント

100回目を投げた時表になる確率は？

>>567
f(x)＝x^2は下に凸だから、凸不等式により
16−a^2＝b^2+c^2+d^2+e^2＝f(b)＋f(c)＋f(d)＋f(e)≧4f((b+c+d+e)/4)＝4f((8-a)/4)＝(a^2-16a+64)/4
となる。これを整理して、a(5a-16)≦0となり、a≦16/5を得る。一方、a＝16/5のとき、b＝c＝d＝e＝6/5と
おけばa+b+c+d+e=8,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16を満たす。以上より、最大値は16/5

誰か>>562を解いてくれ
解けん…

>>570
C(7,2){C(7,2)+1}/2=231個
>>571
1/2

にぶんのいち　ですよ

>>573
ちからずくでいかないか？

>>572
正解です
>>574
違います

>>576
そううまくもいかない

実数x,y,aがx＞a＞yであるとき
　|x-y|=|√(x^2+a^2)-√(y^2+a^2)|
が成り立つことはあるか．

複素共通解を持たないことを示す。
次にmを消した4次方程式が実数解をもたないことを示す、という流れでいかないか。

>>580
そのやり方だと迷宮入りするように作ってあります．強靭な精神力があればそれで突破できますが

　（ｘ＾３＋ｍｘ＋２）（ｘ＋ｍ＋１）−（ｘ＾３＋ｍｘ＾２−４）（ｘ＋１）
＝（ｍ＾２＋ｍ＋６）ｘ＋（２ｍ＋６）。
　（ｘ＾３＋ｍｘ＋２）ｘ−（ｘ＾３＋ｍｘ＾２−４）
＝（ｘ＾２−（１／２）ｘ−２）＾２＋（１５／４）ｘ＾２。

>>582
その変形に気がつけば早いですが(笑)

MASUDAでも笑うことはあるのか

>>579
X-Y座標平面でA:(x,a)、B:(y,a)とおくと点Aは直線Y=Xの下側、点Bは上側にあり、
直線ABはX軸に平行である。原点OとしてO,A,Bが作る三角形を考える。
問題の等式の左辺は辺ABの長さ、右辺は辺OA、OBの長さの差の絶対値である。
ABがX軸に一致しなければ、この三角形はつぶれておらず、3角形をなす条件から
AB＞|OA-OB|である。つまりこのときは問題の等式は成立しない。
ABがX軸に一致するときは、a=0のときだが、x＞0＞yで右辺は|x+y|でこれが|x-y|に等しくなることはない。
よって問題の等式が成り立つことはない。

>>584
私を人でないと

xについての関数f(x)={e^x+e^(-x)}/2があり，曲線C：y=f(x)上の2点A(0,1),P(p,f(p))(p＞0)における各接線の交点をQとし，AQ+PQ=a，曲線CのAからPまでの長さをbとする．
このとき1＜a/b＜5/4を示せ．(京大向け)

>>562
力尽くの解答（美しくない）
(1) 　x^3 + mx^2 - 4 = 0
(2) 　x^3 + mx + 2 = 0
係数がすべて実なので、複素共通解があるとすれば(1)-(2)から作られる2次方程式
(3)　　mx^2-mx-6=0　の解以外にない。
(1)の左辺を(3)の左辺で割り算すると余りは((6/m)+m+1)x+(2m+6)/mであるが、
この一次式を恒等的に0にする実数ｍはない。よって複素共通解をもつことはない。
f(x)=（２）の左辺*x-(1)の右辺=x^4-x^3+2x+4　とおく。f(x)の1階導関数、2階導関数をf'(x)、f''(x)とすると
f'(x)=4x^3-3x^2+2、　f''(x)=12x^2-6x=12x(x-(1/2))　である。f''(x)の符合を調べると
f'(x)は　x＜0で増加、x=0で極大f'(0)=2、0＜x＜1/2で減少、x=1/2で極小f'(1/2)=7/4、x＞1/2で増加である。
また、f'(-1)=-5であるから、方程式　f'(x)=0　は　-1＜x＜0で唯一の実解をもつ。それをαとすると
f(x)はx＜αで減少、x=αで極小f(α)、x＞αで増加である。
ここで、４α^3-3α^2+2=0を使って　f(α)を簡約すると
f(α)=-3α^2+24α+66になるが、-1<α＜0のとき　f(α)＞0である。
よってf(x)=0が実解をもつことはない。

>>581

>>582は>>580の流れに沿った解答例だよね
俺はこれで十分エレガントな解答だと思うけど
出題者の意図した強靱な精神力を必要としない
解答の流れはいったい何だったの？

>>589
4次方程式のままガリガリいくとなかなか>>582にのやり方にはいかないです．気がつけばそれまですが．
2式の左辺をA,Bとして
A=0かつB=0⇔A-B=0かつA=0⇔A+2B=0かつA=0
という同値性を使い，xを消去する方法です．

全角と半角をまぜるの流行ってるのか？

｢わからない問題は〜」のスレの問題はほとんど見た瞬間に解けるんだけど
こっちの問題はひとつもできないや。
みんなすげー。

俺、東大じゃないけど数学科卒業のはずなんだけどな。
もう1回勉強するかな。

このスレのおかげでまた数学熱が復活してきたよ。

　　 　　　／￣￣￣＼
　　　　／　─　 　 ─ ＼
　　 ／　 （●） 　（●）　 ＼.　好みの女性がいたのでムラムラしました。
　　 |　　　　（__人__）　　　　|
　　 ＼　　　 ｀ ⌒´　　　　／　おっぱいや太もも、性器を触りつづけしたが、それが何か？
　　 ／ 　 　 　　　　 　 　 ＼

そりゃマスダ違いだ

a^2+4b^2(a,bは互いに素な正の奇数)という形で表される整数全体の集合をFとする．
(1) Fに含まれる素数p,qがあるとき，pq=c^2+4d^2を満たす互いに素な奇数の組(c,d)がただ1組存在することを示せ．
(2) Fに含まれる合成数pq(p,qは2以上の自然数)があるとき，p∈F,q∈Fであることを示せ．

８５。

二進数で　1, 10, 101, 1010, 10101, 101010,....と1,0が交互に変化する数列 の第ｎ項をa_n とするときa_n の満たす漸化式を求め、解を求めよ。

初項をa[1]=1として、a[n]=2a[n-1]+{1-(-1)^n}/2
解ではなく、一般項はa[n]={2^(n+2)-3-(-1)^n}/6

a_n = a_(n-1) + 2*a_(n-2) + 1
a_n=2*a_(n-1)+a_(n-2)-2*a_(n-3)
a(n) = ceiling(2*(2^n-1)/3) （ceilingは小数部分を繰上げる天井関数）

596は、85=5*17=(1^2+4*1^2)*(1^2+4*2^2)=9^2+4*1^2=7^2+4*3^2
と二通りに表せるので595(1)の反例になっているのでは？という意味のメッセージと
受け止めたが、17は「bは奇数」にあてはまっていないため、反例になってない。

しかし、65=5*13=(1^2+4*1^2)*(3^2+4*1^2)においては、
> c^2+4d^2を満たす互いに素な奇数の組(c,d)
を、見つけられない。(c=1,d=4は、ｄが偶数なためダメ)
595の問題で証明しようとしている事柄の反例になるはず。

問題に不備があると思われるが、どうですか？

4を無理やり出したらおかしいことになると今気がつきました．失礼．

>MASUDA氏
質問スレに一言してくだされ。

P(x),Q(x),R(x),S(x)は多項式で、
P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(1+x+x^2+x^3+x^4)S(x)を満たす。
このとき、P(1),Q(1),R(1),S(1)いくらになるか

P(1)+Q(1)+R(1)=5S(1)

>>603
とりあえず
P(1)=Q(1)=R(1)=S(1)=0
なら成り立つ
他にもあるかも

ζを１の複素5乗根のひとつとしてxにζ^i（i=0〜）4を入れていく

今の学習指導要領ではド・モアブルの公式は習わないから、その解法ではダメだろ

f(1)=1,f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n)とする
すべての自然数mに対してaf(m)+bf(m+1)がf(n)のどれかに属するようなa,bを求めよ

関数f(x,y)はすべての非負整数x,yに対して
f(0,y)=y+1,f(x+1,0) = f(x,1),f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))
を満たしている。f(4,2008)を求めよ。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

また出たよホラ吹きがwww
最近多いね

あっそう

>>610
ふーん。じゃあ>>435の(2)をちゃんと答えてみてくれないか？
ここの問題10分以内に解けるんだろ？

(1)も証明できない俺。誰か証明して。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

ただ>>609は10分以内に解ける人多そう
俺が出した問題いつもすぐ解かれちゃうし

>>615
発言内容から見るにお前は東大の問題を全く知らんだろ
嘘なの丸分かり
早く>>435の(2)を解いてくれよ>>615先生よぉ

本当に数学できる人はそんな発言はしませんよ．>>610,615には知性が感じられません．
だいいち東大レベルを越えた問題がこれだけ出ていてあの発言ということは難問に触れたこともないと思いますね．
問題もろくに解かずに単に大風呂敷広げているだけでしょう．

トリをつけ忘れました．ちなみにMASUDAです．

>>618
ちょｗｗｗ
東大レベル越えてるの知ってて出題したんすか？ｗｗ

というかトリを書いてしまったのでトリ変更…何をやってるのだか…

0<x<eのとき，
　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x)
が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。

「東大レベル」でもいろいろあるからなあ・・・
98年後期のグラフの問題のような難問も出るし。
俺は難しい問題の方が好きだからMASUDAさんの問題はありがたい。

(e-x)log(e+x)＞(e+x)log(e-x)
⇔e{log(e+x)-log(e-x)}＞x{log(e-x)-log(e+x)}
⇔elog{(e+x)/(e-x)}＞xlog{(e-x)/(e+x)}
⇔elog{1+2x/(e-x)}＞-xlog{1+2x/(e-x)}
1+2x/(e-x)＞1よりlog{1+2x/(e-x)}＞0
∴両辺log{1+2x/(e-x)}で割ると
e＞-x
これが成り立つことは0＜x＜eより明らか

>>620
全部が全部東大レベル越えしてるわけじゃないですよ．私の問題は大半がCレベルもしくはDいくかいかないかのレベルですから．たまに出す>>435や>>518とかは東大越えしてます．

ここの住民にしてみたらCレベルでは物足りないところもあるだろしね
東大で1セット中1題出てくる難問くらいのレベルの問題をMASUDAは出してくるからちょうどいいとは思うが

ここの住人にしてみたらCレベルでは物足りないところもある
東大で1セット中1題出てくる難問くらいのレベルの問題をMASUDAは出してくるからちょうどいいとは思うが
難問でも少し手を抜いて易しく作ると>>622→>>624みたいに瞬殺されるし

最近の東大はA〜Bレベルがほとんど、1問くらいCがあるかないかって感じだけどな

0≦x≦1において連続な関数f(x)がある．nを2以上の自然数とするとき
n∫[a,a+1/n]f(x)dx=∫[0,1]f(x)dx
を満たす実数a(0≦a≦1-1/n)が必ず存在することを示せ．

>>624は見た瞬間おかしい（同じものが出るはずがない）
でよく見ると二行目で移項間違ってる

>>628
後期がなくなるから今年からはたぶん難化すると思う

>>527
スルーされてるがどうやるんだこれ？

nを2以上の自然数、eをネピア数とする。
次を示してください。

n^n＜n!/e^(1-n)＜n^(n+1)

(-Bくらいでしょうか)

>>629
g(a)＝n∫[a,a+1/n]f(x)dx−∫[0,1]f(x)dx (0≦a≦1−1/n)とおくと、gは連続。また、
g(0/n)＋g(1/n)＋…＋g((n−1)/n)＝0 であるから、g(i/n)≦0かつg((i＋1)/n)≧0を
満たすi(0≦i≦n−1)が存在するか、あるいは、g(i/n)≧0かつg((i＋1)/n)≦0を満たす
i(0≦i≦n−1)が存在する。どちらの場合も、中間値の定理から、g(a)＝0を満たすaが
存在する。

>>609
2^2^…^2^4-3

nを自然数とする．
(1) pが素数ならば，1≦k≦p/2をみたす全ての整数kについてC[p-k,k]+C[p-k-1,k-1]がpで割り切れることを示せ．
(2) 漸化式
a[1]=1，a[2]=3
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
で定められる数列{a[n]}について，pが素数ならば，a[p]-1はpで割り切れることを示せ．

ちなみに>>636は(1)と(2)の間もう1題誘導があったのですが，その誘導があるとこのスレの方々なら即答できるレベルになってしまうので省いてます．

進振りで後年しそうな俺が来ましたよ（´・ω・｀）

暇つぶしに解いていくかな

＞(1)と(2)の間もう1題誘導があったのですが
過去の模試問か何かでしょうか？

>>639
意外にマイナーなとある定理の証明問題を大学入試向けに私がつくりかえたものです．作った当初は誘導3題だった，ということです．

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

ごめんなさい。なかなか更新されなかったんで失敗しちゃいました。

自分のサイトで出題しています

MASUDAで検索すれば見つけられますか？
あと高校生ですけど大丈夫でしょか？

http://83.xmbs.jp/checkmath/

>>647
ありがとうございます

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

>>649
相対的にあなたのレベルが高いということに気づかない時点で、

>>649
なんかずっとコピペしてるみたいだけど虚しくないか？

お馬鹿はスルーでＯＫす．

センター試験の男の試験総合
http://www.yoasobi.co.jp/aquarius
君は受かることが出来るのか？

>>636
(1)変形すればp(p-k-1)!/k!(p-2k)!
になる。ところで階乗記号ってこれでいいの？

解いても解かなくても文句たれるクソッタレ

>>636
階乗記号はそれで何ら問題ないですが．

>>655
だからよお、>>435解けたら認めてやるって言ってるじゃん。解いてみなよ？

>655
>解いても解かなくても
お前は１問も解いてないわけだが

真・スルー　何もレスせず本当にスルーする。簡単なようで一番難しい。
偽・スルー　みんなにスルーを呼びかける。実はスルーできてない。
予告スルー　レスしないと予告してからスルーする。
完全スルー　スレに参加すること自体を放棄する。
無理スルー　元の話題がないのに必死でスルーを推奨する。滑稽。
失敗スルー　我慢できずにレスしてしまう。後から「暇だから遊んでやった」などと負け惜しみ。
願いスルー　失敗したレスに対してスルーをお願いする。ある意味３匹目。
激突スルー　話題自体がスルーの話に移行してまう。泥沼状態。
疎開スルー　本スレではスルーできたが、他スレでその話題を出してしまう。見つかると滑稽。
乞食スルー　情報だけもらって雑談はスルーする。
質問スルー　質問をスルーして雑談を続ける。
思い出スルー　攻撃中はスルーして、後日その思い出を語る。
真・自演スルー　議論に負けそうな時、ファビョった後に自演でスルーを呼びかける。
偽・自演スルー　誰も釣られないので、願いスルーのふりをする。狙うは４匹目。
３匹目のスルー　直接的にはスルーしてるが、反応した人に反応してしまう。
４匹目のスルー　３匹目に反応する。以降５匹６匹と続き、激突スルーへ。
孤高のhageスルー　スレの流れや罵倒をスルーし定期的に淡々とh抜きを繰り返す。
ゲンスルー　連載そのものをスルーしてしまう。

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

>>660
提唱者乙
そんな問題文じゃ誰も解いてくれないけどね

a,b,cは異なる複素数であり
　a^2=b，b^2=c，c^2=a
を満たす．このとき，a+b+cは実数となりうるか．
(極形式は現在高校範囲外ですので)

新参でアフォみたいな質問で悪いのだが、ここのスレって
解けたらここに記述でおｋ？
誰も答えを書かずにスルーされている問題が多くて気になった。

>>663
それでおk
ここに書くのもスルーするのも

自由だー！

サンクス

暇だったらここにでも書き込むか

MASUDAさんのホムペ見たけどなかなかおもしろいな
なまった頭を鍛えなおすとするか

実は前スレから↓の問題引きずってます。
解法、ひいては指針だけでもよいので教えていただきたい。


kは1より大きい定数として，α,βをksinα=sinβ,0＜α＜β＜π/2をみたすように定めるとき，β/αはβの増加関数であることを示せ．

>>666
[補題1] 0<p<1，0<x<π/2 に対して，ptan(x)>tan(px)
[証明] y=tan(x) 上の2点(0,0),(x,tan(x))を結ぶ線分がy=tan(x)より上に来ることを考えれば明らか。

[系1] 0<p<1，0<x<π/2 に対して pcos(px)sin(x)>sin(px)cos(x)

[補題2] p を 0<p<1 なる定数とするとき，f(x)=sin(px)/sin(x) は 0<x<π/2 で単調増加
[証明] f'(x) の分子が pcos(px)sin(x)-sin(px)cos(x) となるので[系1]より従う。

[補題3] 0<p,q<1 および 0<x<y<π/2 が sin(px)/sin(x) = sin(qy)/sin(y) を満たすならば，p<q
[証明] [補題2]より sin(px)/sin(x) は x に関して単調増加，また明らかに p に関して単調増加なので。

[>>666の証明]
α/β=p とおいて，p がβに関して単調減少であることを示す。
α=pβ なので，ksinα=sinβ ⇔ sin(pβ)/sinβ = 1/k
右辺が β によらない一定値であるので，βが増加しても sin(pβ)/sinβ の値は一定に保たれる。
従って[補題3]より，βが増加するとき p は減少する。よって題意は示された。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高1だけどほとんど5分以内に解けるわ

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
だけど、大学生になってから勉強してない俺にはどれも解けないな

ワッフルワッフル

東大の名を借りている癖にレベル高すぎるなここの問題
東大の問題なら３年に一回は満点なのにここはできない問題が多くて自信がなくなるわ

>>662
a+b+cが実数と仮定すると
a+b+c=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
∴ab+bc+caも実数
また、abc=(abc)^2
abc=0だとa=b=c=0となり矛盾
∴abc=1で実数
以上からa,b,cのうち少なくとも1つは実数となる
aを実数と仮定すると
b=a^2よりbは実数
c=b^2よりcは実数
∴a,b,cは全て実数
a=c^2=b^4=a^8
同様にb^8=b,c^8=c
以上からa,b,cはx^8-x=0の異なる3つ実数解となるが
x(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
∴実数解を0,1しか持たず矛盾
以上よりa+b+cは実数とはならない
■

>>672
御名答

>>636
(1)通分すれば明らか。
(2)p=2のときは明らかなので，pは奇素数と仮定してよい。
a[n]の一般項は a[n]={(1+√5)/2}^n + {(1-√5)/2}^n である。
n=pを代入し，二項展開すると，偶数番目の項のみが残って，
　a[p]=1/2^(p-1) Σ[k=0,(p-1)/2] C[p,2k]5^k
と表せる。分母を払うと
　2^(p-1) a[p]=Σ[k=0,(p-1)/2] C[p,2k]5^k
この両辺を mod p で眺める。まず，フェルマーの小定理より 2^(p-1)≡1 (mod p)
また，C[p,2]≡C[p,4]≡……≡C[p,p-1]≡0 (mod p) なので，右辺のΣはk=0の項のみが残り，
　a[p]≡C[p,0]5^0 = 1 (mod p)
となるので示された。

(2)で(1)を使わなかったんだが……

a,bを実数とする．xについての方程式x^2-ax+b=0の解をp,q(p≦q)，x^2-bx+a=0の解をr,s(r≦s)とすると，p,q,r,sは正の整数となる．(a,b,p,q,r,s)の組み合わせを全て求めよ．

>>674
それはフェルマー小定理使ってるからだろ

>>674
a[n]=Σ(二項係数+二項係数)
の形にすれば(1)が使える。MASUDAが隠した誘導はたぶんこの変形部分。これがあると(3)はほぼ自明に近い。
普通の受験生はa[n]の一般項から攻めようとは思わんだろ。フェルマー小定理もそのまま使っていいもんじゃないし。

>>674
フェルマーの小定理を使わなくとも
pが奇数の素数のとき、2^(p-1)≡1　(mod　p)となることは
2*2^(p-1)=2^p=C[p,0]+C[p,1]+･･･+C[p,p]≡2　(mod　p)より
2^(p-1)≡1　(mod　p)
と示せる(出題者の意図とは異なるだろうけれども)。

>>675
解と係数の関係からa,bも正の整数
２つの二次方程式が解を持つから判別式≧０
a^2-4b≧0
b^2-4a≧0
以上を満たす領域は(a,b)=(0,0)のみ
よって(a,b,p,q,r,s)=(0,0,0,0,0,0)

何か勘違いしてる気がする・・・

>>679
領域図示してみたか？
(a, b)は無数にあるぞ。

a,b正の整数って条件から原点のみになりそう
明日酒が抜けたらもう一回落ち着いて考えてみるわｗ

　　一辺ノ長サガ一ノ正十二面体ニ内接ス球ノ半径ハ幾ラカ(S16一高)

凸多角形アリ。ソノ内角ガ等差級数ヲナシ、再小角ガ１２０度、公差ガ
５ナラバソノ邊数如何。(11京城大)

一辺の長さが１の正方形ＡＢＣＤの内部に二つの点Ｐ、Ｑを取る。
このときAP+BP+PQ+CQ+DQの取りうる範囲を求めよ。

表面積が１の立体の体積の取りうる範囲を求めよ

>683

邊の數をn角形とし、内角をθ_1 〜 θ_n とする。
凸n角形は n-2個の3角形に分割できるので、内角の和は 180(n-2),
θ_k = 120 + 5(k-1),
θ_1 + θ_2 + … + θ_n = 120 + 125 + … + {120 + 5(n-1)} = 120n + (5/2)n(n-1),
一方、凸n角形は n-2個の3角形に分割できるので、内角の和は 180(n-2)
θ_n < 180 より n<13,
∴ n=9.

>>685
適当に出すな
高校範囲での解答を用意できてるのか？

無能ニートが涙目ｗｗｗ

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
中２女子だけどほとんど１０分以内に解けるわ

だってここのスレは無能オタクのすく…(ry

>>681
それは酔いすぎです．原点は答えには入りません．

>>688
お前、自分で正８面体の問題出しといて自分だけ答え分かってなかったから逃げ出したこないだのガキだろ？文体からバレバレ

>>688=690
ひどい自演
>>689
そのセリフ、なんかもうネタだなぁwww飽きたわ
中２女子の次は小学生あたりいきそうだけど、もうちょい斬新なのはないか？

>>688-690ってMASUDAのサイトにいたIQ200とかいう奴じゃね？それかピーコか。ここで最近現れる荒らしのパターンがだいたい同じなんだよな

a=p+q=rs、b=r+s=pq
a=bのときp+q=pq⇔(p-1)(q-1)=1から(a,b,p,q,r,s)=(4,4,2,2,2,2)
a＞bのときp+q＞pq⇔(p-1)(q-1)＜1
∴p,qの少なくとも一方が1なのでp=1とすると
a=1+q,b=qからa=b+1
∴rs=r+s+1⇔(r-1)(s-1)=2
∴(r,s)=(2,3),(3,2)
∴q=2+3=5
以上から
(4,4,2,2,2,2),(6,5,1,5,2,3)←全部書くのめんどくさいから省略するけどこれをいろいろ入れ替えたやつもおk

>>695
御名答

692 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 09:48:48
>>688
お前、自分で正８面体の問題出しといて自分だけ答え分かってなかったから逃げ出したこないだのガキだろ？文体からバレバレ


無能ニートの悲痛な叫びｗ

>697
くどい

>>684 数オリの予選問題じゃん

文体からバレバレとかさすがに痛すぎるだろ･･･

693 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 09:53:35
>>688=690
ひどい自演

これはひどいｗｗｗどこが自演なんだよｗｗｗ
国語大丈夫ぅ？ｗぷぅｗｗｗ幼稚園からやりなおせよｗｗｗ

>>688に対する>>692の返しが意味不明。バレたからってそれしか言い返せんのか？

>>701
お前ピーコだなwww

698 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:47:16
>697
くどい

すんならわざわざレスしなくてもスルーすればいいのにねぇｗｗｗ
図星で思わずレスしちゃったんだね？ｗｗｗ涙目のニート乙ぅｗｗｗ

かまってほしいだけのただのガキだろ？問題出すにも数オリからしか引っ張ってこれんし。
MASUDAさん早く次の問題〜

なんだオリジナルじゃないのかよ

論破完了ｗ

何をもって論破完了よwww

705 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:54:09
かまってほしいだけのただのガキだろ？問題出すにも数オリからしか引っ張ってこれんし。
MASUDAさん早く次の問題〜


嘘こけｗｗｗ適当に思いついた問題だぞｗｗソース出せよｗｗｗ低脳ｗｗｗ
解けなくて発狂したか？ｗ

ここの住民を無能って言いたいんなら1問くらい問題解いてみろよ？頭いいんならすぐに解けるんだろ？

702 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:51:42
>>688に対する>>692の返しが意味不明。バレたからってそれしか言い返せんのか？

ニホンゴダイジョウブデスカ？

>適当に思いついた

ボロがデタ━━━＼(･∀･)／━━━！！

1993年 予選問題の5問目だな。

>>712 だって問題見ればわからね？
どう見たって適当だろ？ｗｗｗ

>>709
つまりは出題者自身解けない、と

>>715 だって俺私文志望の浪人だしｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

適当な問題出しといて「適当に出すな」と言われて「無能」と返しておきつつ「適当に出した」

お前馬鹿？

ニホンゴでおｋｗ

699=713だが数学の部屋の問題投稿にも似た問題を最近解いていたからわかった。
これ発想の仕方はなかなか面白いよ

>716
なんだ、ただの私文馬鹿か
まあ書き込み見てる限り数学どころか文系教科すらできなさそうだけどなwww

>>720 ほっとけよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
浪人がこんな時間に２ｃｈやってる時点で察しろｗ

だから書き込みで判断とかはさすがに痛いからよしとけ…

まあ仮にここの住民がニートだとしても
ニート≫私文志望の浪人
だからなぁ

数学なんて中学以来全く触れておりませんが何か？

それでも数学超できる方を泣かせる問題作れるとは自信になると同時に
数学オタの方は無能な方が多いことも分かりました。
帝京大学落ちたバカすら論破もできないとは…
理学部数学科＝オナニート学科ってことが分かっていい経験になりましたｗ

>>722
本人が認めてるからおk

ゆとりだねぇ・・・

>泣かせる問題
答えが円だってことはみんな分かってるよ。ここはそれをいかに高校範囲で解くかのスレ。
そもそもここに理学部数学科がはたして何人いるかって話だが、10人おらん気がする。一度アンケートとりたいけどな。大量出題してるMASUDAは理学部じゃないし

数学超できる奴は2chに書き込みさえしない

どこをどう論破したというのかwww
論破そのものを分かってないwww

>>728
禿同

数オリ金メダリストの片岡君は数オリスレに去年書き込んでいたけどな

>>727
俺は理学部どころか理系学部ですらない。経済学部ね。

>>730が事実なら>>728-729は片岡君に菓子折り持って謝りに逝って来いよ。

超できる奴じゃなかったらどうするよｗｗｗ

大学院やそれ以上の数学の知識がある方を数学が超できるというのならばよくわからないが一人今、大学への数学でガッコンの解答や宿題の作問などを手がけていらっしゅるJ氏という人しか知らない。
>>732
去年の数オリのちょうど予選が終わったころだったかと思う。片岡君のHPの掲示板で片岡君が解答書き込んで２ｃｈでボーダーはいくつぐらいかと書いていた。

東大生喪だけどおまいら大学生？

ここは中学生〜受験生〜大学生〜社会人まで混成

つーか、どの問題のこと？

平面上の５つの点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあって４つの数a、b、c、dが
a、b、c、d≧０、a+b+c+d＝１の時、a↑OA+b↑OB+c↑OC+d↑ODはどんな図形
を作るか？

ベクトル勉強したぉｗちゃんと解けるの確認したから誰か今度こそ
解いて欲しいぉｗ

今度は教科書から引っぱってきたのか？ｗ

おまいら反応しないように。

さすがに素数様ネタはここではもう通じないか

姉は折り紙を四十枚、弟は折り紙を七十枚持っている。
姉が弟に折り紙を何枚かあげても、姉の枚数が弟の枚数より二倍より多くなるようにしたい。
姉は弟に何枚まであげることができるか。
あげる枚数をΧ枚として不等式を作って求めよ。

2^3は
にのさん「乗」
だから乗でいいんだよ
MASUDAさんは
「にのさん乗」を
2*3だと思ってるのかい？

>>743
ん？私に何か？いきなりふられたんでよく分かりませんがどの問題をさして言っておられるので？

流れが意味不明
MASUDAがとんだとばっちり受けてるよ
>>743の意図がわからん

どこにでもいる意味不明なこと口走る奴にいちいち対処していたらキリがない

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180106693/
上と混乱している模様。

たぶん>>743は乗法という言葉を勘違いしていると思われ

>>743にダイレクトに問題
(1)「積」の意味を述べよ。
(2)「乗法」の意味を述べよ。
(3)「累乗」の意味を述べよ。

ん？
流れがよくわからんが
2^3が積だか情報だか累乗だかであることが東大入試と何か関係あるのか？

ようやくわかりました．私のサイトで「a*b」を「乗法」と説明しているのですが，>>743氏は「乗」という文字を見て「乗法はa*bじゃなくa^bだ」と主張しているかと．

>>743は
乗といってるが乗法とは言ってないような
「乗」ってなんだ？

加減乗除が分からん奴がこの板にいようとはな。履修漏れか？>>743は小学校に行きなおしなさい。

>>752
MASUDAはこの板では「乗」なんて言葉は一度も書き込んでない(はずだよな？)。
となればMASUDAの推測通り、743はMASUDAのサイトの数学記号表記説明を見て書き込んだとしか考えられない。

>>754
御名答(なのか知りませんが)

最近の東大作問スレおもしれーな色んな意味でｗ

よほどツマラン日々を送ってるんだな…合掌

MASUDAさんは「にのさん乗」を2*3だと思ってるでFAですね

俺の文章からどこに現実と結びつけられるところがあるんだろうｗ

みんなスルー力が足りないね

>>735
仲間がいたｗ

これまでMASUDAさんの問題を解答してきましたが，これからはMASUDAさんを見習って作問にもチャレンジしていこうかと思います。
初心作を一つ。

nを自然数とするとき，
　Σ_[k=0,∞] C[n+k,k]/3^(n+k+1) = 1/2^(n+1)
を示せ。

1　√2+√3が無理数で或る事を示せ
2　ｎが自然数のとき、√ｎ+√（ｎ+1）が無理数である事を示せ。

>762
　Σ_[k'=0,∞) x^k' = 1/(1-x),
これをn回微分して
　Σ_[k=0,∞) (n+k)(n+k-1)・・・(k+1)x^k = n!/(1-x)^(n+1),
　Σ_[k=0,∞) C[n+k,k] x^k = 1/(1-x)^(n+1),
　Σ_[k=0,∞) C[n+k,k] x^(n+k+1) = {x/(1-x)}^(n+1),

>763
背理法による。
x = ±√n + √(n+1)　は x^4 -2(2n+1)x^2 +1 =0 の根である。
xが有理数であると仮定すると、x=p/q　(p,qは互いに素な自然数)と書ける。
　p^4 -2(2n+1)(pq)^2 +q^4 =0,
よって
　p^2 -2(2n+1)q^2 +(q^2/p)^2 =0,
　(p^2/q)^2 -2(2n+1)p^2 +q^2 =0,
∴　q^2/p, p^2/q が自然数となる。
これは p,q が互いに素であることと矛盾する。

>>763
x = √n+√(n+1) とする
1/x = √(n+1)-√n

x が有理数とすると
x + (1/x) = 2√(n+1)
x - (1/x) = 2√n
の両方とも有理数となって矛盾

>>758
> MASUDAさんは「にのさん乗」を2*3だと思ってるでFAですね
ににさんを乗ずるとにのさん乗の区別がつかないとは・・・

>>764
さすがにこのスレでは一撃で解かれてしまいますね……

その解法で使われている，無限和と微分の順序交換（項別微分定理）は高校範囲外ですが，
和をS_nとおいて漸化式を立てれば，高校範囲で解くこともできます。

>>763の一般化

p, q, r を自然数とし，条件
「pq, qr, rp のいずれも平方数でない」
が満たされるものとする。
また，a_1,…,a_7 は
　(a_1)^2 + (a_2)^2 + … + (a_7)^2 > 0
を満たす有理数とする。

このとき，
　a_1√p + a_2√q + a_3√r + a_4√(pq) + a_5√(qr) + a_6√(rp) + a_7√(pqr)
は無理数であることを示せ。

>>758
私がいつそんなことを言ったというのですか？

馬鹿は相手しなくて良いよ。

nを自然数，pを0＜p＜1を満たす有理数とする．数列{a[n]}を以下のように定める．
　a[1] = 1
　a[n+1] = a[n]2^p (1≦a[n]＜2)
　a[n+1] = a[n]/2　(2≦a[n])
(1) a[n]＜4を示せ．
(2) 任意のnについてもa[n+c]=a[n]を満たす自然数cが存在することを示せ．また，cはどのような数か．

>>768
　(a_1)^2 + (a_2)^2 + … + (a_7)^2 > 0
を満たす有理数とする。

これは？

>>772
全部同時に0にはならんてことだろ

ふと思ったんですけど、「実数a_1,a_2....a_7のうち一個だけが0で他の6個は0でない」っていう条件は簡潔にかけますか？

ここの人はみんなしっとるかもしれんが

√(1+2√(1+3√(1+4√1+5√(1+‥‥‥
の値はいくつか

>>774
その前に「a=0 かつ b≠0」を簡単な式で表すことができないので無理だろう。

すみません，>>768の仮定は
「p, q, r, pq, qr, rp, pqr のいずれも平方数でない」
に訂正します。

>>776
a/b = 0 はどうよ？

>>775
ラマヌジャンの問題だろ

答えは３

ほかの奴が問題出すとMASUDAの問題の難度が際だつな
>>771の最後が分からん

>>771
(1)明らか。
(2)明らか。p=n/m(n,mは自然数)とするとc=m+n

今宵また　百の蝋燭に火が灯る……

生きる限り付き纏う“見えざる者”の恐怖
異界の記憶
忘れられない体験…

言葉として紡ぎ　百の物語を完成させましょう

蝋燭を吹き消すのは　あなたご自身です
灯りを落とし　手鏡をご用意下さい
百の怪を語り終えたとき　鏡に映るのは貴方だけではないかもしれません

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○募集しています○
進行役さん、語り部さん、DJさん。そして聞き役さん

このスレって東大狙ってる人が来てるわけじゃないんだよな？
そんな暇ないよな？

>>781
正確には「mとnは互いに素」がつくけどな。
証明問題で「明らか」じゃあ本当に解けたのわからんけど。c=m+nは実験すりゃすぐ分かるから。証明は「明らか」っていえるほど簡単じゃないだろ、これ

カスｗ

以下では10進法で考える．
ある整数aは2以上9以下である．a,a^2,a^3,…,a^n(n=1,2,3,…)のうち，最高位の数が1以上a-1以下である確率をp[n]とするとき，lim[n→∞]10^p[n]をaで表せ．

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

はいはい
スルー

>>787
日本語が下手ですね

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

平面上の５つの点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあって４つの数a、b、c、dが
a、b、c、d≧０、a+b+c+d＝１の時、a↑OA+b↑OB+c↑OC+d↑ODはどんな図形
を作るか？

一辺ノ長サガ一ノ正十二面体ニ内接ス球ノ半径ハ幾ラカ

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

>>791
「ベクトルの作る図形」って何

>>790 >>793
無限の中からどのように２実数を選ぶか、その手順が明確に指定されない
限り、この確率は計算できない。

>>784
p=2/3,c=10のとき
p=n/m(n,mは自然数),c=m+n,mとnは互いに素
となるm,nは存在しない

>>794-795
正しい対応の見本。もしくはスルーするのがベスト。

>>784
いや、そんなに難しくない。

>>786
この問題文、言いたいことはなんとなく分かるが、日本語になってないと思うのだが…。
違和感感じるのは俺だけか？

>>795
集合でしょう。
すべて同じでいいのかな？

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bは-ｋ≦a.b≦k（ｋは0より大きい実数）
を満たす範囲内の実数から、同率で選ばれる。
このとき、二次方程式f(x)=0の解が
2つの異なる実数解、重解、虚数解である確率を
R（ｋ）、M（ｋ）、I（ｋ）とおいたとき、
ｋ→∞において、最大と成るものはどれか、説明を交えて答えよ。

R（ｋ）＝I（ｋ）は自明だよね。
あとは、M（ｋ）だけど、たぶん同じだろう。

>>795
>>790は問題ちゃんと読めば明確だろ。あるaって書いてるし。
p[n]=loga

と馬鹿が申しています。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

>>803は本物の馬鹿の予感…!!

804と805の順番が逆になって、失礼しました。

>>807
神

>>803
それ、2つの確率の問題がごちゃ混ぜになってるよ

>>784
死ね

>791
　{OA,OB,OC,OD}の凸線形結合の集合、すなわち 集合{A,B,C,D}の凸包 (convex hull)

>794
　与式 = ↑OP としたとき、点Pの存在する範囲。

>>810
ずいぶん荒れてるねぇ

カルシウムがたりないね

　　　　　　　　 / :/ / :.:/ .:.{ :.{:.:　 {:.:.:..　　ヽ:.:.:ヽ:. ＼
　　　　　　　 / :/〃:.:.:.l :.:.八.:ヽ:.　',:.:.:.:..　　'.:.:.:.|:.:.l:. l
　　　　 　 　 ｌ　| l | :.:. |, /-‐ヽ.:＼:.:＼´:.￣ ヽ:.:l:.:.j:. |
　　　　 　 　 |　| i l :. /! {　__　＼{ ＼ヽ＞=くﾊ:/:./:./
　　　　 　 　 |　N八 :.:.l{ ｲﾃ下　　　　｀'f_:::: }V/ｲ /|
　　　　 　 　 | / {ﾍ:.ﾄ､:':{ﾊi_::::j　　　　　 r':;;ｿ 〃{:.　|　　まあまあとりあえずお茶でもどうぞ
　　　　　　　j/　　ヾｲﾞヽゝ v:ｿ 　 　 ' 　 ｀´　厶 |:.　l
　　　　　　 / 　 .:.:.:/|　:.:ﾍ、　　　 ー '　　 ,ｲ:.:.　|:.:. ﾊ
.　　 　 　 /　　.:.:;:'イ|　:.:小＞ ､ 　 　　 イ　|:.:　 ド､ い
.　　　　 /　　,／　　.|　:.:.:| ＼.　　￣´／〈　.!:.:　 l　 ＼ヽ
　　　　/　　/　　　　|　:.:.:|　　＼ ー ´　/ ヽｌ:.:.　 |　　 l い
.　　　/　　/　　　 　 !:. :.:.{　　　　 ー'　　〇}ﾘ:.　/　 ,　|:.　l
　　 /　　.:l　　　ヽ　 ヽ:.:.:ﾊ　　　　　　　　__{__}:./__ /　 l:.:i |
.　 ,'/　.:.:.:j　　　　 Y　 ＼!　　　　ヽ､/　├───┤ ｲ:.:i |
　〃! :.:.:./`　　　　 |!i　　 r=====┬‐─┤ V*　,,,　|　 Vﾘ:l
　l /!:.:.:/　　　　　　|l　　/　　　 　 V===.|　*ヽ";;./ﾞ|　　Vﾉ
　|ハ:.:.{_　　　　　__ |l　 {　　　　　　}　l/∧　{;.Y,,､∨__, -ゝ、
　ヽ ヽ:.:.丁¬‐厶__ヽ== ゝf士土,イ 三{==ヽｪｪｪｪ/=と∠＝'=ｧ
　　 　ヽ:.l　　ｨ{＞ーｧ‐‐ｧ‐ｯ────t─zr‐t―‐r‐v―､ｬ厂
　　　　 ｀| /　＼ '´ ／／ｲ`　　　　　　ﾊ　Lﾑﾍ 'ヽ_〉_＼_／
　　　　　ヽ　　　`ｰ^T´‐┘　　　　(⌒)! ヽ　　ヽ＼　　　/　

nは3以上の整数とする．空間にn個の点からなる集合Aがあり，Aのどの3点も直線上にないものとする．任意のAについても以下の条件を満たすような3点が必ずとれるとき，nの最小値を求めよ．
条件『3点をP,Q,Rとしたとき，PQ↑･PR↑＜0』

>771, 780, 798
　a[k] = 2^(p(k-1) - K), Kは非負整数、 1≦ a[n] < 2^(1+p).
　pが有理数のときは、p=n/m (n,mは互いに素な自然数) と書ける。
　a[1] から始めてm回目に増加したものを a[c] とすると
　2^p ≦ a[c] < 2^(1+p),
　a[c] = 2^(pm -K) = 2^(n-K) = 2^(n+m-c+1),
より　a[c]=2,　a[c+1] =1,
1〜c+1までの増加はm回だから、減少はK+1=c-m回　よって c=m+n

>814
　差し入れ �dｸｽ.

>636-637 >654-656

特性方程式 x^2-x-1 =0 の根： α=(1-√5)/2, β=(1+√5)/2,
　a_n = α^n + β^n = (1/2)^(n-1) Σ[k=0,[n/2]] C[n,2k] 5^k,

後は任せた…

>>816
>>796を嫁

C_1=ax^2
C_2=-(x-2)^2+1がある。
この二つの放物線は、共有点を持たない。
1、C_1上の点Pに対し、C_2上の点Qを、PでのC_1の接線とQでのC_2の
接線が平行に成るように取る。この時、
直線PQは点Pの取り方によらず定点を通る事を示せ
2、二つの放物線はこの定点を中心に、互いに相似である事を示せ。

>819
自分でどこまでやった？

>>622
f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。
　f(0) =0,
　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0,
∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0.

>>815
5

>796,>818

>>771 で p=2/3 の場合は
　a[1]=1, a[2]=2^(2/3) <2, a[3]=2^(4/3) >2, a[4]=2^(1/3) <2, a[5]=2, a[6]=1
にて c=5.

馬鹿だなぁ・・・

>>823
お前本当に馬鹿だなぁ・・・

>>826
お前本当に馬鹿だなぁ・・・

>>827
お前本当に天才だなぁ…

ぼくドラエもん

とりえず>>814のAAよりかわいいメイドさん置いときますね。
ttp://wotaku.jp/search.php?d=2007-01-30

>>822
不正解です

>>771はできればc=k(m+n)とお答えいただきたかったのですが

>>822
底面正方形、側面が全部正三角形の四角錐の5つの頂点が反例になるえ

>>831
その答は>>781と全く同じ意味なわけだが、形式に固執する理由はなんなの？
あと、>>799には返答なし？

>>831は>>781氏に対する返答ではございません．c=m+nと回答しておられる方が多いゆえ．
>>799ですが問題はないかと．とある御人の数学問題を高校レベルに落としただけで，日本語はほとんど変わってません．

>>833
そのお前はなんなの？www

>>830>>832
すまん。空間ではなくて平面で考えていた。
空間なら9だな。

>>836
御名答．

>>799に対して返答を求める方がおかしい
単に>>786のような言いまわしに>>799が慣れてないだけ
「違和感感じるのは俺だけか？」なんだからスルーでおk

>>821
御名答。

xy平面上に単位円C[0]があり，(x-1/2)^2+y^2=1/4，(x+1/2)^2+y^2=1を表す円をそれぞれC[1],C[2]とする．さらに，円C[n](n=3,4,…)を以下のように定める．
(i) 円C[n]は円C[0]に内接し，かつ円C[1],C[n-1]の両方に外接する．
(ii) 円C[3]の中心のy座標は正である．
円C[n]の半径をr[n]として，以下の問いに答えよ．
(1) r[n]をr[n-1],r[n-2]を用いて表せ．
(2) r[n]をnを用いて表せ．

>>840
円C[2]の式を
(x+1/2)^2+y^2=1/4
に訂正します．

>815
　8以下ではない。
　(判例)　直方体の8頂点

>>842
てことは9で示さにゃならんのか…
俺の頭では無理ポ…

>>815
n次元空間で2^n+1個と予想
俺には証明できないけど

>>815は答えは分かりやすいけど論証が悶絶級

>831,834
c: 周期(period): Qの部分群Gをなす。
　m+n: 基本周期(fundamental period): Gの基

>>846
んなこたぁみんな分かっとる

　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 _,,t-‐‐-､,-‐‐-､
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 三'::::::............... .....::::::`ｙ,.
　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 ナ::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::ヾ
　　　　　　　 　 　 　 |￣|　　 V::::::::::::::::_{{ （{∫∬ﾉノｊヾ:::::{
　　　　　　 　 　　|￣| |￣| 　 ﾅ::::::::::::::i`__,,,,,,,ｧ_　 _,,,,,_ t;;:ﾇ
　　 　 　　　　　　| 　| |　 |　 イﾍ::::::(ヾ~!,ｬt､　!'''i ｨｔﾝ )=f }ｆ
　　　　　　 　 　　| 　| | 　|　　i {t）テ" ﾍ' '___,ｲ　ヽ＿/　介'
　　　　　　　　 　 | 　| |　 |　_,rﾍ_,ｊ|!'　　　　 /ｰ--''! 　 　 |' 　　　僕は名も無き救世主
　　　　　　　　 　 |,.ｨ―''''￣　／| |　　 　 　 ／二ｸ 　 　 ! 　　　　　
　　　　　　 　 　 /;;:::'';;::''::;;:／ {　!　、　　 　 ヾニﾝ　　　ﾉ＼　　　　　>>1 を助けに来たとは言うまでもない.....
　 　 　 　 　 　 /'''::::;r|''':::;;;|　　|　!　＼　　　　　　 _,,.／|::;;'''＼
　　　　　　　　/:;;／　|;;;''::;;| 　　丶＼ 　｀_＿＞-ｰ´　　　!;;;:'''::iヽ、
　　　 　 　 　 i／　　 |'::;;;;''|　　 　 　三 ―''"　　　　　　　!''::;;;;| /ヽ
　　　　　　　 /⌒ヽ　 |;;''':::;|　　　　　　　＼　 　 　 　 　 　 !;;::''|/　 i
　　 　 　 　 / 　 　 ＼{'';;;::''}　　　　　　　　　￣二ニ＝　 　 !::;;|　　 |
　　　 　 　 /ﾍ　　　　 |;;:::::;{　　　　　　　　　　　　‐-　　　 　 !/　　　|
　 　 　 　 /　　i　　 　 |:::;;;''!　　　　　　　　　　 　 ー　　 　 　 !　 /　|
　　　　　/　　　l　　 　 |;;'';ｲ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｝　　 {、
　　　　　〉、　　　　　 ∧ﾃ{　ヽ 　＿　 　＿,,,,;;;;;:::-==ﾆ;;;_　 ﾉ　__,イ´
　 　 　 /　＼_　　 　/／レ!　　　　　￣　　　　　　　　　　￣ {￣　　|
　　　 /　　　　｀ｰ::v'´／ |　i　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 i　　　 |
　　　 i　　　　 　 /￣　　 |　|　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 i、　　|
　　　 i　　 　 　 /　　　　｜｜ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ヽ　 |

スレ間違えてるよ

>771 >780 >798
今更だが
　a[k] = 2^(p(k-1-K) -K), Kは非負整数、
だった。ｽﾏｿ.

x≧0のとき
(1/e)^x+x^(1/e)≧1
を示せ

>851

〔補題〕
　0<a≦1 のとき　a^x + x^a ≧1,

(略証)
x=0　のとき a^x = 1 より成立。
x≧1 のとき x^a ≧1 より成立。

0<x<1 のとき
　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから
　(1/a)^x = f(x) ≦ (1-x)f(0) + xf(1) = 1-x +x/a,
　a^x > a/(a+x-ax), 　　　　　(ベルヌーイの式)
aとxを入れ替えて
　x^a > x/(a+x-ax)
辺々たす。(終)

放物線y=x^2上に点A(a,a^2),B(b,b^2),P(p,p^2)があり，∠APB=θとする．a＜p＜bを満たすように点Pが動くとき，θに最小値が存在するためのa,bが満たす条件を求めよ．

>853
線分APの傾き tanα = (p^2-a^2)/(p-a) = p+a,
線分PBの傾き tanβ = (b^2-p^2)/(b-p) = b+p,
AP↑とPB↑のなす角は β-α = π-θ で
　cot(π-θ) = cot(β-α) = {1+(tanα)(tanβ)}/(tanβ-tanα) = {1+(p+a)(b+p)}/(b-a) = {1+[p +(a+b)/2]^2}/(b-a) -(b-a)/4,
これは pの2次式で、p=-(a+b)/2 で最小となる。
題意より、
　a< -(a+b)/2 <b,
　a<0<b, 3|a|>b, 3b>|a|.

>>853
a，bに何をいれても（条件をみたすようにいれる）
θに最小値はある気がするのですが
どうでしょうか（アホな質問だったらすいません）

>855
　もし a≦p≦b なら、あるだろうな･･･

>>855
ようするに最小値とるときのPが端なのかそうでないのかって違いだ
p＜aで最小値とるんならa＜p＜bでは最小値は存在しないだろ
a=pとはできないし

>>854
御名答
>>856
a≦p≦bでも最小値はありません．a=pだと点Aと点Pが一致してしまい，θそのものがないですから．

855ではないけど
a＜p＜bの範囲でθは最小値を持つと思った。

>>853-854
へぇ〜、見かけによらんもんだな
予想外の答えだよ　良問

>>857
８５５です
なるほど！！自分のアホさに少し気づきました。

(2^p+1)/p^2が自然数となる寄素数pを求めよ

元ネタは解けませんでした…
http://83.xmbs.jp/br_res.php?ID=checkmath&c_num=7002&no=101431&action=res

>>862
元ネタの方はあの中学生も手が出せてないもんな。あれは難しい

>>863
あまりにムズカッタので簡単にしました。
きわめて教科書的です。

>>862
2^p+1≡3 (mod p)が分かったら終わってしまう…

>684

最短 1+√3:　ABの中点とCDの中点を通る線分に乗る。P,Qに集まる3つの線分は等張力なので120ﾟをなす.
最長 2+3√2:　(P,Q)=(C,A),(D,B)のとき

>>863
あれって本当に中学生か？

1より大きい正整数nの約数の総和をf[1](n)とし、f[1](n)の約数の総和をf[2](n),f[2](n)の約数の総和をf[3](n)・・・という操作を繰り返す。
このとき、f[m](n)=15となる正整数mが存在することを示せ。

>>868
ミス発見した。スルーしとくれ

>>867
たぶん中学生だろ。確かにすごいけどとりわけ超人レベルってわけでもなさげ。あれくらいなら灘や開成にはわんさかいる。

>>868
･ := +/x
3･5 => 2･2･2 => [2･3] => 1･5 => [2･3] => … ?

>>869
失礼しました。

>>633
　log(k/(k-1)) = log(1 + 1/(k-1)) < 1/(k-1),
　log(k/(k-1)) = -log(1 - 1/k) > 1/k,
　(k-1)*log(k/(k-1)) < 1 < k*log(k/(k-1)),
真数をとって
　{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
(k^k)/{(k-1)^(k-1)} < ke < {k^(k+1)}/{(k-1)^k},
各辺の Π[k=2,n] をとる。

MASUDAんとこ出入りしてる奴らは両極端だな。中間層がいない
神童とよおすけの２人はアホすぎて何がやりたいのか分からん

>>870
あんな品のある答案の書き方が出来る中学生なんているか？

>>875
そこまで品があるわけでもないと思うが
式と式のつなげ方とか見る限りまだ論証には慣れてないように見えるし

↓MASUDAの掲示板のとこにあった問題だけど、

　　　sin(cos x) と cos(sin x) の大小を比較せよ。

これノーヒントでやるとしたらどう解いたらいいんだ？？

>>877
これっていつぞやの東大模試の問題。

x , y＞0のとき、x^(-y)＋y^(-x)≧2e^(1/e)が成り立つことを示せ。
また、等号が成立するときのx,yを全て求めよ。

あ…　計算ミスしてた／(＾o＾)＼
>>878は無かったことに。

誰か>>840-841の(2)を教えてくれ
解けん…

× >>878
○ >>879

>682,>792

内接球の半径　r = √(25+11√5) / (2√10) = 1.1135163644 1160673519 4375039486 9･･･
外接球の半径　R = (√3)(1+√5) / 4　　　 = 1.4012585384 4407354467 6677935322 1･･･

詳細は
　http://mathworld.wolfram.com/Dodecahedron.html
　http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

>878
　cos(sin(x)), |sin(cos(x))| は周期πをもつから、-π/2 ≦ x ≦ π/2 で考える。
　|sin(cos(x))| ≦ |cos(x)|
cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|,

>> 883
|sin(cos(x))| ≦ |cos(x)|
どう導けばよいのでしょうか？

cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|
の等号は成立するのでしょうか？

sinx≦x

>>885
なるほど
sinx≦x の等号成立はx=0なので、それを放り込むと
cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|
の等号は不成立ですね。ありがとう！

>>883
実際に調べるべきxの範囲を最初に求めたのは当然として、その後の式変形に必然性があまりない気がする。
普通に微分して示すほうが問題を解く力がつくと思う

>>887
やって見せてくれ

>>887
漏れは旧帝数理の院生だけど、>>877の問題を見て最初に考えることは、
（変数）≧（変数）を示すには、まず（変数）≧（定数）の形に変形する、
つまり、h(X)=sin(cos x)−cos(sin x)とおいて、h(X)と0を比較することを考える
次に、h(X)と0の比較に際して実際に調べるべきxの範囲を求める
h(X)の形から、0≦x≦2πの範囲で調べればいいことが分かる
本当は0≦x≦πで調べればいいのだろうが、漏れはおそらく試験場では気がつかないと思うw
で、あとは微分して増減表かな。これですんなり解けるかどうかは漏れは知らないw
普通に微分して上手くいかなくて結局>>883のような方法にもっていくことになるのかもしれんが
>>883のやり方は幾分エレガントというか、予備校が入試問題を新聞に載せる際に
（紙面の制約もあって）無駄なく解答を作っているような感じがする

以下の等式を満たす整数の組(x,y)を全て求めよ．
x^3+y^3+x^2-y^2-9xy=0

（−６，３），（−１，０），（０，０），（４，５）。

>>891
(-6, 3)
(-1, 0)
(0, 0)
(0, 1) <<抜けてない？
(4, 5)

>>892
御名答

>>841 (2)r[n]=(1/4)*1/{(3/√10+(n-3)/2)^2+1/2} (n≧3)

＞＞８９０どうやって求めたの？