【Ω】ゲーデルを超えて　オメガ数が示す数学の限界

数学の論理構造は完璧──というのは実は幻想にすぎない。
かつてゲーデルの「不完全性定理」がこの事実を示したが，いま注目されるのは「オメガ」という数だ。
完全に定義でき，確定値を持つのに，決して計算しきれない数とは？、、、

http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/0606/omega.html?PHPSESSID=c89cb47e6ea2aa992c5f06f4bf6d055e

チャイティンの本が出てるから嫁
高いけど図書館にあるかもしれん

眠い。

＞有限個の公理をいかに組み合わせても証明できない定理が，無数にあるのだ。

その証明できない定理を公理にしたらいいんじゃないですか？
そして数学を進めていって矛盾が出たらその定理は偽だったということですから。
そういう話じゃないんでしょうか？

ちがう

確定値を持つのに計算でき名言ってんだ？
円周率「π」とは違うのか？
πは3.1415・・・
となるけど、

＞＞有限個の公理をいかに組み合わせても証明できない定理が，無数にあるのだ。
＞その証明できない定理を公理にしたらいいんじゃないですか？

そうしたところで、やっぱり証明できない定理がある。

というか、なんで証明しきれる！なんて考える必要があるかな？
必要ないでしょ。パラノイアじゃないんだから。

>チャイティンは、(略)純粋数学にもランダム性が存在するということを発見して注目されている。

>内容は彼自身の研究経歴の紹介(略)、ランダム性ということ（多くの純粋数学者が嫌悪している）、数学基礎論の紹介など多義にわたっている。

チャイティンの紹介を見るとこんな事が書いてあるんだが、
「多くの純粋数学者が嫌悪している」というのがいまいち理解できない
証明出来た命題や単なる概念に嫌悪抱く数学者なんているのかね

＞そうしたところで、やっぱり証明できない定理がある。

そうしたらそれをまた公理にしたらいいんじゃないんでしょうか？
そういう話ではないのでしょうか？

数学の論理構造は完璧──というのは実は幻想にすぎない。かつてゲーデルの「不完全性定理」がこの事実を示したが，
いま注目されるのは「オメガ」という数だ。完全に定義でき，確定値を持つのに，決して計算しきれない数とは？
　
ゲーデルは，数学が不完全であり，きちんと証明できないにもかかわらず正しい記述を含んでいることを示した。
ところが「オメガ」という特別な数は，数学にさらに大きな不完全性が存在することを明らかにした。
有限個の公理をいかに組み合わせても証明できない定理が，無数にあるのだ。したがって数学の「万物理論」はありえない。
　
オメガは，あるコンピューターに関して考えうるすべてのプログラムの集合から１つのプログラムをランダムに選んだ時，
そのプログラムがいずれ停止するものである確率だ。完全にきちんと定義され，決まった値を持つ。
しかし，どんな有限プログラムを使っても，オメガのすべての桁の値を計算し尽くすことは不可能。
言い換えると，証明不能な数学的事実が無数に湧き出る泉のようなものだ。
　
この特性は，数学者が新しい公理をもっと仮定してよいことを示している。
物理学者が実験結果をもとに論理的証明のできない基本法則を導くのと同様だ。
これら一連の結果は「アルゴリズム的情報理論」に基づいている。
ライプニッツは300年以上も前にアルゴリズム的情報理論の多くの考え方を予想していた。

例えば、リーマン予想がそれに当たっていた場合、証明しようと血眼になっている数学者の努力は骨折り損のくたびれ大儲けということでしょうか？

＞＞ランダム性ということ（多くの純粋数学者が嫌悪している）
＞「多くの純粋数学者が嫌悪している」というのがいまいち理解できない

数学には秩序があるとおもっているのに、
「実はそんなものは存在しない」
といわれればムカつくだろう。

＞証明出来た命題や単なる概念に嫌悪抱く数学者なんているのかね

ザラにいる。

公理論的アプローチの限界≠数学の限界

では他の数学的アプローチとは？

カオスを超えて終末が近づく・・・

ミッシング

数学の場合「反論がなければ自分の意見は正しい」というわけにはいかない。

ＦＦ乙

>>12
なんでいきなり数学に秩序が存在しないことになるの？
話が飛んでると思うけど。

http://academy6.2ch.net/test/read.cgi/sociology/1094986423/l50

＞完全に定義でき，確定値を持つのに，決して計算しきれない数
そういうのがあることは、これはオメガ数以前から（20世紀前半には）知られている事実

＞有限個の公理をいかに組み合わせても証明できない定理が，無数にあるのだ
ってのは、ゲーデルの不完全性定理の時点で分かってることじゃん

オメガ数の価値はそんなところにあるわけじゃないと思う
なんか、この記事はオメガ数に対する説明としてはずれてるぞ

Conspiracy Watch : Scientists Question Nature's Fundamental Laws
http://conspiracy.exblog.jp/3948544/

>>22
＞オメガ数の価値はそんなところにあるわけじゃないと思う

ではどんなところにあるとお考えで？

そういえば文系の奴で（あまり意味がない表現かも）
『「ゲーデルの不完全性定理」があるから、
数学は正しいとはいえないよね』
とかいっているやつがいたが、
意味をおもいっきり履き違えているきがする。
ヒルベルトプログラムに関係することなのに、
なんで ぶんｋ(ry

＞数学の限界

バカじゃねぇーのｗ

真とも偽とも証明できない命題があるってだけだろ。
それがわかってるだけでも、数学の厳密性がわかる。

>>24
アルゴリズム的なランダム性

早い話が、「公理は無限にある。」ということでしょうか？

>>29
いいえ

>>30
では平たく言えばどういうことなんでしょうか？

「正しいにもかかわらず、有限個の公理を組み合わせても証明できない命題」というのは『公理』のことですよね？

でもってそれが『無限に存在する』ということは、『公理は無限にある』ということになると思いますが、何か勘違いしてますかね？

★「正しいにもかかわらず、有限個の公理を組み合わせても証明できない命題」というのは『公理』のことですよね？

これは意味を履き違えています。

向きが逆です。

>>32
なんか根本的に間違ってるので、用語の意味から理解した方がいいんじゃないだろうか

>>32
前提条件は少ないほうがいいってことをまず理解してください。
前提条件はなるべくは直感にそっていて、
簡潔なほうがいいのです。
まずそこに留意してください。

とても馬鹿みたいにいうと、
既存の公理を組み合わせても証明できない命題が存在するというのが、
ゲーデルの定理です。

その証明できない命題が公理ではありません。
さっきの留意点でいうなら、
公理⇒証明できない。（愚直に書きましたが）
です。
（公理が別の公理から証明できるなら、
　証明される公理は公理からはずしたほうがいいから）
証明できない⇒公理　は意味を履き違いです。

証明出来ない命題の数って可算だろうか？それとも連続体だろうか？

（有限言語の）普通の公理体系だと、証明できるものを含め、
そもそも命題の個数が可算個しかないかと思う

有限の文字数しか使ってはいけないということですか
だとすると無理数はどうやって扱えばいいのですか？

>>38
「無理数」ってのは非可算無限個あるけど、無理数の定義は有限の文字数でできるよ。

無理数全体ではなく一つ一つの無理数を扱う時はどうするんですか？
っていうか最初の質問からずれてきてﾜﾛﾀｗ

>>40
個々として扱える無理数が可算個しか無いというのが、
まさにこのスレの趣旨であるオメガ数の話。
（正確には、これはオメガ数以前から知られていたが）

素人が純粋に疑問に思ったことが結局このスレの趣旨に戻ってしまうとは・・・
数学っておもすれー

これで「ゲーデルを超えて」つのは、ちっと誇大広告気味じゃね？

ゲーデルの定理より半世紀以上後の結果だし、
当然ながら、ゲーデルの定理より進んだ結果ではある。

だから、間違ったことを言ってるわけではない、
が、誇大広告気味ではあると思う

そうか。「超えて」という言葉に変な読み込みをしなければ、それでいいか。

「越えて」なら良かった。

前世紀に同じサイエンスのガードナーのコラムで読んだネタそのままなんだが

>オメガは，あるコンピューターに関して考えうるすべてのプログラムの集合から１つのプログラムをランダムに選んだ時，
>そのプログラムがいずれ停止するものである確率だ。
と
>完全に定義でき，確定値を持つのに，決して計算しきれない数
が同じ数を指してるようには思えないんだよな…

プログラムnがいずれ停止する時にpn=1、そうでない時にpn=0とおくと
前者はlim[n→∞](Σ[i<n]pi)/nで後者はΣ[n=0,∞]pn/(2^n)を指してるように思えてならない

>>48
オメガ数の定義は普通は後者だよ