面白い問題おしえて〜な 十三問目

面白い問題、教えてください

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/

虚数i面体のサイコロをπ回振ったときの期待値を求めなさい

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>3
　 くく　へﾍﾉ

虚数iとπを公式にあてはめればいいだろう？
何も屁をかますことはないと思うが…

虚数面体ってなに？
明太子と関係ある？

誰も丁度に書き込もうとしなかったな

ゴルゴのような正確さでスルーにﾜﾗﾀ

A君は最初にR^2内の(0,1)にいる
そしてサイコロを振っていき、
・1or2が出ればx座標+1、y座標+1の地点へ
・3or4が出ればx座標+1の地点へ
・5or6が出ればx座標+1、y座標-1の地点へ
という風に移動する
この移動を繰り返しy座標が0の地点に着いたらストップする
線分(0,0)-(0,1)とA君が通ったルート、x軸で囲まれる面積の期待値は幾つ？

囲まれる面積→囲まれる領域の面積

発散するんじゃないのか、これ？

このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
http://life8.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1174579828/l50x [生活全般]

次は2008/08/08 08:08:08か。このスレなら射程距離だなｗ

縦、横の長さがa,bである長方形Xを有限個の正方形A1〜Anに分割出来るとき、
a/bは有理数である事を証明せよ

こりゃ難しそうだ。

自作問題。

(1)f：[0,∞) → Rは2回微分可能であるとし、sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞であるとする。
さらに、任意のε＞0に対してΣ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^kが存在するとする。このとき、
lim[ε↓0]Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝−f(0)/2 が成り立つことを示せ。

(2)g(x)＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k/√(x^2＋k^2) (x∈R)とおく。右辺の級数は任意のx∈Rで
収束することを示し、lim[x→±∞]xg(x)＝−1/2となることを示せ(ある大学院入試の過去問より)。

(1)について…与えられた級数に形式的にε＝0を入れると、f(0)(−1＋1−1＋…)となる。
適当な総和法では−1＋1−1＋…＝−1/2となるので、、f(0)(−1＋1−1＋…)＝−f(0)/2
となり、右辺に一致する。……この現象は偶然ではない。今、任意のε＞0に対して
Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^kの存在が保障されているので、アーベル総和法による
シグマ(これをA-Σと書く)でも同じ値になる。すなわち、
Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝A-Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k
となる。sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞という条件は、この総和法の下でlimとA-Σの
順序交換が可能であることを保障する条件になっていて、
lim[ε↓0]Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝lim[ε↓0]A-Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k
＝f(0)A-Σ[k＝1〜∞](−1)^k＝f(0)(−1/2)
となる。(こんなことしなくても、(1)は解けます)。

外接円の半径Rを〜まで読んだ

>>17
つ眼科

プロ野球の終盤になると安打を打つと打率が二厘上がり凡打だと一厘下がりますが
このことが始まるのは何打数からでしょうか？

脳みそ沸いてるの？

野球見ている奴って頭悪そうだな・・・

おいおい、そういうことは答えてから言え

これは流石に、答える前に言っても構わんだろう…

打率10割の人は、なん打数目だろうともうそれ以上上がることはないな。
打率0の人は、なん打数目だろうともうそれ以上下がることはないな。

それ以上下がるって変な表現だな。

たぶん、あくまで推測の話だが、
普通、打率は1/10000の位で四捨五入して出す。
なので>>19の言っていることには一定の解答を与えることは出来る。

しかし面白くはない。質問スレに持っていくべきだろう。

三角形ＡＢＣの
Ａを中心に半径Max(b,c)、
Ｂを中心に半径Max(a,c)
Cを中心に半径Max(a,b)
の３つの円を描くとき、それらの合併集合の面積を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183317476/499

平面格子上をA=(0,0)をスタート、B=(n,m)をゴールとして通る経路を考える
線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通ってゴールに至る経路で最短な奴の個数は幾つ？

>>27
カタラン数の一般化ですな？
念のため訊いておくが、お主解答は用意出来て御座るか？

>>26
正三角形の場合だけやってみた。
a^2*(11pi+3√3)/6

三角形ＡＢＣのＡを中心に半径ｒ（Ａ）.. として
ｒ(A)＝a,　ｒ(Ｂ)=b,　ｒ(Ｃ)=c
ｒ(A)＝c,　ｒ(Ｂ)=a,　ｒ(Ｃ)=b
etc とした方がきれいな結果になるような気がしないでもない。

>>28
すいませぬ。n>mという条件付で
×線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通って
○直線y=xに触れず（点Aは除く）に格子の辺のみを通って
だった

27だと階乗使うだけじゃ表せねぇ

>>30
あーしてこーしてひっくり返すと
((n-m)/n)*C[n+m-1,m]

>26

a≧b≧c としても一般性を失わない。
A,B,C を中心とする円を α,β,γ とすれば、
　(α∪β∪γ) = α + β + γ - (α∩β) - (β∩γ) - (γ∩α) + (α∩β∩γ),
　S(α) = πb^2,
　S(β) = S(γ)　= πa^2,
　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(a,b),
　S(β∩γ) = f(a,a),

【補題】
　0<r≦R とする。半径Rの円をC, その周上の点を中心とする半径rの円をcとすると,
　共通部分の面積 S(C∩c) は,
　　f(R,r) = (π/2)r^2 + (2R^2 -r^2)･arcsin(r/2R) -r√{R^2 -(r/2)^2},
　　f(R,R) = {(2π/3) - (√3)/2}R^2,

残った S(α∩β∩γ) をどうするかという問題。

>>32
この問題ってa=BC, b=CA, c=ABってことでいいんだよね？

円と円の交点（一番外側にあるやつ）と、三角形の頂点を線分で結んでいくと、
4つの三角形と3つの扇形が出来る。
こっちのほうが楽でない？

必要なのってヘロンの公式だけで、わからんスレにあったやつだし、普通に高１の数学じゃね？
結果出してないから何ともいえんけど、結果は綺麗にならない悪寒がする。

>>34
やってから言えよ、ジジイ！

>32

　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(b,a),
【補題】は 0<r≦2R のとき。
r≧2R のときは πR^2 だった. ｽﾏｿ.

>26

>32,34 より、S(α∩β∩γ) を求めればよい。
α周,β周とγ周の交点をD,Eとおく。△BCEは正3角形。

まづ B ≧ π/6 のときを考える。
B ≧ π/3 -B = ∠ABE,
b = AC ≧ AE, Eはα内にある。
CAの延長とγ周の交点をA'とおくと、
α∩β∩γは2直線BC,CA'により3分割される。
α∩β∩γ = (筍形BCE) + (筍形A'CD) - (扇形A'CB),
S(α∩β∩γ) = (1/2)f(a,a) + (1/2)f(b,a) - (1/2)(a^2)C.

なぜこの問題はマルチのみならず、マルチ進行が許されるのですか？
教えてください。夏だからですか？

deg(f)=2.
deg(g)=2.
f(g(x))=x^4+x^3+x^2+x+1.

>>39
解あるの？

>37 の続き

B≧π/6 のときは
S(α∩β∩γ) = {(π/3) -(√3)/4 -C/2 +θ/2}a^2 + {(π/2)-θ}b^2 -(a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
S(αＵβＵγ) = {(5/3)π +(√3)/4 -B -C/2 -θ/2}a^2 + {(π/2)-A+θ}b^2 +2Δ + (a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
θ = arccos(a/2b),　ΔはABCの面積。

>32, >36
S(α∩β) = (a^2)B + (b^2)A -2Δ,
だな。

>41 の続き

　Ｂ≦π/6 のときは α周とβ周の交点をC,E'とする。E'はCとEの間にある。
　α∩β∩γ = (α∩γ) - (弓形CE') = (α∩γ) - {(扇形CAE') +2Δ -(扇形CBE')},
S(α∩β∩γ) = S(α∩γ) - {(b^2)(B+C) +2Δ -(a^2)B}.

ﾊｧﾊｧ

>42 の続き

　CE'は2つの円周に挟まれてるから「三日月形CE'」と言うべきだな。

>42 の続き

B≦π/6 のときは
　S(α∩β∩γ) = (B+θ)a^2 +(A-2θ)b^2 -2Δ -a√{b^2 -(a/2)^2},
　S(αＵβＵγ) = {(4/3)π +(√3)/2}a^2 = 5.05481560…a^2

>44 の続き

B≦π/6 のときは
　α ⊂ (βＵγ)
　α∩β∩γ = β∩γ
だな…

>44 の続き

まちがえた…orz
B≦π/6 のときは
　αＵβＵγ = βＵγ
だった…

3乗して下3桁が777になるような整数は存在するか？

753^3=426957777

N,mを正の整数とし、nをNの桁数とする。
f(N,m)の値を以下の値で定義する。
「N^mを下からn桁ずつ区切っていき、それらの総和をf(N,m)とする。
n桁ずつ区切ったときに最上位の数字が0の部分は桁数がn未満の値として扱う」

(1)任意のnに対してf(N,2)=Nを満たすNが存在することを示せ。
(2)任意のnに対してf(N,2)=f(N,3)=Nを満たすNは存在するか？

>>49
問題の意味を俺が理解できているか確認したいんだけど、例えば
f(101,3)=1+30+301=332
ってことでよい？

>>50
それでＯＫです。
理解が早くて助かります。

すいません、一つ追加です
(1)は｢二つ以上存在｣にしてください。10^k-1以外にも存在することを示す感じで。

>>49
ありがとう。チャレンジしてみるよ。

n！を10進法で表記したとき、それを1の位から見ていき、初めて0でない数が現れた
ところで、その数をf(n)と書く。たとえば
4！＝24なのでf(4)＝4
5！＝120なのでf(5)＝2
10！＝3628800なのでf(10)＝8
となる。自然数nの5進方表示n＝�納i＝0〜u](5^i)aiを与えたとき、
�納i＝1〜u]i*ai≡t (mod 4)となる自然数tを1つ選べば、
{au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t の1桁目の数字がf(n)になっていることを示せ。

例：
n＝21のとき、5進法でn＝�納i＝0〜u](5^i)ai , u＝1 , a0＝1 , a1＝4
と表せる。�納i＝1〜1]i*ai≡t (mod 4)となるtはt≡1*a1＝4≡0 (mod 4)なので、
t＝4が選べる。このとき{au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t＝4！1！2^4＝24*16 なので、
この数の1の位は4となり、f(21)＝4となる。
直接求めると、21！＝51090942171709440000であるから、f(21)＝4である。

>>49の(1)をやってみた（出来てないけど）

p=10^nとして
　 　N^2=ap+b, f(N,2)=a+b=N
の2式から
　 　a=N(N-1)/(p-1), b=N(p-N)/(p-1)
となる。a, bが整数であるためには、
　 　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
を満たす必要がある（p≡1 (mod p-1)だからbから来る式はいらない）。
任意のnに対して、(*)を満たす10^{n-1} ≦ N ＜ 10^nなるNがあれば万事OK。

p-1以外のNということで、n≡±1 (mod 3)の時は、I=(p-1)/9, d=1,2,...,8として
　 　N = dI for n≡1 (mod 3)
　 　N = dI+1 for n≡-1 (mod 3)
がある。ただし、dはnに応じて適当に選ぶ必要がある。だけどn≡0 (mod 3)はこのゾロ目形は通用しない。無念。

詳しくないので(*)の一般的な解法があるのか知らぬ。

後半の(mod 3)は全部(mod 9)だった。

簡単に修正しようとして失敗した。

I=(p-1)/9として、n≡1,2,4,5,7,8 (mod 9)の時はd=1,2,...,8を適当に選んで
　 　nd≡1 (mod 9)と出来る場合　N = dI
　 　nd≡-1 (mod 9)と出来る場合　N = dI+1
とすればOK。
だけどn≡0,3,6 (mod 9)のときはゾロ目形は通用しない。

>>49
(1) N=99・・・9 (n桁)=(10^n)-1は条件を満たす。
実際，N^2=10^(2n)-2*10^n+1において，
下n桁は1，その後のn-1桁は99・・・8 (=10^n-2)なので
それらの和は(10^n)-1=N

>>49
(2) 存在しない。
f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
ところがn=1のとき，N=9だが，N^3=729となり，f(3，N)=18≠N

>>59
(1)に限っては、>>52で99・・・9 ｢以外でいつでもあるか｣と言ってるよ。

>>60
>f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
その必要は無いよ。
それと(2)では(1)と違って、その形であっても存在すればOKと出題者は言いたいのだと思う。

俺の計算機がしょぼいので、ここまでしか確認できてないけど、
f(N,2)=N
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222…
f(N,3)=N
1, 8, 10, 45, 297…

ちなみに俺は>>56だけど、n≡0,3,6 (mod 9)のとき、(1)を満たすNが無いと言いたいのではなくて、どのような形になるかわかってないと言いたかった。
（もちろん俺は出題者じゃないからね。誤解無いように。）

単位円がある。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

OP_1がx軸の正の向きとなす角がθ(0<θ<π/4)となるような点P_1をとる。
∠OP_1P_2=θとなるような点P_2をとる。
∠P_1P_2P_3=θとなるような点P_3をとる。
∠P_2P_3P_4=θとなるような点P_4をとる。

・・・以降同様に、∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)=θとなるような点P_(n+1)を順次とる。

ただし∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)は線分P_(n-1)P_(n)について、∠P_(n-2)P_(n-1)P_(n)と同じ側にある（同位角）とする。

P_(n)の座標をθを用いて表せ。

問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。

>>62
>問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。

ふざけんなｗｗｗ
他所にそれ相応のスレがある。

>>63
え、このスレって答えも用意してないとダメなの？

正直スマンカッタ。問題ごと忘れてくれ。

>>64
いや、答えがわからなくてもいいとは思うが、
>考えたけど面倒でやめたから後は任せた。
というところに突っ込みたくなった。それでは面白いかどうかわからないでしょ？

>>65
別の問題を考えていた時に、ふと思いついた図形から考えてみた。グラフィカルに面白いと思ったから出してみただけ。そういう意味じゃないって？

いずれにしても答えはわからなかった。軟弱な俺を許して。

>>>62
P_3の取り方に（一般性を失う）2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの？

ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz

今何とか考えてみたらこうなった。

P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)
P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)　ただしn=0の時P_(0)は定義しない。

>>67
意味わからない。どういうこと？

知将

>>56
>　 　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
N^2 ≡N (mod p-1)
N と p-1 の最大公約数を q とすると
N ≡1 (mod (p-1)/q)
N ≡0 (mod q)
の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の
整数解の存在は保証される。
そして、そのNがf(2，N)=Nを本当に満たしているって言うのは
不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。
というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。

(2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。

>>70
多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。

まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。

>>72
簡単 かつ つまらない かつ 解答も考えずに書き込んだお前は屑だ！
100年ロムって、そのままｓ…

100年と言わず、半万年ろｍ（ｒｙ

半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、
ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。
n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か？

長年疑問だったのでお尋ねします。

mathnoriの問題か？

>>62の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。

原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。
次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。
次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。

・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。

(1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。

(2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。

(3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。
定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。

なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い（注：ここだけ美しくなくて残念）。

>>77
また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。

A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n]
B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n]
A[1]=1、A[2]=3
B[1]=1、B[2]=1
を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。

>>76
問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。

中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団（配位子）
が結合(配位)したものを金属錯体と言います。

金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような
空間配置をします。

４つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります)
６つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。

５つの場合は、中心金属を含む平面内に正３角形の頂点をなすように３つ、
残りの２つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。

数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを
知りたくて出題させて頂きました。

数学素人の問題ですがお願いします。
類似の問題がありましたら教えてください。

>>78
糞して寝ろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)

>>77
とりあえず２分くらい考えただけだが
(2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7
(3)2sin3π/7-√3

あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです

>>80
立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、
問題>>75の｢距離の和｣が関係してるの？

むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。

距離の二乗の和？

>>83
解説は不要とのことなので、感想だけ。

2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。

>80
　それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね?
　Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min.

>>86
あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。
ほとんど当て推量で、
10-1=6+3=9
10-3=6+1=7
10-6=3+1=4
の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。
ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。
あと(3)はなんか意味のある問題だったり？

>80
　3方両錐型のとき
　　Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小)

>>84,85,87
レスありがとうございます。

イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは
どのような常態かが知りたくて>>75のような問題文になってしまいました。

この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。


球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に
点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。

これが球面になるとどうなってしまうのか？
とくに対象性の悪い数の場合はどうか？
が知りたくて出題しました。

>>89
解答ありがとうございます。
各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に
なることの証明は難しいのでしょうか？

>>89
6.4746915
をぐぐったら　Distributing n Charges on a Sphere
http://tracer.lcc.uma.es/problems/thomson/thomson.html
なんてページが出てきた。

連投で申し訳ないです。
各点に立体角を割り振るようなうまい定義
ができていないのがダメですね。

>>92
面白いページですね。
５つのときはやはり三方両錐型ですね。

>>88
勘違いすみませぬ。

(1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば
↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)
↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ)
=(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ)
以下同様にすれば
↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(�納k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),�納k=1,n]sin(k(k+1)θ/2))
・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな？

(2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。
変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので
sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。

(3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は
となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。

最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。
したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。

＞あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた（このへんが浅はかだなあ）から、
それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、
「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。

さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」
との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の
面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。

2^186+1/65　が整数であることを証明せよ。

(2^186+1)/65？

以下65を法とする
2^6≡64≡-1
2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1
2^186+1≡-1+1≡0

自作問題。

(1)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上でC^1級である
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。

(2)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない)
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。

>92

�d�dｸｽ

nが小さいところでは
n=2,　直径,　　 f(2) = 1/2,　a=2,
n=3,　正3角形,　f(3) = √3,　a = √3,
n=4,　正4面体,　f(4) = (3/2)√6,　a = √(8/3),
n=5,　三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3,　a(ax)=√2,　a(eq)=√3,　
n=6,　正8面体,　f(6) = (3/2) + 6√2,　a=√2,
n=7,　五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10},　a(ax)=√2,　a(eq)=√{(5-√5)/2},
n=8,　捩れ正方形柱,　f(8) < 2 + 6√3 + 3√6,　(square anti-prism),
　a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…,　a(side) = 1.28769352633104…,
n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2},
n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15,
かな。

n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?

>80

平面正方形では,　f(4) < 1+2√2, a=√2,

でつが実在しまつね。

軌道函数どうしの重なり積分が≒0 となる必要があるので、結合角にも制約があり…
静電エネルギーだけで決まる訳ぢゃね…

ほしゅ

ひまでしたら解いてみてください
6桁の自然数ABCDEFは3桁の自然数ABC*DEFで割り切れる。
6桁の自然数ABCDEFをいくつか見つけてください。

ポテンシャル問題でしょ、普通に解けば？ラグランジェとかで？

V=eiej/dij
dij=d(ri-rj)
d(ri)=d(rj)
G=V-sjd(rj)

>>103
143143 = 143*1001 = 143*143*7
167334 = 167*1002 = 167*167*6

この問題には深い意味ありますか？ただいま検討中。

>>104
さすがに (5-1)*2=8 の変数を単純計算では、取り付く島もなかろう。
せめて対称性を分析してからでないと。

次の数式は何故そうなるのかわかる方どなたかご教授ください。

鉱山を営むとする鉱業権は、次により評価する。

(1)　操業している鉱山の鉱業権の場合
a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n−1))))−E
（１＋ｒ）の後はｎ乗です。

a　鉱山が毎年実現しうる純収益　
s　報酬利率　9パーセントから15パーセントまでの間において適正に定めた率
r　蓄積利率
n　可採年数　
E　今後投下されるべき起業費の現在価額


(2)　未着手のまま据置期間のある場合の鉱山の鉱業権の場合
(1／(1＋r)^m)×a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n−1))))−E
（１＋ｒ）の後ｍ乗、　　（１＋ｒ）のあとｎ乗

m　据置期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

(3)　開坑後予定収益を生ずるまでに期間のある場合における鉱業権の場合
a×(((1＋r)^n−1)／(r＋s｛(1＋r)^n＋m−1｝))−E

（１＋ｒ）のあとｎ乗、（１＋ｒ）のあと　ｎ＋ｍ乗

m　補償時から予定収益を生ずるまでの期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

どなたかわかる人がいればご教授ください。比較級数の和の公式のようにも思えるし、複利計算の式にも思えるし・・・悩み中です。

>>108
マルチ

ほしゅ

転載。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190430000/22

半径r の円の中で一回に距離１だけ（好きな方向に）逃げたり
追いかけたりすることが出来る鬼ごっこをするとします。　
最初に、鬼は中央に子は円周にいるとして先に子が逃げるとします。
さて、半径ｒがある程度大きくなると永遠に逃げ回ることが
可能になるのでしょうか？それとも絶対に捕まるのでしょうか？

また、円以外の閉領域で上の鬼ごっこをするときに
必ず捕まる条件みたいなのは計算可能でしょうか？

>111
　鬼は子の方向に追いかけるとする。距離RがR-1になる。
　子が鬼の反対側に逃げた場合には距離がRに戻る。しかし θだけ逸れると
　R - √{R^2 -2(R-1)(1-cosθ)} ≧ (R-1)(1-cosθ)/R だけ近づく。

鬼が子の方向に必ず１進めるわけではないので
かならずそれが適応できるわけではない。

ああ、ごめん。ルールを勘違いしてた。 交互に逃げたり追ったりするんだね

そもそも永遠に逃げられるパターンが思いつけない。

(1) 正方形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(2) 正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(3) 円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ

>>115
任意の凸領域（任意の二点を結ぶ線分がその領域内を通るもの）は毎回、鬼が子の方向に進んでいけば距離が小さくなっていく。
よってずっと逃げ回るためには境界が凹領域のところ（つまり、穴というか進入禁止領域）があることが必要。
それでは、どれだけの大きさの穴があれば逃げ回れるのでしょうか？

球面とか、トーラスのように境界がない曲面も逃げ回ることが出来る大きさの最小値がありそう。

>>116（１）これでどうだ！　文句あるか！

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（／の部分は、フラクタル）

>>118
フラクタルはダメです
曲線でわけても結構です

>>118
相似にならねえじゃん

>>116
(1)と(３)は思いついたが（２）が思いつかん。

>>120
なるだろ。

>>121
解答頼む

あ、(２)もできた。

結局フラクタルな図形以外でできるのか？

自分が考えたのもどれもフラクタルな図形です。
そうでないのは出来るんだろうか？

>>122
ならねえよ

>>122
デカい方が角が2つ多いだろ。

誰か>>79教えて〜

>>128
まず「フラクタル」について調べてから言え。

>>127
フラクタルの意味はわかった上で、ならないと言ってるのか？

フラクタルはダメって言われてるのにフラクタルにこだわる奴ら

条件からはずれたところで揉めるなよ、おまいら。

しかし、フラクタルがダメとなると、4つの角のうち2つずつ引き受けねばならなくなってしまいそうだけどなあ。
でも、そうすると相似に出来ねえし。可能なのか？

フラクタル無しは厳しいな。
でも円はフラクタルありでも厳しいな
>>121さん、もし良かったら教えて

点でしか接していなくてもひとつの図形としていいなら
円もできたんだが、それでもいいだろうか？

もちろんフラクタル図形。

(0-1)+(2-3)+(4-5)+....
(1-2)+(3-4)+(5-6)+....

>>135
もしかして三日月がたくさんくっついたような形？

>>137
全然違う

>>137
135ですが、そうです。

>>119
それ以前にフラクタル不使用の解答ってあるの?
ない場合、できない証明をすれば正解かな?
挑戦してみよう。

円の場合について考えたんだが
小さいほうの図形が円の外周を含むとしたらそれは連続した曲線としては含めず
また１点でしか含めないんではないかと思う。
連続した曲線として含んでも、２点以上含んでも、大きいほうの図形が構成できない。

つまり、小さいほうの図形の外周は、一点を除いて円の内部になければならない。
そしてその外周は、大きいほうと相似なのだから円形でなくてはならない。

てことは、>>137で言うような点で接するような図形を考えない限りは
ふたつの非合同な相似形には分割できない。

小さいほうが大きいほうの内部に含まれるような図形は自己相似形なので
フラクタルを禁止したら、この分割は出来ないということになる。

ぜんぜん厳密じゃないけど、どう？

切ってから組みなおすのではなく、最初からブッツリと二つにしないとけないのだろうか？
幾つかに切り離していいなら、例えば(1)なら
辺の長さが√5の正方形を5つに切り離して、辺の長さが1と2の正方形を作るという話はよくあるが…

それはそれで考え進めていいと思う。

切り離して組み合わせていいなら、正方形と三角形は簡単なんじゃないか？

>>136
これ問題？　「振動する」でいいんじゃない？
その他細かい条件があるのかは知らないけど

有限個に切り離して、組みなおしてもよいなら
(i) 長辺/短辺 ＞ 2 の長方形を作る（長辺/短辺 ≦ 2 になってしまったら、また半分に切って組み直す）。
(ii) 長辺/短辺 ＞ 2　の長方形は、長辺の適切な場所で、長辺に垂直に切れば、合同でない相似な二つの長方形に分けられる。
円をこの話に帰結できるかは分からないが。

やっぱり自己相似を使わず、さらに組みなおすこともなく、ということだろう。たぶん

んなややこしく考えなくても、組み直していいなら5*5に分けて3*3と4*4にするとかでいいじゃん。
三角形も25分割して16と9で出来るな。

…まあ…正多角形なら全部これで片付くということで、目をつむってくれや

いくら分割してもよく、組みなおしていいなら楽勝だろう・・・。

正方形を中心を通らずに合同な図形に二分割って出来る？

出来ぬ

>>117
穴があいていなくとも、たとえば半径3くらいの円板でも、
「子は円周を一定方向に回り続け、鬼はそれを馬鹿正直に追跡する」
というアルゴリズムでは、鬼の軌道は円周に漸近してくだけで
追いつけない気がする。つまり、鬼と子の距離は単調減少するが
0には収束しないという状況が起こりうるのではないか。

もちろん、鬼に先回りなどの知能を搭載すれば話は変わってくるけど。

1,2,3,...,L[mm]の長さの
L種類の棒を縦に並べて
きっちりL[mm]の長さにするには
何通りの場合があるか？
同じ長さの棒は何度でも使え、
区別もしないとする。

>>153
2^(L-1)

>>153

L種類の棒で作られるL[mm]の長さが何通りあるかを f(L)で表す。

L=1のとき、 明らかに1mmの棒が一本の1通りである。

L=n (ただしn>1) の場合について考える。
一番上になる棒の長さが1であるものは f(n-1)の上に長さ1の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが2であるものは f(n-2)の上に長さ2の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが3であるものは f(n-3)の上に長さ3の棒を重ねたものと等しい
：
一番上になる棒の長さがL-1であるものは f(n-(L-1))の上に長さ(L-1)の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さがLであるものは1通り
なので
f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^n-1

この式は L=1のときにも f(L) = 2^n-1 =2^1-1 = 1 なので 当てはまる。

下2行訂正

f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^(L-1)

この式は L=1のときにも f(L) = 2^(L-1) = 2^(1-1) = 1 なので 当てはまる。

解答

問題の場合の数は
L[mm]の棒の1,2,...,L-1[mm]の箇所に印をつけ
それぞれを切断するか否かの場合の数に等しいので
2^(L-1)

同じ部品からなる場合は重複と考える場合はどうだろうか？

（ 1+2+1で高さ4のものと 1+1+2で高さ4のものは同じとみなす）

>152
　子が外周を回るとき、鬼は子より内側の円周を回るので…

円周はまわらんのでは。

漸近的に円周に近づくだけで、円周に到達しないということ？
領域の円Aの円周上に中心を取って、一回の移動分の半径の円Bを書く
BとAの円の交点とAの中心を結んだ線が円Bの内側にあれば、鬼は円周に到達可能
円Bの接線と一致するなら、到達不能、か？・・・円Aじゃなくなりそうだけど。

↓これ解けばよさげかな

子の座標(X,Y)
X=Rcos(ωt), Y=Rsin(ωt)

鬼の座標(x,y)
r=√((X-x)^2+(Y-y)^2)として
dx/dt =(X-x)/r, dy/dt=(Y-y)/r

R,ωは定数
X,Y,x,y,rは時刻tの関数

t->∞でr->0を示す

円である限り追いつかれる？

>160-163
　鬼は子より内側を回るので…　　でした。

ってマズった

子と鬼が
距離1ずつ交互に逃げるのだったね

ということは
俺が書いたのは
一ステップあたりに
子と鬼が進める距離を無限小にとった場合
もしくは
領域となる円の半径を無限にとった場合に相当する･･･のか？

鬼の番のときに子との距離が１以下だったら捕まるということでいいのかな？

動くことが出来る領域をK、子を中心とした半径１の円内をM、鬼を中心とした半径１の円内をNとすると
子はMとNの共通部分以外の領域とKの共通部分L=K∪M ∪（MxorN)を動かないと捕まる。

逃げることが出来なくなるのはLが空集合になることを証明すればよい。。。

鬼ごっこの問題は日本数学コンクールのヤツかな．

http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2006s3.htm

問、
マッチ棒８５本を使用して正８角形をつくると何個できるか（１本のマッチを隣り合う複数の正８角形の１辺としてもよい ）

この問題の答えを出す数式を教えてください

野暮な質問だけど
正八角形の一辺はかならずマッチ棒一個の長さで作らなきゃ駄目？
正八角形には重なりがあってもよい？
これが問題の趣旨なら答えなくてもいいけど

ここ質問スレだっけ？

>>167
何か解く指針になるような表現になってる？
言い換えにすぎない印象なんだけども・・・如何に。

>>170

１辺は同じマッチ棒の長さで、昔のサッカーボールの６角形のように辺と辺で繋げてく感じなんですが…。


>>171
すんません。ここ質問スレじゃないんですね。

>>169
立体は？

平面です

二本のマッチの尻と尻を合わせて正８角形がひとつできる。
とりあえずそれだけで42個

A , B⊂Nに対して、A＋B：＝{a＋b｜a∈A , b∈B}∪A∪B と定義する。
また、Aの元の個数を｜A｜で表すことにする。

(1)｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜≧nならば、n∈A＋Bとなることを示せ。

(2)自然数列{xn}はliminf[n→∞]n/xn＞1/2を満たすとする。
X＝{xn｜n∈N}とおくとき、X＋Xに含まれない自然数は有限個であることを示せ。
(十分大きな自然数は高々2個のxnの和で表せる、ということ)

(1)
ｎ∈A,もしくはn∈Bの時n∈A+Bは定義より明らかなので
AもBもnを含まない場合を考える

この時
｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜
=｜A∩{1,2,…,n-1}｜＋｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧nが成り立っている

以下、背理法でn∈A+Bを示す
あるA,Bが存在して、n∈A+Bではないとする

｜A∩{1,2,…,n-1}｜={a1,a2,...,ak}=kとすると
B∩{1,2,…,n-1}は{n-ak,...,n-a1}を含まない
(もし含むとするとn∈A+Bではないことに反する)
なのでB∩{1,2,…,n-1}は{1,2,…,n-1}から{n-ak,...,n-a1}を除いた元しか持ち得ず
これはn-1-k個以下である
しかしこれは
｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧n-｜A∩{1,2,…,n-1}｜=n-k
なので矛盾する

従ってn∈A+B

無駄があるかも

正ｎ角形を一筆書きして出来る図形のパターンをp[n] 通りとする。
ただし、回転や鏡影を施して重なるものは同じパターンとします。
例　p[3]=1, p[4]=2

(1) p[5],p[6] を求めよ。
(2) p[n] を求めよ。

>>179
>正ｎ角形を一筆書きして出来る図形

すべての正ｎ角形の頂点を通る一筆書き（頂点同士を直線で結ぶ）して出来る図形
星型etc

通信網の問題：
互いに離れたところにいくつかの通信基地がある。
これらの基地の間には通信ケーブルが張り巡らされており、
どの二つの基地もちょうど一本のケーブルで結ばれている。
ところがこのケーブルは一方通行でしか情報を送れない。
つまり、二つの基地の間で、どちらかの基地は他方へ情報を送信できるが、逆方向へは直接送信はできない
このような通信基地たちとケーブルによって構成された通信網を考える。
さて、Ａを通信基地のひとつとする。
もし以下が成り立つならば、このようなＡを通信網の要と呼ぶ

「任意の基地Ｂ(Ａ自身は除く)に対して�@または�Aが成り立つ
　�@)ＡとＢの間のケーブルはＡが送信側でＢが受信側である
　 　（これをＡ→Ｂと書くことにする）
　�A）ある基地ＣがあってＡ→Ｃ→Ｂである　」

つまり、Ａが要であるとはＡは自分以外のどの基地へも高々２ステップで情報を送信できる事を意味する。

問題：
どんな通信網も必ず少なくとも一つ要を持つことを示せ

同じ問題を出してもしょうがないでしょう。

>>181
N個の基地からなる通信網に要Aがあると仮定する。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
仮定より、Cの基地は全て、あるBiから1ステップで到達できる。

ここに新たに基地Xを追加したとき、
・A→XならAが要。
・あるBiに対しBi→Xなら、A→Bi→Xとなるため、やはりAが要。
・X→A、かつ全てのBiに対しX→Biのときは、任意のCjに対し
　あるBkがあってX→Bk→Cjとなるため、Xが要になる。

よって、N+1個のときも要がある。

>>117
　直径１以上の円形の穴。円周上も立入り禁止。
　鬼が近付いて来たら、円の中心Oについて対称な点に逃げる。

ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい

(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17

「の３乗」なんて書くやつの問題がおもしろい確率を答えよ。

｢面白い｣の定義を答えよ

顔の表面が明るい無彩色

〔問題〕
　a = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおく。
次の双曲線函数
(1)　y = cosh(ax),
(2)　y = sinh(ax),
(3)　y = 2cosh(ax),
(4)　y = 2sinh(ax),
(5)　y = (2/√5)cosh(ax),
(6)　y = (2/√5)sinh(ax),
が通る格子点をもとめよ。
なお、(1)の格子点は(3)の格子点、(2)の格子点は(4)の格子点.

>>183
俺も解いたけど、解き方が違ったので書いてみる。

背理法で証明ので、要がないと仮定する。
1ステップで到達できる基地の数がもっとも多い基地のうちの一つをＡとする。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
要がないという仮定から、Ci -> Bj (任意のi,j) という経路があることと、
Ci -> A (任意のi) を言って、Aの定義に矛盾することを示してＯＫ。

>>190
下から2行目だけど、
「要がないという仮定から、あるCiが存在し、任意のBjに対しCi -> Bjとなることと 」
じゃない？

>>191
証明のためだけなら、あるCiについて述べればそれで十分だけど
どのCiをとってもそうなっているのだから別にめくじらたてるほどのことでもない。

なってねぇだろ

ああ、Bのどの基地からも１ステップでいけない残り全部がCだ。
要がないと仮定したのでCは空でない。

結局、1ステップで到達できる基地の数が最も多い基地が
自動的に要になるってことか。

ABCDEの5人に◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
これより各問の正解が◯×どちらであったかを推測して下さい

※abcdefghij
A:OxxOxOxOxx 8点
B:xxOOOxxOOx 7点
C:xxxOxOxxOO 6点
D:OOOOOxOxOx 5点
E:xOOxxOOOxO 4点

oxooxoxoox

OxOOxOxOOx

長さ2009cmの紐があります.
コレを二人が交互に切るというゲームをします.
ひもは一本に付き一箇所だけ, cm単位でしか切れません.
# つまり, (5,2004)に切るのはokで(5.5,2003.5)に切るのはNG
また紐を好きなだけ何本でも重ねて切ることもできます.
# (5,2004) -> ((2,3),(1000,1004)) の様な切りかた
先に切れなくなった方が負けで, パスは出来ません

先手必勝でしょうか後手必勝でしょうか

p.s.
問題書きながら気になったんだけど
> ひもはcm単位でしか切れません.
という条件を緩めて"長さ1cm以下の紐を作っては良けません"にしても面白いかも

直径1cm、重さ1g、密度一様の球が毎秒一回転の速さで回っている時の運動エネルギーはいくらか？

0

回るってのは自転するのか楕円軌道を描いているのかどっちよ？

>>200宿題にしか見えない･･･

>200

KE = (1/2)Iω^2,
I = (2/5)ma^2
a: 球の半径[m],
m: 球の質量[kg],
I: 球の慣性モ−メント（中心を通る軸まわりの) [kg･m^2],
ω: 回転速度[rad/s],
KE: 運動エネルギー[J]

>200
　ω = 2πf,
　f: 回転数 [Hz]

>199

定義：
　ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
　先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
　そうでないとき後手必勝型と呼ぶ

場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。

同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち

さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ−１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
　この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ−１以下の奇数三つができる
　後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型

従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝

(1)
ある商品を買うと6種類の内1種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけを6種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?

(2)
ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?

オタク的には箱買いすればいい

（１）
すでにｋ(0≦k≦5)種類もっているとき、新たに一個買って
ｋ＋１種類になる確率は　１-ｋ/6
よってｋ種類からｋ＋１種類にするのに平均で買う個数は
Σ[ｎ＝１から∞]ｎ・(ｋ/6)＾(ｎ-1)・(1-ｋ/6)
＝１/(1-ｋ/6)
従って
６種類そろえるまで買う個数の期待値
＝Σ[k＝0から5](ｋ種類からｋ＋1種類にするまでの期待値)
＝１ + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6
＝147/10

(2)
同様に考えると、おまけが1種類つく場合のａ種類そろえるまでの期待値は
ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）
商品一個につきｂ種類のおまけがつく場合は、
「1種類のおまけがつく商品を常にｂ個セットで買う」と同じことだから
(ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）) / b

>>206
正解.

"長さ1cm以下の紐を作っては良けません",
"長さ1cm未満の紐を作っては良けません"
のケースも暇があったら考えてみてください^^

× 「良けません」

△ 「行けません」
○ 「いけません」

>209

「ｂ種類のおまけ」と「ｂ個のおまけ」を勘違いしてないか？

>189

チェビシェフの多項式より、
(1)　(p,q) が格子点ならば (np, T_n(q) ) も格子点
(2)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)(q) )
(3)　(p,q) が格子点ならば (np, q*T_n(q/2) ) も格子点
(4)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, 2*U_(2n)(q/2) ) も格子点
(5)　(p,q) が格子点ならば (np, (2/√5)T_n((√5)q/2) ) も格子点
(6)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)((√5)q/2) ) も格子点

>>212
なぜそう思う？

>>214
おまえの脳を読んだからさ！

いや俺は考えていないからそうは思っていないはずだ。
それとも深層心理まで読み取られてしまったのだろうか？

任意の実数aに対して

f(a,a^2,a^3)=f(a^2,a^3,a)=f(a^3,a,a^2)=f(a,a^3,a^2)=f(a^3,a^2,a)=f(a^2,a^3,a)=0

を満たすようなx,y,zの多項式f(x,y,z)を求めよ。

>>210

１未満を作ってはいけない場合：
まず、>>206で定義した先手必勝型、後手必勝型に加え、「作ると負けになる長さ」を
禁止型と呼ぶことにする。禁止型は広い意味では後手必勝型に含まれると考えられそうだが
これらを区別した方が後の議論に都合がいいので。
>>206の議論は切断位置を実数にした場合にも自然に拡張され
「場に存在するのが後手必勝型のみの局面はその手番の負け」、さらに
「場に少なくとも一本先手必勝型が存在すれば勝ち」が言える。
後者は整数ルールのときから言えたことであり、ここから
「全ての先手必勝型ｘに対して、少なくとも一つあるｙが存在し、ｙとｘ-ｙはともに後手必勝型」
が言える。
さて、半開区間(1,2]の要素はそれ以上切断できない。(切断しようとすると禁止型を生じる)
よってx∈(1,2]のとき、xは後手必勝型
またこの区間の要素の和で表せる(2,4]の要素は全て先手必勝型
ここで、ε＞０に対して4+εを先手必勝型とする。
先手必勝型の性質から4+εはある後手必勝型の和で表せるはずだが、既知の後手必勝型は最大でも２なので
可能なのはなにか未知の後手必勝型4+δが存在して4+ε→(4+δ,ε-δ)と分解されるときだけ
ここでε-δ＞1であり、とくにε＞１
まとめると「4+εが先手必勝型ならばεは１より大きい」
対偶を取って「ε≦1ならば4+εは後手必勝型」
よって半開区間(4,5]の要素は全て後手必勝型
こうしてまた新たに後手必勝型が見付かったので、それらの和で表せる(5,7]や(8,10]は先手必勝型
同様の議論を続けていくと、結局k＝0,1,2,3,・・・に対して
(3k+1,3k+2]は後手必勝型であり、(3k+2,3k+4]は先手必勝型
とくに2009＝3・669+2は後手必勝型
１以下を作ってはいけない場合もほとんど同様にして半開区間の向きだけ変わり、
2009は今度は先手必勝型になる

>217
f(x,y,z) = (xy-z)(yz-x)(zx-y)g(x,y,z),
f(x,y,z) = (xy-z^2)(yz-x^2)(zx-y^2)h(x,y,z),
など。

(x-yz)(y-xz)(y-x^2)

f(x,y,z) = 0 で十分。

>>215
人の脳を(ry

媒介変数tを用いて表される二曲線(i),(ii)がある。

(i)x=e^(-t)cost,y=e^(-t)sint
(ii)x=e^(-t)cos2t,y=e^(-t)sin2t

この二曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。

>>223
t≧0 でいいんかな。1/2 になったけど。

1/4だた

>223
　囲まれる部分はたくさんあるが･･･
　(i)のtと(ii)のtは

自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。

>>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。

>>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?

平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )　
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))

計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….

P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。

(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？

age

Zagier's problems
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html

>>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。

(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。

(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。

>>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5),　ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。

> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。

H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。

スレ違い承知で。

15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。

>>236

7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000

7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000

二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。

15秒でレスできねえよ

>>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。

このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。

56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・

打ち損じた
5764801だ

>>242
どうやって考えたのよ

>>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々

「暗算の鬼」参上

面接官(　｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。

>>244 (　´∀｀)：7^8＝5764801　下2桁が01だから計算が楽々。

面接官(　・д・)：

面接官( ・д・ )：

面接官(　｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。

>>244 (　´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。

面接官：
　　 　　 ＿__　　　　━┓
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　　／ノ　　(●)＼　 ・
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.　｜　　 （__ノ￣　　|
　　＼　　　　　　　 /
　　　 ＼　　　　 _ノ
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　　　　|　　　　　　　　|

むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい

と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…

俺数学的センスないなｗ

>>248
お前は俺か！

1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)

もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。

インド人なら簡単なのかな？

49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか

4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)

本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。

この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。

判定予想

×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい

ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな

判定予想 訂正

×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい

ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな

k=1000 でっせ

2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。

まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。

暗算シリーズ

20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな

数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー

125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい

>258
　29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
　2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･

>263
　63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
　2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26

出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…

>258

　a_1 = 5/4,
　a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
　a_2 = 63/50,
　a_3 = 375047/297675,
　･･････

>>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな

Taylor展開による解答を御用意しております。

………

>269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
　ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
　2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･

【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする

時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。

2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、

左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから

(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008

である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると

2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26

時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。

(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2

だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると

1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064

である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり

2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992

>>258

　a_1 = 5/4,
　a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]},
の方が収束が早いらしいお。 >>267
　a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･

参考書
　一松 信, ｢数値計算｣ 至文堂 近代数学新書 (1963)
　　　　第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151

>>269
Taylor展開と聞いてやってみますた
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+…
にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。
1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747…
1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336…
よって 2^(1/3) ≒ 1.2599
暗算にはかなり苦労しますた。

>>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。
おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが…
>>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも
割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。

ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。
ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。
２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。

こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・

１，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。
7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？

これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○
誰か答えを教えてください。。。

>>279
マルチ

終了

>>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？

>>281
７人ではないです。

> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。

>>278
1+3+9=13

>>283
むずい。解説きぼん。

有限射影平面になるから。

【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする

>>272 >>286 氏ね

>>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?

てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに

そういう解法があっても構わない。>>289

生徒は全部で n 人いるとする。

1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。

2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。

3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数は ちょうど 4n 人。

4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.

ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291

>>285
難しくてよくわかりません・・・

１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。

つづき

全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。

以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。

>>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。

>>292 で書いた事のココロを描いてみる。

[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。

[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。

[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。

[291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。

2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。

3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。

4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。

>>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)

[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。

[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。

あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)

>>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。

>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。

>>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。

> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。

13人が未解決問題とか聞いたことあるな。

昔の話で悪いですが


>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？

>>273

2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これは ド−ミ の長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。


なんて感覚的な答じゃだめかな…

素敵な答をありがとう！ もっと理屈をこねると次のようになるね。

ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。

音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。

私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）

豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない

>>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。

【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1195394463/

何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。

平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな

さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、

2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい

という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である

と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。

1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である

と言える人なら完璧。

>258

√2 > 1.4142 より
　(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
　3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
　√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
　1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613

>258

　29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
　29√2 > 41,

>>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。

もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば　2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？　ペル方程式の３次元バージョンですけど。

ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。

単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。

×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。

>317
ギャクも真なり…

音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)

おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。

1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。

1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。

セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。

で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。

>>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz

>>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる

保守

あげ

よく小学生に出す問題

３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)

消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました

さて消費税はいくら？

(3+3/7)*7=24
3/3+7*7=50円

地方消費税を考慮する必要はありますか？

ab+c=a(b+c/a)

3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。
注:3^n-2　の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね

p:3^n-2の素因数として表れない素数とする
このとき
任意のｎに対して
3^n ≠ 2 (mod p)
一方、p＝３のときを例外として、明らかに
3^n ≠ 0 (mod p)
従って、任意の自然数ｎに対し
3^n = 1 (mod p)
つまりpは3^n-1を常に割り切る
とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る
2を割り切る素数、それは２しかない
∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない　⇒　p=２またはp=3

逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか
よって
(3^n-2の素因数全体の逆数和)
＝(2と3を除く全ての素数の逆数和)

素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する

>>332
７行目がわかりません。
なんで「従って」？
その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから
3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって
3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？

間違った。
誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？

3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n−1 (mod p)だけだよな。

>>332
13 は 3^n-2 の素因数にならない

332です
どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって
ヘンな勘違いをしてしまったようです
なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか
我ながら理解に苦しみます

>>335
いえません

3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n−1 (mod p)だけだよな。

3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。

自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？

面白ければ。

面白くないと承知しねーぞ。

では一つ。
(a, b) から R への C^1 級関数で、
有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？

f(x)=1/x

そんな簡単なのがあったか！
ではもう一つ。
(a, b) から R への C^∞ 級関数で、
代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか

>>346
は複雑すぎるようだから、
>>344
で、単調増加とするとどうだろうか？

http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/70.html
の回答が
http://d.hatena.ne.jp/redcat_math/comment?date=20070621#c
にあった。よろ。

>>347
f(x)=1-(1/x) on (0,1)

定義域をR全体にすると難しいかも。

>>345
を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。
そろそろ数学やめようか。

>そろそろ数学やめようか。

面白い問題だな！

0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。
その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという

この10桁の数は何でしょう？

どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。

>352
3816547290

>>354
おお、本当にそうなってる、うめぇｗ

(1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋……
はいくつに収束するか？

>356

(与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8…

\Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！

>>354
今さらながら、どうやったの？

>>354
超うめぇｗ

>>353
エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓


http://www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/cardanos_formula.html

>>359

>>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。
順番としては最後に７の倍数判定かな
順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。

OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。

>>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな

動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。

2

>>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。

xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。

>>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。

ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。

http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。

自作問題投下。

無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。

・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0

ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。

・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。

転載ですがどうぞ

1)10cmの直線ABを引く、

2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く

3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く

4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる

5)直線ABの中点E1から垂線を引く

6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く

7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする

8)Fから、点ABCDに線を引く

9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう

10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。

10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一

10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ


問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ

たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。

□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□

次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば

□□□□□
□�C�A�B□
□□□�@□
□□□□□

と書き込む。このとき、行列Aは

１０１０
０１１１
１１１０
０１０１

となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。

>>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。

>>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん

>>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。

>>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？

>>377
定理という程の名前はなかったと思う。

正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。

正十二面体ではどうか？

ここでは図を書けないので理論で答えよ。

a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。

>>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ

では書き直し。

a を非負の実数とする。

(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)

の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。

>>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は

>>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を

(i≠jのとき)　Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき)　Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1

に変えても

・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。

が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？

>>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として

>>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。

>>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。

変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。

>>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．

>>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ

何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」

多面体逆向二筆書き

>>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。

>>389>>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。

>>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn−1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。

>>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。

x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記

だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で

(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1

と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。

>>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ

>>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。

>>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。

行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。

同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。

>>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。

不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。

> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、

[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。

>>398
>単一近似としての効率はどうかな。

効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。

立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。

>>399>>400
tkx
大部感じが分かってきた。有難う。

リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？
　例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！）
　　　　□ＡＢＣＤ
　　　　Ａ□１２３　　第１節がＡ−Ｂ＆ＣーＤ
　　　　Ｂ１□３２　　第２節がＡ−Ｃ＆ＢーＤ
　　　　Ｃ２３□１　　第３節がＡ−Ｄ＆ＢーＣ
　　　　Ｄ３２１□　
一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。

放置推奨

>>401
↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。
http://93.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath2&c_num=83037

>>400
　f(x) = x^2 -2/x = 0
を使えば3次の収束らしいお。 >>275

http://mainichi.jp/select/opinion/editorial/news/20080103k0000m070070000c.html

a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2},
　　　　= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3},

>>405
本当だ、確かに3次収束だ。はえー

>>359が2007/12/25(火) 22:25:17
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。

>>394-401
同じように 整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として

x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n

で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。
ただし Dは
D =
[0,0,d]
[1,0,0]
[0,1,0]
であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として
Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1]
Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1]
Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1]

Aの固有値は上のそれぞれに対して
a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2
になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば
c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。
このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。

>>成る程。

>>409
数学板は全般的にこの通りだな。

http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。
但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、
知っている人は別として、過去問は見ないやうに。

a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、
det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2
なる物が存在する。

>>413
電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が
det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2
をみたすな。
E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f
とすれば題意をみたす行列の出来上がり。

>>382 の (ii)
簡単の為 a ＞ 0 とする。
a = e^(log a)
a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a)
よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、
これが a の収束範囲。

>>410
× (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立)
○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立)

>>414
意外と簡単だったか！

>>413
が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。
n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。
この時、連立方程式

x^n = f (x, y)
y^n = g (x, y)

は、少なくとも一つの実数解を持つ。

>>418
そっちのほうが簡単な気が…

実係数、奇数次だから
(∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y)
(∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y)
よって（ry

ごめん。できてなかった。

>>399
前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、
整点でそんな点はないんじゃないか？
だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？
いや待てよ、やっぱり云えないか。
複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？

>>382
(1)
a ≧ 1 だと当然収束しないから、
0　≦ a ＜ 1 とする。
この時適当な定数 C により、
a^(√n) ≦ C/n^2
と評価されるから、その範囲で収束。

>>418
F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y)
G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y)
を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。

>>423
F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。

遅ればせながら高校生スレに便乗

(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう

(2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう


(1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする
てかあの問題と同じ仕様で

ん？

>>425
ポリアの定理で計算出来る。

>>379
が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。

正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。
また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。

正十二面体ではどうか？

D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件 ：
任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。
また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき

(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy

を示せ。

>429
　ただの �迫随�序積 ≦ �箔ｯ順序積 (積分版) だって…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/206-207
不等式スレ３

X=cosX Xはいくつ？

>>431
で、問題は？

で、答えは？

>>431
X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589…
死ぬほどクダラナイ

>>427
ポリア？

xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？
a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？

a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、0 ≦ x, y, z ≦ n　なる領域は幾つの領域に分割されるか？

a, b, c, d, n が奇数の時、
x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n
なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、幾つの領域に分割されるか？

>>435
http://www.mathreference.com/grp-act,bpt.html

>>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、
それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ

>>437
英語は嫌いだぁ
実際に解いてみてよ

英語が嫌いでは高等数学は出来ない。

>>428
シンプルな問題だったのが台無し

正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？
ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。

のほうが汎用性がある。
頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？

>>425>>439
では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
を解いてみよう。
先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4.
このうち、自明でない回転で一致する物は、
各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!.
従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4.

各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で
1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。
S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。

>>425
等間隔とかの条件がないから無限大
線対称は別の条件を入れないと誤解

【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで)


１２個の硬貨ある。　そしてその中には贋金が一つ含まれている。

その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。

上皿天秤が与えられている。　その上皿天秤を３回だけ使って、

その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある

どんな方法か？　Web Page を作ってその方法を示せ。

E-mailの宛先は：− [email protected]


Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai
ga aru !



Good Luck to YOU and to US ALL !

>>444
馬鹿無限大

>>443
存在しない。二次体の簡単な話題。

ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、
玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、
赤玉が r 回であるである確率はいくらか？

と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、
途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、
次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。
最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。

>>443
の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。

これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、
この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。

(i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。
相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ...
とすれば、相似でない物が無限に得られる。

(ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY).
K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。
Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。

x^2+y^2-axy=1.
y=1+tx.
x=(a-2t)/(1-at+t^2).
y=(1-t^2)/(1-at+t^2).

>>450
当然有理曲線ではあるよ。

んー

n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が
sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1
を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。

0

ルービックキューブ（３Ｘ３Ｘ３、面中心色固定）をばらして無作為に組み直すと
完成出来なくなる場合がある。何通りあるか。

どこまでどうばらして良いのだ？

クォーク・レベルまで分解して、ハニーフラッシュ。

世の中、馬鹿が多い様だな。

ルービックキューブと言えば、

同形の立方体を27個使って、3×3×3に組み上げ、大きな立方体を作る。
はじめに赤いペンキで、その立方体の表面を塗る。
その後、一旦バラバラにして、まだ塗られていない面が表に出るように、
再び大きな立方体を作る。
次に、緑色で表面を塗る。
その後、同様に一旦組みなおして、まだ塗られていない面を表にして
大きな立方体を作る。
最後に、表面を黄色いペンキで塗る。

ここまでの作業で、ひとつひとつの立方体に着目したとき、
6面が2種類の色で塗られているものは何個あるか ( あるいは
その個数は定まるだろうか )。

って問題を思い出した。
なんか発展した問題ない?

ばらして組みなおしてもまたばらして組みなおせるから完成できなくならない。

>>455
直感的には
八つの角について位置の違いが２通り。向きの違いが３通り。
辺について位置の違いが２通り。向きが２通り。

２×３×２×２＝２４通り。


違うか…？

全ての部品が正解位置にある場合だけでも3^8*2^12-1通りはある。

9*AB*CDE=ABCDE

>>463
その種の問題はもう飽きた

どんな問題が「面白いか」は人さまざまだろうが…
このスレの他の問題のレベルを見てから投稿しても遅くはないだろう。

予想通り茶化された（まじ予想では無視スルーだったから感謝）
コマネチ大の１６パズルの発展系として考えたんだが
ルービックキューブを壊した事がない人には問題自体理解するのも無理か？

壊した事は無いが、「壊れた」事ならあるよ。

俺はメタメタにシールを貼りかえたことがある
4歳とか5歳とかそれくらいのときに

>>468
そりゃばったもの

もうかなり昔、中1の春にルービックキューブを買った。中の構造が気に
なったんだけど、でも壊すのは勿体無くて、しょうがないから、キューブと
キューブの間の僅かなスキマから中を覗いて、その構造を想像してた。
半年くらい考えて、中1の秋のころ、構造を解明した。友達の持っていた
キーホルダーサイズのルービックキューブを分解してもらい(結局、自分のは
分解せずｗ)実際の構造を見てみたら、バッチリ合ってた。

>>466
どんな状態からでも1段と半分までは揃うんだな。
あとは3軸周りの移動回数で場合分けすればいけそうだが面倒だな。

正方形のみで作る立方体の展開図の個数を数学的に解くとか、ってある？

>>472
無限個

正方形のみで作る立方体の意味が分からん

問題
無理数の無理数乗が有理数になる事はあるか？

e^(ln 2)

a^b、b^aがいずれも有理数となる無理数a、bは存在するか

>>466
ばらしたあとどう組みなおせるのかもわからん。
対象の位置にあるのは全部入れ替え可能なのか？

>>477
x^x = 3 なる実数 x が存在するから、
これが無理数なる事も容易に分かり、
a = b = x とする。

一応用意しておいた解答を書いとくと

まず√2は無理数である
従って(√2)＾(√2)が有理数ならば、主張が成り立つ
(√2)＾(√2)が無理数ならば((√2)＾(√2))＾(√2)=2　なので
やはり主張が言える

というのがあった

>>480
(√2)＾((√2)＾(√2)) は、どうして有理数なの？

>>481
475は(√2)＾((√2)＾(√2))という数には触れてないぞ。((√2)＾(√2))＾(√2)でしょ。

あ、いや、わかった。>>477と勘違いした。

>>478
もちろん！
原型に直したら数学の問題にならない
機械組立工作の問題になる

1から6までの数字を1回ずつと＋､−､×､÷､括弧のいずれかを使った式を考えます
それを例えば6×(1＋25)÷3−4とします
この式を逆から読むと4−3÷(52＋1)×6となります
この2式の差は48−3.66037……≒44.33963となります
この様に逆から見た値と元の式との差が､
0にはならず､できる限り0に近くなる様な式を見つけて下さい

[ﾙｰﾙ]
(1)1から6までの数字を全て1回ずつ使う.これ以外の数字の使用は不可
(2)156の様に数字をくっつけてもよい
(3)＋､−､×､÷､括弧はそれぞれ何回使ってもよいし､使わないものがあってもよい
それ以外の演算子の使用は不可
(4)4の斜め上に3を書いて4の3乗にする等は不可

>>485
ルールをつけたす必要があるぞ
1+2+3+4+5+6
6+5+4+3+2+1
差は0

>>486
「0にはならず」だよ

>>485
数学的な魅力に乏しい気がする。

条件を満たす最良の式を求めたりチェックしたりするには、総当りしかないだろうから。

ﾙｰﾙを厳密に定義したければ追加要
負の数を表す-は不可
（）は逆使用

例　1+(-2x3)+4+5+6⇔6+5+4+)3+2-(+1
意味不明

156/234 -> 625/90000

>480
何が言いたいのかよくわからないけど
(√2)＾(√2)　は無理数だよ

>>491
元の問題良く読め。
(√2)＾(√2) が有理数であっても無理数であっても、どちらを仮定しても、
元の問題が高校レベルで解けるという事だ。

>>491
高校生向きの解答なら>>480じゃないと無理だろ
高校生には(√2)^√2が無理数であることの証明はできない

ああ、なるほど　よく読んでなかった
すまぬ

うまく考えたものね

nを2以上の自然数とするとき
√1+√2+…+√n が無理数であることを示せ

>>485
少しだけやってみた
5÷6＋24÷31＝1.6074･･･

13÷42＋6÷5＝1.5095･･･

上−下≒0.0979

ただこれが最小な自信も根拠も何も無い
問題というかチャレンジだねコレ

>>490が0.003くらいだな

156/432-234/651≒0.001664
プログラム書いてこのタイプの商の差を求めたらこれが最小だった

プログラム書くなら全部やればいいのにｗ

演算子や括弧まで網羅するのは俺には無理
３桁の商の差は網羅した

逆ポーランド記法使えば括弧使わなくて済むから
プログラミングが楽になるよ。

でも計算量がなぁ…

プログラムをちょっと変更して↓のタイプのを試した
6÷5132÷4-4÷2315÷6＝0.00000431

0でない有理数というと結局は割り算しかないのだからこの辺で限界じゃまいか

1.05の4分の1乗はどうやって解くのですか?

>>504
「解く」とは？

どのように計算したら良いですか？

平方根の筆算ができるのなら、それを２回やるといいよ

ごめんなさい。
よくわかりません…

平方根の筆算は検索すればすぐ見つかる。
それができないなら、電卓を使うしかないな。

それから、その問題はこのスレじゃない方がいいだろうね。

23:MASUDA◆5cS5qOgH3M :2008/01/14(月) 21:46:37
以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ．
条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』

>510
p≧2, b[k]≧2 として
　c[n] = Π[k=1,n] b[k],
　a[n] = p^c[n]
とおく。
　a[j]/a[i] -1 = p^(c[j]-c[i]) -1 = p^{c[i](c[j]/c[i] -1)} -1 = a[i]^(c[j]/c[i] -1) -1,
　c[j]/c[i] -1 ≧ 1 だから a[i] -1 の倍数。

　a[j] -1 = (a[i] -1)(a[j]/a[i]) + a[j]/a[i] -1,
より
　gcd(a[i] -1, a[j] -1) = gcd(a[i] -1, (a[j]/a[i]) -1) = (a[j]/a[i]) -1.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/23-29
東大入試作問者スレ１３

>>511
その答えに反例が挙がってるようだが

Nを任意の自然数とし、F(n)をフィボナッチ数列とする
F(n)がNで割り切れるような自然数n全体を決定せよ

>>513
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#118
より、フィボナッチ数 F(n) はmod. N 周期を持つが、
それすら分からない難問であるから、
もっと易しくしてちょ。
なお上記より、 N で割り切れるフィボナッチ数が必ず存在することは分かる。

>>514
n|m ならば F(n)|F(m) であることに注意する
F(n) ≡ 0 (mod M) となる最小の n を n(M) とする
N = Π^{m}_{k=1} p^{a_k}_k と素因数分解されるとする
このとき Chinese Remainder Theorem より次が成り立つ
n(N) = LCM( n(p^{a_1)_{1}) , ... , n(p^{a_m)_{m}) )
従って求める自然数全体は n(N) の倍数全体となる
以上より、素数 p と自然数 a に対して n(p^a) を具体的に求めれば良い

n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ

>>515
>n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ
良く知られた予想はあるが、誰も証明した物はいない。

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#118
とその解答参照

なんだよ転載かよ

>>441
蛇足

>>518
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/link1.html
くらいチェックしておけ

>>516
用意していた解答にミスを見つけたorz
てか、有名な問題だったのね。知らんかった

お騒がせしました

平面ではなくて空間に世界地図があるとする。
各国は空間領域とする。各国に色を塗って塗り分けたい。
但し、点や線で接している国は同じ色にしても良いが、
面で接する国は違う色で塗り分けねばならない。最低何色必要か？・・・・

と言いたいが、これでは何色でも必要になってしまう。
それでは条件を付けて、国は全て有界凸閉多面体で、
国の数も有限とするとどうか？

小学校の時、先生が遊びで出した問題です。

マラソンランナーは42キロの距離をを、1時間で残りの距離の1/2進めるとします。
いつまで行ってもその残りの1/2が残りますが、数は無限大にあるので、
ランナーは永久にゴールできないのか？

確かゴールできるという答えだったと思うのですが、
理系の大学に入った今でもわかりませんｗ
ふと思い出したので、答えを教えてください。

高校の内容を使ってもいいなら↓

スタート地点をｘ、ゴール地点をｙ、ランナーをaとする。
このとき、aはｙに限りなく近づく。
よって、a=y
つまり、aとｙの位置が同じとなり、ランナーはゴールできる。

n時間後のランナーとゴールの距離をd[n]とすれば
d[n]=42*(1/2)^n>0
であるから、決してたどり着けない

足元がゴールラインすれすれになった頃に胸を突き出せばゴールイン扱いになる
そういう問題ではないのか

実数列A[n]で、以下の条件を満たすものが存在するか？
存在するなら具体例を、存在しないならその証明を示せ
１、lim[n→∞] A[n] = +∞
２、lim[n→∞] A[2^n]/A[n] が存在

>>527
数列{fn}を次のように定める。

f1＝2 , f(n＋1)＝2^fn

数列{fn}は明らかに狭義単調増加である。g：[2,＋∞)→Rを

g(x)＝k ( fk≦x＜f(k＋1) )

として定め、数列A[n]をA[n]＝g(n)で定義する。このA[n]は、
１と２をともに満たす。

>>528
別の問題になってしまうが、その fn をn(>0)について実解析的に拡張できないものだろうか。
何らかの意味で自然に。

f(x)=x^a，a=x^a とする．

(1)x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
(2)x＜1の場合を論ぜよ．

>>530
「収束する」という単語は、数列にしか使わない。
「数列{1/n}は0に収束する」という使い方しかしない。
1つの実数を持ってきて、それが何かに収束する、という言い回しはしない。
たとえば、「実数1は1に収束する」という言い回しはしない。

＞x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
f(x)は数列では無い。各xごとに、f(x)は実数を表しているから、「f(x)が収束するような」
という言い回しはしない。これに対し、たとえば、関数列{fn(x)}が与えられたとき、
「関数列{fn(x)}が収束するようなxの範囲を求めよ」という言い回しは正しい。

収束フォーーー
数列フォーーー
実数フォーーー

>>530
x^a = a なんだから、 f (x) = x^a = a は定数

10^30 を 1002 で割った数の 10 の位を求めよ。

>>531
訂正どうも。だめだめでｺﾞﾐﾝ
>>533
確かに・・。
f(x)=x^a ←このaにa=x^aを代入を繰り返して
f(x)=x^(x^(x^(x^(x^･･･))))
ってさせたかったんだけど、これじゃ結果が一意にならない？（のかな？）
混乱してきたので問題訂正しますorz

【問】
x^(x^(x^(x^(x^･･･))))＝α (α∈R)
となるようなxの値の範囲を求めよ．

>>535
f(1)=x
f(n)=x^(f(n-1))
lim [k->∞] f(k) = α

と理解してよいか？

>>536
なるほどそれなら>>533で指摘された不備が出ないですね。
問題無いと思います

>>537
-1<x<=1

>>535-537
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/towerp.pdf

巡回するとなると厄介だな

>>539
鼻血出た

1≦x≦exp(1/e)
と思ったら
exp(-e)≦x≦exp(1/e) までいけるのか

>>542
学部二年の時にそれ導いたわ
有界で単調な数列は収束する、が本質だった
複素数の範囲は難しくて諦めた

>>536
そいつを f と書いてしまうと、最初の出題の 「 f(x) 」 という書き方ができなくなってしまう。
g(x,1):=x
g(x,n):=x^( g(x,n-1) )
f(x):=lim [n→∞] g(x,n)
にしとこうぜ。

なおこのf は f^(-1) が簡単な式で書けるな。

>>543
> 複素数の範囲は難しくて諦めた

y=f(x) は
x=y^(1/y) をみたすから、これを用いて解析接続することになるね。

オレは >>544 の g(x,n) を、
xについてではなく nについて解析的な拡張をしたい。
g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、 zが実数を動くときはzについて対数凸な、
そんな拡張はできませんか。

全部数字を入れるクロスワードです。入れる数字は全て平方数(何とかの2乗)です。同じ数は2度使っては駄目です。
　
■□■■□□
□□□■□■
□■□□□□
□□□□■□
■□■□□□
□□■■□■

>>547
それが埋まると、何か面白い数学的事実が証明できたりするのか?

>>547
平方数の「数字」は 0, 1, 4, 9 の四つだから重複を許さねば埋まる訳がない。

>>549
バカなの？

>>550
お前がな

〔527の変形〕
以下の条件を満たす実数列 A[n] の具体例を示せ。
1.　lim[n→∞)　A[n] = +∞
2.　lim[n→∞) A[2^n]/A[n] = α,　　　　(α>0)

>552
　A[n] = k*α^g(n),　　　　　　(k>0, α≧1)
ただし、g(x) は >>528 に定義されているもの。

× g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、
○ g(a,z+1)=a^( g(a,z) ) が成立し、

>>547
ほう、最近はこういうのも「クロスワード」というのか。
ところで君の言う「クロスワード」の定義を教えてくれないか？

>>552
α＜1だと困るがな

http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
ぱわたわ…

>556
　α≧1 だった … ｽﾏｿ.

>>557
も>>529の疑問には答えていない様だな。
これはアーベルの問題として昔から有名な問題だ。
幾つかの解も知られている。

>>559
kwsk

>>560
色々検索しても出てこなかったが、
サーティ編「現代の数学 III」（岩波）第一章に出ていた。
君が良く行く図書館にこれがあることを祈る。

ありがとう。 >>561
英語でいいから、もっといい検索キーはないもんかな。
abel
interpolatoin
power

俺が今考えてる問題
おまいらにも考えて欲しい

n，mを自然数とする．1からnまでの数字が書かれたカードがそれぞれm枚ずつ，
合計nm枚ある．これらをm枚ずつn組に無作為に分けるとき，それぞれの組から
うまく1枚ずつのカードを拾って1からnまでの数字を集めることができるか．

>>563
その問題の本質的な部分だけを取り出した問題を、
俺が過去ログに書いたことがある。解答もされた。

>>564
むうｶﾞｲｼｭﾂだったか
すまん指摘ありがとう

>>560
やっと見つかった。
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_equation
に出てくる
f (h(x)) = f (x) + 1 で h (x) = e^x の場合。
解の具体例まではここには書いてない。

>>565
過去ログは
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

ありがとう!! >>566
analytic solution ( "abel functional equation" OR "abel equation")
で検索したら、面白そうなのがザクザク出てきた。

>>568
そんなに沢山出て来たんだったら、分かり易くて面白いの、一つ教えて！

方眼紙で，縦2マス，横nマスの長方形を考える．
この長方形の１つの角の点をＳ，Ｓからもっとも遠い点をＧとする．
Ｓを出発してＧに至る経路のうち，同じ点を2度通らないものの個数をa_nとする．
a_nを求めよ．

>>570
n×2の方眼紙内において
(0,0)を出発して(n,1), (n,0)に行き着く道順の総数をそれぞれb_n, c_nとおく
a_nのうち(n,0)→(n,1)の順路を含むものの数をa'_nとする
c_nのうち(n,2)→(n,1)の順路を含む物の数をc'_nとする
a_0 = a'_0 = b_0 = c_0 = 1, c'_0 = 0 となる
漸化式を図から考えて
a_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + a'_(n-1)
b_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1)
c_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1)  + c'_(n-1)
a'_n = c_(n-1) + a'_(n-1)
c'_n = a_(n-1) + c'_(n-1)

…もっときれいな解法あるんだろうな

(m+1)×(n+1) マスの升目がある。一番左側の列と一番下の行には既に碁石が置かれている。
（合計 n*m + 1 個）
残りの n×m の空白の升目に一つずつ碁石を置いて行って全部埋める方法は何通りあるか？
但し碁石を一つ置くには、そのすぐ左とすぐ下には既に碁石が置かれていなければならない。
（結構有名問題？）

株価2000円の会社があるとして、
ボラティリティ40%の場合、
株価が1000円を一回でも下回るのは、
5年間の場合、何%ありますか？

>>537
ボラレたくないからあっち行け

数時間かけて作ってみた。興味あればやってみてな。答えから先に作ったので矛盾はないと思うが・・・。

二次の係数が1、一次の係数と定数項が整数の二次方程式がある。
その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。

正しい二次方程式を示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。

1,1,5,8を使って10って作れますか？
教えてくださいm(__)m

>>576
8/(1-1/5)

>>575
取り違えた方はもはや
>その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
を満たさなくても良いんだな？

1.8*5+1

5*{√(8+1)-1}

>>578
おｋ。これは正しい二次方程式についての解の性質。

・・・っていうかすまん！よく見たら問題に重大な欠陥があった。
作り直してくるから>>575は無かったことにしてくれ！

二次の係数が1、一次の係数と定数項がいずれも絶対値が一桁の整数という二次方程式がある。
その異なる二解のうち小さい方は-2より大きく、大きい方は2より大きいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。
正しい二次方程式の候補をすべて示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。

今度こそ間違いはないはず・・・問題作成って想像以上に気を遣うなあ。

二次方程式の解の大きい方、小さい方という言い方をする以上は
重解の場合（大きい方や小さい方というの解はない）や
解が非実数になる場合（そもそも大小関係がない）は
成り立たないものだと考えてよいのだな？

>>583
その通り。「〜その異なる二実数解〜」とでも書けばベターだったかな。

X_n = { 2^a + 2^b + 2^c | a, b, c は 1 ≦ a, b, c ≦ n なる自然数 } の濃度を求めよ。

>>585
２０％くらいじゃないの？

集合の濃度ってそういう意味じゃないだろ…

a＜b＜cのときは、2進法表示の一意性により、全部異なる。
あとは、それ以外の場合でどれだけ重複があるかを調べる。
面倒くさいので他の人に任せた！(＾o＾)

>>586
４年前にタイムスリップしたのかとオモタじゃないか。

>>582
>をすべて示せ。
では面白い問題とは云えない。そんな問題なら誰でも作れる。
唯一つ解が有ってこそ面白い。

>>589
そんなことは百も承知さ。だから初めは>>575のようにしていた。
でもこれは欠陥問題だったから涙を呑んで改変したわけだ。

「間違えて○○してしまった」系の問題って面白いだろ？あとは矛盾無く問題にできるかどうか、だ。
だから君に期待する。「間違えて○○してしまった」系の問題を作っておくれよ・・・。

>>589
構造を調べたりするのも面白いと思う
まぁ>>582の設問は確かにつまらないが

１００以上あるのを全て書くのは面倒

いったい何が１００以上もあるのだろう？

実数 x_1, x_2, ........... , x_n が全て正なる為の必要十分条件は、
それらの基本対称式の値が全て正なる事である。

http://yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1201948696/

問題文がちょっと悪いと思っても気のせいです。

それ落ちてない？

うん。未解決なんだ。困ってる。

糞スレ立ててまで
答え出したのじゃないのか？

11 ：１３２人目の素数さん：2008/02/05(火) 23:04:52
・・・でも解いてくれます？多分オレ答え出したんだけど。
出題者いなくなっちゃったし。数学板の人なら、と思ったんだけど
先にオレの解き方言っちゃたら面白くないだろから言いづらいですけど

IQ160以上の超難問題解けるやついる？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202217368/11

韓東の極左のゴミ共へ

�@http://jp.youtube.com/watch?v=MOnh3ff3djY&feature=user
�Ahttp://jp.youtube.com/watch?v=sSx5OACLdUg&feature=user
�Bhttp://jp.youtube.com/watch?v=nkRQvoIEePU&feature=user
�Chttp://jp.youtube.com/watch?v=y3o_R2GwCyk&feature=user
�Dhttp://jp.youtube.com/watch?v=kOnxs8jEo7c&feature=user
�Ehttp://jp.youtube.com/watch?v=ismanizU9l0&feature=user
�Fhttp://jp.youtube.com/watch?v=8fiBJRt8BC4&feature=user
�Ghttp://jp.youtube.com/watch?v=AenI3lTX6Vk&feature=user
�Hhttp://jp.youtube.com/watch?v=VPE-mofvZ2g&feature=user

>594
必要性は明らかなので十分性を示す。
基本対称式 S_1, S_2, ……, S_(n-1), S_n がすべて正とする。
　f(x) = (x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)…(x+x_n) = x^n + S_1･x^(n-1) + S_2･x^(n-2) + …… + S_(n-1)x + S_n,
とおくと
　x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0,
根 -x_1, -x_2, ……, -x_n はすべて負。

数セミの「エレガントな解答をもとむ」に出てた…

具体的な問題でなくてすまん。
ここの住人なら何か情報を知っているんじゃないかと思って
あえてスレ違いを承知で尋ねたい。

平面上の位相幾何の問題なのだけど、
幾つかの点とそれを任意に結ぶ辺からなる図形が
辺が交差しないように変形(点の移動)できるか否か
についての研究などの情報をお持ちでないでしょうか？


・正方形の頂点(４点)を互いに全て結んだもの(辺は６本)はそのままでは対角線で交差しているが
　正三角形と重心の位置に点を移動させれば辺は交差しないように変形可能。

・正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
　しかしどこか一箇所を切ったものならば可能。

・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？

>>601
その研究についての情報は持っていないが、
＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に
5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。
凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。
以下、凸四角形が存在することの証明。

5つの点の凸包を考え、場合分けする。
凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。
凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。
凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に
存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。

>>594>>600
昔どこかのスレで見た
>>601
平面グラフ

>>601
＞・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？

グラフが K5 あるいは K3,3 に位相同形な部分グラフを
含まなければ変形可能。

K5ってのは先に出た５角形のようだが
K3,3 ってどんな図形？

>>605
http://www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no9.htm

>>600
thx 確かにエレガントな解答だ。
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#115
に、微分を使った解答が載っていたのだが、そんな簡単に証明できるとは気がつかなかった。

亀ですが
>>571
一解答例としてはその方針でおｋ
a'_nとc'_nについてはもう少し考察が必要

>>595の問題

>1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2008/02/02(土) 19:38:16.48 ID:8Qf0u1wDO
>幽霊が次のような問題を出した
>800ml入る容器が8つあり1〜8まで番号がついていて　今それぞれ100mlずつ水が入っている
>何個かの容器の水には　お前らには見えないし触れない魚の幽霊が　容器の番号と同じ匹数だけ入っている
>それ以外の容器には水しか入っていない
>何らかの理由で容器が空になった場合は　すぐに100mlの水と最初に魚の幽霊が入っていた場合は魚の幽霊を　容器の番号と同じだけ入れる
>大きな水槽があるがこれに容器の水を移した時　移った魚の幽霊の数を教えてやる
>その際水槽に移す時使用した容器は没収する
>魚の幽霊の数はたまに適当な数を教えるがその後3回は正しい数を教えてやる
>最初にどの容器に魚の幽霊が入っていたか確実にわかるためには　何回容器を水槽に移せばいいか　またどのようにすればよいか

は>>610のようにすれば容器に移す回数は5回以内である事が分かる
4回以内だと無理かどうかはまた今度考える

番号nがついた容器に最初に入っていた水を水nと書くとする
ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)
と容器内の水を移し変えれば水1,2,4,8のうちどれに幽霊が入ってるかを3回確かめられる
(3)(6)(5)(7)→(37)(65)(57)(7)→(37)(65)(57)(3655777)→(37)(3657)(365577)(3655777)
と移し変えれば水3,5,6,7についても同様に3回確かめられる

水1,2,4,8について確かめる動作を2回行い、同じ結果が得られれば
水3,5,6,7について確かめる動作を3回行う。
違う結果が得られた場合はもう一度水1,2,4,8について確かめ、
その後に水3,5,6,7について確かめる動作を2回行う。
これで水1-8のうちどれに幽霊が入っていたかが確実に分かる。

なにを言ってるんだかさっぱりわからん。
このあたりは間違いなく意図通りに正しく書かれているのか？

>　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
>　(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)

>>611
まず最初に容器n（n=1〜8）に水nが100mlずつ入っている
この状態は(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)と書ける
次に容器8の水を容器1に入れる
状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()となる
幽霊が容器8に水8を100ml補充してくれるから状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)となる
容器4の水を容器2に入れる。幽霊が容器4に水4を補充する。
容器8の水を容器4に入れる。幽霊が容器8に水8を補充する。
これで状態は(18)(24)(3)(48)(5)(6)(7)(8)となる。
容器1,2,4の水を容器8に入れると
状態は()()(3)()(5)(6)(7)(1244888)となる。

このように操作を繰り返して最終的に
状態を(18)(1248)(37)(124488)(3657)(365577)(3655777)(1244888)
としたかったんだが、勘違いしてて上手く出来ないっぽい…やり直す
あと>>595のスレ見ると4回のやり方もあるっぽいな

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)→(14) () (3) () (5) (6) (7) (28)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (28)→(14) () (3) (4) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (248)→(14) () (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→() (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(1) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (8)→() (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)→() (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
（略）→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (35677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) () (3567) (355677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (355677) (12488)
と水を移し変える
水1,2,4,8が入った容器の中身を水槽に入れると
幽霊は0〜15匹のどれかを言う→水1,2,4,8のどれに魚の幽霊がいるか分かる
水1,2,4が100ml、水8が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合、
水3,6が100ml、水5,7が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合も同様に分かる

ただ幽霊は嘘をつく事があるから2,3回同じことを確かめなきゃいけず
この場合だと5回かかる

>>611　この説明でも駄目か？

>>612

>　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする

オレにはこれは 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」 を意味しているように見えるんだが
444は400mlなのか？ 300mlはどう書くんだ？

意図どおりに正しく書かれているのかを確認してくれ。
前提の大事なところにタイプミスがあったりしたら、意思の疎通ができない。

>>614
あぁ…そこでタイプミスしてたようでごめんよ
「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」だ

△ABCがあり、三辺の長さは公差がdの等差数列をなしている。
最大辺の延長上に点Pを取ると、元の辺から増えた長さがdであった。
また、最小辺上に点Qを取ると、元の辺から切り取った長さがd/2であった。
ただしQが切り取った長さは、最大辺を含む点から測ったものとする。
さらに、直線PQの延長が△ABCの残った一辺と交わる点をRとする。
すると、直線PQRは△ABCの面積のうち半分を切り取ることとなった。
三辺の長さをdを用いて表せ。

>>616
AB < AC < BC として一般性を失わない。
AB = x とすると、 AB + AC > BC より x > d。
Q は AB 上にあり、 R は AC 上にある。
△ABC = 2△AQR より AB*AC = 2*AQ*AR。
メネラウスの定理より (PC/PB)*(QB/QA)*(RA/RC) = 1。
これらを連立して x について解けば良い。

ABCに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい
ただし同じ文字には同じ整数,違う文字には違う整数が入ります

(A＋B−C)×{(1/A)＋(1/B)−(1/C)}＝564

正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ(フラクタル不可)

>>619
七問目-26

五段の階段があり、サイコロを振って出た目だけ上り、ちょうど一番上に止まったら終了する。
ただし、五段目までの段数よりサイコロの出た目が大きい時は、その分だけ下がるとする。
例えば、三段目で５が出たら、二段上った後三段下がるので、二段目になる。
サイコロの目が出る確率はすべて等しいとする。
一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。

問１．A(2-0),A(2-1),A(2-2),A(2-3),A(2-4),A(2-5)を求めよ。
問２．A(N-5) (N≧1) を、Nを用いてあらわせ。

せっかく作ったんだから解いてよ！

まだ一日もたってないだろ&終了したらどうなる？&何故引き算？

A(i-3-1)

>>622
引き算？

>一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。
N-nは引き算じゃなくて、添え字ｗｗ

>>625
だったらN_nって書け

漸化式書いて終わりのよくある問題にしか見えん

ttp://www.vippers.org/img/uho2820.jpg
□の次は何でこうなるの・・・？
わからん・・・やばい・・・

職場で
図の斜線が引いてある部分の面積を求めよ。但し、π=3 √3=1.7とする。

と言う問題が出たのですが無知な私にはさっぱり解りません。どなたかご教授お願いします

図
http://a.pic.to/nkx34

なんというスレ違い

お手数ですがお願いします。皆様が頼りなんです

取り下げて移動しないとここでは回答はいただけないかと
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/

>>629
◆指定されたページは存在しないか、携帯端末以外からのアクセスは許可されていません

>>627
解けないくせに…

>>633
難しくて全然分からないよ

>>621
スレ違い

30になった

三十路か。
誕生日おめ。

>>622名大入試問題のパクリやん…

五段だと他のどこの段にいたときも1/6の確率であがれるわけだから全然面白くない

４段目で６が出たら落ちて死亡して終了ですか？

あれ？ ひょっとして５段の階段というのは高さは６種あるのかな？
階段の段数は高さの種類-1なんですかね？
０段の階段というのはいわゆる平地なんでしょうか？

じゃあ１段目ってのは地面と同じ高さ？
それともひとつ上？

１階って地面と同じ高さ、２階はその上
てことは１段目は地面と同じで、ひとつ登ると２段目？
いやいや、ｎ階建のnは高さの種類と等しいから階段とは違うのかな？

>>618
　A = 122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁)
　B = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁)
　C = 3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁)

なお、因数分解すると
　A = bc * 19 * 29 * 46591 * 100363979,
　B = ca * 37 * 1806705194075701,
　C = ab * 3 * 11 * 73 * 1543 * 4663 * 169789,
　a = lcd(B,C) = 2^2 * 5 * 449 * 35869 * 516624461,
　b = lcd(C,A) = 97 * 3769 * 19329352219,
　c = lcd(A,B) = 7 * 79 * 239441 * 50787883,
　lcd(a,b,c) =1,
らしい。

〔参考文献〕
A.Bremner, R.K.Guy and R.J.Nowakowski;
"Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?"
　Math. Comput. Vol.６１, No.203, (1993 July)
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math03/math0304.htm

〔問題〕
x,y,z に整数を入れて等式を成立させて下さいです。。。
1)　x^3 + y^3 + z^3 = 564,
2)　x^3 + y^3 +2z^3 = 564,

z=0は明らかなんだからただの二元三次連立方程式だな

>644

1) と 2) は別々の問題でつ。 2) の方が易しいでつ。

問題番号見てなかったぜorz

>>645
2もｚが奇数でｘ,ｙが偶数であることしかわからないんだぜ

ん！！？

よく考えたらxyzすべて奇数だよな・・・？

>643 の 2) はすべて奇数で、2桁以下らしいよ。1桁もあるらしい。

この問題の面白さがよくわからんのだが

2)
-1^3 - 21^3 + 2*17^3
= 23^3 - 33^3 + 2*23^3
= 93^3 + 95^3 - 2*94^3
= 564

564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3
(Leonid Durman, 2007)

きっと ttp://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math04/math0403.htm から
持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？

俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと
思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。

>>649-650
御名答.
見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが）
因数分解しても、とくに面白くないし……
　564 = 2^2 * 3 * 47,
　53872419107 = 13 * 1193 * 3473623,
　 1300749634 = 2 * 223 * 2916479,
　53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277,


>>642
　B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947,
　gcd(a,b,c) =1,

lcd＝最大公約数？

いくつ解けますか？

ブラジル数学オリンピック 本選 2004 小学生対象
[1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。
n は奇数である
n は平方数である
n の各位の数字の平方の和は平方数となる

[2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。

　△
△▽△

先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。
作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。

　黒　 | 　白
白白灰 | 灰白黒
↑同じペア

　黒　 | 　黒
灰白白 | 白白灰
↑異なるペア

この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。

[3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。
たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。
2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。

[4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。
プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。
テーブルにおけなくなった方の負けである。
どちらのプレイヤーが必勝であるか？
(a) n = 2004 の時は？
(b) n = 2005 の時は？

[5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か
もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。

>654
[3問目]
　2^(3m) + 2 = 4n + 2,
　2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5)
∴　5 の倍数…

>>654
[4問目]
nが偶数なら後手必勝。 先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。
nが奇数なら先手必勝。 一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。

[5問目]
辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？
だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。

それとも凸型に限定されるのか？

AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり
もらえるポスターはランダムです。
そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート
するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？

別に問題的には面白くないかｗ
ニュースとしては面白かったが・・・

>>657
クーポンコレクター問題。

問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。

ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎ くらいだね。(ｎが十分大きいとき)

>>657-658
ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。

3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、
十の位は常に偶数であることを示せ。

3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81
3^(n+4)-3^n=3^n*80

ゴリ押しで解いてみた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204281995

ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは
期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は
MΣ[k＝1〜M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。

>>659
γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1〜n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1　(n＝1,2,…)

なんか添え字ミスがいっぱいあった。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204285553

>>655,656
正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた.

[Q1] 幾何の問題なので省略

[Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる.
5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である.
a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか
b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか

[Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている.
彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ
その積を紙に書きこむ.
そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす.
一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ.
紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？

前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正.

[Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする.
それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない.
このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する.
Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か.

[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.
a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.

[Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える.
どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が
含まれているというとき、nの最大値を求めよ.

>>665
[Q2] a)
この数列は 奇数、偶数、奇数、偶数、偶数 の並びを繰り返すので ４つ偶数が並ぶことはない。
b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。

「Q3]
Σ_[n=1→99]{n}
ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。
さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
結局どう分けようとも…

[Q4]
nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。
2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を
そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。
後手必勝である。

Q2のb
ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる

a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。
(1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、
(1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると
2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。

訂正。

2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
↓
2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の
ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。

>>666
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.

a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了)

b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。

解答は計算が面倒なので...すいません。

[自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30°
回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を
求めよ.

　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。

>>668
ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。
もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？

>>671
> 角線を中心に30°回転

線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが
しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？

>>672
ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある
・途中からループに入る
・最初からループしている
途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？
４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。
だから最初からループしてるてことだ

俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ

>>674
いやすまん。
> ４つの並びからその前が決るとなら
ここがわからないんだ。

a+b+c+d≡e (mod. 10)
なら
a≡e-b-c-d (mod. 10)

aは0〜9だから丁度1個ある

なるほどそうか。 サンキュ。

>>666
[Q6]の意味がいまひとつわからん。

並べ方Aに対し
i行にr_i(A)種類の数字
j列にc_j(A)種類の数字
があるとする
r(A):=max_i(r_i(A))
c(A):=max_j(c_j(A))
n(A):=max{r,c}
としたとき
min_A(n(A))を求めよ、ということだろう

>>673さん。
　問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり
ます。書き間違えまえてしまってすみません。

[自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本
の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の
重なった部分の面積を求めよ.

□に1〜9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい
同じ数字2度使いは不可

□□□×□□＝□□×□□

既出

134*29 = 58*67
138*27 = 54*69
146*29 = 58*73
158*23 = 46*79
158*32 = 64*79
174*23 = 58*69
174*32 = 58*96
186*27 = 54*93
259*18 = 63*74
532*14 = 76*98
584*12 = 73*96

>>600
アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？

>>684
x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から
f(x)=0の解はx≧0には存在しない
つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負
と考えてるんだと思う

正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。

>>686
ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの)

三進法と同じです
条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました

Aを含む集合ならOKだし

ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました

まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが
もうちょっとシャンとしてくれや

シャンとしなくて申し訳ないです
問題文を改めてみました

正整数全体の集合をNとする。
相異なる三つ整数からなら集合Aに対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。

この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。
既出だったらすまん

三角形がある。
今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で
ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。

このとき、∠ＡＤＢを求めろ。

ラングレーでググれ

>>649
レスthx
でもこれラングレーとちがくね？
ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし
求める角度の場所も違うような
一応ググったが・・・すまん

AとBとCそれぞれに0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可

AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC

15864*9327 = 18654*7932 = 147963528
37962*5148 = 51948*3762 = 195428376
26475*9381 = 62481*3975 = 248361975
54186*7923 = 87153*4926 = 429315678

197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968
253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248
192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845
820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584
435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460
154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936
286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782
158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280
537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840
319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750
379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760
249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753
815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970
264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750
286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134
405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056
549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180
541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780
453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572
651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120
704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952
751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160
564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760

>>697-698 どうやって求めんの

?に0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可

??分??秒×?＝?時間??分??秒

kingは死ぬ

明日ここにカキコしたあと心臓麻痺で死ぬ、とデスノートに書いておいた

つぎの　やさいのうち　なかまはずれは　どれ　?

1. だいこん　　2. にんじん　3.　ごほう　4. じゃがいも

私立幼稚園入試問題

じゃがいも。
ほかのみっつはふといねっこそのものをたべる。

せいかい

3. ごぼう　　です。

だいにじせかいたいせん　のとき

ほりょとなった　あめりかじん　にだした　りょうりに

ごほう　を　だしたら、　にほんじんは　われわれに

きのねっこ　を　たべさした　と　くじょうがあり

そのご　しゅうせん　を　むかえ　ほりょしゅうようじょ　の

しょちょうが　じぃえいちきゅう　から　せんぱん　の　ようぎ　を

かけられました。

とさ

Reply:>>701 お前が先に死ね。

もんだい

1. しゃつ　　2.　ぱんつ　3. くつした　4. はんかち

なかまはずれは　どれ　?

国立教育大付属幼稚園入試問題

ぱんつ

これはニオイかいでみたいから

面白くない問題は自粛願います

Generalist の修行が足りない奴が仲間はずれを決めてはならぬ。

>>710
スレチ

せいかい

4. はんかち

ほかのものは　どれも　りったいてき　であります。

また、ことばに　つ　が　ついています。

>>700
50分42秒 * 9 = 7時間36分18秒

シャツとパンツ（小用穴付き）は同相。
ハンカチと靴下は同相。

>>705

ようぎを かけられたのは よくわかった が
なぜ それが なかまはずれの りゆうに なるんだ？

>>693 >>695

線分BCのC側の延長上に、BE=ACとなるような点Eをとり、
△BEF≡△ABCとなるような点Fを、BEから見てAと同じ側にとると
△ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形
△EDBはED=EBの二等辺三角形

>>716
> △ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形
? ?

>>716
> △ABEは正三角形

???
EはBCの延長上にあるのだから
∠ABE は80°じゃないか？

そもそも>>693の図形は一意じゃないのだが
二等辺三角形ってのは
AB と BC が等しいのか？
AB ACが等しいのか？

□に1〜25の整数を1個ずつ入れ縦横斜め(全12列)の合計を全て同じにして下さい
同じ数字2度使いは不可

　□　□　□　□　□

　□　□　□　□　□

　□　□　□　□　□

　□　□　□　□　□

　□　□　□　□　□

17 24　1 8 15
23　5　7 14 16
4　6 13 20 22
10 12 19 21　3
11 18 25　2　9

　17 24　1　8 15
　23　5　7 14 16
　 4　6 13 20 22
　10 12 19 21　3
　11 18 25　2　9

>>717 >>718
タイプミス。「△ABFは正三角形」が正解
（一人ぐらい察してくれｗ）

おっと一言忘れてた
タイプミス　スマソ。

下の*に数字を1つずつ入れて式を成立させて下さい。
*****×*****＝123456789

(ただし全通り求める事)

> 四角形ADEFは平行四辺形

については どうだ？
∠B ＝ ∠E ＝ 80°だと思うのだが AD//EFなのか？

>>724
10821×11409
11409×10821

>>725
DはAB上ではなくAC上にあるのだが

ここに全て異なる10個の自然数があります
その中のどの9個の和も素数になります
その10個の自然数は何でしょうか?
ただし合計が最も小さくなるものを答えて下さい

>>727
たぶんこれ
1,3,9,13,15,19,31,43,45,63

1,3,7,9,19,21,27,33,37,43
は試してみたか728

>>729
見落としてた．．．orz
手計算でやってたもので。残念。

ABCDの4人に10問の◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
Aは7点､Bは5点､Cは3点でした.これよりDは何点だったかを推測して下さい

　1234567890
A:xxOxOxxOxx ７点
B:xOOOxOxOOO ５点
C:xOOOxxxOxO ３点
D:xxOOOxxOOO ？点

問題
m, n を 5 ≦ m, n ≦ 10 なる自然数とする。
この時、 m^3 + n^2 の最小値はいくらか。
制限時間 1 秒。

すまん、問題読むだけで３秒くらい掛かった

では４秒で。

すまん、鉛筆探すので5秒ぐらいかかった。

何で面白くない問題ばかりなの？

>>736
しゃれが分からんのか？
732の答えは150ではない

そもそも150なんてどこから出てくるの？

5^3＋5^2じゃね？

最小は5＾3+1＾2じゃないの？

>>740
正解が出るのに３年かかった

なんでn=1がOKなのかサッパリ分からん

>>742
オレもわからん

5 ≦ m
n ≦ 10
だろ？
n=1はOKでしょ

曖昧な記法で他人をたぶらかす愉快犯の類であろうか。

5 ≦ m, n ≦ 10
で
5 ≦ n ≦ 10
と思わせるってことか
逆に気がつかなかったｗ

n,m∈{5,6,7,8,9,10}のことを5 ≦ m, n ≦ 10 と表すのは
よくあることで、>>745が真理だな。

>>731
6点でいい？

>>748
正解.解説は↓

245690の問題はAとBの答えが違うのでどちらかが正解していて合計6点
Aは7点､Bは5点だからこの部分でAは4点､Bは2点取っていると分かる
1378の問題は4人とも答えが同じだから､ この内3つが正解していて4人ともこの部分で3点取っていると分かる
よってCの245690は全部間違いだから正解は以下の4通りが考えられる

　　1234567890
(1) xxxxOOxOOx
(2) xxOxOOxxOx
(3) xxOxOOOOOx
(4) OxOxOOxOOx

この4つのいずれで採点してもDは6点になる

どっかの中学入試で731みたいな問題なかったっけ

中学入試でそんな難しいのださないよ

似たような問題ってことだろ。
俺も日能研の電車広告で見た気がする。

>>718
レス遅れてｽﾏｿ
問題を端折り過ぎたようだ

△ＡＢＣがあったとき
Ａ＝20°
Ｂ＝Ｃ＝80°の二等辺三角形だとし
ＡＣ上にＢＣ＝ＡＤとなる点Ｄをとる

そのときの∠ＡＤＢを求めろ

でした＞＜
面白くないかもだけど頼む！

x=cosx(0<x<π/2)の解は初等関数では絶対に表現できないと確信している。

>>753
>>716 >>722

>>754
定数は初等関数
よって初等関数で表現出来る

いや、たぶん無理数だろうから無理数をのぞいて初等関数で表現できないといいたかっただけ（ぁ

釣りにマジレス

>756は

x＝cosxの(ただ1つの)解x＝αに対して、f(x)＝α (x∈R)という関数f(x)は定数関数であり、これは初等関数。
よって、x＝cosxの解は初等関数で表現できる。

と言いたいのだろう。一方で>754の言いたいことも分かるが、まずは
「定数が初等的関数で表せる」
がどういうことなのか定義しなさい。

三つのベクトル↑a、↑b、↑cは異なるどの二つの内積も1になる。
このとき、max(|↑a| , |↑b| , |↑c|)とmin(|↑a| , |↑b| , |↑c|)の範囲を求めよ

3つのベクトルが互いに異なるなら
max(|↑a| , |↑b| , |↑c|)>1
min(|↑a| , |↑b| , |↑c|)>0

f(z) = 1 + z^2/3 + z^4/5 + z^6/7 + ... は f(2z/(z^2+1))=(z^2+1)f(z) を満たすことを示せ

|z|<1でf(z)=(1/(iz))arctan(iz)

情報学板にも同じ問題出したんだが華麗にスルーされたんでこっちにもマルチさせてくれ。
多分面白い問題だと思う。


グラフ同型判定問題について次のような判定方法を考える。

グラフG={V,E} V={v_1,v_2,...v_n}とおく。
各ノードv_iに対して次のような関数を用意する。
f(G,v_i,1)=1
f(G,v_i,k+1)=f(G,v_i,k)+Σ_{v_j|v_jはv_iの隣接点} f(G,v_j,k)

あるkに対してGの全てのノードに対するf(G,v_i,k)(0<=i<=n)を昇順にソートした列をg(G,k)と置く。

２つの与えられたグラフG,G'に対して、kをG,G'のサイズの多項式倍以下の自然数とする。
全てのkに対しg(G,k)とg(G',k)が同じならGとG'は同型であると判定する。
g(G,k)とg(G',k)が異なるkが存在するなら同型で無いと判定する。


問１
この判定方法で同型で無いと判定された場合は実際にGとG'は同型で無いことを示せ。

問２
この判定方法で、同型であると判定されるにもかかわらず実際は同型ではないグラフG,G'を具体的に一組挙げよ。

宿題は自分でやれよ

>>765
でたな、宿題厨。
俺は大学なんぞもうとっくに卒業してるよ。
三十路のいい年こいたおっさんだよ。

ていうか、これ宿題レベルなのか？
結構難しいと思ってたんけど。

それなりに有名な同型性判定のヒューリスティクスの一つ

3-cycle2つと6-cycleでいい気がする
同じ頂点数、同じ次数の正則グラフを2つもってくれば十分なんじゃない？

>>768
う、そんな穴があったか。
これじゃ宿題レベルといわれてもしょうがないか。
正直すまんかった。

今日も元気だ、煙草がうまい。

とは、真か偽か　?

客観性に欠ける主張のため命題とはいえません
よって真偽判断以前の問題です

文意の曖昧さをなくすために原文を
「煙草をうまく感じた。 ゆえに今日も元気だということだ。 元気でないならばタバコはうまくないからなあ… 」
という意味だと解釈し
「煙草がうまいならば元気(体機能の健康で正常な状態)である。」と言い替える。

この場合、煙草がうまくないならば命題は常に真である。

さて、さて、客観的にタバコはうまいのか？
煙草にはうまみの成分は含まれていない。
含まれていないものをうまいと感じるのは、
うまみを感じている器官が麻痺するなど正常な状態でなく
なにか勘違いをしているかいということだ。

勘違いをしているなら、うまいと感じたことは間違いであり
実際にはうまくないのだから命題は真。

∴命題は常に真であった

pを奇素数とする。正整数nに対し、
1^n + 2^n + ‥ + (p-1)^n をpで割った余りの値を決定せよ。

pの原始根を使えばmod pで等比数列の和

nがpの倍数のとき、p-1
それ以外のとき、０

>>775
nがp-1の倍数のとき、じゃね？

円をいくつかに切り分けて同じ面積の正方形に繋ぎ変える事はできるか

出来ない

切り方にルールが要るんじゃないだろうか

選択公理を使えば出来るんじゃなかったっけ。

int(y)をyを超えない最大の整数とする

x=8/33=0.2424242424....の時、
int(x*10)=2、int(x*100)=24、int(x*1000)=242…は何れも素数ではない

このようなxで0以上1以下の数の集合
A = {x∈[0,1] | int(x*10)、int(x*100)、int(x*1000)…が何れも素数でない}
の測度は幾つか？

２は素数だし

0.42424242...に変えといてくれ…

これ答え有るの？
１０進展開と絡んでて難しそうなんだけど

>>775-776
どっちも微妙に変じゃね？

>>785
ん？ >>776は別に変じゃない気がするが。

すまん、当方の勘違いだった。>>776でおｋ。

>>777-780
Tarski's circle-squaring problem ですね。

A,Bの2人はともに100円持っており、それを賭けて次のようなゲームをする。
まず2人は同時にそれぞれ賭け金を宣言する。
賭け金は手持ちの金額以内で、1円単位とする。
A,Bの賭け金がそれぞれa,b円のとき、
a/(a+b)の確率でA、b/(a+b)の確率でBの勝ちとして、
勝者は相手の賭け金をもらう。
これを繰り返しおこない、どちらかの持ち金が無くなった時点で終了とする。
このゲームでの最善の戦略は？

>>789
破産したら終了という条件がなければ、
１回の勝負の利益の期待値はどうやっても±０なので、
なるべく破産を回避する戦略が最善と思われる。
結局、両者とも１円ずつ賭けるようになるんじゃね？

常に1円かけるプレーヤーと常に全額かけるプレーヤーが戦ったらどっちが勝率いい？

>>791
Ａ：常に１円、Ｂ：常に全額
Ｂが100連勝したらＢの勝ち、それ以外ならＡの勝ち
Ｂの勝つ確率
(100/101)*(101/102)*…*(199/200)＝1/2
やっぱ五分五分か…

面白くないかもしれないけどこの問題いいですか？
サバイバルゲームを１地区、２地区のどちらかで行なうものとする
１地区は単位面積当たり一般人２４人、殺し屋１人
２地区は単位面積当たり一般人９８人、殺し屋２人
できるだけ殺し屋に遭遇しないためには１地区、２地区のどちらに行けばいいか？
ちなみに殺し屋に遭遇したら即殺されるのでなくこちらも相応の武器と術を持つ
解をよろしくお願いします

794 年　平安京に遷都

単純に1地区は遭遇確率が1/25で2地区は2/100という答えじゃだめ？

>>793
マルチ

>>795
何十ものスレにマルチしてる>>793にはエサをやらない

>>769
しっかりしろよ、もっさん！

2人で次のようなゲームをおこなう。
まず1からnまでの数が書かれたカード計n枚を場に並べる。
2人が交互に場のカードを取っていく。
カードの取り方は、場にあるカードから1枚選び、
そのカードに書かれた数の約数のカードを全て取る。
最後のカードを取った方が勝ち。
双方が最善を尽くす場合、後手必勝となるnはあるか？

そのようなnはない
なぜなら、そのようなnがあったとすると先手か1だけを取った時にも後手がかつが、
後手が次の一手でつくりうるどんな状態も先手は一手目で作れたはずなので矛盾する

>>800
正解。
チョンプっていうゲームをアレンジして問題を作ってみた。
ちなみに最後のカードを取った方が負けとしても証明は同じ（n≧2のとき）。
先手必勝と分かっても具体的な手順は分からない不思議。

「1だけを取り除く」という行為は初めの1手目にしかできず、先手に与えられた特権。そして、
これは「1手目をパスする」という行為と同じ(どのカードを選んでも1が一緒に取り除かれるので)。
ゲーム理論のことは全然知らないが、2人で行う、偶然に左右されないゲームで、
・先手は、初めの1手目に限ってパスをしてもよい
・後手はパスできない
という条件があったら、>>800と同じ方法で先手必勝だと言えるのではなかろうか。

それはつまり、片方のプレーヤーに、
先手か後手かを選ぶ特権が与えられてるのと同じだね。
そのプレーヤーが必勝なのは当然。

ABCDEFGHIJに全て違う正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい
同じ整数2度使いは不可

Aの9乗＋Bの9乗＋Cの9乗＋Dの9乗＝Eの9乗＋Fの9乗＋Gの9乗＋Hの9乗＋Iの9乗＋Jの9乗

>>804
マルチ

座標平面の原点(0,0)に駒を1つ置き、
次のルールに従って駒の配置を変化させていくとする。

ルール：
平面上に置かれている駒（座標(x,y)）を1つ選び、その駒を取り去り、
新たに2つの駒をそれぞれ(x+1,y)と(x,y+1)に置く。

このゲームの目的は、0≦x≦2, 0≦y≦1の範囲から駒を追い出すことである。
果たしてそれは可能だろうか？

>>806
ルール追加。
(x+1,y)または(x,y+1)のどちらかに既に駒が置かれている場合は、
(x,y)の駒を選ぶことはできない。

既出だったような気がするな。 うち帰ったら過去ログ見てみるわ。

既出。

最初の駒を重さ1の粘土だと思い、操作一回につき、粘土を半分に分けると
思うことにする。このとき、何回操作を繰り返しても平面上の粘土の重さの
和は1であり、もし、0≦x≦2, 0≦y≦1の範囲から駒を追い出せたとすると
重さの和が1より小さくなって矛盾。

じゃあ、(0,0),(1,0),(2,0),(1,0),(1,1)に駒が無いようにすることは可能か？

(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)?

>>810
(0,0),(1,0),(2,0),(1,0),(1,1)でも
(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)でも
可能だった。

あ。間違い発見＞ ＜
(0,0),(1,0),(2,0),(1,0),(1,1)は可能だけど、
(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)は まだ分からない。

(0,0),(1,0),(2,0),(0,1)(0,2)
から追い払って(1,1)に残すことは可能だから
不可能だとすれば重さだけで示すことはできないね
難問かも

(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)も不可能だと分かった。やっぱり重さで計算する。

どうやんの？

>>816
計算ミスってた(＾o＾)
可能だとしたら、駒のあるべき場所が段々絞り込めて来るが(例えば、
可能だとしたら、(0,2)には絶対に駒がなくてはいけない)、まだ
解けない。

>>812-813
>(0,0),(1,0),(2,0),(1,0),(1,1)は可能
(1,0)が2回重複してるからよく分からんが、
要は
>(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)は可能
だと言いたいんだよね

>>818
YES.


(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)がもし可能ならば、(0,2)と(3,0)には
駒がなければならない(重さを精密に計算するとそうなる)。この結果を
使って、初めの(0,0)の状態から地道な場合分けで何回か操作をして
いくと、どうも

↑↑
■■→
■■■→

こういう配置がどこかに出てくる(矢印は進行方向)。そして、
この配置において左下の駒を消さなければならなくなる。左下というのは、

↑↑
■■→
☆■■→

☆の場所のこと。で、これが出来そうにない。かと言って、☆から駒を
消せたとして重さを計算しても、詰めが甘いのか矛盾が導けない(　＾ω＾)

>>804
(9,4,6) equaion
念のため J.Wroblewski による解を…

・18th solution to (9,k,10-k) equation:　2006/10/03.
　(A,B,C,D) = (2152, 979, 752, 514),　(E,F,G,H,I,J) = (2101, 1793, 1021, 870, 750, 112),
http://euler.free.fr/ …　Computing minimal equal sums of like powers.

・21st solution to (9,k,10-k) equation:　2007/02/28.
　(A,B,C,D) = (2137, 1044, 704, 178),　(E,F,G,H,I,J) = (2107, 1631, 1464, 428, 340, 223),

・22nd solution to (9,k,10-k) equation:　2007/05/26.
　(A,B,C,D) = (2210, 1792, 1614, 1503),　(E,F,G,H,I,J) = (2243, 1680, 1377, 819, 471, 49),
http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/tables.htm　… Equal sums of powers - Ttables

なんか頭がパーンって。スッキリした。
http://www.nicovideo.jp/watch/sm2516171

>>804
-----------------------------------------------------------------------------------
　　　　　　　 (　Ａ,　Ｂ,　Ｃ,　Ｄ), (　Ｅ,　Ｆ,　Ｇ,　Ｈ,　Ｉ,　Ｊ),
-----------------------------------------------------------------------------------
　1st solution, (　90,　64,　35,　35), (　86,　80,　62,　43,　27,　16), *2度使い=35
　2nd solution, ( 108,　93,　66,　15), ( 104, 100,　79,　29,　20,　10),
　4th solution, ( 219, 155, 108,　13), ( 211, 174, 174, 165,　90,　11), *2度使い=174
　5th solution, ( 535, 272, 253,　75), ( 491, 487, 397, 374, 292, 174),
　6th solution, ( 613, 604, 467, 299), ( 648, 536, 360, 355, 272, 172),
13th solution, (1780,1410, 352, 183), (1724,1516,1374,1207,1060, 324),
15th solution, (1951,1538, 815, 209), (1960,1370,1241,1143,1103,1026),
16th solution, (1979,1303,1081, 381), (1835,1816,1441, 993, 603, 306),
18th solution, (2152, 979, 752, 514), (2101,1793,1021, 870, 750, 112), ↑
21st solution, (2137,1044, 704, 178), (2107,1631,1464, 428, 340, 223), ↑
22nd solution, (2210,1792,1614,1503), (2243,1680,1377, 819, 471,　49), ↑
------------------------------------------------------------------------------------
http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/955.txt による。

□に全て違う数字を入れて成立する組み合わせは全部で何通りあるか？

□□□＋□□□＋□□□＝2003

〔類題〕
ABCDEFGHIJ に全て違う正の整数(何桁でも可)を入れて↓の３式を同時に成立させて下さい。
同じ整数2度使いは不可。

　A^9 + B^9 + C^9 + D^9 + E^9 = F^9 + G^9 + H^9 + I^9 + J^9,
　A^3 + B^3 + C^3 + D^3 + E^3 = F^3 + G^3 + H^3 + I^3 + J^3,
　A　 + B　 + C　 + D　 + E　 = F　 + G　 + H　 + I　 + J,

>824 の 参考
　A^3 + …… + E^3 =　　　　　F^3 + …… + J^3 = 545232080,
　A^2 + …… + E^2 = 985730, F^2 + …… + J^2 =　　 978260,
　A^1 + …… + E^1 =　　　　　F^1 + …… + J^1 =　　　 1940,
　A^0 + …… + E^0 = 　　　　F^0 + …… + J^0 =　　　　　5,
でも、そんなの関係ねぇ！！（？）

　□□□□□
― □□□□
３３３３３

□の中には１〜９までの数が必ず一つずつ当て嵌められる。
二通りの答えがあるらしいんだが、解法も合わせて教えてくれ

各ｱﾙﾌｧﾍﾞｯﾄに全て違う正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい
同じ整数2度使いは不可
(なるべく値が小さくなるように)

(1)Aの8乗＋Bの8乗＋Cの8乗＋Dの8乗＋Eの8乗＋Fの8乗＝Gの8乗＋Hの8乗＋Iの8乗＋Jの8乗＋Kの8乗＋Lの8乗

(2)Aの6乗＋Bの6乗＋Cの6乗＝Dの6乗＋Eの6乗＋Fの6乗

(3)Aの6乗＋Bの6乗＋Cの6乗＋Dの6乗＝Eの6乗＋Fの6乗＋Gの6乗＋Hの6乗

(4)Aの5乗＋Bの5乗＋Cの5乗＝Dの5乗＋Eの5乗＋Fの5乗

(5)Aの5乗＋Bの5乗＋Cの5乗＋Dの5乗＝Eの5乗

(6)Aの4乗＋Bの4乗＋Cの4乗＝Dの4乗＋Eの4乗＋Fの4乗＝Gの4乗＋Hの4乗＋Iの4乗

(7)Aの4乗×2＋Bの4乗＝Cの4乗＋Dの4乗＋Eの4乗

(8)Aの4乗＋Bの4乗＋Cの4乗＝Dの4乗

(9)Aの4乗＋Bの4乗＋Cの4乗＋Dの4乗＝Eの4乗

(10)Aの4乗＋Bの4乗＝Cの4乗＋Dの4乗

(11)AのK乗＋BのK乗＋CのK乗＋DのK乗＝EのK乗＋FのK乗＋GのK乗＋HのK乗 (K＝1,3,7)

>>726 レイトン乙。
最上位の桁としてありうるのは3 (千の位で繰り下がりがない) または4 (繰り下がりがある)
また、一般に、引き算の結果ある桁が3になるのは、
(a)自分の桁も下の桁も繰り下がり無しで3になる場合…上=下+3 (例：6-3）
(b)自分の桁だけで繰り下がりありで3になる場合…上=下-7 （例：11-8の1の位)
(c)下のj桁だけで繰り下がりがある場合…上=下+4 （例：61-28 の十の位)
(d)自分と下の桁両方で繰り下がりがある場合… 上=下-6 （ 112-79の十の位）

これらのうち(a)に注目する。この組み合わせは、6-3、7-4、8-5、9-6。これらが
最大限使える組み合わせからとりあえず潰していくことにする。
3が最上位に入ったとすると、上記組み合わせで使えるのは
7-4,8-5,9-6、残ったのは1と2で、これは(a)〜(d)のどれにも当てはまらない。

4が最上位だとすると、上記組み合わせで使えるのは8-5と6-3or9-6。
残るのは1,2,7, (3or9） で、2と9が(b)のパターンを作れる。ここで繰り下がりが
生じるから、残った1と7が(d)のパターンを作れ、全て使い切れる。

従って、(1)2-9=3が3が百の位、(1)1-（繰り下がりの1）-7＝3が千の位、
万の位が4になるようにすればすべて当てはまって、
41286-7953 または 41268-7935。
一つあるいは二つ見つければいいならこれで完了。

aのパターンでなぜか4-1と5-2を見落としていたことに気づいて愕然orz

でもまあこんな感じ。下の桁に繰り下がりなしが続き、あるところから
繰り下がりが発生すると仮定して（根拠はないが、とりあえず対象を
絞るために）、その中で探すというのが大方針。

もちろん、全ての解を探すためにはこれでは不十分だけど。

ありがとんくす!
全ての解を書き出す方法はちょっと自分でも考えてみます!

問題

�@春夏�A秋�B

さて、数字が入る○は、どれでしょう。

{都内有名私立小学校入試問題}


って、うそ

ヒント

明日が千秋楽です〜

閣下、もう少しマシなヒントいえ問題をお願いします

>>827
(1) (8;6,6)
　(A,B,C,D,E,F) = (23,15,10,8,6,3)　(G,H,I,J,K,L) = (22,20,12,9,9,5) (Moessner & Golden 1994) *2度使い=9, 不可。

(2) (6;3,3)
　(A,B,C) = (23,15,10), (D,E,F) = (22,19,3)　　(Subba-Rao 1934)
　http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/633.txt

(3) (6;4,4)
　(A,B,C,D) = (9,9,2,2)　(E,F,G,H) = (10,6,5,3)　　(Moessner 1947) 　*2度使い=9,2, 不可。しかし
　　(6;4,4,4)
　(A,B,C,D) = (111,49,34,1)　(E,F,G,H) = (110,69,43,7)　(I,J,K,L) = (109,77,25,18)　(Lander et al.1967)

(4) (5;3,3)
　(A,B,C) = (67,28,24)　(D,E,F) = (62,54,3)
　(A,B,C) = (66,44,18)　(D,E,F) = (64,51,13)
　(A,B,C) = (74,43,21)　(D,E,F) = (68,62,8)　ほか多数

(5) (5;1,4)
　(A,B,C,D) = (133,110,84,27)　E = 144　　(Lander, Parkin and Selfridge 1966)
　(A,B,C,D) = (85282,28969,3183,55)　E = 85359　　(J.Frye 2004)

>>827

(7) (4;3,3) with (A,A,B) = (C,D,E)
　A = 2,　B = 13　(C,D,E) = (12,9,6)　　(Ramanujan)

(8) (4;1,3)
　(A,B,C) = (　414560,　217519,　95800)　D =　 422481　　(R.Frye　 1988)
　(A,B,C) = (18796760,15365639,2682440)　D = 20615673　　(N.Elkies 1987)　←　Euler予想の反例
　http://euler.free.fr/database.txt

(9) (4;1,4)
　(A,B,C,D) = (272,315,120,30)　E = 353
　http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/414.txt

(10) (4;2,2)
　(A,B) = (158,59)　(C,D) = (134,133)　　(L.Euler, 1772)
　(A,B) = (239, 7)　(C,D) = (227,157)
　http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/422/index.htm

(参考)
　http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation*thPowers.html　(*=4,5,6,8)
　http://euler.free.fr/database.txt

>>824　↓の中にあるらしい…

http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/955.txt

>>826
　41268-7935 と 41286-7953
らしい…

>>823

2003 を9で割ると5余る。したがって、0〜9 から「4」を除いた9つの数字を使う。
∴ 1728とおり。

(10^30)/1002を小数で表したとき１０の位の数字を求めよ
（数検過去問の変形）

>>839
まさか元の分母は2002だった、って言うんじゃないよね。

>>831
正解は、�B

初春夏名秋九
場場場古場州
所所所屋所場
　　　場　所
　　　所

>>839
元の分母も1002だが求める物が１の位だった。

10＾6=1002*998+4 より、
10^24=1002*ｘ+4＾4 = 1002*ｘ+256 （24/6=4より）
10^30=1002*x*10^6 + 256*10^6
=1002*x*10^6 +256*998*1002 + 1024

従って、求める商の下6桁は 256*998+1　（←1024/1002）

で、十位が8で一位が9?

>>843
当たり

>839,842

　(N^10) /(N+2) = N^9 -2N^8 +4N^7 -8N^6 +16N^5 -32N^4 +64N^3 -128N^2 +256N -512 + 1024/(N+2),

ここで N=10^3 とおくと、
　(10^30)/1002 = 10^27 -2･10^24 +4･10^21 -8･10^18 +16･10^15 -32･10^12 +64･10^9 -128･10^6 +256･10^3 -511 + (22/1002)
　　　　　　　　= 998 003 992 015 968 063 872 255 489 + (22/1024).

>>827 (11)
　http://euler.free.fr/ にあるらしい…

　(A,B,C,D) = (33704,32317,14977, 9803) (E,F,G,H) = (33450,32630,14664,10057)
　(A,B,C,D) = (76925,52473,50279,15187) (E,F,G,H) = (74895,64419,27857,27693)
　(A,B,C,D) = (58711,42312,38285, 9544) (E,F,G,H) = (56170,51782,24427,16473)

(1)正方形を全て大きさが異なる直角二等辺三角形に分割して下さい
但し切り分け回数はなるべく少なくして下さい

(2)87×14の長方形を全て大きさが異なる直角二等辺三角形に分割して下さい
但し切り分け回数はなるべく少なくして下さい

>>847
とりあえず(1)だけ。絶対無理と思ったが、なんか出来たｗ
（これが最小回数かどうかはわからん）
A(0,10),B(0,0),C(10,0),D(10,10)
の正方形ABCD
P(4,0),Q(4,6),R(0,2),S(1,3),T(2,2)
△DAC：斜辺＝10
△PCQ：斜辺＝6
△QAR：斜辺＝4√2
△SPQ：斜辺＝3√2
△TBP：斜辺＝2√2
△RBT：斜辺＝2
△STR：斜辺＝√2
の７個