不等式への招待 第３章

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。


937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
　(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}

題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,