不等式への招待 第３章

〔問題〕
こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。

x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、
　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59
分かスレ２８０

>158
いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。
　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,
　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,
　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,
よって
　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)
　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3
　= (s^2 -t)t^2 -us^3
　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u)
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,
　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち
　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).
ぬるぽ