不等式への招待 第３章
〔問題〕
nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、
「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/272, 293
東大入試作問者スレ１１
nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、
「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/272, 293
東大入試作問者スレ１１
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145 ：１３２人目の素数さん：2007/10/03(水) 21:52:36
>144
最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、
M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n
= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}
= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}
= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,
等号成立は y=1 のとき。
もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･
最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、
M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n
= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}
= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}
= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,
等号成立は y=1 のとき。
もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･