1=0.999… その12.999…

1 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:35:10

前スレ:1=0.999… その9.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/

一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

2 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:35:41

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

3 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:36:19

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

4 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:36:53

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
①　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

②　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ－ｘ＝９．９９９９…　－　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

③　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

④　０．９９９９…　は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
　０．９９９９…　＝　０．９／（１－０．１）　＝　１

⑤　ｎ÷ｎ　を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
　１　＝　ｎ÷ｎ　＝　０．９９９９…

5 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:38:19

⑥　０．９９９９…と１が異なるとなるとすると、その間の数がある。
　その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
　１の位は比較して０
　小数第１位は比較して９
　小数第２位は比較して９
　小数第３位は比較して９
　…………
　と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
　０．９９９９…
　となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。

⑦１と０．９９９９…を足して２で割った数は
　１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
　（１＋ｘ）／２＝ｘ　よって、ｘ＝１となる。

6 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:51:19

乙

7 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 19:58:55

994 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 18:52:50
>>989
m6(^д^)プギャーッハッハ
そんな解釈だったら議論の必要ねーだろが！

初心者乙。

8 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:16:29

分母が3の倍数以外で、*,***999999…
の循環小数になるものってある？

9 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:20:47

112/1000＝0.112＝0.111999…

10 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:25:08

１≠０．９９９９…
となる実数のモデルを構築しなければ
同じ議論の繰り返し。

11 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:33:10

>>7
んにゃ、無限大超自然数Mを認めるか認めないかで
結論が分かれるのだから、
これは、問題の本質に触れている。

12 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:33:21

よし、双方納得のいく案をだしてやる。

１、0.999・・・＝Σ[n=1～∞]9/10^n ＝a は実数ではない。(超実数っていうの？)
２、aを実数に対応させると1である。(証明はしらん)
３、∴実数で考えると 1=0.999・・・

これで満足だろ？

13 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 20:51:16

まぁ、俺が軽く証明してやるよ。
１＝０．９９９・・・
だと仮定する。
両辺÷３
０．３３・・＝０．３３・・
はい、終わり。

14 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 21:13:07

XY平面上に異なる2点A、Bがあり、線分ABの中点Cを定める。
点AB間の経路で点Cを通らない最短経路は存在するか？

てな感じの設問を思い出した。
存在しないのか？無限に存在するのか？
存在するとしたら長さはいくつ？線分ABと同じ長さ？線分ABに限りなく
近い長さであるがそれより長い？　長さと言う次元を持つ以上それは実数である？
図示は可能？線分ABを引いて「いやこれは点Cを通っていない」と
言い張らざるを得ない？

本気で分からん。教えてエロい人

15 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 21:17:31

XY平面の近くにブラックホールがあって、めでたく空間自体がひん曲がっているので
最短経路は別にもありましたとさ。

とっぴんぱらりのぷ。

16 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 21:36:21

>>14
二点A,Bを通る線分が２通り以上あれば、
存在する(場合がある)。

17 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 21:38:28

>>14
たとえば、メルカトル図法でかいた地図を考えると
存在する。

18 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 21:49:31

１＝0.999・・・
だと仮定する。
両辺＊9
９＝８．９９９・・・
矛盾

19 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 22:05:02

an=0.9999....
d(1,an)<ε for all n>δ
だからanは１に収束するので
lim an=1　なのですが・・・
文句がある人はＦＩＦＡに調停を申し立てて・・・

20 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 22:17:31

>>19
d(x,y)=1（ｘ≠ｙのとき）、d(x,y)＝0(x＝yのとき)
とおくと、
d(1,an)＞0.5 for all　n > 10

21 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 22:50:10

>>18
・・・どこが？

22 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 23:01:37

>>18
1=0.999…と仮定しておいて9=8.999…で矛盾を主張するのはおかしい

23 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 23:11:20

>>18
結果的に等式(1=0.999…)の両辺に同じもの(8)を足しただけなのと同じでは？

24 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 23:50:26

テンプレで終わりにして良いような

25 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 23:51:04

0.999・・・=0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.000・・・
1=0.999・・・だと仮定すると

1=0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.000・・・
0.001=0.000・・・
1=・・・
これだと　1=0.9991　となり、矛盾する。

∴１≠0.999・・・

26 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:00:31

×　1=・・・
○　1000=・・・

27 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:28:02

>>18
[9]=9
[8.999・・・]=8

28 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:38:55

ここで、１＝０の場合は除外して考える。

９＝８．９とすると、
＊１０して、
９０＝８９となり1＝０となる。矛盾　∴９≠８．９
９＝８．９９とすると
９００＝８９９となり１＝０となる。矛盾　∴９≠８．９９
９＝８．９９９とすると、
９０００＝８９９９となり、１＝０となる。矛盾　　∴９≠８．９９９
　：
　：
９≠８．９９９・・・

29 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:44:39

釣りじゃなければ、

1/3=0.3とすると
・・・

でその議論やってみろ

30 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:49:53

>>29
１／３＝０．３とする
＊３０して
１０＝９となり１＝０となる。矛盾　
∴１／３≠０．３

31 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 05:41:42

０＝０．００００……………１　　　無限の成し得る技。

32 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 06:24:03

an=0.9999....
d(1,an)=<1|an><ε for all n>δ
だからanは１に収束するので
lim an=1　なのですが・・・
文句がある人はＦＩＦＡに調停を申し立てて・・・

33 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 06:31:47

>>32
意味のわからなεやらδ使うの
やめてくれ！
ＦＩＦＡでも認めてないはず・・・

34 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 06:37:02

L^2ノルムで０．９９９９’＝１は函数空間でも証明されてしまった。

35 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 06:46:13

>>34
０．９９９９’＝１
を使ってノルム計算しても意味なし

36 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:03:45

０．９９９’の極限値はかならずしも０．９９９’のままでないことにきずかなければいけない。
cos(1/x)　as　x->0とおなじ。

37 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:06:57

a1=0.9
a2=0.99
a3=0.999
...
だよ。
d(an,1)=0.1,0.01,0.001,...<ε

38 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:17:51

>>37
ε＝0.1,0.01,0.001,...
d(an,1)≧ε

39 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:24:28

>>28
で、1=0.999…のときは両辺に何をかけたら1=0になるんだ？

40 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:31:23

こいつはＵＦＯ信者だろう

41 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:34:22

エプロンーデルタを理解していないなんて・・・・ここにくる資格なし

42 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:42:45

>>39
わからない人のために、特別サービス
９＝８．９９９・・・とすると、
＊（１／（１－０．９９９・・・））して、
９０００・・・＝８９９９・・・となり、１＝０となる。矛盾　　
∴９≠８．９９９

43 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:52:06

>>7
何を笑われてるかまるで理解してない天狗乙。

44 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:53:22

このアフォな俺にエプロンーデルタというものを教えてくれ。初めて聞いた

45 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 07:56:48

>>42
∞-1=∞　よって1=0

と言ってるのと一緒

46 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 08:03:52

>>45
だから矛盾
わかった？

47 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 08:20:39

>>43
書いてあることが理解できずに、笑うしかない初学者乙。

48 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 08:23:27

a≠bと仮定する（a,bは実数,a<b←いる？・・・いる？）
実数の性質によりa,b間には無数の実数xが存在することになるので
a<x<b
また、a,b間の数の中心をCxとおくと
a<Cx<b
Cx=(a+b)/2とおけるので
a<(a+b)/2<b
この不等式が成立しない場合実数a,bは等しい？・・・か？

49 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 08:29:21

>>42
そもそも9=8.999…と仮定してる時点で「1/(1-0.999…）」の分母は0になっている。
矛盾して当然。9≠8.999…の理由とはなりえない。

50 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 08:43:17

わからない人のために、特別サービス
9＝8.999…とすると、1－0.999＝0だから
＊(1/(1－0.999))することは出来ない。
(ここで議論が途切れるので、矛盾を導出するのに失敗している)

51 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 10:39:02

>>47
9が無限に続く様を「…」で表現して「0.999…=1」の証明をといってるのに
「…の意味を無限大超自然数個の9による有限和とみなせば≠1」なんて解釈を
わざわざ候補に入れて何がしたい？

A「このＣＤかけて」
B「『かける』には複数の意味があるからどの意味か説明しないとわからん」
A「はぁ？他にどんな意味があるわけ？火にかけるとか言ったら笑うよ？」
B「例えば壁にかけるという解釈がある。お前は語彙が足らない。」
A「お前は状況に合わせた適切な解釈を知らない。」

ま、こんなこと議論するスレじゃないな。汚してすまん。

52 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 11:31:14

0.001／0.001＝１
0.00……1／0.00……1＝？

53 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 11:37:39

>>52 0.00……1　の両者は、同じ値ではないので不定。

54 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 11:38:18

>>25
桁違うわボケ

55 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 20:25:14

問題の意味を理解していない人が多すぎ。
計算問題をやっているのではないのです。

56 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 20:38:52

>>31
剰余の話？
割算が終わってないのに剰余が先に存在するわけはない。

57 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 20:42:44

超準なら微小数もあるよ

58 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 20:51:20

ﾊｹﾞｶﾞｲではあるが。まともな超準解析なら0.999……=1なわけだが。

59 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 01:00:52

まともな超準解析とか、まともじゃない（矛盾があるって意味じゃないんだろ？）超準解析とかあるの？

60 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 01:18:32

超準解析そのものがマイナーな分野なので何とも。

61 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 02:47:24

数種のバリアントが存在する

62 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 03:51:57

0.999・・・＝１　じゃない数学を望む

63 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 03:58:53

>>50
1－0.999＝0.001

64 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 04:18:23

0.999……≠1
でなければ超準の意味なし

65 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 20:14:23

>>51
一生、数学と無縁の世界にいた方が幸せと思うよ。

66 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 20:18:13

>>55
おまえＡＤＨＤだろ。

67 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 21:04:45

>>51
「9が無限に続くさまを『…』で表すことにする」と宣言しつつも0.999…≠1を主張する
人間はゴマンといるわけですが。こういう人間は、0.999…≠1が成り立つような意味で
「9が無限に続く」というコトバを使っている。一方で、0.999…＝1が成り立つような
意味で「9が無限に続く」というコトバを使う人間もゴマンといる(オマエとかね)。
従って、「9が無限に続く」とだけ言われても、「そのコトバの定義は？」としか返答の
しようが無い。数学的には、「無限に続く」というコトバは標準的でなく、どのような
意味で以って「無限に続く」と言っているのか必ず明記する。オマエはそれをしていない。
極限を考える際も、対象とする空間をどのような位相空間と見なしたときの極限操作
なのかを明記するのが普通。

＞A「このＣＤかけて」
この例え話も無意味。「かける」「無限に続く」というコトバの相違を理解していない。
・「かける」というコトバは標準的であり、「このCDかけて」という言い回しで以って
「火にかける」などと全く別の意味を持たせる人間はまずいない。
・「無限に続く」というコトバは数学用語としても日常用語としても標準的でなく、
「9が無限に続く」という言い回しで以って0.999…＝1が成り立つような意味を持たせる
人間もいれば、0.999…≠1が成り立つような意味を持たせる人間もいる。そのどちら
なのかは、使った本人に聞かなければ分からない。

68 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 21:34:44

>>51って、数学的思考力の弱い人間と思って、
みんなが相手にしてないのに、
>>67が相手にしたなら、６７も同類だととらえるしかないな。

69 ：１３２人目の素数さん：2006/08/09(水) 23:15:27

とは言え本来このスレが相手にすべきなのはその数学的思考力が弱い層なのでは？

70 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 07:29:14

数学的思考力が弱い層、も相手にすべきですが、
数学的知識が浅い層、という表現が出ないあたりに
「自分は思考力があるから自力で会得したぜ」
と思い込んでる方のおごりが感じられまつ。

71 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 07:57:04

なんだおまえらわざわざ数学板に言葉遊びしに来たのか

72 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 09:39:02

>71
自分より出来ない人間を見下すことで優越感に浸りにきてるだけですよ

73 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 11:44:25

>>71
言葉遊びに見える時点で数学は諦めた方がいい。

74 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 13:48:09

>>73
複素数や微分の概念を習うまでe^iをイメージできなかった
お前も数学を諦めた方がいいんじゃね？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

75 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 15:46:48

>>67

＞「9が無限に続く」という言い回しで以って0.999…＝1が成り立つような意味を持たせる
＞人間もいれば、0.999…≠1が成り立つような意味を持たせる人間もいる。そのどちら
＞なのかは、使った本人に聞かなければ分からない。

つまり初代スレを立てた>>1に聞かなければ分からないってことじゃね？
もし>>1がもうここにいないのであれば今後分かることは出来ないんだから
お前もうこのスレに来る必要無くね？

76 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 16:37:27

テンプレぐらい嫁

77 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 16:41:55

>>75
＞つまり初代スレを立てた>>1に聞かなければ分からないってことじゃね？
意味不明。>>67は「9が無限に続くさまを『…』で表すことにしたとき0.999…の
値はどうなる？」と言って来た>>51(＝前スレ962)への返答であり、初代スレの
>>1への返答では無い。

78 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 16:57:04

>>74
例えが幼稚すぎる。

79 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:12:30

>>74
複素数を知らないでe^iをイメージできる藻前は神

80 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:30:56

言葉遊びにしか見えない≒数学的知識不足≠数学に向かない

つまり、無限大に関する知識のない人間に数学諦めろというなら
お前も知識がなかった頃があるわけだから諦めろという皮肉だろうな。

81 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:35:50

a≒b，b≠cだからといって、a≠cが成り立たないとは限らない。
a≒b，b≠cだからといって、a≒cが成り立たないとは限らない。

82 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:38:26

俺のアホ。
a≠cが成り立たないとは限らない → a＝cが成り立たないとは限らない

83 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:45:46

少なくとも>>77が「CDをかけるって言うのはCDをプレイヤーに入れて
再生ボタンを押すことだ」といちいち説明しないと
理解しない人種だと言うことだけはわかった。

84 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 17:46:17

>82
とりあえずもちつけ。

「成り立たないとは限らない」にも関わらず成り立つ奴と成り立たない奴
双方に対して「諦めろ」と言った奴がいたわけだ。

85 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 18:15:32

>>83
＞・「かける」というコトバは標準的であり、「このCDかけて」という言い回しで以って
＞「火にかける」などと全く別の意味を持たせる人間はまずいない。

86 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 18:26:24

>>83
こういう方達は概念よりも定義にこだわるあまりに、相手の言いたいことを
「察する」ことができないんだよね。

極端な話、「(exp(x)+exp(-x)/2)をhsin(x)とするよね」と言っただけで
「初学者乙。それはhcos(x)だ。」なんて脊髄反射しちゃうような感じ。

87 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 18:38:12

9が無限に続くの標準的な意味ってΣ[k=1～∞]9･10^(-k)じゃないのか。
勉強になるなあ。

88 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 18:56:43

「9が無限に続く」自体がそもそも標準的な言い回しでは
ないので、標準的な意味など存在しない。

89 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 19:05:37

>>88
あなたのおっしゃる標準って、どちらの世界の標準ですか？

こりゃ一般人にきいてまわって統計とるしかないな。

90 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 19:07:54

↑『標準的な』と言われるとなんと答えて良いのかワカランが、
数学的表現をすれば、式で表せば足りるとは思う。

91 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 19:09:41

>>89
数学の世界での標準。
＞こりゃ一般人にきいてまわって統計とるしかないな。
統計とってみな。「9が無限に続く」と言いながらも0.999…≠1を主張する一般人と
0.999…＝1を主張する一般人が同数ずつくらいに分かれるから。いや、0.999…≠1派の
方がずっとずっと多いかもなｗ

92 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 19:16:47

>>91
両方の系が存在すると回答する人間もかなりの数に上るとは思うよ。

93 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 19:22:04

”両方の系”という考え方が出来る人間は”一般人”に当てはまるのか？

94 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 20:48:42

一般的とか標準的とかの定義はないんですか？
使う側が明示するのではなかったのですか？
「かける」は標準的で「無限に続く」は標準的ではありませんか？
これらの言葉を何人が知ってたら「一般的」ですか？
10人ですか？100人ですか？

95 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 21:23:30

>>91-93
そんなもん統計とってどうすんの？

話の流れでいったら「0.999…と9が無限に続く」といわれてどう解釈するかの
統計をとるべきであって、それが =1 と思うかどうかは別の問題だ。

標準的な解釈とは 9Σ[k=1～∞]10^(-k) だと思っている人と、
標準的な解釈などないと思ってる人がいるんだから、白黒はっきりつけるべし。

96 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 21:48:08

＞「かける」は標準的で「無限に続く」は標準的ではありませんか？
・「かける」は標準的。実際、「CDをかける」と宣言しながら「火にかける」等々別の意味で使う人間はいない。
・「無限に続く」は標準的ではない。実際、「9が無限に続く」と宣言しながらも0.999…＝1を主張する人間、
0.999…≠1を主張する人間がいる。つまり、人によって(←もちろん、数学に無縁な一般人のこと)使い方が違う。
従って、どのような意味で使っているのか、相手に聞かなくてはならない。

＞標準的な解釈とは 9Σ[k=1～∞]10^(-k) だと思っている人と、
残念、9Σ[k=1～∞]10^(-k)という記号列の解釈も人によって違うから、統計の際は「それは9Σ[k=1～∞]10^(-k)
という意味だ」という回答だけもらっても駄目。9Σ[k=1～∞]10^(-k)という記号列をどのような意味で使って
いるのかも聞かなければならない。

97 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 21:57:16

ありゃ、消し忘れが。
誤：つまり、人によって(←もちろん、数学に無縁な一般人のこと)使い方が違う。
正：つまり、人によって使い方が違う。
長文書いたら投稿前に見直さんとダメやね。

98 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:02:50

>9Σ[k=1～∞]10^(-k)という記号列の解釈も人によって違う

違うのか。
過去ログでも読んでくるかな。

99 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:13:46

>>98
>>96以外は共通しているから無問題

100 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:28:47

>>99
Σ[i＝1～∞]9/10^i＝1だと思う人もいれば、Σ[i＝1～∞]9/10^i≠1だと思う人もいる。
両者で解釈の仕方が異なっていることになる。だいたい後者の人間はlim[n→∞]an≠α
とか0.999…≠1とか主張する。彼らのアタマの中には”無限小”を含んだ数の体系が
曖昧に存在している。かつてyahooの数学板に存在していたとあるスレでも、
Σ[i＝1～∞]9/10^i≠1を主張していた人間がいた。

101 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:33:24

それは「解釈」なのか？

102 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:51:13

Σ[i＝1～∞]9/10^iという記号列の解釈というなら無限級数以外に捉えるバカは一人だけ。

103 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:53:07

なるほど。見えてきた。

104 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 22:57:58

＞Σ[i＝1～∞]9/10^iという記号列の解釈というなら無限級数以外に捉えるバカは一人だけ。
残念。その「無限級数」という4文字の記号列によって表される概念の解釈が人によって違う。
1＋r＋r^2＋…＝1/(1－r) (｜r｜＜1)と主張する人間もいれば
1＋r＋r^2＋…≠1/(1－r) (｜r｜＜1)と主張する人間もいる。

ここまでで「『9が無限に続く』の解釈」→「『Σ[i＝1～∞]9/10^i』の解釈」
→「無限級数の解釈」と移行してきたが、どんなに別の記号列を持ってきても同じこと。

105 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:01:57

なるほど。こりゃ触らぬなんとかだな。

106 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:09:10

>>104
Σ[i＝1～∞]9/10^i＝1を主張する人も≠1を主張する人も
　　　　Σ[i＝1～∞]9/10^i
ここは同じ意味に解釈してると思う。
≠1の人は lim[n→∞]1/10^n＝0 を認めないだけだと思う。

107 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:19:27

>>106
＞≠1の人は lim[n→∞]1/10^n＝0 を認めないだけだと思う。
その時点ですでにΣ[i＝1～∞]9/10^iを別の意味で解釈している。
あなたは
＞ここは同じ意味に解釈してると思う。
と言っているが、＝1派と≠1派は具体的にどのような(同一の)意味で解釈しているのか？

108 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:23:14

いや、数学は言葉遊びだろ

文章問題なんか特にそう
俺何て読解力ないからｓｗくぇｒせｖちゅい

109 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:31:22

>>107
>＝1派と≠1派は具体的にどのような(同一の)意味で解釈しているのか？
いやっ、普通に無限につづくイメージだけどさ、
この記述の中に極限は含まれないと思うぞ。

実際、値を求める時に極限を使うんで、ここで結果に違いがでると思うんだが・・・

110 ：１３２人目の素数さん：2006/08/10(木) 23:42:31

>>109
＞実際、値を求める時に極限を使うんで、ここで結果に違いがでると思うんだが・・・
Σ[i＝1～∞]9/10^iという記号列を、両者とも「無限につづくイメージ」(←本当は
これがどんなイメージなのか厳密な説明が必要なのだが、ここはとりあえず置いて
おく)という意味で捉えていたとしても、＝1派が考える「無限につづくイメージ」
及び、≠1派が考える「無限につづくイメージ」が同一のイメージであるとは
限らない。＝1派はこの後に極限を使う。なぜか？彼らにとっては、その”イメージ”を
代弁するのが極限だから。極限操作という手法が、その”イメージ”の代弁になっている、と
彼らは考えるから。一方で、≠1派は極限操作という手法を使わない。なぜか？彼らにとっては、
極限操作という手法はその”イメージ”の代弁になっていないから。このことから分かることは、
両者にとっての”イメージ”は、実は異なっているということ。すなわち、両者でΣ[i＝1～∞]9/10^i
の解釈が違っているということ。もし、両者とも完璧に同じイメージを持っているのだとしたら、
片方が「この手法はこのイメージの代弁になっているぞ」と判断すればもう片方も全く同様に
「この手法はこのイメージの代弁になっているぞ」と判断することになる。

111 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:00:58

>>110
(1-1/10^n) [n→∞] = A

どちらもこんなイメージだと思うんだが、
＝1派は、極限を用いて
1-A がどんな正の実数よりも小さくなるので＝１と置くことを認める。

≠1派は、
1-A がどんな正の実数よりも小さくなるのは認めるけど、＝１は認めない。

これだけの違いでやはりイメージは同じだと思うんだよね、
少なくともこのイメージの解釈の違いで論争にはなってないと思うんだが・・・

112 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:01:35

定義に解釈を持ち込むバカに何を言っても無駄な気が。数学の話をしねえ？

113 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:20:52

>>112
ここまでのレスを読む限りは、数学のことが分かっている奴なんか居ないだろう。
数学の話が出来るのは、夏休みが終わってからだよ。
極限の値の意味も分かってない奴ばかりじゃないか。
高校数学の授業もまともに聞いていない奴ら相手にしたってしょうがない。

114 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:22:12

>>111
ああ、言ってることが分かった。そのような意味でなら、両者とも
Σ[i＝1～∞]9/10^iに同じ意味を込めていると考えられる。
>>112
解釈：語句や物事などの意味・内容を理解し、説明すること。(＝語句や
物事などの定義を理解し、説明すること。)
これのどこが数学でないのか？与えられた記号をどのような定義で使っているのか(＝どのように
解釈しているのか)という話をしているのだが。これは数学ではないのか？

115 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:23:12

>>110
そうかあ？「無限に１に近づくイメージ」ってのが正しいのでは？おれはそう理解しているぞ。
で、フツーはそのイメージする数が一定の値の１を取ると考えると「都合がよい」し、「とりあえず
矛盾がない」し「メリットが沢山ある」からこそ

「無限に１に近づくモノ」＝１

ってやるんだよ。≠１ってフツーやらないのは、そう定義してもとりあえず矛盾ない体系をつくる
のが面倒だし、分数を正確に無限小数に表せない場合が出てくるとか、メリットが少ないから、
そういうのを採用しないだけ。

ＯＫ？

116 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:31:46

>>115
日本語でおｋ

117 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:32:46

>>113
なんか問題出してみ？

118 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:36:30

>>116
信じてないなｗ
１１５番発言はテンプレの>>2-5と同じだろ。テンプレ読んだか？

119 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:41:45

>>117
問題解く技術が発達しているだけだろ、って言う意味がワカランとは、ハーッ！

120 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 00:48:56

>>119
受験数学みたいな問題じゃなくても構わんぞ。どんなことだって問題形式にできるがな。

121 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 01:29:22

「ある数に限りなく近づくものはその数に収束する」
っていう定理というか法則というか公式というか定義があるから
「1に限りなく近づく0.999…は1に収束する」
ってなって
「0.999…=1」
ってなるんだよね？

え？違うのか・・・

122 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 02:33:25

>>114
Σ[i＝1～∞]9/10^iに解釈の違いがあるのはお前のいる世界だけだ。
数学では一つの意味しか持たないよ。でないと、式変形一つできないからね。

123 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 02:52:27

a≠bと仮定する（a,bは実数、a>bと思っているもの)
実数の性質によりa,b間には無数の実数xが存在することになるので
a<x<b
また、a,b間の数の中心をCxとおくと
a<Cx<b
Cx=(a+b)/2とおけるので
a<(a+b)/2<b
この不等式が成立しない場合実数a,bは等しい

a,bに色々代入すると良い

124 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 03:05:42

>>123
<,>が逆だろ

125 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 04:46:54

>>124
間違えた

126 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 07:12:23

a≠bと仮定する（a,bは実数、a<bと思っているもの)
実数の性質によりa,b間には無数の実数xが存在することになるので
a<x<b
また、a,b間の数の中心をCxとおくと
a<Cx<b
Cx=(a+b)/2とおけるので
a<(a+b)/2<b
この不等式が成立しない場合実数a,bは等しい

a,bに色々代入すると良い

127 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 07:36:02

Σ[i＝0～∞]2^i＝－1 in Q2 (Q2は2進数体)

128 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 07:52:36

つまり、「0.999…(このあと9が無限に続く)に標準的な解釈などない」と
のたまってた方も、「Σ[i=1～∞]9/10^i」であることまでは共通認識で、
その式が定義によっては =1 にも ≠1 にもなりうると言ってるわけだな。

では、どのような定義のときに =1 で、どのような定義のときに ≠1 なのか
初学者にも理解できるようにかみ砕いて説明する方法を考えたらどうだ？

129 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:16:24

このスレは、数学のことがよく分かっていらっしゃる>>113様からの
問題投下(受験数学のような問題ではなく、数学のことが分かって
いるか否かを判定する問題)を待つスレになりますた。

130 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:21:21

Q2，Q5において{Σ[i＝0～n]9/10^i}(n∈N)はコーシー列を成さず、Σ[i＝0～∞]9/10^iは定義されない。

131 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:32:49

数学的知識の浅い人の中には直感的に「0.999…＜1」ととる人が多く、
理論的な説明を求めても「う～ん・・・見た感じで」という返事が返ってきたり、
また無限や極限に対する誤認識のために勝手に無限小数に末桁を設け
「ほら、0.000…1少ないじゃん」と言う的外れな答えが返ってきたりする。
そういう「0.999…≠1を理論的に説明できない人たち」は「0.999…≠1を
主張する人」ではなく「0.999…が1理解できない）人」。
そういう意味では「0.999…≠1」と言う解釈は寧ろ「一般性に欠ける」と俺は思うのだがね。

132 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:34:35

うお、後半ミスった
×「0.999…が1理解できない）人」
○「0.999…がそもそも何なのか理解できない人」

133 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:42:06

>129
ほっとけ。

真に数学ができる奴がいるならばこんな議論など理詰めで完璧に説明し、
すでにスレ終了しているのは自明。故に >113 は数学が出来るわけではない。

134 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 08:56:59

「極限」っていう数学の定義より0.999…=1
「実数の性質」っていう数学の定義より0.999…1

135 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 09:39:06

>「極限」っていう数学の定義より0.999…=1

少し違う。無限等比級数の和の収束値が1となることは誰も疑わない。
だが，この収束値をもって無限等比級数の総和とする扱いについては
異論がでているわけだ。
この点は証明できないから定理のようなものとして理解するしかない。

136 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 10:42:27

>高校数学の授業もまともに聞いていない奴ら相手にしたってしょうがない。
だが、高校の数学Ⅲの範囲じゃ１＝0,9999…は説明できないぞ

137 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 11:08:12

＞「極限」っていう数学の定義より0.999…=1
ユークリッド距離での極限ならば1になる。
2進距離での極限ならば1にならない(というかΣ[i=1～∞]9/10^iは定義されない)。
考える距離で極限は変わる。

138 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 11:24:33

>>137
何言ってるの？？？

139 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 11:40:33

極限の話｡

140 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 11:57:37

極限において「収束する」とは、
「限りなくその収束値に近づき続ける」という意味ではあるものの、
「収束値になる」という意味ではない。

具体的に言うと
f(x)=(x^2-1)/(x-1) とした場合、
lim[x→1](f(x))≠f(1)
である。
lim[x→1](f(x))=2 に対して f(1) は計算不可。

よって0.999…の収束値が 1 であっても 0.999…=1 であると断定はできない。
しかしながら ≠1 とも断定出来ないので論議を醸している次第。

141 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 12:43:55

>>130
テンプレの修正や追加等があるなら、その旨明示して行えばＯＫ。
いつでもやってくれ。

>>136
小学校で無限小数の定義を「一応」やる。無限小数の演算もまあ出来る。
大学時のレベルからすると、論理の抜けは当然見つかるが、小学校レベルでも問題はない。
しかし、εδきちんとやった大学レベルだって、数学基礎論や超準解析を持ち出してああだこうだ
言われるとなにやら心もとない。

要するに各レベルに応じてやればよいだけ。

142 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 12:46:54

>>140
収束値が同じ数ってみなすと、各種メリットがあり非常に都合が良いから
同じ数になるような条件を採用しているだけ。

違う数になるって条件採用してもよいけど、論理が面倒になるしデメリット
もあるから、そういう条件は普通採用しないだけ。

ＯＫ？

143 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 12:54:00

>>140
いや「0.999…」が収束値そのものを表してるんだろ。
0.999…が収束値じゃなくて、「近づき続ける」とか言われる何かをあらわしてるなら定義を書いてくれ。

144 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 14:23:34

この問題に関しては =1 の公理系と ≠1 の公理系があり、それぞれ
矛盾が生じない。正しい知識を有してさえいれば、どちらの公理系を用いても
問題はないし、選択は個人の自由である。

ただし、≠1 という公理系を用いるためには高度な数学知識を要するため
一般的には =1 として扱うことが多く、またその方が無難である。

こーゆーことか？

145 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 17:13:28

≠1にするにはRに標準的な距離じゃない距離や位相を入れて
収束するということそのものの意味を変えちゃえばいいのかな。

146 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 17:20:39

だったら「見た目の文字表現が違うから違う数」でいいやん

147 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 17:32:08

そうなると、２／２とか３／３とか１．００とかも皆違う数になるぞ。

148 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 17:52:14

一番単純な≠1な体系は、有限小数から誘導される順序で、表記が違えば違う数であるようにすること。
稠密でなくなるわ、十進法か三進法かという表記の違いで実数像が変わるわ、良いことはまるでないが、
矛盾は見つからない。普通の実数のように自然な性質を持たせようとすれば、どうやっても=1にならざるを
えないだろう。

149 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 17:54:20

>>147
「標準的でない距離や位相」をとり入れたら、って話なんだから、そういうことがおきてもいいだろ。

150 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 20:17:13

>>140
新手のバカが

151 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 21:31:39

いや
0.999…は循環小数
で、整数は循環小数に直すことができる

152 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 21:59:40

＞0.999…は循環小数

馬鹿だな誰もそんな決め事とは書き込んでない。
それだったら議論にならないのが解らんのか。
循環小数という概念は、実無限の正解。

153 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 22:51:14

今時可能無限を使うこと自体不自然と思うが、循環小数なら可能無限的に捉えることは可能。

154 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 23:20:00

可能無限とか実無限とか、神学っぽくていいよな。古き良き西洋学問の香りが
漂うよね。まあ、ぶっちゃけそんだけなんだけど。

155 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 23:58:39

まあ数学も意識的に実無限に対応してまだ100年ちょっとしか経っていないんだがな

156 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 00:30:22

>>141
>要するに各レベルに応じてやればよいだけ。
ちょっと待ってくれ
それはつまり結局は厳密な証明は出来ないという事なのか？

157 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 01:00:14

>>156
諸悪の根源は>>2のA4にある。ゲーデルの不完全性定理ってやつ。

158 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 01:14:32

>>157
良いのか？そんな結論で

159 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 01:45:58

理論の正しさを追求されたら、ほとんど全ての分野の
数学は「本当に正しいかは分からない」ってなる。
基礎論の発展を待つしかない。

160 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 04:19:59

発展しようが無理だけどな

161 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 05:08:46

記述に使う論理体系を変えればどうなるか分からんぞ。

162 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 07:37:42

哲学系の人が良く言うように、可能無限だけを認めるとその手の厳密性を取り戻せる
んじゃないの？何か問題あるの？

163 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 10:07:18

[0-1)の実数といったときには、考えやすいかもしれないな。

164 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 11:34:28

>>162
無理。

165 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 13:11:39

>>162
とりもどせません。

166 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 14:02:58

なんか超実数っぽいことやりたがってる人間がいるみたいだけど
超実数ならそもそも小数展開なんてできないんだし本末転倒なんじゃないか？

167 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 18:45:25

>>166
超実数を持ち出す人たちは、それなりの理由がある。
(1-1/10^n) [n→∞] = A
ここでかれらは
Aは「≠1 ＆ 1-A＝0(無限小)」
と考えている。
≠1 が入っているのでA=1という極限を認めないのもこの為、
容易にわかるようにこの条件を満たす実数は存在にない。
そこでこの条件を満たす解を求める為に無限小を含む超実数のようなものを考えている。
そして、その超実数の世界で　1≠0.999・・・といっている。

実数部分では　1＝0.999・・・というのには納得してると思う。
最終的には実数部分しか意味がないが証明する時に必要になる。
こうする事によって
　　　　プロットされない(≠1)が１になる(＝１)
のような曖昧さをなくそうとしている。

168 ：167：2006/08/12(土) 18:57:56

×　存在にない
○　存在しない

169 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 19:45:49

意味無いような

170 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 19:52:00

>>167
でもその考えで「1≠0.999・・・」を主張するならさ、
「π≠3.14159・・・」も主張しなければならないよ？
でもそんな主張このスレで聞いたことないよ。

171 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 20:49:05

このスレで「π=3.14159…か？」という議論は無意味だからしないだけであって
実際にどちらかと聞かれたらπ≠3.14159…を主張するだろう。

172 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 21:13:07

たぶんπの定義ができないんじゃないかな。
曲線の長さの定義って極限を使うし。

173 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 21:47:02

だいたい小数展開は近づき方に関しては何も言及しないんだから
このスレの話題に超実数的な考え方を持ち出してくることには無理があるよね…
例えば「1≠0.999・・・」派だって
『「0.999・・・＝0.9+0.09+0.009+0.0009+・・・」は成り立つが
　「0.999・・・＝0.99+0.0099+0.000099+・・・」は成り立たない』
だなんてことは言いたくないだろう？

174 ：１３２人目の素数さん：2006/08/13(日) 16:04:37

あぁ・・・そうか

「数字…」
は
「…の前の規則性を無限に続いてますよといっている記号」
ではなくて
「…からも無限に続いていますよと言っている記号」
と言ってるだけであって
「何が続くか」
は、その文脈で判断しなければならないのか

だから循環小数にこの記号を使うと勘違いする人がいるから
数字の上に「・」を付けたりするのか

ということは

0.999…（ただし「…」の後は9が無限に続く）とか説明しなくてはならないのか
3.1415…（ただしこれは円周率）
とかか

そういえば
「～～～～～をπを使って表せ（ただしπは円周率）」っていう問題があったな

175 ：１３２人目の素数さん：2006/08/13(日) 21:06:06

0.999…の場合は、実際に「9を無限に続けて書く」という事が不可能だから、
そういう注を書いてもしょうがないんじゃないか。

0.999…を、何かある記号の「省略形」みたいにみなすのは無理がある気がする。
直観的には「書いてるときりが無いから、…で略している」ってのは分かりやすい
とは思うけどね。

176 ：１３２人目の素数さん：2006/08/13(日) 22:03:37

無理も何も……

177 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 10:12:37

＞0.999…の場合は、実際に「9を無限に続けて書く」という事が不可能だから、
「任意のn∈Nに対して、小数第n位が9」と書けばよい。

178 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 15:06:07

「小数第１桁目が９。小数第ｎ桁目が９なら、小数第ｎ＋１桁目も９」
と書くと、可能無限派にも通用する…のか？

179 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 15:19:26

えぬにょる

180 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 16:20:30

可能無限派でも>>177でおけ

181 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 16:21:34

集合をあからさまに使った言い方だとまずいけど

182 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 16:48:36

自然数Ｎって集合を使っている気がするが…？

183 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 17:27:21

だからそう書いたじゃん。言い回しで回避できることだから。ワザワザ言わなくてもこれくらいは分からない？

184 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 18:39:15

で、具体的には？

185 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 19:00:08

小数第１桁目が９。小数第ｎ桁目が９なら、小数第ｎ＋１桁目も９

あるいは

nが自然数ならば、小数第n位は9

186 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 19:05:28

自然数nについて、小数第n桁目はつねに9とか

187 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 19:53:56

だからー自然数って集合なんでは？

188 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 19:58:32

ところでｎは∞という値（？）はとるのか？

189 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 20:06:48

>>187
「自然数」という言葉が集合なのだとしたら、Nという記号は「自然数」を表す記号ということになる。
しかし、数学のどの本を見ても、Nという記号は「自然数全体の集合」という説明がされており、
Nを「自然数」と説明している本は無い。つまり、「自然数」は集合ではない。「自然数全体の集合」が
集合である。n∈Nという表記も、厳密には「nは自然数全体の集合の一員である」を表しているのであって
「nは自然数である」を表しているのではない。

190 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 22:29:48

自然数の公理系を満たす対象が自然数で、それは集合なしで定義できるよ。
公理系にも∈のような集合に関する記号は必要ない。nは自然数という命題
をP(n)とおけば良いだけの話。

191 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 22:31:34

>>177

それはそれでいいんだよ。「小数展開した時、小数第n桁目がいつも9になる『数』」ならね。
「第n番目がいつも9になる『記号』」っていうのはおかしくね？っていう事。

192 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 23:02:27

>>191
写像で定義すればおけ

193 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 23:08:40

>>192
いやー、つまりこの問題が数学になれてない人にとって難しいのは、
記号とそれが表す数がごっちゃになるからじゃね？って事。

「第n番目がいつも9になる記号」みたいなのを勝手に考えて
そのうえさらに勝手にそれに対応する数があることまで仮定して
考えるからややこしいことになるんじゃないかと。

194 ：１３２人目の素数さん：2006/08/14(月) 23:32:22

まあ慣れていない人はごっちゃにするんだろうが、定義できるんだからあのように言われると違和感はある。

195 ：１３２人目の素数さん：2006/08/15(火) 22:50:00

１－０．９９９９…＝ X とする
しかし０．９９９９…の値は永遠に不定なのでXもまた永遠に不定
よってX＝０
１－０．９９９９…＝０
∴１＝０．９９９９…

196 ：１３２人目の素数さん：2006/08/16(水) 00:05:36

またしょうーも無い事を、何回書き込みゃ気が済むんだろうね。

197 ：１３２人目の素数さん：2006/08/16(水) 03:15:42

>>195
頭の悪さにもいろいろあるなあと感心

198 ：１３２人目の素数さん：2006/08/16(水) 03:24:02

＞しかし０．９９９９…の値は永遠に不定なのでXもまた永遠に不定
＞よってX＝０

不定なのに一意的に定まるって凄いな

199 ：１３２人目の素数さん：2006/08/16(水) 08:56:02

ふてえヤローだ、

200 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 12:25:38

あんまり役に立たないんだし討論　や　め　な　い　か

201 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 12:47:31

0.9999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…
つまり初項0.9、公比0.1の無限等比級数。
初項a,公比r,(－1＜r＜1)の無限等比級数の和は
a/(1－r)である。
ゆえに0.9999…＝0.9/(1－0.1)＝1
～～～～終了～～～～

202 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 15:08:01

テンプレ良くできてるじゃん。しいて言うなら「あえて≠とするとしたらどんな実数の集合になるか」の例でもあげとくといいかな？

203 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 17:03:44

>>201は論外としても、>>202を読むと、
>>197の書き込みになるほどと思わせられるね。

204 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 17:20:27

>>203を見てもそう思う

205 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 20:58:37

>>204はよっぽど悔しかったのかね。

206 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 21:30:52

？悔しいって？

207 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 23:15:03

自爆して惨めなだけだから止めときなよ

208 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 23:26:02

なるほど。妄想乙w

209 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 08:37:21

=1 でも ≠1 でも矛盾はないから好きな方選べばいいよ。

矛盾がないことを証明するのは =1 の方が簡単だから普段はそっちを選んどく
というのも手だけど、自分が選んだ方の理屈でもう一方を選んだ人を
否定しても意味ないからね。

210 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 15:46:48

矛盾がないことを証明できているわけではないけどね。不可能だし。

211 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 16:04:43

この1/3*3=0.999999…はコンピュータのプログラミングでも問題になってることなのだ。
2進数の世界じゃ
1/10*10も0.99999…になるしね
こういうのを打ち切り誤差と言って
"計算の限界の桁が有限"
の場合この誤差は発生するわけで
無限の桁あれば誤差は発生しないのでは？
まあ、普通この様な問題を回避するため
1/3*3と書かずに
1*3/3と式を変形して書くのだかな
小学生の算数の時間に習わなかったか？掛け割算は順番を変えても等しいものになるとな
1=0.999999…を認めなくては反対派が使ってる文明の利器の一つである電子機器を否定することになるのでは？

212 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 16:19:51

「とてつもなく大きい値が使えるけど有限」の話と、無限の話は根本的に違うと思う。
電子機器はどうがんばっても前者だろ。

213 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 16:45:50

まあ、無限の桁は仮にの話だし
誤差の意味は｢真の値との差｣が誤差の意味だが
1と0.999999…の間に絶対値的に差があるのであれば
なぜ
1/3*3と1*3/3の間には差が無い
それどころか
1/3*3=0.9999…
1*3/3=1
差が無いにもかかわらず両者の答えは違う差がある
この矛盾を説いてもらおう
桁が有限であるこその誤差
無限であれども誤差はでるのかを

214 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 16:52:23

演算に間する法則は満たさなくなると思えばいい。よくあること。
まあ普通はそれが嫌で＝にするが、あえて不自由になる≠を選んだところで矛盾が生じるわけではない。おれはそんな実数は嫌だがw

215 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 17:11:08

>>211
とりあえず、テンプレ嫁。

216 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 17:24:19

>>213
1と0.999999…の間に絶対値的に差があるとすれば、
1/3と0.333333…の間に差がある（可能性がある）わけで、
1/3*3=0.9999… とはならない（可能性がある）

217 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 20:46:32

>>211
また新たなタイプの勘違い君が出現。

218 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 21:07:20

>>217
＞感違い君
と言うよりは、
>>197の言う人が続々と現れているような気がする。

219 ：217：2006/08/18(金) 21:19:48

>>218
実は>>197書いたの俺ｗ

220 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 00:04:01

すんません、初心者が思いつきでﾚｽします
テンプレの③
③　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

だけど、9/9って0.99999999....って筆算やってたら、あまりが最小桁数に９の数字になったんだけど
足したら１超えちゃわない？桁間違えてるのかな・・・

9/9を0.99で止めたらあまりは0.09？

221 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 00:05:58

あ、ごめんなさい、次元間違えてたかも
0.99と0.09は足しちゃ駄目なのかな

222 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 01:41:58

分数を使った計算と少数を使った計算とで違いがでるのかがおりは知りたいね。(1/3)*3=0.9999…
1>x xの最大値は0.9999…
この二つのから
1=0.9999…
1≠0.9999…
どちらも正しい？
でも、1≠0.9999…の証明文はみたこと無いなぁ
誰か知ってる？1≠0.9999…の証明？

223 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 01:48:24

>1>x xの最大値は0.9999…

えーと・・・俺用語なら別ですが、
通常の「最大値（max）」の概念では、「最大値なし」です。
上限（sup）なら1です。

224 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 02:04:21

まあ、分かりやすく書いたまでだが最大値は間違いで上限がただしいなｗ

225 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:51:29

その１

(int)は情報処理で使われている修飾演算子なのでｗ(与えられた数の小数点以下を切捨て)

四捨五入するには…
(int)(x+0.5)
とすると、数xを小数点以下を四捨五入することができる。
例：
(int)(1.5 + 0.5) = (int)(2.0) = 2
(int)(2.2 + 0.5) = (int)(2.7) = 2
(int)(0.7 + 0.5) = (int)(1.3) = 1
となる。

切捨ては…
(int)(x)
これで数xは小数点以下を切り捨てることができる。
例：
(int)(2.0) = 2
(int)(2.5) = 2
(int)(2.7) = 2
となる。

226 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:52:06

その２

切り上げについては
(int)(x+y)
であるが、yの値は1以下である必要がある。
仮に1にしてしまうと…
(int)(x+1)

(int)(1.5 + 1) = (int)(2.5) = 2
↑ 繰上げ成功
(int)(1.8 + 1) = (int)(2.8) = 2
↑ 繰上げ成功
(int)(2.0 + 1) = (int)(3.0) = 3
↑ 繰上げ成功
となり整数の繰り上げにおいて不完全なものとなるのでyを1とするのはNG

有限の桁の0.99…99をyの値とすると…
(int)(x + 0.99…99)

(int)(0.00…001 + 0.99…991)
=(int)(0.99…991)
=0
となりさらに小さい数の繰り上げにおいて不完全なのでyを有限桁の0.9999…とするのはNG

227 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:52:54

その３

ならば、ここで無限桁の0.9999…をyの値とすると…
(int)(x + 0.9999…)

(int)(2.0 + 0.9999…)
=(int)(2.9999…)
=2

(int)(0.00…001 + 0.9999…)
=(int)(1.00…0009999…)
=1

(int)(0.0000… + 0.9999…)
　　　　↑ 0.000…の環状少数は所詮は0w
=(int)(0.9999…)
=0

となるので、yは0.9999…の環状少数が最適なことがわかっただろう。

228 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:55:08

その４
そこで本題だ。
1=0.9999…ならば
(int)(x+1) = (int)(x+0.9999…)
となるはずだが…
(int)(2.0 + 1) = (int)(2.0 + 0.9999…)
(int)(3.0) = (int)(2.9999…)
3 = 2
となりこの二つの式には1という決定的な差が生まれてしまい不成立になってしまうのだ。
ってことだｗ
∴1≠0.9999…であり、1>0.9999…が成り立つのでは？

229 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:57:42

>>225-228でまとめてみました。文長くてスマソ

230 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 04:09:48

したがって、(int)(2.0+0.9999・・・)=3である。

231 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 05:51:45

>>230　ちがくない？
小数点以下を切り落とすんだから
(int)2.9999…は2だろｗ
もう少しましな否定の仕方をしてくれ

232 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:19:13

>>231
＞小数点以下を切り落とすんだから
ダウト。intは「小数点以下を切り落とす」演算ではなく、「その数を超えない最大の
整数を出力する」演算だよ。つまりint(x)＝min{n∈Z｜n≦x}ということ。たとえば
int(1.5)＝min{n∈Z｜n≦1.5}＝1
int(2.7)＝min{n∈Z｜n≦2.7}＝2
となる。0.999…については、0.999…＝1だから
int(0.999…)＝min{n∈Z｜n≦0.999…}＝min{n∈Z｜n≦1}＝1
となり、何も矛盾は起きない。

ちなみに、「小数点以下を切り落とす」演算をINTと表すことにすると、
この演算はwell-definedでは無い。すなわち、x＝yなのにINT(x)＝INT(y)が
成り立たないことがある。たとえば、x＝0.999…，y＝1とおくとx＝yであるにも
関わらずINT(x)＝0，INT(y)＝1となり、INT(x)≠INT(y)となってしまう。>>231は
このようなポンコツ演算子を使ったがゆえに矛盾が起きただけのこと。

233 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:24:58

だから、情報処理の記述だって断ってるだろ？数学の記述じゃないぞ？

234 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:26:42

プログラミング用語でキャストと言ったりするがな＝３

235 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:28:30

実際プログラムすると数の取り扱い方が違うからとんでもない数字になったりするが

236 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:31:00

>>233
何が書いてあるのか読めなかったのか？オマエの言う「情報処理の記述」は
ポンコツ(well-definedでない)なので、矛盾が起きるのは当たり前なわけ。
x＝yなのにINT(x)≠INT(y)が成り立つことがあるわけ。

237 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:32:10

別にどんな数にも適応できる修飾演算子だが？
情報処理の世界ではintは「小数点以下切捨て」になってんだから

238 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:37:39

>>237
情報処理の世界では有限小数しか扱えない。情報処理の世界におけるintは、
「どんな数にも適用できる」と思いきや、実はそうではなくて、有限小数に
しか適用されていない。そのような演算子を勝手に無限小数に適用しようと
したのが間違い。

239 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:43:00

だから概念だからコンピュータが完全にその処理を完璧におこなうわきゃーねえだろうがｗ

240 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 06:48:01

設計で使うだけだから無理数だろうが、有理数だろうが、無限だろうが、有限だろうが
概念だから有限小数点
関係なし
馬鹿だろオマエ？？

241 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:15:20

>>239
0.999…＜1が成り立つとすると、オマエの言うintを用いることで矛盾が発生する。

0.999…＜1が成り立つとする。xを0以上の実数とする。このxを無限小数展開して
x＝a1a2…an.a(n＋1)a(n＋2)…とすると、int(x)＝a1a2…anであるから、
x－int(x)＝0.a(n＋1)a(n＋2)…≦0.999…＜1が成り立つ。つまりx－int(x)＜1が
成り立つ。まとめると、0以上の実数xに対して、x－1＜intxが成り立つ…＊ことに
なる。さて、x＝1－0.999…とおく。0.9＜0.999…＜1であるから、0＜x＜0.1が成り
立つことになる。このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10]x＞1である。そこで
n＝int(log[10](1/x)) とおくと、nは自然数となる。＊を用いて1/10^(n＋1)＜xと
いう不等式を得るので、この不等式にx＝1－0.999…を代入して変形すると
0.999…＜1－1/10^(n＋1)＝0.99…999 (←9がn＋1個だけ並んでいる)となる。
つまり0.999…＜0.99…999 (←9がn＋1個だけ並んでいる)となる。矛盾。

242 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:17:41

オオウ…文脈から分かると思うが、訂正。
誤：このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10]x＞1である。
正：このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10](1/x)＞1である。

243 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:28:50

>>236にいっとくが、
ポインタ使わない言語とか浮動少数ユニットがない機械とか
使ってるんｳｼﾞだから勘弁してやれ。でも>>237をもっと潰してやれ

244 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:32:15

>>240にいっとくが、
ポインタ使わない言語とか浮動少数ユニットがない機械とか
使ってるんｳｼﾞだから勘弁してやれ。でも>>236 >>237をもっと潰してやれ

間違えた。>>236 >>237と共に逝ってくる。

245 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:40:02

>>228
＞1=0.9999…ならば
＞(int)(x+1) = (int)(x+0.9999…)
＞となるはずだが…
ダウト。1＝0.999…ならば1＋x＝x＋0.999…が成り立つ。しかし、だからといって、この式の
両辺にint演算子をつけてもイコールが保存されるとは限らない。つまりint(1＋x)＝int(x＋0.999…)が
成り立つとは限らない。それなのに勝手に「int(1＋x)＝int(x＋0.999…)となるはずだが」と宣言
しているのが間違い。

246 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 07:58:00

なあ、ふと思ったがなぜ、アプローチの違いででる解が二つに分離するかなぁ
1÷3×3=1と0.999…
素朴すぎる疑問だが、いや漠然すぎるか

247 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 08:12:20

そろそろこの論争も収集つかないんじゃない？

248 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 08:14:03

>>246
１÷３の結果が０．３３３…となるのは、単なる近似値とか言っている人がいたな。
つまり無限小数は分数を正確に表しきれないとか主張するわけだ。

無限小数はそもそも存在しない…なんて人もいるな。

249 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 08:27:22

うーん
なかなかグットといいたいがもう一つ良いかな？
ならば近似値を足しあわせて0.9999…になるわけだね
近い値を足しあわせるわけだから
0.9999…は正確な値ではないと？
ありゃ？なに言ってんだおりは？？

250 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 08:43:24

有理数を小数点で考えるのがそもそも大きな間違えか？と思ってみたり

251 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 09:01:05

>>250
そんなことを主張する人もいるだけのはなしで、フツーはどんな分数でも無限小数を
使うと表せるって考え、ついでに１＝０．９９９９…を認めるのがフツーだろうねえ。

252 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 09:28:35

>>246
小学校の算数の授業をもう一回やり直せ、というのも飽きたので、
少しまともに書き込むと、１÷３と０．３３３…は単なる表記の違い。
循環小数の表記を教わったときのことを思い出してみれば、
その違いが分かるはずだと思う。
１÷３は０．３３３…と表記してもいいけど、
０．３３３…は１÷３を意味しているとは言えない。

253 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 09:48:14

でも＝だけどな

254 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 10:02:50

>>253
循環小数は無限桁目も同じ値を持つという意味、
それに対して0.9999…は何も定義されてはいない。
小数0.9999…と[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]との、
大小関係を調べるとしたどうする？それでも＝だといえるのか？

255 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 12:00:49

>>254
日本語でおけ

256 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 12:04:00

X=0.999...
１０X=9.999...
９X=9
X=9
QED

257 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 14:15:28

＞小数0.9999…と[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]との大小関係を

またアホが湧いたよ・・・

258 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 14:27:28

A1 = [0, 0.9] 、
A2 = [0, 0.99] 、
A3 = [0, 0.999] 、･･･、
Ａ = ∪{n=1,2,3,…}An　とおくと、
Ａ = [0, 1)
である。
0.999…　∈ A

259 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 14:34:17

B1 = [0.1, 1] 、
B2 = [0.01, 1] 、
B3 = [0.001, 1] 、
･･･、
B = ∪{n=1,2,3,…}Bn　とおくと、
B = (0, 1]
である。
！（　0 ∈ B ）

260 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 14:59:08

>>252
そこまで単純な事は聞いてないが？
みてくれの話はいいとして
1+1=2になるこんな漠然としたものを証明した数学者もいる。それを解くほどの高度な解答をもらいたかったのだが…

261 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:19:27

ところでだ余談なのだが
1/2 + 1/2/2 + 1/2//2/2 + 1/2/2/2 + …
この無限の演算の解も0.9999…だが
これは数学の世界じゃこの結果は1にはならないって、やつがあるがこれは？

262 ：261：2006/08/19(土) 15:22:02

間違えた
ところでだ余談なのだが
1/2 + 1/2/2(1/4) + 1/2/2/2(1/8) + 1/2/2/2/2(1/16) + …
この無限の演算の解も0.9999…だが
これは数学の世界じゃこの結果は1にはならないって、やつがあるがこれは？

263 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:34:48

264 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:37:50

>>260
1+1=2の証明ってなにを示してんの？

265 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:42:03

まあ、議論対象外だが1+1が2になる証明だ。随分前に見たものだから詳細不明
数の悪魔って本にのってたかも

266 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:47:34

単純に定義に帰って示すってことさ。
ペアノの公理使って。
たとえば自然数の組〈Ｎ、ｆ、0〉に対して
1+0＝1
1＋1＝ｆ(1)＝2みたいな感じで。

関係ないがたぶん1＝0、999…とかの問題で悩んでる人は「定義」という言葉の意味を理解できてないと思われる。

267 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:49:59

誰か>>262の問題答えてくれ

268 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:54:20

>>267
2進数か10進数かの違いだ。気にすんな。

269 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 15:59:18

1=0.9999…ならば
0.9999…は正数？
1は少数？

270 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 16:51:19

たった1日で>>197が乱れ打ちだな。

271 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 16:54:24

>>270お前もなｗ

272 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 17:20:56

>>270-271
人の批判ばかりやったって始まらないぞ？

273 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 17:53:38

そもそも、1=0.9999…と1≠0.9999…の議論を一つに絞るのが無理じゃ？答えは一つとは限らないのでは？
この問題は数式上の問題であって物理的には全くもって無意味だし

274 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 18:34:01

ペアノの公理で、
２の定義は
１＋１そのものだろう。

275 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 20:57:19

>>274違います。
ペアノの公理で自然数の組<Ｎ、ｆ、0>を定義したあとに加法を導入しています。

276 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 21:05:45

それはおいておけ

277 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 22:01:13

>>275
ペアノ算術ならそうじゃないよ

278 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 02:35:41

>>257
無限遠で交わる平行線って知ってる？

279 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 04:05:59

有限超実数に無限桁目という概念がうまく構成できたとすると、x＝0.a1a2a3…aω∈galaxy(0)に
対してst(x)＝ 0.a1a2a3…∈R(無限桁目を無視する)となる。このとき、xとst(x)はどちらが
大きいのか。>>254にとっては、
・小数0.9999…∈R
・[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]∈galaxy(0)
こんな感じなのだろう。x＝[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]，y＝小数0.9999…とおくと、
R⊂galaxy(0)⊂R^*であるから、(R^*が順序体なので)xとyには大小関係が定義できるはず。で、実際
どっちが大きいのかと。まあ、st(x)＝yだからx＝y＋ε (εは無限小)となり、x，yの形からε≧0
なのでx≧yとなるのだが、そもそも超実数を無限小数展開できるのかは知らない。

280 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 15:31:25

yの定義が(無限桁目に触れてないので)いまいちだが、
st(y)=x とすれば、x=y

281 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 17:25:01

>>279
『小数0.9999…』を実数だと決め付けていないか？
この形で実数だとすると、それは循環小数でしかありえないのでは？

282 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 18:42:23

実数とは複素数でない数

283 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 18:53:31

そんなことを言うと、ちょー実数もフツーの実数として扱えと言う輩が…

284 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 20:04:28

１．0＜ｘ≦1に於いて、少数点以下の無限桁目がどのような値をとろうとも、
　　小数点以下の有限桁目の各桁の値が９である小数は、循環小数である。

２．自然数ｎは無限大という値はとらないが、ｎの個数は無限である。

上記１．２．の設問は真であろうか?
設問１．の表現はおかしいので、書き換えてみると、
0＜ｘ≦1に於いて、少数点以下のｎ(ｎは自然数)桁目の値が９である小数は、
循環小数である。

書き込んでみると、馬鹿な書き込みだと気が付くが、
今までこんな考え方をしたことがなかったので、
記念書きこします。（突っ込まないでね。）

285 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 23:44:01

ちょっとした疑問だが
1に無限に近いく、1より小さい数ってどんな数？

286 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:12:06

「そういう数は無い」でいいと思う。
これも「近い」「小さい」の定義によるね。

287 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:25:12

調べてみたが、微積分を使ったやり方と、超準解析での数の方法で
随分と違うみたいだな
1=0.9999…(微積分)>>286の考え
1≠0.9999…(超準解析)>>285の考え
で分かれるらしい。
超準解析はあまり知らないので調べて見る必要が出てきたわ

今日、知った分だから概要は知らんが
微積分では、0に限りなく近い数に関しては放置だが
超準解析は、0に近い数に関して定義が行われているようだ。
なんにしろ興味あるなｗ

288 ：>>287：2006/08/21(月) 00:39:51

追加情報
ちなみに超準解析では
1/3=0.3333…*3=1らしい。0.9999…にはならないからな？
ここで、超準解析では0.9999…は1に限りなく近い数字ということになるのかな？
四則演算すら、再定義されてるわ(ワラ

ここは、両者、微積分の考え方か、超準解析の考え方かの違いなのでは？

289 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:57:32

別に超準解析なら1≠0.999…と言うわけじゃないでしょ。
ただ、超準モデルでは「実数」と言ってもスタンダードな実数と超実数があるし
「自然数」の中にもスタンダードな自然数と超自然数があるから、
解釈の違いで結論が変わってくるという議論がしやすいってのがあるけど。

290 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 01:33:27

じゃあ、すべてこの問題は解釈の違いで解決って事になるじゃん
(´・ω・)＜好きな方をお取りくださ～い

291 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 01:35:26

>>290
そうなんだけどそういう解釈とか定義とか公理とかそういうのを超越した
真実があるんじゃないか、と思っている人が多いんですよ。

292 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 01:36:08

X=0.999...
１０X=9.999...
９X=9
X=1
QED

293 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 01:47:14

0に限りなく近い数は存在するのか？
1 存在しません(微積)
2 1個存在します(何だっけ)
3 無限に存在します(超準解析)
と、訳わからん複数の回答があるが全て違う論理のもとにある。
コレと一緒で解釈の違いで0.9999…を1とするか、1以下とするかになるんじゃねぇか？

294 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 01:58:19

まあそうじゃなくても、10進小数展開表現全体みたいなものを考える
（これを、極限が一致するという同値関係で割ったものが通常の実数）
ってのもありだよな。大小は辞書的順序で考えて。こっちのほうが
より直観的かな。問題は演算がうまく定義できない事だが。

295 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 02:12:19

今日は結構穏やかに進んでんじゃねぇか？相手を愚弄する批判のしあいもないし
ちったぁマシな議論になってきたな

296 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 02:39:16

まとめ

微積
0.9999…は無限の演算のもとでその数とと1の差は0となり、その数は1となる。
0に限りなく近く0ではない数は存在しない定義が原因

超準解析
0.9999…は無限の演算を行えども1に近づく一方で1に到達することはなくその数は1とはならない
0に限りなく近く0でない数は存在する定義が原因

と大ざっぱにまとめてみたが
無限小の解き方の違いなのでは？
お互いに部があるのは否めないのは事実

297 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 02:57:37

超準解析では普通に0.999……=1だと何度言ったらわかるのかと

298 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 03:11:43

バカがでたよ

299 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 03:20:55

無限小の定義の違いだって言ってるだ
1に限りなく近く1以下の数は存在するか？
1.有理数あるいは実数だけ考えれば存在しない
2.超準解析のような実数の拡大体を考えるなら、無限個存在する
その数は紛れもなく0.9999…だが？

300 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 03:27:17

ああ、ちなみに1というのは超実数ね

301 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 04:08:59

x = 1として
(x - ε) ≠ x
εは無限大Lの逆数
ε = 1/L

302 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 04:22:03

それで？

303 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 04:37:24

>>302それで？てっ何？
随分と脱力だねぇ

304 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 05:37:46

>>303
>>301にはごく当たり前の事実が書かれているに過ぎず、何が言いたいのか分からない。誰だって、

1＋1＝2

と書かれていたら「それで？何が言いたいのだ？」と思うだろう。>>301はこれと同レベル。

305 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 10:22:08

数セミ増刊で0.999…=1は超準解析でも成立と書いた人の気持ちがわかるな

306 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 11:59:19

>>301
あれだろ1に限りなく近く1以下の数について書いてある
超準解析に関するの式だろうよ

307 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 18:49:06

　A
(｀θ´)ﾑｽﾞｶｼｲｯﾋﾟｰ

308 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 18:56:02

ちと、思ったが(x - ε) ≠ x >>301が成り立つのであれば
1 - εをすると桁落ちして0.9999…になるんじゃ？

309 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 19:13:45

>>308
その考え方の場合、1－ε/2(≠1－ε)もまた0.999…と表されることになり、
0.999…が表す(超)実数は一意に定まらない。

310 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 19:47:59

(1 - ε)から
(1 - ε/2)
(1 - ε/3)
…
(1 - ε/L)
これが1に限りなく近く1以下の数は無限に存在するという超準解析から引っ張ってきたやつだが
何にしろ
桁落ちするんじゃないのか？

311 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 19:57:39

>>310
まずは「限りなく近く」の定義を書いてくれ。次に
＞これが1に限りなく近く1以下の数は無限に存在するという
ここは全然日本語になってないから、書き直してくれ。

312 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 20:21:17

スレタイの0.9999…と>>308の言う0.9999…が同じなのかどうかを、
まず説明しろよ。
イヤ、スレタイの0.9999…は何であるか規定してないから、
議論になるのであって、それだからおもしろいのであって、
0.9999…＝１と主張していた連中の方の、
0.9999…がどんな物であるか定義させなきゃいけないな。

313 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 20:27:57

逆だろう

314 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 20:47:28

>0.9999…＝１と主張していた連中の方の、

嫌と言うほど書いてあるだろう。

315 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 20:56:17

超準解析で 0.999… を扱う場合、…と続く「桁」が何なのかが問題になる。
無限大である超自然数の桁数まで続くのか、
それともスタンダードな自然数だけなのか。
超自然数すべての桁で考えれば 0.999…=1 だし、
そうじゃなければ 0.999…≠1。

316 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:05:57

超準解析じゃ
1/3=x*3は0.9999…にはならない解は1だ
よく、皆がやってる
1/3=0.333…*3=0.999…は確かに超準解析では途中の課程で0.999…にはなるがなでも最終的には1になるし

317 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:10:25

>>314
何処に書いてある？
循環小数と書けば済むことを、級数を持ち出してみたり、
見苦しいだけだったろ。

318 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:13:20

どのような条件か書かなかったのがそもそもの間違えだったか
1=0.999…とスレッド名に漠然と書かれちゃなぁー

319 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:16:29

>>315
が書いたのが最終的な答えか

320 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:30:57

＞超自然数
プッ！ＡＡなし

321 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:31:07

>>315も間違いだろう。

322 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:53:16

>>321
どこが間違い？

323 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:57:30

>>321
流れ嫁

324 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 21:59:57

>>317
何も分かっていない。循環小数の定義にはRにおけるユークリッド距離に
関する極限の概念が使われている。これは級数による表現と全く同等。
見苦しいとか言ってる時点でオワットル。実数論の勉強し直して来い。

325 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 22:12:55

で、結局どっちなんだ？
1.1=0.9999…
2.1!=0.9999…
3.超自然数かスタンダードな自然数かによってかわる

326 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 22:13:20

>>317
君レベル低すぎ

327 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 22:18:07

どっちにもできるけど超準解析使って変わるわけじゃないってことだろ。で、今井みたいに変な実数でも許容できる我慢強いやつ以外にとっては≠はありえないと。

328 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 22:25:20

どっちでも良かったなんてちょっと拍子抜けだよ
固定概念に縛られ両方の可能性を検討することを拒否したのは良いことではなかったな

329 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:05:22

>>324
このスレでそれを言うなら、その証明をするべきだろ。
えらそうな書き込みは証明してからにしてくれ。

330 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:07:23

証明っておい・・・

331 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:13:41

循環小数の定義って結構難しいよね。直観的には筆算で割り算して
「あー、ここから循環しとる」とか思えばいいだけだけど。

332 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:15:10

>>329は放置に限る

333 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:22:42

>>329
本当に何も分かってないんだな、オマエ。Rにおけるユークリッド距離に関する
極限の概念が循環小数に使われているのは「定理」ではなくて「　定　義　」
なので、証明は必要ない。証明が必要なのは「定理」であって「定義」ではない。
もう一度忠告してやるからよく聞きなボウヤ。

　実　数　論　の　勉　強　し　直　し　て　来　い　。

334 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:32:30

ところでみんなは超自然数とスタンダードな自然数の違いにより
1=0.9999…ともなり
1≠0.9999…ともなるに関して納得いったか？

335 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 23:58:23

だからならないんだろ？

336 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 00:08:34

びみょう

337 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 00:32:17

割り込みすまん。

>>333
は？なんで、循環小数の定義に必ず極限の概念入れなきゃいかんの？

338 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 00:42:08

>>337

不毛な議論はやめなさいよ。どんなものだって
「オレ定義」を考えればどうにだって定義できる。
例えば整数3つのペア(x,y,z)として

xは整数部
yは小数点以下、循環が始まるまでの部分
zは循環節

とかすれば、「循環小数」を表せる。たとえば、0.1666…なら(0,1,6)だな。
こんな風に定義すればもちろん極限とか使わなくてもいいし、頑張れば演算
の定義もできようし、それで有理数との対応もつけられるだろう。

しかし、こんな風に循環小数だけ特別視してどうするよ。

339 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 00:54:43

なんか議論する内容がずれてきてんぞ？

340 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 03:31:15

無限大の定義より
∃∞∀a(a∈R=>∞>a)
aは無限大より小さく
∞*a = ∞+a = ∞-a = ∞/a
などの式も成り立つ訳だ
この無限大をLとしそのLの逆数
1/L = ε
により無限小が定義されている(超準解析)
これにより
(X - ε) ≠ X
1 - ε ≠ 1になる
1からεを引くと桁落ちして0.9999…とはなるが
一方
1/3=0.3333…*3=0.9999…ともなるが
超準解析でこの二つの記述がことなる
って事で
このスレタイではどちらとは書いてないないんで
それが問題なんじゃ？
超自然数かスタンダードな自然数かってレベル

341 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 03:38:30

よし
こうするぞ
今、俺が定義する
一般庶民の俺が定義してやる
かなり意味無いが

定義：有理数は循環小数に直すことができる
例）1→0.999…
　　10→9.999…
　　100→99.999…
　　999→998.999…

うん、俺の中だけで全てがまとまったぜ・・・

342 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 03:44:40

1≧0.9999…
これでよしと(笑)
これでスタンな自然数と超自然数どちらも対応できる
(ネタなんでスルーしてください)

343 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 04:11:15

>>341
なんか文章間違ってるよ～
循環小数が有理数だってばぁ～整数と書くべきだったな。まあ言いたい事は分かるけど

344 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 07:26:39

超自然数使っても＝が≠に変わるわけないことがわかってないのがまだいるね。

345 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 07:27:03

0.9999…＝st（0.9999…）＋ｒ＝0.9999…＋ｒ
または
0.9999…＝st（0.9999…）ーｒ＝１－ｒ
0.9999…が超実数だとしたとき、標準部は何かって話だけど、
前者だとするとｒ＝０、後者だとするとｒ＝不定。
よって、0.9999…は超実数ではない。

突っ込んでくれていいよ。
何も解ってないから、レス出来ないのは勘弁して。

346 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 07:55:44

1-ε≠1か
1-ε=1と考えるかの違いだろ
つまりだ
無限小εを
ε=0と考えるか
ε≠0と考えるかで
1=0.9999…と考えるか
1≠0.9999…と考えるかで大きく違いがでてくるだけの話だろうが
しかし、無限大の逆数εが0にしてしまうと∞=0になってしまうから矛盾が生じるがな

347 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 08:13:19

次の主張が正しいか否か答えよ。なお、εは正の無限小とする。
(1)1－ε(≠1)を無限小数展開すると1－ε＝0.999…である。
(2)(1)と同じεに対して、1－ε/2(≠1)を無限小数展開すると1－ε/2＝0.999…である。

348 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 08:15:38

>>340
εを正の無限小超実数とすると、
10^(-m)＜εとなる無限大超自然数 M が存在する。
よって、1-ε＜1-10^(-M)
1-10^(-M) は0.999…9（小数第M桁で止まる）と見なせるので
0.999…がM桁より先に続くのなら、1-ε＜0.999…となる。

ただし、スタンダードな自然数ではこのようなMには到達する事が出来ない。
これが「超自然数かスタンダードな自然数か」って事。

>>344
普通に超自然数を使えば＝だけど、特殊な解釈を採用すれば≠にもなり得るって事でしょ。

実数体Rの超冪モデルで考えるならば、
〈 0.9, 0.99, … 0.99…9, … 〉を代表元とする同値類が「0.999…」である、ってのが
そういう解釈の一例になるんじゃないかな。

>>345
標準部は１じゃない？

349 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 08:19:39

>>348訂正
×10^(-m)＜ε
○10^(-M)＜ε

ちなみに、超準解析における正の無限大超実数 L というのは
任意のスタンダードな実数 a に対して a＜L だけど、
四則演算については普通の実数と同様の式が成立する。
つまり、a≠0 なら L+a≠L-a になる。
∞*a = ∞+a = ∞-a = ∞/a となるような∞とは別物。

350 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 10:08:51

実数で成り立つ定理が超実数で解釈した実数の定理として成り立たなくなることはありえないでしょ？保存的拡大なんだから。

351 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 10:09:37

荒れてんなぁ
で、答えは出たんかい？

352 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 10:45:40

結局、超実数、無限大超自然数を持ち出しても、どうにでもなるって事か。

無限大超自然数で考えても、超超無限小が出てきて
無限大超超自然数の和をとる必要が出てきて、
そうすると超超超無限小が出てきて・・・

意味ないじゃん。

353 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 11:13:04

そもそも超準解析を使って0.999……≠1ならば、普通の実数として0.999……≠1というわけか。
超準解析をわざわざ使う意味はない罠。

354 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 12:07:27

厳密にいやー、特殊な条件下におき1≠0.9999…でもあることができるってやつだ
でも、あながち凡人の考え方も深く考えれば間違えでないって事
しかしながら条件によっては1=0.9999…でもあるからな

355 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 12:40:59

ちなみに１の(左)隣の数って取り出す事できるの？
選択公理使ってもいいからさ。

もし取り出す事ができたとしてPとすると
P≠1　で　1-P=ε と置くと
ε=0となり　P=1 になるじゃんね。

こういうのって変じゃないの？
それとも実数ってこういうものなの？

356 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 13:53:07

１の左の数なんて普通はないから無問題。
ある時は四則が自由に出来ないから無問題。

357 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 14:33:29

>>355
なぜそこから「1の隣の実数は存在しない」に結論がいかないのか

358 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 14:57:25

>>357
連続なはずの実数に穴があいてるって事？？？？

実数は順序付けされた集合で　「1の隣の実数」　というのは
別に問題ないと思うんだけど、、、
連続なんだから存在しないとマズイでしょ？

359 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 15:03:28

存在するとマズイというのが普通。

360 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 15:24:57

存在するとマズイのは>>355で示されている

361 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 15:30:40

存在するが決定できないとかそういう類ならすんなり納得するんか？

362 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 15:33:14

>>361
こっちのほうが好き♪

363 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 18:37:58

また、同じ事の繰り返しか？
無限の逆数εが0だったら
∞=0になるから矛盾だろ？

364 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 18:41:03

もう一度無限の定義貼り
∃∞∀a(a∈R=>∞>a)

365 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 18:44:56

訂正>>363-364
×無限
○無限大

366 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 18:53:53

>>358
まずは「隣の実数」の厳密な定義を書いてくれ。

367 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:05:48

結局は定義によってどちらにもなるってことで結論できてる気がするんだが。
まともな証明がないしね。
つまりこれを定義してしまうのが一番なんだが定義できる人がいない。
そこで現代の数学者で話し合って定義するのが一番じゃないかと思う。
自然数は1の次は2と定義してるみたいに。
そうすれば丸く収まる。

368 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:15:50

…ふつうの実数使ってる限り=の方。

369 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:23:13

>>364より
無限大をLとおき
その逆数1/L=εを無限小とし
Xの隣の数は
(X - ε) ≠ X
このような実数の拡大体を使えばXの隣の数は無限個数定義出来るわけ(超準解析)
なんにしろ
1 - (ε≠0)は桁落ちして
1 - (ε≠0) = 0.9999…となるわけ
だから
1 - (ε≠0) = 0.9999… ≠ 1

370 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:23:16

>>366
G=[0,1)⊂R
「1の左隣の実数」=g(∈Ｇ)とすると
∀a∈Ｇ、 a≠g → a < g

371 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:31:35

>>369
>>347の問題解いてみ。

372 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:31:46

ちなみに
1/3=0.3333…*3=0.9999…にもなるが
1=0.9999…≠1-(ε≠0)だからな。
まあ、強いて言うなら解釈の違いだ
なので
1=0.9999…
1≠0.9999…
どちらでもおk

373 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 19:34:47

よく読めボケ
>>364
a≠0ならば
∞/a=∞

374 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 20:00:41

>>372
＞1/3=0.3333…*3=0.9999…
一回ぐらい書き込むのならご愛敬で許すが、
何回も書き込むのはやめれ。読まされるこっちの方が恥ずかしいわ。
それじゃ、1/3=0.9999…じゃないか。

375 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 20:27:55

条件で変わるから
1=0.9999…でも
1≠0.9999…でも
お好きな方をお選びください

376 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 20:58:52

>>372
なんでもイコールで繋げて右に右に書いていく
数式習いたての中学生かよｗ

377 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 20:59:38

>>371
＞>>347の問題解いてみ。
>>347は設問なのか？
0.999…になんの定義もなければ、それで良いのではないのか？（設問にはなっていない。）
0.999…がもっとも１に近い超実数としたときには、εが定まらない為に、
そのような数は存在しないと言えるかも知れないがな。

378 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 21:33:47

>>371
君は>>369で
＞1 - (ε≠0) = 0.9999… ≠ 1
と書いているが、このとき1－(ε≠0)/2はどう表されるの？これもまた桁落ちして
1－(ε≠0)/2＝0.999… となるのか？もしそうなら、1－(ε≠0)≠1－(ε≠0)/2だから
0.999…≠0.999…となって矛盾するぞ。

ちなみに、
＞0.999…がもっとも１に近い超実数としたときには、εが定まらない為に、
「もっとも1に近い」という概念の定義次第で、εは定まったり定まらなかったりする。
「超実数xが超実数yに最も近い」ことを
(1)任意の正の実数δに対して｜x－y｜＜δ
と定義すると、εは一意に定まらない。
(2)任意の正の超実数δに対して｜x－y｜＜δ
と定義すると、εは一意に定まり、ε＝0となる。つまり0.999…＝1となる。

379 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 21:52:28

>>358
＞連続なんだから存在しないとマズイでしょ？
連続なんだから？存在しないとマズイ？本当か？実数の連続性から、「隣の実数は存在する」
という主張が証明できるのか？もし証明できるのであれば、確かに「存在しないとマズイ」
ことになるが、証明できないのであれば、「存在しないとマズイ」というのは単なる思い込みに
すぎない。「連続性」という言葉から連想されるイメージと、実際の「実数の連続性」の定義の
ギャップを混同しているに過ぎない。

>>370
「1の左隣の実数」がそのように定義されているのであれば、「1の左隣の実数」は存在しない。

380 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 21:57:37

>>378
＞0.999…≠0.999…となって矛盾する
矛盾なんかしないよ、0.999…はどんな数だか定義されていないんだからね。
＞εは一意に定まり、ε＝0となる。
？？？？？？？？？？？？？？
δはどっから現れたんだ？
超準解析にδ-εが現れるとは思わなかった。
あーッ、びっくりした。

381 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:02:48

>>380
＞矛盾なんかしないよ、0.999…はどんな数だか定義されていないんだからね。
定義もしないで使いまわしていたのか？ならば、まずは君の考える
「0.999…という数」の定義を書いてくれ。

＞δはどっから現れたんだ？
xとyの誤差を評価するために現れたのだが、君には理解できなかったかな？
で、「もっとも1に近い」という概念の定義次第で、εが定まったり
定まらなかったりすることは理解できたかな？

382 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:03:48

なんか変だね。
誤：「もっとも1に近い」という概念の定義次第で、
正：「もっとも近い」という概念の定義次第で、

383 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:19:02

>>381
俺は今まで0.999…＝１派に対して明確な定義をしろと行ってきた立ち場ので、
俺がする必要がないと思っている。
数学ではこんな0.999…の表現は認めては居ない。
超準解析を議論しているときに、急に誤差を出してくる神経には呆れるが、
数学において証明というのは、どのような手順を踏まなければいけないのか
が全然分かっていないのではないか？

384 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:23:32

×：数学ではこんな0.999…の表現は認めては居ない。
○：数学ではこんな0.999…と言うような表現がなにを表すかは認めては居ない。

385 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:30:16

>>383
＞俺は今まで0.999…＝１派に対して明確な定義をしろと行ってきた立ち場ので、
君は君で「0.999…≠1」を主張していなかったか？もし主張するのであれば、
君もまた明確な定義をすべきだろう。ちなみに俺は0.999…＝1派なので、
これを明確に定義しろと要求するなら定義するよ。実数における、無限小数
0.a1a2a3…の定義はコレ。
0.a1a2a3…：＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]i/10^i
この定義のもと、0.999…＝1となる。なお、超実数における無限小数の定義は
知らない。そもそも、無限小数展開が出来るのか知らない。

＞超準解析を議論しているときに、急に誤差を出してくる神経には呆れるが、
ワロスｗ君が何を言ったか覚えていないのかね？君は「もっとも近い」という
言葉を口にしたのだよ。では、x，yを超実数とするとき、「xはyに最も近い」とは
どういうことかね？xがyにどのくらい近いかを調べるには、⊿＝｜x－y｜とおき、
この⊿がどのくらいの大きさを持っているのかを調べるしかないだろう。違うかね？
これ以外に方法があるかね？「近さ」の概念は「誤差」の概念と同等なのだよ。初めに
近さの概念＝誤差の概念を出してきたのは君の方。従って、誤差の概念を初めに出して
きたのは君の方。あきれるね。自分が何を言ってるのかも分からないんだね。

386 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:32:21

んー？aが抜けてるなあ。
誤：0.a1a2a3…：＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]i/10^i
正：0.a1a2a3…：＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i
あと、分かると思うけど、「：」という記号は「左辺の記号列を右辺の記号列で定義する」という意味ね。

387 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:32:27

>○：数学ではこんな0.999…と言うような表現がなにを表すかは認めては居ない。

せめてまともな日本語を

388 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:46:35

＞数学において証明というのは、どのような手順を踏まなければ
いけないのかが全然分かっていないのではないか？
まさに君のことだね。いいか？君はね、「もっとも近い」という、岩波の数学辞典にも載っていない
”オレ用語”を何の定義も無しに口にしたわけよ。それに対してこちらが、「もっとも近いって何よ？定義次第で
εは決まったり決まらなかったりするぞ」と注意したわけ。すると君は「超準解析に誤差か。あきれる」と言って
きたわけだが、「超準解析に誤差を持ち出した」のは君の方だよ。「近い」という概念は「誤差」の概念無しには
記述できない。つまり、「近い」という概念は「誤差」の概念を含んでいる。xがyにどれだけ近いかを見るには、
⊿＝｜x－y｜がどれだけの大きさを持っているか調べるしかないからだ。従って、「もっとも近い」という言葉を
口にし、「近い」という概念(これは「誤差」の概念を含んでいる)を持ち出した君の方が、超準解析に誤差を持ち
出したわけよ。分かるかな？

389 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:47:10

＞○：数学ではこんな0.999…と言うような表現がなにを表すかは認めては居ない。
悪かったな、少し晩酌がすぎて、意味不明になってる。
数学では『0.999…』がなにを表すかは定義されていない。
これで良いか？

390 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:50:23

>>388
近いが誤差であるとしたのは勝手な決めつけでは？
近いが定義されていないと言うならば、
そのように書けば良いだけでは？

391 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 22:58:13

>>389
＞数学では『0.999…』がなにを表すかは定義されていない。
0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i
0.999…＝1
ちゃんと、何を表すか定義されている(Rにおいて)。

392 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:13:45

>>379
存在しないとマズイというのは思い込みかもしれない。

＞「1の左隣の実数」がそのように定義されているのであれば、「1の左隣の実数」は存在しない。

たぶんこれはg=1となって矛盾するから存在しない、という事だと思うんだけど、
一方で、極限の時は＝１としている。
「1の左隣の実数」は存在しない、存在すると>355のような矛盾が生ずるから・・・
というのであれば、極限値は存在しない、と主張するべきだと思う。

393 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:17:07

>>392
＞極限値は存在しない、と主張するべきだと思う。
なぜ？「隣の実数」が存在しないならば、「極限値」もまた存在しないことが証明
できるの？もし証明できるのであれば、確かに「極限値は存在しない」と主張できるが、
証明できないのであれば、「極限値は存在しない」というのは単なる思い込みに
過ぎなかったということになる。「隣の実数」という概念と、「極限値」という
概念のギャップを混同しているに過ぎないということになる。

394 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:21:00

バカがエスカレートしていくな。
引っ込みつかなくなったのはわかるが、せめて素面で書け。
大差ないかもしれんがｗ

395 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:28:43

>>391
それを定義されているというのは、拡大解釈では？
0.999…を循環小数であるというのは言い過ぎではないのか？
0.999…が0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i と、
表現して良いとどこで決め付けられる？
独断と偏見ではないのか？

396 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:36:37

>>395
＞0.999…が0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i と、表現して良いとどこで決め付けられる？
そんなところから説明してやらなければならんのか？
オイ、この(1文字の)記号列が読めるか？

犬

↑これ。この記号列が読めるか？この文字は「イヌ」と読むよな。
そしてこの記号列は、ワンと鳴く、あの動物のイヌを表しているよな。
では、なぜ、この記号列はイヌと読むのか？なぜ、動物のイヌを
表すのか？この記号列をイヌと読んで良いと、
どこで決め付けられる？この記号列が動物の
イヌを表すと、どこで決め付けられる？答えは簡単だ。

もともと人間が、「犬」という記号列に、強引に「動物のイヌを
表す」と決め付けた(これが「定義する」ということ)。そして強引に、
この記号列を「イヌ」と発音すると決め付けた

ということだ。この作業(定義という作業)に独断も偏見も無い。
0.a1a2a3…という記号列に関する定義もまた同じこと。

397 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:37:31

>>393
G=[0,1)⊂R
「1の左隣の実数」=g(∈Ｇ)とすると
∀a∈Ｇ、 a≠g → a < g

ここでgを求めようとした時には、gは存在しない、(存在すると矛盾するから)
という事で、(1-1/10^n)[n→∞]を求める時は＝１にしている。
∀n∈Ｎ、(1-1/10^n)≠0 だから
どちらも同じ数になると思うんだけど、一方は矛盾するから却下でもう一方は＝１というのは、
御都合主義的な気がしている。

398 ：１３２人目の素数さん：2006/08/22(火) 23:44:35

>>397
一方(隣の実数)が矛盾するのは、実数という体系にそぐわない無理な概念を押し込めようとしたから
であり、もう一方(極限値)が矛盾しないのは、実数という体系に合った概念を押し込んでいるから。
両者は似た概念であるが、あくまでも「似ている」と感じるだけで、数学的には全く異なった概念である。
片方の概念(極限値)に矛盾がおきないからといって、それと「似ている」概念(隣の実数)でもまた矛盾が
起きないとは言えない。君のように、「似通った概念どうしは、全て通用する」と考えようとすること
こそがご都合主義。

399 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:04:48

>>396
そう、まさしくそういうことなんだけど。

400 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:05:53

オットーッ、釣られてるのかな？

401 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:12:14

そもそも1/3*3を小数点で計算するかねぇ分数計算でいいじゃん
分数計算じゃ0.9999…は発生し得ない数だし

402 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:14:12

>>401
世の中には電卓ってものがあってさ。小数もそれなりに馴染みのあるものなんですよ。

403 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:22:24

いい電卓は内部は分数で計算するから
1/3*3=1ってでてくるし
無限に桁がでるのは無理数で十分だ

404 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 00:24:16

普通の家庭にある普通の電卓が全部「いい電卓」だったらいいけどね。

405 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 12:53:56

普通の電卓は計算出来なかった桁を切り捨てたり、四捨五入したり、切り上げたりするから正確な計算でないな

406 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 14:10:01

そもそも、
1/3　“≒”　0.333333333333333･･･なわけであって、両辺に3を掛けたところで
1　“≒”　0.99999999999･･･
でしかない。

また、0.99999999999･･･と1の間に数が存在する必要はない。

407 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 14:16:46

＞また、0.99999999999･･･と1の間に数が存在する必要はない。
0.999…＜1ならば自動的に存在してしまう。x＝(1＋0.999…)/2とおけば0.999…＜x＜1となる。
このxを無限小数展開するとx＝0.999…となり矛盾。

408 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 14:44:56

ほかの有理数は理はあるが
0.9999…の有理数の存在する事がおかしくないか？

409 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 15:08:32

・0.999…＝1
・1は有理数
従って、0.999…は有理数。何もおかしくない。

410 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 18:30:35

濃度の違いじゃね？

411 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 18:55:22

有理数の範囲で等しいんだし、濃度は関係無い。

412 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 19:37:08

＞・0.999…＝1
9が少数以下各桁毎に無限に続くことを条件に、上記の式は成立している。
これは超準解析であろうと成り立つ。これが正解だな。
チュウー事はだ、δーεを使わなくても0.999…（9が無限に続く）＝1であることを、
証明できると言うことだな。
俺には出来ん、誰かやってくれ。

413 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 19:42:26

>>412
超準解析においても無限小数展開は定義されるのか？実数の範囲なら
0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^iと定義すればよい。これ
以外にも方法はあるが、どの方法も本質的に実数の完備性を使う。
しかし、超実数は完備ではない(だからと言って、定義できないとは
言えないが)。

414 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 21:15:40

>>413
超準解析でも級数の極限で定義できるでしょ。
ただし、Σ[i＝1～n]のnの部分が無限大超自然数になっても大丈夫なように
Σの解釈を少し変えなくちゃならないけど。

普通の実数で成り立つ事は超準解析でも成り立つってのは確かだけど、
それは命題の字面が同じというだけであって
標準モデルと超準モデルでは別の解釈をしてるんだよね。
だから、「超準解析でも0.999…=1だよ」派は
超準解析における0.999…=1の解釈が何であるか示すべきだと思うな。

415 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 21:55:39

>>413
超準解析では循環小数は扱えません、なんて言うのも少し可笑しいでしょ。
もし、超実数も一意に定まる数値であるとする。
標準部＋ｒの標準部は何かと言う事と、ｒの性質を調べれば、
0.999…（９が無限に続く）の標準部が１だとすれば、
st（0.999…=）＋ｒ＝１－ｒとなる。
このときｒは題意よりｒ＝ｒ－０.９rとなり一意に定まらない。
∴0.999…（9は無限に続く）は超実数ではない。

416 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 22:13:22

>>414
級数の極限？超準解析における「極限」の定義は？超実数体は
完備では無いから、級数が極限値を持つとは限らないと思うが。

417 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 23:09:55

>>416
なんで完備じゃないと思うの？
超実数体も完備、つまり任意のコーシー列が収束するよ。
ただし、>>414にも書いたように標準モデルとは解釈は異なるけど。

418 ：１３２人目の素数さん：2006/08/23(水) 23:18:22

>>417
んー？超実数体は完備でないってのを見たことがあるのだが、
俺の見間違いかな？どんな解釈をするの？

419 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 00:18:22

>>418
コ－シ－列だったら、写像fを使って
f ：N→R ∀ε∈R ∃n∈N ( ∀i,j∈N n＜i,j → | f(i)-f(j) | ＜ε)
と書けるけど、超準モデルで解釈する場合は
Nは超自然数の集合、Rは超実数体と解釈する。
つまり、超準モデルでのコ－シ－列とは超自然数から超実数への写像で、
しかも、その写像は超準モデルの中に存在する必要がある。

この「超準モデルの中に存在する必要がある」ってのが曲者で、
例えば、スタンダードな自然数だけを集めた集合というのは
超準モデルの中にはない
（もちろん、普通の実数の世界ではスタンダードな自然数の集合は存在する）。
このような、中にない集合から構成した写像の場合は極限を持つとは限らない。
もしかしたら「完備じゃない」とはその事を指摘したのかもね。

420 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 00:31:12

>>419
うん、とりあえず俺が勉強不足だと分かったので、勉強することにする。

421 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 01:04:41

久々に記憶を思い起こしているおいらに教えてくれ。。。

トリビアルなことなのかもしれんが、＝がどのように定義するかで、答えが変わると考えていいんかな？

乱暴な言い方かもしれんが、ａ＝ａが成り立つ空間は前提とするなら、ａとｂの定義が異なるときに、ａ＝ｂをどのように定義するかのように見えるけどどうなんだろうか。

定義が同じもの以外は＝が成り立たない世界なら、１と0.99･･ば異なる
定義が違ってもａ，ｂの差が定義でき、その差が任意の分数より小さいことが成り立つなら＝と定義する世界なら１と０．９９･･･は＝になる。

・・・もはやこういうレベルは超越したところに議論がいっているなら、参考書でも読んできます。。。orz

422 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 01:20:01

おう、なんか訳の分からん所に行ってるようだのぅ
頭がついていかないから結果だけ教えて
ι(´～)~/
超準解析ならぬ物がでてきてるし…

423 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 12:51:52

「俺的まとめ」

0.999･･・は超準解析を使った場合、・・・の部分が自然数なのか、超自然数なのかで違いがでる。

超自然数とした場合、＝１となるが、これは実数で＝１と証明した手法と同様である。(自然数が超自然数に替わるだけ)
しかし、この手法を認めると、超超自然数とか超超実数とかを持ち出され、際限なくなり、あまり意味がない。
実数で＝１を証明すれば十分である。

問題は・・・の部分が自然数の時である。この場合0.999･･・は不定になってしまう。
(たぶん、スタンダード部分(実数部)に関してはst(0.999･･・)＝１が言えそうな気はする。)
0.999･･・の部分を級数として、どう定義するかで、値が変わってしまうような手法も存在するようだが、
あまりにも技巧的すぎて、このスレで議論すべき問題ではないように思われる。

こんな感じかな。

424 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 15:42:43

出来れば…テンプレ形式にして欲しい？

Ｑ８：「１≠０．９９９９…」となる数学モデルはあるのか？
Ａ８：超準解析を使って…　（云々）

とか…

425 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 17:48:53

結局それかいｗ
0.9999…定義の問題とな？
なんにしろ超準解析を使った1≠0.9999…モデルもテンプにする必要があるな

426 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 18:46:22

>>421
=の定義まで問題にすると論理の公理や言語は何かって事から
議論をしなくちゃならなくなるけど、もっと簡単に言えば
「1」や「0.999…」をただの記号列と見なすのか
ある条件を満たす体系（具体的にはアルキメデス順序体）の要素を
表したものと見なすかって事だよね。

記号列としては明らかに別物だから、＝だと納得できない人の気持ちも分かる。
はじめに数を習う時には、演算は記号列の操作として習うし
大小についても辞書式順序と区別しないで習っている。
実数論を勉強すると全体の集合にどんな構造が入っているかという観点から考えるのが
当たり前になるけど、そういう感覚のギャップが議論が紛糾する原因だろうね。

427 ：１３２人目の素数さん：2006/08/24(木) 23:56:27

1≠0.9999…を超準解析などを用いて説明しようとした皆さん
敵が多い中よくやってくれたよ
その心意気に感服だｂ

428 ：１３２人目の素数さん：2006/08/25(金) 00:06:05

>>427
過去スレで何度も何度もその試みはあったんだけど、いきなり初心者的書き込みが
あったり、感情的な書き込みがあったりして話が一向に深まらなかったんだよな。

書いている本人にしてみれば、素人的な直感で「≠」って断定しているって気持ちもあり
本人なりに反対していたの鴨。

429 ：１３２人目の素数さん：2006/08/25(金) 09:16:47

１に限りなく近い数
１－［ｘ→０］（１／f（１／ｘ））
超準解析以外だと、この場合はｘは０と言う値を取れたはず。
超準解析だと？

430 ：１３２人目の素数さん：2006/08/25(金) 17:50:39

>>429
無限大の逆数ε
εが0じゃ矛盾するしね

431 ：１３２人目の素数さん：2006/08/25(金) 19:27:30

１－［ｘ→０］（１／f（１／ｘ））
↑
かなり変な表現だな。
１－［ｘ→０］（１／f（ｘ）：［ｆ（ｘ）＝１／ｘ］）？
（この間に思考の飛躍がある。）
そう考えると、0.333…なんて言う表記も、0.999…なんて言う表記も、
数学的にはないで良いのかな？

432 ：１３２人目の素数さん：2006/08/26(土) 03:02:04

>>431
いや、ある。

433 ：１３２人目の素数さん：2006/08/26(土) 05:14:57

>>431
かなり微妙な表現だって事は否めないな
見た目、端切れ悪いしー

434 ：１３２人目の素数さん：2006/08/26(土) 21:05:30

まあ慣用的な表現だからな。

435 ：１３２人目の素数さん：2006/08/27(日) 14:21:09

実数列{an}(n∈N)全体の集合に超準フィルター云々(詳しい話は知らない)とかやると超実数ができるるんだよね？
じゃあ、実関数列{fn(x)}(n∈N)全体の集合に似たようなことすると超関数ができるの？

436 ：１３２人目の素数さん：2006/08/27(日) 17:25:29

それで？

437 ：１３２人目の素数さん：2006/08/27(日) 17:56:41

>>435
実数列全体の集合に超フィルター云々で出来るモデル（実数体Rの超冪モデル）で考えても、
実関数 f から自然に超実数関数 *f が定まってくる。

まあ、解析学を展開するには関数とか位相を扱う必要があるから、
超準解析では最初から、実数体Rの超冪モデルじゃなくて
実関数等を含んだもっと大きな集合で考えるのが一般的だけどね。

逆に、すごく小さなモデルについて超準モデルを作って
算術について新しい結果が得られたりもしてるようだ。

438 ：１３２人目の素数さん：2006/08/28(月) 13:34:23

数学のことがよく分かっていらっしゃる>>113様はまだ出て来ないのかお？(　＾ω＾)

439 ：１３２人目の素数さん：2006/08/28(月) 15:18:29

>>438
スレ嫁

440 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 17:45:41

846

441 ：１３２人目の素数さん：2006/09/02(土) 08:40:55

超準解析の世界は1=0.999…も1≠0.999…も両方あるな
この二つの0.999…はこんな感じになってるよ
0.999…＞0.999…
見た目一緒だけど別物だそうだ

442 ：１３２人目の素数さん：2006/09/02(土) 09:26:51

>>441
その不等式を見たとたんに、両辺の0.999…が何を意味するか解らないと、
超準解析を理解することは不可能とか？　マァ、ネタだけどね。
でも、（１＋0.999…）／２＝0.999…と考える人は、
有理数が無限に存在することの証明方法が、
論理的な矛盾をきたしていないかを、考察するべきだと思うね。

443 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 10:29:54

>有理数が無限に存在することの証明方法が、
＞論理的な矛盾をきたしていないかを、考察するべきだと思うね。
ﾊｧ？

444 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 13:56:45

>>442
まあ、極限に対する考え方に関して何か言いたかったんだろ？

445 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 14:32:07

そもそも
1/3=0.3333…*3=0.9999…の0.9999…は計算が中途半端に終わらせたからそうなるんだろ

446 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 18:43:20

↑（自分の名前覧に矢印してどうする？←一人ギャグ笑えねぇ。）
頼むから等号の意味を理解して書込んでくれ。

447 ：中卒止まり：2006/09/04(月) 21:00:41

まずこの書込は、このコテハンを見て下さい。ご了承下さい。

しかし、１と.99999･･････か。
その差１×１０＾∞っていうか１＾∞、詰まり無限小。
これをどう考えるかだ。∞以前に極限概念って言えば話は終わる。

しかしいい答えもあったな。
１も.99999･･････/すると.33333･･････同士、か。

でも「超準解析」なる分野では一概に言えないらしいね。
(超準解析の本格的な話の進行は>>421あたりから、と野次馬＜＝私＞は思う。)
無限小＝０とするか、無限小≠０とするか。

要は、追及必要性(許容誤差度？)に応じて、答え方が変わるんだね。

>>232、勝手に引用！
0に限りなく近い数は存在するのか？
1 存在しません(微積)
2 1個存在します(何だっけ)
3 無限に存在します(超準解析)
と、訳わからん複数の回答があるが全て違う論理のもとにある。
コレと一緒で解釈の違いで0.9999…を1とするか、1以下とするかになるんじゃねぇか？

ただ、.99999･･････は>>445の様に作られたもの、詰まり有理数であると断言できるものに限り、
此処までの書込では、どの分野でも「＝」と断言出来る、となっているね。

448 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 21:43:23

>>447
中卒は数学以前に日本語さえマトモに書けないことが分かった。

449 ：中卒止まり：2006/09/05(火) 00:13:43

>>447改訂
まずこの書込を読む前に、このコテハンを見て下さい。
ご了承下さい。

１と.99999･･････か。
その差１×１０＾∞っていうか１＾∞、詰まり無限小。
これをどう考えるかだ（そりゃあ、極限概念って言えば話は終わるけど)｡

しかしこのレスの中にはいい答えもあったな。
１も.99999･･････も、両者とも／３すると.33333･･････同士、か。

更に突っ込むと、「超準解析」なる分野では一概に言えないらしいね。
(超準解析の本格的な話の進行は>>421あたりから、と野次馬＜＝私＞は思う。)
無限小＝０とするか、無限小≠０とするか。

要は、追及必要性(許容誤差度？)に応じて、答え方が変わるんだね。

>>232、勝手に引用！
↓
0に限りなく近い数は存在するのか？
1 存在しません(微積)
2 1個存在します(何だっけ)
3 無限に存在します(超準解析)
と、訳わからん複数の回答があるが全て違う論理のもとにある。
コレと一緒で解釈の違いで0.9999…を1とするか、1以下とするかになるんじゃねぇか？

ただ、.99999･･････は>>445の様に作られたもの、詰まり有理数であると断言できるものに限り、
此処までの書込では、どの分野でも「＝」と断言出来る、となっているね。

450 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 00:23:52

やっぱ義務教育の間は数学より国語を勉強するべきだな。

451 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 01:49:50

超準解析での1=0.999…の0.999…っていう循環小数は演算を行う過程で出る数字で完全に演算していない状態の数なんだよ
演算を完全に完結すれば0.999…は桁上がりが発生して1になる>>445の考え方は案外あってるかも
よって超準解析でも1=0.999…ってのは証明されているわけだ
いろいろなサイトでやってっから参考にすべし
ただし超準解析には1≠0.999…の証明もあることをお忘れなく

452 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 07:58:49

0.999…=1ってのは納得できる。よーくわかる。寧ろ実数の範囲内では
0.999…≠1を証明するのは不可能だと言うこともこのスレを読んで分かってる。

でもそうなると[0.999…]=1だよな？これには納得できねえ。なぜだ

453 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 08:12:26

>>452
ガウス記号の定義から明らか。
[x]＝max{n∈Z｜n≦x}だから、[0.999…]＝max{n∈Z｜n≦0.999…＝1}＝1

454 ：１３２人目の素数さん：2006/09/06(水) 02:34:49

>>451参考の上
超準解析では演算を完結させると0.9999…は桁上がりが発生し1になるよって1=0.9999…になるのだが、0.9999…の循環小数でありながら桁上がり発生せずこれで演算が0.9999…の循環小数で完結してしまう数もまた存在する
超準解析には無限大の逆数により0に限りなく近く0より大きい無限小εが定義されている
このεは任意の数Xとはこの様な関係だといえるわけだ
X≠(X+ε)
これにより0.9999…(=1)よりεを引くとこの循環小数は桁上がりの条件を失い0.9999…の循環小数のまま演算が完結してしまうわけだ

455 ：１３２人目の素数さん：2006/09/06(水) 20:52:59

>>454
＞超準解析では演算を完結させると0.9999…は桁上がりが発生
これを数式（論理記号でも結構）で表現してくれないか。
文章で説明されても、桁上がりという手続きの正確な意味がワカラン。

456 ：１３２人目の素数さん：2006/09/06(水) 20:58:25

↑補足
『一回計算を完結させてから書込んでくれないか？』
と言うツッコミもあること忘れないでくれ。
何しろ計算を完結させるという事が、
なにを意味するのか（計算を完結できるのかという素朴な疑問。）
定義されてないんだからな。

457 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 20:21:43

>>258
0.999…∈A であるが、
1∈A でない。

∴0.999…＝1とすると矛盾

458 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 20:58:29

>>457＆>>258
大間違い。A＝∪[n∈N]Anだから、「∪[n∈N]An」という記号列の定義より、

x∈A　⇔　ある自然数nに対してx∈An

が成り立つ。従って、もし0.999…∈Aだとすると、ある自然数nに対して0.999…∈Anつまり
0.999…∈[0，0.99…99] (←9がn個だけ並んでいる) が成り立つことになるが、明らかに
0.999…＞0.99…99 (←9がn個だけ並んでいる) であるから矛盾。つまり、0.999…∈Aは
成り立たない。

459 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 21:03:56

>>458
0.999･･･=1とする
ある自然数nに対して 1=0.999･･･(←9がn個だけ並んでいる)
あきらかに、0.999… ＞ 0.99…99であるから矛盾。
つまり、0.999･･･=1は
成り立たない。

460 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 21:19:37

>>459
0.999…＝1を仮定しても、
＞ある自然数nに対して 1=0.999･･･(←9がn個だけ並んでいる)
↑この主張は導けないし、そもそも1＞0.99…99 (←9がn個だけ並んでいる)
なので、この主張は大嘘。

461 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 21:23:52

>>459
バカにもいろんな形があるもんだ。

>0.999･･･=1とする
>ある自然数nに対して 1=0.999･･･(←9がn個だけ並んでいる)

それなんて俺定義ｗ

462 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 21:33:50

>>461
ひょっとして、
無限小数をみとめない数の定義を知らないの？

463 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 21:38:06

>>462
岩波の分厚い数学辞典にさえ載ってないよ。

464 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 22:03:43

a≠b,a≦bと仮定する
実数の性質によりa,b間には無数の実数xが存在することになるので
a<x<b
また、a,b間の数の中心をCxとおくと
a<Cx<b
Cx=(a+b)/2とおけるので
a<(a+b)/2<b
この不等式が成立しない場合aとbは等しい
ここで、a,bにそれぞれ0.999…,1を代入すると
0.999<(0.999…+1)/2<b
(0.999…+1)/2=0.999…
となるので、この不等式は成立しない
よって0.999…=1

465 ：中卒止まり：2006/09/07(木) 22:35:08

>>462＆>>463
(非超準モデル、つまり標準モデルでの話として)
｢無限＜に続く＞小数｣じゃなくて、｢無限小なる数｣の事じゃない？
そりゃあ、認めないや。
｢自明である｣とするんだっけ？
｢完全に無視できる｣とするんだっけ？？
暗黙の了解にしちゃってるんだっけ(上のどっちで？もしくは高等数学任せ？理由無し？)？

466 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 23:47:04

>>464
（ａ＋ｂ）／２は永遠に実数が作られる証明。
(0.999…+1)/2=0.999…なんて有得ないでしょう。
あるとしたら、0.999…＝１の時だけ。
仮定が１なんだから、結果が1は当然。

467 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 23:48:49

> 無限小数をみとめない数の定義

そういうものを仮定したらこのスレの問題自体が意味不明になる

468 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 23:59:59

>>466
＞仮定が１なんだから、結果が1は当然。
仮定は0.999…＜1なのだが。

＞(0.999…+1)/2=0.999…なんて有得ないでしょう。
あるよ。x＝(1＋0.999…)/2とおくと、0.999…＜x＜1が成り立つ。このxを無限
小数に展開すると、x＜1だからx＝0.a1a2a3…という形になる。実は任意の自然数nに
対してan＝9となる。詳しく証明すると、もしある自然数nに対してan＜9だとすると、
an≦8となるから、
x＝0.a1a2…a(n－1)ana(n＋1)…
≦0.a1a2…a(n－1)8a(n＋1)…
＝0.a1a2…a(n－1)8＋0.00…00a(n＋1)…
≦0.a1a2…a(n－1)8＋0.00…01
＝0.a1a2…a(n－1)9
≦0.99…99 (←9がn個だけ並んでいる)
＜0.999…
となって、0.999…＜xであることに矛盾する。よって、任意の自然数nに対して
an＝9となるのでx＝0.999…となる。

469 ：中卒止まり：2006/09/08(金) 00:04:59

どうやって認めないかは忘れたけど、

（誤）「無限小数を認めない定義」

（正）「無限小を認めない定義」

だったら合点がいく（そもそもそんな定義あるの？)｡

470 ：１３２人目の素数さん：2006/09/08(金) 00:08:28

>>469
通常の実数体は無限小を認めていない。デデキントの切断を用いて定義される。
あるいは、ある同値類による、有理コーシー列全体の集合の商集合として定義される。

471 ：１３２人目の素数さん：2006/09/08(金) 00:16:03

日本語が若干おかしいので訂正。

通常の実数体は無限小を認めていない。なお、通常の実数体は、デデキントの切断を用いて定義される。
あるいは、ある同値類による、有理コーシー列全体の集合の商集合として定義される。

472 ：１３２人目の素数さん：2006/09/08(金) 18:47:59

>>458
N={自然数}∪{∞}
であるに決まってる！

473 ：１３２人目の素数さん：2006/09/08(金) 18:50:55

>>471
･･･ある同値関係による、･･･

474 ：１３２人目の素数さん：2006/09/08(金) 18:58:34

>>464
Cx=(a+b)/2とはおけない。

475 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 01:46:44

ということは実数は稠密でないんだな

476 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 08:37:35

>>475
あえていうなら超稠密

477 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 08:46:51

>>476
逆じゃないの？準稠密。

478 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 11:09:25

ちょっと質問

Σ[i∈N]Ai とΣ[i=0～∞]Ai とは違うの？

Σ[i∈N]Ai　このような書き方は普通しないし、これは順番を指定していないという違いはあるが
それ以外では同じだと思ってるんだけど・・・

479 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 12:49:50

Ａiによっては違うことがあり得るね。
というか、集合表示は和が順序に依存しない場合以外は定義できない。

480 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 14:46:26

数の定義だろ
もしこの定義が崩れたら数学の根底から覆される。
素因数分解の一意性なども崩れるし

481 ：１３２人目の素数さん：2006/09/10(日) 08:35:34

超稠密は岩波にも載ってないと思うので概略だけ簡単に説明
普通われわれの扱う(小数表示した)実数は、数直線の１点(閉区間)に対応していると考える。
一方、実数は点ではなく微小半径の開線分(開区間)と考えるやりかたもある。
この場合、ひとつの小数表示であらわした実数は、一点を表すのでなく、
無限の超実数を代表している。
実数のまわりには無限の超実数が隣接しているという意味で超稠密。
実際には半径ゼロの開線分と点とではまったく性質が異なるため、
微小半径はゼロではないのだが、
大雑把にはゼロとみなしてもニアリであるため両者を混同して使っている混乱が発生している。
超実数は、開線分による実数のモデルとなっているともいえるが、
残念ながら今ひとつ整備が進んでいない。

482 ：１３２人目の素数さん：2006/09/10(日) 08:43:49

すまん、用語の標準化がされてないため、
「実数」がいろんな意味で
使われているが、どの意味で用いているかは、
文脈から判断してくれ。

483 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 03:14:33

あなたも簡単に小遣い稼ぎ＼(≧▽≦)丿
http://1hp.jp/?id=ragan

484 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 03:18:01

実数の定義で
0.999999=1
は示されるよ。

485 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 03:39:31

終

486 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 12:33:46

>>484
お帰りください

487 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 19:46:09

>>468
９／９の無限小数展開を考慮に入れると、
0≦an≦10とした方が良いのでは？

488 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 20:34:57

>>487
0≦an≦10とした場合は11進法による無限小数展開を考えることになり、
1＝1.000… (11)
1＝0.101010… (11)
の2通りの無限小数展開が得られる。通常の10進法による無限小数展開の場合は
1＝1.000…
1＝0.999…
の2通り。

489 ：１３２人目の素数さん：2006/09/11(月) 23:22:28

1=1.000…(11)
1=0.AAA…(11)

490 ：１３２人目の素数さん：2006/09/13(水) 01:37:22

演算を完結するとか、桁上がりというが、純粋な手続きで可能なのか。

S := 0
A := 9
LOOP B := A / 10
IF (S = 1) THEN STOP
A := B
GOTO LOOP

491 ：１３２人目の素数さん：2006/09/13(水) 13:42:07

N88BASICで試してみたぞ！

10 S=0
20 A=0.9
30 IF S=1 GOTO 80
40 S=S+A
50 A=A/10
60 PRINT S
70 GOTO 30
80 END

画面には延々と「1」が表示され続けましたとさ（´Д｀；）

492 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 02:17:53

>490 S := S + B を書き忘れた。ついでだから少し付け加えた。
0.999.... = 1 になるなら、そのときのＮの値はいくつだろう？

>491 現実の有限なコンピュータでなく、思考実験のコンピュータで
考えて欲しい。

N := 0
S := 0
A := 9
LOOP B := A / 10
S := S + B
N := N + 1
IF (S = 1) THEN GOTO SYUSOKU
A := B
GOTO LOOP
SYUSOKU PRINT N
END

493 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 02:55:37

>>492
永遠に1にはならないだろ

494 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 07:55:10

0.9は２進数で無限小数に展開される

495 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 09:22:15

>>491
釣りかい？

496 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 15:37:39

f(n){f(n*0.1)(n>0),0(n=0)}
nが0以上の時の答えは？

497 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:26:47

0以上、1以下の実数をｎ個選択したとき、
そこに有理数が含まれる確率は？

498 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:28:39

0以上、1以下の有理数をｎ個選択したとき、
循環小数でない数が含まれる確率は？

499 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:35:36

>>497
1

>>498
0

500 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:36:11

>>497
0.0

>>498
0.0

501 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:42:55

>>497
0ではないが0である。

>>498
0ではないが0である。

502 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 22:45:08

どう選択するんだ？

503 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 23:39:31

針を落として選択する。

504 ：１３２人目の素数さん：2006/09/14(木) 23:48:49

>>499
実数の稠密性より、
有理数でない確率＝0.999･･･
有理数である確率＝0.000･･･

505 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 00:47:13

1-f(n){f(n*R)(n>0),0(n=0)}
nは0以上の任意の数
Rは0<R<1の任意の数
これの解を誰か求めてくれそして解は1と等しいのかそれともそれ以下なのか答えてくれ

506 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 00:50:41

どこの宿題ですか

507 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 01:02:03

>>504
> 実数の稠密性より

それは理由にならんだろ

508 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 01:24:41

>>506
関数

509 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 01:52:20

>>505
＞1-f(n){f(n*R)(n>0),0(n=0)}
何これ？意味不明。どこにも等号が無い。不等号もない。方程式になってない。

510 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 08:21:29

>>505
rはグローバル変数とする
double function(double n){
if(0 < n) return(function(n * r));
else if(n == 0)
return(0);
}
C言語で書くと、こんな感じ
再回帰を使った関数だ
工業数学やCPアルゴリズムなどに使われてる計算方法だな

511 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 16:20:17

引きこもり厨房の戯言だから、おかしかったら聞き流してくれ。

無限とは限りないことであり、数で表すことは出来ない。
0.999･･･は0の後に9が無限に続く数だが、9がいくつ続くかを表すことは出来ない。
よって、0.999･･･という数は存在しない。

だと思ったんだが･･･

512 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 16:53:51

循環小数は全て存在しないことになる

513 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 16:57:03

循環小数は分数で表せるが、0.999･･･は分数で表せない(9/9＝1となる)。

514 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 17:38:53

整数で表すことが出来る数は存在しないw

515 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 17:43:17

そもそも、0.999･･･って具体的にどんな数なの？

516 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 17:58:47

517 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 18:01:04

じゃあ0.999･･･は存在しない
でおｋ？

518 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 18:05:36

2/4は存在しない

519 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 18:34:04

じゃあ、俺は1.000・・・が存在しないことにする

520 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 18:37:52

だから0.999･･･ってどんな数？

521 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU ：2006/09/15(金) 18:39:12

>>520
1

522 ：１３２人目の素数さん：2006/09/15(金) 18:45:42

>>520
いろんな定義があるみたいだから、過去ログ読んで好きなの選べ。

523 ：511：2006/09/16(土) 12:39:15

0.999･･･を0.の後に9が無限に続く数だとする。
無限っていうのは限りがないことであって、数で表すことは出来ない。
で、例えば1/9を小数で表そうとしても0.111･･･になって表せない。
9/9の場合は、小数で表そうとすると0.999･･･になるが、1と表すことが出来る。
だとすると、9/9=0.999･･･=1になる。
でも、0.999･･･という表し方ではどういう数か特定することは出来ない(突き詰めていくと1になる)。
だから0.999･･･という数はない。

こんな感じかな？
中途半端な考えのまま書き込んでたせいでおかしくなっていたと思う。そのことについては謝る。

自分が思うのは、0.111･･･とか0.121212･･･みたいな｢ある数が無限に続く｣って言う表し方を認めていいのか、ってことかな。
無限は限りないことであって数ではないし、数学的に考えるのは、ナンセンスだと自分は思う。
無限を数学的に考えると、
｢0以上1未満の数は無限に存在する。1以上3未満の数も無限に存在する。しかし、1以上3未満の数は0以上1未満の数の2倍存在する(実際は2倍+1かな？)。｣
みたいなことになって、無限÷2=無限も正しいことになり、もはや数学ではなく哲学の世界だと思う(数学も哲学の一部かもしれないが･･･)。

524 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 12:56:11

直感的な表現として無限に続くという言い方はするが
数学屋は
「（ある桁以降の）任意有限桁が9」
のように定義するから無問題

525 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:20:45

>>524
それだと1とイコールにはならないんじゃない？

526 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:29:11

>>525
なぜ？

527 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:34:57

>>525がどのような理屈を考えて誤解したのかは興味深い

528 ：511=513=525：2006/09/16(土) 13:38:41

>>526
その定義だと、0.の後に9が1億個並ぶ数とか1無量大数の1無量大数乗個並ぶ数とかにはなっても、0.の後に9が無限に続く数にはならないから。

529 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:39:42

はあ？

530 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:40:30

単なる馬鹿か

531 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:47:02

書くスレを間違ってますよ

数学に関係あるジョークで笑わしてけれ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1039205469/

532 ：528：2006/09/16(土) 13:47:49

524を「0.の後に9が任意有限回続く数」と俺は解釈したんだが、
それだと

「0.の後に9が任意有限回続く数」をa、「任意の有限数」をｂとする
1-a=0.000･･･（0がｂ回続く)1

となるような気がする。

533 ：532：2006/09/16(土) 13:49:44

そもそも、なぜ0.999・・・が
「（ある桁以降の）任意有限桁が9」
と定義されるの？

534 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 13:55:48

>>523
無限の概念については昔から問題にされてきたけど、
小数点以下の桁が無限に続く数（無限小数と呼ぶ）については
「級数の極限」として考えれば、数学的には何の問題もない。
こういう考えがきちんに整備されたのは19世紀後半で、
今だとイプシロン-デルタ論法などと呼ばれている方法を使えば
「無限」という概念を使わずに「0.999…=1」を証明する事が可能になる。

その一方で、19世紀後半には「無限」を積極的に扱う「集合論」も生まれてきて、
無限に存在するモノの比較なども数学的に扱うようになってきた。
その考えだと、「｢0以上1未満の実数」と「1以上3未満の実数」の個数は
同じだけある事になる（集合論的には「濃度が等しい」などと言う）。
まあ、集合論という考え方自体に問題があると考える人もいるが
それこそ哲学の世界で、数学としては厳密に成立しているものだよ。

535 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 14:09:59

0.999…は「小数点以下に9が有限桁続く数」全体の極限値であって、
「9が無限に続く」ってのは便宜上の言い方だと考えた方がいいと思う。

536 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 14:50:53

「（ある桁以降の）任意有限桁が9」
と
「（ある桁以降の）任意有限桁目までが9」
の区別が付いていないのか。

まずは言葉のお勉強からだな。

537 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 15:07:26

>>535
論理記号か数式使って説明よろ。

538 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 15:50:19

>>537
「数列 a_1, a_2, a_3, …a_n, …の極限値が a である」とは
任意の正の実数εに対して自然数 i が存在して
j≧i なら | a - a_j | ＜ε が成立する事である。
「0.999…」は、 a_nを0.99…9（小数点以下に9はn桁続く）とした時の
極限値として定義する。
つまり「0.999…=1」とは、極限値が 1 であるという命題である。

こう定義すれば、無限なんてモノを使わなくてすむ。
こういう考えに慣れてないと不自然な定義に感じるかもしれないけど、
極限について勉強すると、こう考える方が自然に思えてくるんだよ。

539 ：533：2006/09/16(土) 18:03:40

ウィキペディアとか見て頭に詰め込んでみた。

小数点の後に9がｎ個ある数のnの数を増やすほど1に近づいて行き、
1に限りなく近づいた数が極限値である、と数学者ではない自分は理解した。

イプシロン-デルタ論法も見てみたが、wikiには
｢ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。｣
と書いてあったが、「好きなだけ小さな数を選べる≒極限」は違うような気がした。
無限小はいくら小さな数を選ぼうとしても選べないし、極限値も特定しようとしても出来ない、みたいな。

上のことにより、自分が現代数学にけんかを売った(と本人が思っているだけで実際はけんかにすらなってない）ことが証明された。

・・・なんかわけわからなくなってきました。
地道に少しづつ勉強していくことにします。

540 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 18:14:12

>に限りなく近づいた数が極限値

「近づいた数」ではなくて、近づいていく「その行き先」が極限値
と考えられたら一歩前進。

541 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 21:03:59

無限という数字が存在しないから、これを回避するために作られたのが極限

ってことか

542 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 01:14:24

>>541
ちがうと思う。
単純に、1, 2, 3, ・・・は「無限」に続けば「無限大」になるけど
それは極限ってことじゃないだろう。

543 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 23:08:19

>>540
どうしても最初は、「行き先」じゃなくて「行き先に向かって動いてる数」に目が
いっちゃうんだよな。個人的には、”極限値”じゃなくて”射影極限”みたいな感じの
言葉にしてほしいな。「射影」という言葉を入れれば「行き先」に目が行きやすいと思う。

544 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 04:17:45

1-0.999…=Δ^n=0

545 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 06:53:46

では聞くが1に限りなく近く1以下の数が計算上必要になったとき、その値を実数ではどう表現したらいいんだ？

546 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 10:05:57

1-Δ

547 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 10:54:23

具体的な数値を書いてよ

548 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 11:00:17

>>545,547

1

549 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 11:33:39

1以下っていってんだろ？それじゃあ1じゃん

550 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 12:00:45

>>547
おまえ解析やったこと無いのか。

551 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 12:20:46

>>549
１以下というのは「１も含まれる」んですけど。

552 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 13:22:41

>>549
【以下】
数量・程度などを表す名詞の下に付けて、それより少ないこと、または
劣っていることを表す。数量を表す用法では、その基準点を含む。
(goo辞書より)

553 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 13:30:47

なんで>549に？

554 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 13:59:39

>>544
Δと n って何だ？

555 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:27:02

>>551
＞1も1以下に含まれる
じゃあ1＞1ってことかよ？

556 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:33:16

>>555
文系？

557 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:36:36

改訂
1に限りなく近く1未満の数は数値はどう表せばいいんだ？

558 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:37:59

そんな数はないor超実数でも使ってくれ

559 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:41:39

>>557
それこそ適当にΔとか置いて計算しとけばいいだろ

560 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:41:43

>>555
× 1＞1
○ 1≧1

【以下】
数量・程度などを表す名詞の下に付けて、それより少ないこと、または
劣っていることを表す。数量を表す用法では、その基準点を含む。
(goo辞書より)

561 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 15:42:39

じゃあ超実数でどう表すんだよ？

562 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 16:05:51

正の無限小rを用いて
1-r

563 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 16:14:24

>>562
無限小を使っちゃ、実数にならないだろ。
やはり、１－Δだろ。

564 ：↑：2006/09/18(月) 16:18:04

ご免、超実数の場合か。ならば、１－ｒだね。

565 ：↑：2006/09/18(月) 16:24:07

>>554
取り敢ず数学解析Ⅰ位は読んどいて。

566 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 18:24:19

無限小を引いたら桁が一つ落ちるよなぁ？

567 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 18:28:08

何番目の桁に？

568 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 19:20:36

>>566
意味不明

569 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 19:29:31

>>567
1-r
最上位の桁が1の位から小数点の位に

570 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 20:11:34

rの小数第1位が0でないなら無限小とは言わん。
桁落ちがあって小数第1位が0ならもっと下の桁で桁落ちがある。
で、
>566
何桁目なの？

571 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 21:25:39

用は1から正の無限小を引いたのであればその値は0.9999…になるのではないかと？

572 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 21:28:23

正の無限小εに対して1－ε＝0.9999…なのであれば、ε/2もまた正の無限小であるから
1－ε/2＝0.9999…となり、1－ε/2＝1－ε となってしまい矛盾。

573 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 22:27:30

難しいね

574 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 22:28:48

st(1－ε)＝0.9999…

575 ：１３２人目の素数さん：2006/09/18(月) 22:58:53

576 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 00:45:45

>>572
無限小に0と無限大以外のもの掛けても割ってもてもε絶対値の大きさは変わらんぞ～
別に1-ε/2=1-εは矛盾はしない

577 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 00:55:50

>>576
＞無限小に0と無限大以外のもの掛けても割ってもてもε絶対値の大きさは変わらんぞ～
εが正の無限小ならばε≠ε/2が成り立つ。もしε＝ε/2だとするとε－ε/2＝0となり、ε/2＝0
つまりε＝0となってしまうから。

578 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 07:22:14

>>577
無限の定義を知らんのか？
ログ見直せ

579 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 08:30:48

演算が不定形になる∞と超実数が混同されているようだね。
超実数は普通の実数と同じように四則演算が定義されるよ。

580 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 08:30:49

いや、君が素人なだけだから

581 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 08:31:39

>>580は>>578へ

582 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 17:11:28

>>577
無限小は解りやすくいえば、あくまでイメージなのだが点は分割してもその点は点に変わりないって事だ

583 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 17:13:48

>>582
君のイメージにおける君の哲学での無限小を語っても意味が無い。　数　学　を　語　れ　。

584 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 20:32:03

>>583
わかんない阿呆がいるから超簡単に説明したまでだ
そんなことも解らないのか？阿呆が

585 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 20:47:18

無限小は点である。

586 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 20:59:37

>>584
＞そんなことも解らないのか？阿呆が
超実数体R^*において、ε＞0が正の無限小だとするとε/2もまた正の無限小であり、
しかもε≠ε/2が成り立つ。こんなのは超準解析の教科書に書いてあるし、あるいは
Wikipediaで調べても簡単に見つかる。こんなことも分からないのか？阿呆が。
テメェの頭の中だけにあるテメェに都合のよい”無限小”を、テメェのイメージだけで
説明されて誰が納得すると思ってる？「超簡単に説明したまでだ」だと？ここでは
超簡単な説明など望まれていない。正の無限小εに対してε＝ε/2が成り立つ超実数の
体系を　数　学　的　に　厳　密　に　構　成　し　、　説　明　を　し　て　く　れ　。

587 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 21:01:19

ということで>582は釣りらすぃ

588 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 21:34:19

実数AとBの誤差が無限小以下の場合、A=Bで表す。
AとBの誤差が０の場合、A≡Bと表す。
通常の実数の場合、＝と≡の区別は必要ない。

※注意
～
―　　と、＝
で表す場合もある。

589 ：１３２人目の素数さん：2006/09/19(火) 23:56:58

>>587
釣られて頭が逆上せている奴を前にして言う言葉ではないだろうな。
マァ、のぼせ上がる奴が大人げないで片付けて良い事とは思うが。

590 ：中卒止まり：2006/09/20(水) 06:56:29

>>588
ラーニング

591 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 08:20:12

無限大ってのは
∞*2=∞
∞/2=∞
って奴が成り立つ、ってよりはそう定義されてるのだが超準解析でεってやつは無限大の逆数(1/∞)で無限小を定義してるものだから
ε/2=ε
↓
(1/∞)*(1/2)=1/(∞*2)=1/∞
ってやつも成り立つんだよ

592 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 08:47:39

Wikipediaで調べても簡単に見つかるとは言うが、Wikipediaには
「0.999…=1」って記述があるんだよな。Wikipediaが100%正しいと言う
のであれば0.999…=1は100%正しいのでこれ以上議論の意味無し
と言うことになってしまう。Wikipediaの数学に関連する項目はどうも
不完全なものが多いような気がして鵜呑みにするなんて出来んよ。

まあ理系の人間が感情的に物を言うのは非常にカッコ悪いからヤメレってこった

593 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 09:12:23

>>592
同意です
Wikipediaは不完全だな。嘘、間違えも多く含むし参考程度だろうな
さすがにサイト名まで出して主張しても格好悪いぞ

594 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 13:28:02

>>591
大間違い。超準解析においてωが無限大だとすると、2ωやω/2もまた無限大で
あり、しかもω≠2ω，ω≠ω/2が成り立つ。ほら、何してるの？正の無限小εに
対してε＝ε/2が成り立つ超実数の体系を　数　学　的　に　厳　密　に
構　成　し　、　説　明　を　し　て　く　れ　よ　。
>>592
Wikipediaの「超準解析」のページに書いてあることは100％正しい。なぜなら、
その内容はキースラーの「無限小解析の基礎―微積分の新手法」と全く同じもの
だから。おそらくこの本を参考にしたと思われる。「0.999…＝1」の記述は不完全。
「…」をどのような意味で使っているのか明らかにしないまま証明を開始してるから。

＞まあ理系の人間が感情的に物を言うのは非常にカッコ悪いからヤメレってこった
そうだな。数学を語らずに、自分のイメージだけ並べて説明した気になってる奴は
理系の人間では無いな。ちなみに、
＞Wikipediaが100%正しいと言うのであれば0.999…=1は100%正しいのでこれ以上
＞議論の意味無しと言うことになってしまう。
これもまた大間違いであり、理系の人間の言うセリフでは無い。なぜなら、たとえ
Wikipediaを改変して「100％正しい」ように変えても、それは「0.999…＝1は100%
正しい」ことを意味するようにならないから。「…」の意味や、数の体系をどのように
捉えているかで0.999…＝1か否かは変わる。「…」を
0.a1a2a3…＝lim[n→∞]Σ[i＝1～n]ai/10^i (右辺のlimはRのユークリッド距離に関する極限)…＊
という意味で使うことを明言すれば、Wikipediaの記述は100％正しくなる。ところが、
ここから分かることは「『…』を＊の意味で使った場合は0.999…＝1が100％成り立つ」
ということに過ぎず、決して「0.999…＝1が100％成り立つ」ということではない。
君はここを勘違いしている。

595 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 14:30:56

>>594
>＞Wikipediaが100%正しいと言うのであれば0.999…=1は100%正しい

> Wikipediaを改変して「100％正しい」ように変えても、それは「0.999…＝1は100%
> 正しい」ことを意味するようにならないから

あんたの方が勘違いしてる。

596 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 18:38:04

>>595
具体的にどこが勘違いなのか指摘しないで「勘違いしてる」とだけ書くのは、
これまた理系の人間のすることでは無いな。

597 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 18:52:53

勘違い野郎は本屋行って勉強し直してこい
全体的に間違えだらけのフリー百科辞典だからな
あと数学事典から引っ張ってくるならわかるが、ウィキペディアを持ち出して発言する行為はどうもシロウト臭いから止めれ

598 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 19:22:19

>>596
「Xの内容は正しい」ならば、「Xに書いてあるYという命題」は正しい。
実際に正しいかどうかは別として、論理的には上は正しいだろ。
>>592 はこの形式的な真偽を言ってるだけで、Wikipediaの信頼性とか
0.999…=1の一般的な真偽については何も言ってない。
というわけで、

> ＞Wikipediaが100%正しいと言うのであれば0.999…=1は100%正しいのでこれ以上
> ＞議論の意味無しと言うことになってしまう。
> これもまた大間違い

何が大間違いなんだ？

599 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 19:57:16

ここから分かることは「『…』を＊の意味で使った場合は0.999…＝1が100％成り立つ」
ということに過ぎず、決して「0.999…＝1が100％成り立つ」ということではない。

矛盾しすぎ

600 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 20:26:30

>>598
＞「Xの内容は正しい」ならば、「Xに書いてあるYという命題」は正しい。
＞実際に正しいかどうかは別として、論理的には上は正しいだろ。
それは確かに正しいが、Yに当てはめるべき命題が>>592では間違っている。0.999…＝1か否かは
『…』の意味とセットで使わなければならない。Yに当てはめるべき正しい命題は「『…』を
○○の意味で用いた場合0.999…＝1が100％成り立つ」という形でなければならない。単に
「0.999…＝1が100％成り立つ」とだけ書いただけでは、「『…』をどのような意味で考えても、
絶対に0.999…＝1が成り立つ」という意味になってしまう。尤も、文脈から明らかな場合は『…』の
意味まで表記する必要はないが、このスレではまさに『…』の定義の仕方が問題になってるから、
それは許されない。

＞何が大間違いなんだ？
上で書いたところが大間違い。ついでに、「これ以上議論の意味無しと言うことになってしまう。」も
また大間違い。Wikipediaの記述が完全に正しくて0.999…＝1を主張しているとしても、それは
0.999…＝1が成り立つような『…』の定義のもとで「0.999…＝1である」と言っているだけであり、
定義を変えれば(例：超実数体で考える)0.999…≠1になるように出来るから、議論の意味無しなんて
ことは有り得ない。

601 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 20:30:56

>>597
分かった。最初からこうやって注を付けて書けばよかったわけだな？

超実数体R^*において、ε＞0が正の無限小だとするとε/2もまた正の無限小であり、
しかもε≠ε/2が成り立つ。こんなのは超準解析の教科書に書いてあるし、あるいは
Wikipediaで調べても簡単に見つかる。(注：Wikipediaにある超準解析の記述は、
キースラーの「無限小解析の基礎―微積分の新手法」と全く同じものだから正しい。)

602 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 22:16:25

何か痛いのが湧いてるな。もしかしてCDかけろって言われたら火にかける奴か？

603 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 22:40:33

0.999…＝1が成り立つような『…』の定義のもとで「0.999…＝1である」と言っているだけであり

当たり前だろ・・・・

定義なんてなんでもできるだろ

「ただし１は実数ではない」「ただし１は無理数である」「ただし＝は≠と同意である」
とかでも定義できるじゃん？

「１＋１＝３」と定義する
でもいいし

604 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 23:38:39

> Wikipediaの記述が完全に正しくて0.999…＝1を主張しているとしても
> 定義を変えれば(例：超実数体で考える)0.999…≠1になるように出来るから、
> 議論の意味無しなんてことは有り得ない。

それ何て詭弁だよ
「定義を変えれば・・・出来る」なんて言い出したら、議論自体がなりたたないだろ。
それで理系の人間うんぬん言ってるのか？

605 ：１３２人目の素数さん：2006/09/20(水) 23:45:39

1+1=3で3を定義し、
3+１=2で2を定義するとよろし。

606 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 00:40:02

誰かがWikipediaなんか持ち出したから荒れたじゃないか！
そんなバカは家で大人しく算数ドリルでも解いてやがれ

607 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 00:48:26

>>576のお馬鹿な発言はどうなったんだ？

608 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 01:26:01

>>607
それは収集ついたからどうでもよし
わざわざ掘り返すな

609 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 03:22:55

>>604
＞「定義を変えれば・・・出来る」なんて言い出したら、議論自体がなりたたないだろ。
君は>>2を読んでないと見た。

610 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 03:54:00

>>603
それが理解できてない人間(世の中には絶対的な真理が存在していて、「0.999…」という
記号列はただ1つの”真実の意味”を持っていると思ってる人間)がいるからこのスレがあり、
ご丁寧に>>2で解説されている。
>>605
その場合、「2」という記号が「3」という記号に置き換わり、「4」という記号が「2」という記号で
置き換わっただけだな。「3」という記号は「4」という記号で置き換えておくか？「＋」と「－」の
記号を入れ替えて1＋1＝0，1－1＝2と言ってるようなもんだ。
>>606
>>601。まさか、記述内容が正しいのになおも否定したりはせんだろうな？

611 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 06:19:49

>>2読めば分かることを得意気に長々と語られてもね。
Wikipediaの超準解析の項目がキースラーの「無限小解析の基礎―微積分の
新手法」と全く同じだから正しいとしたって、それなら最初からその書籍を
推せばいい訳だし、わざわざWikipediaを引き合いに出す理由は無い。
記述内容が例え正しくて信用に足るものだとしても>>601の書き込みは
信用に足るものではない。否定してるのはWikipediaじゃなくてアンタの存在

612 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 07:29:00

>>611
＞わざわざWikipediaを引き合いに出す理由は無い。
書籍を推しても、その本を手に入れるまでは内容が分からない。>>576のようなバカが、
手間を惜しんで本を借りたり買ったりして勉強するとは思えない。そこで俺は、本と
一緒にWikiを推した。Wikiには、一部ではあるがキースラーの本の内容がそのまま書いて
あるので、すぐさま読めるから。この行為の何が悪い？

＞記述内容が例え正しくて信用に足るものだとしても>>601の書き込みは信用に足るものではない。
>>601の書き込みは事実しか書いてないので、全て正しい。従って信用に足る。足りないと言うなら
具体的にどこが足りたいのか指摘してくれ。

613 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 07:41:10

誤解を招きそうなので大幅に訂正。
誤：Wikiには、一部ではあるがキースラーの本の内容がそのまま書いてあるので
正：Wikiの超準解析のページの記述は、全てキースラーの本の内容と同じなので

614 ：中卒止まり：2006/09/21(木) 07:47:34

>>611
(>>601ではありませんが、中卒止まりのおじさんより質問。)
つまり、ε＝ε／２且つε仝ε／２(∵　仝:=｢否≡｣)でおｋなんですか？

ならばこの議論はこれと>>2を以て完了かと思う(現ｽﾚ内の無駄な前ﾚｽを詫びる)が、皆さん如何思われるか？

（しっかし、｢否≡｣の記号が無くて表記に困った。）

615 ：中卒止まり：2006/09/21(木) 07:57:02

>>614をﾚｽするに当たり、>>588を参照しました。

616 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 09:16:36

＞>>576のようなバカが、
＞手間を惜しんで本を借りたり買ったりして勉強するとは思えない。そこで俺は、本と
＞一緒にWikiを推した。Wikiには、一部ではあるがキースラーの本の内容がそのまま書いて
＞あるので、すぐさま読めるから。

ここでは書籍や引用されているページの紹介など望まれていない。

＞足りないと言うなら具体的にどこが足りたいのか指摘してくれ。

早い話>>601の人格は信用できない。「全て正しい」とは言っているが嘘かもしれない。
何しろスレの本題とはズレたことしか書き込んでない品。0.999…を議論するにあたり
超準解析の知識が必要な場面も往々にしてあるだろうが超準解析のスレではない。
超準解析の話がしたければ専用のスレがあるのでそっちでどうぞ

617 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 09:38:32

人格攻撃ｷﾀｰｯ

618 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 09:43:16

何様ですかね(´･ω･`)

619 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 10:04:33

この有様でございます(´･ω･`)

620 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 10:15:18

>>616
＞ここでは書籍や引用されているページの紹介など望まれていない。
残念ながら、このスレではそれが望まれている。なぜなら、このスレは>>576のような人間のために
あるから。>>576のような、数の体系についておかしなイメージを持ったり、間違った理解をしている
人間に正しい理解を与えるのがこのスレの意義。そして、そのための手段の1つに、まさに「書籍の紹介・
サイトの紹介」がある。だから望まれてる。特に、>>576のように思い込みの激しい人間には効果的。
「ほら、この本にはこう書いてある。このサイトにはこう書いてある。オマエがいかに自分勝手な
思い込みをしていたかよく分かるだろう？」と言えば、多少は納得するだろう。

＞早い話>>601の人格は信用できない。
疑われるべきは君の人格であろうな。>>611でも「否定してるのはWikipedia
じゃなくてアンタの存在」とか言ってるし。通報しておこうか？

＞「全て正しい」とは言っているが嘘かもしれない。
それが嘘か否かを判断するのに必要な情報は、俺の”人格”そのものではなく、
　俺　が　ど　れ　だ　け　嘘　を　書　き　込　ん　だ　か　という情報。
人格そのものは関係無い。そして俺は嘘を書いていない。

621 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 10:19:12

＞何しろスレの本題とはズレたことしか書き込んでない品。
どこがズレてるの？俺は、>>576に反論するために「超準解析の本に書いてある」と言った。
しかし、>>576みたいな人はわざわざ本を買って読んだりしないだろうから、Wikiを推した。
しかも、Wikiの超準解析のページは正しいから、Wikiを推すことに問題はない。しかし、Wikiの
記述は一般には正しく無いという指摘があったから、俺は>>601で注を付けた。すると君はワケの
分からん難癖をつけてきた(書籍の紹介は望まれてない、など)。いい加減にしろ。

あと、書きそびれたのでもう1つ書いておく。
>>611
＞>>2読めば分かることを得意気に長々と語られてもね。
ならば、>>2すら読んでいない>>604をまずは批判してくれ。>>604の書き込みは>>2に反する。

622 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 11:04:44

じゃあそろそろ話を元に戻そうか。さしあたって>>555くらいに

623 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 11:28:59

そこかよｗｗｗ

624 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 11:47:48

みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃおぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ
みぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃみぃ

625 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 16:16:49

Wikipediaは素人が書き込んでる方が多いから
Wikipedia推奨する奴=初心者
てかネットの情報を検証せず鵜呑みにするやつ=初心者
が成り立つかとｗ

626 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 17:51:54

流れをぶった切るけど、1=0.999・・・=Σ[n=1～∞]9/10^n を数直線にプロットした時に
プロットされない派とプロットされる派に分かれると思うんだけど、
その違いは可能無限派と実無限派の違いという事でＯＫ？

627 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 18:39:59

>>626
それは {Σ[k=1,n]9/10^k | n∈N}⊂R を指してるの？
これなら1は含まれないけど。

628 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 19:10:27

>>626-627
おまえら等号の意味を理解していないのか？

629 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 19:12:28

>>627
>それは {Σ[k=1,n]9/10^k | n∈N}⊂R を指してるの？

an = Σ[k=1～n]9/10^k
{ an | n=1～∞}⊂R

∞をどういうふうに考えるかを含めた質問

630 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 19:27:33

>>626
初めに 1= って書いてるやんか

631 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 19:31:26

∃∞∀a(a∈R=>∞>a)

632 ：627：2006/09/21(木) 19:38:11

>>628
>>626の脳を読んだ。

633 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 19:47:04

Σ[n=1～∞]9/10^n=Σ[n=1～∞/2]9/10^n
これってなりたつのか？

634 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 20:21:15

>>633
Σ[n=1,∞]9/10^n は普通 lim[N→∞]Σ[n=1,N]9/10^n で定義されるから、
右辺が lim[N→∞]Σ[n=1,N/2]9/10^n の意味なら成り立つ。

635 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 20:37:39

いや、だれかが∞/2≠∞って言ってたからどうかなと思ってな

636 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 20:44:19

Σに使われる∞は超準解析の”無限大”とは違うからな。

637 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 21:00:59

なんかそれも微妙な話だな
でΣと超準解析の∞はどんな風に定義されてるわけ？

638 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 22:28:32

limやΣと一緒に使われる∞は、単独で定義された対象というより
全体として極限を表す記号。
例えば、Σ[n=1～∞] a_n は「Σ[n=1～m] a_n の極限」を表している。

超準解析で∞が使われる場合も、特定の無限大超実数を表してるわけじゃなくて
「任意の標準実数より大きい」という性質を表す記号と考えた方がいい。

だから、「∞/2=∞」という記号が
「無限大超実数を2で割った数も無限大超実数である」を
意味しているのなら正しいとも言えるが、
その場合も割る前の無限大超実数と割った後の無限大超実数は別の数になる。

無限大超実数が具体的にどう定義されるかについては
ある程度専門的な知識が前提にされるので簡単には説明できないな。

639 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 22:50:57

このスレ書込んでいる奴で、大学の数学科に在籍している奴が居るとしたら、
そいつら全て落第生だろうな。

640 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 22:56:20

1=0.999…ってのはわかるが超準解析で特殊な解釈をすると1>0.999…になるってやつあるらしいけど具体的にどうやったらそうなるのか誰か知らないか？

641 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 23:07:32

>>639
…と、博士崩れが嘆いております。

642 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 00:06:34

>>639
え？本気で書込んでると思ってたの？

643 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 00:11:48

>>610
「３」という記号が「２」という記号に置き換わっただけ
と考えるのがシンプル。

644 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 00:43:15

>>642
1/3=0.333…×3=0.999…とか>>626の1=0.999・・・=Σ[n=1～∞]9/10^nとかって
恥ずかしくはないのか？

645 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 01:20:27

そもそも1/3*3=0.333…*3=0.999…=1ってこんな奇形になってしまうのかねぇ？
解るけど、どうも腑に落ちないね

646 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 01:24:23

>>644
さすがに彼らが小学校低学年より上とは思わないけど、
>このスレ書込んでいる奴で
は、それに対応している人も含めて言ってるんでしょ？

647 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 01:30:48

高校2年なので

実数の性質でしか0.999…=1を証明できない

おつ

648 ：中卒止まり：2006/09/22(金) 06:14:44

つまり、>>615で宜しいのですな？

0.999…＝1＆0.999…仝1
(∵ここでは:=否≡としました。否≡が簡単に表記できずに閉口します)

649 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 06:45:01

a≡bを否定したいなら
￢(a≡b)と書けばいいのでは。

650 ：中卒止まり：2006/09/22(金) 07:04:55

>>649、ｻﾝｸｽ。それでは、>>648を改編する。

つまり、
(0.999…＝1)＆￢(0.999…≡1)
で宜しいのですな？

651 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 07:11:05

「誤差が0」と言うのは「等しい」という事だから
それを「=」以外の記号で表すのが混乱の元だと思うがなあ。

スレタイの式は普通に解釈すれば、0.999…と1が等しいって意味でしょ。
>>588の記号で書くならば、0.999…≡1だと思うよ。

正の無限小超実数εとε/2については、誤差は0じゃないけど無限小だから
>>614はおk

652 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 07:36:50

過去に、０は存在しないとか、
負の数や、虚数は存在しないとかいう流派があったという。
無限小は存在しないというのは、その流派の生き残りであろう。

653 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 09:26:24

てことは、Σやlimの極限値の概念も>>588に沿っているという解釈でいいのかな？
Σ（n=1～∞）{9*10^(-n)}＝1とするのは、「左辺が限りなく1に近づきその極限値を
もって1とする」からではなく、「左辺と右辺の誤差が無限小以下になる」から？
厳密に言えば￢（Σ（n=1～∞）{9*10^(-n)}≡1）ってことになる？
実数の範囲内では無限小は定義できないから＝と≡は同義なんだね。

654 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 15:03:20

それでいいのか？

無理数Dに収束する級数　Σ（n=1～∞）a_n があるとする。
a_nは有理数かつ∀n∈N(a_n>0)とする。
ここで b_m=Σ（n=1～m）a_n と定義すると
∀m∈N(b_m>0 ∧ b_m∈有理数)　となる。

無理数D=Σ（n=1～∞）a_n=lim(m→∞)b_m　なんだから、

Σ（n=1～∞）a_nは　「無理数Dとの差が無限小の有理数」　とならないか？

655 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 17:56:14

>>653
ちょっと違う。
Σ[n=1～∞] {9*10^(-n)}＝1 なのは、
左辺の級数が限りなく1に近づきその極限をもって1とするから。
通常は極限というのはε-δ論法で考えるけれど
その場合は普通の実数でも超準解析でも変わらない。
しかし、ε-δ論法では「限りなく1に近づく」は間接的にしか扱えない。

それに対し超準解析では、無限大や無限小が使えるので
「限りなく1に近づく」をもっと直接的に考える事ができる。
「a と b の差が無限小」を a≒b で表すとすると
極限を表す式 lim[n=1～∞] a_n = a を
「数列a_n を超実数まで拡張した数列を考えると、無限大超自然数νに対し a_ν≒a 」
と定義し直す事が可能になる。
この定義を使えば、Σ[n=1～∞] {9*10^(-n)}＝1 なのは
無限大超自然数νに対しΣ*[n=1～ν] {9*10^(-n)}≒1 だから、と考える事ができる
（Σ*は、無限大超自然数までの和を考えられるようにΣを拡張したもの）。
ちなみに、Σ*[n=1～ν] {9*10^(-n)}≠1になる。

ただし、この極限の定義は超準モデルの中でしか考える事が出来ないので、
ε-δ論法の方が本流だと考えるべきだと思う。

>>654
∞じゃなくて無限大超自然数νで考えれば「無理数との差が無限小の(超)有理数」になるね。

656 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 18:49:49

>>654
(超)有理数＝無理数＋無限小だろ(w

∞は超自然数の一つなのでΣ[n=1～∞] は自然数の範囲をこえて超自然数∞までの和と考えるべき、
そうすると自然数の範囲では有理数止まりだったが超自然数∞までの和をとると(超)有理数(＝無理数＋無限小)となる。

ある超自然数∞までの和なので超準解析でいう無限小部分は確定しない(どの∞を使うかで値が変わる)
しかし無限小は実数ではないのでこれは問題ではない。

657 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 20:06:15

一行目からいきなり

658 ：１３２人目の素数さん：2006/09/22(金) 23:51:00

イプシロンデルタ論法理解できねぇ・・・・・

∀ε, > 0 ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ R, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε

なんだこれｗ

659 ：１３２人目の素数さん：2006/09/23(土) 00:30:10

そのままの意味じゃね？a,b,fに関する条件。

660 ：１３２人目の素数さん：2006/09/23(土) 02:22:42

限りなく近づく数と、極限値を同一視するかどうかで議論がわかれる。
さ・ら・に、
０．９９９９・・・が限りなく近づく数を表すのか極限値を表すのかどうか
で。
でっかちゃんだよー

661 ：中卒止まり：2006/09/23(土) 05:41:30

～ん？
詰まり、
何だか0.999…≡1成る0.999…と、￢(0.999≡1)成る0.999…とが有り得る訳なんですな？

然しながら、3*(1/3)成る0.999…に限っては⇒≡1と成るのですな？

662 ：中卒止まり：2006/09/23(土) 05:46:50

追伸
>>655、ｻﾝｸｽ。

663 ：中卒止まり：2006/09/23(土) 05:48:30

追伸間違え改
>>651、ｻﾝｸｽ。
いや、続く皆さん、ｻﾝｸｽ。

664 ：１３２人目の素数さん：2006/09/23(土) 09:51:09

生姜ねぇ
3*(1/3)≡1
1/3=0.333･･･
3*(0.333･･･)=0.999･･･

665 ：中卒止まり：2006/09/24(日) 07:03:34

>>664
感謝、やはりヒトの同意がないと思い切りがつかないもので。納得する事ができました。

666 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 12:49:03

>>664
違うんじゃーねェ。

667 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 19:57:55

で、結論はどっち？

668 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 20:00:45

>>665
そんなんで納得するんなら、過去レス読んでればいいだろ

669 ：666：2006/09/25(月) 20:30:04

>>667
俺が言いたいのは、循環小数（0.999･･･）とは、
９／９の（無限）小数展開なのか、
（因みに３×１／３と３×0.333…が意味合いが違うとは？）
初項0.9 等比10^(-1)の等比級数の無限項までの和なのか、
っていうことなんだけれどもね。
マァ、(α-Δ)^2=α^2+2Δだとすれば、同値と考えるのが宜しいのかと。

670 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 20:48:19

> 3*(0.333･･･)=0.999･･･

この 0.999･･･がどこからどうやって出現するのかが問題だ

671 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 21:36:31

わかってるとは思うけど、念のため
1≠0.999・・・なら当然
1/9≠0.111･･･、1/3≠0.333･･･
だよね～♪

672 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 21:40:12

>>669
無限小数展開とはなんだ？
9/9＝1に決まってる！

673 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 22:05:30

1/3*3で0.9999…っていうのは四則演算の不具合が原因かと
本来は解は1が正解なんだから

674 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 22:28:55

( α - Δ )^2 = α^2 - 2Δ + Δ^2

675 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 22:43:26

>>673
0.999…＝1だから不具合はない。

676 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 00:24:31

>>675
それを回避するために分数計算があるんだろ？

677 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 00:50:50

>>674
Δ^2は無視しても良い。大学初等解析ぐらいかな？
でも解析やっていると、Δ^2=0が正解と思えてくる・

678 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 01:16:46

>>676
0.999…＝1が成り立つのだから、そもそも回避する必要がない。

679 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 01:18:35

>>678
成り立つ、って証明の中で使われてるんだよ。

680 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 01:23:54

不具合と言うなら、表記の仕方が一意じゃない小数表記の方だろうな

681 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 02:00:43

>>679
過去ログ嫁。
>>680
分数もまた表記の仕方が一意ではない。1/2＝2/4とかな。

682 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 07:09:35

>>681
その分数の場合は表記の問題といえない。･･･がないので、
1/2と2/4が同値類であることが明確。

0.999･･･/1.999･･･

683 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 07:11:09

α^2 - 2Δ と　α^2 + 2Δ は大きく違う。

684 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 07:44:37

ゴメン、訂正。
×　(α-Δ)^2=α^2+2Δ
○　(α+Δ)^2=α^2+2Δ

685 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 07:47:05

まだ間違えてるじゃないか、・・・・・orz
×　(α-Δ)^2=α^2+2Δ
○　(α+Δ)^2=α^2+2Δα

686 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 14:50:48

>>682
0.999…と1が同地類であることもまた、実数の構成の仕方から明確なわけだが。
実数論でも勉強して来いよ低脳。

687 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 15:06:45

>>686
そんな言い方してると揚げ足とられるぞ

688 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 15:19:23

まあ、>>682がアレなことには変わりないけどな。

689 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 16:42:59

>>686
なるほど
同地類か

690 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 16:45:32

ちなみに
0.999･･･の表記は
コーシー列ではないので勘違いしないように。

691 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 17:24:32

ﾃﾞﾃﾞｷﾝﾄ

692 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 20:18:47

>>686
0.999･･･と1に
どんな同値関係が構成されてるんだ？

693 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 20:18:57

切断？

694 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 20:21:18

>>692
同値じゃなくて同地類だって。

695 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 22:09:06

0.9999…は少数点数以下を切り捨てたらどうなるんだ？

696 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 22:10:39

697 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 22:22:19

切り捨てるなら0だな。

698 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 22:24:52

>少数点数

もうなんていうか、だめすぎだ

699 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 23:29:55

>>698
まあ、それはミスタイプだ
で、どっちなんだ？

700 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 00:01:58

ふつーに１だろ。

701 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 00:16:19

x≧0に対してf(x)＝(xを無限小数展開し、小数点以下を切り捨てた数)とおくと、
この写像fはwell-definedではない。実際、1＝1.000…＝0.999…だから
f(1)＝(1.000…の小数点以下を切り捨てた数)＝1
f(1)＝(0.999…の小数点以下を切り捨てた数)＝0
となり、矛盾。

702 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 00:16:45

>>700
それは切り上げ

703 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 00:27:41

有理数xに対して、g(x)＝(xの分母をなくして、分子だけにした数)とおくと、
この写像gはwell-definedではない。実際、x＝1/2のとき、1/2＝2/4だから
f(x)＝(1/2の分母をなくして、分子だけにした数)＝1
f(x)＝(2/4の分母をなくして、分子だけにした数)＝2
となり、矛盾。

704 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 00:28:52

ゴメンネ。>>703の3行目と4行目はf(x)じゃなくてg(x)にしといて。

705 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 01:50:13

参考までに切り捨ての定義
任意の桁、n桁より1桁小さい数が何であれn桁未満は破棄する

少数点数以下切り捨ての条件で0.999…を切り捨てて1になるのは切り捨ての定義に反するかと？

706 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 02:12:06

>>705
>>701,>>703

707 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 19:35:58

そもそも無限というのは概念、
9が無限に続くというのは概念なわけだから、
1=0.99…というのは定義されれば真だし、されなければ偽、
でも有限/∞=0という定義(概念?)があるわけだから、
0.99…=1でよか(ry
(0.99…)^∞はいくらになる?

708 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 19:58:17

>>707
y=1/xに於てyが0という値を取るのか、証明して見せてくれ。
（これは定義じゃないよ。1=0.99…も。）
なぜ突然、(0.99…)^∞が出てくるのか教えてくれ。

709 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 20:02:23

>>708
ｙは0にはならないよ。
（0.99･･･)^∞の定義もないよ。

710 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 00:25:40

>>709
そんなことは聞いておらん。

＞ｙは0にはならないよ。
ならないというのならば、ならない証明をしてくれ。
なるというのならば、当然なると言う証明もね。

711 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 00:43:04

とりあえず>>2-5あたり見てから論議しようぜ。

712 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 02:20:22

>>711
それとは違う議論なんだけれども、
テンプレに書かれていることしか議論しちゃいけないのかい？

713 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 06:35:50

ん？
y=0にならない証明がわからないの？
y=0とすると1/x=0となるxが存在するが、
この場合1=0となって矛盾。

714 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 23:13:30

>>713
素直に証明をしてくれてありがとうね。マァ、それが正解かどうかは置いといて、
で、初項0.9 等比10^(-1)の等比級数の無限項までの和の極限が１だからと言え、
級数の和が、極限値を取るかどうかは、検証し証明しなければいけないこと。
ではないのか？

715 ：１３２人目の素数さん：2006/09/28(木) 23:25:11

数列に極限値があることと、どこかの時点でその値をとることは全く別物でしょ。

716 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 00:20:12

＞級数の和が、極限値を取るかどうかは、検証し証明しなければいけないこと。
その必要は無い。なぜなら、
＞初項0.9 等比10^(-1)の等比級数の無限項までの和の極限が１だから
↑自分でそう言ってるから。

717 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 00:41:13

「等比10^(-1)」「無限項までの和の極限」「級数の和」
俺が採点者ならこの時点で×。部分点1点くらいはやる。

718 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 00:55:35

×等比
○公比

×無限項までの和の極限(無限項までの和は既に極限操作を施している)

×級数の和(級数という言葉自体が既にΣaiの意味。従って級数の和はΣ(Σai)になる)

719 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 18:53:40

>>715と>>716で言っている事が正反対だと思えるんだけれど。
因みに、>>715の方が正しいのではないだろうか？

720 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 19:27:05

>>719
>>715は数列の項が極限値をとらなくてもいい、と言ってるのだろう。
無限級数はそれ自体が極限値（あれば）なんだから、
その値をとるとかどうかって話にはならないと思う。

721 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 20:00:12

極限値が'1'であるというのは
'1'との差が無限小になると言っているのであって＝１を証明した事にはならない。
それを強引に極限値が'1'だから＝１になる、として使用している。
'1'にならないものに対して極限値が'1'だから＝１とおく、というのは
ごまかし以外のなにものでもない。

722 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 20:12:25

>>721
> '1'にならないものに対して極限値が'1'だから＝１とおく、というのは

何の話だ？

723 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 20:19:16

>>721
何に対して述べているのかがわからないので0点。
これは部分点すらやれない。

724 ：１３２人目の素数さん：2006/09/29(金) 23:54:03

>>721
そう見なしても特に矛盾は発生しないし、利点はいっぱいあるし、論理は簡単に
なるし、問題は「心理的」なモノ以外は特にないので、ふつーの解析学ではそう
定義しているだけ…。

725 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 00:17:36

>>724
「見なし方」をハッキリさせなければ、そう見なそうとしても駄目。もちろん、大抵の場合
「見なし方」は複雑なものになるし、「見なし方」をハッキリさせたところで無矛盾性は
証明できない(ゲーデルの不完全性定理より)。しかし、だからと言って何でもかんでも
ゲーデルの不完全性定理を口実に「見なし方」の議論を全て切り捨てて「とりあえず矛盾は
発生しないから良い」などと言って片付けるのは数学をやる者の姿勢ではない。なんつーか、
「見なし方」を自分のオツムでは理解できないから、適当な理由(ゲーデルの不完全性定理)を
持ってきて自分を正当化してるように見える。

726 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 00:28:22

>>725
見なし方は「実数の定義」でいいだろ。>>724とかの表現はそれの簡略版。

不完全性定理はあまりに強力で破壊力抜群だから、そんなふうに煽られても
だれも対処できんっしょｗ

727 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 00:54:08

よっく解った、級数と極限の奸計は信仰なのね。
Δ＾２は０であるというようなものか。

728 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 01:06:26

>>726
図星かな？低脳クン。
＞見なし方は「実数の定義」でいいだろ。
その後にデデキントの切断やコーシー列といった単語が出てこないのが>>726クオリティ。
自分のオツムでは理解できないから、これらの単語の1語たりとも書きたくないのだろう。
＞>>724とかの表現はそれの簡略版。
「実数の定義」という言葉自体が既に簡略版なわけですが。そして、そもそも>>724は
簡略版では無い。単純に簡略したときとは違った、「別の情報」が含まれてるから。
>>724はこう読める。

「不完全性定理により、『見なし方』の議論をしても無矛盾性は証明されない。従って、見なし方の議論は
一切する必要が無い。与えられた定義に対して、『こう定義してもとりあえず矛盾は見つからないから、
それでいいのだ』と言っておけばよい。そうすれば論理が単純で済むから(＝低脳な自分が正当化されるから)。」

なぜこう読めるかと言うと、それは、>>724には「論理は簡単になるし」という表現があるから。そして、さっき
書いた「別の情報」とは、まさにこの「論理は簡単になるし」という情報。もし、単純に「簡略化して書こう」と
思っているのなら、「見かけ上は論理が簡単になるように見えるが、その背後には、ハッキリした『見なし方』の
壮絶な議論が繰り広げられている」ことを分かっているから、「論理が簡単になるし」なんて書けないのだよ。

729 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 01:49:46

>>727-728

煽りは不要ｗ

自分が「こうだと思う」とするモノがあるなら、論理で攻めてこいよ。
ちなみに>>724ってやっちゃったのは、単純ミスｗ　（これは正直スマン）

デテキントとかコーシーとかは…普通理解しているのがこの板ではデフォなのでは？

730 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:04:03

追記
>>726クオリティに従い、何でもかんでも「とりあえず矛盾は発生しないから良い」などと
言って片付けていると、何も生まれない。「見なし方」の議論によって生まれた様々な
アイデアが、新たな理論や新たな計算方法を作り出す種になることがあるからだ。極限値を
例にとると、もし世界が>>726のような人間だけだったら、ε－δ論法は生まれなかっただろう。
「実数はこの極限計算が成り立つとしても矛盾しないから、それで良い」とか言ってな。
すると、ε－δ論法の考え方と親和性が非常に高い概念(コーシー列とか、関数の一様連続性とか)も
生まれない。あるいは、生まれたとしてもその発生は非常に遅くなり、数学の発展に著しい障害を
もたらす。関数解析学で非常に重要な役割を果たすベールのカテゴリー定理(ここから有名な一様
有界性の定理・閉グラフ定理・開写像定理等の強力な定理が証明される)は、ε－δ論法無しにどう
やって記述するのか、俺は知らない。>>726のような思想の人間しかいない世界での数学に
関数解析は無いだろう。

731 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:13:45

>>729
＞煽りは不要ｗ
煽りではなく、事実を書いたまで。

「こう定義してもとりあえず矛盾はないから、それでよい。それ以上考える必要はない。
考えても無駄だからだ(不完全性定理より)。そして何より、論理は簡単で済むからだ」

こういう浅はかな思想を持った低脳が>>729。数学において「考える」ことに無駄なことなど
無い。考えたことが無矛盾性の証明に役立たなくても(実際役には立たない)、別の機会において
役立つことはたくさんある。自分が理解できないからといって、不完全性定理に全てを押し込め、
論理の(表面的な)単純性だけを追求し、「考える」ことを止めた人間に数学は出来ない。

732 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:20:27

ε－δ論法をオレ否定してたか？つーか、ε－δ論法がないとふつーは「連続してる」って
のもキチンと定義できんっしょ。開集合？

733 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:21:15

>>731
自分勝手にこちらの考えを決めつけ、それを批判するのは「煽り」以外の何者でもないわなｗ

734 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:32:36

>>732
＞つーか、ε－δ論法がないとふつーは「連続してる」ってのもキチンと定義できんっしょ。
関数の連続性の定義：lim[x→a]f(x)＝f(a)が成り立つ
lim[x→a]f(x)の定義：xがaに限りなく近づくとき
>>733
決め付けではなく　事　実　。お前が>>724で書いた「論理は簡単になるし」という表現が
全てを物語っている。

「こう定義してもとりあえず矛盾はないし、メリット満載だから、それでよい。それ以上考える必要は
ない。なぜなら、考えても無駄だからだ(不完全性定理より)。そして何より、論理が簡単で済むからだ」

これがお前の思想。もしそうでないとするなら、どうしてお前はいつもいつも不完全性定理にすがりつき、
「見なし方」を議論する行為を無意味だと

735 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:37:36

途中で送信しちゃったよ…

>>732
＞つーか、ε－δ論法がないとふつーは「連続してる」ってのもキチンと定義できんっしょ。
関数の連続性の定義：lim[x→a]f(x)＝f(a)が成り立つ
lim[x→a]f(x)の定義：xがaに限りなく近づくときf(x)はf(a)に限りなく近づく
これがうまく定義されるように、実数の体系は定義されている。はい、オシマイ。論理も簡単でよろしい。
↑これがお前のやり方(ちょっと極端かね)。
＞ε－δ論法をオレ否定してたか？
俺がいつ、どこで、「お前はε－δ論法を否定している」と書いたのか？どこにも書いてない。俺が
書いたのは、「お前のような思想の人間しかいない世界ではε－δ論法は生まれない」ということ。
お前のように不完全性定理にすぎりつき「見なし方」の議論を疎かにする姿勢が、いかに生産性が
無いかを書いただけ。

736 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:39:01

>lim[x→a]f(x)の定義：xがaに限りなく近づくとき
これって論理式で表現したらどうなる？
もしくは、「○○という性質を満たす操作」として定義するならどうなる？

737 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:43:28

>>736
上の人も言っているけど、limって曖昧だよね。きちんと論理式とかで定義してくれよ。

738 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:46:42

>>737
0.999…＝1という式の「…」って曖昧だよね。きちんと論理式とかで定義してくれよ。
そして、その定義の上でこの式がちゃんと成り立つことを示してくれよ。
Σ[i＝1～∞]9/10^i＝1の「Σ[i＝1～∞]」の部分って曖昧だよね。きちんと論理式とかで
定義してくれよ。そして、その定義の上でこの式がちゃんと成り立つことを示してくれよ。

739 ：738：2006/09/30(土) 02:50:10

次はアンカミス…　>>736に変えといて下さい。

740 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:54:52

>>738
どっかで書かれてたと思うけど。
0.999… = ∑[i=1,∞]9/10^i = lim[n→∞]∑[i=1,n]9/10^i
数列{a[n]}に対して、lim[n→∞]a[n] = a ⇔ ∀ε,∃n,∀m,(ε∈R ∧ ε＞0 ∧ n∈N ∧ m＞n)⇒|a[n]-a|＜ε
出てくる論理記号やR,Nの定義については記号論理や基礎論の教科書でも見れば載ってる。

741 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 02:58:21

なんだ、また例の文通が始まったのか？

742 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 05:48:18

∀ε,∃n,∀m,(ε∈R ∧ ε＞0 ∧ n∈N ∧ m＞n)⇒|a[m]-a|＜ε

∞∈{無限：x：∀n∈N(x>n)｝
∀∞,∀ε,∀ｎ,( ε∈R ∧ ε＞0 ∧ n∈N ∧ ∞∈{無限} )⇒|a[∞]-a|＜ε

743 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 08:56:09

またWikipedia信者が湧いたのか

744 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 19:20:22

0.999…＝1という式の「…」って曖昧だよね。きちんと論理式とかで定義してくれよ。

じゃあ俺の使ってる問題集の数列の問題は「解けない」が正解なのか

745 ：１３２人目の素数さん：2006/09/30(土) 20:03:50

そもそも問題集なんて大して信用のおける代物では
ないのだが。でも大学への数学は別｡

746 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 08:22:38

極限値が1
　↓
実数Ｒの中で１以外の実数にはならない
　↓
＝１である。

という流れは理解できる。

問題は１になる、と言っておきながら、１にはプロットされない、という解釈である。
こういう解釈をするから≠１だけど＝１にしている、と言われる。
級数とその極限値は同じ値を取るべきである。

747 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 09:13:35

>級数とその極限値は同じ値を取るべきである。

級数や極限値について無知でないとこんな表現できないよな。
まず国語からたのむよ。

748 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 15:31:27

今月号のニュートン誌に実無限と可能無限の歴史的話が載っているね。
イラストつきだと、なんだか理解したつもりになるなあｗ

可能無限の立場だと0.999…は「ない」ってコトでＦＡ？

749 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 20:17:00

いや、あるだろ

750 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 23:14:32

＞問題は１になる、と言っておきながら、１にはプロットされない、という解釈である。
極限値に関して言えば、そんな解釈は存在しない。

751 ：中卒止まり：2006/10/02(月) 18:38:57

極限…
｢～移行すれば｣or｢～値をとれば｣
(ﾆｭｰﾄﾝ流でいうところの｢流率｣的に言えば｢究極的には｣)
0.999…＝1
で、更に0.999…＝1とは限らない解釈が超準解析にある、でFA？

752 ：１３２人目の素数さん：2006/10/02(月) 19:30:44

チャウね。
3×0.333…-lim[n→∞]∑[i=1,n]9/10^i =r
このrが0で有る事を証明しなければいけないんだろ。
普通（普通ってなんだ？）に証明できれば、超準解析でも証明できるはず。

753 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/02(月) 19:42:50

では、そこだけでも学習致します。
超準解析と迄いくと私には難解だか、＝１成る0.999…、≠１成る0.999…、両者の違いだけでも…。

754 ：１３２人目の素数さん：2006/10/02(月) 21:46:35

大雑把に言うと、超準解析だと無限大超自然数が存在するんだけど
「…」という小数点以下の桁が無限大超自然数全体まで続くかどうかの違い。
もうちょっと専門的に言うと、超実数体がアルキメデスの原理を満たすかどうかについて
二通りの解釈が可能って事。

ただぶっちゃけて言うと、「超準解析なら1=0.999…とならない解釈も可能」っていうのは
半分ネタだと思ってた方がいい。
何度も指摘されている通り、超準モデルでも成立する「定理」は変わらないから
「1=0.999…」が標準的な実数で証明できるなら、それは超準解析でも成立する。
そうならない解釈ってのは、定理の意味をねじ曲げた、アドホックな解釈なんだよ。
スレ的には両方の解釈が可能っていう方が面白いけど、
正確な知識のないまま言ってたらトンデモ扱いされても文句は言えない。

755 ：１３２人目の素数さん：2006/10/02(月) 23:13:28

難しいな。

ふつーの実数で「１＝０．９９９９…」が証明できるなら、超準解析でも証明できる…。
でも、…が自然数の範囲で続くだけで、超自然数の範囲では続かないならば
「１≠０．９９９９…」という解釈も成り立つってコト？
で、その場合でも、ふつーの実数の範囲では依然として「１＝０．９９９９…」だと。

756 ：１３２人目の素数さん：2006/10/03(火) 13:08:52

>>752
そう書かれると、0.333…も数列の和の極限でないとなんか気持ち悪いな

757 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/03(火) 18:05:22

了解、納得。小数点下どこ迄も限り無く9成るわけね。
そもそも、≠1成る0.999…とやらは、＝1/3成る0.333…の３倍の0.999…ではないし、それ以前に0.999…と書けないのですね？

758 ：１３２人目の素数さん：2006/10/03(火) 18:11:55

>>757の1行目改編
了解、納得。小数点下どこ迄も(超限桁以降も含めて)9である必要があるわけね？

因みに、特に>>754向け。

759 ：１３２人目の素数さん：2006/10/03(火) 18:48:31

>>756　スンマソ。
3×0.333…-lim[n→∞]∑[i=1,n]9/10^i =rは
3×1/3-lim[n→∞]∑[i=1,n]9/10^i=3×0.333…-lim[n→∞]∑[i=1,n]9/10^i =r
の意味で書込んでた。

1/3=0.333…,,,0.000001←算数的にはこの表記が正しいのでしょ。
1=9/9【←この表現は確かに違和感がある。】=0.999…...0.000001
∴1-∑[i=1,n]9/10^i=0.0...【0がnこ続く】...1

760 ：１３２人目の素数さん：2006/10/04(水) 23:58:31

ダーツ問題

ダーツの中心を狙って矢を投げたとき、
矢（の中心）がダーツの中心以外にあたる確立を１とするなら、
ダーツが中心にあたる確立はゼロ、
すなわち中心にあたることは微塵もありえないことになってしまいます。

761 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:13:14

そうだね。

762 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:13:21

>>760
＞すなわち中心にあたることは微塵もありえないことになってしまいます。
それは当然のこと。集合論を基礎に構成される3次元ユークリッド空間上に
的・ダーツ(もちろんこれらは実物の的・ダーツではなく、仮想のもの)を
持ってくれば、ダーツが中心に当たる確率はゼロになる。これを実際に
存在する的・ダーツに当てはめて考えてはいけない。

そもそも、実際に存在する的は完全な円ではないから「中心」も無い。

763 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:21:43

つーか確率0なら絶対に起きないというのが間違いだろ。

764 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:25:32

>>760
だから何？

765 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:39:42

>>763
そのとおり
1=0.999・・・となる確立はゼロ
しかし、絶対に起きないというわけではない。

766 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:41:31

>>765
確率

767 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:47:30

>>763
確率０は絶対に起きないということ。
確率の常識。

768 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 00:53:45

>>767
間違いだよ。よく勘違いしている厨はいるけどね。

769 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 01:36:03

>>768
確率がゼロに限りなく近い場合極限をとってゼロとみなすが、
極限確率がゼロであるのと、確率がゼロであるのとを
ここでは区別して記すべき。

770 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 02:17:28

>>769
確率の定義もわからんとは

771 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 04:58:51

>>769
確率の定義から、　極限確率＝確率　になってしまうのでは？

772 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 10:07:57

＞ダーツの中心を狙って矢を投げたとき
数学的思考をすれば、この与条件をどう捉えるかだろう。
これ以外の条件設定がされてないとしたら、
中心に当たる確立が、１ではないのか？

773 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 12:52:41

統計的確率の思考だな。
このスレでそれを議論するのはナンセンスだと思うのだが・・・

寧ろこのスレが近いかも
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1039939141/

774 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 22:41:34

>>773
思考力の無い奴は発言を控えろ。

775 ：１３２人目の素数さん：2006/10/06(金) 08:07:12

そもそも>>760は
「0.999…=1とするなら1-0.999…=0となります。よって0.999…=1です」
って言ってるようなもんじゃね？

776 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 04:14:17

０．９９・・・・・・・・＝１
なにがおかしいの？

lim x=1
ｘ→１
でしょ。

777 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 04:41:48

x＝0.000…001 (無限桁目が1)
y＝0.000…999 (有限桁目は全部0，無限桁は全部9)
とおくと
x＋y＝0.000…000＝0

778 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 04:46:15

>>777
０にはならないよ。
ｘとｙの極値を考えて足し算をすればいいだけ。

779 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 06:13:59

>>778
xとyを足せば、繰り上がりが起きるので、どこかの桁が1になるはず。ところが、
繰り上がりによって無限桁目は全て0になり、かと言って有限桁目も全て0のまま
なので、どの桁も0ということになり、x＋y＝0になる。

780 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 11:20:50

「無限桁目が1」とか「有限桁目は全部0，無限桁は全部9」とか・・・

「お前は無限がわかっとらん」とはあえて言わんが、
君の考えてる無限は相当特殊だ。

781 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 18:38:39

1/3＝0.3333・・・両辺に3をかけて 1＝0.9999・・・

782 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 21:27:30

0.99999.... と1に差はあるのか（＝0.9999....と1は等しくないのか）
仮にあれば差は0.0000.....1である。
しかし、実際には0.0000....001と0の行列が終わればの話である。
しかるに、0.9999....なので0.0000....の行列は無限である。
したがって、0.0000....1という数は存在しない。
したがって、0.9999....＝1でなければならない

783 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 23:23:18

この問題ってごちゃごちゃ書いてる奴が多いが、要は表記の問題だろ？

784 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 23:57:59

>>781
もう一度書こう。

limx=1
X→１

785 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 23:59:07

>>784
ミス

lim X=1
X→１

＝　とは、等しいという意味。

だから、Ｘ＝０．９９９９９９９９９・・・＝１

786 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 10:32:18

>>783
表記の問題にもなるし、何か数列の極限値の問題にもなるし、いろいろあるよ

>>785
説明不足だ

787 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 13:27:27

>>786
lim X=1
X→１ -0

これならいい？

788 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 13:32:42

>>787
０．９９９９９９９９９・・・の定義は何なの？

789 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 13:37:43

もうちょい詳しく書く。
lim X=1（下部分は省略）のXは変数だよね。
一方Ｘ＝０．９９９９９９９９９・・・って書いてるのは、何かの定義によって確定した数を表してるんでしょ？
この二つのXは全く別ものだから、０．９９９９９９９９９・・・の定義をはっきり書いて証明する必要がある。

790 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 15:02:36

まあ、確定してないって言う人もいるけどな。

791 ：１３２人目の素数さん：2006/10/18(水) 02:31:00

>>789
やっていることは同じでしょう。

792 ：１３２人目の素数さん：2006/10/18(水) 23:19:39

0.999・・×0.999・・×0.999・・×・・＝0.0000・・

793 ：１３２人目の素数さん：2006/10/18(水) 23:23:26

>>792
証明くらい出来るんだろうな？

794 ：１３２人目の素数さん：2006/10/19(木) 01:11:10

1=0.9999… が納得できない
http://ex11.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1161169724/

795 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 00:54:31

無限級数の和の順序変えちゃいけないってのは、
知ってるんだけど、これって公理としてあるの？

796 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 01:46:37

和の順序を変えちゃいけないのは証明可能(an＝{(-1)^n}/nとでもおいて適当に
並べ替えて計算してみればよい)だから、公理化する必要が無い。

797 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 02:09:08

だけど、和は可換なんだから、制限しないと並べ替えしても良いという事になるんじゃないの？

798 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 02:57:57

>>797
「並べ替えをしてはいけない」という制限は確かに必要だが、
これは定理であって公理では無い。だから公理化は要らない。

799 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 03:26:02

なんか納得いかないな。
「和は可換」というのは公理で定められていて
ここから、「任意個の和も可換」という定理が導かれる。

「無限個で可換を認めると矛盾するから、無限個では非可換」と言うなら
可換の公理を制限しないと矛盾という事になってしまうのでは？

800 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 04:32:10

＞「和は可換」というのは公理で定められていて
＞ここから、「任意個の和も可換」という定理が導かれる。
「和は可換」という公理から導かれるのは「任意個の和も可換」ではなくて、
「任意有限個の和も可換」でしかない。「和は可換」という公理は無限個の
和に関する可換性を保証するものでは決して無い。任意有限個の和に関する
可換性しか保証していない。

801 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 08:18:30

>>799
各項が有理数の無限級数が無理数になることがある。
だからといって、有理数は加法について閉じているという
定義を変える必要はない。

802 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 23:56:22

そもそも、
> 「和は可換」というのは公理で定められていて
どこの公理だよ。和の具体的な計算定義から導かれたものだろ。

803 ：１３２人目の素数さん：2006/10/21(土) 00:26:02

そんなもん
両方のやり方がある
としかいえんと思うが

804 ：１３２人目の素数さん：2006/10/21(土) 01:05:10

＞「和は可換」というのは公理で定められていて
＞ここから、「任意個の和も可換」という定理が導かれる。
公理を定義と訂正すれば正しい。

＞「無限個で可換を認めると矛盾するから、無限個では非可換」と言うなら
＞可換の公理を制限しないと矛盾という事になってしまうのでは？
なってない。和が可換であることは、三項間でしか保障されていない。

805 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/21(土) 04:28:13

何か、｢ε-δ論法を認められない｣って向きの話に似てきたな。本ｽﾚ題も１＝0.999…だし、ぴったり。
要するに、この向きは論法中の数学的帰納法に納得出来ない、と言う事なのか?!
直観主義みたいだ。

806 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 03:06:27

少し調べてみた
極限に関する論議は今、世界的に活発で1/∞=0にしてよいのかは、まだどっちにも足つかずな状態が今の現状、よって1=0.999…もまた同じ
だってよ

807 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/22(日) 03:16:44

1/∞=0にしてよいのかを論議してる暇があったら北朝鮮のこととか議論せえよ。

808 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/22(日) 04:09:05

>>806
え、本当に？どう調べたんで？
ぐぐったら、抽出仕切らないでしょうに？
なんとまあ。

>>807
日本が直接出来る事は、もう先日なくなった！
各国への働きかけだけに…。

809 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 04:57:11

大学の数学の教授に聞いたり
その辺のことやたら詳しいぞ彼奴等ｗ

810 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 05:03:56

ぐぐっるなんて、安い情報なんて今更提示しないよ

811 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 09:04:55

アルキメデスの原理を認めれば1/n→0(n→∞）だろうに

812 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 09:43:04

>>809
そうでもないかもｗ
こういった本質的かつ哲学的なコトは意外に彼らは論議に慣れてない気がするな。
むしろココの方が深いトコ論議しているかもね。

まあ、そのきょうじゅの勉強の程度にもよると思うが…。

813 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/22(日) 10:45:50

>>810
そうですか、抽出仕切らないどころか、提示さえ無いんでしたか。

814 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 14:06:39

>>812
間違ってないと思うぞ？数学系の雑誌で>>806のようなこと見かけた事あるし

815 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 15:09:13

そうなのか？1=0.999…にした方が無茶利点があると思うがなあ。

816 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 15:21:23

まあ1=0.999…にすると困る事もあるからな
一概に言えないからいま、議論の活発なんだろ？
どっちも一長一短

817 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 15:48:15

>>816
例えばどんなのがある？

818 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 16:04:40

>>806
どういう論議なんだろ？
論議してる数学者の名前だけでも、いくつか教えてくれない？

819 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 20:58:53

>>816
もう一度かきますよ。
　　・
０．９＝1

理由
変数Ｘ＝０．９９９とおく。
ここで、
limX=1
X→１
ゆえに、正しい。

820 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 21:07:13

＞変数Ｘ＝０．９９９とおく。
変数じゃねえ

821 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 21:09:48

>>820
変数Ｘに数値を代入したら定数になるのかい？

822 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 21:35:01

>>820
どんまいける

823 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 21:35:17

なる。

824 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 23:16:50

>>819
極限のなんたるかをわかってない人は来なくていいよ。

825 ：１３２人目の素数さん：2006/10/22(日) 23:53:36

>>824
貴方、数学屋さん？
俺、昔から数学やっている奴とは相性が悪い。いつも喧嘩になる。

826 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 00:01:09

数学と相性が悪いんじゃないのか？

827 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 00:11:33

>>826
んにゃ！
ちがう。

828 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 00:28:23

>>819の言ってる事が意味不明ってことは理解できるの？

829 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 00:50:05

>>825
君が数学を理解してないバカだからだよ。数学やっている奴と
相性が悪いのではなく、数学と相性が悪い。間違いない。

830 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/23(月) 00:52:51

>>803-818、特に806からの話題がぶった斬られた!!

>>819
>>805で挙げた人達にとって、それ(例えば、極限移行)も判断の対象。

831 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/23(月) 00:58:43

つか…>>819は
＞０．９９９
の後に…を忘れとるんでは？
念の為。
だとしても…→>>830

832 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 01:06:07

最初にＸ＝０．９９９から始めて、X→１って書けばＸ＝０．９９９・・・になる
みたいなことが言いたいんだろうけどね・・・・よくわからん

833 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 01:38:10

>>828
意味不明というより、むちゃくちゃかもね。

これでよくね？

ＬｉｍＸ＝１
Ｘ→１－０

ゆえに、０．９９９・・・・・＝１である。

834 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 01:40:42

>>829
俺は物理やさん。
０．９９・・・＝１でＯＫなわけ。
拘る必要なし。
ｄｘといったら、微少量かついつまでも小さくなる数。

ｄｘ÷ｄｘ＝１でＯＫ。
ここにも拘りはなし。

835 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 01:51:12

数学は俺にとってはただの言葉。

836 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 02:28:37

言葉とはいわない

837 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 02:30:07

>>836
述語にかかる主語を見よ。
複文を書いたつもりで、俺にとっては言葉だ。

838 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 02:34:05

体言止めなので述語は無い。
で、何を言ってるの？ｗ

839 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 02:35:53

>>838
了解。
で、俺にとっては数学は単なる言葉に過ぎない。

840 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 02:41:11

過ぎないをつけないとわからない

841 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 02:43:33

>>840
ごめん。

842 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 02:56:17

許さん。これからはコテをつけろ。

843 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 02:57:03

コテとりじいさんは、前のじいさんのよーに振舞った所、あまりに振る舞いが下手だったために、
β達にコテをつけられてしまいました。

844 ：ぶつ＊：2006/10/23(月) 02:59:03

>>842
なら許さなくていいよ。
俺、数学屋嫌いだし。

845 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 03:19:49

いや、許そう。きみはこれから「ぶつ＊」だ。

846 ：ぶつ＊：2006/10/23(月) 03:22:31

>>845
１＝０．９・・・・・・・になる理由ですが、証明できないの？

俺は
limＸ＝１
X→１－０

で終わりなんだけど。

847 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/23(月) 03:24:59

何のことやら知らんが。とりあえず寝まふ。。

848 ：ぴか∠(．ﾟ－ﾟ) ◆pikaMw.D1M ：2006/10/23(月) 03:25:25

ここは酷い極限のスレですね

849 ：釣りじゃないと良いな・・・と思いつつ：2006/10/23(月) 18:19:55

>846
それだと0.99999・・・・と１への近付き方が違うんじゃない？

850 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 20:26:40

繰り返し

limＸ＝１
Ｘ→１－０

と書いてる人は何が言いたいんだろう。Xってなんなんだろう。二行目は、
一行目のlimの極限のとり方を指示しているんだろうか。それとも独立した
一行目を言い換えたのが二行目なのだろうか。この式は、0.999…とどういう
関係にあるんだろう。

851 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 21:14:00

>>834
物理屋は数学と相性が悪い。これは世界の真理。数学やってる奴と
相性が悪いのではなく、数学と相性が悪い。間違いない。

852 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 21:25:49

それを物理屋一般に拡張して欲しくないなあ。

853 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 21:26:05

相手にわかる（あたりまえの）表現もできないようなら
数学屋も物理屋もない、ただのバカ。

854 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 21:59:55

１／３＝０，３３３…
両辺を三倍して
１＝０，９９９９…
このスレの議論の内容ってこんな感じですか？

855 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 01:40:01

>>854
そんな程度です。
異論をとなえている奴ら。馬鹿だよね。

>>850
私も貴方の言いたいことがさっぱり分からん。

856 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2006/10/24(火) 01:47:57

おｗきちんとコテ使ってるねｗｗ

857 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 01:48:51

>>856
一応守ってみました。

858 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:00:51

「そんな程度」さえマトモに他人に伝えられない奴。馬鹿だよね。

859 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 02:06:06

>>858
アア、お前のことね。自己紹介おつかれ。

860 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:29:27

自分の説明が下手糞だから理解されないのに、それを他人の
せいにして逆ギレするのは”と”や”トンデモ”によくある傾向。

861 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 02:32:09

>>860
私が書いたこと、なにかへん？
高校数学の視点で考えたらああなった。
伝え方としては、>>854がうまいね。

>>860はなにが言いたいの？
私にぜんぜん伝わってこないよｗ

まさか、私に言ったわけではないとか言わないでしょうねｗｗｗ

862 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:34:10

>>846のように、数式を半角英数でなく全角で書き下す(「…」も「・・・」の方を使う)のも
トンデモによくある傾向だな。

863 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 02:35:10

>>862
君の主張は了解した。

さて、どこが間違っているのかね？

864 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 02:36:34

>>863
むろん、>>846のことですよ。
どこが間違えているのか、ご説明を。

貴方がトンデモでないところをみせてくださいな。

865 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:47:59

lim[n→∞]0.5^n＝0だからlim[n→∞](1＋1/n)^n＝1

↑この議論を見れば、誰でも、「だから」の前後の関係に疑問を持つだろう。
lim[n→∞]0.5^n＝0を使えばlim[n→∞](1＋1/n)^n＝eが証明できるのか？
もしそうだとしたら、一体どうやって証明するのか？あるいは、これら2つの
式は何の関係もないのか？いずれにせよ、説明不足。「だから」の前後の
式の関係が不明瞭。このような文章では他人に伝わらない。同じく、君の

lim[x→1]x＝1だから0.999…＝1

という主張も、「だから」の前後の式の関係が不明瞭なので、説明不足。
他人に伝わらない。

866 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 02:53:00

>>865
説明不足は了解したってば。最善は>>854

ところで、私の説明も間違ってはいないでしょう。

867 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:58:33

＞ところで、私の説明も間違ってはいないでしょう。
まだ分からんのか？君の説明が間違っているか否かを、他人がジャッジするのは
不可能なのだよ。なぜなら、君はまだ、他人に伝わる説明をしていないから。
他人から見れば、君の説明は「正しいのか間違っているのか分からない。説明不足」
としか映らない。

868 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:11:02

>>867
ＯＫ．ならいいよ。

869 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:22:09

ぶつ＊「lim[x→1]x＝1だから0.999…＝1だろ。」
↓
数学板住人「なんじゃそりゃｗ意味不明ｗｗｗ」
↓
ぶつ＊「うるせーよバカ。私の説明のどこが間違いなのか？」
↓
住人「君の説明は説明不足で他人に伝わっていない。」
↓
ぶつ＊「説明不足は了解したってば。ところで、私の説明も間違ってはいないでしょう。」
↓
住人「説明不足で他人に伝わっていないのだから、他人が君の説明の正否をジャッジするのは不可能。」

こうして眺めてみると、ぶつ＊は他人の視点に立って物事を考えることが出来ないらしい。
特に「私の説明も間違ってはいないでしょう。」のところ。他人に正否を判断させるには、
その前にまず、他人に伝わる説明が為されていることが必要条件。しかし、他人の立場に
立てない人間は、このことが理解できていない。だから平気で「私の説明も間違っては
いないでしょう。」などと口にする。

870 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:24:38

>>869
妄想お疲れ。

871 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:25:10

>>869
付け加えると、しつこい！

872 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:30:33

そして結局、「他人に伝わる説明」をせず、そのことに対する謝罪も無いぶつ＊なのであった。

873 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:34:15

>>872
なぜ、謝罪する必要があるの（爆笑）。
通じないのであればそれでＯＫ。
理解してもらわなくてもＯＫ。
伝わらなくてもＯＫ。

しつこいよ。おまえさん。粘着君ですか。
まあいいや。以降、無視します。

874 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:34:31

>>870
付け加えると、妄想じゃなくて事実。

>>866のように、十分な説明もしないうちに「私の説明も間違っては
いないでしょう。」なんて言う人間は久しぶりに見たヨ。

875 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:35:50

>>874
>>873をみよ。
ただ、徒然なく書いただけだからね。

876 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:40:19

＞なぜ、謝罪する必要があるの（爆笑）。
＞通じないのであればそれでＯＫ。
＞理解してもらわなくてもＯＫ。
＞伝わらなくてもＯＫ。
他人は理解できない、自分にだけ意味のある文章は、ここではなく、日記かチラシの裏にでも
書いてくれたまえ。自分勝手で迷惑だから。

877 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:42:29

>>876
ここの存在そのものがチラシみたいなもの。だからいいんじゃない。
誰も迷惑はしないさ。
実害がないだろ。

しかも、君の書き込みも身勝手だ。それこそ、日記にでも書いてくれたまえ。

878 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:50:28

limを使って書くなら、lim[n→∞] 1 - 10^(-n)　とか書くのが妥当なんじゃね？

879 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:52:25

>>878
同じでしょ（笑）

880 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:53:10

>>875
＞ただ、徒然なく書いただけだからね。
徒然なく書いた、どうでもいい文章なら、普通は「ただの独り言だから、スルーしてくれ」などと
言って、文章の内容の正否には固執しないはずなのだが。だって、どうでもいい文章として書いたの
だから。ところが君はその逆で、「ところで、私の説明も間違ってはいないでしょう。」と言って、
固執している。これは、>>846が徒然に書かれた文章では無いことを意味する。
また、>>876でも言ったが、徒然に書くような内容の”どうでもいい”文章は、ここではなく、
日記かチラシの裏にでも書いてくれたまえ。自分勝手で迷惑だから。

＞しかも、君の書き込みも身勝手だ。それこそ、日記にでも書いてくれたまえ。
そのセリフを君が言っても、説得力は無い。「ここの存在そのものがチラシみたいなもの。
だからいいんじゃない。」などという自分勝手極まりない決め付けを行い、自分を正当化
しようとする君が言っても、説得力は無い。

＞ここの存在そのものがチラシみたいなもの。だからいいんじゃない。
＞誰も迷惑はしないさ。実害がないだろ。
このように、自分勝手な決め付けを行う。しかも「誰も迷惑はしないさ」などと
言い、自分を基準とした価値判断によるこれまた自分勝手な推測だけを行っている。
やはりぶつ＊は他人の視点に立てない人間である。

881 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:53:57

結果として極限値が一緒だったら、何でもいいのかよ!

882 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:54:12

>>880
ながながとしつこい！

883 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:54:56

>>881
表記の仕方の問題で、言っていることは同じじゃん。

884 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 03:55:27

>>880
以降、あなたも無視します。

885 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:58:56

>>883
普通は違うものだと解釈されると思うよ。

3+7と2*5は値は等しいけれど、
「縦2メートル、横5メートルの長方形の面積は何平方メートルですか？」
という問題に
3+7 = 10　より　10平方メートル
と答えたらおかしいだろう。

886 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:03:21

>>885
＞普通は違うものだと解釈されると思うよ。
そうなの？
同じじゃない？

どこが違うのか、分かるようにご説明を。

>>885の例はいただけない。
長方形の面積の求め方と面積＋面積がごちゃごちゃになっているだけ。

887 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:06:18

ぶつ＊に関するまとめ。

・ぶつ＊は他人の視点に立てない自己中心的な人間である。
根拠：
>>866 (十分な説明もしないうちに「私の説明も間違ってはいないでしょう。」と言いのけるｽﾊﾞﾗｼｲ人間性)
>>873 (他人には理解できない、自分にだけ意味のある文章しか書かない。他人の視点に立てない証拠)
>>877 (ついには、スレを勝手に”チラシ化”する。「誰も迷惑はしないさ。」と、自分を基準にした自分勝手な主張)
>>882 (反省の色無し)
>>884 (思考停止。自分しか見えない人間の典型例)

888 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:06:52

>>887
チラシの裏に書いてね。

889 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:08:43

>>886

あのー。むしろどこが同じなのか、わかるように説明して欲しいんですけど。

こっちの説明としては
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…}という数列の場合、1への近づき方が決まっているが
lim[x→1-0]xの場合は1への近づき方が決まっていない
から、この二つはかなり違うと思うんですけど。

実際、近づき方が異なると極限値が異なるようなケース（真性特異点に近づく場合とか）
もあるし二つは別物だと思うんですが。

890 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:12:14

>>889
いちいち近づき方まで考えないといけないの？
０．９９９９９・・・・・＝１を示すのに。

>>854でよくね？

891 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:16:34

>>886
(1)実数列{an}が実数αに収束するとは、
・任意のε＞0に対して、ある自然数Mが存在して、n＞Mならば常に｜an－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[n→∞]anと書く。

(2)実数aのある近傍で定義された実関数f(x)が、x→aのときαに収束するとは、
・任意のε＞0に対して、あるδ＞0が存在して、0＜｜x－a｜＜δならば常に｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と書く。

このように、数列の極限と関数の極限では、その定義が違う(つまり計算方法が違う)ので、
lim[n→∞](1－1/10^n)とlim[x→1]x は、この意味において全然別のものになる(この場合は
値が同じになるだけ)。そう、3＋5と2×5が、全然別のもの(値が同じであるだけ)であるように。

892 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:17:56

訂正：
そう、3＋5と2×5が、全然別のもの(値が同じであるだけ)であるように。
↓
そう、3＋7と2×5が、全然別のもの(値が同じであるだけ)であるように。

893 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:18:50

>>890

近づき方を考えないといけないかどうか、と言うより
普通は0.999…（或いはより一般に無限小数展開）をある種の数列なり無限和なりで定義するから
自然に近づき方が定まるという事です。

>>854は
1/3 = 0.333…が成立するかどうか不明
0.333…*3 = 0.999…が成立するかどうか不明
なので、ナットクさせるには十分だと思いますが、論理的には不正確な
説明だと思います。ほんとうに上の二つの操作が正しい事を示すには
やっぱり結局極限の議論が必要になると思います。

894 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:19:11

>>891
０．９９９９９９９・・・・＝１を示すのに、どちらの手段でもかまわなくはないかい？

私は>>854ふぁ一番いいと思うけどね。

895 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:20:05

>>893
やれやれ、数学屋は嫌いだ！

896 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:22:20

>>895
基本的な事言ってスマンが、ここは数学板なんだよね。

897 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:24:12

ていうか、そもそもぶつ＊はどんな風に
0.999…を定義しているんだ。

898 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:24:51

>>895
この段階で思考停止するのが物理屋。そういう性格だから仕方が無い。そういう性格であるが
ゆえに、数学と相性が悪い。あなたは「数学屋が嫌い」なのではなくて、「数学が嫌い」なのよ。
この段階で思考停止するような性格の人間は数学と相性が悪い。

899 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:25:23

　　　　　　・
１/３＝０．３

これは正しくないの？
不明なの？？
なぜ？？？

900 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:27:56

>>898
正しい。なにせ、数学は言葉に過ぎないからね。言葉の正確な意味まで知る必要はない。

ｄｘ÷ｄｘ＝１で十分納得がいく。
２ｄｘ÷ｄｘ＝２で十分納得がいく。

ｄｘ　単体で存在しても十分に意味が通じる。

901 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:30:36

>>899
そもそも循環小数はどう定義する？って所から考えるのが、このスレのスタンス。
「3が無限に続く」という事を数学的にキチンと扱うには
極限の議論が必要なんだよ。

902 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:33:04

まあ、循環小数に限れば極限とか言わなくても（無理やりやれば）定義できるけどな。
>>338とか。

903 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:33:40

>>900
＞言葉の正確な意味まで知る必要はない。
ここは「0.999…って本当のところは何なのよ？」＝「0.999…という言葉の正確な意味は何なのよ？」
というスレなのですが。つまり、「言葉の正確な意味を考える」ためのスレなのですが。

904 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:34:26

>>901
なるほどね。了解。
おれはいいよ。

ところで、数学者もだらしないね。循環小数って中学校の教科書に明記されているけど、それすらまともに解決できないの？

905 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:37:17

数学者は解決できてるんだよ。

906 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:38:48

>>904
キチンと解決しているが、それを「完璧に説明」すると中学校の範囲を超えるので、誤魔化している。
ここであなたに「完璧に説明」しても良いが、その場合、あなたは「これだから数学屋は嫌いだ！」と
言って思考停止するから、説明しない。

907 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:43:00

つーか、物理屋さんも教養のときにこの辺りの話は習うはずだと思うんだけど

908 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:43:01

解決はしてるけど、今から150年前くらいにやっとだからね。
まあそれだけ無限の扱いは難しいって事だ。

909 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:44:21

>>906
わかった。前言撤回するよ。俺が悪かった。あやまる。

ごめんなさい。

どうか、ご説明をお願いいたします。

910 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 04:46:56

>>907
ごめんね。無視した。その単元。
でも、量子電磁気学まで特に困らなかったよ。一般相対性理論のときもね。
物理全般で、それが分からなくて困ったことがなかったよ。

911 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:49:28

ぼくも、

1=0.999…

は、おかしいと思う。

「１」と、「１に極限まで近づく」ということは、論理的に考えて違う。

>>4の証明なんて全部詭弁だ。

912 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 04:58:01

>>911
「0.999…」は何かに近づいているわけではない。
大雑把に言うと、0.9, 0.99, 0.999, …と続く数列が
近づく先の値を表したものが「0.999…」なんだよ。

913 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/24(火) 05:59:58

…先ずは>>854を改編其の壱。
↓
このスレの内容は
1/3=0.333…
両辺を３倍して
1=0.999…

…続いて其の弐。
↓
このスレの内容は
　　　･
1/3=0.3
両辺を３倍して
　　･
1=0.9

…壱・弐、どちらでも、ご自由に。
また、これらに>>338＆>>893＆>>901-902を添える。

914 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/24(火) 06:07:04

更に、もっと重要なのは、本当のところ(らしき事)は、
>>806らしい!!
↑この話題、ぶった斬られて、途中のまま…。
付け加え>>803-818

915 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 07:45:17

>>911
たぶん永遠に「極限」を理解できないんだろうね。

916 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 07:47:02

>911

極限まで近付いてさらにとぶんですよ（なに？

917 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 11:28:51

>>911
> 「１」と、「１に極限まで近づく」ということは、論理的に考えて違う。

「Xに極限まで近づく」のXの部分を数字でとりあえず0.999・・・って書いてるんだよ。
だから、0.999・・・が1に近づくんじゃなくて、そのなんらかの数列が0.999・・・に近づくわけ。
で、近付く先っていうのは1なんだから、
0.999・・・=1

918 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 11:44:26

数学的には1=0.999・・・を示すのに
１>=0.999・・・を示して
1<=0.999・・・も示すと思うんだけど、
1<=0.999・・・の証明ってどんな感じだっけ？
見た記憶があるけど錯覚かな

919 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 11:59:36

う～ん、何度説明されても納得いかないなぁ。

それじゃ、
１÷∞=０になるの？

920 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 12:42:27

>>919
∞は８を横にした数？0.25

921 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 12:50:18

>>920
いや、０を二つくっつけた数だと思うな。

１÷００＝０　、これは何かの暗号に違いない。

ところで、９０６氏には無視されてしまうし、結局、ここの板には０．９９・・・＝１になることが説明できる人はいないのでしょうか？

922 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 13:00:22

なるんじゃなくて、そうするんだよ。

923 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 13:02:40

誰をも納得させうる人は、いないんじゃないですか？
「ここの板には」だけじゃなくて、どこにも。

924 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 13:05:06

「う～ん、何度説明されても納得いかないなぁ。」
なんて言う人もいるんだから、誰をも納得させる人もいない。

925 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 13:06:52

「0.999…=１」で、「１に極限まで近づく」とは違うんだったら、
「１に極限まで近づく」はどうやって、数学的に表現するの？

926 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 13:29:44

>>925
極限まで近づくのは数列。数学的には「収束する」と言い、その定義は>891の(1)。

0.999…とは数列 0.9, 0.99, 0.999, …が
収束する値（極限値とか収束値と言う）として定義される。
つまり「0.999…=１」とは
「数列0.9, 0.99, 0.999, …は1に極限まで近づく」という事を表している。

927 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:11:41

ぶつ＊まだいたのか、
そもそも物理屋の名をかたるなよ

同じ物理屋として恥ずかしいのだが、
マジで
limＸ＝１
Ｘ→１－０
コレを証明だと思っているところが痛い。

どこが0.999・・・=1の証明になっているのか、全く説明してないしｗ
Ｘって・・・何を定義したもの？

928 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:15:52

>>927
>>873(あるいは>>887)

929 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 14:32:18

>>927
俺も同じ物理屋として恥ずかしい。
お前はあれがまともな証明だと思っていたのか？
感覚的なものだと捕らえられないのか？
恥を知れ！

930 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:51:32

>>929
もちろん、まともだとは思えないぞ。
だから質問をしている。

だいたい理由扱いしているからＸ何か聞いたんだがその答えはなしか。

上の方の
Ｘ＝０．９９９
とおく
でＸ→１ってやつかなｗ

証明は上の方でされているよ。君が読めないだけ。

君が問題にされていることは
「1=0.999・・・を納得できない」という話とは根本的に違う。

931 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 14:57:20

>>930
本当に物理屋？
お前は数式に頼らず感覚で現象を捉えられないの？

932 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 14:59:45

>>931
あ　た　り　ま　え　だから書かなかったけど、数式を熟知した上での話しだよ。

933 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:01:15

>>931
え？捉えられるに決まってるじゃん！

934 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:03:53

>>932
熟知した結果が

上の方の
Ｘ＝０．９９９
とおく
でＸ→１

か？

935 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 15:05:53

>>934
俺の前のレスを読め。

936 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:06:09

937 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 15:06:24

>>933
うそっぽいなｗｗ

938 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 15:06:55

>>936
チラシの裏にどうぞ

939 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 15:09:01

>>936
ここの板、馬鹿っぽいね。
レベル低すぎ。

スレ違いなことしかかけない無能集団？
以降、馬鹿レスは無視します。

940 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:11:08

>>931-932をまとめると、こうなる。

「本当の物理屋ならば、数式を熟知した上で、数式に頼らず感覚で現象を捉えることが出来る。」

ところが、ぶつ＊本人は数式を熟知していない。従って、ぶつ＊は「本当の物理屋」では無い。
物理屋であることを自分自身で否定してしまった哀れなぶつ＊である。

941 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:12:09

>>935
読んだけど、っで

上の方の
Ｘ＝０．９９９
とおく
でＸ→１

はどう解釈するんだ？

942 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:17:07

>>941
>>873

943 ：ぶつ＊：2006/10/24(火) 15:19:12

>>940
面白いのでついついレス。

お前の数式の理解の仕方がへんなの。
数学で捕らえているでしょ。物理っぽく数式を見ていないでしょｗ。

944 ：927：2006/10/24(火) 15:22:53

>>942
この際だからもう少しぶつ＊の意見を聞きたいわけだが。

あ、俺の発言
>>927 >>930 >>933 >>934 >>941
な。
おそらく今書き込んでるの３人しかいないｗ

>>943
物理っぽく数式を見ると

Ｘ＝０．９９９
とおく
でＸ→１

がまともに見えるというのは異議ありな。

945 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:26:19

>>943
面白いのでついついレス。
＞お前の数式の理解の仕方がへんなの。
数学の言葉である数式を、数学で捉えずに物理っぽく見る方がヘン。

ちなみに、君の言動(「感覚で捉えろ」「物理っぽく見ろ」など)は、関西人が
言葉に詰まったときに発する「そこは関西のノリで流せや」という言葉と同レベル。
学問を修める人間の精神では無い。腐ってる。

946 ：927：2006/10/24(火) 15:44:40

あれ？沈黙した。ニートは今が寝る時間かな。

ぶつ＊のようなやつは、あれだな。
　正しいかどうか議論をする際、
正しいと思う側と正しくないと思う側に分かれたときに、｛例えば｝多数が所属すると思われる
正しいと思える側に入って、一緒になって正しくないと思っている奴らを罵倒するが、
そのくせ言っている内容はどちらの論者から見ても間違いだらけで、
議論を停滞させる邪魔者でしかないという感じだな。

　ネタじゃないなら病院に行った方が良いｗ

947 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:51:26

物理の世界じゃ、そもそも
0.999…
という数を扱うことあるのか？

948 ：927：2006/10/24(火) 16:03:13

>>947
極限ぐらい扱えないとどうしようもないでしょ。

てか、ニュートンやライプニツの時代の物理の考え方なら1と考えるべき、
というか、議論の余地はないだろうね。
もちろん、0.999・・・をここで議論しているのはこの表記法に関する内容から
入らなければならないわけで、仮に議論がどうなるのかを考えても、
殆ど同じだから同じ、といっちゃうかもしれないような数学的な根拠だし（当時の話な）。

物理は物理で無限を扱うとそれなりにパラドクスが出るから面白いし、0.999・・・も
なめてかかってるとこれだけの話が出来るもんだなと思うもんだ。

少なくとも俺の発言とぶつ＊はゴミだがな。

949 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 21:33:05

なるほどね。１＝0.9999......が納得できないのね。
じゃあ聞くけど1と0.9999....の間に実数が存在するとでも言うのかい？
否だね。だって9は無限に続くもんね。

950 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 21:34:36

そりゃどんな無限小理論だって無限小は
実数ではなく超現実数とされるさ

951 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 21:42:35

すいません。厨にはそれが賛成なのか反対なのかが分かりません。

952 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 21:46:57

これって続きは出てくるの？

953 ：!omikuji：2006/10/24(火) 21:50:12

これって最近誰も引かないよね、おみくじ。

954 ：>>949：2006/10/24(火) 21:53:04

...ここはそういう板じゃないからね。
まあ人間は誰だって失敗するけど、今度は別の板でやってね。

955 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 22:00:18

なんかこのスレが妙に興味深い。

956 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 22:12:35

>>952
作らないと、多分また厨が似たようなスレを新たにつくって、数学板の皆が
うんざりするにちがいないｗ

957 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 22:21:52

そういえば、前スレか前々スレあたりで変なノートさらしてた人はどうした？

958 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 02:07:29

>>949
すげぇループだな。
またそこからやるのか。

俺はいやだ。

959 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 04:16:10

では、>>806と>>908の話題の比較なんか如何でしょう？
(多分、806の話は908の話を含めた上での事、
でなければ調べ先自体がよく分かってない時点での記述。)

960 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 20:43:21

>>959

その辺の議論は結局、「考えるモデルによって、答えが異なる」
の一言で片付いてしまう気がする。現代数学がたどり着いた答えも
それに近いわけで。

961 ：中卒止まりのオッサン：2006/10/25(水) 21:45:26

>>960
ふ～む、ｹﾞｰﾃﾞﾙさんですね？
やっぱり、この結論になりますか…。

962 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 22:44:01

ゲーデルは関係ない。

963 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 00:20:12

たぶん、無限には何らかの構造があるんだよ。
極限で0にしてしまうと、その構造が潰れてしまう。

俺の直感がこう叫んでいる。

964 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 00:51:47

あの～、正解を答えてくださる件についてはどうなったのでしょう。
一応、通り一遍大学の数学を学びましたから（そうじゃないと物理が理解できない）理解不能にはならないと思います。

965 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 00:55:50

>>948
勝手に人をゴミにするなｗ
1人で勝手にゴミになっておれ。

966 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:02:51

>>965
まずは>>891の(1)を理解し、次の問題を解いてみ？

問題1：実数列anがαに収束するならばlim[n→∞](a1＋a2＋…＋an)/n＝α
問題2：実数列bnが0に収束するならばlim[n→∞](b1b2…bn)＝0

967 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:05:22

>>966
といたけど・・・。ちゅうか、教科書レベルの問題じゃない？！？！

968 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:12:58

>>967
証明は？

969 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:13:54

>>968
教科書レベルだって・・・・・・・・・・・・・・・。それをわざわざ写すの？

970 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:26:37

>>969
教科書をカンニングしたのか？

971 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:29:25

>>970
なぜ、そうなるｗ

972 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:30:33

>>970
君には記憶というものがないのかい。
別にもういいです。
どうせできないのでしょ。期待していませんからｗ

973 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:30:46

＞それをわざわざ写すの？
コレ。

974 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:33:40

>>972
こちらとて、無限小数の定義なんぞ教科書レベルであり、それをこのスレに”わざわざ写す”のは
骨が折れる。>>966程度が解けないようなら、説明しても無駄だから書かない。答えが分かっている
なら証明を書け。

975 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:37:55

自分で解いたんだったら、
＞それをわざわざ写すの
って他人が用意してくれたみたいな言い方はしないだろ。

976 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:40:33

>>964
猿に因数分解を教えられる奴並の能力が必要だろ
馬鹿に説明するの。

君に説明できる奴はいないからもう来なくていいよ

977 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:40:53

人にモノを尋ねている(←自分で調べもせずにｗ)にも関わらず、このように
偉そうな態度を取る傲慢な人間。それがぶつ＊である。何様のつもりかね。

978 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:43:52

まあ、彼が>>966程度の問題に答えないうちに
このスレ終わるとみたよ。

979 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:45:26

>>974
だから、君にはなにも頼みません。別に君にお願いはしていないからｗ
いいよ、君に教わるぐらいなら自分で調べるからさｗｗｗｗｗ

君が来るのをやめたら。実害はない。むしろ、他人を見下すその態度が害を生む。ばいばい～～。

980 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 01:45:58

>>978
だから、わかるって。教科書レベルでしょ。覚えているって。

981 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:48:37

覚えているのか？調べないと分からないのか？どっちだよ

982 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:50:09

>>980
殆どコピペで出来るのにｗ
その労力も惜しむわけじゃなくて・・・何が重要かわからんのだろｗ

ここには猿に積分を教えるような曲芸をやる奴はいないって

君が求める物は得られないから消え去れ、ゴミ

983 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:54:35

>>980
>>966が書かれてから、あんたが>>967を書くのに要した時間はたったの2分半。これは、
ε－δ論法によほど慣れた人間でないと不可能。しかし、そこまでε－δ論法に精通した
人間は、lim[n→∞](1－1/10^n)とlim[x→1]xの違いについて絶対に知っている。
ところが、あんたはこの2式の違いを理解していなかった(>>890参照)。これは矛盾で
ある。あんたはε－δ論法を習っていない。ちなみに、あんたの書いた>>910が本当なら、
あんたがε－δ論法を習ったことが無いのはさらに確実なものとなる。

984 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 01:57:48

結局、ぶつ＊のキチガイのせいで、1=0.999・・・の話ではなく、
キチガイをいじるスレになっちまったな後半。

1=0.999・・・のポイントを押さえる話が前半でなされていて、
新たに投入されてくる「1=0.999・・・はおかしい」と思う奴の供給も
絶たれつつある。
スレの意味がないじゃん。

次のスレでこのヴァカが出てきてもスルーで進行すべきだ。

985 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 02:10:00

>>891
どちらも有向点族の収束だから同じ。

986 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 02:13:46

>>985
考えている”有向点族”が違うので、違う。

987 ：１３２人目の素数さん：2006/10/26(木) 02:36:29

(2)でa=1のときとa=2のときは全然別のもの

988 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 02:50:14

>>982
他人を見下す馬鹿がいる。この板には相応しくない。去れ。

989 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 02:50:53

>>983
ならったって。1年の初めの授業でｗｗｗ

990 ：ぶつ＊：2006/10/26(木) 02:51:25

>>984
君が馬鹿なの。君が去りなさい。