位相についてわかり安く教えてくれ

公理から意味不明

お前馬鹿

位相セレナーデ

>>3＝おっさん

つはじめよう位相空間

「できる！位相空間」

位相king死ね

なっとくできる位相？とかどうよ。

でも松坂和夫を読んでわからないヤシは、どうしようもないらしいが。
個人的には、内田伏一が薄くてバックの幅を取らないから好き。

一番分かりやすいのは・・・

実平面R^2を考える。普通のxy平面のことね。
そこで「距離」の性質を考えるわけだ。
んで、その距離が持つ性質を一般化したものが位相。

居候

>>10

ねぇ、楽しいの？
何でここで駄洒落言ってくるかな？
楽しいの？ねぇ？？？
何で駄洒落書くのさ・・・。何でだ！！！

糞スレなので

king

talk:>>7 お前に何が分かるというのか？
talk:>>12 何考えてんだよ？

>>10
うまいっ！

talk:>>7 お前に何が分かるというのか？
talk:>>1 距離空間からやってみよう。

俺、数学専門じゃないけど、実用上はほとんど距離空間でOKじゃね？

俺の知る限り、一般の位相空間が必要になる状況って・・・
バナッハ空間に弱位相入れれば距離空間扱いできず、
（ハウスドルフ）位相空間として処理せざるをえない。

他にも一般の位相空間 使うの？

海草食うかい？

借りた海草はちゃんと返そう

安ければ

今日、演習の時間に位相がわかりません。
って言ってた子がいた。

king

talk:>>21 私を呼んでないか？

king

talk:>>23 私を呼んだだろう？

king

キングー

kinj

k

i

talk:>>25-26 私を呼んだだろう？

内田が薄くて良い
あれが分からなかったらまず志賀の30講から始めれば
まず挫折することは無い

で、或る程度勉強したらちくまから出てる位相のこころが非常に分かりやすくて良い
ちょっと難しいけどね

>>16
代数幾何のZariski位相とかはHausdorffですらない

Zariski位相って何で重要なの？

king

氏ね

king

スキーム

>>32
代数的多様体に入る唯一の位相。
位相概念を拡張すればグロタン位相とかあるけどね。

>>37
厳密に言えば、複素数体上の代数多様体には
通常の位相も入るぞ・・・細かい事なので下げる

位相がわからんと言う椰子は、決まって距離空間が分かってない。
分かってると、距離空間を土台にして、
抽象化へのモチベーションになる。
なんでこんなものを考えるのかっていう
モチベーションみたいなものがないと、位相で崩れる。
俺も去年はそうだった

>>37
そうだね。言い方が悪かった。
任意の体上の代数多様体に入れることの出来る唯一有効な位相。

内田伏一「集合と位相」

早めに崩れた方がよいそうだ。

知識としては３０講に書いてあるくらいでほとんど間に合うと思う。
あとは公理に従った形式的議論を使いこなせるよう演習しておけば十分。

・・・なんて書いたらたたかれそうだな。
おれのリアルな現状なんだがorz

>>43
>>42

talk:>>33,>>35 私を呼んだだろう？
talk:>>34 何考えてんだよ？

king

k

>>43
いや全然間に合わないから

talk:>>46 私を呼んだだろう？

ね

ね

ね

king

1 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2006/06/02(金) 23:49:15
公理から意味不明


2 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2006/06/03(土) 00:10:29
お前馬鹿


ﾜﾛﾀ

>>54
king氏ね

talk:>>52 お前誰だよ？
talk:>>53 私を呼んだだろう？
talk:>>55 お前に何が分かるというのか？

>>54
死ね

高橋渉著（だったと思う）の薄い本もいいような希ガス。
有向集合に対する収束とかも書かれているし…
解析向きかな…

うざ

位相空間はとても重要なものだぞ

talk:>>57 何やってんだよ？

うざこ

>>61
可哀想

かわ位相

森毅の位相のｺｺﾛって文庫が出てるから読め

メールLANの奴死ね

talk:>>63,>>66 何やってんだよ？

>>64
なんでそこでシャレがでるかな〜
なんでかな〜

>>42も誉めてね☆

猛者はブルバキ

>>1
おおざっぱに言えば「距離という概念の拡張・一般化」だろ

ふだん当たり前のように使っている距離という概念の本質は何なのか？
それを抽出することで、日常の3次元空間とはかけ離れた
抽象的な空間の中でも「距離」を考えることが出来る。

位相概念が集合概念と一緒にまとめられるのはなんかおかしいと思う

XからYへの写像とその連続性さえ定義できればXは集合でなくてもいいのです

tan(π/7)+tan(2π/7)-tan(3π/7)の値はどうすれば求めれますか？

>>74
　　　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／教科書読みましょう。
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　｜無いんですか？
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､ 　　　　　　　＼それなら学校辞めましょうよ。
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、 　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

「近く」または「つながっている」を表現した概念。

しかし、p進的に近いとか遠いとか未だにわからない俺。

解り易いが正しい。
安いではない。

何を言ってるんだこのクズは

>>78 お前に何が分かるというのか？

>>1がぶち切れ

カス乙

分かり易い、だし。

安めぐみがどうしたって？

超king関数は位相的性質を満たしますか？

○　位相セレナーデ（小夜曲）
○　xy平面での｢距離」の概念を拡張したものが位相
○　実用上ほぼ実空間でＯＫじゃね？　だが一般の位相空間の必要状況とし
　　バナッハ空間に弱位相入れると距離空間扱い不能→ハウスドルフ空間処理・・
○　代数幾何でのザリスキー位相はハウスドルフですらない
○　ザリスキー位相、何で重要？
　　　　→　代数的多様体に入る唯一の位相
　　・厳密には複素数体上の代数多様体には通常の位相も入る

○　距離空間＋抽象化＝位相
○　志賀の３０講、内田伏一「集合と位相」
　　あとは公理に従った形式的論理使いこなせるよう演習・・
○　位相空間はとても重要・・
　

>>85
○　おおざっぱに距離概念の拡張・一般化
　　距離の本質＋α＝位相
○　｢近く」または「つながっている」を表現した概念
○　ＸからＹへの写像とその連続性さえ定義できればＸは集合でなくてもよい・
○　安めぐみがどうしたって？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とりあえずメモった。

えらいっ！

↓お前の言ってる事は胡散臭いんだよ

宮内さんが『それ行け、やれ行け、ニッポン放送だ』と言うのを聞いちゃったと言われれば、聞いちゃった。

距離概念の拡張・一般化は一様空間と考えるのが適当。
距離空間だと一様位相独自の性質、例えば完備性とか全有界などが
あるから、位相空間を距離空間の一般化と単純に考えるとおかしなことになる。

うんだから単純には言えないけど
とりあえず初学者の入門のために

教科書読め

読んでも分からないから
こういうスレが立つんだろうに

talk:>>84 何やってんだよ？

こう、例えば、「次元」とは何かを考えた時に、「位相」が不可欠なのではないのか？
つまり、こんな感じにつながってるんだよね、って言わないと次元は定義できないのではないのか？

関係ない

要素と集合と濃度だけだと「次元」は決まらないですよね。
これに「位相」だけでは、「次元」は決まりませんか？

質問内容から察するに線型空間の次元をイメージしていると思う。
線型代数の教科書を読めば少しははっきりするでしょう。
他にもいろいろな「次元」があるけど、それは少し先の話題ですな。

基底が入って、線形独立とかって話がないと決まらないですか？

次元 dimension
[定義]
正規位相空間Ｒの任意の有限開被覆に対し、 細分として位数 たかだかｎ＋１の開被覆がある場合、 dimＲ≦ｎとする。
dimＲ≦ｎ かつ dimＲ＜ｎ−1 でない時 dimＲ＝ｎ とし、これをＲの次元という。 （次元には様々な定義があるため、
特にこの定義を 被覆次元 covering dimension または レベッグ次元 Lebesgue dimension とも言う。）
[イメージ]
ある点に対して、お互いが重ならない近傍がｎ＋１個取れるが、 ｎ＋２個目を取ろうとすると既に取ったｎ＋１個の
どれかに重なってしまう。 （もし重なりが出来ると、その重なった部分もまた開被覆なので、 位数の定義である
「ｎ＋２個目を取ろうとすると共通点が無くなる」 という定義に反してしまう。） ０次元(点)の場合は１個までしか
開集合を取れないが、 １次元(線)という広がりの構造を入れることで追加で一つの近傍を取れる。
以降、次元が１つ増える都度、独立に「近く」の概念を一つ追加できる、 というわけである。

>>99
あなたが話している「次元」の定義は何？

>>95のいうような次元はn次元ユークリッド空間というモデルを前提にしてイメージされる次元。
つまりは多様体の次元ということになる。
しかし、>>97のように位相「だけ」から次元を定義しようとすると話はもっとややこしくなる。

ブルーバックスの「次元とはなにか―高次元への扉を開く」（田尾鶉三）がいい。
たしか絶版だったと思うが図書館にあるかな。

king位相はどんな位相よりも強い位相である。

離散位相ってことね。
すべての点が孤立している。

talk:>>104 私を呼んでないか？

呼んでない

次元=基底の数
としかわからん

>>97
次元論を知りたいなら、今手に入る本としては
　「集合論的位相幾何学」古関 健一
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4837503802/qid=1150116908/sr=1-1/ref=sr_1_0_1/503-8636275-1755969
がある。
　「次元論」森田紀一　岩波書店
はこれより詳しいが、古い本で絶版。図書館で見るしかない。

横から質問すまそ。
何で被覆次元なんてものを考えるようになったの？

積分論的な次元を考えたかったんじゃないの？

>>111
その独創的なあいであを説明しちはくれんか？

340

ああ、思い出した。思い出した。
つまり、カントールを少し読むと、集合って今みたいにのっぺりしてないのね。
まあ、それはいいんだけど、つまり、最初は次元が上がれば、濃度が増えるって
思ってた訳ですよね。なんて言うか、次元を測れない測定法で一生懸命、これで
違うんじゃないのって、少なくとも、最初は思った訳ですよね。
でも、まあ、測れないと、、、。それで、そうだとしたら、後、この素朴な対象
（つまり、要素と集合とまあ濃度程度）に、どれくらいの、「何か」を想定する
と「次元」が「定まるんですか？」って言う、ごく素朴な疑問です。
で、それが多様体だと、あんまりおもしろくはないです。だって、R^nが
先に考えられてて、あんまり、次元の本質って何だって話にはならないから、、、。

整理せよ

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

age

ケーニヒスベルグの7つの橋の問題って位相の問題ですか？

ケーニヒスベルグの7つの橋の問題って位相の問題ですか？

間違えて2回書き込んでしまった
ごめんなさい

今ではその問題はグラフ理論の問題と考える事が出来るが、
その問題が考えられた当時は幾何の問題の一種だった。そして位相幾何⊂幾何

>>121
なるほど、ありがとうございました

king関数の連続性は位相の問題ですか？

>>123
連続じゃないから（笑）

talk:>>123 お前は連続性を何だと思っている？

king はうんこ。

Kingのうんこは鹿の糞のように不連続

演習１　Kingのうんこのなす不連続点を図示せよ。
（含まれる寄生虫も描いてもよい）

talk:>>126 お前の食事は今日からお前の糞だからな。
talk:>>127-128 何考えてんだよ？

>>1
開集合公理を満たす開集合族。

http://kagakuhodan.blogspot.com

「距離空間＋抽象化＝位相」

には、抵抗がある。

「集合＋つながり＝位相」

が正解。と専門でない俺が言ってみる。
実際、位相の定義（例えば：開集合系）って
集合と集合のつながりを表現していると考えればわかりやすくねー。
であとは、それから派生する概念（連結とか連続とかコンパクトとか）を
まとめたものが位相かと。

連続性をつながりと言い換えて心理的平安を得ているようだが、理解が不正確
になるので止めたほうがいい。人がつながり具合と言った場合、単なる連続性
を越えて連結性を問題にしていることが多い。つながりとは、連続性+連結性
の複合概念と見るのが妥当である。素朴な理解、位相とは連続性を定義するた
めに必要十分な数学的構造で十分。言葉をこねくり回す必要は無い。距離位相
＋抽象化うんぬんだが、これは単に捨象を抽象化と言ってしまっただけのこと
だろう。距離空間をそのまま抽象化すると、一様位相空間という位相空間＋α
の数学的構造となる。一般位相とするには一様構造を捨てる必要があり、確か
に「一般の位相空間」ではない。心理的抵抗感が生ずるのはそのためだろう。
もっとも身近かつ重要で最初に認識された位相空間が距離空間であることは
否定できないと思う。（もっとも身近で重要な位相はザリスキー位相なんて
人がいたりしてｗ）

位相くらいで語るなよｗ

>>134
おまえ 132 だろう。133 の指摘がくやしいんだろうが見苦しいな。
位相の入門スレなんだから語るのは当然じゃん。
ゼミでいい加減なこと言ってボコボコにされた経験ないの？

目くそ(=132)、鼻くそ(=133)だなｗｗ

たかが位相の理解に四苦八苦している喪前たち↑は無能だよ。数学やる資格なんてない。
目糞鼻糞にも劣る。Kingのうんこ以下だね(ww
よってただちに

＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃　終　　　了　＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃

ｋｉｎｇ乙

Kingうざ
おめえが出没するとスレが腐る

>>133
念のために、132にも書いたように俺は数学を専攻していない素人と前置き下上で、

>連続性をつながりと言い換えて心理的平安を得ているようだが
うーん、ちょっと俺の言いたいことと指摘が違っているような。
集合そのものの連続を言っているつもりは無く、集合間のつながりを言ったつもりだったんだが、
これでも間違ってる？
つまり、集合には、離散的な集合も含まれていてそのつながりを開集合系や、近傍系で定義したものが、
位相という理解なんだけど。
で、つながりの表現が近さ（距離ではない）の概念につながると。
でもって、位相とは何を言いたいかというと、
集合そのものではバラバラというイメージがあるのに対し、
位相ではつながりを定義することにより、空間を表現する手段だと思っている。
だから、位相＝空間の抽象化といってもいいのかな？

後半部の距離の抽象化の違和感についてはその通りです。

集合と書いてあるところが、集合の元と表現し直した方が
いいところが多数。謝々。

馬鹿だな
位相＝位＋相なんだよ。
念のために言っとくと
位＝イ＋立
相＝木＋目ね。

位相ってsin とか cos の中身のことだろ。　角度だよラジアンってやつや

　　　　　　ﾐﾐ彡彡
　　　　　ミ◎◎彡彡
　　　　ミ◎◎◎◎彡
　　　＞(・)◎◎◎彡
　　　 ／|（||||||||　 ＼
　　　 |.　＼＿__） 　 |
　　　 ￣￣_| _|￣￣

>>143
訳語が衝突してます。
Topological Space　　　位相空間、このスレのテーマ。
Phase Space 　　　　　相空間、位相空間とか状態空間ともいう。このすれの非テーマ。
　　　　　　　　　　　　解析力学とか物理に出てくる。

>>140
近さというのは、近傍位相で言う位相空間Xの点aの近傍をA,Bとするとき
の、近傍A,Bの包含関係⊆のことですよね。距離空間なら点xがyよりaに近いとか
個々の点の遠近を比較できるけど、一般の位相空間では点集合=近傍間の遠近
しか定義できないと。

まあ三つか四つの条件で、大事なことはみな表現できてしまったんだから
しょうがないじゃないかってことなのかも

位相が定式化されたのは抽象化が最も盛んな時期だったし

talk:>>137-138 私を呼んでないか？
talk:>>139 お前に何が分かるというのか？

talk:>>1 位相の何が分かりにくいというのか？

およびでないよ

なんつって＾＾；

Kingに質問。Kingって彼女いないよね？一日何回オナニーしますか？

>>146
自分の大枠のイメージもそんなとこです。
ただ、近さの大小関係を包含関係でうまく説明出来るのは、
１次元（数直線といった）の場合だけなのかなーっと。

で、勘違いしてはいけないのが、近さというものは
あくまでも概念であって、ある点Ｏにたいし、点Ａと点Ｂの
どちらが近いという比較はナンセンスであると思うとです。
初学者にわかりやすいように近さという言葉を利用しているだけかと。

自分の場合、位相に手を出したのが、ヒルベルト空間というか、
フーリエ関数といった直交関数がらみや一部リーマン幾何を理解したくて、
位相からルベーグ積分や関数空間の基礎（まあ、これも概念程度なんですが）に
手を出した程度で、位相には距離が必ず入るんですよね。
従って、距離が入らない位相が十分イメージ出来てないんですよ。

でちょっと、質問なんですが、
理工系（数学科を除く）にとって大事な距離の入らない空間
の例ってあるんですかねー？
例えば多様体あたりに進むとそのような例にであえるんですかね？

無味乾燥な集合に”構造”を入れて要素同士を関連付けた"集合"を"空間"と呼ぶ。

よく知られた具体的な"空間"に統一的に研究するために共通な性質を見出して改めて公理とする。

この"一般化"された空間で成り立つ"定理（性質）"は同じ"公理"を満たす限りどんな具体的な"空間"でも成り立つ。

"位相"もそんな"構造の公理"の１つである。

>>153
一般位相の理解の第一歩は近傍位相です。
直感的意味付けのほとんどは、近傍位相を使って行われます。

有向集合という概念を学習してください。１点の近傍系（近傍フィルター）
は包含関係について有向集合をなす。有向集合と言うのは擬順序関係の定義
された集合の特殊なものです。いわゆる任意の２元が比較可能な全順序集合とは
違います。遠近の概念の一般化になっていることが理解できるでしょう。
有向点族、フィルターの収束を扱った位相空間のテキストを見る必要があります。

>>153
閉区間[0,1]上の実数値連続関数の全体C[0,1]の全体を考える。C[0,1]の
位相をC[0,1]の点列{f_n}が 点F ∈ C[0,1]に収束するのは、関数列
{f_n}が関数Fに各点収束するとき、そのときに限るように定めることが
できる。これを各点収束位相と言うが、これは距離付けできない。通常
C[0,1]はsupノルムで定義されるノルム位相の入った一様収束の空間と見るが
これはもちろん距離空間でもある。

普通位相空間とは見ないけど、各点収束の空間は距離付けできない身近で重要な空間
じゃないかな。

>>153
岩波科学ライブラリー「現代数学への招待　多様体とは何か」（志賀浩二）
を読んでごらん。

>>155
ご指摘ありがとうございます。

>１点の近傍系（近傍フィルター）は包含関係について有向集合をなす。
包含関係の大小の比較が出来るということですか？
（擬順序関係と言っているのだから、大小そのものではないとは思いますが）
その大小関係で遠近の概念を表現するということですね。
包含関係の大小比較については疑問に思っていたことですので
（脳内で出来ないものと決めつけて納得してました。）
Goodな指摘だと思います。

>有向点族、フィルターの収束
距離空間では収束の話題が出てきますが、距離を外した位相の中には出てきません（？）。
多分位相を理解するのに必要な概念だと思うのですが、
点列の収束といった話題があると思って良いですか？

で最後に、数学科以外の学生でも読める「位相空間」の推薦の本はありますか？
松阪先生の「集合・位相入門」は持っていたのでちらっと見てみたんです
があまり載ってなかったような。

>>156
>各点収束の空間は距離付けできない身近で重要な空間
うーん。ルベーグ積分やる中で、各点や一様収束が出てきましたので、
大枠書かれた内容は理解できますが（つまり関数空間の収束）、
あまり各点収束を用いた理論というものにお目にかからないので、
ぴんときませんが。

>>157
該当書籍は評判いいので購入したかったんですが、
残念ながら絶版状態でして。
さらに、社会人ということで、復刻版を待ち状態です(^^;)。

>>159の修正
たぶん、（つまり関数空間の収束）はおかしいですね。
L1やL2空間と混同しています。

talk:>>152 あの女とは誰だ？

>>31にあるように、ちくまから出てる「位相のこころ」が良い。

位相もそうなんだけど、正直数学科の物知りにはかなわんなーと思うことがしょっちゅう。
どうしたら、そんな沢山知識頭に詰め込めるの？　本嫁たって読みきれんしー。
何か秘訣でもあるのかなー

理解すれば詰め込まなくても身につくだろう

その理解するがムズイ

>>162
Thx

実をいうと、最近購入したんですよ>「位相のこころ」
>>158あたりを期待してよんでみまふ。

>>158
> で最後に、数学科以外の学生でも読める「位相空間」の推薦の本はありますか？
> 松阪先生の「集合・位相入門」は持っていたのでちらっと見てみたんです
> があまり載ってなかったような。

当然のことだが、松坂『集合・位相入門』には位相空間のことが詳しく書かれている。

>>167
記述が悪かったとおもいますが。
有向点族、フィルター関連の話題でつ。

「位相のこころ」をちらちら見てると、
よさげなのでそっちを当たってみます。

>>168
何を読むかはあなたの自由だけど、位相空間を理解していないと
有向点族やフィルターは分かりにくいと思うよ。

>>168
( a(λ) )λ∈Λ
で、Λが非可算集合の場合、

Σ[λ]a(λ)

を考えたいのだけど、このときに有向集合に対する収束で定義したり
します。

解析だと、関数とかの連続性を「開集合の逆像が…」とかでやっていると
非常に不便なので、点列を一般にした有向集合に対する収束で考えた方が、
不等式等、今までの道具が自由に使えて、とても便利ってことがあるかも…

有向集合の話は、河田・三村先生の「現代数学概説２」とか、高橋渉先生の
本がいいんじゃないかな、とか個人的に思ったり。

有向集合について詳しく知りたかったら
手頃な本で勉強するのはもう諦めてKelley読んだほうが案外早道かも、とか言ってみる

>>169
>位相空間を理解していないと
そうですね。その点は気をつけながら勉強します。

>>170
現状では理解できませんが、ＰＣの中にコピペしておきました。
後日再度見てみます。
>河田・三村先生の「現代数学概説２」
品切れ(^^;)ですね。高橋渉先生は「位相のこころ」で挫折したら
そちらの方を当たってみます。

>>171
>Kelley読んだほうが案外早道かも
たぶん私には早すぎるかと・・・。

いろいろお世話になりましたので、
お気に入りのＨＰを紹介します。

位相に関する問答集があるよ！！

【入り口】
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/index.html
【位相問答あるよ】
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/mondou.html

色々と書いてくれてありがと

今日位相の中間試験があったんだが、結局微妙な出来だったよｗ

名大生乙

定義

意添う

あそう
いそう
うそう
えそう
おそう

1の試験が終わったのでこのスレもQ.E.D.か・・・

追試がある

位相空間 X は開集合を対象、包含写像を射として圏となる。
この圏を Top(X) と書こう。集合全体のなす圏を Set と書く。
Top(X) から Set への反変関手全体の成す圏を Func(Top(X)^op, Set)
と書く。F をその対象とする。F は普通、(集合に値をとる)前層と
呼ばれる。前層で、ある種の局所性を持つものを層という。

Grothendieck は X 上の層全体の成す圏を位相空間 X より基本的
なものと考えた。この考えを発展させることにより Grothendieck 位相、
さらには Topos という概念を得た。これ等は位相概念を拡張したもの
と考えられる。

目から鱗です！！！！！！！！１

なんで、密着位相や離散位相は密着だの離散だのいうの？
密着とか離散ていうイメージがつかめません・・・

なんとなく

つーか>>1とオナ大かも
中間試験っていうか期末じゃないか？

何でもかんでも略すんじゃねーよ！キモイんだよ！
オナ大じゃオナニー大好きみたいだろ！

まあ、俺はオナ大だけどさ！

俺も思ったｗ

＞183 名前：１３２人目の素数さん ：2006/07/17(月) 04:45:44
＞ なんで、密着位相や離散位相は密着だの離散だのいうの？
＞ 密着とか離散ていうイメージがつかめません・・・

訳に問題あり、かな？
Trivial　Topology　：　自明なトポロジー
Discrete　Totology　：　は、やっぱり離散的なトポロジーか・・・

>>183>>188
近傍系を考えればわかるだろ

まああれだ、勉強していきゃわかる。
それまではそういうもんだと思ってれば良いのでは。

＞183

「定義しうる最弱（最強）のトポロジー」という内容で覚えてくれ。

覚えるも何も直観通りだろｗ

位相のこころに書いてあったけど、あまり理解してない

密着と離散の形容の意味が自力で分からんようでは数学科でやっていくのはきついだろうな。
公理的に展開された抽象数学の勉強の仕方を知らないのか？定義や術語の意味、意義は
すぐには分からないのが普通だよ。190 の言うように学習が進めば自然分かる。

せっかちな、初心者用にたとえ話を進呈しよう。Xを全空間とする。近傍を個室と考える。

離散位相:１点集合{x}がすべて開集合。よって、任意の点xは自分自身以外の
　点を含まない個室（近傍）{x}を持つ。Xは離散家族だ。

密着位相:Xの任意の点xに対し、xの近傍は全空間Xしかない。全員が一つの家
　Xに住まっている。適当な開集合で家族を分かつことは不可能だ。密着して
　生きている。

＞公理的に展開された抽象数学
まあ初心者には直ぐにわからないように書く
必然性も無いんだけどね

面倒だからあまり説明はしないのが普通かもしれないけど
あるいは演習問題や例を見ていけば分かるからそれで説明の代わりとか

位相空間≠ユークリット空間
位相空間 =非ユークリッド空間
つまり、ユークリッド＝xyzで表現される三次元、位相空間＝n次元多様体（相対性理論のローレンツ理論に基づき、局所的には近似できるが、大域的にはまがっているn次元という考え方。ルートを含むローレンツの公式はアインシュタインの相対性理論にある）

( ´д)ﾋｿ(´д｀)ﾋｿ(д｀ )ﾋｿ

>>196
多様体も位相空間も分かっていないようだね。

King >>196 に位相空間と多様体を教えてやれ

>>199
奴はしゃれになっていないリアルキチ○○らしいから無理だろうｗ
ついでにムー○○ホ目前らしいｗ
いい年こいてアニオタで、女にキモいと言われてチ○○立てる変態らしいぞｗ
見た目はオタクコピペのまんまらしいｗ

ちん○もスレも勃てると快感

>196
まさか本気じゃないだろうね？

基地外にはアイデアがある

メコスジについてわかり安く教えてくれ

>>196
多様体⊆位相空間　だyo。
一般相対性理論の時空のモデルに使うのは、各接空間に不正定値の内積、ローレンツ計量の
入った、ローレンツ多様体（リーマン多様体の一般化）だよ。

丸暗記して振り回せば、チミも立派な数ヲタだ。

リーマン多様体、トーラスが位相幾何学の考え方の基本だお。
二次元球面とトーラスは同相でないんだお。

手術理論やh同境定理により、高次元多様体の問題が代数的な問題に帰着されたんだお。

ここで低次元屋が離散群の話を少々

無知なやつをからかうのはやめれ

ディーン手術またはデーン手術でぐぐりなよ。医者でも、ないのに数学で手術するんだよ。
あと、位相幾何学（トポロジー）におけるxyz座標は少しずれてるんだお。

talk:>>199 R^3は開球族を開基として定まる位相空間である。R^3は多様体である。

844

hosyu,hosyu,hosyu.

ヘーガード（へゴール）デーン手術


別名 Heegard分解

誰も突っ込まないんで一言。
多様体⊆位相空間ってのは間違いです。

でさ、でさ、このデーン手術を使うとね、配置空間上の写像度としてのバジリエフ不変量をこんな風にできるんだお(^O^)。
開いた結び目をTとする。
開いた結び目Tに対して、配置空間Ｃx、Ｃyを
Ｃx＝｛（X1、X2、X3、X4）∈T＾4⊂（R＾3）＾4｜X1、X2、X3、X4はT上の異なる4点で、この順にT上に現れる｝
Ｃy＝｛（X1、X2、X3、X4）∈T×T×T×R＾3⊂（R＾3）＾4｜X1、X2、X3はT上の異なる3点で、この順にT上に現れ、X4は前の3点とは異なるようなR＾3の点である｝
で定める。
R＾3内の原点を中心とするr＝1の球面をS＾2と描く。写像φij：Ｃx、Ｃy→S＾2を

φij（X1、X2、X3、X4＝（Xｊ―Xi）／｜Xｊ―Xi｜∈S＾2
で定めて、写像φx、φyを
φx＝φ31×φ24：Ｃx→S＾2×S＾2

φy＝φ41×φ24×φ43:Ｃy→S＾2×S＾2×S＾2
で定める

ＣxS＾2とＣyをそれらの曲面にそって適切に貼り合わせる空間をＣとし、Ｃx×S＾2上でφx×id s＾2であり、Ｃy上でφyであるような写像を
φ:Ｃ→（S＾2×S＾2×S＾2）／（成分の入れ替え）
とする。写像φの写像度は2次のバジリエフ不変量になり、局所化により、
ν（T）＝ΣξCiξC´i

Σの下は（Ci、C´i）
の表示が得られる。
加えて、チャーン―サイモンズ経路積分を摂動展開したときに現れる配置空間積分がこの写像度の積分表示を与える（物理的背景）。
ただし、開いた結び目の両端は、∞遠までのびていて、ひっぱれないとみなす

という未解決問題の多いバジリエフの未解決問題のヒントがみつかる。
あとは、有理数体の上で、1次独立である9個の実数の扱いをどうするかだと思う。

ほんとだ、ｽｹﾞｰ・・・！！！！

↑　自作自演。自分でスゲーていってりゃ世話無いよ。

541

ザリスキー位相ってなんの役に立つの？

117

前期の位相の成績は「良」ですた

>>222
みんなに、ありがとうは

>>220
代数多様体の圏での射が連続になる。

999

後期の中間試験は８５／１００点でした

位相で苦労して、かわいそう。

年末カキコ

閉鎖記念

閉鎖前記念

位相って要するに
D(x,y)=√(x^2+y^2)となる関数のことだろ

集合・位相に関してオススメの問題集ってある？
独習でやってるんだが、どうも演習が足りない
ちなみに教科書としては内田本を使ってる

どれでもあまり変わんないと思うけど、マグロウヒル大学演習シリーズが問題たくさんあってよかった。
サイエンス社の黄色い本も会ったと思うけど記憶が定かでない。

>>233
�d
サイエンス者のを見てみるわー

距離空間の完備性について分からないことがあるので、教えていただけないでしょうか。
空間の位相を一つ固定し、その位相を定める距離d_1, d_2について、d_1 < d_2 が成り立つとき、
完備性について、d_1で完備ならd_2で完備、などということは成り立つのでしょうか？

一様同値についてぐぐれ。以上

(収束点列全体の集合)⊃(d1でのコーシー点列全体の集合)⊃(d2でのコーシー点列全体の集合)

すばやい返答有難うございます。しかしながら、以上でもないような気もします。
一様同値は、両一様連続だと書いてありましたが、今回は片側しか成り立たないのです。
この場合はd_1で完備ならd_2で完備などというのは成り立たないのでしょうか？

距離空間の位相は一様位相だから完備性とかいう概念は一般位相空間には適用できない。

なんつって＾＾；

一様同値についてググれば>>235の反例くらいすぐに見つかるだろ。

ただ今混乱中です。もう少し詳しく教えていただけないでしょうか。
>>240
実際ぐぐって見ましたが、「一様同値」という言葉自体あまり検索にかかりませんでした。
反例がある、つまり不成立なのでしょうか。

>>237
これは収束についてはd_1収束⇔d_2収束ということでしょうか。
とくに>>235は成立で良いのでしょうか。

最初の包含関係はd1が完備なことから従う。次の包含関係はd1≦d2から従う。

邦書で一様構造をきちんと扱った本はほとんど無いからな

(収束点列全体の集合)とありますが、d_1収束⇔d_2収束がいまいち分かりません。
教えていただけないでしょうか。

あげ。

(収束点列全体の集合)は位相構造で決まる。
ある集合上の２つの距離が同じ位相を与えれば
それぞれの距離についての収束点列全体の集合は変らない。

位相構造だけで決まることは、それ以外を無視して考えれば良い。

どうも有り難うございました。
途中、反例あり等の回答もありドキッとしましたが、
237を見る限りでは成立するようなので安心しました。

問１−１）（X、Ox）(Y,Oy)を位相空間とする
　X × Yの直積位相とは何か？
これがさっぱりわかりません。

問１−２）XとYがハウスドルフ空間ならば、X　×　Yもハウスドルフ空間であることを示せ。

これもさっぱりです。たぶん問１−１を使うと思います。

問２）（X、ｄ）を距離空間とする
　距離ｄの定めるXの位相Oｄの定義とはなにか？
これもわかりません、どういう意味でしょうか？位相Oｄが距離空間の定義を満たすということでしょうか？

問３）Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。

Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。

この問題がわからん。教えてくれ

全部教科書に書いてある（はず）

>>249
問１−１は定義を知ってるかどうかという問題だから考えても無駄。
本嫁よ

教科書にはこういうふうにかいてある。
直積位相

Sは位相空間です。Qはそれの位相
各λ∈∧についてSからSλ（λは添え字）への射影
をprλ（λは添え字）とするとき、写
像族（prλ）λ∈∧もうｐって（（Sλ、Qλ））λ∈∧からSに
誘導される位相、すなわち、すべてのprλが連続となるようなSに
おける際弱の位相QをSの直積位相という。

これをX×Yにどうやるのかがわかりません。問１−１をお願いです
こうやって答えろっていう解答を教えてください。
あと問１−２、問３も解いて答えを教えてください。
問２は解けました。

>>243
See 一松信：多変数会席函数論

＞２５２　もしかして、SのことをX×Yに置き換えるだけ？

>>253
へぇー。一松爺さんどこかで、位相の一様構造の知識が標準装備で
ないことを嘆いていたけど、そうなるべく自著で書いていたのね。見てみるわ。

>>249
どれも定義の系だな。教科書を読めば直ぐに分かることばかりだ。
勉強をさぼった罰だ。あきらめれ。もしちゃんと教科書を読んで分からない
のなら数学をあきらめたほうがいい。（読んだテキストにもよるがな）

位相構造を説いた教科書は巷に多数あるけど、一般の一様構造を説いた
入門テキストはほとんどない。>>249のような怠け学生をより苦しめるべく、
この概念を数学科学生の標準装備にしたいが、何か良い方策はあるだろうか？

怠けてないって、松坂和夫の集合・位相入門よんでいるが、全然わからん。
おれ一生懸命にやったぜ。でもわかんねーんだよ。教科書ぼろぼろに
なるまで読み込んでもわからん。たのむ教えてくれ。

問１−２、問３を解いてくれ頼む！！！

>>258
松坂にこだわらず、他のテキストも見てみれ。開眼するかも知れん。

松坂には>>249への回答が全て書いてあるが？

＞松坂和夫の集合・位相入門よんでいるが、全然わからん。
＞教科書ぼろぼろになるまで読み込んでもわからん。
「読んだ」だけでは、理解し、使いこなせるようにはならない。
ではどうすればいいのか？自分でコツを見つけるしかない。人に
よって解決法は違う。これは自力で乗り越えなければならない壁。

＞２６０　まじで！！何ページ？

>>261
ようするに教科書はぼろぼろにしただけね？

>>261
近くにおれば助けてやれるだろうが、掲示板では無理だよ。

>>249は分からないところがあるというより、分かってることが何もないレベルだな。

>>260
>>249にページ数教えてやって。松坂は持っていないんだ。

>>1
位相論とは「開集合族の性質」と考えれば良いのでは？

>>249
集合論・位相論はただそれだけでは具現化された意味を持たない。位相幾何、函数解析など様々な具体例を学ぶ中で徐々に理解出来てくる。さしあたりは可能なかぎり簡単な例で考えるのが良かろう。（例えば位相空間なら \mathbb{R} 上の普通位相など。）

http://ginjiro.blogspot.com

ほんとに、ぼろぼろになるまで松坂を読んだのか？
それでも >>249 がわからないってのはある意味すごいな・・・

とりあえず位相空間と距離空間の定義をここに書いてみて。

>>249 に対しては >>267 はよいアドバイスとはおもわれない．

何ページか発見した。書いてあった、ありがとう。である問題がどうしても
解けないこれの答えを教えてくれ。位相空間と距離空間の定義はわかる。

問１）
（X、ｄ）を距離空間とする。
Xの点列｛Xn｝(∞　n=1, この数列の上が∞、下がn=1)が点x∈Xに収束するとは
何か？その定義を書け。これがどうしてもわからない。定義だから
かいてあるようなきがするが見つからん。頼む教えてくれ時間がないのだ

問２）
Xの部分集合A内の点列｛Xn｝(∞　n=1, この数列の上が∞、下がn=1)が
ある点ｘ∈Xに収束するならｘ∈A（Aの上にはーがつく）であること示せ

またすぐに新しい質問ですか。

時間が無いってテスト前とかそういうことだろ。
勉強して無かったやつが悪い。そんだけ。

>>271
レポート問題か何かだろう。
大方、丸写しで提出するんだろうなｗ

問１はRの時を考えてみたらわかりやすい。
x_n→xってのは、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して
任意のNより大きいnに対して、|x-x_n|<εってことだったわけで、
これを距離空間の話に焼直せばいい。
問２は、もしもxが\bar{A}に入らないとしたら、、、
X-\bar{A}は開集合だから、、、
矛盾みたいな感じです。
いずれも定義をしっかり確認すればなんとかなる筈。

正直249はセンスが絶望的にないので数学辞めた方がいいと思う。

勉強するだけ時間の無駄だ。

釣りじゃねーのか？ほんとは良く分かっている奴の。

>>249
超準解析をやりなさい。位相が分かるようになる。

まじで俺数学天才だったのに
数学オリンピックの日本代表になりかけたのに・・ショックだぜ

日本代表か、すげーな。

釣り決定だな

弟子かと思ってた

まじでつりじゃなくて、本当だって。東大くらいの入試問題なら
全部１０分くらいで解ける。でも位相数学意味不明・・・
なにこれ？抽象的すぎ

またまたご謙遜をｗ

>>270

こんなに不勉強なやつ、初めて見た。
今までずっと遊んでたんじゃないの？

自信過多、実力過小の典型だな

日本代表になりかけた程度で天才か
天才の質も落ちたもんだ

定義すら理解はおろか暗記すらしてないなんて
小学生でも暗記するだけならできるというのに

お前らじゃ合宿にもいけないだろ。

そうだな、お前は天才だよ。

>>287
問題を解く能力と、数学を理解する能力は全くの別物。両者では思考の方法が全然違う。
オマエは後者が著しく欠落している。＼(＾0＾)／ｵﾜﾀ！

>>289　釣りにマジレスすんなよ。代表になるには相当の能力が要るから
彼の潜在力は相当なものがあると思うよ。成長を妨げているのは多分
自惚れだろうね。

数学科に行ったのに勉強してないって阿呆だろ。
まあ自分の将来なんだから自己責任なんだけど。

分からない場合は何冊も教科書を読むとかいう手もあるので
集合位相の似たような本の関連箇所を何冊も読んでみたら良い。
30講にもUrysohnの定理とかは載ってたはず。

自分には能力があるからKellyとかでも読めるはずだ、と思って
読み始めたが全く分からない、とかならただの自惚れだけど
単に勉強してないんだと思うな。
或いは現代数学がどういうものか全く知らずに数学科に来てしまったか。
「教科書をボロボロにするまで読んだ」のに書いてあることが分かってないみたいだから
単に日本語を理解する能力が無いのかもしれないが。

数学オリンピックの問題とか大数の宿題とかを一問に何日もかけて解いた経験とか無いのか？
>>258から次の質問の>>270まで5時間も立ってないぞ。
そんな短時間で数学が理解できるわけない。もっと自分で考えろ。図書館で調べろ。
少なくともこんな教科書が溢れているような分野で定義読めば分かることを聞くようなことは無いはず。

>>287
行ったことあるよ。三度も四度もじゃないけど。

>>290
オマエのその書き込みは「マジレス」とは言わないのか？

>>287

人のことはいいから、まず、自分のことを片付けな。
君の質問は、教科書を丁寧に読めば、すぐにも解ける問題。
あせらないこと。

「教科書をボロボロにするまで読んだ」というのは
ヒステリを起こして、投げつけたりしたんだろーな

>>294
俺にも経験ある（笑）

おまえらは数学の才能がないから俺に嫉妬してるだけだろ。
悔しかったら俺の出した問題といてみろっての。解けないから
能がきたれるんだろ。おれ昨日テスト受けてばっちりできたぜ。
やっぱ俺すげーかもな。

そーだね。
すごいね。

>>296
そうかそうか

>>296

ああすごいすごい。

やはり弟子だったか

師の躾がなっとらん

>>296
お前には才能がある
多分天才だ
だから教科書なんかで勉強しなければもっと伸びる
自分で数学を掘り込んでいけ

>>296
位相の初歩の問題でつまづくようなクズに誰が嫉妬するのか？

そういえばkingの弟子も全然位相の問題ができなかったな

出来るのは当たり前。出来たからって、それをネタに研究が出来るわけでもあるまい。

今更だが

×　安く
○　易く

安い女　vs. 落とし易い女。

いまさゴールドバッハの予想が解けたわ。
フランス語に訳してパスツール研究所（だっけ？）に送ると判定してくれる
んだっけ？

ikkoさんかわいい・・結婚してー

釣りだったことにしておこうとする>>249

(；ω；)ｳｯ

>>305
位相ぐらいチョソでもやる

あまり舐めてるとコンパクトにしちゃうぞ♥

111

おれこないだ受けた位相数学のテスト帰ってきた。
悪くなかった１００点中７９点だった。一安心だぜ。
コンパクトと連結の定義を丸暗記して意味わからず書いたのがよかった。

もう釣られません

>>249
本当に直積の位相が解からんのか？
（X,O_X),(Y,O_Y)を位相空間とする。
U（resp. V)をX(resp.Y)の任意の開集合として
UｘV達で生成元される集合族を考えてみな！

>>316
また釣られたか・・・

>>317
ご忠告、有難うございます。
>>314　のコメント読んで、249は品性に欠ける方とわかりました。

>>1
安くって、いくら位で？

>>319
「いかにも安っぽく（いい加減に）教えてくれ！」
ということか？

俺位相数学を丁寧にちゃんと調べて勉強してみたらなんかわかってきたかも

何でもちゃんとやればそのうちわかるようになる

やっぱ数学オリンピックにでかけた俺の実力はすごいということが
身にしみてきた。俺は天才か・・・
ゴールドバッハの予想も証明できたしな

ボンクラの、むなしい自己賛辞。

位相がわかっただけで天才か。
まるで弟子のようだ。

グロタンディック位相の定義が分かっても
それだけじゃどうしようもならないようやな

小学生時代に算数オリンピックにでかけた中学生が

「俺は天才。なのに二次方程式が分からない」
「二次方程式を丁寧にちゃんと調べて勉強してみたらなんかわかってきたかも」
「やっぱ算数オリンピックに出かけた俺の実力はすごいということが身にしみてきた。俺は天才か…」

とか言っているようなもんだな。

数オリの代表になれなかったやつの釣りにつきあってあげるなんて、みんな優しいね

638

>>http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/81
＞近傍について質問です。
＞
＞Vがxの近傍というのは、x∈U⊂Vを満たす開集合Uが存在するということですけど、Vの開核が存在すればそれはUになりえるので、必然的にVは近傍になっちゃうと思うのですがどうなんですか？

Vの開核が存在しても、xはVの境界上に載ってるかも知れない、
そもそもVの開核は空集合かもしれない。

U≠φでないといけないことに注意。

> Vの開核が存在すればそれはUになりえるので

Vの開核がxを含んでるかどうか考えなさい、ってこったね。

>>330
>>331

なるほど。わかりやすい解説ありがとうございました。

点xの近傍はxを含むので空集合ではありようが無い。
したがって、空集合φはいかなる点の近傍にもならない。
開集合ではあるがね。

近傍系を考えることのできない痩せた幾何学で何か面白いのある？

384

いつの間にか伸びてるな

最新の「数理科学」にいろいろ載ってるぞ

>334
xの近傍＝xを含むXの開集合
だから、
近傍系自体は、いつでも定義可能なのだが。

やっぱりフィルタが本質を物語っているように思う

いつの間にか１年たつのか

数学専攻ではないのですが、必要があって位相の勉強始めてます。

松坂和夫の集合・位相入門169ページ
で

　前項では、P(S)の任意の部分集合M (※1)を与えて、
　Mで生成される位相を考えたのであるが、

　逆に、Sにおける1つの位相Oが与えられたとき、
　Oのある部分集合M (※2)に対してO=O(M)が成り立つならば、
　Mは位相Oの(あるいは位相空間(S,O)の)準基底であるという。

とあります。
ここに出てくる※１のMと※２のMは、両方ともSの部分集合の集合だけれども、
※1のMを構成するのは任意の部分集合。
※2のMを構成するのは開集合のみ。
というように、少し違うものを指している、ととらえてよいのでしょうか？

俺も数学非専攻だけど

>※2のMを構成するのは開集合のみ。
ちがうんじゃなかろか
※１のMと※２のMはどちらも任意の部分集合でいっしょ

前項ではＭから位相空間の作り方を
該当項では、位相ＯとＯ（Ｍ）が仮に一致したら
Ｍを『準基底』と呼ぶ定義を述べてるだけでは？

>>341
それ, 教科書としてはあんまり良い書き方じゃないね. 「逆に」以下の

>　Oのある部分集合M (※2)に対してO=O(M)が成り立つならば、
>　Mは位相Oの(あるいは位相空間(S,O)の)準基底であるという。

を次のように読み換えたほうがいいように思う:
「P(S) の部分集合 M が O = O(M) を満たすとき, M を位相 O の準基底という」

もし M がこの定義の意味で準基底であれば, 定理として, M は O の部分集合となる.
その意味では同値な定義. いずれにせよポイントは

(1) S に位相 O が定義されていても,それをいったんわすれる.
(2) P(S) の部分集合 M を持ってきて,前項での説明通りに O(M) を構成する.
(3) もし O と O(M) が一致していたら, M を準基底と呼ぶ.

>>341
ごめん書き方がまずかったかもしれなかった。
結局は、ＭはＯ（Ｍ）とＯの開集合となるので、

>※2のMを構成するのは開集合のみ。
はただしい。ただ、Ｏの開集合系の一部
ただ、前項のように位相Ｏを作り出す構成要素みたいなもんと思っていいんでは

>※1のMを構成するのは任意の部分集合。
という上の意味からすると、これもＯ（Ｍ）を構成する開集合系の一部

つまり、準基というのは、位相を規定するのに全部の開集合を指定しなくても
その構成要素を示す手段と考えられるってことでは

>>342-344
迅速なレスありがとうございます。

>>343
>もし M がこの定義の意味で準基底であれば, 定理として, M は O の部分集合となる.

そうなんですか。
この定理は松坂本に載ってますかね？


松坂本177pに、

　定理１９　写像f:S->S'が連続であるためには、M'を位相空間S'の１つの準基底（すなわちO(M')=O'）とするとき、任意のm∈M'に対してf'(m)∈Oとなることが、必要かつ十分である。

　証明　定理にいう条件が必要であることはいうまでもないから、。。。

とあります。（f'はfの逆関数です。）
「いうまでもない」とは、fが連続であるならばm∈M'に対してf'(m)∈Oとなることが明らかであるということなのですが、
準基底M'が開集合の集合ならば、これは連続写像の定義より明らかなのですが、
準基底M'が任意の部分集合の集合ならば、これは明らかなのだろうか？と疑問に思ったのです。

線形代数の復習をしたほうが良さげ。
この手のことは、線形空間の基底系（開基とは異なるもの。念のため。）
とのアナロジーですぐに了解できるはず。

>>345
>M は O の部分集合となる.
前項の（３．１）、（３．２）より明らか

つまり、（３．１）でＭ自身は（３．１）があらわす集合系の部分集合となり
同様に（３．２）があらわす集合系の部分集合となる
従って位相Ｏの部分集合（開集合）となる

>>345
> この定理は松坂本に載ってますかね？

松坂さんの本は持ってないので知りません。
O(M)の構成方法から直ちに従うべきことなんですが、>>347 さんが書いてくれたので
それを見てください。M ⊂ O(M) を確かめることができると思います。

ありがとうございます。
疑問が解けました。

>>346
元文系、今も半分文系なので線形代数も知らないんですよね。
集合位相入門を終えたら、松坂先生の線形代数入門で勉強する予定です。
勉強する順番間違えたかな。

>>349
くどくて悪いけど、一応例を挙げると

実数Ｒをイメージすれば
[∞,a)と(b,∞]が準基
(a,b)が基底（基本近傍系にもなるかな）

上の準基の元２つの積を取れば（３．１）、基底を作ることが出来
さらに基底の無限和（３．２）を取れば位相を構成する
任意の開集合を作ることが出来る

今頃>>140が繋がりという表現が
連続性の事を言っているのではなく
連結性の事を言っていた事に気付いた俺は空気嫁てない＆痴呆

>>349
線型代数・多変数微積分・集合は基礎部分でいろいろ
かかわりを持つことも多いので、並行してやるべき。
群論も並行してやると線型代数の理解が早いかもしれない。

>>349
『集合位相入門』は集合と位相を一緒にしているが、
位相（ジェネラルトポロジー）は後回しにすべき。
位相に入るならR^nの位相の最初のほうで一旦切れ。

>>352,353
そうなんですか。
位相も、線型代数や解析と関連するところがあるのでしょうか？

四章「位相空間」がもう少しで終わるので、そこで一旦止めて
『線型代数入門』読み始めることにします。

ついでにといってはなんですが、松坂先生の『解析入門』も平行して読むと効率的なんですかね？

てゆうか、文系で位相が必要なのは何を勉強したいの？
単なる趣味？

優先順位は
１．解析＝微積に毛の生えたもの
２．線形代数
３．集合・位相．

１〜３を同時進行すべきだが、時間が取れんのならこの順にやるべし。

今は情報です。
位相が出てくるもので。
まあ、分からないまま飛ばしてもよかったんですが。。

線型代数と解析は関係ないですけど。こっちは趣味ですね。
理系科目をひととおり勉強しておきたい、と思いまして。

>>357
へえ、情報で位相が出てくるんだ
差し支えなっかたら、どんな分野か教えて貰えるとうれすい
機械学習だと、学習理論で位相幾何とか関係するとか聞いたことあるんだけど
あとは、やはり学習でマハラビス距離だっけ？そこらあたりなんかな？

ちなみに、位相は通常学部レベルの非数学科理系の学生は学ばない
線型代数や解析は必須だけど

俺は電気系の学生だったけど、位相は、量子論や相対論より難しいかもしれない
ぐらい難しいんじゃないかと　（異論ある人多数かもしんないけどｗ）

プログラミング言語理論です。
型理論や意味論など。
あまり抽象的なところを専門にするつもりはないですけど、分からないのも癪なので。

>>359
Ｔｈｘ　初耳だった
ちょっと、調べてみる

>>358の位相幾何は代数幾何の間違いだた

>>358
初歩の位相は単なる言葉なので、抽象的な理論を苦にしない
タイプのひとならば理解は簡単。量子論や相対論のほうが遥かに
難しい。

>>361
相対性理論なんて数学科なら山である共変微分や、測地線の方程式あたりは
楽勝じゃないかと
あとはアインシュタインの方程式を残すだけかと

量子力学は、桜井ジュン氏の本とか選べばシュレディンガーの方程式あたりまで
結構スムーズにいくような気がするんだけど（線型代数＋関数解析の初歩知識があれば）
山内氏の解析力学が事前準備に必要だけどこれも問題になるような部分はないかと

解析入門(杉浦)で位相軽くでてきたけど意味わかんねー
位相は位相でちゃんとやらないとダメそうだな

>>363
分るって。おめー英語読めるだろ。英語同様、最初苦しいだけだ。
位相は言葉だから、慣れりゃ大したこと無い(w

いや解析入門だけ読んでも分からんけどね

ある閉集合Fを含むすべての開集合の共通部分はFになるんですか？

>>366
2点集合で反例が構成できる。
T3空間なら正しい。

>>367
ハウスドルフ空間で成り立たないものにはどのようなものがあるんですか？

>>368
ハウスドルフ空間では>>366は常に成り立つ
より一般に、T1空間でもよい
Fが閉集合でなくてもよい

ハウスドルフ空間でT3空間でないものにはどのようなものがあるんですか？

>>370
シンガー＆ソープ著
「トポロジーと幾何学入門」
に，反例が載っていたような希ガス．

Counterexamples in Topology にいくつか反例がある。

あんまりいいやり方とはいえないかもしれんが
今なら有限集合上での位相空間を片っ端から調べれば
大抵の反例はすぐに見つかるんじゃないかな

>>373
コンピュータシミュレーションでもするってこと？

シミュレーションも何も、ただのバカサーチでしょ

>>373
有限集合は、ハウスドルフならばT3

>>376

有限集合は、ハウスドルフなら離散

Ｔ1の時点で離散じゃねぇか使えねーな

989

n個の元からなる有限集合に位相は何種類ありますか?

今のところnの式では表せないね

おまいさんにとっては表せないけど、普通の人には表せるんじゃないのか？

んじゃ表してみてくれ

位相空間Ｘにおける分離公理
★Ｔ１−空間
任意のｘ∈Ｘおよびｘと異なるｙ∈Ｘに対し、ある開集合Ｕが存在し
、ｘ∈Ｕかつｙ∈／Ｕ
★Ｔ２−空間（ハウスドルフ）
任意の異なる２点ｘ、ｙ∈Ｘに対し、ある開集合Ｕ、Ｖが存在し、
ｘ∈Ｕ、ｙ∈Ｖ、ＵとＶの共通部分は空
★Ｔ３−空間
任意のｘ∈Ｘとｘを含まない閉部分集合Ｆに対し、ある開集合
Ｕ、Ｖが存在して、ｘ∈Ｕ、Ｆ⊂Ｖ、ＵとＶの共通部分は空
★Ｔ４−空間
任意の交わらない閉部分集合Ｆ、Ｇに対し、ある開集合Ｕ、Ｖが
存在して、Ｆ⊂Ｕ、Ｇ⊂Ｖ、ＵとＶの共通部分は空
※このほかにもチコノフの分離公理がある。

ウリゾーンの補題
Ｘを正規位相空間とする。Ａ、Ｂを交わらない閉部分集合とする。
このとき、ある連続関数ｆ：Ｘ→［０，１］が存在して、
ｆ（ｘ）＝０（∀ｘ∈Ａ）、ｆ（ｘ）＝１（∀ｘ∈Ｂ）
このほかにもティーツェの拡張定理がアルヨ！

>>383
俺は普通の人じゃなくて、馬鹿だからわからん

>>384
T3.5とかT5,T6とか、出すなら全部出せよ

お前もT0忘れてるじゃんｗ

n=0〜60くらいのとき、 n個の元からなる有限集合に位相は何種類くらいありますか?

>>389
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000798
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1097082554/
f(0)=1, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=29, f(4)=355, f(5)=6942, f(6)=209527, f(7)=9535241,
f(8)=642779354, f(9)=63260289423, f(10)=8977053873043, f(11)=1816846038736192,
f(12)=519355571065774021, f(13)=207881393656668953041, f(14)=115617051977054267807460,
f(15)=88736269118586244492485121, f(16)=93411113411710039565210494095,
f(17)=134137950093337880672321868725846, f(18)=261492535743634374805066126901117203

途中から種類の数が跳ね上がるからn=60くらいなんてとてもじゃないが計算無理
f(17),f(18)もやっと今年計算出来たばかり

>>388
誰が??

>>390
うおぉ〜、そんなスレがあったんか
ありがとん

有限集合上の位相ってパズルみたいな物だね

要素数ｎの有限集合上の位相の数で同相なものは除いたものと
位数ｎの有限群の分類、どちらがおおいか？私は前者と思う

ガウスの素数定理よろしく、結果を眺めてなんか発見でもしようとしたのかね？

自分でプログラムすら組もうとしない人間に簡単にわかる種類の問題じゃないんだが。

まだ位相を勉強しだしたばかりです
n=3 のときも自分で考えて面倒臭くて嫌になりました
入門書にこんな難しいなんて書いてありましたっけ?

>>396
位相が役に立つのは函数解析や偏微分方程式をやったときダヨ！

>>396
有限集合の位相なんてそんな組合せ論的対象が
数えるの大変なことぐらい言われなくてもわかれよ。

>>396
そもそも難しくないから難しいなどとと書く必要がない。

↑天才あらわる

面倒なのと難しいのとは混同すべきではないよな。
有限集合の位相を書き出す問題は、ただ面倒なだけで
論理的には簡単だろう。計算量的な問題と思うと
その困難さは組合せ論的な特徴が出てるけど。

有限単純群の分類も簡単

四色問題も簡単

>>402-403
それイーソー。


なんつって＾＾；　　　（詳しくは、「アイドリング」で検索）

実際には十何桁を越したあたりで、
現代的な計算機を使ってもしらみつぶしに全数数え上げるのは難しくなるから
それなりの工夫をしないといけないんだろうけどね。

素因数分解も簡単

RSA暗号解読も簡単

>>397
>位相が役に立つのは函数解析や偏微分方程式をやったときダヨ！

非ハウスドルフな位相が、関数解析は偏微分方程式で役に立つ例を
教えてくれ！

×関数解析は偏微分方程式で
○関数解析や偏微分方程式で

A君の家とB君の家を考える。
距離ｄ（A,B）をA君の家からB君の家に行く時間と考えると

ｄ（A,B)≠ｄ（B,A)

なぜならばA君の家とB君の家の間には坂道があるから。

このように考えると距離空間というのは
非常にまれなケースでしかない。

単純に所要時間は距離の公理を満たさないというだけで、
距離空間が特殊だってことの説明にはなってないと思う

単純にd(x,y)≠d(y,x)が成り立たない例を考えたんだけど
他の公理が成り立たないようにして
距離空間をくずしてもいいんだよね。

[0,1]上の関数の集合で
距離d(f,g)=|f-g|の面積で定義したら
d(x,y)=0 →　x=y
が成り立たなくから距離空間でなくなるね。

反例がいくつも容易に作れるからといって
それが特殊な概念だということには繋がらない。

喩えるなら、具体的に数を思い浮かべるとき、
有理数をたくさん容易に思いつくことはできるが
実数は有理数よりも高い濃度で無理数を含むとか、
思いつく自然数をたくさん言えといわれると、どうしても
ある程度以下であることになるが、それよりも
はるかに大きな自然数がいつでも無限にとれるとか。

位相を進めるってどうやるんですか？

ここに出ているよ↓


http://pinktower.com/pukapuka.sakura.ne.jp/cgi-bin/upload/puka/img-box/1194160463812.jpg

>>415
それはここで話題にしてる位相 (topology) じゃなくて
物理なんかで言う位相 (phase) じゃないのか？

phaseのスレじゃないのですか…
失礼しました

位相をphaseと勘違いする奴がなんで数学板にいるんだろう

phase で topology を調べる話が量子力学にあるけどね。

そりゃまた日本語で書くとややこしそうな話だな

普通は距離空間が充分一般的でないことを言いたいなら、
距離が入らない位相空間で、重要なものがたくさんあることを
例示して説明したりすんじゃないの。

>>422
例えばどんなの？

俺は別に距離空間が特殊だとは思ってないんだけど、
例えば代数幾何で出てくるZariski位相とか。

あとどの程度重要なのか分からんけど、
集合論で順序数とか一般の順序集合に順序位相入れて議論したりすることもある。

あげ

関数空間の弱位相とか

逆に距離の入る位相でも、p進位相のように初学の際には
「なんつー距離の入れ方するんだ」みたいなのもあるね。

>>424
424さんは数学に慣れてるか、頭がいいかのどっちかだと思う。

今までネコしか見た事無い子供にイヌを見せてもネコという判断をしてしまうらしい。
その子には「これはイヌだよ」と言って、沢山のイヌとネコを見せて
違いをうえつけていかねばならないそうだ。

つまり、今まで距離空間しか体験した事の無い人に位相空間を教えるには
たくさんの距離空間と位相空間を見せて
その人の頭の中に、距離空間と位相空間のクオリアを作り上げていかねばならないと思う。

（位相空間を距離空間でない位相空間だという意味で書いてるよ）

>>422-424 は >>410 に対するものじゃないの？
だとすると >>428 はズレてる気ガス

>>429
確かにちょっとずれてるかも。

ただ俺としては距離空間の世界観で生きてきた人に対して
位相空間というものを実感させるには
位相空間をたくさん見せる事が必要だと思ったんだ。

それも距離空間に近いものからの方が実感しやすいと思った。

まず、イヌとネコの違いが分かるようになってから
イヌやネコについて知識を深めていけるからね。

何も足さない、何も引かない。
位相は位相として理解すべし。

>>410
はフィンスラー幾何だね。

位相の基ってなんだよ

　物理、それも理論物理屋ですが・・・。位相の言葉づかいには困っています。
(1) sin(φ）, sin(k x + φ）, exp(i Φ)　の形式では、φ、k x + φ、Φを
位相と言う。k x に対して、k x + φでは、位相がφだけすれている。（位相のずれ）
(2)　横軸ｘ、縦軸ｐの空間で、１粒子の１次元の質点の運動が記述できる。
ある時刻tの(x,p) は、位相点、位相点が運動するこの空間は位相空間.
ハミルトン力学はこの空間上での記述がふさわしい。他、リウヴィルの定理
（位相空間内での運動系の流体のような扱い）はこの上で成り立つ保存則。
(3) 位相幾何学、位相数学の「位相」
量子力学の波動関数はノルムを別にすれば複素単位円上、U(1)の世界にあり、
量子ピンの代数は、パウリ行列を使って、SU(2)の代数を持つ。

　さて伺いたいことあり。数学屋は、(2)の位相空間も関知しないのですか？
いや、意義は認めても、(2)の件は、位相空間とは呼ばないののですか？

　物理屋に向かって、これは位相と呼ぶな、という提案があればどうぞ。
我々も混乱していますので。

エーゲに位相は入りますか

提案など無いが、数学では phase space を相空間という。

>>431 古くね?

洋書を読め。単に日本語訳の問題だ。

>>434
よく分からない。
物理はあまり知識ない。

phase
topology

bourbaki の下巻だけきた
上巻はまだヽ(*｀Д´)ノ

ブル履きってまだ売っているの？

英語版

ブル履きって二巻で終わりか

売ってるよ。英語版とか仏語版とか。

niemytzki平面

これなんて読むの？

480

age

age

位相セレナーデ　　by 井上陽水

どなたか具体的な例を教えていただけませんか？
L2(a,b)に属してL2(R)に属さない関数はf(x)=x等ありますが、
L2(R)に属する関数がわかりません
もひとつ、L1の属する具体的な関数を教えてください

>>451
f(x)=1 (0<x<1) f(x)=0 (その他のx)とかがある

>>451
compact support（要するにある有限区間の外では0である関数）はL1(R)にもL2(R)
にもL2(a,b)にも属するのは明らかで, >>452はその一例.

連続関数でってことなら, f(x)=e^{-x^2}とか.
なお, L2(R)に属していてL2(a,b)に属さないということはない. 念のため.

L1(R)に属してL2(R)に属さない例は, 原点付近で1/√|x|みたいになっていれば桶（遠方は適当にちょん切る）.
L2(R)に属してL1(R)に属さない例は, 遠方で1/|x|みたいになっていれば桶（原点付近は適当にちょん切る）.

ありがとうございます
L1(R)に属してL2(R)に属さない例は, 1/√|x|
L2(R)に属してL1(R)に属さない例は, 1/|x|
と言ってはいけないのですか？

>>1
長さを測る定規についての決め事。

>>455
それは距離じゃないのか。

>>454
積分を(|x|<a)と(|x|>a)に分けて考えよ. （面倒なので以下x>0の部分だけで書く）
a>0は何でも同じなので以下a=1として書く.

1/xの積分は(0,1)でも(1,∞)でも発散で, 1/x^p (p>0)の積分が収束するか発散するか
は(0,1)でも(1,∞)でもp=1が境目だが, (0,1)ではpが大きいほど収束しにくく（原点
での発散度が強くなるから）, (1,∞)ではpが小さいほど収束しにくい（x→∞のときの
減少度が弱くなるから）.

というわけで,

1/√xの積分は(0,1)では収束するが(1,∞)では発散するから, x>0全体でずっと1/√xの
ままだとL1でない.

1/x^2の積分は(1,∞)では収束するが(0,1)では発散するから, x>0全体でずっと1/xの
ままだとL2でない.

ありがとうございました

二年。

902

どなたか無限次元ヒルベルト空間と有限次元ヒルベルト空間の違いを教えて下さい
無限次元になると何がうれしいのでしょうか？

関数空間を考えられる。

>>450
吹いた

完備とコンパクトの違いについて教えてください。

完備が距離空間での言葉、コンパクトが距離空間または位相空間での言葉でよいですか？

定義見れば違いがわかるだろ
むしろどこに似たものだと勘違いする要素があるのか逆に問いつめたいくらいだ。

だって、位相の30講の第17講のコンパクトの定義が、
【定義】距離空間(X,d)が次の性質(C)をもつとき、Xはコンパクトであるという：
(C) Xから任意に無限点列をとったとき、この無限点列はXの中に必ず集積点をもつ
って書いてあるけど、これじゃ完備の定義と一緒に見えます。

第19講義に書いてある完備の定義は
【定義】距離空間(X,d)において、任意のコーシー列が、必ずある点に収束するとき、
Xを完備であるという
です。

どっちも集積点を含んでいればおｋの様に思えるのですが。
この定義の違いってなに？

完備距離空間でコンパクトでない例を考えれば定義の違いは自ずと明らかだろ

まさか、Rは完備だけど、コンパクトじゃないって事か・・・

集積テント極限店の違いがわからんとは
なかなか面白いことを言う。

>>466
>どっちも集積点を含んでいればおｋの様に思えるのですが。
>この定義の違いってなに？

完備の定義って、集積点含んでないじゃん。

じゃあ、有理数Qは完備でコンパクトではないんだ。ほんとかよ。

完備距離空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
（完備 から転送）
移動: ナビゲーション, 検索
数学において距離空間 M が完備（かんび、complete）であるとは、距離空間 M におけるいかなるコーシー列も M 内の点に収束することである。またこの空間のことを完備距離空間（complete metric space）と呼ぶ。


[編集] 例
絶対値による通常の距離を入れた有理数全体の集合 Q は完備ではない。例えば x1 = 1 と xn+1 = xn/2 + 1/xn で定義された数列で考えると、これは有理数からなるコーシー列であるが、収束点は √2、即ち無理数に収束しており、完備でないことがわかる。

距離空間 M を通常の距離を入れた開区間 (0, 1) と定める。このときコーシー列 {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} は M 内に収束しないので、完備ではない。しかし閉区間 [0, 1] は完備である。

通常の距離を持つ実数直線 R、複素数平面 C および、n 次元ユークリッド空間 Rn は完備である。





[編集] 定理
距離空間 M がコンパクトであることと、M が完備かつ全有界であることは同値である。

Rは完備だがコンパクトではない。

無限数列 (xn) について


が成立するとき、数列 (xn) はコーシー的である、コーシー性を持つ、あるいはコーシ−列であるという。

無限点列とコーシー列は同じ物ではない。

確認になったから、文句もないが、何故、自分で調べない？

コーシー列は距離が０に収束していくが、無限点列は必ずしもそうはならない。

669 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 19:58:59
Mが境界のあるk次元多様体ならば∂Mはk-1次元多様体、M-∂Mはk次元多様体であることを証明せよ
お願いします


670 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 20:05:08
>>669
多様体の基礎とかに
そのまま載ってなかったか？


671 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 20:19:45
多様体をどれででもいいから構成しないと確か証明できないのでは、、、？

>>472
そんなゴミみたいなサイトからゴミみたいなもん引用してくんなよ

英語版は結構知らないことも書いてあって勉強になるよ。

英語版の話なんか誰もしていないわけだが

俺がしてるよ

hage

R^ω(R^ωはRの可算個の直積)における一様位相⊂箱位相を示しています。

距離空間(R^n,f) (但し fはユークリッドの距離). その時,g:R^n×R^n→[0,1]をR^n×R^n∋∀(x,y)g(x,y):=min{f(x,y),1}と定義し,fにおける標準有界距離(standard bounded metric)という。
そしてh:{{x_λ};x_λ∈R}×{{y_λ};y_λ∈R}→[0,1]を
∀({x_λ}, {y_λ})→h({xλ},{yλ}):=sup{g(x_λ,y_λ)∈R;λ∈Λ}と定義し,一様距離という。
そしてこの一様距離から誘導される位相T_u:={h^-1(s);s∈T (TはRの通常の位相)}はR^ω上での位相をなす(?)。

この一様位相と
箱位相T_b:={∪[b∈B']b;B'⊂{Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T_λ}}
との包含関係を示しています。T_u⊂T_bだと思うのですが

T_uの元h^-1(s)は{({x_λ},{y_λ});{x_λ},{y_λ}⊂R}という形(つまり,2^(2^R×2^R)の元)していて
T_bの元∪[b∈B']bは(B'∈2^2^R^ωなので)2^2^2^R^ωの形をしていてどうもT_u⊂T_bになりそうに無いのですが、、、

どうすれば示せますでしょうか?

f:R→R×{1};X∋∀x→f(x)=(x,1)とするとこれが連続である事を示したく思っています。

(R^2⊃)Vを(x,1)の任意の近傍とします。 このVに対してRでのxの近傍Uをどのように取れば
f(U)⊂Vが示せますでしょうか?

↑
R×{1}における点（x,1）の近傍VはV'×{1}(但しV'はRにおけるxの近傍)のかたちです。
よってU＝V'ととればよい。

> R×{1}における点（x,1）の近傍VはV'×{1}(但しV'はRにおけるxの近傍)のかたちです。
>
> よってU＝V'ととればよい。

ありがとうございます。納得です。

上半連続と下半連続の定義について教えてください。

(X,T)と(Y,S)をそれぞれ位相空間(TとSは位相)とする。
f:X→Yとする。
fがx∈Xで上半連続であるとは，
と
fがx∈Xで下半連続であるとは，

それぞれどのように述べれますでしょうか?

上半連続かつ下半連続であることが連続の定義

>489

連続ではなく上半連続と下半連続の定義を教えていただきたいのですが(位相空間上での)

>(X,T)と(Y,S)をそれぞれ位相空間(TとSは位相)とする。
>f:X→Yとする。
Yが実数の空間Rの場合の定義なら
fがa∈Xで上半連続⇔∀c>0に対し{x∈X|f(x)<f(a)+c}に含まれるaの近傍がある
（下半連続の場合はf(x)>f(a)-c）
だろうけどあんたが聞きたいYが実数の空間Rでない場合の定義は知らぬ
というかあるの…？

よろしくお願い致します。

Let T and T' be two topologies on X. If T'⊃T,what does connectedness of X in one topology imply about connectedness in the other?

と言う問題です。

Xの片方での連結性は他方での連結性の何を意味しているか?

と言う問題です。

連結なのだから
φ≠∀A,B∈T,X=A∪BならばA∩B≠φ
と
φ≠∀A,B∈T',X=A∪BならばA∩B≠φ

と書けますがこれから何がいえますでしょうか?

>>488
折れも>>491と同意見で、少なくとも(Y,S)は順序位相空間でなければいけないと
思うんだが、そうでなくてもよい定義があるんなら知りたい。

>>492
A,B∈TならばA,B∈T'だが一般に逆はいえないのだから、
T'で連結ならばTでみても連結だが、逆はいえないというだけのことでは？

> Xの片方での連結性は他方での連結性の何を意味しているか?
>
> と言う問題です。

もうちょっと真面目に訳せよ、と言いたい。

英語も数学もダメダメな奴だな、こんなのが大学生なのか…

ゆとり教育も行き着くとこまで来たと言う感じだ

> 494
どうもありがとうございました。

英語が駄目でもノーベル賞は取れる

>>498
すげー希望が湧いた

いや、数学専攻なら英語くらい覚えろよ
論文書けないし、文献読めないだろ

論文は日本語でおｋ

たぶん、英語が出来ないからプレゼンテーションが出来ず
評価されず結果としてノーベル賞を取れなかった、
という人は相当数居ると思うぞ

へー、例えば誰？
相当数いるのなら一人くらいは例を挙げられるよね。

p:X→Yを商写像とせよ。もし各p^-1({y})が連結でYが連結ならばXは連結である。

の問題です。

TをXの位相とSをTからのpによるYでの商位相とするとpは商写像だと言うのだから定義から
pは全射で,
s∈S⇔p^-1(s)∈T
と書け、
各p^-1({y})が連結だからp^-1({y})の位相として相対位相T_(y):={p^-1({y})∩t;t∈T}が採れ,
φ≠∀A,B∈T_(y),p^-1({y})=A∪BならばA∩B≠φ
Yが連結だからφ≠∀A,B∈S,Y=A∪BならばA∩B≠φ

でこれらからφ≠∀A,B∈T,X=A∪BならばA∩B≠φ

を示したいのですが

Xが連結ではないと仮定すると、X=A∪B、A∩B＝φとなる、
空でない、A,B∈Tが存在します。
p(A),p(B)∈Sが言えれば
P(A)∪P(B)=P(A∪B)=P(X)=Y(∵pは全射)。
A∩B≠φよりφ≠P(A∩B)⊂P(A)∩P(B)
で矛盾となり。
Xは連結(終り)

となるのですが
どうすれば「p(A),p(B)∈Sが言えれば」がいえますでしょうか?

p^-1({y})はｈｏｍｏだからXは連結

>>504
X=U∪V（UとVはXの空でない開集合）＆U∩V＝φ
と仮定すると、
∀ｙ∈Y:ｆ^-1(y)は連結
ゆえ
∀ｙ∈Y:ｆ^-1(y)∈U　またはｆ^-1(y)∈V.
∴
Y=ｆ(U)∪f(V)（ｆ(U)とf(V)はYの空でない開集合）＆ｆ(U)∩f(V)＝φ.
∴
X:不連結⇒Y:不連結.
i.e.
Y:連結⇒X:連結. Q.E.D. ♪

↑訂正:f→ｐ

もういちど書く.
X=U∪V（UとVはXの空でない開集合）＆U∩V＝φ
と仮定すると、
∀ｙ∈Y:p^-1(y)は連結
ゆえ
∀ｙ∈Y:p^-1(y)∈U　またはp^-1(y)∈V.
∴
Y=p(U)∪p(V)（p(U)とp(V)はYの空でない開集合）＆p(U)∩p(V)＝φ.
∴
X:不連結⇒Y:不連結.
i.e.
Y:連結⇒X:連結. Q.E.D. ♪

>どうすれば「p(A),p(B)∈Sが言えれば」がいえますでしょうか?
∀y∈Y：ｐ^-1(y)⊆Aまたはｐ^-1(y)⊆B　であることからいえます。

さらに訂正を書く
X=U∪V（UとVはXの空でない開集合）＆U∩V＝φ
と仮定すると、
∀ｙ∈Y:p^-1(y)は連結
ゆえ
∀ｙ∈Y:p^-1(y)⊆U　またはp^-1(y)⊆V.
∴
Y=p(U)∪p(V)（p(U)とp(V)はYの空でない開集合）＆p(U)∩p(V)＝φ.
∴
X:不連結⇒Y:不連結.
i.e.
Y:連結⇒X:連結. Q.E.D. ♪

さらに訂正を書く
X=U∪V（UとVはXの空でない開集合）＆U∩V＝φ
と仮定すると、
∀ｙ∈Y:p^-1(y)は連結
ゆえ
∀ｙ∈Y:p^-1(y)⊆U　またはp^-1(y)⊆V.
∴
Y=p(U)∪p(V)（p(U)とp(V)はYの空でない開集合）＆p(U)∩p(V)＝φ.
∴
X:不連結⇒Y:不連結.
i.e.
Y:連結⇒X:連結. Q.E.D. ♪

さらに訂正を書く
X=U∪V（UとVはXの空でない開集合）＆U∩V＝φ
と仮定すると、
∀ｙ∈Y:p^-1(y)は連結
ゆえ
∀ｙ∈Y:p^-1(y)⊆U　またはp^-1(y)⊆V.
∴
Y=p(U)∪p(V)（p(U)とp(V)はYの空でない開集合）＆p(U)∩p(V)＝φ.
∴
X:不連結⇒Y:不連結.
i.e.
Y:連結⇒X:連結. Q.E.D. ♪

二次元ユークリッド空間と三次元ユークリッド空間は同相でないことを証明せよ

>512
納得できました。どうもありがとうございました。

>>> 492
> A,B∈TならばA,B∈T'だが一般に逆はいえないのだから、
> T'で連結ならばTでみても連結だが、逆はいえないというだけのことでは？

すいません。逆が言えない場合の簡単な例ってありますでしょうか?
(すいません。ずっと考えてたのですが思いつきません)

>>513
１点取り除け

>>515
2点集合{0,1}に対する密着位相Tと離散位相T'を考えればいいんじゃないの
本当に思いつかないのか？

>>516
もうちょっと書いてよ

畑崎広敏（仕手筋）グループの本当の狙い


　経営再建中の宮入バルブ製作所の株を買い占め、取締役五人と監査役一人を経営陣に送り込んだ畑崎広敏グループと会社側との経営権争奪戦が続いている。
　畑崎グループには数学者の広中平祐の影もチラホラ。株価操縦疑惑も浮上している。広中も関わっていたのか。

畑崎グループが一位〜五位株主に

　東証二部上場のバルブメーカー、宮入バルブ製作所（本社・東京都中央区、大山沢成社長）の株が大量に買い占められた。
　宮入バルブ株買い占めの本尊は畑崎広敏。畑崎は仕手筋として知られ、株好きの数学者広中平祐と仕手戦を展開、兜町では「買い占めのＨ（エッチツー）コンビ」といわれている。
　畑崎は‥

>>518
1点取り除いたら連結と非連結に分かれる
よって同相とすると矛盾

>517

> 2点集合{0,1}に対する密着位相Tと離散位相T'を考えればいいんじゃないの
> 本当に思いつかないのか？

X:={0,1}においてT':={φ,{0},{1},{0,1}}、T:={φ,{0,1}}
とすると
Tの場合はX:=A∪B,A∩B=φとするとAかBはφなのでXは連結。
T'の場合はX:=A∪B,A∩B=φでA={0},B={1}と取れるのでXは非連結。

となるのですね。
ありがとうございました。

>>520 連結じゃなくて単連結ですね。♪

位相速度とベリー位相、単連結なのはどっち？

XとYを位相空間とする。
Yがコンパクトならπ_1:X×Y→Xは閉写像

を示してます。

仮定からYがコンパクトだから任意の開被覆UA_λ(⊃Y)から有限個の{A_1,A_2,…A_n}でYを覆える。
X×Yの位相はT:={∪[(t,s)∈T'](t,s);T'⊂T_x×T_y} (但し,T_xとT_yはXとYの位相)と書け、
π_1:X×Y→Xは閉写像を示すには
任意のX×Yでの閉集合Fに対してπ_1(F)はXでの閉集合を示さねばならないと思います。
それでまず,
F^c∈Tを採ると,F^c=∪[(t,s)∈T'](t,s) (T'⊂T_x×T_y)の形になっていて,
F=(∪[(t,s)∈T'](t,s))^c=∩[(t,s)∈T']((t,s)^c) (∵ド・モルガンの法則)
π_1(F)=∩[t∈π_1(T')]t^cという形になると思います。
(∩[t∈π_1(T')]t^c)^c=∪[t∈π_1(T')]t∈T_x(∵位相の定義)
つまり∪[t∈π_1(T')]tはXでの開集合、即ち∩[t∈π_1(T')]t^cはXでの閉集合。
よって π_1は閉写像となったのですがこれで正しいでしょうか?

位相レベルで議論してる人たちは数学の初心者だよね

位相空間論にも専門家は居るので
そういうのはどうかと思う。

>>526
位相空間論の話なのか?

正規 T_1 空間 X とコンパクト T_2 空間 Y が与えられたとする。
このとき，もし積空間 X x Y が正規空間ならば積空間 X x Y x Y も正規空間か？

compact Hausdorff は　normal,
( X x Y )　は　normal.
よって

X x Y x Y　＝(X x Y) x　Y　はnormal

>>529
すまん。まちがえた。結論は正規かどうかわからない。

(X,T)を位相空間とし,f,f'を[0,1]→Xへのpath(f([0,1])⊂Xで[0,1]で連続)とし,f(0)=f'(0),f(1)=f'(1)とする。
fとgがpath homotopicとは
H(s,0)=f(s),H(s,1)=g(s),H(0,t)=x_0,H(1,t)=x_1なる
連続写像H:[0,1]×[0,1]→Xが存在することです(この時のHをhomotopyと呼ぶ)。

その時,f〜gと表記する事にする。そしてx_0,x_1をそれぞれ始点,終点と呼ぶ。
そして[f]:={f';f〜f'}をpath classと呼ぶ。

そして,2つのpath f,gにおいてfとgの始点,終点を夫々,x_0,y_0,x_1,y_1とすると
x_1=y_0の時(つまりfの終点とgの始点が同じ点),
f*g:=

f(2s) (0≦s≦1/2の時)
g(2s-1) (1/2≦s≦1の時)

と定義し, [f]*[g]:=[f*g]で定義する。

この時,結合法則([f]*[g])*[h]=[f]*([g]*[h])が成立する。
そして 左単位元[e_{x_0}]と右単位元[e_{x_1}]が存在する。
これらは [e_{x_0}]*[f]=[f],[f]*[e_{x_1}]=[f]を満たす。

そこで本題は実際に[e_{x_0}]*[f]=[f],[f]*[e_{x_1}]=[f]が正しい事を確かめたいという事です。

0≦s≦1/2の時,e_{x_0}(s)=x_0と定義し,

e_{x_0}*f:=

e_{x_0}(2s) (0≦s≦1/2の時)
f(2s) (1/2≦s≦1の時)

と定義し、[e_{x_0}]*[f]=[f]が成立するか。

1/2≦s≦1の時,e_{x_1}(s)=x_1と定義し,

f*e_{x_1}:=

f(2s) (0≦s≦1/2の時)
e_{x_1}(2s-1) (1/2≦s≦1の時)

と定義すると

[f]*[e_{x_1}]=[f]が成立するか

と思ったのですが成立を示すためにはそれぞれのhomotopy Hを見つけなければなりません。
それぞれHをどのように定義できますでしょうか?

>>531 >>532
すでに、この種のホモトピーは、作られている：
[f]*[e_{x_1}] のほうは、
H(t, s) = f(min(1, 2t/(1+s)))
[e_{x_0}]*[f] のほうは、自分でやれ。

文献：岩波書店　位相幾何学I 小松・中岡・菅原 pp.61-62

私も30越えなんスけど、今度電気回路、電子回路の部署にいくことに
なりました。でも私、もともと文系。
電気回路の数学では、複素数、ベクトル、三角関数、微分積分、フーリエ級数
なんか出てくるようですが、
私、中学卒業いらい、まともに数学してませんでした。
今から、高校数学はどの順序で何を勉強すりゃいいんでしょ?
マジすれキボンです。
ヘルプみー

スマソ　スレ間違えてかきこんじゃいました

マジすれ？

>>534

仕事あるだけ付いてるよね。その知識ある奴でも仕事がない奴がいるだろうに

>>534
せや、おみゃーは恵まれとる

>>534
たぶん本格的な数学をやる必要はあまりないとおもうよ。
大体仕事の場合することが規格化されてることがほとんどで
高級理論を知ってようが知るまいが仕事はできる場合がほとんど。
まあ実際にその部署に配属されなきゃわからないよ。

つうかスレ違い

まるちしね

>533

ありがとうございます。


>>>531 >>532
> すでに、この種のホモトピーは、作られている：
> [f]*[e_{x_1}] のほうは、
> H(t, s) = f(min(1, 2t/(1+s)))

早速,
H(s,0)=f(s),
H(s,1)=(f*e_{x_1})(s),
H(0,t)=x_0,
H(1,t)=x_1
となる事をチェックしてみました。
H(s,0)=f(min(1,0))=f(0)
H(s,1)=f(min(1, 2/(1+s)))=f(1) (∵0≦s≦1なので)
H(0,t)=f(min(1, 2t/(1+0)))=f(1)
H(1,t)=f(min(1, t))=f(t) (∵0≦t≦1なので)
となり,
H(s,0)=f(s),
H(s,1)=(f*e_{x_1})(s),
H(0,t)=x_0,
H(1,t)=x_1
となりません。何処を間違っているのでしょうか?

>>542
H の定義は、H(t, s) = f(min(1, 2t/(1+s))) 。

>H(s,0)=f(min(1,0))=f(0)
H(s,0) = f(min(1,2s))。H(t,s) の定義を良く見ようね。

>H(s,1)=f(min(1, 2/(1+s)))=f(1) (∵0≦s≦1なので)
H(s,1)=f(min(1,2s/(1+1))) = f(s)。H(t,s) の定義を良く見ようね。

>H(0,t)=f(min(1, 2t/(1+0)))=f(1)
H(0,t)=f(min(1, 2*0/(1+t))) = f(0)。 H(t,s) の定義を良く見ようね。

>H(1,t)=f(min(1, t))=f(t) (∵0≦t≦1なので)
H(1,t) = f(min(1, 2/(1+t))) =f(1)。 H(t,s) の定義を良く見ようね。

>何処を間違っているのでしょうか?
H(t,s) のかわりに H(s,t) を計算するときに、
定義：H(t, s) = f(min(1, 2t/(1+s))) で、
t と s を入れ替えるのを忘れている。

> H(t,s) のかわりに H(s,t) を計算するときに、
> 定義：H(t, s) = f(min(1, 2t/(1+s))) で、
> t と s を入れ替えるのを忘れている。

ありがとうございます。
H(s,t)=f(min{1,2s/(1+t)})とすればいいのですね。
実際,H(s,0)=f(min{1,2s})=
f(2s) (0≦s≦1/2の時)
f(1) (1/2≦s≦1の時)
=
f(2s) (0≦s≦1/2の時)
e_{x_1}(2s-1) (1/2≦s≦2の時)
=
f*e_{x_1}(s)

H(s,1)=f(min{1,s})=f(s)
H(0,1)=f(min{1,0})=f(0)=x_0
H(1,t)=f(min{1,2/(1+t)})=f(1)=x_1=f*e_{x_1}(1)

となってf*e_{x_1}〜fのホモトピーであることが分かりました。

続いてf〜e_{x_0}*fのホモトピーを探しているのですが
H(s,t)=f(max{1,2s/(1+t)})とかしてみたのですが
H(s,0)=f(max{1,2s})=f(2s)となりf(s)になりません。
どのようにこのホモトピーを定義すればいいのでょうか?

>>544
ヒントをあげるから、自分でやってごらん。
f_1(t) = f(1-t) (0≦t≦1) とおくと、
(f_1)*e_{x_0}(1-t) = e_{x_0}*f(t) と、なる。

この種の操作を覚えておくと、
path に関するホモトピーの構成の手間を省けるよ。

ありがとうございます。

>>>544
> ヒントをあげるから、自分でやってごらん。
> f_1(t) = f(1-t) (0≦t≦1) とおくと、
> (f_1)*e_{x_0}(1-t) = e_{x_0}*f(t) と、なる。
> この種の操作を覚えておくと、
> path に関するホモトピーの構成の手間を省けるよ。

tを1-tと置き換えてみるのですね。
f*e_{x_0}〜fのホモトピーが　
H(s,t)=f(min{1,2s/(1+t)})だったのでt部分を1-tに置き換えて
H(s,t)=f(min{1,2s/(2-t)})としてみると
H(s,0)=f(min{1,s)})=f(s)でOKです。

しかし
H(s,1=f(min{1,2s})=
f(2s) (0≦s≦1/2の時)
f(1) (1/2≦s≦1/2の時)
となりここから下記に繋がって欲しいのですが繋がりません。
f(0) (0≦s≦1/2の時)
f(2s-1) (1/2≦s≦1の時)
=
e_{x_0}(s) (0≦s≦1/2の時)
f(2s-1) (1/2≦s≦1の時)
=
f*e_{x_0}(s)

H(s,t)=f(min{0,2s/(2-t)})やH(s,t)=f(max{1,2s/(2-t)})やH(s,t)=f(max{0,2s/(2-t)})
でも上手くいきませんでした。
どうすればいいのでしょうか?

>>546

>H(s,t)=f(min{1,2s/(1+t)})だったのでt部分を1-tに置き換えて
>H(s,t)=f(min{1,2s/(2-t)})としてみると

f のかわりに、f_1, s のかわりに 1-s を使い、
H(s, t) = f(1-min(1, 2(1-s)/(1+t)))
で、試してみてくれ。

ホモトピーのパラメーター t と、path のパラメーター s を、
慎重に区別してください。
特に、記法上の都合で、t と s を入れ替えたときなど、要注意です。
慣れている人でも、結構間違えます。

>547
ありがとうございます。
やっと上手くいきました。m(_ _)m

うるさい。

018

681

つまりユークリッド空間Ｒ^3を一般のＲ^nまで拡張したのが距離空間Ｒ^∞まで拡張したのが位相空間でおｋ？

全然違う

何が「つまり」なんだ
帰れ

定義くらいきちんと読め

>>552
まったくR^∞なんて出てこないんだけどｗ

>>555
コルモゴルフの拡張定理知らないでしょ？

僕の校門も拡張されそうです

何で主に確率論で使う定理が出て来るんだか

少なくとも>>552がコルモゴルフの拡張定理を知ってるとは思えないんだが。

age

∩[n∈N]G_nが開集合(但し,G_1,G_2,…は開集合)とならない例や
∪[n∈N]F_nが閉集合(但し,F_1,F_2,…は閉集合)とならない例は何がありますでしょうか?

簡単な例をお教え下さい。

(0,1+1/n)
[0,1-1/n]

> 562

どうもありがとうございました。

電圧と電流のはなしではないようで
しつれいしますた
いなかものは　ひっこみます
カップやドーナツがでてくるやつですね
さようなら

>562

どうもありがとうございました。

(X,T)を位相空間とする。
孤立点(x∈AがAの孤立点 iff xを中心とする十分小さな近傍を取ればx以外にAの点を含まない)
が開集合(Aが開集合 iff ∀x∈Aに対し,xの近傍はAに含まれる)なのは何故なのでしょうか?

xがAの孤立点ならxの近傍を幾ら小さくとってもAに含まれる事はありえないと思うのですが…

開集合の定義でしょ

>>566
そもそも「孤立点が開集合」という命題が意味不明。
「Aの孤立点」は、Aを指定してはじめて、Aとの関係で定まる概念。
「開集合」は、(X,T)を定めると、Xの各部分集合について（そうであるかないかが）定まる概念。

ある１点からなる集合{x}が開集合かどうかは、(X,T)がどんな空間かで変わるが、
(X,T)が定まれば決まる。
たとえばユークリッド空間の通常の位相では、1点だけからなる集合はすべて、開集合ではない。

>>566はこれをイメージしているぽいが、問題にしている(X,T)が普通と違うんじゃないか？
XがRの部分集合であっても、あるx∈Xの「Rでの」近傍の点がx以外はXの点じゃないとか。
（その場合xの「Xでの」近傍は{x}しかないから、{x}は「Xでは」開集合になったりする。）

どもありがとうございます。


> >>566
> そもそも「孤立点が開集合」という命題が意味不明。

何処かで見かけたのです。
証明は「開集合の定義から明らか」となってました。


> >>566はこれをイメージしているぽいが、

そうですね。


>問題にしている(X,T)が普通と違うんじゃな
> いか？
> XがRの部分集合であっても、
> あるx∈Xの「Rでの」近傍の点がx以外はXの点じゃない
> とか。
> （その場合xの「Xでの」近傍は{x}しかないから、{x}は「Xでは」開集合になったり
> する。）

うーん。。何か簡単な具体例はありますでしょうか?

>>566
{x} は、(X の開集合ではなく) A の開集合ということ。詳しく言うと、

位相空間 X の部分集合 A の点 x が A の孤立点
⇔
xを中心とする十分小さな近傍 U を取ればx以外にAの点を含まない
⇔
A を部分位相空間と考えて、{x} が A の開集合
（∵ {x} ∩ U ∩ A = φ だから部分位相の定義より）

最後の式間違えた。
正しくは、U ∩ A = {x}

>>569
>何処かで見かけたのです。
>証明は「開集合の定義から明らか」となってました。

いやだから、「孤立点」は点であって（そしてどの部分集合にとっての孤立点なのか？）
「集合」じゃないでしょ

>うーん。。何か簡単な具体例はありますでしょうか?

たとえば数直線R上で,
点0はRの部分集合A={0}∪[1,2]について孤立点で,
また集合{0}はRの開集合ではない（閉集合ではある）が,

X={0}∪[1,2]を全空間とし, Rの相対位相をTとすると,
(X,T)では, 0が孤立点になるような部分集合はないし,
{0}は開集合である（閉集合でもある）.

> 何処かで見かけたのです。

文章の置かれた文脈をとり損ねて、単なる見かけ上の文字列のみを取り出しても
何も理解できませんし、誰とも状況を共有することは出来ません。

>>570 に書いたように、別に部分集合を指定しなくても「孤立点」って概念は
　x が孤立点 ⇔ {x} が開集合
で定義される。
>>566 は部分位相をよく理解してないだけじゃね？

>>572
>> X={0}∪[1,2]を全空間とし, Rの相対位相をTとすると,
>> (X,T)では, 0が孤立点になるような部分集合はないし,

あるよ。0 は部分集合 {0}　の孤立点

>570,,575

どうもありがとうございました。

>>575
てゆーか、Xにおいては0は0を含む任意の部分集合の孤立点だな

>>574
>x が孤立点 ⇔ {x} が開集合

「x は任意の部分集合の孤立点 ⇔ {x} が開集合」 ではあるけど、

普通のユークリッド空間では１点集合は開集合にはならないが、
xを孤立点とする部分集合はいろいろ作れる

「絶対的孤立点」みたいな概念を作るのならともかく、
「孤立点」自体は部分集合とxの関係で決まる概念だよ

332

レヴィ＝ストロースの為に勉強するお（＾ω＾）

三年。

759

スレチかもしれないが
f:X→Yが単射ならばA∩B＝０なるXの任意の部分集合A、Bに対してｆ(A)∩ｆ(B)＝０が成り立つ
これの証明わかる？

>>583
君がしているのはマルチポストと言って、たいへん憎まれている行為だ
どこか1か所以外すべて謝って取り下げるんだ

>>583
わかるよ

758

∀x∈Ωに対し,切片{y∈Ω;y<x}が可算集合となるような非可算な整列集合Ωの例が思いつきません。
何か簡単な例をお教え下さい。

>>587 可算順序数の全体

> 588
可算順序数って自然数Nと対等関係にある集合の事でしょうか。
どうしてこれがΩになるのでしょうか?

ご教示ください。

まず順序数について勉強しろ

順序数とは
「Xを順序集合全体とすると同値類{A'∈X;A〜A'}(但し,〜は順序同型の意味)はAの順序型と呼ばれる。
そしてAが整列集合の時,順序型{A'∈X;A〜A'}を順序数と言う。」
でいいでしょうか?

>>587
次の事項は理解できていますか。

整列集合の比較可能性。
切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
そのような例は一つしか存在しない。

>>591 ダメ

>>1
日本語も正しく言えない奴がスレ立てるな

> 592
> 次の事項は理解できていますか。

はい。一応。

> 整列集合の比較可能性。

これはW,W'を2つの整列集合とすれば次の3つの場合のいずれか一つだけが起こる(〜は順序同型の意)。
(i) W〜W'
(ii) ∃a∈W;{w∈W;w<a}〜W'
(iii) ∃a'∈W';W〜{w'∈W';w'<a'}
ですね。

> 切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
> そのような例は一つしか存在しない。

簡単な例は何がありますでしょうか?

>> 切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
>> そのような例は一つしか存在しない。
> 簡単な例は何がありますでしょうか?


やべｗｗｗｗｗ
腹の筋肉千切れそうなくらいﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>> そのような例は一つしか存在しない。
> 簡単な例は何がありますでしょうか?

本当に理解しているのか？

>597
はっはい。

>>598

本当に理解しているならば、そもそもああいう質問は出てこないはずだか。

>>599
日本語が理解できない人にそれはしつれいですよ。

598
です。
すいません。ご教示ください。m(_ _)m

>>601

非可算集合 A を一つ取る。整列定理より、A には、整列順序が一つ入る。
それを ≦ で表す。x, y ∈ A に対し、x<y ⇔ (x≦y かつ x≠y)
S(x) = {z ∈ A | z<x} とおく。

場合分けをする。

case 1
全ての x ∈ A に対し、S(x) が可算集合のとき。
このときは、A に整列順序 ≦ を与えたものが、問いに答えるものである。

case 2
ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

補足

>>602 でいう可算とは、濃度がアレフゼロ以下の意味ね。

> 602

どうもありがとうございます。

> case 2
> ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
> そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
> {(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

つまり{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}がΩの性質を満たすのですね。
(x,x)∈{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}でx∈S(a)でS(a)は非可算なので
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}は非可算になりますね。
そして,
S'(a):={(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}とすると
∀b∈S'(a)に対し,S'(b)={(x, y) ∈ S(b)×S(b) | x≦y}で
S(b)は可算なのでS(b)×S(b)も可算になりますね。

ん?
a:=min{a∈A;S(a)は非可算}の時,∀x∈S(a)に対してS(x)は可算になるのでよね。
なのでΩ:=S(a)とする事はできませんか?

こいつ、あの主か

>>604

ははは。どうやら、僕の書き方が紛らわしかったようですね。
あなたの言うとおりです。

>>602 で、以下の訂正をしてください。

訂正前：

> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
> {(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

訂正後：

> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された整列順序
> G:={(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　を与えた整列順序集合
> S(a) が問いに答えるものである。

確かに Ω = S(a) とするのですが、この場合は、土台となる集合が S(a)(=Ω)
で、その集合 S(a) 上の整列順序構造が G となるのです。
普通は、整列集合 S(a) とだけ書いて G は省きますね、確かに。
小うるさい本では、整列集合としては (S(a), G) と書いて、
その土台集合として S(a) を問題にします。
僕自身は、整列集合としては、(pr_1(G) = S(a) なので)
整列構造込みで扱うために、G だけ問題にしていました。

> 確かに Ω = S(a) とするのですが、この場合は、土台となる集合が S(a)(=Ω)
> で、その集合 S(a) 上の整列順序構造が G となるのです。

なるほど。S(a)×S(a)は順序関係を表していたのですね。
∀x,y,z∈S(a)に対して,(x,x)∈S(a)×S(a)(∵x≦x)。
(x,y)∈S(a)×S(a)かつ(y,x)∈S(a)×S(a)ならx=y。
(x,y)∈S(a)×S(a)かつ(y,z)∈S(a)×なら(x,z)∈S(a)×S(a)
が成立する事は容易に確かめられますね。

> 普通は、整列集合 S(a) とだけ書いて G は省きますね、確かに。
(snip)
> 整列構造込みで扱うために、G だけ問題にしていました。

了解いたしました。

ところで
非可算で任意の切片が可算になるようなΩの具体例はどのようなものが挙げられますか?
実数とかでそのようなΩが作れないか考えてみたのですがなかなか思いつきません。

まだ、そのような例は一つしかない、と言われていることも
既にその例が挙げられていることも気付かないのか主は。
まあ、主だものな。無理は言わないよ。

>>607

整列順序構造は S(a)×S(a) ではなく、x≦y をみたす (x,y)∈S(a)×S(a) の全体です。

ご質問の具体例は、公理的集合論の本で順序数というものを勉強されてください。アレフワンと呼ばれる基数がそうです。

離散距離空間の開集合系がベキ集合で
密着準距離空間の開集合系が｛x , 空集合｝
なのはなぜですか？
日本語になってるかわかりませんが、
どなたか救いの手を差し伸べてくださいm(_ _ )m

>>610
俺にはそれが定義に見えるけど、何故というからには違うんだろ？

お前の言う
> 離散距離空間
> 密着準距離空間
の定義は何？

610です。

Xの任意の元ｘ、ｙに対してｄ（ｘ、ｘ）＝０、ｄ（ｘ、ｙ）＝１　（ｘ！＝ｙ）
とおいたとき、（X、ｄ）を離散距離空間という。
Xの任意の元ｘ、ｙに対してd0（ｘ、ｘ）＝０
と定めるととき（X、d0）を密着準距離空間という。

距離空間（X、ｄ）において開集合全体の作るべき集合の部分集合を
O（X)で表すとき、（X、O(X))は位相空間である。これを距離函数ｄ
の定める位相という。

【問題】

離散距離空間（X、d１)に対して、ｄ１の定める開集合系をO１とすれば
O１＝（Xのべき集合）
密着準距離空間（X、d2）に対して、d2の定める開集合系はO2＝｛X、空集合｝

>>612
距離から定まる通常の位相ってのは、開集合系 O(X) がXの開円板で生成される
ということなのだから、自明。

てか、定義でd,d0を使ったのに、なぜ問題でd1,d2に変えるんだよｗｗ

>>613
ありがとうございます。
確かに文字の設定おかしいですねｗ
すみませんでした汗

> 自明

問題の主張が自明、という意味だからな。為念。

証明教えてくださいm(_ _ )m

【問題】―――――――――――――――――――
O’が開集合系Oの基底であるためには、
任意のP∈Oと任意のx∈Pとに対して
　　　　　　　x∈W⊂P
となるW∈O’が存在することが、必要十分である。
――――――――――――――――――――――

どうかよろしくお願いします。

>>616
これは、ほとんど基底の定義。
位相がわからないのではなくて、もっと基本的な集合の扱いができないのだと思う。

>>616
開集合系Oの基底の定義と
開集合の定義

この２つを理解してれば簡単

>609

607です。

> そのような x ∈ A で最小のものを a とする

整列集合だからそのようなaが存在しますね。
もし,min{a∈(A,≦);{x∈A;x<a}は可算}=min(A,≦)の場合には,{x∈A;x<a}=φでこれも可算になっていると言えますね。

どうもありがとうございました。

619です。

> 602
すいません。また分からなくなりました。

> 全ての x ∈ A に対し、φ≠S(x) が可算集合のとき。

本当にこのような集合は作れるのでしょうか?
Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね。。。

>>620
もういっかいスレを読み直せ

>>620
>Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね
N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね

つか、既に答えが書かれていてそれが唯一であるということも述べられているのに
それにもかかわらず簡単な例は無いかとか本当に作れるのかとか、
ただの愉快犯だろ。相手をするだけ無駄だよ。

> 622

>>>620
>>Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね
> N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね

それはそうですね。∀nに対して,S(n)は有限集合なので可算ではありますが
Nは非可算ではないですよね。

普通に考えたら>>620の
> 本当にこのような集合は作れるのでしょうか?
というクラスが上がるのは疑わしいという先入観に対する
> N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね
なのだから

>>624のようなレスは文盲としか言いようが無い。
>>623に同意。

>625

やっと分かりました。

自然数の整列集合(N,≦_n)と実数の整列集合(R,≦_R)でx≦yをx,y∈Nの時,x≦_n yで
x,y∈Rの時,x≦_R yでx∈N,y∈Rの時,x≦yと定義して
b:=min{a∈N∪R;{x∈N∪R;x<a}は非可算}と取れるから
{x∈N∪R;x<b}がΩとなりますね。

どうもありがとうございます。

>>626
おまえ、文盲にも程がある。
それはΩではない

>>626

587 名前：１３２人目の素数さん [] 投稿日：2009/10/01(木) 05:39:00
∀x∈Ωに対し,切片{y∈Ω;y<x}が可算集合となるような非可算な整列集合Ωの例が思いつきません。
何か簡単な例をお教え下さい。


588 名前：１３２人目の素数さん [] 投稿日：2009/10/01(木) 06:50:37
>>587 可算順序数の全体

----
ここまでで話は終わっている。さらにいえば↓のレスの意味をお前はまったく理解していない。

592 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日：2009/10/01(木) 11:19:13
>>587
次の事項は理解できていますか。

-整列集合の比較可能性。
-切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
-そのような例は一つしか存在しない。

n+1次元Euclid空間においてR＾n+1から原点を除いた集合Xを作り、
Xにおいて同値関係を
（x0,....,xn)〜（ax0,....,axn) (a!=0)
によって定義する.

【問題】--------------------------------------------------------

ｎ次元球面S＾ｎ＝｛（x0,....,xn);Σxi^2=1} において同値関係を
（x0,....,xn)〜（-x0,....,-xn)
によって定義して得られる商位相空間はｎ次元射影空間と同位相である.

--------------------------------------------------------------

どなたか手を差し伸べてください。
証明お願いしますm(_ _ )m

>>629 【訂正】

n+1次元Euclid空間においてR＾n+1から原点を除いた集合Xを作り、
Xにおいて同値関係を
（x0,....,xn)〜（ax0,....,axn) (a!=0)
によって定義する.　これから得られる商位相空間をｎ次元射影空間という

【問題】--------------------------------------------------------

ｎ次元球面S＾ｎ＝｛（x0,....,xn);Σxi^2=1} において同値関係を
（x0,....,xn)〜（-x0,....,-xn)
によって定義して得られる商位相空間はｎ次元射影空間と同位相である.

--------------------------------------------------------------

どなたか手を差し伸べてください。
証明お願いしますm(_ _ )m

>>1俺もこれがただしいと思うよ

かなりぶっちゃケ手、距離を友達集合でぶっこくんだよ

662

619

>>630
余裕

余裕じゃねーよ

半球とおなじだからさ／

>>637
半球とは違うぞ。n＝1だと半球に近いけど、境界が僅かに違う。
n＝2だと半球どころか1/4球くらいになってる。

ゴメン。変な勘違いしてた。n＝2でも半球で合ってる。
でも、キレイに上半球面になるわけではなく、
やっぱり境界が若干面倒くさい。

学生の頃の個人的体験。
昔、Kellyのトポロジーなんか読んで、位相空間について解ったつもりで、
天狗になっていた。次は連続群論・位相群論だ、と勝手に思い込み。

ところが、位相群論概説　を読んでみてほとんど解らずに沈没・挫折した。
無限次ガロア理論や整数論を学ぶ上でどうしても必要になり、再度やってみて
ようやく目指すところがわかってきた。

＆とORで閉じている集合族

「四次元空間としての療園」 by 川崎和男 (ｗ)

↓↓ どちらも川崎和男が得意とする「日本語（ガチャ文）駄文の２ページ《論文》」
　　
ＤＬして、どこかに晒してください

各２ページなんで、すぐに読めてトンデモ度（＋ 川崎の白痴ぶり）が気軽に楽しめる作品に仕上がってるハズ
　　
●http://ci.nii.ac.jp/naid/110004560973/ トポロジーおよびトポロジー形態論を適用した人工小脳デザイン
　　　　
●http://ci.nii.ac.jp/naid/110004560974/　人工肺のデザインにおけるトポロジー形態論の適用の研究

川崎和男 的には、人工小脳とか、人工肺のデザインでも "トポロジー" (w) が出てくるワケだから、
やっぱり、お得意の　「クラインの壺」　も登場する？

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