ζ(2n+1)

855

誰か

Σ1/(2^n*n^3) の値わかります？n=1から∞までの和です。

ちなみに、

Σ1/(2^n*n^2) = 1/2 * ζ(2) - 1/2 * (ln2)^2

というのは簡単に分かりました。要は、これでべき数が３のときなんだよなぁ。

>53

Li_k(z) ≡ Σ[n=1,∞) (z^n)/(n^k),

Li_2(1/2) = (1/12)π^2 - (1/2){ln(2)}^2
　　　　　= 0.582240526465012505902656320159680108755…

Li_3(1/2) = (7/8)ζ(3) - (1/12)(π^2)ln(2) + (1/6){ln(2)}^3
　　　　　= 0.537213193608040200940623225594965826675…

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/PolyLog/03/02/02/

>>54さん、ありがとうございます。
自分でも、∫x^2/(e^x-1)dx などを使って導くことができました。
上のリンクのページにいろいろまとまってますね。。

ζの自明な零点 -2n ってあるけど，どうやればこれが零点だと示せるんでしょうか？
解析接続をしろとあるんですが，わかりません．解説をお願いします．

自明じゃないから、その本が間違ってると思う。

ちなみに　∫x^2/(e^x-1)dx　を0からln(2)まで積分すると

　　　　　　　　1/4 * ζ(3) - 1/3 * ln(2)

になるようです。

>>56
関数等式を使う。
自明な零点ってのは実軸上の零点。
他は皆実数成分が1/2ってのが、リーマン予想。

オイラーから入るとそんなにむずかしくはない。関数等式は、、、。
リーマンの前になんていうか、関数等式を示唆した式をオイラーは手に入れている。
そこらへんは、アユーブのZetaの話（高校生向きにくらいに書かれている。）
がわかりやすいだけでなく、想像力をかりたてられる。
他（リーマンの論文とか、その跡の研究は）はむずかしい。

844

926 :
　Σ[i=1,∞) 1/(i^k) = 1 + 1/(k-1).
の証明お願いしますm(_ _)m
ただしkは2以上の任意の整数。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182816910/926
さくらスレ２２１

963 :

ζ(2) = (π^2)/6 　= 1.64493406684822643647241516664603…
ζ(3) = (5/2)Σ[n=1,∞) (-1)^(n-1) /{(n^3)C[2n,n]} = 1.202056903159594284…
ζ(4) = (π^4)/90　= 1.08232323371113819151600369654117…
ζ(6) = (π^6)/945 = 1.01734306198444913971451792979092…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182816910/963

986 :
〔補題〕
　　1 + 1/(2^k) + {(5-k)/(2k-2)}(1/2)^k < ζ(k) < 1 + 1/(2^k) + {1/(k-1)}(2/5)^(k-1),
(略証)
y=(1/x)^k の凸性を使うと
　1/(i^k) < ∫[i-1/2,i+1/2] (1/x)^k dx,
　∫[i,i+1] (1/x)^k dx < { 1/(i^k) + 1/((i+1)^k) } /2,
よって
　1 + 1/(2^(k+1)) + ∫[2,∞) (1/x)^k dx < ζ(k) < 1 + 1/(2^k) + ∫[5/2,∞) (1/x)^k dx,

(例)
　1.625 < ζ(2) < 1.65
　1.1875 < ζ(3) < 1.205
　1.07291666… < ζ(4) < 1.08383333…
　1.03125 < ζ(5) < 1.03765
　1.015625 < ζ(6) < 1.017673

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182816910/986

序でにもう1つ…

〔補題〕
　m≧2 のとき
　　1 + 1/(2^k) + …… + 1/(m^k) < ζ(k) < 1 + 1/(2^k) + …… + 1/(m^k) + 1/{(k-1)(m+0.5)^(k-1)},

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=a5bca1bca5bf4xbfta4rjy6afa49a4ka4bfa4aa4k&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1
ゼータ関数を勉強するために

23 ：１３２人目の素数さん：2006/05/16(火) 04:43:35
オイラーによる予想
ζ(3)=α*(log2)^3+β*(π^2/6)*log2
となる有理数α,βが存在する。

これって、コンピュータに数値計算させれば、ある程度予想はつくよね？
有理数は可算無限個しかないんだから、たとえば、
「有理数α，βの分母と分子は、ともに10000以下」
という条件のもとで、上の式に合致する(と思われる)α，βを探してみるとか。

↑アフォか

>>67
予想が正しいとすれば、α，βは「大げさな」有理数ではないと思うんだ。
たとえば、α＝767432/1219878361 みたいな変な有理数が答えだとは思えない。
α＝2/3みたいな、すっきりした有理数であってほしい。もしこのような有理数が
答えだった場合、「有理数α，βの分母と分子は、ともに10000以下」という条件の
もとで調べれば十分だろう。逆に、この範囲で答えがなかったら、予想は否定的で
ある可能性が高いと言える。

一応付け加えておくと、俺はコンピュータの検索によって「答えっぽいものを見つけたい」だけ。

↑天才か

200

それでともかく、ζ(3)/π^3=n/m、n,m≦10000で調べてくれないか？
多分もうどっかでやってるとは思うが、自然な発想で追っていくのが一番おもしろい。
その上、自分で追っかけるのが一番おもしろいよ。数学は。誰かがやっていようがいまいが。
初等的な発想で自然に追っかけて行って欲しい。
大体がオイラーってのは自然な発想しかしてないよ。それを自然に生涯続けてるのがなんか
すごいなって思うが、、、。だれでもできる事じゃない。

しかし、オイラーの発想はいつも素朴で自然。発見した物はしかしいつもとても
美しい。

＞ζ(3)/π^3=n/m、n,m≦10000で調べてくれないか？
ここでも見ておけ。
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/sp/sp32.htm

そこは嘘くさいし、上記の近似は行っていない。

ζ(3)≒1.2020569031595942854
π≒3.1415926535897932385
ζ(3)/π^3≒0.038768179602916830537

6π^3/ζ(3)≒154.76610099971911978

>>75
そこのサイトの真ん中より少し上に、

ζ(3)＝π^3[(1/945)*{(2^3＋1)/(2^3−1)}*{(3^3＋1)/(3^3−1)}*{(5^3＋1)/(5^3−1)}*…]^1/2

とあるだろうが。ζ(3)/π^3が、きれいな形の無限積(の平方根)で表示されている。この表示が
有理数になるとは思えない(もちろん、実際のところは どうなのか分からないが)。

＞上記の近似は行っていない。
俺がこのサイトを挙げたのは、ζ(3)/π＾3の無限積表示が載っているからだ。この表示を見れば、
有理数の近似を行うことがいかに無謀か分かるだろ。

＞そこは嘘くさいし、
あほｗ サイトの管理人が「万が一」トンデモの類であっても、載っている公式は正しいかもしれないだろ。
特に、何か信頼できる書籍やサイトからの引用だったなら、載っている公式自体は信用に値する。あるいは、
公式が正しいかどうか、自分で検証してみるのもよい。オマエは全て他人任せなのか？ちなみに、

ζ(3)＝π^3[(1/945)*{(2^3＋1)/(2^3−1)}*{(3^3＋1)/(3^3−1)}*{(5^3＋1)/(5^3−1)}*…]^1/2

この公式は正しい。証明(と呼ぶのも大げさなほど簡単な証明)がサイトに載っている。あまりに
証明が簡単なので、その正しさもすぐに検証できる。オマエは「嘘くさい」の一言で全ての検証を
放棄してしまったから、こんなに簡単に導ける公式を見落としてしまったわけだ。
結局、損するのは自分自身。

まあ、嘘くさい

>>77
それさあ、素数の無限積なんだけど、、、？はああーーつかれる。
ζ(3)＝π^3*[(1/945)*{(2^3＋1)/(2^3−1)}*{(3^3＋1)/(3^3−1)}*{(5^3＋1)/(5^3−1)}*…]^(1/2)
=π^3*[(1/945)*{(Π(pは素数）(p^3+1)/(p^3-1)]^(1/2)
=[π^6*(1/945)*Π(pは素数）(1+1/p^3)/(1-1/p^3)]^(1/2)
=[π^6/945*Π(pは素数）(1+1/p^3)(1-1/p^3)/(1-1/p^3)^2]^(1/2)
=ζ(6)*Π(pは素数）(1-1/p^6)/(1-1/p^3)^2]^(1/2)
=[ζ(6)*ζ(6)/ζ(3)^2]^(1/2)
=ζ(6)/ζ(3)
素数の無限積を素数の無限積であらわしたって近似式なんかでてくる訳がない。
素数の無限積を有理数の近似式であらわしてみてって言っただけ。

ついでに言っておくが
ζ(3)=ζ(6)/ζ(3)な訳はない。だから言ってるだろうが、そこはうそ臭いって。
自分で手動かして計算しろ！馬鹿が！

素数の無限積/Π^3を有理数の近似式であらわしてみて

素数の無限積/Π^3を有理数の近似式であらわしてみて

=ζ(6)*Π(pは素数）(1-1/p^6)/(1-1/p^3)^2]^(1/2)
=[ζ(6)/ζ(6)*ζ(3)^2]^(1/2)
=ζ(3)

興奮してしまった。その式はだから当たり前な事を当たり前に言い換えてるだけ。

定義を言ってるだけなんだよ。そこは、、、。

偶数の場合にはそれが有理数になる。君の言う無謀な試みが成功する訳だ。
オイラーも最初は計算したろう。偶数の様にならないかなって。
でもならなかったんだろう。なってればこんな話題になんかならない。
でも古人のやった事、ちょっと桁あげてやってみてって言っただけ。

素数の無限積が円と有理数になるから不思議なんだよ。
それを考えるのにまた、素数の無限積使ってどうするんだよ。
なんか出てくるのか？あほらしい。

おまえがやれよｗ

めんどくさいからいやだ。

せっかくやってくれそうな奴がいたのにつぶしやがって、馬鹿が、、、。

類似の式はζ(k)=π^k*有理数[ζ(2k)/ζ(k)^2}^(1/2)で出てくる。素数の無限積を用いた有理数近似が確かに出てくる。
kが偶数でも奇数でも出てくる。あんまり馬鹿らしくて涙が出てくる。

ついでに言うと奇ze-taを無限の隅ze-taで表した式もこのサイトの主は発見している。
それはオイラーも発見した物と同じ物だ。それはそれで価値はあるだろう。サイトの
個人主にとっては。新しくもない事を確かめもしないで自分が発見したとか言う神経が
どうかしてる。アインシュタインがまちがってたり、オイラーの公式が定義だったり
それを発見したのが自分だったりする様なサイトはどうでもいいんだよ。
オイラーが素直にやってみた事やってみる方が価値があるよ。

嘘くさい

6π^3/ζ(3)≒154.76610099971911978

数字の並びが充分おもしおろいんだが、、、

ゆとりが多すぎる

奇数ゼータか
もうどうでもいいや

946

n*n!/...

素数の無限積を素数の無限積であらわしたって近似式なんかでてくる訳がない。

何の近似式だよボケｗ
近似も何も、「ピッタリイコール」の公式じゃねーか。

二年。

age

フﾐζ I can fly

192