線形代数/線型代数 3

線形代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。

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　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/
前スレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/

「#C が無限のとき #C × アレフゼロ = #C」がわからなかった前スレのおもしろい子、どうしてる？

「理系のための線形代数の基礎」
２９ページ
「U,Vがそれぞれn次元,m次元の数ベクトル空間であるとき、Vの数ベクトルn個
をとる:b1,b2,..,bn これらを、その順に並べれば、(m,n)行列
B = [[b11,b12,..,b1m],[b21,b22,..,b2m],..,[bn1,bn2,..,bnm]]
ただし、bi=[bi1,bi2,..,bim]
が得られる。この行列に対応する一次写像は、Uの基本ベクトルe1,e2,..,enを、
それぞれb1,b2,.,bnに写す一次写像である。」

この部分の意味が良くわかりません。具体的に式で表現すればどのようなこと
ですか？
行列表示と行列による一次写像が混乱してしまいます。

定義嫁

つ線型代数30講

掲示板上で説明するのﾏﾝﾄﾞｸｾ

行列表示を考えるときは最初に基底を決めておくはずだけど、この場合は明示
されていない。Uの基本ベクトルe1,e2,..,enとVの基本ベクトルe1~,e2~,..,em~
を基底と考えているとすれば、行列表示の定義により
f(e1,e2,..,en) = (e1~,e2~,..,em~)B
となり、f(ei)=bi (i=1,2,..,n)が成立するのは当たり前だと思えます。
なぜこんな事実をあえて記述しているのかが疑問。

更に
３８ページ
「体Kが成分の(m,n)行列A = (a[i,j])に対し
f_A(x) = Ax (x∈K^n)
とおくと、一次写像f_A:K^m→K^nが決まる。行列Aの第j列をaj(j=1,2,..,n)
とすると、２９ページでみたように、Imf_A = <a1,a2,..,an>であるから
…以下略」
とあるが、なぜ、２９ページからImf_A = <a1,a2,..,an>となるのかが疑問。
行列表示と行列による一次写像は別では？
わざわざ行列表示を経由しなくてもImf_A = <a1,a2,..,an>となることは
容易にわかるのに、と思ってしまいます。

それ言っちゃえば実数上の有限次元線形空間なんて
全て自明だから何も書かなくていいんだよ

線形結合と１次結合って同じ意味なんでしょうか？

そうです。
ちなみに、線形独立と一次独立も同じ意味です。

線形動物と一次動物も同じですか？

環形動物は二次動物？

線形包茎と一次包茎は同じですか？

学校の期末試験の過去問なんですが、教えてください。

＿　　　　　　　＿
｜　1　2　3　4　｜
｜　　　　　　　　｜
｜　4　1　2　3　｜
｜　　　　　　　　｜
｜　3　4　1　2　｜
｜　　　　　　　　｜
｜　2　3　4　1　｜
￣ ￣
の固有値を全て求めよ。


余因子展開使っても行列の基本変形使っても
計算がものすごいことになってしまいます。
何か簡単な解法があるのでしょうか？

>>13
> 何か簡単な解法があるのでしょうか？
ナナメのラインを良く見ろ。

>>14
うーん、規則性があるのはわかるんですけど
そこから先がわかんないです…。

もうちょっとヒントもらえませんか？

-2,10,-2±2i

>>15
巡回行列式
ζを１の原始ｎ乗根（すなわちｎ乗してはじめて１になる複素数）とすると
｜ｘ0 ｘ1・・・・ｘn-1｜
｜ｘn-1 ｘ0・・・ｘn-2｜＝Π（ｘ0＋ζ^iｘ1＋・・・＋ζ^(n-1)iｘn-1）
｜・・・・・・・・・・｜　　(i=0~n-1)
｜ｘ1 ｘ2・・・・ ｘ0 ｜
右辺はｎ個の整式の積となります。

教えたついでに、上の３と６番の書き込みについてわかる事があれば教えてください。

代数が苦手なので教えてください。
トレースが０の行列について何か特徴とかあるでしょうか？

age

327

>>18
複素数体の場合、交換子 AB - BA の形になる事が一つの特徴付けです。
（必要十分の意味）

線形代数の
イイ！問題集ないですか？
大学でベクトル空間の講義が始まってからさっぱりわからなくなったorz

跡って可換だから便利ですね。最近やっとそのことに気付きました。

>>22
大学のレベルによる。
東大・京大？
Ｆランク？・Ｇランク？

>>21
どうもありがとうございました。

東大・京大⇒線型代数入門・線型代数演習（斎藤　東大出版）
旧帝、地方国立⇒詳解線形代数演習（共立出版）
Ｆランク⇒よくわかる線形代数（石村園子）納得するシリーズ（講談社）
Ｇランク⇒青チャートでもやってろ
レベルで分けるとこんなもんか

線形空間がいまいちイメージできないのですが
何かお勧めの本やウェブサイトありませんか？

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/sendaipub/img1181.gif
↑固有値を求める時の始めの計算式ですが、
t^2-4t+4へどうやって持っていくのかご教示下さい。

>>28
知恵遅れ？

>>29
退職を機に始めてみました

小泉は、やることなすこと米国ユダヤ様のご命令通り。犬二匹目
http://news18.2ch.net/test/read.cgi/news2/1136897287/

28
自己解決しました。
>>29本当に有難うございました。

>>29
さすがに酷いんじゃないか。

>>26
ちゃんと見てないが、石村本はどれも確かに酷いが「納得する」は
ものによってはまだまともだったような希ガス。線型どうだったか・・・

>>27
何を読んでもたいして変わらん。
しばらくわからんのを我慢して、慣れる・悟るしかない。
わかってしまえば、なぜわからないのかがわからなくなる。

線形代数って、実社会ではどんな場面で使われてるんですか？

学生群を分類するため

>>35
大学1年のうちに、数学科崩れ予備軍の大半をさっさと潰して
早急な社会復帰をうながす場面で

線型代数ぐらいだとかえって崩れへの突進を強固にしてしまう可能性が・・・

>>38
そこで、4月の最初に「ベクトル空間とは R-module」ですよ。

>>33
極めて親切なヒントだと思うが。

>>40
ま、知恵遅れの28さんは、数学だけデキて他の事は何一つできない
社会不適合でブサイクキモヲタのお前や>>29のような奴よりゃマシだけどな。

さっさと死ねば？
何か社会の役に立つ事してる？ｗ
してないよね、数学でオナニーばっかしてる童貞クンｗ

あれは誰が見ても自己解決できるだろ。
言い方はひどいが、あの程度を自分で調べれないなら数学辞めた方がいい。

調べられないから数学やめろってのは飛躍しすぎだな。

そうかねー
ちゃんと教科書読めば高校生でも理解できるレベルだろ？
意欲があるのは素晴らしいことだが、頭が追いついてない。
数学やめた方が良い、というのはまともなレスだと思うがね

あ、消しちゃった

4行目の頭に
「自分で調べたりする気力も無いなら」を追加

たぶん世の中やりたくて数学やってる奴ばかりじゃないと思うんだが

数学者になるの辞めろってのは正しいけど
あれが解けないなら教養の単位落として大学辞めろってのはいかがなものか

まあ線型代数の教科書とノート最初から勉強し直すってのが
一番効率的で最速の方法だとは思うけどねｗ

>>47
>>28 が解けなければ、大学1年の線型代数の単位は落として
もう1年やることにはなるだろうね。大学やめろとは言わないけど。

理系だったら、佐武とかでなくていいから、石村本よりまともな教科書を
1冊真面目に読んで演習問題を自分の力で解くこと。それすらできない
アホが、楽な道があると勘違いして２ちゃんにくるから叩かれるわけさ。

「叩かれるわけさ（俺に）。」

エルゴステロールはビタミンDの前駆体であり、λ_max=282nm
にモル吸収係数 ε=11,900 の吸収を持つ。光路長 l=1.00 で
吸光度 A=0.065 を示した場合、エルゴステロールの溶液の濃度はいくらか。

わかりません。お願いします。

5.46μM

>>51
ありがとうございました。助かりました。

>>50ってなに？

大いなる謎だ！

335

4次の行列式の各項を省略せずに書いたものってどこかで見られますか？

>>56

三次の行列式は出来るなら、君のノートに書いて見られる。

第一行目の各項について、その余行列式との積の和が答えになる。

>>57
その言い方でまちがってはいないけれども、おそらく、>>56 は高校生なのじゃないかな。

自分の計算が合ってるかどうか確認したいんです

>>59

別の解法を調べ理解したら、それでもやって見る。
三次の場合を同じ手法でやって、規則性を比べる。

行列式の一般的定義式でまともにやって見る。等を全部やれば理解が進む。

age

体K上の有限次元ベクトル空間Vとその双対空間V*があって
双対の双対V**がまたVに戻ってくる（同型）という感覚が
いまいち掴めなくて戸惑ってます。

x∈V, f∈V*, x**∈V**があったとして
V→Kの演算をf(x)、V*→Kの演算をx**(f)とする。

ここからx**とxとの関係をどのように見ていけば
同型であるという結論に辿り着くでしょうか？

基底をとって行列表現で考えてみたりもしたのですが
まだ少々混乱気味です。おそらくV上の一次形式からKへの
写像をとることの意味が理解できていないのだと思いますが。

基底と次元の求め方がさっぱりわかりません。
rankを調べようがない場合、(R^4でx+y+z+w=0という表記しかない)どうやって求めればよいのでしょうか？

>>62-63
基本的な理解に問題があるようなので、2ちゃんで聞くよりは
大学の先生に聞いたほうがよいです。

まあ、親切な人が出てくるのかもしれませんが…

>>63
x+y+z+w=0でx,y,z,wのどれも零ベクトルでないなら線形独立だから、
R^4の基底と見ることができる。何を求めたいのかは分からないけども。

もう・・・無理。
x
v={(y):x+y+2z=0}
z
できません助けてください

ミスった
x
y
z
な感じ

ああっ、もうダメッ！
ぁあ…固有値出るっ、固有値出ますうっ！！
たッ、たいかッ、対角化ーーーーーッッッ！！！
いやああああっっっ！！固有ベクトル見ないで、お願いぃぃぃっっっ！！！
ユニタリッ！エルミートーーーーーーッッッ…行列ッ！
正方行列ウウウウウッッッッ！！！！
ユークリッドおおーーーーっっっ！！！ノッ、ノルッ、ノルムゥゥゥッッ！！！
んはああーーーーっっっ！！！じ、じゅッ、じゅうかいぃぃッッ！！！
いやぁぁっ！たッ、対角化できないィィィッッ！！！
n重解ぃぃ！！固有ベクトルはm次元っっっ！！！！
むりぃぃ！！対角化むりぃぃ！！！忍耐イッ！限界ッ！忍耐限界忍耐ィィィィッッッッ！！！！
おおっ！ジョルッ！！ジョルダン標準形ィィィ！！！似てるぅぅ！！
ああっ、もうダメッ！！ジョルダン細胞ーーーーっっっ！！！
いやーーぁぁっ！こんなにいっぱい固有値出してるゥゥッ！
線形ぃぃぃぃぃぃぃっっっっ！！！！独立ぅぅッッ！！！

ﾜﾛﾀ

age

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1130859786/
のカキコ

882 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/02/22(水) 12:00:39
行列式とは何ぞやと聞かれたらどうする？
どっからあんなものが出てくるの？
そもそもなんで交代的なの？

age

当方、文系なのですが、経済学や統計学で線形代数が支障なく使えるレベルになるには
どのくらいまで詳しく勉強すればよいですか？
どういった定理までとか、教科書や演習書の名前を挙げて教えていただけるとありがたいです。

ちなみに、大学は数学AB１２で受験して、３とCはザッと独学したレベルです。

石村おばさんに聞け

自分にとって何が必要なのかをはっきりさせて勉強しないと厳しいぞ。
勉強のための勉強になっちゃうともうエンドレスだ。
別に文系だからとかじゃなくてね。

とりあえずキーワードは「対角化」「固有値」といったとこ。
本は、
おもしろそうな本: プログラミングのための線形代数
ちゃんとしててまろやかな本: 線型代数 (長谷川浩司)

>>74
>>75
ありがとうございます！検討してみます。

川久保勝夫の線形代数学ってわかりやすくていいですね。

演習　線形代数(培風館、村上正康他著)を教科書として使ってるんだけど
これって問題集としてはともかく教科書としては駄書なんだろうか。

最近
新井仁之さんが線形代数学（日本評論社）をだしたね
あれ４０００円するから教科書としてはちょっと高いけど、
専門への基礎ということで買ったほうが良いのだろうか？

>>78
多分良くない。
村上正康なんて聞いた事無いから

線型代数の本って腐る程ある割には、
数学科生には結局 佐武か斉藤ばっかり読まれるんだな。

なんでだろう

>>80
既に1冊でもお気に入りがあるんなら、新しく買うことはない。
…が、気になるね。

〔問題〕　実数A〜Eについて
　A*(B+C+D) + B*(C+D+E) + C*(D+E+A) + D*(E+A+B) + E*(A+B+C) ≦ (3/5)(A+B+C+D+E)^2.
　等号成立は A=B=C=D=E のとき。
を示して下さいです。お願いします。

それ線型代数なの？

>85
　2次形式 (3/5)(A^2+B^2+C^2+D^2+E^2) + (1/5)(AB+BC+CD+DE+EA) - (4/5)(AC+CE+EB+BD+DA)
　　= (A,B,C,D,E)Ｆ(A,B,C,D,E)~
が半正定値であることを示せばよい。

これに対する行列の固有多項式|Ｆ-xＩ|は

| (3/5)-x, 1/10, -2/5, -2/5, 1/10 |
| 1/10, (3/5)-x, 1/10, -2/5, -2/5 |
| -2/5, 1/10, (3/5)-x, 1/10, -2/5 | = -x{x^2 -(3/2)x +(1/4)}^2 =-x{(x-(3/4))^2 -5/16}^2 =0.
| -2/5, -2/5, 1/10, (3/5)-x, 1/10 |
| 1/10, -2/5, -2/5, 1/10, (3/5)-x |

これを解くと、固有値は λ=(3±√5)/4 >0 (重根), λ=0.　よって Ｆは半正定値。
固有値λ=0 に対する固有ベクトルは (A,B,C,D,E)=(1,1,1,1,1).

>86 たとえば

　佐武一郎: ｢行列と行列式｣ 裳華房 (1958) 定価金三百八十円也
　　�W §4. 二次形式

age

線形代数の本ていっぱい出てるけど、どうして行列が出てくるのか、がどれにも書いてなくて、いきなり演習するのが多いから本を買うのをためらう。まあ、演算→理論というのが日本の教育だ、と言う人もいるけど。

大学一年なんですけど線形代数の良書って何かないですかね？

昔は斉藤か佐竹だったと思う。今は？

新井の赤い奴あったろ
あれとか、長谷川とかで勉強してみたら？

良書はその人の専門によるでしょ。計算が第一
という人への本はジョルダンまでいけばいいんじゃん。川久保勝夫の青いやつか、キーポイントってやつは有名。

>>90
「どうして行列が出てくるのか」
どの本にも大抵書いてある。ちゃんと読みなさい。

>>90
>演算→理論というのが日本の教育だ、と言う人もいるけど。

せいぜい高校まではなｗ

>>90
日本の教科書はいいカッコしいの人間ばっかりが書いてるから、
そういう泥臭いことは書いてない
欧米の教科書嫁

>>97「そういう泥臭いことは書いてない 」
そんなことは全くない。ちゃんと書いてある。

>>98
どうして行列がでてきたの？

線型写像を研究したいからだよ。

そういう抽象的なこと言われても初学者にはピンとこない

>>101
全てにピンとこないと気が済まないのか？

すまないよ

>>103
すまないと思うなら謝れ

砂田利一の「行列と行列式」には
一応どうして行列を考えるのか、の説明がしてあったよ
ブルバキの数学史の線型代数の所（高々数ページくらい）を読むのも為になると思う

ただ線型代数の場合、かなり動機が明らかだから
あまり長々とした説明が必要だと考える著者は多くはないと思う
それに連立方程式の研究をするため、とか言われたところで
俺は連立方程式の研究なんかしたくないんだけど。したい人だけでやってよ
とか言われたらおしまいだしねｗｗｗ

それに
Aをどうして研究するの？→Bの性質を調べたいから
どうしてBの性質を調べたいの？→Cについて知りたいから
どうしてCの（りゃ
とか遡っていったらいつかは必ず答えに窮することになるんだから
本当はあまりそういう質問はしちゃいけない

>>101「そういう抽象的なこと言われても初学者にはピンとこない 」
わからないんだったら、わかるまでウンウン唸って勉強し続けなきゃ。

行列式の定義の必然性を教えて下さい。
置換とか、訳分からん。

本読め

本は天下り的で分かりません。

定義以外にも行列式の特徴づけとか書いてあるだろうが
天下り的って言ってみたいだけじゃねえのか

勿体君だけですか。

＞勿体君
？

>>109「本は天下り的で分かりません。」
ってそりゃ、本をただ眺めてたってわかるようにはなりませんよ。
ちゃんと読めば書いてある。一冊にこだわる必要もない。
わかるまで手当たり次第読んだり、考えたりしなさい。

一応a_iをn元の縦ベクトルとして
det(a_1,a_2,a_3,.........,a_n)はn次元空間ないでa_iたちが
貼る「図形」の体積だ、と解釈することは出来るね

こういうのなんていうんだっけ？「図形」じゃなくて。。

単体、凸体、多面体、閉包、領域、部分、…

てけとーに思いついたのを列挙

manifold

>>81
いい加減なこというな。
難しくも易しくもない、地味だが癖のない良い演習書。
独学で定理の証明も欲しい人には同著者による教養の線形代数という教科書もある。

それから行列や行列式をなぜ考えるか、とか気になる人は３０講でも読めばいいんじゃない？
ただ線形代数は計算に習熟したほうが理論の見通しが良くなるのでまずは手を動かして慣れてしまうのが結局は時間の節約になる。

(問題)
　A,Bはｎ次の正方行列とする。
　αがABの固有値ならば、αはBAの固有値でもあることを示せ.

という問題なんですが、
Aが正則であればわかるのですが
正則でない場合ではどのように示せばよいのか判りませんでした。
何度もすみません。よろしくお願いします。

分かスレ２３７
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1144970716/575

>>119
　A,B,E,Xはn次の正方行列とする。
　(n^2+1)変数の多項式 F(λ,X) = |λE-XB| - |λE-BX| を考える。
　Xに正則なるAを代入したときには, F(λ,A)=0.　よって
　F(λ,X)･|X| =0. (恒等的に,すなわち,多項式として)
　|X|は多項式として0ではないから、F(λ,X) が多項式として0になる。よって任意のAに対し,
　|λE-AB| = |λE-BA|.

佐武: ｢行列と行列式｣, 裳華房 p.136, 例2

>>120
F(λ,A)=0.　よって
　F(λ,X)･|X| =0. (恒等的に,すなわち,多項式として)
ここがよくわかりません…
なぜですか？

アフォだなぁ・・・

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ

(問題)
　A,Bはｎ次の正方行列とする。
　αがABの固有値ならば、αはBAの固有値でもあることを示せ.

ABU=aU->BA(BU)=aBU->V=BU
BAV=aV

F(λ,A)=0.　よって
　F(λ,X)･|X| =0. (恒等的に,すなわち,多項式として)
Aが正則じゃないときはどうして成り立つんですか？
わかりません・・・

アフォだなぁ・・・

えええマジでわかりません・・・・・・・・・・・

アフォだなぁ・・・

教えてほしい。

生息でなくても固有地があることを証明するほうがむずい・・・

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ

わかりました。どうもありがとうございました。

(恒等的に,すなわち,多項式として) っていうのはどういう意味ですか？

(問題)
2×2実行列 A＝[[a,b],[c,d]] の固有方程式が複素根λ±iμ（λ,μは実数でμ≠0）を持つとき、
2×2実行列Pで
　P^(-1)･A･P＝[[λ,μ],[-μ,λ]]
となるものが存在することを示せ。

調べてみたんですが判りませんでした.
どなたか教えてください.

分かスレ２３７
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1144970716/558


>124
　a≠0 ならば v=Bu≠o が存在...

>134
λ = (a+d)/2.
μ≠0 だから bc<0, μb>0 としてよい.
(例)
　Ｐ = k･[[b, 0], [(d-a)/2, μ]],　k=1/(√|bμ|).
　Ｐ^(-1) = k･[[μ, 0], [(a-d)/2, b]]

>>123,131
　(x,y)を位置ベクトルと見なすとき、ベクトルの和・スカラー倍を保っている。
　[[0,-1],[1,0]]

(類題)
2×2実行列 A＝[[a,b],[c,d]] の固有方程式が複素根λ±iμ（λ,μは実数でμ≠0）を持つとき、
2×2行列Vで
　V^(-1)･A･V = [[λ+iμ, 0], [0, λ-iμ]]
となるものが存在するか？

>137
λ=(a+d)/2.
μ≠0 だから bc<0.
(例)
　Ｖ = h･[[b,b], [(d-a)/2 +iμ,(d-a)/2 -iμ]],　h=1/√{b(b-c)}.
　Ｖ' = h'･[[(a-d)/2 +iμ,(a-d)/2 -iμ]], [c,c]],　h'=1/√{c(c-b)}.

シルベスター

>>136 よくわからないです(>_<)

(x,y)->(-y,x)
A(x,y)=(-y,x)
A(xe1+ye2)=(-ye1+xe2)
e1->e2
e2->-e1
A=(0,1,-1,0)

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ
解き方を教えてください↓

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ
解き方を教えてください

A(1,0) = (0,1)
A(0,1) = (-1,0)
から
　　( 1 0) (0 -1)
A ( ) = ( )
( 0 1) (1 0)

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ
解き方を教えてください（＞＜）

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>146 私の城を用意してくれるのか？

ずれまくったね…orz

A=2x2行列, x, y u, v をベクトルとして

Ax = u, Ay = v

としたとき、

A(x y) = (u v)

ってできますよね。これってどう説明したらいいですかね…

Ax=u, Ay=v
[Ax Ay]=[u v]
A[x y] = [u v]

>>149
�d�d
こんなのもできなくなっちゃった…orz

ブロック行列とか調べたら良いんでないかな

簡単な問題かと思われるんですが、書き込んでもよろしいものですかね？

>>152
書いてみては如何でしょう？

テキストを見ても全然分からないので、書き込ませて頂きます。

問題は逆関数なんですが、y=x+√(2x+2)の逆関数と
その定義域と値域を求めよ。です。

簡単かもしれませんが、よろしければ教えて頂ければありがたいです。

そのどこが線型代数なのかと
線型代数の教科書にあったとかかな

定義域は、定義できる範囲を答えよって意味でいいのかな

そうです。

逆関数が解ければなんとかなりそうです。

>157
x = y+1 - √(2y+3),　y≧-1,　x≧-1.

線形写像かどうかを調べよって問題が出てるんだけど、どうすればいいのか分からん…

俺はあほだから、昔の高校生の参考書に一次変換（代数幾何って科目）ってのが
あってそれ読んだ。とてもわかりやすかった。

>>159
f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)
になるかどうかを調べればよい。

>>161
教科書読んでたら何となく分かってきた。やってみる。

（a, b)と(c, d)の内積ってどうしてac+bdなの？

talk:>>163 内積の線形性、そして(a,b)·(a,b)=a^2+b^2>=0 となって、 (a,b)·(a,b)=0ならば(a,b)=(0,0)となって内積の性質を満たす。

（a, b)と(c, d)の内積ってどうしてac+bdなの？
だれか答えてください。

話が逆。ac+bd が便利なのでそれに内積という名前を付けた。

>>163
二次元ベクトル空間の任意の２つの元u,vは、その基底{e1,e2}と
任意の係数a,b,c,d∈R（一般に体Kでもよい）を使って
u = a*e1 + b*e2
v = c*e1 + d*e2
と表せる．

ベクトルuとvの「積」は、分配法則と記号∧を使って
u∧v = (a*e1 + b*e2)∧(c*e1 + d*e2)
= (ac)e1∧e1 + (ad)e1∧e2 + (bc)e2∧e1+(bd)e2∧e2
と、（とりあえず）書くことにする．

ここで，
ei∧ej = 1　… iとjが等しいとき
ei∧ej = 0　… iとjが異なるとき

というルールを取り入れたとすると

u∧v = ac*1 + ad*0 +bc*0 + bd*1 = ac + bd

このような積を記号<u,v>（またはu・v）で表し
特に「内積」と呼ぶことにする。

つまり同じ基底にかかる係数同士の積を
それぞれとって全部足したもののこと。

ちなみに外積は
ei∧ej = 0　… iとjが等しいとき
ei∧ej = -ej∧ei = e3　… iとjが異なるとき
で、e3はe1とe2の両方に直交する新たな基底としたとき。
u×v = (ad)*e3 + (bc)*(-e3) = (ad-bc)e3

>>167
すげーーーーー
結局は基底の性質とやらに帰着するのか！！！！！
すげーーーーーー
なんか数学ってヤツの真髄の断片に触った気がしてきたぞ！

(○口○*) ﾎﾟｰｶﾝ

基底の性質を認めちゃえば、三角不等式が自然に出てくるな・・・。
キレイすぎて気持ち悪い・・・。

>>168
全然触ってないから安心しる。

内積って基底の取り方に依存するの？

するよ

オラ、なんだかワクワクしてきたぞ！

とりあえず>>163が頭悪いということは分かった

斉藤正彦著「線型代数入門」の定理[2.10]の証明で躓いてしまった。
途中まではわかったが、
「第i列がΔに入っていて、第j列が入っていない場合は、」以降が
よくわからん。
「Δ１に対応するBの小行列式をΔ１’とすれば、・・・」
とはどういうことなの？

池沼

どういうことなのっていっても
わざわざ本開いて調べないといけないからなあ

>>173
本当？

線形代数では行列式、行列の変形が度々出てくるのですが、
これらは他の分野でも出てくるものなんですか？

有限体上のn次元ベクトル空間GF(p)^nで
直交（内積）とかいう概念って使えるんでしょうか？

たとえばu, v ∈ GF(2)^nがあって
内積<u,v>=0 ⇒ uとvは直交（独立）している
とかいう・・

証明問題の解説が詳しい(わかりやすい)参考書
ってどれですかね？個人的な皆さんの意見をき
かせてください。

5月って感じの流れになりましたな〜

>>182
斉藤正彦の演習で十分。

これが難しい人は「証明問題の解説が詳しい」とか言わずに
サイエンス社あたりの演習書で手を動かして身体で身につける。

これが物足らない人は、佐武の発展課題のところまで読むか・・・
先走って代数の教科書を読むといいんじゃね？

A＝EAの証明で型が等しいことを言った後、成分
ってどのようにあらわせばいいんでしょうか？

http://www.hellplant.org/cgi-bin/xoor/serpent.cgi

↑ブラクラ

>>184
サイエンス社のって【演習と応用　線形代数】ってやつですよね？

余因子行列に関して質問です。

行列 A の余因子行列が欲しい場合、
A が正則なら逆行列と行列式から求まりますよね。
プログラム的にはこれらを同時に求められるアルゴリズムがあるので、
この場合は余因子行列は O(N^3) で簡単に求まります。

問題は A が正則でない場合です。
この場合は上記の作戦が使えません。
「余因子行列を求める」ような状況が少ないのか、
検索してもこのような場合の効率的な余因子行列の求め方が
あるともないとも見つかりませんでした。

１つずつ地道に余因子を求めることもできますが、
行列式の計算を何度もすることになるので
決して効率がいいとは言えません。
何かいい方法はありませんか？

１次の正方行列は括弧を除けてスカラーとみなす、と本にありますが
行列だとしたら積は制約されるのに、スカラー倍なら自由です。
矛盾してないでしょうか？

だから「積」「スカラー倍」と言葉を使い分けるんだよ。

スカラー倍って要するに直積じゃない？

なんで？

ぷ〜

(a) ⊗
(e f)
(g h) =
(ae af)
(ag ah)

大学1〜2年までの線形代数を独学するのに適した参考書を教えてもらえないでしょうか？

専門や目的を具体的に書かないと斉藤か佐竹という答えしかかえって来ないと思う。

>>196
独学するなら笠原かな。

196
すいません。いまほとんど数学をやらない学部にいるのですが、数学科に転部したいと思っておりまして

転部したいなら、数学科の事務でシラバスか何かもらって、
そこの大学で使ってる教科書をまず見てみる。

転部する前に就職先を良く調べておくことも必要

>>201
いや、それは調べてもどうせ無駄だから、やる必要はないｗ

３次の実対称行列を直行行列によって対角化する。
これ計算するのにどれくらいかかってる？

とりあえず対角化のオーダーは O(N^3) だが、
実際の計算時間は環境次第。

線型代数 著者長谷川
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d.html/ref=ms_b_a_1_p1/250-3368021-9949833?a=4535783713&tid=1147659328
って本どう？
理科大から、東北大学行きたいの〜
生協に売ってない(´・ω・｀)

松坂和夫：線型代数入門
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000055569/qid=1147011146/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/503-0792667-3256753

これ読んだことある人いる？
アマゾンでは結構人気あるみたいなんだけどさ。
感想とかオススメの可否とか教えてくらさい。

>>206
もう手に入んないよ

や、俺の知りうる範囲では古本屋とかで簡単に手に入るよ。

ソーヤー　線形代数とは何か　岩波書店

って本はわかりやすい。

ちょっとくどいぐらいクドクドと書いてあって分厚いアメリカの教科書の典型だけど、
行間埋めなくて良いから、読み物感覚で読めるよ。

てか今手に入れたｗ

線形代数の参考書ではなく問題集のようなものでおすすめはありますか？

>>211
貴方のレベルによりけり

>>211
齋藤正彦『線型代数演習』東京大学出版会が標準的な演習書。
教科書の演習問題だけでも十分な気がする。

ありがとうございます。
レベルは大学で習い出した程度の初心者ですが、テストで満点を取りたいので…
教科書の問題でもきちんとやれば大丈夫ですかね

>>190
とてもよい質問です
担当の先生にきいて困らせてあげてください

>>190
行列だとどの様な制約があるの？

行列とスカラーの積が
行列積と同じものだと誰が決めたというのだ。

（問）
空間内に3点A（-2,2,8）,B(2,0,1),C(0,4,5)
がある。この3点を通る平面の方程式を求めよ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

これはどう解くのでしょうか？
公式のa(X-X。)+b(Y-Y。)+c(Z-Z。)=0
に、（X。,Y。,Z。）=（-2,2,8）を代入すると
a(X+2)+b(Y-2)+c(Z-8)=0
とおけ、B点とC点を通るから
(X,Y,Z)= (2,0,1), (0,4,5)
を代入する。

上記を今度はB(2,0,1)を通る平面と考えて、
a(X-2)+bY+c(Z-1)=0
とし、
C点を通るから
(X,Y,Z)= (0,4,5)
を代入する。
こうやってabcの式を3つ作って連立方程式で解く。
だけどこれだと同じ文字を含んだ両辺が左辺＝右辺となってしまい、どうしてもabcが求まりません。

どう解けばよいのでしょうか？連立方程式の根本的な考え方が間違っていますか？

age忘れた。。。

スレ違いでした。
逝ってきまつ

2/2=1

小寺平次の演習書は線形代数も微積も読みやすいんだが問題自体が少々簡単過ぎる

斉藤雅彦のやつにﾐｽがあるそうです。

どこにあるか書かないと、そうですか、で終わってしまうような

>199　俺と一緒だ！！俺も工学部に入ったんだけど、編入で数学科に行きたいと思ってる。
お互いがんばろうな！！

まわりの工学系の連中はただ解き方を知ってるだけです。
なにせやつらは写像も直積も線形性もその言葉すら知らないのですから。
もしぼくが数学科にいってたら代数を専門に勉強したかったとです。

工学系の中にいるからちょっと数学が出来る自分に自信を持てるのであって、
そのまま数学科に来たらきついことになると思うんだが。

別に数学で食ってこうとか血迷わない限りどうってことない

わたしは別に数学ができるとはこれぽちも思ってません。
（下手の横好きみたいな感じです）
ただ、工学部にいると数学のおもしろさ（問題が解けるのが
楽しいとかではなくて）に気づくきっかけになかなか巡り会えない
ことを残念に思ってるんです。
もちろん、工学部でももとから数学が好きな人とか
東大・京大な人たちとかは別だと思いますが。

近頃やっと興味もって勉強始めて愕然としました。
オレら数学の「す」の字もやってなかったんだな…って。

ひとりごとすみません。

学生１年の頃、教養部で微積と線形代数習っていたんだけど、
微積の泥臭さ（？）に比べて、線形代数がえらくすっきりというか、
綺麗すぎるように思えて、変な感じだったな…
何でそんな風に思ったんだろう…

そりゃ、線型ってめちゃくちゃ”良い”性質だもん

加えて、一年でやる解析って実解析だから、
確かに泥臭いやね。

解析好きな人ってブリーフ派なのかな？

数学科に編入はやめとけ。工学のが就職いいんだし。
数学は趣味でやればいいよ。

ほんと数学科ってのはヤバイよな。
数学が得意な秀才ってだけじゃ数学で食っていくのは難しい。
自分の才能ってのは買いかぶりがちだから、自分が普通の奴より数学が
出来るからって数学科に行くのはやめたほうがいい。

俺はガウス級の数学の超天才に違いないと思うくらいで初めて
数学科に入るのを考えていい。
それでも、まったく数学者として成功の保障はないが。

そんな大げさな

大げさかどうか実際に聞いてみろよ。ポスドクとかに。

>235
たしかに、できる奴ほど自分の才能に半信半疑らしい。Riemannなどもそうだったという話を読んだことがある。逆にできない奴ほど才能があると思いがちなのだろう。反省！

>>229は純粋に数学の美しさを見ていることが伝わる。並みの数学科の連中より才能があると思われる。自分の思う道を進めばいいとおもう。

>>192の直積の意味はKroneckerProductのことだろう。だけど直積とは別と考えるべき。なぜならそれだけの意味がないから。

>>235
数学で食ってく気ではなく、
就職が少し悪いの覚悟なら別にいいと思うぞ。
教職取って高校の数学教師とかいうのもあるしな。
ただ工学部から編入するメリットはないよな。
まあ数学を勉強するのが好きって奴なら
単位を取るのが楽というぐらいか。

一ヶ月程度で終わる演習書で良いのない？

黄色本はちょっと量が多い…。

斉藤のだって院試前とかに頑張って一週間で終わらせる人もいるわけで

工学部なので…。と言い訳。

クライツィグ「線形代数とベクトル解析」

ベクトル空間Ｖの部分空間ＷとＷ´について、
Ｗ∩Ｗ’が部分空間になっているのは何故ですか？

>>246
部分空間になる理由は知らないけど、Ｗ∩Ｗ’が部分空間になることは簡単に証明される。

その証明はどのようにして行うのですか？

部分空間の定義を満たすことを確認するだけ

質問です。

要素nの行列Aが固有値λ(i) {i=1,2, ,n}を持つ時　
(A v|(i) = λ(i) v|(i)　（v|はベクトルです）)

Aのべき乗A^nは固有値のべき乗λ(i)^nに等しくなる
(A^nの固有値はλ(i)^n)

もしくは
A^n v|(i) = λ(i)^n v|(i)

となるのでしょうか？もしなるとしたら証明もお願いします

＞A^n v|(i) = λ(i)^n v|(i)

証明も何も、Aをかけていくだけ。

有限次元部分空間Ｗの線形変換が全射のとき、単射になっていることの証明を教えてください。

f:W→W を線形変換とすると
dim W + dim ker f = dim Im f
全射なら dim W = dim Im f なんで
dim ker f = 0
だから単射

質問

B=CA C正則
C=T1(1m)T2(1m)T3(1m)T4(1m)T5(1m)…Tk(1m)
CA=T1(T2(T3(T4(T5･･･(Tk(A)･･･)

何を証明しているのかわかりません><

　私は博士だが、今まで数学をやってきて、
数学の才能について何度も深く考えた。
さっき>>235が数学の才能について言っていたが、>>235がいうような数学の才能とは何か？
私が、思う数学の才能とは、どれだけ長い間、夢中になって考えられるかだと思う。
問題が解けるとか解けないとか、理解できるか理解できないかではない。

本などを読んで数学を勉強してるようじゃ、下の下。
院生ぐらいになれば、もう本はいらない。
本を読んでいれば、独創的な数学は決して生まれない。
　

>本を読んでいれば、独創的な数学は決して生まれない。

独創的な表現過ぎて・・・余り

>>252 名前：１３２人目の素数さん ：2006/06/09(金) 00:36:52
>>有限次元部分空間


どうして部分なんだ？

talk:>>253 そのハンドルネームは何だよ？

>>256
アイデアを嗅ぎ取る為に、本を眺める効用はあると思う。
（本を熟読するのは、修士1年まで）

>>260まあ、修士1年ぐらいまでならいいだろ。

行列式の計算方法について、四次以上はサラスの方法が使えない理由はなぜですか？
なんで０〜３次まではああいうたすきがけで行列式が求まってしまうのですか？

たまたま

>>262さんへ
4次の行列式は24個のたすきがけを覚える気があれば値が求まります。
普通は4個の3次行列式の和に分解してサラスの方法で計算するか、
行列式の基本定理を用いて対角行列の形に変形して値を求めます。

>>264
a_11*a_22*a_34*a_43　みたいな項が出てくるものを
「たすきがけ」とは普通は言わないだろう。

俺的には３次もたすきがけとは思わない

>>264さん
そうですね。適当な言葉を教えてください。

talk:>>266 お前に何が分かるというのか？

俺的には１次もたすきがけとは思わない

>>265
「一般たすきがけ」
「拡張されたたすきがけ」
「高次たすきがけ」
「帰納たすきがけ」
「対称群たすきがけ」

「たすき」と言われて交差して結ぶ様を
思い浮かべられる世代もそろそろ終わりか。

「帯に短し、たすきに長し」

はさみで切って、たすきとして使えばいいんじゃないの？

「たすきがけ」の意図する「たすき」は
選挙とか駅伝のそれとはまた違うしね

対称群って、元々は何を目的に生まれてきたの？

性質を調べやすいからじゃね？理論ってそういうところあるじゃん。

738

すみません。以前>>250を質問したものですが、

>>A^n v|(i) = λ(i)^n v|(i)
>証明も何も、Aをかけていくだけ。

やっぱり分かりません。
両辺にAを掛けていくと、右辺は

A^(n-1)λ(i) v|(i)

となると思うのですが、それがどうしてλ(i)^n v|(i)
となるのでしょうか？

λ(i)はスカラーじゃないのか

木村英紀の線形代数の本の評価はどうなの？
長谷川の本がわかりにくかったからこれ買ってみようと思うんだけど。

線型代数はほぼ書くべき内容にコンセンサスがあるからどれ読んでも本質的な部分は一緒だよ。
あれこれ手を出さずにどれか一冊を一生懸命嫁。

ベキ零行列の固有方程式の解は０しかない
というのは正しいですか？

だよ

長谷川のあれを読んでもわからないのなら何を読んでもムダだろう

>>283
長谷川はこのごろ線型の代表選手になったのか？

そんなことはない

書くべき内容にコンセンサスがあるっつうか
誰かの書いた本を猫も杓子も真似してるだけだと思うけどね

猫も杓子も

雨後の筍

簡約化の計算を早く正確に解くコツを教えて

エルミート行列A_rは r次の三重対角形で 副対角要素は0でないとする。

このとき、A_rの固有値はすべて相異なる、でつか？

>289
　つ [スツルムの分離定理]

　n次行列Ｘの固有値を λ_1{X} ≧ λ_2{X} ≧ …… ≧ λ_n{X} とおく。

(略証) 次数rについての帰納法による。
r=2 のとき、|A_2 -xI| = {a(1,1)-x}{a(2,2)-x} - a(1,2)a(2,1) = (x - Tr/2)^2 - D.
　λ_1 = (Tr/2) + √D,　λ_2 = (Tr/2) -√D.
　ここに Tr = a(1,1) + a(2,2).
　題意より a(1,2) = a(2,1)~ ≠0.
　D = (1/4){a(1,1)-a(2,2)}^2 + |a(1,2)|^2 > 0.
　∴ λ_1 > (Tr/2) > λ_2.

r>2 のとき
　|A_(r+1) -xI| = |A_r -xI|a(r+1,r+1) - |A_(r-1) -xI|a(r,r+1)a(r+1,r),
　ここに a(r,r+1) = a(r+1,r)~ ≠ 0.
　x=λ_k{A_r}　(k=1,2,…,r) とおくと、
　|A_(r+1) -λ_k･I| は |A_(r-1) -λ_k･I| と逆符号だから 交互に 正負正負… となる。
　∴ λ_(k+1){A_(r+1)} < λ_k{A_r} < λ_k{A_(r+1)}.

http://mathworld.wolfram.com/SturmianSeparationTheorem.html
スツルムの分離定理

>290
　…で、ポリアセチレンのπ電子準位の縮退も解けますた。。。（ヒュッケルMO法）

次の3行3列対称行列の固有値を求めよ
|きんぐ|
|んしね|
|ぐねね|

λ=き,ん,ぐ

　 ∩∩ 俺　ら　が　数　学　板　を　面 白 く す る ん だ ！V∩
　 (7ヌ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（/ /
　/　/　　　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧　　 　 　 　 　 　｜｜
/　/　 ∧＿∧　　 　 ∧＿∧　　＿（´∀｀　） 　 ∧＿∧　　 ｜｜∧＿∧
＼ ＼（　´∀｀）―--（ ´∀｀ ）￣　　　　　　⌒ヽ（´∀｀　）　／／ （　´∀`）∩
　 ＼　　　　　　　／⌒　　　⌒￣ヽ、ゆんゆん/~⌒　　　　⌒　/ 　/　　　　（　）
　　 ｜ Geek　　|ｰ、キング 　/￣|　　　　/／`i　　　　　　/　 /　＼＼∧_ノ
　 　 ｜　　　　　|　｜　　　　　/　（ミ　　　ミ） 　｜　菅　｜ /　　　 ＼＼
　　　｜　　　　｜　｜　　　　 | ／　　　　　　＼ ｜　　　　｜/ king氏ね |(＿)
　　　｜　　　　｜　　）　　　 ／　　　／＼　　　＼| 　 　 　 ヽ 　／＼　＼
　　　/　　　ノ　｜　/　　ヽ ヽ、＿／）　 （＼　　 　）　ゝ　　｜ /　　　＼　|
　　 ｜　　｜　　|　/　　 /|　　 /　レ　　　＼`ー ' |　 ｜　 /　kmath1107

訂正、ｽﾏｿ

n>2 のとき
　|A_(r+1) -xI| = |A_r -xI|{a(r+1,r+1) -x} - |A_(r-1) -xI|a(r,r+1)a(r+1,r),
　x=λ_k{A_r}　(k=1,2,…,r) または x=a(r+1,r+1) とおくと、…


>289
　対角要素がα_i (クーロン積分)
　副対角要素がβ_i (≠0, 交換積分)

talk:>>292 何考えてんだよ？
talk:>>294 お前に何が分かるというのか？

>292
　問題の行列をAとおくと、固有多項式は
　|A-xI| = |A| + (ん^2 +ぐ^2 +ね^2 -きし-しね-ねき)x + (き+し+ね)x^2 -x^3.

ﾜﾗﾀ

n が自然数のとき,次式を示してくださいです。。。

|1 2 3.......n　|
|2 3 4.......1　|
|3 4 5.......2　| = σ･{n(n+1)/2} n^(n-2)
| ..... 　　　 　|
|n 1 2......n-1|

ここに σ = (-1)^[n/2],　[ ] はガウスかっこ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151159011/784-797, 958-959
分かスレ２４７

そのリンク先酷いな
ほとんど荒らしだ

n が自然数のとき,次式を示してくださいです。。。

　|a1,an,… ,a3,a2|
　|a2,a1,… ,a4,a3|
　|a3,a2,a1,… ,a4| = Π[p=0,n-1] {a1 + a2･ω^p +a3･ω^(2p) + …… + an･ω^((n-1)p) }.
　|　… … … …　|
　|an,a(n-1),…,a1|

ここに　ω =exp{(2π/n)ｉ}, i=√(-1).


[参考書]
　古屋 茂:　　｢行列と行列式｣　 (培風館 新数学ｼﾘｰｽﾞ5) 増補版 (1959) p.41-42
　藤原松三郎: ｢行列及び行列式｣ (岩波全書40) 改訂版 (1961) p.15〜16
　佐武一郎:　 ｢行列と行列式｣　 (裳華房 数学選書1) (1958〜1963) p.79

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151159011/959
分かスレ２４７

頻出問題だね

佐武の4章って初学者で読めないと頭悪い？

少なくともガッツが足りない。

１回生です。

ヤバイ事に逆行列の求め方のコツがいまいちわかりません・・・
（高校範囲じゃなくて行と行を引いて求める方法）

教
科
書
嫁

>>304
そうっすか。広い意味の固有空間辺りから難しくなってきたんですが
がんばって読んでみます。ここら辺が一番面白そうなので。

線形代数の延長にある分野ってなんですか? 関数解析とかですかね。

>>305
ひたすら演習問題解いて慣れるのが早い。

小学二年生が、二桁の計算のコツが良くわかんない、とか言ってるのと同じ状況。

二桁の掛け算のつもりだったんだが、まあいいや
わかるよね

bookoffで線形代数の参考書ゲット
専門書だから結構高かったな

固有値問題でお聞きしたいのですが

ある行列Aを対角化する場合（問題に何々行列で対角化しろと書いていない場合）
元の行列Aの形を判断して、正則行列、またはユニタリー行列、その他の
どれで対角化できるか決める必要があるのでしょうか？
それとも解きながら決めるものなのでしょうか？

例えば、正規行列はユニタリー行列で直交化できるとありますが
Pを直交化せずにP^-1AP=にすれば、正則行列で対角化したことになると思うのですが
それではまずいということになりますか？
つまり正規行列はユニタリーでしか直交化できないということになりますか

それから、今まで対角化に用いる行列に関係なく、固有値に重複度があれば、シュミットの直交化を使って
いたのですが、その判断は間違いでしょうか？

教科書読めレベルな質問ですいませんが
読んでもよくわかりませんでした。どうかお願いします

座標変換で長さを保存する必要がなければ、ユニタリでなくてよい。
長さを保存する必要があるかどうかは、行列を見ただけではわからない。

×→正規行列はユニタリー行列で直交化できる
○→正規行列はユニタリー行列で対角化できる

でした。すいません

>>312
回答どうもありがとうございます。
長さを保存する必要がなければ正則行列で対角化でよいということでしょうか？

例えば問題（１）と（２）の比較で
　　　｜１　２　０｜　　　　｜１　０　１｜
（１）｜２　２　２｜　（２）｜０　２　０｜
　　　｜０　２　３｜　　　　｜１　０　１｜

（１）は固有値がそれぞれ異なり、（２）では重複度が２になりますが
（１）はP^-1APでもT^-1ATでも対角行列になり
（２）は直交化してT^-1ATでなければ対角化できない。
でよいのでしょうか？

長々申し訳ありませんがどうかお願いします。

>>313
俺は脊髄反射的にユニタリ行列、直交行列で対角化することにしてる。
逆行列の計算が簡単だし、検算もしやすい。
（2）の例で固有値1の固有空間に属する固有ベクトルとして t(1,0,-1) が
まず取れて、固有値2の方からは t(1,0,1) ともうひとつは外積を計算した方が速い場合が多い。
固有値２の固有ベクトルを t(1,0,1) , t(1,2,1) とをもし取ればこの2つは直交していないから
普通の対角化になるけど、せっかく実対称行列が与えられて直交行列で対角化できるのだから
t(1,0,1) と t(0,1,0) と取って直交行列で対角化したほうがいいのではと思う。

余因子行列の求め方がよくわかりません＞＜
だれかおしえてくださいおねがいします

標準形を求めて、概形を書けという問題で、標準形までは求めれますが、概形の書き方がよく分かりません。双曲線は書けます。
例えば、放物線X^2-2XY+Y^2-X+2Y-1=0の標準形や存在領域X≦2などは求めれますが、頂点(31/16.19/16)の求め方がわかりません。
時間のあるかた解説よろしくお願いします。

メコスジ/マンスジ 3

列基本変形はなんでも使えるんですか？

Aは直交行列、（x , Ax）が右手系であるときA∈SO（２）を示せ

明日試験だよ。
わかんないよ。
でも頑張る。

>>320
俺もだ……。
未だに掃出方すらできないし

独学で線形代数を学びたいんですけど
何の本が分かりやすいですか？

昔の有馬

昔の有馬はよかった。

有馬哲「線型代数入門」東京図書, 1974.
有馬哲, 浅枝陽「演習詳解線型代数」東京図書, 1976.

まちがって「大学教養」「よくわかる」がタイトルについている
学力低下本を買ってはいけない。

30年前の早稲田だとこれが普通の水準なんだよなあ。序文より
　　「読者としては、数学を頻繁に使う理学工学の教養課程の
　　　ごく普通の学生を念頭に置いた。」

>>324
うん。これをがっちり読んでテンソルなりなんなりに行きたい

商集合の定義をおしえてください。お願いしますm(_ _)mﾍﾟｺﾘ

教科書夜目

fd

次の解空間の基底と次元を求めよ。
2x(1)-x(2)+x(3)-x(4)=0
3x(1)+2x(3)=0
x(1)+x(2)+x(3)+x(4)=0

(　)は下付き文字

の解き方がよくわかりません。。。ヒントください

宿題は自分でやれ

172

全然レベルが違う質問で悪いんですが。。
rankを求めたいんですけど。行列式の中にaやbが入っているときはどんな風に場合わけすればいいんですか？？
すごいレベル低い質問でごめんなさい（＞＜）

>>322
これが分かりやすい！
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4873612195/249-5730376-9290718?v=glance&n=465392&s=books

オレが使っている教科書にクドクドと書いてあるようなことの質問が多いな
みんなは何を使ってんの？

旧帝・工学部・情報系にぴったりな教科書を教えてください。

ググレカス

線形変換f: V -> Vの広義固有空間の直和がVになるという
証明を多項式の性質やケーリーハミルトンの定理を使わずに
している本ってなにがありますか?
佐武、有馬はダメで、斎藤はよく分かりません。

cc2346d8154a1d56783e898f159ed2c1facfa52

cc2346d8154a1d56783e898f159ed2c1facfa52a

>>337
知っている証明とは別の証明方法を求めているのか、
どの本を読んでも理解できないので理解可能な証明を求めているのか・・・

紹介する本のレベルが天と地ほどに変わってくると思われる

>>340
別の証明方法を求めているのです。
といっても斎藤のはちゃんと理解してないんですが。

佐武はかなり古風だと思うんですよね。
有限次元と無限次元が切り分けられていて、あんまり具体的な議論で
証明をしていないモダンな線形代数の本ってないんですかね。
できれば日本語がいいんですけど。

PID上の加群の構造定理を使う証明なら大抵の代数学の教科書に載っている

読んでないが、赤尾和男「線形代数と群」（共立講座　21世紀の数学）は
ジョルダン標準形から入って、単因子論やり直してる。モダンではないか。

>>342
そうなんですか。全然分かりませんが、抽象的でかっこいい証明っぽいですね。

>>343
ありがとうございます。調べてみます。

Wa(k) = Ker(f - aE)^k とすると
(f - aE)Wa(k+1) が Wa(k) の部分集合になるのは明らかですが
等しくはならないんでしょうか?
等しくなったら綺麗だなあと思うんですが。

>>344
Wa(k) は、k が十分大きいと不変になるので、等しくならないこともある。
　Wa(1)⊂Wa(2)⊂Wa(3)⊂・・・⊂Wa(k)=Wa(k+1)=Wa(k+2)=・・・
等しくならない最大の k に意味があるわけ。

>>345
それは分かるんですが...
最小多項式の重複度より小さければ成りたつんですか?
ってことは(f - aE)のk乗を掛けて初めて0になるベクトルx1,x2...,xnを使って
x1,..,xn,(f-aE)x1,...,(f-aE)xn,...,(f-aE)^(k-1)x1,...(f-aE)^(k-1)xn
が広義固有空間の基底になりますよね。でその基底で考えると f-aEは
[0E000]
[00E00]
[000E0]
[0000E]
[00000]
と相似になりますよね(各小行列はn次正方行列)。
で 固有空間の次数 * 最小多項式の重複度 = 固有値の重複度 になりますよね。
もし >>344が成りたたなければ、右上の小行列は縦長になってEのところを
[0]とか(別になんでもいいですが)にできると思うんですが、
[E]
(f -aE)Wa(k+1) = Wa(k)っていうのはどうやって証明するんでしょうか?

というか等しくならないんですね。佐武に書いてありました。
すいません。上みたくなるのはきっと性質のよい線形変換なのですね。

なんだ、全然理解してないじゃん。
見栄を張らずにもっと易しい本を読め。

>>346
のf-aEが相似っていうのはf-aEのaに属する広義固有空間への制限が相似の間違いです。

>>348
うーんどこか間違ってるんでしょうか?
>>344 は言いかえるとある固有値に属するジョルダン細胞の大きさが全て等しい
特殊なケースだと思いました。

やだな、全然わかっていない。

酔っ払っているとかの問題じゃないな。

どこがおかしいのか教えてくださいYO！

やさしいことを難解に表現する天才を発見した！

Power methodで以下の3X3行列の固有値、固有ベクトルを計算しようとしても
解が一つに収束しません。原因と対策ご教示ください。
1.389070065 　-3.476919192 -8.072807794
4.972618041 　-2.262158681 2.194765052
5.683005 　2.426273 　　-1.241592

>>354

それらの数字は何処から出した？

データ解析過程で、たまたま遭遇。
宜しく。

俺、線形空間まで完璧。

足し算が完璧と言われてもな。

>>354
固有方程式くらい書いてよ。

>>341
>別の証明方法を求めているのです。
>といっても斎藤のはちゃんと理解してないんですが。
>
>佐武はかなり古風だと思うんですよね。
>有限次元と無限次元が切り分けられていて、あんまり具体的な議論で
>証明をしていないモダンな線形代数の本ってないんですかね。

なんて、わかった風な物言いをしておいて、>>346 >>349 で無知を
さらせば、もう釣れないと思うぞ。わかってないのにわかっている
振りをしたら、セミナーで怒られるもんだが。

古風といわず、佐武をしっかり読め。斎藤の単因子論が理解できないなら
逃げずに勉強しろ。

>>344
>全然分かりませんが、抽象的でかっこいい証明っぽいですね。
わからず気取っているだけなのが、落ちこぼれへの第一歩だ。

いや、弟子への第一歩

>>354
固有方程式の実数解が一つしかない。
-4.182730549

僕はすでに落ちこぼれなわけですが。
わかった風ととられるのはしょうがないですが
広義固有空間あたりの証明で行列式という直感的に
分かりづらいものを使うと、式としては理解できても意味が
よく分からないんですよね。

それでいろいろ検索してたら上智の先生の講義日記がでて
きて面白かったので、こういう本はないなかあと思ったのです
(「Linear Algebra Done Right」という本がそうらしいので
手にいれようと思います)。

まだ>>346 >>349 の何がおかしいのか分からないんですが...

わかってもいないくせに、「わかった」とのたまうのは人間性の問題なんだろう
どの本を読んでも理解できないなら、そう云えばいいだけだろ

340 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/08/06(日) 21:26:18
　>>337
　知っている証明とは別の証明方法を求めているのか、
　どの本を読んでも理解できないので理解可能な証明を求めているのか・・・
　
　紹介する本のレベルが天と地ほどに変わってくると思われる
　
341 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/08/06(日) 23:34:46
　>>340
　別の証明方法を求めているのです。
　といっても斎藤のはちゃんと理解してないんですが。

あーだからVが広義固有空間の直和になるっていう佐武有馬式の証明は
理解してるんですよ。めんどくさいなー。
こんなに文脈読めないと数学の本とか読めないと思うんだけど。
数学板ってこんなところなんですね。もういいので忘れてください。

>>363は行列式がわかりづらいと書いてるから、そこら辺をキチンを勉強すればいいんじゃない？

わかりにくい、って云ってんなら判ってないんだろ。

あはは。院試の口頭試問で撃沈されるタイプだな
口頭試問で突っ込まれても

＞こんなに文脈読めないと数学の本とか読めないと思うんだけど。

とか、のたまうのだろうね、このしとｗ

佐武有馬が本当にわかっていたら、

＞まだ>>346 >>349 の何がおかしいのか分からないんですが...

＞式としては理解できても意味がよく分からないんですよね。

なんて言うワケないじゃんｗ

＞こんなに文脈読めないと数学の本とか読めないと思うんだけど。
ホントそうだねｗ

サラス方法の４次の行列版ってなかったっけ？
昔参考書で見た事あるが思い出せない．．．

>>363
おぉ、その本もってるよ。読んでねえけど

>>371
そうですか。八重洲でも丸善でも紀伊国屋でも売ってませんでした。
Amazonで買うしかないっぽいです。Amazonでの評価はかなり高いですね。

明解線形代数って本もなかなか良さそうでした。

線形代数に関する質問です。

ヤコビアン行列３×３行列で
固有値をもとめて、安定判別する際（固有値が正か負を判定）

a b c
d e f
0 0 i

普通は
(a-λ)(e-λ)(i-λ)-bd(i-λ)=0として固有値λを求めるのですが

行列にゼロがある場合は２×２のsubmatrixを用いて
簡単に判定できるみないな論述がされているのですが、わかりますか？

>>373
チョンは氏ねｗ
流石クズ！

>>370
ない、と思ったほうがよい。
どうしても公式が欲しければ、４次の行列式なら高々２４項だから
一度定義に沿って書き下して覚えやすいように並び替えればそれが公式。

質問です
n < p である(n,p)行列 A と(p,n)行列 B，rank A =rank B =n
に対して行列 (AB) の逆行列を A と B の一般逆行列を用いて表せますか？

＞　一般逆行列
何これ？

１／２４０と１／３６０の合成確率の計算式を教えてください

>>378=チョン

線型代数入門：松坂和夫
復刊ドットコムにて再登録しました。
http://www.fukkan.com/vote.php3?no=35144
投票ご協力下さい。
名著ですので是非、復刊させましょう。

【問題】
実数 x,y,z が xy+2yz+3zx=1 を満たすとき, |x+y+z| の最小値を求めよ.

不等式への招待２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/819

>381
　F(x,y,z) = (x+y+z)^2 - 2μ(xy+2yz+3zx) が半正値になるようにしたい。
　半正値　⇔　すべての固有値が非負
　|F| = | [1,1-μ,1-3μ] [1-μ,1,1-2μ] [1-3μ,1-2μ,1] | = 12(2/3 -μ)μ^2.
0が固有値になるのは、μ=0 または μ=2/3 のとき.
μ=2/3 のとき、F(x,y,z) = (2/3)(x+y-z)^2 + (1/3)(x-y-z)^2 ≧0.
∴ |x+y+z| ≧ √{2μ(xy+2yz+3x)} = √(2μ).

佐竹はちょっと。
いきなり行列だもんね。それからすぐに線形空間と線形写像。
それからいきなり置換の符号を使った行列式の定義だもんね。
一番の問題は計算方法を無視してること。Gauss の消去法なんか
理論でも使うだろうに。線形連立方程式をクラーメルの公式で
解くやつなんて佐竹しか読んでないやつくらいだろｗ

???

age

a↑=(2, 3)とか書くのおかしくないですか？
左辺は座標系に依存しない量なのに右辺は特定の座標系での成分表示になってる。
特定の座標系での成分表示を行う演算子Aを使って
Aa↑=(2, 3)とかなら許せますが。

お互いが、Aが暗黙で分かっているとすれば、おかしくないかな？

(問題)
nが2以上の自然数のとき
　1 + √2 + √3 + … + √n
が無理数であることを示せ

って問題がわかりません. どなたかよろしくお願いします.

さくらスレ２００
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1156572000/511

>389

(1)
　{ √p ｜ pは素数 or 1 } = { 1, √2, √3, √5, √7, √11, √13,… } はQ上１次独立.
(例証)
　a+b√p+c√q=0　(a,b,cは有理数) とすると, (a^2)-(b^2)p-(c^2)q = 2bc√(pq),
　√(pq) は無理数だから bc=0.　p,qは素数だから a=0.

(2)
　{ √n ｜ nは平方数で割り切れない自然数 } はQ上１次独立.
(例証)
　a+b√m+c√n=0　(a,b,cは有理数) とすると, (a^2)-(b^2)m-(c^2)n = 2bc√(mn),
　√(mn) は無理数だから bc=0.　m,nはが平方因子をもたないから a=0.

>>390
証明になっていない。

>>389
専修大必死だな！

(問題)
　Aは正値対称行列とします。
　Dは要素が正数の対角行列とします。
　この場合、ADの固有値が全て正になることは証明できますか?

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1157015984/677 , 711, 714
分かスレ２５７

(例証)って珍しいなｗ
特殊な場合だけ証明するって意味だろうかｗ

2つの文字の置換(j,k)
　σ(j)=k, σ(k)=j
を互換という。互換に対しては、(j,k)^(-1)=(j,k) が成立する.

〔補題〕
　n個の文字の任意の置換σは、(n-1)個以下の互換の"積"として表わされる.

(略証) nに関する帰納法による.
まづ、n=1,2 のときは明らか. (恒等置換は0個の互換の"積"と考える.)
n-1個以下の文字の置換については成立すると仮定し、n文字の置換についても成立することを証明しよう。
σ(n)=n ならばσは(n-1)文字の置換と考えられるから、帰納法の仮定により(n-2)個以下の互換の"積"として表わされる。
σ(n)≠n のとき τ=(n,σ(n))･σ とおけば τ(n)=n. よってまた帰納法の仮定によりτは(n-2)個以下の互換の"積"として表わされる。
故に σ=(n,σ(n))･τ は(n-1)個以下の互換の"積"で表わされる.　(終)

佐武: ｢行列と行列式｣ 裳華房 (1958) p.42-43

k_1,k_2,……,k_(r-1),k_r をr個の文字とするとき、
　σ(k_1)=k_2, σ(k_2)=k_3, ……, σ(k_(r-1))=k_r, σ(k_r)=k_1.
のような置換を巡回置換といい、(k_1,k_2,…,k_r)で表わす.
任意の置換は、いくつかの巡回置換の"積"として表わされる.

問2.　巡回置換について、(k_1,k_2,……,k_(r-1),k_r)^(-1) = (k_r,k_(r-1),……,k_2,k_1)

問4.　r文字の巡回置換は、(r-1)個の互換の"積"として表わされる.
　(k_1,k_2,……,k_(r-1),k_r) = (k_1,k_r)(k_1,k_(r-1))…(k_1,k_2).

佐武: ｢行列と行列式｣ 裳華房 (1958) p.42-43

341

「ｎ次元数ベクトル空間」の「数」の部分の読み方は、「かず」、「すう」の
どちらが正しいでしょうか？
気になって眠れません。

「すう」

suck

双対空間って何なんですか？

>>401

ベクトル空間から係数体の上への線形写像の全体。それはベクトル空間となる。

＞＞１
数学の各分野の中では簡単な　ほうと思う。

>>393
明らか

3次元ベクトルX＝（x,y,z）全体の集合VはR＾3の部分ベクトル空間であるかどうかという問題で、例えば
「xy=0」や「x,y,zは有理数」のときにどのような理由でR＾3の部分ベクトル空間である、ないを解けばいいのですか？

和の条件と積の条件だけだとあまりに抽象的すぎてまったく分からないし
教科書の例題の解説だとあまりに省略しすぎていて自分が悪いのですが
一般的な解答法を見つけられませんでした。
よろしければ一般的な解答の仕方を教えてください

>>405

x＝0 を満たす集合がどういうものかは高校数学でも十分理解できる筈。
その各点について、部分空間に属する条件が当てはまるかどうか確かめてみよ。

ax+by=0 についても、同様にやって見よ。色々繰り返せばよい。

＞教科書の例題の解説だとあまりに省略しすぎていて
じゃあもっと詳しく解説してくれてる参考書探せば良いよ。

xy=0はyz平面かつzx平面だから軸上の点(x,0,0)と(0,y,0)は空間内だけど
和の条件である(x,y,0)は空間内に無いからxy=0は空間内に無いという感じですか？

あと似たような問題で
「xy 「1　＝「１
zx」 2」　　 0」
のような行列（汚くて申し訳ないです）はxyzの解を解いて空間内かどうか調べればいいのですか？

hjdes

複素列ベクトルの内積
(x,y)って転地xにyの共役複素数を掛けるのですか？
なんで共役にするのかがわかりません。
こんなのも分からない自分にいらいらする。

内積とは何のために存在するかが分かれば自明。

talk:>>411 ところで、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。

>なんで共役にするのかがわかりません。

なんでわからないといけないのかわかりません

何か無聊を慰めるため彷徨してここに辿り着いたが（実は現実逃避）、
なんか>>376 の問に>>377みたいな厨レスがついたり、悲しいなあ。
ちゃんと答えるか、「自明」のどちらかが正しい態度でしょうに・・・。
>>410　君は<x,x>が正の実数になって欲しく無い？ちなみに内積の
中には共役を取らない流儀もあって、その場合のベクトル空間は「複素ユークリッド空間」
と言います。私は物理系で（しかも非相対論なので。相対論的量子力学では話が変わってくる）、
エルミート空間以外の空間の必然性を感じませんが、数学においては色々あるようです。
　ちなみにこのレス読んだ人で、シンプレティックはどうなんだ、と突っ込まれても
（ry

質問レスに対して「自明」って正しい態度か？ｗ

＞ちなみに内積の中には共役を取らない流儀もあって
どういう本に載ってるの？

共軛とらないなら計量にならんと思うが。
それと、一般化逆行列とか擬逆行列なんかは純粋数学では全然
取り扱わないから、「何者か」と問うのはおかしなことではなかろう。
むしろそこで自明って言う方が厨な態度だと思うんだが。

>>416 俺が読んだのは東京書籍から出ていたマリツェフの「線形代数入門」
他もシンプレティック内積だとか、不定符号の内積とかあったよ。まあ、
必要無さそうなのでいいかげんに読み飛ばしたが。（不定符号内積に関しては
物理でも応用があるが専門外）まあ正確に言うと難しくて読み飛ばした、といのが本音だが。
>>415 だって一般逆行列の定義を四角形で視覚的に表して（長方形を書いて
AとかA^-1とか中に書く）見れば自明としか言い様がないんだもの。やっぱり
手を動かさない人間は理系関係の勉強は無理だと思う。と、いいつつ、数学は
特殊で、本当に数学の才能がたっぷりある人はそういうことしないで済むみたいだが
そうでない人間は手を動かさない限り道は無い。

マリツェフは東京図書ね。
東京書籍は中学高校の教科書の出版社だったような……ｗ

>>415
＞一般逆行列の定義を四角形で視覚的に表して（長方形を書いて
＞AとかA^-1とか中に書く）見れば自明
いやこう書けばまだ意味が在るレスなんだけどさ。

「自明」のレベルは人によるでしょ。

可換環論の永田先生とか、自分が若い頃に「自明」と本に書いてたところを、
年とってから学生に質問されたら分からなくて、
あれは酷い本だ！とか怒ってたらしいｗ

>>414 ありがとうございます。

斎藤正彦「線型代数入門」を読んだ人に質問です
P.85の真ん中辺りの
以上を合せて，s(A)≦s(B)を得る
が何故言えるのか教えて下さい

問題も書かずに質問とな？

　　　 　 　 　 l tヽ　　　 ﾄ､;:;:;:丶､:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:_;:;: --―;:''"´;:_」
　　　　　　 　 l ｀ヾ､　　 {::ﾄ､:;:;:;:;:;:｀ '' ー―――;:;: '' "´;:;:;:;:;:;:;:;:;:;_ ,.ィ彡!
,-‐-＜ヽ、　　ﾞ、　 ｀ヽ. l::l　丶､:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:_,. -r=＝ﾆ二三三 }
;;;,,';;くヽヾt_,,..,、｀ヾ::.　 ',.',:i r- ､、` ' ―――― '' "´ ,ｨ彡三三三三三/、
ヾ;;;,,ヾヽヽ＼jlヽ　ヽ　　', || ヾ三)　　　 　 ,ィ三ﾐｦ　　｀丶三三三三三ん',
;;,＼;;;;,＼`<;;＼ヽ　 i,__　ﾞilj　　　　　　　　 ﾞ' ― '′　　 　 ヾ三三三ﾐ/　）}
ヾ;;;,＼;;;;,＼ヽ;;;ヽ〉 /=＝ 〉 , --:.:、:..　　 .:.:.:.:..:.:...　　　　　　三三三ﾂ ） /
./ヾ;;;,,＼;;;; ＼vﾍ＼　　 /'| fr‐t-､ヽ.　 .:.:. '",二ニ､、　　　　三三ｼ,rく /
′l ,>､;, ＼;;;;,ヾヽ.ヽ＼/　l 丶‐三' ﾉ　　 :ヾイ､弋::ノ`:.:.　 　 三ｼ r'‐' /
_ノノ　＼;;, ＼;;;;＼ヽ>;;＼ ',　ﾞ'ｰ-‐' ｲ: 　 : 丶三-‐'":.:.:..　 　 三! ,'　 /
~´＿,,ノ ＼;;;,＼;;;;;＼ヾ;;;ヽ.',　　　　/.:　　　　　　　　　　　　　ﾐﾂ/ー'
　　　　　　＼;;;,,＼;;, ＼>ﾍ＼ 　 ,ｨ/ :　　　.:'^ヽ、..　　　　　　 jｿ,ト､
ー―--,r＝t‐ヾ;;;;＼　 ヾヽヽヾ/:.,{、:　　 .:　,ノ 丶:::..　 -､　　 ,ﾊ　 l、
　　 　 {　　 》　jﾄ､;;;;＼　＼＼>＼:, ヽ､__, イ　　　_｀ﾞヾ　 ﾉ 　 / ,l　 l:ヽ
　　　 /`―'^―'' ｀(ヾ;;＼;;;,,ヾ､ヾ;;>､=､ェｪｪェ=テアヽ }　　　,/　 l　 l:.:(丶
　 　 /　 ''""　　　 lﾄ､;＼;＼;r'"⌒t-:ヾヾェェシ／　　ﾞ'　　／ 　 ,'　,':.:.:｀ヾヽ
　 　 {　 　 　　　　/ ｛＼ヽrシ^t-ﾍ:;＼＼:==:'." 　 　 　 ／　　 /　/:.:.:.:.:.:.}　ト―--
　　 ﾊ　 　　　　 / ヽ丶:V^)､;;;;, ＼::＼＼＼　　　　　,r'"　　　 /　/:.:.:.:.:.:.:ﾉ,ノ |　　　　　 ｀`丶、
　　　　　　　　／　　　,r';;〈､:.＼;;;;;,,`ｰ';;;;;ゝ､ヾ＿_,. ｲ　　　　 /　/:.:..:.:.:.,ｨｼ′ |
''"´　　~｀`''r'´　　　　ヾ､::ゝヽ:_:);;;;r'>.,:-‐-:;ゝ;ヽ.へ、＿＿_/__,/;: -‐ '"　　／

余因子の記号について質問です。
齋藤正彦の「線形代数入門」では、
i行j列を除いた行列の行列式を小行列式Δij
これに(-1)^(i+j)をかけたものを余因子として
aijにチルダをつけて表現しています。
一方wikipediaで行列式の項を調べると、
余因子をΔijで表現しています。
こんな風に記号の意味が違っているのがかなり気持ち悪いのですが、
どう覚えればいいのでしょう？
数学ではこういうことはよくあるんでしょうか？

直交行列の特性方程式の係数が左右対称になる理由を教えてください。
直交行列の、
aijとその余因子の値は一致するという性質を利用して
サクッと説明できるっぽいんですけど、
残念ながらピンとこないのです。

余因子と余因子行列はべつもの

余因子行列の話ではないです。

> こんな風に記号の意味が違っているのがかなり気持ち悪いのですが、
> どう覚えればいいのでしょう？
> 数学ではこういうことはよくあるんでしょうか？
よくあるどころか日常茶飯事。「記号」に天賦の意味などなくて、議論の
中で、ローカルにしか通じない記号法をたくさん使う。ゆえにまともな数学
なら、常に文脈に即して記号の意味を確認しなければならない。記号を
覚えるなどというのは愚の骨頂である。

まともでない異様な数学の例としては、中学・高校数学が挙げられる。
これはきわめて狭い世界しか扱っていないから、暗黙の了解といいつつ
様々な歪められた決まりごとを自在に用いることが出来る所為である。

よほどの理由がない限り、一般に流布している記号と異なる記号を
使われるのは迷惑。
そんなつまらんとこで自己主張するなって。

>>424
左右対称とは限らんのじゃないか？
detP＝１のときは左右対称、detP=-1のときは符号も入れ替わる。

P（P^T）=E　
±det(tE-P)＝det(tE-P)det（P^T)＝det(tP^T-E)＝det（(tP-E)^T)＝det(tP-E)

>>428
議論自体がローカルなんだっての。
一般に流布っていうか、ある程度の慣例はそりゃ踏まえるさ。
それでも唯一絶対な記号法なんてのは無いし、
そんなガチガチに標準規格みたいなものを決めてしまったら
記号を使うその都度いちいち規格を確認せにゃならんので
議論しにくくて仕方ないじゃん。

>>429
すごい、ありがとうございます。
でも私の頭ではパッと見では4次の正方行列までしか、
対称になるのが分かりませんでした。

>>423だって、記号が違ってても内容は理解できているんだし、
数学で重要なことは内容のほうなので、見せ掛けの記号だけを
覚えようとしてるのは何か変だよ。
それに>>423の事例はよくある表記揺れの範疇だろ？

429が不完全だったので、続き：

±det(tE-P)＝・・・＝det(tP-E)＝det（-(E-tP)）＝(-1)^n・det（E-tP）
但し、Pはｎ次正方行列

よって、
n=偶数のときは、detP＝−１ならば、符号も入れ替わる。
n=奇数のときは、detP＝１ならば、符号も入れ替わる。

意見：なぜ、医学部では「線形代数学」を履修しないのでしょうか。（2003.05.06）
(回答)　
　専門基礎科目（数学）についてのご意見ありがとうございます。高等教育
システムセンター共通教育企画部門専門基礎科目担当の可知偉行（理学部）
です。

医学部の数学教育は数学的な考え方、論理的な思考を身につけ、それを
専門に生かすという観点で行われています。
実際に、医学部では数学的考え方を普通に使いますが、数式を用いて
計算することは確率、統計以外は特殊な領域（生理学等）だけのようです。
そのために微分・積分学を履修します。医学の立場からは非線形が実際的かも
しれません。線形代数学は「医学部の数学」として履修する必要はないと
考えていますが、自らの向学心で学ぶことは多いに奨励します。単位に
ならなくても他学部の線形代数学の授業を聞いてみてはいかがでしょうか。

理由らしきものを列挙してはいるが
実のところ聞かれた質問に答えてない

「非線形が実際的だから履修する必要はない」って、
この人ほんとに数学者なんかね。位相幾何学が専門みたいだが。

トポロジーは曲がった図形が対象だから線形代数学を履修する必要はないって
思ってんの？ ま、「共通教育企画部門」としてのお題目なんだろーけど、
数学者がこんなこと言ってたら、自分の首を絞めるだけだお

致命的に読解力がないな・・・

医学では線型代数は殆ど使わね〜からさって書いてあるじゃん

A、B が共にｎ次正方行列のとき、AB=E ならば BA＝E を示せ。

という問題が分かりません。

>>438
AB=E⇒ABA=A⇒BA=Eでいい？

有限次元であることを使わない解答はだめ。

AB=E　により、f(x)=Ax　は全射であり、g(x)=Bx　は単射である。
よって、ｆもｇも全単射である。よって、A：正則。
ABA=Aより、BA=E

アホすぎる・・・

>>433
普通に感動しました！

行列式が非零だから、逆行列が存在する。両辺に左からAの逆行列をかける。

無限次元だと反例が存在するの？

N　非負整数の集合

2つのNからN自身への写像
N-.>N (x->x+1)
N->N (x->x-1 if x>0, 0->0)

から誘導されるN上の関数空間上の線形写像たちが
一つの例を与える。

AB=Eより、Aのn個の列ベクトルはK^nの自然基底を生成、
よって、K^nを生成する。K^nはK上n次元だから、Aのn個の列ベクトルは
K上一次独立である。

AB=Eの両辺にAを掛けてABA=A、移項するとA(BA-E)=O。
Aのn個の列ベクトルはK上一次独立だから、BA-Eの各列ベクトルは0、
よってBA-E=O、BA=E。

４４７は４４１と同じだろ

>>447は正解
>>441はデタラメ

つ〜か、この問題で「正則」とか「逆行列」とか言ってるようでは馬鹿丸出しだろｗ

AB=EってことはBはAの逆行列なんだから当然BA=Eだろ。。
お前らこんな問題もわかんねーのm9（＾Д＾）ﾌﾟｷﾞｬｰ!!

>>449の馬鹿には４４１が分からんかったか

>>450
逆行列の定義もしらないのか ﾌﾟｯ

>>450
”正則性”や”逆行列”の定義は
「AB=IならばBA=I」を前提とするから、
きみの論法だと循環論法になるよ

普通に考えると>>441は×

> AB=E　により、f(x)=Ax　は全射であり、g(x)=Bx　は単射である。
ここまではいいが

> よって、ｆもｇも全単射である。
これは×
fが単射でもあることを証明しなくちゃいけないが
その証明は実質的に>>438と同等

>>453の指摘どおりに循環論法

と思ったら、既に>>446が>>441の穴を指摘していたのね・・・

det(A)det(B)=det(E)=1 より　det(A)は非零。(detの存在は行列のサイズの有限性から）
det(A)の逆数とAの余因子行列の積はAの(両側)逆行列。
AB=Eの両辺に(存在が分かっている)Aの(両側）逆行列を左から掛けると　
BはAの(両側）逆行列に等しいことが分かる。
よって　BA=E。

結論。有限サイズの正方行列で左逆行列または右逆行列を持つものは
逆行列を持つ。それは存在を仮定していた片側逆行列と一致する。

BAB=B
Bは単射だから
BAのImg(B)への制限は恒等写像
線型空間Vが有限次元ならBは全射でImg(B)=V

>>456
正解

>>457
> 線型空間Vが有限次元ならBは全射
であることの証明は>>438の証明を含んでいる
よって循環論法

ちなみに3行目と4行目は無関係

>>458
有限次元で単射 <=> 有限次元で Ker(T)=0 <=>
dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)より dim V = dim Img(T)
<-> V ⊃ Img(T) より V = Img(T)

有限次元だと dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)なのは準同型定理

>>459
> 有限次元だと dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)なのは準同型定理

それの証明には>>438が前提になる。

ロルの定理を証明しろ、という問題を
平均値の定理を使って解答するような感じｗ

Vはn次元線型空間とする
Ker(T)の基底(e_1..e_r)に(e_r+1..e_n)を加えてVの基底とする
任意の元x=c_1e_1 +...+c_ne_n についてT(x)=c_rTe_r+1 +...+c_nTe_n=0
となる。c_r,...,c_nについてT(x)=0が非自明な解を持つとすれば
基底の一次独立性に反する。よってTe_r+1,...,Te_nは一次独立で
Img(T)の基底になる。

ていうか同値同値っていったらなんでも同値じゃねーか。
基底の存在と濃度の一意性から言わないと駄目だぞ。
行列式使うのがなんでいいんだよ。行列式こそ非自明なもんはないだろ。

行列式ほど、ね
3行目の最後の=0はいらない

「Mを有限生成R-加群、TをMの全射R-自己準同形とすれば、TはMのR-自己同形である。」
という定理使えよ。初等線形代数に閉じこもるな。

>>462
そこまで書けば正解
書いていて気づいたと思うが、>>447と同等な議論になっている

> 行列式使うのがなんでいいんだよ。行列式こそ非自明なもんはないだろ。
自明かどうかではなく論理の依存性の問題
行列式論を使えば、一次独立性に触れること無しに、
　「行列式が非零なら（左右）逆行列を持つ」
ことが言える

要するに>>461ということ

461 名前：４５３[sage] 投稿日：2006/10/27(金) 15:02:16
　ロルの定理を証明しろ、という問題を
　平均値の定理を使って解答するような感じｗ
　

行列式が積で準同型なことや、|A|=0で正則なことの証明がいるだろ。
有限次元単射が全射ってことなんだから。
お前がいってるのは平均値の定理を証明するのにロルの定理をちゃんと
証明しろってことだろ。

>>466
> 有限次元単射が全射ってことなんだから。
無関係。そんなこと使わずに
　行列AとBに対してdet(AB)=det(A)det(B)
　行列Aの余因子行列をXとするとAX=XA=det(A)E
を証明できる

> お前がいってるのは平均値の定理を証明するのにロルの定理をちゃんと
> 証明しろってことだろ。
逆。ロルの定理に譬えるなら、>>438がロルの定理で

> 有限次元だと dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)なのは準同型定理
が平均値の定理

斉藤の線型代数入門でも復習すべき
きみレベルの学生には単位をあげられない

んで聞きたいのですが、>>464 の定理を線形空間にスケールダウン
して使うのって駄目ですか？

>>468

>>468
有限次元線形空間では、線形写像の像と核の次元についての
定理が直接的に証明できるからいらない。全射自己準同形は、
核の次元が０になるから同形。像と核の次元定理に先んじて
>>464を証明して使うというのなら別だが、標準的な理論展開では
ないと思う。

チワ〜、こんなまともなスレもあるんだな。

>>486
>>464はRが非可換非ネター環の時、反例がある。
有限生成加群をネター加群にすれば、すなわち
「MをネターR-加群、TをMの全射R-自己準同形とすれば、TはMのR-自己同形である。」
ならばいつでも成り立つ
なぜなら、全射準同型fが単射でなければ
fのべき乗たちの核が途中で止まらない無限昇鎖列を作るから。Kerf⊂Kerｆ~2⊂Kerf~3⊂‥

体Kはネター環。よって。有限生成ベクトル空間はネターK加群。
よって、>>464の修正版
「MをネターR-加群、TをMの全射R-自己準同形とすれば、TはMのR-自己同形である。」
を使って>>438が示せます。

正しいんだが、核兵器保有を宣言って気がするべ
（いやみみたいでスマソ）

＞dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)
これの証明に>>438って必要だったっけ？
要らないような、、

というか、こういう問題って何を既知として使ってよいか分からんな

>> 有限次元単射が全射ってことなんだから。
>無関係。そんなこと使わずに
>　行列AとBに対してdet(AB)=det(A)det(B)
>　行列Aの余因子行列をXとするとAX=XA=det(A)E
>を証明できる
使ってるってことじゃなくて結果的に証明してるってことだよ
「有限次元でABが正則ならAとBは正則」を証明している
それは「有限次元で自己線型写像Aが単射なら全射」と同値

(1) A \in End_K(V)が単射 => Aは全射
(2) 任意のA, B \in End_K(V) AB = E => BA = E
(3) 任意のA, B \in End_K(V) ABが全単射 => A, Bは全単射
(4) Vの基底が有限個

(1),(2),(3),(4)は全部同値だろ。
(4)を仮定して(2)を証明するのに(1)を自明とするのは駄目で
(3)を自明にするのはよいという基準が不明
>>462 みたいな証明を書くことと
行列式を使った逆行列の存在の証明を書くことは同じだろ

行列式を使った証明が複雑で良くないと思っている椰子がいるようだが
そんなことはないぞ。現に可換環においても体と同様の行列式論が使える
ことを利用して中山の補題が証明されている。（皆さんおなじみのハミルトン・
ケイリーの定理のR-加群版をつかうんです）

>>474
判ってない人は判らずに粘着し続けているようですが・・・

この問題で「有限次元線形空間の自己準同形が全射ならば単射」を
証明せずに使ったらさすがに不正解でしょう。次元定理より明らか、
と書いてもアウト。従って正解は>>447と>>456です。

何を既知としてよいかを見抜くのも実力のうちですよ。

>>474
dimV = dim Img(T) + dim Ker(T)　
の前提として線型空間の次元のwell-definednessが必要です。
それが示せたら上式は準同型定理の系です。

線型空間の次元のwell-definednessは行列の基本変形の理論からも示せます。

そう。同値かどうかを問題にするなら、行列式を用いた証明は、
可換環に成分を持つ行列でよいので、より elementary である
とも言える。

すべての体で成立するならば、すべての可換環で成立するような命題の
特徴付けとかがあると便利なのだけど、知られているのだろうか。

レベルの低い会話。

>>480
喪前の低レベルは分かっている。失せろ。
（馬鹿ぶりを知りたい人は最近例として位相幾何スレ参照）

>>479
メタ命題と解釈すればモデル理論関連の話題となるから、モデル理論が専門の
基礎論屋さんなら知ってるかも。ただ日本は基礎論弱いからねー。

ホントかよ

>>478
だから>>441で良いって言ってるのは正しいだろ。

(ﾌﾟｗｗｗ

>>484
>>441 を見たがもちろん駄目だよ。論証とは認められない。
中間の結論があっていてもその論拠が示されていない。>>477 の言う通りだ。
有限次元線形空間の全射自己準同形が同形であるとの前置きが必要。
その上でＡが自己同形と結論してあれば良い。
そんなことは自明だと強弁したいのだろうが、君は多分分かっていなかったと思う。
で、

Aは自己同形だから可逆で逆元Cを持つ。AB=E の両辺にAの逆元Cを左から乗じて、B=Cを得る。
Bは自己同形でAの逆元である。

とやる。

ただ次元定理を論拠に挙げると×というのはおかしいと思うな。それは>>478にある。
いずれにせよ、君は>>441では論拠を示してはいない。言い訳は止めよう。

レベルが低い連中を相手だと、こうなるのか。Galoisの気持ちが少し分かった気がした。それが今日の収穫かな。

お前はGaloisほどの天才でも何でもないけどなｗ

ただいまGaloisに迫ろうとしてます

>>438の証明ってこんなに難しいんですか？

ﾜﾛﾀ

>>488 Galoisが天才であることも知らんくせに

>>464はRの可換性を暗黙のうちに仮定したのですね。

>>490 行列のサイズが無限なら反例が存在するので(>>446)、
証明のどこかで、必ずサイズの有限性を使う。
斎藤の本(p.48)では基本変形の理論と
行列のサイズに関する帰納法を使って示している。

卑しくも線型代数と題した本であるからには
>>446みたいな反例とかもきちんと載せて欲しいよね。

あと双対空間の双対空間が元の空間と同型にならない例とかさ。

まあ題名にFinite dimentionalとかちゃんと付いてるならまだしも。

数列が作る無限次元線型空間のずらし写像くらいは、大抵の教科書に書いてある。
漸化式を解くのに使うからね。

>>490
左逆元の存在だけから右逆元の存在（あるいはその逆）をいうのは難しい。
線型代数そのものがわかっているかどうかの踏み絵になる。

>>496
踏み絵の使い方を誤解してはいないだろうか？
知ったかぶりが気の聞いた言葉を使うとこうなるよい例だな。

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

馬鹿晒して叩かれた、イタイ奴が居座ってるなあ・・・

必死ですね

だれのことだ？
線形代数でなんだかんだ入っててもあほらしいでしょ。
ところでCayley-Hamiltonを行列を三角化しない方法で証明してみな

↑
線形代数でなんだかんだ入ってるあほ

>>500
可換環上の有限生成加群（自由化群とは限らん）の場合のハミルトン・ケイリー
の定理を定式化して証明しなさい。教科書、文献を漁るのは可。

試金石

>>502
CH の弱い形

R:可換環, M:有限生成 R-加群 T: End_R(M) の元
このとき、R[T] は R-加群 として有限生成か？

ガロアくんは「king様の弟子」が匿名で書いてるんだろうね。
工房が大人のふりをしてるんだろうから、みんないじめるのはもう止めよう。

>>500
有限生成加群Ｍへfreemodule of finite rank Ｆから全社とって
行列表現して・・・でいいんでないのけ

連続微分行列

このｽﾚや不等式ｽﾚはﾚﾍﾞﾙが高いですね。
勿論他にもあると思いますが、こういったｽﾚがあると何故か
数学板もすてたもんじゃないと思います。

テンソルでやれば？

上で>>438の問題を巡ってもめていたようだけど、どのみち行列式を使えば
イチコロなので手法に制限を付けての議論なんてあまり意味がないように思えた。

だがA,B,Eが、成分が体の元の有限サイズ正方行列で無い場合。たとえば、R-加群M
の自己準同形であるような場合の類似問題を考えると、直接には行列式は使えない。
実は有意義であると分かった。>>464や>>493の言っていることに本質があると思う。

この問題は一般化しないと>>496が言っているようなことの意義は分からない。
線形空間の場合は退化して、行列式論から自明の命題になってしまう。
（ガロアくんは、もしかすると、この事が言いたかったのかもしれない）

固定点を原点とする2つの右手直交座標系a,bにおける
x,y,z軸方向の単位ベクトルを絶対座標で表したものを
それぞれxa,ya,za,xb,yb,zbとすると、
aをbに1回の回転で移す回転軸は
xa×xb+ya×yb+za×zbで表すことができる。(×は外積)
きれいな性質なのでこれのシンプルな説明は無いでしょうか。

内積

2次曲面の標準形の求め方について質問なんですが、

A[x] := 二次形式 b:=一次の係数のベクトル　として
二次曲面を
　A[x] + 2*<b,x> + c = 0
と、与えられているとして、

P:=Aを対角化する直行行列　で
x=Py として　Aを対角化して、その後に平行移動することによって
2次の項を消して標準形にするという方法は知っているのですが、

他にスマートなやり方はないもんでしょうか？


#分かりにくい上に長ったらしい質問で失礼

2次の項を消してどうするんだ・・・orz
1次の項を消して、に訂正して読んで下さい

>513
係数が特殊な場合に簡単にできるケースもあると思うけど、
一般論として正直にやるしかない。

>>515
レスありがとうございます

計算がちょっとめんどくさそうだったので、
他にいい方法があるかもと思って聞いてみたのですが、
実際に計算してみたら、別に大した量じゃありませんでした

これくらいの計算だったら確かに、
ガリガリやるくらいが丁度いいですね

>>512
内積？
詳しくよろ。

絶対値が最大の固有値を求める方法としてべき乗法というものがあるらしいのですが、
ttp://www.asahi-net.or.jp/~uc3k-ymd/Lesson/Section03/section03_09.html#PowerMethod
証明は
ttp://www.asahi-net.or.jp/~uc3k-ymd/Lesson/Section03/PowerMethod.html

ttp://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/power-method/power.html
のサイトによると、もとの行列Aを求めた最大固有値λとそれに対応する固有ベクトルxを使って
A(i,j)-λ×x(i)×x(j)^T→A(i,j)
と変換してもう一度べき乗法を行うと第2固有値と固有ベクトルが求められるらしいです。
その証明がわかる方がいましたら教えてください。

>>518
固有値が絶対値の大きさ順に |λ_1|≧|λ_2|≧・・・≧|λ_n| と並んでいたとして
それぞれの単位固有ベクトルを u_1 , u_2 , ・・・ , u_n とすれば
A-λ_1*u_1*(u_1)^T という行列（A'とする）は
A'u_1=0 , A'u_2=λ_2*u_2 , ・・・, A'u_n=λ_n*u_n
を満たすからAの最も絶対値の大きい固有値を0に置き換えたものになる。

>>519
わかりやすい説明ありがとうございます。
ただ、
A'u_2=(A-λ_1*u_1*(u_1)^T)u_2=Au_2-λ_1*u_1=λ_2*u_2-λ_1*u_1
となるところまでは理解できたのですが、これがなぜλ_2*u_2になるかが
わかりませんでした。アホな質問で申し訳ありませんが
もう少し詳しく教えてくださいm(_ _)m

>>520
自己レスです。
第2項は0になるからA'u_2=λ_2*u_2が成立しますね。
アホな質問して申し訳ありませんでした。

>>519さん
ありがとうございました。

>>478 の証明には線形空間の次元の「矛盾なく定義されていること」は関係ないです。
それを使わなくても証明できます。

一般的には次元のwell-defなんて考えません。

どっちもうやむや行間にwell-definedって言ってかっこつけたつもりになってるのが臭すぎる

いや、well-posed じゃないんだよ。

>>523 じゃなんていえばいいんだよｗ

>>525
馬鹿は自分を賢く見せようとして、必要の無いところで難しい概念用語を持ち出します。
用語は念を入れてわざわざ横文字にすることが多いです。

>>526
禁n句のお弟子さんは、馬鹿の特徴をしっかり押さえてるな（ｗ

だれか分かる人、教えるべし。

f:X->S　をflat morphism
Y=X×XをXのS上のfiber produt とする。
p_1, p_2をprojectionsとする。
IをX上のinjective O_X module sheafとする。
このとき、Iをp_2でpullbackしたO_Y module sheaf p_2^*(I) は
p_1によるdirectimage p_1_*　にたいしacycicか？
すなわち、R^i p_1_*(p_2^* I)=0 (i>0)?

条件追加：

EをS上のベクトルバンドルとし、X＝P(E)で、ｆ：X->Sをprojectionとして,考えてください。

|x|≦z^2を満たす点全体からなる立体をRとする。点(0,0,1)を通りx軸に平行な直線を中心軸とする半径1の円柱をCとし、RとCの共通部分をTとする。
-1≦h≦1 に対して(0,0,1+h)を通りz軸に垂直な平面によるTの切り口の面積を求めよ。

切り口は）□□なると思うんですがなぜ長方形になるのかわからん教えて。

>>530
マルチ

>>530　受験板で聞け

線形代数の教科書多すぎ

同意

条件追加：

injective sheaf　I は　quasi-coherent

自力で何とか証明できたよ：

R^i p_1_*の値は、p_1の値域であるX上localに決定されるから、
U＝Spec（C）をXのopen affine subschemeとして、
U×X上で考えればいい。
このとき、R^i p_1_*（p_2^*(I)）はquasi-coherent だから、
そのU上のsection の全体Γ（U、R^i p_1_*（p_2^*(I)））によって決定される。
ところが、Γ（U、R^i p_1_*（p_2^*(I)））＝H^i（U×X、p_2^*(I)）であるから、
X=P(E)のstandard covering {D_+(x_j): j=1,...,r}に関するCech cohomology と一致する。
ところが、そのCeck complex は　IのX上のCech　Complexを　X上　U×X　へbase change したものである。
ところが、UはS上flat であるから、U×XもX上flatであり、
よって、p_2^*(I)のU×X上での Cech complex もexactである。
よって、 H^i（U×X、p_2^*(I)）＝０（i＞０）

427

互換(i,j)(i<j)の転位数はどうして2(j-i)-1になるんでしょうか？
どなたかわかる人、教えてください(ノ。σ、)イ

線形代数のわかりやすい参考書教えて下さい

>>495　数列が作るベクトル空間の次元は無限ではないのでは？

>>539　線形代数のわかりやすい本といったら、
斉藤の線形代数入門だと思うよ。つうか、これそんなに簡単じゃないけど、
かなり実力はつく。
簡単な本読んでも本当の実力はつかないよ。

線形変換T:R＾3→R＾3　T(x)=(3×3行列)x
3×3行列はA　つまりTx=Ax

その両空間の単位ベクトルからな標準基底、すなわちt(100)　t(010)　t(001)に関するTの行列は
A自身ですよね？
この基底は性器直交基底なので、Tの性器直交基底に
関するTの行列といったときも、それは当然Aですよね？

よってその行列を転地Aとしている本を見つけたのですが
それって間違いですよね

性器直交ってすごそう

な

線形代数の質問です。
Tがエルミート変換であって、Tの最大の固有値をαとすれば、

α=sup{(Tx,x)||x|=1}が成り立つわけですが、
これって正確にはα=max{(Tx,x)||x|=1}ではないでしょうか？
なぜならαは{(Tx,x)||x|=1}の元ですよね？

>>545
ちょっとだけおもしろいな。

>>546　真面目に教えてください。お願いします
俺が間違ってるのでしょうか＞？？

>>547
うん。xはどこに入っているかってことだよね。

>>545
おまえなあー。コンパクト性やら写像の連続性やら位相の基本的なことを
勉強したんだろうが。だったら、聞くまでも無い自明な事なはずだ。

ヒント：
有限次元の球や球面はコンパクト。有限次元複素ヒルベルト空間Ｈの計量
とＨ上の線形写像は連続。

>>548　ｘはユニタリ空間Vの元です。

>>549　とてもレベルが高くてついていけないです。
位相のことなどはやりましたが、それと俺の質問がどう関係しているのかわかりません。(><)
もう少し詳しくお願いします。

か　ま　う　な

Tがエルミート変換であって、Tの最大の固有値をαとすれば、
α=sup{(Tx,x)||x|=1}が成り立つ

また、この定理の証明のなんですが、
証明は、任意のy∈{(Tx,x)||x|=1}に対してy＜αであることと
αが最小の上界であることを示せばいいんですよね？

斉藤の線形代数の本の証明にもαが集合{(Tx,x)||x|=1}の元に入って
いることが示されています。
だから、supじゃなくてmaxだと思うのですが。。

>>552
f(x)=(Tx,x)で定まる関数は連続関数だ。Tがエルミートであることによりf(x)
の値は常に実数である。単位球面E={x| |x|=1} はコンパクト集合だから当然
その上で連続な実数値関数f(x)は最大値 max f(E) をとりそれはα=sup f(E)
に等しい。重要なのはsup f(E) = max f(E) なんて自明なことではなく、ｖ∈E
がf(x)のEにおける最大値α=f(v)を与えるとき、vがTの固有ベクトルになることだ。
それは、wをvの任意の直交ベクトルとするとき、Tvがwと直交することにより分かる。

LU分解を用いて逆行列を求めるアルゴリズムを考えています。
LU分解まではできたのですが、LU分解からどうやって逆行列を求めるかに
つまづいてしまいました。
あまりにも簡単なのか、調べても、「LU分解をすると、簡単に逆行列を求めることができる」
としか書いていません。
どうぞ愛の手をお願いします。

もしかして、>>552は実数値連続関数f(x)はコンパクト集合Cに対し
　sup {f(x)| x in C} = max {f(x)| x in C}
となることが分からないのでは？

>>554
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/LU%E5%88%86%E8%A7%A3

>>553 ありがとうございます。かなり勉強不足でした。
>>555　それもわからなかったです。

本当に勉強不足だ。

Aを正方行列として、
Aが０を固有値として持たない⇒A：正則

この証明がわかりません。いらいらして頭がはげそうです。
お願いします。本当に教えてください泣

>>558
kingにでも聞けば？その程度ならわかるんじゃね？

ｘ　　　　　　　ｘ＋３ｙ＋１１ｚ
ｙ　　　→　　　　ｘ＋４ｚ
ｚ　　　　　　　ｘ−２ｙ−３ｚ


の核と像を求めよ。
ってどうやって求めたらいいのでしょうか？　

上は3行1列です

>>553,>>555
完璧に理解しました。
結局はmaxと書いてもsupと書いても同じことですよね？

俺の質問は自明すぎた。
重要なところから外れてました。

maxが存在する場合はmax=sup。
ただしmaxは存在しないかもしれない。
実数の有界な部分集合に関する限りsupは必ず存在する。
つまりsupはmaxを拡張したようなもの。

nは偶数と書いてある文章に対して、でもnは実際は4で割り切れるから
厳密に言えば4の倍数といったほうが正しいですよね？とかいってるようなものかな。

大学教養の実数論で習うでしょ。

talk:>>559 私を呼んでないか？

>>563
最近は実数論はやらない所が多いとか

>>565
大学一年で実数体の構成はやらないだろうが、>>563程度のことはさすがにやるだろ
上限・下限を知らなかったら微積分すら出来やしないｗ

>>566
現に上限・下限が分からなくて微積の出来ない奴がいっぱいいる。

今東大にいるがコース選択によってやる/やらないが分かれる
俺はよくわからずやらない方に来てしまった

数理科学V履修すればいいじゃん

数学科以外だと、上限・下限を知らないのに
微積できてると思ってる奴はいっぱいいる。

>>563　その部分については1年ぐらい前から理解していましたが、
より厳密性を高めるなら、>>552については最大値が存在するのだから、
maxのほうが正確なのではないかと思いました。

>>571 無限次元の場合、単位球は普通の位相ではコンパクトでは無いから、
sup{(Tx,x)| |x|=1}が存在するからといってそれがmaxとは限らない、という関係で
そのような記述が多いのだと思う。で実際に無限次元の場合は定理は成り立たないし。
と、ここまで書いて、それならやっぱり貴方の言う通りmaxが存在するなら、と言う
書き方の方がいいと思いました。

sup,infって1年の微積でやるだろ

>>569
1年生なんだぜ

どうせ暇なんだから自分で勉強しろ

完璧な距離空間Ｘ、距離ｐ（ｘ、ｙ）として
Ｆ：Ｄ⊂Ｘ→Ｘが縮小写像であることの定義
を書けって言われたんだけど良くわかんない
から教えてくださいな･･･ｏｒｚ

（実数値）関数全体のなす線形空間の部分空間として、V=<sinx,cosx>を考える。
{sinx, cosx}はVの基底であることを示せ。

って問題なんですが、これはつまり　

k*sin(x) + l*cos(x) = 0 のとき　(k,l) =0 であることを証明すればいいんですか？
だとしても　x=π/4 のとき　(k,l) =(1,-1) となるのですが、、、

>>577
馬鹿

Ｖの０は任意のｘに対して０（∈Ｒ）となる関数。

>>572 そうか。無限次元の場合を考えれば、定理は成り立たないですね。
だからsupの記述なんですね。
そして普通はmaxの記述のほうが正確ですね。

>>580
無限次元は線形代数では普通扱わないだろ。扱うのは関数解析の線形作用素論。

有限次元ノルム空間場合と違って、無限次元のノルム空間では線形作用素で不連続なものがある。

無限次元だといろいろな性質の違いがあるのか。

V:ベクトル空間、f:V→V:線型写像
このとき
Vが有限次元かつfが単射　⇔　fは全射

これの証明おねがいしまつ。

>>584
その書き方だと全射性から単射性と有限次元性が従うと読めますよ。
正しくは有限次元性を仮定した時、全射性と単射性が同値なことを示すのだと思うよ。
>>438以下を見れば分かると思う。

http://www.geocities.jp/math_0123210/

>>584
Ｒが可換なとき>>464。

>>584
dim V = dim Im f + dim Ker f.

ある行列Aがあって、AをQR分解するとします。
A=QR

ここで、Aの列ベクトルを逆順に並べた行列をA'とするとき、
このA'をQR分解した、A'=Q'R'の式の、
Q'とQ、R'とRには、どのような関係がありますか？

>580
maxはその記号をあらわしたとたん存在するかどうかが問題になる。
supは(∞を含めれば)常に存在する。
少ない仮定で記述するのがスマートであるという価値観に基づけば、有限集合でもない限りmaxよりもsupを使って定義する方が自然だと思う。

かまうな

しまうま

最小二乗推定値を正規方程式ではなくQR分解でとくlattice methodが詳しく説明されている
教科書はないでしょうか。

>>590 了解しました。

線型代数を洋書で勉強したいのですが、入門書で何かありませんか？

線型代数の最初の一冊ならLangのIntroduction to Linear Algebraがいいと思う。

すいません、ちょっと質問です。部分空間の基底を求める問題を今やってます。
そこで、行変形を用いて行列Ａ
｜１　　３　　　０　　１　　３｜
｜１　　２　　　１　　２　　０｜
｜−１　１　　−４　　３　　１｜
｜−１　−２　−１　−２　　０｜

→

｜１　　３　　０　　１　　３｜
｜０　−１　　１　　１　−３｜
｜０　　４　−４　　４　　４｜
｜０　　１　−１　−１　　３｜
→
｜１　　０　　３　　４　　９｜
｜０　　１　−１　−１　　３｜
｜０　　０　　０　　１　−１｜
｜０　　０　　０　　０　　０｜

と変形させようとしたのですが、2回目の変形で何が起きたのか分かりません。
どうか教えてください。
ちなみに”｜”は行列の外枠です。

2行目の3倍を1行目に、4倍を3列目に、1倍を4列目に加えた後
2行目を(-1)倍する。

ありがとうございます。おかげで助かりました。
もう一つお願いしたいのですが、核の基底の出し方を教えていただけないでしょうか？
教科書のどこを見てもびしっと書いていないのです。

他の教科書を図書館や本屋で立ち読みしてみよう。

すいません、2行目の３倍を１行目に加えると、右端は−６になるのではないでしょうか？

>>599 お前はバカか？
核の基底の出し方も何も、一次独立なベクトルを次元の数だけ取り出す
だけだろう。
そもそも核は普通に部分空間だ。
もう少し賢くなってから質問しろ。カス。

申し訳ありません。
参考書を見直していたら、乗っていることにいまさらながら気づきました。
ご迷惑をおかけしています。
ですが、６０１のところだけはどうなっているのか、よく分かっていません
寝ぼけて、頭が回っていないのかもしれませんが……

>>603　(1,1)成分が1だから
(2,1)、(3,1)、(4,1) 成分を0になるように基本変形しただけだろ？

２行目×３足す１行目
＝｜１　０　３　４　−６｜
という結果しか計算できないのです。
答えは右端はー６ではなく９になっているのに

本に>>597が書いてあるの？
だとしたら
単に教科書のミスなんじゃないの？

例２. 任意のn次正方行列A,Bに対し, ABとBAの固有多項式 (従って固有値)
は一致する: φ_AB(x)=φ_BA(x). ここに φ_C(x) はCの固有多項式.

という公式が佐武の線型代数にあったのですが、これってAが冪零でも成立しますか？

佐武一郎: ｢行列と行列式｣ p.136 例2. （裳華房）
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1164290704/685
分かスレ２６６

＞例２. 任意のn次正方行列A,Bに対し, ABとBAの固有多項式 (従って固有値)
＞は一致する: φ_AB(x)=φ_BA(x). ここに φ_C(x) はCの固有多項式.
が正しいんだから当然正しいんだろ

>607

n次正方行列C に対し
　φ_C(x) = |xE-C| = �納k=0,n] (-1)^k･γ_k･x^(n-k).
とおくと γ_0 =1, γ_1 =tr(C), γ_n =|C|.　
簡単のため (i_1,i_2,…,i_k) = {i}_k と略記する。
また、C の {i}_k行, {j}_k列 の要素からなるk次の小行列を C({i}_k; {j}_k) と記す。
　γ_k = �倍i}_k |C({i}_k; {i}_k)|.
右辺の {i}_k は 1≦i_1<i_2<…<i_k≦n を満たすすべての組合せを亘る。

さて、C = AB のときは
　C({i}_k; {i}_k) = A({i}_k; 1,2,…,n) B(1,2,…,n; {i}_k).
Binet-Cauchy の等式より
　|C({i}_k; {i}_k)| = �倍j}_k A({i}_k; {j}_k) B({j}_k; {i}_k)
右辺の {j}_k は 1≦j_1<j_2<…<j_k≦n を満たすすべての組合せを亘る。
∴　AとBとを交換しても γ_k は不変.
∴　φ_AB(x) = φ_BA(x).　　　(終)

佐武: ｢行列と行列式｣ p.67 定理9 (裳華房)
http://mathworld.wolfram.com/Binet-CauchyIdentity.html

つーことは、A,Bがべき零云々は関係ねぇな。p.136の方法は良くないんぢゃ(後ry.

A の成分を全部不定元とし、それらの不定元で定まる有理関数体 F で考えれば、
A は正則なので、F 係数の多項式としての等式 φ_AB(x) = φ_BA(x) が得られる。
あとは不定元に代入、という手もあるかと。

線形変換f:Ｒ^4→Ｒ^4がＲ^4の基{u1、u2、u3、u4}に関して、f(u1)=u2+u4、f(u2)=u3-u1、f(u3)=u4+u2、f(u4)=u1-u2 であるとき、Ｒ^4の基{2u2、4u4、3u3、u1}に関するf^3の表現行列を求めよ。お願いします。

Vをベクトル空間とする。
Vにはn個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xnが存在する。
Vにはn+1個の線形従属なベクトルy1,y2,…,yn,yn+1が存在する。
このときdimV=nであることを証明しなさい。

という問題が解けないのですが、｢x1,x2,…,xmが線形従属であるための必要十分条件は、このうちの１つのベクトルが残りのm-1個のベクトルの線形結合で書かれる｣ということを使えばよいのでしょうか？

行列式が０と０でないからありえないので

問題間違ってね？

>>612
【反例】
Ｖ＝Ｒ＾（ｎ＋１）、Ｖ の標準基底を ｅ_１，…，ｅ_（ｎ＋１） とする。
ｘ_１＝ｅ_１，…，ｘ_ｎ＝ｅ_ｎ は Ｖ の ｎ 個の線形独立なベクトル。
ｙ_１＝ｙ_２＝…＝ｙ_（ｎ＋１）＝ｅ_１ は ｎ＋１ 個の線形従属なベクトル。
しかし、ｄｉｍＶ＝ｎ＋１≠ｎ と、題意に反する。

あれ？問題がおかしいですか？
もう一度問題文を確認してみました。

Vをベクトル空間とする。Vは次の２条件を満たしているとする。
１、Vにはn個の線形独立なベクトルx_1,x_2,…,x_nが存在する。
２、Vのn+1個のベクトルy_1,y_2,…,y_n,y_n+1は線形従属である。
このときdimV=nであることを証明せよ。

これが問題文そのままを写したものです。
612に書いたのはちょっと違ってましたが、言ってることは同じですよね。
ということはこの問題は解けなくてもいいってことでしょうか？

>>616
言っている事は違う。

>>616
２はVの任意のn+1個のベクトルy_1,y_2,…,y_n,y_n+1は線形従属である。
って意味

>>616
１の線形独立なｎ個のベクトルがVを生成することを示せばいい。

その線形独立なｎ個のベクトルとVの任意のベクトルの組は２より線形従属になることに注目すればいい

↑　阿呆がいっぱい釣れました

ありがとうございます。
ということは
まず線形独立なn個のベクトルx_1,x_2,…,x_nがVの生成系であることを示して
このn個のベクトルに任意のベクトルx_n+1を加えると線形従属になるということを証明すれば、
dimV=nが求まるということでしょうか。

>>622
いや。
x_1,x_2,…,x_nがVの生成系であることを示すためにベクトルに任意のベクトルx_n+1を加えると線形従属になるということを使う。
するとx_1,x_2,…,x_nが基底であることが証明される。よってdimV=nとなる。

「ベクトルに」ってとこ消去してね。
ペースト失敗した

ＤＱＮ指数の計算公式を求めよという宿題。だれか答えおすえて。

d(x) をDQN指数とすると

d(x)=1 (x が 625氏のとき)
d(x)=0 (othewise)

∫[1,1000]d(x)(dres)=1
d(x)はδ関数の一種でしょうか

任意の代数的閉体での行列の三角化って書いてある教科書少ないんじゃ
ないか。
複素数体で証明しても、それが任意の代数的閉体で通用すならよしと
しよう。
佐武や斉藤に書いてあったっけ？
ジョルダン標準形を使えばいいけど、それは一寸大げさ。

普通の体の性質しか使わなかったような…
何かノルムとか使ったっけ？

>>629

どこに書いてあった？

>>628
掃き出し法の手順記述では不満なのか？

>>631

行列の三角化、つまり PMP^(-1) の形の三角行列を求めることと、
掃き出し法とは違う。

しかしあれだな　風呂に入ってもマンコが臭い女って
なんなんだあれは。ほんとあきれるな。
今まで90人くらいとsexしたけど20人くらいはいたな。
俺は言うよ　臭い　って。指についた匂いも嗅がせる。
俺自身しらけてsex続ける気になんて到底なれないから
大抵空気悪くなって終わり。
中学の保健でしっかりマンコの洗い方教えろっつーんだよ。
でも顔が可愛いとその匂いまで愛おしくなっちゃったりして。

まぁあれだ　優しい人モ無しうpしてください。

すみません、生成系であることをどうやって示せばよいかわかりません。
質問ばかりですが、本を読んでもわからないのでヒントだけでもよいのでお願いします。

問題の条件より、n個の線形独立なベクトルが
【少なくとも一組】存在するので、そのような組{x_1,x_2,.........,x_n}を一つ取る。

今任意のVのベクトルvを取ってくると{x_1,x_2,.........,x_n,v}はn+1個のベクトルの組である。
Vのベクトルの【どんなn+1個の組も】線形従属だから、

特にこれらも線形従属。つまり
c1x1 + c2x2 + ......... + cnxn + cv = 0ならばc1=c2=........=cn=c=0

以下略

>>633

洗えば臭わないと思ってるオメエは無知
女を知らないな

コピペにマジレスが数学板の仕様です。

>>632
＞掃き出し法とは違う。

違うと言えば違うが、その中身を理解していれば簡単だ。掃き出し法の手順については既知とする。

例えば下三角行列 P で PM を上三角行列になる様にするのが掃き出し法。この P が既に得られているとする。
掃き出しする事は(横に並べた)基底 Σ= {e_1,＊＊＊,e_n,} の変換 P を作る事と理解できる。変換後の基底は Σ’=ΣP とおく。

任意のベクトル X について Σ による係数を、縦型の数ベクトル x= {x_1,＊＊＊,x_n,}^t で表すと、
X は基底の一次型式として行列演算型式 X=Σx で表現できる。一方、このベクトル X について
基底 Σ’=ΣP による係数ベクトルは x’=P^(-1) x である。 P^(-1) は上三角行列。この時もちろん X=Σx=Σ’x’

本題に戻り、行列 M を x’ → Mx’ の様に係数ベクトルの変換で表された線型写像と見なす事ができる。
即ち線型写像 X → Σ’Mx’ を行列 M の基底(横並び) Σ’=ΣP による行列表示と捉えれば、
基底 Σ による行列表示は PMP^(-1) である。

上三角行列 PM に上三角行列 P^(-1) を右から乗じた PMP^(-1) も上三角行列である事はすぐ判る。

慣れてなきゃ難しいかな。

P が下三角で P^(-1) が上三角ですか。変わっていますね。

間違えたね、適当に読み替えてね。

>>635
ご冗談を

なんで？と思ったらホントだｗ
c1x1 + c2x2 + ......... + cnxn + cv = 0かつc1,c2,.........,cn,cのいずれかは0ではない。

cが0であるかどうかを調べてv=の形に直せることが分かればおしまい。
というか>>623が既に書いてるよね。

>>638

そこのどこで係数体が代数的閉体であることを使ってる？

>>638

そこのどこにも係数体が代数的閉体であることを使ってない。

したがって、おたくの証明によれば、例えば実正方行列が実数の範囲で
三角化出来ることになる。三角行列の固有値は対角線上の成分だから、
任意の実正方行列の固有値が実数であるという、明らかにまちがった
結果になる。

任意の行列が下三角行列と上三角行列の積に書けるとか、
下三角行列の逆行列が上三角とかの無茶苦茶を書いている
のだから、そんなに高級な指摘はもったいない。

>>612 いましがたここ見たのだが、そもそも問題の文章はn次元である事の定義そのもの
では無いのか？君が習ったn次元であることの定義を書いてくれないと、問題の意味が分からんよ。

線形空間の次元の定義ってそんな騒ぐほどに事か？

>>647
「の」が「に」になったが、三国人じゃないぞ

>>648
(=ﾟωﾟ)ﾉよお、三国人

ちょん、ちゃんころ、ろすけ　の総称

正方行列の三角化は、ジョルダン標準形によらずに簡単に
証明される。

しかし、佐武(1957年)にしろ斉藤(1966年)にしろ正方行列の
三角化はジョルダン標準形に関連した形で証明されている。

正確には、佐武はジョルダン標準形に変形するるために
広義の固有空間への直和分解を証明している。
これから正方行列の三角化が出る。

斉藤の本はジョルダン標準形の証明をしているだけ。

線形代数の代表的教科書としては、簡単な別証明が欲しい。

だから松坂も読めｗ

松坂絶版じゃね？ｗ

>>651
同意。斉藤と佐武はその点に確かに難があると思う。
だけど、確か斉藤の演習本のほうには三角化の簡単な証明が載ってたはず。

>>647
基底を本当に理解しているかどうか、勉強の確認にはなるな。

>>651,652 三角化定理の簡単な証明が別にあるとどういういい事があるのだろう？
>>652の松坂本だって、それを基礎にジョルダン標準形に向かっていってた気がするが。

>>656
>三角化定理の簡単な証明が別にあるとどういういい事があるのだろう？

簡単な証明を知ることにより、三角化定理の理解が深まる。
さらに、実際の三角化の計算にも役立つ。

>>647
>線形空間の次元の定義ってそんな騒ぐほどに事か？

次元が基底の取り方によらないというのはトリビアルじゃない。
線形代数の基礎になる重要な定理。

それを承知で言ってるならいい。

でも講義では次元が有限なのは暗黙の前提になってたりするような。

>>659

その「でも」はどこに掛かってる？

>>658
コロンブスの卵というか、重要なものの証明が必ずしも極端に難しいわけではない。
線形空間の次元の一意性は、有限次元に限っていうなら、非自明ではあるがそんなに難しくもない。

>>661

至極当然でごもっとも、そのとおり。
で何を言いたい？

もうこの話題切ってもいいのではないかと言うことでしょう

>>663

別に切らなくてもいいだろう。三角化の話のように並行出来るんだから。
難しい、難しくないというのは個人差もあることだし。

だいたい学部で習う線形代数の証明なんて難易度は俺に言わせれば
次元の一意性と五十歩百歩。

やり方がまずいと易しいものもムズくなるからなあー

みなさんありがとうございます。
証明はこんなかんじでいいでしょうか。



２の条件から、n個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xnに任意のベクトルv∈Vを加えたn+1個のベクトルは線形従属である。
よってc1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0 とすると、c1,c2,…,cn,cのいずれかは0ではない。
c1,c2,…,cn,cは任意の数なので、c≠0としてよい。

c1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0
cv = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn
v = - (c1/c)x1 - (c2/c)x2 - … - (cn/c)xn

vはn個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xnによって構成されているのでx1,x2,…,xnはVの生成系である。
よってdimV=n



間違っているところは是非ご指摘ください。

＞c1,c2,…,cn,cは任意の数なので、c≠0としてよい。
駄目。任意の数ではc1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0 になりません。

ダメでしたか…。
どういう場合にc1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0 とすることができるのでしょう？
ギブアップです。
666のどこをどう直せばよいか教えてください。

「c1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0となるような」
任意のc1,c2,.........,cn,cに対して、
そのいずれかは0でない、でしょ。
だから0でない数を選べるかどうかはまた別問題。
（まあ結果としては選べるわけだけど）

c = 0で他のciのどれかが0だとするとc1x1 + c2x2 + … + cnxn = 0となって矛盾。

c = 0で他のciのどれかが0だとするとc1x1 + c2x2 + … + cnxn = 0となって矛盾。

…というのがよくわかりません。

どうして矛盾なんでしょう？

>>670
そろそろうざい、模範解答書いてやるから一週間ほど謹慎しとけ。
> 他のciのどれかが0だ
は「他のciのどれかが0でない」の誤植だろう。んで、

1より線形独立なベクトルx1,x2,…,xnがとれる、
線形独立なベクトルx1,x2,…,xnに任意のベクトルv∈Vを加えたn+1個のベクトルは
2より線形従属であるから、少なくとも一つが0でないような数の組c1,c2,…,cn,cが存在して
c1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0とできる。
このとき仮にc=0とすると,c1,c2,…,cnのいずれかが0でないことになるが、同時に
c1x1 + c2x2 + … + cnxn + cv = 0は（c=0だから）c1x1 + c2x2 + … + cnxn= 0となる
ことを意味するので、c1,c2,…,cnのいずれかが0でないことはx1,x2,…,xnが線型独立だったことに矛盾する。

固有値ってなんだ〜〜〜〜

愛源バリュー

>>669は間違ってるからわかったらおかしい

Ａ＝１　−１　−１
　−１　１　　−１
　１　　１　　　３
で固有地１、２なんだけど
ＡＸ＝Ｘでこのあとどうすればいいかわからない
なにをなにとおけばいいんですか？
教えてくださ

固有地

いやそれじゃなくてＸ＝Ｔとするとかそういうの

一週間謹慎していた612です。
今回行き詰った問題はこれです。


Aをn次正方行列とする。
零ベクトルでないn項列ベクトルbによってAb=bが成り立っていれば|A|=0であることを証明せよ。
（Hint:bの成分のどれかは0でない。そこに注目する。）


|A|=0ということを示すには…【２つの行が等しい行列の行列式は0である】ということを使えばよいのでしょうか？

>>678
馬鹿たれ。こんな命題成り立つわけないだろ。Aを単位行列にしてみい。

そうなんです！
Ab=bということなんで、Aが単位行列だと考えたら、|A|=1になったのです。
おかしいですね。
読み間違えかと思ってもう一度問題文を確認してみましたが、やはり問題文は678に書いたとおりです。
この問題を解いて提出しなければならないのですが、『わかりませんでした』と言って白紙で提出するよりは、この命題が成り立たないことの証明を書くべきですか？

教授に諭すつもりで、証明書いておくと
ＧＯＯＤ！

しょーみ、右辺のｂが、
ほんとは０なんじゃないのかな？
タイプミスとか。

そうだろうな

>>682
おそらくそういうことだろうな。

R^nの二つの基底
P={p1,p2,・・・pn}、Q={q1,q2,・・・qn}
に対して基底の取替えP→Qの行列はなんでP^(-1)Qなんですか？
あるベクトルvをこれらの基底で表したら
v=Px=Qy
で
Q^(-1)Px=y
だからQ^(-1)Pの方が基底の取替えP→Qの行列という名前にふさわしいと思うけど。

基底の取替え行列の定義による。
基底の取替え行列を A=(aij) とすれば
qi=Σ[j=1,n]aji*pj
行列で表すと
Q=PA
よって
A=P^(-1)Q

では問題文がAb=0だった場合の証明は以下でよろしいでしょうか？



背理法によって証明する。
もし仮に|A|≠0だとすると、逆行列A^(-1)が存在する。
Ab=0なので、
A^(-1)×Ab = A^(-1)×0
Eb = 0
b = 0
しかし問題文ではbは零ベクトルではないということなのでこの計算結果は矛盾している。
よって|A|=0である。




これでよいでしょうか？

ヒント無視してるけどいいんじゃないかな
ヒントを重視するなら…
b=(b[1],b[2],…,b[n])に対して
b[c[1]],b[c[2]],…b[c[k]](1≦c[1]≦…≦c[k]≦n)を
bの0でない成分の全てとする
Ａ=(a[i][j])とおくと仮定より、各iに対して
�納1≦j≦n]b[j]a[i][j]=�納1≦m≦k]b[c[m]]a[i][c[m]]=０
ここでＡのc[2]〜c[k]列目をそれぞれb[c[2]]〜b[c[k]]倍したものを
c[1]列に加えると
各iに対して（第i行c[1]列成分）＝�納1≦m≦k]b[c[m]]a[i][c[m]]＝０
つまりc[1]列＝０となるので|Ａ|＝０

線形代数なんて数学版じゃなくてお子ちゃま板でやって

wikipediaを見ていると、
「固有値が全て正の時〜である」と「固有値が全て非負の時〜である」
という文章を見かけたのですが、
「固有値が全て非負でない」、つまり「負の固有値が存在する」のでしょうか？
負の固有値は固有ベクトルに-1をかけることによって正の固有値にできませんか？

> 「固有値が全て非負でない」

曖昧な日本語だな。全否定と部分否定のどっちよ？

固有ベクトルに-1をかけても対応する固有値は変わらないだろ。

>>691さん
そういわれてみればそうですね･･･
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4にあるのですが。
>>692さん
すいません、勘違いしてました。。
固有ベクトルは左辺にもあるから、
正負逆のものが2つ存在するということですね・・；；

>>693
固有ベクトルは２つというわけではなく、０以外のスカラー倍をしても同じ固有値の固有ベクトルだろ。
固有値や固有ベクトルの定義をわかっていますか？

あ、、そうですね・・・。。
他の事で固有値を使うことになって、、
生半可に質問してしまいました。。どうもありがとうございました；；

↓うるせーんだよ
↓このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)

-1 -4 -2 -2
-4 -1 -2 -2
2 2 1 4
2 2 4 1

の固有多項式の出し方を教えて下さい

↑の訂正

-1 -4 -2 -2
-4 -1 -2 -2
2　2　1　4
2　2　4　1

次のK^nの部分集合が部分空間であるかどうか答えよ
R3の部分集合W={(x,y,z)|3x+4y-2z=a}、ただしaはある実定数

解答には、「二つの元u,vをとって、u+v,またはruがWに含まれるか見ればよい」
と書かれてあるんですが、これの具体的計算が知りたいんですが。

いくら考えても中々いい考えが思いつかなくて。

>>699 この手の問題で、解答のやり方をする場合、自分である程度勝手にu,vを取る。
もしうまくいかなかったなら取り直す。で今回ならx=y=1としてzは式から求める。これを
uとしてruが元の式をみたすか考えてご覧。もし満たす為にはどうでなければならない？

ruじゃなくてu+vを考えればいい？

ごめん、満たすためだね。満たさない時のほうを書き込んじゃった。

a=0だ！

僕は、元をu,v、その成分を（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）として、
u+vの成分をx,y,zとして代入してみた。すると、
3(x1+x2)+4(y1+y2)-2(z1+z2)=a
となって、u+vがWに含まれるときに部分空間になるから、
a=0の時に部分空間、そうでないときに部分空間でない、
と考えたが。

>>704
普通は,

u+v =3(x1+x2)+4(y1+y2)-2(z1+z2)=(3x1+4y-2z1)+(3x2+4y2-2z2)=2a
だから[i]2a=aのときu+vがWに入って, そうでないとき入らない.
rv=r3x+r4y-r2z=raだから[ii]ra=a(∀r)のときrvがWに入って, そうでないとき入らない.
[i],[ii]が同時に成り立つa=0のときはWは部分空間で, そうでないとき部分空間にならない.

と答えると思う. ただ俺の普通は世間の異常である可能性もある.

６９７のような馬鹿は相手にしちゃ駄目だよ。

>>705なるほど

>>705,>>707
> u+v =3(x1+x2)+4(y1+y2)-2(z1+z2)
> rv=r3x+r4y-r2z
がダウトだな。考えなければならないことは
u+vがWに入るかどうか。
入るかどうかは3(x1+x2)+4(y1+y2)-2(z1+z2)=aが成立するかどうか。
だから、それを考えることが目的。んで、
成立するかどうかの判定に使える条件は
3x1+4y-2z1=aと3x2+4y2-2z2=aなので
3(x1+x2)+4(y1+y2)-2(z1+z2)=2aってことになって、
肝心の部分が2a=aかどうかという形に整理されたってこと。
後は問題ない。

ああ、もちろん>>708はrvについても同じように修正すればおｋという意味だからね。

教科書に「Vがn個の基底から成るベクトル空間ならばVはK^nに同型である」
ってあるんだが、基底が違うだけでV=K^n･･･ではないのか？

同型という概念がわかってないね。

上の条件を満たすVでK^nに等しくならないものってある？

>>710
じゃあ、n次元ベクトル空間 P={f:高々n-1次多項式}はK^nなんですね。

>>712
おまえのK^nの定義がおかしいと見た。

>>710みたいに数ベクトル空間と抽象ベクトル空間の区別が
できないアホって何がしたくて大学初年度教養レベルの数学に
手をつけてるんかネェ。つか、大学で講義受けてる香具師だったら
大学辞めるべきだとアドバイスするよ。

Vの元はn項列ベクトルと勝手に誤解してました。　吊ってきますﾉｼ

Q( √3 , √2 )

706

以下の部分集合が部分空間になることを示し、その基底を一組求めよ。

K^4の部分集合W={(x,y,z,w)|x-3y+5z=0,2x+4y-7w=0}

これの答えが、(21,7,0,10),(-7,1,2,0)とプリントにあるんですが、
これ間違ってません？(-7,1,2,0)が2x+4y-7w=0を満たしてないから。

(-2,1,1,0)になったぞ。(´･ω･`)　

(-7,0,1,2) とかでいんじゃね

(21, 7, 0, 10) と (-35, 0, 7, -10)

(35,0,-7,10) (0,35,21,20)

そんなに列挙しなくてもいいよｗｗｗ

定番といわれている伊原さんの本って

岩波講座基礎数学　１−１　線型代数
ttp://www.junkudo.co.jp/detail2.jsp?ID=0187150884

これのことですよね？

線型空間・アフィン幾何
ttp://www.junkudo.co.jp/detail2.jsp?ID=0197620090

同じ伊原さんでこれもあるのですがこちらのことではないですよね？

V=P4(K)の部分空間W1={P(x)=∫g(t)|ﾖg(t)はP3に含まれる},
W2={P(x)|dP(x)/dx=0}

で、W1とW2は直和になるとプリントにあるんですが、
もひとつよくわからないです。分かる人いますか？

>>726
P4(K)とかP3とかって、何ですか？

ここでいうPn(k)は、n次以下の多項式全体からなるP(K)の部分集合のことです。

あと、インテグラルの積分範囲は、0からxです。

>>728
W1は４次以下の多項式で定数項の無いもの全体、W2は定数全体になるから
当然４次以下の多項式全体のなす線形空間はW1とW2の直和になる。

ある線形代数の参考書に、シュミットの正規直交化法の説明で、
計量線形空間R^nにおける基底｛a1,a2,a3,…,an｝を、正規直交基底｛u1,u2,u3,…,un｝
に変換する公式のイメージのつかみ方で、正射影ベクトルを使っていました。
その中で、u3を導く際に、a3とu1,a3とu2それぞれの正射影ベクトルをだして、その2つのベクトルをたしたものが
a3の正射影ベクトルになっているのですが、なぜ2つのベクトルをたすとに正射影ベクトルになるのでしょうか？
平面における正射影ベクトルは理解できるのですが、空間における正射影ベクトルがいまいちよくわかりません。
基本的なことでバカにされるかもしれませんが、独学なもので、どなたか教えていただけませんでしょうか。

平面の場合が分かってるのなら、まずa3からu1への正射影ベクトルを引いてu1に垂直なベクトル(b3とおく)を作り、
そのあとb3からu2への正射影ベクトルを引いてu2にも垂直なベクトルにし、長さを1に正規化してu3が求まる。
正射影ベクトルを一つずつとらずに２つまとめて引いても同じ答えがでるということは計算すれば分かるが、
u1とu2が直交していることがきいている。

ひょっとして正射影の正確な定義を知らないとか。

V を計量ベクトル空間、W をその部分空間とする。
a1∈W が a∈V の W への正射影とは、
任意の w∈W に対し (a-a1,w)=0 を満たすこと。

Vを線形空間、Wをその部分空間、ｖ∈Vとする．SをWの生成系
とするとき、ベクトルｖとWが直交するには、ｖとSの任意の元が直交
することが必要十分だ。グラムシュミットは、このことをSをWの基底系
にとって応用したのに過ぎない。

>>731
大変わかりやすい説明ありがとうございます。
>>732
初めて知りました。(a-a1,w)=0って内積ですよね？ありがとうございます。
>>733
覚えておきます。ありがとうございます。

以下の各写像fは線形写像であるかどうか答えよ。
ただし、Pn=Pn(R)。

f:R3→R3,(x,y,z)→(x+y-2z,x-y-z-1,2y-z+3)

これ、fの表現行列って算出できますかね？
あと、座標は横書きにしていますが、本来は縦書きです。

>>735 そう、表現行列を作る事ができるから、それは線形である、って形で
証明すると良いと思うよ。恐らく出題者の狙いでもあるでしょう。ちゃんと数の
決まった3*3の行列Aに列ベクトル(x,y,z)をかけたら>>735の最右辺のようになるには
Aとしてどんな形をとればよいか？目分量で出来るのでやってみたまい。

連投スマヌ、まさか非道次とは・・・。なんか酔っていてこんなにはっきりしているのに
見誤った、投稿ボタン押したときに気付いた。で、>>375ですがAxで、
x=(x,y,z)の時、Aを形作る行列要素を記号で書いた場合、Axはどんな形になるか、を
考えると良い。

あたま大丈夫？

内積空間Vの部分空間Wに対してW⊥＝｛U∈V｜（u，v）＝０がすべてのv∈Wに対して成り立つ｝
とおくとW⊥はVの部分空間であることを示せ。


この問題できるひといませんか＞＜助けて！！！！！！！

女の子の名前使ったからってスグに助けてくれると思ってんじゃネーよ！！




えっと…，まずは部分空間の定義を確かめてみると良いよ♪うん．
大丈夫だよ！君なら解けるよ！ガンバレ♪

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>739
ここ掘れワンワンだ！こんなもん証明付けるだけなら猿でも出来る。
こういう命題を探し出すのは難しいだろうが。

最近明らかになったことですが、Jordan標準形等の線形代数の基本定理の多くが
欧米に先んじて朝鮮半島の数学者により発見されていたことが分かりました。
したがいまして、今使われている数学用語の多くは間違っています。アジアの一員として
日本人は、このことを世界に積極的に紹介すべきです。

>>743
嫌韓の基地外は数学板にくんなよ

>>743
またかよ。
チョンは生まれてきたことを反省し謝罪しろ

線形代数と少しずれてるかもなのですが、
二者択一の定理やファルカス(て読むのかわからないです＞＜)の補題などについて、日本語でおすすめのテキストがあったら教えて下さい。

佐藤正次ってどうなんだろ！？

大学で配布された教科書に

固有多項式　ΦA(x)=|xE-A|

固有値　{α1,…,αn}　とすると

|A|=((-1)^n)*α1*…*αn

と書いてあるのですが
|A|が|-A|じゃないのは何故ですか？
(Aはn次正方行列です)

>>748
単位行列の行列式は+1なのに、この公式で3×3の単位行列
の行列式を計算すると-1になるよ。だから、この式は間違い。

確かに(奇数)次正方行列だと一致しませんね

では左辺を|-A|にしたら正しいですか
つまり|A|=α1*…*αn
で合ってますか？

det(xE-A)=x^n-(trA)x^(n-1)+・・・+(-1)^n*detA
　 　 　　　 =Π[i=1,n](x-α_i)

>>748
テキスト名とページ数を教えてください。

学校の先生が作った物で市販されているものではないのです
だからミスプリがあっても不思議ではないので恐らく先生の間違いかと思います
答えて頂いてどうもありがとうございました

じゃあ、そのＤＱＮの名前を晒せ！

負号が一つ抜けたくらいでDQNかよｗ

すいません。>>518で書き込んだものですが，べき乗法を用いて行列の固有値と
固有ベクトルを求めることはできたのですが，元の行列が重解を持っていた場合，
固有値は求められてもその固有ベクトルがうまく求められませんでした。
誰かアドバイスをお願いします。

基礎的な質問で失礼
行列の基本変形の方法は分かったんですが
「階数」が求まるような行列の変形方法で
統一的な方法ってあるのでしょうか

基礎的な質問で失礼
行列の基本変形の方法は分かったんですが
「階数」が求まるような行列の変形方法で
統一的な方法ってあるんですか

>>757
頼む！
参考書を読んでから質問してくれ！！

何のために基本変形するんだよ。

自分の思うとおりの女にするため。

>>756 the moral of the story。　固有値が縮退する事なんて行列の成す空間では測度0
なんだから無視しろ。実験的に計算機で試してどうやら重根があるみたい、となったら、
その証明に解析的手法を考えるべき。

＞固有値が縮退する事なんて行列の成す空間では測度0
＞なんだから無視しろ。
こういう場合は確率的には零なので無視すると言う立場もありますが、
数学では或る点を境に状況がガラッと変わる場合というのもあって
そういう場合その点での状況というのが重要となってくるわけです、と
教養のときの線型代数講義してた先生が言っててなるほどなーと思った。

4　0　-1　-1
-1　4　0　-1
0　0　5　0
2　1　1　7
上記の４×４行列についての質問です。

固有値が5(重複度4）となり、ジョルダンブロックの個数が2となるのはわかるのですが
この行列のジョルダン標準形の固有値5に属するブロックのうち、ひとつは３次、ひとつは1次になる理由がわかりません。

よろしくお願いします。

マルチ氏ね。つか最小多項式計算しとけ

＞765
すまん

最小多項式は3次か

定理：１次写像fについて、これが単射であるためには、
「f(x)=0ならばx=0」が必要十分である。

これを踏まえたうえで、次の問題。
・次の線形写像は単射であるか？
１．f(1)=-1,f(x)=1+xで定まるf:P1→P1

上の定理は分かるけど、いざ問題をとくとなると
よくわからん。具体的にはどうやって問題を解くのです？

>>768
p=ax+bに対しf(p)≡0なるとき、これはxに依らずf(p)=ax+(a-b)が0なることを意味する。
ゆえにa=0かつa-b=0すなわちp=0。ゆえにfは単射。

>>768
チェックすべき条件「f(x)=0ならばx=0」が分かってるんだから
計算するだけ。具体的に計算するだけ。何も悩むことは無い。

f(1)=-1=f(-2)

GTM
Linear Algebra
は良書だろうか？

>>768 線形写像、といえば普通y=axみたいなのだけだと思うが？アフィン写像のことなのか？
なら定理そのものが誤りだなあ。>>771が具体例出しているし。

>>697=764 のような馬鹿は相手にしちゃ駄目だよ。

>768 が定理と問題の x の意味が異なるのに P1 の定義を書かなかったとはいえ、
そういう感違いをするかなあ。

>>775
>>771と>>773はきっと自分では面白いことを言ってるつもりなんだとおもうから
そっとしておいてあげたほうがいいよ。

f(1)=-1,f(1)=1+1=2

f(1)=-1,ff(x)=f1+fx=-1+x+1=x
fx=0=1+x=0,x=-1

座標空間内の四面体ＡＢＣＤについて、各面の外向きの法線ベクトルを求めよ。
Ａ（７，２，６）　Ｂ（５，８，９）　Ｃ（４，０，５）　Ｄ（３，７，０）
がわかりません。面ＡＢＣについてだけでいいので、どなたか教えてくれませんか？

>>779
一次独立なべ句鳥日本使って平面の方程式出せばいっぱつやん。
わからんかったら次元を一個落としてみろ、めちゃすぐわかるぞ。

線形写像が同型であることを示すには、
単射かつ全射を示せばいいんですよね？

うｎ

f:R3→R3,f(u)=Au
ただし、 1 2 -1
A= 2 -1 1
-1 3 5
である。
ここでね、単射であることはすぐにわかるけど、全射であることは
具体的にどうやって示せばいいの？

>>783
rank-nullity theorem から自明

なにそれ？日本語で。
工学部1回にわかるようにプリーズ。

あー？まんどくせーな

階数と退化次数に関する次元公式から明らか。

何か最近にわかに質問が増えてきたなあ、

よろしくお願いします。

Ｒ＝|２２|
　 　|０２|
の固有値の出し方を教えてください

>>787
やっぱ「ここは質問スレじゃない」と突っぱねていったほうがいいか？

>>788
三角行列の固有値は見ただけで判るだろ、出し方とか釣りか？
ま、一度くらいはちゃんと定義どおり計算したほうがいいだろうが。

ここ質問すれじゃないの？
じゃぁなんのために有るんですか？

そもそも数学板は試験前にどの教科書にでも載ってるような問題を聞きに来て
親切な人が答えを教えてくれてそれを写して提出する為の板じゃないので。

なんか、質問に答えてくれないの？じゃああなたちは何のために居るんですか？
とか思ってそうな雰囲気だけど。

>>791の中では数学って質問と解答以外に何もないんだな……
可哀想に……

複素数体C上のr次元ベクトル空間は
r-1次元部分空間の有限個の和集合より
真に大きい。
これって、成り立ちますよね？
どうやって証明します？

>>794
超平面の有限集合の換わりにその法ベクトルの有限集合を考え、
それらのいずれとも直交しないベクトル（z1,z2,・・・,zr)の存在を示す。
次元rについての帰納法と定数でない1変数解析関数の零点が
集積しないことを用いれば、（z1,z2,・・・,zr)の存在が言える。

795の人、ありがとう！

>>795
つまり、代数多様体C^rは既約であると。

カーネル、イメージの話ですけど。
線形写像が行列で表される時のカーネルとイメージの基底の出し方を、
以下の行列で教えてください。

1 1 1 1
A=-1 -2 0 1
-2 3 -7 -12

カーネルの基底の出し方は分かるけど、いくつ基底を出せばいいのかが
わからない・・・。

基底の出し方がわかってて一組の基底が定まったんならそれ以上何もすることはないだろう

わからないのは、基底の数です。

>>800
は?

>>800
基底の濃度? それとも {基底} の濃度?

なんだよ{基底}ってｗ

>>803
ある線形空間の基底すべてのなす集合族だろう

基底に属するベクトルと基底とを呼び分けない変な流儀もあるにはあるな
自然数全体の集合と自然数とを呼び分けなかったりな

Vをベクトル空間とし、[v1,v2…vm]を一組の基底とする。
次の各線形変換f:V→Vと与えられた基底に対し、fの表現行列を求めよ。

V=<v1,v2>,
f(v1)=v1+v2,f(v2)=v2,基底[v1+v2,-v1+2v2]

基底が与えられていない時は表現行列の定義どおりにできるんですけど、
基底が与えられるとわからなくなります。答えを導くまでの過程を
教えてくれませんか？

>>806
表現行列の定義どおり、基底の行き先を基底で表せばいいだけ。
そもそも基底が与えられていないなら表現行列は定義できないから、
＞基底が与えられていない時は表現行列の定義どおりにできるんですけど
というのは矛盾している。

ああ、勘違いしてましたわ。
ありがとうございます。

線形代数の期末試験。
どなたかアドバイスをお願いします。
入門レベル〜ジョルダン標準形まで、
どの辺りをよく理解しておけば、全体像が掴みやすいでしょうか？
基底とか対角化とか固有値関連の問題は結構解けるのですが、
他のところも出来ないと気持ちが悪いので、聞いてみました。

全体を理解すれば全体像をつかめる。

>>802
{基底}

{爆笑}

どんなイメージなんだろう…

>>810
ですよね。そうします。

{　}

じゃないだけ自分は幸せです。

直和というのは何のために必要なんですか？

>>813 当方物理専門だが、物理では直和分解の方を重宝します。3次元の問題で
あったはずのものが角運動量保存する事がわかれば、2次元問題に帰着出来る、とか
9次元問題であったはずのものが対称性から1+3+5次元の直和分解になって話が
楽になる、とかそんな感じです。

直和自身は、814 と逆に、シンプルな構造のものを
組み合わせて新しいものを構成する場合に使うことが多い。

だメだ だミだ

今日の線形代数の試験絶対「不可」だ
平常点と合わせてもきつい
再試験なかったらどうしよう…

次の線形写像に対して零空間の基底を求めよ　と
次の線形写像に対して核空間の基底を求めよって
同じ問題だと思っていいんですか？

>>817
言葉の定義が同じなら同じ、違うなら違う。それだけ。

このスレの質問者、バカすぎ。基底が与えられたときの表現行列がわからないとか、単に本きちんと読んでないだけじゃない？

あら>>819は俺です、コテが入ってませんでした。

ﾁｮﾝとに馬鹿なんだな

線型代数と微積の質問は試験前の時期になると急増するのでｗ

一次従属の一次結合は、何故0なんでしょうか？

>>823
日本語でおｋ

有理数の無理数が1なのと同じ理由だよ。

>>823
一次従属も一次結合も分かっていない小学生現る！

age

４月から大学に通うのですが、一学期の必修に線形代数が含まれるようなので予習をしようと思っています
それにはどんな本がよいでしょうか
おすすめを教えて下さい

そんなことより政治を学べ
いかにして自民党を潰すかが先だ

>>828
線型代数入門／斎藤正彦／東京大学出版会

>>828
明解演習線形代数／小寺平治

>>828
文系か理系かも、学部も書いていないから一概には言えないが、
理系なら線型代数入門／斎藤正彦／東京大学出版会

文系で数学未受験なら、背伸びせずに高校の教科書からやり直せ。

まあ線型代数なんて何で勉強したって大した違い無いけどな

おい！岩波、早く松坂の線型代数復刊させろよっ！

線形代数の教科書は星の数程出ているが、自分に相性の合う本を探すのが良い。大学初年級なら、

キーポイント 線形代数（岩波書店）
基礎講義 線形代数学（二木昭人、培風館）
21 世紀の数学 線形代数（佐武一郎、共立出版）
線形代数入門（斎藤正彦、東大出版会）

だろうか、やや難しめの本で、

現代数学ゼミナール 線形代数学（伊吹山知義、近代科学社）
線形代数学（佐武一郎、裳華房）

線形代数学は微分積分学に比べ、やや議論が抽象的になりがちだ。なるべく演習問題（特に計算問題）に多くあたり、よく具体的な問題意識を掴むことを勧める。

http://ginjiro.blogspot.com

>>830-835
>>828です
遅くなりましたがありがとうございます！
東京大学の理科�T類なのですが、紹介してくださった何冊かを見比べて早速勉強しようと思います
本当にありがとうございました！！

どうせなら岩波の数学辞典でも買っとけよ
その他に教科書3種類くらいあればﾓｰﾏﾝﾀｲ

辞典類欲しいけど高い('A`)

大学院入試の問題で分からなかったので教えてください
（北大の問題）。
↓の問題の２ページの（２）なんですが・・・。
ttp://www.ees.hokudai.ac.jp/Div/nyushi/kigaku/H19/tougou_2006Aug.pdf
一応(a)は考えてみたんですが、固有値λ＝１として
行列式│A-λE│＝０となるようなＮを求めればいいのかな？

いやだ

>>837
高価な洋書でもすぐ買うクセに

>>838 いいでないかい？

このスレも前スレ、前々スレに比ぶれば質が落ちたな

どこが？
(｀・ω・｀)

お前を含めて

＞＞８４４
おまえがな

おまえもな

山本もな

伊奈川愛菓

流れ破壊して質問
線形代数を学ぶのに良いテキストって
ありますか？

ゼミがいいですね
予習復習短時間でできるし
応用力もつきます
特に線形代数のとこやばいほどきちんとおしえてくれます。

線形性ってあまりにも人工的で初歩的過ぎる

非線型やればいいじゃん

でも非線形って結局博物学に堕してる状態なので線形ほど豊かな理論体系がないんだよ・・・

>>851　こいつ絶対バカ。

>>854
まあ、お前もよく似たようなもんだがな。

>>855　いや俺の線形の実力は飛ぶ鳥を落とすいきおいで伸びています。

>>856
おまえの延びはＳ字カーブで近似できるので、じきに頭打ちになるだろう。

>>849
数学の本のスレで聞け

すこし、専門書を読んでからこちらのスレへ来ます。

Jordan 標準形の変換行列（P^-1 A P の P）って、どうやって求めてますか？
（せいぜい 5 次行列くらいで固有方程式が普通に解ける場合）
僕は斉藤にのってる方法（単因子論を使う方法）しか知らないんですが、
もっと効率のいい方法があるんでしょうか?

>>860　お前本当に斉藤の本きちんと読んだか？
そのＰを求める方法で単因子以外の求め方もきちんと斉藤に乗ってるよ！

p191の下のほうからｐ194ぐらいまでは、単因子を使わない変換行列の求め方が書いてあるじゃん！

>>860　単因子を使ってジョルダン標準形を求める方法は一般的だけど、
単因子を使ってジョルダン標準形だけを求めるとしても変換行列Ｐをともに求めるとしても、

常に単因子を使う方法が最良の方法とは限らない。

p192 の定理[2,4 ]にはジョルダン細胞による線形変換を考える方法によって単因子を使わない方法が書いてある。

９条は改憲してはならない。日本の為にならない。
日本人ではない朝鮮総連や民団でさえ、日本を心配して改憲への反対運動を行ってくれている。
私は日本人だが、「改憲すべき」などという者は、日本人として彼らに恥ずかしいと思います。

Ｑ．中国から身を守る為、戦争に対する抑止力が必要では？
Ａ．前提から間違っています。そもそも、中国は日本に派兵しようと思えばいつでもできました。
　　なぜなら、日本は９条があるため、空母や長距離ミサイル等「他国を攻撃する手段」がない。
　　つまり、日本に戦争を仕掛けても、命令をだした幹部の命や本国の資産は絶対に安全なのです。
　　にも関わらず、中国は、今まで攻めずにいてくれたのです。

Ｑ．日米安保も絶対ではないのでは？
Ａ．いえ、絶対です。
　　知り合いの韓国人の評論家もそう言っていますし、私も同じ考えです。
　　そして日米安保が絶対なら、日本を攻める国はなく、改憲の必要はありません。
　　米国と戦争をしたい国はないからです。

Ｑ．９条が本当に平和憲法なら、世界中で（日本以外に）１国も持とうとしないのはなぜか
Ａ．誤解を恐れずに言うなら、日本以外のすべての国が誤っているとも言えます。
　　「敵国に反撃できる手段を持つ国は攻められづらい」というのは、誤った負の考え方です。
　　（もっとも韓国や中国の軍に関しては、日本の右傾化阻止の為でもあるので例外ですが）
　　さらに日本の場合、隣国が韓国・中国・ロシアと、GDP上位の安定した国ばかりです。

【改憲】ゼンガクレン老闘士、国民投票法案廃案訴え 国会前集結 「ゲバ棒が杖になっても」
ttp://news21.2ch.net/test/read.cgi/dqnplus/1174412397/l50
【広島】憲法９条遵守を訴え　武器を持たない妖怪「ねずみ男」に扮した男が全国行脚
ttp://news22.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1175835543/l50

Googleがking仕様になったぞ
早く見てみろ

あれ、単因子使わないのは演習のほうにしか載ってないんじゃなかったっけ？
演習の前書きにはそういう風な書き方がしてあったような。

>>865　いや、普通に単因子論をもちいないやつがさっき言ったページにあるよ。

だめだ　俺のばかばか
線型落としそう

氏ね教授氏ね
お前の質問の仕方が悪いんだよかすかす
教科書の問題は解けるのに糞おおおおおおおおおおおおおおおおお

たしかに。
今の学生は教科書の問題しか解けないということを大学教員はもっと知るべきだな。

まて宿題とかで教科書以外の問題を出すのはかまわんが
テストで出すのは汚いだろ
何のために教科書買ったのか

>>870
つまり、こういうことですね？
　「教科書に書いてあることを暗記したら単位が取れるような試験であるべきだ」

なるほど、なるほど。
君の言うことは、よ〜く分か・・・るわけねーぞ、このマヌケが！
暗記してパスしたいなら、法学部でも行けよ！
算数に触れていたいなら、円周率でも暗記して悦に浸ってな！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 　 ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!

＞Ｑ．中国から身を守る為

やれやれソ連がなくなったと思ったら今度は中国かい。
なんか敵から鞭打たれないと快感感じないマゾが多いな（ｗ

＞Ｑ．９条が本当に平和憲法なら、
＞世界中で（日本以外に）１国も持とうとしないのはなぜか

他の国は、正義なんてものがあるとは思ってない。
だからといって、悪というわけでもない。

>>871
それは疑問だ
独創的な回答方式が常に頭に浮かぶべき
と求められるほうが数学に対してごうまんな気がするのだが
それに法学部は暗記だけじゃないと思うんだが

この汚らしい阿呆がぁ！

＞独創的な回答方式が常に頭に浮かぶべき
＞と求められるほうが数学に対してごうまんな気がするのだが
意味が分からん。

法学部は暗記だけじゃないってのは同意。いや良く知らんけどね。

えっ、法学部は暗記だけでしょ？

年数に0.8を掛けたり割ったりできるだけの計算力が必要。

法学部では六法を覚えるの？

雑談してんじゃねえよクソコテハン

話は変わるのだが、Rが単項イデアル整域のとき、有限生成R加群に対して単因子と不変系があるが、
これは線形代数の分野に入るの？

線形の教授視ね
間違い多すぎだカス
適当につくりやがって
くそおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお

どれだけ時間をかけさせる木だよ
くそおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお

本の間違いだと思ってたけど
よく理解してから読むと単に自分が間違ってるだけだったり、
そういうことはよくあるよね。

>>884
あるある

>881
　準同型ですから線形写像ですが、
　一般的には、線形代数じゃなくて代数学だと思います。
　それは微分方程式の解がベクトル空間をはるからといって、
　微分方程式は線形代数じゃなくて、解析ですよね？
　そう思いますが・・・。

非線形の箒星のようにとおくはやく〜♪

>>849　川久保　勝夫　先生の　「線形代数学」（版元とか、自分で確認してくる。）

行列の発展の歴史って知っている人はいますか？
あるいは、そういうことを扱っている本はありますか？

奇形代数

>>889
ぐぐってみるとこんなのが出て来るね。
http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html
これだけでもけっこう興味深い。

>>891

ありがとうございます。もうちょっと知りたくなりますね。
集合や連続の話はわりと色々読み物的な本があるのですが、線形代数となるとなかなか見つかりません。
線形代数を作った人は本当に天才だと思うので、その経緯を詳しく知りたいです。

この場合、線形代数って何を指してるつもり？

いわゆる線形代数は一人の個人が作った分野でないし　>982

>>892
グラスマンやケイリーの伝記でも読んどけ

線型代数って大学で教わる割には
線型代数学史みたいなことは何の教科書にも書いてないよね。
ふしぎふしぎ。

微積ほ本で歴史的アプローチってのは良く見るけど
線型代数だとなんかあまり見ないし

Bourbakiの数学史の上巻に「線型及び複線型代数学」の章があるから
読んでみるといい。Bourbaki自体も、大学の数学教育において線型代数が
中心的な教科となることに一役も二役も買っている。
あと抽象代数の歴史を書いた本なら線型代数も載ってるんじゃないかな。

amazonの斎藤の本のレビューで
＞(5) あとがきで、線型代数学に至る歴史がまとめられています。
とか書いてあるけど、俺が持ってる線型代数入門には載ってないような気がするんだが、、
うーん、、

>>895
書いてあっても殆どの学生は読み飛ばすからじゃない？

>>895

線型代数の歴史は難しいからじゃないの？
複雑だし内容も難解なわけ。
不変式論とも関係してるし代数曲線論とも関係している。
ハミルトンの４元数とも関係してる。
グラスマンの理論も難解だし。
射影幾何とも大いに関係してる。

>>898
それはそれで面白そうな本になりそうな気が

テレビの発明者が一人に同定し難いように、線形構造の発見は一人の
人間がすべてやったというようなものではないからなー。

グラスマンの理論の初等的解説はF.Kleinの初等数学にあった様な。
（英訳がDoverにあり。ただし抄訳。）

大勢の人間がからむほど歴史としてはおもしろい。
物理学の「力」概念の成立の経緯について
山本義隆がいろいろ書いているみたいに
線形代数についてもまとまった成書があると嬉しいんだが、
英語でもこれ１冊ってのはなかなかないんだろうなー。

ここは数学史のスレか？

ネタがないんだったら、余計な煽りはしなくてよろしい。

スレ違いではないんじゃない？

ましな（マジな）ネタ書け
初等的な質問は質問スレに

直線l:y=mxがx軸となす角をθとする。lに垂直な単位ベクトルとして、(-sinθ,cosθ )がとれることに注意して、lに関する線対称移動に対応する行列を求めよ、
という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

どこが垂直なんだ

あぁごめん符号見てなかった

>>906
開店＞歪軸対象＞逆回転

ところで、なんでこのスレで
よくわかる線形代数（石村園子）
叩かれてるの？

今、この本で勉強してるけど、不安になってきた……。
たしかに簡単だとは思うけど……あんまり難しくても理解できないし、問題がないとなぁ……。

>>910
ほかのまともな本を読めるようになったらすぐわかるよ。

東大出版の線型代数演習の問題を解けるようになってればいいのさ。
何を読むかは個人の自由。

すみません。書名間違えました。
やさしく学べる線形代数（石村園子）
でしたorz

>>911
まともとはどういう意味ででしょうか……？
間違いがあったりするのですか？

内容が薄っぺらすぎ

>>913
ふつうのまともな教科書読めば判るよ

すみません。>>441 は正しいと思うんですが、間違っているんでしょうか？
有限次元では f(X)=AX が単射であることと全射であることは同値なので。

>>916 どうして今頃になってのレス？で、見てみたんだがn次元空間からn次元空間への
全射＝単射は正しいが、それの証明はどうするの？ってことなんででしょう、他の人々の
反応は。で、どんな写像でもAB=EならAの全射は保証されているから、n次元からn次元への
線形な全射は単射になる、を示そうと努力してはいかが？蛇足かも知れないが、次元の唯一性
がキーだよね。

AB = E なら BA = E
但し行列の話

線形代数くらい中学の夏休みにでもやっとけ。

ベクトルから線形空間へ。
ベクトルは、本来は始点があって、方向と向きと大きさを持つもののことだが、
方向と向きと大きさを持つものもベクトルと呼ぶようになった。
その空間の線形空間の性質を抽出して、線形空間の概念が出来たのだろう。

ちがいます

線形空間の性質だけでは、線形独立である元を無限に集められる可能性がある。
ベクトルからの進歩のひとつだ。

線形代数学の基本事項とは何だろう？
線形空間の定義だけで線形代数学を学んだことにはならない。

>>923
数学よりも、人生とか女性の事を考えてみろ。いつまで中年変質者を
続けるつもりなのか？

talk:>>924 女性について何かあるか？

│a│=3
│b│=2
│a-2b│=4とする
(1)
a*bとCosθ(θはaとbのなす角)を求めよ
休んだのでﾜｶﾗﾅｽ

>>926
高校の教科書を読め

ユークリッド空間ではノルムと内積と角度との関係が出てくる。

基底、内積、線形写像、行列。

俺ここに来たばっかなんだが、何なんだよこのきもいヤツ。

お前も十分気もい。
＞俺ここに来たばっかなんだが、
との前置きとか意味不明

A(BC)=(AB)Cがなりたつことを証明せよ　を誰かお願いします。

> 俺ここに来たばっかなんだが、

この表現は、煽りッ子ちゃんによく見られるもの。
つまり、釣られた俺たちの負けだ… ('A;;;;::::

>>932

AB の定義を書いてみよ。

Ａ＝[Ａ ij]を(n,m)行列　Ｂ＝[Ｂ jt]を(m,k)行列とするです

>>935
>>934がそういう答えを求めていたようには思えないんだが

>>926
a-2bというベクトルを描いてみれ

転置行列ってどういう時に使えばｲｲんですか???

>>938
dual

dualって???
何もわかってなくてすいませんっっ

>>940
双対空間でググる

やってみます★ﾐ
(.＿･)ｼ

数学内部では単に整合性のある計算規則を提案するだけなのに、
それが物理や諸科学で有用な計算を与えるというのが線型代数の恐ろしい所だ。
まあ、結局は一次近似の有用性ってだけの話だろうけど、次は数学内部で発展させた
非線形の構造を物理や応用科学に提示するべき時期が今だと思う。

↑バカ？

べきゼロ行列の固有値がすべて０になることの証明はどうやるんでしょうか？
斉藤「線形代数入門」の章末問題にあるのですが三角行列に変換するという
ヒントがあるのみでわかりません。
教えてエロい人！

>>945
ぐぐれ

>>945
Ax=ax -> (A^n)x=(a^n)x -> 0x =(a^n)x　->
と考えるのはどう？

線形数学の参考書買いたいんですけど…わかりやすぃ参考書って何かありますか？教えて下さい(._.)

佐武「線型代数学」
斉藤「線形代数入門」
なまじっかの本よりかえってわかりやすい

行列について質問です。

行基本変形の手順の中に
「ある行をk倍（k≠0)する」というのが参考書に載ってたんですが、

|-1 -8 -2 -16 |
det| 0 8 -4 -32 |
| 0 12 2 25 |
| 0 -3 -10 16 |

これの行列式の一行目に-1をかけたところ、
行列式の値が変わるので駄目と指摘されました。

どう変わるからだめなのかがわかりません。
教えてもらえませんか？お願いします。

もっと簡単な行列で見ればわかりやすくて、たとえば
|1 0|
|0 1|
の1行目に -1 をかけて
|-1 0|
| 0 1|
にすると det の値は変わる。つまり、
その基本変形をすると、行列式の値は変わる。

>>951
それだと、他の数（例えば、2や3、-2など）もかけたら変わるって事で、
「ある行をk倍（k≠0)する」が成立しなくなりますよね？

駄目だという理由が知りたいです。

>>952
行の基本変形と行列式は別物だよ
何か混ざってないか？

you次数下げちゃいなよ

>>953
行列と行列式は別物ってことが教科書読み返してたらわかりました。
今まで勘違いしてました。

どうもありがとうございました。

丸暗記じゃなくてなんでそうなるのかちゃんと考えればこんな勘違いはしないのに。

行列式って言葉を適当に使う人が多くて困る

「この行列式を解くと・・・」 って何かと思ったら
A x = B を解くという意味だったとかよく聞くよね

聞きません

"行列式を解く" の検索結果 約 2,000 件中 1 - 10 件目 (0.35 秒)

detA=0を解くことを「行列式を解く」って言っちゃってる人は時々見る
まあ文脈で判断できるから流してるけど。

見ません。

正規直交系Ψ＝ΣciΨiからつくった密度行列ρ＝ΨΨ^tが

ρ＝Σci^2ΨiΨi^t,ρΨi＝ci^2Ψiを満たすらしいんですが、

そんなことどうしてわかるんですか？

Ψ^tはΨの転置行列です。

どうしてそんなことが分からないんですか？

>>962は普通の線形代数の問題じゃないから。
証明とか線形代数の本になさそう。

バカで間抜けな陰口大好き覗き見偽善おいぼれジジババは
合理的で常識的な対処が出来ずに幼稚な超能力ごっこに
終始する。ｗｗ

>>932
ρ＝ΨΨ^tは純粋状態の密度行列。
ρ＝Σci^2ΨiΨi^tは混合状態の密度行列。
両者が一致するのはiが一個のときだけ。
ρΨi＝ci^2Ψiは混合状態のとき成立つと思われ。
Ψ1=[a1 b1],Ψ2=[a2 b2]のときを試してみる。
このときa1^2+b1^2=1,a2^2+b2^2=1,a1a2+b1b2=0が成立する。

ρ＝[[r1 r2][r3 r4]]として
r1=c1^2a1^2+c2^2a2^2,
r2=c1^2a1b1+c2^2a2b2,
r3=r2,
r4=c1^2b1^2+c2^2b2^2,

ρΨ1＝[p1 p2]として
p1=r1a1+r2b1=(c1^2a1^2+c2^2a2^2)a1+(c1^2a1b1+c2^2a2b2)b1
=c1^2a1(a1^2+b1^2)+c2^2a2(a1a2+b1b2)=c1^2a1,
p2=r3a1+r4b1=(c1^2a1b1+c2^2a2b2)a1+(c1^2b1^2+c2^2b2^2)b1
=c1^2b1(a1^2+b1^2)+c2^2b2(a1a2+b1b2)=c1^2b1.
よってρΨ1=c1^2Ψ1.
上式の1を2で置き換えればρΨ2=c2^2Ψ2.
よってρΨi＝ci^2Ψi.

一般の証明は知らない。

>>964
誤爆ですか？

訂正
>>932 ×
>>962 ○

m次元線形空間Vとn次元線形空間Wがあって
基底をそれぞれ，v_1，…，v_m，w_1，…，w_nとしたとき，
V[×]Wの基底はv_i[×]w_jですよね？（[×]はテンソル積）．
例として，ユークリッド空間Rで，V=W=Rとしたとき，
適当にVの基底を1，Wの基底も1としたとき
V[×]Wの基底は1[×]1になり，次元は1ということですよね？
普通の直積V×Wの基底は(1,0)と(0,1)で次元が2となって，
これがテンソル積と直積の違いと認識していいでしょうか？
テンソル積がなんなのかよくわからなくて自分で直積との違いを考えてみたのですが…

>>968
それが違いというのはテンソル積に失礼な気がする。

線型空間なら、A と B のテンソル積は直積を用いて
　A [×] B = A×B / 〜
と書ける。ただし 〜 は同値関係で、
　(a, b) 〜 (b, a)
　k(a, b) 〜 (ka, b) 〜 (a, kb)
というもの。直積を適当な同値関係で割ってる分、
次元が変わってきている。

>>969
なるほど！
A×Bが元になって定義されているんですね，
上の例の場合だと，
(1,0)〜(0,1)になって合致しますね．
ありがとんす

>>970
　　　　　　　 　◤◥◣　　コーヒー噴いた
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行列の累乗根はどう定義されてるんですか？？
Aの固有値　λi>=0　のとき、N乗したらAになる行列が[n]√Aでいいんですか？？

>>971
何かマズかったでしょうか！？
教えてください！

いろんな定義の方法がある。そしてそれらのほとんどで、
B = A^{1/n} は B^n = A を満たしてくれる。

ただし「n乗したら A になる行列」は一般に存在しないかも
しれないし、複数あるかもしれないので、そのまま定義には採用できない。

>>969
おまえもテンソル積に失礼だろ。
テンソル積は直積が生成する自由加群を同値関係で割るんだから
もっとでかいよ。

まぁ何となく分かりたいだけでいいのなら
有限次元空間同士のテンソル積を考えて、とりあえず基底を全部並べて見ればいいだけだな

>>974
どーもです！

３時間粘ったが、よけい混乱…初歩すらできんかった

A=(x100)
(0x00)
(00x1)
(000x)
これの二乗と三乗のやり方がさっぱり…
Bもあるのですが…これは単位行列とやらですか？

>>978
2乗や3乗だったら普通に掛ければ良いよ

>>978
2次とか3次の行列の積は求められるんだろうな

>>978
かけてたらもうグチャグチャになってorz
>>980
言われるとイマイチ分かりません＿|￣|○
A=(x100 B=(00y1
0x00 000y
00x1 y100
000x) 0y00)
分割表示を用いてA二乗　A三乗　B二乗　B三乗　AB　BAを求めよってのが本来
やることなんですが、これからまた参考書片手にやってみます(´・ω・`)
出来なかった時、掛け方だけ教えてくださいorz
俺頭ﾜﾙｽorz

>>981これでOK?
行列ABを計算する場合、A、Bを次のようにみなす。
（・・・・）　　・　　・　　・　　・
（・・・・）　（・）（・）（・）（・）と言う風なベクトルの組として左と右の行列をみなす。
（・・・・）　　・　　・　　・　　・
（・・・・）　　・　　・　　・　　・
なお右の（）は縦4つ全部にかかっているとおもって。すると左4つと右4つのベクトルの内積は
全部で16通りある。左の一番上と右の一番左のベクトルの内積がこの２つの行列の積の一番左上の
角に来る。左の上から2番目のやつと右の一番左のやつの内積が積行列の左上の角の一つ下に来る。
・・・、とやって積行列の一番左側の列はおしまい。左から２番目の列の一番上は左の一番上の
ベクトルと右の２番目の（縦の）ベクトルの内積で、・・・とやっていく。

(１.１.１)(２.０.１)(-３.４.２)を通る平面の方程式はどう求めればいいですか？

>>983
平面はどのような式で与えられるかを考える
最悪の場合3点代入して連立させれば解ける。

代入するとdがわからないです。

>>985
どうせ定数倍が残ってるだけだろ…

どうすればいいの？

>>983
| x y z 1|
| 1 1 1 1| = 0
| 2 0 1 1|
|-3 4 2 1|

>>982
お陰様でそれっぽいのが解けました(つД`)
A2＝
x2 2x 0 0
0 x2 0 0
0 0 x2 2x
0 0 0 x2
AB=
0 0 xy x+y
0 0 0 xy
xy x+y0 0
0 xy 0 0
他略
これでもう限界です＿|￣|○

一年百八十一日十二時間。

一年百八十二日。

線形代数/線型代数 4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/

ｋｓｋ

. : .:::::::|:.:./: : : : : : :.:. : : :ヽ: : : : : : : ｀ヽ
. : .:::::::|:.//: : : : : :.:.:. :i､: : :ﾍ: : : : : : : : :.＼
. : .:::::::|//:/! :.／:.:.:.:. :! ヽ: : ∨: . . 　 　 　 ヾｰ‐- ､
. : .:::::::|/:（_ﾉ/:.:.:.:ｲ:. :.,'　　i: :.ﾄ､: : : . .　　 　 ﾍ
. : .:::::::|: : :_/__／/:. :/　　 l: :.!､!: : : ヽ : . . . 　ﾊ
. : .:::::::| '´/／　/:.:, ' 　 　 l: ,'　!｀ヽ: : ',: : : : : : :',
. : .:::::::|: /　　 /／　　　　 l/　 l,ｲ: : : :.i : : : : : : ∨⌒ヽ
. : .:::::::|,ｨ≠ミ､　 　 　 　 　 　 　 ∨: : |: : ',: :.|､: :.l
. : .:::::::|:;ｨ:::｀.:! 　 　 　 　 ,ｨ≠ミ､　∨: !: : :i: :.! ヽ: !
. : .:::::::|:ｉ. ｰ´ｌ　　　　　　 l:::::｀.:!ヾ .∧/:. ∨: ,' 　.}:!
. : .:::::::|ヽﾆノ　＼＼＼　 ! ｰ',!:!　./l:.:.:.:. : |:./ 　 ﾉ!
. : .:::::::|　 　＼＼＼＼＼`＝ '　/ノ:.:.:.:. : k'
. : .:::::::|　　　　　_＿　　　　　　/:.:.:.:.:,ｨ:. : ! ＼
. : .:::::::|｀､ ､ 　　ー '　　　_.. イ:.:.:.:.:./ |: :.,' 　　　そ…そろそろ、スレ終了
. : .:::::::|: .:ヽ ｀ ' ,ー: ..ｉ:´::|:. :. |/:.:.:./　.l:./　　今度こそ、念願の１０００を…
. : .:::::::|: . : .＼/: . : .,':::::::ｉ:. :./:.:,.:ｲ 　 l/
. : .:::::::|: . ;ｨ‐ ‐､: . /:::::::,':. :/／:. l
. : .:::::::|／/○ ∧/:::::::/:. :. :. :. :./

一年百八十三日。

>>995
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

1000ページくらいあって、入門から専門的な内容まで論理に飛躍なく連続的に進めるような日本語の本はありますか？
洋書ならいくらでもあると思いますが。

無いね。

もう少しで1000

1000　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。