分からない問題はここに書いてね２４７
>>784-797 (789,792,794を除く)
|a1,a2,a3,… ,an|
|a2,a3,… ,an,a1|
|a3,a4,… ,a1,a2| = Ｄ_n を ｢巡回行列式｣ とか言うらしい。
| … … … … |
|an,a1,…,a(n-1)|
いま ω =exp{(2π/n)ｉ} とおく。
第ｊ列(1<ｊ≦n)に ω^{(j-1)p} をかけたものを第1列に加えると、(k,1)成分は
C_k･{a1 + a2･ω^p +a3･ω^(2p) + …… + an･ω^((n-1)p) }, ここに C_k = ω^{(k-1)p}.
∴ {…} は D_n の因数。
p=0,2,…,n-1 についてこれが成立つから
Ｄ_n = C･Π[p=0,n-1] {a1 + a2･ω^p +a3･ω^(2p) + …… + an･ω^((n-1)p) }. *)
a1^n の係数を比べて C=1.
さて本題に戻ると a_k=k (k=1,2,…,n) より
p=0: a1 + a2 + … + an = n(n+1)/2.
p=n/2 : a1 - a2 + … -an = -n/2 （← nが偶数のときのみ) .
pの項とn-pの項は互いに複素共軛だから、積は実数である。
眠たいので, 後ry)
あとは自分でﾄﾞｿﾞｰ
[参考書]
古屋 茂: ｢行列と行列式｣ (培風館 新数学ｼﾘｰｽﾞ5) 増補版 (1959) p.41-42
藤原松三郎: ｢行列及び行列式｣ (岩波全書40) 改訂版 (1961) p.15〜16
佐武一郎: ｢行列と行列式｣ (裳華房 数学選書1) (1958〜1963) p.79
|a1,a2,a3,… ,an|
|a2,a3,… ,an,a1|
|a3,a4,… ,a1,a2| = Ｄ_n を ｢巡回行列式｣ とか言うらしい。
| … … … … |
|an,a1,…,a(n-1)|
いま ω =exp{(2π/n)ｉ} とおく。
第ｊ列(1<ｊ≦n)に ω^{(j-1)p} をかけたものを第1列に加えると、(k,1)成分は
C_k･{a1 + a2･ω^p +a3･ω^(2p) + …… + an･ω^((n-1)p) }, ここに C_k = ω^{(k-1)p}.
∴ {…} は D_n の因数。
p=0,2,…,n-1 についてこれが成立つから
Ｄ_n = C･Π[p=0,n-1] {a1 + a2･ω^p +a3･ω^(2p) + …… + an･ω^((n-1)p) }. *)
a1^n の係数を比べて C=1.
さて本題に戻ると a_k=k (k=1,2,…,n) より
p=0: a1 + a2 + … + an = n(n+1)/2.
p=n/2 : a1 - a2 + … -an = -n/2 （← nが偶数のときのみ) .
pの項とn-pの項は互いに複素共軛だから、積は実数である。
眠たいので, 後ry)
あとは自分でﾄﾞｿﾞｰ
[参考書]
古屋 茂: ｢行列と行列式｣ (培風館 新数学ｼﾘｰｽﾞ5) 増補版 (1959) p.41-42
藤原松三郎: ｢行列及び行列式｣ (岩波全書40) 改訂版 (1961) p.15〜16
佐武一郎: ｢行列と行列式｣ (裳華房 数学選書1) (1958〜1963) p.79
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