【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】

語ろう

語らん

語らん

語らんで数

語らん予想というのもあるな。
|a^b-c^d|=1の正整数解(a,b,c,d)が(3,2,2,3)に限るとかいうやつ。

>>5
すでに解かれております。

猫ｽﾚに…

>5

Paderborn大学のPreda Mih\u{a}ilescu氏により証明されたらしい。。。

"Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture",
P.Mih\u{a}ilescu: J. reine angew. Math., ５７２, p.167-195 (2004)

★東大入試作問者スレ５
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/874-876

Waseda Friday Seminar (2004.11.5)
　http://www.math.waseda.ac.jp/NTseminar/2004.html
　講演者： 多田 祐樹 (早大･理工)
　題名：「Catalan予想の証明の紹介」

マセマティカのサイト
　http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
　http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html

数セミ増刊（日本評論社）から
　鹿野 健: 「数学100の問題｣ p.104-105 (1984)
　吾郷孝視: 「数学・物理100の方程式」p.20-21 (1989)

age

語らん

talk:>>10 何やってんだよ？

>>11 あんた誰にでも絡むのな。
でも日本語おかしいよ。

talk:>>12 何やってんだよ？

671

171 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 07:50:10
次の問題をよろしくお願いします。
連立方程式
　x - y = 1
　x^y - y^x = 1
解が二組あるようです。

172 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 08:54:26
(2,1) , (1,0)

174 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 09:04:37
>>172
(3,2)もある。ほかあるんかな・・・

さくらスレ１８４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137072072/171-174

>15
　x-y=1 みたいな付加条件があったら簡単に解けるyo!

〔補題〕
　x,y,p,q は1より大きい自然数
　x - y = 1
　x^p - y^q = 1
ならば
　x=3, y=2, p=2, q=3.
　（Le Veque(1952), H.B.Yu(1999) ）

---------------------------------------------------------

元のカタラン予想:

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

P.Mihailescu: "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture",
J.reine angew.Math., ５７２, p.167-195 (2004).

補題の略証 (H.B.Yu,1999)
　x^p - y^q = 1.　　……　(*)
　x^p - y^q = (y+1)^p - y^q ≡ py +1.　(mod y^2)
　x^p - y^q = x^p - (x-1)^q ≡ (-1)^q･(qx-1).　(mod x^2)
　(*)より、y|p, x|q, qは奇数ゆえ xも奇数, y=x-1は偶数ゆえ p=2r.
　y^q = x^p -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1).　　　…… (**)
　2 ≦ GCD(x^r +1, y) = GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2.
　y = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1.
　x^r +1 = 2^a. 　一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2 より、a≧2,
　x^r -1 および y は4の倍数でない。e=1.
　これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
　　2^q = 2^(a+1) =2(x^r +1).
　　w^q = (x^r -1)/2.
　これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(q-2) > w^q.
　∴ w=1, y=2, x=y+1=3.
　3^r -1 = 2 より r=1, p=2r=2, q=3 (終)

　数セミ(1999.6)

age

カタラン数ってのは、直角二等辺三角形状の最短経路のことだった希ガス。

721

カタラン数ってのは↓のことだった飢餓ス。

Ｋ = �納k=0,∞) (-1)^k /(2k+1)^2
　= 0.915965594177219015054603514932…


Ｋ = ∫[0,1] arctan(x)/x dx
　= -∫[0,1] log(x)/(1+x^2) dx
　= (1/2)∫[0,1] Ｋ(k) dk
　= -∫[0,π/2] log|2sin(t/2)| dt
　= ∫[0,π/4] log|cot(x)| dx
　= (1/2)∫ x/sin(x) dx
　= -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)√x) dx
　= -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)^2･√x) dx
　= (1/8)∫[0,1] ∫[0,1] 1/{(1-xy)√[x(1-y)]} dxdy
　= 1 - �納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

age

語れよ

語らん

語る無かれ

カタラン数について語らんとするに

841

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_
　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

age

ｎ＋１個の数を掛け算するとき、掛け算の順序を決める括弧のつけ方の総数はいくらか

>>31
>>31
お前馬鹿かｂ
順序の定義のよって違うｂ
abcd = (ab)(cd) とする時、１通りか？ｂ
ab, cd の積の順番によって２通りか？ｂ
お前馬鹿か？ｂ
この馬鹿ｂ

209 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/19(水) 00:25:21

　Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
　お長居します。

さくらスレ１９０
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1145250000/209

>33
任意の素数pについて
　Ｃ(2k,k)･Ｃ(2n-2k,n-k) 中のpの巾指数 ≧ Ｃ(n,k) 中のpの巾指数.
を示す。
　Ｃ(2k,k)･Ｃ(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/(k!･k!･(n-k)!･(n-k)!),
　Ｃ(n,k) = n!/(k!･(n-k)!).

さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
　m!中のpの巾指数 = ��(e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことを示せる。(終)

※ p進表示 m=��(e=0,m) d_e･p^e を使えば pの巾指数 = ��(e=1,m) d_e･(p^e -1)/(p-1).

(補題)
　[2x] + [2y] - 2[x] - 2[y] ≧ [x+y] - [x] -[y].
(略証)
　x=[x]+{x}, y=[y]+{y} とおく。0≦{x},{y}<1.
　(左辺) = [2{x}] + [2{y}],　(右辺) = [{x}+{y}].
　　(右辺)=1　⇒　{x}+{y}≧1　⇒　2{x}≧1 or 2{y}≧1　⇒　(左辺)≧1.
　　(左辺)=0　⇒　2{x}<1 & 2{y}<1　⇒　{x}+{y}<1　⇒ (右辺)=0.
∴ (左辺) ≧ (右辺).

>34
　それぢゃぁ F(h,k,L) = (h+k+L)!/(h!･k･!L!) とおくとき、
　F(h,h,h) F(k,k,k) F(L,L,L) は F(h,k,L) で割り切れまつか?

>34
　Ｃ(2k,k)Ｃ(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/{k!k!(n-k)!(n-k)!},　Ｃ(n,k) = n!/{k!(n-k)!}.
x=k/(p^e), y=(n-k)/(p^e) とおいて 補題を使うんでつね。

>35
　うん.

age

523

C(n,r)を2項係数とする。Σ[i=0,[n/2]]C(n,i)･C(n-i,i)･4^(-i)=C(2n,n)/2^n を証明したいのですができません。どなたか教えて下さい。

x^nをかけてnに関して和をとる。
(1-2x)^(-0.5)

カタラン予想

265

あげ

825

288

　Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
　お長居します。

>>46
出展を述べよ。話はそれからだ！

>>46
http://blog.livedoor.jp/neet_blog/

>>48
Σ(ﾟдﾟ；)！

509

　Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
　お長居します。

>>21

　K = 1 - �納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).　

(略証)
K = �納k'=0,∞) {(-1)^k'}/(2k'+1)^2
　= 1 - �納k=1,∞) {1/(4k-1)^2 -1/(4k+1)^2}
　= 1 - �納k=1,∞) (1/k) (4k)^2/{(4k)^2 -1}^2
　= 1 - �納k=1,∞) (1/k) �納n=1,∞) n･(1/4k)^(2n)　　　　　(← r/(1-r)^2 = �馬･r^n )
　= 1 - �納n=1,∞) {n/(16^n)} �納k=1,∞) (1/k)^(2n+1)
　= 1 - �納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).

K　= 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167 …

もっとわかりやすくできませんか？

516

ベクトル空間Vの部分空間W1,…,Wkについて
V=W1+W2+…+Wkとする。この時次の三つの命題は同値であることを示せ。
(1)∀v∈Vに対しwi∈Wi(i=1,…,k)でv=w1+w2+…+wkとなる
{w1,…,wk}がただ一組存在する。
(2)任意のi∈{1,2,…,k}に対し
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)={0}が成り立つ。
(3)dimV=dimW1+dimW2+…+dimWkが成り立つ。

(2)⇒(3)は示せたのですが(1)⇒(2)、(3)⇒(1)はどう示せばいいのでしょうか？

723

>55をお願いします・・・

スレ違いだろ、ボケ。質問スレがあるだろ>57

720

149

二年九時間。

〔不等式064〕
　C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) 〜 (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),

(略証)
スターリングの不等式
　(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
　log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
　(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),

大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５

>65

log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)

age

俺が読んだ本だと木構造のパターン数と絡めて説明されていたわけだが＞カタラン数
なんでこれ絶対整数になるの？

228

231

052

何も語らん数age

238

112

三年。

うるさい。

456

711

King氏ね

Reply:>>79 お前に何がわかるというか。

カタラン布局

807

〔問題〕
　Ｃ[2n,n]/(n+1)　= (2n)!/{(n+1)!n!}　が自然数であることを示せ。

>>83

任意の素数pについて
　(2n)! 中のpの巾指数 ≧ n!(n+1)! 中のpの巾指数.
を示す。

さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
　m!中のpの巾指数 = ��(e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことが分かる。(終)

※ p進表示 m=��(e=0,m) d_e･p^e を使えば pの巾指数 = ��(e=1,m) d_e･(p^e -1)/(p-1).

(補題)
　0≦y≦1/2 のとき
　[2x] - [x] - [x + y] ≧ 0,
(略証)
　x = [x] + {x} とおく。0≦ {x}, y <1.
　(左辺) = [2{x}] - [{x}+y],
　・0 ≦ {x} < 1/2 のとき [2{x}] =0, [{x}+y] =0 で成り立つ。
　・1/2 ≦ {x} < 1 のとき [2{x}] =1, [{x}+y] ≦1 で成り立つ。

〔系〕　P≧2 のとき
　[2n/P] - [n/P] - [(n+1)/P] ≧ 0,

937

749

　�納n=1,∞) 1/Ｃ[2n,n] = (2(√3)/27)π + 1/3 = 0.73639985871871507790979516836492

　�納n=1,∞) 1/{n･Ｃ[2n,n}] = ((√3)/9)π = 0.60459978807807261686469275254739

　�納n=1,∞) 1/{n^2･Ｃ[2n,n}] = (1/3)ζ(2) = (1/18)π^2 = 0.54831135561607547882413838888201

　�納n=1,∞) 1/{n^3･Ｃ[2n,n}] = 0.522946192133335

　�納n=1,∞) 1/{n^4･Ｃ[2n,n}] = (17/36)ζ(4) = (17/3240)π^4 = 0.51109708258581525710477952336666

　�納n=1,∞) 1/{n^5･Ｃ[2n,n]} = 0.505429474683519
　�納n=1,∞) 1/{n^6･Ｃ[2n,n]} = 0.502676521478269
　�納n=1,∞) 1/{n^7･Ｃ[2n,n]} = 0.501325872688179
　�納n=1,∞) 1/{n^8･Ｃ[2n,n]} = 0.500658891297671
　�納n=1,∞) 1/{n^9･Ｃ[2n,n]} = 0.500328117739175
　�納n=1,∞) 1/{n^10･Ｃ[2n,n]}= 0.500163621220334


　Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] x^n = {1-√(1-4x)}/2x,
x=1/4 とおいて
　Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 2,
　Σ[n=1,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 1,

　Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = exp(2x){I0(2x)-I1(2x)},
　Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)(2n)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = I1(2x)/x,

>>83
Segner の漸化式↓を使えば簡単なのに･･･
　c_0 = 1,
　c_(n+1) = Σ[k=0,n] c_k･c_(n-k),　　　　(n≧0)

age

>>89
【漸化式】(Segner)
　c_n = (1/(n+1))Ｃ[2n,n], c_0 =1 とおくとき、
　c_(n+1) = �納k=0,n] c_k･c_(n-k),　　　(n≧0)


(略証)
マクローリン展開により
　1/√(1-4x) = �納n=0,∞) Ｃ[2n,n] x^n,
xで積分すると
　√(1-4x) = 1 - 2�納n=0,∞) Ｃ[2n,n](1/(n+1)) x^(n+1)
　　　　　　= 1 - 2�納n=0,∞) c_n･x^(n+1),
両辺を2乗して
　1 -4x = 1 -4x + 4�納n=0,∞) {- c_(n+1) + �納k=0,n] c_k･c_(n-k)} x^(n+2),
よって　{……} = 0, 　　(終)

四年。

914

878

　1/√(1-x^2) = �納n=0,∞) Ｃ[2n,n] (x/2)^(2n),
をxで積分して
　arcsin(x) = �納n=0,∞) 2Ｃ[2n,n]/(2n+1)・(x/2)^(2n+1),　　･････(1)
また,
　{arcsin(x)}^2 = �納n=1,∞) {1/(2n^2･Ｃ[2n,n])} (2x)^(2n),　･･････(2)
特に x=1/2 のとき
　(π/6)^2 = �納n=1,∞) 1/(2n^2･Ｃ[2n,n]),
　(π^2)/6 = �納n=1,∞) 3/(n^2･Ｃ[2n,n]) = ζ(2),

(1)^2 = (2) より
　�納p+q=n-1] Ｃ[2p,p]/(2p+1)・Ｃ[2q,q]/(2q+1) = 2^(4n-3)／(n^2･Ｃ[2n,n]),

727

720