フーリエ変換とラプラス変換

工学系でよく使う、フーリエラプラス。
これについて議論するスレッドよ。
まんすぇえええええええええええええええええええ

と言って、いきなり質問を書き込む↓>>1

微分方程式を解くとき、どのように使い分ければいいんですか？

女の子はフーリエ、漢は黙ってラプラス。これ定説

ラプラス変換の分かりやすいテキスト教えれ
去年授業取らなかったら、今年になっていきなり必要になって困っておる。

両側ラプラス変換あるなら、フーリエ変換っていらないんじゃないんですか？

対象とする関数を超関数まで拡張したFourier変換を考えると、
Laplace変換はFourier変換から導けるが、逆は不可能。

>>7
お前、kingだろ。

フーリエ変換の優れているところは
FFTというアルゴリズムが存在するところだろう。

Re:>>8 私を呼んだか？

フーリエ積分かなりメンどい。
今死んでます。

あなたはしゃぶり大魔王ですか？≫10

何を云う。おしゃぶり幼女ですよ。

どだい、フリエなんて、このアスキーでは記述がでねーよ

kingﾀﾝって数学板の全部のスレに目を通してるの？
画像スレでも見かけたんですが・・・・・

Re:>>15 昔に無くなったスレは見てないものもあるが。

kingは非整数人いるからな

Re:>>17 何考えてるんだよ？

king は無理数人いるからな

Re:>>19 何考えてるんだよ？

無限時間窓ほすい！
ブラックマン−ハリス窓でがむばってるが・・・

kingは複素数人いるからな

フーリエなんて、古ーいえっ　!


なんちってー。

てへ。

>>23
喪舞いかわいいな。
女の子だったら付き合ってください。

Re:>>22 ハレルヤにそういう歌詞があったような。

the King of kings というのがあった。

チャンピオン

おお神よ彼を救いたまえ

ライアライアライアライ　♪

俺と友人のカラオケの定番じゃないか
友人が下パートで俺が上パート歌う。

最後の電話をー　握りしめてー　♪

なにもー　話せずー　ただー　じっとー　−　　♪

>>26
ハレルヤコーラス
the King of kings, Lord of Lords

Lord of the Rings

「　アリス　」こそ、数学板にふさわしい　ｸﾞﾙｰﾌﾟでは

ないでしょうか、　ルイス・キャロル　さん　?


パッパー　　かわいいー　あのこはー　ルイジアナー

いつでーもー　俺をー　だめにするー　♪


って、キャロル　違いでしょっ　!

なんちって

てへ

ルイス　イズ　ホーモー

キャロルがちでロリコン

♪　きみは　ファンキ　モンキ　ベイベー

　おどけてるよー　　♪


OK ｼﾞｮﾆｰ　　♪　ﾁﾗｯﾗﾗ　ﾗﾗﾗﾗ　ﾗﾗﾗﾗ　(ｷﾞﾀｰ　ｿﾛ　)

突然　爆発音　

ルイスのオタククイズ
１　茶会で飲んでいた紅茶のブランドは何
２　使っていたカップのブランドは何
３　アリスの３サイズは？
４　アリスの服のレースのブランドは何
これはタイムレースです。

>38　常識だよね

1-リプトン
2-ﾎﾞｰﾝﾁｬｲﾅ　made in Japan
3-70-60-70
4-ﾙｲ・ｳﾞｨﾄﾝ

Heaviside関数H(x)=１（ｘ＞０）、＝０（ｘ＜０）のフーリエ返還を求めよ。

Any way, I'm the King of kings.

Re:>>40 それを微分したらインパルス関数になる。後はフーリエ変換の公式がつかえる。

インパルスって面白いわ。
つか、てめーら真面目に書けよフーリエラプラスについて。

レオパレスって面白いわ。
つか、てめーら真面目に書けよ藤原紀香について。

>>38
1. 静岡緑茶
2. 九谷焼
3. 90-90-90 あっ、すまんこれ俺だ
4. F1

がんばるきみーへーえーるをーすたとふぉらいｆじゃねえよ。
真面目に書けよ。藤原ﾉﾘｶＬＯＶＥ。
じゃなくて書けよ、フーリエラプラス。

>>41
それほど簡単じゃないきがするが。微分すると定数のギャップが生じるので。
41の方法で得るためには、次が解けなければならない。

定数関数１のフーリエ返還を求めよ。

>定数関数１のフーリエ返還を求めよ。

答え：ガンマ函数

>>47
ガンマでなくてデルタ関数の間違いだろ？
でも、これはフーリエの反転定理から得られるけど、
直接証明がほしいところだが。

１のフーリエ変換がδであることの直接証明は？

Γ関数ってなんでガンマってなづけたの？
δ関数もなんで？

>>48
ネタにマジレス乙

∫[-∞→∞]e^{2π i x t}dt を超函数の意味で普通に
計算すればδ函数になる。

ﾗﾌﾟﾗｽ変換,ﾌｰﾘｴ変換,ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ変換,ﾒﾘﾝ変換
ぐらいしか知らんのだが
他に何かあんの？

あと今一番熱い〜変換って何？ﾏｼﾞﾚｽ頼みます

すんごい質問なんですけど、1/tのラプラス変換って何になるんですか？＆その解はどのようにしてだすのですか？どうか教えてください、お願いします。

>>51
医学ならフォトショップ変換。これで君もネイチャーに論文ゲットだぜ！

>>51
ヒルベルト変換とか

寒いのなら、科研費COE申請書類捏造変換

>>52
∫_[0,∞](1/t)e^(-st)dt
≧∫_[0,1](1/t)e^(-st)dt
≧∫_[0,1](1/t)e^(-s)dt
≧e^(-s)∫_[0,1](1/t)dt
≧e^(-s)ln|t|_[0,1]
≧∞　for　all　s∈R+

ﾗﾌﾟﾗｽ変換できない

>>56
そうなんですか・・・ありがとうございます。となると、さらに質問なのですが、
(simh3t)/tや(sin2/t)t^(-0.5)など、分母にｔがかかってるときのラプラス変換はどのようにしてといたらいいのですか？どなたか解答をお願いします。

「よくわかるラプラス変換」を読む

>>57
おまいはﾗﾌﾟﾗｽ変換できるかどうか検証すらしないで質問するのか

ラプラス変換お願いします。
f(t)=e^(-3t)*sin(5t)*u(t-4) （u(t)は単位ステップ関数）
課題で困ってるのでよろしくお願いします。

Re:>>60 部分積分。

z変換はラプラス変換の下位互換てことでおけ？？

>>60 宿題レベルの問題は質問スレへ

電気回路でよく使いまくるな、フーリエラプラス。
好きよぁああああああああああああああ

>>64
どうした、もちつけ

津川光太郎（名大多元数理・助教授）

非線形波動方程式の可解性、解の漸近挙動について研究しています。最近は特に、
水の表面波に興味を持っています。とても身近な対象であり、物理実験も行い易い
ため、多くの研究結果があります。これらの結果に対して数学的正当性を証明する
事と、その過程で解析手法を発展させる事が目的です。Bourgainによる理論以後、
ここ10年大きく発展中である調和解析的手法を用いて、新たな発見が得られるのでは
ないかと思っています。
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/people/faculty-07.html#tsugawa

回転を解析したい。
時刻 0≦t＜T での物体の座標が v(t)=(x(t),y(t)) であるときに、
その運動を離散周波数 f=0,f1,f2,…fs による円形の回転(CCW)に展開したい。
x(t)=Σ[f=0,f1,f2,…fs]A(f)cos(2Πf)
y(t)=Σ[f=0,f1,f2,…fs]B(f)sin(2Πf)
のような感じ。
どうすれば (x(t),y(t)) と (A(f),B(f)) が一対一対応するようになるだろう？

例を書き忘れてた。
例えば太陽から見た月の動きを解析すると
地球の公転と月の公転にわかれるとかそういうことね

3体問題は円運動じゃないから…

初等的な質問ですみませんが，どなたか教えていただけませんか．
今，Fourier逆変換を求めようとしているんですが，被積分函数が，
F(k)=f(k)/k
のような形でf(k)は分岐点をk=0に持っています．これを逆変換するのに
留数定理でやろうと思うんですが，分岐点に極がある場合も例えばsin(x)/xの定積分
を求めるような方法でやればいいのでしょうか．

「よくわかるフーリエ変換」を読む。
初等的な質問ですみませんという話でしたｗ

偏長楕円体関数で展開してる人いますか

f(k)/kのフーリエ逆変換はCauchyの主値で積分するという定義となっている。
f(k)/kkなどは1/kk＝-d(1/k)/dkとフーリエ逆変換と微分の関係から計算する。

spheroidal は男のロマン

>>70 へ
>>73が答えだよ。
詳しく知るには、Schwartzの物理数学の方法を読むべし

転載
ラプラス変換を用いて次の初期値問題を解け。

(1) y''+4y=sin2t, y(0)=1, y'(0)=1

(2) y''+4y=sinωt,y(0)=1, y(0)=1, y'(0)=1, ω^2≠4

>>73
分岐点があるので，少し混乱していました．
どうもありがとうございました．

再び70です．
75さんもありがとうございます．

>>76
教科書の演習問題なら質問スレへ

崩れ博士・PD研究スレッド　PART2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115731497

sin(2/t)/√t
このラプラス変換をしたいのですが、解き方がわかりません。
答えはわかっているのですが、どういう風に解くのかがわからないので
教えてください。お願いします。

(1/2i)(e^i2/t-e^-it/2)t^.5

お答えいただいてありがとうございます。
質問なんですが、e^i2/t-e^-it/2の前半はわかるのですが、後半がわかりません。
e^-i2/tではないのですか？
後、この式にe^-stをかければ答えに到達するのですか？
質問が多くてすいません。

L((1/2i)(e^i2/t-e^-i2/t)t^.5 ）

回答ありがとうございます。
質問が多くてすいませんでした。

高速フーリエ変換の計算法とかあったら教えてください。
あは★

e^(1/t)のラプラス変換はどうすればいいのか教えてください。
お願いします。

lim[t→∞]e^(1/t)=1
つまりL変換できない

解答ありがとうございます。
もう一つ質問なんですが、
e^(a/st)/√tのラプラス変換はどうなるのでしょうか？
教えてください。お願いします。

>89
　a/s=-b, Re(b)≧0 とする。 √(bs)=a' とおいて
　∫exp(-st -b/t)/√t dt = (2/√s)∫exp{-x^2 -(a'/x)^2}dx
　= (2/√s)exp(-2a')∫{-(x-a'/x)^2}dx
　= √(π/s)･exp(-2a')
　= √(π/s)･exp{-2√(bs)}.
　高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店 (1961), p.200, 練習問題(4)-(10)

単位ステップ関数u(t)のフーリエ変換が
(δ(f)/2)+(1/j2πf)
になる計算過程が分からないんだけど誰か分かる人教えて下さい。

変換表を見るか複素積分すればいい

>>91
u'(t)=δ(t)
両辺をフーリエ変換して
j2πfU(f)=1
ここで2πfδ(f)=0より
j2πfU(f)=1+k2πfδ(f)　(kは定数)　　・・・・・・・※
U(f)=1/j2πf+kδ(f)/j　　・・・�@

kの値を求めるために
u(t)+u(-t)=1をフーリエ変換して
U(f)＋U(-f)=δ(f)　　　　　・・・�A
�Aを�@に代入して
k=j/2
これを�@に代入し直して
(δ(f)/2)+(1/j2πf) 　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D　

※の式を与えなければならない理由が俺もよくﾜｶﾗﾝ。
k2πfδ(f)を加える理由知ってる人いたら教えて。

一流雑誌（藁）にいくら論文載っけようが、コネの作れない奴は
一様にＤＱＮというのはお約束です

(1)　f(x)＝（exp(-ax)*sinbx)u(x) (a>0)
(2)　f(x)＝（exp(-ax)*cosbx)u(x) (a>0)
u(x)は1(x≧0)　0(x<0)のベビサイドの段階関数である。
のフーリエ変換ってどう攻めていけばいいですか？

talk:>>95 部分積分。

f(t)のフーリエ変換をF(w)とすると、-jtf(t)のフーリエ変換ってどうやればいいんだろう？
時間微分性質に似たようなのがあるけど逆フーリエ変換だしお助け＝

ラプラス変換のテストがあるんだが、
変換表って問題用紙に普通のせるものなのか？

書いてないでしょ。普通

作ればいいじゃない

e^(-ct) cos(ωt+φ)のラプラス変換を頼む

米粒にかいておけばいいじゃないか

talk:>>101 ここはお前の日記帳じゃないんだ。

>101
　£{e^(-ct)cos(ωt+φ)} = Re[ £{e^(-ct +iωt +iφ)} ]
　= Re[ e^(iφ)･£{e^(-(c-iω)t)} ]
　= Re{ e^(iφ) / (ｓ+c-iω) }
　= Re{ e^(iφ)･(ｓ+c+iω) } / {(ｓ+c)^2 +ω^2}
　= {(ｓ+c)cosφ -ω･sinφ} / {(ｓ+c)^2 +ω^2}.

age

>>102
ｸｿﾜﾛﾀ。

今だから言うと、ラプラス変換表は爪に書いてました。

瓜に書いてたの？

age

ポケモンかと思った

e^(-a*x^2)　のフーリエ変換教えてください（a>0）

age

漏れはメガネのフレームに

age

ラプラス変換は原理を理解することは難しい

フーリエ変換
正値関数→正定値関数

ラプラス変換
正値関数→完全単調関数

質問いいですか？
教科書に特性関数の定義があってこれはフーリエ変換である
と書いてありますが、特性関数はフーリエ逆変換ではないでしょうか？

周期2πをもつ次の関数のフーリエ級数展開を求めたいです。
f(t)=ct(-π<t<0)
f(t)=0(0≦t<π)
f(t)=-cπ/2(t=π)
どのように求めればいいのでしょうか
ttp://www.sendai-ct.ac.jp/~shimizu/fouries/chapter1/c1s2.html
などを読んでもよくわからなかったので、ヒント程度でいいのでお願いします。

フーリエ級数について知りたい工業大学１年生です。
音などの周波数成分解析をしたいということが最終目的です。

現在「なっとくするフーリエ変換」という名の教科書を使って学習しておりますが、
ところどころ納得できません。

音の周波数成分解析という工業的な目的だけではなく、
数学的にしっかりと理解したいとも思っています。

その目的を達成するためにお薦めの教科書を教えてください。よろしくお願いします。

フーリエ変換は、時間関数を周波数関数に変換するものでしょ？
波の周波数特性を解析するときとか。

じゃあラプラス変換は？微分演算子とか書いてあったけどなにそれ。
収束因子を掛けて、積分範囲を有限にしたら、物理的には意味が無い変換になるの？
ラプラス変換って何のためにあるの？

うちの学校のフーリエはこれを使ってる
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4901683152/249-9620780-6842726

>>116
複素数だからe^{iz}でもe^{-iz}でも大して変わらない。
どっちかけてもその人の趣味、分野の趣味による。
というわけで確率論の趣味ではe^{iz}をかける。

>>119
ラプラス変換は，初期値問題の解析に向いていて、
フーリエ変換は，境界値問題の解析に向いています。

>>118
なっとくするフーリエ変換は、理工系での内容としては
高度なものです。そして、物理数学の力がつきます。
数学としてきちんとしりたいのなら、向いていませんが、
嘘はかいていていませんから。

Who　Rie ?

F^(-1)[ F[ f(t) ] ] = f(t)
は数式で示すことは可能ですか？f(t)がどんな関数であれ、です。
フーリエ変換して逆フーリエ変換したものは、元の関数と同じものが得られますよね。

(1/(2π))∫∫f(t)*exp(-jωt) dt exp(jωt) dω 積分範囲省略

･･･どうしたらf(t)にもっていけるでしょうか？
部分積分やら、色々とからかってみましたが私には無理でした。

>>124
>フーリエ変換して逆フーリエ変換したものは、元の関数と同じものが得られますよね。

とは限りません。連続性などのチェックをしてください。

>(1/(2π))∫∫f(t)*exp(-jωt) dt exp(jωt) dω 積分範囲省略

変数が滅茶苦茶です。
内側の積分の tと外側の積分にある tは別物ですので
文字を変えた方がわかりやすいかと思います。

age

建設系だけど、建物の劣化モデルでフーリエ級数使って表せと教授に言われたから勉強中っす。卒論だけにいい加減なことはできないし。
むずかしいね。
わかりやすい参考書ご存じなら教えていただけたらありがたいです。

>>127
以下の本を図書館や本屋で見てから、借りてもいいし、もし良かったら買ってみるといい
本です。以下の本は初心者には親切な本の本だと思います。
[数列と級数のはなし―等差数列からテイラー級数・フーリエ級数まで:鷹尾洋保:日科技連出版社]
[すぐわかるフーリエ解析:石村園子:東京図書]
[なっとくするフーリエ変換:なっとくシリーズ:小暮陽三:講談社]
[フーリエ解析と偏微分方程式:技術者のための高等数学:E.クライツィグ:培風館]

>>93　へ

u'(t)=δ(t)
両辺をフーリエ変換して
j2πfU(f)=1
ここで2πfδ(f)=0より
j2πfU(f)=1+k2πfδ(f)　(kは定数)　　・・・・・・・※
U(f)=1/j2πf+kδ(f)/j　　・・・�@

これは、「j2πfU(f)=1」を超関数U（ｆ）について得とその一般解は U(f)=1/j2πf+kδ(f)/j　　・・・�@ ということ。
それは微分方程式「u'(t)=δ(t) 」の一般解をフーリエ変換していることに対応する。

>>128 ありがとうございます。図書館探してみます。


ようやくできたと思ったら、中央部を中心に180度回転させたような線になっちゃったよ。。先は長いなあ。

f(t)=(t+1)^2のラプラス変換がわかりません！
計算過程を教えて下さい。

age

450

>>131
あまり自信ないけど，ラプラス変換表から
L{t^(n-1)/(n-1)!} =1/s^n
だから，
L{t^2}=L{2*t^(3-1)/(3-1)!}=2*1/s^3=2/s^3
となる．
あとは時間推移をさせればいいから
L{(t+1)^2}=e^s*L{t^2}=e^s/s^3
じゃないかな？

フーリエ変換で周波数空間に変換してその複素共役を逆変換すると
実部はX=0で対象に、虚部はX=0とY=0で対象になるっぽいのですがなんでこうなるのか良く分かりません
分かりやすい解法か何かを教えてもらえないでしょうか？

↑式で説明できんかなー

135　工学部は知力ないのかよ？あたりまえだろ。

ｆ（ｘ）：ｒｅａｌとすると、
そのﾌ-リエ変換の式
F（ｗ）＝∫f(x)exp(-i2πwx)dx として、
G(w)=「F(w)の共役」=∫f(x)exp(i2πwx)dx=∫f(-x)exp(-i2πwx)dx
よってG(w)の逆変換はf(-x)

f(x)が虚数の場合、上のf(x)にif(x)を代入すればいいし

ｆ（ｘ）：純虚数をとる場合、
そのﾌ-リエ変換の式
F（ｗ）＝∫f(x)exp(-i2πwx)dx として、
G(w)=「F(w)の共役」=∫-f(x)exp(i2πwx)dx=∫-f(-x)exp(-i2πwx)dx
よってG(w)の逆変換は-f(-x)

　

新スレたてちゃたよ。
[フーリエ変換が趣味です。]
http://hobby8.2ch.net/test/read.cgi/hobby/1133005088/

　　∩且つ /
　　(　･x･)ι　私のスレですね
`　く|　Y|V
　　ﾚ| ||
.　　(＿).)

物理雑誌「パリティ」の12月号にジョゼフ・フーリエの記事が載ってます。
http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/magazine/parity-back/parity2005/2005_12/512_cont.html

伝記的な内容です。
ぜひ読んでみて！

ガウス分布のフーリエ変換ってどうやるの??

普通に積分する

なにも積分センでも

一回くらいは積分してみたらええんちゃう？

ネット上で
フーリエ変換、逆変換の
ソフトおいてるところ知りませんか？
できればフリーで。

フーリエ変換は実数と複素数を結びつける大事な変換

問題　

F（ｗ）＝∫f(x)exp(-i2πwx)dx で定義されるフーリエ変換
の固有値を全て求めよ。

すなわち
∫f(x)exp(-i2πwx)dx＝λf(w)
となるλを全て求めよ。

ただし、f(x)＝／＝０

ココで問題出さんでいい

∫_[-∞,∞](sint/t)e^(-jwt)dt のフーリエ変換で矩形関数が得られるのはわかるんですが、
これを有限域で積分した場合、例えば[-1,1]とかの変換はどう考えればよいですか？

これ、考えてみてと先生に言われたんだがさっぱり。

いや積分しろよまずは

>>153
これ難しいね

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

>>153
できないんじゃない？実際に使うときには
級数展開で近似で求めるとか

>>157
うん。私もあきらめました。
展開したのもやってみましたが、一次か二次で近似できないとあんまり意味ないですし。
スレ汚しですみません。

有限域での積分って、矩形窓を掛けたフーリエ変換と同じ扱いだから、
フーリエ変換に sinc 関数を畳込んだものになるのでは。

108

ね氏gnik
これならレスできまい

talk:>>161 お前に何が分かるというのか？

king SUGEEEEEEEEEE!

talk:>>163 何だよ？

>>93
k2πfδ(f)を加える理由は、超関数の範囲でｆG(f)=0をとくと、G=ｋｆ（ただしｋは任意定数）であるから。

>>165
半年前のレスに何を一転だ？

>>166
れいがないので催促した

578

463

age

複素フーリエの係数の意味がわかんないよ〜！ヽ(｀Д´)ﾉｳﾜｰﾝ

あれじゃないの。周波数＝色でその色の成分の強さベクトル。

周波数＝色じゃねえよバカ
視覚の仕組み勉強しなおせ

基本角周波数ω0=2πf0、周期T0=1/f0の周期関数y(t)において
フーリエ級数　y(t)=a[0]+Σ{ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)}・・・(1)
フーリエ係数：an, bn
(1)式をオイラーの定理を使って指数関数で表現すると
複素フーリエ級数　y(t)=Σαn exp(jnω0t)となり、このとき、
αn=1/T・∫y(t)exp(-jnω0t)dtが複素フーリエ係数である。

周期関数y(t)のフーリエ変換Y(f)は周波数間隔f0のインパルス列であり
その係数、つまりY(f)の標本値であるY(nf0)は
複素フーリエ係数αnと等しい。

>>172
実フーリエのなら意味分かるの？

>>175-176
ありがとうございます。
いろいろ勉強したところ複素数の係数が意味するものは
なんとなくイメージできるようになったのですが、
実フーリエ級数⇒複素フーリエ級数へ導く段階において

n=0 のとき
αn = a0/2

n>0 のとき
αn = an/2 + bn/2j

n<0 のとき
αn = an/2 - bn/2j

としているのがいまいち納得できない感じです。
結果からみて正しいというのはわかるのですが、
なんか理解が曖昧です・・・。

>>177 それは、わざわざそう置いたのではなく、必然。
y(t) = a0/2 + Σ{an・cos(nω0t)+bn・sin(nω0t)}
オイラーの法則により
=a0/2+Σ{ an・(e+e-)/2+bn・(e-e-)/(2j) }
eの指数が正同士、負同士をまとめると
=a0/2+Σ{an・e/2+bn・e/(2j)} + Σ{an・e-/2+bn・(-e-)/(2j) }
e項を外に出して
=a0/2+1/2・Σ{an+bn/j}e + 1/2・Σ{an+bn(-1/j)}e-
bn項の分母分子にjをかけると
=a0/2+1/2・Σ(an-jbn)e + 1/2・Σ(an+jbn)e-
ここまでのe=exp(jnω0t)、e-=exp(-jnω0t)、Σはn=1 to ∞の意味。
以下、(Σ)はn=-n to -∞、の意味として、
=a0/2+1/2・Σ(an-jbn)e + 1/2・(Σ)(a-n+jb-n)e
ここでフーリエ係数に関してa-n=an, b-n=-bnを利用すると
=a0/2+1/2・Σ(an-jbn)e+1/2・(Σ)(an-jbn)e
以下、[Σ]はn=-∞ to ∞,n≠0の意味だとして、上式のΣを１つにすると
=a0/2+1/2・[Σ](an-jbn)e
=a0/2 + [Σ]{(an-jbn)/2・e}
以下、【Σ】はn=-∞ to ∞の意味だとして、
=a0/2+【Σ】{(an-jbn)/2・e}-{(a0-jb0)/2・e}
n=0の場合、b0を計算すると0になり、e=exp(jnω0t)=1だから
=a0/2+【Σ】{(an-jbn)/2・e}-a0/2
=【Σ】{(an-jbn)/2・e}
複素フーリエ係数αn=(an-jbn)/2とおけば
=【Σ】{αn・exp(jnω0t)}

490

F(s)=∫[0,∞]f(t)exp(-st)dt
f(t)=(2πi)^-1∫[c+i∞,c-i∞]F(s)exp(st)ds

F(s)=∫[R^n]f(t)exp(-2πist)dt
f(t)=∫[R^n]F(s)exp(2πist)dt

複素形フーリエ級数って何のためにあるの？

マジレスを期待age

何の為にあるのかではなく、解析接続により自然に導かれるんだよ。

an、bnとかの式は複雑な波の形を分解する為にあるんだよね？
複素形のあの式（Cnがどうとか）を使うと何のメリットがあるのよ。
いまいち目的がわからんのだよね。これ。
サクッと答えてやって下され。

スウ：フーリエ解析
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4627930100/503-0792667-3256753?v=glance&n=465392

数学ブックガイド１００にも紹介されてたお。
工学と銘打ってあるからと言って舐めてかけて犯してｑあｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ

>>184
an, bnのままだと三角関数の式になって計算が難しい。
複素フーリエ級数にすると、指数関数の式になって計算が簡単になる。

さらに、複素フーリエ係数は、周期関数の離散フーリエ変換そのものであり
周波数解析の常套手段であるFFTに直結する理論でもある。

>>186
ありがとう。納得できた。
ウチの講義聞いてるといきなり
「オイラーから式がこうなってこうなるよ。だから計算できるように。」
みたいな事で何のために？と思う事が多々。
毎回調べて補うんだけどこれは結構調べても
よくわからんかったんで…。

sin(at)cosh(at)のラプラス変換はどうやってやるんですか？
今日課題として出たんですが、教科書がないもんで・・・・
よろしくお願いします。

>>188
まず、sin, cosh を exp で書き直せば簡単に出来るんじゃないかと。

質問！

偶対称の方形波のフーリエ級数ってどうなる？？
ａnの値の表し方がわかんないんだが…。sin項が0→1→0→-1→０みたいに変化するんだけど。

周期2τで[-τ/2,τ/2]の間に方形波があるとして･･･
n≠0では
An = sin(nπ/2)/(nπ/2) = sinc(n/2)
となったぞ。普通に積分すればいいだけなんじゃないの？

>>191
ごめいまいち理解できんかった。

問題は
f(t)=｛E (-T/4≦t≦T/4)
　　　｛-E (T/4≦t≦3T/4)
でフーリエ級数求めたら、A0=0、Bn=0まではでるんだけど、
Anは積分してでた “ sin ｎωｔ ” にT/4入れると０と１と−１をループするはずなんだ。
この表し方が意味不明で…。

計算間違えはないはず。

えーと･･･ω=2π/Tを使うと上手くいくと思うよ。

うんと･･sin(nωt) → sin(2πn/T*t)
んでｔにT/4を代入すると，sin(nπ/2)
これはn=1,2,3....に対して確かに1,0,-1......だね。

だからどうした

>>195
>>194ではないが･･･
＞Anは積分してでた “ sin ｎωｔ ” にT/4入れると０と１と−１をループするはずなんだ。
確かにループだね。って言いたかったんだろ。

Euler の公式を頭ごなしに覚えさせて、ひたすら複素フーリエ級数展開の話を進めるからムカツク。
ひとりでファビョってる。

>>197意味不明なんだが
オイラーの公式をまず証明せよとでも言いたいのか？
それとも、オイラーの公式を使わずに複素フーリエ級数の
話をせよとでも？
あるいは複素フーリエ級数の話のあいだに雑談を入れろとでもいうのか？

たまに見るが、ファビョルってなんだ？

>>199
つgoogle

私には証明が出来ないからこれを解決するのは出来ない。
雑談は要らない。オイラーの公式を使うなとは言わない。
ただ私の知識が欠如しているだけ。

>>201
>>178の、どの行がわからないのか？
そこを証明してやるよ

>>199
火病る。
ヒステリー起こす、みたいなもんだ。

質問なのですが、フーリエ解析学の離散フーリエ変換のグラフ表示において、
ＭＡＴＬＡＢを使用し、出力を試みたのですが、

N=64;
n=0:1:63;
k=0:1:63;
x=1+cos(2*pi*10*n./N)+2*cos(2*pi*15*n./N);
Ek=(1./N).^(1./2)*cos(2*pi*k*n./N)+(1./N).^(1./2)*i*sin(2*pi*k*n./N);

と打ち込むと

??? ｴﾗｰ: ==> mtimes
内部行列の次元は同じである必要があります

と出てしまいます。いったいどうすればよいのでしょうか？
アドバイスお願いいたします。

ちなみに新井仁之著「フーリエ解析学」Ｐ．２１の図１.４の下のグラフです。

巧みにそのDFTのプログラム乗せてみそー

u(t)のラプラス変換ってどうすればいいの？
先生、講義で教えてくれなかったよ･･･

>>206
u(t) って何？
単位階段関数？

505

393

cooley-tukeyのアルゴリズムで標本点が２の冪乗にならないとき，
例えば2000個とか中途半端な時に2048個の標本点にすべく０を詰めますよね？
どうして０を詰めれば良いのですか？

時間領域で０で埋めるという意味は
時間領域での「周期」が大きくなるということだ。
それが意味することは、周波数領域では、
フーリエ変換の時間離散化の間隔（スペクトルの間隔）が
小さくなることと等価である。
つまり、時間領域を０で埋めることの影響は
フーリエ変換を離散化する際の周波数間隔が小さくなるだけで
あり、理論的には、０で埋めない場合に比べて
離散フーリエ変換の周波数間隔が狭くなり、結果が
（補間されることにより）密になると考えて良い。
ところでFFTの場合、データ数は2^nである事が必要だから
元の時系列データ数がそれに満たない場合、何らかの値で
埋めなければならない。普通は0で埋めるが、
もし時系列に直流成分があるのであれば、その値で埋めても
良いし、予め平均値を引いておいて0で埋めても良い。

念のために書いておくが、離散フーリエ変換の考え方は、

１）時間データを標本化間隔Tで標本化する
→周波数領域では標本化周波数f=1/T毎にスペクトルが並ぶ。
２）時間データに幅Lの窓関数をかける
→周波数領域ではsinc関数との畳み込みになる。
３）周波数領域で1/L間隔で標本化する。
→時間領域では窓関数幅Lを周期とする周期関数になる。

となっている。0で埋めるということは２）でLのサイズを
大きくすることである。

>>212はちょっと不正確だったかも。
0で埋めるということは、

１）時間データを標本化間隔Tで標本化する
→周波数領域では標本化周波数f=1/T毎にスペクトルが並ぶ。
２）時間データに幅Lの窓関数をかけ、2^nまでのN個を0で埋める。
→周波数領域ではsinc関数との畳み込みになる。
３）周波数領域で1/(L+NT)間隔で標本化する。
→時間領域では(L+NT)を周期とする周期関数になる。

>>211-213
すぐの回答，本当にありがとうございます！！
また質問なんですが，この場合にFFT後のX(k)(ただしk=0, 1, …,N-1)の値は
０を詰めない場合と変わらないのでしょうか？
それから，それを保証する部分も知りたいのですが…

フーリエ級数が収束するにあたって、証明時にクロネッカーのデルタを使うのは有力ですか？

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>>214
>FFT後のX(k)(ただしk=0, 1, …,N-1)の値は
> ０を詰めない場合と変わらないのでしょうか？

質問が不正確。
仮にN=256とする。
x(t)を標本化周波数fs=1/Ts[Hz]でL[s]を標本化してx[i]とする。
i=0,1,...,N-1であり、L=NTsとする。t=iTsである。
256点FFT結果をX[k]とすると、k=0,1,..,N-1であり、f=k/L[Hz]である。
次に、N=512のFFTを考える。つまり、
x(t)を標本化周波数fs=1/Ts[Hz]でL[s]を標本化してy[i]とし、
i=0,1,...,N-1,N,N+1,..,2N-1とする。
つまりN個の0をx[i]に付加したものをy[i]とする。
この512点FFT結果をY[k]とすると、
k=0,1,..,2N-1であり、f=k/(2L)[Hz]である。
X[k]とY[k]では、周波数間隔が異なるため、当然ながら同一ではない。
しかし、周波数上で標本化する前の段階(>>212,213の２））での
スペクトル（周波数連続信号）は同一である。これを周波数上で
標本化する「周波数間隔」が、時間データに0を付加すると短くなるということ。

>それを保証する部分も知りたいのですが…

意味不明。

>>215
周期関数y(t)のフーリエ級数の収束の証明か？質問の意味がよくわからんが、

収束条件の１つめは、y(t)が絶対積分可能であること。
絶対積分可能であれば、フーリエ係数が収束することは容易にわかる。
次に、y(t)が区分的に滑らかで有限区間内の極大点、極小点が有限個であれば
フーリエ級数が存在する。
ただし不連続点では、左極限値と右極限値の平均値でなければならない。

収束条件の２つめは、y(t)が1周期で二乗積分可能であること。
フーリエ係数の収束は容易に分かる。
このとき、次数Mの部分和は、M→∞でy(t)との差の２乗はゼロになる。

フーリエ級数を考える場合は、不連続点でのギブス現象を忘れてはならない。

ところでクロネッカーのデルタなんて、いったいどこで使うというのかな？
デルタ関数＝インパルス信号ではなくて？

変な安価だお。
高速フーリエ変換のDQNな部分は実数（複素数）のN点の畳みこみを実行する演算量はNlogNになるのにN桁の乗算はNlogNのオーダーより大きくなること（∵高速フーリエ変換を行う実数（複素数）が有限の精度）
計算機の実数の精度が53以上を考えると(￣○￣;)
乗算アルゴリズムを再帰的にもちいて、Rを固定してやらねばなんねえ！
シュトラッセンの算法！
μ（N）＝Ｏ（NlogNloglogN）
ただし、
NR＾2＜1／ε
であるため、Rには限界がある。
R進法のN桁整数表現f（R）をf´（R）に直すと4ビット程度の精度の節約になる。f（R）0≦aｊ≦Rをf´（R）｜a´ｊ｜≦［R／2］でaｊがR／2を越えた時に強制的に桁あげをすることでできると思うけど。
と、言いたいのではないだろうか？

あと、0詰めるのやだ！って時は、1／2ずれた拡張離散フーリエ変換では？
A´k［N―1 ｊ＝0］＝aｊＷN＾ｊ（k＋1／2），ＷN＝e＾―2πi／N

式チェックお願いしますm(_ _)m

今年（せんげつ）になってから　Bourgain を追いかけはじめた









うかつ

下のリンク先は/dev/dspデバイスのプログラムで
http://adlib.rsch.tuis.ac.jp/~akira/unix/ossprog/src/short/parrot.c
このプログラムで録音した音声にFFTをかけたいんですが出来ますか？
どなたか分かる方教えて下さい。

>>211 　必ずしも、データ数は2^nである必要は無い。
　　　　他のデータ数で行う手法が色々と提案されている。

離散ラプラス変換ってある？つまり、肩に i = √(-1)
が乗っかってない指数関数を足しこむようなやつ。
あるとしたら、何に応用されてる？

>>224
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/Z%E5%A4%89%E6%8F%9B

>>225
サンキュー。ローラン級数の展開係数列をその関数に
対応させる Z 変換なるものが、離散フーリエ変換と
離散ラプラス変換?の一般化になってるってことか。

z変換て意外に知名度低いのな
ラプラスよりはるかによく使うんだが

まあ使う使わないはひとそれぞれじゃ

ディジタル信号処理の分野ではよく使うんだけどね。
大学では電気系と情報系がごっちゃになってる学科が多いから、
制御とか回路でよく使うラプラス変換の方が優先順位高かったり。

一次元のFFTを使ったたたみ込みついて聞きたいのですが、８個の配列を二つ用意し、
sin(2pi/8)とcos(2pi/8)をそれぞれ代入して、それぞれフーリエ変換します。
次に新しく１６個の配列を用意して、それぞれその配列の前半に代入し、後半は０を代入します。
そして、それをまたFFTにかえて、得られた二つの複素数のデータ群をそれぞれの
要素どうしてかけて、得られたものを64で割ると、sin(2pi/16)*cos(2pi/16)が得られます。
しかし、sin(2pi/8)とsin(2pi/8)同士を今と同じやり方でやると、
sin^2(2pi/16)が得られると予想していたのですが、
sin^2(2pi/8)の値と訳のわからない値が出てきただけで、うまくいきませんでした。
sin&cosでは２倍のデータが得られたのにsin&sinではうまくいかないのはなぜですか？
おわかりになる方、是非教えてください。

オナニーだいすきんぐ

　　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　
　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　
　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　
　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・　〕-ヽ　　
　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ 　　　
　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l 　　　 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　　　
　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
//∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／ 　　　　
　　　／｀　　　 　　　 ´＼
　　/　,　　　　　　　　　　＼
　 〈　〈　　　　　|￣￣ | |￣￣|
　　＼ ＼　 (⌒,|.女子大生llll.|
　　　 ＼ ＼||l　||＿＿ｍ＿＿|
　　　　 |ヽ(ヨl| | l|　　|ヽ＿ノ
　　　　 |　　|l| l|.| |l　 |
　　　／　,（__人__）､　＼　ｽｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｺｿ
　　/　　/　　　　　 ヽ　 ヽ
　 〈　　〈　　　　　　　〉　 〉
　　＼　 ＼　　　　／　／
　　　（＿＿）　　（＿＿）

talk:>>231 何やってんだよ？

妙なアンカーつけるの画はやってんの?
:>>

692

こんな時間に投下
t^nのラプラス変換（途中式必須で）頼みます

>>235
F(s)=∫[0〜∞]t^n*e(-st)dt
=1/s*∫[0〜∞]t^(n-1)*e(-st)dt
=2/s^2*∫[0〜∞]t^(n-2)*e(-st)dt
=……
=n!/s^(n-1)*∫[0〜∞]t*e(-st)dt
=n!/s^(n+1)

kingの脳
　　　　　 .ｌニｌ　 ヽ
　　　　　__|__|>　　 ヽ
　　　　 （＿＿）,　　　ー
　　　　 （___＿_）｀ｰ　　　.　 ..
　　　　 （＿＿）　　　　-
　　　　　（＿__）　　__,.--
　　　　　　|　| ￣￣
　　　　　　|　| 　　　　　　.
　　　　　　|__|　 　　　　　.
　　　　　　.∨　.

〃〃∩ 　_, ,_ 　
　⊂⌒（　`Д´）＜　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
　　｀ヽ_つ ⊂ノ

　　　　　　　l|i
　　　　　（l|i＼ l|
　　　　　 .ｌニｌ　 ｉ|ヽ
　　　　..l|i_|__|>　　 ヽｌ|
　　　　 （＿＿）,　　　ー
　　　　 （___＿_）｀ｰ
　　　　 （＿＿）　　　　-
　　　　　（＿__）　　__,.--
　　　　　　|　| l|i￣
　　　　　　|　| ；
　　''∩.ﾟ;･li|；|;ｉ/。；・：
　⊂⌒（(‘;ﾟ;|i･/ ）､
　　 ｀ヽ_つ ⊂ノ　 ﾟ

talk:>>237 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せと書いたのに何故そうなる？

誤差関数のラプラス変換の計算を省略無しで書いてある参考書ってありませんか？
今村の「物理とフーリエ変換」は、計算にexp(-b^2(x^2+a^2/x^2)) の[0,∞]上の積分
（ガウス積分の一般化）が使われているが、その積分の計算法が書いていないので×。
このガウス積分の一般化の計算法の載ってるテキストでもＯＫです。

>>239
自己解決。積分記号下で微分、簡単な微分方程式が出来るのでそれを解く。

複素フーリエ係数Ckについて
信号が偶関数のときCk = C-k
が導けません。
と言うか、
(1/T)∫[-T/2,T/2]f(-x)exp(ikωu)(-1)dx
=(1/T)∫[T/2,-T/2]f(x)exp(ikωu)dx
=C-k
であるらしいのですが積分範囲を逆転しても
問題が無い理由が分かりません。
教えてください。

>>241
（~ で複素共役を表すものとして）
Ck ＝ C-k じゃなくて、
Ck ＝ ~C-k じゃない？

積分範囲を逆転しても問題ないんじゃなくて、
x を -x に変数変換したら積分範囲が逆転する。

いえ…。複素共役ではないようです…が、
こちらの問題のミスかもしれません。
しかし複素共役だとすると偶関数かどうかが
関係がなくなってくるので…。

変数変換したから積分範囲が逆転する
っていうのも理解できるんですが
その逆転した状態で元のCkのkの符号を
逆転したものとして扱える部分が納得いかないわけです。

>>241
一般に、フーリエ級数は
y(x)=a0/2+Σ[k=1,∞]{ak･cos(kωx)+bk･sin(kωx)}
ak=2/T∫[-T/2,T/2]y(x)cos(kωx)dx
bk=2/T∫[-T/2,T/2]y(x)sin(kωx)dx
フーリエ係数にはa-k=ak, b-k=-bkの性質があります。
複素フーリエ係数はCk=(ak-ibk)/2です。

y(x)が偶関数だとすると、y(x)=y(-x)ですから、
ak=2/T∫[-T/2,T/2]y(-x)cos(kωx)dx
bk=2/T∫[-T/2,T/2]y(-x)sin(kωx)dx
z=-xと置くと、y(-x)=y(z), dx=-dz、積分範囲は逆、よって
ak=2/T∫[T/2,-T/2]y(z)cos(-kωz)(-dz)
=-2/T∫[T/2,-T/2]y(z)cos(kωz)dz
=2/T∫[-T/2,T/2]y(z)cos(kωz)dz
bk=2/T∫[T/2,-T/2]y(z)sin(-kωz)(-dz)
=2/T∫[T/2,-T/2]y(z)sin(kωz)dz
=-2/T∫[-T/2,T/2]y(z)sin(kωz)dz

zをxに書き換えると、
ak=2/T∫[-T/2,T/2]y(x)cos(kωx)dx=ak
bk=-2/T∫[-T/2,T/2]y(x)sin(kωx)dx=-bk
つまり、f(x)が偶関数ならば、
Ck=(ak-ibk)/2=(ak+ibk)/2
ここで、ak=a-k, bk=-b-kの関係を利用すると、
Ck=(ak+ibk)/2=(a-k-ib-k)/2=C-k
以上、証明終わり。

>>242
一般に、f(x)が偶関数かどうかに関わらず、
Ck=(ak-ibk)/2=(a-k+ib-k)/2=~(a-k-ib-k)/2=~C-k
ですね。

>>244
非常に分かりやすかったです。
長い文でお時間取らせてしまいまして申し訳ないです。
ありがとうございました。

別解も考えました。

複素フーリエ級数は、
Ck=(1/T)∫[-T/2,T/2]y(x)exp(-ikωx)dx
y(x)が偶関数ならば、y(x)=y(-x)
z=-xと置くと、
Ck=(1/T)∫[-T/2,T/2]y(-x)exp(-ikωx)dx
=-(1/T)∫[T/2,-T/2]y(z)exp(ikωz)dz
=(1/T)∫[-T/2,T/2]y(z)exp(ikωz)dz
=(1/T)∫[-T/2,T/2]y(z)exp(-i(-k)ωz)dz
ここでzをxに書き換えると、
=(1/T)∫[-T/2,T/2]y(x)exp(-i(-k)ωx)dx
=C-k

そもそも>>241の式自体に誤りがある。

ＭＡＴＬＡＢで下図のような（１，１）成分のみ１である３２×３２の行列

｜１　０・・・・・・０｜
｜０　　　　　　　・｜
｜・　　　　　　　・｜
｜・　　　　　　　・｜
｜・　　　　　　　・｜
｜・　　　　　　　・｜
｜０・・・・・・・・０｜

を打ち込みたいのですが、やはりこれはひとつずつうち込むしか方法はないのでしょうか？
何か簡単に入力できる方法があれば教えてください。よろしくお願いいたします。

２ちゃんに書く暇あったら打ち込めば？

>>250
A=ZERO(32)
A(1,1)=1

みたいなのあった希がす

A = zeros(32,32);
A(1,1) = 1;

だた

>>253
ありがとうございました！
とても助かりました。

４次元行列を２次元行列に変えるのってどうすればいいのでしょうか？

フーリエ級数とフーリエ積分とラプラス積分の違いはなんですか？

>>255
言語による

>>256
ぐぐればでてくる

ホーリエ と ラプラス

Laplace変換はフーリエ変換の一部。
超関数を使うとフーリエ変換からラ+変換を導くことができる

y"+2y'-3y=1っていう微分方程式をラプラス変換と解くとどうなりますかね〜
分かる方解いてみてね

ちなみに初期条件はy(0)=y'(0)=0ですので

L(y'')+2L(y')-3L(y)=L(1)
-y'(0)+sL(y')+2{-y(0)+sL(y)}-3L(y)=L(1)
s{-y(0)+sL(y)}+2sL(y)-3L(y)=L(1)
(s^2+2s-3)L(y)=1/s
L(y)=1/{s(s^2+2s-3)}
L(y)=1/{s(s+3)(s-1)}
L(y)=1/12*[-4/s+3/(s-1)+1/(s+3)]
L(y)=1/12*[-4L(1)+3L(e^t)+L(e^(-3t)]
y=-1/3+1/4*e^t+1/12*e^(-3t)

[e^(-s)]/(s-1)^2
の逆ラプラス変換が(t-1)e^(t-1)*U(t-1)になるみたいなんですが
途中の過程がわからないので教えていただけないでしょうか？

ラプラス変換の公式は覚えやすいけど、フーリエ変換の公式は覚えにくいです。
皆さんは、覚えてるんですか？私はラプラス変換しか覚えられないです。

>>262
移動定理 F(s) exp(as) <--> f(t+a) u(t+a) から用意に計算できる

493

413

大学教授ども、これでも喰らえ！！！

（私の見るところ、実は物理学や電子工学を学んだ人でも、その物理イメージを持ってる人はごく少数です。その理由は、上述のような訳のわからん数学を授業でやる大学教授に問題があると見ています。）
http://www.gem.hi-ho.ne.jp/katsu-san/audio/sci_seminor.html

>>267
俺も学生の頃はそれは思ってたなぁ。
今思えば、自分の研究と授業の両立とか、
授業のコマ数の制限とかいろいろあって、難しいんだわ。

授業の質を上げたければ、まずは大学内に授業専門の部署作るべきだと思う。
コマ数でやれないことは参考文献一覧を印刷したのを配るとかで多少マシになるかな。

取り敢えず

『フーリエの冒険』

でも読めばＯＫ

>>267
ここで書いてあることは「わかった気にさせる授業をしろ」ということですが、
「わかった気」になって「計算できた気」になっても実はあまり身についていないことがあるのです。

どうしようもない授業をする教授も多いのも事実だと思うが。

>>267
優秀な大学の講師は、講義の中であえて重要なポイントは話さないということを聞いたことがある。
そうすることで、学生に考える力を身につけさせることが出来るらしい。

わかりやすい授業は、時として考える機会を学生から奪うことになるらしいです。

この度めでたくフーリエ解析を学ぶことになったので参考書を買おうと思っているのですが
数学の知識にあまり自信がないので変換に使用する数学の式までフォローされている参考書があれば教えていただきたい

逆ラプラス変換

f(t) = 1/(2pi*i)∫e^{st}F(s)ds, (F(s) = ∫_[0,∞]f(t)e^{-st}dt)

で、「積分が発散しないために、全ての特異点を左に見るように
積分路C(-i∞+s0からi∞+s0)を取らないといけない」とありますが、
そう取らないと積分が発散してしまう理由がよくわかりません。
教えて頂けたら有り難いです。よろしくお願いします。

どなたか
http://www.cns.ci.ritsumei.ac.jp/~kitano/exp1/ex3.html
の08、09の解析をしていただけないでしょうか？

>>274
同級生にはお前が誰だか大体わかるんだろうな

>>274
これはひどい

信号処理も関わってくるのですがシャノンの定理が
よく分からないです。サンプル値にsinc関数かけて
極限に広げたものがなぜ連続値になるのでしょうか？

>>277
フーリエ変換は大丈夫ですか？

>>278
多少は理解してるつもりですが…
フーリエ変換を理解してたら分かるものですか？

sinc が何のフーリエ変換かは良いですか？

Paley-Wiener空間の直交基底は？

二年。

>>280
遅くなって申し訳ありません。
確か、矩形波のフーリエ変換でしたよね？

矩形波のフーリエ変換を
組み合わせれば
台がコンパクトな波の
フーリエ変換くらいは書けるでしょう

498

f(x) = -x のフーリエ余弦係数を求める問題なのですが、
ちょっとイマイチ理解してないので質問させてください。
xの範囲は 0≦x≦π です。

これは
A0 = (2/π)∫[0〜π](-x)dx
An = (2/π)∫[0〜π](-x)cos(nx)dx
Bn = 0

で合ってるのでしょうか？

>>286

ですね。

>>267
は何か人の役に立つことしているの？

フーリエ級数を説明する方法で今まで新鮮だったものってありますか。
俺は関数空間から内積使って係数出すってのが新鮮だったんだけどこれって普通？

すごく普通

というか、それが基本。

>>289
何を新鮮だと思ったのか逆に訊きたい。

工学系（しかも建築）だったからか知らんがフーリエ変換はいきなり定義として
導入されてたもんで新鮮だた。

むしろ、工学系ほど「フーリエ変換 ＝ 三角関数列使った直行分解」でならうんだが。
純粋数学よりになると、ルベーグ積分とか超関数論から入ったりするし。

数学はルベーグ積分とかからなんですね。
参考になりましたありがとん。

純粋数学方面だと、コンパクト群の表現論からフーリエ変換に入ると思う。
フーリエ級数はトーラス上の関数の既約指標分解。
この場合の積分は、ルベーグよりも広い不変ハール測度に関する不変積分。

そういう導入もあるが、普通は関数解析からはいるもんだろ。
あとでコンパクト群の指標とつながって「おお！」となるのが普通。

FFT、逆FFTについて質問

１．ある信号をFFTして周波数軸に直したとすると
　　周波数スペクトルが見えると思いますが、スペクトルの高さってのは
　　その周波数の振幅相当ということでいいのですか？


２．このときナイキスト周波数で折り返して対称にスペクトルが見えますよね
　　ってことはスペクトルのピークは折り返したほうにも振幅成分が行ってて
　　実際の半分の量になってるんですか？

３．FFTかけた周波数軸に変換された後、ナイキスト周波数以降の成分に
　　フィルターをかけて減衰させたとします．んでこれに逆FFTかけると
　　元の信号に戻るんでしょうか？それとも違う信号になります？

わかる方どうか教えてください

フーリエ級数の式を見ればわかる

>>298

パーシバルの定理を調べてみたらどうかな

>>298
>1
FFTの結果は離散フーリエ変換DFTと同一。共に複素数。
「周波数スペクトル」を何のつもりで書いているのか？
フーリエ変換のことを「スペクトル」と呼び、それは実部と虚部で示される。
この複素数の振幅をとれば、それが「振幅スペクトル」である。
さらにその２乗が「パワースペクトル」。
振幅スペクトルは、元の時間信号の、ある周波数成分の振幅には
等しくない。標本化間隔、データ点数の影響で変化する。
標本化したデータが、周期信号の整数周期分か、
時間制限信号なのかどうか、も大いに影響する。
特に窓関数をかけると、これまた結果が変わってくる。

>>298
>2
実数の時間関数の振幅スペクトルは、偶関数である。
つまり正の周波数fxにピークがあれば、-fxにも同じ大きさのピークが存在する。
しかしフーリエ変換は、偶関数とは限らない。
実部、虚部の議論でないのならば、それは振幅スペクトルあるいは
パワースペクトルの議論をしているのだと想像するが、
振幅スペクトルは偶関数だから、f=0で左右対称。
この振幅スペクトルは、DFTにより、標本化周波数fsの
整数倍（0,±1,±2,・・・・）の各位置に、離散化された
振幅スペクトルの相似形が並ぶ（窓関数によっては歪みを受ける）。
DFTは、f=0からサンプリング周波数未満までの標本値である。
で、>>298の2の質問の意味が私には分からない。
「実際」とは何を指すのか？「半分の量」とは何の量を言っているのか？

>>298
>3
FFT結果のサンプリング周波数の1/2以降の値をゼロにするということか？
そんなことをしたら、どういうことになるかわかるか？
実数の時間関数のフーリエ変換の振幅スペクトルは必ず偶関数になる。
振幅スペクトルが偶関数でない場合、それを逆フーリエ変換すると
時間関数は複素数になる。まずはここを押さえておく必要がある。
次に、FFT結果のサンプリング周波数fsmの1/2以降からfsm
までの周波数帯域の値は、-0.5fsm〜0までの値と同一である。
つまり、-0.5fsm〜0の成分を0、0〜0.5fsmはそのままということになり
振幅スペクトルは偶関数ではなくなる。この状態で逆FFTすると、
結果は複素数になる。つまり時間信号が「複素数」となるのだ。
なにが目的で「ナイキスト周波数以降の成分を減衰」させたいのか
わからないが、本来、サンプリングする前に、ナイキスト周波数以降の
成分が存在してはならない。その成分が存在するのに
標本化してしまうと、どうあがいても元の時間信号を復元することは
不可能。それがサンプリング定理。

∫[0,x]exp(it^p)dt=C_p(x)+iS_p(x)　　i=sqr(-1)　　p=1〜∞

s=δ+jω で、δ=0とするとフーリエ変換の式になると思うのですが、このδは
物理的にどういう意味なのでしょうか？

意味が取れないのだが、ラプラス変換 ∫f(t) exp(-st) dt の
s の実数部をゼロにするとフーリエ変換になると言っている？
積分範囲とか大丈夫？

>>306
そうです。ラプラス変換のsのことです。
このs=δ+jωのδ=0とするとフーリエ変換になって、関数の定常動作の周波数解析
が出来て、これは物理的に納得しているのですが、δが0でないとき（ラプラス変換の場合）
ラプラス変換の式を見ても物理的なイメージができません。

>>307
本当に積分範囲は大丈夫？
あなたのフーリエ変換の定義は何？

>>308
すいません。最近勉強し始めたもので、あまりよくわかっていないのですが、
積分範囲は0〜∞です。
下記のページを読んで勉強しているのですが、今ひとつ納得できないので、
ここに質問した次第です。
ttp://www.gem.hi-ho.ne.jp/katsu-san/audio/ft_lt.htm

>>308
(1) 式の積分範囲は (-∞,+∞) だけど？

>>310
そうですね。フーリエ変換の式は-∞〜+∞ですね。
ラプラス変換の説明の箇所では「0-∞（片側ラプラス変換）でも構いません。」
と書いてあったので、309のように書きました。
物理現象のt=0からの過渡解析を行うために、0〜∞とするのだと思いますが．．．

>>311
普通はラプラス変換といえば片側ラプラス変換を指す。
また、普通はラプラス変換の s の実部σが取れる値は決まっている。

ざっと読んでみたがそのウェブサイトは、説明がひどすぎるな。
まともなフーリエ変換・ラプラス変換の教科書を読んだほうがいい。


もとの質問に回答しておくと「δ=0とするとフーリエ変換になって」は正しくない。
ラプラス変換の s の実部は関数が正の無限大で収束しやすくするためのもの。
代償として因果的： f(t) = 0 ( t < 0 ) な関数しか扱えなくなる。

>>312
ありがとうございました。
δはフーリエ変換の欠点を補うためのものだったんですね。
参考書を買って勉強してみます。

> δはフーリエ変換の欠点を補うためのものだったんですね

ｴｪｪｪｪｪ(´д｀；；；)

デルタ関数は「ディラックのデルタ関数」と呼ばれてるくらいだから
ディラック辺りから本格的に使われ始めたに決まってるだろ
んでディラックは量子力学の研究してたから
当時のディラック周りの奴は量子力学の定式化辺りでδを使ってたに決まってるだろ

>>315
文盲さんいらっしゃい

この子が言ってる δ ってのは、ラプラス変換の s の実部のことだよ

age

age

文盲っていうなよ。。。だって、俺も文盲なんだもんｗ

適当にふかしこいたくらいで文盲だの抜かす奴がいるなんて
数学板もアナルの小せぇ奴が増えたな

うひゃ

このスレ的に
大学3年ぐらい向けの本は何？

ウェーブレット変換について詳しい方、教えて下さい。

>>323
どんなことを聞きたいんだい？

333

天皇はＡ型で朝鮮の出身です。Ａ型は2000年前に日本きたから帰ればいいのに。
Ａ型は100％農耕民族とはいえないがＯ型かＢ型にぜんぜん好かれないＡは
農耕民度が高すぎるから2000年前に日本の先住民族を大量に殺してきた
遺伝子、多そうだね。

遊牧民族は厳しい自然の中を小さい家族で移動しながら生活してきたので家族と他人の
線引きをはっきりさせたと思う。 これをクールと感じる。だから、そのぶん身内にはあつくなるのか。

Ｂ型は遊牧民族、Ｏ型は狩猟採取民族。
Ａ型は農耕民族。農耕民族は２千年前(つい最近)に、中国から日本に来た。Ａ型は２万５千年ごろ誕生して農耕社会を
作ってきた。農耕民族社会になってから狩猟採取民族が大量に殺され滅び吸収され、ホームレス、虐待、売春、
女性差別 が始まり、強制的に横並び結婚し横並び子作りしないと女が生きていけない社会になる。
横並びの群れ社会(農耕民族社会)は無理やり敵を作り差別しないと作れない。これが、いじめ。
ブサイクで、もてない農耕民族はとくに性欲として横並びの群れ社会を作りたがる。
農耕民族社会はＡ女も不幸になります。

数学って難しいね

345

やっぱりフーリエ解析といったら『フーリエ解析大全』

>>324
なぜウェーブレット変換が注目されたかを
フーリエ変換の限界という切り口から
お願いします。

ブロック単位の処理にならないからってところかね。
ただ、逆に、ハードウェア処理したりするときにはデメリットにもなるんだけど。

利点では、ブロックノイズにならない、画質向上させやすい。
欠点は、画像全体のデータがないと変換できない ＝ ストリームには不向き。

そもそもは時間周波数解析の話だ。
フーリエ変換を使う場合、短時間フーリエ変換をやることになるが、
窓関数の幅をどう決めればいいのかが難しいんだな。
適切な窓幅でないと、基の信号の特徴を表現しきれない。
そこでウェーブレット変換の出番だ。
窓幅とかつまらぬことを考えずに、ウェーブレット変換を使えばよいのだ。
もちろん、マザーウェーブレットの選択という問題はあるが、
まあまあの結果が得られるはず。

すいません、質問させてください。

「入力信号 x(t) を入れると、出力信号 y(t) が得られることが既知なシステムがあって、
そのシステムに、ある入力信号 f(t) を入れたら、どういう出力信号 g(t) が得られるか？」

という問題があるのですが、フーリエ変換だけで出力信号を推定できますでしょうか。

いろいろ調べてみたのですが x(t) と y(t) を DFT して X(ω) と Y(ω) にし、
伝達関数を絡めて Y(ω) = H(ω)X(ω) として、H(ω) を得て、
推測したい出力信号の　G(ω) = H(ω)F(ω) してから、IDFT して g(t) を得ればいいのでは、
と考えました。

実際、プログラムを書いてみたら、H(ω) を計算するときに、
ゼロ割(ZeroDivErr) が発生したり、割り算を回避するために対数を取ったはいいけどlog(0)になったり、
いろいろチャレンジしているのですが、結果はさんざんです。

そもそも、この考え方はあっているのでしょうか?

ちなみに「既知のシステム」とは、複数レンズ群の光学系です。
いわゆるローパスフィルタ系のシステムということになると思います。

.>>333
言っていることは正しくて，それは信号解析ではよく行われること．
ただ，やってみたら分かると思うけれど，なかなかうまく行かない．
極端な話「定数入れると定数出る」みたいな結果は全然うれしくない．

推定がうまくいくためには，X(ω) がゼロにならないことが必要で，
そうでない場合は，結局何をやってもうまくいかない（データが悪い）．

なお，最も理想的な x(t) はδ関数（インパルス信号）で，
これを入れたときは Y(ω) = H(ω) になる．
これをインパルス応答といい，インパルス応答を見れば
システムの様子が分かる，と言われている．

>>334 さん、レスありがとうございます。

残念ながら既知の x(t) は普通の自然信号で、δ関数ではありませんでした。

実験の光学系システムがあったのですが、税務上の理由で捨ててしまいまして、
残っているのは、そのシステムで評価した入力自然画像 x(t) と 出力画像 y(t) だけなのです。
そこで、システムは無いにせよ、新たな自然画像 f(t) を入れた場合に得られる g(t) をなんとか推定したい、
というところが問題の原点です。

>>334 さんのご指摘にあるように、δ関数的な信号の入出力データ対があれば、
もしかすると、なんとかなったかもということですね。(点光源の入出力データ対ですかね？)

今日、本屋で買ってきた本には、そういうのはウィーナフィルタでやるんだよ、
ということが書いてありましたが、そうなんですか？
( たいへん低レベルなところでさまよっています......泣 )

>>335
なるほど、かなり現実に即した問題なのね。すると、
システムの形によるけど、例えば次のように定式化できる：

　入出力の関係が Y(ω) = H(ω) X(ω) + N(ω) で与えられる。
　ただし H(ω) は未知の伝達関数，N(ω) は未知のノイズ。H(ω) を求めよ。

これは伝達関数の推定とか呼ばれる問題で、設定を変えて色々やられている。
もちろん、ウィナーフィルタを使って、実データ Y からノイズを除去して
H(ω) = Y(ω) / X(ω) とするのは一つだけど、あまりうまくいかない。

もともとの実験装置の形とかが分かっているなら H(ω) や N(ω) に
モデルを設定して（H(ω)=二次式/二次式、N(ω)=ガウスノイズとか）
モデルに実入力を食わせた結果と、実出力の差を最小化するとかいう
最適化問題に落とすのが標準的だと思う。

お前ら何者だ

>>334 さん
おおまかな概略だけでもお教えいただきまして、大変たすかります。
素人は、こういうヒントだけでもいただきますと前に進みやすいです。

>>337 さん
白物家電会社の窓際部署にいる会社員です。
まわりの人々は、今まで良設定問題だけを扱ってきたようで、
悪設定問題はサッパリという環境です。
県の工業技術センターに聞くとか、大学の交流センターに行くとか、も考えましたが
とりあえず 2ch の有能な皆様に聞いてみようかな、と思いまして。

なんと
お仕事頑張ってください

f(x)={ sinx (0≦x＜π)
{ 0 (π≦x＜2π)
をフーリエ展開すると
ｆ(x)=1/π+1/2sinx-2/πΣcos2nx/(2n-1)(2n+1)になるらしいんだが
何度計算してもこうならない・・・

f(x)=f_e(x)+f_o(x)とおいて
a_n b_n a_0求めればいいのでしょうか

age

>>340
マルチ

離散フーリエ変換がよく分からなくて気持ち悪いです．

離散フーリエ変換って，
「離散データが描く曲線を考えてそれを奇関数拡張してそいつを複素数表現のフーリエ級数で表したときの係数を求めるわけだけどその積分部分を離散近似でやってるだけ」
ってことでいいんすか？
それとも，あくまでも，フーリエ変換？
（つまり非周期関数の周期を無限にして考えてることになるの？）

それとも両者は同じこと？でも一方は周期関数で他方は非周期関数で，違うような気がするんですよね．
だれか分かり易く教えてくれませんか？
（スレ違いならどこが適当か教えて頂けるとうれしいです）

とりあえず「奇関数拡張」じゃないな．「周期的拡張」ならあってる？

>>343
用語を確認したいんだけど、
あなたが言ってる離散フーリエ変換とフーリエ変換の
定義を書いてくれるかな？

>>343
有限群だか離散群だかの上でのフーリエ変換だろ、
群上の調和解析についての文献を漁って見れ。
局所コンパクト群でのフーリエ変換をきちんと理解したら
実数全体の成す局所コンパクト群 R 上でやると
通常のフーリエ変換になり、
絶対値 1 の複素数全体が成すトーラス T 上でやれば
通常のフーリエ級数で、
というような感じになっていたはず（だがもう忘れたので、嘘かも知れん

>>345
例えば， N 点 f_0, ..., f_{N-1} に対する離散フーリエ変換と逆変換はこう書けます．

F_n = (1/N) Σ[k=0,N-1] f_k e^{ -i (2nπk)/ N }
f_k = Σ[k=0,N-1] F_n e^{ i (2nπk)/ N }

ここで，周期 T のある関数 f(x) をフーリエ級数展開するってのは

c_n = (1/T) ∫[0,T] f(x) e^{ -i (2nπx)/ T } dx
f(x) = Σ[n=-∞,∞] c_n e^{ i (2nπx)/ T } dx

と書けますよね．
ところで，上のフーリエ級数展開に対応するフーリエ変換と逆変換は

F(ω) = ∫[-∞,∞] f(x) e^{ -i ω x } dx
f(x) = (1/(2π)) ∫[-∞,∞] F(ω) e^{ i ω x } dx

などと書かれます．(1/(2π)) みたいな係数をどっちにつけるか等はあまり重要ではないし，ω = 2πv みたいな変数変換をすれば

G(v) = F(2πv) = ∫[-∞,∞] f(x) e^{ -i 2π v x } dx
f(x) = ∫[-∞,∞] G(v) e^{ i 2π v x } dx

というふうにも書けます．

疑問に感じたのは，離散フーリエ「変換」である F_n が，フーリエ「変換」である G() や F() よりもフーリエ「係数」 c_n に似ているなと思ったからです．
どれも同じに見えなくもないし，けれどもc_n の算出時には f() が周期 T の周期関数であることが仮定されるのでG() や F() とは違うものに見えるし・・・．


>>346
ご教示どうもです．
なんとなく話の流れは分かる気もしますが（きっと分かってない），フツーの世界の中でのアナロジーですっきりした気分になりたいなと思ったり．
例えば，計算機で扱えるのはそもそも離散的な世界のみ，といっても，その上で行われる実数計算モドキを数学上の無限精度実数計算と対比させて大雑把にとらえてもあまり問題は起きないわけですが，それと同じようなノリで分かったつもりになれる術があるといいなと．

>>347
http://ufcpp.net/study/dsp/dft.html

>>348
情報をありがとうございました．要するにこんな感じでしょうか．

(1) 離散関数 f_k をδで連続関数 f(t) にしてフーリエ変換すると
　　周期関数 F(ω) が得られる．
(2) 離散関数が周期（N点ずつ）を持つなら，
　　f(t) から F(ω) を求める過程で離散関数（というかN個の係数） F_n が
　　抽出できて，これを δ で連続関数にしたものとして F(ω) も表せる．
(3) これをまとめて，離散値 { f_k } の離散フーリエ変換を { F_n } と呼ぶ．

ようするに，

・離散フーリエ変換は，
　有限の離散データを周期的拡張した離散関数と見なしたフーリエ変換
・「離散」というのは積分の離散近似とかではなくて
　δ関数でごにょごにょすれば厳密に同一であるということ

ということでしょうか．
分かったような気になれたような気がする感じがします．
どうもです．

>>350
まあ、そんなノリ。

ただ、まあ、とらえ方にもいろいろあって、>>346 の言うような話もまた真。

三年三時間。

初歩的な質問よろしいでしょうか？

この前大学でラプラス変換を習って変換表を覚えました。
覚えたものを単に使うことに苛立って証明しようと試みたのですが
t^nの証明で止まってます…
どうすれば変換表の答えが出るのか途中式を教えてもらえませんか？

変数変換したらガンマ関数になる。
って言うか単なる部分積分の繰り返しだけど。

∫_[0,∞] t^n e^(-st) dt = n! / s^(n+1) (s > 0)


左辺で x = s t と積分変数を s から x に変換することで
証明すべきは

∫_[0,∞] x^n e^(-x) dx = n!

となる. これを帰納法で証明. n = 0 の時に正しいことはすぐにわかる.
n ≧ 1 として n- 1 の時正しいとする. 部分積分により


∫ x^n e^(-x) dx = - x^n e^(-x) + n ∫ x^(n-1) e^(-x) dx

だから

∫_[0,∞] x^n e^(-x) dx = n ∫_[0,∞] x^(n-1) e^(-x) dx.

帰納法の仮定より左辺は (n-1)!. よって

∫_[0,∞] x^n e^(-x) dx = n!

となって n のときも正しい. □

　L[ exp(at) ] = 1/(s - a)
両辺を a で n 回微分：
　L[ t^n exp(at) ] = n!/(s - a)^{n+1}
両辺で a → 0 ：
　L[ t^n ] = n!/s^{n+1}

>>353-355

ありがとうございました

f=1-|x|/2 (|x|<2)をフーリエ変換するとき
F=√(2/π)*(sin(a)/a)^2になるそうなのですが
フーリエ変換の公式F(a)=1/√(2π)∫f(t)*e^(-iat)dtに代入したとき
どこでsinが出てくるのか分かりません
どのように計算したら言いのでしょうか？

sin(x)={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i)

申し訳ありませんが>>357の途中式も教えてもらえませんか？

>>359
代入して積分を実際に実行したらいいじゃん。

どうしても答えが合わないのです

>>361
できたところまで書いてみたら？

人に教えてもらおうというのなら、それぐらいの労力はかけてもいいんじゃない？

1/√(2π)[(1-|t|/2)e^(-iat)/(-it) +∫e^(-iat)/-ia dt
となったのですがこの後どうしたらいいでしょうか

>>363
f (x) =
0　　　(x ≧ 2)
1-x/2　(0≦ x ＜ 2)
1+x/2　(-2≦ x ＜ 0)
0　　　(x ＜ -2)

だろ？積分は計算できるんじゃないの？

「答えが合わない」というセリフは
答えを一応でも出した人でないと。

上の式を|x|>2なので-2から2まで積分したら
1/√(2π)[e^(-iat)/-a^2 ]が残って
結果1/√(2π) * (2i sin a)/a^2になりました

恥をしのんでお聞きしたいと思います。
当方大学生なのですが、事情があって一時期登校できていない期間がありまして、
その期間中に出題された課題を提出しないと期末試験受験資格を認められないと言われました。

その中の1つが全く学習していない分野の問題で困り果てています。
虫のいいお願いなのは承知の上で、どうかこのスレのみなさんに解いていただきたく参りました。

その問題は次のようなものです。

　　　　　-x-π (-π ≦ x ＜ 0)
f(x) =｛　0　　 (x ＝ 0)
　　　　　-x+π　(0 ＜ x ≦ π)
のとき、フーリエ係数を計算せよ。


どうかお力を貸していただけないでしょうか。

>>367
ただの積文系さん問題。
教科書嫁。

そういや、大学に「登校」するって言うんだっけ…？

教科書ナシで毎回プリント配る講義だったので…
いくらなんでもムシがよすぎましたね。お恥ずかしい。

検索やらなにやらで自力でなんとかしてみます。お騒がせしました。

ん? 蟲がいいかどうかはさておき、
何をすればいいかは教科書や講義のレジュメを
見たほうが纏まってて分りやすいだろう
というようなことでしかないと思うよ。

まあ、友人にその回のレジュメ見せてもらえば
フーリエ係数が積分で定義されてることは
すぐに分るだろうし、その積分計算自体は
全然難しくないものだから、何を計算すれば
いいのかくらいまではとりあえず自分でやってね、と。

計算で詰まったらその辺を明らかにして再質問すれば
誰かが助けてくれると思うよ。

遊んでたツケが回ったな。自業自得、苦しめ。世の中甘くないよ。

そもそも遊びという言葉の意味を説明せよ。
それができないなら、意思の疎通はできそうにない。

>>367のバカ、ここがダメだったのでマルチして必死に解答を探している模様。
巡回先で同じ問題の質問があっても、助けないように。
答えを聞いて回ることを「いろいろ調べる」ことだと思っているような奴に、手を差し伸べる必要はない。

> 検索やらなにやらで自力でなんとかしてみます。
マルチポストをすることが「自力でナントカする」ことなのか。
不思議な発想をするゴミカスだねぇ……

確かに367は他力本願すぎるが、余所のサイトに出張して長々ログ貼ったりしてた奴もちょいと反省して欲しいな。
今後同じようなマルチが発生しても「マルチなので解答無用」って書くだけにしといた方がいい。

マルチかどうか、まわりの人間が判断できないので
「マルチ」と書くだけのレスは辞めて欲しいです。
リンクは必須です。

ざっと検索かけてみたが、マルチっつってもここから消えた後一ヶ所でしか書いてないな。
あっちでも「解いてくれ」じゃなくて「計算手順や手がかりを教えてくれ」だったし、あれでマルチ扱いはちと酷。
いけ好かんのは俺も同じだが、あの程度ならほっといてやりゃいいのに。

件の彼がまだここ見てるかどうかはわからんが、お前はフーリエ変換以前の数学的知識に乏しすぎる。
ネット上で恥晒す前にその講義の先生なり同期の学生なりに恥晒して教えてもらえ。

>>371が好意的なレスをくれているのに
見事にスルーして他所でほぼ同じ内容で
再質問しちゃってるわけだから
どうにもなるまい。

フーリエ変換がよくわからなくて困ってます。

関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)として問いに答えよ。
�@ f(t)が実関数のときF(ω)の実部は偶関数、虚部が奇関数となることを示せ。
�A f(t-t0 / a)のフーリエ変換を求めよ。a≠0である。
�B F(ω−ω0) + F(ω＋ω0)のフーリエ逆変換を求めろ。

上記の問題がまったくわからず困っています。
答えられる方が居たら解答お願いします・・・。

>>380
どれも定義式とにらめっこすれば簡単
(1) F(ω) の実部と虚部を書き下す
(2) 変数変換
(3) 変数変換

最近King来ないなぁ

Reply:>>382 フーリエ変換が出てからいろいろな変換が生まれたようだが、それについての話はどうか。

離散フーリエ変換の式を使ってC N-n = C-nを証明したいのですが、
どういう計算を行えばよいのでしょうか？

>>384
C, N, n とは？

おしえて。
sin(t)をフーリエ変換するとどんな結果なりますか。
途中の式も交えておしえて。

ちょーかんすうになるけどいいか？

>>386
そのまま定義に従って計算するだけ。

Kingまだ〜

周期T、サンプリング点数Nの離散値を、離散フーリエ変換をして得られたスペクトルが、必ず中心点（N/2）で左右対称となるのを
サンプリング定理で説明できるみたいなのですが、どうやればいいのでしょうか？誰かお願いします

EXCELで、10000個のデータをフーリエ変換してグラフ化したいのですが、EXCELの分析ツールだと
１）２のベキ数個しか出来ない
２）4096個までしかできない
という制限があるので、VBAでフーリエ変換（FFTではなく、定義通りのDFT)をやってみたら
８分くらいかかりました。（10000*10000回のsin,cosが必要な為）
データが２のベキ数個ならば、FFTのプログラム探してきて移植すればいいんですが、
かといって、16384個のデータにして、10000〜16384番目まで0で埋めてハニング窓とかをかけるのも
なんか勿体無い気がします。

高速フーリエ変換で、２のベキ数でなくても良いアルゴリズムってどこかで公開されていないでしょうか？
fftwのDLLをVBAから呼べれば最高なんですが。

Prime Factor 型 FFTなんてのを聞いたことがあるが、実際のところ

＞10000〜16384番目まで0で埋めてハニング窓とかをかけるのも
＞なんか勿体無い気がします。

これが気のせいで、こうしたほうが楽で得だからCooley-Tukey 型 FFT が
主流になってるんじゃないの？と門外漢は思うわけだが。

>>391
392の言うとおりで、２のベキに丸めて問題が起きない限り、
どれだけ無駄に見えても、必ず２のベキに丸めるべき。

そもそも、理論的に２ベキでやるのと、素数ベキでやるのでは大分違うし、
それ以上に、メモリ効率や計算結果の使いまわしのおかげで、
チューンされた２ベキの実装は尋常じゃなく早くなっている。

　　　　　　　　　　　　　　　　　／￣`Y ￣ヽ､　　　　　　　　　　　　　　Kingが来たー！
　　　　　　　　　　　　　　　　/　/ / / l | | lヽヽ
　 ┏┓　 ┏━━┓　　　 /　/ //　⌒　 ⌒ヽ
┏┛┗┓┃ ━　┃　　　 |　| |/　.（ ゜ ） （ ゜ ）
┣　 ━┫┃┏┓┃┏━（Ｓ|| |　　⌒ ( ・・)　ヽ.━━┓┏┳┳┓　　Kingが来たー！
┗┓┏┛┗┛┃┃┗━ |　|| |　　　ﾄ-＝-ｧ　ﾉ━━┛┗╋┛┃
　 ┗┛　　　　 ┗┛　　　.|　|| |　　　|-ｒ ､/　/||　　　　　　┗━┛
　　　　　　　＿＿　　　　　|　|| | ＼＿｀ﾆ'_／| ||＿　
　　　　　　　｀ｰ⊂｀ ￣￣ﾉノﾉノ⌒　　　　⌒ﾉ从　 ￣ つ
　　　　　　　　　　　￣｀ｰ( (ヽ）)　　　　　 　 ﾉヽ）)´￣　　　　　　Kingが来たー！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　|　 ・　 ・ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　　　　〈
　　　　　　　　　　　　　　　　 ,;'　　　　　　 l　　　　Kingが来たー！　　　　　　　Kingが来たー！
　　　　　　　　　　　　　　　　 ',　　　　 ﾟ　 ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　＼ 　　■　 |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾉ　 ノ　 ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　三　　(＿)ﾉ ／　　　　　　　　　　　　　　　　Kingが来たー！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀ｰ''

Reply:>>394 Y.

>>391
元データ見ないとなんともわからんのだが、
周波数欲しいのは、せいぜい最初の100本くらいじゃないのかな。
だとすると100×10000なので、1/100の時間ですむよね。
元が480秒なら4.8秒だ。

10000に近いのは8192だよね
ゼロ埋めするのがイヤなら、10000個のデータを３個ずつ２次関数近似して8192個にしてしまう
っていうのはどうでしょう？

データ数nの音声データを離散フーリエ変換し、その周波数情報を周波数方向に伸縮させ、
音程を替えようと思ったのですが、周波数のイメージがつかめません。

音声データは実数データなので、そのフーリエ変換をFkとすると、
F_kはFkの複素共役となります。(_はkについてるマイナス記号だと思ってください)

この場合、たとえば1オクターブ音声を上げようとする場合、
F0〜Fn/2-1 は Fn/2-1の方向に引き延ばし(Fn/4〜Fn/2-1はカット)、
Fn/2〜Fn-1 は Fnの方向に引き延ばす(Fn/2〜F3n/4-1はカット)ので、
複素共益性は確保されているという考えで間違っていませんか?
(言いたいことが上手く言えないので、エスパーしてください…orz)

それと、周波数の強度を決めるとき、元の値から周波数方向に引き延ばした場合の
当てはまる割合に応じて、重みを付けた相乗平均をする考えて大丈夫ですか?

>>398
よくわからんが、とりあえず
http://audacity.sourceforge.net/
で、「ピッチを変える」っていうのをやってみてはどうだろう？（テンポを変えずにピッチだけかえる）
その出力をみてイメージを掴んでみては？

>>399
そういうソフトだと、周波数強度の絶対値しか出てこなく、
虚数の部分やNがマイナスな部分の動きが見えないので、知りたいところが見られないのです…

>>400
虚数部分は位相差を醸し出す役目をしているだけじゃないんかな。

１次成分に対して５次成分が90度の位相差になっているのなら
ピッチシフトしたあとも
１次成分に対して５次成分が90度の位相差になっているはず
位相はatan(Im/Re)だよね

なるほど。
虚数部はピッチシフトとは関係ないのですね。
ありがとうございました。

グループベロシテイーって光速を越えるって物理で習ったけど。。本当なの？

一部分の周波数帯で、ほんと部分的になら群速度が高速を超えてるんじゃなかったっけ。
速度と次元は同じだけども、実のところ正確には速度とは言えないんだろうなぁ。

wikipediaのフーリエ変換のところにいきなり
F:L^1(R^n)→L^1(R^n)
とか書かれてるけどどういうことなんだろう
ちなみに英語版見たら
F:L^1(R^n)→C(R^n)

上のは
- フーリエ変換は
- 実数ベクトル上の L1 関数（絶対値積分が収束する）から
- 同じく実数ベクトル上の L1 関数への写像です
の意味。

C は微分可能な関数かな。
英語版の方があってるんだっけかなぁ。
フーリエ変換は工学的応用は簡単だけど、収束性とか考えだすと難しい。

>>405-406
C(R^n) を連続関数の集合だと思うと、間違っている。

反例は矩形関数で、これはフーリエ変換が sin(x)/x になる。
この関数は L^1 には入らない。

あまりわかってないから的外れの質問するかもしれないけど

25620のデータにたいして
サンプリング数２５６でフーリエ変換した場合
２５６できっていったら２０あまるよね。
その２０以外ののこり２３６は０にすべきなの？

あとそれらのデータ x(n)をフーリエ変換したあとの
実部と虚部とパワーのうちの
実部と虚部をフーリエ逆変換したら
x(n)と完全に一致しますか？

>>408
前者：用途による。236個をゼロ詰めしても良いなら、そうするし、
ゼロ詰めがまずいけどデータを捨てるのが許されるなら、20個捨てる。
データ数が25620個であることに意味があるなら、どっちもダメ。

後者：一致する。

高速Fourier変換の良い入門書があったら教えてください．
洋書でもかまいません．

2次元フーリエ変換を1次元のフーリエ変換を使って計算する方法教えて
図書館の本探ったけどそれらしきものなくて全然進行しない･･･

>>411
軸ごとにフーリエ変換するだけでは？

age

>>412
けっこう簡単でした^^;

次の問題なんだけど
フーリエ変換を直交関数を用いて示したいんだがこれまた分からない
分かる人もしくは載ってるＵＲＬ知ってる人は教えてください

>>414
> フーリエ変換を直交関数を用いて示したい
意味不明

フーリエ変換は直交関数を用いた変換であることを示せといえばいいのかな
日本語下手ですまん

>>416
そりゃあ exp(ikt) が直交関数系だから当然だろう

卒論を書くのにフーリエ変換→フーリエ級数の順番で書くのはおかしいでしょうか？

卒論ならどうでもいいよ

初歩的な問題ですいません
分からないので教えて頂けないでしょうか。

次の問題を三角フーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開する
(1)sin^2 (ω0 t)

(2)cos^3 (ω0 t)

(3)sin^3 (ω0 t)

教科書の答えや図書館で本を見たのですが、答えしかなく解き方が分かりません
お願いいたします

解決しました

ありがとうございました。

514

質問です

フーリエ変換や逆変換の式についてですが、本によってインテグラルの前に
1/2πがついてたりついてなかったりします。どれが正しいのでしょうか？

>>423
定数倍なんかどっちでもいいよ。同じ本の中でついたり外れたりするのはあれだけど。

>>424
ありがとうございます。
積分範囲も本によって違う場合があるんですが、それもその本の表記の違い
だと思う事にします！

質問です

たとえば、∫(n=0〜2π）sin(x)+cos(x) をPCを使って積分させるときに、プログラムとしては具体的に
どのようなアルゴリズムになるのでしょうか？　ヒントをお願いします。

自己解決しますた。

ｘを、例えばπ/100ずつ0から2πまで変化させた場合、2πまでのsin(x)の総和にπ/100を掛ければいいのですね。

初歩中の初歩だとは思いますが

f(x)=x^2(0≦x＜2π)かつ周期2πの関数f(x)のフーリエ級数を利用して、Σ1/n^2を求めよ

という問題がわかりません^^;
どなたか教えていただけませんか？

フーリエ展開したらいいよ。

>>428
x^2をフーリエ級数展開すると
x^2=4π^2/3+�納n=1〜∞](4/n^2*cosnx-4π/n*sinnx)となる
x=0のとき
(f(0)+f(2π))/2=4π^2/3+4�納n=1〜∞]1/n^2となるので
整理すると
2π^2=4π^2/3+4�納n=1〜∞]1/n^2
∴�納n=1〜∞]1/n^2=π^2/6

DCTを使ってたたみ込みがO(nlog(n))で計算出来るなら
プログラミング言語でいうfold関数の実装に使えないかと思い
調べてみたんだが、以下の認識であってる？

認識1：DCTの入力値は離散値でも、元の関数は連続関数である必要がある
　ここの時点で、すでに一般のケースの実用は難しいか・・
認識2：たたみ込みが積になるのは巡回したたたみ込みの時だけ
　つまり{1,2,3}*{4,5}が
　{1*4+1*5,
　 2*4+2*5,
　 3*4+3*5}
　と計算するようなたたみ込み計算の場合のみ。

結論？　→　foldのような関数の実装をDFTでやるのは無理

ちなみにfoldというのは、2引数関数、初期値、値の集合を与えて
初期値と値の集合の1つめを2引数関数で計算
その結果と値の集合の2つめを2引数関数で計算..
として畳みこみを計算する関数
例えば
fold (x+y) 0 {1〜10}は55,
fold (x*y) 0 {1〜10}は3628800
上の例だと
fold (4*x+5*y) 0 {1,2,3}
のような感じ

訂正
fold (x*y) 0 {1〜10}は3628800
これじゃ結果は0だわ
→
fold (x*y) 1 {1〜10}は3628800

>>431
全部間違い。

まず、フーリエ変換の「たたみこみ」はconvolutionで、
fold (とか reduce とか) とは本質的に全く違う概念。
これは、型を考えるだけで自明だと思うけども。
＃ちなみに、君の最後の「上の例だと、...」ってのは型すら間違っている

認識２の「巡回したたたみこみ」って言い方は意味不明で、
convolutionはそもそも巡回足し合わせで定義されているもの。

認識１も間違っていて、背景に連続関数が無くても
フーリエ変換はできる。

さらに結論も間違っていて、ある種のリストを生成する fold について、
プログラム変換によって convolution 形に変形し、
効率的に計算する、という研究がある。よって無理とも断言できない。
（もちろん一般には無理。演算子や値域に条件が必要。）

色々ありがとうございます。勉強になります。
そういう研究はすごく面白そうですね。
論文のサンプルはやっぱりHaskellとかで書かれてるんでしょうか

まだ若干混乱してるのですが
そもそも上の例で出している1〜3と4〜5の例は間違ってました
結果は値であって集合ではないですね
値自体が集合というケースはさておいて

ただのリストを定義域が0〜リスト長、値がi番目の関数と考えたとき
F#でconv関数を書いてみました。
(OCamlだと[0..(n-1)]を読み替えて)

let conv la lb n=
    let sz = [0..(n-1)] in
    let conved = map (fun x ->
      let lhs = (nth la (x%(length la))) in
      let rhs = (nth lb (x%(length lb))) in
      printf "%d x %d = %d\n" lhs rhs (lhs*rhs);lhs*rhs;) sz in
    fold_left (+) 0 conved;;

たぶん型はこうですよね？
convolution
　集合A -> 集合B -> 和または積分区間 -> 値
　集合A -> 集合B -> 値
　　(積分区間が-∞〜∞の場合)

背景に連続関数が無くても良い、というのは
どんな離散的な関数でも、∞個の波の組み合わせで表現出来るから、
という認識でOKですか？

>>434
すまんね、折角書いてくれたけど、そのプログラムは俺には読めない。型はあってるよ。

後者については、離散的な関数は「離散的な波」の足し合わせで書けるから、ということ。
波というとなんか連続的なイメージがあるけど、数列に対してフーリエ変換を定義する場合、
連続的な（普通の）波を使う必要はなくて、もっと離散に関して都合の良い「波」を使う。

ああ、何となくわかりました
フーリエ変換って結局、同じ関数を、別の角度から見てるだけ(直交変換)なのであって
波といっても、別に周期的でさえあれば
ある区間で0、別の区間で1、みたいな波をたくさん組み合わせても
本質は変わらない、ということですね
(それによって本当に性質が保たれるのかという部分には
厳密に取り扱わないといけないとは思いますが)

元は連続な関数を適当な数で区切った場合
誤差は出るにしても元の性質が保たれるというのは納得がいきますが
最初から離散的なケースは、またちゃんと考える必要がありますよね
もうちょっと勉強します
ありがとうございました

age

フーリエ変換とラプラス変換の関係って何なの？

ラプラス変換はフーリエ変換を解析接続したもの。
フーリエ変換はラプラス変換の境界値。

↑　なるほど，ｔｈｘ。

√(441) = 21 世紀

スレチかもしれないけど・・・
ラプラスの方程式を差分法で解いた場合の中心差分について調べてもよくわからないので教えてください

>>442
中心差分の何を知りたいの？

フーリエ級数とラプラス変換の参考書買いたいんだけど何かったらいいかな？

340

四年。

質問です。
(b+cs)/(1+as)^2
の逆ラプラス変換がわかりません。

どなたか教えてください。

>>447
積分記号下の微分を使って、逆ラプラス変換の像が満たす微分方程式を求める。
上手にtで微分して(b+cs)/(1+as)^2の部分を消す。

ありがとうございました。
がんばってみます。

別解。移動則を使って F(...) = A/s + B/s^2 に変形して両辺逆変換。

恐れ入りますが教えて下さい。わからないんです。
ラプラス変換を最初に考えたのはヘビサイドでいいんですか？
ラプラスは、１７世紀のフランスの数学者ですが
演算子法でまあ良いじゃんか解けるんだからと微分方程式の
代数的開放を発明したのはヘビサイド伯爵か公爵なんですよねえ
その後あとになって、その数学的厳密さが証明されたんですよねえ
だとするとなんでラプラスの名がついてしまったのでしょうか？

http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/miyamoto/mathematics/mathematician.htm

>451

>ラプラス変換を最初に考えたのはヘビサイドでいいんですか？
第一に、ヘビサイドはラプラス変換を考え付いていない．
第二に、そもそもヘビサイドはラプラス変換を使ったことすらない．

ラプラス変換そのものは確かにラプラスが考えています．（ラプラスがラプラス変換を用いたのは確率論の分野．）
もともと、ヘビサイド自身の演算子法（1893）は、定数係数の微分方程式を「因数分解して」解くというものでしたが、
この解法が上手く行く理由を彼自身は、数学者を納得させるような形では説明できませんでした．そこで、演算子法
はしばらくのあいだ「電気工学者の間につたわる怪しげなまじない」のようにみなされていました．しかし、ブロムウィッチが
1920年代にラプラス変換を用いた演算子法の基礎付け（合理化）を行い、事態は一変しました．演算子法の基礎
付けにラプラス変換、と呼ばれる積分変換を使うことを思いついたのはブロムウィッチです．

なお、1930年代になってミクシンスキーによる演算子法の基礎付けが与えられています．ミクシンスキーの手法では、
関数の合成積（*）に関するティッチマーシュの定理によって、*を積とする関数環が整域になる事を用いた分数環を導
入することで非常に簡明な理論になっています．

452,453さん、どうもありがとうございます
巷間、ラプラス変換は、ヘビサイドがその走りを考えついたのごとく
言われている事があったので、多分そうなんだろうなあ、そして
既に過去の人となった、ラプラスのその信奉者が、こっちが先だと
いわんばかりに言わば手柄を横取りしたごとく言われたと思ってました。
発想は良かったが、証明できず冷や飯食わされたヘビサイド？
今後、もいちどあちこち勉強してみますが、いつもずっこけるのは
留数とブロムウィッチあたりです。イメージとして湧きません。
単なる無知、勉強不足が原因ですが。先日危なくラプラス変換の事を
会社の講師として間違えるかもしれないとこでした。フー。ため息。
でも、流石ホイートストン（電気のブリッジで有名）をおじさんに持つ
だけあって、impedanceの概念考えついたり、通信方程式考えたり
偉かったですね、おまけに難聴？１９１０年タイタニックが沈むころ
バチバチ火花の無線のころ、わずか１V程度で有線通信ができる。
人々には（その道の）驚異だったようですね。私は一応電気屋です。
皆様、ありがとうございました。今後とも宜しくお願いいたします。

以下学問的には正しくないと思いますが、ヘビサイドが多項式を部分分数
するのと、ラプラス変換での分数式とは似ていて、結局おなじことやってんですかね？
すべての周期関数が微分不可能点があれ、フーリエ級数に分解され、sin,cosは
どうせeの式になる。よって結局各分数の源関数はeの式で、その集合が解ならば
イメージとして、そんなとこでしょうか？表現うまくなく済みませんが。
電気屋のｊωみたいなもんですか？微分、積分してもsinの形は変わらず
その和、差もsinの形、過渡現象もフーリエでsin、cosの集合だし。
きつねに抓まれたようでも、結局辻褄はあっている。
積分変換の一種であるラプラスのｓ＝σ＋ｊωのσはeの−σ乗は収束の為の
減衰させるためでは、ないですよね、これも巷間いわれてますが。
いずれにしろ、勉強してまた書かせていただきます。あほな学者より。
皆様、宜しくお願いいたします。

>>455
> いずれにしろ、勉強してまた書かせていただきます。
かなり勉強不足なのでそうしてくれ

>>454-455
まずは日本語をまともに話せるようになってからだな、背伸びしすぎ中学生くん。

この人一応学者らしいのに2ちゃんで煽られるとは。

どうもいろろ済みませんです。
>この人一応学者らしいのに2ちゃんで煽られるとは。
ええ、いちおお企業内ですが教官やっています。
いやお恥ずかしい。科目はは電気回路と電子工学（たいした事ない）と
数学です。叩き上げなんで教員免許はもてないです。

>すべての周期関数が微分不可能点があれ、フーリエ級数に分解され

フーリエ級数でかけるにはもっと条件が必要(自分で勉強しなおせよ)。
その様子だとかなり怪しいこと教えてそうだね。

教官≠学者
しかも公務員でないなら教員というべきでは？

皆様がいろんな事言うもんで、今日は自身を喪失しました。
矢張り私のようなものは、教員に向かないんだと、暗い気持ちで一日を過ごした。
帰って来てみりゃ、又これだ。悪かったよなあ私が教官で。
でもな欲考えろよ諸君！！上もきりないが下もきりない。
いろいろご心配頂いたがな、それはそれでありがたい。でもな蛇の道はへび。
大体な心配なんていらないですよ。少しは真面目に現実見据えて考え理よ。
バカには馬鹿の世界がある。優等生は立ち入り禁止だ。訓名。おめえだよ。
こちとら生徒はな私の授業なんか聞いてない、居眠りこいてる。私はむしろ
ratherthanだな。起こさない、やたら起きて質問されても困ります。
それにしても、今日の祭典は面倒であった。いちいちどこが間違ったか
気付かせてやらなければなりません。薄給貰ってる手前な。んじゃまたな。
今日は本当に教官を辞めようかと思った。気持ちが最高に暗い。

まあそう熱くなるなよ。数学を専攻している人間に数学で馬鹿にされても
仕方ない、そう落ち込むことではないよ。
しかし「学者」なんて大仰な名前つけるから魚がたくさん釣れるのでは？
学者というからには論文はコンスタントに出してるのかね。

「学者」さんへ

ここは数学者になれなかったクズの吹き溜まりですから、鬼哭啾啾たる怨念地獄なんです。
こんなところで弱みを見せると、たちまち　>457や >460 みたいに餓鬼道に落ちた怨霊
が自分のインフェリオリティコンプレックスを補償すべく襲い掛かったりもするわけです。

あなたは電子工学を教えてるのだから、Ｌ２での収束と各点での収束だのに詳しくなる必要は
ないと思います。ここにたむろしてるクズたちはそんなことばかり詳しくなって得意になってるうちに
怨念地獄をさまよう亡者となりはててしまったのです。

チンカスほどにも価値のない間抜けな怨霊たちの声には、耳を傾ける価値もありません。
どうか心の安寧を取り戻されますように。

そしてお願いです。あなたがこれから過ごす日々の中、時折で良いですからこの怨念地獄
にたむろする糞以下、チンカス以下のクズたちを思い出し憐れみ、どうか一分でも良いので
我ら数学者になれなかった亡者どもに平安の訪れるよう祈ってやってください。

創価学会最低！

矢野氏や一家への脅迫、集団ストーカー
http://www.youtube.com/watch?v=5UQ55hpH1c4&feature=related
朝木さんは自殺？　
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515582
創価学会員が事件を闇に葬る？　　　　　　　　
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515398
朝木さんの万引きは事実？　
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4525358
朝木さんの遺族の叫び
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515661
事件対策本部が設置されていない？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515547
あざはどのように出来たのか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515471
警察と司法はまじめに仕事をしているのか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4515621

アンタ等が言う数学者の定義とか学者の定義って何やねん？

>>464
なんかの改変コピペ？

いろいろご心配頂きまして済みません。学者なんて、時代遅れのふざけた命名を
した為に、いささかこのボードに賑いを取り戻したかの形になってしまったようです。
もう書くのを止めようと思ったのですが、悪い癖とお許し下さい。
論文も書いた事はありませんし、学歴もありません。下手の横好きで数学の本を
パラパラしているだけです。教えているのは、本当です。
また祈りの方は、対象がはっきりしないので効果の程は自信がありませんが
一応しておきます。幸せが訪れることでしょう。
（わざわざ言うのもおちょくっている様で物議を醸しそうでまずいですが）
さて、志賀浩二先生の「数学が育っていく物語の第２，３週」を借りてきました。
解析性、実数から複素数へと積分の世界、一様収束とフーリエ級数と題されて
います。先に索引を見ましたが、ブロッムウィッチは出てきませんでした。
馬鹿にしてくれて結構ですが、夜学で最低ランクの数学科に行こうと本気で
考えてます。でも環だ束だと言われてもとても付いていけそうにないのも事実です。
やれやれ、精々ルベーク積分くらいまでだな。この前正規分布教えたときには、
６σんとこで、質問されて留数で解くもガウス積分もわからんから面積だすのを
誤魔化しました。用語の羅列で済みません、けして当方がおちょくっている訳で
は、ありませんが、まあわからないなりに、借りた本を読んでみますわ。
勇気付けて下さった方にはこの場をお借りして厚く御礼申し上げます。
工学に比して理学は、大変ですね。夢の中でも考え続けにゃならんらしいから。
今後このボードで議論が活発になり、と言うより皆様の安らぎや癒しの場と
なり、社会で素晴らしい御活躍をなさる事を願っています。
私は、世間では、箸にも棒にも引っ掛からないとされそうな若者が、多少なりとも
自分の仕事に興味を持ち、活躍できるホンの少しのお手伝いをさせて頂く所存です。
お世話になりました。では、失礼致します。

駄文生成スプリクトとしてならそこそこ優秀だな

フーリエ変換とmp3(音声ファイルの保存形式)の関係って何ですか？

教えてください

>>470
切っても切れない関係です

>>470
この辺に少し書いてある

http://blog.livedoor.jp/abars/archives/50303569.html

↑に出てくる「Cosine Transform」ってのはフーリエ変換の変種な。

あとは、このサイトに出てるキーワードをヒントにググってくれ。

怪鳥ラプラス　空を飛べ〜

突然の書き込み申し訳ありません。
集団ストーカー、電磁波によると思われる身体攻撃、音声送信被害に遭っています。

思考盗聴によると思われるプライベートな情報の搾取、また、その悪用。プライベート情報を最大限に悪用した音声送信被害と、電磁波によると思われる身体攻撃を受けています。
超単パルス的な特性を持ち、さらに、電離性の電磁波（放射線）が悪用されている可能性もあります。

現在、思考盗聴器の原理を考えています。原理が分かれば、被害をICレコーダーに記録する事も不可能ではないと考えています。詳しくは、”ハイテク犯罪に関する調査と研究”ページ内の”思考盗聴器の可能性”を見て頂ければと思います。

工学的に考えられる可能性など、情報がありましたら連絡を頂ければと思います。
どうぞよろしく御願いいたします。

ハイテク犯罪に関する調査と研究
http://haitekuhannzai.ganriki.net/

共同研究者のページ

加害者への公開質問状
http://mongar.biroudo.jp/

さっさと精神科を受診しろ

フーリエ初心者なんですが、

sin(2πf0t)をフーリエ変換する時、
φはないんで、答えは

1/2{e^0(δ−f0)＋e^0(δ＋f0)}で、

δになるのでしょうか？

>>476

>φはないんで、
この箇所意味不明なので無視します．（あなたの教科書を皆が使っているわけではない．）


sin(2πf0t)≡0　なので、変換したら 0 になるよ．

初歩的すぎて申し訳ないんだけど
一般の周期関数に対するフーリエ級数で、関数F(x)を周期２Sとした場合　x=St/π として
最終的に、フーリエ級数の式の中のサインコサインの中身 nx の部分が　nπx/S となると思うんだけど

周期Sとした場合　2nπx/S となる？　Sとしても２Sと同じ式になったんでけど、2nπx/S となる場合って
どんな時？

>>478
ある定義では絶対にnπx/Sにならないし、
別の定義では必ずnπx/Sになる。

で、君のフーリエ級数の定義はどんなもの？

>>479 今日教科書読み始めたので定義の違いとかもほとんど理解できてないです。教科書の式そのままだとnπx/Sなんですが
学校からのプリント見ると2nπx/Sと書いてあるんです。これは教科書だと大体の問題が周期２Tで、プリントはTだからその差
がら出てるのかと思ったんですが、関係ないですかね？ものすごい頭の悪い質問だとは思うんですが、よろしくお願いします。

>>480
「そのままの式」とやらを書けというに。
お前が違いを分らなくともお前が書きさえすれば他の人間にはわかる。
エスパーに囲まれて生きているのかお前は？

480さんは、わかんねえから聞いてんだよ
やさしくしてやれよ
これから大いに発展すっかもしれんから。芽を摘まないでのばしてやれよ

>>申し訳ないです
そのままの式が
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nx +b(n)sin nx) です。
これが周期２Tの周期関数に対して
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nπx/T +b(n)sin nπx/T)　ってなるますよね？
周期Tのときは
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos 2nπx/T +b(n)sin 2nπx/T) ってなるんでしょうか？

>>483
> これが周期２Tの周期関数に対して
> f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nπx/T +b(n)sin nπx/T)　ってなるますよね？

日本語の使い方のレベルで微妙なんだけど、これは
　周期 2T の周期関数 f に対して f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nx +b(n)sin nx)
　と展開すると自動的に f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nπx/T +b(n)sin nπx/T) となる
と言っているの？それとも
　周期 2T の周期関数 f に対するフーリエ級数展開の定義は
　f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nπx/T +b(n)sin nπx/T) である
と言っているの？

>>484
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nx +b(n)sin nx) の式においてx=Tt/π　とおくと
t→2π のとき x→2T　となって h(t)=f(Tt/π)が周期２πの周期関数になり
h(t)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nt +b(n)sin nt)　となってtをxに戻すとf(x)=h(πx/T)になり
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos nπx/T +b(n)sin nπx/T)
となるというようなことです、説明不足過ぎてすいません

>>485
その計算自体には何の間違いも無いけれど、
そういう変数変換を行って何がしたいの？

もう一度何を質問したいか整理してくれないかな？

>>486 大学で配られたプリントを見ると周期Tの関数f(t)(-T/2 <t <T/2)のフーリエ級数は
f(x)=a(0)/2+�納n=1→∞] (a(n)cos 2nπx/T +b(n)sin 2nπx/T)となるというようなことが
書いてあるんですが、この式のcos 2nπx/T sin 2nπx/T　のそれぞれの２という数がどこから出てきたのか
わからなくて質問させてもらいました。

>>487
>>485で周期2Tの場合にやったのと同じように、
周期Tの函数を変数変換で周期2πの函数に置き換えて
フーリエ展開するだけだろ。

x=Tt/2π　とおいてt→2π のとき x→2T　でいいんですか？
周期Tのときは周期πの函数置き換えだと思ってました。

>>489
お前は周期πの函数に対するフーリエ展開なんか習ったのか？

>>489
> x=Tt/2π　とおいてt→2π のとき x→2T　でいいんですか？

「同じように」とは言ったが、そのままとは言ってない。
t=2πに対応するのはx=Tだろ

>>491 すいません、間違いました。やっと解決しました
朝から長々とありがとうございました。

保守

スレ違いでしたら誘導お願いします。

フーリエ変換に関する質問です。

δ関数と白色雑音をフーリエ変換し、そのパワースペクトルを調べるとどちらも全周波数領域に
渡って１になります。

原点だけが無限大で他はゼロのδ関数とどこもランダムな値で満たされている白色雑音、
全く異なるこの2つの信号のパワースペクトルがどちらも共に１になるのはどうもイメージができません。

形が全く異なる2つの信号が共にパワースペクトルが１になる事実は
みなさんどうやってイメージして納得されていますか？

>>494
フーリエ変換するといろいろと失われる情報がある、ということ。
どういう意味でその２つが等しいかはWiener-Khinchinの定理が教えてくれる。

ウィーナー＝ヒンチンの定理を使えば確かに両者のパワースペクトルが一致することは計算で
求められるのですが、どうも物理的なイメージが湧きません。

δ関数と白色雑音という見かけが全く異なる信号波形のパワースペクトルが一致するというのは
偶然でしょうか？必然でしょうか？

>>496
もちろん必然で、俺には当然等しくなるものに思える。
君の中で「フーリエ変換が等しい」ことのイメージが間違ってるんでしょ。

質問失礼します。

フーリエ変換というものを知らず、今少しWikioediaで読んできた程度の人間なのですが
http://www.nicovideo.jp/watch/sm6883510
こんな感じで、フーリエ変換したものをsin-waveで再構成するというのは、これは難しいことでしょうか？

宜しくお願いしますm(_ _)m

>>498
最初のバージョンとかだと、人の声を7音色の組み合わせで表現しようとしている．
一度フーリエ変換して得た周波数表現を、七つのベクトルからなる基底で近似する
というように定式化できるが、どのような基準でその基底を選んでくるかというのが
アルゴリズムの工夫点なのだと思う．発想自体は単純だが、この基底を構成する
方法（アルゴリズム）は工夫が必要．

時系列的に変動するわけだから．．．．なるほど．

まず、周波数制限をしたフーリエ成分Ｎ個をＮ次元空間の一点として表す．
これは�冲 時間窓ごとに定義できるので、解析対象とする音源から�冲 時間窓を
動かしながらＮ次元空間に点をばら撒いてゆく．こうして得た点集合に対して主成分分析を
行って、長いほうから七つのベクトルを取る．

こんな感じでどうでしょうか？

＃主成分分析の方法や意味とかは自分で調べてください．

フーリエ変換について勉強中なのですが、過去問のうち一つだけ解けませんorz

Q.周期関数f(x)(周期2π)の複素フーリエ変換を求めよ。なお、λは整数ではない。また、その結果を用いて、一般のフーリエ級数を求めよ
f(x)=sinλx(-π<x<π)


どなたか分かる方が居ましたら、解法と答えの方を教えて下さい

どうかよろしくお願いします

あぼーん

微分積分学の基本定理というのは、微分と積分が反対の操作だと
言ってるようなものなのです。
冬になって、猫さんがこたつでがくがくぶるぶるにゃ〜にゃ〜ふるえていても
反対に犬さんは元気にかけまわっていますです。
つまり、微分積分学の基本定理というのは猫さんと犬さんの関係みたいなものなのです。
この定理の証明は難しすぎてボクにはわかりませんですが、ニュートンさんが見つけたみたいです。

（りんごを落ちるのを眺めていられるくらい暇だから見つけたのかしら）

み〜☆

ラブプラス変換

f(x)=x(1-x)とする。ただし０≦ｘ≦１．
　　　　　　　∞
f(x)=a0/2 + �煤@a_n *cosπnx　（０≦ｘ≦１）となるa_n および、
　　　　　　　n=1
　　 ∞
f(x)=�煤@b_n*sinπnx (0≦ｘ≦1）　となるb_nを求めよ。
　　　n=1　

という問題なのですが、まったくわかりません。だれか教えてください。

>>504
ヒント：直交関係

>>505
直交系ですか。。でも直交系をどう使えばいいのでしょうか。
フーリエ級数の定義が[-π、π]なのにここでは関数が０以上１以下で定義されている
ところがよくわかりません。

>>506
cosπnx 、sinπnx は両方とも周期２の関数ですね。

cos で展開するほうは、f(x) を偶関数として-1≦ｘ≦１に拡張したものを考え、
sin で展開するほうは、f(x) を奇関数として-1≦ｘ≦１に拡張したものを考えれば良いです．

例えば cos のほうだと（面倒なので拡張した f をやはり f で表すことにして）

(f, cosπmx) = (a0/2 + �煤@a_n *cosπnx, cosπmx)

になるわけですね．ただし、(・,・) は内積です．直交関係で上式右辺の cosπm x 以外の項は消えますから、

　a_m = (f, cosπmx) の定数倍

となりますね．この定数が何かとかは自分で計算してください．

>>507
ありがとうございます。拡張の意味がわかりました。

内積の積分区間は　ー１〜１でいいのでしょうか？それで計算すると、a_m=b_m=1となりました。
間違えていたらまた計算しなおします。
計算の際は、(cosπnx,cosπmx)=(sinπnx,sinπmx)=クロネッカーのデルタ　を使いました。

そのあとは、a_m = (f, cosπmx) の定数倍 　b_m = (f, sinπmx) の定数倍
とあらわすのですね。そこまではわかりました。が、その後の展望が見えてきません。
偶関数と奇関数をどう生かすのかとかがわからないですorz
この概念が直交系の概念がいまいち理解しにくく、稚拙な質問ばかりですいません。

もうちょっと基本から話したほうがよさそうですね．

f(x)=x(1-x)　と

g(x)=a0/2 + �煤@a_n *cosπnx

が、 ０≦ｘ≦１ の範囲で一致していたとしましょう．ところで、g(x) は偶関数の和で書かれていることに
気づくと、g(x) もやはり偶関数になりますね．だから

g(-x) = g(x) (０≦ｘ≦１)

となるはずです．よって、g(x) は、『fを偶関数に拡張した関数』と　 (-1≦ｘ≦１)　の範囲で一致しているのです．

ちなみに、ｆ(x)を偶関数に拡張したものを f_e(x) と書くことにすると


f_e(x) = x(1-x) (0 ≦ｘ≦1）
f_e(x) = -x(1+x) (-1 ≦ｘ≦0）

ですね．だから、f_e(x) を[-1, 1] で積分するときも場合分けをすることになります．

さて、では試しに　a_0 を求めてみることにしましょう．直交関係から

(a_0/2) = (f_e(x), cosπ0ｘ）　＝ (f_e(x), 1) ＝∫[-1,0] (-x(1+x)) dx + ∫[0,1](x(1-x)) dx
で、上の右辺を計算すると1/3ですから、

a_0 = 2/3

となりますね．あとは、同じように計算すれば a_n が求まりますね．もちろん、n≧1 では三角関数を
含んだ積分になりますが、高校のときにやったように部分積分などを組み合わせれば少し面倒だけど
計算できます．

>>509
彼には難しすぎるよ

あれから解けました。ありがとうございました。

よかった．

長さLの１次元熱伝導方程式
(σu/σt)=(σ*σu/σx)
において温度の初期分布が

1 (L/4 < x < 3L/4)
u(x,0)={
0 上記以外
とする。

両端において(0℃の)熱浴に接触している境界条件
u(0,t)=u(L,t)=0
に対する温度分布u(x,t)を求めよ。


さっぱりわかりません・・・。どなたか助けてください

以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝


>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
>お前は数学という学問への良心や献身の精神すら残ってないんだね

>その数学者の業績が高々30年以内に消えてしまうような数学者はマクロに見れば存在しようがしまいがどうでも良いんだよ
>そんなレベルの数学研究の従事者は世界全体で見れば掃いて捨てるほどいるからな
>そいつがそれなりに大事な定理を発見して証明したとしても、そいつがいなくても誰かがいずれは見つけてるんだよ
>その程度の独創性しかないからこそ30年未満で消えていくんだ

>そういう掃いて捨てるレベルの数学従事者に求められるのは研究よりも教育だよ
>教育者に求められるのは中途半端な数学の研究業績よりもちゃんとした人間性だ

>女性への欲望を押えられなくて痴漢に及ぶのなんてのは教育従事者としては論外だな
>自分の業績でウソをつくのも教育従事者としては論外だな
>盗撮も論外だ

>最低でも30年以上は業績がリファーされるほどの才能もなく教育従事者としての適性もない数学しかできん半端者に税金から給料を払う必要なんてないのさ
>何をやろうと許されるのは数学史に名前が刻まれるレベル、つまりそいつが消えれば数学の歴史が変わってしまうであろう本当の天才だけだ
>それ以外の少し数学が得意なだけの幾多の凡人は社会人としての常識がなければ社会では必要ないのさ
>社会で必要ないってことは大学や組織が給料を払ってやる必要はないってことだ

EOF

コンヌは糞

足が臭いんですが・・・８足目
　http://gimpo.2ch.net/test/read.cgi/body/1228400797/
▲8▽いつまでも頭が子犬臭い▽9▲
　http://gimpo.2ch.net/test/read.cgi/body/1203251901/
理系大学生向け参考書売買スレッド Part8
　http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651

ラプラス変換もフーリエ変換も昔に工業数学で習ったな。

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

質問です。
インパルス応答をハミング窓でＦＦＴかけたいのですが、やり方がわかりません。
�@ハミング窓のＹ軸の処理はわかるのですが、Ｘ軸は単純に１÷サンプリング時間で
　表してよいのでしょうか？

�Aそのあと、インパルス応答の時間軸に対する振幅をハミング窓のＹ軸に対して、
　どのような形で処理してよいのかわかりません。
　インパルス応答の時間軸の振幅をハミング窓のＹ軸の値と掛け算する様な単純な
　ものではないですよね？

すみませんが、ご指導お願いします。

564

　　　-at
f(t)=e sin(ωt+φ)u(t)のラプラス変換F(s)を求める場合オイラーの公式
を使って求めるやり方でいいんですか？

どなたか教えてください

いいよ

>>521
オイラーの公式なんて多すぎてどれを指してるのやら．．．

exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)

のこと？

>>495
FTしても情報は失われないだろ…

>>524
そこはＰＳ取ると情報が失われる、とエスパーしてやれよ

Fourier解析を、洋書-Fourier Analysis
(Javier Duoandikoetxea;American Mathematical Society)
を読んで勉強しているのですが、
理解に苦しいので、Lebesgue積分を使ったFourier解析の本
（洋書・和書問わず；証明が比較的丁寧なもの）
皆様ご存じないでしょうか？
お勧めあったら教えてください、よろしくお願いします。

http://www.amigo2.ne.jp/~s_mouse/sub/mathalgo/fftsub/pdivfunc.png
http://to.totomo.net/img/dft2.gif
http://to.totomo.net/img/dft1.gif
http://www.amigo2.ne.jp/~s_mouse/sub/mathalgo/fftsub/pdivrestfn.png
http://www19.atpages.jp/imagelinkget/get.php?t=v&u=www2.ee.knct.ac.jp/el/E4/H15-E406/image9-7.gif

(つд⊂)ｺﾞｼｺﾞｼ→（；ﾟ Дﾟ） …！？

ラプラス変換ってどういう発想で導かれのでしょうか。
微分方程式を解く以外に使い道ってありますか。

工学ではシステムの安定性判別に使う

>>529
名前の通り、ラプラスがそんな積分変換を使っていたことはあるらしい。しかし、ラプラスは
今日見られるような使い方はしてなかったそうだ。

ラプラス変換は、当初ブロムウィッチ変換と呼ばれていて、1910年代だかにブロムウィッチが
ラプラス変換によるヘヴィサイド（工学者。電離層の存在を提唱したことなどでも有名）が
作った定数係数常微分方程式の「演算子法」による解法（数学的に根拠が不明確だった）
の合理化に成功してから注目されるようになった。なんで今はブロムウィッチ変換と呼ばれていない
かというと、フランスの基地外が騒ぎ出してカビの生えたラプラスの、誰も読んじゃいないような
本から歴史的証拠とやらを発見してこの種の積分変換の生みの親はラプラスだとか主張しまくったから。

その代わり、ラプラス変換の逆、これはラプラスは明らかにやってないのだが、にはブロムウィッチ積分
という名前が付いてる。良かったね、ブロムウィッチさん。

フーリエ変換なんかでもそうだけど、当初は便宜的な手段として変換ということだったのが、
変換先の関数から元の関数の性質が見やすくなることがある。で、実際当初は
演算子法の合理化のためだけだったラプラス変換が、ラプラス変換表の充実なんかを通して
「それ自体として有用」って見られるようになった。

余談ながら、その後1930年代だかにミクシンスキが別の方法で演算子法を合理化することを
思いついた。連続関数の全体を、普通の合成積の変種みたいなのを積とする環とみなそうと
すると、実は単位元が存在しないことがわかる。単位元に相当するのは、デルタ関数になってしまう。

しかし、連続関数の全体がこの積に関して整域であるという性質があるので、分数環の理論が適用
でき、連続関数の全体がこの分数環に埋め込まれることになる。そして、この積に関して定数関数が
「積分作用素」になっている事から、定数関数の逆数として微分作用素が分数環の元として定まり、
定数係数の常微分方程式はこの分数環における代数方程式になる。これを利用して微分方程式を
解くというのがミクシンスキのアイデア。

数学は厳密に出来てはいるけれど
実際の世の中の問題には役に立たない
なんていう人がいるけれど
（例えば大学受験で合格するのにのみに役に立つとかｗ）

ラプラス変換とかはその真逆だよね
何をしているのかよく分からない
インチキな手法に見えるが
電気工学の説明には役に立っているわけだ

で、どうやって発見したんだろうという謎。

>>531
1900以前の微分方程式の本にすでに　
y(x)=∫e^{xt} u(t)dt
とおいて解くのを Laplace's method と紹介してるので
君の認識は間違い。

>>534
Ince?

>>535
それは1926だからちがう

>>531
フランスに何か恨みでもあるの？

数学辞典（４）　482冒頭　に書いてあるね

>>538
昼休みに図書室行って、数学辞典に引用されてるラプラスの文献
見たけど、ちゃんと差分方程式解くときにラプラス変換の式を書いてるね。

イギリス人Whittaker-Watsonの211ページにも「微分方程式の解と関係づけて
積分方程式（ラプラス変換）を解析に持ち込んだのはラプラス」って書いてある。

「ラプラス変換」という言葉を誰が使い始めたか知らないが、
Inceにはすでに「Laplace transformation」って書いてあるね。Inceに引用されてる
1851年のドイツ語の本にも、「ラプラス変換」とは呼んでないが微分方程式の
解法としてラプラス変換について解説してある。

>>531はフランスに恨みを持つ馬鹿か、フランスに恨みを持つ馬鹿の
妄言に釣られたアホってことでFAだな。

結局>>531 は一から十まで嘘だらけじゃねーかｗ

ここは本当に玉石混交だなぁ

『演算子法』と呼べばいいんじゃないか？？？

演算子法はミクシンスキーのそれを思い浮かべるのでよくない

フーリエ変換は変数係数の時でも、ある程度は使えるしな（係数が1次式とか）。

△フーリエ変換
○ラプラス変換

まあ、似たようなもんだが…

FをL^2(R)上のフーリエ変換とする
この時,
「f∈C_0^∞(R)がFf∈C_0^∞(R)を満たす必要十分条件はf=0」
を示せ

これ、全然わかりません

f∈C_0^∞(R) → Ff は実解析的
Ff :実解析的かつ C^∞_0(R) → 一致の定理より Ff=0
→ f=0

逆は明らか.

ある差分方程式の各値を予測するプログラムを作りました。
たとえば初期値から1000点先まで予測をして、それぞれの真値から予測した値を
引いた数を誤差とした場合、これをフーリエ変換して誤差の偏りのようなものを
見出したいのですが、どのようにすればよいのでしょうか？

誤差のデータが1000個あるので、それを数列と考えてフーリエ変換したいのですが、
どうやって解いたらいいのか分かりません。
お答えしていただければ幸いです。

>>548　follandのフーリエ解析の本にそんなようなこと書いてた気がするな。
　どんな内容だったか忘れたけどｗ

みなさんフーリエ変換について話してるので恐縮ですが。
-π ≦　ｘ　≦　π　で f(x)=｜x｜(π-｜x｜) で与えられる周期2πの関数の
フーリエ係数　a(n),b(n) (n≧1) を教えていただきたいのですが・・・

a(0)は出せるのですが、計算途中の積分でいきづまってしまいます。
お手数ですがどなたかよろしかったご回答よろしくお願いします。

>>550　ここ、そういうスレじゃないんで。

>>548
フーリエ変換で分かるのは周期だけだと思うよ
たとえば誤差が-1,0,1,0, -1,0,1,0, -1,0,1,0, ...ってなったとすると
これは誤差の増減が4点ごとに同じような変化するわけだけど
フーリエ変換すると周期が4を示す部分で大きい値が出て
周期が4なんだなって分かる

誤差の偏りってどの時間に大きな誤差が出るか、とか
予測値がどのように変化すると誤差が大きくなるか、って事を知りたいんじゃないの？
それだとフーリエ変換じゃ知る事は出来ないと思うよ

>>552
返答ありがとうございます。
確かに本当に求めていたものは
>>誤差の偏りってどの時間に大きな誤差が出るか、とか
になるのですが、周期を求められるのであれば
その方法を教えていただけるとありがたいです。

フーリエ変換では時間か周波数どちらか
ある周波数から時間を知りたければ窓を掛けた短時間かフーリエ変換するかウェーブレット変換する

数学科で扱うフーリエ変換の内容が大体書いてある本教えてください

フーリエ解析は定番と呼べる本がないのが現状。

> 数学科で扱うフーリエ変換

ってのは、局所コンパクト可換群上の調和解析とか含むのか？
だとしたら院生レベルだし、>>551が自分で文献漁れないとまずくないか？

>>557
そうのじゃなくて556が言うようなフーリエ解析の定番と呼べる本があるか聞きたかったのです
研究とかそういうのじゃなくて単なる大学生の自習用です

>研究とかそういうのじゃなくて単なる大学生の自習用です
なんか他人事のように書いてしまってすいません
単なる大学生の私が自習用に読める本は無いですか？と聞きたかったのです
でも定番とか無いんですね
検索して岩波の実関数とフーリエ解析って奴と
プリンストン解析学講義のフーリエ解析入門が引っ掛かったので
それらを今度図書館で見てきます

AMSのPinskyみたいな名前の人が書いたのはどう？
この前買ったんだけど？

AMSのあのシリーズ
で駄作は無いような気がする。

>岩波の実関数とフーリエ解析って奴

笑いジニ下蹴れば雄すめ

>>562
なんで笑い時になのか説明してくんないとわからん

結局プリンストン解析学講義のと猪狩の実解析入門借りてきました

>>563
たんなる私怨だろ。内容は良いからオススメだよ。

f(x)=e^-a|x| (a>0)のフーリエ余弦変換はF(u)=2a/(a^2+u^2)であることを利用して、
∫1/(a^2+x^2)dx　積分範囲(a〜∞)の積分を求めよ。

どなたかお願いします。

>>566　
訂正：積分範囲（0〜∞)です。すみません。

>>565
実解析と複素解析の初心者に問題集・解説書
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1119182730/

を思い出すからな・・・

フーリエ変換が主体か、フーリエ級数が主体か
函数解析にどの程度踏み込むか
超函数を（積極的に）使うか
群上の調和解析を扱うか


・・・などなどで本の書き方が変わるからな。
定番はないだろ。プリンストン解析学講義が定番とも
思えないが、あれなら悪いところはなさげ。

>>555,558,559は非数学科学生が、数学っぽい
話題を勉強したいって話みたいなので、2ちゃんで
聞くようでは、まあがんばってね（笑）としか・・・

2chを舐めてはいかん

age

>>569
身近に数学やってる人がいないしなぁ。mixiの数学コミュなんかガラガラだし。
>>562 みたいなノイズを除去すれば、割と役に立つことも、ないわけではない。
全く情報ゼロよりは、カス95％でもないよりまし。濾過するところは個人の責任。

>mixiの数学コミュなんかガラガラだし。
最近は2chの相次ぐ書き込み規制のせいで
数学板も宿題スレ以外ガラガラさ

sage

Grafakos読め
Classical and Modern Fourier Analysisか
新版でそれを2冊に分けた奴
Classical読むだけでもいい

Classical Fourier Analysisと書いてあるけど
全然Classicalに見えない本を読め