代数学総合スレッド part3

代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。


前スレ
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/

前々スレ
代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/

自然法則が多様体のトポロジーなら、新しい発見は出し尽くしたのだろうか？

スレ立て早すぎ埋めるな

　　　　　　　　　　　　　　,.　−=＝=ー- ､_ _
　　　　　　　　　　　,. ' ´　　　　　　　　　　　 丶、
　　　　　　　　　,.ｒ'　　 ／　　　　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　,ｨ//ｌ ／　　　　　　　　　　　　　　ヽ　`、　　　
　　　　　　　/ﾐ///　　/　 　　/　　　n　　 　　ヽ　ヽ　',
　　　　　　 /ﾐ///:　 /　/　//　　/　l l　 .l l　　} i　l　 ヽ
　　　　　　 lﾐlﾄl=ｌ::　/　/　//　　/　/ l 　 | l　　l l　l　　 l 　　／
　　　　　　 j==|=l: :/　/　//　／　/　l　　l |　　| l　|　　 | 　＜　 世界最速！サムエル・ワンジル様が４様をゲットだあぁぁぁ！！！
　　　　　　《(@)}ﾉ: |//‐/‐!／ｌ／!/　/　 //l|__/ / /　l　 l 　　＼
　　　　 　　lー'lξｿ_,.r＝=ﾄ｀ｉ!　ﾘ　/ｲ／三ﾚ'l|/ / l　|　 l
　　　　　　 l::　|ξ　ヽ {:':::::ﾘ `　　　 ' ,.ｲ:':::::} ヾﾚi　l　l　 |
　　　　　　 |::　lξ iﾍ,. ''=‐'　　　　　　　!;;__ﾉ　ﾊﾘ　|　l　_|
　　　　　　 l::　|:ξt6l ///　　　　,　　　/// ｼ´〉　/ /l　|
　　　　　　 |_:: l::ξlｰﾄ､　　　　　‘　　　　 　/-'l　//::l|　l　
　　　　　　　|:: !::ξl:::l::::ヽ、　　 ‐‐　　　　ｨ':::::ﾉ //::::|l /
　　　　　　　`ｨ!|::　l::::|:::::}. `　、__　,.　イ:::::}::::/ //::::/!/
　　　　　　　　ｉ!ヽ､|::::ﾄ､:j　　　　　　|;;;;l;;／;;/ /'´ｰ.'|/
　　　　　　＿　　　ー`ノ　　　　　　 l＼__／／,＿
　　　　　 /:::::＼―／　　　　　　　　｀　`ｰ-〒コ ﾄ、
　　　　　ﾉ:::::::::::::`ヽ、＿,　―‐､,,,　　,.ー−‐l::l　Ｙ::ヽ、
　　　,.-'::::,へ､::::::::::::`ヽ,_　　　　　　　　　　/:/　 l::::::::ヽ=､
　　 /::::::/　:　:`ヽ、::::::::`ヾ、、　　　　　　/:/＿_|::::::::::i:::〕〕、
　 ./::::::/　:　　:　 　`ヽ、:::::::ヽ,`ヽ、　 ／￣`ヽヽ＼::::::l|:::|: :ヽ
　/::::::/ 　　:　　　　:　　`ヽ、::::`ヽ,-‐'‐‐＝=､ l:::|::::::＼i!::l　:　`、
　|:::::/　　　:　　　:　　 　　　`ヽ:::::⊂ﾆﾆﾆ、ー |::|:::::::::::＼l :　: :ヽ
　|:::/　:　　　　:　　　:　　　　: 　`ヽ;:::ヽ＿｀＞ l:::l::::::::::::::::＼: :　:`、　

Ｕを単元群とするとき、ａ＋ｎＺ∈Ｕ（Ｚ／ｎＺ）⇒ｇｃｄ（ａ，ｎ）＝１
を証明するために、その対偶　「ｇｃｄ（ａ，ｎ）≠１⇒ａ＋ｎＺがＵ（Ｚ／ｎＺ）
の元でない」を証明しようとしているのですが、どのように示せばいいのか
よく分かりません。途中までは証明方法を考えてみたのですが、このような
方法で合っているのでしょうか？下に書いておきます。
ｇｃｄ（ａ，ｎ）＝ｄ　（ｄ≧２）とすると
ａｘ＋ｎｙ＝ｄ　（∃ｘ，∃ｙ∈Ｚ）
Ｚは単項イデアル環であるから
ａＺ＋ｎＺ＝ｋＺ　（∃ｋ∈Ｚ）　ｋ＞０とする
ａｘ＋ｎｙ∈ａＺ＋ｎＺ＝ｋＺ
∴ａｘ＋ｎｙ＝ｋｔ　（∃ｔ∈Ｚ）

このようにしたのですが、とりあえずこのようなやり方で合っているのですか？
宜しくお願いします。

ま　た　お　ま　え　か

>>5は含まれていない事は自明
Q E D

>>5についてですが、Ｚ／ｎＺ＝｛０，１，２，・・・ｎ−１｝
でｇｃｄ（ａ，ｎ）＝ｄとして　２≦ｄ≦ｎ−１とすると，
ａｘ＋ｎｙ＝ｄ　（∃ｘ，∃ｙ∈Ｚ）となるのですが、
ここからどのように　ａ＋ｎＺがＵ（Ｚ／ｎＺ）の元でないことが
分かるのですか？

d は ｎ を割り切るだろ。

わからないならｎ＝１００ぐらいまで調べてみろ

>>8

式の意味するところを、普通の言葉で表現してみればわかる。

小学生だったころ>>5が成り立つことに気づいた。

多項式の既約性の判定ってどこまで研究されてんの？

>>13
係数環(体)はZ(Q)でいいの？

ちなみにあたえられたZ係数の多項式がZ[t]で既約か可約かを判定する
アルゴリズムは存在する。なんかの本にのってた。簡単。

>>15
ｎ次式はｎ＋１箇所の自然数における値で一意的に定まるから、ｎ＋１
個の自然数を任意に取って、ｆにそれらを代入したときの値の約数を値
に持つ多項式は有限個しかない。これらが整数係数でｆを割り切るかど
うかをしらみつぶしに確かめればよい。

一応より一般のK[X,Y,Z,,,]のKは体の方が都合がいいかも でもZ[X]での既約性の判定あるんだ？しらんかった

>>9
ということはｎはｄの整数倍だからｎ＝ｄｔ（ｔ∈Ｚ）とおける
から　ａｘ＋ｎｙ＝ｎ／ｔ　（∃ｘ，∃ｙ∈Ｚ）
ａ＋ｎＺがＵ（Ｚ／ｎＺ）の元でないことを示すには
（ａ＋ｎＺ）（ｂ＋ｎＺ）＝１＋ｎＺ，つまりａｂ＋ｎＺ＝１＋ｎＺ
を満たすｂが存在しない
つまりａｂ−１∈ｎＺを満たすｂが存在しないことを示せばいいと
思うのですが、ａｂ−１＝ｎｋ（∃ｂ，∃ｋ∈Ｚ）とすると
ａｂ−ｎｋ＝１よりｄｓｂ−ｄｔｋ＝１　
よってｄ（ｓｂ−ｔｋ）＝１でｄ≧２でｓ，ｂ，ｔ，ｋは整数だから
不適だということで良いのですか？

ラグランジュやルフィニが、アーベルやガロア以前に方程式の研究から
群論の芽生えとなるような研究をしていたそうですが、
どんな感じだったのか知る方法はありますか？
(論文とか、本とか)

イカサマ賭博師カルダーノがポーカーをしていたとき、かき集めたチップを思って考えた。
「そういえば・・・これ」

会話形式の厚めの本があったな。
タイトル忘れたけど。

>>21
もっとくわしく！

21じゃないけどたぶん↓これのことを言ってるんだろう。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/476870011X/qid=1117009545/sr=8-10/ref=sr_8_xs_ap_i10_xgl14/250-8549353-3329066

今確認したら四方堂にあるな。

ラグランジュって言い難い名前だよね〜
ルジャンドルと何となくかぶってるし。

ホモロジー代数の良書教えてください。
河田を読んだのですが、層とスペクトル系列のありがたみがいまいち分かりませんでした。

>>25
tohoku

大学の授業で環ＲとＲの部分集合Ｉに対して，ＩがＲのイデアルであること
の定義を（�@）Ｉ＋Ｉ＝Ｉ，−Ｉ＝Ｉ　（�A）ＲＩ＝Ｉ，ＩＲ＝Ｉ
と教わったのですが，例えば（�@）のＩ＋Ｉ＝Ｉというのは∀ｘ∈Ｉ，∀ｙ∈Ｉ
⇒ｘ＋ｙ∈Ｉという意味だと思うのですが、Ｉ＋Ｉ＝Ｉと書かれている以上は
Ｉの任意の元を２つとってくるとその和はＩ全体に写っているということなの
ですか？つまり∀ａ∈Ｉに対して，∃ｘ，∃ｙ∈Ｉ，ｘ＋ｙ＝ａ　のことで
すか？

>>27
その通り。
まあx=a,y=0とすればいいわけで。

>>25
スペクトル系列に関しては代数幾何スレに今、俺が書いてる
ものが参考になるだろう。まだ始まったばかりで長くなる予定。

Ｒを可換環，ＩをＲのイデアルとするとき「Ｒ/Ｉが体⇒ＩはＲの極大イデアル」
であることを示そうとしているのですが、途中で行き止まってしまいました。

Ｒ/Ｉは体だから
　∀ａ＋Ｉ≠Ｉ　（ａ∈Ｒ）　に対し
（ａ＋Ｉ）（ｂ＋Ｉ）＝１＋Ｉ　（∃ｂ∈Ｒ）
１＋Ｉ＝ａｂ＋Ｉ
⇔１−ａｂ∈Ｉ
よって　１−ａｂ＝α　（∃α∈Ｉ）
１＝α＋ａｂ
ＩがＲの極大イデアルではない、即ちＩ⊂≠Ｊ⊂≠ＲとなるイデアルＪが
存在すると仮定する。

　背理法で示せばいいとは思うのですが、ここからどのように示せば良いの
ですか？
よろしくお願いします。

>>30

Ｉ⊂≠Ｊ⊂ R なるイデアルＪが存在するとする。
R/I は体だから、0≠ j ∈ J/I ⊂ R/I は R/I において逆元 J’ を持つ。
つまり 1 ∈ J/I 則ち J/I =R/I よって J = R

省略があるかも。

>>30
>>31と同じだけどａをａ∈Ｊ−Ｉととれば>>30から１∈Ｊ。

>>31
ありがとうございます。１∈Ｊ/Ｉというのはどのようなことから分かるのですか？

>>33

R/I は体だから j 0≠ j ∈ J/I ⊂ R/I は R/I において逆元 j’ を持つ。
j の代表元は ∈ J 、J はイデアル故 jj’ ( =1 ∈ R/I ) の代表元 ∈ J 、
即ち、 J = R

今代数の最前線っていうと何やってるの？

現在、三次方程式を出題して解きあう競技がブームです。

７．博士号を取得しても職がなく、借金（奨学金）を返すことさえできない

もし、真剣に研究者を目指して、20代のすべてを研究に捧げ、それなりの成果をあげた
にも関わらず、７．のような状態に陥ったとしても、決して希望を捨てないで欲しい。
統計を取ったことはないが、このような状況での自殺者が結構いるのではないかと思う。
この状況は、1990年前後の受験戦争よりも、はるかに厳しい生きるか死ぬかの戦争で
ある。しかし、「勝ち負け」にこだわりすぎて、本当に死なないで欲しい。
（2004年12月14日の日記より）
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

実は、現在の日本で30代半ば以降になって経済的・精神的余裕が得られた独身男性にとって、
結婚相手は選り取り見取りの状況である。なぜなら、現在20代の女性の結婚願望が高まって
いる上、外国人（中国人、フィリピン人等）の美女達は、このような日本人男性と結婚した
がっているからである。40代や50代でも、20代の美女と結婚することは珍しくない。ITの
普及等で出会いの機会が拡大した現在、30代半ば以降の独身男性の中には、このような状況を
楽しんでいる輩が少なくない。（2005年1月8日の日記）
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

財団法人の研究所に就職した同期のD君だけどね。
今日の日記に書いた女性を手込めにして楽しんで
いる輩も、実はD君を念頭に置いている。
2005年1月8日 (土) 01時36分28秒
http://geocities.yahoo.co.jp/gb/sign_view?member=arachan4553

Ｆ_2＝Ｚ/２Ｚ＝｛０，１｝
Ｆ_2[ｘ]を２元体Ｆ_2上の多項式とするとき
４元体Ｆ_4＝Ｆ_2[ｘ]／（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]　を求める問題なのです
が、ヒントの所に計算方法として、２＝０，ｘ^2＋ｘ＋１＝０
即ち　ｘ^2＝−ｘ−１，またｘ^2＝ｘ＋１　と書かれているのですが、
なぜｘ^2＝ｘ＋１となるのかよく分かりません。ｘ^2−ｘ−１＝０
のことだと思うのですが、なぜｘ^2−ｘ−１を０として計算して良いのです
か？
よろしくお願いします。

群環体、イデアル、単項イデアル、整域・・・などが異常にわかりやすい参考書知ってる方いらっしゃいましたら
教えてください。

>>39
＞４元体Ｆ_4＝Ｆ_2[ｘ]／（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]　を求める問題なのです
　
F_4とＦ_2[ｘ]／（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]が同型であることをしめすって問題？
なら
　
x^2+x+1がＦ_2[ｘ]で既約なので一般論からもでるけどL=Ｆ_2[ｘ]／（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]
が４つしか元ないから逆元の存在をしめす方針かな？
ならx+（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]を(つまりxを代表元とする類を)yであらわすとして
LはK=F_2上の基底として1,yがとれる。(実際Lの元がこの2つの元のK線形結合でかけるのは
簡単にしめせる。)よってLの0でない元は1,y,y+1の３つしかない。全部に逆元があることを
しめせばよい。最初の元（正確には1+（ｘ^2＋ｘ＋１）Ｆ_2[ｘ]）は単位元なのでよい。
y(y+1)=-1=1（F_2は標数２）なのでy,y+1は互いの逆元になっている。
　
ちなみに
　
＞なぜｘ^2−ｘ−１を０として計算して良いのです
＞か？
　
F_2上の多項式だからｘ^2−ｘ−１とｘ^2＋ｘ＋１はF_2(x)の元として等しい。

【ついに立つ】上野健爾スレッド【親玉・本丸】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117714255

>>40
松村の「代数学」
朝倉書店から出てる「環と体」なんてのも良さそうだった
あとM.ArtinのAlgebraもわかりやすいと言う評判（厚いけどね）

>>43
今読んでるのですが、松阪の代数系入門なんかはどうですか？

というか、杉浦の解析入門みたいな超定番の入門の本って何ですか？

ブリブリ

Ｋを体，ｆ（Ｘ）をＫ上既約なモニック多項式とするとき
Ｋ[ｘ]／ｆ（Ｘ）Ｋ[ｘ]　は体であることの証明で
∀ｇ（Ｘ）＋ｆ（Ｘ）Ｋ[ｘ]≠ｆ（Ｘ）Ｋ[ｘ]　をＫ[Ｘ]／ｆ（Ｘ）Ｋ（Ｘ）
の元とすると，
ｆ（Ｘ）の約数は１またはｆ（Ｘ）のいずれかであるから
ｇｃｄ（ｇ（Ｘ），ｆ（Ｘ））＝１またはｆ（Ｘ）
・・・・・
このように書かれているのですが、２とか３とかはｆ（Ｘ）の約数ではない
のですか？
ｆ（Ｘ）＝２・（１/２）ｆ（Ｘ）とはなぜ考えられないのですか？

>>44
>代数系入門
定番でしょ

>>46

無意味だから。基礎体 K の元は約数、因数の対象とはしない。
その部分を簡明に扱うためモニックを対象にしている。

４年前ぐらいにあったwell-definedスレより

＞Gを群、Hをその部分群とする。a,b∈G、*はGの演算、b^(-1)は逆元
＞a*b^(-1)∈Hのときa〜bとすると、この関係〜は同値関係になる。
＞この同値関係による商集合をG/Hするとき、Gの演算から誘導される演算が
＞G/Hでwell-definedであるためには、HがGの正規部分群であることが必要十分。
＞つまり、Hが正規部分群でない部分群だとすると、誘導される演算はG/Hでwell-definedではない。

＞G/Hでwell-definedであるためには、HがGの正規部分群であることが必要十分。
＞つまり、Hが正規部分群でない部分群だとすると、誘導される演算はG/Hでwell-definedではない。

ここは何で？
aH=Haとして[x*y]=xH*yH=xHyH=xyHH=xyH=[xy]が関係してる？
（まず何で自分の見るwell-definedスレは荒れているんだろう？）

>>49
xHyH:=xyH (つまり類xHと類yHの積を類xyHと定める。)がwell-definedであるためには
この右辺が左辺のx,yの選択によらないことが必要十分。つまり
xH=zH、yH=wH⇒xyH=zwH (∀x,y,z,w)
がいえることが必要十分。これを仮定するとHが正規部分群になる。
実際g∈G、h∈Hを任意にえらぶとき
x=gh、y=g^(-1)、z=g、w=g^(-1)とさだめるとxH=zH、yH=wHなので仮定より
xyH=zwHであるがxyH=ghg^(-1)H、zwH=Hなのでghg^(-1)∈H。
逆にHが正規部分群なら上記定義はwell-defined。それはxH=Hxが任意のxについて
成立することから容易。

どなたかこれわかりませんか？
x^3y^3=17
(x、yは正の有理数)

↑間違えました
(x^3)+(y^3)=17
(x、yは正の有理数)です

ついでに
(x^3)-(y^3)=17
(x、yは正の有理数)もどう？

（x=18/7,y=1/7）

K:代数体でK→Cの体準同型の数は[K:Q]となるというのがわかりません。

>>54

準同型は単射になるのは解るか？

>55 わかります、そもそも疑問なんですが、代数体がガロア拡大になってなかったら、自己同型の数は拡大次数以上だと思ってました

>>56

自己同型はどのような物になるか？
K→C 或はその Image(体) がどんな物かを考えろ。

ＫがＱ上の多元環だったらＫからＣへのＱ−準同型の個数はどうなる？
これが難しいならＫを可換としてもいい。

多様体・イデアル・グレーブナ基底を勉強しようと思うんですが、
いいテキストや参考書を教えて下さい

出来たら難易度
初心者向け：
比較的普通：
レベル高い：
の3段階でお願いします

つ【ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/】『代数』
ただしグレブナー基底のことについては分からず、許せ

Ｒが整域ならば，Ｒ[ｘ]も整域であることの証明ですが，
０≠∀ｆ∈Ｒ[ｘ]，０≠∀ｇ∈Ｒ[ｘ]に対して，
ｆ＝ａ_0＋ａ_1ｘ＋ａ_2ｘ^2＋・・・・＋ａ_nｘ^n　（ａ_n≠０）
ｇ＝ｂ_0＋ｂ_1ｘ＋ｂ_2ｘ^2＋・・・・＋ｂ_mｘ^m　（ｂ_m≠０）
とすると
（ｆ・ｇの最高次係数）＝ａ_n・ｂ_m≠０　（∵０≠ａ_n∈Ｒ，０≠ｂ_m∈Ｒ
でＲは整域だからａ_n・ｂ_m≠０）
よってｆ・ｇ≠０だからＲ[ｘ]は整域である。
このように考えたのですが、正しいでしょうか？

>>61
ちょっと変

ｆ≠0だから、あるkが存在して、a_k≠0
g≠0だから、あるlが存在して、b_l≠0

a_kx^k*b_lx^lであとは同じ議論

ごめんなさい　俺が間違えてた


無視してくり

>>61
そうすると>>61の証明法で正しいですか？

>>64
おっけーい！！

未知数について｡

未知数として与えられた x などの文字は様々に値を変える数である と見なされて変数と呼ばれる。あるいは特定の値を持つわけではない という意味で不定元などともいう
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

数学の方程式などで、値がまだわかっていない数。ふつうx・y・zなどで表す。「―を求める」
ttp://dic.yahoo.co.jp/bin/dsearch?p=%A4%DF%A4%C1%A4%B9%A4%A6&stype=1&dtype=0&dname=0na

これって両立するの？

別にどっちも間違ってないと思うが．
厳密な定義があるわけじゃないし．

んー､でも
｢特定の値をもつわけではない｣と
｢値がまだわかっていない｣というのは明らかに矛盾する気がするんだが･･･
後者は値が｢わかってない｣だけで特定の値が存在すると考えてるんじゃ？

「特定の値を持つわけではない」の変数のことであって
未知数のことをさして言っているわけじゃないから．

xはある特定の値の筈なんだけど，それを敢えて動かして
考えてみよう，ということでしょ．あまり細かい事いってもしょうがないけど．

ん、それも考えた｡
未知数というのはあくまで値が未知である数の事で方程式を解けばその値が求められる､
ただし値の代入などを利用し､変数とみなして解を考えることもできる―みたいな｡

だけど
｢文字 x を含む論理式 P(x) に対し、x に値の代入を行ったとき P(x) が命題になるならば、論理式 P(x) は変項 x に関する命題関数であるという。

命題関数 P(x) が等式で与えられているとき、その命題関数 P(x) のことを方程式と呼び、変項 x を変数、P(x) が真となる代入 x を方程式の解と呼ぶ。｣
これを見て思考がバグった｡それともこの｢変項x｣は未知数とは考えないの？

｢未知数と解｣が
｢ある条件を満たす未知の定数とその正体｣､なのか
｢変数と関係式を成り立たせる代入｣なのか
それともその両方どっちでもいいのか｡
中学・高校の教科書・参考書だと前者みたいな書かれ方が圧倒的なんだが（未知数と変数
は完全に区別されて書かれている）大学レベルの代数学の参考書見るとどれも｢未知数は
変数､解は式を成り立たせる代入｣みたいな事がかかれててこんがらがってます｡
両方をうまく説明した文献がほしい物理学科一年生｡

なぜ？普段やっていることを厳密に書いただけなのに．
「変項」は述語論理の用語で，厳密な定義があるけど，
「未知数」は単に数学を考えるときに便利な用語というだけ．
頭の中では変項variable xを未知数unknownと考えているけど，
別に「未知数」の定義がなくたって，形式的に数学を書き下すことは出来る．

>>71
どっちかがもう一方よりまずいようなことは
ないと思うけどなあ

＜＜「変項」は述語論理の用語で，厳密な定義があるけど，
＜＜「未知数」は単に数学を考えるときに便利な用語というだけ．

なるほど､知らなかった有難う調べてみます｡

＜＜どっちかがもう一方よりまずいようなことは

あ､いや､式だけをみれば勿論そうなんだけど｡
ただもっと具体的な例で･･･そうだな､
｢ある自然数xを４倍して３を引くと17になった｣ということを
4x-3=17
と表したとき､xは｢ある自然数｣―｢ある条件を満たす未知の定数｣として与えられてるのに､
それを｢変数｣と考え（られ）るのがよく解らなくて･･･
文字同士の関係式､例えば
x=y+1
なんかは純粋にxとyを何数と捉えるかで解釈が変えられる（片方を定数､もう片方を未知数と見て解くとか､両方変数と見て関数とみなすとか）のが解るんだけど､上の例みたいな場合は
xは未知の定数としか解釈できないんじゃないのかな､と｡

なんというか､文字その物の立場というか｡
こういう考え方は数学的じゃないのかもしれないけど｡
解の持つ意味というか･･･
解が｢方程式を正しく満たす未知数の値｣であるのは解るんだけど､
その未知数が元々その方程式を満たす物（未知の定数）として考えられている場合と､
単に変数で解は方程式を満たす変数の値､と考える場合で同じ｢未知数｣という言葉を使う
のがなんとなく釈然としなかったというか｡

方程式P(x)のxには何を代入してもいいんだよ。
単に真理値がfalseになるだけ。
Pはxが取りうる領域（実数とか）から{true,false}への写像であって
方程式P(x)の解とは{x|P(x)=true}のこと。

＜＜方程式P(x)のxには何を代入してもいいんだよ。
＜＜単に真理値がfalseになるだけ。

方程式単独だと解るんですが・・・
だけど文章題への適用を考えるときに｢このｘはどういう意味で使われてるのか｣と
いうことを考えるとどうしてもこんがらがる・・・
未知数xその物が{x|P(x)=true}という定義を与えられていないのに（つまりｆａｌｓｅと
なるｘについても考えうるのに）何故｢ある条件を満たす数｣とか｢ある方程式の解｣
とかを未知数として置けるのか､と｡

いや､あー・・・､方程式を命題関数として捉える立場の場合､その命題が
真であるか偽であるかは言明されてない（未知数の値によって真とも偽ともなる）
のに､文章題などでは方程式中の未知数が方程式を満たす､つまり命題が
真となる､ということを前提として議論を進めてるような書き方をされてる感じが
するんです｡
｢ある数xから3をひくと5になる｡xを求めよ｣
｢x-3=5｣
とおいた場合−

ああ､xをどういう立場の数として用いるかは関係ないのか？
｢ある文字について方程式をたて解を出す｣というプロセスの中には
その文字がどういう値ならば方程式を満たすかということしか意味と
して含まれず、もともとxがどういう風に定義されていたかは関係ない？

だから｢ある条件を満たす未知の定数｣を未知数として方程式を立て､
解をその定数の値と解釈することも､
｢ある条件を満たす場合の変数の値｣を導出するために変数を未知数と
してその条件を表す方程式を立て､解を｢その場合の変数の値｣と解釈
することもできる？

ある文字を未知数として方程式を立てそれを解くという行為は方程式を
満たす未知数の値を導出するという以上の意味は持たず､解として与え
られた値が文脈上どういう意味を持つかなど関係ない・・・？

でもそうだとすると・・・ああそうか､xが本来どういう値を持つと
考えられているかということとxにどんな値を代入すると命題が
真となるかということは別の問題なんだ｡
xがある方程式を成り立たせる未知の定数として与えられた場合､
その方程式の解を導出するとそれがそのまま｢未知の定数xの値｣と
なっているだけで､｢ある文字を未知数と見て｣｢方程式を解く｣際には
未知数は変数とも定数とも扱える､とことなのかな・・・？

試験の文章題では暗黙のうちに方程式には解があると仮定されてるからね。
ってかこの辺の話題は代数学とはちょっと違うから、続けるんなら
数理論理学系のスレに移ったほうがいい。

こういうこと気にしないといけないのは超準解析くらいで
普通は曖昧な把握でも別に困ることはないと思う．

次の問題を考えてみたのですが、合っているかどうか分からないので
判定よろしくお願いします。
（問）ｍとｎの最小公倍数をｌとする。（ｍ，ｎ：正の整数）
ｍＺ∩ｎＺ＝ｌＺ　が成立することを証明せよ。
（答案）ａ∈ｍＺ∩ｎＺとすると，
ａ∈ｍＺより　ａ＝ｍｓ（∃ｓ∈Ｚ）
ａ∈ｎＺより　ａ＝ｎｔ（∃ｔ∈Ｚ）
よってａはｍとｎの公倍数であるから，最小公倍数の倍数である。
∴ａ＝ｌｋ（∃ｋ∈Ｚ）　即ちａ∈ｌＺ
∴ｍＺ∩ｎＺ⊂ｌＺ　・・・・・（１）
ａ∈ｌＺとすると，
ｌはｍとｎの最小公倍数だから
ｌ＝ｍｓ＝ｎｔ　（∃ｓ∈Ｚ，∃ｔ∈Ｚ）
ａ∈ｌＺ＝ｍｓＺより　ａ∈ｍｓｋ（∃ｋ∈Ｚ）
よって　ａ∈ｍＺ
また　ａ∈ｌＺ＝ｎｔＺより
ａ＝ｎｔｂ（∃ｂ∈Ｚ）
よって　ａ∈ｎＺ
∴ｍＺ∩ｎＺ⊃ｌＺ　・・・・・（２）
（１），（２）より　ｍＺ∩ｎＺ＝ｌＺ

このように考えたのですが，この証明に何か不備は無いでしょうか？
よろしくお願いします。

別に不備はないと思う．
まあ明らかといえば明らかだけど．

L,Kを体として[L:K]=nならば、あるLの元a_1,a_2,,,a_nで､ L=Ka_1+・・+Ka_nと表せるというのがわかりません、乗法に関する逆元はこのような形をとるって所がピンときません

>>82
答案４行目の「ａはｍとｎの公倍数であるから，最小公倍数の倍数である。」
という部分は，証明せずにすぐ言い切っても良いのですか？

自分で証明できて，明らかだと思うのなら
言い切ってもいいんじゃない？

>>84

不安を感じたら、その証明を付けてみれば良い。
答案の表現は、明らかに見えない形ではある。最小性がどこから出るか
を整理せよ。

>>83
体って何か知ってる？ｗ

>>84
もし必要なら
m、nの公倍数aが最小公倍数lの倍数であることの証明

証明
aをlで割って、商をq、余りをrとする。
a=l*q+r　(0≦r＜l)
ここで0＜r＜lと仮定する
r=a-l*q=m*{(a/m)-(l/m)*q}=n*{(a/n)-(l/n)*q}だからrもaとbの公倍数である。
ところが、0＜r＜lだから、lがaとbの正の公倍数のうち最小であるという仮定に反する。
よってr=0となる。

よってaはlで割り切れる。
証明ここまで

>>88
ありがとうございます。

日本数学会が「間違い理論」に代数学賞を献上！

藤原一宏氏の業績
＞谷山ー志村予想についてのワイルズの結果をヒルベルト・モジュラー形式に拡張することを試み、
＞これについても著しい結果を出している。とくに、テーラー・ワイルズの方法を公理化した可換
＞環論的手法は強力であり、すでに多くの研究者によて利用されている。藤原氏のこの方面の研究は
＞ヒルベルト・モジュラー形式に止まらず、多変数の保型形式の理論に大きな影響を与えつつある。
http://www.math.wani.osaka-u.ac.jp/group/numberth/algebra/daisugakusho.html#fujiwara

ωをｘ^2＋ｘ＋１＝０の１つの解とするとき
Ｕ（Ｚ[ω]）に属する元をすべて求めよ。ただしＺ[ω]＝｛ｘ＋ｙω｜ｘ，ｙ∈Ｚ｝⊂Ｃ，
Ｕは単元群を表すものとする。
この問題についてですが，どのように考えていけば良いのでしょうか？
（ｘ＋ｙω）（ｘ´＋ｙ´ω）＝１としてｘ，ｘ´，ｙ，ｙ´が整数となるような
組を見つけていけば良いのですか？

>91 ノルムが１となるものを探す

√9=3

・F(i):体 (i∈I)
・R:F(i)の直積 (i∈I)
・a=a(i)∈R (i∈I) に対して　Z(a)={i∈I|a(i)=0}
・m⊂R 極大イデアル　　　　　　　　　　
とする。このとき
U(m)={Z(a)|a∈m} がI上の極大フィルターになることを示せ。

代数に強い方どうかご教授ください。よろしくお願いします。

Re:>>94 F とか I とかを説明しようとしないあなたが大好きです。

>>95
FのフィルターXに対してI(X)={a|Z(a)∈X}とさだめる。
StepI) IのフィルターXに対してU(I(X))=Xをしめす。
X⊂U(I(X))はXの元Sに対しZ(a)=Sとなるaをとれば（かならずとれることは容易）
a∈I(X)。よってS∈U(I(X))である。逆にS∈U(I(X))をとる。定義からS=Z(a)、a∈I(X)
なるaがとれる。このときa∈I(X)からZ(a)=T∈Xである。よってS=Z(a)=TよりS∈U(I(X))。
StepII) I(X)はイデアルであることを示す。実際a∈I(X)、b∈RとするとZ(a)⊂Z(ab)、
Z(a)∈X、XはフィルターだからZ(ab)∈X。さらにa,b∈I(X)とするとZ(a)∩Z(b)⊂Z(a+b)
であるからやはりZ(a+b)∈X。
StepIII) I(X)がプロパーイデアルでないならXは空集合を含むフィルターであることをしめす。
実際1∈I(X)ならφ=Z(1)∈Xだからである。
以上から主張をしめす。mを極大イデアル、U(m)⊂Xをフィルターで空集合を含まないとする。
このときm⊂I(U(m))⊂I(X)。mの極大性からI(X)=mであるかI(X)はプロパーイデアルでない。
しかしStepIIIと仮定からそれはない。よってI(X)=m。
よってStepIよりX=U(I(X))=U(m)。これでU(m)の極大性がいえた。

>>94
体の超積は特別なものではなくて、ありふれたものであるということだが、
どこの問題だろう。

>>96
はそれであってるのか？体とか直積とかa(i)=0の条件を使ってないみたい
だけど。最後U(m)をフィルターとするっていうのもいきなり言っちゃって
いいのかな？

>>98
うん。"U(m)⊂Xをフィルターで空集合を含まないとする"で体であることを使うはず。

>>98
いや、この証明は問題の一番むずかしいU(m)が空集合をふくまないフィルターのなかで
包含関係の意味で極大フィルターであることをしめしただけ
でこれで>>95の解答全部だとはいってないよ。この部分だけで>>96みたいに
長くなっちゃうから。空集合をふくまないフィルターになることとかはそれほど難しくないし。
体の直積であることなんかはmがプロパーイデアルのときU(m)が空集合をふくまない
ことの証明の部分でつかう。
その部分を証明するならU(m)が空集合をふくめばa∈mでZ(a)=φとなるものが
あるけどそのときa(i)はすべて0でないのでa(i)はすべて可逆(∵体だから)
よってa自身Rの可逆元でありよってmがプロパーなイデアルにならない。
対偶をとればmがプロパーなイデアルならつねにU(m)は空集合を含まない。
でもこれをいいだすとフィルターになってることとかも全部書かないといけなくなるけど
そんなのまんどくさいだけでできるだろと思った。
　　
ちなみにもし体の直積じゃないとたとえばI={i}(１元集合)、F(i)=Z(整数環)とすると
R=Zになってm=2ZのときU(m)={φ、{i}}となって空集合を含んでしまう。
つまり体の直積じゃないとU(m)が空集合をふくまないフィルターになることが
ありうる。

>>100の最後の２行
つまり体の直積じゃないとU(m)が空集合を含むフィルターになることが
ありうる。
でつ。

皆さんレスありがとうございます。特に丁寧に解説してくださった96,100
さん大変参考になりました。証明の流れは理解できたのですが難しくない
と書かれている「空集合をふくまないフィルターになること」の証明も恥
ずかしながらよくわかりません。お手数ですがどうかご教授お願いします。
この証明と上に書いていただいた２つを合わせれば問いは示せたことにな
るのでしょうか？

・F(i):体 (i∈I)
・R:F(i)の直積 (i∈I)
・a=a(i)∈R (i∈I) に対して　Z(a)={i∈I|a(i)=0}
・m⊂R 極大イデアル　　　　　　　　　　
とする。このとき
U(m)={Z(a)|a∈m} がI上の極大フィルターになることを示せ。

a,b in U(m)->a and b in U(m)
c in I, a<c<I->c in U(m)
φ<>U(m)
IU(m)=U(m)I=U(m) or I

>>102
フィルターになることの証明はせんとだめだろ？
つまりmがイデアルのとき
(i)X∈U(m),X⊂Y⇒Y∈U(m)
(ii)X,Y∈U(m)⇒X∩Y∈U(m)
は示さないと。

具体的にはどのようにやればよいのでしょうか。。。

具体的には
a∈m、Z(a)⊂Y⇒∃b∈m、Z(a)=Y
a,b∈m⇒∃c∈m、Z(c)=Z(a)∩Z(b)
(i)はr(i)=0 (if i∈Y) =1 (otherwise) でさだめられるRの元をrをとるとき
b=arとおけばb∈mでZ(b)=Yとなることからわかる。
(ii)は各i についてa(i)=b(i)=0のときはr(i)=s(i)=1、そうでないときは
r(i)a(i)+s(i)b(i)≠0となるr(i)、s(i)をえらぶ。具体的にはa(i)≠0のときは
r(i)=1,b(i)=0、a(i)=0、b(i)≠0のときはr(i)=s(i)=1とすればいい。
そこでc=ra+sbでさだめる。あきらかにc∈m。
a(i)=b(i)=0⇒c(i)=0。a(i)≠0 or b(i)≠0⇒c(i)≠0ゆえZ(c)=Z(a)∩Z(b)。

>>92
（ｘ＋ｙω）・（ｘ´＋ｙ´ω）のノルムが１となるような整数ｘ，ｙ，ｘ´，ｙ´
の組を見つければ良いということですか？

>>92
ありがとうございます。解決しました。
それともう一つ質問があるのですが、Ｕ（Ｚ[√２]）は無限群となることを
示せという問題について、元の数が無限個あるということを示せば良いと
思うのですが、ｘ＋ｙ√２（ｘ，ｙ∈Ｚ）で逆元をもつようなものが
無限個あることはどのように示せば良いのですか？
よろしくお願いします。

>>108
N(√2+1)=1なんだから(√2+1)^kは全部ノルム１でノルム１の元が無限にあるべ。

数学板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、蚊、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、豚野郎、畜生、鬼畜、悪鬼、邪気、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、ボッコ、ろくでなし、ヒ素、青酸、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、奥田碩、おおさか人、上新庄、あう使い、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

>>109
N(√2+1)=-1

1+1=2

今日発売の「Ｍｏｄｅｒｎ　Ａｌｇｅｂｒａ」(ファン・デル・ウ゛ェルデン著)って買いだよね？まだ注文してないんだけど

今日発売って何のこと？
かなり大昔に出てたはずだが

「Ａｌｇｅｂｒａ」と内容一緒？そのタイトルでペーパーバック版が今日発売だと思ったが

あ〜、スマソ。本屋では普通に売ってるのか。 モダンってタイトルについたのがアマゾンで今日から発送可能だったんで

>>109
Ｎ（√２＋１）って何のことですか？

Modern Algebraはコストパフォーマンスはかなりいいね．
Doverのペーパーバックは一般的にいって安いけど．

ウェーバーの代数学の邦訳はどこかにないものか。原著の著作権は切れてるし。

邦訳はない。俺は原著は本とPDFの両方持っている。
今でも、いろいろ使える本だよな。

>>119
翻訳のコピーが出回っているのを目撃したことある。
出版予定はないらしいけど。津田塾か東京女子大だかの
元教授の翻訳だった気がする。

SpringerがWeberの翻訳出せばいいんだよな。英語本の翻訳する
余裕があるなら。

英語本ってWeberの？

>>123
逆に聞くけど、英語本のWeberってどういう意味じゃ？
英語版のWeberならまだわかるけど、そんなのあったとして翻訳する
意味あるのか？ 翻訳の翻訳なんて危なっかしいだろ。

いや>>122に英語本って書いてあるから．

>>108についてよろしくお願いします。出来るだけ詳しめに教えて頂ければ
ありがたいです。

>>125
英語本というと英語で書かれた本ということだと思うが。
なにもWeberの代数学の英語訳（そんなものがあるとは疑わしいが）
とは限らん。ちなみにシュプリンガー東京は最近、英語本
(つまり英語で書かれた数学の本)の翻訳をかなり出してる。

つまらないことだけど、念のために。。。
Weberの『代数学』（Lehrbuch der Algebra）に英訳本はない。
あるのは日本語訳のみ。この日本語訳をシュプリンガーあたりが
出版してくれるとうれしい！

>>128
追加：日本語訳があるのは第３巻だけではないかと思う。
ぼくが目撃したのは等分方程式とか変換方程式の部分だった。

x2+2x-1を複素数の範囲で因数分解せよ。
って問題なんですケド・・・

↑その問題まだ未解決だよ。今何年だっけ

x^2+2x-1=(a+bi)^2+2(a+bi)-1=(a^2-b^2+2a-1)+(2ab+2b)i=0

x2+2x-1=2x+2x-1=4x-1

>>131
すみません・・・問題間違えました。。

「x^2+2x-1をハミルトンの４元数の範囲で因数分解せよ」

でした。。

x^2+2x-1=(ai+bj+ck+dw)^2+2(ai+bj+ck+dw)-1=0

>>131
すみません！！また間違えました・・・

「x^2+2x-1をケーリーの８元数の範囲で因数分解せよ」

でした。申し訳ありません。。

x^2+2x-1を有理数で積分してくれ

ハミルトンの４元数の範囲では、複素数の範囲でとくのと同じ。
体だから。
ケーリーの８元数の定義を忘れた。

可換じゃなくても多項式環って定義できるんだっけ？

>>131
また問題見間違えてました・・
今度こそこれで合ってます。

「x^2+2x-1を任意の数体上で因数分解せよ」

お願いします。

>>134

問題に間違いが無いなら、
x^2 + 2x - 1 = ( x+1+√2 )( x+1-√2 )

これで答えになっている。これだけでは愛想が足りないので、おまけを。
x^2 + 2x + 2 = ( x+1+r )( x+1-r ) ；r=ai+bj+ck；a^2+b^2+c^2=1

>>140
こいつからかってんだろう

x^2+2x-1を因数分解するな

x^2+2x-1を因数分解しないで標準形にして

x^2+2x-1を素因数分解しましょう

x^2+2x-1を事情聴取せよ。

x^2+2x-1をサイバー攻撃せよ！

x^2+2x-1を靖国神社に合祀せよ！

x^2+2x-1を一括返還せよ！

x^2+2x-1は会議室で解ける問題じゃない

x^2+2x-1に直交なベースはなに

x^2+2x-1の多様性と普遍性の探求拠点を形成せよ！

x^2+2x-1を神奈川県警海老名署は通り魔による傷害事件として捜査している。

x^2+2x-1の在庫状況は大企業で四期ぶりに減少。

x^2+2x-1の特異な精神状態を解明するため簡易鑑定を検討している。

x^2+2x-1のサミットへの正式な参加問題に関する協議は見送られた。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1475374

もうこの話題はここで終了ということで．
面白い体とかで議論するなら別かも知れないけど．

G:有限群
Gの表現が既約表現の直和になる（完全可約）
⇔G-加群Vの任意の部分G-加群Wに対して V=W(+)W' となるVの部分G-加群W'が存在する

上の二つの同値性の証明を教えてください。よろしくお願いします。

V=G+G,W+W=W
V=W+(V-W)
V-W=W^

>>159
任意の表現Vと真部分表現W⊂Vについてべつの部分表現U≠0を
U∩W=0となるようにとれることをしめす。V=(+)Viを直既約分解とする。
すべてのiについてVi⊂WならWが真部分表現であることに反するゆえ
そうでないiがみつかる。このときVi∩W≠Vi。よってViの既約性よりVi∩W=0。
つぎにW'をW'∩W=0なるVの部分表現のなかで極大であるものととる。
Zornの補題より必ず存在。W(+)W'=Vでなければすでにしめしたとおり
W(+)W'∩U=0なるU≠0がとれるがW''=W'+UはW''∩W=0となるゆえW'の極大性に反する。
よってW(+)W'=V。

Ｑ[Ｘ，Ｙ]において，素イデアルであるが，極大イデアルでないようなイデアル
の例をつくれという問題なのですが，どのような例があるのでしょうか？

>>162
0

任意の表現Vと真部分表現W⊂Vについてべつの部分表現U≠0を
U∩W=0となるようにとれることをしめす。

V=(+)Viを直既約分解とする。

すべてのiについてVi⊂WならWが真部分表現である
ことに反するゆえそうでないiがみつかる。

このときVi∩W≠Vi。

よってViの既約性よりVi∩W=0。

つぎにW'をW'∩W=0なるVの部分表現のなかで極大であるものととる。

Zornの補題より必ず存在。

W(+)W'=VでなければすでにしめしたとおりW(+)W'∩U=0なるU≠0がとれる
がW''=W'+UはW''∩W=0となるゆえW'の極大性に反する。

よってW(+)W'=V。

161,164さん、ご回答ありがとうございます。
←の証明はどのようにすればいいのでしょうか？
証明しなくてもいいほど単純なことなんですかね？？

>>165
単純加群だから単純

G-加群Vの任意の部分G-加群Wに対して V=W(+)W' となるVの部分G-加群W'が存在する
と
Vの任意の部分G-加群WはVの直和因子である
って言ってる意味一緒ですかね？

>>167
それはさすがに一緒の意味じゃね？

√(169) = 13

ありがとうございます！もう一つ意見聞かせてください！

G:有限群　V:G-加群　このとき
V=W(1)(+)W(2)(+)・・・(+)W(K) と分解される。
（各W(i)(1≦i≦k)はVの既約部分G-加群）
この分解は一意であることを示せ。

これってどう証明したらいいかわかりますか？
V=V(1)(+)V(2)(+)・・・(+)V(r) V=V'(1)(+)V'(2)(+)・・・(+)V'(s)
のように二通りに表して r=s V(1)=V'(1)・・・V(r)=V'(s)
を帰納法で証明する方法でいいんですかね？

>>170
同型の意味をのぞいて一意じゃないと反例があるからだめ。
同型の意味をのぞいて一意の証明なら組成列の一意性からいえる。
つまり
0⊂V(1)⊂V(1)(+)V(2)⊂･･･⊂V(1)(+)･･･V(s)=V
の組成因子がV(1)、･･･V(s)になる。有限の長さをもつ加群の組成因子は
同型の意味をのぞいて一意。

＞コネも作れない、一発凄い仕事もできないじゃあ
＞論文10本一流誌3本崩れで終わっちゃうよ、今は。

崩れ博士・PD研究スレッド　PART2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115731497/848

代数体は有限生成Z加群である事ってどうやったら示せますか？

訂正代数体の整数環です

示せない。
代数的数全体の体の整数環。

1=7-6

>175 代数体の定義はＱの有限次拡大体では？

>>177
だったらお前が答えてやれよ

>>173-174
以下設定をK⊂Lを代数体、R,SをK,Lの整数環、a∈SをL=K(a)であるものとする。
d∈Rをfの判別式とする。
このとき
(※) ∀s∈S、ds∈R[a]
とくに S⊂(1/d)R[a]であるからSはR[a]加群として有限生成。
一方R[a]はR上整であるからR加群として有限生成で結局SもR加群として
有限生成。
(※)の証明は永田先生の可換体論のP125の定理3.9.2。証明は13行ぐらい。

崩れ博士・PD PART3【コネの造りしもの】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120573848/

[11158]
　nは自然数、pは素数とする。このとき次を示せ。
　p^p｜n ⇒ p^(p+1)｜n
　n が p^p で割りきれる ⇒ n は p^(p+1) でも割り切れる.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.5 (May 2005)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-05-may05.pdf

deadline: September 30, 2005

n<p^2 と n≧p^2 で場合分けするらしい...

>>181

n=p^p ＞1 の時は？

>181 の言ってる意味が全くわからん、普通に違う気がするんだが

nじゃなくてn!だな
リンク先を確認のこと

グレーブナ基底を学んでいるのだけど
「Dicksonの補題」で躓いて悩んでいます

・「Dicksonの補題」が一体何を言わんとしているのか(特にこれ)
・「Dicksonの補題」がグレーブナ基底を定義する時にどういう影響を与えているのか

教科書を調べているのだけど、
説明がほとんど無くて途方にくれています

k[x,y]の時に、(x^m)*(y^n)を表現するm,nの格子図が良くあるけれど
あれを使って分かりやすく説明してくれませんか？

アルチン環って何ですか？

>186 ﾈｰﾀー環と双対の概念じゃね？

ﾈｰﾀー環？双対？あんまり環に詳しくないです。教えてください。

1+8=9

>>186
定義の見かけは「ネータ-環の双対」だが、実際はすべての素イデアルが
極大イデアルになるような特別なネータ-環。
体とかZ/(p^n) とか k[x]/(x^n) とか、あるいはそれらの有限個の直積とか。

ところでネーター環を知らないのにアルチン環を知りたいのは何故？

大学の授業で先生がアルチン環のことをいってた。アルチン環は可換環？非可換環？

1-√9＝-2

ここで聞いても満足いく事はわかんないから、教科書読んだ方がよいょ、そしたらとりあえずどういうものかはすぐわかる

先生の話全然理解できてないんじゃない？
>>193に同意

>>191
まずは自分で調べて考えろ、クズ蟲が！

双対は本に載ってなかった。

>>196
一度死ねばいい。
載っている本をさがせよ、バーカ！
晒し上げ

英語が読めるならWikipediaで"artinian ring"を検索すればいい。
双対はdualで検索。

いずれにせよ、まずはアルチン環よりネーター環勉強したほうがいいよ。

>>199
それは可換環の場合だろう。非可換環の場合は逆がいい。

>>http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/113-118
の方などでModern Algebra (Paperback) by B. L. van der Waerdenをご購入の方

>http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1118673940/136
>136 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/07/22(金) 11:24:55
>Dover から van der Waerden の Algebra が出るっていう情報があるけど、
>amazon で検索しても出てこないね。どうなってるんだろ？買った人いる？
らしいが何かご存知の方いらっしゃいますか



と宣伝してみるテスト

こっちもあげよう

Ｒ＝Ｚ[√（−５）]とおく。（Ｚ[√（−５）]＝Ｚと√（−５）・Ｚの直和）
Ａ＝２Ｒ＋（１＋√（−５））Ｒとすると，このイデアルＡに対して，
２Ｒ＝Ａ・Ａとなることを示せという問題なのですが，
まず，２Ｒ⊂Ａ・Ａの証明をするときに
ａ∈２Ｒとすると
ａ＝２（ｘ＋√（−５）・ｙ）　（∃ｘ，∃ｙ∈Ｚ）
　＝２ｘ＋２√（−５）・ｙ
ここからどのようにａ∈Ａ・Ａをいえばいいのですか？
よろしくお願いします。

>203 Ａ・Ａの定義は何?

>>204
ﾜﾛﾀｗ

a=2(x+√(-5)y)=2*{(x-y)+{1+√(-5)}(y)}∈A・A
2,(x-y),y∈Z⊂Z[√(-5)]だから、R⊂A・A

>>206
ありがとうございます。
２＊｛（ｘ−ｙ）＋｛１＋√（−５）｝（ｙ）｝∈Ａ・Ａというのは
なぜ分かるのでしょうか？
２＝２・１∈Ａですが、ｘ−ｙ＋｛１＋√（−５）｝（ｙ）∈Ａはどのように
いえば良いのでしょうか？
ｘ−ｙ∈２Ｒをいえばよいのだと思うのですが、これはどのようにすれば
良いのでしょうか？
宜しくお願いします。

ネータ-環
恍惚環

代数オタのＩＱを測定します。説明は英語だけど読む必要なし。
http://www.iqtest.dk/main.swf

ｎ≧１とする。ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ−２）（ｘ−４）・・・（ｘ−２ｎ＋２）＋２は
Ｑ上既約であることを示せという問題なのですが、
Ｑ上可約としてｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）　（∃ｇ（ｘ），∃ｈ（ｘ）∈Ｑ[ｘ]）
としたとき，ここからどのように矛盾を導けば良いのですか？
宜しくお願いします。

>>210
Eisenstein の既約性判定法で素数 p = 2 とする

>>211
もうちょっと詳しくよろです

>>210
n=1のとき
f(x)=x+2は既約
n≧2のとき
x(x-2)・・・(x-2n+2)+2=x^n+(偶数)x^(n-1)+・・・+(偶数)x+2^n*(ｎ-1)!(-1)^(n-1)+2
2^n*(ｎ-1)!(-1)^(n-1)+2は偶数だが4で割り切れない。

ここでEisenstein の既約性判定法を用いる
Eisenstein の既約性判定法とは
「素数pと整数係数の多項式g(x)=(a_n)x^n+{a_(n-1)}x^(n-1)+・・・+a_1*x+a_0をとる。
a_nがpで割り切れない。a_1,・・・,a_(n-1)がpで割り切れる。a_0はpで割り切れるがp^2で割り切れない。
このとき、g(x)は既約多項式である」というものである。
p=2とすれば、まさにf(x)はEisenstein の既約性判定法の条件を満たしている。
したがって、f(x)は既約多項式である。

>>213
ありがとうございます。
２^n＊（ｎ−１）！（−１）^（n-1）＋２とありますが，ｆ（ｘ）の定数項は
常に２になるのではないのでしょうか？

>>214
君が正しい。

その通りだw
スマソ

整域Ｒ上の１変数多項式環Ｒ[ｘ]が単項イデアル環になるのは，Ｒが体になる
ときに限ることを示せという問題について質問です。
Ｒが体でないとすると　∃ａ∈Ｒ，∀ａ´∈Ｒ　ａａ´≠１
ここからどのように示せばいいのですか？
宜しくお願いします。

(a, x) が単項イデアルでない。

>>218
（ａ，ｘ）というのはイデアルａＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]のことですか？

標数ｐの素体上の特殊線形群SL(3,F_p)={g∈M(3,F_p)|detg=1}の位数を求めたいのですが上手く行きません。
とりあえず行列と行列式を対応させてGL(3,F_p)から既約剰余類群Z/pZ−｛０｝への全射順同型を考えて、SL(3,F_p)がその核になるので準同型定理により
GL(3,F_p)/SL(3,F_p) 〜　（Z/pZ）x
として、|GL(3,F_p)|=|{Z/pZ}-{0}||SL(3,F_p)|
までは考えたんですけど、GLの位数がうまく求められません。どなたか宜しくお願いします。

>>220

I を単位元とおく。
g ∈ SL(3,F_p) について g=I+f ( 即ち f＝g-I ) とおいて g^p を展開して
みれば g^p=I が判る。
g≠I ならば g^(p-1)=g^(-1) より g^(p-1)≠I よって g の位数=p

加法を備えた行列環の中で考察できるのがミソ。

>>221それはSL(3,F_p)の各元の位数をしらべただけでわ？
>>220
GL(3,p)=G=X∪Y∪Zを
X={A∈G | A11≠0}、Y={A∈G | A11=0、A12≠0}、Y={A∈G | A11=0、A12=0、A13≠0}
と分解する。さらに集合X1、X2を
X1={A∈G | A11≠0、A12=A13=0}、X2={A∈G | Aii=1、Aij=0 (i≠0＆i≠j)}
と定める。X1×X2→Xを(A,B)∈X1×X2にたいしAB∈Xでさだめるとこれは全単射。
よってX1の元数はX1×X2の元数にひとしくX1の元数は(p-1)･p^2×GL(2,F_p)の元数。
X2の元数はp^2。
GL(2,F_p)の元数やY,Zの元数も同様にしてもとめられるんだけど当方OCNのため
書きづらいのであとはご自分で。
たしかGL(n,F_q)の元数はqに関するわりと綺麗な多項式になるハズ。

>>220
#GL(n, F_p) = (p^n - 1)(p^n - p)(p^n - p^2)…(p^n - p^{n-1})
#SL(n, F_p) = #GL(n, p) / (p - 1)
確かに >>223 の方法でも正しく計算できそうだが、模範解答(?)を。

F_p 係数の n 次正方行列を考える。
これが GL(n, F_p) の元となるには列ベクトルが一次独立となることが必要十分。従って、
1 列目は零ベクトル以外のすべてのベクトル ( = p^n - 1 個) から選べる
2 列目は 1 列目で生成される空間に入らないベクトル( = p^n - p 個)
3 列目は 1, 2 列目で生成される空間に入らないベクトル( = p^n - p^2 個)
…と組み合わせ的に全部の列を決めていくことにより GL の位数が分かる。

皆さんどうもありがとうございます。
ただ一つ分からないんですが、>>221でg^pを展開するとg^p=I+f^pになるんですが、この後どうすればg^p=Iを示せるんですか？
むしろg^p=Iとするとg^p-I=0より(g-I)^p=0になってg=Iになりませんか？

群の位数を取り違えてすまんかった。g^p=I+f^p についても勘違いがあった。
どうかしていた様だ、鬱だ・・氏のう・・・・・。

なお、行列環には冪零元と言う物があるから
(g-I)^p=0 <==> g−I とやってはいけない。

>>219についてよろしくお願いします。

>>219
yes

>>218
ａＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]＝ｆ（ｘ）Ｒ[ｘ]　と仮定して矛盾を導こうとしている
のですが、どのようにすればよいのかなかなか思いつきません。
もう少しヒントがあればよろしくお願いします。

>>229についてどなたか宜しくお願いします。

>>230

そのアプローチじゃ駄目だろう。

単項イデアル整域の0でない素イデアルは極大であることに注意する。
Rの0でない素イデアルをPとする。
PR[X]は素イデアルである。
(P, X) はPR[X]と異なる素イデアルでPR[X]を含む。
よってPR[X]が極大イデアルでないからR[X]は単項イデアル整域でない。

>>19
それ以前は群論に達していない。
痴漢群だった。

ａ∈Ｒ−｛０｝のときａＲ［ｘ］＋ｘＲ［ｘ］＝ｆ（ｘ）Ｒ［ｘ］となるｆ（ｘ）がある。
ａ∈ａＲ［ｘ］＋ｘＲ［ｘ］＝ｆ（ｘ）Ｒ［ｘ］からｆ（ｘ）＝ｂ∈Ｒとなるｂがある。
ｂ∈ｆ（ｘ）Ｒ［ｘ］＝ａＲ［ｘ］＋ｘＲ［ｘ］からｂ＝ａｃ，ｃ∈Ｒとなるｃがある。
ｘ∈ａＲ［ｘ］＋ｘＲ［ｘ］＝ｆ（ｘ）Ｒ［ｘ］からｘ＝ｂ（ｄｘ），ｄ∈Ｒとなるｄがある。
１＝ｂｄ＝ａｃｄなのでｃｄはａの逆元。

>>231
ありがとうございます。整域Ｒが体でなければＲ[ｘ]は単項イデアル環でない
ことを示そうとしているのですが、Ｒが体でないという条件はどこで使っている
のですか？

>>234

Ｒが体でないということと、Ｒに０でない素イデアルがあるということは同値。

>>235
それはどのように証明すればいいのですか？

>>236
Rが体なら(0)ではないイデアルIを取ったとき、I=Rとなります。

証明
I∋s≠0となるようなIの元sをとると
Rの任意の元rに対して、r={r*s^(-1)}*s∈I
よってR⊂Iとなる、当然I⊂RだからR=Iとなる。

Rが体でないときRには0以外で逆元を持たない要素aをとる
単項イデアル(a)をとると、(a)はRと(0)以外のイデアルとなる。
(　イデアル(0)はaを含まず、イデアル(a)は1を含まないから!　)
(a)を含む極大イデアルJを考えると、Jが問題の(0)でもRでもない素イデアルとなります。

2^3=8

>>237
ありがとうございます。もう少し聞きたいのですが、（ａ）を含む極大イデアル
Ｊは必ず存在するといえるのですか？

>>239
yes

>>239

君、少し本(代数学または可換代数の入門書)を読んだほうがいいよ。

>>231
Ｒが整域よりＲ[ｘ]も整域だがらＲ[ｘ]／ＰＲ[ｘ]が整域なので
ＰＲ[ｘ]はＲ[ｘ]の素イデアルであることは分かるのですが，ＰＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]
がＲ[ｘ]の素イデアルであることはどこから分かるのですか？同じように
Ｒ[ｘ]／（ＰＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]）を考えればいいのですか？

>242 最初から違うなww受験数学じゃないんだから、やり方を覚えるなよ、、素ｲﾃﾞｱﾙの定義は?剰余環が聖域になる事とかいてあるのか、本当に？もし、そうならその定義をよく考え自分の中で言い換える、これが最大のﾋﾝﾄ

>>243
定義は，ａ・ｂ∈Ｉならばａ∈Ｉまたはｂ∈ＩのときＩ（≠Ｒ）は
素イデアルであるということで，定理としてＲ／Ｉが整域⇔ＩはＲの
素イデアル　と書かれているのですが，この定理は使えないのですか？

>>242
核が PR[x] + xR[x]になるような全射準同型 R[x] → S で、
S が整域になるものを見つければよい。

S=R[X]-(P,X)∋a,bとすると、明らかにab∈S なんだが

Azumaya algebrasを東屋代数と読むのは俺だけか？

こういう本を数蝉があつかえばよい！
糞糞にけなして、晒し上げればよい！

>>242

射 R[X] → R → R/P の合成を考える

東屋五郎って御存命？

>>249
そのような全射準同型を考えれば、核がＰＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]になるような
ものが存在するのですか？

>>251

R[X] → R は、X に 0 を対応させ、R の元を動かさないもの。
R → R/P は標準射
そうすると、合成射の核は、(P, X) になる。

>>252
なぜ合成射の核は（Ｐ，Ｘ）になるのでしょうか？
ＰＲ[ｘ]＋ｘＲ[ｘ]はＰに写っているのですか？

>>253
P の元や x が R/P で 0 になることを確かめればいいだろ。
ちょっとは自分で考えないと・・・

だから>>241に書いたように、君はまだ代数の初歩が身についてないんだよ。
地道に初歩からやり直したほうがいい。

いやそんなやり方で考えると、君はますますわからなくなるだろう、、、まずは>246の考え方がﾍﾞｽﾄ、結局核になるってのもそれが基になってんだし、、

どっちみち、勉強が足りないんだって。

>>231のアプローチでいくなら
　
R[x]がPIDとする。
R[x]/xR[x]≡Rは整域なのでxR[x]は素イデアル。よって仮定からxR[x]は極大イデアル。
よってR[x]/xR[x]≡Rは体。□
　
でよくね？これでも上のやりとりみてるかぎり理解できるかどうか疑問だけど。

>>258
エレガントだな。
その証明を見ると、Rを整域として、「R[X]のKrull次元は1⇔Rは体」って事か。

ラフに言って dim R[X] = dim R + 1
R がネーターならこの等式が成り立つのは確かだけど、一般の場合は
例外があるんだろうな。

Z/p^2×Z/p^2 の位数p^2 の巡回部分群の数っていくつですか？

>>231 >>233 >>235 >>237 >>245 >>246 >>249 >>252 >>254 >>258
どうもありがとうございます。ようやく「Ｒが体でない⇒Ｒ[ｘ]は単項イデアル
環でない」ということが理解できました。

>>261
p (p + 1) 個

>>261
位数 p^2 の元の個数を求め、それを φ(p^2) = p^2 - p で割る。

>263 >264 わかりました、ｻﾝｸｽ

「ｐは素数」でないときは？

pって大体素数に当てる文字だし

Ｋを体とするとき，Ｋ[ｘ]は単項イデアル整域であることの証明を読んでいる
のですが，少し疑問に思ったことがことがあるので質問します。
証明は以下のように書かれています。
ＩをＫ[ｘ]の任意のイデアルとする。Ｉ≠｛０｝としておく。
Ｉに含まれる０でない多項式の中で次数最小のモニック多項式をｆ_0（ｘ）
とする。このとき，Ｉ＝ｆ_0（ｘ）Ｋ[ｘ]が成立する。
（∵）ｆ_0（ｘ）∈Ｉより，ｆ_0（ｘ）Ｋ[ｘ]⊂Ｉ
∀ｇ（ｘ）∈Ｉ　に対して
ｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
かつ　degｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０
∴ｒ（ｘ）∈Ｉ
このようになっているのですが、なぜｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
かつ　degｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０　ということがいえる
のですか？
例えばＩ＝ｘＫ[ｘ]とすると　ｆ_0（ｘ）＝ｘで，ｇ（ｘ）＝ｘ^3とすると
ｘ^3＝ｘ・ｘ^3＋（−ｘ^4＋ｘ^3）なのでdegｒ（ｘ）＝deg（−ｘ^4＋ｘ^3）
＝４，degｆ_0（ｘ）＝deg（ｘ）＝１だからdegｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ），ｒ＝０
のどちらも成立していないように思うのですが、この記述はどういうこと
なのでしょうか？
よろしくお願いします。

Kが体なら多項式の剰余ができるってこと。
ｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
と書けるのはもちろん何通りもあるけどその中で
degｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０
を満たすようなrとgが存在する，ってこと。
多項式の剰余は中高でもお馴染み。

>>268
多分その証明が載っている前後にユークリッド環の話があると思うから
それをよく読んでおくように

>>２６８
何か別のものに同じ記号使ってたりしてムチャクチャだな。
たぶんあなたが写し間違えてるだけだと思うが、おそらく
「（∵）」以降は本当は次のようになってるはず。

（∵）ｆ_0（ｘ）∈Ｉより，ｆ_0（ｘ）Ｋ[ｘ]⊂Ｉ
∀ｇ（ｘ）∈Ｉ　に対して∃q（ｘ） ∃r（ｘ）
ｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）q（ｘ）＋ｒ（ｘ）
かつ　degｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０
∴ｒ（ｘ）=0

>>269
ありがとうございます。>>268でＩ＝ｘＫ[ｘ]のときｆ_0（ｘ）＝ｘだから
ｇ（ｘ）＝ｘ^2のときはｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
かつdegｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０とはならないと思うのですが、
Ｋ[ｘ]はユークリッド整域だから実際にはなっているのですか？
それとも>>268の記述が誤っているのですか？

>>271
再度確かめてみましたが、やはりｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
となっています。ということは教科書が間違っているということでしょうか？

>ｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
まあこれくらいの誤植はあるだろう。
で、それは例えば>>271のように読むとしても
本来の疑問は解決していないようだね。

とりあえず多項式のことは忘れて、整数で同じ事を考えてみたらどうだい。

任意の二つの整数（今は便宜的に a>0 とする）a,bに対して
b=a*q+r 0<=r<a を満たすq,rが、ただ一組存在する。　　　　　　　・・・（*）

これはいいよね？　例えば a=3,b=14 ならば 14=3*4+2 だから
q=4,r=2 となるわけだ。もちろんrの条件を無視すれば 14=3*2+8 とか
14=3*6+(-4) とか、いくらでも成り立つけど、rの条件を満たすような
q,rはたった一組しかないよ、と言っている。
で、>>268で引用している教科書も扱う対象が多項式になっただけで
全く同じことを言っている。

あなたの解釈
>このようになっているのですが、なぜｇ（ｘ）＝ｆ_0（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）
>かつ　degｒ（ｘ）＜degｆ_0（ｘ）またはｒ＝０　ということがいえる
>のですか？
は、(*)で言うなら多分「b=a*q+r と表せば、このとき 0<=r<a となる」というものだろう。
これはもちろん間違い。

正規部分群は学部１年生には難しいと思う。

簡単だよ

　　小 正　　　 /／￣＞ ´ ￣　　　￣　　｀ヽ　 Y　 ,　 ´　　　　　） 　 大　え
　　学 規　　　 L_　／　　　　　　　　　　　　　 　 ／　　　　　　　 ヽ　 学　 |
　　生 部　　　　/ '　　　　　　　　　　　　　　　　'　　　　　　　　　　 i　生　マ
　　ま分　　　 /　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　 く　 ？　 ジ
　　で 群　　　 l　　　　　　　　　　 ,ｨ/!　　　　/　　 　/l/!,l　　 　 ／厶,
　　だ が　　 i 　 ,.lrH‐|'|　　　　 /‐!-Lﾊ_　　l　　　 /-!'|/l 　 ／｀'ﾒ､_iヽ
　　よ 分　　　l　 | |_|_|_|/|　　　 / /__!__ |/!ﾄi　　　i/-- ､ ﾚ!/ 　 /　,-- ﾚ､⌒Y⌒ヽ
　　ね か　 　_ゝ|/'/⌒ヽ ヽﾄ､|/　'/￣｀ヾ 、ヽﾄ､Ｎ'/⌒ヾ　　　　　 ,ｲ￣｀ヾ,ﾉ!
　　 l　ら　　「　　l ′ 「1　　　　　　 /てヽ′|　|　|　 「L!　　　　　' i'ひ}　　　ﾘ
　　　ん　　　 ヽ　 | ヽ__Ｕ,　　　　　 ､ヽ シノ ﾉ!　!　|ヽ_､ｿ,　　　　　 ヾシ _ノ　_ﾉ
-┐　て　　　,√　　 !　　　　　　　　　　 ￣　　 ﾘ l 　 !　￣　　　　　　　￣　　 ７/
　 ﾚ'⌒ヽ/　!　　　 |　　　〈　　　　　　　_人__人ﾉ_　 i　　く　　　　　　　 　 　 //!
人_,､ノL_,iノ!　　/! ヽ　　 r─‐- ､　　 「　　　　　 Ｌ_ヽ　　 r─‐- ､　　 u　　ノ/
　　　　　　/　 /　lﾄ､ ＼　ヽ, -‐┤　 ﾉ　　キ　　　 了＼　 ヽ, -‐┤　　　　　/／
ハ　キ　　{　 /　　　ヽ,ﾄ､ヽ/!｀ｈﾉ　　）　　モ　　　　|/!　「ヽ, `ｰ ／）　　 _　‐'
ハ　ャ　　 ヽ/　　 r-､‐'　// / |-‐ く　　　 |　　　　 ＞ / / ｀'／／-‐､　　　　／
ハ　ハ　　　 ＞ ／＼＼// / /ヽ_　 !　　 イ　　　 （　 / / ／／　　/　`ｧ-‐ '
ハ　ハ　　　/　/!　　 ヽ　　　 レ'/　ﾉ　　　　　　　　＞　 ' ∠ 　-‐　￣ノヽ　　　/
　　　　　　 {　 i　l　　　 !　　　　/　 フ　　　　　　　/　　　　　-‐　/￣/〉 〈 ＼ /!
　　　　　　 {　 i　l　　　 !　　　　/　 フ　　　　　　　/　　　　　-‐　/￣/〉 〈 ＼ /!

L=C(X_1,X_2,X_3)を複素数体C上の三変数有理関数体、ωを１の原始三乗根とする。
LのC上の自己同型σ、τをそれぞれ
σ(X_1)=X_2,σ(X_2)=X_3,σ(X_3)=X_1, τ(X_i)=ω^iX_i i=1,2,3
で定義する。
K=｛f∈L|σ(f)=τ(f)=f｝とする。拡大次数[L:K]を求めよ

お願いします。

>>278

[L:K]=9

環の名前の由来が気になる

以前どのスレかで教えて貰った記憶があるがどこだったか、、
剰余環のf(x)だけ進むとぐるっと一周して戻ってくるイメージが
名前の由来だとかいう話だったような

体はドイツ語の直訳ですな。

すいません、過程もお願いします

>>283

σとτの位数は両方とも３。しかも両者は可換。だからσとτで生成される
群Ｇは位数３の巡回群の直積。よってＧの位数は９．
Kはこの群の不変体だから、L/Kはガロワ拡大でこのガロワ群はＧ。

２７。

有限生成加群の定義についてですが、集合Ｇが有限生成加群であるとは
Ｇが有限集合で加群の条件を満たせばいいのですか？

>>286 有限個の元で生成されれば有限集合でなくても良いです

>>287
そうすると、有限生成加群の定義は、有限個の元で生成される加群
ということで良いのですか？

>>288
そりゃそうじゃね？

>>288 そうです。有限アーベル群と有限生成アーベル群とは違うのです。

>>288
そんなの当たり前じゃん・・・ どんな本読んでるの？

いやまあ混乱しやすいところではあるような
教科書を先入観無しに読めば分かるはずだけど

自明な準同型写像はどういう写像でしょうか?

環を加群とみなして有限生成っていうのと環として有限生成っていうのは
けっこう注意したほうがいい

体Ｋは自明なイデアル(0)とＫしか持たないということですが、
この場合、(0)は極大イデアル、ということになりますか？

なる。

>>291
教科書ですらない解説記事をいきなり読んでいるとか

>>291 数学事典とか

「有限アーベル群が，任意の素数pに対してa^p=1を満たすaの個数がp以下
ならば巡回群である」という命題でアーベル群を非可換群にするならば
この命題は成り立たない（反例あり。永田，可換体論）

そこで素数を自然数に変えればアーベル群の仮定を外しても命題が
成り立つか考えているのですが，一般に言えますか？

上の問題は質問スレで聞くことにします。

>>299
そりゃ非可換にしたら巡回群なんかになるわけないわな。

＞そこで素数を自然数に変えればアーベル群の仮定を外しても命題が
＞成り立つか考えているのですが，一般に言えますか？
成り立つよ。

>>301
証明きぼんｱｹﾞ

ゼロは極大いであるではない。

体を無視するな

>>302

同じ位数の巡回群と比較する方法で証明する。
証明は岩波書店、浅野・永尾の「群論」に載ってる。
古い本だから見つからんかも。

>>305
＞古い本だから見つからんかも。
　
ぜひ証明をうｐしてやってくらはい。

Gをそのような有限群とする。
a∈Gの位数をnとすれば
ｘ=1 , a , a^2 , ... , a^(n-1)
がそれぞれx^n=1を満たし、Gにはこれら以外にn乗して1になる元はない。
するとGには位数nの元がちょうどφ(n)(オイラーの関数）個あることになる。
いま位数|G|の巡回群をCとすると、
Cも位数nの元をφ(n)個持つ。
従ってGにおいてある位数の元の個数は
Cのそれと全く同じだけあることが分かる。
Cは位数|G|の元を持つからGも位数|G|の元を持つ。

>>307
もすこし詳しく。
　
＞するとGには位数nの元がちょうどφ(n)(オイラーの関数）個あることになる。
　
このステップで証明されたことは位数nの元がもし一つでもあれば位数nの元はφ(n)個ある
ことがいえただけ、つまり#{g∈G| gの位数はn}=φ(n) or 0がいえただけなのでは？

いや。わかりもした。
#{g∈G| gの位数はd}≦#{g∈G| gの位数はd}
がすべてのdでいえたので
n=�納d|n][]#{g∈G| gの位数はd}≦�納d|n]#{g∈G| gの位数はd}=n
であるからすべての“≦”は等号が成立しないといかんということか･･･。

sageるすもりがageてもた･･･orz･･･ｽﾏｿ

すべてのnでなくても素数冪だけでよい。

>>309
何か勘違いしてる？
証明の中のn≠|G|だよ。
詳しくは書かなかったけど、
nは|G|の約数で、
Cは位数nの部分群をただ一つ持つことを使ってる。

>>312
ｎ＝｜Ｇ｜であってもいい。

>>311
なるほど。すべてのp冪であるn||G|についてx^n=1なる元の数が高々nであるとする。
Pを素数pに対するシロー部分群とすると仮定からPは可換巡回群。Pはx^|P|=1である|P|個の元をもつ。
よって仮定よりPは位数がp冪である元をすべてもつ。とくにPは正規部分群。
(Pi) (i:1〜k)をGのすべてのシロー部分群とすると各i:1〜nにたいしQi=Π[j≠i]PjはGの正規部分群になる。
このときG/Qiも(Piの全射像だから)可換であるからΠG/Qiも可換である。∩Qi={1}により
GはΠG/QiにうめこめるからGもまた可換である。

>>314
＞ GはΠG/Qiにうめこめるから
「うめこみ」の定義を教えてください？
「中への同型」ということですか？

「Rがネーター環→多項式環R[X]もネーター環」ってのが
どう不変式論と関係するのですか

>>316
>「Rがネーター環→多項式環R[X]もネーター環」
だけではなんともいえない。
Hilbert の時代は三角行列群での不変条件として、
ある種の線型微分方程式を扱っていた。

不定元と方程式が無限に増加する場合のヒルベルト零点定理(の拡張形)は存在
しないのでしょうか．

age

843

>>318
存在します。

>>321
よかったら文献を御教え願えませんか？

>>322
あなたの云うヒルベルトの零点定理とはどういう形で表現されている物ですか？

共通零点を持たない関数族が
生成する閉じたイデアルは
１を含む。

>>324
閉じたイデアルってなんすか？

関数空間にはトポロジーが入っているでしょう。

>>326
どんな位相すか？

そりゃ関数空間による。

代数幾何とかでつかう零点定理でも位相の話でてくるけどそのときは
位相をいれるのは素イデアルの集合の方で関数空間の方に位相をいれるって話は
あんまり一般的でないような。

考えてるのが関数環だけで任意の非自明イデアルには共通零点をもつか
という問いならそりゃＮｏじゃない？だってR上の連続関数環Aをかんがえて
台が有界な関数のなすイデアルIをとればIは非自明でどんな点x∈Rをとっても
有界な台をもつ関数fでf(x)≠0である連続関数つくれる。
空間から出発すりゃそりゃいくらでも反例あるよね。環Aから出発して
SpecA上での議論にしないとだめじゃね？

今の話は変数と関数の個数を無限にするとどうかということ。
そんな後ろ向きのことを言われても困ります。

ん？環Aから出発してIを非自明なイデアルとするときIの任意の元での値が
0であるx∈specAが存在するか？が問題ならそりゃ存在しちゃうな。
だってIを含む極大イデアルとりゃおわりだもんね。

>>331
つまり問題はこう？
-問題-
kを体A=k[x1,x2,･･･]をk上の無限生成多項式環、IをAの非自明なイデアルとすると
ある点(a1,a2,･･･)が存在し任意のf∈Iにたいしてf(a1,a2,･･･)=0になるか？
------
こうかな？

>>330
台が有界な関数ぜんたいのなすイデアルは閉じていない。
>>332
Iを含む極大イデアルは閉集合ではないかもしれない。

そもそも零点定理って代数閉体k上有限生成の体はkにかぎられるって話がミソで
成立してる定理だけど無限生成だとk自身ではない拡大体があるから
共通零点がとれるとはかぎらないんじゃないの？すくなくとも>>333の意味では
答えはNoだからその無限生成多項式環のイデアルにうまく位相をいれなきゃ成立しないけど
どういう位相いれるつもりなの？

>>333
そんな風に逐語的に一般化しても
無意味になってしまうから
nontrivialな話題な訳だね。

>>336
一般化ってか･･･数学の問題なんだからキチンと問題として定式化してほしいだけ
なんだけど。一般化するつもりなんかないすよ。あなたの考えてる範囲内でいいから
キチンと定式化してほしいだけ。定式化もまだなんすか？

>>321
答えてください。御願いします。

やはり３２１は３２２にちゃんと答えるべきでしょう。

>>337
318と322は別人らしい。

Banach環だとコロナ問題になる。

３２１からは答えがない。
ただのしかばねになったようだ。

>>318

>>333>>335
の云う通りで、無限次元の Hilbert 零点定理は次の形で成立する。
K を万有体（素体上超越次数無限大の代数的閉体）、
R = K[x_1, x_2, .......]
を K 上可算無限変数多項式環とする。

この時 R の極大イデアル I は、 K の適当な元 a_1, a_2, ...... , により

I = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, ........ , .......)

と書ける。変数が非可算無限個だと一般に成立しない。

ありがとう。でも方程式が無限個の場合についてのコメントもよろしく。

>>344
方程式は任意個数でよい。（むしろ有限個だったら意味がない。普通の零点定理になる。）
その全体で生成されたイデアルが R でなければ、
それを含む極大イデアルを取る事が出来る。夫れをＩとする。

#万有体の一番簡単な例は複素数体。

>>345
サンクス。よろしければ零点定理の局所型についても教えてください。
Ruckertの零点定理は無限変数でも成り立ちますか？

＞Ruckertの零点定理
なる物を今数学辞典で確認した。
しかしこの場合は無限次元の場合は予想される定式化すら良く分からない。

ナイーブな定式化をしてみます。
複素係数の（可算）無限変数収束ベキ級数環のイデアルJについて考える。
無限次元複素数空間の解析的な閉部分集合Xで原点を含むものがあって
原点におけるJの共通０点芽がXの芽に等しければ
Xの芽で消える任意のベキ級数は何乗かすれば（一様性は要求しない）Jに入る。
これは正しいでしょうか？

良く分からんが
(x, y, z, w, ....... , ..... ) は何乗しても (x, y^2, z^3, w^4, .... , ......) に入らん

>>349
しーっ！

｢オレ様ワールドで迷子になってる人｣ってこういうのをいうんだろうな。

別の言い方をしてみます。ちょっと思いついただけのものですので
あまり３５１さんのように変な誤解をしないでください。
J　を上と同様とする。「J　の共通０点芽で０になる収束ベキ級数　f　に対し、
ある自然数　m　があって　f^m は　J　に　属する」　は正しいか？

>>352
　
＞共通０点芽
　
ってなんすか？

>>353
集合芽の部分集合芽だろ

次の条件を考える。
原点を含む集合の芽 A で、J に属するどのベキ級数 f に対しても
その収束域内で f が定める関数は A のある代表元上で 0 になる。
例えばJが１をふくまなければ、原点の定める集合芽はこの条件を満たす。
この条件を満たす集合芽のうちで極大なものをJの共通０点芽と
呼ぶことにしたいと思います。
とりあえず。

オレ様ワールドで迷子ってほめ言葉じゃないの？

そうかもしれませんね。とくに同業者に言われたのだったとしたら
なおさら

天才か？はたまたトンデモか？

芽ってのはきいたことあるけど集合芽って初耳だ。何にのってるの？

ぐぐったら結構でてくるね。集合芽

とおもったら勝手に｢集合｣と｢芽｣にわけて検索してやがる。
でも｢集合芽｣って単語がでてくるHPもいっこだけあった。定義はのってないけど。
今手元に数学辞典もないし。定義わかんないんじゃ考えようないや。撤退。

>>361
数学辞典のindexには集合芽ってのはない。

皆さんは集合芽も習っていらっしゃらないんですか？

ふつうならわないんじゃね？

>>364
多変数関数論或いは層論やれば必ず習う。

ただのgermとは何か違うの？

代数学やってるすべての人間が多変数関数論勉強してるわけじゃない。
層論の一般的な教科書に集合芽なんかのってるか？芽はのってるけど。

２、３０人しかあつまらんマイナーなシンポジウムしか参加したことないんだろ。

後学のため教えとくれ集合芽

関数芽に準ずる、では不十分ですか？

>>369
点 x における集合芽とは、 X の部分集合 A, B に対し、 x の適当な近傍 U で、
U ∩ A = U ∩ B なる物がある時に同値として定義した同値類である。

>>371 ありがとう

上の問題の場合は
ある級数の収束域で切って等しいときに同値とする
わけだな。

芽ってどうよむの？
め？
が？

集合芽ーーー＞しゅうごうが
集合の芽ーーー＞しゅうごうのめ

俺格好つけてジャームって読んでる

俺はジェルムとか
考えてみれば一寸変かも

俺はクリちゃんとか
考えてみれば一寸変態かも

一寸？

一寸の芽にも五分の数魂
（数魂は「すうこん」と読む）

それはちょっとどころの変態じゃないだろう
とつっこみたかったんだ許せ

いやいや、許してもらうのはむしろ俺のほうだ

「クリちゃん」からたった4レスでなにこの青春漫画みたいな展開

ライブドアで調べました。
http://search.livedoor.com/search/?lr=lang_ja&q=%A5%AF%A5%EA%A4%C1%A4%E3%A4%F3

germはドイツ語ではKeimなり。
見渡せど芽は冬枯れてKeimかな
なんちゃって

>>385
添削すると
見渡せど冬枯れの野に芽はKeim
かな？

代数で出てきたんですけど
Z:整数と
Z[]の違いを教えてください・・・(゜＿゜i)タラー・・・

あっ！なんか変になってしまいました！ごめんなさい。
Z[]じゃなくて　Z[ ] です。
お願いします！！

>>388 おまいの Z[ ] の定義を書け

Z[ ] 見たことナッシング

Z[ ] 見たことKeimかな

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

911

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

冬枯れの
野に萌え出よ
若緑
崩れという字は萌えという字に似てるわ〜

崩れ退散コピペが先ごろ開発されましたので、
お知らせします。

アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

>>747
理系の人間の１００人に一人がゲーデルの定理の証明を知っているなんて
信じられない。１万人に一人がいいとこじゃないか？

はいごばく

大卒の半分が理系だとしたら一千万人に一人だな

灯台の理系の１％は知っているそうだ。

ここは基礎論スレになりますた

ホステスで知っている者は一人もいない。
羽生なぞ当然知らない。

時代は、Ｐｕｂｌｉｓｈ ＆ Ｐｅｒｉｓｈ　へ

アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です

もう見飽きた
どこかへ行け

>>403
ホステスは、真偽を証明できない男の言葉があることを知っている。

真偽などどうでも良い。
金を取れるかどうかだ。

『ｒ∈Ｑに対し√ｒのＱ上の最小多項式を求めよ』という問題なのですが、
「ｑ（ｘ）∈Ｋ［ｘ］かつｑ（ｘ）がモニックな既約多項式でｑ（α）＝０
ならばｑ（ｘ）＝irr（α，Ｋ）　（αのＫ上の最小多項式）」
という定理を使って考えているのですが、
√ｒ∈Ｑでないとき、つまりｒ∈Ｑ^2　でないときは、
ｆ（ｘ）＝ｘ^2−ｒ∈Ｑ［ｘ］，ｆ（√ｒ）＝０をみたし、ｆ（ｘ）は
モニック。
ｆ（ｘ）が既約でないと仮定すると、
最終的に√ｒ∈Ｑとなり√ｒ∈Ｑでないことに矛盾なので既約であることがいえるので、
irr（√ｒ，Ｑ）＝ｆ（ｘ）＝ｘ^2−ｒだと分かるのですが、√ｒ∈Ｑ
のときは、ｆ（ｘ）は既約であるかどうか分からないので、この定理が
使えないと思うのですが、どのように考えればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

>>408
√r ∈ Q のときはそんな定理使うまでも無い

>>409
ありがとうございます。

Ｋ＝Ｑ（√ｒ），ｒ∈Ｑ^2　ではないとする。０≠ａ＋ｂ√ｒ∈Ｋ（ａ，ｂ∈Ｑ）
の乗法逆元をｃ＋ｄ√ｒ（ｃ，ｄ∈Ｑ）の形で表せという問題で
ヒントとして（ａ＋ｂ√ｒ）（ａ−ｂ√ｒ）＝ａ−ｒｂ^2
ａ＋ｂ√ｒ＝０⇔ａ−ｂ√ｒ＝０　が与えられているのですが、
逆元は単に（ａ−ｂ√ｒ）／（ａ−ｒｂ^2）　でいいのでしょうか？

>>411
あってるよ。ただここは宿題スレじゃないんだが。

Lang to Rotman to Artin

no algebra.


dorega osusume?

>>413
Lang "Algebra" と　Artin "Algebra" はおそろしく性格が違う本なので
どっちがお勧めとは簡単にはいえない。

Lang は標準的だから、 Artin を勧める

単項イデアル整域Ｒの０でない二元a,bに対して
ｃ＝ＧＣＤ(a,b)　ｄ＝ＬＣＭ(a,b)とすると
Ｒ/aＲ＋Ｒ/bＲ〜Ｒ/cＲ＋Ｒ/dＲ　(＋は直和　〜はＲ加群の同型)
を示せ
ってだれかわかる？

>>416
宿題スレ行け

age

(Z/n)^×において2の位数を知りたい場合、直接計算以外で求める方法ってあるんでしょうか？

Euler関数φ(n)の約数を試す位では？

やはりそれしかないですよかね？こういう事ってあまり研究されてないのかな？なんかnと各元の位数って関係性ありそうだけど

1/n を 2 進小数展開して循環節の長さを調べる。
n が素数冪の時に帰着される。

>>422
更に例外的な素数を除いて素数冪の場合は素数に帰着される。

>422>423 ﾄﾞｳﾓです、良く分からないので具体例を挙げてもらって良いですか？

環のイデアルという概念がいまいち飲み込めないのですが、
直感的なイメージってありますか？

>425 素元一意分解はZ[√-5]とかだと成りたたないが、イデアルを定義してあげる事により素イデアル一意分解は成立する

>定義してあげる

あげない

age

talk:>>425 例えば、整数環のイデアルは、ある整数の倍数。倍数の概念を一般化したものがイデアル。

もしかして有理数体Qの絶対Galois群Gal(K/Q) (KはQの代数閉包)の
(位数)有限部分群って{id}とGal(K/K∩R)だけ?
指数有限部分群がGal(K/M) (M/Qは有限次拡大)に対応してるのは良いんだけど。

age

>>431
位数は 1 か 2 だが、位数 2 の元は連続濃度あって皆共軛。

>>433
確かに共役で位数2の元が沢山作れますね。気付きませんでした。
しかし位数有限な元の位数は1か2に限るんすか!?
どうもGalois理論から初等的に導ける結果じゃなさそうですね。

>>434
次の有名な定理を用いる。
ある体 K の有限次代数拡大が代数閉体なら、
K が代数閉体であるか、または実閉体であって拡大次数は 2.
証明は永田、可換体論、裳華房など参照。

　. .　　.　.　　　　+　　.　　　.　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　+　　.　∧Ｍ∧ . .*
　　　　　　　　　　　　　　+　.　.* 　（　‘∀‘）　ﾇﾙﾎﾟ♪
　　　　　　　　　　　　　　　.　　.　⊂　　　 つ　　+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人 ヽﾉ
　　　　　　　　　　　　　　ε=ε=┠し（＿） ｽｨｰ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┷┷ 　　　ｽｨｰ

>>435
ありがとう。今度読んでみます。

talk:>>436 ｶﾞｯ!

172

talk:>>438 ｶﾞｯ!

√(441) = 21 　　ﾄｩｴﾆｨ　わん　!

max 関数の詳細について書いてある代数 (または解析) の書籍って
ありますか。洋書でも結構です。よろしくお願い致します。

ｍａｘ関数って何。

>>443
官僚数の事だろ

max 関数は、普通の最大値をとる演算のことです。
max p(x) とか。

詳細って何を調べる必要があるんだろ

ｍｉｎ関数（民間数）の方が商才がある。

max(x,y) = (x+y+|x-y|)/2
min(x,y) = (x+y-|x-y|)/2

くだらない質問なのかもしれませんが、
非線形代数という分野って存在しますか？
加群の非線形な拡張って、どんな方法がありますか？

すみません、ageます

代数一般が非線形なのであって、
線型代数は代数の中の一つ。

蟹工船

うゆ？
環って生成元に対して線形だと思ってたのですが。
加群も線形ですよね。

なにか勘違いしてますでしょうか（；´Д｀）

勝手に思うな

線型と非線型は要するに何々とその他、という分け方だから
非線型〜〜とか言う分野が数学の中で線型代数くらい
確固とした地位を占めることは無いと思うよ

環って色々定義があって、単に「環」といった場合は何さすか不明瞭だから

結合的で無い環でも
＞生成元に対して線形
これって成り立つんだっけ

もっとも成り立っても「線型代数」ではないような気がするけど

>456
やっぱりそうでしょうか。
作用素代数を非線形に拡張できれば、非線形微分方程式系に対するD加群みたいなものが作れないかと
妄想だけしてみたんですが、無理ですかね。

>457
成り立ちませんか（´・ω・｀）…
結合性が線形性にクリティカルに効くことはないとおもうんですけど。

だろうking

talk:>>459 私を呼んだか？

分からない問題はここに書いてね２３６
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143954798/832
832 名前：816 sage 投稿日：2006/04/12(水) 17:13:06
>>828-830
ありがとうございます、基本定理で Z_{p^2} 上のものと Z_p×Z_p 上のものに
限定して構成したら、一応示せたような気がします。

では、単位元を含まない場合はどうでしょうか。
同型類が全部で11種類あるという事実だけは知ってるのですが、
そういうことが書いてある本は無いでしょうか？

816 名前：１３２人目の素数さん sage 投稿日：2006/04/12(水) 07:51:54
p を素数として、元の数が p^2 の単位元を持つ環が可換環であることを示してください。

加法の群がＺ／ｐ＾２Ｚで基底をａとする。
（１）ａ＾２＝ａ，Ｚ／ｐ＾２Ｚ。
（２）ａ＾２＝ｐａ，ｐＺ／ｐ＾３Ｚ。
（３）ａ＾２＝０，ｐ＾２Ｚ／ｐ＾４Ｚ。
加法の群が（Ｚ／ｐＺ）×（Ｚ／ｐＺ）で基底をａ，ｂとする。
積が可換。
（４）ａ＾２＝０，ａｂ＝０，ｂ＾２＝０。
（５）ａ＾２＝ｂ，ａｂ＝０，ｂ＾２＝０。
（６）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝０，ｂ＾２＝０。
（７）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂ＾２＝０，ａは単位元。
（８）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂ＾２＝ｂ，ａは単位元。
（９ａ）ｐ＝２，ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂ＾２＝ａ＋ｂ，ａは単位元。
（９ｂ）ｐ≠２，ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂ＾２＝ｃａ，ａは単位元，ｃは非平方数。
（９ａ），（９ｂ）は体。
積が非可換。
（１０）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝０，ｂａ＝ｂ，ｂ＾２＝０，ｘａ＝ｘ，ｘｂ＝０。
（１１）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂａ＝０，ｂ＾２＝０，ａｘ＝ｘ，ｂｘ＝０。
（１２）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ａ，ｂａ＝ｂ，ｂ＾２＝ｂ，ｘｙ＝ｘ。
（１３）ａ＾２＝ａ，ａｂ＝ｂ，ｂａ＝ａ，ｂ＾２＝ｂ，ｘｙ＝ｙ。

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>464 私の城を用意してくれるのか？

>>463
00:00:00

有理整数環の「有理」ってどういう意味が込められているのでしょうか？

>>467
Qの整数環すなはちZ

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=Shift_JIS&q=%22rings+of+order%22&lr=
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=Shift_JIS&q=%22rings+of+order+p%22&lr=

どなたか次の用語の日本語訳を教えてください。
divisible abelian group
formally real field
separably closed fields

Q/Zが可除Z加群てのがわかりません。
可除ということは、
任意のｘ∈Q/Zと、任意のａ∈Zに対し、あるｙ∈Q/Zが存在して、ａ ｙ ＝ ｘ になるってことですよね？
このようなｙは本当にwell-definedにとれるんですか？

ｙが存在したとしても一意とは限らない。
どちらにしてもdivisible abelian group とは云う。

∃と∃!は違う意味ですしね

(1) f(x)∈Z[x]
(2) ∃a∈実数、f(a)=0
(3) aは整数と加減乗除とn乗根を有限回用いて表すことはできない

を満たす多項式f(x)の例を教えてください。

「Ｇの単位元を除く各元の位数が２ならば、Ｇはアーベル群」
なのですか？
どうやって示しますか？

ａｂ＝ａ（ａｂ）＾２ｂ＝ａ＾２ｂａｂ＾２＝ｂａ。

>>477
なるほど・・。
ありがとうございます！！

king詩ね

talk:>>479 お前に何が分かるというのか？

>>480
？かのういとるか分が何に前お

talk:>>481 何考えてんだよ？

>>482
おま(ry

talk:>>483 何やってんだよ？

おは！私　オナking。オナニー大好き。自称イケメンヒッキー。オメーラ私についてこいや。
ハッピーファンキーなオナニーってやつを教えてやるぜ。私のオナニーは半端ねーからシクヨロ。
ところでオナニーサイヤ人の私だから、いつものゆんゆんﾊﾞｯｸﾄﾞﾛｯﾌﾟ行くぜ。
オッス！私、童貞king。いっちょコイてみっか！フッ。決まったぜ！

talk:>>485 何やってんだよ？

■神で賞■
フィールズ賞
■逆コバンザメ賞■
京都賞
■超御大賞■
アーベル賞・ウルフ賞・クラフォード賞・ボヤイ賞
■御大賞■
ショック賞
■結構御大入っているで賞■
スティール賞
■現代屈指で賞■
コール賞・ヴェブレン賞
■普通の賞■
春季賞・ホワイトヘッド賞
■そこそこで賞■
秋季賞・代数学賞・幾何学賞・解析学賞
■どうでもいいで賞■
建部賞
■オナニーで賞■
king賞

無限体でなんかおもしろいのってありますか？

talk:>>487 私にオナニー用の画像をくれるのか？

>>489
そうです。

kingはどれが好み??
�@幼女
�A女子大生
�B熟女

数学の話をしろよ糞どもが！

>>４９２、消えろ

私は�Bをキボンヌ。

何が「オナニー」だ！出てけ！

あ

あ

荒らしは消えうせろ！

>>４８７が悪い！

馬鹿！

けんかが始まった

このスレはマジでおもすれー！

やーいウンチ！！あああああああああおおおおおおおおお

　　　　　　　　　　　, -−−ー-､.
　　　　　　　　　γ'　　　 　　 　　　`ｰ､　　　
　　　　　　　　 /::　　　　 　 　　　　　 ｀ヽ　　
　　　　　　　　/::::　　　　　　　　　　　　 ヽ　　
　　　　　　　 |::::::::　　 　　　　　 , -- 、　　ヽ　
　　　　,.---イ;;;ｰ､__　　　　　＜;;;;;;;;;;;;;`･､　.|　　
　　　　　￣`| ＼;;;;;;;;; ー- ､._　　`ｰ-､;;;;;ゝ ﾉ　　
　　　　　　,イ､_ ＼;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ー､._　　　 　）　　
　　　　　　ヾ　/｀`ー-- ､＿;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ー､/　　　
　　　　／￣)イ:::　　　　　 ・=-`ｰ-,､;;;;;;;;;;;;;/　　　　
　　　_/　　/ |::::　　　　　　 　 　|　・=-;;;;>
ー-'　（ｰイ　ヽ:::　　　　　　　　/　　　./　
ヽ　　 ヽ /　　`､:　　　　　( _　_.) 　 ／　　＜　Kingの分まで代数学をがんばりたいです。
　ヽ　　ヽ　　　　､　　　､　　 ;; 　 ／` ､
　　ヽ　　ヽ　　　 ヽ　 　 ~`〜'／　　　＼　　
　　　ヽ　　ヽ、　　＞､ ＿_'／　　　__　　ヽ　　
　　　　ヽ　　 /　 .|　.)／　　　 ／　 / 　 ヽ　　
　　　　　＼／ヽ ./　/　　 , ／　 ／　　　　｀　
　　　　　　　　　/　　`ｰ ''　　 ／　　　　　　/　
　　　　　　　　　|　　　　　　　 )　　　　　　 |
　　　　　　　 　 |　　　　　　　　）　　　　　　|

やーいウンチ！！のっぺらぼう！！！

>>501　
全部俺のジサクジエンなんだよ！この間抜け！

　　 ﾄ、　, ---- ､
　　 H　/::(/､＾^, :ﾞi
((　(ﾖｂ |::l,,・　 ・,,{:Ｋ〉　))
　　 ＼｀ｌ:ﾄ､(フ_ノ:｣/　　　　＜学習ルームで代数特訓だ！
　　　　ﾞ、　ヾ〃　/
　　　　 〉 ﾈｳﾞｧﾀﾞ|

ここはＡＡ地獄ですか？

talk:>>491 女子大生。
talk:>>504 何考えてんだよ？

　　　　　　　　　　　,r'　　　　　　ヽ､
　　　　　　　　　　 ,i"　　　　　　　　ヽ､
　　　　　　　　　　i ヽ　　　　　　　　 　ヽ､
　　　　　 　　　　　i ヽ　　　　　　　　　▲ヽ､
　　　　　　　　　　/i 丶　　　 　　 　　　　▼ヽ､
　　　 　 　 　 　 /　 i　i　　　　　　　　　　　　 　ヽ､
.　　 　 　 　 　 /　__ノi i /⌒ｉ　　　　　　　　　　　　ヽ､
　　　　　 　 　 l. 　 `ｉﾉ /　 / |　　　　　　　　　　　　　ヽ,,
　　 　 　 　 　 | 　 ,,,|./ ｀`´.丿｀丶,　　　　　　　　　　　丿
.　　　　　　 　 l.　 　 |｀`'''　/ 　 　　'､　　　　　　　　　ﾉ
　　　　　　　　|　 ,___l　　 　|､.　　　　｀'､　　　　　　ノ
.　　　　　　 　 |　　 ﾉ 　 　 | ｀'､　　　 ,　'"⌒`'"""
　　　　　　　　 |　_/　　　　|` ‐､｀`''"´l
　 　 　 　 　 　 | /　　　　　ヽ-､ _￣`|
　　　　　　　　　| .　　　　　　ヽ::::.｀ ､,|
　　　 　 　 　 　 | :.　　　　　　 |::::　　|
　　 　 　 　 　 　 | :: 　　　　　　|::::　 |
　　　　　　　　　 λ:::　　　　　 ﾉ::　丿
　　　　　　　　　/　　　　　　,　::::::'/
　　　　　　　　/　　　　　　:/:::::::::/
　　　　　　　/　　　　　　::/:::::::::/
kingの手

talk:>>510 何考えてんだよ？

超king関数の代数的性質は？

talk:>>512 私を呼んだだろう？

kingの手は精液でベタベタ

talk:>>514 私の手にいつまでもそのようなものが付着しているはずがない。

kingはビニール袋オナニーの達人だから
手は精液でベタベタのはずはない。

talk:>>516 何だよ？

king１日何回射精する？

６００回

>>519
２分２４秒に１回の割合でkingは射精するんだな

代数学できる人って解析もできるものなの

シローの定理の証明は、一般的には難しいのですか？
読もうとしているのですが、所々行き詰る所があります。

じっくりやればそのうちわかると思う

すがって数学科なの？

talk:>>518-520 何やってんだよ？

夜はしおれて　三味線の
赤い吐息に　泣き明かす

Ｇを群、Ｃ_G（ｘ）＝｛ａ∈Ｇ｜ａｘ＝ｘａ｝　（ｘの中心化群）
Γ（ｘ）＝｛ａ^(-1）ｘａ｜ａ∈Ｇ｝として、
Ｇ／Ｃ_G（ｘ）＝｛ｙＣ_G（ｘ）｜ｙ∈Ｇ｝からΓ（ｘ）への写像φで
ａＣ_G（ｘ）に対してａ^(-1)ｘａを対応されるとき、写像φは単射になるよう
なのですが、これがよく分かりません。
ａ^(-1)ｘａ＝ｂ^(-1)ｘｂ⇒ａＣ_G（ｘ）＝ｂＣ_G（ｘ）がいえれば良い
と思い、更にこれをいうにはａ^(-1)ｂ∈Ｃ_G（ｘ）　つまりａ^(-1)ｂｘ＝ｘａ^(-1)ｂ
がいえれば良いと思うのですが、これはａ^(-1)ｘａ＝ｂ^(-1)ｘｂから
どのように導けばいいのでしょうか？

そこまでわかっていれば( ＾ω＾；)
ａ^(-1)ｘａ＝ｂ^(-1)ｘｂ
の両辺に左からｂを、右からａ^(-1)を掛けて
ｂａ^(-1)ｘ＝ｘｂａ^(-1)
だからｂａ^(-1)∈Ｃ_G（ｘ）
よってＣ_G（ｘ）ａ＝Ｃ_G（ｘ）ｂ⇒ａＣ_G（ｘ）＝ｂＣ_G（ｘ）

なんなんだ、この神がかり的なわざは・・・
>>463>>469>>477

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

>>528
最後の、よってＣ_G（ｘ）ａ＝Ｃ_G（ｘ）ｂ⇒ａＣ_G（ｘ）＝ｂＣ_G（ｘ）
という所がよく分かりません。これはどうしてでしょうか？

>>531
ごめんなさい＞＜
527のφはΓ（ｘ）＝｛ａ^(-1）ｘａ｜ａ∈Ｇ｝を｛ａｘａ^(-1）｜ａ∈Ｇ｝に変えるか、
Ｇ／Ｃ_G（ｘ）をＣ_G（ｘ）＼Ｇにするかしないとwell-definenedでないよね。

Zの部分集合Aがn∈A⇔∃m∈Z∃f,g∈Z[x] n=f(m)/g(m)を満たすような
必要十分条件って何でしょうか

間違えた
Zの部分集合Aが∃f,g∈Z[x] (n∈A⇔∃m∈Z n=f(m)/g(m))を満たすような
必要十分条件って何でしょうか

（；＾ω＾）f(x) = x^2 g(x) = x

Ａが有限集合またはｆ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，Ａ＝Ｚ∩ｆ（Ｚ）となるｆが存在する。

Ｇを群として、ＧからＧ／Ｚ（Ｇ）への自然な準同型φを考えたとき、
Ｚ（Ｇ／Ｚ（Ｇ））はＧ／Ｚ（Ｇ）の正規部分群になることは分かるのですが、
φ^(-1）（Ｚ（Ｇ/Ｚ（Ｇ）））＝Ｚ_2（Ｇ）とおくと、Ｚ_2（Ｇ）はＧの
正規部分群になっているようなのですが、これはなぜでしょうか？
群Ｇから群Ｈへの準同型写像があれば、Ｈ´がＨの正規部分群であれば
Ｈ´をφ^(-1）で引き戻したものはＧの正規部分群であるというようなこと
が言えるのでしょうか？

>>537
ａ∈φ^(-1）（Ｈ´）とすると任意のｇ∈Ｇに対して
φ（ｇａｇ^(-1））＝φ（ｇ）φ（ａ）φ（ｇ）^(-1）
φ（ａ）∈Ｈ´よりこれは∈Ｈ´
ゆえにｇａｇ^(-1）∈φ^(-1）（Ｈ´）

>>538
ありがとうございます。お陰様でｇａｇ^(-1)∈φ^(-1)（Ｈ´）
つまり∀ｇ∈Ｇに対してｇφ^(-1)（Ｈ´）ｇ^(-1)⊂φ^(-1)（Ｈ´）となる
ことは分かったのですが、逆の包含関係はどのように示せば良いのでしょうか？

A:ring I:Aのイデアル　として
AにI進位相を入れて完備化したいんですけど、どのような距離を定めればうまくいくんでしょうか。

>>539
∀ｇ∈Ｇに対してｇＨｇ＾（-1）⊂ＨならばＨは正規部分群。
∵ｇ→ｇ＾（-1）とすればおｋ

>>540
I進位相の定義は？

>>536
すくりぷと？

Ｇがｐ−群のとき、Ｚ（Ｇ）＞≠｛１｝になるのは分かるのですが、
Ｚ（Ｇ）＝Ｚ_1　とおくと　Ｚ（Ｇ/Ｚ_1）もＺ（Ｇ/Ｚ_1）＞≠｛１｝と
なるようなのですが、これはどうしてでしょうか？

＞　Ｚ（Ｇ/Ｚ_1）もＺ（Ｇ/Ｚ_1）＞≠｛１｝

これなに？

>>544
Ｚ（Ｇ/Ｚ_1）が単位元のみからなる群より真に大きな群になるということ
です。

>>543
群の中心拡大を勉強するといいよ。

そんなもの勉強しなくても非可換なら一行目から明らか。

>>545

そう云う時は

Ｚ（Ｇ/Ｚ_1）＞≠｛１｝

とだけ書く。

単位元でない物を探せないのか？
考察するべき群の「元」の意味、実体が分かっているのか？

>>547
そうだった。
>>548
Ｚ（Ｇ/Ｚ_1）≠｛１｝？

>>548
Ｚ（Ｇ）＞≠｛１｝より、１≠ａ∈Ｚ（Ｇ）をとると、
∀ｇ∈Ｇに対して、ｇＺ（Ｇ）ａＺ（Ｇ）＝ｇａＺ（Ｇ）＝ａｇＺ（Ｇ）
＝ａＺ（Ｇ）ｇＺ（Ｇ）より、ａＺ（Ｇ）∈Ｚ（Ｇ/Ｚ（Ｇ））だが、
ａ∈Ｚ（Ｇ）より、ａＺ（Ｇ）＝Ｚ（Ｇ）となるので、ａＺ（Ｇ）はＧ/Ｚ（Ｇ）
における単位元となってしまいます。Ｚ（Ｇ/Ｚ（Ｇ））で単位元でないもの
が存在することはどのように示せばいいのでしょうか？

生ける産業廃棄物がいるスレはここですか？

代数学によく登場する「同一視」というのがイマイチ理解できません。
例えば、整数環Ｚの商体である有理数体Ｑの構成の時、ＺからＱへの単射準同型が構成できるわけですが、
その単射をｉとするとき、i(Ｚ)とＺを自然に同一視してＺをＱの部分環とみなす、
という論法が登場しますが、i(Ｚ)とＺは集合として異なるはずなのに、
なぜ同一視などという強引な手法が許されるのか、分かりません。
誰か納得いく説明をしてくださる方、いませんか？

気になるなら全部「同型である」で読みかえりゃ良いじゃん

>>552

何故その様にややこしく考えるのか？

元々、実数体の中に Q や Z があるではないか。その Z をあたかも独立して存在する実在の様に
定義して、本来の場所に置き直すと云う回りくどい手順を示しているだけだ。

Z から Q 、Q から R を構成して行く方式もある。

>>553
「同型である」という立場では、あくまでｉ(Ｚ)はＺとは同型だが、集合論的には異なる環である、
ということになるので、i(Ｚ)がＱの部分環とは言えても、ＺがＱの部分環とは言えないと思うのですが。
>>554
その「ＺからＱを構成していく」方法の一つが、私が上に書いたＺから商体Ｑを構成する手法だと思うのですが。
ただ、ＺやＱはなじみある対象なので、かえって混乱するかもしれません。別の例を挙げると、
「同一視」の手法は一般の体Ｋの分解体を構成するときにも登場します。

気に食わないんなら自分で代数学を作れよｗ

＞「ＺがＱの部分環とは言えない」
純粋に論理的に厳密には言えないってのはそうですけど、
そういうことは教科書も主張してないかと、

「無限環R_1、R_2はZを部分環として持つ、従って任意の無限環同士は交わる」、
とかそういうこと言ったりはしないでしょ
まあちょっと紛らわしいかもしれないけど

大事なのは、QがZ「と同型な環」を部分集合に持つということで、
本来i(Z)と書くべきところをZと略記してると見てもいいし、
Qを作った後、Qと同型で、かつZを含むように同型写像で戻してもいいだろうし

それに集合を扱うときにもそういう「見做し」はしますけどね
<<a,b>,c>と<a,<b,c>>を同一視したり
もっともformalに厳密に同一視の原理を考えたりすると大変だろうけど

＞気に食わないんなら

？

>>557
確かにそうですね。仰るとおり、技術的には一度Ｑを構成した後に最初のＺを含むようなＱと同型な体を
新たに構成しても言い訳ですね。この発想はありませんでした。
あと、代数学、というより集合論には確かに同一視の原理が奥底まで入り込んでいることは私も理解しています。
直積集合（Ａ×Ｂ）×ＣとＡ×（Ｂ×Ｃ）を集合として同一視しないことはナンセンスだと思いますし。

結局の所、この問題は最終的には「同型なものをどう捉えるか」ということだと思います。
代数学には「同型なものは同じと思っていいよ」という思想があると思うのですが、
なかなかそういうことをちゃんと書いている教科書ってないような気がします。
ただ、何でもかんでも同一視すればいいというものでもないらしく、
体ｋ上のｎ次元ベクトル空間は基底を上手くとればすべて同型であることが示せますが、
それは基底に依存するようなisomorphicなので、canonical isomorphicではないから、
同一視しない方がいい、というような話を聞いたことがあります。
ああ、わけがわかりません・・・。

>>559

あるベクトル空間での基底の選択は数ベクトル空間との同型を定める。
他の基底の選び直しは別の同型を定め、元の空間の自己同型を定める。

よって基底を使って作る同型は全てcanonical isomorphic である。

勉強不足なだけ

>>561
なにが？

>>559
＞ただ、何でもかんでも同一視すればいいというものでもないらしく
結局ここら辺は経験をつむしかないんだよ。先人の方々はどういう時の同型を同一視して、どういう時の
同型は同一視しないのかの例をたくさん知ればそのうち納得するよ。

漏れなんか初めの頃は有限次元ベクトル空間Vとその双対空間V^*は同一視しないのに、なんで
VとV^**は同一視すんだろ、なんて悩んだなあ。今思うと馬鹿くさいけどなあ。

>>563
＞結局ここら辺は経験をつむしかないんだよ。
そういうことなんでしょうね。
教科書や授業でもそういう一番肝心な部分は教えられていないので、
なんだかなあという気がします。まあ、単にややこしいから、ノータッチというだけなのかもしれないですが。

佐武一郎の代数学への誘いにちょっとcanonicalについて書いてあったね

というかそれを読んでの>>559なのかもしれないけど

みなさんどうもありがとうございました。私の最初の疑問は解決しました。
「同一視」というところも厳密に議論すれば技術的にはＺから構成したＱが
最初のＺを含むように構成できることも分かりました。
ただそれはややこしいので「同一視」という言葉を使っているのだろうなとも思いました。
あと、「同型」をいつ同一視するべきなのか、という問題はもっといろいろ経験を積むべきなのだろうと思いました。
ただ、世間で数学をやっている人はあんまりこういうことを気にしていないようなので、
もしかしたら、私が厳密にこだわりすぎているだけなのかもしれません。

>>565
いえ、佐武先生のその本はまだ読んだことありませんでした。今度読んでみます。
私がcanonicalを知ったのは、授業で先生がちらっと言っていたからです。

>>564 >>563

そう云う曖昧な間隔は危険である。ひょっとしてまだ理解していない可能性すら感じる。

さらに悪いのは初心者に神秘性を感じさせ、当たり前の簡単な内容を掴めない事を放置させる原因となる。
数学の多くは、実例の上に構築され、定義と演繹だけで記述する抽象化、一般化で理解を完成させる。

初歩の部分は定義の理解とその言い換えの定理で表しているだけで、VとV^**は同一視等は正に定義その物。
定義の妥当性をすぐに感じ取れないのはその二段階前の基礎が欠けている為だ。

その意味では入門段階では分厚くとも、古典的名著の翻訳教科書が有用だったりする。
日本の入門書は結局授業の補助目的である物が多く、真の解説が欠けている。

半端な理解と神秘主義に陥らない様に心掛けよう。

どうみても勉強不足

なるほど。曖昧な「理解」をしていると、自分だけが「厳密」に数学をやっており
他の人間は「曖昧」に数学をやっているように見える、ということですなｗ

>>552のような質問は馬鹿馬鹿しいとも言えないと思うけどね。
最近は、関数f(x)=x(x+1)とf(x)=x^2+xを区別するような数学も
あるらしいから。

>>568
＞VとV^**は同一視等は正に定義その物
「同一視」が定義？　それはどういうことなのか、是非説明が聞きたいですね。

>>571
確かにバカバカしいのかもしれません。
私はＺとi(Ｚ)は確かに同型だが集合として違うから変だ！ということを主張したけど、
よく考えれば整数環Ｚも様々な定義があるわけで、
私が使っている整数環Ｚと他の人が使っている整数環Ｚが同じものとも限らないわけだし、
ただ私のＺと他の人Ｚは定義が同値だから、議論する上で問題ないというだけで。

集合としては別々でも着目している代数構造が同一なら
代数構造に関する命題は共通に成立するだろがｗ

>>568
まだ〜

国語力の問題だろうな。>>552氏は「同一視」という語句だけをとらえて、教科書の数学的議論は
見ていないようだ。教科書に書かれている数学をキチンと読めていれば、同一視しようがしまいが、
議論に誤りがないことは分かるはず。>>571は、だから何？という感じだな。

使わないなら同一視なんてしなければいい。

文盲？知障？

>>574
確かにそうですね。代数構造しか注目していないわけですからね。
ということは、私が使っているＺとあなたが使っているＺが集合として異なっているか云々は
やはりナンセンス、というわけですね。

逃げたか

>17 ：１３２人目の素数さん ：2005/05/24(火) 22:54:34
> Z[X]での既約性の判定あるんだ？しらんかった

Gauss Lemma　によりQ[X］での規約性を調べればよい
と思った俺はナイーブ過ぎるのか？

それをどうやって調べるの

>>572

V = V** の話だからベクトル空間の初歩として書いて見よう。
無限次元を念頭に置いての話なら V は V** の部分空間を成しているが必ずしも一致しない。

有限次元ベクトル空間 V において V* とは V から係数体への線型函数の集合で、ベクトル空間をなし V と同じ次元を持つ。
V* の定義は V の元が V* から 係数体への線型函数である事(双対性と云う)を示し、V の元が V** に属す事を示す。
V ⊂ V** の両者は同じ次元を持つベクトル空間であるから一致している。

ここで「一致する」と云う言い方に対し、記法の違いだけでなく V と V** は概念として別物とする捉え方があるから、
同一視と云う考えが導入され一般化した。
数(数学の対象)の抽象化を感覚的合理性にあわせて段階分けしたと言える。

同型にも標準同型と非標準同型、それから自然な同型というのがある。
この３種は概念が異なる。

標準同型と非標準同型が異なるのはいいとして
（説明が必要かもしれないが）、標準同型と自然な同型はどう違うか？
自然な同型というのは関手の間の自然変換になっているということ。
関手的(functorial)な同型なわけ。
標準同型は必ずしも関手的である必要はない。

つまり、自然な同型 ⊂ 標準同型

普通は標準同型があるとき、それによって同一視する。

例をあげる。
有限次元ベクトル空間 V とその双対空間 V^* の間には非標準同型
はあるが、標準同型はない。

一方、V と V^** の間には自然な同型がある。

>>568、>>583
えらそうなこと言ってるからといって、理解が深いわけじゃない典型。
まあ、違いのわからない人はマキシムでも飲んでなってことか。

あ、ごめ、
マキシムじゃなくてネスカフェ・ゴールドブレンドだったかも

>>583
体K上のvector space V（必ずしも有限次元でない）に対して、V^*をVからKへのlinear mapping全体のなすvector spaceとして定義すれば、
V^**とVは集合論的には異なっていると思うので、「V⊂V^**」であると考える段階で、
すでにある種の同一視が入っている気がするのですが。
推測するに、その段階でVからV^**への単射準同型がbasisによらないcanonicalなものだから、同一視するべきだ、
ということなのだとは思うのですが。
>>584
「どのような同型ならば、同一視するべきか」という問題は、行き着くところは仰るように
「圏論的な」概念に行き着くのだろうという予感はしていました。
canonical isomorphismという概念は聞いたことはありますが、圏論的な定義は知りません。
vector spaceのなすcategoryならば、basisによらないisomorphismだというのは聞いたことがあります。
あとnatural isomorphismというのは初めて知りました。
VとV^**（ただしVは有限次元）はcanonical isomorphicなだけでなく、natural isomorphicでもあるのですね。

商体を構成するときの「同一視」が理解出来ない
って言ってるのを「勉強不足なだけ」で切り捨てるのはどうかと思うけどね

そんなこと言われたってなんのアドバイスにもならないし

＞V の元が V* から 係数体への線型函数である事
線形函数「と見做せる」事、と言わないと正確じゃないってことだな

まあ、でも例えば
n+1 = n ∪ {n}なんかもそうだけど、
これはn+1は実はnを部分集合として含むことを解明した、とかそういうわけでは全く無いので
あまり集合論的なことに拘ってもしょうがないかも

いやわかってると思うけどね

昔の数学者、例えばガウスにとって、整数は実数体に含まれるわけで
同一視もなにもない。これは昔に限らず、今の大抵の数学者にとっても
そう。だから Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C なわけ。同一視もなにもない。

590=baka

>>550についてよろしくお願いします。

>>592

>>547 は俺じゃないが、そこで答えは既に出てる。

つまり
>Ｇがｐ−群のとき、Ｚ（Ｇ）＞≠｛１｝になるのは分かるのですが、

Ｇ/Ｚ_1 もｐ−群だろ。

あんた難しく考えすぎ。

>>589
確かに、あまり集合論的なことに拘り過ぎるのは問題だというのは分かります。
自然数の集合の定義として、0 := φ, n + 1 := n ∪ {n}とおいていくのを考えたとき、
仰るように、n + 1はnという集合とnをただ一つ含む集合のunionであると常に意識してイチイチ考えていくことはナンセンスだとは思います。
また、デテキントの切断で定義したＲとコーシー列で定義したＲが集合として違うからといって、
両者は全く無関係だ、と主張することに意味がないのもそうですね。
あと一番大元の話に戻ると、Ｚから商体Ｑを作るときも、ＺからＱの単射準同型ｉについて、
ｉ(Ｚ)とＺの同一視というのは、記号的に、n := i(n)と思いなおしてしまえばいいわけですしね。
今までは、その記号の同一視、というのが何か納得いかなかったのですが、
自然数の定義のところまで戻ってみると、記号の同一視というのは
当たり前のことだということが徐々に分かってきました。

突然すみません。訳あってすぐこの問題のやりかたを教えて欲しいです。
どうか、ご親切なお方よろしくお願いします。

環Ｚ／（１３）において、次の等式が成り立つように□の中に｛｝から選んだ数を入れよ。

�D×�C＝□　　｛−６、−５、・・・、０、１、・・・、６｝

（○というのは両側イデアルの印として使いました。本来は数字の上の横線です。
□の中ももちろんイデアルです。）

Ｚ／１３Ｚのイデアルは｛１３Ｚ｝とＺ／１３Ｚだけ。
（５＋１３Ｚ）（４＋１３Ｚ）＝２０＋１３Ｚ＝−６＋１３Ｚ。
５＋１３Ｚ，４＋１３Ｚ，−６＋１３Ｚはイデアルではない。

−６＋１３Ｚの−６っていうのはどうやって出てきたんですか・・？

聞いてばかりですみませんorz

あと、申し訳ありませんがご親切なお方次の２題の解法も教えて下さい。

１｝f=5x-4y+3 g=x^2-6x+5 のとき、以下のｈに対して、

　ｈ＝ｐｆ＋ｑｇとなる、ｐ、ｑを一組求めよ。

　ｈ＝ｙ＾２−９ｙ＋１４

２｝
　　環Ｒ＝Ｑ［ｘ］／（ｘ＾３＋ｘ＾２＋２ｘ＋４）において、

　　ζ＝ｘ（←このｘはｘの上に横線があります。）と書く。

　　この時、次の元の逆元をa+bζ+cζ^2の形に表せ。

　　i]　１＋ζ

　 ii] １＋ζ＋ζ^2

よろしくお願いします。

(2) ζ書くのが面倒だからzにする。
(1+z)(2+z^2)=-2
(1+z+z^2)(1-3z+z^2)=13

恒等式作ってシコシコ解いたんだけど、もっといい方法あるのかな？

(1)
(-5x-4y+33)f+25g=16h

解法： x=(f+4y-3)/5 としてgの式にぶち込んだらたまたま上手くいった。
これももっとスマートな方法はないものだろうか。

どうも泥沼計算的方法しか思いつかない。代数に向いてないかも。

100

位数が２４、３６、７２の群は可解群になることを示せ。

>>602
バーンサイドの定理より明らか

＞603 ：１３２人目の素数さん ：2006/08/16(水) 09:19:47
＞ >>602
＞ バーンサイドの定理より明らか

Burnsideのp-q定理のことかい？ そんな御大層な道具使わないと駄目かなあ？

・全ての整係数多項式fは、2次以下の実係数多項式の積に分解できる。
・f が5次以上の場合、そのR上の既約分解は、整数と四則とベキ根の有限回の
　組合せによる表示を一般には持たない。

とのことですが、もし三角函数と定数πの使用を許せば、
5次以上の整係数多項式の、R上既約分解も全て具体的に表示できるといえますか？

よぉking
お前はｵｻｰﾝのくせして
１８歳の漏れにムキになって楽しいかい？

talk:>>606 お前は年上に対してそのようなことを書く奴なのか？

kingが来てうざい時は↓これを貼りましょう。

　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　
　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　
　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　
　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・　〕-ヽ　　
　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ 　　　 　
　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l
　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　　　
　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
//∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／

　　　　　　オナニーだいすきんぐ(1980-2006)

talk:>>608 何やってんだよ？

>>605
数検の一次なら円分方程式の解だから、根号で表されるよ。考えたくないぐらい複雑だろうけどね。
あれなら三乗根までで書ける。
一般のは三角関数使ってもダメなときはダメでしょ。

>>605
三角関数の使用を許すという意味がよくわかりませんが、おそらく
sin(整数と円周率πの四則とベキ根の有限回組み合わせの式)の形の式の、
四則とベキ根の有限組み合わせを用いる、という意味なのでしょう。
この場合なら、もちろん一般の場合は610さんが言われるように無理です。

>603
バーンサイドの定理ってどんなん？

>>612
　　_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_＿_
　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 |　 |
　　|　　　　　　　　　　　［G］oogle 　 　 　 　 　 　 　 |　 |
　　| 　/ー[]{]　/ー[]{] 冂　　┌冖ｰ┐ 冂　　　　　　|　 |
　　| く, グ / .く, グ / . | .レ'７´ﾌ カ　ｌ　| .レ'７ lー┐.|　 |
　　|　∠／ 　 ∠／ 　 !__／　/_/ ｌ__/　|__.／..└‐┘.|　 |
　　|　　　 ⊂二⊃ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 |　 |
　　|　　　 | l　 　 |　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　 |　 |
　　|　　　 |_l＿＿|　 　 　　　　　　　　　　　　　 　　　|　 |
　　|　　　（　´_ゝ`）　　シェフの味！ 　　　　　　　　 |　 |
　　|　　 ／　 |： 　ヾ　　　　　　 　∧＿∧　ドウダカ |　 |
　　|　　/ /　 |：　l､ 　l　　　　 　 （´<_｀ 　）.、 　　 　 |　 |
　　|＿_(__コつ|￣|С,ノ　＿＿　(二二つ二ノ ＿＿　|　 |
　　|　　　/⌒＼**　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 |　 |
　　|　.ゝ二二二ノ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |　 |
　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｸﾞｸﾞ（・∀・）ﾚ!! |　 |
　　|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_______________|／

↑
ttp://planetmath.org/encyclopedia/BurnsidePQTheorem.html

上のｺﾋﾟﾍﾟ

Burnside theorem (Theorem)

If a finite group G is not solvable, the order of G is divisible by at least 3 distinct primes.
Alternatively, any groups whose order is divisible by only two distinct primes is solvable (these two distinct primes are the p and q of the title).

>615
ｻﾝｸｽ
携帯からだとググレんくて

可換環Ａの積閉集合Ｓの定義なんですが、
単にＳは積演算について閉じている部分集合、という定義の本と、
それに加えてＳはＡの単位元を含む、としてある定義の本があるのです。
どちらを信じればいいですか？

>617
俺は前者かな
まぁどっちでも良い

商環を作るのなら、
単位元を含むという仮定はむしろ余計
ミクシンスキ考えてみろ

>>618
>>619
ふむふむ。単位元を含むというのは余計なわけですね。
ところで、ミクシンスキというのは何ですか？　本の名前？

インドCCA2

>>619

何故？
単位元を含んだほうが便利だろ。標準射 A → A_S の定義が簡単になる。
a に a/1 を対応させればいい。

どちらの定義も同値
ヒント：empty product(=1)

>>620
ミクシンスキーの演算子法を考えてみろ
元の環は可換整域だが単位元を持たない
応用上はこの方が適用範囲が広い

>>624

単位元を持たない環なんてほとんど役に立たない。
それは数少ない（殆ど唯一？）例外。

>>623

閉じているの意味による。
任意の２元の積に関して閉じてるだけなら単位元を含むとは限らない。

まあどちらを信じたらいいとか、どっちがいいとか、
そういう問題じゃないよな。
時と場合によって都合のよい定義を使うわけで。

圧倒的多数の場合は単位元を含めたほうが便利なんだよ。
積閉集合 S が１を含まないなら S ∪ {1} を考えればいい。

>>628
> 圧倒的多数の場合は

ｗ

意味不明な笑いだな。アホですか？

同一視なんて大っ嫌いだ！部分集合にならないじゃないか！！

有限群から群環は構成できるけど、そのイデアルがどうなっているのか知りたい。

>>630
> 意味不明な笑いだな。アホですか？

ｗ

>>631
俺も同一視あんまり好きじゃない。なんかこのスレッドの上の方で、
延々と同一視の議論をしていた人がいたみたいだけど。

>>634

で、何が好きなの？

>>635
俺が好きなのは、universalityだな。

>>633

アホ決定だなｗ
マジレスすると単位元を持つ可換環を扱っている限り S に 1 を含めるのが
便利なんだよ。その理由は >>622 に書いた。

>>637こそアホ決定

同一視があったら
述語論理の論理式だけの証明に落とせないじゃん！

>>639

アホか。同一視は概念を説明する用語で、日常語からの借り物。

論理的記述には不要。

演算の写像を同一視したやつと置き換えれば拡大にはなるか

＞述語論理の論理式だけの証明に落とせないじゃん！
落とせないって事も無いでしょ
同一視ってのは単なる方便であって

520

ｎは正の整数でｆ（Ｙ）∈Ｃ［Ｙ］でＸ＾ｎ−ｆ（Ｙ）はＣ［Ｘ，Ｙ］で可約のとき
ｍはｎの１より大きい約数でｇ（Ｙ）∈Ｃ［Ｙ］でｆ（Ｙ）＝ｇ（Ｙ）＾ｍとなる
ｍ，ｇ（Ｙ）が存在する。

ｎが正の整数のときＸ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＋Ｚ＾ｎはＣ［Ｘ，Ｙ，Ｚ］で既約。

Ｗ＾４＋Ｘ＾４＋Ｙ＾４＋Ｚ＾４−４ＷＸＹＺはＣ［Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ］で既約。

体k上超越的な元xを添加した体k(x)について、
tr.deg k(x) = 1 が証明できません。tr.deg k(x) ≧ 1 までは分かるんですが。

自己解決しました。

　　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　
　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　
　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　
　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・　〕-ヽ　　
　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ 　　　 　
　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l
　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　＜人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ
　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
//∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／
　/ 　 ＼＿＿ /"lヽノ　 ヽ 　　　
/　　　,ｨ -っ　（ ,人） 　　ヽ
|　 ／　､__ う　|　　|　･,.y　 i
| 　　　/　　　 |　 ⊂llll 　　|
￣T￣ 　　　　|　　⊂llll /
　 | 　　 　　 ﾉ　　ﾉ 彡ｲ
　 | 　　ヽ､（__人_）_,ノ　|

代数学の辞書代わりに一冊ほしいんだが森田康夫以外でなんかある？

>>648
Lang

やっぱりlangか。

みんな結構lang持ってるんですか？

見たら分かるけど、詳しさが森田康夫より格段に上。
ほんとは代数学専用の辞典があると一番良いんだろうけどね。
ただ洋書でもそんな本はほとんど出てないようだね
↓くらいか
https://bookweb2.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/booksea.cgi?ISBN=044450396X
まだ岩波の数学辞典の方が使い勝手が良いかも

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>653
おまえはそればっかり言っているけど、
実際にそういう奴に遭遇したことがあるのかよ。

入門辞典が欲しいっす

167

「Kを体とする。K上の既約多項式 f(X)∈K[X] が単根のみを持つとき、
fはK上分離的であるという。」

とあるのですが、分離的でない既約多項式の例が思いつきません。
どんなのがあるでしょうか。

標数ノンゼロの例を考えてみれ

>>657
基礎体が標数非0の無限体の場合を考えないとその例は見つからない。

>>658-659
ありがとう。
Z5やらZ3[√2]などで試して「ねぇよなあ‥‥」なんて思ってたところです。
標数≠0の無限体を構成するところから考えてみようと思います。

グレブナ基底の解説書ご存知ないですか？今もってるのは日比「グレブナ基底」
なんですけど、正直あつすぎる。ウェブからダウンロードできるのとかで、
薄い６０ページぐらいのでもいいんで、知ってたらお願いします。

>>661
もっと分厚いのならあるが・・・

>>662
○|￣|＿

LNMに140ページくらいのはあるね。
ただ>>661の本の方が読みやすいだろうけどね、多分。

Fを体、Nを自然数の全体　{０，１，２・・・} 　とします。
無限次元線形空間 F^N の基底を有限次元線形空間F^3の自然基底
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) のように具体的に構成するにはどうしたらよいのでしょうか？

同じように構成すりゃいいじゃん

>>666
おい、おい、（１，０，０，・・・），（０，１，０，・・・），（０，０，１，・・・），・・・は線形独立だが
F^N の基底にはならないぞ。１次結合っていうのは、有限個を除いて係数が０の１次式
だから、成分が全部１のF^N のベクトル（１，１，１，１，・・・）はこいつ等の１次結合で表す
ことはできない。よって、基底ではない。

じゃあF={0,1}でも一般には無理でしょ。
選択公理が無けりゃF^Nが基底を持たなくたって矛盾しない

俺は>>667でないので文脈がよくわからんのだが
その「じゃあ」ってどういうこと？
そもそも選択公理なしで証明できないんだったら
具体的に構成できないんでしょ。

やっぱ一般には無理ですかー。Zorn使って何やよう分からんが基底がある
としか言えないと。
気持ち悪いなー。そんな存在お化けと変わらんと思いますが。

まあ「お化けがいる」というのが
選択公理とZornの補題ですから

>>670 >>671
実数直線Rを有理数体Q上の線形空間と見たときのハメル基なんかが
その類だね。実数とか有理数とか非常に具体的に思える対象してからが
この始末とは。なんか人間の限界を感じるね。

Rはあまり具体的でもないけどな

＞F^Nが基底を持たなくたって矛盾しない
なにか証明でもあるの？

アホカお前

>>674
選択公理の類を仮定しないと、基底の存在も非存在も言えない
（演繹できない）のではないかと。

>>674
JechのAxiom of Choiceに類似の事実の証明が載ってたはず

演繹できないが普通の公理的集合論の意味であれば、
676の通りだが、普通の数学の演繹をそう解釈してよいかどうかは自明じゃない。

>>677
おお。無限次元ベクトル空間の基底の存在と同値なのは
事実としては知ってたけど{0,1}^ωの基底の存在も言えないのね

401

＞F^Nが基底を持たなくたって矛盾しない
F^n（n∈N）が基底を持たなくたって矛盾しない
に一瞬見えた

F上の線形空間Xとその部分空間Y≠φに対し
Xには基底があってYには基底がない事はあるの？

>>682
選択公理を仮定する限りあり得ない。Ｙには必ず基底があって
Ｘの基底までに拡張できる。

基底が構成出来ないのを嘆く前にそもそも実数も構成出来ないのでよろしく。

有理数の切断として構成できますが

構成の意味が違う。
有限回の手続きで構成出来ないという意味。
文脈からわかるだろうに。

>>686

それを言うなら、整数、有理数も構成できない。

>>687

面白い。
説明してもらおうじゃないか。

代数学の基本定理の簡単な証明を読んで感動した。 つд｀)

>>689
どういうやつ？

定数でない整関数の非有界性を使う奴だろ

回転数を使う証明もなかなか単純でいいよ

(Z/p^nZ)^*
がどういう形をしているかって、どうやったら分かりますか?

>>693
立体模型でも作ってみればいいんじゃね？

>>690
f(z)∈C[z]とするとき、｜f(α)｜≠0 → ｜f(β)｜＜｜f(α)｜ (∃β∈C) が成り立つことを証明して
ほぼ終了。これの証明は、ちょっとゴリ押し気味な計算で証明する。でも変な道具は全然使わない。
>>691が言ってるのは この方針のやつなのかな？

>>695
函数論をやれば必ず習う　「Liouvilleの定理：有界な整函数（全複素平面で正則な函数）は定数しかない。」
のこれまた必ず習う応用。解析概論にも載っている。

使い方：　f(z)を定数でない複素係数の多項式とする。ｆ（ｚ）が根を持たないと仮定する。このとき、1/f(z) は整函数
かつ定数ではないので非有界である。しかるに、定数でない多項式f(z)はｚ→∞のときf(z)→∞だから、z→∞のとき
1/f(z)→0　となり1/f(z) は有界。これは矛盾。故にf(z)は根を少なくとも一つ持たなければならない。

>>696
で、学生が証明を読むと自然発生する演習問題が行間を埋める補題の証明。
この場合は２つの補題

１）定数でない多項式f(z)は非有界。
２）連続函数g:C→Ｃは、z→∞のときg(z)→0ならば有界である。

を押さえる必要がある。証明は難しくないが、面倒くさければ高木の「代数学講義」
に載っていたりもする。

>>689=>>696？

>>696
その証明は知ってる。でも感動はしなかった。

自分的には多項式の最高次数の2のべきに関する数学的帰納法で示すやつが好きだな。なんといっても証明における
解析的な部分は「最高次数が奇数の実数係数の多項式＝０は実数根を少なくとも1つ持つ」しか証明に使わない。後は
代数的な知識だけで証明されちゃう。代数的といっても多項式環をイデアルで割る程度の知識だけでOK。

>>689は、複素平面を知ってれば１分で判る証明のことでしょうな

age

コンパクトリーマン面（種数＞０）上に全ての正則微分が消えるような点
が無いことの証明を教えてくだされ

>>703
種数 1 の時標準バンドルは自明バンドルだから
0 以外の正則微分は零点を持たない。
2 以上の時は ample だから。

>>700
どういう本に載ってるか教えてくださいな

数学セミナーリーディングス定理からの数学入門ｐ４８−ｐ４９。

非常に基本的な事で申し訳ないのですが
ガウスの円分方程式の可解性のところで
x^n = 1の解は冪根による表示ができる。
といろんな本に書いてあるのですが

　x = 1^(1/n)

で、n乗根は冪根ではないのでしょうか？

>>707

考えている体上既約な多項式 X^n - a = 0 の根の組み合わせで
解くと言う意味。
通常 n は素数。

X^n - 1 = 0 は n ＞ 1 なら既約でない。

Hilbertの定理90ってなんで「定理90」なんですか？
定理83とか定理55とかも定理あるんでしょうか。

>>709

Hilbert の Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, 1897
(代数的数体の理論)、通称 Zahlbericht(数論報告)
英訳 The Theory of Algebraic Number Fields, 1998, Springer
の９０番目の定理だから。
その本には定理１から定理１６９まである。

どうもありがとうございます。

なるほど。数論報告が初出の定理なんですね。

非特異射影代数曲線上の因子が０にalgebraically equivalent
であることと次数が０であることは同値でしょうか？？？？？

>>712

Picard group

単位元なき可換環について詳しい記述の本は無いだろうか？

>>714
単位元の無い可換環は，単位元の存在するある可換環のイデアルになる．
だから，そんな本はないと思う．

>>715
へー！！それ示すの簡単？簡単だったら概略だけでもおしえてちょ。あるいはそれがのってる本紹介してチョ。

>>716
Rを単位元がないかも知れない可換環とする．Rは自然に整数環Zの作用するZ-加群とみなされる．
ZとRの直積Z×Rを考える．Z×Rはに自然に加群の構造が入る．Z×Rの元(λ, x)をλ+xと書く．
λ，μ　∈ Z，　ｘ，ｙ　∈ R にたいし，(λ＋ｘ）（μ＋ｙ）を形式的に展開すると
　　（λ＋ｘ）（μ＋ｙ）＝λμ＋λ・ｙ＋μ・ｘ＋ｘｙ．
そこで，Zの元の項とRの元の項を集めて，λ＋ｘ＝（λ，ｘ），μ＋ｙ＝（μ，ｙ）　の積を
　　（λ＋ｘ）（μ＋ｙ）＝（λμ，λ・ｙ＋μ・ｘ＋ｘｙ）
＝λμ＋（λ・ｙ＋μ・ｘ＋ｘｙ）
により定義する．そうすると，Z×Rはこの積と先の和について可換な環となり，（１，０），１　∈　Z，　０　∈　R
は，その単位元．また，Rの埋め込み（0，ｘ），　ｘ　∈ R　はそのイデアルになっている．

>>715
だから>>714の様な本に意味がないという根拠にはならない。
特にひねた環の場合。

>>718
それで、実際単位元なしの環を正面から扱った教科書ってあるの？

単位元のある可換環は，単位元のないある可換環のイデアルになる。
だから単位元のある可換環について詳しい記述の本は無い？

http://en.wikipedia.org/wiki/Rng_%28algebra%29
付け加えると
単位元なし環の加群全体の圏は単位元を付け加えた環の加群全体の圏と自然に同型。

単位元のあるなしは、可換環が表す空間がコンパクトか非コンパクトかの違いに相当する
単位元の添加は一点コンパクト化のアナロジーと考えられる
そういうことは、作用素環の入門書にはたいてい書いてあるよ

一点コンパクト化があるので
コンパクトであることを仮定しない位相空間について
詳しい記述の本は無い？

>>722
お勧めの作用素環の入門書は？

単位元の添加法の説明のない環論の教科書が多いのはなぜ？

C^*-algebras and operator theory（Murphy）でも読んだらいいんじゃないか
予備知識として関数解析の常識は必要

ちゃんとした環論の本にはたいてい単位元の添加について（さらっと）説明があると思うが

>>726
多分読んでる本が優しすぎるか、ムズ過ぎるかだろうな。

>>726
やけに高度そうだ。修士で読める程度の本？？

修士で読めないとまずいと思う

>>729
じゃちょっと調べてくる。

>>717
トーシロに易しい解説ありがとさん。

Z 有理整数環 とするとき、
「Z^2 から Z への単射準同型は存在しない」
の証明の仕方を教えてください。

ここでいう準同型は、加群の準同型です。
背理法で挑戦しているのですが…

---
これは、Mayer-Vietorisの定理を使うときに、
M→Z→Z^2→Zという加群の準同型の完全列があったとすると、
M→Zは0射像になることを証明したいんですが、その過程で出てきました。

自分は大学2年です。

f(0,1)=p
f(1,0)=q
f(0,q)=f(p,0)

>>733
なるほど！思いつきませんでした。
まだまだですね…。
明日発表で焦っていたので、助かりました。
ありがとうございました。

加藤和也は、東大の進振りの成績が悪かったらしい。
天文学科に進めず航空学科に行ったが１年留年。
数学科に転科して代数のテストがダントツにできたらしい

もっと正確に言うとここままではやばいと思い必死に勉強して、一日で大学ノート一冊使い切ったらしい。
その結果が.....

素数の歌が聞こえたわけだな

かんころりん

鬼太郎の歌

群Ｇの２つの有限部分群Ｆ、Ｈの位数が互いに素ならばＦ∩Ｈ＝｛e｝を示せ。
って問題があるんですけど、教えてもらえませんか？？
低レベルで申し訳ないかもしれませんが…

F,Hが共有する元の位数は、F,Hの位数の公約数だろ？

低レベルな質問ですが、教えてください。
「Ｇを群、ＮをＧの正規部分群とする。
Ｎを含むＧの部分群Ｈの全体と、Ｇ／Ｎの部分群の全体とは
Ｈ→Ｈ／Ｎにより１対１に対応する」
という命題があるんですが、本にある証明は「明らか」で済まされています。
きちんと証明を書くとどうなるのでしょうか？

ヒント：→

H -> H/N の逆が H' -> H' N で与えられるので自明

>>744
H'とは何ですか?

準同型かつ全射なのは自明だろ？
だから単射を確認すればいい
Hに入っていない元ｇを剰余群に落とした[ｇ]がH/Nに入ってたらどうなる？
H⊇Nに注意しること

準同型じゃねーだろｗ

すまん酔ってた

>>742
H→H/NでGのNを含む部分群一つにG/Nの部分群一つを対応させる事ができるのは明らか。

逆にH´をG/Nの任意の部分群としよう。
この時、
H={g∈G：gN∈H´}によってHを定義すれば、HはNを含むGの部分群として
ただ一つ定まる。だから１対１に対応する。

Hが群になる事とか、Nを含む事とかをきちんと書ければ納得できるだろう。

正しくは定義ではないな。
上記で定めたHがその前の逆写像になっている事
つまり、H´=H/Nを確認すれば１対１が確認できる。

答だけでなく解き方もお願いします 全て因数分解せよという問題です�@ a^3-a^2c-ab^2+b^2c

�A 3x^2-2z^2+4yz+2xy+5zx


�B 2x^2+3xy-2y^2-10x-5y+12


�C a^2(b+c)b^2(c+a)c^2(a+b)+3abc

�D xyz+x^2y-xy^2-x+y-z

�Ea(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)

>>751 マルチ

３次方程式および４次方程式の解の公式は、
解と係数の関係と解の差積を考えることで導けますか？
３次方程式については確か導けたと思いますが。

皆さんは初め何の本で勉強しましたか?
あとお勧めの本教えてください

>>754
「代数入門」　矢野健太郎　岩波書店

誰か教えて下さい

NがGの正規部分群で、HがGの部分群の時に
H∩NがHの正規部分群になることの証明がわからないっす（>_<）

>756何処の大学?

ＮがＨ⊆Ｇのactionで動かないこととＨ∩Ｎが群をなすことでおしまいだろうが。

というか図書館に行って代数学の本を二、三冊眺めれば
証明がそのまんま書いてあるはず

562

おめーら馬鹿だな

>>756
758の説明をわけて考えよう｡
まず
（１）Ｈ∩Ｎが群をなすこと→これは簡単。
（２）Ｈ∋ｈにたいしてｈＨ∩Ｎ＝Ｈ∩Ｎｈを証明する｡
Ｈ∩Ｎに属するある元aに対して　Ｈ∩Ｎ∋hah^(-1)　がいえればよい｡
aはNの元であるしｈはGの元でもあるから、あるN∋a'にたいしてha＝a'h
したがって、hah^(-1)＝a'hh^(-1)＝a'はNの元である｡
ところで、h,a,h^(-1)はいずれもHの元であるからhah^(-1)はHの元でもある。
Q.E.D

うわーっ。よくみたらど古いはなしだった。

一週間前だからつい最近かと

↑味なレス。

自作問題。

nは2以上の自然数とする。Z/nZの部分集合A(部分群では無い)が＃A＞(n＋1)/2を満たすとき、
∃a,b,c∈A s,t a＋b＝c　が成り立つことを示せ。ただし＃AはAの元の個数を表す。

勘違いされそうなので訂正。

Z/nZの部分集合A(部分群では無い)が
↓
Z/nZの部分集合Aが

>>767

A ⊂ Z/nZ (n≧2) が 「∀a,b,c∈A について a + b ≠ c」を満たすとき #A ≦ (n+1) / 2 を示す

∀a,b,c∈A について a + b ≠ c を言いかえると
∀(a,b)∈A×A について「a + b がAの元で無い」、これを条件とする

G = Z/nZ , #A = p とおく

(x,y)∈G×G のうち x+y が Aの元で無いものは ( n - p ) * n 個
条件が成り立つとき #( A×A ) ≦ ( n - p ) * n でなければならない

#( A×A ) = p^2 なので

p^2 ≦ ( n - p ) * n を解くと

( 2 / (1+√5) ) * n ≧ p ( nが負になる方は除外 )
これにより n≧2 のとき p ≦ (n+1) / 2 が成り立つ

なんか自信なくなってきた

問 次の関数のラプラス変換は何でしょうか？

　f(t)=｛sin2t+cos3t}exp^(-3ｔ)
ﾜｶﾗｿ

>>768
＞( 2 / (1+√5) ) * n ≧ p ( nが負になる方は除外 )
＞これにより n≧2 のとき p ≦ (n+1) / 2 が成り立つ
p≦(2/(1+√5))*n からp≦(n＋1)/2を導くことは出来ない。

お手上げなー人お手上げなー人お手上げなー人ここにいる♪

>>766
m=#Aとする
あるAの元xと残りのm-1個の元との和は全て互いに異なる
任意のAの元a,b,cについて a+b=cが成り立たないとすれば
m-1+m<=nが必要になるが m-1+m>nより矛盾

1を含む可換環Rとその素イデアルPについて
S=R-PとすればSは乗法的になるので局所化S^{-1}Rを考えることができる
これは局所環となりその極大イデアルをJとすれば
S^{-1}R/Jは整域R/Pの商体と同型であることを示せ

>>773
正解です。実は＃A＞n/2でも成り立つことが分かりました。

nは自然数とする。Z/nZの部分集合A(部分群とは限らない)が＃A＞n/2を満たすとき、
∃a,b,c∈A s,t a＋b＝c　が成り立つことを示せ。ただし＃AはAの元の個数を表す。

証明は ほとんど同じです。
証明：＃A＝mとし、Aの元をa1,a2,…,amと表記する。このとき、
a1，a2，…，am
a1＋a1，a1＋a2，…，a1＋am
という2m個のZ/nZの元について考える。2m＞nだから、この2m個のうち
重複するものが存在する。a1，a2，…，amは全て異なる元であり、
a1＋a1，a1＋a2，…，a1＋amもまた全て異なる元であるから、
重複はai＝a1＋aj という形で起こっている。このとき、
a＝a1，b＝aj，c＝aiとおけば、a,b,c∈Aかつa＋b＝cである。

age

ＭをＡ-左加群，ＮをＡ-右加群とするとき，Ｍ×Ｎを基底とする自由アーベル群を
Ｋとし，Ｋにおいて
（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ）−（ｘ_1，ｙ）−（ｘ_2，ｙ）　（ｘ_i∈Ｍ，ｙ∈Ｎ），
（ｘ，ｙ_1＋ｙ_2）−（ｘ，ｙ_1）−（ｘ，ｙ_2）　（ｘ∈Ｍ，ｙ_i∈Ｎ），
（ｘａ，ｙ）−（ｘ，ａｙ）　　（ｘ∈Ｍ，ｙ∈Ｎ，ａ∈Ａ）
の形の元全体によって生成される部分群をＢ，剰余群Ｋ／ＢをＴ，
自然準同型Ｋ→Ｋ／Ｂをπとするとき，πをＭ×Ｎに制限したものは，
その作り方から準双１次写像をなすと書いてあるのですが，
準双１次写像の中で，このときなぜ各成分の和が保存されるのか
よく分かりません。つまりπ（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ）＝（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ）＋Ｂ
というように自然準同型を定義していると思うのですが，これが
π（ｘ_1，ｙ）＋π（ｘ_2，ｙ）になるのはどうしてでしょうか？
よろしくお願いします。

↑一部訂正です。
ＭをＡ-左加群　→　ＭをＡ-右加群
ＮをＡ-右加群　→　ＮをＡ-左加群

以上のように訂正です。

代数学の基本定理ってどこがすごいの？

n次多項式は、n個の1次式の積として書けるから、
根が丁度n個あることは自明だと思うんだけど・・。

複素数内に必ず解を持つということが重要なわけで。

>n次多項式は、n個の1次式の積として書ける
これは代数学の基本定理がいえるから成り立つことだ。

このスレ馬鹿ばっかり。

方程式の根を体に添加していけば、どんな方程式も一次式に分解出来る。

>>776
（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ） - （ｘ_1，ｙ）-（ｘ_2，ｙ）∈Ｂ
とは、K/B で
（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ） + B = （ｘ_1，ｙ） + （ｘ_2，ｙ） + B
つまり
（ｘ_1＋ｘ_2，ｙ）≡（ｘ_1，ｙ）＋（ｘ_2，ｙ） （mod B）
ということ。

テンソル積の勉強をする前に、アーベル群の剰余群を直感的に理解できるようになるまで復習したほうがいいかも。

>>781
それが複素数内に収まるのがすごいんだよ

複素数体は、自分自身と同型な部分体を無限個持つことを示せ。

>>781
( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼

代数学の基本定理が「代数学の基本」でない件について。

>>781
Zornか超限帰納法がいるぞ（ｗ

個々の方程式を一次式に分解するだけだったら、Zorn はいらないじゃん。
Zorn が必要なのは、むしろ >>784。

正n角形P(n)の中心Oを中心とする２π/nの回転σとP(n)のある頂点Oを通る直線を軸とする鏡映（線対称）τによって生成された群を二面体群D(2n)という。
H=<σ>はD(2n)の正規部分群となりD(2n)/H＝〜Z(2)となることがわかりません。教えてください。
ただし＝〜は同形とする。

>>788
個々ではなく全ての方程式の根の添加にはZornがいる

>>790
非可算個の、超越数係数を含むすべての方程式の根の追加にZornがいるだけ。
可算個だったらは単なる帰納法。

ちなみに、ファンデルウェルデンやアルティンの本は、微妙にそこらへん（一般の代数閉体の存在）
を避けた構成になってるよね。

ところで、誰か>>784やってみてくんない？

有理数体に、虚数単位の実超越数倍を添加した体は、複素数体と同型。
したがってそのような体も当然無限個存在する。

>>792
意味不明

>>793
横レスだけど、有理数体にπiを添加すると複素数体に同型になるじゃん。

>>794
アホ

複素数体は無限集合なんだから、自分と同じ濃度の部分集合を無限個含む。
体の部分集合はもちろん体だから、複素数体は自身と同型な無限個の部分体を含む。

>>791

では、思いつきを。

複素有理数体に実超越数 x_1 を一個追加してその代数的閉体を C_1 とおく。
C_1 に含まれない実超越数 x_2 を一個追加して得られる代数的閉体を C_2 とおく。
ある順序数 α に付いて C_α が既に得られているとする時、そこに含まれない
実超越数 x_(α+1) を一個追加して得られる代数的閉体を C_(α+1) とおく。
C_α 全部の和集合は複素数体 C である。

この x_α の全てからなる組の存在は、選択公理で保証される。k を任意の自然数とする時
C において x_α → x_(α+k) なる対応は同型を引き起す。その像は明らかに C の真部分体である。

こんなんで通用するかい？

なんか変なレスばっかだな。
>>792 >>794 >>796 とか何考えてんだ？ ネタか？

>>797
まあ、大体そんな感じでいいんじゃないかな。
C の Q 上の超越基を考えればもうちょっとスマートにできると思うが。

>>799

超越基の導入までやって見せていると言う事にならんのか？

>>800
まあ実質的にそういうことになるかな。
ただ、>>797の「“複素”有理数体」や「“実”超越数」という仮定は本質的でなく、不要のはず。

Ｃは可算？

>>801

その本質的でない制約が話を簡明にし、判り易くする。
大筋がなった後に、そぎ落としたり、一般化を追加する事で全容を掴み易くなる事が多い。

>>802

自然数による番号付けの拡張として、任意濃度の順序数と言う物を使う世界がある。

>>803 ハア？

B を C の Q 上の超越基とし、σ: B → B' を、B の真部分集合 B'への
任意の全単射とする。これをまずQ(B)→Q(B')に延長し、さらに
（C の中での）代数閉包に延長すれば、その像は C と同型な真の部分体
となる。B は無限集合だから、σの像 B' としてとり得る B の部分集合も無限個ある。
B' が異なれば上記の手順で得られる部分体も異なるので、Cは自分自身と同型な
部分体を無限個持つ。
まったく同様に、素体上の超越次元が無限の代数閉体は、自分自身と同型な
部分体を無限個持つことを示せる。

>>803
α∈Ｎならばα＋１∈Ｎが成り立たない世界？

Rを実数全体の集合としたとき
(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)
(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
とするときに それぞれの逆元って何になりますか？？？
加法のほうは e = (0, 0) だから (a,b)^-1 = (-a,-b) だと思うんですが。。。
乗法のほうは e = (1, 0) になると思うんですが。。。

>794
> 横レスだけど、有理数体にπiを添加すると複素数体に同型になるじゃん。
ならない。有理関数体　Q(X)　に同型になる。

>795
>>794
>アホ
単に罵倒するだけなら、アホでもできるぞ。

>>808
Q(i,X)じゃね？

>>809
違うよ・・・ iπは超越数だろ・・・
っていうか i をiπの有理式で表せるかどうか考えてみ。

ああ、スマソ。勘違いした。

>>792 や >>794 は√２ や e を iπ の有理式で表せると思ってんのかな？
どういう風に勘違いしてんだろ？ そんな奴が2人もいたってことにちょっと驚き。

このすれ馬鹿ばっか

>>813
おまえモナ

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

オチこぼれが荒らしているな （ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

すいません　加群の中で平坦にならないものの例ってどんなのがあるでしょうか・・・？

Z/ｎZ （n≠0）は平坦じゃないZ加群

＞823
アリガトございます

なんか最近盛り下がってるようなので問題投下。誰かやってみて。
A を可換環とし、A の n 個の元 a_1, a_2, ..., a_n に関する次の
2つの条件を考える。
(ア) a_1, a_2, ..., a_n はイデアルとして A を生成する。
(イ) a_1, a_2, ..., a_n を行ベクトルとして含むある n 次正方行列 P が存在してdet(P) = 1。
問1．(イ) ⇒ (ア) を示せ。
問2．(ア) ⇒ (イ) は成り立つか? 成り立つなら証明し、成り立たなければ反例を挙げよ。

何かの宿題かい？問１は行列式の公式より明らか。
問２はA=Z、a_1, a_2, a_3 を2, 3, 5とでもすればいい。

問2はPIDなら成立

問2は一般には成立しない。反例をあげてみよ。

>>826
反例のつもり？
|2　3　5|
|1　1　2| = 1
|0　0 -1|
>>827
じゃ、Aが PID のときに(ア) ⇒ (イ)を示してみて。
>>828 も書いてるようにこの問題の本質は問2の反例。

n = 3 の時の反例
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math316/stablyfree.pdf
n = 1, 2 では成立するが n ＞ 2 なる各 n に対して反例が存在する。
デデキント整域ぐらいの条件を付ければ恐らく成立するだろう
（未確認）

PID の時の証明
自明

>>830
サンクス。俺もまったく同じ例を Eisenbud "Commutative Algebra" で見つけた。
ただ、「S^2 上のベクトル場は必ずゼロ点を持つ」というトポロジーの定理を使って
るんで、もっと簡単な例がないかなと考えているところ。

ちなみに、f = (a_1, a_2, ..., a_n): A^n → A とすると、
（ア）⇔f が全射
（イ）⇔f が全射かつ Ker f が free。
なので、A がPID なら（自由加群の任意の部分加群が自由になるから）
（ア）と（イ）は明らかに同値。

>>832
＞ただ、「S^2 上のベクトル場は必ずゼロ点を持つ」というトポロジーの定理を使って

くわしく

>>833
「くわしく」って何を詳しく？
「S^2 上のベクトル場は必ずゼロ点を持つ」という定理を既知として
問2の反例を構成する方法なら >>830 のリンク先に詳しく書いてあるが。

概略はつぎのとおり：
A = R[x, y, z]/(x^2 + y^2 + z^2 -1) （R: 実数体）とし、
f: A^3 → A を f(u, v ,w) = xu + yv +xw で定めると f は全射。
Ker f は S^2 (= {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1} 上の
"多項式"ベクトル場からなる A 加群と自然にみなせるが、
仮に Kerf が自由加群だとすると、どこでも 0 にならないベクトル場
が存在することになり矛盾。よって Ker f は自由加群でない。

�d

トポロジーの定理を使うなら、
n = 1, 2, 4, 8 以外の自然数について
A_n = Z[X_1, X_2, ...... , X_n]/(X_1^2 + ............ + X_n^2 - 1)
（係数環を R にしても同様）でも出来る。
(Adams- Milnor-Bott の定理）
n ＞ 2 の反例については暇があったら述べよう。
デデキント整域についても肯定的解決が出来た。

>>837
デデキント環での証明、よかったらアップしてくれない？
昨晩ちょっと考えてみたが俺には歯が立たなかった。
できたらn ＞ 2 の（上記以外の）反例も。

まず盛り下がっている人たちに頑張って貰おう。

>>4
ワンジルは悪人（ワルジン）のアナグラムか？

アナグラムってそういう意味か？

アナグラム
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%8A%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0

アホかおめーら

【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART119【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1175101548/769
769 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/04/05(木) 00:01:14
数列A(n)について、
A(1)=0　A(2)=2　A(3)=3
A(n)=A(n-2)+A(n-3)　(n≧4)　とする。

(1)nが素数のとき、A(n)はnの倍数になっていることを示せ。
(2)A(n)がnの倍数になっているのはnが素数のときのみだといえるか？

考えてみたんですがさっぱりでした。どうかよろしくお願いします。

>>844
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/e0017.html#e20021125011212
以下参照

>>843　あほです

　　　 ∩＿＿__∩
　　 ／　　　 　 　＼
　 ./ 　 ●　　 ● 　.',
　 l 　 　 ( _●_) 　　 l
　彡､ 　 　|∪|　　　 ミ
　i"./　　　ヽノ 　 　',ヽ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆:*・∵.
　ヽi　　　　　　　 　 iﾉ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆:*・∵.゜/
　　',　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∵.:☆.。.:*・:*・∵./
　　 ヽ　　　( ⊃･゜ﾟ･:.゜ﾟ･:. .☆.・∴.・∵☆:*・∵.:*・☆.☆.。.:*,★ :*・/
　　　 ', 　　i!　　 /
　　　（___／ ＼___） 　　　　　　　　　　　　　　

行列で、どうして「互換(i,j)　i<j」の転位数は2(j-i)-1になるんでしょうか？？

「転位数」って？

>>846
素直でよろしい

私は数学科の２年生で，
群・環・体を勉強し始めたのですが，抽象的過ぎてよくわかりません。
この分野での良い参考書はどういうものがあるのでしょうか？
例が豊富にのっていて、厳密に、丁寧に書かれているものを読みたいとおもっています。
松坂和夫の「代数系入門」が良いと聞いたのですが，
皆さんはどう思われますか？　

二年生だろ？とりあえずよくわからないまま頑張れ
誰でもそんなもんだ

ArtinのAlgebraとか。
古いけどvan der Waerdenの現代代数学とか。

群・環・体がわからないっていうのがわからない。
具体例がいくらでもあるだろ。

あるか無いかが問題なんじゃなくて知ってるか知らないかが問題なんじゃないの。

それに定理ごとに適切なギリギリの例を作るのは結構難しいし。

別にギリギリでなくてもいいだろ。
そんなレベルの話じゃないんだから。

わからないのは、本当に抽象的過ぎるせいなんだろうか。

日本にも森田「代数概論」という代数学の基本となる理論をあまねく
扱っているすばらしい本があるぞ。
この本を具体例を頭の中でイメージをわかせながら読んでいく。
そしてわからないところは絶対にあやふやにしないという態度で
読んでいく。
そうすれば読み終わるころには少なくとも現代代数学のエッセンスは
つかめていると思う。

>>858
あぁ、服部「現代代数学」のパクリなｗ

まあ服部の本はまず諸学者には読めない書き方がしてあるから、
何とか読める森田のほうに軍配が上がるのは仕方ないでしょ。

言い忘れたがLang:algebraを薦める香具師がいるかもしれんが
絶対に手を出すなよ。わかってる香具師が辞書として使うものだから。

図体は辞書みたいだけど、中身はそうでもないよｗ

>>851
本ばっかり読むな。
演習問題を片っ端からやれ。

Langは二版が持ちやすくて良いぞ。
ページ数も大分三版より少ない気がするんだけど
目次としては大項目はほとんど減ってない感じ。

服部「現代代数学」ってそんなに難しいの？

堀田の「可換環と体」を忘れてないかえ

をを！堀田を忘れてはいかん。あの人はいい本を書く。

確かに。代数入門も意外と良書だったしな。

>865
> 服部「現代代数学」ってそんなに難しいの？
少ないページ数に猛烈詰込んである。
既に判っている人間が整理のために読むのなら可。

محمد بن موسا الخوارزمي

> 服部「現代代数学」
は読みやすい上に演習書も付いているのでお薦め

> 服部
が難しいと云っている奴は馬鹿

○○が難しいと云っている奴は馬鹿
（○○は任意）

>>870
難しい．．．．

>>873
先ずはおまいらのレベルを云ってくれ
大学２年なら決して難しくないと思うのだが
附属の演習書も併読するならこの板の代数の達人になれる

>>873
○○には石原園子や３０項シリーズも入るんだな

３０講　志賀直哉

talk:>>877 志賀直哉の３０講とは何か？

代数学で知っておくべきことは何か？
もともとは数を文字で置き換えて考えることを代数と呼ぶのだったが、
今では集合に演算と関係を含めた構造を代数と呼んでいる。

車を数えるときの単位です

>>878
数学数え唄を歌ってみろ

talk:>>880 ソースを出せ。

>>881
いっしょにソーセージの掴み合いをしなイカking

talk:>>882 スティックのつかみ合いをするか？

>>882
kingのはフランクフルトいうよりは鉛筆と聞いたが。
ちなみに俺のはコーラビンに近い。

>>878
数板で知っておくべきこと。
　　king、弟子、ゆんゆん
糞コテ3人衆のID。

二年二時間。

talk:>>885 ◆667la1PjK2 .

おーい！
我が家のおりこうさんが、また糞たれやがったぞ！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>886

アンカーミス
>>886→>>887

律儀に修正しなくて良いからはなから書き込むな。

>>889
誰だよお前！さては>>886だな。 (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

環Ａ_1，Ａ_2，…，Ａ_n　の直和Ａ＝Ａ_1＋…Ａ_n　において
Ｊ（Ａ）＝Ｊ（Ａ_1）＋…＋Ｊ（Ａ_n）　（＋は直和）　が成り立つ
ことを示したいのですが、まず⊂を示す場合、ａ∈Ｊ（Ａ）に対して
ａ∈Ａだから、ａ＝ａ_1＋･･･＋ａ_n　（ａ_i　∈Ａ_i）と一意的
に表せるので、ａ_i∈Ｊ（Ａ_i）を示せば良いと思うのですが、
この示し方がよく分かりません。　ａ_i∈Ｊ（Ａ_i）であることと
∀ｘ∈Ａ_i　に対して、１−（ａ_i）ｘが右逆元をもつことは
同値なので、これを示せば良いと思うのですが、どうでしょうか？
よろしくお願いします。

ａ∈Ｊ（Ａ）
⇒∀y∈Ａ　に対して、１−ａyが右逆元をもつ
⇒∀ｘ∈Ａ_i　に対して、１−（ａ_i）ｘが右逆元をもつ
(∵ 各xに対し、y = 0 + ･･･ + x + ･･･ + 0を考える)
⇒ａ_i∈Ｊ（Ａ_i）

ここで紹介されてた森田の「代数概論」を買って自習しているのですが
初心者には激烈に難しくて一ページ読むのに５時間くらいかかって
しまいます。
これはいかんということで自習可能な本を探したら彌永・有馬・浅枝の「詳解代数入門」
本を見つけて重宝しています。
この本は古本でしか手に入らないようですが、学部レベルの内容までカバーした
自習可能な日本語の代数の本って以外にないものですね。驚きました。

一ページ読むのに５時間かかろうが読めるんなら問題なっし

きちんと読んで五時間ならまあ悪くないんじゃない

きちんと反例とかまで作ったりして
五時間ならそんなもんじゃない？

一ページ5時間で読めるなんて頭いい。

深く理解しようとせず、あまり考えずに、表面的なことだけ読み取って、分かったつもりになるより断然いい。

>>894
どこらへんの章で5時間かかるの？
最初の方と最後の方ではかなり違うと思うが。

>>894
> 自習可能な日本語の代数の本って以外にないものですね。驚きました。

単にゆとり世代向の教科書が出てないってだけでは？

自分より若い人間をゆとり世代といって莫迦にすると
不思議なことにそれだけで自分が賢くなった錯覚がするんだよね。不思議だね。

自分の理解力が足りなくて自習用にできないことを
本の所為にしてるよりはマシだと思う。

つうかどっちも駄目ってことでFA
初心者は理解力が足りないものなんだからそれを責めたってしょうがないでしょ。

意外とかいっても一般の代数学ってまだ演習書が多いほうだと思うけどね。
でも内容が比較的高度なのに（といってもあまり高度じゃないけど、、）
線型代数とか微積ほど演習書が無いとか、物理学とかに比べて演習書が少ないとか
そういう意味で意外だったと言ってるなら別におかしくないよ。
単に予想が外れてるだけ。

>>894
松坂和夫の代数系入門とか、もう少し簡単な本は結構あるよ。
「代数系」とか題名に入ってたら大抵はもう少し簡単。
古い本ではvan der Waerdenの現代代数学（現代とか言うけど50年以上昔の本）
とか高木貞二の代数学講義とかは、昔の本だから内容が具体的で読みやすいと思う。

初心者というのは知らないことが多いというだけで
理解力のない者を指しているのではない

高木の初等整数論講義はいいよ。
予備知識は高木の代数学講義と解析概論。
これと Dirichlet-Dedekind の整数論講義を併読すればなお良い。

さらに欲を言うと Gaussの整数論 (Disquisitiones Arithmeticae)。
Gauss が若干２４歳頃のときに出版。
これが理解出来たらたいしたもの。
といっても高校の数学程度の知識で読める。

Gauss と Kummer、Dirichlet-Dedekind、これと Galois あたりが現代代数学の源になっている。
つまり、代数的整数論こそ抽象代数学の母体と言っていい。

>>906
数論スレではないのだが。

ところで、ノイキルヒではいかんのか？

>>894
斜め読みするのもよし
隅から隅まで読むのはナンセンス

ただし
＞習可能な日本語の代数の本って以外にないものですね。驚きました。
は異常

>>906の若干は弱冠の変換間違いだろうとして、
果たして、24歳が弱冠にあたるのだろうか

>>907
>数論スレではないのだが。

わかっている。
スレタイくらい読める。

だから代数的整数論は抽象代数学の母体だと言ってる。
上で挙げたものは初等代数学の具体例を提供するという意味で、有意義ですよ。
高木の本の内容は整数論専攻でなくとも常識だし。

>>910
数板の話題としては、どうでもええんでないの。

数々のレスありがとうございます。
まあ表面的な理解をするのにも時間がかかるというのは頭が悪いのかもしれません。
書店で永田の代数の大学院入試問題集を見て「こんな難しいのが解けるようになるって
どんだけ時間かかるんだよ？」と弱気になっておりますが、ぼちぼちとやっていこうと
思います。

あの問題集は典型的な問題が多いから、解けない問題を
見つけては何をやればいいかを探す、みたいに進めると
全体的にそれなりに理解できるようになるんじゃないかな。
具体的な問題を見たほうがモチベーションは沸く気がするし。

talk:>>902 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すべきである。

>>910
>果たして、24歳が弱冠にあたるのだろうか

24歳で整数論の長年の未解決分野を解決したばかりか新天地を開拓したわけだが。
当時は理解者がほとんどいなく、５０年近く後の Dirichlet に至って初めてその後継者を得た。

というか、そもそも、弱冠にあたるのだろうかなぞという疑問が出るのがおかしい。

>若干は弱冠の変換間違いだろうとして、

これが初めからあんたの言いたいことじゃないのか？

いいえ、言葉どおり
>果たして、24歳が弱冠にあたるのだろうか

と問うています。変換間違い如きでｇｄｇｄいうお前はアホです。

>>917

だからそういう疑問が出るのがおかしい。

>>918
「弱冠〜」は「若くして〜」とは意味が違います。
弱冠にあたるのかどうかというのは
十分疑問点として成立します。
あなたの脳内基準で勝手におかしいことにしないで頂きたい。

>>919

http://www.excite.co.jp/dictionary/japanese/?search=%E5%BC%B1%E5%86%A0&match=beginswith&itemid=09270800

誤変換どころじゃなく常識を疑われるほど恥ずかしい
酷い間違いをやらかしておいて、指摘があると
誤変換だろとか相手がおかしいとかいうことに
したがるんだな。人間って面白いやｗｗｗｗ

>>919

こっちのほうがわかりやすい。

http://gogen-allguide.com/si/jyakkan_toshi.html

>>921

必死だな

オチはマダーーー？？？

珍しくｸﾏｰが優勢

ｼﾞｴﾝだろ？

>>922
なるほどなー、勉強になった。

Dirichletの定理使わないで10n+9型の素数が無限にあることの簡単な証明を教えてください。

http://namahage.dip.jp/public/2ch_s/read.asp?url=http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090800616/
http://www.2chsearch.info/?b=math&d=1090800616
184-

>>929
8n+7は分かりました。
しかし10n+9で同じ方法は通りません。
(19*29)^2 -2 = 303599 = 233*1303
となり必ずしもそういう素因数の存在が示せません。

（２ａ）＾２−５。

あ、俺も分からんくなってきた
x^2 ≡ a
が偶数解を持つ条件？平方剰余の相互法則からもっと遡って考えるん？

ここで聞いた私が馬鹿でした。
もっとずっと簡単で一般的な証明がありました。
やっぱ2chは2chですね。

よく分からないのですが、計算代数入門には、代数学はどのあたり
までマスターしていないといけませんか？あと、解析や幾何も必要に
なったりするのですか？計算代数ではどのようなものを扱うのか
よく分かりません。

そうですか。

何を扱うかもわからないのに入門するの？変な人だなあ。

とりあえず計算代数は幅広いので、とりあえず勉強してみて、
自分がやってるところで必要になったものを逐次補えばいいんじゃない。

>>933
何についてのどんな証明？

直上の話だとすると>>929が馬鹿なだｋ(ry

当方工学系なのですが、質問させてください。可換環 R のイデアル I を考え
ます。そのある要素 a∈I について 「a=bc が成り立つときに、
必ず b,c∈I∪｛Rの単元｝が成り立つ」とします。
そのような a に対して、適当な名称(形容詞)はあるのでしょうか？
できれば、その出典も教えてください。

提唱者乙

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>939
　 くく　へﾍﾉ

結局>>933は自分が情報を得ることしか考えてないわけか

ネーター環って英語で「Noetherian ring」なのね
って事は「Noether環」はダメで「Noetherian環」だとokなのかね

重要さのかけらもない話題なのでsage

>>943
> ネーター環って英語で「Noetherian ring」なのね
> って事は「Noether環」はダメで「Noetherian環」だとokなのかね

こういう時は検索サイトを使おう。例えばグーグルを日本語設定にして
"Noether環" と "Noetherian環" の両方で検索(「"」を付けてね)。そうすれ
ば、検索結果の数から妥当性を見れると思う。俺は、英語の表現を使うときに
は、同じようなことをして確かめることがある。

個人的には日本語なんで「ネーター環」で良いのではと思う。

Abel群とはいってもAbelian群とは言わないような。
要するに"Abel"を、英語を借用してきて日本語として使っているのか、
或いはこのAbelはあくまで英語なのか、という考え方の問題だけど
前者が普通なのかな。

本当はアーベル群、とカタカナで書いたり、可換群と漢字で言い換えるのが
一番正しいのだろうけどね。

＞一番正しいのだろうけどね
数学やってる人間の発言とは思えないね。
どれもおんなじだよ。

日本語の文法上正しい表現と間違ってる表現というのは
どうしても出てくるので。別に数学をやってる人間の発言どうたらは関係ない。

むしろ「Abel groups」とか「Noether rings」で検索して思ったような結果が得られない、
なんて事にならないよう気を付けた方が…って普通の人はそんなミスしないのですかね

このスレの最初の方ででてきてる話題なんだけどさ、
「ある数xから3をひくと5になる｡xを求めよ｣ の解法の解釈って
「命題P:(x-3=5)→命題Q(x=8)と推論する」
「命題関数p(x):x-3=5を同値変形して命題関数:q(x):x=8として、
q(x)の真理集合を考える」のどっちが正しいと思う？

このスレの最初の方ででてきてる話題なんだけどさ、
「ある数xから3をひくと5になる｡xを求めよ｣ の解法の解釈って
「命題P:(x-3=5)→命題Q(x=8)と推論」
「命題関数p(x):x-3=5を同値変形して命題関数:q(x):x=8として、
q(x)の真理集合を考える」のどっちが正しいと思う？

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182420001/
の548くらいから暴れてる子？

どっちでやっても本質的に同じだから好きなほうでやればいいよ。

英語の資料はいつも友人に頼ってるから困った事無い

代数学をこれから本格的に勉強しようと、N.JacobsonのBasic Algebraを買おうと
思っているのですが、この本について知ってる方がいらっしゃいましたら、情報提供お願いします。

これよりお勧めの本があれば、それを紹介してもらえたら助かります。
一応、代数学の知識に関してはガロア理論の基本定理ぐらいまでは理解しているつもりです。
↑とは言っても入門書を読んだ程度なので微妙。

あと、リー代数に関する本についても何かお勧めがあれば教えていただけないでしょうか。
長々とすみません。

>>代数学をこれから本格的に勉強しようと、N.JacobsonのBasic Algebraを買おうと

むしろ一般にあまり読まれていないその書物を選択した理由を聞きたいのだが

Z/pZ上の二次既約多項式f(x)とg(y)が
変数変換y=ax+bでうつりあうことってどうやって示せばいいすか？

工学系の人間が代数勉強する意味ってあります？

nai

>>954
GTMのうちの一つで、結構有名だと思うけど。

リー代数も佐竹かJacobsonで良いじゃん

>>955
代入する

>>955
Z/pZの二次拡大体が同型を除いて唯一であることから従うと思う。

そんな一般的なことから示せるわけない

955は、同伴な多項式は同一視だよね？

　　　　　　　　　　▃▅▅▄▂
　　　　　　　　　◢██████◣
　　　　 　 　 　 ███████▉
　 　 　 　 　 　 ████████
　　　　　　　　　◥██████◤
　　▂▅▆▅▄ 　　　▃██▀◢◤▀▅▂
　◢██████◣ ▄███ 　▍　　　▼◣
　████████████　▎　　　 ▂　◥◣
▐████████■▀▀▉┃　　　█▌■ ▎
　◥■██■▀█◤　◢〓　 ┃　　 ▆▋ █▐▬▅█▆
　　　　　 　　 ▎　 ▐▄　　　　 　 ▀◢▀ 　　▀█◤
　 　 　 　 　　 ◥◣　　█▅▂　　　　　　　　　┃ 　馬鹿にはコピペできないミッキーマウスだよ。
　　 　 　 　 　　 ◥▂　 ▓█▅▂　　　　▂◢◤　　　 　できるものならやって味噌♪
　　 　 　 　 　 ▂▅▆▆◣ ▀▓█▀ ◢▆▅▄▂
　 　 　 　 ▂▅█■▀██▇▅▆▇██▀■██▇◣
　　 　 　▅██▀　　　███■■■▇◣ 　◥██▋
　　　　 ███◣▂ 　　▐▀▓▓▓▓▓▓▓◥▍▀■▌

　　　　　　　　　　▃▅▅▄▂
　　　　　　　　　◢██████◣
　　　　 　 　 　 ███████▉
　 　 　 　 　 　 ████████
　　　　　　　　　◥██████◤
　　▂▅▆▅▄ 　　　▃██▀◢◤▀▅▂
　◢██████◣ ▄███ 　▍　　　▼◣
　████████████　▎　　　 ▂　◥◣
▐████████■▀▀▉┃　　　█▌■ ▎
　◥■██■▀█◤　◢〓　 ┃　　 ▆▋ █▐▬▅█▆
　　　　　 　　 ▎　 ▐▄　　　　 　 ▀◢▀ 　　▀█◤
　 　 　 　 　　 ◥◣　　█▅▂　　　　　　　　　┃ 　ちゃんとできた？
　　 　 　 　 　　 ◥▂　 ▓█▅▂　　　　▂◢◤　　　 　
　　 　 　 　 　 ▂▅▆▆◣ ▀▓█▀ ◢▆▅▄▂
　 　 　 　 ▂▅█■▀██▇▅▆▇██▀■██▇◣
　　 　 　▅██▀　　　███■■■▇◣ 　◥██▋
　　　　 ███◣▂ 　　▐▀▓▓▓▓▓▓▓◥▍▀■▌

????????

　　　　　　　　　　▃▅▅▄▂
　　　　　　　　　◢██████◣
　　　　 　 　 　 ███████▉
　 　 　 　 　 　 ████████
　　　　　　　　　◥██████◤
　　▂▅▆▅▄ 　　　▃██▀◢◤▀▅▂
　◢██████◣ ▄███ 　▍　　　▼◣
　████████████　▎　　　 ▂　◥◣
▐████████■▀▀▉┃　　　█▌■ ▎
　◥■██■▀█◤　◢〓　 ┃　　 ▆▋ █▐▬▅█▆
　　　　　 　　 ▎　 ▐▄　　　　 　 ▀◢▀ 　　▀█◤
　 　 　 　 　　 ◥◣　　█▅▂　　　　　　　　　┃ 　ちゃんとできた？
　　 　 　 　 　　 ◥▂　 ▓█▅▂　　　　▂◢◤　　　 　
　　 　 　 　 　 ▂▅▆▆◣ ▀▓█▀ ◢▆▅▄▂
　 　 　 　 ▂▅█■▀██▇▅▆▇██▀■██▇◣
　　 　 　▅██▀　　　███■■■▇◣ 　◥██▋
　　　　 ███◣▂ 　　▐▀▓▓▓▓▓▓▓◥▍▀■▌

>>954
>>958
レスどうもです。まぁ、この本を選んだというより、先生から借りたのがこの本だったので、
それなりによく使われる本なら買っておいて損はないかな、と安易に思っただけです。

とりあえず、この本を買ってみようと思います。
洋書は読み慣れていないのでちょっと不安ですけど、今のうちに洋書に慣れておいた方が
将来的にも役立つという意味も込めて頑張ってみます。

代数はどうして足し算と掛け算まででベキ乗はないんでしょうか？

　　　　　　　　　　▃▅▅▄▂
　　　　　　　　　◢██████◣
　　　　 　 　 　 ███████▉
　 　 　 　 　 　 ████████
　　　　　　　　　◥██████◤
　　▂▅▆▅▄ 　　　▃██▀◢◤▀▅▂
　◢██████◣ ▄███ 　▍　　　▼◣
　████████████　▎　　　 ▂　◥◣
▐████████■▀▀▉┃　　　█▌■ ▎
　◥■██■▀█◤　◢〓　 ┃　　 ▆▋ █▐▬▅█▆
　　　　　 　　 ▎　 ▐▄　　　　 　 ▀◢▀ 　　▀█◤
　 　 　 　 　　 ◥◣　　█▅▂　　　　　　　　　┃ 　馬鹿にはコピペできないミッキーマウスだよ。
　　 　 　 　 　　 ◥▂　 ▓█▅▂　　　　▂◢◤　　　 　できるものならやって味噌♪
　　 　 　 　 　 ▂▅▆▆◣ ▀▓█▀ ◢▆▅▄▂
　 　 　 　 ▂▅█■▀██▇▅▆▇██▀■██▇◣
　　 　 　▅██▀　　　███■■■▇◣ 　◥██▋
　　　　 ███◣▂ 　　▐▀▓▓▓▓▓▓▓◥▍▀■▌

>>968
はぁ？ あなたの「代数」の定義とべき乗の定義はなんですか。

>>968
トラックの台数を数えるのにべき乗がなんの役に立つんだ？

>>955>>960
既約二次多項式の個数とアフィン変換の個数を調べればすぐ分かる。
一般に変換出来ない。

>>960>>972
どうも助かりました！

二年七十日。

age

ここに書き込んでる人ってどのくらいの大学を出たorに在籍してるひとなの？

中卒が多いよ

大卒は中卒

最終学歴ではない

>>979
意味不明　実質的最終学歴？

9=√(81)

age

二年九十一日。

二年九十二日。

age

二年九十三日。

二年九十四日二時間五十六分。

二年九十五日三時間。

二年九十六日。

二年九十七日五十八分。

二年九十八日。

age

二年九十九日。

^

^

^

^

^

^

1000ならジュースでも飲むか

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。