Lebesgue積分ｾﾞﾐ

自作問題。関数を数列に置き換えてみた。

数列{fn(k)}(n,k∈N)と数列{f(k)}(k∈N)は次の条件を満たしている。
・任意のk∈Nに対してfn(k)↑f(k) (n→∞)
・任意のn∈Nに対してSn＝Σ[k＝1〜∞]fn(k)が存在する。
このとき、(∞も込めて)次が成り立つことを示せ。
・Σ[k＝1〜∞]f(k)＝sup[n∈N]Sn (＝lim[n→∞]Σ[k＝1〜∞]fn(k) )

見てのとおり、単調収束定理の数列版。結構簡単に解けた。
積分版とは違い、Σfn(k)が絶対収束しなくても良いことに注意。

それは伊藤の単調収束定理の証明の途中で使ってなかったか？
見てみないとわからんが

[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0となる事や ∀n { x*(2^n)≠[x]*(2^n) → f(n,1-x)=1-f(n,x) } や
f(n,x)がxを2進数表示で小数点n桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ
また∀n x*(2^n)≠[x]*(2^n)} →
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、ここでは任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える

∫[x=0,a]f(A,x)dx

間違って送信してしまった。954は見なかった事にしておくれ

積分版でも絶対収束してなくても成り立つ。

ルベーグ積分では成り立たないな。

非可測集合の作り方 >>317を変更

[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0や ∀n {x*2^(n+1)≠[x*2^(n+1)] → f(n,c-x)=1-f(n,x) } や（c=m/(2^n) m∈Z）
f(n,x)がxの2進数表示で小数点n+1桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、以降で任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ事や
また{∀n x*(2^n)≠[x*(2^n)]} → f(A,c-x)=1-f(A,x) が成り立つ事が分かる
（c=m/(2^k) m∈Z k∈N）

S={ x |∃n x*(2^n)=[x*(2^n)] }は零集合なので
f(A,x)が可測関数ならc=m/(2^k) m,k∈Nに対して
∫{x=0,c} f(A,x)+f(A,c-x) dx=∫{x∈[0,c]/S} f(A,x)+f(A,c-x) dx
=∫{x∈[0,c]/S} dx = c かつ∫{x=0,c} f(A,x)dx=∫{x=0,c} f(A,c-x)dxとなるので
∫{x=0,c} f(A,x)=c/2となる
{c|c=m/(2^k) m,k∈N} はR+上で稠密だから∀y>0で∫{x=0,y}f(A,x)=y/2となる
同じようにして∀y<0で∫{x=y,0}f(A,x)=-y/2となる
これよりX={x|f(A,x)=1}は>>301>>333のXの条件を満たすから可測集合と考えると矛盾する
よってXはLebesgue非可測なRの部分集合となる

どうでもいいけど、何の得にもならんのに、テキストエディタでこんなに大量の数式入力して、
読みにくい、きったねぇレスを読むやつなんて居るのかね？常識あんのか>>958
TeXでも使って、数式書いて、dvi or ps or pdfでもリンクしろアホ。

俺は慣れてるからどうってことないな。
頭の悪いやつにはつらいかもしれんな。

>>959
dviにしてリンクだなんて面倒だからヤ

アップローダに置いたらすぐ消えちゃうだろ。
さすがに自分の大学のサーバとかは使いたくないだろうしｗ

dviが面倒って、TeXコンパイルすりゃまずdviができまんがな。
まさか？TeX使えねぇ池沼？

>>958を読みにくい、なんて言う人のほうが知能程度が低いと思うけど。

もう今更書いてしまったもんをどうこう言ってどうなるのですか皆さん
963は私にコレ以上何をして欲しいの？

俺としては、馬鹿は相手にせずに放置してほしい。

どうかんがえても常識ないのは>>959のほうなので
スルー推奨

TeX使えないのはちょっとまずいのでは

>>963はいつになったら>>958をTeX化してDVIアップロードしてくれるんだ！？

まさか、「面倒だからお前がやれ」と言って逃げてるわけじゃねーよなｗ

要は適当な関数f_1,f_2,f_3...(f_n:R→{0,1})と適当な超フィルターAを用意して
{i∈N|f_i(x)=0}∈Aならf_A(x)=0、{i∈N|f_i(x)=1}∈Aならf_A(x)=1と定義すれば
f_A(x)は非可測関数になるという事です

>>969
>>963ではないが、

　お　前　が　や　れ　！

>>963=>>971
言い出し屁がやるもんだよ

測度μと関数fに対して、fμが測度になるとはどういう事なのですか？
測度といえば集合に対して値をとるものと学びましたが、
それに関数をかける意味が分かりません。

>>973ちんこ！

>>969
こういうやつに限ってTeX化されても読まない。

ちんこ！

ちんぽ！

w

sage

sage

981!!

ｘの３乗／（ｅのｘ乗−１）の積分計算の結果を教えて下さい。

∫0to0 dμってことで被積分関数がなんであろうが0

sage

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1＋2＋3＋…＋4＝？？？

一年二百八十七日。

一年二百八十八日。

一年二百八十九日。

age

sage

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sage

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sage

sage

sage

一年二百八十九日一時間四十一分。

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