こんな確率もとめてみたい その1/3

お年玉付き年賀はがき約３５０枚に、１等から４等まですべての等級の当選はがきが含まれていた
大分県臼杵市の臼杵郵便局員川中幸次郎さん（５６）一家に１５日、同局で当選賞品が贈られた。
式には川中さんのほか大分市に住む妻鈴江さん（５７）、長女俊江さん（２９）も出席。
同局の神代博高局長が「大変珍しく、郵便局の方こそ幸運にあやかりたい」と、
１等のノートパソコンと２等のデジタルカメラを手渡した。

ttp://www.sponichi.co.jp/society/flash/KFullFlash20060215032.html

関連スレ
http://live22x.2ch.net/test/read.cgi/news/1139979421/

ソモサン：
1/Xの確率で発生する事象があるとします。
この試行をX回行うものとして、一度も事象が発生しない確率を求めよ。


セッパ：
((X-1)/X)^X


ちなみに
lim[X→∞]((X-1)/X)^X
=lim[X→∞](1-(1/X))^X
=1/e
なんとここにもネイピア数が
登場することを発見しました。

>>607
興味があってちょっと調べたら、
３５０枚購入して、１等・２等・３等が各１枚、４等が３枚当選。
お年玉付年賀葉書の発行枚数は４０億８５００万枚。
１等が８２１８本。２等が８万２１６４本。
３等が８２万１６４０本。４等が８２１６万４０００本。

時間を貰うよ。

>>609
ｶﾞﾝｶﾞﾚ！超ｶﾞﾝｶﾞﾚ！

4085000000＝Nとおく
ハズレ(５等以下)の本数＝N-(8218+82164+821640+82164000)＝N-83076022=325423078
350枚買ってそれらに番号をつける
一枚目が１等、二枚目が２等、三枚目が３等四・五・六枚目が４等、７〜３５０枚目がハズレになるのは

(8218/N)*(82164/N-1)*(821640/N-2)*(82164000/N-3)*(82163999/N-4)*(82163998/N-5)
*(325423078/N-6)*…*(325422735/N-349)

これの順番を入れ替えて同じ結果になるものが
N*(N-1)*(N-2)*(3C(N-3))
通りあるので（Cは二項係数）
これらを掛け合わせる。

確かに大変な計算だ。後は任せた>609

俺はＳＥＸしたことがありません
俺が童貞である確率は？

>>612
J（´∀｀)し　「お前の童貞はお前が5才の冬、寝てる時にカーチャンが奪ってあるから
　　　　　　 心配しなくて大丈夫だよ。」

('∀`)…ｶｰﾁｬﾝ

確率でなくて期待値の問題なのですがよろしいですか？

AとBの二つの封筒がある。
それぞれ小切手が入っており、その金額の比率は１：２であるが
どちらが１でどちらが２かはわからない。

Aの封筒を手に取ると10000円の小切手が入っていた。

１．Aの封筒の金額の方が大きい確率はいくらか？
　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？

２．Aの封筒の金額の方が小さい確率はいくらか？
　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？

３．Bの封筒の小切手に書かれている金額の期待値はいくらか？
　　また、Bの封筒と交換して良いとした場合、交換したほうが得か？

解答
１．どちらの小切手の金額が大きいかわからないので、
　　Aの小切手の方が大きい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は5000円。

２．同様にAの小切手の方が小さい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は20000円。

３．１、２より、Bの小切手の期待値は5000 * 1/2 + 20000 * 1/2 = 12500円
　　よって、交換した方が得である。

ってなんともぬぐいきれない違和感があるので解決してください.
どちらをとっても変わらないはずなのに何故片方の封筒を確認した時
他方の封筒の期待値があがるのですか？
それとも問題の解答自体がひっかけですか？

期待値をそのままの数で計算しては、重みづけがおかしいです。
金額が比率で設定されていますので対数を取るべきです。
つまり/5000→1 /10000→2 /20000→3とするならば、期待値は2→/10000となる。

log

>>616
効用のことを言ってるんだろうけど、この問題はそういうことではないぞ。

えーっと。ちがうっちゃ違うが。
もとの数の組の分布が分からんから不完全な問題。
別の事象から部分を抜きだして組み合わせてるんだからおかしい。
が、まあ、それはおいて、もとの組が5000X、5000(X+1)であるとする
問題で、直感的に最初に10000をひいたら期待値10000でしょうというのと
対応づけるのはこの説明で十分でないかと。

>>619
この説明って>>616のこと？
だったらダメだよ、やっぱり。確率を1/2と考えたら実際金額の期待値は上がるんだから。

1/2と考えるならね。でもそれは正しくない。

>>621
>>619はその正しくない1/2を仮定した場合は、対数を取れば期待値は同じになる、と言ってるんだろう？
確率を1/2と考えたなら対数効用を取る必要がある、みたいに読めるから、それは違うだろ、と言ってるんだが。
もし、確率を1/2と考えた（もちろんこれはおっしゃるとおりもとの金額の分布に依存するが）なら、金額の期待値だけで見るなら交換した方が得だよ。

誤解してたらごめん。

えーと。もとの金額が比率で示されているので金額が大きい方が密度が薄かろう
という前提なんですよ。だから、交換した時に低い金額になる確率の方が高い。
その確率を1/2になるように座標変換すると、金額は対数化するという意味。

>>623
あー、だから結局最初の金額の分布がそういう分布になっていると仮定した、ということなのね。了解した。

そうです。ちょっと説明不十分でしたね。
ただ、もとの質問に対して難しい概念を持ち出しても・・・。
なので「こう考えておいて」という程度なんです。

>>608
＞lim[X→∞]((X-1)/X)^X
=lim[X→∞](1-(1/X))^X
＝e
≠1/e ←('A`)

↑
あほ

>>615 違う説明を試みてみる。

まず、最初に引いた金額をX、10000-α<X<10000+αとする。もう一枚は
5000-α/2<Y1<5000+α/2もしくは20000-2α<Y2<20000+2αである。
期待値欲しければ絞りを一定にして下さい。

確率1/2として一万円得するか五千円損するかってことで単純に考えていいんじゃね？

>>615です。

単純に交換したほうが絶対得というのがなんだか気持ち悪いんです。
自分で考えてみたんですが、最初の10000円と交換したときの期待値を無意識に比べているから
気持ち悪いと言うことでしょうか？

頭の中では、最初の封筒だろうと、交換した後だろうと引く前なら期待値は一緒だと
考えている。
それを頭に残したまま、10000円が確定した後を考える。そして10000円と交換後の期待値を比べてしまう。
中身が１：２なら得するのは当然なことなのに。それを不思議に感じてしまう。

それがこの問題のトリックですか？？？

交換した方が絶対得なわけじゃないよ。
どんな金額を見ても確率が1/2と考えるのがおかしいだけ。

>>630
交換して得する確率も損する確率も１／２ずつ。
だから、「交換して得になるか、損になるか」とだけ聞かれたら、
答えは「５０−５０だ」となる。

金額の設定がX円：２X円になっているから、常に
　得する場合の利益　Ｘ円　＞　損する場合の損失　Ｘ／２円
となるのがトリックのタネ。金額の設定をX円：X+1000円に変更したら
　得する場合の利益　１０００円　＝　損する場合の損失　１０００円
となって、交換するメリットはなくなる。

> えーと。もとの金額が比率で示されているので金額が大きい方が密度が薄かろう
> という前提なんですよ。

別世界の人？

>>632
レスありがとうございます。
そこは気がついているんですけど。
中身がいくらといくらであろうと、交換しようがしまいが、期待値は一緒だから
交換したとき2500円得するのが気になってたんです。

10000円を見る前なら期待値は一緒なんですけど。
10000円を見てしまった後に、それを交換前の期待値のように思ってしまうところに
問題があると気がつきました。

>>634
交換すると
1､　5000円損する
2、 10000円得する
のどちらかです。
交換するリスクは5000円、リターンは10000円。
ローリスクハイリターンですよ。

>>631
すみません。確率が1/2の前提です。

う〜ん、誰も疑問点をわかってくれてない希ガス

>>636
ある金額を見て、確率を1/2と考えたのなら変えた方が得だよ。

>>636
疑問は錯覚

>>632も書いているように「交換して得になるか、損になるか」とだけ聞かれたら、
答えは「５０−５０」。なにも不思議な点はない

丁が出たら客が１００００円ＧＥＴ、半が出たら５０００円だけ没収。
こんなに条件で丁半博打を受けてくれる胴元はいないから安心しろ＞６３６

この場合変えた方が得なのは事実.
他の割合や、±ｘ円で入っていても、損はしない.
これも理解してます.

だけどこの結果に違和感を感じるのはなぜかということが疑問です.

どちらかの中身を見る前なら、２つの封筒のどちらを開けようと一緒のはずなのに
片方をあけた途端にもう片方の封筒をあけたほうが、同じか、得をするというのが
なんだか気持ち悪くて.

>>640
どちらにしても5000円もらえるんだから得じゃないか。

>>640
小切手２枚の金額をＸ円と（Ｘ＋２５，０００，０００／Ｘ）円にしたら状況が逆転するよ。

（５，０００円　１０，０００円）と（１０，０００円　１２，５００円）の二択だから、
交換しない方が得だよ。

>>639
>丁が出たら客が１００００円ＧＥＴ、半が出たら５０００円だけ没収。
>こんなに条件で丁半博打を受けてくれる胴元はいないから安心しろ＞６３６

寺銭が7500な件について。。。

>>615
小切手の金額が0円のときは交換しても無意味ですが
でも、金額x>0のときは計算通り交換した方が得です。

こう考えると分かりやすいかもしれません。
もしも、中身が小切手ではなくて
「中の約束手形の振出人となって第三者に譲渡する」であればどうでしょう。
そのときは金額はマイナスとなるので、交換しない方が得となります。

したがって、金額がプラスと分かっている時点で交換した方が得になるという訳です。

>>642
なるほど。

疑問をもつこと自体が、低能さからきてる基がしてきた・・・。

交換しても、かわらないことも、得することも、損することもある。
それは２つの中身の具合によって決まるんですね。

それならなんの疑問もないですよね。

馬鹿な俺は逝ってきます。

>>645
>馬鹿な俺は逝ってきます。

馬鹿じゃないだろ！！！
このスレみんな阿呆か釣りだぞ！！

二回目に引くときもう片方を選ぶ確率は1なんだよ！！！
5000 10000 のときも
10000 20000のときも相手は決まってる。
要はお金を入れるときの確率だろ？？？？？
入れる奴に聞かなきゃわからねえ！！！
わからねえもんはわからねえ。
だからイーブンだ！！

>>646
いや、(5000,10000),(10000,20000)は当然1/2の時の話ですよ。

どっちの組み合わせであろうと、最初引く前なら
どっちの封筒ひこうが交換後だろうが期待値はかわらないんでイーブンだけど
最初の中身を確認してしまうと、もう片方と交換したほうがいい。
あれ？

最初から中身は１：２って決まってる
→10000円ってのは別に知っても知らなくてもどうでもいい情報
→最初の封筒あけても開けなくても同じじゃね？
→ってことは２つの封筒があったら最初とろうと決めた封筒と反対とったほうが得なのか？
→あれれ？そんなことあるのか？おかしくね？

って一人で変なところにはまっていましたが、
いろいろ考えたのと、>>642さんのお話ですっきりしたつもりになってます。

>>647
>いろいろ考えたのと、>>642さんのお話ですっきりしたつもりになってます。

じゃ？
二倍のときは交換するの？w

封筒の中身が１：２で、例えば今回の場合なら(5000, 10000)と(10000,20000)が
1/2の確率で入っているなら交換します。

なんか違うんなら教えてください。

>>649
>封筒の中身が１：２で、

それは正しい。

>例えば今回の場合なら(5000, 10000)と(10000,20000)が
>1/2の確率で入っているなら交換します。

もし1/2なら交換するけど。
1/2じゃないからみんな交換しても意味ないんだよ。

>>650
でもですよ、今情報が何も与えられていない。
1:2とだけ問題に記述がある。
この場合、同様に確からしいと判断しちゃだめなんでしょうか？

判断してダメだとしても、
問題に同様に確からしいと明記してある場合にも
僕は違和感を感じてしまいます。（今はすっきりしたつもり）

電波が強すぎるから弱めてくらはい。頼んます＞＜

820 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/02/18(土) 16:54:43
　>>818
　この問題設定だけでは計算できない。

　(1)：もう一方が5000円の確率＝「大きい方を選んだ確率」*「最初の2つが(10000円,5000円)の確率」
　(2)：もう一方が20000円の確率＝「小さい方を選んだ確率」*「最初の2つが(10000円,20000円)の確率」

　で、「大きい方を選んだ確率」＝「小さい方を選んだ確率」＝1/2は問題設定どおり。

　例えばもう一方が5000円の確率は、
　(1)/((1)+(2))=「最初の2つが(10000円,5000円)の確率」/（「最初の2つが(10000円,5000円)の確率」＋「最初の2つが(10000円,20000円)の確率」)
　となる。

　したがって、今は見た金額が10000円だが、この金額が何であっても次の封筒がその倍である確率が1/2と考えるためには、すべての金額aについて、
　「最初の2つが(a円,2a円)の確率」＝「最初の2つが(a/2円,a円)の確率」
　で無ければいけないことになる。

　これは、全金額について一様な分布を設定することを意味する。
　これを考えるのは勝手だが、数学的にはこの分布は定義できず、すなわちこう考えることが妥当でない。
　実際、この分布が存在すると考えるから常に変えた方が期待値が大きいという誤った結論が得られてしまうわけで。

...=p(1250,2500)=p(2500,5000)=p(5000,10000)
=p(10000,20000)=p(20000,40000)=p(40000,80000)=....

...+p(2500,5000)+p(5000,10000)+p(10000,20000)+p(20000,40000)+...
=|Z|p(10000,20000)
<=1.

p(10000,20000)=0.

>>651
>この場合、同様に確からしいと判断しちゃだめなんでしょうか？

考えても皆よ。
(n,2n)のセットがもし一様に確かだとしてもだ。
n=10000と2n=10000は一様に確かじゃないでしょ？

たとえば

100kmの弾丸を真横から日本刀で切断する難しさと
200kmの弾丸を真横から日本刀で切断する難しさは

同じじゃ無いでしょ？

nと2nを眺めてみようよ。

頭弱くてすんません。

＞これは、全金額について一様な分布を設定することを意味する。
＞これを考えるのは勝手だが、数学的にはこの分布は定義できず、すなわちこう考えることが妥当でない。

理解できません。何故ダメなんですか？
この文章を丸呑みにして数学的には定義できないとしても
実際には
「最初の2つが(a円,2a円)の確率」＝「最初の2つが(a/2円,a円)の確率」
って設定できるのでは？

>>655
>>652は電波系のコピペだから気にしないで。確率は１／２であってるよ。

>>654
弾丸の話を持ってくるのは何か違うかと。
それってこの場合最初の封筒の中身が50兆円だったら国家予算を超える100兆円なんて
ありえなす。だからまずないだろうって考えるようなものですよね？

これが10000円とかそれくらいなら問題ない希ガス。

>>656
ありがとうございます。
数学板はじめてきたんですけど、IDないとやりにくす。

>>652
> これを考えるのは勝手だが、数学的にはこの分布は定義できず、すなわちこう
> 考えることが妥当でない。
> 　実際、この分布が存在すると考えるから常に変えた方が期待値が大きいという
> 誤った結論が得られてしまうわけで。

問題に直接関係ない分布なんかを定義しようと考えるから（ｒｙ

結局のところ最初の組み合わせを

1/2と題意から設定することはダメなのでしょうか？

もうひとつ、1/2と設定してある問題は問題としてありえないのか？

>>660
>もうひとつ、1/2と設定してある問題は問題としてありえないのか？

ありえない。

なぜなら引いた後に確実にもう片方が大きい金額1/2、小さい金額1/2と設定する事が不可能。
逆にどうゆう風に問題を設定したらそうなるのかがわからない。
どういう確率で最初に封筒に金額を入れるかの話。

>>661
>>661
解答ありがとうございます。
でもありえない理由がわかりません。

＞設定することが不可能。
ってダメなものはダメって言われてもって感じです。

例えば、そういうゲームだった場合は？

最初に10000円ベットする。封筒が２つあってその中には (10000a,10000b)のお金がそれぞれ入っている。
どちらかをとると言う賭け事。

こう言う条件で、たまたま a:b = 1:2　であるときは？
計算したら勝てるか負けるかわかっちゃうゲームですけどね。

でも世の中にそんなゲームはおうおうにしてあるわけで無茶な設定ではないと思いますが。

>>662
>最初に10000円ベットする。封筒が２つあってその中には (10000a,10000b)のお金がそれぞれ入っている。
>どちらかをとると言う賭け事。

(5000,20000)でしょ。

数字が三つある。でも今回の問題は2つ。
全く別の話。
今回の問題では現実問題同じ空間に二つの金額しか存在しないのに
同じく空間で3っつの数字を考えてしまっているところ。。

>>662
>こう言う条件で、たまたま a:b = 1:2　であるときは？

1:4になってしまっている事に気づけ。

>>663

それって言ってること矛盾していないですか？
確かに現実では２つです。

最初（5000,10000）、(10000,20000）をそれぞれ確率を1/2ずつにすることが
おかしいって言ってたじゃないですか？
じゃあ仮に　P　と　1-P　としたら
5000、10000、20000の３つの数字を考えるわけですよね？

だから同じ問題だと思うのですが違いますか？

>>664
あっうっかりしてました。すいません。

テレビのクイズ番組で、優勝者には豪華賞品が贈られる。

二つの箱の中には、それぞれ、豪華商品が一つずつ入っている。
一方の賞品は他方の賞品の丁度２倍の価値がある。
優勝者は一つの箱を開けて、中からパテックフィリップの腕時計を取り出した。
優勝者はこのまま時計を貰って帰ることもできるし、もう一方の賞品と交換してもらうこともできる。

あなたが優勝者だったらどうしますか。


という問題と一緒だね。

１〜２秒考えて、すっと交換してもらうのがスマート。

>>667
同じ問題ですね。

>>665がいなくなった件について・・・

10000円の封筒と20000円の封筒が有るとき。

10000円をえらんだ。交換した20000円だ10000円の得
20000円をえらんだ。交換した10000円だ10000円の損

よって交換してもしなくても変わらない。


5000円の封筒と10000円の封筒が有るとき。

5000円をえらんだ。交換した10000円だ5000円の得
10000円をえらんだ。交換した5000円だ5000円の損

よって交換してもしなくても変わらない。

10000円の封筒と20000円の封筒と5000円の封筒が有るときは
そもそも封筒が3つなのできにするな。

答えとして。
1/4の確率で10000円の得
1/4の確率で10000円の損
1/4の確率で5000円の得
1/4の確率で5000円の損

結局かわらね。

これでいいか？

>>669
>>>665がいなくなった件について・・・

自分だろ？

>>670
>これでいいか？

ふつうこれでよくないよな。。
だれか。文句かけよ！！！！！

>>671
まちがえた・・・。
>>665を書いたら>>663がいなくなった件について・・・

>>670
よくない。

詳しい人が書いてくれてることをよく理解してないやつが電波と言ってるように見えるがｗ

文献とかも多分いっぱいあるが、
http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_04.html
http://personal.lse.ac.uk/LIST/PDF-files/envelope-paradox.PDF
ぐらいが簡単か。

>>652がコピペしてるのはこの問題に対する一般的な考え方だよ。

>>674
本格的な文献ですね・・・・。
ちょっと時間できたときに気合入れて読んでみます。

>>673
>よくない。

でもあれが現実を表してるような気がしないか？

だからみんな。

n円　2n円　で考えるんだろ。
最初の封筒の期待値は3n/2

最初にm円をひいた。

m=nのとき
もう一つの封筒は2n
m=2nのとき
もう一つの封筒はn
よって

もう片方の封筒に期待値は3n/2

>>674
理解していないのは君の方だと思うよ。

>>676
確かに真理だと思う。
最初の封筒だろうと、交換後の封筒だろうと期待値は一緒。
２つの封筒の中身がどんなルールで決められていようとも。

だけど、最初にひいた金額に対しては、交換後に得するか損するか変わらないかは
2つの封筒の中身の決め方で決まってしまうんだ。

(a, 2a)　　　　　　交換後の期待値は最初にひいた金額よりあがる。
(a, a+5000)</b>　　交換後の期待値は最初にひいた金額と変わらず。
(a, a+2.5*10^7/a）交換後の期待値は最初にひいた金額よりさがる。

1/2とかいう一様な設定ができないって言われてるけどできるとするならね。

>>674
>>>652がコピペしてるのはこの問題に対する一般的な考え方だよ。

中途半端

>>679
実は俺もVIP出身なんだｗ

>>678
>1/2とかいう一様な設定ができないって言われてるけどできるとするならね。

1/2のこと勘違いしてない？？？

目の前の封筒引く確率は1/2
>>676は一つの世界(または無数の世界)しか考慮してないから1/2でいいんだよ。
10000をmに代入した時点で二つの世界になるからいろいろややこしくなるんだよ。

もう一つのスレからのコピペ。
Two-Envelopes Paradoxに幻惑されている人はよく読むように。

755 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/02/18(土) 06:50:58
　>>754
　金額が分からなかったらそもそも金額の期待値は計算できない。

　Aの金額をX、Bの金額をYとすると、X/YとかY/Xの期待値は1.25で間違いない。ただ、この事実はYの期待値がXの期待値の1.25倍になる、とかそういうことを意味しない。

　Y=(Y/X)*X
　が成り立つのは当たり前なんだけど、
　E[Y]=E[Y/X]*E[X]
　は必ずしも成り立たない。

　つまり、E[Y/X]の値はE[X]とE[Y]の比較のための判断材料にはならない。

>>680
>実は俺もVIP出身なんだｗ

2/13派？
10/49派？

>>681
勘違いしていないと思う。
けど上の書き込みでは勘違いしてるな。
（5000,10000）、(10000,20000）を選択する部分の考えは入ってないからな。
必要ない一文だった・・・。

二つの世界になるからややこしく←激しく同意

（５０００，１００００）と入れる確率が１／２で
（１００００，２００００）と入れる確率が１／２なら
５０００ならかえると確率１で＋５０００に
１００００ならかえると確率１／２で−５０００に
確率１／２で＋１００００になるので平均＋２５００に
２００００ならかえると確率１で−１００００になる。

（＋５０００）×（１／４）＋（＋２５００）×（１／２）＋（−１００００）×（１／４）＝０。

>>684
>二つの世界になるからややこしく←激しく同意

無数にある組み合わせから二つの世界を選択した確率を求めればいいんだ。

ただそれだけ。

>>683

2/18

>>685
>>670

>>653

>>687
>2/18

wwwwwww

>>689

0X∞=1 ?

>>690
そんなおまいは何派？

>>692
>そんなおまいは何派？

2/13

暇つぶしに間違い探しをぞ〜ど

（３-0）封筒に10000円が入っていたということは、Ａ、Ｂの組み合わせは
（5000、10000）か（10000、20000）のいずれかである。（5000、10000）で
ある『事前確率』はいくらか。というやつです。ベイズの定理なんかで
でてくる、「結果」をみてその「原因」となる確率を求める、条件付確率の
典型的な問題です。本来ならこれが最終問題でもおかしくないので
しょうが、この出題者はこれを隠し、ミスリードしやすい（＝事前確率を
無視しやすい）（３）の問題を出しているわけです。
（３-0）を考えてみましょう。（5000、10000）の確率をｙ、（10000、20000）の
確率を（1-ｙ）とすると、封筒から10000が出てきたという状態からは、

　　10000＝（5000+10000）/2×ｙ＋（10000+20000）/2×（1-ｙ）

が確からしいはずです。これを解くと、（5000、10000）である（あった）確率は
2/3となります。ここがポイントで、10000が起こり得る事象として、
（5000、10000）と（10000、20000）は等しく1/2ずつではないのです。
ここまでくれば（３）はもう簡単。

　封筒を交換してＢを開けた時の期待値＝5000×2/3＋20000×1/3＝10000

となります。これで、封筒Ａを開けたときに10円だろうが、百万円だろが、
期待値は同じ、交換しても変わらない、という納得した答えに到達できました。
あ〜、スッキリ。

6/2/18=1/6

二つの封筒のパラドックスは有名です．
http://www.yoshizoe-stat.jp/seminar/sinf1.pdf
が専門家には良く知られた，恐らく最終的な解でしょう．
繁桝氏の著書にも紹介されています．

>>626

>>627 にキビシイツッコミされてたので
スルーしようと思ってましたが、
やはり書いておきます。

> lim[X→∞]((X-1)/X)^X
>=lim[X→∞](1-(1/X))^X)
>=e
>≠1/e ←('A`)

lim[X→∞](1+(1/X))^X)=e
lim[X→∞](1-(1/X))^X)=1/e
ですよ〜。

それ以前に「確率」を計算したわけですから、
答えが1を超えることはありません。
もう一度 >>608 を読み直すことをオススメします。

>>896
正解は単純明快

事前分布に条件がついている場合　→　条件に従って判断する
事前分布に条件がついていない場合　→　>>615

話がズレてしまうかもしれませんが。
１：２の条件を取っ払ってしまうと、いくら入っているかわからないし
上限もないのだから、期待値は無限大。
片方開けてみて一万円入っていたら、そちらの期待値は一万円に「激減」し
残りは無限大のまま、と考えたら何か腑に落ちました。

グリーンジャンボで10枚買って3000円以上あたる確立ってどれくらい？

>>698
>事前分布に条件がついていない場合　→　>>615

釣りにしても馬鹿

>>699
>片方開けてみて一万円入っていたら、そちらの期待値は一万円に「激減」し
>残りは無限大のまま、と考えたら何か腑に落ちました。

腑に落ちるな阿呆
残りは無限大じゃないだろ？

>>615
「おかしいな」と思った瞬間に罠に嵌っている。
「おかしい」と思わなかった人はセーフだ。

>>615の論法に少しもおかしな箇所はないにも関わらず、
「おかしいぞ」と思ってしまうのが心理トリックだ。

小切手2枚のうち、安い方がz円である確率をf(z)、
最初の小切手と2番目の小切手の額面をそれぞれX、Yとおくと、
X、Yの期待値は
E[X] = ��( f(z)*(1/2) + f(z/2)*(1/2) ) * z = E[Y]
だから常に等しい。
次に比率Y/Xの期待値を考えると、X=2Yである確率と
Y=2Xである確率は同等だから
E[Y/X] = �納 f(z) * {(1/2)*(1/2) + 2+(1/2)}]
= （5/4) �杷(z) =5/4
で一定となる。

ここでY= (Y/X) * Xの類推で、
　E[Y] = E[Y/X] * E[X] = (5/4) * E[X] > E[X]、あれっ、おかしいぞ
と思ってしまったら、罠に嵌ったことになる。
一般にE[Y] = E[Y/X] * E[X]は成り立たない。

>>615を読んで、当たり前に思えるようになったら大丈夫だよ。

>>703
コピペで低能乙

>>704
>>703は正解だが、どこかおかしいか？
Xが10000円であるときのYの期待値は確率密度に依存するが、
E[Y/X]=5/4は確率密度に関わらず成り立つ。

グッとっパーの組み合わせですごい革命的なこと思いついた！！

少人数ならすぐに組み分けできるけど、
大人数で組み分けする時などなかなか組が決まらないよね。

そんな時はこの方法！
例えば１２人を６人対６人に分ける場合を考えてみよう
まず一人だけ外れて、グッとっパーに参加しない！
残りの人たちが組み分けをして、５対６になれば、
外れていた人は少ない方へ参加する！

これ単純だけど組み分けが決まる確率すごい上がらねぇ？？

エロイ人計算をお願いします。

同じ事柄なのに確率が違う
http://www.biwa.ne.jp/~ken-nose/nazo/r21.htm#1

本当の確率は???

合計の人数を2n(nは自然数)とする
全員で普通に決める場合の決まる確立
P1=C(2n,n)/(2^2n)
一人はずした場合
P2=C(2n-1,n-1)/(2^(2n-1))
=2C(2n-1,n-1)/(2^2n)
ここで
C(2n-1,n-1)=(2n-1)!/( (n-1)! n! )
=(2n)!/( 2 n! n! )
=C(2n,n)/2
で、
P2=C(2n,n)/(2^2n)=P1

よって、>>706は妄想である

2n-1=n+(n-1)=(n-1)+n.

>>708
まず自分のミスを疑えよ。

>>706
単純に確率2倍になる・・・のか？

>>711
当然。
特定の1人を除いた11人が6:5に分かれる確率をPとすりゃ、もう1人もグッパに参加したときに6:6に分かれる確率は、そいつが少数派の手を出さなければいけないのでP*(1/2)だからね。

豪快にミスった俺ﾊｽﾞｶｼｽ

>>713
Never mind!
数学の試験で常に満点を取れる奴などいないのだから、恥ずかしがる必要はない

偶然その場に居合わせた４０人
この中に同じ誕生日の人が居る確立は何％ですか？

解き方もお願いします。

誕生日のパラドクス【Part 8】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126016995/

715はﾏﾙﾁ

今からここは>>715を叩くスレとなりました

今必死こいて確率密度関数の便利公式集を作っているのですが
代表的な確率分布(たとえば一様分布や指数分布や正規分布等)をもつ確率変数の写像の確率密度関数
割とよく使われるのは X^2 とかになると思いますが、対数・指数その他たくさん
また、独立な二つの分布 X Y があるとき、X+Y , X-Y , X*Y , X/Y といった分布の確率密度関数を計算しています。
ちょっとやってみて思ったのは、X+Y などはわりと簡単なのですが、X*Yといったものは絶望的に難しい物が多くて・・・
こういった計算のノウハウが得られる書籍もしくは、既存公式集(できればこっちがあるとうれしい)等のある書籍をご存知の方紹介してください。

>>706
まず誰が参加しないのかをどうやって決めるかだな。
それでもめてジャンケンになった場合は…。

組グッパすればいいだけの話だともうが

確率が違う分、起こる事象も限られてしまってるんだけどな。

12人がABCDEFとGHIJKLの２組に分かれてグパするとき
ABCDEFの組からは必ずグー３人パー３人に分かれてしまう。
12人でいっせいにやればABCDEFが全員同じチームになる可能性もあるはずなのに。

まあ遊ぶときにそこまで考えてやらないけどな。

すみません。質問させて下さい。

335ページの本があります。
毎日目に付いたページを適当に20ページピックアップして読んでいきます（重複もあり）。
運が良ければ全てのページを読むのに17日で済むけど、
普通は（80%以上確率で）この方法だと何日かかるものなのですか？

わかる人教えてください。
競馬で
例えば的中率25〜30％あるとして、毎日全てのレース単勝でやったら１レース目で当たる確率と２レース目に当たる確率
(３･４･５･･などの他のレースと全て外れる確率)
は、いつかは同じような確率になる？
(１〜12レースと全て外れるで13通りだから、だいたい7.69％ぐらいになる？)

>>724
ちょっと質問がわかりにくいので訂正させてください。

�@的中率25〜30％

�A１日１レース〜６レースまで毎回参加
�B１〜６レースまでに１度当たる確率75％
�C当たればそのあとのレースはしない

�T・�@〜�Bの条件の時(１〜６レース全てやる)と、
�U・�@〜�Cの条件の時(当たれば終わり)、
１レース目の的中回数、的中率
２レース目の的中回数、的中率
３レース目の的中回数、的中率
４レース目の的中回数、的中率
５レース目の的中回数、的中率
６レース目の的中回数、的中率
全て外れる回数、確率

�T・�Uの時、それぞれ○回(何万でも何億でも構いません)繰り返すとして、
これらは全てだいたい同じ回数、確率になりますか？

>>725
条件の�Bがあると矛盾するんでなしにしてください。

マルチ

東郷平八郎の言にこうあります。
『百発百中の砲１門は百発一中の砲百門に勝る』

んが、実際のところは百発百中の砲１門と百発一中の砲百門が戦った場合、百発百中の砲１門は会敵直後に63パーセントを超える確率で撃破される。双方の射撃速度が等しい場合、百発百中の砲が三射目以降に生き残っている可能性は5パーセントしかない……そうです。
この数字自体は正しいと思いますが、では

『百発一中の砲百門と戦った場合の百発百中の砲１門の勝率は最終的に何％か』
と
『百発百中の砲１門と戦った場合に、最終的な勝率が拮抗する百発一中の砲の必要門数はいくらか』

という疑問をもちました。無論、確率論でしかないのですが。
初歩の数学も忘れてしまった身なので検算及び計算ができません（−−；

どなたか計算できる人ございましたらお願いしたい次第　orz

>>728
特型噴進弾「奮龍」戦記

「百発百中の砲一門は百発一中の砲百門に勝る」というたわ言を東郷平八郎自信が否定。
訓練だけでなく科学力で戦力上昇を目指す帝国海軍の物語。
ミッドウェー海戦にて空母蒼竜は新兵器噴進砲により被爆を免れる。
その後も噴進砲は活躍を続け（まぐれもあるが）実戦部隊の信頼を得る。
そしてロケットヲタクの科学者たちによる、日本軍総ロケット化が進められる。
http://www2u.biglobe.ne.jp/~yuh/ka1/hayashi.html

>>729
乗ってるんですか？　その仮想戦記に先の回答

>>729
命中確率1/100の砲N門が百発百中の砲一門に集中砲火を浴びせるとき
N発の砲弾のどれかが命中する確率は

1−(N発の砲弾すべてが命中しない確率)＝1−(99/100)^N＜1

つまり何門の砲を使っても駄目。拮抗することなどありません。

百発百中一門と百発一中百門で戦ったら百門のほうが勝つに決まっている
単純に数が多いから

>>732
誰でもわかること書いて楽しいか？ｗ

>>731
よーわからんのだが。
命中確率1/100の砲1門しか無い場合
1発の砲弾のどれかが命中する確率は1/100　しかない。
よって勝率は0。引き分けの確率が1/100　あとの99/100においては確実に撃破される。

命中確率100/100の砲100門の場合
1発の砲弾のどれかが命中する確率は「１ターン目においては」約63%
次ターンにおいて99門が〜　となっていった場合を含む
『最終的な勝率』　じゃまいかい？
砲１門なら明らかに確実に命中する砲には勝てない。
砲１００門なら確実に命中する砲１門相手に勝つ確率の方が高い。

その間になる数字はどっかに近似値としてあるだろと思うのだが。

『百発一中の砲百門と戦った場合の百発百中の砲１門の勝率は最終的に何％か』
百発百中側をA一中側をBと呼ぶ
AがBに勝つためには100ターンBの攻撃をかわさなければならない
Π[n=100 1]0.99^n=0.99^5050=9.073*10^-23

『百発百中の砲１門と戦った場合に、最終的な勝率が拮抗する百発一中の砲の必要門数はいくらか』
勝率が拮抗すると言うことは1/2になればいいので、先ほどの問題より、
Π[n=N 1]0.99^n=0.99^(N(N+1)/2)=0.5
N(N+1)/2 log0.99=log0.5
N^2+N-2log0.5/log0.99=0
N=11.26 , -12.26
-は不適当なのでN=11.26ならば均衡と考えられる
N=11の時のAの勝率は0.515
N=12の時のAの勝率は0.457
なんで11ってことで

ちなみに相撃ちは勝ちとはしてないっす

>>732-736
白痴板に逝け

>>737
独りで逝け

2chのIDに大文字が１つも出ない確率を教えてください
IDの文字はA〜Z、a〜z、0〜9、+、/だと思います

文字の種類は
26*2+10+2=64
大文字じゃない文字は内38文字
IDは10ケタなので(38/64)^10=0.00544548074


てか.とかもなかったっけ？

>>740
ありがとうございます！

確認した限りでは . は無いと思います…多分

>>735
検算して確かめられませんが、ありがとうございます！

……うぅ、脳みそスポンジの自分がﾀﾞﾒﾎﾟ　orz

>>742
スポンジなら吸収できるんじゃね？

『百発百中の砲１門は百発一中の砲百門に勝る』
これが正しいかどうかは砲台の威力とか状況による。
皆暗黙のうちに「命中したら砲台一つを一撃で壊せる。外れたら何も起こらない」という､
100人のプリーストが一生懸命BADIを唱えているような光景を思い浮かべているようだけど
例えば絶対必中砲台一門の戦艦と1/100命中砲台100門の戦艦で撃ち合って
一発くらったら船が沈むとかなら一門の方が有利(悪くても引き分け)
よって東郷平八郎がそのつもりで言ったのなら間違ってない

聞きたい質問があります。
スロットなどでＢＩＧとＲＥＧがありますがその振り分け比率が６・４
だったとします。
そのときＲＥＧが4連荘する確率はどのくらいなのですかね？
10分の４だからそれぞれ４乗したところ10000分の256で２・５％となったので
すが計算方法あっていますかね？

>>745
その通りです。

質問なんですが、
裏表の出る確率が同様に確からしいコインのコイントスの問題で、
コインを二回投げる、または見た目の違うコインを同時に二枚投げた時に、
各回で(またはお互いに)違う面が出る確率は1/2ですよね？

じゃあ、見た目が同じコインを同時に二枚投げた場合、お互いに違う面が出る確率は
どうなるのですか？

組み合わせだと表表、表裏、裏裏の三通りなので1/3だと思ったのですが、
違うのでしょうか？

教えていただければと思います。

表表、表裏、裏裏の確率が等しいとは限らない

>>747・・・はい？
コインの種類を変えただけで確率が変わるようなことがあってたまるか。
表表、表裏、裏表、裏裏の四種類あってそのすべてが同様に確からしいことから
明らかに1/2です。本当にありがとうございました。

>>748>>749
回答ありがとうございました。

>>744
それにランニングコストとかの問題もあるわな

>>748を踏まえるならば
２つのコインの裏表の出方にどれだけ相関があるかも考慮しないといけないな。

普通はそれぞれ独立ってのを前提にしてるが

>>745
おおよそあってるけど
厳密に言うとちがう

物凄く簡単な質問何ですが計算式がわからないので教えて下さい
確率X%のものをY回繰り返しやった場合最終的にZ%になる
という計算式が知りたいんですがそういう物はあるんでしょうか？
教えて下さいお願いします

じゃんけんに勝つ確率１/2
なんどやっても１/2

何回繰り返しても確率はかわらんよ。

連続で勝つ確率とかちゃんと丁寧に言わないと

age

僕全然確率わからないんですけど

よくこの売り場で一等が出ました〜とかいって宝くじ売ってるじゃん？
でも一回出ちゃったら次また一等が出る確率って他の売り場より低くなるんじゃ
ないのかな

>>758
確率は変わらない。

>>758
裏と表が出る確率が同じコインを
２回投げるときに

１回目に表が出たからといって
２回目には裏の方が出やすくなるわけではないのです。

>>758, >>760
ただし、「裏表が出る確率が同じ」というのは仮定にすぎない。

もし、「裏表が出る確率が同じコイン」という仮定が正しいかどうかわからない場合
は、表が出る確率を未知のパラメータpとし、何も情報がないときにp=1/2という初期
設定を採用すると、「1回目に表が出た」という情報を得たことにより、pが1/2より大
きい可能性が少し増える。（ベイズ理論）

だから、宝くじの当る確率が売り場に依存し、「当りが出やすい売り場がありうる」
という前提を採用するなら、

＞でも一回出ちゃったら次また一等が出る確率って他の売り場より低くなるんじゃ

というよりも、「その売り場は一等が出やすい」という仮説の信頼性がむしろ増す。

どのような前提で考えるのかによって結論はいろいろあるという話。

一等が出たってのぼりを出せば売れる枚数も増えて売り場としては当たる確率アップ

でも、「その売り場からでた宝くじが当たる確立」はあがっても
「俺が買ったくじが当たる確立」は変わらないんじゃ？

残念ながらその通り

age

僕が童貞を卒業できる確率はどのくらいですか？

２０才
工場勤務
職場は男のみ
土日は休み
180センチ　８０キロ
一重まぶた

0%
ただし努力しだいで100%になる。

age

時計の部品をバラバラにしてシ
ャカシャカ振って箱を開けて
時計が完成する確率と同じだ。
ってよく聞くけどこんなん限り
なく0％に近いじゃなくて0％
じゃないんですか？又何分の１
の確率か知ってる方は教えてください

部屋の中にいた人が次の瞬間別のところにワープする確率も０じゃないらしいからな。

>>769
時計の構造にもよるので定量的にはいえない。

たとえばマグネットで部品同士が接合するような時計ならある程度完成する可能性は見込める。
ネジで留めるようなものであればまず成功は見込めないが、果たしてゼロなのだろうか？

さいころを3回ふって、1回目をX1、2回目をX2、3回目をX3としたとき、
X1=X2=X3になる確率は、1/72であってますか？

X1 < X2 < X3になる確率も、同様なんでしょうか？

>>772
違う
お前どういう計算で出した？

age

>>772
1/6×1/6×1/6

「1円、10円、100円の3種類の効果10枚で表すことのできる金額は何種類か。
また、それらを全て書き出せ。」

この問題をどなたかやっていただけないでしょうか？

>>776
１１１０円用意してとりあえずやってみろ

>>777
名案だなｗ　これはｎ個の異なるもん中からｒ個選ぶ組み合わせだから
「組み合わせ」を使うんかな？

0〜1110円の中で表現できない金額はあるか？

例えばある板の中にスレが300あったとする。
今その中でA、B、Cのスレが三つ並んでいます。
スレの順番がグチャグチャになったあとで、またこの三つのスレが並ぶ確率は？
並ぶ場所はどこでも構わない。
例えば1 2 3で並んでも155 156 157で並んでもOK。
また、ABCでもCABでも、スレの並びは構わない。

合計１０枚か、それともそれぞれ１０枚ずつなのか

>>780
＞スレの順番がグチャグチャになったあとで、またこの三つのスレが並ぶ

「ある特定の瞬間に」その3つが並んでいる確率は1/300P3≒1/2700万。
これは「1回だけランダムに混ぜ」た後に並ぶ確率と等しい。

常時かき混ぜられているとして、「いつかは」並ぶ確率だったら1。

「ある期間内に」並ぶ瞬間が現れる確率は、
混ぜ方や期間を指定しない限り計算できない。

６／（３００×２９９）。

質問なんですが
８０個の数字から２０個の数字がランダムに選ばれるとして
８０個の中の３個の数字を予想して２個当たる確率はどう出すんでしょうか？
８０個から２０個選ばれる確率まではいいんですが、それから
ぜんぜんわからないです。
教えていただければと思います。

>>785
80Ｃ20×(20/80)×(19/79)-80Ｃ20×(20/80)×(19/79)×(18/78)=163512674542432600

あってる？

>>785
0.04625

間違えてた。
(80Ｃ20×(20/80)×(19/79)-80Ｃ20×(20/80)×(19/79)×(18/78))×3Ｃ2=490538023627297800

これでどうだ？

うはｗｗ
確率求めるのになんだあの答えの桁ｗ

((80Ｃ20×(20/80)×(19/79)-80Ｃ20×(20/80)×(19/79)×(18/78))×3Ｃ2)/80Ｃ20 = 0.13875

ちゃんと割ったらこんな感じ。
>>787とは違うな…。

回答ありがとうございました！>>786-789
789でオッケーみたいです。確率って難しいですね

　（２０！／２！１８！）（６０！／１！５９！）／（８０！／３！７７！）
＝２８５／２０５４
＝０．１３８７５３６５．．．。

>791
す、すごい
こんなシンプルになるんですね。
ありがとうございます！

確率の計算はどうも根本が良くわからない・・・
ＡとＢが両方起こる確立は a*bで表すじゃないか？
なぜaとbを掛けるんだ？その他a＋bの場合なぜ足すのかがわからない

問題によって計算の仕方を使い分けることは出来るがなぜこの計算の仕方なのか
なぜこの計算でこの確率がわかるのかというところがわからない。
数学は苦手だったがどうしても気になる。

事象Aと事象Bを互いに独立であるとする。
P(A)=a,P(B)=b(P(X)は事象Xが起こる確率。0≦P(X)≦1)とすると、
Aが起きない確率P(¬A)はP(¬A)=P(Ω)-P(A)=1-a。（Ωは全事象。P(Ω)=1)
事象A,Bは互いに独立であるので、
P(A∧B):P(¬A∧B)=P(A):P(¬A)=a:1-a
よって(1-a)*P(A∧B)=a*P(¬A∧B)…(1)
ここで、P(A∧B)+P(¬A∧B)=P(B)=bより
P(¬A∧B)=b-P(A∧B)
これを(1)に代入すると、
(1-a)*P(A∧B)=a*(b-P(A∧B))
∴P(A∧B)=a*b
ただし、この証明は厳密ではない。

足す場合というのはこういうことかな？
事象A,Bが互いに俳反であるとき
P(A∨B)=P(A)+P(B)
∵一般にP(A∨B)=P(A)+P(B)-P(A∧B)であり、
事象A,Bが互いに俳反であるときP(A∧B)=0

talk:>>794 「俳反」をどうやって書いた？

「俳反」？？

>>795-796
変換できなかったから「はい」と「はん」で分けた。
レスしてから調べたら「排反」らしいね。
なぜか「俳反」で検索かけたらヒットしたわけだが…。
もしかして「背反」？

talk:>>797 おじぎ？

もしかして「パイパ(ry」

俺、「日本語力」が無いなorz

>>799
ﾅｲｰｽｗ

Re:>>795　お前誰だよ？

talk:>>802 お前誰だよ？

コピペですがこの問題考えて
一方が他方の二倍の金額が入っている２つの封筒があります。
（解っているのはこれだけ。）
そのうち一方を勝手に選んで開けてみたら１万円入っていました。
それをそのまま貰ってもいいのだけれども、取り替えて他方を選んでもよいと
します。そのままならば１万円のままですが、取り替えれば５０００円に減ってしまう
か、２万円に増えるかということになります。
取り替えた方が有利でしょうか。

期待値＜１万円だから損

>>804
超頻出問題ですが、取り替える方が有利です。

P(A|B)×P(C|D)ってどうなる?

>>804
この問題なんど見ても腑におちねーよ。

封筒空ける前は期待値無限大なのに空けた瞬間1万円だもんな。
1万円でてきた時点でがっかりだよ。

開けるな。

単純に考えると取替えた場合のリスクはﾏｲﾅｽ5000円でリターンはﾌﾟﾗｽ10000円
それぞれの確率が50:50なら勝負した方が有利だよね〜

しかし、よく考えるとそんな訳がない
最初に取り出した封筒の金額がいくらであっても取替えたほうが有利と言う事になるから
そいつは、明らかにおかしくないかい？

>>810
おかしくない。

二つの封筒を手に取る
どちらが金額の多い封筒かは判らない
どちらかの金額を見る前にちょっと考えてみる
金額が３万円であろうと500円であろうと、交換したほうがお得くだと
ならば、金額を見なくて交換しても理屈は同じ

>>812
> ならば、金額を見なくて交換しても理屈は同じ

得をしたかどうか分からないと思うが

それもそうたな

>>804
「開けてみたら1111円でした」だったらどうだ？
もう片方の封筒が555.5円である確率って低いんじゃないか。
結局、どんな金額が入っているか（50銭はアリか、100兆円はアリか、など）
によって答えは変わる。
逆にそれさえ規定されていれば簡単に答えが出る。

>>815
封筒に札束が何束も入る訳がないから、ここは小切手と考えてみようよ
数学的に考えてみたいから555.5円ってのもアリで良いんじゃないかな

>>804
俺の考えた答えはこうだ、聞いてくれ

＞一方が他方の二倍の金額が入っている２つの封筒があります。
（解っているのはこれだけ。）

この時点では封筒の中身の金額の期待値は無限大
100兆円かもしれないし500円かもしれない

＞そのうち一方を勝手に選んで開けてみたら１万円入っていました。

この時点でがっかりしたか、ラッキーに思うかは別として
二つの封筒の合計金額は、15000円or30000円となります

そこで封筒を交換しなければ１万円だけですが
交換すれば期待値では12500となるので交換すればよくないかね？

Aさんが新車を買う確率は0.21で、Bさんが新車を買う確率は0.84です。
そしてこの二人がどちらも新車を買う確率は0.29です。
この場合、AさんとBさんのどちらも新車を買わない確率はいくつでしょうか。


確率とか久々に見て解き方が分かりませぬ

talk:>>818 突っ込みどころはどこなんだろう？

>>819
突っ込めるだけ突っ込んじゃってくれ

talk:>>818 新車を買う確率をどのように考えるのか、そして、Aさんが新車を買う確率より二人がどちらも新車を買う確率の方が高いのは何故か？

>>821
まさにそれが分からなくて聞いてみたんだ。Aが0.21で二人とも買うのが0.29って何でなんだろうな・・

答えは以下の中から4択らしい

1. 0.24
2. 0.64
3. 0.76
4. それ以外

ダメだ･･やはり分からん
問題が違ってるのかもしれぬしスルーしといてくだされ

>封筒
AさんBさんの二人の人がいます。
Aさんは最初はかならずaを選ぶ。
Bさんは最初はかならずbを選ぶ。
二つの封筒をそれぞれa、bとして。

Aさんの場合。
aを選ぶ。aの中を見る。やっぱりbに変える。←得する。

Bさんの場合。
bを選ぶ。bの中を見る。やっぱりaに変える。←得する。

おかしくない？

必ず
選ぶ→見る→取り替える
という動作を行うなら
最初に選ぶのは、最終的に貰わない封筒を選ぶという事。
それだけの

ここまで書いて何がおかしいかわかった。

>>825
＞Aさんの場合。
＞aを選ぶ。aの中を見る。やっぱりbに変える。←得する。

＞Bさんの場合。
＞bを選ぶ。bの中を見る。やっぱりaに変える。←得する。

＞おかしくない？

おかしいよね！

＞二つの封筒の合計金額は、15000円or30000円となります

＞そこで封筒を交換しなければ１万円だけですが
＞交換すれば期待値では12500となる

この考え方も正しいのではないかな？

この矛盾を解決する考え方が解るまで頭痛が治らないです

封筒に入ってる金額の分布によるんじゃね

ここに自動車とバイクがあります
AからB地点に早くつくのはどっちですか

この問題で自動車とバイクの速さが分からないと答えられない問題と同じで
封筒の問題も金額の分布によって答えが変わってくるんだから答えられないんじゃね？

分布は関係ないよ

10000と20000でセットで入ってる確率と
5000と10000でセットで入ってる確率が同じなら

10000円でて交換した時の確率は12500だけど
そうでないなら期待値も変わってくるんじゃね？
分布について触れられてないのに、すべての数字が出る確率が等しいとしてｲｲﾓﾉなのか。
10000円っていうキリのいい数字が出てきた時点で分布が均等である確率かなり低いと思うんだが。

封筒の金額差が２倍でなくて、１００倍だったらどうだろうか？

１万円をそのまま貰うなんてバカ杉る

9900円を賭けて、９９万円を貰えるチャンスを棄てるのかい？


つまり、多い方の封筒をGETするにはどうしたら良いか？←ではなく
金額を確認するまでの期待値は無限だったが
金額を確認して期待値が固定する
より多くの期待値を獲得する為の選択をする
よってもうひとつの封筒を貰う

その結果9900円損をしても納得なのです


因みに封筒の中のお金をあげると言うから、普通は１００万円は入れないだろう
などの概念は抜きでね

>>829
分布ねぇ〜それを考えたらこの問題の主旨に反する様な気がするのだが
>>830の100倍の場合、実際に貰える立場ならば、分布も考慮するよな〜

100円と１万円→９９％
１万円と百万円→１％

１万円貰っとくよね普通は

おれなら100万円にチャレンジするけどな
1万円じゃ何も出来やしねえ

talk:>>832 それならお前は一万円を貰ったらノーベル賞の団体にでも寄付したらどうだ？

＞封筒
この問題のキモも分布なのだが。
例えば、f(x)=少ない方の封筒の中身がx円以下の確率、として
fが不明ならこの問題は解けないし、fが既知なら解ける。それだけ。

この問題に分布は無関係。

一枚目の金額をX、二枚目の金額をYとするとき、分布に関わらず
E[X} = E[Y]が成り立つ。

一枚目と二枚目の金額について、一方が他方の倍である、という条件がついていると
E[X/Y] = E[Y/X] = 1.25が成り立つ。

一般にE[Y] = E[Y/X} * E[X}は成り立たないが、これが成り立つと錯覚すると
E[Y] = E[Y/X] * EX] = 1.25 * E[Y]という矛盾を心の中に抱え込むことになる。
ただの心理トリック。

>>818
>>823
単に公式に当てはめると
1-(0.21+0.84-0.29)=0.24
で1番となるが、各確率が矛盾した状態であることは
指摘されたとおり。問題を作った人が公式を当てはめること
だけに終始して確率の本来の意味を考えていなかったのだろう。

>>835
分布関係ないのか。
(5000，10000)の出現率が(10000，20000)の出現率の倍になるような分布だったら
10000円出た時にもう一方の封筒に入ってる金額の期待値って1.25倍にならないよ？

>>835
Eって何か詳しくじゃなくてもいいから教えてくれ。
E[Y]でググってみたけどだめだった。

>>837
普通サイコロを振った場合とかでもわざわざ書かれてない限り
そのサイコロがイカサマサイコロで６の目が出やすいかも、とか考えないと思うんだが。

>>837
> (5000，10000)の出現率が(10000，20000)の出現率の倍になるような分布だったら
(5000，10000)の出現率をp、(10000，20000)の出現率をq (p+q=1)とすると

E[X] = E[Y] = 5000*(p/2) + 10000*(p/2) + 10000*(q/2) + 20000*(q/2)
=7500p + 15000q

E[Y/X] = E[X/Y] = (5000/10000)*(p/2) + (10000/5000)*(p/2)
+ (10000/20000)*(q/2) + (20000/10000)*(q/2) = 1.25

>>835
E[X]、E[Y]は
一枚目の金額をX円、二枚目の金額をY円とするときの、それぞれの期待値

>>837
> 10000円出た時にもう一方の封筒に入ってる金額の期待値って1.25倍にならないよ？
確率変数Y/Xの期待値E[Y/X]は分布に寄らず1.25。
「10000円出た時にもう一方の封筒に入ってる金額の期待値」はE[Y/X]でもE[X/Y]でもない。

>>840
問題は10000円出た時かえほうが有利か？じゃないのか。

>>833
一万円ていど寄付しても助けにならないだろうから
一万円を博奕に突っ込むよ。

この問題は線形の期待値を使うからパラドックスを感じるのではないのか？
金銭的な問題は効用期待値を使えば解決するのではないか？

簡単にするためｘ円の効用をlog(x)とする。
するとこの問題で封筒を変えたときの効用期待値は
(1/2)log(20000)+(1/2)log(5000)
=(1/2)log(20000+5000)
=(1/2)log(100000000)
=(1/2)log(10000^2)
=log(10000)
となり、かえてもかえなくても同じになる。

参考：聖ペテルスブルグの逆説

>>841
> 問題は10000円出た時かえほうが有利か？じゃないのか。
そのレベルで悩む奴はいないだろ。
(5000,10000)の1パターンしかないときに１枚目が10000なら交換しないほうが有利で
(10000,20000)の1パターンしかないときに1枚目が10000なら交換する方が有利だと
いうことは瞬時に分かる。

E[Y] = E[Y/X] * E[X] = 1.25 * E[Y]という錯覚に気づくかどうかだろうな

>>843
典型的な土坩はまりパターン

Ａ:5000、10000の出現率を50%
Ｂ:10000、20000の出現率を50%
それ以外のパターンは存在しない条件でｼﾐｭﾚｲﾄしてみる
Ａで5000が２５％
Ａで10000が２５％
Ｂで10000が２５％
Ｂで20000が２５％となるから
最初に10000が出たパターンだけを抽出する

問題が『ｃ.金額が多い方の封筒を貰うには』なら交換してもしなくても同じ
問題が『ｄ.多くの金額を獲得するには』なら交換した方が良いよね

100回中10000出現が50回
交換する→5000が25回と20000が25回(65.5万円)
交換しない→10000が50回(50万円)

＞10000円出た時かえたほうが有利か？
　↑
ｃなの？ｄなの？って所にパラドックスが生まれていたんだね

数学と言うか国語だった

>>839
>>841が言ってるのは、その仮定なら、
E[Y|X=10000] =5000p+20000q
になるってことだろ？

E[Y/X]は1.25でいいが、E[Y/X|X=10000]は元の金額の分布によって変わるよ。

10000円を見たときに、次の封筒が5000円か20000円である確率が1/2と仮定するのは根拠が無く、それを考えるには事前分布が必要、ってこと。
要は上の式のpやqは見た金額に応じて変化すべきもので、常に1/2というわけではないと。
分布が無関係な心理トリックってほど簡単な問題ではないよ。

もちろん、おっしゃるとおり
E[Y] = E[Y/X] * E[X] = 1.25 * E[Y]
が成り立つという初歩的な錯角は論外だが。

talk:>>842 一万円があれば秀丸を買って6000円残るぞ。

ちなみに、私は秀丸ユーザーではないが、秀丸が良いという人も居る。

talk:>>845 その仮定がどうやって出てきたのか？

昔，考えた覚えがあるな．自分なりの解釈を書いとく．

問題：最初にaと2aの金額が入っていて，
封筒を開けたら10000円だった．変えるべきかどうか？

自分の考えが確かなら，期待値というのは，
個々の値が確定してないと求めることができない．

ところが，多くの議論は，10000円がでたから，
もう1つの封筒は，5000円か20000円となる．と考えてる．
この考えの間違いは，もともと
aと2aの金額しか入っていないのに，
10000円がaのときは，a/2と2aを考えていて，
10000円が2aの時はaと4aを考えてることになってる．
もともと「a/2も4aもないのに」である．
個々の値として，ありもしない金額を考えてることが，
期待値を考える上で間違いだと考える．

では，どう考えるべきなのか．
期待値としては，3a/2で変わらないだろう．

期待値って個々の値が確定していないから求めるんだけどな。

>>846
> 10000円を見たときに、次の封筒が5000円か20000円である確率が1/2と仮定するのは
> 根拠が無く、それを考えるには事前分布が必要、ってこと。

事前分布が与えられていないんだからE[Y/X|X=10000]やE[Y|X=10000]は
決まらない。1/2 ≦E[Y/X|X=10000] ≦ 2と5000 ≦E[Y|X=10000] ≦ 20000が
成り立つことはいえるが、それ以外はいえない。

> 要は上の式のpやqは見た金額に応じて変化すべきもので、常に1/2というわけではないと。

当然。わざわざ書くほどのことでもない。

> 分布が無関係な心理トリックってほど簡単な問題ではないよ。

確率論をキチンと理解している人から見ると、議論する余地がないんだから
「問題」ですらないと思う。この問題に触発されて、問題を作る人はいるけどね。

見当違いな議論を眺めてニヤニヤするしかないんだから心理トリックだろう。

独立な確率変数　X1, X2 がそれぞれパラメータ u1, u2 の指数分布に従うとき、
　　　X1 + X2　の確率密度関数を求めよ。

よろしくお願いします

四十人クラスで同じ誕生日の人間がいない確率を教えてください
考え方のプロセスも書いてもらえるとありがたいです

>>849
>もう1つの封筒は，5000円か20000円となる．と考えてる．

封筒を片方選んで10000円が出た時「もう1つの封筒は，5000円か20000円」ではないの？

＞期待値としては，3a/2で変わらないだろう．

a＝少ない方の金額

少ない方が5000円の時は7500円
少ない方が10000円の時は15000円っつー事かな？

>>848
＞その仮定がどうやって出てきたのか？

ひとつの封筒の中身を見たら10000円だったと言う事実から
ＡとＢの二つのパターンを推定
問題文には金額の分布には振れていないので考えないとした

よって
Ａ:5000、10000の出現率を50%
Ｂ:10000、20000の出現率を50%
ですよ！

>>855
これってどの時点まで不確定な要素として扱うんだろう。

少ない方が5000円の時は、ってしたら多い方は10000円。
10000円は自分が選んだ方だからもう片方は5000円。
つまり期待できるのも5000円って事にならない？

>>557
＞これってどの時点まで不確定な要素として扱うんだろう。

もう一方の封筒の金額を見るまでは、不確定ジマイカ

>>858訂正
>>857が言う意味が今解った

少ない方が5000円とした時点で不確定では無くなるｗｗ

中に入ってた金額は10000円と仮定。

そうするとそこから+10000か-5000でしょ？
それぞれの確率が50%だから
10000×0.5-5000×0.5
=2500
で、期待値は2500。
交換しない方がよくない？

>>836
Aさんは主体性が無く優柔不断。
Bさんが車を買うとAさんは釣られて車を買う可能性が生じ、
結果として2人とも車を買う可能性の方が高くなる。

というのは置いといて
問題を見る限り「Aだけが車を買う確率」ではなく「Aさんが車を買う確率」
なので、どちらも買わない確率は
（Aさんが買わない確率）×（Bさんが買わない確率）
=(1-0.21)×(1-0.84)
=0.1264
じゃない？というわけで４番！
これだと2人とも買う確率が0.29にならないけどｗ

サイコロを振って
2or3or4が出る…役a > 確率3/6
4or5が出る…役b > 確率2/6

例１
サイコロを１つ振った時に
両方の役が同時に成立する確率=4が出る確率=1/6
役aも役bも出ない確率
1-(3/6+2/6-1/6)
=2/6

例２
サイコロを2個振った時に
サイコロ１では役aが出ないandサイコロ２では役bが出ない確率
=(1-3/6)(1-2/6)
=1/3

>>818の車の問題に当てはめると
例１は「とある人が車Aも車Bも買わない確率」
例２は「AとBの２人ともがとある車を買わない確率」

って考えで問題無い？
ちょっと混乱した。

＞封筒
もう片方の封筒が５千円か２万円と考えるならば
最初の金額が１万円ではなく100円であっても10万円であっても
もう片方の金額は1.25倍の期待がもてる事になる
よって、最初の封筒が少ない方であっても多い方であっても(どちらかは不明であるが50:50)
必ず交換した方が1.25倍の期待がもてるから交換した方が良い？

ならば、最初の封筒の金額を見ずに交換しても1.25倍になってるハズ…

例)最初の金額は判らないけど交換したもう一つの金額は１万円でした
最初の金額が気になるが判らないので推測してみる
５千円か２万円であろう…
交換しなかったら1.25倍になってたよｗｗｗ

>>862結論
最初の金額を見たなら、もう一つの封筒をもらう様にしよう
見ないなら、もらってからも見ない様にしよう

>最初の封筒の金額を見ずに交換しても1.25倍になってるハズ…

交換した封筒が1.25倍の期待が持てるなら
まだ見ていない方が0.8倍って事になる

交換した封筒の期待値を求めた方法で、まだ見ていない封筒の期待値を求めてみると
やはり1.25倍となる訳だから、明らかに矛盾している

よって期待値の求め方に誤りがある事になる

http://news18.2ch.net/test/read.cgi/slotk/1144742847/539-543

板は違えど、出題者は同一人物だよな。たぶん。

分布がわからないのに期待値が求まるわけないじゃん。
>>835氏はもうちょっと問題の本質を考えた方がいい。

まず、分布がわかっていれば問題が解けるのはわかるよね？
次に、封筒を開けたときに、その封筒が金額の少ない方である確率が
常に1/2になるような状況にしたいとするならば、
「すべての実数の中からランダムに数字を決める」ということが
できないといけない。
これが無理っぽいのもわかるよね？

>>866
> 分布がわからないのに期待値が求まるわけないじゃん。


E[Y/X]とE[Y/X | X=10000]が別物だということくらい、君でも理解できるよね。
E[Y/X]は分布がわからなくても決定できる。E[Y/X | X=10000]は分布次第で変わる。
>>851くらい読んでからレスしたらどう？

>>866が言ってるのは
　「すべての金額a円に対してE[Y/X | X=a] =1.25となる分布は可能か？」
ってことだろう。そういう分布を考えたいなら勝手にしてくれ。止めはしない。

オレは「E[Y] = E[Y/X] * E[X] = 1.25 * E[Y]という錯覚」を眺めてニヤニヤしておく。

>>867
E[Y/X]は分布がわからなくても決定できるの？

ああ、E[Y/X]は分布に関係なく1.25だね。スマソ。

ていうか「10000円だったときに交換すべきか？」という問題と
「E[Y] = E[Y/X] * E[X] = 1.25 * E[Y]って何？」という問題が
あるのね。
答えだけ言えば、前者は交換してもしなくても一緒。
後者はE[Y/X]=1.25は正しいけどE[Y] = E[Y/X] * E[X]が一般に間違い。

「E[Y/X]=1.25なのにXからYに交換しても期待値が上がらないのはなぜ？」
という疑問も出てくるが、これは引き当てた金額が大きいほど
Y/Xの期待値が小さくなるからだ（どんな分布でも）。

>>871自己レス
>前者は交換してもしなくても一緒
分布によるよね。何書いてんだ俺。

今の時点で、日本代表が決勝リーグに行ける確率って計算できる？
勝ち引き分け負けの確率は1/3として。得失点差があれだが

残りの試合で勝つ確率を出してから来てくれ

＞封筒
少ない方の金額をχとするとχと２χの組み合わせが出来る
どちらかを貰う場合の期待値は１.５χとなる

ココまでは、間違いないよな

＞一方を勝手に選んで開けてみたら１万円入っていました。

多分ココで勘違いしてしまう

χの値を知るには二つの封筒の金額を見ないと判らないが
一つ目を見た時点では、判らないだけで既に決まっているからである
χ＝5000円ならば、もう一つの封筒には5000円って事になっているし
χ＝10000円ならば、もう一つの封筒には20000円が入っていた事になる

取替えた場合の期待値もやはり１.５χとなるだけで
χの値は、二つ目の金額を見て知る事が出来たが、最初から決まっていた。

最初に見た時点で勝敗がついていたのだ(判らないだけで)

交換したら5000円or20000円って考えは間違いで
χが5000の時は取替えたら5000円になるだけ
20000円になる可能性は、全くないのよ
これならよいか？

>>875
取り替えた後の中身をみるまではいくらかはわからない。
わからない事に確率を当てはめるのは間違ってるのか。

自分が最初に多い方を選んだ確率は50%
少ない方を選んだ確率も50%　…１

という事は交換した方が増える確率50%、減る確率50%　…２

それぞれの確率と期待できる金額から期待値を求めて
期待値は12500もしくは>>860的に2500　…３

最初に見た額が10000円だとして１、２、３のどの時点で間違ってる？

>>876
＞わからない事に確率を当てはめるのは間違ってるのか。

当てはめ方に間違いがある
最初にどちらを選んでも期待値は１.５χ
つまりは、残りの封筒も同じく１.５χだろ？
問題なのは、最初の金額を見た事なんだが
10000円だったら残りの封筒の期待値が変わるって変だろ？
やはり、この時の期待値も１.５χになるのよ

χの値は判らないだけで最初から決まっていたから
この考え方だ正しいと言える

>>876
分布にもよるが、一般に引き当てた金額が大きいほど、
そのときの多い方を選んだ確率が大きくなる。
だから「交換すると期待値が増える」は間違い。

分布が不明だと10000円だったときに交換すべきかどうかはわからない。
ただ、毎回交換すると決めていても期待値が変わらないのは確かだ。

>>878
＞分布にもよるが、一般に引き当てた金額が大きいほど、

何に対して大きいとか判断するんだ？
10円に比べたら１万円は大金
100億円に比べたら１万円は、はした金

>>879
だから分布がわからないと判断はできない。
ただ、どんな分布でもそういう傾向が出るために
毎回交換しても期待値が増えない。

>>880
スマン、
分布が判れば、一般に引き当てた金額が大きいほど、その時の大きい方を選んだ確率が高くなるよね

解ったぞ！
>>876の
＞最初に見た額が10000円だとして１、２、３のどの時点で間違ってる？

間違っているのは、明白なのだが、いったいどこが間違っているのか考えていた

＞それぞれの確率と期待できる金額から期待値を求めて期待値は12500…３
↑
やはりココである

取替えた時、5000円になるか20000円になるか、それぞれの確率が50%であれば、
5000円が出てから、封筒にお金を戻して、
もう一度お金を見たら今度は20000円が出て来るかもしれない事になる

判らない事→最初の金額が大きい方なのか小さい方なのか
決まっていた事→交換した封筒の金額
決まっていたので5000or20000と言う考えは、おかしい

>10000円だったら残りの封筒の期待値が変わるって変だろ？
>やはり、この時の期待値も１.５χになるのよ
深く考えないとなるほどと思う。
深く考えるとその１.５χの求め方はどうやるんだろ？

>分布が不明だと10000円だったときに交換すべきかどうかはわからない。
ほんとはわからないはずなんだけどね…。
わからない、って事が式で出ないのが気持ち悪い。

分布に関しては俺の知識が不足しててよくわからないんだけど
>>881の辺りはなんとなくわかった。
現実には分布のわからない状況ってたくさんあると思う。
この問題も問題文を見る限り分布には触れられてないから
わからないものとして扱うと思ってたんだけどそこには何か問題ある？

>決まっていたので5000or20000と言う考えは、おかしい
10本に1本当たりのあるアイスを1本買った後に
このアイスが当たりでである確率は10%、というのはおかしい？

>深く考えるとその１.５χの求め方はどうやるんだろ？

10000円を見た時点で、１.５χが15000円か、7500円かのどちらか、ってことは分かるがそれ以上は分からない。
ましてやかならず1/2の確率でどちらかになる、なんて結論は出ない。

>わからない、って事が式で出ないのが気持ち悪い。

金額の期待値を求める情報が揃ってないので、期待値から見て得かどうかの判断はつかない、ということ。
わからないもんはわからないよ。
極端な例だが、X=10,Y=5です。Zはいくらですか？とか聞かれても「分かりません」というしかないだろ？

>決まっていたので5000or20000と言う考えは、おかしい
これは特におかしくないよ。明らかに開封者から見れば、5000円か20000円に限定されるわけだから。ただそれぞれが1/2の確率で起こる、という仮定は問題からは出てこない、ってだけで。

>（分布が）わからないものとして扱うと思ってたんだけどそこには何か問題ある？
問題ないよ。
分布が分からないからこそ、金額の期待値（上の人が言ってる１.５χではなく、10000円を見たときの次の封筒の期待値、の意味ね）が求まらず、よって期待値で損得を出せない。

ただ、分からないと言っても現実の状況としては、封筒に金入れた人の財力や開封者の判断で多い少ないの判断はするもので個々人で分布は持っている、ともいえる。
例えば親の年収が大体同じぐらいの小学生10000人ぐらいに、親が10000円と5000円の封筒を用意して、一人一人に「お年玉やで」といってこの実験を行う。
約半数が10000円を開けて、約半数が5000円を開けるわけだけど、おそらく10000円をあけた子供の方が5000円をあけた子供より交換する人数は少なくなるんではないかな。
子供は必ずしも期待値計算をするわけじゃないけど、金額を少ないと感じたら変えるし、十分だと感じたら変えないだろう。この金額の感じ方が子供の封筒の金額に対する分布の結果だ。
今の子供のお年玉事情は知らんから、全員変えるかもしれんがｗ。

>決まっていたので5000or20000と言う考えはおかしい
これはもう少し説明しておこうか。

10000円を見た人から見れば、封筒が（5000,10000)か（10000,20000）のどちらかだったはず、とわかるだけだから、次の封筒が5000円か20000円しかありえないはずだ、という考えは間違ってはない。

ただ、それがどちらであるかの確率が1/2というのが必ずしもそうではない。

要は元がどっちだったとしても、大きい方を選ぶ確率と小さい方を選ぶ確率は1/2、というのは間違いないけど、これから次の封筒が5000円か20000円である確率も1/2、という結論は出てこない。

後者の確率を求めようとする（即ち金額の期待値を求めようとする）と、封筒が（5000,10000)か（10000,20000）のどちらだったかの確率に関する情報がいるわけで、それが上の人たちが分布と言ってるもんだ。

一応、きちんとした式で書くと、１枚目をX、２枚目をYとして、知りたいのは
E[Y|X] (Xが分かった条件の下でのYの条件付期待値）
なんだけど、これ自体が確率変数なんだね。

最初が(a,2a)と固定されていると考える、即ち考えている確率空間が(a,2a)であれば、XもYもE[Y|X]も、確率1/2でa、確率1/2で2aになる確率変数で、当然その期待値は皆同じ。

E[Y|X]に関して説明すれば、
確率1/2でX=aが起こったときはYは確率1で2aだから、その期待値は2a、
確率1/2でX=2aが起こったときはYは確率1でaだから、その期待値はa、
という感じ。これが条件付期待値の概念。

で、今、X=10000を見て、元が（5000,10000)か（10000,20000）のどちらか、ってことはわかるがその確率は、元の金額構成に対する新たな情報（元の金額の分布だね）がないと判断がつかない。
よって、期待値という言葉をあえて使えば、
自分が大きい方を取っていれば、次は確率1で5000なので、交換した方の期待値は5000
自分が小さい方を取っていれば、次は確率1で20000なので、交換した方の期待値は20000
ということが分かるだけ。どっちが可能性が高いか、ってことは分からない。

この期待値の期待値を求めたければ、見た10000円から、元がどっちの可能性が高いか、という推論ができる情報（分布）がないとこれ以上は進めない。

なお、
E[Y|X]=E(Y/X)*X|X]=E[Y/X|X]*X
という変形はできる（これは正しい）が、よくある錯角がE[Y/X|X]はXがなんであってもE[Y/X]と同じで1.25、すなわち
E[Y|X]=1.25*X
だろ、という錯角。本質は、E[Y]=E[Y/X]*E[X]という錯角と同じ。

E[Y/X|X]は、固定された空間(a,2a)で考えれば確率1/2でそれぞれ2と0.5を取る確率変数だし、
E[Y/X|X=10000]というように、10000円を確率変数の実現値として捉えて期待値を求めたいのなら、元の空間の分布が必要になる。

>>885
解り易い解説、ありがとうございます

>>882の
＞判らない事→最初の金額が大きい方なのか小さい方なのか
＞決まっていた事→交換した封筒の金額

に対して>>883で
＞10本に1本当たりのあるアイスを1本買った後に
＞このアイスが当たりでである確率は10%、というのはおかしい？

とレスがありましたが、アイスの場合は、当たりが10本に1本と言う、
分布状況が示されているから、１/１０で良いのですかね？

これで良いならですよ、封筒の場合も大きい方を選んだ確率が
１/２分布状況と考えても良い事にならないかな？

>>887
885ではないが。
アイスの場合は、買っただけで何も情報を得ていないから1/10でいい。
封筒の問題で言えば、封筒を選んだけど中を見てない状態。
中身を見てなければ封筒の問題でも1/2としてよい。

問題は、中身が10000円という情報を得た後だ。
例えば、金額の上限は15000円ですと最初に言われていたら、
この時点で金額の大きい方を選んだことが決定してしまう（確率1）。
アイスで言えば、アイスを食べ終わって「あたり」の文字を見たら
当たりの確率は1/10じゃなくて1になる。

実際は、上限が与えられていないからこう簡単にはいかない。
情報がないので判断のしようがないが、必ず何らかの決定した分布はある。
で、「交換したら期待値が1.25倍になる！？」という疑問だが、
その、ある決定した勝手な分布に対して、金額が大きいときに交換すると
失敗するケースが必ず多くなる。どんな分布でも。
（例えば、上限金額を引いたときは交換すると失敗する。上限がなくてもこの傾向はある）
その結果、期待値は1.25倍じゃなくてピッタリ1倍になる。

結論は、毎回交換しても期待値は変わらない（当たり前）。
10000円だったときに交換すべきかは情報不足で不明。

ちょい補足。
金額が大きいと交換しない方がいいっていうのは、
例えば、
10000円だったら、20000円の確率が0.4、5000円の確率が0.6、
1000円だったら、2000円の確率が0.7、500円の確率が0.3、
みたいになるってこと。
確かに交換したときの「倍率の」平均は1.25倍なんだけど、
「金額の」平均はやっぱり1倍で変わらないんだよね。

1/35の確率で当たるルーレットが35回嵌る確率は約36.2564%
1/350の確率で当たるルーレットが350回嵌る確率は約36.7353%
1/3500の確率で当たるルーレットが3500回嵌る確率は約36.7827%
分母が大きくなればなるほど嵌る確率が高くなるのが不思議｡
分母の数がとてつもない大きい数になれば嵌る確率は100%に近づくのでしょうか?

>>890
＞嵌る確率

ココでは外れる確率と表現したほうが良いな

>>890
exp(-1)=0.367879441... に収束する。

俺のチンコが裕子と一緒に逃げて行ってしまう確立

>>804の問題は分布が不明だから数学的に扱いにくい。
以下の議論は参考になると思う。

特殊な例になるが、次のように分布を定める。
『p(1-p)^nの確率で封筒に2^n円および2^(n+1)円入っている。』
ただし0<p<1/2, nは非負整数。
この場合、金額は2^nで表される値しかとらないが、大した問題ではない。
この分布について、一方の封筒を開けた時その中にX円入っていた場合の、
他方の封筒の中の金額Yの期待値E[Y]を計算してみると、
X=1のときE[Y]=2
X≧2のときE[Y]={(5-4p)/(4-2p)}X
となる。
ここで0<p<1/2より1<(5-4p)/(4-2p)<5/4だから、X<E[Y]が成り立つ。
よって、期待値が高い方を選ぶという方法をとる限り、取り替えるべき。

>>894
＞ここで0<p<1/2より1<(5-4p)/(4-2p)<5/4だから、X<E[Y]が成り立つ。

E[Y]=1.25Xじゃないの？

難しくて良くわかりませんが、
X<E[Y]だとしても>>864に戻るとループしてしまいますが

>>895
『p(1-p)^nの確率で封筒に2^n円および2^(n+1)円入っている。』
と定めたことに注意。（pは定数）
X≧2のとき、Y=X/2である確率とY=2Xである確率の比は1:1-pなので、
それぞれの確率は1/(2-p)および(1-p)/(2-p)となる。
よってYの期待値は
E[Y]=(X/2)*1/(2-p)+2X*(1-p)/(2-p)={(5-4p)/(4-2p)}X
と計算される。
pの値が0に近いほどE[Y]は(5/4)Xに近づく。

ちなみにこの確率分布は、サイコロを使って簡単に実現できる。
サイコロを1の目が出るまで振り、1以外の目が出た回数をnとすればよい。
このとき(1/6)(5/6)^nの確率で2^n円および2^(n+1)円が封筒に入れられる。
X≧2のときのYの期待値はE[Y]=(13/11)Xとなる。


＞X<E[Y]だとしても>>864に戻るとループしてしまいますが

選んだ封筒の中の金額を知ったかどうかが重要。
知る前と後では状況が違う。
もっとも、中を見るまでは金額の期待値はどちらの封筒も∞だから、
互いが他の5/.4倍だとしても矛盾は無いとも考えられる。

この問題ってさぁ
封筒の中身が「負でない」なんて書いてないじゃん。
てことは、封筒の中身が−１万だったら、
交換するのは損じゃんｗ

封筒開けて1万でてきたとあるんだから負じゃねーだろｗ

001223の６枚の紙がある
一枚見てまたふせるを４回やりその和をＰとする。
Ｐが２になる確率は？

今夜は、早く帰らなくっちゃ！
http://tv.starcat.co.jp/channel/tvprogram/0404200606191900.html
運命の数字くりぃむ上田晋也が幸せになる奇跡の方法教えます!!
必見…ダイエットの嘘リバウンドの確率発表&年収3億とセレブ婚
&主婦が株大もうけ?卒業文集の夢に有田も感動
・W杯日本代表になれる確率▽芸能人の奇跡
・25兆人に1人?
[出]くりぃむしちゅー
チャンネル: 11ch : メ〜テレ
放送日時: 6月19日(月) 19:00-20:54
Gコード: 531109

[詳細] 運命の数字◇世の中のさまざまな確率を算出し、
未来を大胆予測する。ゲストのタレントたちが10年後も
芸能界で生き残っている確率をはじき出す。
テレビ朝日系列局の編成担当者にアンケートを行い、
その答えをサンプルとして確率を割り出す。
果たして誰が生き残り、誰が消えているのか。
また、外国人セレブと結婚できる確率を探る。
玉のこしを狙う飯島愛が、外国人セレブとの見合いに挑戦。
彼女はあこがれのセレブのハートを射止められるのか。
ほかにダイエットした人がリバウンドする確率などに迫る。
司会は上田晋也と真鍋かをり。

>>896
期待値が無限大とはいえ、
実際にすべての金額に対して交換すると期待値が増えるのは不思議。

例えば、サイコロを使って２人でこのゲームをやるとする。
お互い100回ずつやって得た金額が大きい方が勝ち。
（封筒にはお金じゃなくて金額を書いた紙を入れるなどする）
このゲームで勝とうとするとき、封筒を選んで中身を見た後、
中身が１円だったら交換するのは当然として、
中身に関係なく交換した方がいいというのはおかしい。

多分、100回ずつという回数が少ないとか、
実際にはサイコロで１の目が連続して100000回出ないことは
あり得ない（確率の問題じゃなくゲームを何日もやり続ける人はいないから）
とかいうことが影響しているんだろうな。
無限が絡むと難しいな。

>>901
中身に関係なく交換した方がいい、ではなくて
中身の金額を知ってしまったら、（期待値で損得を考えるなら）交換した方がいい
なんだけどね。両者は違うよ。

もっと簡単な問題にして、
期待値が∞の分布からサンプルを取って、ある有限の値を得た
という状況で、もう１回同じ分布からサンプルを取っていいよ、と言われたら、当然期待値で考えればもう１回サンプルを取るよね。
期待値は∞なんだから。

有限の値を確認した時点で、無限の値が期待できたものが有限になってしまう、ということ。

違和感を感じるのは、期待値無限の分布など現実的には無い、という感覚があるからだと思うよ。

>>902
そういうことは考えた。
でも、中身を見て交換するのと、中身を見ずに交換するので
期待値に違いが出るのが納得できないのだ。

>>901
＞お互い100回ずつやって得た金額が大きい方が勝ち。

このルールでは、金額を見たあと変えても変えなくても勝つ確率は同じ。
確率と期待値は別物。

>>904は金額を見る前の話だった。
見た場合は変わってくる。
>>894のp=1/6の場合で、2人が順に1回ずつゲームをするとする。
まず先攻が封筒を選んで開けたら2円だったとすると、変えるべきかどうか。
変えない場合、そのまま2円。
変える場合、1円の確率が6/11、4円の確率が5/11。
後攻は、1円の確率が1/12、2円の確率が11/72、4円の確率が55/432、8円以上の確率が275/432。
よって変えない場合、勝つ確率1/12、引き分ける確率11/72、負ける確率55/72。
変える場合、勝つ確率85/792、引き分ける確率491/4752、負ける確率341/432。
つまり、変える場合は変えない場合に比べて、勝つ確率が増えるが、負ける確率も増える。
というよく分からない結果になったが、特殊な例なので何とも言えない。

>>904
期待値が高いほど勝つ確率が上がるゲームでないので、
確かにその通り。

>>905
このゲームの勝ち負けに関しては計算すれば完全にわかる。
だから100回の合計金額にしたが、これでも同様だろう。
例が悪かった。

問題は、
最初から交換すると決めているのに
見ずに交換するか見て交換するかで
期待値が変わるのはなぜか。
まあ、この期待値は両方無限大なのだが。

本当に実際にやってみると、サイコロを振る回数や
書き込む金額に上限があるので、
フツーの分布になって万事解決なんだけどね。

有限の値を取った場合は期待値上がるのはわかったけど、無限の値を取った場合はどうなんの？

>>907
期待値は無限大だけど、封筒の中身は常に有限だよ。

>>906
金額を見た後であれば、その情報によって、交換したほうがよいことが分かるが、
それがいくらであっても同じ結論になるからといって、
金額を見る前の時点で交換することを予め決めておくことには全く意味が無い。
交換したほうが期待値が大きくなるのは、あくまでも金額を見た後の時点で、
その金額を元に計算した結果だから。

「中身が幾らまでだったらそれを手離して交換しますか？」という問いにすれば
その人が「無限」をどのくらいの大きさに見積もっているか測れるんじゃないだろうか。
私なら百万円出てきたらもう取り替えない。

>>909
そんな理屈はわかってますよ。
じゃあ、見て交換るのと見ないで交換するので
実際にやってみたら結果が変わるの？

>>911
結果とは何の結果だろうか。
いくらもらえるかという意味なら、もちろん大抵は異なる結果だろうし、
どちらがより儲かるのかといえば、期待値は同じ。
今言った期待値というのは、金額を見る前の時点での期待値という意味。

見る前に交換する場合と見た後に交換する場合の違いは、こうだろう。
見る前に交換する場合、期待値は∞だったのが∞のまま。
その後で交換後の封筒の金額を見れば、その金額を得ることになる。
見た後に交換する場合、期待値はXだったのがXより大きい有限値になる。
その後で交換後の封筒の金額を見れば、その金額を得ることになる。
そんなことは分かってると言われそうだが、これだけの話。

>>912
封筒の中身を見た後、交換すると期待値が上がるが、
これをゲームの勝ちに生かせるケースはないかな？

いや、毎回曖昧なことばかり言ってすまないが、
「交換したら必ず期待値が上がるなんて不思議」という
自分の気持ちの正体がわからないのだ。
912の内容を完全に理解しているつもりなのに不思議だと
思うのは何を勘違いしているのだろう。

>>913
封筒に１と２の番号がついてるとしようか。

金額を見るなら、１の金額を見ても、２の金額を見ても、期待値でいえばもう片方に交換した方が得になるから、結局は最初に選ぶのがどっちかという1/2の確率で損得が決まる、ってことになる。

ってことで、期待値が上がるから最初から交換することに決めておく＝最初にどっちを選ぶか決めておく、ということになる。

結局、金額を見た後の期待値で損得を判断する限りは、最初にどちらを見るか、ということに損得の結果は帰着してしまうわけだな、この例の場合は。

数式で言えば、１枚目をX、２枚目をYとして、
a) E[X|Y]>Y a.e.
b) E[Y|X]>X a.e.
が両方とも成り立つ場合が、E[X]=E[Y]=∞の場合はありうる、ということ。

E[X]=E[Y]が有限確定なら、a)とb)の両辺の期待値を取ると、
a)からはE[X]>E[Y]、b)からはE[Y]>E[X]となるから、a)とb)はどちらか片方すら成り立つことはありえず、選んだ金額によってもう一方の期待値が見た金額より大きい場合と小さい場合が必ず出てくる。

やっぱり、E[X]=E[Y]=∞が現実問題としてはありえない状況である、ってことが頭にあるんじゃないか？

封筒の中身が常に有限値しか取らないのなら最初から期待値は有限なんじゃないの？

>>915
有限値しか取らないけど上限が無い、ということで、「無限」という値があるわけじゃないよ。
期待値が発散する分布はたくさんある。

>>912
＞いくらもらえるかという意味なら、もちろん大抵は異なる結果だろうし、

これはそれぞれを別々に行なった場合を考えて言ったのだった。
封筒の中が同じ状況で行なった場合は、見る前に交換しようが見た後に交換しようが、
最初に同じ封筒を選ぶなら同じ金額がもらえるに決まっている。
にも関わらず、見る前に交換するのは損得が無く、見た後に交換するのは得であるように見える。
これが>>913の疑問だと思われる。
損得というのは、何か基準があってそれを元に考えるものである。
封筒を見る前と見た後では手にしている封筒の金額が期待値として異なるのだから、
それを元に損得を考えれば異なる結論になるのは当然である。

>>914
ありがとう。少し理解が深まった気がする。

>やっぱり、E[X]=E[Y]=∞が現実問題としてはありえない状況である、ってことが頭にあるんじゃないか？
実際にありえないから実験できないんだよね（サイコロを振れる回数に限界があるから）。
このゲームの期待値が無限大であることは理解しているつもり。

>>917
期待値が無限大だから、封筒を開けた時点で、思ったより金額が少ない、
だからそれと比較すれば、交換したときに期待値が増える、ということかな。

ここで、期待値が無限大のゲームは実際にはありえないから
（ありえないのはお金を用意できないからというより、机上のゲームでも無理）
矛盾したような結果でも問題ない、というのはダメ？
実際、ある時間制限（１年とか）があるときにサイコロ（有限スピードの乱数発生器）を
使ってこのゲームは再現できない。

＞期待値が無限大だから、封筒を開けた時点で、思ったより金額が少ない、
＞だからそれと比較すれば、交換したときに期待値が増える、ということかな。

封筒の中を見た時の金額と、見る前の期待値∞を比較してはいけない。
最初に取った封筒の中の金額と、それを元に計算したもう1つの封筒の金額の期待値を
比較した結果、後者が大きいというだけのこと。（分かっていると思うが。）

＞ここで、期待値が無限大のゲームは実際にはありえないから
＞（ありえないのはお金を用意できないからというより、机上のゲームでも無理）
＞矛盾したような結果でも問題ない、というのはダメ？

それでは何の解決にもならないと思われる。
期待値とはこういうふうに振舞うべきものだという何か固定観念のようなものがあるのだろう。

あ、あと、このゲームを実際に自分がやっているとして、
封筒の中身を見た後に交換してもいいという条件だったら
（期待値を追求するとして）見た後必ず交換したい？

ここまで考えてきて、俺なら毎回交換する。その方が期待値が上がるから。
にもかかわらず、そうして自分が得る封筒の中身の分布は
交換しない人のそれと全く同じになる、よね？
今からちょっと計算してみる。

>>919
リロードしてなかった。

＞前半
その通り。書き方が変だった。
期待値が無限大だからこういう現象が起こるんじゃないか、
みたいなことを言いたかった。ごめん。

＞後半
例えば、1号室,2号室,3号室,・・・という無限個の部屋のあるホテルで、
満室のときでもk号室の人にk+1号室に移ってもらえばもう一人収容できる。
満室でももう一人入れるというのは「固定観念」に反しているが、でも入れる。
そういう意味の固定観念ならそうだと思う。

>>920の分布、何というか、当たり前のように同じだ。
上がった期待値はどこに消えたんだ。

・金額を見た後で交換したら（交換前より）期待値が増える
・毎回金額を見た後に交換しても得る金額の分布は全く交換しない場合と比べて変わらない
この２つは正しいと思うけど、これをどう納得したらいいかわからない。

＞あ、あと、このゲームを実際に自分がやっているとして、
＞封筒の中身を見た後に交換してもいいという条件だったら
＞（期待値を追求するとして）見た後必ず交換したい？

今はどちらでも構わないと考える。
封筒の中身を見た後なら交換したいと自分が考えるだろうということは、今の時点で予想できる。

＞ここまで考えてきて、俺なら毎回交換する。その方が期待値が上がるから。

その期待値というのは、どの時点で考える期待値だろうか。

＞期待値が無限大だからこういう現象が起こるんじゃないか、
＞みたいなことを言いたかった。ごめん。

それはその通りだと思う。

＞そういう意味の固定観念ならそうだと思う。

それならば話は早い。
単純に、この問題の結果を受け入れればいいだけだろう。
もちろん納得するまで考えた上で。

＞上がった期待値はどこに消えたんだ。

無限ホテルの空き部屋はどこにあったんだ。

＞この２つは正しいと思うけど、これをどう納得したらいいかわからない。

期待値が増える、の期待値は金額を見た後に考えた期待値。
分布は変わらない、の分布は金額を見る前に考えた分布。

>>923
>その期待値というのは、どの時点で考える期待値だろうか。
も、もちろんそのターンで交換しないより期待値が上がるという意味。
ただ、もし無限回このゲームができるなら交換する意味はないと思う。
仮にゲームを１回しかできないとしたら、目的が期待値なら必ず
交換すべきではないだろうか。
（目的が期待値な状況が想像しにくいが）

>もちろん納得するまで考えた上で。
その納得ができない。。
結果を受け入れるのは（おかげさまで）もうできてる感じがする。
無限というのはそういうもんだ。まだ理解不足ではあるが。

>無限ホテルの空き部屋はどこにあったんだ。
それは納得できるんだよねえ。。
ただ、無限ホテルのアナロジーで納得できる期待はしている（考え中）。

>分布は変わらない、の分布は金額を見る前に考えた分布。
交換すると心に決めてはいるけど金額は見ていないときの分布か。
でも、毎回交換して期待値上げてるんだよ、分布もあがりそうじゃん！
自分が間違ってるとわかっているのに納得できねえ。。

>>924
>>921の言うとおりだが、
期待値が無限という状況があると、その感覚的に矛盾と思ってる状況が矛盾じゃない状況が作れる、ってだけだよ。

封筒の問題は見た後に交換する方の期待値が有限になるような設定になってるので少し複雑だが、次の例はどうだ？

独立同分布で期待値が無限に発散する２つの確率変数XとYがあれば、
Xの実現値を知って、Yを知らなければ、Yに交換した方が期待値は当然増える。逆もしかり。
が、XもYも（確認する前では）当然分布は同じ。

確認する前と後とで、期待値による判断が変わるのは矛盾ではない、ってだけ。

>>925
>>923の言うとおりだが、だなｗ

>>925
なるほど、その例は簡単に納得できた。

ゲームの内容を少し変更してみよう。
金額の分布は>>894と同じだが、
その分布で独立した2つの封筒を渡される。
片方の中身を見たら、交換してもいい。

このゲームなら交換すると期待値が増えるけど
毎回交換しても金額の分布は変わらないのが納得できる。

ああ、元のゲームのも少し納得しかけてきてような気が。。
（効果音：パァァ）

＞も、もちろんそのターンで交換しないより期待値が上がるという意味。

金額を見た後の時点での期待値という意味なら、もちろん上がる。
しかしそれは「金額を見た後に交換する」ということを金額を見る前に決める根拠にはならない。
金額を見てから、交換するかどうかを判断すべき問題である。

＞ただ、もし無限回このゲームができるなら交換する意味はないと思う。

金額を見た時点では、その回のゲームに限って言えば、交換する意味があると言える。
金額を見たか見ていないかで交換の意味は変わる。

＞仮にゲームを１回しかできないとしたら、目的が期待値なら必ず
＞交換すべきではないだろうか。

常に期待値を考えながらということであれば、交換することになるだろう。

＞ただ、無限ホテルのアナロジーで納得できる期待はしている（考え中）。

果たしてできるかどうか。
ある意味似ているとは思うが。

＞でも、毎回交換して期待値上げてるんだよ、分布もあがりそうじゃん！

金額を見た後の期待値を上げたからといって、見る前の分布が変わるわけではない。

>>928
とりあえず半分くらいすっきりしたので感謝。

>金額を見る前に決める根拠にはならない。
必ず交換すると最初から決めているのと
金額を見てそれが有限値（毎回そう）だったら交換するのと
違いがあるのか。
（分布が変わらないのは納得した上で言っている）

>金額を見たか見ていないかで交換の意味は変わる。
そこだなあ。
期待値が有限の分布なら金額を見るのと見ないので
交換すべきかどうかが変わるから見る前に決められないんだが、
この場合だと見る前から交換すべきだとわかっているからなあ。
だから、「見た」と「見てない」の違いがわかりにくい。

>>929

＞必ず交換すると最初から決めているのと
＞金額を見てそれが有限値（毎回そう）だったら交換するのと
＞違いがあるのか。

結果として違いはないよ。必ず１枚目を見るのなら、最初から「見てから交換する」と決めておけばいいよ。それで期待値は上がる。

ただそれが、「何を見ても交換するんだから見なくても交換した方が期待値が高い」、という結論にならない、ってこと。

２枚目の期待値は最初に見た金額Xの関数（条件付期待値だけど、f(X)と書いておこうか）だけど、

1) １枚目が何であっても交換した方が期待値が大きい（X<f(X)）

から、

2) したがって、最初から交換した方の期待値の方が大きい（E[X]<E[f(X)]）

は言えない、ってこと。理由は分かるよな。2)の両辺が無限、すなわち
E[X]=E[f(X)]=∞
となるからだ。

見るか見ないかで交換の意味、というか期待値の意味が変わる、というのは1)と2)の違い。

百個のくじの中に一つだけ当たりがあるとします。

百人が一つづつ引いて減らしていく場合、何番目に引いたら当たりやすいでしょうか？

>>931
何番目でも同じ。

見てから交換するのと見ないで交換するのでは期待値が違うの？

全く理解できない。

AとBの封筒があるよね

Aのほうに高い金額がはいってるような気がしたので、Bの封筒を選ぶ。
Bの封筒を開封して金額を確認した後Aに交換する。

Aのほうに高い金額がはいってるような気がしたので、Bの封筒を選ぶ。
どうせ交換することは決まってるので、見ないでAに交換する。

前者と後者では何が違うの？
同じだろ、どう考えても。

そもそもAのほうに高い金額がはいってるような気がしたなら、
最初からAを選んで交換しなくても同じだろ。

アホ？

>>933
そういう風に考えるとおかしく感じるかもしれない。

開封者にとっては、

AとBをどちらを選んでも、期待値が無限になるような確率である金額を入れてあげる。
また、その選んだ方の金額を見た後なら、期待値が今見た金額より高くなるような確率でその倍か半額の金額をもう一つの封筒にいれてあげる。

という設定と同値の問題設定になっているんだよ。

元の問題設定では最初にAとBの金額が同時に決定されるからこの同値性に違和感を感じるかもしれないけど、元々の期待値が無限ならば可能なんだね。

んー、そもそも「期待値無限」に違和感があるんだよなあ・・・

> 見当違いな議論を眺めてニヤニヤするしかないんだから心理トリックだろう。

>>934
＞という設定と同値の問題設定になっているんだよ。

なぜそうなっていると言えるか説明できるか？

分布については何も書かれていないとしか思えないが。
何も書かれていないから、こうであるに違いないと勝手に思いこんでいるだけではないか？

>>937
>>894の話だよ。

だから勝手に定めてんじゃねえよって話だ

>>940
元々の問題はそうですね。

でも、>>901以降ぐらいからは、>>894のように分布を設定したときの結果で違和感がある人の疑問、説明というお話の流れでしょ。

>>930
なるほど、そういう意味か。

こんなケースはどうだろう。
このゲームの２枚の封筒を、自分と友達が１枚ずつ受け取る。
それぞれ別室でこっそり開けて、その後交換する。
この交換はお互いにとって（期待値で）有利か？
自分の立場でいうと、今までと同じで交換した方がいい。
だが、これは友達の立場でも同じことが言える。
２人共期待値が上がるけど、「各自の見た金額に比べて」だから
別に問題ないか。
意外とつまらない例だったな。

>>935
何回もゲームを繰り返すと、「合計金額÷ゲーム回数」が
ほぼ確実にドンドン増えていく状況っていうか。
(1/2)^nの確率で2^(2^n)円もらえるゲームとか。
ただ、イメージが難しい、ていうか普通の感覚では無理なんだろう。
なにしろ期待値無限のゲームは実際に再現できないからね。

>>940
>>894の分布は期待値無限大ではない。>>934は何の話をしているんだ？

>>934
> 元の問題設定では最初にAとBの金額が同時に決定されるからこの同値性に
> 違和感を感じるかもしれないけど、元々の期待値が無限ならば可能なんだね。

>>942
いや、ちゃんと無限大だよ。計算してみ。

>>932
あんた頭が固いね。

男なら一番最初に引くんだよ！二番目なら負けと思え！

分かったらもっと勉強しろよ。。。(^ .^)y-~~~

全部で5種類の景品があるクジを7回引いて5種類全てが揃う確率を教えてくれ
クジはハズレなし、5種類の景品それぞれが当たる確率は同じ

>>945
1-(C[5,1]*(4/5)^7-C[5,2]*(3/5)^7+C[5,3]*(2/5)^7-C[5,4]*(1/5)^7)
=672/3125
≒21.5%

talk:>>944 それでは残り99人の女はどうするのだ？

>>945
５種類の景品をそれぞれＡ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.Ｅとして
１回目にＡが出たとします
２回目にＡを引く確率は、１回目よりも悪くなるハズなんだが
これも、同じだと言うからには、どう言う抽選方法が考えてみたよ

Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.Ｅそれぞれ１本ずつのクジを７組用意する
それぞれの組から１回ずつ引いて行く(１度引いた組は使用しない)

こう言う事でおｋ？

>>948
そんなのは>>945とは関係ないんだから勝手にすればいいじゃん

独立試行の確率の問題なんですが

一個のさいころを一回投げるとき、出る目の期待値を求めよ。
ってあるんですが具体的には何を出したらいいんですか？

確率と値をかけたものの和

じゃあ３.５ってことですか？

うん

テポドンの成功率

それを言うならテポドン２でしょ？
前のと合わせて1/2ということかな？ｗ

成功率が１/２として
７発も発射した場合の失敗する確率は、いくつだぃ？

全て失敗する確率なのか、１発以上失敗する確率なのか。

一年百三十五日一時間。

52+Joker1枚を使ってn人でババ抜きやったとき、天和(開始前の捨てる場面で全部消える)の確率ってどれぐらいなんでしょうか。
以前計算してみようと思ったときには、頭こんがらがって何とも。

ｎ＝26の時は簡単に出そうだな

>>960
というより、n=26かn=13じゃないと少なくとも2人以上は最初に奇数枚が配られるから、その場合は確率ゼロだな。

ｎ＝１，２，３，９，１３，２６，２７。

age

↑とてつもない馬鹿の降臨記念パピポ

確率1/42が常に一定のｸｼﾞで、6900回試行して当り132回、確率1/52.3となりました

一万人に一人の割合で患者がいる病気の試薬がある。この試薬は、その病気の患者に対して用いると90％の確率で陽性反応を示すが、
患者でない人に対しても1％の割合で陽性反応を示してしまうことが分かっている。
この試薬をある人に対して用いたところ、陽性反応が出た。この人が本当にこの病気にかかっている確率を求めよ。

１０万人のサンプルから考えて

感染なし反応なし99000人
感染なし反応あり　990人
感染あり反応なし　　1人
感染あり反応あり　　9人

およそ０.９１％
試薬としては使えません

クリップが家になる確率
http://oneredpaperclip.blogspot.com/

ｎ個のサイコロを2回振り、同じ目となる確率

>967
100万人のサンプルから考えて
感染なし反応なし989901人
感染なし反応あり9999人
感染あり反応なし　　10人
感染あり反応あり　　90人

およそ0.89％
試薬としては使えません

6*6席順の教室で気になるあの子と隣になる確率

策をめぐらせて100％

>>959の例から導かれる
　陽性だった時は陰性だった時に比べて約890倍の確率で感染している。
と、一般的に言われる
　１日25本以上の喫煙者は非喫煙者と比べて5.3倍の確率で肺癌になる。
は同じようなもん？

例えば、正確な試薬があるけど高価だという場合、
まず精度の悪い試薬を使ってみて陽性だった人だけ
正確な試薬を使うとか。
それでも患者の１割の見逃すというのは痛いなあ。
まあ、役に立つかどうかはケースバイケース。

>>969 1/6

クリップが家になる確率
http://oneredpaperclip.blogspot.com/

187

質問です。

12 ある標的に向けて銃を 22 発撃ちます。
1 つの目標に 4 発命中する確率と計算式を教えてください。

巨人が優勝する確率を理論的に

>>978 基準が無い物をどう計算しろと？と釣られてみる。
>>979 0

>>980
要は１２人の人がいて、２２個の何かをランダムに分けたときにある１人がそれを４個貰える確率ってことだろ｡
>>978のミスは
�@「弾は絶対誰か一人に当たる」と書いてないこと
�A「１つの標的」←これが誰でもいいのか、それとも限定されているのか、そして４発もらう人は何人でもいいのかを書いてないこと。

質問です。

赤玉がX個、白玉が(60-X)個入った袋がある。
この中から無作為にY個取り出した場合、以下の確率を求めよ。

赤玉が０個含まれる確率
赤玉が１個含まれる確率
赤玉が２個含まれる確率
赤玉が３個含まれる確率
赤玉が４個含まれる確率
・
・
・
赤玉がＹ個含まれる確率


これを計算したいんですがどうすればいいんでしょう？
また、同様の計算をエクセルで行う場合はどんな関数を使えばいいのでしょうか？

>>982
赤玉がA個含まれる確率=(XＣA){(60-X)Ｃ(Y-A)}/60ＣY
ＣはＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ(組合せ)

>>983
即レスありがとうございます。

考え方としては

目的の組合せ/全組合せ＝目的の組合せが発生する確率

目的の組合せ＝Ｙ回取り出した時に赤玉をＡ個取る組合せ＝赤玉をＡ個取る組合せ*白玉を６０−Ａ個取る組合せ


と言う感じなのでしょうか？

一年百五十四日。

白玉を60-A個ではなくY-A個取る組合せだよ。

一年百五十五日。

一年百五十六日。

一年百五十万日。

一年百五十８日。

一年百五十七日十六時間。

堅実スイング実践会　５
http://live19.2ch.net/test/read.cgi/market/1141997098/
みんなで亀田ごっこしよぜin VIP
http://ex16.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1154786077/

こんな確率求めてみたい その1/4
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154790000/

一年百五十九日。

一年百六十日。