確率議論２

>480よ
やっと考える時間ができたぞ。これがオレの解答だ。
だんだん自信がなくなってきたのだが、精一杯のことはやったつもりだ。
間違えていたらすまない。

交換したときの期待収支をあらわす式は以下なのだが、
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5000*(???)　+　20000*(???)　＝期待収支
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(???)に代入する値をあらわす日本語を整理してみる。

確実に間違っていないと言えるのは以下だ。
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5000*収支が5000になる確率　+　20000*収支が20000になる確率　＝期待収支
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次に以下について検証する。
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5000*最初に用意された封筒が（5000、10000）であった確率　+　
20000*最初に用意された封筒が（10000、20000）であった確率　＝期待収支
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（最初に用意された封筒は（5000、10000）である）は、
最初に用意された封筒は100%の確率で（5000、10000）だと言い換えることができる。

5000*100%　+　20000*0%＝5000
あたりまえだな、100％、5000円だ

（最初に用意された封筒が（10000、20000）である）は、
最初に用意された封筒は100%の確率で（10000、20000）だと言い換えることができる。

5000*0%　+　20000*100%＝20000
あたりまえだな、100％、20000円だ

では、
50%の確率で（5000、10000）が、
50%の確率で（10000、20000）が用意されていたとしたら、

5000*50%　+　20000*50%＝12500

同様に、
(100%：0%)のとき、5000*100%　+　20000*0%＝5000
(75%：25%)のとき、5000*75%　+　20000*25%＝8750
(50%：50%)のとき、5000*50%　+　20000*50%＝12500
(25%：75%)のとき、5000*25%　+　20000*75%＝16250
(0%：100%)のとき、5000*0%　+　20000*100%＝20000

（5000、10000）がはいっている確率が高くなればなるほど、期待収支は低くなる
（10000、20000）がはいっている確率が高くなればなるほど、期待収支は高くなる

実際の収支は、5000か20000のいずれかである。
期待収支は必ず5000から20000の間の値になる。

検証の結果、
（収支が5000になる確率）を、
（最初に用意された封筒が（5000、10000）であった確率）
としても間違っていないと言える。

「交換した時の期待収支」は、
「最初に封筒がどのくらいの確率で用意されているか」によるのであり、
そこから逃れることは絶対にできない。

で、問題のpdfなんだが、7ページ目に
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それぞれの封筒を受け取る確率は1/2と考えていいから、
封筒を交換するときのあなたの期待金額を5*1/2+20*1/2=12.5と計算すると、、、、
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とある。

それぞれの封筒を受け取る確率は確かに1/2であるが、
だからといって、
封筒を交換するときの期待金額を5*1/2+20*1/2=12.5としてもいいのだろうか？

この「1/2」は何を意味しているか

「それぞれの封筒を受け取る確率は1/2と考えていいから、」と書いてあるから、
多い封筒を受け取った確率＝すなわち少ない金額と交換できる確率
＝つまり収支が5000になる確率ということだ。

以下について検証する。
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5000*多い封筒を受け取った確率　+　20000*少ない封筒を受け取った確率　＝期待収支
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最初に用意された封筒が（10000、20000）だったとする。
すると5000円の封筒がある確率は0%だ。
でも、あいかわらず「それぞれの封筒を受け取る確率は1/2」だ。

代入するとっってあれれ、代入できない。

5000*（???）　+　20000*（50％）＝期待収支

(???) には50％を代入しなければならないのに、
5000円の封筒がある確率は0%なんだもん。

だから、「多い封筒を受け取った確率」=「収支が5000になる確率」ではない。
してはいけないと予想できる。

もし最初に用意された封筒が（10000、20000）だったら、
「多い封筒を受け取った確率」とは「収支が10000になる確率」を意味することになる。

「多い封筒を受け取った確率」が「収支が5000になる確率」になるのは、
最初に用意された封筒が（5000、10000）だったときだけである。

つまり、
「多い封筒を受け取った確率」=「収支が5000になる確率」ではあるが、
ただし、最初に用意された封筒が（5000、10000）であることを条件とする。

だから、
（収支が5000になる確率）　=
「多い封筒を受け取った確率」*（最初に用意された封筒が（5000、10000）である確率）
としなければならない。

ただこれは、まだどちらの封筒も選んでいないときの確率で、
本問題では最初に10000を選んだことが確定しているので、1/2はいらない。

だからこうなる。
（収支が5000になる確率）　=（最初に用意された封筒が（5000、10000）である確率）

なんのことはない。交換した時の期待収支は、
結局「最初に封筒がどのくらいの確率で用意されているか」によるのであり、
「1/2」は最初から何の意味もない。

結論
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それぞれの封筒を受け取る確率は1/2と考えていいから、
封筒を交換するときのあなたの期待金額を5*1/2+20*1/2=12.5と計算すると、、、、
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この文章は間違いである。
この問題から、この計算式を構築することはできない。

では、なぜこの問題にこの解説がそえられているか？
回答者をミスリードするために他ならない。

さて、
5000*収支が5000になる確率　+　20000*収支が20000になる確率　＝期待収支

この式をみているとあることに気付く。
「交換したとき」の期待収支を求めよというこの問題、

「１つの封筒には5000か20000のいずれかがはいっています。
「あけたとき」の期待収支を求めなさい。」

という問題と同様です。

２つの封筒を用意して一方の封筒を破棄するのは儀式のようなものなのです。

「1/2」という数字を浮かびあがらせるためだけに、
わざわざ２つ封筒を用意して、この儀式をしていると言ってもいいでしょう。

なるほど、
この問題を作ったヒト、かなりの食わせモンです。

以上。

オレの頭で考えられることはこれで限界。
どこか間違っているとこがあったら、間違いを教えて欲しい。

では。