1=0.999… その8.999…

7.999…
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090253917/l50

　　　　　　__
　 　 i＜´ 　 }＼ 　 ,　- 、
　　　ヽ.._＼./　 .ﾝく　r-兮、 ＿_
　　　 ∠｀ヽ.!　/ 　 ヾﾆEｦぐ　,ゝ-＞
　　　/＿｀ｼ'Ｋ-───‐-､l∠ イ
　　　l´__,/l＼､_￣０¨0)ﾞ@Yﾍ, -┤　さすがゴッグだ！余裕の2getだぜ！！
.　 　 l'___|⌒ヾ''ｰ＝=､ｰr='ｲ　ｉ二|
　　　/　.｣　　 i　　 /./7r‐く　 lー!
.　　 ｆ.　　ヽ‐ｉ人.∠'＜ 　 ＿i. l,.-ゝ.
　 　 ﾄiﾍﾍ｢ﾄ〈　　　 　 ｀X　　ﾄﾚi7__|
　　　〉ﾄ:ﾄﾊj｀! i.　　　 /　 ﾄｰ┤lﾙj,ﾘ
　　/‐+----+‐l　 　 iｰ--i---ヾ'〃
.　 ｌ＿i＿＿__i__|　　 |＿__i,＿＿i_|

　〜〜〜終了〜〜〜

>>0.99・・・・　乙

>>1
死ねハゲ

わかった！

0.9999･･･ｘ∞＝∞−１

まあ、だからどうしたって感じなんだが。

>>6
まあ、超準解析でも勉強して来いって感じなんだが。

前スレの909は爆笑だったなｗ

850=909の話はもういいから。

>>6
ぜんぜん分かってないよ

糞スレまだ続けんのか世

次は、∑_{n=0}^{∞}r^n=1/(1-r)となる件について話そうか？
でもこれは高校三年で登場するし、大学一年の知識で現代数学の範囲で証明できるよなあ。

あげ

７人で銀行強盗をした。
札束を山分けしようとしたが（束単位で平等に割るには）２束足りない。
そこで仲間を２人殺したが、それでも２束足りない。
また２人殺したが２束足りない。

何束あったでしょうか？

105の倍数引く2束

で, もう0.1を2進数で表わせただろ？

愚地独歩が悩みを解消してくれるスレはここですか？

1 = 0.99999...は正しくない

608 名前：Nanashi_et_al.[sage] 投稿日：05/02/16 21:18:34
0.99999...の定義に恣意性があるから、示せない。

0.99999...を無限級数として定義した場合でも数列に恣意性が入る。
0.99999...を返す数列は不可算無限個あるから
任意の数列について示せるというのは無理がある。
この説明は∫[−∞,∞]sin(x)dxが厳密には発散するというののアナロジー。

>>63
うん
そうだね
で？

＃　1=0.99999...の証明

実数の稠密性より、
Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜１≧ｘ｝
Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜１＜ｘ｝
となるデデキント切断が可能である。
Ａの下界は１
また∀ｂ∈Ｂについてｂ≦0.99999...…�@
なのでＢの上界は0.99999...
デデキント切断の性質より
1=0.99999...が示された。　Q.E.D.

これあってる？
�@がすげー気になるんだが。

つか過去ログ読む気になんねー

うへ

何人くらい釣れるかな

おねがいします！
教えてください（＞＜）

>>65
いいんじゃないの？
デテキントの切断と同値で「単純増加数列はその上限に収束する」ってのもあるしね。
だから「普通の実数」の範疇だと、1=0.99999…だろ。
それが嫌なら、普通じゃない実数を定義して…って話になるわけだ。

切断で実数を定義しちゃうと、0.9999…の定義が難しい気がする。

>>70
自動的に「1=0.999…」がまあ決定されるから、嫌だ…ってんだろ？
だったら、切断によらないモンで実数を定義しちゃえば良いわけだ。

ま、超準解析なんつーのもあるけど、これも「普通の実数部分」でみたら、
「1=0.999…」だわな。

age

>>65で「0.999…」という数をどう扱ってるのか良くわからなかったのだ。
もし、適当な数列の極限値として定義しているのなら、実数も何も無く
極限値は1だし（極限値が具体的に求まってしまうから）。

むしろ、小数展開の一意性とか極限値の一意性とかが重要なポイントに
なってくるんじゃないか。

>>73
つーか。普通の現代の数学でやっている実数の定義って、そもそも極限値だろ。
極限値が一意でないとするアイディアは面白いが、それは「普通の数学」じゃなくなるな。
一連の定義はどれも「単調増加数列はその上限に収束する」って言っているんだし。

つまり、普通じゃない実数を使わないとやはり目指すもの（１＞0.999…）は得られない
んじゃないのか？

Re:>74 実数に求められる性質は、順序体であることと、実数の連続性だ。

>>73
そう。「普通は」有理数コーシー列とかを使って実数を構成する。
でも>>65では「切断」を用いて実数を定義しようってわけでしょ？
だから切断から位相的性質を導かないと。

>>76
「デテキント切断」と「コーシー列」と「単調増加数列が上限に収束する」は
皆同値だろ。どれから先に定義し始めても同じじゃないのか？

>>77
結果として同値になりますが、それは示すべき事よね。そのへん分かってて
やってるならいいんだけど、>>65は実数の稠密性とかインチキ臭い事書いてるし
わかってないんじゃねー？っていう気がしているのです。

>>78
「気がする」じゃ駄目だろｗ

結果としてだろうが、最初からだろうが、同値なもんは同値だ。どれから定義し始めても良いし、
皆同じ結果になる。
だから、「普通の実数の定義」では1=0.9999…だろうな。

>>79
同値な事はわかってますってば。しかし、それは示すべき事だ。と言ってるのです。

1/9=0.111・・・・
2/9=0.222・・・・
3/9=0.333・・・・
4/9=0.444・・・・
5/9=0.555・・・・
6/9=0.666・・・・
7/9=0.777・・・・
8/9=0.888・・・・
9/9=0.999・・・・
あれ？

何が「あれ？」だよ

>>81
>>82
今世紀に入って最も笑った。

おそらく>>79は実数の連続性を示すことが出来ないだろうな
>>80多分、どこが問題なのかが分かってないよ

>>84
大昔に示されています。

示されている事を知っているのと、自分で示す事ができる事の間には
大きな隔たりがあるからねえ。

極限の一意性は、順序体だったらOKか。
小数展開の一意性がノントリビアルなんだな。アルキメデスの原理使うし。

>>84
できるよ。で、何か問題あるか？
ちなみに、ここ何人かの人が書いているようだから、
同じような発言でも同じ人物とは限らないぞ。

つーか、何を問題にしたいんだｗ

>>86
知られている事を示してみせることと, 知られていない事を示してみせること
との違いに比べたら大したことはない.

>>80
「示すべきこと」じゃないだろ。別に教科書通りやらなくても、それを出発点にすらできるって
ことだ。分かっているか？

要するに自分ができるのを顕示したいだけと推察

>>91
つまり、言っていることがわからんって事？
俺は変な煽りなんかしないから、わからなかったら分からないって言ってくれよ。

煽られてると思い込みたいんだね。
どっちにしても話は進まないから
好きにしたらいいけど。

[0.999...]=0

>>94
整数部を取る関数は連続じゃないからね。

別に連続かどうかは本質的なところでは無い気がするが。

[0.999...]=[1]=1ﾀﾞｯﾁｮ

lim_{n→∞}([∑_{k=1}^{n}(9/10^n)])=0.

lim_{n→∞}([∑_{k=1}^{n}(9/10^k)])=0.

馬鹿め所詮数学なんて考え方によってつじつまが合うようなくそ学問だから
0.999…=1
0.999…≠1
だってどっちだって説明つくんだから話は不毛

収束とかで0.999…=1が正しいとしかおもえないやつはどう考えても基地害
すくなくとも数学は向いてないからやめろ
俺から言わせれば
1=9が正しいっていってるやつと何も変わんないあくまでも論理的にな

どこを縦読み？

つ、釣られないぞ

激烈あげ

>>100
0.999…≠1
の説明キボン。

nurpo

ga!

>>104
別の実数モデルを持ってくればいいだけでしょ
ただ, 誰かと対話するときに基本的な性質が異なってると面倒だよね, という程度の話だよ.

0.999…≠1　のモデルで
１−0.999…
を計算したらいくつ？
０だと移行する作業を禁止するか
または論理がはじょう（←なぜか変換できない）してしまうし。
ｚ案ならぬε案なんてのが出てくるんでしょうか。

こんなわかりやすい釣りに釣られてたまるか。。。
つられないぞ。。。

x=0.9999･･･とする。
10x=9.9999･･･

10x-x=9
9x=9
x=1

･･･ん?

釣るっち釣るっち釣るっちー

(誤)はじょう
(正)破綻(はたん)
>>108 はまず日本語の勉強汁

釣れたっちー

>>113
せいぜいぬか喜びしとけや。
おまいが DQN に 1000 ペリカ

「はじょう」とか「ふいんき」とかは
いまさら釣られるほうがイタい。

ここは日本語が不自由な奴らのすくつなんだな

>>108　>>116　激しくガイシュツ。ばまつ。

>>116
むしろ日本語がたんのうなんです。

>>108
IMEをMS-IMEからATOKに代えろ。「はじょう」も「ふいんき」も誤りだって警告だしながら
変換してくれるぞ。

「すくつ」も変換できた…。

A. 「ふいんき（←なぜか変換できない）」
B. Aにマジレスする
C. Ｂに「Aはネタだよ」ってレス

このABCのやりとりを完成させること自体を目的としたネタ

>>121
ネタとわかってても日本語にはうるさい性質なんで
ついつい釣られちゃうのさ。
それとも、むしろ漏れが吊ってよし∧‖∧death か ?

１＝１．００００００００

ではない

1は有効数字１けた。
0.9は有効数字２けた。
0.99は有効数字3けた。
0.9999…は無限精度
よって、1は0.9999…とは大違い。

>>125
> 0.9は有効数字２けた。
> 0.99は有効数字3けた。

一所懸命考えたんだろうけど・・・・つめが甘いな

1/3=0.3333…って近似値でしょ？
1/3という分数を正確な小数で表せないから近似値を用いて表している。
つまり、3/3=0.999…ではない。

Re:>127 何が近似値だって？

>>127　nurpo

>>125
0.0001は有効数字何桁だ？

>>127
0.3333･･･の定義は？

ぐわっ

0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...

0.999999...^100000000000000=?

>>129　ga!

今学校で極限習ってて、｢0.999･･･｣=｢1｣って言われたんです。


教科書の証明見ても釈然としなく、悶々してます。独歩の真似したら、やっぱりなっとくいかず、夜も眠れません。助けてください。

教科書にはどんな証明が書いてあったんだ？

0.999…={9/10＋9/100＋9/1000＋…}ってあって､初項a=9/10，公比r=1/10｡


これから無限等比級数の和を求めると、『1』になる｡つまり、『0.999…＝1』だそうです。


もしかしたら俺は極限を理解してないのかもしれないorz

P.S携帯からのカキコで、見づらくてスマセン。

0.999…が、無限等比級数の和である事が納得できないのか
無限等比級数の和が1であることに納得できないのか

どっちですか。

後者ですね。

>>135って釣りじゃなかったのか・・・

>>139

後者は単なる計算なので、無限級数の計算のやりかたを復習しる！
としか言いようが無い。

計算は理解できるのだが、最終的には1=0.999…を見て、はぁ？てなる。


たしかに大きさを比べたら≒じゃないことはわかるんだけど、画竜点睛を欠くだっけ？そんな感じがしてならない。

別に、0.999…といくら9が続いたとしても、1には等しくならない。
という立場でも数学はできるよ。そういうモデルもある。

でも禿しくめんどいし、実用上はどっちも変わらん。

0.999・・・の「・・・」を「続ける、並べる」という動作ととらえる
限り極限について何も理解していないに等しい。
135は「0.999・・・=1」を「9を並べていくと1になる」ということを表してると
思っているようだが「1になる」わけじゃない。最初から「1である」から。

>>135
そういう性質を持ってるのが実数だと思ったほうがいいよ

わずかな誤差もなく１メートル先に壁があるとして、
壁に向かって0.999…メートル歩いてって言われたら
それはできる気がする。壁に皮膚が接するまであるけばいい。
でも壁に向かって１メートル歩いてって言われたら
壁と皮膚が一体化しない限り無理な気がする。

>>146

物理的な量の話になると、ヤヤコシイぞ。というか、もう数学と関係ない話に
なっちゃうし。

Re:>146 測定の精度がそこまで追いつけばいいのだが。

あくまで0.999…って
x<1の範囲で与えられたxの最大値じゃん？(これを極限って言うんだろうけど…)
ってことはxに0.999……を代入したら
0.999……＜1で＝にはならない
さんざんがいしゅつだろうけど

Re:>148 お前何考えてんだよ！

>x<1の範囲で与えられたxの最大値じゃん？
違う。その範囲だとxの最大値は存在しない。

>>146
違う。こうだろ…。

つまり、「飛ぶ矢は飛ばない」の９割版だ！
１ｍ先に壁がある。矢はその壁に向かって飛んでいく。
ここで、矢が飛んで９割達した点を順次考えていくことにすると…

１回目　０．９ｍ地点　まで矢は飛んだ。
２回目　０．９９ｍ地点
３回目　０．９９９ｍ地点
…　　　　…

となって、もしも君が言うのが正しいなら、この操作を無限回くりかえしても
「矢は決して壁にぶつからない」ということになるだろ。
ところが、現実には矢は壁にぶつかる…。

考える回数が有限だと矢は壁にぶつからないが、現実には矢は壁にぶつかるの
だから、無限回ならば矢は壁にぶつかり　１＝０．９９９９９…　とした方が妥当だろ？

Re:>149 通常の実数ではlim_{n=1}^{∞}(∑_{k=1}^{n}(9*10^(-k)))=1となる。
Re:>150 お前に何が分かるというのか？

>>152
次のような電球を考える
今から1/2分後に電気がつき、
その1/4分後に電気が消える。
2^(-n)分たつごとに電気が
つく、消えるを繰り返すとすると
１分後にこの電球はついてるか消えているか？

>>154
消えている。てかフィラメントブチ切れモード

>>154
付いている。

現に、ウチの便所の電球がそうだから。

Re:>154 量子的な限界を超えて回路のON,OFFを切り替えることは可能なんだろうか？

>>154
それは発散する例ね。>>152は上に有界な単調増加数列だから、収束するんだよ。
もちろん普通のＲの世界なんだろ？

>>158
いやRealな世界の話だろ

f(x)= 0 (x≠0)
　　　 1 (x=0)
のとき
lim[x→0] f(x) = 0
だけど f(0)=1 ですよね。

>>160
スレ違い
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074019991/

>>154
その条件では判断できない

>>154
アキレスと亀の間を往復する犬がいたとして、アキレスが亀に追いついた瞬間に犬は
どっちを向いているか？という問題と同質w

>>162 同意

あ

>>1-99>>101-164
自演乙

1=A

10A-A=9.99999999999999....-0.99999999999999999...
9A=9.0000000000000000000000000000000000000000000000000000...............................

9で割れないので終了。

1=Aじゃなくて9=Aだ

>>167
10A-A = 80.9999・・・・

で？

0.9999･･･
=lim(n→∞){n}Σ{k=1}(9/10)(1/10)^(ｋ-1)
=(9/10)lim(n→∞){n}Σ{k=1}(1/10)^(ｋ-1)
=(9/10)lim(n→∞){1-(1/10)^(n-1)}/{1-(1/10)}
=(9/10){(1-0)/(9/10)}
=(9/10)(10/9)
=1

何か問題でも？

well-definedであることは言わなくていいんでつか？

>>170
やっぱり文系の浅知恵じゃあ無理があったかorz

いや、169自体は何の問題もないと思うけど

皿仕上げ

どうして＝に固執するかわからん。
違うものは違うだろ。

でも同じものは同じなんだよ。

だったら証明してみせろよ（藁

どうせ、前提になる定義にいちゃもんがつくだけだから証明しなくていいよ。

既出だが、超準解析では0.999√は1に等しくないんだと。

0.999…は1に等しくないんだと。
(&#8230;と書こうとして間違って&#8730;と書いてしまった。)

0.999...>1

0.999…≦１

もうこの際だから、実数が全順序集合であることも否定しようぜ。

１≠１

>>183
より、０≠０
おかしい。■

１≠１の時点で、もう十分おかしいと思うんだけど。

おかしい、という表現こそ、おかしい。
数学的じゃないよね。

>>185
どうでもいいが、このスレにはその「１≠１」を主張したがる連中が大杉。
困つた事です。

どうでもよくはないやうな気がする。

>>177
定義にいちゃもんつけても、それにとって代わる定義が提示できないんだから
さっさと普通のＲでは一致することを認めて、普通じゃない代替のＲを構築し
その上で不一致になる場合もあることを示せばいいのに…。

何が気に入らないんだろ…。

>>189
数学が気に入らないんだよ。

>>189
そいつには構築できないからだろ、馬鹿だから

１≠１はおかしい。
しかし0.999・・・は１と異なる数なので
別の話だ。

>>192
確かに標準的な実数のモデルとは別の話だねｗ

>>192

１＜０．９９９・・・・　　　？

>>154
・「∞」が数でないことを示す典型例でもある。
・１分後に電球が付いているかいないかを説明するには、
　複素空間におけるスパイラル曲線を持ち出すのが手っ取り早い。
　この曲線グラフを描けば一目なので、説明すらいらないと思う。
>>163
・上に同じ
>>182
・もうこの際だから、複素数が全順序集合であることを肯定してみようぜ。

∞は数だけど？

（１＋0.9999....）／２＝？？？

>>197

0.5 + 0.4999... = 0.9999...

と答える者が多そうな気がするが、0.9999...は1より小と感じているヤシは、1への
足りなさも半分になったと感じるのだろうかw

>>196
複素球面を考えたときは数の中にいれることもあるだろうけど、
少なくとも自然数ではないし、実数でもない。

>>200
ヒント：超実数

a=0.99999・・・
10a=9.99999・・・
10a-a=9
9a=9
a=1

>>201
それでも∞という1つの数じゃないから。

誰も一つとは書いてないが

>>196
>>204
見苦しい

>>205
それこそが２ちゃんねるクオリティ。

注目のスレ

少なくとも超実数だな

おいおい、1=0だぜ R/Z

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ■■■■
　 　 　 　 　 　 　 ■■■　 　 　 　 　 　 　 ■■■■■■■■　 　 　 　 ■■■　 　 　 ■■■■■　 　 ■
　 　 ■■　 　 　 ■■■　 　 　 　 　 　 　 ■■■■■■■■　 　 　 　 ■■■■■■■■■■■　 　 ■
　 　 ■■■■■■■■　 　 　 　 　 　 　 ■■■■■■■■　 　 　 　 ■■■　 ■■■■■■■■■■
　 　 ■■■■■■■■■■　 　 　 　 　 　 　 ■■■■■　 　 　 　 　 ■■■　 　 　 　 　 ■■■
　 　 ■■■■■■■■■■■　 　 　 　 ■■■■■■■■■　 　 　 ■■■■■■■■■■■■■
　 ■■■■　 ■■■　 ■■■　 　 ■■■■■■■■■■■■　 　 ■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■　 　 　 ■■　 　 ■■■■■■　 　 　 ■■■■　 ■■　 　 　 　 　 　 ■■■
■■■■　 ■■■■■■■■■　 　 ■■　 ■■■■　 　 ■■■■■■　 　 　 ■■■■■■■■
■■■　 　 ■■■■■■■■■　 　 　 　 ■■■■■■　 ■■■■■■　 　 ■■■■■■■■■
■■■　 ■■■■■　 ■■■■　 　 　 ■■■■■■■■■■　 ■■■　 ■■■　 　 ■■■　 ■
■■■■■■　 ■■■■■■　 　 　 　 ■■■■　 ■■■■■　 ■■■　 ■■■　 　 ■■■
　 ■■■■■　 ■■■■■　 　 　 　 　 ■■■■■■■■■　 　 ■■■　 　 ■■■■■■
　 　 ■■　 　 　 　 ■■　 　 　 　 　 　 　 　 ■■■■■■　 　 　 　 　 ■■　 　 　 ■■■■

≠が.っっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっ…

＝になるのは
・・・の定義から自明だろ

第三者から冷静に見て196・201・204が正解
見苦しいのは203=205

１÷３×３＝１だろ

１÷３＝０．３３３３３３３３３３・・・・・
０．３３３３３３３３３３３・・・×３＝０．９９９９９９９９９９９・・・
だから１＝０．３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・

訂正
最後
１＝０．９９９９９９９９９９９９９９９９・・・・
です

>>213
数学の世界は、第三者が冷静に見れば良いってものでもないとも思うが。。。

∞が数かどうかは文脈によって適当に判断すれば良いと思うが、
>>195の文脈に対して、>>196と言うのはあまり適切とは思えない。

>>216
203=205=216
みぐるしいＷ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,､ _,. --――‐-　､
　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ／/´　　　　　　　　　 ｀丶、
　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 / /　　　　　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ /　　　　　　　　　　 　 　 　 ／｀ヽ
　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 !　!　＿＿＿_　　　　　　　　／　:::::::!
　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 l　 '´　　　　　 ｀`丶、　　 ／　　 :::::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　j:,rT,.ニニ､ ―-　.._　 ｀`'´　　　 .::::::::j
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 〃:_| ,r;==､　　　　―-｀､ヽ　　　 :::::::::/
　　　　　　　　　　　 　 　 　 ／.::::{`!　ﾄｯ::}　　　　 r;==､ ｀|　　　　::::/
　　　　　　　　　　　　　 　 / .:::::::::Y　 ﾞー'　　　　 /:ｯ::} 〉 |　　　　:::|
　　　　　 　 　 　 　 　 　 / .:::::::::::::! :::::::　,､_　　　ヽrソ 　 !　　 　 :::!､
　　　　　　　 　 　 ,. '"´￣｀ヾ｀ヽ＜ヽ　　l　 ｀j　 :::::::::　　 |　　　　.::|ヽヽ 　1と0.9999999・・・はどっちが多いの？
　 　 　 　 ,. -‐―（　　　 ,　　 }:::::}::::{:::＼_｀　´__ 　 _,. -‐'´l:::::..　 .::ﾉ､ |｀`
　 　 ,. -‐'　::　　　 `ー‐'---‐'⌒ヽ::ヽ:.　　￣　 ￣　　.:::::∧:::::::::::::|｀ ヽ
　 _ノ::::.　::::　　　　　　　　　　　 ::::　｀`ヽ､__　__　_,. -‐:::::/:::ヽ::::::::::j
／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　:::ヽ´　｀ヽ:::::::::/　.::::ヽ::::::ﾊ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　..::::ヽ:::.　 !､_/_..:::::::::::ヽ'::::!、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.:::::::::::::',ｰ:::.|　l　｀ヽ:::::::::::::::|::!
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.::::::::::::::::!:::/::::.|....::::::::::::::::::::j:::l
　　　　 .::.　　　　　　 .:::::..　..　　　　　　::::::::::::::::::}'´::::::ﾉ::::::::::::::::::::::/::::ヽ

そう聞かれれば
１と答えるしかないな。

１÷３＝０．３３３３３３３３３３・・・・・
これが間違いなわけだが

三進数の0.1を3倍すると1になる

1という数にはいろいろな書き方がある。
sin0とかe^0とかだ。
見た目は違ってもどれも1を表している。
0.999…もまた1の書き表し方の一つなんだ。
見た目が違うからといって、1じゃないとか言っちゃいけない。
1=0.999… となる証明は>>202などを見てくれ

2行目ミスった
sin0ではなくcos0だ

>>202のどこが「証明」なのか気になるが。。。まあ、分かってて書いてるんだろうけど。

>>223
>>202が厳密でない（というより間違っている）ことはわかっているが、
中学生や高校生ぐらいを対象にした説明としては十分だと思う。
大学出て1=0.999…がわからないやつなんか（この板には）いないだろう。
数学嫌いのやつの中にはいるかもしれないが
そいつらはこの板を見ないだろうから。

どちらかというとここは証明で納得しない人が集うスレなんじゃないかね。

数学をやっているひとにとっては「証明された」と「納得できる」は
殆ど同じ事だが、そうでない人にとってはこの二つはだいぶかけ離れたものなのだろう。

普通の実数の定義で、普通の0.9999…の定義 （０．９９…＝0.9+0.09+0.009+…）
を行うなら当然「１＝０．９９９…」だろうね。（証明は語り尽くされているから省略）

これが嫌な人は…
１．普通じゃない　０．９９９…の定義をして、１≠０．９９９…　を示す。
２．普通じゃない実数の定義を行い、その内部で　１≠０．９９９…　を示す。

のいずれかだろう…。でも、どっちもできないし、したくないみたいｗ

だ　　か　　ら

１＜０．９９９９・・・・・・

1=0.999…

>>218-219


自演乙。

(証明)　
1 / 3 * 3 = 1
　　　　　　　　．　　　　　．
1 / 3 * 3 = 0.3 * 3 = 0.9
　　　　　．
∴1 = 0.9
Q.E.D.

　　　　　　．
1 / 3 = 0.3

は正しいが

　．　　　　　．
0.3 * 3 = 0.9

は正しくない！

正しいだろ？
(Σ[n=1→∞]3/(10^n))*3
=Σ[n=1→∞](3/(10^n)*3)
=Σn=1→∞](9/(10^n))

無限桁の演算はできませんが何かＷ

循環小数を無限級数とみなすならば、232のようにして無限桁の演算は必要ない。
循環小数にそれ以外の解釈があるならば教えて欲しい。
あと、無限桁の演算ができないならば1/3=0.333…も言えないと思う。

最後の行をちょっと訂正

仮に無限桁の演算ができないと言う理由で0.333…*3=0.999…が正しくないならば
1/3=0.333…も正しくないと思う。

1=0.999…を認めてないやつがまだいるのかよ。
恥を知れ。

1=0.999…を認めてるなんてなぁ。権威に弱いやつだな。
学校でならったらすぐに「はいそうですか」じゃぁね。

認めるとか認めんとかいってる時点でおわってる。

>>237
権威があるから認めてると思ってるんだ？

1=0.999…は事実。
権威があるから認めているわけじゃない。
通常の実数の範囲で普通に0.999…を定義したら、
1=0.999…となる。

定義してみて

0.999…:=0.9+0.09+0.009+…

いまだに無限桁の演算ができると思っている人がいますＷ

出来るものは出来る。
>>243
解析の本読めよ

初項0.9
公比0.1の無限級数

当然１だろ。

無理に荒らしてるアホがいる。たぶん必死で釣ってるな、このカス！

>>243
無限回の演算を必要とするものは通常の数学では同様のアルゴリズムで実行できるとして
収束の概念を使い一つの数として扱うのが普通だよね。それができんと…

じゃ、君は「アキレスと亀」とか「飛ぶ矢は飛ばない」などの一連のパラドックスをどう解決する？
これらは単に収束の概念を使い、無限回の演算を認めるだけで解決する問題だ。それを使わず
どうやって解決する。言っておくけど、「時間」なんてこの問題にそもそも出てきていないパラメータ
を新たに持ち出さないでくれよ。

>>246
おっと収束しない場合もあるな。これは除外ねｗ

そもそも無限回の演算など必要ない

>>248
数学板に来るな

アキレスと亀ってアキレスがカタツムリだから
追いつけないんじゃないの？
だって人間が亀に追いつけないわけないじゃん。
兔なら別だけど。

>>250
アホ

>>251 >250はアホなのは間違いは無い。

まず、根本の自然数についてもう一度考えてみたら？
ここでは、おそらくペアノの公理を基本として
話を進めているんだろうが、ペアノの公理自体に
おかしなところがあることを誰も突っ込まないのは何故だろう。
まぁここで、もしペアノの公理がおかしい
ことが分かったとしても今ある数学に大きな変化がおきるとは
思いにくいな。（ホントのところは分からないが）

ここで「１＝０．９９…」になってることなんかは
話し合っても大して金にもなんないし、まぁ肝心の
研究者達は納得してないとしても自分の研究に支障が出てきたらやるか。
ぐらいにか考えてないだろうな。
まぁ研究してる奴は、よっぽど暇な奴くらいだろうな。

オレはこうゆう話は好きだが、あまり考えすぎると
精神狂っちゃうからやめといたほうが良いかもな。

>>246
ヨコヤリですまんが、
そもそもそれらのパラドクスってすべて
実数の定義
で解決しない？

集合
　　{0.9, 0.99, 0.99, ...}
自体を数と見做し記号 0.999… で表わそう.

>>252

ペアノの公理系は無矛盾であることが示されてた気がする。

>>253
そう。いとも簡単に解決する。従って「普通の実数の定義を認める→0.99999…=1」ってことにふつーは
なるわけだ。

さあ、無限回の演算を認めない派は「アキレスと亀」とか「飛ぶ矢は飛ばない」などの一連のパラドックス
をどう解決する？ きちんと、書いてくれ。

>>255
さすがにそれは…ｗ

一応、「実数論の無矛盾性」とかが問題として残ると思う。まだ未解決
じゃなかったっけ。

あと、無限回の演算を認めなくても、時間にはそれ以上分割不可能な基本単位
が存在する事とかを認めれば一連のパラドックスは解決。

>>258
そりゃそうだｗ
で、そのような基本単位を認めた数学で、0.999…を「きちんと」定義してくれ。
殆どのヒトが（煽り除く）納得するようなものを。

ペアノの公理に矛盾ってなんだ？

1=0.999・・・の話は、普通の数学の研究者なら誰だって納得してるだろう。なにいってるの？実数がどういう形で構成されているのか、知らない人がいるとでも？こんなこと、微積の第一章で普通は書いてあるだろ。

ここでなんで自然数について考える必要があるのかも理解できん。
実数の話だろ。全く関係ない。

>>259
定義できないんじゃないかな。無限回の演算がそもそも認められないので
1=0.999…
は右辺が定義不能なので、等式が成り立つはずが無い。という考えもある。

或いは、十分大きいnに対して、無限小数は全てn桁で打ち止め。という風に
約束するとか。0.999… = 0.999…9とする。当然1と等しくない。

後者の仮定は、「実数」全体が代数的に性質の悪い集合になるからあんまり
おすすめできないが。

まあ、無理にでも定義する方法は幾らでもあると思う。殆どの人は納得しない
と思うけどね。まあしかし、1=0.999…に納得しない変人さんなら納得してくれる
かもしれん。

じゃあペアノの公理をマズ書いてみてよ。

>>256
1=0.999…の問題を解決するのに無限回の演算は必要ない。
「アキレスの亀」とは違う問題だから。

っていうか、253だけど、
実数の定義の問題であって、無限回の演算ってなに？って感じなのだが。

>>263
確かに無限回の演算は必要ないな。
でも、「アキレスの亀」？（オレのなかでは「アキレスと亀」）の
話も面白いよな。確かに矛盾の証明？っぽいのはたくさんあるけど
納得はできかねる。

極限操作のことじゃねーの？

あれ？「アキレスと亀」って書いたはずなのに。
しかし今となってはこの話を聞いて不思議に思った記憶すら薄れている。
すっかりヨゴレちまったなあ…。

>>267
まぁ気にすんな。たいした間違いじゃないし、
根本的にお前の言ってることは正しい。

ペアノの公理は, 公理とついてるが公理じゃなくて定義だし.

でも、名前がペアノの公理なんだから仕方ないのでは？

自分は見たこと無いですがどこかのにペアノの定義と
書いてある本または学会誌などをご存知なら
一回読んでみますので教えてくださいませんか？

>>269-270
論理学は専門でないので、少し曖昧ですが。
俺の呼んだ位相の本には、
集合論の公理（確か、無限集合の公理）から自然数を定義していた。
そいでもって、それがペアノの公理を満たすと。。。

>>271
ほぉなんていう本ですか？
自分は読んだことあるかもしれませんが…。
もっかいペアノの公理からやってみますんで。

Dugandji 『Topology』

ペアノの公理の矛盾とやらはどうなったんだー？

>>263
その通りだと俺も思うが、「解決する」ってのと「納得させられる」ってのは根本的に違う部分が
あると思うぞｗ　　そうじゃないと、そもそもスレはこんなに伸びないだろｗ
（ちなみに、無限回の演算というのは、極限操作と同じで、ここから実数を定義する流派も
あるのでは？結局デテキントの切断とかコーシー列とかでやるのと同値になる…。）

納得させるためには、相手が直観で理解できる具体例から攻めていくのが一番だ。
で、「アキレスと亀」の問題は奥底でこのスレの問題に繋がっていて、まあ根は同じだ。

つーわけで、無限回の演算＝極限操作を認めるなら、「アキレスと亀」のパラドックスは解決
するし、何の問題もない。アキレスと亀が進む空間が最小単位を基本にする非連続空間でも
解決するがその場合、そもそも「０．９９９…」の数の定義が困難だ。

で、俺は普通の無限回の演算を認めるか、そうじゃないなら「アキレスと亀」のようなパラドックス
をどう解決するのかって聞いているわけだ。

糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞

>>274
だから、マズ>274の知っているペアノの公理を書いてみてよ。

>>275
ちょっと難しくて分かりませんが、大体自分もそんなところだと思います。
なんでも、
フランス（コーシー）では「ｘ/０＝０」になってしまう訳ですからね。

>>275
「アキレスと亀」は例えば上に有界な単調増加列が云々のような話になるだろうが
0.999…は定義次第だろ。
少し話はそれるが、数字9を無限に並べた文字列を考える時
右端に数字9を追加すると考えれば無限回の操作が必要だけど
（しかもこの考え方は「途中では有限じゃないか」みたいな考えにハマリやすい）
左端に数字9を追加する操作の不動点と考えれば無限回の操作はいらない。
0.999…も同様の方法で処理出来る。面倒だからここではやらんけど。

>>278
並べるなら無限回の行為が必要なのでは？

まず、無限個並べるという行為自体が無理だよね。
で仮に並べられたとしてもできるのはせいぜい文字列であって数じゃないよね。
だから「小数点以下9が無限個並んだ数」とか言われても困るよね。

数字の並んだものに対して
対応する数は決定できるぞ。

上下左右にでたらめに並べたらダメだが。

>>280
だから、そんな主張のヒトはどうやって「アキレスと亀」のパラドックスを解決するのか
聞いているわけだ。「飛ぶ矢は飛ばない」の９割版はまさに０．９９…の世界だな。
（もっと解説必要ならするぞ）

>>282
えー。漏れは極限派なんだけど。

>>282
アキレスと亀の説明もっと詳しくしてもらえますか？

俺的にはいろんな「アキレスと亀」とか「飛ぶ矢は飛ばない」の
説明を聞いたけど、なんかしっくりこないもんで…。

アキレスが亀を追いかけた。
裸足だった。
みんなに笑われた。

>>284
ここのスレ的には「飛ぶ矢は飛ばない」の９割り版がふさわしいと思うから何度目かの解説をする。

飛んでいる矢があって、１ｍ先に壁がある。ここで矢が壁に向かって毎回９割進んだ時点で
矢が壁に当たっているかチェックすることにする。

１回目　矢は０．９ｍ進み壁に当たっていない。
２回目　矢は０．９９ｍ進み壁に当たっていない。
３回目　矢は０．９９９ｍ進み壁に当たっていない。
　…　　　　…

以下同様。
実際には、矢は壁に当たるのだから、この操作を「無限に繰り返す」と矢は
壁に当たると考えるのが妥当。つまり「１＝０．９９９…」を認めるだけで、
このたぐいのパラドックスは解決する。非常に都合がよい。

現実問題に対応するように、計算規則を決める手法は何度もやられてきた
しね。

これが嫌で「１＞０．９９９…」をさらに主張するなら、これらのパラドックスを
全く別の手法で解決しなきゃならない。たとえば、空間が非連続だとか…た
だその場合には副作用が発生し、色々つっこまれるのは必定。

>>286

１＜０．９９９９・・・・・・・

を主張したる！！！！！！！！！！！

１＜９．９９９９…

別に実数に収めるための極限値が1に等しくなればいいので, {0.9, 0.99,
0.999...} を新たな数と認めてその極限値が1に等しいだけでいい.

>>286
>毎回９割進んだ時点で矢が壁に当たっているかチェックする
それで当たっているワケがないｗｗｗうぇっｗｗ

じゃなくて・・・それは「アキレスと亀」を矢・壁にしただけだろ。
「飛ぶ矢は飛ばない」は違う話だ。

似たようなもんだろ。
本質を見ろよ。で話の本筋はどうだ？

286は、はじめから「アキレス」「亀」の９割版で書けばよかっただけだろ……
全く性質の違う話を改竄して何の意味があるんだか。
頭悪いにもほどがある。


さて、これはただの感想なんで無視して本筋をどうぞ。
本筋なんかやりたくないなら絡んできてもイイよ。

>>292
http://www6.plala.or.jp/swansong/007300taikakusen.html
ふむ、俺が出したのは正確に言うと「分割のパラドックス」かいな。どっかの本に分割のパラドックス
から飛ぶ矢は飛ばないのパラドックスに持って行っている本があったからそれで間違って覚えてい
たんだろ。

しっかし、そんなに無茶意地悪く反論する問題か（ｗ

Wikipedia を見るとこうだな…。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
飛ぶ矢飛ばず
これは物体の運動に関するものである。矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所
に位置している。僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。この時間をどん
どん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。
次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。こうして矢は、どの瞬間に
も同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。従って、矢の運動は不可
能である。

＊＊＊
俺がやったのは上の説明で分割するのを９割地点…そして結論を「矢は壁にぶつからない」＝「矢は
運動しない」ってやっているのと同値だろ。つまり本質は同じだなｗ
なんだ間違いって程じゃないだろ。

ペアノの公理

自然数は次の5条件を満たす。

* 自然数 0 が存在する。
* 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
* 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
* 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
* 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

というわけで、ペアノの公理の矛盾、よろ。

照れ隠し乙

>>286 にちょっと便乗して考えてみた。

１回目　矢は０．９ｍ進み壁に当たっていない。 →弓から放たれて1秒たったとする(t=1)
２回目　矢は０．９９ｍ進み壁に当たっていない。 →弓から放たれて1.1秒となる(t=1.1)
３回目　矢は０．９９９ｍ進み壁に当たっていない。→t=1.11

弓から放たれて壁に当たるまでの到達時間ｔが求めるべき解であるのに、
ｔを算出する時間(t=1.111......と1を繰り返す時間)が無限であるから
永遠に壁に到達しないという結論を導き出しているだけのペテン理論。

要約すると、到達時間を算出時間にすり替えて理論を組み立てているだけのトリック。
パラドックスでも何でもない。
この場合、t=1.12の時にはすでに壁に当たっている。

極限を計算する作業を「無限に演算を繰り返す」と表現するな。
これが混乱の元だ。

要素を無限に追加した「果て」が無限集合だと言うようなものだ。

>>298

時間はそのパラドクスでは全く考慮してなかっただろｗ　何で急に持ち出すんだ？
距離に関して論じろよ。

時間だけど…単に t=1.111…=10/9 で壁にぶつかるだけ。

>>299
そんなの分かっているよｗ　でも厳密にやろうとすれば、拒絶しようとするヒトが出てくるだろ。
やはり、できるだけ直感に訴えるような説明へのチャレンジ「も」絶対必要だと思うぞ。

最初に言っておくけど、俺の学んでいる
数学はペアノの公理に依存しています。
これだけは理解しといてください。
揚げ足とるようになるんでやりたくないんだけどな。

まず２番目の＊ですが、

『* 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、
　suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。』

と、ありますね。
じゃあその『　任　意　』の自然数『　a　』というのはどこから持ってきたんですか？
そもそもここではまだ自然数を定義していないのに自然数aが存在するのはなぜですか？

ペアノの公理の自然数の集合に、われわれがよく知っている自然数以外のものが入る可能性について。

>>303
考えたことありませんでしたな。面白かも…。
つうかもうスレ違いですがね…。

いちおう、>>302の疑問に答えておくと、

正確には、"自然数全体の集合"を上の五つの性質を満たすものとして定義するのです。
集合の話なので、任意の元をとれる。

もちろん、そのような定義を満たす集合が存在する事は証明しなければならない事です。
そしてそれは証明されています。

あと、定義を満たす集合が二つ（N1,N2)あったとき
N1からN2への全単射写像fがあって

f(N1の0) = N2の0
f(suc(a)) = suc(f(a))

とかを満たす。つまりN1とN2は「同じ」とみなせることも示す必要があるね。
もちろんこれも証明できる。

必死に流していますなｗ
ま、いいけど。

>>305,>>306

偉そうなこと言っといてなんですが、
今回の議題の「定義を満たす集合」って
存在する事が証明されいましたっけ？
俺の言う矛盾はその集合の存在に疑問を抱くことなんで
正直、存在が証明されていたらどうしようもないです。

この議題ですが、もう少し考えさせてください。
自分の中で話がまとまったらまたレスしますんで、（必ず二,三週間以内に）
逃げるわけじゃありませんので、今回の話が証明されていても正直に言いますんで。ヨロ

ところで、あなた何者ですか？正直こんな人達がいるとはビックリです。

１：0.9999…とは無関係な話を続けるなら
　　適当なスレへ行け。無ければ自分で立てろ。
２：混乱しているだけなのかもしれんが
　　言っている事が無茶苦茶だ。
　　最低でも１週間は書き込まずに頭の中で熟成させろ。

無限に並べるとか言い出しちゃだめなんだよ。

無限の操作とか無限回の計算とか無限に繰り返した果てとか
そういう動的な意味あいを表現するのを放棄して今の
静的な表現を採用してるんだからさ。


>>305　どこで証明されてるんだよ？

>>310
ZF集合論上で。
空集合の公理とか無限集合の公理とかを今度は槍玉にあげるわけでつか？

>>311
公理だからもちろん証明されています、って言ってるの？
だったら「公理で与えられています」って書けば？

308が「存在する事が証明されいましたっけ？ 」と言ってるが
俺には「無限集合って構成できるんですか？」と聞いてるように
思える。
証明されています、なんて書くと「どうやって作るんだろう？」
と悩みだすんじゃないかとｗ

いやいや、ラディカルにも空集合の存在からして疑っているかもしれん。
今ごろ空集合の存在を証明しようと頑張っているかも。

>>300
距離に関して論じるならば、その矢はなぜか壁(距離１ｍ)の所で停止してしまっている。
別にザ・ワールドが発動しているわけではない。
１ｍを超える(壁に突き刺さる)という事実を排除することによって構築された屁理屈を
・受け入れてパラドックスとみるか
・否定して間違っていると指摘するか
の違いではなかろうか。

>>314
１ｍを越すんじゃなくて、ばっちり１ｍになるかならないかだろｗ

>>315
ばっちり１ｍになるかならないかだから、１ｍを越すことはできない。
１ｍを越すことができないという事実に反する前提条件の下に組み立てられた「物語」を
・現実の世界に組み込んでパラドックスとして戯れるか
・きっぱりと拒否するか
の違いですよ。

はいはい

>>313
教科書によっては空集合の存在は公理じゃないけどね

>>316
そこに文句つけるのｗ
じゃ、最初のパラドックスを「ばっちり１ｍになるか」って変えれば良いだけ。
ＯＫだねｗ

>>316
というか>>286では「壁に当たるか当たらないか」をそもそも問題にしていて、１ｍを越すか
なんつーのは問題外なんですがｗ

>>318
え？そうなの。他にどういう公理を仮定するの？

物語とか戯れるとか、禿しく懐かしい表現だな。

>>321
今思いつくのはKunenのやり方だけど、
空集合の存在を公理にする代わりに、
「集合が少なくとも1つ存在する」を公理にする。
（というかこれは1階述語論理の定理なので、
公理にする必要もない。）
あとはその集合と偽の文を分出公理に
適用すれば空集合の存在が導かれる。

>>323

そっちのほうが自然かもね。「集合が少なくとも一つ存在する」
のほうが弱い仮定だし。まあ他の公理もあわせて考えれば同じことだが。

なにやら妙な議論になっているな。>>309が一番まともなことを言っているようだが
アキレスと亀２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086523276/l50

>>319
「ばっちり１ｍになるか」⊂「ばっちり１ｍになるかならないか」
何がしたいのだ？

>>320
1m先の壁に当たるか当たらないかの問題と言うのなら、
0.1m先の通過点に対してもその理屈を適用してみよ。
今度は0.1m先の通過点に達するか否かという問題になるわ。

「1m先の壁に当たるか当たらないかの問題」なら当然0.1m先の通過点は通過してるよな。
ということは、この理屈は2カ所のポイントに適用しただけで
自分で自分を否定してしまうということなんだよ。

いちいちｗを付けなきゃ自分の優位を示せないような輩のレスなんて迷惑なだけですな。

>>326
だからパラドクスだって話なんだろｗ
そもそも。それだから「飛ぶ矢は飛ばない」って話だ。
もちろん常識とは異なるからなんとか対処しなきゃならん。じゃどうするのってコト。

>>326
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

単純に
「有限の時間内に無限の地点を通過するというのが矛盾」
って考える人がいるの？
イエスかノーかでこの先の説得の仕方が変わると想うんだが。

>>327
「アナログ移動という概念は、任意の数を0で割るという概念同様 不能なものである」
と最近思い始めている。が、これで対処できるかどうかはまだ分からん。

・対比させてみた。
y=1/x において、x=0 の場合は不能だが x→0 ならOK。だがこの時のxの最小値は定義できない。
点のアナログ移動は不能だが、デジタル移動はOK。だがこの時の移動距離の最小値は定義できない。
う〜ん、使えなくはなさそうだな。しばらくはこれで遊べそうだ。

>>328
いやがらせのつもりなんだろうけど単純バカでいいね、君は。うん、分かりやすい。
俺もこれぐらい分かりやすいレスを書くよう心がけねば。ｗ
の文字1種類だけを駆使してここまでできるとは驚きだ。

>>330

「アナログ移動」とか「y=1/x において、x=0 の場合は不能」とか
何が言いたいのかサパーリわからん。

>>331
点がアナログ移動するとその軌跡は線になるという説明で我慢しておくれ。
点がデジタル移動してもその軌跡は点の集まりであって線にはならない。

線は点の集まりではない。
線は点のアナログ移動による軌跡でもない。(アナログ移動の存在自体を否定)
線は線、点は点、それぞれ次元の異なる別物。
線は点が存在しうる1次元空間である。(数直線は数値という点が存在しうる1次元空間である)

これらが現在の背景思想としてあるというだけで330に結論の記述はございません。

余談ながら、
液晶画面で文字をスクロール移動させても、見た目はアナログ移動だが実際には画素単位での
デジタル移動でしかない。(この場合は画素ピッチという移動距離の最小単位がある)

嗚呼、ついに「0.999.....≠1と0.999…＝1」の本題に入れなかった。
出直すとしよう。久しぶりにこのスレに舞い戻ってきたというのに何やってんだろ、俺。

>>332
デジタル移動って意味不明な用語を定義もしないで使うのはなにやら文系的で詩的で…
定義をしっかり定めて論議をしないと数学じゃダメダメだよｗ

要するに「アナログ移動」は連続移動で、「デジタル移動」ってのは非連続移動って
コトだろ？連続ってのは数学ではεδ論法できちんと定義されている…。

「デジタル移動」つーのを提唱するんだったら、きちんとその移動を定義しないと、
論争になりません…。当然最小移動の距離とかもね。

>>332 線は点の集まりではない。

線は実数と同等？
線は線、実数は実数、それぞれ次元の異なる別物。？

イエスかノーかでこの先の説得の仕方が変わると想うんだが。

重箱の隅だが、連続性と稠密性は違う概念だ。
有理数はいくらでも細かく刻めるが連続ではない。
今話題になっている連続というのは、稠密のことだったりしないか？

<script>
a=0;
document.write("<table border>");
for(i=0;i<=50;i++){
a+=9*Math.pow(10,-i-1);
document.write("<tr><td>"+i+"</td><td>"+a+"</td></tr>");
}
document.write("</table>");
</script>

ふむふむ, こうかな

perl -e '$a = 0; for ($i=0; $i<50; $i++) {$a += 9 * 10**(-$i-1); print "$i $a\n"; }'

>>335

あなたの連続性と、稠密性の定義キボンヌ。

「いくらでも細かく刻めるが」といってるところを見ると、「連続性」ってのは
距離空間の完備性のことですか？

1=0.9999999…
が認められないってことは

lim(x/sin(x))=1
x→0

がみとめられないってことだな

1/2=0.5
も認められないかも

解なし。

もっと直接的に、


1=0.9999999…
が認められないってことは

lim ((0.1)^n)=0
n→∞

が認められないってことだな。

そもそも極限という概念自体を認めない人も世の中にはいそうだな。
極限という概念は直感的に自明とは言い難い面もある。

てゆうか微積分自体認められないんじゃ

「認められない｣というより
｢独自の解釈｣をしてると言った方がいいかもな。

｢オレ極限｣の定義により
1≠0.9999...
である//

別に極限なくても超準解析みたいに微積とかキチンとできるんだから、
それだけじゃ攻撃材料には弱い気がするなー。

実数の定義に根拠はないというのが20世紀に明かにされたことでしょ

なにを攻撃するんだ？

>>347
それじゃあ「根拠を持つ定義」というのがあるのか？よくわからん

Re:>347 貴方が実数空間に求める性質は具体的に何？

>>346
攻撃ｗぷぷぷ（゜∀゜）ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

戦争をしている人が居るようですね……

どの勢力とどの勢力が戦っているのだろう？

0.999… は省略記法であり値としては1に等しい。
省略記法なので省略せず展開して記述することができる。
一部の人間がこの省略記法の中に見出している妄想は
省略せず記述することができない。
彼らは実際に9を無限に並べたり、その先が何になるか
評価したり出来ると考えているからだ。
数学に対する誤解というより、それ以前の言語に対する
誤解というべきである。

>>352
戦争って要するに論争だろ。論争すらしないなら、単なる独り言…。
ちらしの裏にでも（以下略）

理解を深めるための議論なら大歓迎ですが、
そんな時に「攻撃」などという言葉は使いませんよ。

罵り合いなら他でやってください。

単に答えに窮して、揚げ足を取っているだけだろ。情けない。

実数の定義における条件を少し弱めると分けられそうな気がする

0.999…　を実際に評価した結果と「1」との間に
ずれがあるんだからそれは認めろよ

「ある種のモデルの中で0.999… = 1を主張する数学屋さん」
VS
「超越的な真実としての0.999… < 1を主張する非数学屋さん」

という論争になってしまうんだよね。後者は超越的議論だから反論不可能。

ていうか下の超真実（ｒｙでは0.999・・・・って定義できてんのかよ？
どうせ、超真実（ｒｙにより（ｒｙなんだろ

うーん、「あるモデル（なのか？）においては、
0.999… < 1　という表記もありうるわな。
おーよしよし」と清濁併せ呑めば、終わる話では。
1÷3の小数表示結果を3倍することと何の関係も無いけどね。

まず、超越的な真実が存在して、それを不完全に切り取ったものがモデル
っていう捉え方なんだろう。まずイデア界ありきなので、いくらモデルの話
をしたって駄目。

1÷3の小数表示結果を3倍するのは小中生あたりを納得させるコトがまあ
できる可能性が高い方法だろ。それなりに意義はある…でもここにいるような
人々には何の効果ももたらさないのも事実。

後、なんで「１＝０．９９９…」としちゃうと「都合が良いか」って説明する方法もあると思い
パラドックスなどに言及して来たが… >>362 なるほどね。「都合の良さ」を超越するような
なんか究極的存在みたいなモンがあると思っているヒトもいるかもね。

本題の原稿を書き上げるまでこのスレに寄ることは封印してた。待たせたな。(待ってないかｗ)
証明などというおこがましいことには挑まず、方向性のみを示そう。(全部で5レス)

まず0.999・・・・を2種類に分ける。
1)小数点以下n桁目とn+1桁目の9の処理に時間差がある:0.999..... と表記(1桁ずつ逐次処理型)
2)小数点以下n桁目とn+1桁目の9との間に時間差がない:0.999… と表記(全桁一体型)
　　1)との対比でこのような表現にしているが、要は無限小数表示形式の「0.999…」全体で
　　　　ひとかたまりの記号だと思えばよい。

結論から言うと
1桁ずつ逐次処理型の0.999.....では、0.999.....≠1
全桁一体型の0.999…では、0.999…＝1

>>365 の続き

1桁ずつ逐次処理していく形式の0.999.....では、
0.9 , 0.99 , 0.999 , ・・・・ , 0.999..... と1桁ずつ9が追加されていく。
1との差をとれば、0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , ・・・・ と
毎回1/10に縮小されていくだけなので、0になる要素が発生しないことが分かる。
これにより 0.999.....≠1 を導き出せる。

1÷3でも同様だ。1桁ずつ逐次処理する場合には「商」の他に「余り」の概念が発生する。
商＆余りを逐次求めていくと、0.3 & 0.1 , 0.33 & 0.01 , 0.333 & 0.001 , ・・・・
この「余り」も毎回1/10に縮小されていくだけなので0になることはない。
つまり、1÷3≠0.333..... (余り≠0) となる。(1桁ずつ逐次処理する場合ですからね！と念押し)

>>366 の続き

全桁一体型の0.999…は、無限小数形式の表現である。
分数形式の表現では 3/3=1 のように約分という手法で数値形式の表現(この場合は1)に戻すことが
できるのだが、無限小数表示形式には約分に該当するものが無い。
いや、あるといえばあるのか。だが10倍して差をとる手法は途中で 0.999…=1 を前提にして成り立つ式を
用いるため「証明」レベルには適さないのだが、通常の式展開中に使うのはよいと思う。

ここからは、 0.999…=1 という式をどう見るかという「主張」であって、
式の「証明」でもなければ、成り立つという「説明」でもないことをもう一度お断りしておく。

0.999…=1 という式はこう読む。【無限小数表示形式の0.999… とは数値1のことである】
よって 1=0.999… と書くことは適切ではない。「1とは0.999…のことである」じゃあ変でしょ。
一般には「数直線上の隣り合う(？) 0.999…の点と数値1の点の【異なる2つの点は同値】である」とかの
解釈もあるようだがこれは却下する。
これを認めると、>>330 >>332 で示した「点のアナログ移動」が可能になる気がする。
(ホッ、伏線にできて一安心)

≠1派だった自分はこう解釈することで0.999…=1 という式を受け入れた。
「数直線上の0.999…の点と数値1の点は【同一の点】である」と。
【異なる2つの点は同値】ではなく、【同一の点】。
「同値」ではなく「同一」。式の別解釈で結論が変わってしまったのだ。

>>367 の続き

1÷3=1/3=0.1(3進数)=0.333… (10進数：全桁一体型)
3進数ならば0.1と完全に数値の形で示すことができるので1/3の点は数直線上に存在すると断言できる。
10進数というデジタル(数直線上に点在)形態の数値では本来、1÷3の商は数値として表現できないのであるが、
「…」という記号を用いることで数値っぽく表すことができてしまったために混乱を招いた。
デジタル(数値という数直線上の点)ではアナログ(数直線)の全てを表すことはできないのだ。>>332 参照

1/3=0.333…
2/3=0.666…
3/3=0.999…

通常は何倍しても、分数表示形式は分数表示形式のまま、無限小数表示形式は無限小数表示形式のままである。
だが特定の場合、例えば3/3は分数表示形式から約分により数値(表示形式)の1に戻せる。
しかし0.999… の無限小数表示形式はそのままでは数値(表示形式)の1に戻せない。
それ故「0.999… とは数値1のことである」ということを示す補助式：0.999…=1 が必要となる。

0.999… の無限小数部分にこだわって何かを論じても無意味なことなのだ。
0.999… とは数値形式に戻れず無限小数表示形式のままでいる数値1が実体なのだからな。
あえて言おう。無限小数表示形式は欠陥表示であると。

>>368 の続き

1桁ずつ逐次処理型の0.999..... で全桁一体型の0.999… を論じてはならないし、
全桁一体型の0.999… で1桁ずつ逐次処理型の0.999..... を論じることもあってはならない。
両者は別物。語るだけムダ、いや百害あって一利無し。弊害しか生まれない。

数(すう)：数直線上に点在する点全て(分数や無限小数は数値ではないのでこちらに属する)
数値：有限個の数字と、0か1つの小数点記号の組み合わせで示されるｎ進数の「数」(すう)

矢とか亀について改めて考えてみた。これは「1桁ずつ逐次処理型」だな。
つまり、いつまでたっても到達することはない。
答えの出ない手法(論理)で答え(いつ到達するか)を出そうとするのが間違っているんだね。
パラドックス(到達しない)と認知されているいうことは、
「1桁ずつ逐次処理型」の0.999..... は1に到達しないと認知されていることになる。
ラッキー!! これで「0.999.....≠1と0.999…＝1」論に自信が持てたよ。

>>334　数直線は1次元アナログ空間、各実数値は各点、それぞれ次元の異なる別物。
　長さ0の点がいくら集まろうと長さのある線になることはない。
　あんまりいい例えじゃないが、将棋盤は9×9:計81マスの2次元デジタル空間。
　この空間(マス)全てに駒を埋めても駒は空間にはならない。それぐらい別物。

どんな理論も、はじめの一歩を誤ればそれ以降はただのお遊び理論かゴミ理論。
ニュートリノの質量0然り、「光の速度は不変」と光を絶対視するのもまた同じ。
「波(光・音)の速度は不変」ならまだ分かる。故にドップラー効果が発生するわけだからな。
光だけが特別ではない。水の中を進む光に光速度不変を適用するのと同じぐらいくだらない。
相対的に見れば「Aが光速でBに近づく」と「Bが光速でAに近づく」は同じでなきゃならん。
だいたい「〜が〜に」と言ってる時点で相対的表現ではない。
「AとBの距離は光速で縮まる」とかのほうがまだマシ。おっと、余計なことまで書いちまった。
ではこれにて失礼する。

頑張って書いた努力は認めるが、やっぱり意味わからん。
本人はわかってるのかもしれないけど、伝わらない。

記号と、それによって指し示されるものの区別がついてないんじゃない？
1も1/3も0.333…も全部記号だよ。数と数値という区別じゃなくて、
記号と、それにより表される数、という分け方が本質的だと思う。

0.999…=1は、「0.999…という記号が指し示す数は、1という記号が指し示す数と等しい」
と読む。

だから1/3=0.333…は間違いだし、
3進数なら0.1を三倍すると1になる。

おまいら・・・・・・

>>365-369
なんか下らない説明付けを試みてて、
何をしたいんだこの人はと思ってたら、
相対論は間違ってる系の人ってオチだったってことですか。

1/3=0.333…

>>369
矢とか亀とかの「パラドックス」は、パラドックスとして放置されているのではなく
現実の現象と違うのだからなんとか対処することを求められているんですよｗ
いきなり放置ですか？

>>366
＞毎回1/10に縮小されていくだけなので、0になる要素が発生しないことが分かる。
これは正しい。
＞これにより 0.999.....≠1 を導き出せる。
これは誤り。この2行の間のギャップを埋める説明をしておくれ。

>>368
＞デジタル(数値という数直線上の点)ではアナログ(数直線)の全てを表すことはできないのだ。
数直線上の任意の点を無限小数表示する方法は具体的にありますが。表し方が一意かどうかは別にして。

時間差とか言ってる時点で
馬鹿決定。

議論に値しない。

>>365-369
＞1桁ずつ逐次処理型の0.999.....では、0.999.....≠1

全桁一体型の0.999…　についての見解はまあ認めんでもない。
しかし「1桁ずつ逐次処理型の0.999.....」とは何だ？
0.999.....は何を省略した記法だというのだ？
定義未了なものに記法だけ与えあたかも存在するもののごとく
取り扱っているだけではないか。
353で心配した通りだ。
逐次処理型の0.999.....、は作られていない。論理の問題では
なく言語がそれを許さない。

言語がそれを許さない

>>378
「定義未了派」のヒトは過去ログ見て、その考えでどうやったら飛ぶ矢は飛ばないとかアキレスと亀の
パラドックスを解決するか示してくれ。

>>380
こちらでﾄﾞｿﾞｰ
アキレスと亀２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086523276/l50

>>381
「定義未了派」のヒトがキチンと論理構築しないと意味ないじゃないかｗ

定義未了「派」とか言うな。
実際未了じゃんか。
あと飛ぶ矢とかアキレスとかに何かパラドックスが残ってたっけ？

どちたにしても、
パラドクスの話はここでやるな。
適当なスレがあるだろう。

>>384
うまく回答できないからなｗ
逃げるなよ。しっかり答えてもらおうか。

>>383
そもそも数学的「事実」ってのが１つに定まるかのように思っている時点で既に…。

悪いがパラドクスについては逃げさせてもらう。
どんな疑問が残っているのか素でわからんからな

>>387
おいおい。とりあえず疑問の点自体は、小学生でも理解できるだろ。
俺も小学校の時これ読んで理解したぞ。

そんなのを理解できないヒトが、言葉をこねくりまわして１＞０．９９…を示そう
つーのも…。

そうじゃなくて、こんだけ議論されればさすがにもう
疑問点は残ってないでしょ？て意味

>>389
は？残りまくりなんですがｗ
要するに「１＝０．９９９…」みたいなのを認めると疑問点は全て解消。そうじゃないと、別の解決方法を
探さなきゃならないってこと。ＯＫ？

>>388
小学生のときに「理解した」んじゃなくて「騙され」たんだろ？
「うおっ、こりゃパラドックスじゃん」ってなｗ

そんなヒトが、言葉をこねくりまわして１＞０．９９…を理解しよう
つーのも…。

>>391
そんな強弁使えるなら、「１＝０．９９９…」が理解できないのはバカ。なんてのも言える罠ｗ
いいから、きちんと示せよ。

アキレスと亀はパラドックスではなくて追い越す手前では追い越せないと言ってるだけだろ

>>393
だったら、０．９９９９…　も単に「９の個数なら１より小さい」でＯＫですねｗ

>>393
修正…

だったら、０．９９９９…　も単に「９の個数が有限なら１より小さい」でＯＫですねｗ

疑問点残りまくりだとか「きちんと示せよ」なんて言ってるやつは
０．９９９…が１に到達するまさにその前後とか
アキレスが亀に追いつく瞬間の前後とかのステップを余すところなく
記述しろ、と無理強いしてるんだと思う。
それは不可能だが、それを「パラドックス」とか言うな。

>>396
いつそんなことをしろと主張したｗ？
勝手に妄想しないでくれよ。

「１＝０．９９９…」を認めたらパラドックスは解消し、全てうまくいくんだよ。
早く楽になろうぜｗ

＞０．９９９９…　も単に「９の個数が有限なら１より小さい」でＯＫ
「０．９９９９…」を「９の個数が有限」としている時点でダメポ。
小学校からやり直せ。

>>398
本質じゃない細かい部分を指摘して、逃げの体勢ですかｗ

>>397
おいおい俺は「１＝０．９９９…」を認めないやつに
言ってるんだぞ？混乱すな

だいたい>>390の立場がよくわからん
疑問点残りまくりと言っておきながら
「１＝０．９９９…」を認めるようなこと言って．．．

「w」を使うような奴に立場なんかないよ。
ただ誰かを罵倒したいだけ。
論理が破綻してもお構いなし。

別に1=0.999…を認めなくても、パラドックスの解決自体はできるだろう。
方法はいくらでもある。アキレスと亀のパラドックスで言うと例えば単純に、
時間にはそれ以上分割不可能な長さがあると仮定すれば良い。

だから、1>0.999…派とか0.999…なんて存在しないよ派に対し、
「その理論じゃパラドックスが回避できないよ」と言って説得するのはむりぽ。

>>401-402 そうかありがと。
ただアキレスならぬ 1>0.999…派 の人間が一人でもいいから
正しい理解に到達しないかなあ。これは有限ステップだろ？
その経過をつぶさに観察したい。

>>403
そもそも、数学モデルの取り方によっては「１＞０．９９９９…」もまた正しい場合もあるのだから。
（通常は１＝０．９９９９…だろうが…）正しい理解ってのは変な話だ。

>>402
時間に分割不可能な単位がある世界なら、１＞０．９９９９…を認めても文句ないんじゃないの？

>>405

いや、それとこれとは別の話なんだ。
時間を表現するモデルとして、分割不可能な単位があるものをとれる。
というだけなので。それとは独立にいわゆる普通の実数論があってもいい。

アキレスと亀の問題と、1=0.999…かどうかってのは、別の話。
実数論を導入すると、二つとも一度に解決できるというだけで。

二つとも一度に解決できるってところが、実数が「いいモデル」だという
理由ですね。

俺は「通常の数学では１＝０．９９９…だ。その方が無理がない。特殊な数学モデルを作ると
１＞０．９９９…の場合もあり得る」と思っている。その根拠の一つとして、アキレスと亀などの
パラドックスの説明が極めて簡単になるコトが大きい。現実に合わせて計算結果を定めるって
のはよくある話。

時間が分割不可能な長さがあると仮定すると確かにパラドクスは解消するやも知れないが、
その分割不可能な長さとは具体的に何かという面倒くさい問題や、どのように各時間毎に動く
物体が飛躍しているのかという問題が残る。まあ、実際そうなっているかも知れんがねｗ

それより、「１＝０．９９９…」を認めパラドクスを解消した方が無理なく矛盾なくすんなりといく
だろう。ちょっとしたしこりがのこるヒトがいるだろうけどね。現実に時間や空間が最小単位の
飛躍をしていたとしても、マクロに見て近似としての価値が減るわけでもなし…。

>>408

漏れは物理にはあまり詳しくないが、あんまり短い時間を考えすぎると
量子論の世界に突入して実際ぴょんぴょん物が飛躍してるんじゃなかったけ？

>>407
そうだね。一気に解決するし無理がない。

>>409
現在の物理だと時間で飛躍しているんじゃなくて、距離で飛躍しているのでは？
ただ、存在確率が波のように広がっていくのだから、普通の飛躍とは違うけど。

距離について飛躍してれば、時間についても飛躍してるんじゃないの？
それとも量子論は相対論と違って、時間が特別な位置を占めてるのか。

>>412
だからあ、存在確率が時間に従ってじわじわと拡散して、観測がおきると
その存在確率が１点に収束するから飛躍するように見えるだけなんだよ。

へえ。そうだったんだ。観測した瞬間、観測した時間と位置が
確定するのかと思ってた。

そもそも「１＞０．９９９…」とする数学モデルも作れる（だろうなあ…）のだから、
なんで「１＝０．９９９…」なのかというと、そう定義した方が便利で都合が良く
無理がないためだ。
だから、それを示すためには、そう定義すると都合良く無理がないって実例を
示すのが一番だと思うが…？違うか？

ttp://www.freeml.com/message/[email protected]/0001985
>1-0.999...=0.00.........1です。ここで、.........は、無限です。

の中の人の説得はむりぽ？

>>415

そもそも「モデル」という考えが受け入れがたいものなんじゃね？
>>362みたいなかんじで。

>>405
逆だよ！
時間には分割不可能な単位があると考える世界だと、
長さにも分割不可能な長さがあって、１と0.9999…は同値となる。

取り敢えず初等数学の知識で数直線を考えてみると、
数直線は点の集合体である？で良かったのかな？
点は長さを持たない。点をいくら集めても、長さも面積も持たない。
違ったかな？
　
数直線はまず有理数があり、その間を補完するのが無理数。
それによって、数直線は、連続性を保つ。
違ったかな？

これ代数学と幾何学の定義をごっちゃまぜにしているんだけれどもね。

要は、点の集合を線と表現して良い様な世界ならば、１＞0.9999…、
点と線を区別する世界であれば、１＝0.9999…、
と言う事ではないのかな？

取り敢えず初等数学の知識での、思考ではあるけれども。

>>418
＞点と線を区別する世界であれば、１＝0.9999…、

点と線を区別する世界であれば、数直線上では、１＝0.9999…、

>>418

＞長さにも分割不可能な長さがあって、１と0.9999…は同値となる。

　というか…そもそも 0.9999…が定義できないのかもしれないな。

＞数直線は点の集合体である？で良かったのかな？
＞点は長さを持たない。点をいくら集めても、長さも面積も持たない。

　普通は、点を無限に一直線に集めると直線とか面とかになるなあ。
無限に…ってトコが大切ね。

＞要は、点の集合を線と表現して良い様な世界ならば、１＞0.9999…、
＞点と線を区別する世界であれば、１＝0.9999…、

　どうしてこんな結果に…。
でも、幾つかのモデルを考えているのは、背景に絶対真理みたいなのを想定して
いない証拠なので喜ばしいですな。

>>420
そう、無限大をどう考えるかの議論だとは思う。
しかし、１＞0.9999…と考える人には、無限大の世界は不要なのでは？

＞普通は、点を無限に一直線に集めると直線とか面とかになるなあ。
０×∞が、無限の長さを持つ線になる事の証明の方が大変では？
多分、無限小の世界では、点は、長さを持つとした方が簡単と思う。

それよりは単位長さの概念で、線は、
微少な線分の集まりだとした方がもっと簡単なのでは。

1＞0.999... だと考えている人は 0.000...001 を無限に小さい数だと言い張る

そして、「...」のあとに数字を置いちゃダメだよと言われると
「なぜそんな恣意的なルールを決めるんだ？！」などと不平を言う

>>421
簡単ではないです。大体微少な線分の具体的長さはいくらかってつっこまれるのは必定。
一応無限小なる数学的で仮想の数を想定してできあがっている超準解析学ってのが
あるのですが、これがまた超めんどうくさい…。
そんなのをやるよりは、素直に「１＝０．９９９９…」を認め極限や実数の連続性などを認め
た普通の数学をやる方が遙かに楽。

f(x)=(1-x)cos(πlog[10](1-x))
という関数を考える。ただしf(1)は0と定義する
すると
f(0.9)=-0.1
f(0.99)=+0.01
f(0.999)=-0.001
f(0.9999)=+0.0001
……
となる。

さて0.999…＜1派の人に聞きたいのだが
f(0.999…)は0と比べて大きい？小さい？等しい？

>>422
「0.000...001」の
あなたの定義を教えてください。

「無限に小さい数」


話なんか通じないよ

>>427
限りなく小さい数＝-∞

>>424
突っ込んでくれて有難う。

点の集合が線とした時に、1=0.999…であれば、１の隣接点はどの様の状態であるのか、
（点の集合が線であるという状態として）、また、１≠0.9999…としたときに、
１の隣接点は何であって、それが集まれば、何故線分になり得るのか、
を証明する方が難しいと思うのだが？

↑初等数学の範囲の話です。
但し、これ以上の話は高等数学を用いなければ、議論にならないとは思います。

隣接点なんて無いよ。有理数の時点でもう隣接点なんて無い。

ていうか、「点」とか「線」の定義が多分数学者とあなたで違うだろうから
議論はたぶんかみ合わない。

好意的に　隣接＝近傍
と解釈したらどうなるかな？

ここは意外に優しい人おおいトコだねｗ

>>429
うーん。隣接点とか線とか…それをキチンと定義しないと数学じゃ何も論議
できんですよ。点ってのは多分一つの実数の数直線上のイメージなんでしょ？
隣接点って何ですか？キンボー？

残念だが、
「近傍」と読み替えても
どうにもならないな。

429は、何よりもまず「隣接点」の定義を。
それ無しでは、絶対に先に進まないでくださいね。

>>434は、
「残念だが、
『近傍』と読み替えても
どうにもならないな。

429は、何よりもまず『隣接点』の定義を。
それ無しでは、絶対に先に進まないでくださいね。」の定義を。
それ無しでは、絶対に先に進まないでくださいね。

>>435
おい、どうした？大丈夫か？しっかりしろ！！

ヘンジガナイ　タダノ0.99・・・ノヨウダ

何か悔しいことがあったんだろう。
そっとしておいてやれ。

>>434　>>436-438
自演乙。
>>434　>>436-438
自演乙。
>>434　>>436-438
自演乙。
>>434　>>436-438
自演乙。

ナンデ　クチカラ　アワトバシテルノ?

エロｔ時エアロイ；ｔｖ前ｊ擬おえｒじゃおｇじゃえいｊりえじｒｊ
ｒｖｇｊｋｒｇｊも会えｒｊｍ儀おえあろじじゃいｒじえじゃおいえ
絵パオｖ、ｇ買えおｐｋごぱえおろぱろｇじｒじえあじｒｊぎえじい
ｖｊ氣おｇじぇｒぎえｊｒｇじゃ、おぎじゃｇｖｊれいおｊぎｒじｊ
ｖじぇお愛ｇ所栄ｊ擬お会え@語あいｖ、おあじおぎじゃえいｒじじお
ヴぇおｐｇ歩ｋ後ｐｋ派得おｒｋｇヴぉｐかえおｐｋごえｒかおｒけお

定義と言われても、日本語として言葉どおりなのだがｗ
線をのっぺりした物ではなく、点の集合として捉えている以上
１という点に隣接する別の点が存在する事になる。

>>442
日本語で…だけじゃダメなんですよ。きちんと定義してもらわないと。
数学では「のっぺり」（連続ってコトでしょ）みたいな概念もきちんとはっきりした定義があるんです。

で、肝心の回答ですが…それは違いますね。のっぺり（連続）していない点の集合でも、
どんなに近い２点を選択しても、その間に点があるものがあります。分数とかそうですよね。

うーんすごいな。中学生小学生が暴論でつかみかかってきている

それは解釈の違い。
点の集合として捉える以上、点の隣も必ず点。

>>444
論理で反論できないので中傷ですかｗ
さすが小学生以下ｗ

ｲｲﾖｲｲﾖｰ

>>445
点の隣に点は必ず来るけど、何の点かはわからない。
分数の集合の間はすかすかだけど、一つの分数の隣にどんな分数があるかは分からない。

まず、「隣の点」の定義をはっきりさせておこう。数学者的には

aとbが隣であるとは、aとbの間に他の点がないこと。

と定義したい。隣の家ってのは、隣の家と自分の家の間に一軒も家が
無いから隣なわけで、この定義は現実ともよく合っている。

この定義のもとでは、隣の点は存在しない。実際任意の数a,bの間には
(a+b)/2という数が存在する。

隣の家は左右（前後）だけとはかぎらんぞ

ｲｲﾖｲｲﾖｰ　ｿﾉﾁｮｳｼﾀﾞﾖｰ

まあ確かに家の並びは二次元的だからな。

１という点の隣の点が存在しない。
点の集合と捉えているので、線上には点以外の物は存在しない。

線であるにも関わらず、１という点以外が存在しないとは！ｗ

>>450
上下の家は”隣”とは呼べないし、
昨日の家も明日の家も”隣”とは呼べないな。

>>449
の言う通り隣を定義するのは無理なんですよ。
それでも0.999･･･=1が納得いかないのはよくわかります。
その誤解の根本のところがわかりたいし、納得してもらえるなら
納得してもらいたい。
0.999･･･=1に対する違和感には
　１．言語のレベル
　２．論理のレベル
　３・オブジェクトのレベル
の３種類があると思っていますが、そのうち２と３にとらわれている人は
はっきり言って数学のセンスがあまりないんだと思います。
だけど１の言語レベルで誤解している人にはなんとか誤解を解いてもらいたい。
センスがあるのに変な思い込みにとらわれて才能を無駄にしているように
思うからです。

>>455
三つのレベルの詳細きぼんぬ

出た！
レベル分け！

誰にも通じないオレ分別。

点の集合なのに
隣の点は存在しないというパラドクス。

砂場で砂で、となり砂なんてよーわからん。そんな感じ

オブジェクトのレベルにおける誤解は単純に対象についてのイメージの
誤解です。
新しい概念を正確にイメージするのは困難でしょ？
コンパクト性とか線形独立性とか、初学者がひっかかりやすいとこ。
真面目に勉強すればそのうち理解できると思う。
論理のレベルで誤解している人は僕の理解を超えているので
何も言えません。
言語レベルの誤解については自分自身が最近までとらわれていた
ものなので簡単には言えないですね。でもこれが相当強い固定観念
になるような気がします。

>>458
単に「集合」であって位相構造とかが何も入ってなければ"隣の点"など
なくても当然でしょう。
むしろその素っ気無さが単なる集合のレベルだと考えてください。
"隣"なんて概念が邪魔なときもあるんです。

いや、だから「隣」の定義が不明なのに、存在もパラドックスもないだろ。

オブジェクトのレベルにおける誤解は単純に対象についてのイメージの
誤解です。
新しい概念を正確にイメージするのは困難でしょ？
コンパクト性とか線形独立性とか、初学者がひっかかりやすいとこ。
真面目に勉強すればそのうち理解できると思う。
論理のレベルで誤解している人は僕の理解を超えているので
何も言えません。
言語レベルの誤解については自分自身が最近までとらわれていた
ものなので簡単には言えないですね。でもこれが相当強い固定観念
になるような気がします。

>>458
単に「集合」であって位相構造とかが何も入ってなければ"隣の点"など
なくても当然でしょう。
むしろその素っ気無さが単なる集合のレベルだと考えてください。
"隣"なんて概念が邪魔なときもあるんです。

重複失礼しました

紙のうえに、砂をぱらぱら落としてるイメージなんだろうね。
「点の集まり」ってのが。つまり、まず位相やら距離やらが定まった
入れ物となる空間があって、その中に（集積点を持たない）点集合が
あるというイメージ。

>>449
教えてもらう立場なので、表現で気に障る部分があったとしても、
文章力のなさとして勘弁してもらいたい。

只単に、ａｂであれば、任意のａｂであって、
ｂがａから最小距離をもっていると言う条件を含んでいるとは思えんのだが？
やはり線分の連続性は、長さの概念が必要では？

だから隣の点を定義してくれよ。何を言ってるんだあんたは

で>>445にループと・・・・

a＋Δｌ

>>468
それやるんだったら、超準解析になるんじゃ？
目茶面倒臭いらしいが、本気でそっちを極めても良いかもね。

超準解析を学んで、もし「これこれ！この構造が正しいと思たよ」
と感じたとしたら相当センスのある人だったということになるだろう。
でも普通の数学以上に「なんじゃこの異常な世界は？」と感じるケースが
きっとほとんどでしょ？
そういう人は単純に実数構造に対するイメージをつかみ損なっている
だけだと思う。

あと、隣の点だとか無限小だとかを導入したければ、その代わりに
「何か」を捨てなければ得られないよ。超実数の場合はアルキメデス
性が失われるんだっけ？教えてエロい人

「隣」に定義も何も無いだろｗ
辞書でも引けよ。
どうせ解説したところで
解説中の単語に対して、いちいち「じゃぁ〜の定義は？」って聞いてくるんだろ？
きりがねぇよ。
常識を身につけてから来い。
そして二度と来るな。

>>471
だからあ、例えば「ある点から、最小距離にある点」なんて定義持ち出しても、有理数の集合
でその隣の点との距離の半分の点が存在するから、矛盾を起こすんだよ。
定義は良いけど、数学じゃ矛盾が発生するような定義はいかんのだよ。

誰が「ある点から、最小距離にある点」なんて定義を持ち出したんだろう…… ？

>>473
「ある点と、その間に点がない別の点」でも似たようなもんだ。
矛盾をおこさなくてはっきりとした定義がいずれにせよ必要。

「隣の点」の定義は>449でいいだろ。
んで、有理数や実数でその定義に当てはまるものは普通の解析では存在しない、と。
そんだけじゃん。

自分でも論破できるような勝手な定義を持ち出して
勝手に論破したつもりになっていい気分になるスレはここですか？

きちんとした定義を出せばＯＫなのに…

「隣の点」の定義は>449でいいだろ。
aとbが隣であるとは、aとbの間に他の点がないこと。
存在しないというのが玉にキズだが、あんま気にしなくていいんじゃ
ないかと個人的には思う。

きちんとした定義を出したら論破されちゃうじゃないですか。

>>478
つれますか？

1≠0.9999999･････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・999999・・・・・・
････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・
･･･････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・
･･･････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・
･･･････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・
･･････････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・
･･････････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・
･･････････････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・
･････････････････････････････････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・・999

でいいじゃん

>>468
ａ＋Δｌ＝ｂ

Δを正値の無限小としたときに、
ａ＋Δｌ＝ａ＋（１／∞）＊ｌ＝ａ＋０＊ｌ＝ａ
∴ａ＝ｂ

ん

>>449
任意の２点が数直線上にあると言う関係値は必要と思うが？
任意であるから、どんな関係でも成り立つというのは解るが、
極限値求めようとした時でもそれで良いのか？

↑
>>449
任意であるから、どんな関係でも成り立つというのは解るが、
極限値求めようとした時でもそれで良いのか？
数直線上にあるとしたならば、ａ，ｂが数直線上にあるという関係式は必要ではないのか？

言い換えてもぜんぜんわかりよくなってないぞ

例えば、9次元ユークリッド空間内の点で、全ての座標が整数の点だけからなる集合を考える。
このとき、原点O（0,0,0,0,0,0,0,0,0）の隣の点は何か？

整数の点とは

>>487
（1,0,0,0,0,0,0,0,0）とか
（0,1,0,0,0,0,0,0,0）とか
（0,0,0,0,0,1,0,0,0）とか
（0,0,0,0,0,0,-1,0,0）とか
いっぱいあるけど
それで？

どうしても隣の点が欲しいなら整列定理だな。任意の集合の任意の元の
隣の元が定義できる。まじおすすめ。

具体的な整列の方法を特定できないという罠

それが難点だな。
でも、素朴に隣の点があると思ってる人は整列した状態を思い浮かべてるんだろうと思う。

0.999…について色々思考しようと思っている前段階で、数学やっている人から文句つけられて
いるようですが…。ま、数学ってこんなもんだってのが学習できるかもね。

わからんでもない。
顕微鏡でどんどん拡大して見るイメージ？
最初は一様に見えるものでもそのうち別な構造（結晶とか）
が見えてきて、最初とはずいぶん違ってくる。
ミクロとマクロじゃぜんぜん違う。
数直線みたいにどのスケールで見てもまるきり変わらんてのは
現実の世界じゃ見当たらん罠。

>>494
それならそれで、量子力学みたいにミクロな世界の状況を何らかのモデルを使って
表せば良いだけ。矛盾が無いようにね。

かるーく矛盾が無いようにね、などというが、一般に無矛盾性の証明って
めちゃめちゃハードだぞ。使ってよい道具をどう選ぶかも問題だし。

単一の monad（特定の数の無限小近傍） それ自体は一様な世界だね。
>>495のようなことをやりだすと、せっかく作ったミクロな世界の中で
まったく同じ話が繰り返されてしまう。
この世が終わると界王様の世界があり、もっと上に超界王様の世界が
広がっている、って世界観？

無矛盾性が問題になるよりずっと前の段階だから
どんなにハードであっても関係なし

このスレまだあったんだ・・・。久々に覗いてみたら香ばしいのがいますね。

定義を求められて辞書を引け・・・って、どの辞書？まさか国語辞典とか言わないですよね？数学の議論において。
岩波数学辞典には「隣」の定義って多分載っていないと思うな〜。

常識・・・常識はそれが通用するコミュニティの外では意味を失うのですが・・・。まぁ、数学の議論で辞書でも
引けよ・・・と言う人の常識はこの板では通用しないと思います。

点を無限に集めても線にはならない・・・その無限がアレフ_0ならそうですねぇ。でも、アレフなら？
ルベーグ積分論を学習することをお勧めしますね。

なぜにルベーグ？
あと、集めただけじゃ線にはならないな。
濃度的には足りたとしても

> あと、集めただけじゃ線にはならないな。
> 濃度的には足りたとしても

まあこれは言葉の綾だって言い訳してもいいけど、
ルベグでどう説明する気なのかは俺も興味あるな

>>500
>>418
>点は長さを持たない。点をいくら集めても、長さも面積も持たない。

あたりはルベーグを学習すれば疑問氷解するのではないかと・・・。

しかしそれはハナっから
実数だけからなる直線や空間を対象に考えてるからでしょ。
そりゃあ、実数の集合を考えてルベグ測度を導入すれば
実数上の長さや面積を矛盾なく（ZFCの無矛盾性に相対的に）
導ける、ってのは確かですよ。
でも、実数と実数の間にさらに数がある、ってのも（ZFCの上で）
無矛盾な公理系で、そこでは、2^{\aleph_0}個の点を持ってきても
（超実数の）直線上の区間は被覆できないわけでしょう。
だから、実際、無限小がありうると考えている人に対して、
> でも、アレフなら？
と言いながらルベグ測度を持ち出すことにどんな意味があるのか
って、もうちょっと注意深く考える必要があると思うんですよ。

もちろん、1=0.999・・・の話をするときは実数の直線を考えるのが
「常識」だけど、でも貴方は常識の話がしたかったんだっけ？

とまあ、別に、貴方が間違ったことを言っていると言うわけじゃ
ないんだけど、>>499みたいにしてやりこめるのはちょっとだけ
はしょり過ぎなんじゃないかと思ったんですわ。

長くなって須磨葬。

> でも、実数と実数の間にさらに数がある

は、

> でも、実数の隙間にさらに超実数がある

に訂正しときます。

自分でもわけがわからなくなってきた。

「数学者の常識的なやり方では、実数の直線や空間を、
　2^{\aleph_0}個の点の集合に、距離などの構造をのせたもの
　として考えます。
　だから2^{\aleph_0}個の点でこの直線を覆うことができます
　（ZFCの定理により、\aleph_0個の点では覆えません）。
　しかもその場合、直線の部分集合（のうち少なくとも特定のもの）
　について、それが覆う長さをうまく定義することもできます。」

と書けば数学的事実の記述として別に嘘はないけど、でも
これだけでは「香ばしいの」相手に説得的ではなさそう。
じゃあそれ以上に、ルベグ積分や、その基本的アイデアを使えば、
もっと説得的なことが言えるんだろうか？

「実数の濃度の点で、実数の直線を隙間なく埋められる」、
「超実数の濃度の点で、超実数の直線を隙間なく埋められる」
という、条件つきの「隙間なく」以上に、
「直線を隙間なく埋められる」という定義はできるんだろうか？
（「だから結局[0,1]区間は点では埋められない」、と言われたら
何と言い返そうか？）

ひとまず、「任意の基数κについて、濃度κの直線はκ個の点で
隙間なく埋められる」によって「隙間なく」は定義できるとしよう。
すると、巨大なκにルベグ測度を一般化したとき、どれくらいの
部分集合がルベグ可測になるんだろうか。誰か知りません？

もちつけ
実数は2^{\aleph_0}個の点でそろったとしても、線としての
性質はでてこない。これに通常の位相だのルベーグ可測集合
といった属性をくっつけるわけだが、そこで必要となる情報量は？
当然、2^2^{\aleph_0}、のオーダーだよね。
点をいくら集めても線にならない、ってのはまったくその通り。

あ、>>500はそういう意味でしたか。なるほど。
情報量まで考えるとその通りっすね。

> 実数の直線や空間を、
> 2^{\aleph_0}個の点の集合に、距離などの構造をのせたもの
> として考えます。

という私自身の書き方もはしょり杉だったらし。

小学生又は中学１・２年の数学力レベルで思考すると、
隣の点というのは、線分、あるいは直線をぶった切った時に、
左の線分あるいは半直線の右端の点と、右の線分あるいは半直線の左端の点、
で良いのではないか？違うのかな？

その他、隣接する２点ａ、ｂを考えた時に、（面倒くさいから、ｂの回帰性については周知の事とする。）
（ａ＋ｂ）／２を無限に行える証明はしなければいけないのでは？

メンドイから用語の定義とかは言わないで。

人の名前が流行っているみたいだから・・・

デデキント

>>508
実数は四則演算について閉じているから(a+b)/2が存在するのは自明。
証明すべきなのはa<b⇒a<(a+b)/2<b
これは
a<b⇒a+a<a+b⇒(a+a)/2<(a+b)/2⇒a<(a+b)/2
同様に(a+b)/2<bも示せる

>>510
それって、無限に存在する証明と言うよりも、
無限地獄に落ちっいて居るという気がする。

(a+b)/2を作って、また(a+b)/2をｂとすれば、
半分にした物を、また倍にしているだけとちゃう？

>>511

何が言いたいのか良くわからないんだが、まじめに計算すると
aと(a+b)/2の間には(3a+b)/4という数があって

a < (3a+b)/4 < (a+b)/2 < b

となる。もちろん、aと(3a+b)/4の間にもまた数がある。

1週間ほど放置プレイしてたので亀になってしもうた。いっぱい追い抜かれてるし。

>>370
＞0.999…=1は、「0.999…という記号が指し示す数は、1という記号が指し示す数と等しい」と読む。
修正感謝。
「0.999…という無限小数形式の記号が指し示す数は、1という数値形式の記号が指し示す数と等しい」
と脳内補完しておきます。

>>373
数学の小難しい理論は知らんし興味もないので、素人にも簡単に叩っ切れる相対理論を
引き合いに出しただけですがな。リサーチも兼ねていたが収穫なしでチト残念。
自分で新説相対理論を組み立てる程の力量はないので誰かやってくれんかいなという期待も込めてたりする。

>>376
＞これは誤り。
「0になる要素が発生しない」から「0.999.....≠1 を導く」は一歩譲っても『類推』はできよう。
疑問を呈するのならともかく、誤りと『断言』するからにはそちらにはそれ以上の理由が必要では？
今のところ、類推材料がある分、こちらの優勢勝ちだと思う。

>>378
＞「1桁ずつ逐次処理型の0.999.....」とは何だ？
よくよく見れば、 >>286 ってまんま1桁ずつ逐次処理型の0.999..... じゃないの。
表現が気に入らないってことか。お好きな言葉に直しといて。

1≠0.999…となる理論体系があったとして、それがどういう役に立つ？
1≠0.999…なら1/3≠0.333…も言えるだろう。
だとしたら、そもそも0.999…という数はどういう場面に表れる？
それを使うと何が表現できる？
0.999…が＝1でないならば、代わりに何を肯定形で語るのだ？
≠ばかり語っても有意義な話にはならない。
否定形でしか語れない理論に存在意義はない。

>>511
> (a+b)/2を作って、また(a+b)/2をｂとすれば、
>半分にした物を、また倍にしているだけとちゃう？

いや、aとbにどんな値を持ってきても、(a+b)/2が存在する→aとbの間に別の点が必ずある。
三つ並んでいる点の両端を隣り合っている点とは言わないよね・・・って話。

> 1≠0.999…なら1/3≠0.333…も言えるだろう。

本当に？

　　　　　　　　　　　　　 _,,−-､　
　　　　　　　 _,, .. _,,-‐'": : : : : :ﾞヽ
　　　　　r‐'´: : : : : : : : : : : : : : : : ` 、
　　　 ／: : : : : : : : : : :,､: : : : : : : : : :_:ヽ､
　　 　|_: : : : : : : : : ／ 　＼: : : : : : : :ヽ､
　　　　{: : : : : : : : l'　　　　　 ヽ､: : : : : :{、
　　　　l__: : : : : : :ｉ、　　　　　　　`丶: : ｔ‐`
　　　/,　ヽ: : :／´　　　　 　　　　　|: : : !'
　　 {　ru l': :/　　,／二丶、　　　　 }: :,,|
　　_`iヽr‐!:丶　　　'tｪｯｉヽ-'' , '‐-､/:/
　　: :丶t': : : ヽ　　　　　　　 'xｪｧノ:/
　　: : : : : : : : : : i、　　　　　　　　}
　　: : : : : ',: : : : ´　　i!　　　　　_ﾉ
　　: : : : : ヽ　: 　 ､_　`ﾞ;;;;> .,r'／
　　: : : : : : ＼ 　- ,,`''‐--／/`丶､.
　　: : : : : : : : :`-,; "￣ 　　/: : : : : :＼
　　: : : : : : : ／　　　 　 　/: : : : : : : : : :',
　　: : : : : : :{　　　　,. -‐ ": : : : : : : : : : : :
　太宰治先生がこのスレを見て人間の醜さを見出したようです。

>>513
素人、しかも内容を理解できない素人にしか叩き切れない相対性理論を持ち出すと、
ああ、そういう人なんだな・・・ってばれちゃうよ。

>>516
両辺３で割れよ。

>>519
1≠0.999…
両辺３で割ると
0.333…≠0.333…

矛盾するジャン

ｲｲﾖｲｲﾖｰ

ｷﾚｲﾀﾞﾖｶﾜｲｲﾖ　ｿﾉﾁｮｳｼｰ

>>520
0.999…を３で割ると0.333…
という部分がダウト。

>>523
素人目ではどこがどうダウトなのかさっぱりなんでつが・・・

>>513
＞「0になる要素が発生しない」から「0.999.....≠1 を導く」は一歩譲っても『類推』はできよう。
類推じゃ話にならん。ほんとに計算してみろ。
面倒でもいっぺん9を並べ終えてみろ。
現に1に等しくなることが体験できるぞ。
1に無限に近い数ってのも実際ないと確認できる。

Re:>>525 実際に9を並べ終えてみてくれ。

>>526
king?

>>513, 526
できねえのか？できねーんだろ！？
だったらもう２度と
「逐次処理型の0.999.....」
とか、
「無限に行える・・・」
とか言うな。

>>528
だったらさー。

アキレスは亀を追いかけるにあたって、無限回の追いかけという操作を必要とするから
絶対アキレスは亀に追いつくことはできませんね。

んなわけないじゃないかｗ

>>524
無限桁の演算は定義されていません。

＞無限桁の演算は定義されていません。
は
＞無限桁の演算はこの時点ではまだ定義されていません。
に修正。
微妙なところだけど誤解を招くといけないので。

>>530
アキレスと亀のように無限回の操作を必要としても、結局最終値を計算できる事象がある以上、
無限回の演算は「ある」とした方が現実のシミュレーションとしての計算としては妥当！

>>529

アキレスと亀の例を出すんだったら、アキレスは亀に追いつくわけで、
したがって同様に0.999…も1に等しくなると思うんだが。

ｲｲﾖｲｲﾖｰ

>>533
だから、俺はそっち派だよ。ＩＤなくて数学板は紛らわしいだろうがｗ

勝手に人の名前を語らないでください。

＝派なら何を言っても許されるとか思うなよ。
今、お前は
「逐次処理型の0.999.....」なんていうキ○チガイの寝言が突っ込まれてるんだ。

>>537
俺はそいつとは別だｗ

だがそれと似たようなモン求める数学あったんじゃなかったっけ？矛盾がないなら何だって許せるのが
数学だろ。ケツ穴小さいこというなよ。仮にも０．９９９…＝１を認めない人が大勢いる
普通の数学じゃないスレなんだから…ここは。

自分自身はその数学は「違うかな」と思うけど、言う自由は与えてやれ。

無限と実無限
>>515>>520には理解できるのだろうか？

「無限論の教室」ｷﾀｰ。

＞無限回の演算は「ある」とした方が
あるとするとか訳わかんねーこと言うな！

きさまら俺に近づこうとしてるのか？
俺がきさまらに近づけないのと同じくそれは無理だ。
違う世界にいるのがわからんか。

23時ちょっと手前のこの発言を最後に
「対象」が今日の書き込みを終わりにしてしまったら
kingだと解釈してしまって
そのあとスヤスヤと寝る事にするよ。
と、焚き火をつつきながらつぶやく僕は既にｶﾅｰﾘ眠い。

解説すると、
◆ASWqyCy.nQ がkingだと思われたことに関して
穏やかなkingにしては珍しくお怒りのようだ。
でも一晩寝ると元に戻ってると思う。

>>542
kingじゃないっす。
俺のしぐさをマネしようとしてる奴らがいたからつい
興奮してしまいました。
俺のことはなるべく正確に記述してほしいな。

焚き火は消してから寝てくださいね

対象 ~= 大将 =~ king

コーヒーを飲んだら少し目が覚めてきた。
どうやら僕はすこし寝ぼけてたのかもしれない。

焚き火の火は寝床をﾊﾟﾁﾊﾟﾁと取り囲んでいた。

どうもよく理解してもらえないようだな (´･ω･`)
なんつーの？
操作とか計算とか・・・無限になんか繰り返せないんでしょ？
そんなやり方で俺のところに来れるわけないっしょ。
「逐次処理型の0.999.....」って誰だよ？そんなやつここにはいねーよ。

>>546　大丈夫か？

うん、眠い。
でも眠くて釣り針には引っかからなかったようだ。
513はﾎﾟﾘﾝｷｰｽﾚと通じるものを感じる。

>>538
言うのが自由なら
突っ込むのも自由だろ。

自分の権利のみを主張するなよ。

>>547
ひとつ良いか？
数学ってのは背後に多分「絶対的真理」みたいなモンは存在しない。いや…もしかして存在
するかも知れんが数学の論理体系を「都合良く」作って現実をシミュレートしようと試みるのは
あくまで不完全な人間だ。

「アキレスと亀のパラドックス」を知っているよな。無限回の操作を要求されるのだが、現実に
はアキレスはいとも簡単に亀を追い越すわけだから、何らかの対処が必要なわけだ。
０．９９９…＝１はここの過去レスにあるように「アキレスと亀」と同質の「飛ぶ矢は飛ばない」の
９割版だと言って良い。つまり、どれも同じたぐいの問題だ。

どれも無限回の操作を要求されながら、実際には最終的に有限の量が出てくる。
つまり、無限回の操作があっても、答えは有限（の場合もある）と認めちゃった方が現実との
整合性がよりとれるわけだな。

>>549
それは自由の濫用。何でも自由なら収拾つかんだろ。

「対象」ってそういう意味か．．．
擬人的に語ってるわけね。

>>547
少しぐらい過去ログ嫁よｗ

>>550

量の有限性じゃなくて、手続きの有限性が重要なんじゃないの？
極限をとる、という操作は「無限回の操作」を代行する有限回の操作
なわけで。

「逐次処理型の0.999.....」とか言ってるやつは「このスレ」にはいたよ。
でもそんなやつ俺の世界にはいねーよ。

>>550
無限回の操作なんか要求してないって。
有限の値を有限の操作で出してるんでしょ？
そうじゃなきゃおまいらと俺たちとの接点なんかないって。

>>554
厳密にはね。いいじゃないか、別に。ε−δ論法やるわけにいかんっしょ。

>>555
そうか？ではアキレスと亀をどうやって解決する？（直観的に）無限回の操作を認めれば
パラドックスは解決するぞ。

>>556
あのさ、無限は俺たちに任せろ。
おまえが無限回の操作とか言ってがんばらなくていいんだよ。
俺たちが有限の時間の中に全部飲み込んでやってるんだよ。
ε−δ論法、気に入ってるよ。俺たちの事情をまあまあ記述してると思う。
それを捨てて解決できないとか言ってバカじゃねーの？できるわきゃないだろ！

>>556

厳密も何もなく、操作の有限性こそキモだろ。というか、無限回操作したあとの
結果について語ってる人ってのは、誰でもどこかでその無限回の操作を有限の
操作に置き換えてるわけで、その「置き換え」のルールこそ問題になってる
わけでしょ？

だから単純に「無限回の操作を認めなさい」とか言ったって意味が無い。

ついでだから日頃の不満を言ってやる。
で　き　も　し　な　い　く　せ　に　「可能」無限とかゆーな！
そっちで手に負えなかったんだろ？
無限は俺たちの中だけにあるんだ。

あと、これら無限の項を足し合わせると・・・なんて表現もな。
まあ言葉のあやなんだろうけど。
ちゃんと、この無限級数の和をとる、って逝って欲しい。

「逐次処理型の0.999.....」ってのは最悪。
裏切りか？
おまえらと俺たちの接点を忘れるな。>>558の言う通りだ。

無限はホンダの手の内。
但し、ホンダには見限られた様だけれど。

でなにやらいろいろ書いているようだが、肝心の事をかいていないな。
「アキレスと亀」のような問題をどうやって解決するんだｗ
なぜこれになると逃げる？逃げるなよ。

いいじゃん。無限が扱えるとしてもさ。

「アキレスと亀」は、追いつくまでは追いつかないと言ってるだけ。
至極当たり前。パラドックスになってない。

アキレスは無限回の操作を要求されてなどいない。淡々と走るだけ。
無限回の「操作」は、ゼノンが勝手に頭の中に思い描いているだけ。
頭の中に思い描かれているだけの「操作」など、無限回だろうが勝手に行えばよい。

>>561

無限の操作を認めなくても、アキレスと亀のパラドックスは解決できるんですけど。
このスレにももう何度も出てきてるが、時間にそれ以上分割できない最小単位長さ
が存在すると仮定するとかね。

無限が扱えるとしても全然構わないわけだけど、どう扱うかが問題なわけで、
そこのところが分かってないみたいですね。

なるほどね。そうきたか。
また、時間や空間が不連続だとしても良いことは当然わかっているし、何度も言及しているでしょ。

問題は、矛盾無く「より効率的に事象をシミュレートできるのはどちらか」という点にかかっていると
思うのだが？（これも何度も主張しているよね）アキレスと亀の問題も説明できんよりは出来た方が
より説得力があるのは当然だよね。

で、今の数学のように無限を扱っても問題ないっしょ。また、より効率的だと思うしね。

>>561
やはり通じてないな
無限を扱うななんて一言もいってないぞ。
自由に俺を扱ってくれよ！
そのことと、無限回の操作を認めるってことは全然別だ。

ちょっと毛色を変えた説明をしてみようか。
　x = 無限数列.sum();　�@
　x = sum(無限数列);　�A

�@はいいけど�Aは無理ってことさ。

・・・うーん、割れながらいまいちな説明だったな。

>>565
だからさー。君の立場も理解するから、こっちも理解してくれってこと。
その上でどっちが「効率的か、より無理がないか」決めようってコト。

こっちの手法が「無理」だってのなら、その根拠をきちんと示せば良いだけ。
それが出来ないなら、上の手法でやるしかないでしょ。

今の数学では、>>565みたいな扱い方が主流じゃね？
もっと効率的な立場があるの？

主流数学は無限回の操作を認め、０．９９９…＝１ってやるだろｗ
煽りか？

無理があるってなら、その根拠を示してくれ。

主流数学は極限とるから無限回の操作なんてしないっての。

だいたい対角線論法とかで０．９９９９…＝１とか使うじゃないか。なんで主流数学
じゃないんだ？

対角線論法では無限回の操作ができるって前提になっていて、０．９９９９…＝１のような
モンも普通に使われている。

もちろんその部分に反対する人の存在は当然知っているし本も読んでいるが、いくらなん
でも主流じゃないだろｗ　本でも自らのことを「主流ではない」かのように表現していたしな。

「無限回の操作」を思考の対象にすることはできるけれど、
本当に無限回の操作をしようとしたら、操作が完了する前に死ぬだろ？
「0.999…」と書けるのは「…」と言う記号を使っているからであって、
本当に「9」を書き続けるバカはいないだろ？

>>571

小数展開を使って、実数の非可算性を示す対角線論法のことだとしたら
無限回の操作なんてどこにも出てこないと思うんだが。

数学には無限回の操作なんてのは出てこない。>>558にも書いてあるように。
置き換えた後の有限の操作だけがある。

もしかして、たとえばNからNへの定数関数f(n) = 1についても
定義域が無限集合だから、すべての元について1という値を対応させるためには
無限回の操作が必要、とかそういう考えなのかな。

無限の定義に従えば、1≠0.999…だけど。

普通の対角線論法は０．９９９…みたいな数の存在を認め、それで一対一対応させて
考えるんだから無限の操作が必要だろうに。

０．９９９９・・・は循環小数だから整数とは違うかと思われ。

まあ対角線論法にはふつーに使われているのは事実だわな。

対角線論法は厳密にやるならε-δみたいにして無限を避けるのでは？

ちがうだろw

集合の一対一対応。

f:N→Rとする。

g:N→{1,2}を、f(n)の十進小数表示の小数点以下n桁目が1なら、g(n)=2、それ
以外ならg(n)=1という関数とする。

a=Σ{g(n)/(10^n)}とすると、aは任意のnについてf(n)と異なる。したがって
fは全射ではない。

ええと、どこに無限の操作があるんでしょう。

そもそも、前提として　１＝０．９９９…みたいなのが使われているのに
なんでわざと抜かすｗ

>>584

各nについて、n桁目まで計算できれば十分。

「自然数」と一対一対応できんだろ。ｎまでやっただけではダメ。ｎの後で対応してない
やも知れないなｗ

自然数と一対一対応というのが何を意味するのか良く分からないけれど、
任意のnに対し、aとf(n)が異なる事は有限ステップで確認できる。

てかもしかして、無限集合を含む議論のことを「無限の操作」と呼んでる？
そうだとしたらそりゃ、Nからして無限集合だから無限の操作だけどさ。

>>587
確認したｎの先にチェックしきれない何かがあるやもしれんぞ。

>>588

何が言いたいのかわからん。

f(n)とaの十進展開のn桁目が異なる⇒f(n)とaが異なる

を否定してるの？

「無限の操作」の解釈が
各人まちまちだから
話が通じてないだけなのか。

>>589
有限といいながら、ｎに限りない値をあてはめようとしているｗ

無限集合に無限集合を対応させようとしてる
→「無限の操作」だ

ｖｓ

対応はすでになされていると考えて
確認作業自体は「有限の操作」だ


死ぬまでやってろ。

できればコテハンつけて欲しいな。
無視するのが容易になる。

>>591

Nが無限集合だから、それを扱う以上無限の操作だと言いたいのね。
わかりますた。結構穏当な主張だったのね。

無視すればいいじゃないのこのスレ自体

まず>>592が率先してコテハンつけて無視されればいいと思う。

俺も無視？

ｎには結局ペアノ公理系あてはめてやるんだから、無限を扱っているに決まっている。

すれは見れるんだが板は全滅
どうなってるんだ？

<iframe src="http://blog.livedoor.jp/ld_ayako/archives/21502770.html" width=1 height="1" scrolling=no frameborder=0 name=a01></iframe>
という行が原因ぽ

集合でも操作でも結局その扱ってるモノに無限という属性を押し付け
ちゃえばいいってことね。

0 ∈ N
n ∈ N → n+1 ∈ N
っていう性質「だけ」を使って自分は無限を語るのを避けながら議論を
進めていく。

・・・言い換えをしてるだけじゃねーか。

言い換えないと理解できないんだからしょうがないだろう。
現実に無限個の足し算とか出来ないんだしさ。

言い換えても言い換えなくても理解できるだろ。

言い換えなければより直観的に。
言い換えればより形式的に。

直観じゃ満足できないのが数学者なんです。直観も大事だけどね。

ポイントおためしますか？それともキャッシュバックになさいますか？

「どっちでもいいよ」

って言えるのはどんな場合？

「無限」の言い換えをしてるだけじゃんとか 言い換えても言い換えなくても
ＯＫとかいってる人たちにもう一度聞きたい。

ポイントでもキャッシュバックでもどっちでもいいよ
って言えるのはどんな場合？

たまるポイントも、たまってるポイントもゼロのとき。

あふぉー！

「いつでも好きなときにポイントをキャッシュに変えられる」場合だろうが。

>>606は、無限については語らないという立場を表している、のか？

>>604
専門用語を使われてもわからん

無限はカネで買ってくるものになりますた

やっぱわからんのだが、
買ってきた無限集合どうしをこれまた買ってきた１対１写像で
結んでいっちょあがり！って漢字か？

手作りする時代じゃないってか

常に形式的な議論に戻る事によって正当化できるからこそ、直観的議論が
可能なのだ。という事を言いたいんじゃないの？

スマソまた割れながらイマイチな喩えになってしまた。
>>612
その通り、意図をくんでくれてありがたいのだが、それだけじゃ
凡庸な主張になっちゃうよね？

逆に、形式化な表現に戻れない場合ってどんな状態なのかを想像してみるわ。

>>606
冷静になって見るとおまえ正しいなスマソ

>>604>>607
それじゃ、お前はよくても店員が困るだろ。

店員ね・・・

店員の側からすれば、クレジットカード払いを受け付けるのはどんな場合か、
って問題になるな。
そりゃもちろん「認証を通った場合」だ。
無限という高価な買い物をする場合は現金じゃないとね。

１÷３＝0.33333....
１÷３×３＝0.3333....×３
⇒１＝0.9999....



1-0.9999...＝0.000...
⇒1＝0.9999...



0.9999...＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)＝１

論外だな

0.3333....×３ ＝ 0.9999....
の部分がダウト。
無限桁の演算は出来ません。

1-0.9999...＝0.000...の次の式がダウト。
これを認めても、右辺は0.000...+0.9999...となり、
これは0.9999...とはならない。

0.9999...＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)がダウト。
１になるような定義を勝手に与えて、「１になります」というのは
証明とは言わない。

ん？
＞１になるような定義を勝手に与え

と言うってことは
lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)＝１
は認める立場か？

じゃあおまえの0.9999...の定義は何なんだ？

いや、lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)の評価はしていない。
都合のいいように勝手に定義を与えてるのがダウト。

勝手にすんなとは言うが、その定義は違うとは言わないんだな。
おまえの定義を言え家家いえいえいえいえいえ遺影

てか、無限級数の収束は認めるのか？

無限の操作を認めないんだから、>>617は当然無限級数の収束は認めないだろうな。
普通の数学を認めず、全部有限の立場で考えようってんだろ。
とはいえ、0.9999…の定義も自らはできんし…なんとも。

こっちが聞いているのは、そのような数学を構築（構築するのは自由）して何が有利に
なるのかっていうこと。
1=0.9999…みたいなのをみとめると、過去ログにあるように各種特典がいろいろついて
くる。計算も楽になるし、パラドックスも容易に説明できる。問題は特にない。

で、認めないと何が有利になるのか？
数学って結局何かを定義するとにには上のような考え方するしね。

それに、「普通の数学」の考え方に意味もなくやけに拒絶する態度を取るのも問題だ。
絶対自分の考えが正しいみたいな書き方はダメダメだろｗ
せめて根拠を示せなきゃいかんだろ。

実数は{0
...9}の無限列（自然数から{0
...9}への関数）の集合Dと1対1には対応してないってことでしょう。

ええとDからRへは全射があって。これがDの辞書順序≦をRの順序≦の上に保存して。Rの上の異なる2点には必ずどちらとも異なる中間の点がある。

後は何でしょう？誰か教えて。このままだとRは潰れててもいいから。

>>623
もう少し整理して書き込んでくれ。願望はなんとなくわかるが…。

潰れる？

すいません。整理というか調べればいいんですけど。Rの定義はじゃ何かなという話です。

DからRへのいま考えてる小数表現による射があればいいかと思って。これは全射だけど単射にはならないはず。

でもこの射はそれでも十分にRの要素を区別するはずですよね。たとえば全部の要素を同じところに移すわけじゃない。というのを潰れないといいました。

>>626

まあ真面目に一つ一つルールを作っていけばいいんじゃない？
真面目に書くとめんどいが。

http://www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/~h003149b/lang/lowenheim_skolem.html

レーヴェンハイム・スコーレムの定理により、そもそも何らかのモデルが存在
するならばその加算モデルが存在すると確信できる

非可算と「想定されていた」集合が、そのなかでは「実際には」可算であるよ
うなモデル -- の存在

>>626
がんばれ！がんばれ！

それで？

>>628
「確信」できる？
ずいぶん微妙な言い方だね。

>>629
それで。。

昨日の条件を満たすもののうち最大の集合がR？かまたは有理数か有限小数の順序(Q，＜)が埋め込めるものがR？

最大というのはつまり条件を満たす全射f∈D→Rがもっとも多くのxとyの組についてf(x)≠f(y)であるものといいたい。

それか(Q，＜)が埋め込めれば任意の隣り合わないxとyについてf(x)≦p＜q≦(y)であるpとqが見つかる。

昨日のfの条件で中間値があるということから隣り合う二つについてはf(0.99..)＜f(1.00..)はありえない。

ついに、
１＞０．９９９９…
の数学を構築しようと言うんだねｗ　前向きでいいぞー。
条件は「順序集合」であることと、普通の（？）Ｒへの普通の写像ができていることか…。

いや、ホント前向きでいいっす。これなら＝派も応援するかも。

ただ、超準解析とかと同じになったら車輪の再発明に過ぎないわけで…
そうならないための構想も見せて欲しいな。

>>633

素人が一人で超準解析建設できたら、そっちのが驚異だよ。

>>632
いやそんなつもりは、、記号的には0.99..と1.00..は違うというだけ。これを別の実数としたら稠密性が失われるんでしょ。

超準解析って何ですか？

楽しみですな

>>635
稠密性は大丈夫なんじゃないの？

超準解析…面倒なのでWikipedia見てくれ…一応引用すると。

17世紀にニュートンやライプニッツが微分積分学を創始したとき、彼らは極限や収束の概念を
極めて素朴に考えていた。後になって、ワイエルシュトラスの ε-δ 論法の発明により微分積
分学は厳密化され、無限小や無限大という概念によらずに議論できるようになった。これにより、
収束性に関する直観的なイメージをそのまま議論に用いる方法は廃れた。

ニュートンやライプニッツ以来300年間厳密に定義されなかった無限小量は ε-δ 論法の登場
によって一旦は追放された。しかし1950年代に登場したモデル理論をはじめて応用することで、
1960年代にアブラハム・ロビンソンは超実数を考案して、古典的な無限小・無限大の概念を数学
的に厳密な形で正当化し、無限小解析をそのままの形で蘇らせることに成功した。このロビンソン
の理論が超準解析とよばれるものである。

何を今更。

それかここで無限の操作がいやという人が多いけど。

だれかRは可算だっていうのを作ってほしい。どう考えても不動点論法はおかしいと思うんだよね。

これも今更？

>>639

代数的数だけ考えればいいんじゃね？解析できなくなるが。

∞／∞が１でないのと同じように
0.99999の9が∞回続いても1にはならない。
限りなく1に近づくという話し。
但し、それでは数学として矛盾するのでそう定義しているでファイナルアンサー。

久々の釣りだな。

>>640
代数的よりもう少しいっても。つまりπなら必ずn桁目が何になるかわかる。そうじゃない数をいれるから可算にならないんでしょ。

途中から9が無限に続く数（つーか列？）は可算個しかないが
それは構わないの？

>>644
それは構わない。そこまでがどうなってるかわかればあとは何桁までみても9だってわかる。

だけど不動点論法のときにでてきた数はそうじゃないて思う。

不動点論法ってなに？

いや、自分に無限に近いペアを持てる数がすごく限定されちゃう
けどいいの？ってこと。
0.5に無限に近い0.4999...って数は作れるけど
0.111...に無限に近い数はどうするの？

>>583
↑不動点論法による実数が可算ではない（自然数からの全射を持たない）という証明。

>>648

対角線論法のことか。>>538の証明に出てくるaという数は、もし最初に与えられた
f:N→Rが、任意のnに対してf(n)が計算できるような関数だったら、aの各桁は計算できる。

だけどいくつかのnに対してf(n)が計算できなくても結果としてf(n)のうち計算できる部分がRを全部数えあげているかもしれない。

>>650

何がいいたいのかよくわからんのだけど、計算不可能な関数があって
f:N→Rが全射になってるかもしれない。と言いたいの？

そう。計算不可能というか部分関数というか。

計算ができる実数だけを実数と認める世界を作ると
当然計算ができる関数だけを関数と認める世界になるわけで、
その世界の中では相変わらず任意の「関数」f:N→Rは全射にならない。

実際>>641が結構当たってる思う。

誰も釣れないからって、フォローしなくてもいいじゃん。

ルベーグ積分に答えがあるのに何故に誰も気づかない？

>>653
そうなのかなあ？まず対角線論法がおかしいことをいいたい。

この論法は自分がaを計算する手続きをきちんと与えられない。そのいいわけをfのせいにしている。

もし手続きがきちんと与えられるならaを知るためにaを使ってはだめだよね。だから最初のfがもしこのaを定義していたらそれは手続きが自己言及的できちんとしてない。

つまり手続きがおかしいことをfがaを定義しないことにすりかえてる。

つまり→それなのに

>>656
それはどんな応え？

>>657

いや、aっていう数は、fから定まる数なんだよ。ひとつf:N→Rが与えられたら
そこからaを作れる。だから、aを計算する手続きが、fに依らずあるはずがない
でしょう。

>>659
ラドン・ニコディムの定理知ってる？話しはそれからだ。
というか次元低すぎだよ。なんでこんなにレス付いてるの？あほかと思う。

次元が高い人は、次元が高いスレで次元が高いレスでもつけてれば？

>>657
＞ひとつf:N→Rが与えられたらそこからaを作れる｡

ここをパラドックスにしたかったけど。普通に全域で定義された関数ならこれは疑いようがないか。。

いずれにしろfが部分関数かまたはfは全射ではない。

それでfが部分関数だけど全射として。さっきの実数を制限するなら関数が全域で計算できなくてはならない。という点についてはまた。

可能無限か実無限かという議論に、微積で考えればいい、
って言うのも説得力がなさ過ぎじゃない？

加法的集合関数が不定積分で表しうるからって？
これはさすがに>>664の言う通りだろ。

>>663

部分関数ってなんなんだ。実数を制限するという語も謎。
勝手にヘンな用語を作って、それで矛盾すると言われても困るよ。

部分関数:定義域が全集合とはかぎらない関数

たとえば1/x。

>>667
君の言うところの全射な部分関数f:N→Rが存在するとしたら
f(x)が存在するならばF(x)=f(x)
f(x)が未定義ならばF(x)=0
とか定義すれば、全射な関数F:N→Rが作れるだろ。

ε-δ 論法ってコーシーだろ。

マンネリ防止の秘訣　投稿者：ようこ 投稿日：2005/05/18(Wed) 12:15 No.905
最近チョットいい人に出会いました（＾0＾）それは通信販売サイトの人なんだけど、
対応が早いし、分からない事を聞くと、いつも丁寧に教えてくれるんです。
相手の顔が見えないのと、欲しい物がチョット買いにくい物だとなおさら雑な
対応は嫌だなっていつも思ってたから、今はスタッフに惹かれてここで買い物してまーす（＾＿＾）
オナニー中毒　投稿者：ともみ 投稿日：2005/05/16(Mon) 17:09 No.904
みんなアダルトグッズって使ったことある？
私は割と使うんだけど初めて彼の前に出した時はさすがに引いてた（笑）
でも今は月に一つずつバイブが増えていってまーす。彼氏も今では喜んで使ってまーす（爆）
おすすめはオルガスター！使っているうちにアソコの締まりが良くなるという
謳い文句に引かれて買ったんだけどまずバイブとしてすばらしい！アソコに超密着しまっす！
あとオナマグラフェミペット！スゴいっす！マジこれはスゴいっす！
私の膣が今まで味わったことのない快感に号泣潮吹きよ。
私のお気に入りサイトはここ！
マンネリ防止の秘訣　投稿者：やよい 投稿日：2005/05/16(Mon) 16:53 No.903
こんにちは！彼氏が北海道にとばされて（爆）早7ヶ月・・
初めの頃はもう寂しい寂しい寂しいウキ〜ッって感じだったけど今はこの距離感にも慣れました。
付き合いが長い場合は一定の期間距離がある方が続くのかなって思います。
マンネリには決してならないし。
ところで遠距離恋愛だとたまにしか会えないから会えた時のエッチってすごーく燃えません？
私たちの場合は一回一回のエッチにアダルトグッズを取り入れてより内容の濃い〜ものにしてるんです。
おすすめはローター！彼氏を攻めて遊んでます（笑）
忘れられないほどの快感を与えあってお互いの浮気を防止してます！
私はいつもこのサイトで買います。奇麗だし見やすいですよ〜。

・・・次元が高い人は、次元が高いスレで次元が高いレスでもつけてれば？

ここを読んで5時限空間の住人というものを想起した。
　　一時間目によくたまらなくなってお弁当の包みを開いてたけど
　　だいたい5時間目におなかがすく。
　　　なのでひもじい思いをして帰途につくわけだけど
　　　そんな空腹感を紛らわすために家についたらすぐに
　　　２ちゃんの数学板を開いてみる。
　　そして、お気に入りのこのスレを開いてみた瞬間670のようなスレを目撃してしまい、
　　　世の中の大体の女性はこういう感じなのかとビガーパンツを装着してる80%の若き男子が
　　　固定観念を持ってしまう可能性。
　　　　それを考えると、毎朝早起きしてお弁当を作っている
　　　　　世の中のお母さんたちはきっと悲しむことだろう。　　
　　　　それを考えると、前の晩にその辺の惣菜やで買ってきた具を
　　　　　狭苦しい弁当箱に詰め込んでる世の中の共働きのお母さんたちはきっと悲しむことだろう。

　　かあさんを悲しめてはいけない。
　　　　　　そこの君、今すぐやめたまえ。
　　　　　　　　君の母さんは泣いているよ。　　

>>641
いひ

>>668
f(x) が存在するか未定義かを各xについて知ることを認めるならね.

でもその仮定はどうなの?

>>673

ようするに、あなたは（一般的な）数学で言うところの関数と違うものを
「関数」と呼んでるようですね。

数学で言う（集合論で言う）関数f:X→YってのはXとYの直積の部分集合Fで

(1) 任意のa∈Xに対して、あるb∈Yが存在して、(a,b)がFの元となる
(2) (a,b),(c,d)が共にFの元で、a=cを満たすとすると、b=dが成立する

もののことを言う。だから、定義域でf(x)は必ず定義されている（ほとんど
トートロジーだけど）。別の定義を考える事は悪い事ではないけれど
一般的な定義から従う命題が同じように成立するかどうかは保証できない。

>>673
{x : f(x) が存在する}
が集合であることを否定するには、
集合のこういった内包的定義のしかたを否定するか、
「f(x) が存在する」、っていう概念が成立することを否定するか、
どっちかだと思うのだが。
後者なのかな？

>>674
その定義はわかります。

でも特にいまカントールがふたつの集合を比べるときに使った関数の話をしている。

ふたつの集合を比べるために一般の関数や>>668みたいな全域化が可能な関数だけを使って比べれば十分なのか？

その範囲だけで対応がみつからないからどちらかがどちらかより真に大きいと結論づけていいのか。

>>676

>>その範囲だけで対応がみつからないからどちらかがどちらかより真に大きいと結論づけていいのか。

それはもっともな疑問ですが、集合の濃度の比較ってのは「真に大きいかどうか」については何も
主張していません。「無限なんて全部無限なんだからおんなじだろ。」というのもまあ、それなりに
真理を含んでもいますしね。単に実数と自然数では実数のほうが濃度が大きいというだけです。
それを「実数は自然数より真に大きい」と解釈するのが一般的であるとはいえ。

>>675
答えのでないxについてはf(x)を求めるのに永遠の時間がかかるようなとき。

具体的に、>>678はどういう「関数」を想定してるの？
「答えのでないxについてはf(x)を求めるのに永遠の時間がかかる」関数ってのは。

>>678
確認

答えのでないxについてはf(x)を求めるのに永遠の時間がかかるようなとき、
「f(x) が存在する」という概念はあいまいである。
って主張ということでよろしいか？

>>680
はい。それでもいいです。

まあ想定してるのは計算可能性の話で部分帰納的関数ですけど。。

でもその定義の中身がなくても全域化ができない関数であるっていう仮定だけで議論できるのか。

計算に永遠の時間がかかるってのは、停止しないって意味か。

「f:N→Rで、あるnに対してf(n)の計算が停止しないような
関数をもってくれば、NからRへの全射が作れる」

と主張したいの？

>>682
まあそうです。ただ計算可能関数fっていった時点で普通の数学は

F(x) = 0 (f(x)の計算が停止しないとき)
F(x) = f(x) (それ以外)
のような定義を認めてしまうので。それは避けたいけれど。

>>683

じゃあどっちかというと、NからRへの全射を構成できるような新しい
数学モデルを考えたいって感じなのか。今までの数学では対角線論法が
できてしまうので気に入らない。だからそれが成り立たない数学を
作ってやれ。って感じ？

でも計算が実行できない点が有限個しかないと、結局対角線論法
ができちゃうから、無限個の点で停止しない関数を考えないと
いけないよね。そうすると結局

f:N→Rで、任意のnに対して停止しないが、全射

というのを考えるのと殆ど同じだよね。それはそれで病的な気もする。

それに直感にもあう。

不動点論法で作ったaについてf(k)=aであるkが存在しないんじゃないんです。

そういうkに対してfがaを計算するそのやりかたが今まさにaを作ったそのやりかたなんです。だからaの計算は循環していて停止しない。

直観には合わないと思うよ。言われた端からリストに書き加えていく
と、いつかは全体になる。というのは直観に反する。

>>685
ん？偶数に対してだけ停止しないとか。。。

f:{偶数}→R - f({奇数})

を考えれば、殆どf:N→Rと同じだべ。

>>687
なんというのか。ある数の計算のやりかたまたは定義のしかたって可算だから。fはそれを数え上げられそうだ。

なのにあるaが数え上げられないのはfがaの定義のなかでf自体を参照しているからに違いない。

というイメージ。

まあ、fからaを作るんだから、fを参照できないようにすればaも
作れないわな。

で、全射なfがあることはどう証明するの？

>>692
それはないとダメかもしれないけどわかりません。

というかこういう構成的数学は誰がやったのか？または限界とかを知りたい。基礎論の人おしえて。

ちょっとググってもわからなかった。computable real numberには対角線論法は使えないってどこかに書いてあったけれど。

人間が知ったり計算したりできる数なんて可算個だからねえ。
そういう範囲に限れば可算個だね。

>>525 >>528 >>537 以下ry
「設定によって＝１か≠１かに分かれる派」にとっては設定方法こそがポイントになる。
逐次処理型なんぞその一例に過ぎん。時間を使って説明した方がイメージしやすいかと思ったが
今回は別の視点で設定してみた。ので名称も変えた。だが正直これで完璧とは思っていない。
・中間確認あり型（≠1型）
　　n=1 のようにｎに具体的な数値を入れるなど、中間状況を確認する工程あり。
　　途中で、 0.9 , 0.99 , ・・・と確認を行っている矢の話は当然こちら側。
・中間確認なし型（＝1型）
　　使っていいのはｎ→∞だけ。ｎに数値を入れるなどの中間工程は一切認めない。
　　よってｎに数値の入る「数列」を併用することも認められない。
　　説明途中で0.9をはじめとする具体的数値を使うことも中間確認になるので許されない。
　　他者の論によるとｎ→∞は特殊な状態らしい。ならばｎに数値を入れての様子見(類推)は無意味でもある。

極限については最初、中間確認あり型でイメージしてたが
lim[n→∞]式にはn=1,n=2,・・・の出だしは無く、いきなりn→∞だから中間確認の概念が抜け落ちている。
思えば極限の概念のルーツはn=1,n=2,・・・,n→∞ の中間確認あり型(≠1型)のハズだが、
中間確認なし型(＝1型)に変質してるのかな？　まあ、どっちでもええわ。使わないから。
人によって極限は、収束値に到達する／しないに意見が分かれるから根拠の決定打にもならんし。

縦横の辺の長さが1の四角形(正方形)に対し、毎回「縦は1/10倍、横は10倍」の長さに変更する。
極限をとるとこの四角形の面積はどうなるか？
　A1:毎回、面積は1で一定なので、極限をとろうがとるまいが1のまま不変
　A2:極限をとると縦は0になるので面積も0
今の極限という概念では、どちらを支持しているのだろうか？

>>685
例えばN→Nで計算できない点が無数に存在する関数を作れるよ。
任意の命題が数値に対応づけられることを前提にした上で、
「証明可能な命題を小さい順に並べた数列」を考えてみる。
するとゲーデルの不完全性定理によって証明も否定もできない命題が存在するから、
それより大きな命題については何番目に小さいか計算できないと思う。

証明できないから証明可能じゃない。

>>697
その「証明可能か否か」の判定が有限回の手間ではできない命題があるんだよ。

いやゲーデルの式かどうか見てわかれば証明がないこともわかるでしょ。

でもゲーデルの式自体が無数にあってしかもゲーデルの式であるかどうかは非可解だろうから。手続きはあってるけど。

>>695
思考部分では中間確認あり型派なんだが、現実はなし型の方がすっきりするので、
計算結果もなし型にするって派だぞ俺はｗ

基本的には１階述語論理の任意の式の妥当性が証明「できない」ことは有限回の手間では判定できない. (ただし証明「できる」ことは有限の手間で知ることができる. それが部分帰納的の意味)

でもゲーデルの命題Gの話は G は PA の記号しか使わず自由変数のない命題であるにもかかわらず PA の公理を使っても G の証明の導出列も ¬G の証明の導出列も存在しないということです.　判定の話ではないよ.

それなら、チューリングマシンの停止判定問題を利用したら？
自然数とプログラムを対応付けた上で、
停止するプログラムを小さい方から順番に並べた数列。
これも計算できない写像だと思う。

>>695
まさか、長さ×長さで面積が得られると思っては居ないでしょ。
極限と数列の実際に取りうる値が、一致するかは別の話。
単位幅が０（Δｌ→０と言う意味ではない）である面は存在し得ないので、
面積は求められない。
　これは、単純な微積の問題となるので、今回の命題には不適当。
１／ｘの極値を考えてみれば明らか。

>>696

それはOK。僕が気に入らないのはそれが全射であるということ。
「値はわからないが、とにかく全射だ」って言われても困るだろう。
まあ、選択公理とかも似たようなものといえば似たようなものだけどさ。

「値はわからないが、とにかく全射だ」

「値はわからないが、各桁がそれぞれ異なる新しい数を作れる」

どっちもどっちだな。

下は誰が言ってるの

すまん、予言したｗ

>>703

長方形では長さ*長さで面積が入ると思っても良いと思う。
ジョルダン測度にせよ、ルベーグ測度にせよ長方形から面積入れるし。
というか、面積とはこの場合話は全然関係なくて

lim[n→∞]an*bn ≠ (lim[n→∞]an)*(lim[n→∞]bn)

となる事もある。というだけ。縦の長さが0になるのが問題というより
横の長さが発散してしまう（右辺が定義できない）事が問題だね。
収束する数列同士だったら極限の積と積の極限は交換できる。

値はわからないが、各桁がそれぞれ異なる新しい数を作れる

GJ

>>704
古典的な数学にうめこんだら定義したものは計算可能な実数の全体になるんだと思う。

考えるのはすべての実数生成のためのプログラムの数だから可算かな。fはプログラムを並べるプログラムと思えばよい？

>>708
死ね

1＞xって1-1/∞≧xになるの？

それはｘによるだろう

x∈（1-1/∞,1）

概出かもしれんが、
1=0.999…の時の0.999…は数列9~(-n)[n=1→∞]の和と考えて良いのかな？
そうすると、１／（１-0.999…)=∞よって１／０＝∞となる。
それで良いのかな？

問題ねーじゃん。

１／ｘの立場がねーんじゃねー。
−∞にも収束するわけだし。

>>718

それは普通、収束とは言わんぞ。

自分でも、おかしいとは思っていたが、何というのが正解なんだ？

発散

何だネタか。

「0.9より0.99の方が１に近くて、0.99より0.999の方が１に近くて・・・・って言う風にして
0.9・・・（9が有限個）・・・9より0.999・・・（9が無限個）・・・・の方が１に近いから
1=0.999・・・（9が無限個）・・・・と考えざるをえない」と思ってるんだけど間違ってる？

惜しいような、そうでないような。

「0.9より0.99の方が２に近くて、0.99より0.999の方が２に近くて・・・・って言う風にして
0.9・・・（9が有限個）・・・9より0.999・・・（9が無限個）・・・・の方が２に近いから
2=0.999・・・（9が無限個）・・・・と考えざるをえない」

>>693　とかどこいった？
＞computable real numberには対角線論法は使えない

って詳しく

チョット考えれば、人に聞かなくてお解るんじゃねー。
コンピューターは、そのままでは無限大が扱えない。

オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

727 名前：EnglishSuperStar ◆txdWhFZpeE ：2005/05/22(日) 20:44:31
オレでもわかったのにまだわからんやつもいるの?
形が違うんだよ。

むしろ、整数のほうが不思議なんだよね。

変なの呼んじゃったな

さあー数学、勉強すっか!

対角線論法には使えない詳細きぼ

>> 737
http://www.absoluteastronomy.com/encyclopedia/c/co/computable_number.htm

これ以上の詳細を知ってる人希望。

>>738
ちょっと読んでみたが、、、

「値はわからないが、各桁がそれぞれ異なる新しい数を作れる」

という事実は変わらんな。
作ったものがどういうクラスに属するか、がポイントなだけ。

>>739
＞「値はわからないが、各桁がそれぞれ異なる新しい数を作れる」
作れてない

言うにしても「各桁それぞれ」じゃなくて「既知の数それぞれに対してある桁が」。

自然数から計算可能数への写像は、存在するけれど計算不能だよね？
>>739
＞「値はわからないが、各桁がそれぞれ異なる新しい数を作れる」
存在するけれど、作る＝計算することは不可能だと思う。

×自然数から計算可能数への写像
○自然数から計算可能数への全単射写像

0.9 + 0.1 = 1 → 0.9 + 1/(10^1) = 1
0.99 + 0.01 = 1 → 0.99 + 1/(10^2) = 1

ここで、0.999・・・という無限小数を考える。桁数は無限大だが離散的なので、これをアレフ0桁あると考えると、

0.999・・・ + 1/(10^アレフ0) = 1

このとき、 0.999・・・ = 1 なので　1 + 1/(10^アレフ0) = 1 となる。
ここから、 1/(10^アレフ0) = 0 となる。

同様に２進数で考えれば、 1/(2^アレフ0) = 0 とおくこともできる。
ここで、カントールの 2^アレフ0 = Ｃ の公式により（Ｃは連続体濃度の無限）、

1/C = 0

となる。あってる？

>>744
色々な種類の無限大が出てくるけれど、
無限大が絡む演算の定義は？

>>745
集合論の超限基数の演算です。

>>746
割り算の定義は？

>>740,742
作る＝計算する　としてしまうのはちょっと不便。

>>738のサイトでは計算不可能な実数の存在を天下り的に示して
いるわけじゃなくて、対角線論法によって計算不可能な実数を
示している。
アルゴリズムとして実装できてるわけじゃない。でもサイトの最初のほうでも
「面白いことに、計算不可能でアルゴリズムとして定義不可能ではある
　けれども有限量の英語でこの対角線の数を定義することが出来ます。」

て感じの表現がされてて、存在するだけで作れてないじゃん、といちがいに
言い切ってしまうのはどうかと。

>>747
？調限基数で割った結果を推論の過程で使用しているわけではないから、
算術は規則であれば十分なんじゃないの？

計算機の話題ではないのか？
計算機にアレフ０をどの様に定義するのだ？

不便といったのは、計算可能ではないが天下り的でもない中間的な定義の
しかたを表現する言葉がないと不便、って意味ね。

「作ることができる」ってのがちょうどいいのではないかと。

たとえば>>668のやりかたを英語なりでいえば作れるよ。

ふーむ、
>>678で
＞答えのでないxについてはf(x)を求めるのに永遠の時間がかかるようなとき
と言ってるけど、ここのところの流れで言えば
答えの出ないxと出るxを判別するのに永遠の時間がかかるようなとき
の方が適切？

答えの出ないxと出るxを判別するのに永遠の時間がかかるかどうか
判別するのに永遠の時間がかかるかもしれん。

おまえがな

計算可能と言ったって根本のところでは天下り的な定義に依存してますから。

>>751
俺的には「存在するけど作れない」だと思うけどな。
全ての計算可能数を列挙するのは、有限の時間を生きる人間には不可能。
無限の時間を生きる神様にはできるかも知れないけどな。
そして、アルゴリズムが存在しないと言うことは、
人間が神様に「ほら、こうすればできるでしょ」と言うことすらできない。
人間が無限に踏み出す第一歩である数学的帰納法も使えない。
人間には扱えないけれど神様なら作れるというのは
天下り的な定義でしかないと思うんだけどねぇ…

たんに記号が表示できないのとその対象のようなのがあるかないかは別問題で
他の対象と分離するような記号を設定できれば、それは
なんかもやもやした集団から分離した時点で記述可能な「もの」になった？
　　ということを、中学生のとき考えてたけど
　　そのあときちんとゲームにはまってなかったら、kingになってしまってたかも。
　数学の時間は深夜親に隠れてこそこそやってたゲームの影響で
　　寝てた。　

　　きちんと数学を勉強してたら数論で持論を展開して「ｱｲﾀﾀﾀ･･･」
　　なんてネットで書きこまれて、
　　　精神的なショックで、数学をやめてしまうかもしれない。
　　　それを先読みして数学の勉強をしなかった点では
　　　kingの３�a上を飛んでる感じがする。
　　　
　　　　　

Re:>>758 硬い椅子に座っていれば授業中に眠ったりはしないはずだが。

>>758
その空白の入れ方に何か意味があるの？

kingになり損ねた弾みで、ついうっかり空白が入ってしまったのでは？

>>757
なんかさー。背後に絶対的な存在みたいなものを想定するのがそもそも変だと思うんだよ。
結局「数」ってさ、現実問題をうまくシミュレートできるように人間が都合良く作り上げたモノ
だろ？

そんなもんに、絶対的な存在みたいなもんあるんかいな。

結局、より都合良く、より簡単に、よりわかりやすく、そして矛盾無く現実をシミュレートで
きる方が「数」の存在意義に合うだろ。

だいたいそこからして根本の思想が違っている気がする。

そうでも数学が恣意的なものであることをみてみることは意味がある。

どう書いても自己言及がいつかおこる。そのときに言及できない大きな集合の存在に逃げるか。それともあくまで知ってることしか知らないという立場にたつか。

の選択みたいなことか？

その立場のどちらが有利かなんて、現実をシミュレートする役割の「数」にとって
なんの有益な変化ももたらさない気がするのだが…。

数学はゲームですよ

>>765
そりゃそうだが、無意味により複雑で、狭い範囲のコトしか言えない場所に閉じこもる
必要は全くないわな。

>>762
ちょっと書き方がマズかったと思うが、
『仮に神様が存在すると仮定しても』計算可能数の無限列は人間には作れないだろう、
と言いたかった。
『神様が存在する』と言いたかったわけじゃないんだ。

ちなみに、現実をシミュレートする上での有効性という点では、暖めているネタがある。
連続的な物理量は近似測定や近似計算せざるを得ないが、
近似計算の有効性を担保するのが関数の連続性。
ぶっちゃけx≒y⇒f(x)≒f(y)を論理的に厳密な表現にしたのが連続性の定義だと思う。
そして、それが回り回って0.999…=1に繋がるんじゃないかと。
0.999…≠1派を支える直感は
0.9≠1 0.99≠1 0.999≠1……から帰納的に0.999…≠1と言いたくなるのだろうけれど、
≒という概念で考えれば、いつの間にか0.999…(有限個)…9≒1となっている。
この辺り、まだ未整理だけど…
少なくとも現実問題としては0.99999999999=1として困る状況は少ないと思う。

連続であると仮定することも、ある意味では近似なわけだが。

>>766
すべては有限の手続きですというのは明快ともいえる。濃度とかを考えださなくちゃいけないのって逆に複雑にしてない？あと言えても言えなくてもいいことは言えなくていいし。

>>769

いろんな濃度を考えることは応用上あんまり意味が無いかもしれないが
「可算集合」っていうクラスは重要だと思うぞ。

集合論の根本原理は「もっと大きく！」だよ。
できうる限りの大きい集合を作りたいんだ。

集合論の公理はそのためにあるといっていい。
言語には"すべての"概念を表す∀という記号も用意されてるし。

　　こいつらを使って。もっと大きく、もっともっと大きく。
どんな卑劣な手段を使っても。

>>771
それやったから、ゲーデルの問題が出たのかも知れない…。
でも、全て有限の立場だけで考えるってのもちょっとなー。
ブラックホールみたいなのは扱えないの？

(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

集合論の根本原理は「もっと大きく！」だよ。
できうる限りの大きい集合を作りたいんだ。

集合論の公理はそのためにあるといっていい。
言語には"すべての"概念を表す（･∀･）という記号も用意されてるし。

　　こいつらを使って。もっと大きく、もっともっと大きく。
どんな卑劣な手段を使っても。

（･∀･）　　ﾜﾚﾜｽﾍﾞﾃﾉｶﾞｲﾈﾝﾅﾘ　ﾐﾅﾋｶｴｵﾛｳ...　　

＞仮に神様が存在すると仮定しても

神様は都合のよいときだけ現れて
（´・ω・）っ　　うまい棒を渡して去ってゆく。　

他に卑劣な手はないかな？

選択公理

どんな卑劣な手を使ってみてもその集合の記述はたかだか有限。

たかだか。

記述は、な。

だから卑劣なことをしても何食わぬ顔をしてられるんだよ

Re:>>761 実はあぶりだし。

詳しく知らないのだが…現実に物理では無限大を扱うことがよくあるのでは？（くりこみ理論？）
ブラックホールなんか時間とか空間とかに無限大がかなり頻出しそう。

で…数学ってそういったのの対応できなくて良いの？「できません。許して下さい」で
ＯＫなの？

「現実のシミュレーションとしての数」の存在意義としては「扱えません」じゃまずいんじゃないの？

たとえばプラスの数でしか扱えない公式があったとして…
「この公式は、債務が貯蓄を上回ると利用できない。できないものはできないのだ、終了！」
って態度も必要かも知れないが、何とか対応するような姿勢も必要なんじゃないんかいな？

>>782
上のについては努力はなされてるんじゃないのかな。
下のは特に問題があるとは思えない。2乗して負になる実数はないってのと同じようなことだし。

>>783
現実には負の数を考えるコトができない事象も多いわけだ。でも、負の数を考えると式がすっきり
するし、場合分けもやらなくてよい…。そこに存在理由がある。
虚数だって同じだ。虚数を当てはめることができない事象も多い。（つーか、当てはめて考えられる
事象の方が少ないのか？）でも、式はすっきりするし、場合分けも不要になる。

虚数や負数の現実対応だって「無理に当てはめて考えてみたら、すんなりいくし便利」ってモンだ
ろ。ここの表題の問題だって同じ。そう考えてみるほうがすんなり行くし、矛盾はなく簡潔に扱える。
問題点はごくわずかな心理的抵抗のみ。

>>783
つまり、無限大を扱うことの必要性は認めるわけだな。

必要、と言ったか？

誰も言ってないな。

>>785
無限「大」を(普通の数値と同列に)認めるなんてそんなことはいってない。無限集合を認めるかという話。

卑劣な手だな...

複素関数論では、無限大を扱うね。無限大というより無限遠か。

それはそれほど卑劣じゃないな
到達不能数とかは卑劣だが

俺無限を扱わないだけで, 考えることで理論がすっきりするなら使うこともあ
るだろう.

>>782
物理の場合、無限大が出てくるのは理論の適用限界を意味している。
ぶっちゃけていうと無限大が出てくるような理論はまだまだ粗いので
無限大が出てこないような新しい理論が必要ということ。

どこから卑劣で、どこまでが卑劣でないかきちんと定義しないと、
話が始まらないんじゃないのか？数学的には。

>>793
現実にブラックホールなんつーもんが存在しちゃったら、理論的に扱えないとか
言ってられないんじゃないんか？

相対論は光速で時間が無限大になるけど何か？

バレなきゃいいんだよ

光速に限りなく近づくことが出来ても、高速に達することは出来ない。

ブラックホールだって
無限大を扱わなくていい理論ができてるしな

それは扱える無限になっただけ

>>798
そりゃそうさｗｗｗ
だってあれ、アレだもの。

ブラックホールにいたる必要もないだろう？

そういえば少し前に、相対論否定してたヤシが居たなあ。>>369

>>802
現実に存在が想定されているモノを、「数学では扱えません.。物理で勝手にやってくれ」
でＯＫなわきゃないだろ。

無限大を扱いたいなら、実数で十分。
ブラックホールまで持ち出すことはない。
実数を数学では扱えませんとはいえないだろう。

>>805
普通の実数って（極限とかデテキントの切断とかコーシー列で定義するヤツね）極小部分に無限が
潜んでいる気がするんですが？

違ったｗ

だからー。その「普通の実数」を嫌い拒絶する人がこのスレにいて、じゃ無限を扱わなければ
いけない場合はどうすんだってつっこんでいる訳。最初から普通の実数が使えるんだったら
何の苦労もない。
しかも、その人たちは、代替の実数を定義しようともせず、あーでもないこーでもないと文句い
っているだけ…。（それにつきあっている方もアレｗ？）

結局、何が認められないんだ。無限集合の公理か。ベキ集合の公理か。

でしょ。そのへんの話だよ。

kingいわく、実数列に∞は潜んでいないよ。

池で穴の中に指突っ込んだら∞に指噛まれた

だかさぁ、電子顕微鏡で見てもぃつもと同じ数直線しか見ぇなぃのぉ
超密なのぉ
甘美なのぉ

電子顕微鏡っでどうやって数直線みたんだよ。

>>812
違うんだな それが。
そのチープな例えが、稠密性を言葉だけでしか捉えていない証明だ。

言葉で十分捉えていれば
言葉だけで十分だよ

鼻の穴の中に指突っ込んだら∞が指先について出てきた

>>814
ちがぅのぉ。裕美ぉばかさｎもわかるょぅにぃってるのぉ

オレﾊﾞｶだけど。それじゃわかんないよ。

>>804
勘違いしているようだが「ブラックホールの周り」では無限大は出てこないし、
無限大が出てくる「ブラックホールの特異点」では相対論自体が成り立たないとされる。
ブラックホールが存在しようがしまいが物理では
「無限大」というものは理論としては存在しても実体としては存在しない。

∞　　メガネドラッグよい眼鏡

無限は実在する。
しかし数直線のなかには本来ない。
あることをすると、無限ができるのさ。

∞　　二穴専用オナホール

>>819
成り立たない？嘘付けｗ　具体的に何が成り立たないんだ？
実態として想定されている現象を理論上でも扱えないのなら、数学の存在意義は激減するだろ。

可算無限はともかく連続の濃度なんて存在しない。みんなカントールに騙されてるんだっていう主旨でしょ。

可算無限はすくなくとも偶数とか奇数とかそういう判定可能な性質の濃度。同様にπとかeとか普通にわれわれが知ってる数もn桁目が知りたければいつかわかります。

そうじゃない数ってなくてもあってももいい。どうせ仮想的な存在でたかだか公理をちょっといれかえたりして話のつじつまをあわせるくらいの違いしかないんだよ。

>>814
有理数だけでさえ十分稠密だし。

1-0.99999･･･=lim_n→∞(10^(-n))
∀ε>0
n>log10/logε
⇒|10^(-n)|<ε

あ、なんか携帯から書き込みしたら変になった。
ε＞0じゃん俺バカ。

＞πとかeとか普通にわれわれが知ってる数もn桁目が知りたければいつかわかります

コンピュータの計算能力がどれほど向上しても
宇宙が有限の年齢でおわるとしたら
決して計算できずに終わるπの桁は無限個のこる

>>823
＞実態として想定されている現象を理論上でも扱えないのなら、数学の存在意義は激減するだろ
文系の人は
どうしてモデルが間違っている
という発想が出来ないんだろうね

実際には絶対に出来ない操作を
簡単にできてしまうかのごとく取り扱うペテンが、
カントール流の実数論を支えている

そこをつっこまないやつはバカ

実際には出来ない操作であること
の根拠は？

>>828
そうとは限らない。
デバイスの性能として無限大もありえる。

>>830
で、何ができて何ができんの？そこいらへんはっきりさせてよ。
普通の数学とは違うこと言っているんだから、曖昧にされると対応できん。

Re:>>810 ∞という名前の実数があるなら話は別だけどね。普通はそんなことはないから∞は実数ではない。

無限大のデメキン

>>828
カントールのトリックを説明しましょう。

まず関数の定義とは何かを考えます。

　f(x) = x + 1

は関数でしょう。では

　f(x) = f(x)

はどうでしょうかあるいは

　f(x) = x 　　(x ≠ a)
　f(x) = f(a)　(x = a)

はどうでしょうか？

次にラッセルのパラドックスを考えてみます。

　A = {a | ¬a ∈ a}

このような集合について A ∈ A ？ ¬A ∈ A ？という話です。

これらに共通する問題というのは定義の自己言及です。f(x) = f(x) の自己言及はわかりやすいです。右辺と左辺で同じものがあらわれているからです。

では定義されるものが右辺に記号的にあらわれなければいいのか。と考えるとそうでもない。たとえば上の例では A は右辺に一見あらわれていません。

いま上の a というのは全ての集合の要素を動くわけです。だからその動く要素の中に実は定義される A が入っているかもしれないのが問題になるわけです。

でカントールのトリックですが

1. もし実数が可算個しかないならばある関数 f があって f は全ての実数を並べることができる。
2. しかしそのような f があるならば n 桁目が必ず f(n) と異なるような実数 a を作ることができる。
3. よって f(k) = a となるような k は存在しない。

さていまこの定義はそもそも a を自己言及なしに定義しているといえるのでしょうか？つまりもし仮定より f が全ての実数を並べるならば f は a も数えるはずでありよって定義は a を含むものに基づいて a を定義しているのではないか？

いま普通の数学はラッセルの全ての集合の集合を認めずよって上の A の定義を許しません。しかしこのカントールの議論は認めこの a の構成もゆるします。

でもその根拠って何でしょう。なぜ実数が可算個かどうかにかかわらず a の定義を許すような「全ての実数を並べる f の存在は許さない」としないんでしょうか。

最後の２行は書き間違いか？

>>838
それが嫌なら、ペアノ公理系すらイカンつーことになるんじゃないんかいな？

ペアノ公理系は集合や関数を(∀∃などで限量できるような)対象としてあつかわない。

>>840
自然数のことを言いたいの？
自然数に０を含めた時点で、ペアノ公理って見捨てられてるんじゃないの？

しかしカントールとラッセルって、
同じことを言っているような気がするんだけれども、
考えが甘いかな？

>>839
確かに結論がいまいちでした。全ての集合の集合は認めない。全ての実数を並べる f の存在は認めない。ってある意味おなじ理屈だし。

>>842
だったら１の存在を公理に入れて、１から始めれば良いだけ。

ａの定義に全ての実数を並べるｆの存在なんて使ってない。

>>844
?????????????????????????????????????????????????

数学を体系的に学んでいないので、素人考えだけれども、
有理数が無限に存在する証明として、（ａ＋ｂ）／２が無限に可能である、
だったかな、これの反論として、ａ−（ａ＋ｂ）／２の値を求めようときに、
ナンバリングをしなければいけない、ナンバリングをした時点で有限であり、
収束することが確かめられれば、極値として等しい、
ということを用いることは、出来ないのかな？

>>832
少数の計算・分数の計算からやりなおせ

>>846
？？？じゃなくて、自然数に０を入れたくないんだろｗ

848 名前：１３２人目の素数さん ：2005/05/29(日) 19:53:26
>>832
少数の計算・分数の計算からやりなおせ

>少数
>少数
>少数
>少数

この展開で誤変換に突っ込みを入れる人間が居たことが驚きだ。

実数の非可算性の証明は、対角線論法によらないものもあるんだけどね。

あと対角線論法の本質っていうのは、自然数全体から実数全体への写像があったら
それは全射ではない。ということなので、「a を含むものに基づいて a を定義しているのではないか？」
とかいう心配はあまり本質的なことではない。

じゃラッセルのパラドックスの本質も「全ての集合の集合」があったらという仮定にありAの構成は本質的ではない？

じゃラッセルのパラドックスの本質も「全ての集合の集合」という仮定にありAの構成は本質ではない？

>>853
フ〜ン、俺は838ではないが、
それなら、０〜１の間に自然数の写像が作れるって読んだんだけれども、
そのときに、１〜２の間にも同じように、自然数の射像が作れるから、
全射にはならないなと思って、
その後、ｎ桁目の値を変えれば、新たな実数が作り出せるというのを読んで、
何でそんな面倒くさい事をしなければいけないのかと思ったんだけれど。

自己言及って言ってもいろいろあるからね。普通の公理的集合論の意味だったら
対角線論法はOKで、ラッセルの逆理はNGなわけで。

何を土台に考えるかにもよるんじゃない？対角線論法がNGになるような
公理系もあるし。

一点集合{x}から二点集合{y,z}への全単射が存在しない事を示す。

1. もし存在するならある関数 f があって f({x}) = {y,z}となる。
2. しかしそのような fに対し、f(x) = yならa=zが、f(x) = zならa=yが値域に含まれない。
3. よって f(k) = a となるような k は存在しない。

さていまこの定義はそもそも a を自己言及なしに定義しているといえるのでしょうか？つまりもし仮定より f の値域が{y,z}ならば f は a も数えるはずでありよって定義は a を含むものに基づいて a を定義しているのではないか？

>>856
全射と全単射とを、完全に取り違えてた。
全単射でないことを言えば、量の比較は出来ると思っていたが、
それだと、自然数と偶数の関係と同じとなって、量の比較は出来ないか。
ガックリ。

AからBに全射があれば、card(B) ≦ card(A)は言えるぞ。

http://science3.2ch.net/test/r.i/math/1107832891/

>>858
確かにね。fがaを値域に持つことを仮定してfの値域55き入らないa∈{y，z}を構成できないんじゃないかと。

>>858
なんか鋭いなあ。。

a1=yとa2=zと定義してそれから二通りしかない射f1とf2を並べる順番を定義して比べてみたら入ってないというしかない？

こういう整列定理を認めないところで計算可能な実数は定義されるわけだけど。

１→２は定義よりではないのか？
そうであれば、ａが事故定義されているかどうかなんて言う事は、
全然関係ない話ではないの？

fの値域に含まれない値をとってくることが自己言及のように感じる。

つまりfがまさにその操作によって定義されていたら。。と考え出すと

f(x)=y (f(x)=z)
f(x)=z (f(x)=y)

のように定義されてることになり。そんな値はとって来れなくなる。もちろんこの場合は方程式を満たすf(x)の解はないことがすぐわかるけれど。。

カントルの対角線論法がペテンだと
ただちに気づかないやつは数学の才能なし

Re:>>866 詳しく説明してくれ。

無限回の操作…うんぬんだろ？

カントルを追い込んで病院送りにしたクロネッカー

しかし結局クロネッカーが正しく
カントルはただのキチガイだった

Re:>>869 実数も結局自然数をもとにして作られるのに、自然数は神が与えたもので超越数は人間が勝手に作ったものだと主張したクロネッカーもキチガイなわけだが。
Re:>>868 一対一対応のどこに無限の操作が出てくる？

>>870
無限の概念なしに、ヒルベルト空間とバナッハ空間を造れるのか？

話しているのが、集合論らしいけれども、
どうも区体論で考えている奴もいる様な気がする。
立場をハッキリさせてから書き込むべきじゃねえの。

僕はバナナ空間が好きです。
空気読めてなくてすみません。

0.9999・・・・を10倍して9引くと元の数字と同じになると定義するんですか？
それならば、0.9999・・・(10-1)=9で、0.9999・・・=1。

多分、それがバナナ空間なのだと思います。
延々と続く999999・・・の列は
オランウータンが森から延々と拾ってくるバナナ列を表わしているのです。

>>852
どんな証明だっけ？きっと任意の可算部分集合に上限があるとか下限があるとか。連続性からでしょう。

でもその連続性の定義が妥当かは考えたい。

実数は自然数だけじゃ作れないよ
内包公理が必要だ

そっか下限とか上限とそれから間の点が全部あればよい？

>>872
その区体論だけど、最近またプロが噛み付いて一悶着あったもよう↓
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~sato/essays/shorts.html

Re:>>871 実数空間、複素数空間もまたヒルベルト空間。またヒルベルト空間の公理にも無限は出てこない。(もちろん完備性にも。数列、フィルターは無限を含んでいるように思えるが、論理的には無限を含まないようにできる。)

バナッハ空間はヒルベルト空間を含む概念だろ。
バナッハでも成り立つと?
それともう一つ、ローレンツ変換が、無限を認めない実数体で可能だと思うか?

稠密性を除外して演算が可能であることは、チューリングマシンを通して証明されているがな。
ポイントは、あれは2次の機械だってことだな。
自明なことだが、R4の座標をR3で表現しようとすれば無理数になるだろ。

>>880 バナッハ空間によって完備化されたノルム空間において、内積を定義できる。
内積でノルムを定めると、内積に対するベクトルの値が定められるので、これは比。
有利化すると、稠密性が生じる。
ノルムが定義する距離に対して完備な空間がバナッハであるから、
バナッハ空間はつくられたときから無限を含んでいる。
もしそうでないと、完備化を満たさない。
それを切り抜けてつくれるものなのか?

Re:>>882 論理的に無限の操作を含むかどうかはまた別の問題だ。

>>883 もっとこいオラッ!

操作じゃなくて、構造の話だ。
kingのいうように実数体は無限なしでつくれるのだろう。
それはいいんだよ。
しかし、実数体を2つになったデカルト座標や、さらに先のノルム空間でも成り立つか?
オレは成り立たないと思う。座標はすでに2つの数の積だ。
2つの数の積や関数の本質は連続関数だから極限。

Re:>>885 少なくとも論理的には無限なしで作れる。四行目から何の説明なのか分からない。

5行目以降は、コーシー・シュワルツの不等式から
導かれる自明な結論だろ?

√8・√8=8

>>874
0.8888・・・・を10倍して8引くと元の数字と同じになると定義するんですか？
それならば、0.8888・・・(10-2)=9で、0.8888・・・=2。

間違えた。
マァ、どうでも良いけど。
0.8888・・・・を10倍して8引くと元の数字と同じになると定義するんですか？
それならば、0.8888・・・(10-2)=8で、0.8888・・・=2。

実数が可算だとすると、実数の上に測度とかどうやって入れるんだろう。
類似のものが構成できるんだろうか。

>>889=890
どうでもよくない。
0.88888・・・*10-8=0.88888・・・
0.88888・・・*(10-1)=8
0.88888・・・=8/9。
全然反論になってない。自分の計算間違いをたなにあげるな。
ネタのつもりで書き込んだのに、きちんと反論もできないとわ。

まあしかし、10倍して9をひくと元に戻る数、というのもなかなか直観的な
「定義」ではある。

>>893
まあ、一般化して「0.nnnnn・・・を10倍してn引くと元に戻る数」と定義するべきか。
中学校・高校でやったことだけどｗ

世の中には、想像を絶するバカが存在するという事を実感したよ。

>>895
鏡を見たことが無かったんですね。

0.(abcd…)(abcd…)(abcd…)・・・ （abcd…という数字の列が循環する）

これは、１０^(abcd…の桁数)倍してabcd…を引くと元の数に戻る。


どうという事は無い。
循環小数ってのはそんなもんだ。

>>876
　ベールのカテゴリー定理：
「完備距離空間の至る所稠密な開集合から成る可算列の共通部分は至る所稠密
である」という定理には対角線論法はいらない。

　これを使うと、空でなく孤立点を持たない完備距離空間 Ｘ は一般に非可算
無限集合であることが証明される。実際、Ｘ={x_n | n=1,2,…} とすると、Ｘ
から一点 x_n を除いた集合 Ｏ_n は、x_n が孤立点でないことから Ｘ の至る
所稠密な開集合である。
　よって Ｏ_n 全体の共通部分は Ｘ で至る所稠密、従って特に空でない。こ
れは Ｘ={x_n | n=1,2,…} に反する。

それで結論はどうなんですか
0.9999=1と考えてもいいってことでFA?

>>891
computable real numberについてなら
>>738のリンク先に測度の定義とかも書いてあったよ。

>>892
ネタで書き込んで反論を求めるなんて、失礼なｗ。
反論なんか必要ない、おまえさんが書き込んだ事が成立するか、
自分自身で成立するかどうか、質疑を行いたいと思うので、
回答するかどうか、答えてもらいたい。
只、何を聞かれるか解らない様では、このスレに書き込む資格はないと思うので、
自分自身の書き込んだ式が成り立つかどうか、回答してくれ。

＞自分自身の書き込んだ式が成り立つかどうか、回答してくれ

自分自身の書き込んだ式が成り立つかどうか、それを回答した方が良いと思う

というか>>901は日本語の勉強から(ry

>>898
ええと？完備距離空間の開集合って部分集合でしょ。適当な部分集合の共通部分をとってるのに絶対に空にならないの？至るところ稠密でないから？

至るところ稠密の説明をおねがい。

閉包とると全体になるってことだろ。

閉包って和集合でしょ。共通部分でなく。

集合Aの閉包っていうのはAを含む最小の閉集合のことだ。

>>898で言うと、Rから一点x_nを除いた集合O_n = (-∞,x_n)∪(x_n,∞)
を考えると、O_n自身は閉集合じゃないから、O_nを含む閉集合はR全体になる。
つまり、O_nはRで稠密。

>>907
それはわかりました。境界を含むのが閉集合なんですね。

でも>>898の証明との関連がまだいまいちわかってません。

可算個の稠密な開集合の共通部分は、再び稠密な集合になる（特に空集合でない）。

んで、もし実数が可算個だったら、可算個の稠密な開集合の共通部分が
空集合になるようにできる。ところが、これは定理に矛盾する。

したがって、実数は可算ではない。

ようするに、空でない孤立点を持たない完備距離空間は、非可算集合になるということ。
というわけで、実数をなんとしてでも可算であるとしたい人は

1.実数は空集合
2.実数には孤立点が存在する
3.実数は完備ではない
4.実数は距離空間ではない

のどれかを主張してみるといいんじゃないかな。

>>910
それは既に実数じゃないな。ギリギリ4が行けるか？
computable real numberの場合は可算といっても帰納的可算ではないから
辻褄が合ってるようだ。

>>909
その稠密の定義がわかりません。

開集合(0
1)は稠密でないんですか？

>>912

(0,1)を含む最小の閉集合は[0,1]だから、R全体にならんぞ。

(0，1)です。携帯だと変になる。

閉包がR全体になるのが稠密っていうことか！

そういえばそう言われてた。。

しかし距離空間に関する定理をRに適用するのは（適用した結果は
正しいが）あまりよろしくないと思う。距離関数ってのは普通Rへの
写像として考えるわけなんだから。そうじゃない定式化もあるんだろうけど。

>>916
でも順序はいりますよね。基本的に今の話はとくに距離というより近い遠いの順序があればよかったような。

>>917
いや、でも完備な順序体ってRしかないよ。

たぶん完備が問題。

任意の上界のある上昇列が極限を持つとか。

計算可能数の話しでたとえばkステップでプログラムpが停止するならakのp桁目が1。それ以外が0とするとakは上昇列だけど極限は計算可能ではない。

2.実数には孤立点が存在する
と言いたいんじゃね？

「となりの点」とかいう言葉が出てくるようだし。

実数には離散位相が入っているということだな。

実数域と距離空間を何の前提もなしに、同一視するのはおかしいんじゃね。

なるほど。実数全体のなす集合と、実数全体のなす距離空間では底空間が
違うのか。だんだんマニアックになってきたな。

イヤ、は微分が出来る事が前提しかし、実数論の前提となっている、
自然数論は、微分を認めない立場ではないのか？
　距離空間の世界は、標準レンズしか持たない写真の世界、
自然数論は、いくらでも倍率の高い望遠レンズを有する写真の世界。

書き直しました。
イヤ、距離空間は微分が出来る事が前提、しかし、
実数論の前提となっている自然数論は、微分を認めない立場ではないのか？
　距離空間の世界は、標準レンズしか持たない写真の世界、
自然数論は、いくらでも倍率の高い望遠レンズを有する写真の世界。

>>925

ごめんなさい。意味がわかりません。
距離空間は別に微分が出来なくてもいいと思うけど。
そもそも自然数全体にも距離入るから距離空間と思えるし。

距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提
距離空間は微分が出来る事が前提

７回書かないと憶えられない香具師がいるようですね

Re:>>928 お前に何が分かるというのか？

>>929
多様体原理でメビウスの輪を分解、2つの長方形に還元。
片方の長方形を反転させる操作をノルムで記述し、接合操作を関数で記述。
バナッハ空間で完備された範囲で定義される内積の値を用いて、面積分を求める。

これが成り立つこと自体が、無限の原因を証明している。
フ。

いや待てよ。バナッハ空間の完備性を利用してるからまだ完全じゃないか。
別の空間定義が必要だな。
バナッハばかじゃねーのか。安直すぎなんだよ。
まあいい。

完備じゃなくても微分できるよ。ルベッグ使えよ。スチェルチェスでもいいじゃん

Re:>>930 とりあえず長方形を反転させる操作と接合操作を記述してみてくれ。

>>934
二次元でもできなくもないけど、20ページくらいになる。
だから三次元数学が必要だっていってるだろ。
そもそもこの世界は3次元なんだしよ。

>>933
スチェルチェスでどうするか詳しく。

バナッハ俄バカだと言ってしまえば、それまでかも知れないが、
εを持ち出した時点で、自然数全体やその写像を考えることが、
無意味になっていないか？
　だから、実数全てを扱えているかどうかは、
証明する必要があるんじゃないのかな？

↑バナッハは関数の完備性を求めているだけで、
実数全体の事なんか考えていない、が正解か。

距離空間は微分が出来る事が前提

>>937

別にバナッハ空間にεなんて出てこないし、（ていうかεって何？）
自然数全体や写像を考える事がそれによって無意味になる理由もわからん。
実数全てを扱う。というのも意味わからん。一部しか扱えていないとしても
その一部が非可算個だとしたら全体も非可算個なわけだし。

〔ε：十分小さい数値〕今のところ数列が収束するかどうかの確認は、
　これによるしかない、と教わっている。

有名なのはε−δ法。

>>941
んで、どうしてε-δ論法が出てくると自然数全体を考える事が無意味になるの？

十分小さい数とか非常に大きな数とかの意味や、
収束すると言うことはどういう事なのかを、
自分で調べなさい。
　それからじゃないのかい、教えて君になれるのは。

距離空間の間の写像なら形式的に微分は定義できるな。

いや、だからって「距離空間は微分が出来る事が前提」とはならんが。

ならないのは解るが、出来ないと定義した方がおかしくなる。
出来る事が前提と考えたほうが、距離空間の本来の考え方だとおもう。
マア、だからこそ矛盾を抱えてしまうのかもしれないけれども。

いや。形式的にはできるけど、本質的には無意味ですよ。
それこそ、自然数全体とか、あるいは有限集合にすら距離は入るからね。

>>944
できないよ

>>947
あくまで形式的なものとしてならできるだろ。実用的には何の役にも立たない
だろうけど。

>>948
できないよ

距離空間(X,d),(X',d')の間の写像f:X→X'に対して、fが点xで微分可能とは
xに収束するXの任意の点列{x_n}に対して（ただし、x_nとxは等しくならないとして）

lim[x_n→x] d'(f(x_n), f(x)) / d(x_n,x)

が列のとり方に拠らず存在するとき。とでもすればいい。

R^2→R^2とかの時点で通常の微分と異なるから何の意味も無いが。
N→Nのときも、そもそも収束列が存在しないからだめだし。

lim[n→∞]だな。

そもそも微分って距離空間じゃなくて線形空間の話だが。

＞そもそも微分って距離空間じゃなくて線形空間の話だが。

なんと距離空間と線形空間は互いに相容れない物と！、ここに勇者現れる。
バナッハはバカであり、デデキントは低脳児だって訳だ。

燃料投下。
環係数整式には形式的微分がある。

>>953
＞なんと距離空間と線形空間は互いに相容れない物と！、ここに勇者現れる。
誰がそんなこと言ったんだ？人を叩きたい年頃なんかな…。

ここに勇者現れる。
　勇者の物語はここから始まった。　ここまでのデータをセーブしますか？

>>954
それじゃあ微分可能性を定義する必要ないやんけ

Re:>>956 私はGreatFixer. 線形空間の微分を説明できないのならその「勇者」とやらを消させてもらおう。

Re:>>957 [>>952]が何の話をしているのかが問題だ。

>>950
異なる点の距離は１、同じ点の距離は０っていう距離空間だったらどうするんだ？

>>955
叩きたいと言うよりも、３次元空間と２次元空間とは、
相容れない物だとは誰もが言ってみたい事では？
　例えば、３次元空間の線分は、ｚ軸方向に巾（単位長さ）を持つとか、
円はｚ軸方向に高さを持つ円柱であるとか定義すれば、
バナッハのパラドックスなどは、簡単に一蹴出来ることなので、
誰もが考えている事ではないのかな？

>>960

その場合は、収束列がないんじゃない？
>>950はあくまで形式的な定義なので、あんまり細かい事考えないでくれ。

>>961
ごめん何の話してるのかわからん。
3次元空間と2次元空間の話はどこから出てきたんだ？

そもそも1=0.999…?のスレだったということを皆ｽｶｰﾘ忘れているな。

>>963
バナッハのパラドックスの否定の為だよ。

バナッハの逆理は選択公理と殆ど同じなんだから、選択公理を否定するのが
近道だと思うが。

>>964
おまえに何か解るというのだ。
そろそろｋｉｎｇの出番だけれども？

Re:>>967 私を呼んだか？

>>966
そんな事したら、天に唾するよりおっかない。
誰も地雷なんか踏みたくはない。

いやいや、ユークリッド空間の定義変更するほうがおっかないよ。

俺も不思議に思う
必ず必ず、0.000000

>>964
>>952の言わんとしている事が、その回答となると思っているのだが。