不等式への招待 第２章

【Jensenの定理】
[a,b]で定義された実関数fが
　f((x+y)/2) ≧ (f(x)+f(y))/2　　　　　… (1)
を常に満たすとする．このとき，α≧0, β≧0, α+β=1なるすべてのα，βに対し，
　f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　　　… (2)

分かスレ２３１
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139159696/436

>603
　(1)を [x,(x+y)/2] に適用すれば f((3x+y)/4) ≧ {f(x)+f((x+y)/2)}/2 ≧ {3f(x)+f(y)}/4.
　また、[(x+y)/2,y] に適用すれば f((x+3y)/4) ≧ {f((x+y)/2) +f(y)}/2 ≧ {f(x)+3f(y)}/4.
　で、[x,y] の4等分点についても成り立つ。
　同様にして [x,y] の 2^n等分点についても成立つことを示せる。
　fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/3.
　アルキメデスの原理より、(2^n)|y-x|δ >1, (2^n)(ε/3)/f(x) >1, (2^n)(ε/3)/f(y) >1 となる自然数nがある。
　α:βに最も近い2^n等分比をa:bとすると、|α-a| < 1/(2^n)　より、|z-(αx+βy)| < δ,
　∴ f(αx+βy) ≧ f(ax+by) -ε/3 ≧ af(x) +bf(y) -ε/3 ≧ αf(x) + βf(y) -ε.
　∴ f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　… (2).


　大関: >>1 の参考書[3] 第3章, p.96-97 (1987)
　C.Alsina: "General Inequalities 2", Birkhauser Verlag, p.419-427 (1980)