不等式への招待 第２章

問題(1)
nを6以上の自然数とするとき、
　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
となることを示してくださいです。。。
ただしＣ(n,k)を二項係数、[x]をガウスの記号としまつ。

整数論の問題を出し合うスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/181 ,230
を改作

>>559
x^(n+1)、x^(n+2) の係数を比較するのでつね。

>>560
>　n≧6　⇒　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
> をnに関する帰納法で示しまつ。
> n=6 のとき 7Ｃ[6,3] = 7･20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
> n=7 のとき √(56)･Ｃ[7,3] > 7.4･35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
> n=2m-1 のとき成り立てば、
> 　Ｃ(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2Ｃ(2m-1,m-1)
> 　Ｃ(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1)　←(*)
> より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)
>
> (*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).
>
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。


最後の行について、　(35/32)*2^(n+1) > √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) の証明をきぼんにゅ。

>>562
n≧4で成り立つのではアルマジロ？

>562
r(n) = (左辺) / (右辺) = √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) / 2^(n+1) ≦ 140/128 を示しまつ。
r(n) = r(n-2)･n√(n^2 -1) /{4[n/2](n-[n/2])},
r(2m) = r(2m-2)･√{(2m)^2 -1} /(2m) < r(2m-2),　単調減少.
r(2m+1) = r(2m-1)･(2m+1) /√{(2m+1)^2 -1} > r(2m-1),　単調増加.
また、r(2m) = r(2m+1)･√{(2m+2)/(2m+1)} > r(2m+1)　より有界なので収束する。　(*)
∴ 140/128 = r(6) > r(8) > … > r(2m) > … > √(7/2π) > … > r(2m+1) > … > r(7) > r(5) > 1.

*) 高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波, p.8 (1961.5), 第�T章, §4, 定理6