松坂和夫『集合・位相入門』第３章を徹底理解する

質問や議論、問題回答などしましょう。

『集合・位相入門』＠アマゾン

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000054244/qid=1094191146/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/250-1480869-6713052

駄スレ保守

位相は、近傍系によって定められるべきである。

>>1
質問は質問スレに。その他関連スレも。

◆ わからない問題はここに書いてね １５０ ◆
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093871694/
数学の本 第9版
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091502398/
位相について語ろう！
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/

第3章　順序集合，Zornの補題　pp.87-136　全50ページ

§1　順序集合　pp.87-97　全11ページ

　A)　順序関係
　B)　順序集合，部分順序集合
　C)　最大（小）元，極大（小）元，上限，下限
　D)　順序同型
　E)　双対概念，双対の原理
　問題

§2　整列集合とその比較定理　pp.97-105　全9ページ

　A)　整列集合
　B)　切片と超限帰納法
　C)　整列集合の順序同型
　D)　整列集合の比較定理
　問題

§3　Zornの補題，整列定理　pp.105-116　全12ページ

　A)　整列集合に関する一命題
　B)　Zornの補題
　C)　Zornの補題の変形
　D)　整列定理
　問題

§4　順序数　pp.116-125　全10ページ

　A)　順序型，順序数
　B)　順序数の大小
　C)　順序数の演算
　D)　順序数と濃度
　問題

§5　Zornの補題の応用　pp.125-136　全12ページ

　A)　濃度に関する二三の定理
　B)　群論の一定理
　C)　ベクトル空間の基底の存在

いま、勉強中なんです。
何か質問があったら、みなさんに教えていただきたいです。
順序って難しいですよね。

>>8
勉強もいいが、このスレの削除依頼も忘れずに。
質問があれば質問スレへどうぞ。

>>1

関連する内容のスレ

集合論なぜなにスレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/
選択公理、Zornの補題
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1073953209/


「今日は何ページまで読みました」などと報告したいときはこちらへ。

毎日の勉強成果を報告するスレです。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1044204528/


〜終了〜

良スレ!

駄スレ保守

ところで、順序集合という場合は、半順序集合、すなわち、反射律、反対称律、推移律を満たす順序関係が入っている集合のことか、
それとも、全順序集合、すなわち任意の二元に対して順序関係が定められている半順序集合のことだろうか？

松坂和夫先生の本では、半順序集合のことを順序集合と
いっています。

赤攝也だと 順序 = 全順序 だけど最近は 順序 = 半順序 っぽい

ところで、まだ勉強し始めですが、識者に質問です。
第３章の内容で、非自明で一番面白く、有り難味のある
定理は何でしょうか？

勉強していて感じるのは、自明なことばかりだが、それ
ゆえに頭に残りにくいということです。

Re:>16 自分の専攻に関して色々な書物を読めば、何を記憶しておくべきかはおのずと分かってくるだろう。

>>17
結局、おもしろみのある内容ではないということですね。

それにしても退屈な内容ばかりでいやになってきました。

独学中です。まだ１章はじめたばかりですが、追いつけたときはよろしくお願いします

松坂和夫先生の『数学読本』 その2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1068504263/l50

>>19>>20
以下のスレで春から精読しています。いま第一章が終わったばっかりです。
参加者は、受験生、大学一年生、七十年代生まれ、六十年代生まれ(わたし)の四人です。
大学一年生が受験生のときから企画していたスレで、彼が今春合格したのと同時に
始めたのですが、大学生活も忙しいらしく今ではなかなか顔を出すことが出来ず、
ペンディング中です。彼も予定では九月の中旬から復帰するそうですが。

参加してみませんか。お待ちしています。

「集合・位相入門」輪読会
ttp://jbbs.livedoor.com/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/

>>16
Zornの補題は学部レベルの教科書でも
多用されるので使いこなせないとマズイ

選択公理や整列定理と同値であることは
教養として知っておくほうがよい

その同値であることの証明には、非自明でおもしろい部分
が含まれているのでしょうか？

>>24
君の実力がわからないから自明かどうかは
判断できない．次の問題は解けるか．

[3.1節/例2の応用問題]

有理数全体の集合Qには大小による順序
構造が入る．Qの部分集合M

M={x | x>0, x^2 < 61}

は上限を持たないことを示せ．

M ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ＜ 61}とする。

Mに上限が存在しないことを示す。



�@たとえMの上限が存在するにしても、その値が正であることは明らか。

�AたとえMの上限が存在するにしても、Mの中には存在しないことを
示す。

∀a∈Mとする。
xy平面上の2点(a , a^2-61)と(8 , 3)を通る直線とx軸との交点
のx座標をbとすると、b ＝ (8*a+61)/(a+8)となる。

b∈Qは明らか。
b＞0は明らか。
b^2-61 ＝ 3*(a^2-61)/(a+8)^2 ＜ 0。

∴b∈M。

b-a ＝ -(a^2-61)/(a+8) ＞ 0。

∴b ＞ a。

よって、Mの中には、Mの上限はもちろん、Mの上界すら存在しない。

N ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ≧ 61}とする。

x^2 ＝ 61はQ上に解を持たないから、
N ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ＞ 61}である。


�BNの中にもMの上限が存在しないことを示す。

∀c∈Nとする。明らかにcはMの上界である。

y ＝ x^2-61の点(c , c^2-61)における接線とx軸との交点
のx座標をdとすると、d ＝ (c^2+61)/(2*c)となる。

d∈Qは明らか。
d＞0は明らか。
d^2-61 ＝ (c^2-61)^2 / (2*c)^2 ＞ 0。

∴d∈N。

c-d ＝ (c^2-61) / (2*c) ＞ 0。

∴c ＞ d。


�@、�A、�BよりMには上限が存在しない。

この問題は解けたと思いますが、あまり実力はありません。

>>28
お疲れさん

さすがにx -> (bx+61a)/(ax+b) (ただし，a, bは
b^2=61a^2 + 1を満たす)のような変換は作らな
かったようだ

選択公理，Zornの補題，整列定理の同値性証明を
自力で考え付くのは殆どの学生には無理だろうから
教科書の証明を熟読すればよいだろう，

特殊な分野に進まない限り，実用上はZornの補題を
使いこなれせれば十分のはずだ．また順序集合に
関する諸概念は当然常識となる．

もしも選択公理に興味があるのなら，発展話題として
バナッハ・タルスキーの定理，ルベーグ非可測集合など
について勉強してもよいだろう．これらの結果は自明では
ない．

>>29
極大イデアルの存在、ベクトル空間の基底の存在、チコノフの定理、ハーン・バナッハの拡張定理
他になんかあったっけ。学部でツォルンのレンマ使いそうなとこ。

>極大イデアルの存在

ネターしか扱わないから自明。

>>31
ではベクトル空間も有限次元しか扱うな。

ここで命令をされている方は、どちらの病院の患者さんですか？

リリース政策でこんなのが７万人も放流されるわけだ…

「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.com/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/

集合と位相を学び最終的には測度論・ルベーグ積分を学びたいのですが、位相を学ぶさい集合の知識は必要ですか？集合の知識は濃度や可算など初歩的なことしかしりません。ちなみに基礎的なことは小平先生の本である程度学びました。

Re:>36
集合の記号∈,⊂と写像の意味ぐらいは分かるようになろう。

公理的集合論と素朴集合論というのがあって（呼び名はいろいろだが，
ともかくそれぞれ何物であるかは検索してくれ），まず公理的集合論は
いらない。素朴集合論は小平本をやったなら位相の勉強にさしつかえない程度の
基礎はできているはずだから，あとは位相の教科書に出てくる記号で
意味がわからないものを一つ一つ調べていって，位相の勉強が一段落してから
１冊まとまった教科書を読めば終わり。とっとと測度論とかルベーグ積分とかに
進むこと。

http://www010.upp.so-net.ne.jp/intruder/books.htm
哲屑が数学について偉そうにコメントしている。
哲屑って、なんでこうも数学に粘着するんだ?

例)
松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968
集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。
位相空間論の方はとても面白かった。
最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした
（これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。
この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。

p.94に、
「
　上の例２でもみたように、一般に A が順序集合で、
M ⊂ A_1 ⊂ Aであるとき、 M が A_1 の中に上限を
もたなくても、 A の中には上限をもつことがある。
また、その逆の場合もあり得る。さらに、 M が A_1、
A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合もある。
そこで、こうした事態にまぎれがないように対処する
ために、（必要があれば）たとえば A の中で考えた M の
上限を sup_A M（下限を inf_A M ）と書くことがある。
」

とあります。

上で述べられている２つの例を考えてみたのですが、
おもしろい例が思い浮かびません。どなたか、おもし
ろく、ためになる例を教えてください。


�@ M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} }

�A M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3} }

>>41
2つの例と書いているけれど、>40 の引用中に述べられているのは3つだよ。
半順序ではなく、全順序でも例が作れるのだけれどわかる？
M={x|x<0}⊂A1⊂A⊂R (実数全体の集合) となる A1, A で考えてみて。

>>42


例２で例が挙がっているので、�Bのタイプは書きませんでした。

�B M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {3} }
A = { {1}, {2}, {3}, {1, 2} }

M = (-∞, 0) の場合ですが、おもしろい例はあるのでしょうか？


�@ M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ (0, 1]

�A M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 0] ∪ [1, 1]

�B M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ (0, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 1]

問題に飢えているようなので。

Q (有理数全体) と Q(√2)={a+b√2 | a,b∈Q} は順序同型か？
R-Q と R-Q(√2) は順序同型か？

>>36
ε-δや集合論の概念がやっぱり必要だと思う。
ある程度やれば頭の中で位相空間がイメージできるようになるよ。

↓この人、人名激しく間違えすぎ。

http://syllabus.tsuda.ac.jp/db/syllabus/show2.cgi?page=2004/Introd9036

どこをどう間違えたら…
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=UTF-8&q=%E6%9D%BE%E9%98%AA%E6%B5%A9%E4%BA%8C&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

位相空間は、局所的に三次元以下のユークリッド空間と同相の時しか
イメージできない。

p.94

「
f が順序単射であることは、 f が順序写像でかつ単射であることとは
必ずしも一致しない。
」

↑で一致しないのは、もちろん半順序集合の場合です。

f: { {1}, {2} } → { {1}, {1, 2} } s.t.

f: {1} 〜> {1}
f: {2} 〜> {1, 2}

fは順序写像でかつ単射であるが、明らかに順序単射ではない。

>>49
そんなことはない

>>50
別の例だが・・・

自然数全体の集合において
数の大小関係（≦）と整除関係（｜）は
それぞれ順序構造を与える

（Ｎ，｜）から（Ｎ，≦）への恒等写像は
単射な順序写像だが順序単射ではない

>>52
よい例をありがとうございます。

＞順序単射
ってなぁに

何かが変だぞ

>>55
さては順序単射の定義を理解してないな

>>56
というよりも、定義を読んだことも調べたこともない可能性が大。

>>56-57
http://wwwmi.cias.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/geom/setop.pdf
p.11
順序写像f : (X;≦_X) → (Y;≦_Y ) がX からY への単射であるときfを順序単射という.

>>58は晒し者

松坂の「集合・位相入門」のスレなのだから
順序単射の定義も松坂に従う

じゃあ「調べろ」とか煽らずに最初から松阪の定義書いてけれ

>>60
うそつき
誰も「調べろ」などと書いてない

それから「松阪」ではなく「松坂」だ
人名を間違えるとは失礼なヤツ

まさか松坂の「集合・位相入門」を読んだことも
ないのに書き込んでいるのか

それから間違いを指摘することは
「煽る」とはいわんゾ

なんでそんなに熱くなってるんだろう
代数では順序単射は単射の順序写像と定義するのが普通だろう
だから何か変だぞとソースまで示してやっただけなんだが
何か間違いを指摘された気になったから熱くなってるのかな

>>60
調べるなら松坂の本で調べろよ

>>50がページ数まで指定してるんだからさ〜

松坂の本ネタで必ずわいてくるのが↑この手のDQN

>>63
それについては悪かった
和書はなかなか手に入らん環境なので

しかし圏でmonicにならんものを単射と呼ぶのはやはり相当
違和感があるんだが
先々困らないのかな

でもまあそんなことあなたたちの責任じゃないんで
このまま続けてください

ageでやってる人も粘着はやめて勉強を続けさせてあげてね

>>65
松坂せんせがどう考えたかは知らんが
少なくとも一冊の教科書中では困らない
ようになってるんだろう

ここらの用語は文献によっても異なるので
学習者は定義を確認すべし

ということでいいかな

>>65
a=bとf(a)=f(b)の同値性が単射だが、
それの類似である（実質強めているが）
a\le bとf(a)\le f(b)の同値性を（単射でなく）「順序単射」と
呼ぶと言う意図は、それほど悪くないように思う。
必ず混乱が生じる所ではあるが。
定義をきちんと見ていないので、違ったらフォロー頼む。

>>67
それならやはり「埋め込み」などと呼んでおいたほうが
他の分野との整合性があるんじゃないかなあ・・・

まあどうでもいいよな
かえって学習者の方に混乱させてしまったかも
もうしゃしゃり出てこないんで許してね
それとお名前誤植してごめんなさい松坂先生

田中尚夫「選択公理と数学」

これは当時の論争なんかが載っていて
ためになりそうですね。

>>69
選択公理に関する和書の定番ですね
歴史的経緯を詳述してある良い本です

突然ですみませんが・・
「集合・位相入門 松坂和夫」
を理解するには、高校数学（３Ｃ）までの知識で可能でしょうか。
それとも初等解析や線型代数の知識が必要ですか？

>>71
別スレで「必要ない」と返事もらってるね。
ちゃんとこっちも処理しておかねば。

>>72
忠告どうもありがとうございます。
失礼しました。
>>ALL
７１での質問は別スレで回答いただきました。
重複質問失礼しました。

俺も読もうかな。この本って１冊目にいい？物理なんでこの分野の本
読んでないんだけども。

物理なら位相のみの本読め。
暇があるなら集合もやったらいいが、普通役立たん。

この本は冗長に感じる人もいるだろうから、一冊目に良くないこともありうる。

そうでしか。わかりますた。どうもです

超限帰納法

W：整列集合
W' ⊂ W



W<a> ⊂ W' ⇒ a ∈ W'

⇒

W ＝ W'

（証明）
W − W' ≠ φ と仮定し矛盾を導く。
W は整列集合であるから、W ⊃ W − W' ≠ φ には
最小元が存在する。

この最小元を a であらわすことにする。

W − W' の最小元は a であるから、 x ＜ a であるような元 x は、
W − W' の元ではない。すなわち、x は W' の元である。
よって、 W<a> ⊂ W' が成り立つ。
仮定により、 a ∈ W' となる。

これは、 a ＝ min (W − W') ∈ W − W' と矛盾する結果である。

したがって、 W − W' ＝ φ である。

就任の御挨拶
松坂 和夫
　この7月から梅谷先生の後を継いで分館長を勤めること
になりました。正直なところ，少々気が重い感じがします。
このように長と名のつく職務にたずさわる資格も能力も，
私にはないからです。その点 -- というと失礼な言い方に
なりますが，梅谷前分館長はまことにそうした職にふさわ
しい方で，学識の広さはむろんのこと，諸般のことがらに
精通され，万事に抜群の器量をおもちの方でありました。
こういう方の後任にすわるのはそれだけでも気の重いこと
です。まして私は博識多才などとはまったく縁のない人間
で，また，どんなにひいき目に自己採点をしてみても，前
分館長の具備しておられた企画力，調整力，実行カなど，

私には百分の一ほども備わっておりません。その上私は学
内の諸事情にうとく，図書館内部のことにも一向に不案内
です。適性からいうと不適格なところばかりで，むしろ不
適格者の見本のようなものでありましょう。このようなわ
けなので，5月ごろ高橋前分校主事から次期分館長に推薦
するというお話を承ったときにも，極力御辞退したのです
が，あまりわがままもいえませんし，明白な意思表示をつ
いつい怠っているうちに，時の勢いでこういうことになっ
てしまいました。

　 -- と，こんな具合に書くと，御推薦下さった高橋先生
にはたいへん申しわけないのですが，今日でもなお，私は
私などに分館長のような職が勤まるのか，はなはだ心もと
なく思っているのです。

　もっとも考えてみれば，私も本学に来てからもう10年に
なります。それなのに本学の図書館のことに無知であると
いうのは，怠慢の極みといわれるかも知れません。実際そ
ういわれても一言もないような気がしますが，少し言い訳
めいたことを述べますと，私は比較的高年令になってから
本学に来ましたので，最初から何かと雑用をしなけれぼな
らないようになり，図書館にゆったりと通うというような
余裕のある期間をほとんどもつことができませんでした。

また，本学に来る以前は研究室と図書室とが密着した環境
にいましたので，本学の特徴である中央図書館制になかな
かなじまなかったのも事実ですし，本学の性格と数学の教
官という自分の立場とを顧慮する結果，いろいろな面で必
要以上に自己規制をしてしまった，ということもあるよう
に思います。そんなわけでおのずから図書館とは疎遠にな
っていたのですが，畢竟は私の怠惰に帰することでありま
しょう。今回こうした任務を与えられたのを機会に，今ま
でのことを反省し，できるかどうかは分かりませんが，遅
ればせながら自己改革もこころみていきたいと考えており
ます。

　今，私はこの原稿を，夏休みも半ばにさしかかった時点
で書いています。 8月のはじめに，事務主任の稲葉さんか
ら館報に何か書くようにという連絡を受けたからです。編
集の方々の趣旨では，要するに新任者として一言挨拶を，
できれば抱負のようなものを語れ，ということであるよう
です。しかし，就任(という言葉を使うのも大げさですが)
以来まだ正味1ケ月にしかなりませんし，上に言ったように
図書館についての諸般の事情をわきまえておりませんので，

特に申し上げることもありません。抱負などと言われると
困るのですが，前分館長の梅谷先生をはじめ歴代の分館長
のお力によってきちんとしたレールがすでにひかれている
ことですし，基本的には私はただそのレールに従っていけ
ばよいのであろうと思っています。しかし，何分にも不敏
の者ですから，分館の事務の方々をはじめ，関係各位にい
ろいろお助けいただかなければならないでありましょう。
どうかよろしくお願いいたします。

(小平分館長)

位相についてのスレッドに書かれていたのですが、
森重文教授も松坂先生の『集合・位相入門』で勉強
したそうですね。

p.101

補題１

W：整列集合
J ⊂ W

�@ J ＝ W または、J ＝ W<a> for some a ∈ W
�A W<x> ⊂ J for ∀x ∈ J

（証明）

�@ ⇒ �A は明らかである。

�A ⇒ �@：
W − J ≠ φ とし、 a ＝ min(W − J) とする。
このとき、｛ x | x ∈ W、a ≦ x ｝ には J の
元は含まれない。なぜなら、
ｙ ∈ J でかつ ｙ ∈｛ x | x ∈ W、a ≦ x ｝と
すると、 J ∋ ｙ ≠ a ∈ W − J であるから、
a ＜ ｙ となるが、 J についての仮定より、
a ∈ J となって矛盾が起こるからである。

よって、 J ⊂ W<a>。
明らかに、J ＝ W<a>。

p.102
補題２

W：整列集合
f： W から W への順序単射

f(x) ≧ x for ∀x ∈ W

（証明）
∀x ∈ W とする。
A ＝ ｛ f^i (x) | i ∈ ｛0, 1, 2, 3, …｝ ｝とする。
A ⊂ W であるから、min A が存在する。
min A ＝ f^i (x) (i ∈ ｛0, 1, 2, 3, …｝)とかける。

f^i (x) は、 A の最小元であるから、

f^i (x) ≦ f^(i+1) (x)

f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y が成り立つから、

f^(-i) (f^i (x)) ≦ f^(-i) (f^(i+1) (x))、i.e.
x ≦ f(x) が成り立つ。

図書館行ったら借りられててショボーン
だから同じ松坂先生が書いてる数学序説っての借りてみますた
この本はあんまり評判聞いたことないからある意味楽しみ

足立恒雄 『数　―体系と歴史―』 （朝倉書店） p.63

整列原理は純粋な「存在定理」であって、具体的な整列順序の存在を
保証してくれるわけではない。実際には、 ZF では実数体（実数全体
のなす集合）に整列順序を具体的に与えることはできないことが知ら
れている。これは数学のもつ一面をよく表していると思う。


↑こういうのを読むと、非加算集合の得体の知れなさが嫌になります。
クロネッカーの気持ちも少し分かるような気がします。

皮下さん集合のせいだという理由は？

蚊さん集合すら怪しいということでしょう。

p.103
定理３

整列集合 W、W' が順序同型ならば、 W から W' への順序同型写像は一意的
に定まる。

（証明）
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x 〜> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題２により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x 　　i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。

今、∃x_1 ∈ W s.t. f(x_1) ＞ g(x_1)
と仮定する。

x_2 ＝ f^(-1)(g(x_1)) とおけば、
x_1 ＝ f^(-1)(f(x_1)) ＞ f^(-1)(g(x_1)) ＝ x_2　　i.e.
x_1 ＞ x_2 が成り立つ。

また、
f(x_2) ＝ g(x_1) ＞ g(x_2)　　i.e.
f(x_2) ＞ g(x_2) が成り立つ。

以上の方法を繰り返すことにより、 W の元の無限列
x_1 ＞ x_2 ＞ x_3 ＞ … ＞ x_n ＞ …
が得られる。 W の部分集合 ｛ x_i | i = 1, 2, 3, … ｝ は
最小の元を持たない。これは矛盾である。

したがって、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ＝ x 　　i.e.
f(x) ＝ g(x)
が成り立つ。

ｆ（ｘ）≦ｇ（ｘ）≦ｆ（ｘ）。

>>99
そうですね。あほでした。

（証明）
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x 〜> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題２により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x 　　i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。
同様にして、
g(x) ≧ f(x)。

したがって、f ＝ g。

p.106 補題１と p.107 補題１の系 との違いがよく分かりません。
同じことを言っているだけのように思うのですが、どこが違うの
か分かるかたがもしいらっしゃれば、詳しく教えてください。

確かに補題１では、 A が順序集合だとは仮定されていませんし、
各 W_λ の順序も独立に考えられていて、結果として W_λ と W_λ'
には、一方が他方の部分順序集合（一方が他方の切片になっている
ということの大前提として当然、一方が他方の部分順序集合である）
になるような順序がそれぞれに与えられていたということでしょうが
、何かこの補題１の仮定はいやらしくないでしょうか？系の仮定のほう
が素直でいいと思いますし、証明も全く補題１と変わらないと思うの
ですが。。。

>>101
整列定理の証明では整列集合族｛Ｗλ｝から出発して
その和集合が再び整列集合となることを使う

>>102
そうなんですか。ありがとうございます。

p.110
「
このことに注意すれば、 W_0 も条件（�A）、（�B）、（�C）を
満たすことが容易に検証される。（読者はくわしく考えよ。）
」

（�A）は明らか。

（�B）

x を W_0 の元とし、 W_0 の中に直前の元 x_* を持つとする。
W_0 の定義により、（�@）、（�A）、（�B）、（�C）を満たす
A の部分集合 W 、 W' が存在して、
x ∈ W
x_* ∈ W'
となる。

W ⊂ W' または W’ ⊂ W が成り立つから、
（�@）、（�A）、（�B）、（�C）を満たす A 部分集合
W'' が存在して、
x ∈ W''
x_* ∈ W''
となる、としてよい。

このことから、
x ＝ φ(x_*)
が成り立つことは明らか。

（�C）

（�@）、（�A）、（�B）、（�C）を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、（�@）、（�A）、（�B）、（�C）を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W ＝ W_0<x'> (for some x' ∈ W_0）とかける。
W ＝ W_0<x'> は(�C)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> ＝ W_0<x> の A における上限は、 x である。

ところで、p｡108 補題２なのですが、どう
やってこの見事な誘導尋問を考えついたの
でしょうか？

いきなり、思いつくようなものとも思えない
んですが。。。

まだ十分消化してないのでそう思うだけなの
かもしれませんが。。。

ローマ数字はやめてくれよ

>>108
なぜですか？

p.111 定理６の証明なのですが、「この証明はある程度概略にとどめ、
細部は読者の補充にゆだねる。」と書いてあるのですが、どこが
概略なのでしょうか？

>>109
ローマ数字は機種依存文字だから
表示できない環境が存在する可能性がある
だから使わない方がよい

バファリン

823

第３章だけでなく、第４章も徹底理解したいと思います。

にゃーん

194

ところでいま２章も読んでいるのですが，§３濃度の演算というのは，
これ以上に発展した内容はあるのでしょうか？

確かにうまく拡張されていて読んでいて気持ちいいところもあるのです
が，それが何の役に立つのか？と思ってしまうのも事実です．

ところで，
>>45
の問題が解けていないのですが，どなたかヒントを
お願いできないでしょうか？

あぼーん

l　　　　 l |l　 　 ! !　　l　　　ljL　 ヽヽ　　　＼
　　 {　　　　 |! |　　　!|　　ﾄ、 __,ゝヽ フ /ヽヽ　　 ヽ
　 　 !l　　　　lH　　　N　　ヽ´/7T 〒ﾐくノ　ヽﾄ、　 ヽ
　　　lﾄ､_,､ ┬ヽﾆ二、 　 　 　 　ﾄｰ'　ﾟ　!´　 ﾘﾊ
　　　　l　　 ﾊﾆ! !_ )｡ヽ　　　　　､ヽニヌ｀　 / ｰ 〉　Kingに、死を…
　　　　|　　|ハヽ｀辷タ､　　　　　 ￣　　　　　j｀´ l
　　　　l 　 l　 ﾍ´' ｰ ´　ﾉ　　　　　　　　　　 ハ　 l
.　　 　 !　 |　　ﾊ　　　 ｀ヽ'　_　 　 　 　 　 /　 ヽｰ!
　 　 　 !　 !　　　＼　　 　｀ -´ 　 　 　 ／　　　,ゝ|
　　　　 l　 l　　　　/｀丶､　　　　　　／　　　／ 　 |
.　　　　 ',　l 　 　 ,′　　 ヽ7 ｰ ﾍ´　　,.　'´　　　 j
　　　　　ヽ l　　　l　 　 　 /　　　 j.　'´　　　　／ l
　　　　　　ヽ　 　 ! 　 　 /　ー　´　　　　　／　 , !
　　　　 　 　 ＼　 !　　 ヽ、　　　　　　　　　　 / l

Re:>118 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>119 お前に何が分かるというのか？

この本は文系でも読めますか？

そういう質問する人はたぶん読めない。

Re:>121 人に聞く前にまず読んでみること。

Re:>123 お前誰だよ？

354

>>116
cardinal arithmeticでぐぐるのがおすすめ

http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&ie=UTF-8&q=cardinal+arithmetic

もっともあまりこっちにはまると数学科の普通の先生からはエタヒニンのように
みられるので注意

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松坂さんってまだ生きてるの？

牛になって喰われた

死んじゃった？

P25に、
写像を定義する前に全単射であることを証明している
ミラクルがあることについて。

良くあることだよ。
佐武の本でも行列式の定義を述べる以前に
行列式を計算する問題がある。
以下あげればキリがなし。

集合と位相　鎌田 正良 (著)

うちのガッコの理学部数学科がこれ使ってる。
激しく糞本だと思うのだが。そして講師も・・・・

クズには糞がお似合いだ！

糞本なんて買わずに自分で良いと思う本を買って教科書かわりに使えばいいじゃん。
自分はそうしてるよ。

その方法がうまく機能するには大学2年以上
じゃないと無理だな。私は大学1年の時の教科書が悪書だったので、
大いに時間を浪費した。それが悪書だと判ったのは2年になってからだ。

>>132,133
というか、そういう数学書の「ミラクル」を挙げていくスレとか
結構面白そうに思うんだが。

>>132
別に全単射という言葉は使ってないし、
全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。
素数という言葉を定義せずに、
3が3と1以外の自然数で割り切れないこと(つまり素数であること)
を証明しても何の問題もないわけで、それと同じようなことかと。

>>138
それは確かに面白そうだ。

>>139
> 全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。

∀Γ∃!G... 忘れてた。まあどっちにせよ(ry

>>132と>>133がアホだというだけのことさ．．．

>>141
なんで>>133まで入るの？

>>142
あほレスに同意するレスはあほレス

>>134
なんで糞だと思うか分からない。
簡潔にまとまった良書です。
数学科の学生が渡されるのは屈辱的ということなら分かる。

771

志賀さんの「集合への３０講」，「位相への３０講」って分かりやすそう
ですけど，読んだ方はいますか？

（・３・）　エェー　間違えたYO
　　　　　　　　　　集合は読んだの中学生のときだからあやふやだけど特別に分かりやすくも無いYO
　　　　　　　　　　位相のほうは途中までしか読んでないけど結構いいNE

つか、松坂で十分では？理解できないならともかく、１はそれなりに読めていると思うのだが。

Construct a set A which is a subset of [0,1]×[0,1] and contains at most
one point on each horizontal and each vertical line and boudary of which
is [0,1]×[0,1].

Q×Qを(0,0)中心にπ/3回転させた集合と[0,1]×[0,1]の共通部分、とか

>>151
なるほど，うまいですね．

そんなもん馬鹿でも分かるよ

>>153
そうですか．

いくらでもある。例えば{(x, y) | x + y = 有理数} とか。

>>155
それだと，
A contains at most one point on each horizontal
and each vertical line
の条件が満たされないのではないでしょうか？

>>156
x + y = 有理数
のグラフは、 x + y = 1 に平行な直線が密に並んでいるグラフだから、
x, y の一方を任意に固定しても、 x + y が有理数になる点もなら無い点も密にある。

>>156-157
失礼
読み間違えていた

a を任意の無理数として、
x + y = 有理数、
x + ay = 有理数
だな。

アホか

x + 0 = x
x + a0 = x

Can we construct a set A whitch meets conditions of >>150, and cardinarity of whitch is that of R

>>162
選択公理を使えばできるけど、必要かどうかはすぐにはわからない。

whitchじゃなくてwhich
気をつけなはれ

meets conditions
はどういうことなんだろう？

うむ、Exciteで翻訳してみたら、まっとうな日本語が出た。
少し頭おかしくなってきたか。

頑張って英検３級を取得しよう

Re:>167 conditionという単語は英検三級程度では出ないだろう。

http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku2ch/1039177898/l50
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku/1027349232/l50
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku/1033142451/l50

みなさん、２ちゃんねる専用ブラウザを使用して、「Re:>」をNGワードに設定しましょう。
「Re:>」をNGワードにすると偽者もあぼ〜ん出来るし、他のトリップを使ってる人を無視しなくて済みます。
kingが名前をしょっちゅう変えるのは、NGワードに登録されてあぼ〜んされるのを防ぐためらしいので、この方法が有効です。

278

725

766

354

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

集合と位相　鎌田 正良 (著)

284

375

395

234

このレスは権利侵害の申し立てや違法もしくはその疑いにて不可視または削除されました。
削除日時：2013-04-17 13:03:42
https://mimizun.com/delete.html

559

795

601

松坂先生の御本を利用している一門の方達に質問です。↓

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072058641/497

age

>>185
(2.3), (2.3)' のすぐ上に書いてある (2.2), (2.2)' と、
(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章が読めませんか？

>>187　「(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章」

それは導入された公理や定理に対する傍論（？）のような気が…。
定理に必要条件を避ける理由としては弱くない？

>>187の「(2.3), のすぐ上に書いてある (2.2)」とは

　　　(2．2)　　A⊂A∪B　B⊂A∪B

>>187の「(2.3)のすぐ下に書いてある文章」とは（2．3）の十分条件の証明の
次に書かれてある文章のことで、以下

　　　(2．2)によって、A∪BはAをもBをも含む、他方(2．3)によって、
　　AをもBをも含む任意の集合は、A∪Bを含まなければならない。
　　その意味で、A∪BはA，B両方を含むような集合のうちで
　　’最小’のものである。

以上，他スレの住民のための補足

age

519

この本で読むのに一番時間がかかるのってこの章なの？

>>192
位相空間論が始まる章だからだと思う。

615

　　　　　　　　　　 　 　 ﾉ
　　　　　　 __　　　　　/
　　　　　 /⌒ ヽ 　／　　　　　　　 ／
　　　 　 （　　 　 ）'ﾞヽ.　　　　　_／
.　　　　／iｰ-‐'"i　 　 ,;　　 ／
　 i !　（　ヽ.　 　 ）　 ﾉ/ .:／
　　　 （＼.ﾞヽ＿（_／,ｲ／
　 i !　（＼＼＿,＿）' ﾉ
　　　 （＼＼＿,＿,）'
　 i !　 l　,i＼ ヽ､ !　　ｸﾞﾁｭｯ ｸﾞﾁｭｯ
　　　　l　}!　 ヽ､ ）
　　 　 し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

あれ？まだこのスレあったんだｗ

QとQ＼{0}が同相であることを証明

　　　　　　　　　 　 　 ﾉ
　　　　　　 __　　　　　/
　　　　　 /⌒ ヽ 　／　　　　　　　 ／
　　　 　 （　　 　 ）'ﾞヽ.　　　　　_／
.　　　　／iｰ-‐'"i　 　 ,;　　 ／
　 i !　（　ヽ.　 　 ）　 ﾉ/ .:／
　　　 （＼.ﾞヽ＿（_／,ｲ／
　 i !　（＼＼＿,＿）' ﾉ
　　　 （＼＼＿,＿,）'
　 i !　 l　,i＼ ヽ､ !　　ｸﾞﾁｭｯ ｸﾞﾁｭｯ
　　　　l　}!　 ヽ､ ）
　　 　 し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

俺はインポだからいつまでも耐えることが出来る。

人にされてもいかないよ。

Re:>>199 インポを治したかったらミネラルを摂って時々包皮を剥け。

ぶっちゃけ位相空間てなんなんだ？頭の悪いおれに説明してくれ。
それに開集合からのアプローチだけでいいよな？閉集合はあんま必要ないよな？

Re:>>202 位相空間の真の意味を考えるなら、各点の近傍系からはじめた方がいい。位相空間とは、各点に、他の点との位置的な(?)関わりの強さが定められている集合のこと。正確な表現ではないが。

位相=近さの物差し

整数に距離をいれる事ができるけど、その場合限られてるらしい。どのように限られてるのか教えて下さい お願いします

>>205
森田「整数論」に載っていたような気がする。
立ち読みでもして確認してくれ！

Re:>>205 三角不等式をみたすことだろう？

「通常の距離と、ｐ進付値から導かれる距離に限る」というやつか?
それなら>>206の言ってる本見るよろし。

みなさんｻﾝｸｽ>208 ってことはある意味一種類の距離しか入れられないってこと?とりあえずその本をたちよみしてみます、、でも、望月先生が距離として入るのは限られてるとはいってたけど、それのみとはいってなかったような、、勘違いか

208

325

age

この本セミナーでよく使われるよね。

>>203,>>204
数学素人です（工学系）。

そこら辺のところもう少し詳しく教えてください。
これは、距離のことですか？
距離によって、開集合が規定されるのは、わかるのですが、
純粋な位相の定義には、距離は不要では？
その考えは、近傍の定義に関することですか、それとも分離公理に関する
ことですか？
個人的には、位相空間は、分離公理をつかわないと
抽象的すぎてあまり意味が無いものと思っていたのですが。

旧帝の平均的な工学部生が松坂を読んで大体理解できるようになるにはどのくらいの時間がかかりますか？

>>215

”集合・位相入門”は入門て書いてあるけど、
決して入門書でないよ（私も工学系）！
独学でやるには、敷居が高いので、まず志賀先生の
３０講シリーズ（集合と位相）がおすすめ。
その２冊を読んでイメージをつけないと、挫折に至ると思われ。
ただ、線形代数なーんて簡単簡単という奇特な方は、
最初から松阪先生の本でも大丈夫かもね。
あと、工学系ならたぶんルベーグ積分、関数解析（ヒルベルト空間ぐらい）
あたりを目的とするんであれば、やはり３０講シリーズ
（あなどるなかれ、これでも結構難しい）で一通り勉強すれば十分では。
その後、足りないのであれば、Amazon等での人気のある書物をやる。
金銭的には不利だが、最短コースでやりたければ、
まず本当の入門からはいるのが一番。

>>214
距離とは直接関係ないよ。
「位相」を開集合系で定義する代わりに、各点の近傍系を与えてそれがある公理系を満たす
としてもよいということ。

普通の位相空間論の本には（たぶん松坂のにも）載ってるはずだから、見てみ。

>>217
レスありがとうございます。
イメージ的に言えば各点が、どの近傍に属するかにより、
位置的な関わりや、近さの概念の代わりを果たすみたいな
ものと思ってよろしいのでしょうか？
もう一つ質問させてください、収束という概念は、位相空間上にありますか？
あればそれは、それはどのような概念でしょうか？

距離空間というのは位相空間というより一様空間と考えたほうがいい。
距離空間だとコーシー点列が考えられるけど、これは位相的な概念
ではなく一様構造の概念。全有界というのも同じ。一様空間というのは
大雑把に言うと各点の近傍に対してその大きさが各点によらず指定できるもの。
つまり点ｐとｑの近さの度合いと別の点ｓとｔの近さの度合いが同程度である
ということが言える。距離空間だとε近傍がこれにあたる。

>>217
218ですが、ここでいう、近さとか位置関係というのは、
ゴムで出来た面のような、のびたり、縮んだり出来るもの
ですよね。従って、通常の近さとは違うものである。
以上をまとめると、位相は各元がどのようにつながっているか
（近傍や開集合の定義）を表現したものと言っていいですか。

>>217,>>219さん
本当にありがとうございました。

位相の定義そのものの意味がよくわからなかったんですが、
一番大事なイメージ（>>220）がつかめたものと思います。
これで、いまいちつながらなかった部分も理解できると思いますので、
後は自分でがんばってみます。

>>221
うむ、やってみるがよろし。

Uchida Fuichi wa?

100

この本をそろそろ始めたい。

age

>>223
anmari yokunai to omou.

140

omanko nametai to omou.

205

king

氏ね

talk:>>231 私を呼んだか？

talk:>>232 お前に何が分かるというのか？

477

今日から第3章を読み始めますんでよろしく。

857

おまいら、1〜2章を1日で終わらせましたよ。この調子でいけば3章も･･･



･･･。
ムリだ。

age

これから初めて集合論をやるのですが、30講と松坂と迷ってます
数学知識は理系大学受験レベルです。
どちらのほうがいいでしょうか？

松阪
集合なんて何で勉強してもいいんだけどね

あ、何で勉強しても良いんだけど
30講は所詮啓蒙書だから過不足無く知識をつけるのは無理、ということね

ありがとうございます
松坂にします。

集合だけなら
集合論入門　松村　朝倉書店
もいいよ。

集合と位相って一緒に教える意味あまり無いよね
なんでセットになってるんだろう

三村・河田（だったかな？）の現代数学概説�Uを辞書代わりに
読んでいけばいいかも。

p11の問1
a∈A⇔{a}⊂A をたしかめよ。
この問題に限らずなんだけど、「確かめよ」って場合はどんな示し方をしたらいいですか？

>>249
証明すればいいです。

そういう明らかなことを示せって言われたって
何を使って良くて何を使ってはいけないか、判断に困るよね
そういう問題は本来あまり宜しくないと思う

まあ、普通は問の直前に列挙してある性質とか、そこに至るまでに
証明された性質を使って示せば"証明"したと見做す場合が多いね

まさしくでござんして、証明の仕方で手詰まりです。

P21 問3　(c) A-B=Ф⇒A⊂B
x∈Aとしたあと、A-B=Фをどう使ったらいいのでしょう。

xがBの要素でない、と仮定すると、xはA-Bの要素であることになるが、
これはA-Bが空集合であることに矛盾するので、xはBの要素である。

>>253
ありがとうございます。納得です。
「xがBの要素でない、と仮定する」・・・こういう発想が私にはまだまだ足りないな。

A-B=Ф ⇒ (A∩B^c)∪B=B ⇒ (A∪B)∩(B^c∪B)=B ⇒ A∪B=B ⇒ A⊂A∪B=B

AоB=(A-B)∪(B-A) とする。
「集合A、Bを任意に与えたとき、AоX=Bを満足する集合Xがただ一つ存在することを示せ」

内田伏一「集合と位相」の問題ですが、これの証明の仕方をお願いします。
なお解答にはX=AоBとだけ書いてありました。

age

AоX = A - (A∩X) ∪_{直和}(X - A)であるから
AоXは、Aの元のうち、A∩Xを取り除き、
Aに属さないX - Aの元を新たに加えたものである

したがって、Aの元のうち、AоX = Bに属さない元の集合は
A∩X = A - B

また、AоX = Bに属してAに属さない元の集合は
X - A = B - A

よってX = (X∩A) ∪_{直和} (X - A) = (A - B)∪(B - A) =AоB

# 要するに何を引いて何を足せばいいのか考えれば良いんですが、
# 図を描けば結構明らかだったり

>>256
おいらもやってみた。
[存在性]
B = (A∩B) ∪_{直和} (B- A)
= (A - AоB)∪(AоB - A)
= Aо(AоB)
よって、X=AоBと置けばよい。
[一意性]
　"AоX_1＝AоX_2 ならばX_1＝X_2"を示せばよい。
　いま、X_1＝X_2でなかったとして
　ｘ\in X_1−X_2 (not empty)とし、
ｘがAの元かどうかに分けて調べれば容易に矛盾が導ける。
よって一意性がいえる。

こんなもんでいいんかい？！

結合法則　Ao(BoC) = (AoB)oC と
AoA = E, AoE = A (Eは空集合)を使うのがスマートかな。

AoX = Bを満たすXが存在するならAo(AoX) = AoBだが、
Ao(AoX) = (AoA)oX = EoX = XだからX=AoBでなければならない。
また、AoX = Ao(AoB) = (AoA)oB = EoB = Bだから、X=AoBはAoX = Bを満たす。

>>260
線形代数の証明とかでも、こんな感じで一意性を示しているのがあるけど、
どうしてこれで一意性が示せるのかがわからない。
X=AoBで確かに成り立つけど、どうして一意性が言えるの？

存在するとしたらこれでしかありえない
これは確かに条件を満たす。

って感じかな

x_1とx_2が条件を満たすとしたらx_1 = x_2である、とかそういう変種もありうる

>>262
ほぅほぅ〜、ありがとう。

A={a,b,…,x}をアルファベットの文字全体の集合とする。
α∈Aに対して、A_αをαとそれに続く2文字からなる集合とする。
ここでA_y={y,z,a}、A_z={z,a,b}としておく。
∪_[α∈S]A_α=Aであって最小の濃度をもつ集合S⊆Aを求めよ。
またあなたの与えた集合がその性質を持つことを示せ。

という問題ですが、よく分からないのでお願いします。

あ、S={a,d,g,j,m,p,s,v,y}でとりあえず条件は満たすか？
あとは示し方・・・

8個以下だと∪_[α∈S]A_αの要素の数は24個以下だからAにはなりえない
だからそのSも条件を満たすんだが、あくまで答えの一例であるに過ぎない

＞S⊆Aを求めよ。
だから、条件を満たすSを全て求めなくては駄目

age

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/fuyuiso.pdf
位相って面白い！　…のか？

776

f:A→B,g:B→Cとするとき、
(a) g。fが全射ならば、gは全射　
(b) g。fが単射ならば、fは単射
であることを示せ。

という問題をお願いします。

全射、単射の定義に当て嵌めればOK

>>270
マルチ。

452:１３２人目の素数さん :2006/07/05(水) 17:28:39
23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

>>270　f:A→B,g:B→Cとするとき

(a) g。fが全射ならば、gは全射　

証明
　　任意のｃ∈Ｃに対して、
∃a∈A　s.t g。f(a)=c（∵g。f：全射）
このようなaに対して、
ｂ＝ｆ(a)とおくとｂ∈Ｂで
g。f(a)=g(f(a))=g(b)=c
よってｇ：全射

f:A→B,g:B→Cとするとき
(b) g。fが単射ならば、fは単射

証明

任意のxy∈Aに対して
ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)⇒g(f(x))=g(f(y))
⇒g。ｆ(x)＝g。f(ｙ)
　　　　　　　⇒ｘ＝ｙ（∵g。f：単射）
よってｆ：単射

f:A→B,g:B→Cとするとき、
(a) g。fが全射でgが単射ならば、fは全射　
(b) g。fが単射でfが全射ならば、gは単射
であることを示せ。

という問題をお願いします。

a) Ｂ_1 ＝Ｂ−Im f とおく。
　ｇは単射より、　Im g ＝Im gf＋Im(B_1) （直和）
　ｆは全射より　　Im gf＝ C
よって、Im(B_1)はempty.
これは　ｆが全射であることを示している。
ｂ）は自分で考えよ！
　

訂正；「ｆは全射より」⇒「gｆは全射より」

自分で解けよｗ

>>279
補足は君に任す。

ｂ）Ｄを任意の空でない集合をし、
　射ｈ_i :Ｄ→Ｂ　（i= 1,2) は
　　ｇ・h_1＝ｇ・ｈ_2
　と満たしているとせよ。
　ｆ：全射　より、
　　　ｆ・ｊ_i ＝ｈ_i
なる射ｊ_i: Ｄ→Ａ　が存在する。
（Ｂの任意の元ｘに対して、ｈ^{-1}_i(x)の元は
　ｆ^{-1}(x)の元を適当に対応させれば良い。）
　よって、
　　　ｇ・ｆ・ｊ_1 ＝ｇ・ｆ・ｊ_2 .
ｇ・ｆは単射より　ｊ_1 ＝ｊ_2 .
従って、
　　h_1 ＝ｆ・ｊ_1 ＝ｆ・ｊ_2 ＝ｈ_2
此れは　ｇ：単射を示している。

低レベルな問題には清書厨が涌くｗ

スレ違いだし

「あまり　discoureage　するような事を書くな」と言われそうだが・・・

集合（算）に拘るのは止めたほうが良い。
その時間で、もっと別の事が学べる。
例えば、monomorphism/epimorphism にしても　カテゴリ論から見直すほうが視野を拡げるという意味でまだ有益だと思う。
数学に対する「集合と位相」なんてのは、文学に対する文法程度の意味しかないのだから此処に埋没するのは勧めない。

ここは集合（算）のスレじゃないんだよ
スレタイ読め＞283

＞284 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/06(木) 14:40:39
＞ ここは集合（算）のスレじゃないんだよ

誰もそう言ってはいないが？
249あたりから集合算に拘った書き込みがあるからそう言ったまで。
朝鮮人みたいにすぐ他人を罵倒する前に、コンテクストをよく読みなさい。

キタキタ、朝鮮人蔑視

> 249あたりから集合算に拘った書き込みがあるからそう言ったまで。

スレ違いを指摘するだけで十分。

アホ相手と知りながらちょっと捻って解答してやれば、
横から罵倒されるんだよなぁ。
これからスルーする事にするよ。
（キングの弟子とやらに任せるよ、こういう他愛もない問題は）

178

840

二年。

保守

R(実数全体の集合)の部分集合から成る集合系Xで、
Y⊂X，X−Yは可算集合　→　選択関数F：Y→Rが(選択公理を使わず)構成的に作れる
を満たすものはどんな集合系か？

自然数の整列性って証明出来ないよね？

別に出来ますね

できます

整列性って、全順序＋整礎性？

整礎性はともかく、
全順序は「定義です」としか言えんような。

整列集合も知らんのかｗ

「自然数の整列性」なんて言葉遣いはあまりしないような
自然数の順序が整列順序であること、というほうが普通かな

ωの整列順序は集合論の本なら大抵載ってる
Peanoの公理を満たす任意の順序集合が整列集合である事は
多分示せないんじゃないかな。というか反例が存在するような気がする。

ていうか、教えて。
整列集合って、もう数年集合論やってて「整礎な全順序」
という用法しか見たことないんだが、別のあるの？

>>301
Peano算術の超準モデルは全順序だけど整礎にならないよ。
整列集合の定義が俺の思ってる通りだったら整列集合でないね。

この証明でどうですか？
Ｎの任意の部分集合Ｍ(≠φ)に対して、
Ｌ＝Ｍ∩{n∈Ｎ|n≦N_1} ≠φ
となるようなN_1が存在し、
Ｌは有限集合であり、全順序であるから有限回の操作で、Ｌにおける最小元が求められる
またこの元はＭに関する最小元となる

>>303
俺の考えてた「整礎性の証明」もだいたいそんな感じ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88#.E6.95.B4.E5.88.97.E9.9B.86.E5.90.88.E3.81.A8.E6.95.B4.E5.88.97.E5.8F.AF.E8.83.BD.E5.AE.9A.E7.90.86
http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/set05/section1.4.pdf
「整列集合」の定義

整礎性って言ったらwell founded (sets)のことを言うのが普通だと思うんだけど。
正則性というほうが多いかもしれないが。
集合論じゃwell ordered （sets）の事を整列集合性じゃなくて整礎性って言うの？

>>305
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordered_set
> Equivalently, a well-ordering is a well-founded linear ordering.

整礎＝well-foundedであってるよ。
well-ordering＝整列順序もあってる。
その上で、well-foundedなlinear orderのことをwell-orderと言うんだけど。

数学屋は「整列集合」とか「整列定理」は知っていても、
「整礎」なんて言葉は使わんと思う。そもそも知らんだろ。

じゃぁどこで使う言葉なん？＞整礎

>>306
おおなるほど

663

p212の一番下の文、なんか可笑しいよね？ちなみに第47刷。

「われれわはまず」ｗ

名著で評判なので読んでみたが、
初版年度も古く、改訂を重ねてても、学生がつまづき易いポイントでの注釈とか、
言い回しの配慮とかはあんまりないのな。
斎藤の数学の基礎の方が新しい分だけ配慮が行き届いてると思った。

＞学生がつまづき易いポイントでの注釈とか、
＞言い回しの配慮とかはあんまりないのな。
例えばどんなこと？

でも「学生がつまづき易いポイント」っつーのもなんかなー

部分集合系とかね。

畳の縁につまずく人ですか？

保守

457



379

最近の他の本のほうが読みやすい
距離空間と位相構造　共立
集合と位相　内田　しょうか某　など

このスレ
なんで位相の前の順序集合だけを取り上げてるのか意味不明だな。

"松坂和夫の集合・位相入門を徹底理解する"

でいいんじゃないのか？

>>321
内田の"位相入門"ってのはど？

>>323
内田「集合と位相」すら敷居が高いと感じる方向けのようです。
図書館で借りて読めば充分。（自腹を切ってまで買う本ではない）

ずいぶん古い内容ですんません。
>>262の言っていることって正しいの？
題意の式を満たすXがただ一つしかないことの証明に260はなっていない気が
するんだけど。
↓
260 ：１３２人目の素数さん：2006/05/16(火) 21:25:05
結合法則　Ao(BoC) = (AoB)oC と
AoA = E, AoE = A (Eは空集合)を使うのがスマートかな。

AoX = Bを満たすXが存在するならAo(AoX) = AoBだが、
Ao(AoX) = (AoA)oX = EoX = XだからX=AoBでなければならない。
また、AoX = Ao(AoB) = (AoA)oB = EoB = Bだから、X=AoBはAoX = Bを満たす。


261 ：１３２人目の素数さん：2006/05/19(金) 15:25:34
>>260
線形代数の証明とかでも、こんな感じで一意性を示しているのがあるけど、
どうしてこれで一意性が示せるのかがわからない。
X=AoBで確かに成り立つけど、どうして一意性が言えるの？


262 ：１３２人目の素数さん：2006/05/19(金) 16:58:04
存在するとしたらこれでしかありえない
これは確かに条件を満たす。

って感じかな

x_1とx_2が条件を満たすとしたらx_1 = x_2である、とかそういう変種もありうる

>>325
>>262“存在するとしたらこれでしかありえない”⇒一意性　という事!
これでも判らなかったら、
“AoX_1= B = AoX _2 とせよ。これからX_1=AoB=X_2 を得る。”
と読み替えてもダメかい？？！！

>>326
その場合、AoX= Bを別の方法でとくと X=AoB以外の解になる可能性は
ないといえるのですか？

>>327
群になっているのが分からないのかね

>>327
AoX_1= B = AoX _2　とせよ。両辺に　Ao　を施し変形する。
X_1=EoX_1=(AoA)oX_1 =Ao(AoX_1) = Ao(AoX _2)= … = X_2
　X_1 = X_2 を得る。これは一意性を示している。

といった具合でいいでしょう！腑に落ちませんか？

三年一時間。

>>402
はぁ？
どう考えても違うだろ常考
線型性分かってないやつはもう一回出なおして来い

ロングパスだなｗ

集合Aと集合Bが等しいのは同じ元から成るとき
すなわちAの元はBの元でありBの元はAの元であるときとあります。
このすなわちの意味がわかりません。
集合Aと集合Bが同じ元から成るときはAの元はBの元でありBの元はAの元であるのはわかりますが、その逆
Aの元はBの元でありBの元はAの元であるときAとBが同じ元から成るということがわかりません。どう考えたらよいのでしょうか。

定義だと考えるとよい。

> Aの元はBの元でありBの元はAの元であるとき
> AとBが同じ元から成る
> ということがわかりません。

対偶とってみたらわかりやすいんでないの？
AとBが同じ元から成るのでないなら、
Aの元だがBの元ではないものが存在するか
Bの元だがAの元ではないものが存在するか
のどちらかでしょうよ。

定義だと思うんだけど

x∈A⇒x∈Bのとき、A⊂Bと定める
とくに、x∈B⇒x∈Aも成り立つとき、A=Bと定める
すなわち、A⊂BかつA⊃BのときA=Bとする

このような定義のはず

その定義が飲み込めないんで困ってるんでしょ
定義を定義だからと無理に飲んでしまうと後で困るよ

集合の相等に関しては、定義として飲み込む以外に方はないと思うが。

まあ程度によるだろうね
>>336はもっとうまい言い方があるはずだが
>>337みたいな飲み方は最悪

>>340 は低脳

どうしてそういう定義をするのか、という動機にまで踏み込むのは良いこと。
余裕がなければ、定義を鵜呑みにして先に進め。

しかし>>334のレベルで動機がわからないようでは
先に進んでも意味がないと思うんだが。

urelementsなど変り種集合論のヲタから言わせてもらうと
>>337を集合の等号の定義と言われると困る
AとBが同じ元を持つことはA⊆B∧B⊆Aと表してよいが
そこからA＝Bへとつなぐのは定義じゃなくて外延性公理だ

まあ>>337を定義と考えない集合論者がいるとか
そんなことはおくとしても、
そもそも>>334をよく読めば、334が訊きたいのは
「同じ元から成る」ことと
「Aの元はBの元でありBの元はAの元である」ことが
なぜ等しいか、なのではないかな？
つまりそもそもA＝Bの定義だか外延性公理だかは
お呼びでないと思うんだが

そのとおり、∈が有基底的ってところが重要なのだよ。。

それが見えればたいしたものだ。

404

p.29の問題１
A,Bがそれぞれm個 n個の元からなる有限集合のときAからBへの対応は全部でいくつあるか．

と言う問題なのですが
これの答えが2^mnとなるらしいのですが，なぜこうなるのかさっぱりわかりません．どなたか解説してくれませんか？

>>348
A={a[1],…,a[m]}、B={b[1],…,b[n]}とし、
Γ(a[k])にb[j]が入るか入らないかの2通り
1≦j≦nだから、2^n通りある
1≦k≦mだから、(2^n)^m=2^(mn)

>>349
すみませんまだ良くわからないのですが．

A = {a, φ} (m = 1)
B = {b1, b2, φ} (n = 2)
として
f(a) -> {b1}
f(a) -> {b2}
f(a) -> {φ}
f(φ) -> {b1}
f(φ) -> {b2}
f(φ) -> {φ}
として対応は6だと思うのですが．
式に当てはめると2^2で4になります

証明問題くらいちゃんと解答付けろよと思う。

>>350
写像の個数じゃなくて対応の数
m=1,n=2だったら
Γ(a)=φ,{b[1]},{b[2]},{b[1],b[2]}
の四つだろ？

>>348>>350が　MASUDA ◆5cS5qOgH3M　っぽい件

>>352
でも，「像」ってのはただ一つの元からなる集合のことですよね？
写像f:A->Bによるaの像がbであることを，fはaにbを対応させると書いてあるのですが．．．

それなのに，{b[1],b[2]}は二つの元から成っているような気がするのですが．．．

>>354
23ページ下から4行目からをよく読めｶｽ

>>355
誤解していました．
しかし

A = {a1, a2, φ} (m = 2)
B = {b1, b2, φ} (n = 2)
f(a1) -> {φ}
f(a1) -> {b1}
f(a1) -> {b2}
f(a1) -> {b1, b2}

f(a2) -> {φ}
f(a2) -> {b1}
f(a2) -> {b2}
f(a2) -> {b1, b2}

これ以上の組み合わせは無いと思うのですが
なぜ2^2*2として16個もあるのでしょう...

>>356
4*4=16でちゃんとなってるだろ

a1の元に対して4つ
a2の元に対しても4つ
あわせて8つでは？

>>358
何言ってんだお前？
4つずつだから対応の数は4*4だろ？おｋ？

ちょっと待ってください

f(a1) -> {φ}
f(a1) -> {b1}
f(a1) -> {b2}
f(a1) -> {b1, b2}

f(a2) -> {φ}
f(a2) -> {b1}
f(a2) -> {b2}
f(a2) -> {b1, b2}

これで８個の対応ですよね？
のこりの８個はどんな対応なんですか？

>>360
ちょｗｗおまｗｗｗ
まだ分かんねえのか

お前の書いてる順に番号つけようかな
例えばf(a1)_1=φってな具合に
するとさ、f(a1)_1に対して
f(a1)_1とf(a2)_1の組み合わせからf(a1)_1とf(a2)_4
の四つあるだろ？
言い換えると、四人の男と四人の女から男女一人ずつの選び方が何通りあるか
ってことと同じになるだろ？
おｋ？

>>361
えっと．
いま問題にしてるのは，
Aの各元に対応する，Bの部分集合族がいくつあるか？
だと思うのですが．
それはa1に対して4つの部分集合族
a2に対して4つの部分集合族
だから合計8つの対応．じゃないのですか？

四人の男と四人の女から男女一人ずつの選び方が何通りあるか
これは4C1*4C1で16通りと言うのはわかりますが...

>>362
まだ分かんねえのか
対応の数だから組み合わせになるだろ
自分で
a1に対して4つの部分集合族…(1)
a2に対して4つの部分集合族…(2)
って言ってんのに分かんないの？
(1)の四つをB1〜B4
(2)の四つをβ1〜β4ってしたら
対応は
(B1,β1),(B1,β2),(B1,β3),(B1,β4)
(B2,β1),(B2β2),(B2,β3),(B2,β4)
(B3,β1),(B3,β2),(B3,β3),(B3,β4)
(B4,β1),(B4,β2),(B4,β3),(B4,β4)
の十六個。おｋ？
補足すると
f(a1)がB1〜B4の四つ、f(a2)がβ1〜β4の四つで
対応は組(f(a1),f(a2))で決まるんだから
要するに対応ってのはa1をBのどの部分集合にとばすかってことと
a2をBのどの部分集合にとばすかってことのペアになるからさ
いい？

要するに対応ってのはa1をBのどの部分集合にとばすかってことと
a2をBのどの部分集合にとばすかってことのペアになるからさ
いい？

この説明でようやくわかりました！！ありがとうございます！

第１章　のSS1の問題　の問い３の話なのですが

(a)の６乗すると１になる

１±√３i　/２　というのはどうやったら求められるのでしょう。　ωはわかるのですが・・・

あと（ｄ）や（ｆ）はこれどんな本をやったらできるようになりますか？

>>365　取りあえず高校数学一通り終わらせてからやれよ　ｗ

>>366
高校ではそんなのやった記憶ないが・・・

高校数学の簡単な応用でできるでしょ

高校で因数分解やらないの？

>>369
こんな高度なのやったかどうか・・・
因数分解って解析でも代数でもかならずつまづくんですが
いい参考書かなにかないでしょうか
青チャートやってもできません
すれ違いと思いますがお願いします。

>>370
ヒント：複素係数多項式環は一意分解整域

>>37１
ヒントありがとうございます
ただ、今すぐ理解できるかどうか・・・
環、群、イデアルについて詳しい本とそれに必要な
予備知識の本ないでしょうか...orz

X＾6−1
の因数分解ができないってか？

x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)
=(x+1)(x-1)(x^2-((-1+i√3)/2))(x^2-((-1-i√3)/2))
=(x+1)(x-1)(x+(-1-i√3)/2)(x-(-1-i√3)/2)(x+(-1+i√3)/2)(x-(-1+i√3)/2)
=(x+1)(x-1)(x-(1+i√3)/2)(x-(-1-i√3)/2)(x-(1-i√3)/2)(x-(-1+i√3)/2)

x^6-1=(x^3+1)(x^3-1)
=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)
=(x+1)(x-1)(x-(1+i√3)/2)(x-(1-i√3)/2)(x-(-1+i√3)/2)(x-(-1-i√3)/2)

x=re^(iθ)とおいてみる

等々

>>373
できない・・・

これが低学歴大学の学生かｗすごいｗ
お前数学科なの？てかそれ以前に理系？ｗ

>>374
真ん中のやり方はわかりました
ありがとうございます。

最後のiθはいまいちですが・・・
こんな風に因数分解に強くなるにはどうしたらよかでしょう

因数分解というか複素数平面を勉強すればすぐわかる

>>378
数学Bですか
復習しときます
「基礎からベスト」では基礎すぎて載ってないな・・・

もうね、ネタとしか思えない…

>>378
いまの高校のカリキュラムには複素数平面がなくなってるよ

いや、そういうことも含めて質問者のレスが的を外してるところにネタ臭を感じるけどね。
てか、むしろネタであってくれ。

p72
の左上部分の系について質問なんですが
?0　というのは無限の集合の濃度ですよね？
それよりも大きいmってどういうことですか？

>>383
文字化けした
アレフゼロです

>>383　濃度での＜の定義はちゃんとわかってるのか？
　たとえばアレフ0より大きい濃度には、アレフ(Rの濃度）などがある。

連続体の濃度をアレフと書いてる教科書って見たことある？

>>385
p74ですね
＜の定義というのはどうなんでしょう
濃度を単純に数がなんこあるか、と捉えては間違いでしょうか

>>387　数ととらえられるのは有限集合まで。
　第二章始めから読み直した方がいいよ。

>>386
無いかあるかで聞かれたら「ある」としか答えようがない

全射と単射の区別がつかないのですが
全射にならない具体例ってどんなのでしょう

>>389
では書誌情報をお願いします

>>390
A＝｛1｝、B＝｛1,2｝
とするとAからBへの任意の写像（つっても２つしかないが）は全射にならない

ってか、全射単射の定義は線形代数とかでやったんじゃないの？
キミ、数学専攻の大学生？あるいは専門外の趣味で勉強してるの？

>>392
ということはa∈Aで
ｆ（a)を２ｘとすると
AからBの元の１にはならないから全射じゃない、単射でもないということでしょうか

じゃあ全射であるが単射じゃない例はどんなものでしょう

いろいろとわけありでして・・・

>>392
それと
位相を学ぶのに代数も解析もいらないといわれたので
どちらもやってませんが・・・

ちゃんと本読んでから質問しろよ
どこで躓いてんだこいつ
あまりにアホすぎて釣りに見えるわ。

>>395
多分写像は関数でしかないって思ってるのが間違ってるのかと

>>392の例は写像ではなく対応というのでしょうか

>>393ですが
全射と言った場合、ｆ（aｎ）＝ｂ1∈Bに
なるanが複数あるということですよね

それは例えばｆ（）をｘ＾２とすると

a1＝１　a2＝−１　の場合　a1もa2もｂ１になるから全射、でよいでしょうか

>>397
定義域と値域が不明、写像の定義も理解してなさそう
君は集合、位相といわず高校レベルの数学からやり直した方がいい

>>389
一応書誌情報待ってます

やっぱりまともな教科書では
連続体の濃度をアレフと書くことはないのかな？
まともな教科書で書いてるものがあれば挙げてください

>>399
帰れ

ないんですね
了解

とりあえず日本ローカルで流通してる書き方なのは確か
海外では 2^{\aleph_0} か単なる c だし

てか思うんだが
まともに因数分解もできないようでよく大学に入れたよな
そんなんが大学生やってるなんてお門違いにもほどがありすぐるだろ常識的に考えて

>>401
えー、何でそうなるのかな...

>>385,>>389みたいに
ネットで与太を飛ばしてる奴とそう変わらんと思うが

とりあえず因数分解できない子はおいといて
書誌情報挙げりゃいいだけの話なのに
どうしてこうなるんだろうねえ

やっぱ与太なの？
ネットの、それも信用ならなさそうな場所でしか
見たことないもんな、そんなalephの用法

カントル 超限集合論, 共立出版を見よ

それって"Beiträge zur Begründung der
transfiniten Mengenlehre"の邦訳？
原書にはalephのそんな用法なかったような

原書が手元にないので英訳を見たら
連続体の濃度には c じゃなくて o を使ってた
もちろん aleph ではなかった

井関清志著　集合と論理　新曜社　p.122

そんな古い本持ってる人まだいるんだ…
いや素直に感心した
あまりに古過ぎてこちらでソースチェックできんけど

日本語の本以外にもあれば教えて

たしかカントールとデデキントの書簡から来てるんでしょ。
もともとはアレフ・ヌルを使い始めたのもカントールで連続体濃度はアレフ1としたかったけど
CHが証明できないから、ナンバリングしたいけどそうしなかったんじゃなかったっけ。

基数でこの記法が使われてるのもそこからだったと思うが。

というか、記法の話なぞ本質的でも何でもないのでいい加減にして欲しい。

>>413
カントールとデデキントの書簡で連続体の濃度を
alephと書いてるとでも言いたいのかな？（だとしたら
それは偽じゃないかな）
aleph記法自体の出所の話なんて誰もしてないんだよね

話の文脈も読めない人に本質的がどうとか言われても困るが
まあ確かに松坂さんには関係ないこった

こっちは一応Cantor 1895, 1897までは目を通してるので
>>413に書いてある程度のことは話の前提になってるの

その上で、subscriptなしで連続体の濃度を指すalephの用法が
Cantor自身には（多分）なかったにもかかわらず広がって（多分
日本限定で）いった範囲というか媒体というかを知りたかったんだけども

まあ確かにスレ違いなんでもういいや

2章まで読み終わったけど、
共通部分の集合族どうしの直積はどうやったら証明できますか？

とりあえず
>>411にその記法で書いてあるらしいからそれでいいでしょ

もともとは書誌情報示せってだけだったし（>>386>>391）
>>414-415みたいなことは最初から書いておくべき

あと、他人を与太呼ばわりしたんだから
書誌情報を得た今はそのことに対して一言あって然るべき、と個人的に思うね

いい加減にして欲しい。

あの、集合系の共通部分どうしの直積ってどうやるんでしょう
2章までじゃ少ないのでしょうか

直積を証明するとか
直積をやるとかいう言葉からしてよくわからんのだが

例えば
∩Aλ　×　∩Bμ　＝　∩｛Aλ×Bμ｜＜λ，μ＞∈Λ×M｝

というやつなのですがこれどうやるんでしょう
2章までじゃ少ない内容なのでしょうか

なんでアレフでもめてんだ？
くだらないこと質問して教えてもらえなかったド低能が発狂してんのか？ｗ

なんか発狂してる人が来たね

>>421
あるものが左辺に属する条件と
右辺に属する条件はわかる？
それがわからんようではちょっと無理

>>423
それはつまり左辺⊂右辺　左辺⊃右辺のことでしょうか

いや、それは後々の目標というか

というか聞き方変えるとだな、
左辺⊂右辺の示し方ならわかるの？

集合系でない　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
とかの問題ならたくさんあるのですが
直積の問題が見あたらないんです。
条件というとp20の定義あたりでしょうか・・・

x∈∩A_λ (λ∈Λ)

と

x∈A×B

の定義はわかる？
わかればそれを組み合わせるだけなんだけど

x∈∩A_λ (λ∈Λ)
これの定義というのは
｛x｜∀A∈Λ（ｘ∈A｝
でしょうか

x∈A×B
というのは積なので
x一つじゃなく <x,y>のように二つになるのは間違えでしょうか・・・
すいませんお願いします

な.../ :::早:::::l::::":::::::､:::: :ヽ.::::::::::::::::.:::::.こ:.: 駄.
ん/ :::::::く::::::|::::::::::::::ヽ:::::ヽ`:､:::::::::::::::::い::: 目
と.!:::､::::.:::::::::.ｌ:.:::::::::::::::ヽ::＼:::ヽ.::::::::::..つ:. ..だ
か:..: :::|,::: :: :、丶: ヽ: :: :ヽ :::'-::ヽ:::::::::..・ ..
し::::|:::::::y::::::::ヽ:::::ゝ:ヽ,::::::＼.::::ﾞ''.::ヽ::::::・: .
な:,:::.ｌ:::::lヽ::::::::、:":::::､: ､:::::::ﾞ'.ｌ'-、::.:ｌ::::・::.: .
い.!:,::::ﾐ､:ﾞ!,ヽ::::: ｌ::::.＼ヽ,＼::..,.＼＼.ｌ::.::::: ...
と.! ｌ::.:::､::::ｌ从_:::::l::,,'.:/_､ﾆ,,__､i::|:､''"!:::::::, .
.・:::.ゝ. !./ﾞ! :^lゝ＼|::l ゞ='ﾊ":`.,!`)l:'":::::":::/ ..
.・::ﾍ::: `''`:ゝ-:"::::::::ｿ":.､:´ ｀-'‐' ι,.|,i::i'::::/..
.・. ::ﾐ ｀::::::::::::::::::::::::　　　　　　 　　ﾉ.|.l::::i./ ...
.　　ヽ''ｌ､:::::::::::::::::::　　 　　　　　 .i　.,l/::::|:,i"
　　　 .'ﾙ:::::::::::::::::ゝ_-　　　　　　 U,..ｌ,i|::l/:. .
.　 　 　 ヽ::::::::　　 　 　 　 　 　 ﾞ'/ゞ.从､.! ...
　　　　　. ヽ::::::`ヽ..二"''‐　　　 / ,iﾞ.::|"l/‐ .
　　　　　 ／ﾞ:､::: `―　　　　.／,,､/ .ﾞ|　! ......
　　　 ／ 　.ヽ: ＼　　　　_／ ／ l./ 　ﾞ
. , ／　　　　l ヽ .｀'― :(,ﾞ／ﾞ　 //

せめてヒントのこの本の何ページかだけでも・・・

>>428
> x∈∩A_λ (λ∈Λ)
> これの定義というのは
> ｛x｜∀A∈Λ（ｘ∈A｝
> でしょうか

微妙に間違ってるんだよなあ

　x∈∩A_λ ⇔ ∀λ∈Λ(x∈A_λ)

としないと
あるいは

　∩A_λ＝ {x｜∀λ∈Λ(x∈A_λ)}

とするか、というか君は上の左側と下の右側を
つないじゃってるのも間違い

> x∈A×B
> というのは積なので
> x一つじゃなく <x,y>のように二つになるのは間違えでしょうか・・・

こっちは間違いというか何というか、
要するに x＝<y, z> なるy∈Aとz∈Bがある、ってことなんだけど

このあたりのセンスが身についてないようでは
先に進むのはまだ早いんじゃないかなあ
要復習だよ

>>431
ありがとうございます
真摯にうけとめます

これよりやさしい本はないと聞きましたが
どういう復習がよいでしょう。。
集合論というより論証がだめなのでしょうか

うーん、というか
∩と×のそれぞれができてないのに
その2つの組み合わせに挑むのが間違いなんで
何章か戻ったところから練習問題をやり直したら？
きっと微妙に（しかし致命的に）間違った答を書きながら
気づかずそのまま来てると思うんだ

>>433
そういえばp50の問題は飛ばしました。。
この辺からでしょうか・・・
でも答えがない・・・

P∩Q?P∩Rの否定的命題

｛P∩Q?P∩R｝’

＝｛（P∩Q→P∩R）∩（P∩R→P∩Q）｝’

＝（P∩Q→P∩R）’∪（P∩R→P∩Q）’　　//この行から

＝｛（P∩Q）∩（P∩R）’｝∪｛（P∩R）∩（P∩Q）’｝　　//この行に変わるところがわかりません

＝（P∩Q∩R’）∪（P∩R∩Q’）

//｛（P∩Q）∩（P∩R）’｝この場合どうして（P∩Q）の部分は否定にならないのでしょう
それと→は∩と同じ意味なのでしょうか

すいません文字化けしたところは
←→
です。

論理記号と集合演算がごちゃませ…
何ページの記述？

すいませんこの本の問いではないです。。
∩と∧は同じ物とおもってはいけないのでしょうか

全くの別物です
∩は集合演算子で、∧は論理記号

それと＝は同じ記号を使うけど意味合いが変わってくるから

ありがとうございます
∩と∧を置き換えて読んでください

どうして
（P→Q）’は
（P∧Q’）になるのでしょう

>>441
その本がどんな本なのかわからないけど、おそらく定義じゃないかな。
定義になるか定理になるかは公理の定め方による

それと多分＝は君の考えてる意味合いからずれてると思うよ。

>>441
あ、ゴメン読み間違えた

P→Q＝P’∨Qが公理としてその本に書かれてない？

＝は集合論でやった同値と思っていいのでしょうか
もしくは必要十分ということで、数字が同じになるという意味ではないという事ですよね

P→Qの否定は（P→Q）’＝P∧Q’

というのが解説にはありますが演習書なのでもとになる本が手元にないため
確認できません。
一般の論理ではこれ矢印はなんと読むのでしょう。
「ならば」は「かつ」と同意なのでしょうか

つまりPならばQでないという意味なのはわかりますが
それを論理記号であらわすと、、、
∧に矢印は置き換えられるのでしょうか

P→QはPかつQ

とは言いませんよね・・・？

集合論にも素朴集合論やら公理的集合論とかがあって…、それによって全然違ったり…。
論理記号の＝もあれば、同値の＝もある…

とりあえず、元になる本がないなら演習書に手を出さない方がいいよ。
どのみち基礎的な定義や意味合いすら理解してないようだし。
ひょっとして情報系の論理計算演習かな？

どうしてもトポロジーを覚えなければならなくて・・・
演習・集合位相空間論
青木利夫・高橋渉・平野
培風館

という本なのですが元の本も買うべきでしょうか
それともなにか良い本ないでしょうか・・・

松坂和夫氏のこの本は詳しいようでなかなか

すいません
演習・集合位相空間

でした　論はついてません。。

あちゃこちゃに手を出さずにまずは松坂の本を順番に一つ一つ理解した方がいい。
全体的に基礎が出来てないのに先に進もうとして転んでるような印象を受ける。

ぶっちゃけていうと>>435を理解したところでトポロジーを理解する助力になるとは思えない。

>>449
ありがとうございます
もう一度読んでみます。。

ではｐ１８なのですが
16行目の
X’というのはどうして「’」がついてるのでしょう

ゴメンなさい、もう寝ます
お休みなさい

>>452
おやすみなさい
また今日の夜にでもお願いします。一応疑問と言うのは

いまp(X)の話をしてるわけで、
Xの元を｛１，２、・・・ｎ｝ならば
｛１，２、・・・n-1｝というのもXの元なのではないかと

つまりX’としてしまったらｐ（X’）であって違う集合族違う冪集合なのではないかと

p33の1行目
f：A→Bが全射ならば、f(a)＝bとなるようなAの元が少なくとも１つ存在する
とありますが、
これ、全てのAの元に対しf(a)＝bなのではないでしょうか

p45の11行目
集合系の和集合と共通部分の定義なんですが
すべてのλに対するAλを含むような集合のうちで最小のもの
また最大のものとありますが
なにが最小と最大なのでしょう
和集合が最大ならイメージできるのですが
元が実数でその値というわけではなく、元の個数がということでしょうか

なにこいつ・・

熱心なだけで絶望的にセンスがないな、全く何も理解してない感じ
もっと別なことにエネルギーを向けた方が有意義だと思う

赤攝也著　集合論入門　培風燗　p.53（連続体の濃度）

赤攝也著　集合論入門　培風燗　p.53（連続体の濃度）

もうええっちゅーに

>>454
なんですが、全射のイメージって
aから全部のｂになるわけじゃないわけで、
ｆ＾−１（ｂ）≠φになる
とは
Bのどの元ｂに対しても逆対応は全部aになるってことですか？

AからBへの写像がただの全射ならｂからaにならないｂもあると思うのですが

>>454
全射の意味間違えてましたすみません。。

fがXからXへの全単射ってどういうイメージですか？

図にすると集合Xから矢印がUターンしてまたXに戻る感じでしょうか

心を無にし、もっと素直に！

無〜


Xの丸の中だけで矢印がXの外にでない？

イメージというものを明確に“定義”してもらわないと・・・

>>465
そんなの考えて何か理解の助けになるの？

>>466
あまり面白いギャグとはいえない

ギャグじゃなくて皮肉だろ

皮肉のつもりならなお頭が悪いよ
「イメージ」をかけたギャグということにしといたほうがいい

うわ、くだらねぇダジャレ

だから頭悪い「皮肉」か
面白くないギャグかの2択なんだって

恒等写像と関係ある？

どう読めば皮肉と読めるのかさっぱりわからん

>>472
恒等写像はXからXへの全単射のほんの一例・・・
というかXからXへの全単射全体がなす群（対称群
という）の単位元だな

恒等写像のIというのは
イデアルと何か関係ありますか？

あるよ
恒等写像のIとかIdとかってのはイデアル(ideal)の最初の二文字だし

うは

嘘はイカン

>>477
じゃあ別のもので関係ないってこと？

ラテン語のidじゃないの。

>>479
ロシア語です

　

4=8/2

>>474
恒等写像のIはidentityのIです

>>19　なひとに。
すっごく基本的な、大抵いつでもそうなってるような、
一般的なところをやってるのに、それほどまでに
「面白い」＝情報として価値がある…
…ようするに特殊だったら、
そんな分野は狭すぎて使いにくいよー？

でもそういうのは読み飛ばして実例に入ってから
必要になる度に戻るのもいいとおもいまーす。

あと、スレ主さんは並列間の比較・対応が苦手っぽい。
逆に言うと、つっかえる所の同質性の背後には、
近傍による位相から集合操作テクニックの一種で
距離またはそれに類する他の位相関連のあれこれを
織り上げる時に重要な「対応関係の性質と扱い方」が
関わってる。これは発展性のある分野だと思うから、
「本質的に深い＝難しい」のかも知れない。
私はちょっと気付かずに通り過ぎてしまったかも？

「…対応というより対照？」
…はっ！？ごめん、そうですｍ（　）ｍ
ａｎｄ（分離）系による部分の扱いと距離だから、
ｏｒ／応答（包含下位）系の仕組みは（多分）使いません。
隣接型参照はなし、投射型参照接続だけで大丈夫です。
（＝関係の線を引くなら別グループ間だけになります。）

近接性と核＝相互排除（配置〜選択肢）間の共通部から
集合操作系に共通の枠組を組み上げる枠組（言語本能）
までは使いますが、複合型応答性は使わないって意味。
って正式用語ないから全部暫定だし、読み難いよorz

言語本能としては近接・焦点性（お列語尾）は初めから
日本語の文法構造の枠組である各種集合操作に対する
共通部分を組むのに使われるから「関係は自明」だけど、
それらの為に心の機能を割り当てて占有させている間は
「理解しようにも（必要な質の）内的資源が足りない」かも。

「こういう苦手さ」はいつも使って・頼っている内的な機能で
起きるから、いったん乗り越えると得意になったりするよね。
逆に「内的資源競合型の不得意」にならない＝使わずに
残していたから必要になったときにすぐに使えたタイプは、
後で伸び悩むことがある（実際、そういうことがあった）。
＝「毎回つっかえる分野」がはっきりとある場合、
それに関しての「天才」があるかも知れないよ？

（…でも初学者には「違う視野や発想法」の人の本はハードル
　　高いかも。スレ主さん級の能力なら大丈夫そうだけど…。
　　「この本」の作者さんって多分…触覚系優位タイプでは？
　　スレ主さんのような視覚系や、音声〜言語系じゃなくて。
　　もしそうなら本の著者達には簡単な「手順」系概念は説明抜きで
　　前提にされるかも。　そういう時はまず先を読んで、戻らないと。）

また変なのわいてきた。くだらなさがわかってないんだねえ。

　　　　　　　　　　　 　 　 r‐┐
　　　　　　　　　／＼　 　|　 |　　　　　　　　うるちゃい！うるちゃい！うるちゃい！
　　　　　　　　　＼　 ＼　|＿|
　　　　　　 　 <＼ ＼／　　　　　　　　　　　　　　　ゼロじゃないもん
　　　　　　　 　 ＼>　　　　　　　　 ＿＿ ヽ　_
　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　´　 ｀ヽ　　　　　ゼロじゃないもん
　　　　　　　　　　　　　　 　 〃　　　　　　　　　　 ＼
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　　　　　　　　　　　　　 /ｲ　 l　 从 　 　 }ｌ ｌ　ﾚ |　 l
　　　　　　　　　　 　 　 |ハ　l| :l`トﾑ　　l仏匕l　| r┴-､`、
　　　　　　　　　　　　　　 ∧ ｌV}ｨ=ミヽ ﾘ ｨ＝ﾐ / {こノ_j_ ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /　`l ⊂⊃　 ＿　　⊂⊃〈`ー'´|　＼
　　　　　　　　　　,　-=彳 　 j{　ゝ､　{´　 ヽ　/ 　 ∧. 　 |　　 ＼
　　　　　 　 　 　 {　　　／⌒)_ヽ 　 丁丈千/　　/＿ ,ィ┘　　　 ヽ
　　　　　　　　　　ゝ-､_ヽ _(ノ )_ﾉ　ノﾋ乂ﾂ/　　 `ヽ ::::::l　　　　　 ﾉ
　　　　　　　　　 f:::::::::∨　/＞'⌒ヽ‐介‐-ゝ=ｧ 　 /::::::::l　　　　 /
　　　　　　　　　 ヽ::::::::::ヽ'´:::::::::::::::∨/　　　/　　 ￣≧::ヽ　 　 {
　　 　 _ 　 -‐::=＝ﾍ::::::::::} ／ﾊ::::::::人えI>､　`T¬ー'´:::::::::＼　 ヽ ＿
　　　　＼::::::::::::::::::::: ゝ=∠:::_}ｨﾍ￣／⌒ヾi＞┘〈_:::::::::::::::::::::::＼ ＿≦_
.　　　　　 ￣￣￣￣`7¨ヽ　　ヾ／:::::::::::::::>､_Zフ′￣ ＼:::::::::::::::::::::::::::＞
　　　　　　　　　　　　 {:::::::＼／:::::::::::,　'´　　　　　　　　　　￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　 ヽ:::::::::ヽ:::::::／
　　　　　　　　　　　　 　 }::::::　::／
　　　　　　　　　　　　 　 ゝ _／

>>484-486

なにこの意味不明スクリプト

p153
Sが3つの元から成る集合S={p,q,r}である場合には，(中略)この集合における位相は29個であることがわかる。

わかりまてん･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･
だれか詳しく教えてください。

実際に位相の定義見ながら書いてみろ。

>>491
S={p,q,r}
φ，{p}, {q}, {r}, {p, q},{q, r}, {r, p}, {p, q, r]
が部分集合を全て集めた集合になって
φとSは必ず含まれるから、残り6つで構成される…
これの位相を俺が考えると29個以上になってしまう･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･
どう考えていけば良いんですか…
定義の応用の仕方がわからない･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

>>492　それはただの部分集合の集合。
それらはすべてS,φ∈Dを満たしてない事典で移送じゃない。
たとえば、 {φ,{p},{q}{p,q},S}型; rと入れ替えることで3種{φ,{p,q},S}型:同じく三種・・・が位相だ。

よく読め馬鹿

O_1={φ, S}
O_2={φ, {p}, S}
O_3={φ, {q}, S}
O_4={φ, {r}, S}
O_5={φ, {p, q}, S}
O_6={φ, {q, r}, S}
O_7={φ, {r, p}, S}
O_8={φ, {p}, {q}, S}
…
ってどんどん考えていくと、位相の数が29個を越えてしまうんです･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

O_8は ∪ について閉じてないぞ
{p} と {q} が開なら {p, q} も開だろ
有限∩ についても忘れるな

>>496
そういうふうに考えていくんですね。ﾌﾟﾆｭ( ´∀`)σ)Д`)
なんかわかる感じがします。
もう一度関連するところを精読して
挑戦してます。
ありがとうございました。

よくわからなくなってきた…･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･
あうう
o_{5}={φ, {p, q}, S}
の{p, q}って
{p, q}={x|p<x<q}じゃないよね…？
こんがらがってきた･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

>>496
あとO_{8}はなぜ∪について閉じてないの…？
S={p, q, r}
のとき、Sの部分集合系の元は
φ, {p}, {q}, {r}, {p, q}, {q, r}, {r, p}, {p, q, r}
だから
O_{8}⊂{Sの部分集合系}
…
なんか捉え方間違えてますか…？

>>499
訂正
>部分集合系の元は
部分集合系は

>>498を見る限りそもそも集合の定義をよくわかってないっぽい

そんな状態で読み進めてもはっきり言って時間の無駄だろう

>>498　部分集合の集合だぞ。{p,q}はpとq二つの元を持つ元。
　p17あたり参照。

>>501
｛ｐ，ｑ｝は2つの元ｐ、ｑからなる集合です。
↑ではちょっと混乱しました…。
今も混乱してます･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

ちょっと話が変わるかもしれないですけれども…
実は昔に『物理数学の直観的方法　長沼伸一郎著』を読んで
位相のイメージみたいなのをつかんだはずなんですが…
　○−−−○　○−−−○　○−−−○
　　　　　○−−−○　　　○−−−○
−−−−a−−−−−−−−−b−−−−−−

○−−−○：は開区間
みたいな感じで、適当な開区間を何個か集めて、カバーするようなイメージを抱いています。

>>504
何をイメージしようが勝手だが、そんなもんで位相が分かって
使いこなせるようになるとは思えんな。

1 φ,{p},S
2 φ,{q},S
3 φ,{r},S
4 φ,{p,q},S
5 φ,{q,r},S
6 φ,{r,p},S
7 φ,{p},{p,q},S
8 φ,{p},{r,p},S
9 φ,{q},{p,q},S
10 φ,{q},{q,r},S
11 φ,{r},{q,r},S
12 φ,{r},{r,p},S
13 φ,{p},{q},{p,q},S
14 φ,{q},{r},{q,r},S
15 φ,{r},{p},{r,p},S
ここまではあってると思う…

498の書いてる意味わかったかもしれん
O_8={φ, {p}, {q}, S}
これを{p}∪{q}={p,q}
って意味でこの部分集合が入っていなかったんだ…
なるほど。なんか解けそうな感じだ

↑
496でしたorz

解けた！
S={p,q,r}
1 φ,{p},S
2 φ,{q},S
3 φ,{r},S
4 φ,{p,q},S
5 φ,{q,r},S
6 φ,{r,p},S
7 φ,{p},{p,q},S
8 φ,{p},{r,p},S
9 φ,{q},{p,q},S
10 φ,{q},{q,r},S
11 φ,{r},{q,r},S
12 φ,{r},{r,p},S
13 φ,{p},{q},{p,q},S
14 φ,{q},{r},{q,r},S
15 φ,{r},{p},{r,p},S
16 φ,{p},{p,q},{r,p},S
続く

17 φ,{q},{p,q},{q,r},S
18 φ,{r},{q,r},{r,p},S
19 φ,{p},{q},{p,q},{r,p},S
20 φ,{p},{q},{p,q},{q,r},S
21 φ,{q},{r},{p,q},{q,r},S
22 φ,{q},{r},{q,r},{r,p},S
23 φ,{r},{p},{p,q},{r,p},S
24 φ,{r},{p},{q,r},{r,p},S
25 φ,{p},{q},{r},{p,q},{q,r},S
26 φ,{p},{q},{r},{q,r},{r,p},S
27 φ,{p},{q},{r},{r,p},{p,q},S
28 φ,{p,q},{q,r},{r,p},S
29 φ,{p},{q},{r},{p,q},{q,r},{r,p},S
(´･ω･`)なんとなく分かってきた感じ。
返事くれた方、どうもありがとうm(＿)m

あれれ…
位相の３つの約束事を適用させるなら
φ，｛ｐ｝、｛ｑ，ｒ｝、Ｓ
も位相に入るんじゃないか…
｛ｐ｝∪｛ｑ，ｒ｝はＳになるし，｛ｐ｝∩｛ｑ，ｒ｝はφになるし…
なんかいらん位相入ってるし･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

510のこの部分が間違えていたんだ…
25 φ,{p},{q},{r},{p,q},{q,r},S
26 φ,{p},{q},{r},{q,r},{r,p},S
27 φ,{p},{q},{r},{r,p},{p,q},S
28 φ,{p,q},{q,r},{r,p},S
２５〜２７任意個の和集合を満たしていない･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･
２８は変だ
あとそもそもＳにおける φ、Ｓの密着位相が抜けてる…
密着位相と
φ,{p},{q,r},S
φ,{q},{r,p},S
φ,{r},{p,q},S
を足して正解か(´･ω･`)

…おそらく

>>512
28がなんで変かわかってる？
答： 有限∩ について閉じてない

>>513
解説ありがとん。
∩の場合も有限なの？
∪の場合は任意個のうんたらって書いてる本あるから、わかるけど…
まあ28は直観で変だって思いました(´･ω･`)

{(a,b)|a∈A∧b∈A}って
{x|∃a∃b(a∈A∧b∈A∧x=(a,b))}
という意味でしょうか。

すいません！
スレタイ誤読してました
3章だけでしたか

別に3章に限らんでもいいと思う

>>515
そう読んでいいよ

>>517
ありがとうございます
すっきりしました

形式集合論

分からんのでこの本捨てました

替わりに何買ったらよかんべ？
「位相空間論」ケリー　がいいって聞いたんだけど

ついでに位相の勉強の望みも捨ててしまえ

>>521
「集合と位相」　内田 伏一　裳華房
もおすすめ。

age

>>514
有限集合上で無限回演算に意味なんかない

019