多様体ｽｯﾄﾞﾚ part 1

多様体のスレが無いので立ててみますた。
さあ藻麻衣ら、多様体について語れ！そして漏れが
単位をとれるよう教えてください。おながいします。

今更「ｽｯﾄﾞﾚ」ですか。

不可確定。

多様「体論」は、可換体論みたいな体論の一種じゃないぞ！>>1

ｽｯﾄﾞﾚってまたえらい懐かしいな

多様体といえば、まずは代数多様体。で、その自明な一般化がスキーム。
さらにその自明な一般化がアルティンのAlgebraic space。だから、
Algebraic spaceから勉強し始めるのがおススメだよ！

>>5
教科書はなんでしょうか？

>>6
ハーツホーンでも読めば？

>>6
M. Artin, Grothendieck topologies, Seminar notes, Harvard Univ. Dept of Math., 1962.
これかな。平易な英語で位相空間論の初歩から丁寧に説明されているから、多様体の
入門には最適。

これ読めば単位取得間違いなしだよ。

>>1
とりあえず多様体の定義を述べてみよ

スタックとAlgebraic spaceってどうなの?

>>9
位相空間Xについて次のi),ii)が満たされる時、
i)ハウスドルフ空間であること
ii)｛U_i｝開集合たちが与えられて､X=∪U_iとなり、各i について
座標写像φ_i:U_i→D_i　(D_iはユークリッド空間の開集合)
が与えられ､φ_i は同相写像であること

>>5
漏れは学校で代数多様体じゃなくて微分可能多様体をやってるのですが。

>>11
OK。だけどそれは位相多様体の定義だね。
微分可能多様体の定義も書いてみて。

嫌です。自分で書いてください。

ところで。

（不注意に）位相多様体の定義を眺めると、ii)の条件、
すなわち座標近傍がR^nの開集合と同相ということだけから、X全体のHausdorff性が
言えてしまいそうに思いがちである。

しかし、ii)の条件を満たしていながらも、X全体ではHausdorff分離公理を満たさない
例が構成できる。実際に作ってみるのは位相空間論のちょっとした演習問題かな。

>>1、どうよ？

>>14
「単位をとれるよう教えてください」じゃねーの？
いやなら教えない。

前途多難だがまぁ頑張れ。1。応援しとるぞ。

多様体論の単位をとるためには
R^3内の直線全体からなる集合に微分可能多様体の構造が入ることを示せ
とかいうような問題が解けるようになる必要があると思われるので
勉強してください

スタックとAlgebraic spaceって同じなの？

違う．本質的に．

スキーム　→　Algebraic space
層　　→　スタック
はあってる？
右側は定義自体よく知らないんだけど。

なんかいつの間にか代数幾何のスレになってるなｗ

多様体の最も綺麗な定義は環付き空間として定義することだろうな。
だが、この定義を載せている本は代数幾何関係を除いて非常に少ない。

>>22
代数多様体が多様体の典型的例だからね。重要な多様体は
代数多様体である場合が多いし。

>>23
そうだね。環付き空間としての可微分多様体の定義をみたときは俺もちょっと感動した。

ところで、可微分多様体を普通にチャート（座標近傍）とアトラス（座標近傍系）で
定義する場合、「極大」アトラスっていう概念を一緒に考えることが多いけど、
この概念って不要、っていうかちょっとミスリーディングじゃないですか？

単に、「可微分多様体とは、位相空間 M_0 と M_0 上のアトラス A の組
M = (M_0, A)のことである」と定義して、次に多様体間のmorphismを普通
に可微分写像として定義すれば十分だと思う。同じ位相空間上の多様体
M = (M_0, A) と M' = (M_0, B) のアトラス A と B が同値、ってのは
id: M_0 →M_0 で定まる写像が diffeomorphism （上記の圏の isomorphism）
になる、ってのと同じになるから、「極大」アトラス云々って概念は不要だと
思うんだが。

「極大アトラス」って概念がミスリーディングじゃないかってのは、
「微分構造の一意性」云々って話との関連においてなんだけど、
たとえば、松本「多様体の基礎」p.55 では（前のページで「極大
アトラス」って概念を導入した直後に）

「位相多様体上に微分構造が存在しても、それは'一意的'とは
限らない。微分構造が一意的でない例を初めて〜」

と例のexotic構造の話を書いてるんだけど、俺はこの部分を最初
に読んだとき、
「ある位相多様体M_0上の微分構造が一意的」
ってのを
「位相多様体M_0上に極大アトラスが一つしかない」
って意味だと誤読して、結構混乱した。もちろんそうじゃなくて、この場合
「一意的」ってのは、M_0 上の任意の2つの可微分多様体 M=(M_0, A)、
M=(M_0, A') の間にdiffeomorphismがあるってことなんだが。

今考えると初歩的な間違いだけど、俺のような勘違いした人他にも
いませんか？ 俺がアフォなだけ？

蛇足かもしれんが、たとえば、ψ：R→Rを、同相写像だが一回も微分
できないような任意の写像（たとえば原点で「折れ曲がってる」もの）
とすれば、R上の2つのアトラス {id} と {ψ} は同値にならない。つまり
{id} を含む極大アトラスと {ψ} を含むそれとは別々になる。

27

28

29

30

>>25
君の言うように定義すると
M = (M_0, A) と M' = (M_0, B) のアトラス A と B が同値
であっても M と M'は多様体として違うことになる。
これはまずいんじゃないの？

>>31
うーん、まずいんですか？ 定義上「多様体として違う」ことになっても、
いずれにせよ diffeo だからいいと思うんですが。

一般に、多様体の台集合が違っても、diffeo であれば普通は「多様体
として本質的に同じ」と考えますよね？ 「極大アトラス」ってのは、台集合
が同じでしかも恒等写像が diffeo になる場合ってのを特別視してるような
感じで、逆に違和感があるんですが・・・

ちょっと補足すると、たとえば >>26 の最後の例に書いた
(R, {id}) と (R, {ψ}) だと、これらはもちろんdiffeo だけど、
普通の定義だと、「極大アトラス」が違うってことで
「違う多様体」ってことになりますよね。

そういう区別は不要というかあまり意味ないような気がするんですが。

「位相多様体M_0上に極大アトラスが一つしかない」

これが正解。なぜ間違いだと思ったのか？２５よ。

スキームの一般化がAlgebraic spaceで
層の一般化がスタックなの？

>>34
？違うと思うんですけど。>>26の例の (R, {id}) と (R, {ψ}) はどっちも
M_0 = R 上のC^ω級多様体だけど、極大アトラスが違いますよね。
もちろん diffeo だけど。

>>32
君の定義を採用している数学者はまずいない。これでも
まずくないと思う？

>>37
あまりはっきり憶えてないが、たしか Lang の本はそのような感じで定義してた
ような記憶がある（今手元にないんで確認できんが。スマソ）

っていうか、>>25の定義って別に普通の多様体の定義と何もかわらない。
「可微分構造」っていうのをどう定義するかってとこが違うだけ。

「可微分構造」を「集合論的に」定義しようとすると「極大アトラス」云々って
話が必要になるのかもしれないけど、「圏論的に」考えればそんな概念は
不要なんじゃないか、っていう言い方してもいいかも。

>>38
君の定義は普通の定義とまったく違うよ。
普通の定義では M = M' なのに君の定義では M ≠ M' となる。
Langが万一そんな定義をしたとしても一般の定義とは違う。
特に問題がなかったら多数に従うのが利口だろ。
環付き空間としての定義（これが一番自然な定義）を採用するなら
アトラスが同値なら同じ多様体になる。

流れ無視ですまんのだが>15の設問に答えたい
実数aに対し、X(a)={x∈R|a<x}とおく。OをO={X(a)}(a∈R)∪{空集合∪R}
とおくとOは位相の条件を満たす。よって{X,O}は位相空間
(ii)でU(a)=X(a),fとしてidを取ると、確かにX(a)は(ii)の条件を満たす。
しかし{x,O}は明らかにハウスドルフ空間ではない。
　間違ってたらスマソ

>>1
漏れがお主を騙ったせいでお主が書き込めなくなったんなら謝る。許してくれ。

>>39
そうかな？ 環付き空間による定義はもっと洗練されててアトラス云々
に特に言及しない形になっているから、どっちかというと >>25 の定義に近い
んじゃないかと思ってるんですが。

環付き空間による可微分多様体の定義って次のようになりますよね。
位相空間 X と X 上の R-algebraの層の組 M = (X, O_X) で以下の条件 (*) を
満たすものを可微分多様体という
(*) X の任意の点 x について近傍 U がおよび (U, O_X|U) → (V, O_R^n|V)
なる環付き空間の同型が存在する（ここで、O_R^n はユークリッド空間 R^n 上の
可微分写像のなす層、V はR^nの開集合）

この環付き空間による定義だと、多様体ってのは単に位相空間とその上の層の組み合わせ
ってことで、多様体（＝環付き空間）の「構造」は純代数的に定義されています。(*) によって
各点の近傍の同型が存在することは保証されているけど、それらの同型写像は環付き空間
の「構造」には組み込まれていないわけです。

>>26 の例でいうと、アトラスによる定義の多様体 (R, {id}) と (R, {ψ}) は、
「極大アトラスが違う」ってことで「異なる多様体」ってことになるけど、
「アトラスによる定義の多様体の圏」→「環付き空間による定義の多様体の圏」
という自然に構成されるequivalent functorで写した先は、環付き空間として同型
になります。しかも、この場合だと、元の圏では、台空間で恒等写像となるような
写像α: (R, {id}) → (R, {ψ}) は diffeoにならないけど、それにもかかわらず、
上記の関手と同じ構成でαを環付き空間の圏へ写すと（αは元の圏のmorphism
ではないけど同じ構成で写す）、環付き空間としての同型が得られます。ようするに、
アトラスによる定義の多様体では「極大アトラスが違う」ってことで区別されていた
ものが、環付き空間の圏では自然に同一視されるようになっています。

で、俺がいいたいのは、「極大アトラスが違う」ってことで区別することにあまり意味が
ないんだったら、そもそも「アトラスが同値なものを同じ多様体とみなす」ってことを最初
からやめてしまったほうがかえってすっきりするんじゃないかっていうことです。

>>42
(R, {id}) における微分可能関数のなす層と(R, {ψ})に
おけるそれは違うものだから両者は環付き空間として違うもの
になる。一方、(R, {id}) と (R, {id_(-∞, 1), id_(0, ∞)})
は君の定義によると違うものだが、両者は普通の定義でも同じ
多様体だし、環付き空間としても同じ。ここで、id_(-∞, 1)
は区間(-∞, 1)における恒等写像。

君は同型ということと同じものということを混同してる
ように思える。この両者は明確に区別すべきもの。たとえ、
同型なものを同一視するのがいい場合があるとしても。
例えば、２次元球面と３次元単体の境界は同相だけど位相空間
としては異なる。

>>16
14は1ではありません。面倒ですが、答えましょう。
微分可能多様体の定義は>>11の定義のφ_iがC＾r級で
φ_i・(φ_ｊ)^-1がC^r級のときC^r級微分可能多様体という。

>>41
いや、スレが盛り上がっているようだから何も文句は無いんだけど。

なんか難しいことを言っているみたいだが、漏れは>>15や､>>18でも
考えながらマターリやるか。

少なくともこのスレみて、学部の幾何の講義の単位とれそうにはないな

同型と同じを混同しているのは４３のほうじゃないの

はじめの例ではＲの微分可能でない同相写像によって
環付き空間の構造を引き戻したものと同型だが

つぎの例の環付き空間として同じってなによ？

ふたつの環付き空間が同じって　どういう定義？

>>43
うーん、まあ、あなたの言うこともわからないでもないですが。

ただ、いずれにせよ、ある2つの数学的対象が「同じかどうか」
ってのを、「集合として同じかどうか」ってレベルで話すことには
数学的な面白さはほとんどないですよね。

普通は、ある2つの数学的対象が「（本質的に）同じかどうか」って
のは、それらが（ある圏で）同型かどうかって意味で言うわけです。

数学的な面白さがないレベルで、「これは同じ」「これは違う」って
細かく区別してもあまり意味がない。多様体の場合、
「極大アトラスが同じだったら同じと見なす」
って定義には、少なくとも俺は混乱させられた（俺だけじゃなくて
たとえば >>34 も同じような誤解をしてると思う）。

だったら、集合のレベル（しょーもないレベル）で「同一視」する
ことはいっそやめちゃって、集合のレベルでは別々にしておいて、
「diffeo が間にあれば本質的に同じ多様体だよ」って風に捉えた
ほうがわかりやすいんじゃないか、ってのが俺の言いたかった
ことなんだが。

>>46
普通、ふたつの環付き空間は台位相空間が同じで構造層が
同じとき同じと言う。

ついでに書くと（ちょっと本筋から外れるかもしれんが）
松本「多様体の基礎」には、結局、
「位相多様体M_0上の微分構造が一意的」
ってことの定義がどこにも書いてないんだよね。
>>26 に書いたように直前のページに「極大座標近傍系が云々」って書かれ
てるから、俺が誤解したように、これを
「位相多様体M_0上に極大アトラスが一つしかない」
って捉えちゃう読者は結構いるんじゃないかと思うんですが。
俺がアフォなだけですかね？

こう誤解しちゃうと、「R 上に exotic 構造が無限に存在する！大発見ｗ」
ってなことになっちゃいますｗ

ていうか「exotic構造についても一応触れておかなきゃなあ、とはいうものの
あんまり難しく書いてもなあ」と言うことで、中途半端に書かれているという印象がある。
漏れもあの本読んでも、あのあたりの話は意味が判らなかった。先生に聞いて分かった。

>>47
環付き空間として同じなら微分可能多様体としても同じという
のは当然なことだと思うんだけど、君の定義ではこうはならない。

>>50
まあ簡単に触れてるだけだしね。それに今気付いたけど、その上の演習問題の
とこに、
φ: R → Rを φ(x) = x^3 と定義した場合、R上のアトラス {id} と {φ} が同値では
ないことを示せ
って問題が書かれてるね。まあ、注意深く読めばわかるようになってるんだろうけど。
しかしやっぱちょっと中途半端な感じは否めない。

ちなみに「先生」って松本幸夫氏ご本人ですか？

>>52

漏れは灯台生ではないのだ。ざんねんでしたなあ黄門様。

>>47
>数学的な面白さがないレベルで、「これは同じ」「これは違う」って
細かく区別してもあまり意味がない。

むしろ、君の定義のほうが細かい区別をしている。

>>48
>構造層が同じとき同じと言う。

ふつう数学で二つのものが同じというときは
何かある集合があって　それに属する二つの元が
同じとか違うとかいうわけだけど

ふたつの層がおなじというときには
どういう集合の中でなにを確かめたらいいのか　
と考えるに　たとえば後の方の二つは同型だけど
どうやって同じというのか

>>51
んー、「当然」でもないんじゃないですか？
「アトラスによる定義の多様体の圏」→「環付き空間による定義の多様体の圏」
この関手は、そもそも圏の間の isomorphism にならず、equivalenceにしか
ならないですよね。

「環付き空間として同じなら微分可能多様体としても同じ」にするってのは、
この関手の object の対応を単射にする、ってことになりますよね？

だけど、環付き空間の圏のほうには、もちろんアトラスによる多様体から構成された
環付き空間じゃない抽象的な環付き空間も一杯ふくまれているから、いずれにせよ
object の対応は全射にならない。上記の関手はequivalenceにしかならないから、
object 間の対応を単射にしてもそれほど意味ないように思います。

>>54
んー、そうですけど、いいたいことわかってくれませんか？

っていうか、

>数学的な面白さがないレベルで、「これは同じ」「これは違う」って
>細かく区別してもあまり意味がない。

この2行目を「細かく同一視してもあまり意味がない」って読み替えて
もらえばいいかな。

>>55
各開集合上の切断のなす環 Γ(U) が同じとき同じという。
今の例でいうとU上の微分可能関数のなす集合が同じ。

>>56
>「アトラスによる定義の多様体の圏」→「環付き空間による定義の多様体の圏」
この関手は、そもそも圏の間の isomorphism にならず、equivalenceにしか
ならないですよね。

はあ？ isomorphism だろ。というか両者は同じ圏といっていい。

>>59
？なぜ？ 全然わからん。

環付き空間ってのは抽象的に定義されてるんだから、
「集合」としてはムチャクチャいろんなのがあるだろ？
アトラスによる定義の多様体から構成されたものだけ
のはずないじゃない。

たとえば、Spec R（R: 実数体）っていう環付き空間は
「0 次元可微分多様体」だけど、アトラスの定義からの
関手の像になるか？ Spec R の元は、集合としては
「極大イデアル {0}」だぞｗ

「環付き空間としての多様体の定義」、もしかして
俺が >>42 に書いたのとあなたのと違うの？

>>57
とにかく二つのものを区別しなければ何も始まらないだろ。
同型でさえも定義できない。君の定義の多様体は普通の
定義の多様体とは別物になる。わざわざ普通と違うものにする
メリッットって何なの？

>>59
っていうか圏のequivalenceってなんだか知ってますか？

>>61
>同型でさえも定義できない。

どういうことですか？ 同型は定義できますけど。>>25 に書いたとおり。
っていうか、極大アトラス云々たかいわずに普通の多様体に書いてある
diffeomorphismの定義とまったく同じですが。

>>63
ちょっと打ち間違い大杉だったので書き直します。

>>61
どういうことですか？ 同型は定義できますけど。>>25 に書いたとおり。
っていうか、極大アトラス云々とか言わずに普通の多様体の本に
書いてある diffeomorphismの定義とまったく同じですが。

>>60
>たとえば、Spec R（R: 実数体）っていう環付き空間は
>「0 次元可微分多様体」だけど、アトラスの定義からの
>関手の像になるか？ Spec R の元は、集合としては
>「極大イデアル {0}」だぞｗ

極大イデアル {0}も一個の要素からなる集合で位相空間だろ。
普通の定義の0 次元可微分多様体だわな。

>>64
日本語わかる？ 俺は君の定義では同型は定義できないとは
書いてない。君の定義も二つの対象の区別はしてるだろ。
それも普通より細かく。

>>65
位相空間上ならそれでもいいかもしれないけど、
アトラスによる定義から構成した層だと、
層のグローバルセクションは「{0} → R なる写像全体」、
一方、Spec R の層のグローバルセクションは
ただのR だろ？集合としては異なるだろ。
なんか異常にどうでもいいことだがｗ

とにかく >>56 に書いた関手が圏の isomorphism だってのは
全然おかしいと思うんですが。

>>62
FとＧを逆方向の関手として FG と GF がそれぞれ恒等関手と
同型になることだろ。

可微分多様体の座標変換にあたるものがスキームにはないのはなぜ？

>>67
それこそ意味のない区別だろ。両者は同じものと見なしていい。

>>69
何言ってるんだ。スキームにもあるだろ。

>>68
まあ定義としてはそうですね。
ただ、F がfully faithful で、元の圏の任意のオブジェクトx
に対して、宛先の圏で F(x) 〜 y なる同型が存在する、って
いう言い方のほうがわかりやすいかも。

ふつう、2つの圏が「本質的に同じ」ってのは、equivalent である
ってこと。圏の間の isomorphism ってのは、条件が、意味もなくきつすぎる。

たとえば、アフィンスキームの圏と可換環の圏の間の自然な反変関手は
isomorphism ではなく equivalence。

で、俺のいいたいことわかってくれましたか？

>>69
環付き空間による可微分多様体の定義で、普通の（アトラスによる）多様体の定義の
座標変換条件に相当するものは何？ ってことですよね。

層の制限写像の間の可換図式がそれに対応しているといっていいんじゃないかな。

>>67
>とにかく >>56 に書いた関手が圏の isomorphism だってのは
>全然おかしいと思うんですが。

環付き空間による定義の多様体 (M, O_M) があるとする。
これから普通の定義の多様体が一意に定まるよね？
逆に普通の定義の多様体 M があると環付き空間による定義の
多様体 (M, O_M) が一意に定まる。この二つの関手は
互いに逆関手だろ。

>>74
> 環付き空間による定義の多様体 (M, O_M) があるとする。
> これから普通の定義の多様体が一意に定まるよね？

だからそれは「逆関手」じゃないんだって！
圏の間の equivalence わかってないんじゃないですか？

>>74
補足。それは >>68 の F と G にはなってる。
だけど「逆関手」じゃなくて「逆 equivalence」。

>>72
わからん。今の場合はisomorphismだ。

>>77
・・・んじゃ、

> たとえば、アフィンスキームの圏と可換環の圏の間の自然な反変関手は
> isomorphism ではなく equivalence。

これはどうですか？ これも isomorphism？

>>76
FG = 1 だろ。GFも同様。

>>79
だから、FG「＝」1じゃないんです。
FG〜1 （と GF〜１）という自然同型があるってのが
equivalenceの定義なんだが。

なるほどisomorphismだと強すぎだな

>>78
それはequivalence。だからと言って今の場合もequivalence
ってことにはならない。

>>82

>>60
> 環付き空間ってのは抽象的に定義されてるんだから、
> 「集合」としてはムチャクチャいろんなのがあるだろ？
> アトラスによる定義の多様体から構成されたものだけ
> のはずないじゃない。

これや、

>>67
> 位相空間上ならそれでもいいかもしれないけど、
> アトラスによる定義から構成した層だと、
> 層のグローバルセクションは「{0} → R なる写像全体」、
> 一方、Spec R の層のグローバルセクションは
> ただのR だろ？集合としては異なるだろ。
>なんか異常にどうでもいいことだがｗ

これで、今の場合も equivalenceだってことわかっていただけませんか？

>>80
Mを普通の意味の微分可能多様体。(M, O_M)をそれに対応する
環付き空間とする。(M, O_M)に対応する普通の意味の多様体は
M と同型ではあっても別物と言うのか？

>>83
> 環付き空間ってのは抽象的に定義されてるんだから、
> 「集合」としてはムチャクチャいろんなのがあるだろ？
> アトラスによる定義の多様体から構成されたものだけ
> のはずないじゃない。

君、勘違いしてるな。一般の環付き空間と環付き空間としての
微分可能多様体とは全然違うよ。後者は前者の特殊なもの。

>>84
ああ、そっちは同じになるかもね。
っていうか、俺のもともとの論点は、そこを「＝」にするか「〜」にするかって話になるかな。

正確に書くと
F: 「アトラス定義の多様体」→「環付き空間定義の多様体」
G: 「アトラス定義の多様体」←「環付き空間定義の多様体」

としたとき、GFのほうは、普通の「極大アトラス」の定義なら GF = 1、
>>25 の定義なら GF 〜 1。

で、>>56にかいたのは、これとは逆のほうFGがいずれにせよ FG〜1 にしかならないでしょ、
ってこと。

>>85
なんかだんだん議論のレベルが低くなってきたような気がするんですが・・・
そんなこと当たり前じゃないですか。

そこは文脈から明らかに。

> 「環付き空間としての可微分多様体」ってのは抽象的
> に定義されてるんだから、
> 「集合」としてはムチャクチャいろんなのがあるだろ？

って意味で書いてるんですけど。

>>42 の「環付き空間としての可微分多様体の定義」、読んでくれましたか？

スキーム　⊂　Algebraic space　⊂　エタール集合層

で左の差は少ないが右の差は大きい

でスタックは集合層ではなくgroupoidの層を少し一般的にした
もので　その中でalgebraic spaceみたいなのをalgebraic stack
という

>>86
この場合も、FG = 1 と見なせるだろ。FG を 1 と違うものと見るのは
それこそ無意味な区別だろ。台位相空間が同じで微分構造も同じ
なら同じものだろ。

>>89
は〜、なんか疲れてきました。なんで FG=1になんですか？
>>42 は読んでくれましたか？

>>87
普通の定義の可微分多様体もムチャクチャいろんなのがあるけど。

(R, {id}) と (R, {ψ})は，環付き空間として同型だけど，
誰がどう見ても，同じじゃないんだよ

>>89
もしかして、あなたの考えている「環付き空間としての可微分多様体の定義」
ってのは、上記の関手Fの像だけをそのようにみなすってことですか？

それは、「R上有限次ベクトル空間の圏」ってのを「R^n の圏」と「同じもの」とみ
なすってのと同様で、抽象化のレベルが一段階低くなってる。
なので「環付き空間としての定義」の利点も低くなる。

>>92
92さんは今まで議論してきた人と同じですか？

だから俺はその2つが「同じ」って全然言ってないんですが。
何言いたいの？

Rの開集合Uについても
(R, {id})|U と (R, {ψ})|U は同じじゃないんだよ．単に同型な
だけなんだよ．なんで分からないの．

>>90
環付き空間としての微分可能多様体 (M, O_M) の定義が君のは
普通とちょっと違うかもな。普通この場合の環の層はM上の連続
関数のなす層の部分層であることを要求する。

>>92と俺(>>89=>>96)は別人。

>>96
その定義が「普通」かどうかわかりませんけど、いずれにせよ >>93 に書いたように、
それだと抽象化のレベルが一段階下がってますよね？

俺としては、「何でもいいから環付き空間で、局所的にユークリッド空間に同型になってる
ものを可微分多様体という」って定義 (正確には >>42) に結構感動したんですけど。

まあ、でも、「環付き空間としての可微分多様体」をそう定義するんだったら、F、G は
iso になるのかな？

どーでもいいといえばどーでもいい話だし、そろそろこの話題はお開きにしませんか？

>>98
さんざん議論してどーでもいいはないだろｗ

どうでもいい事を議論するのが面白いってこった。

>>98
とにかく君の定義はまずいよ。

>>101
「とにかく〜まずい」ってなんですか！ それ？
あんたほんとに数学やってんの？

確かに自分でふっといて「どーでもいい」って書いたのは
悪かったかもしれないけど。

>>102
前にも説明しただろ。少数派の定義を採用するならそれなりの
メリットがなければならない。だけど君の定義にはそれがない。

>>103
結局あなたただのアホですね。今からスルーします。どうもでした。

>>104
言うにことかいてｗ

>>105
ぜんぜんこと欠いてない。
それとスルーするのは >>103 だけにします（わかればだけど）。

>>106
>>103のどこがアホなのかね？

>>106
アホじゃないですか？

おれは、環付き空間としての可微分多様体の定義 >>46 を確認してくれ、
って何度も言ってる。でも確認せずにアホなこと書き込む。
圏の equivalence もよくわかってない。

で、最後に「とにかくまずい」。アホじゃないですか。

ってか、あなた>>103ですか？

>>102
君の定義を採用するとして台位相空間が同じで同値なアトラスを
持つ二つの多様体は何と呼ぶのかね。単に同型と呼ぶなら
台位相空間が異なって同型な多様体との区別はしなくていいのか？

だいだい、普通に数学やってれば、今まで俺が書いたようなことはほとんど自明。
>>25 の定義も「極大アトラス」による定義と本質的には違いがない。
どっちの定義でも圏がequivalentになるからね。
研究上でそれが問題になるようなこともほとんどないはず。

おれの論点は、入門書で「極大アトラス」って概念を導入するのは
ミスリーディングなんじゃないか、っていうところにある。

>>103 はそこらへんのことを全然理解せずに議論してて、しかも、
>>25 の定義が極大アトラスによる定義と「本質的に違う」と思ってる。

やっぱアホだと思うんですが。

>>25
大変だな。極大アトラスはおれも要らないと思ったよ。

>>109
だから、恒等写像が diffeo になるってのが、アトラスが
同値ってのと同じになる。>>25 に書いたとおり。

>>111
ありがと。何か嬉しいです。

>>108
掲示板だから誤解もあるだろ。たしかに君の定義をよく確認
しなかったのは俺の不注意だよ。だけど普通スキームのような
抽象的環付き空間として微分可能多様体を定義はしない。
関数のなす層を考えるのが普通。

＞圏の equivalence もよくわかってない。

何を偉そうにｗ。

>>110
多様体というとき特定の座標近傍系を普通は考えないだろ。
極大アトラスに属すどの座標近傍でも自由に考えるだろ。
それを特定の座標近傍系に属さないから別の多様体の座標近傍である
なんて区別するほうがおかしい。

>>114
まあ、そうかもしれないですね。関数の層として定義するほうが普通なのかもしれない。

圏の equivalence わかってない、ってのは失礼したかもしれないです。
でも、そう見えましたけど。

>>112
そんなことは分かっている。俺の質問に答えてくれ。
恒等写像が diffeo になるのと恒等写像以外がdiffeoに
なるのを区別しなくていいのか？

>>116
どこがそう見えるんだよ。
普通の定義ではisomorphismという俺の意見は正しいだろ。

>>117
ん、何言ってるかまたさっぱりわからなくなってきました。
「区別」ってどういうことですか？ 恒等写像のdiffeo と
恒等写像じゃない diffeo はそれこそ、その写像を見れば
違いがわかるじゃないですか。

>>118
んじゃ、いいです。あなたのいう「普通の」定義なら iso です。はい。
ただ >>42 の定義だと equivalence になりますよね。

>>115
> 多様体というとき特定の座標近傍系を普通は考えないだろ。
> 極大アトラスに属すどの座標近傍でも自由に考えるだろ。

これもちょっと言ってることよくわかんないです。「特定の」座標
近傍系は考えないって、どういうことですか？

とにかく少なくとも一つアトラスを決めないと極大アトラス
が定まりようがないじゃないですか。

それに、>>25 の定義でも極大アトラスを考えることが禁止されて
いるわけじゃ全然ないんですよ。極大アトラスとりたいならいくら
でもとれる。

ところで、あなた >>103 ですか？

>>119
用語で区別しなくていいのかと聞いている。その二つは性格
が違うだろ。

＞んじゃ、いいです。

俺が普通の定義でisoといってたことはとっくに君には分かって
ることだろ。それを今気がついたとは言わせない。
だから、俺がequivalenceの意味を知っていたことは、
分かっていたはずだ。

>>121

> 用語で区別しなくていいのかと聞いている。その二つは性格
> が違うだろ。

だから区別しなくていい、ってのがそもそも >>25 そのもので
言ってることなんですけど。しかし、逆に、なんでそんなに区別したい
のか俺にはよくわかりません。

>俺が普通の定義でisoといってたことはとっくに君には分かって

そんなとこにいちいち突っ込まないでください。
「equivalence 分かってない」ってバカにされたことに
怒ってるんだったらあやまります。ごめんなさい。

>>120
特定のというのは、特別のという意味。任意のどれかという意味
ではない。極大アトラスに属す任意の座標近傍系を考えるけど、
その中のある一つを特別視するわけではない。

>>122
恒等写像のdiffeo だと関数の層は同じものになる。
恒等写像じゃない diffeo だとそうとは限らない。
ある関数が微分可能かどうかというのは重要なことだから
この違いは大きいだろ。

＞そんなとこにいちいち突っ込まないでください。

だったら始めから素直に謝ればいいだろ。
それを君が余計なことを未練たらしく言うから突っ込まれる。

>>122
> 恒等写像のdiffeo だと関数の層は同じものになる。
> 恒等写像じゃない diffeo だとそうとは限らない。
> ある関数が微分可能かどうかというのは重要なことだから
> この違いは大きいだろ。

ぜんぜん大きくない。>>110 にも書いたとおり、だいたいこんな
ことはわかってしまえばほとんど自明で、それをいちいち「違う」とか
「違わない」とか考えること自体がかったるい。
>>26 に書いたような特殊な例も「普通に」多様体を扱うときはほと
んど考えない。

>>25 の定義って、
「(M, A) と (M, A') は極大アトラスが同じだから「同じ多様体」だよね」
っていうのを
「id: (M, A) → (M, A') が diffeo になるよね」
と言い換えよう、ってだけの話なんだけど、そんなことわかってしま
えばどっちだっていいことでしょ？

何回も書いてるが、俺の論点は「極大アトラス」って概念を導入するのは
入門者の対してミスリーディングじゃないかっていう点なんだが。

ほんと、そろそろやめませんか。

多様体の定義だけど、
可算開基を持つことは仮定しなくてもいいの？

とりあえず、可算開基がとれる(第二可算公理を満たす)ことを仮定しないと、
ものすごく巨大な局所ユークリッド空間も扱うことになりそうだが。

そうは云ったものの、巨大な局所ユークリッド空間を排除する理由って何だろう？

>>122
その「区別しなくていい」は，
１つの位相多様体上の微分構造たちの間の２つの同値関係
(1) id が diffeo　(2) ある map が diffeo
を「区別しなくていい」，という意味に読めてしまいます．

25-26 で言われているのは，もちろんそうではなくて，２つの同値関係を区別した上で，

むしろ重要なのは (2) の方なのに
（「微分構造の一意性」は (2) の方の同値類がただ１つであること），
多くの教科書で，「アトラスが同値」「極大アトラスが等しい」という話を出すことによって，
(1) が強調される結果になっているのはいかがなものか，

ということですよね？

>>125
つーか、25が極大アトラスを理解できていないだけなんだが。
25は自分の無能を棚に上げて、松本幸夫が悪いと叫ぶｱｯﾌｫｰ

>>26
＞たとえば、ψ：R→Rを、同相写像だが一回も微分できないような
＞任意の写像（たとえば原点で「折れ曲がってる」もの）とすれば、
＞R上の2つのアトラス {id} と {ψ} は同値にならない。
＞つまり{id} を含む極大アトラスと {ψ} を含むそれとは別々になる。

これって全くナンセンスな指摘で、こんなこという25は
まったくアトラスがわかってないことは明らかなんだが
なぜこんなｱｯﾌｫｰにマジメに議論する奴がいるのか不思議だ。

121：　同値関係(1)と(2)を「区別しなくていいのか」
122：　(1)について同値でなく(2)について同値な微分構造どうしは「区別しなくていい」
124：　(1)と(2)の「違いは大きいだろ」
125：　(1)について同値でなく(2)について同値な微分構造どうしの違いは「ぜんぜん大きくない」

という流れになっていませんか？

>>125
ぜんぜん大きくない。

はあ？　ある関数が微分可能かどうかってのは重要だろ。
なにせ微分可能多様体というのはそのような関数を主に
扱うのだから。

>>25
>単に、「可微分多様体とは、位相空間 M_0 と M_0 上のアトラス A の組
>M = (M_0, A)のことである」と定義して、次に多様体間のmorphismを普通
>に可微分写像として定義すれば十分だと思う。

>>32
>「極大アトラス」ってのは、台集合
>が同じでしかも恒等写像が diffeo になる場合ってのを特別視してるような
>感じで、逆に違和感があるんですが・・・

(R, {id}) と (R, {ψ}) の場合で言うと id は前者では
微分可能だけど後者では微分可能ではない。idのような自明な関数が
微分可能にならないアトラスを微分可能になる自然な場合と
区別するのは当然だろう。
君自信だってRを微分可能多様体とみるとき(R, {id})とそれと同値
なアトラスを考えるだろう。これが特別視でなくてなんだ？
つまり、君は自分の意見と逆(つまり普通のやり方)のことを
しておきながらそれに気がつかない。だから、自分の意見の
間違いにも気がつかない。

>>128
議論の発端かつ最大の問題は>>25の次の意見なんだよ。
>単に、「可微分多様体とは、位相空間 M_0 と M_0 上のアトラス A の組
>M = (M_0, A)のことである」と定義して、次に多様体間のmorphismを普通
>に可微分写像として定義すれば十分だと思う。

これだと恒等写像が diffeo になる場合と恒等写像以外が
diffeo になる場合は区別しないということになるし、>>25も
>>32でそう書いている。

>>128
ある位相多様体 M を固定してその上のアトラスの全体 {A} を
考える。{A} に以下の２種類の同値関係を考える。
1) M の恒等写像がdiffeo。
2) M の恒等写像以外の自己位相同型Ψを取り、それに対して
diffeo。

Mにおけるエキゾチックな微分可能構造を考えるときは1)も2)も
区別はしないから、1)を特別視する極大アトラスによる定義は
（この場合）ミスリーディングだ(と>>25は勝手に思った)。
だから1)と2)を（エキゾチックな微分可能構造を考えないとき
でさえ）特別視するのはよくないというのが>>25の意見の
趣旨だろう。つまり、羹にこりて膾を吹いたわけ。

>>127
ポーリッシュ(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ　ってことではないの？違うかな？

>>133, >>134
わたしは 121，124を誤読していたようですね．
２つの同値関係の間の区別・違いを強調しているのではなくて，
単に，同値関係(1)も重要だ，と言っているんですね？

>Mにおけるエキゾチックな微分可能構造を考えるときは1)も2)も
>区別はしないから、

>だから1)と2)を（エキゾチックな微分可能構造を考えないとき
>でさえ）特別視するのはよくないというのが>>25の意見の
>趣旨だろう。

意味がわからないのですが．

>>136
それが分かりにくいのでしたら、こう言い換えましょう。
同じ位相空間上の異なる微分構造を考える立場からは、
微分同型でないものだけを考えればいいから恒等写像をdiffeoと
するアトラスの同値類を特別視する必要はないというのが
>>25の意見でしょう。

久々に戻ってきました。
>>128
確かにちょっと誤解を招く表現だったかもしれません。
「区別しなくていい」ってのは「用語上で」区別しなくてもいいってことです。
そのほうが逆に導入時の理論構成がすっきりするんじゃないかと思うんですが。
>>131 のような流れになっているわけじゃないです。もちろんいろんな微分構造
を区別することは重要ですが、「微分構造を区別」するために、
「用語上での不要な区別（というか同一視）」を止めたほうがいいのでは、ということです。

>>137
> 同じ位相空間上の異なる微分構造を考える立場からは、
> 微分同型でないものだけを考えればいいから恒等写像をdiffeoと
> するアトラスの同値類を特別視する必要はないというのが
> >>>25の意見でしょう。

まあ、そうです。だけど、別に「微分構造を考える立場からは」だけじゃなくて
普通は微分同型のほうが本質的でしょ？

> だから1)と2)を（エキゾチックな微分可能構造を考えないとき
> でさえ）特別視するのはよくないというのが>>25の意見の
> 趣旨だろう。つまり、羹にこりて膾を吹いたわけ。

これも、まあ、そうです。逆に、なんで 1) だけ特別視したいのか
俺にはよくわかりません。
それと「羹にこりて膾を吹いた」ってのも、まあそうともいえるかもしれない。
だけど、たとえば >>130 は、たぶん昔俺がしたのとおなじ勘違いしてん
じゃないのかな？

>>130 よ、何が「ナンセンス」か書いてくれないか？
アフォはお前だと思うんだが。
もしかして、「{R, ψ} が C^∞ 多様体にならない」とか思ってない？

何が問題なのか一から簡潔にまとめてくれれば、新規参加者も増えると思うぞ。

>>129 や >>130 がなぜ俺がアフォだと思ってるかぜひ聞きたい。
逆に俺の援軍になってくれるかもｗ

>>139
発端は俺が書いた >>25-26 。

>>42-98 あたりでは話が本題から「環付き空間による定義」にそれた。

>>109 以降くらいから、元の話題に戻ったって感じ。

ただ、おれは >>25 の何がそんなに問題なのかさっぱしわからない。
>>110 に書いたように、普通の定義と本質的にほとんど変わらないと思ってる。
正直言って何を問題にされてるのかもよく分からないって感じ。

なので、具体的な「問題」については >>103 あたりが書いてね。

局所ユークリッド空間としての性質を調べようとは思わないのか？

>>142
は？ 俺に言ってる？

ちらっと見たが、極大アトラスの何がそんなに問題なのかさっぱしわからない。

（どうでも良いが）あえて比較した場合、同一視できないものを量産する>>25の定義の方が気持ち悪い。

まぁ、いずれにしても、吾は代数多様体からの発展話題はあまり分からないのだが…。

>>145
は？ なんですか？ 「君」って俺のこと？
なんですか、この KingMathematician って人は？
荒らしですか？

Re:>>146
どこに「君」などと書いてあるのだ？
(一種のトリックに引っ掛かったね。)

>>146
失礼！ 「君」じゃなくて、「吾」だったか
ごめんね

>>144
ご意見ありがとうございます。まあ、俺も基本的には「どうでも良い」と思ってるんですがｗ

ただ、昔 >>26 のような勘違いして結構悩んだんで。
単に俺がアフォだっただけでしょうか？

>>138
俺のレス(>>132)に答えてくれると君の疑問にも答えやすくなる
と思うよ。

>>150>>132
(R, {id})はそれこそ、「恒等写像」ってのはものすごく特別な写像なんだから、
別の方法で「特別視」しなくても自動的に特別視されると思うんですが。

結局、何を問題にしてるんですか？ 全然わからない。

>>145
代数多様体とは限らない微分可能多様体の話をしてるんだけど。
だけど代数多様体を知らないで微分可能多様体の理論を
学ぶってのもおかしなもんで。代数多様体は微分可能多様体の
豊富な例を提供してくれるわけで。射影空間もグラスマン多様体
も代数多様体だし。古典線形群もそうだし。リーマン面も
そうだし。

>>151
別の理由だろうと何だろうと恒等写像は特別なんだろ。
だから恒等写像が微分同相となるアトラスは特別なんだよ。
それを君はイヤだと言ってるんだろ。
そのくせ、いざ実際に多様体を扱うときは恒等写像が微分同相と
なるアトラスをもっぱら使う。つまり、君の心と頭は分裂してる
んだよ。よっぽど極大アトラスにトラウマがあるんだろ。

>>153
なぜ「心と頭が分裂してる」ことになるのかさっぱりわかりません。

「極大アトラスにトラウマがある」のは確かにそうかもしれませんｗ
結局、>>25-26 は、入門時に「極大アトラス」に悩まされた人への処方箋の1つ
って考えてもらえばいいかも。俺の場合はこの考え方が有効だった。

悩まされなかった人には意味ないかもしれないし。わかってしまえば自明なことだし。

あまりにつまらない話になってるんで、もうどうでもいいんでやめましょう。

＞１５２
専門の人以外だと代数多様体ってスキームいれたりなんなりして
定義する複雑なものってイメージで逆にわからなくなるな。
微分多様体のが親しみあるのが普通じゃねーの？
特に学部生は。

>>154
＞あまりにつまらない話になってるんで、

都合がわるくなると、またそれかよｗ
君の頭の中には極大アトラスが無意識に入ってるんだよ。
だから、君の定義で一向に不都合を感じない。

>>155
だからそれじゃ駄目なんだよ。スキームまでやる必要はない
けど、代数多様体の初歩の知識は常識だよ。
代数多様体っていうのは多様体の豊富な例を与えてくれる
から貴重なんだよ。

吾はアフィン代数的集合なら知っているが、
代数は専門ではなくて、
吾の場合は多様体と云ったら、
C^0多様体とか、C^∞多様体とかC^ω多様体なんだよなぁ。

個人的なことを云うと、多様体上の解析学とか、そういったことを議論したいのだよ。
多様体上の微分(これには正確な意味づけが要るのだが、省略することにしよう。)も定義できるし、
適当な計量(Riemann計量とか)が入った空間上なら
多様体上の関数の積分も定義できる。

それにしても、代数多様体の教科書って難しい。
解析専門の人には勧められないってことか？

代数専門の人は代数幾何なんて朝飯前なのかも知れないが。

さて、今後このスレはどのように進むべきか？

>>158
代数多様体はC^ωだけど。代数の専門でなくても代数多様体
は知っておいたほうがいい。単に方程式で定義された多様体
なんで、非常に素朴な対象なんだよ。最初は難しく
考えないほうがいい。

>>162
代数多様体（variety）には特異点があるかもしれないから難しい
って側面もあるんじゃない？

Re:>>162
アフィン代数的集合の場合、複素数空間の直積上でなら定義できますが、
実数空間だと定義できません。
実数空間の直積上の(超)曲面に相当する概念を含むには、代数的にはどうすればいいのですか？

日本人には代数好きが多い。

このスレの主題は

位相多様鯛？
台数多様鯛？
可微分多様鯛？

そのへん絞らないとまずかったね

たぶん１はどれか一つしか知らなかったんだなｗ

Re:>>165
まぁ、数学が最初にあるのが中学校で、そこで初めにやるのが代数だからねぇ。
結果、多くの(数学専門でない人も含み、)日本人は代数好きとなるわけだ。

Re:>>166
何も断らない場合でも複数通り考えられる
(位相多様体、微分多様体)
から困るんだよなぁ。

だけど、代数多様体の話なんて初めからそんなにして
ないだろ。それをもっぱらしてると勘違いするところに
代数アレルギーを感じるんだけど。

>>169
「層」や「圏」って出てくると「代数幾何」って感じがするんじゃないかな。
それを「代数アレルギー」っていっていいかどうかは微妙なところ。

Re:>>169
いや、スレの初めの方見たら代数幾何の話題がメインになっているが。
(でも、多様体という言葉だけで代数幾何を連想する人はあまり居ない。
事の発端は[>>5]にあると云える。)

>>163
そうだけど、特異点は代数多様体に特有のもじゃない。
解析多様体だって特異点がある。初めは非特異多様体
だけ考えてればいい。

>>171
>>5 は単なる悪ふざけでしょ。

「代数アレルギー」って言うか、超越的な手法を使う人は代数的
な手法を嫌がるんだよ。

>>164
>実数空間だと定義できません。

そんなことはない。球面は代数多様体だよ。

>>174
多変数も含めた複素解析なんて非常に代数的な匂いが
するけどね。収束冪級数環はネーター環で一意分解整域
だからね。

>>171
初めのほうだけだろ。今は君がぶり返したｗ

>>170
「層」や「圏」って微分幾何でも複素幾何でも使うだろ。
多様体の話をこれらの概念なしでしようとするのは
ちょっと無理だろ。

>>178
「無理」ってのはさすがにいいすぎじゃないか。
少なくとも学部レベルの可微分多様体の本は、ふつうは
層や圏の言葉を使わずに書かれてるだろ。

それに対して代数幾何では（圏はともかく）初歩レベル
でも層は必要。

>>179
いいすぎじゃないだろ。層を知らなければドラームの
定理なんてどうやって証明するんだ？　層を使わない方法
もあるけど面倒だろ。とにかく、層は学部の常識レベルだろ？

俺が断言しよう。いやしくも数学をやるものは層の理論を
知っておくべき。層というのは非常に基本的概念なんだよ。
開集合上の関数全体のなす群なり環を考えるってことだからね。

＞１８０
あんたが何歳か知らんけど学部の常識レベルではないのです。
普通に学部の授業では教えません。
ちなみにドラームの定理はベイユの二重複体の方法で同型をいうところまでしか
おれは知らん。

>>182
実際がどうだろうと常識となるべきと言っている。
だけどそれを言ったら多様体も学部でやるかな？
俺はやった覚えがない。

>>182
ヴェイユの２重複体の方法は本質的には層を使った証明
と同じです。ただ、層を使ったほうがより見通しがいい。

Re:>>175
よく読んでくれよ。アフィン代数的集合と云っているだろう。

>>185
球面はアフィン代数的集合だけど。因みにアフィン代数的集合
も代数多様体だけど。因みに実数空間の直積ってちょっと
違和感あるんですが。意味は分かりますが。

>>183
> だけどそれを言ったら多様体も学部でやるかな？
> 俺はやった覚えがない。

マジすか。今は微分多様体は普通に学部（2年か3年）でやるよ。
もしかして >>178=183 は例の代数幾何スレのおっさんですか？

>>187

やる大学とやらない大学があるのだろう。
どの大学も同じカリキュラムとは限らん。

>>187
なんでわかるの？ｗ

Re:>>186
アフィン代数的集合の定義って何ですか？
吾は代数閉体の直積の部分集合に対して
アフィン代数的集合の概念が定義されるものと思っていました。

>>189
口調等でわかりますｗ
たしか鏡台でしたよね？ 昔は学部に多様体の講義なかったんですか。
ちなみに、学部3〜4年の幾何の講義はどんな内容だったんですか？

>>188
どの大学でも、「数学科」なら（微分）多様体がカリキュラムに入ってないこと
はないような気がするが・・・ そういう大学の人いる？

いずれにしても>>1がこのスレを見ても単位は取れんだろう。

おれのとこだと単位とるのは部分多様体と
接ベクトルが理解できてれば良かった気がする

>>190
アフィン空間における、いくつかの多項式の共通零点を
アフィン代数的集合という。通常は代数的閉体で考える
ことが多いけど、代数的閉体でなくてもいい。

にしても
日本の数学者って、なわばりが明瞭だね
微分幾何の人は代数幾何は知らないし、逆もしかり。
対象が幾何でも景色が違いすぎるからかなぁ


と、しったかぶり書いてみるテスト
そんなオイラの専門は物理ｗ

話はちょっと変わるけど英語には多様体にあたるものとして
manifoldとvarietyがあるよね。manifoldは非特異で
varietyは特異点も許すというニュアンスがある。
日本語の多様体はこの両方がごっちゃになってちょっと不便だね。

>>196
フランス語でも、微分多様体も含めて variete だけじゃない？

ドイツ語だとMannigfaltigkeitで「集合」という意味があったりする。

>>195
少なくとも代数幾何をやってる人は複素幾何は知ってる
人が多いだろ。微分幾何の人も複素幾何を知ってる人が多い。
つまり両分野とも共通点はある。

1

201

>>157
ちょっと補足しておく。
実数体上の代数多様体を微分幾何的に扱う分には代数幾何の
知識は殆どいらない。微積分の陰関数定理を知ってればいい。
簡単のためにアフィン代数多様体について述べる。
射影代数多様体についてはさすがにごく初歩の代数幾何の知識
がいる。
(実)アフィン代数多様体っていうのは有限個の実数係数の多項式
f_i(X_1, ..., X_n) i = 1, ..., r の R^n における共通零点の
集合である。簡単のために i = 1 つまり１個の多項式
f(X_1, ..., X_n)で定義されるアフィン代数多様体 M すなわち
超曲面について述べる。
df/dX_i を f の X_i に関する偏微分とする。
M の点 p において df/dX_i (p) ≠ 0 となる i があるとき
p は M の非特異点と呼ぶ。M の全ての点が非特異のとき M を
非特異と呼ぶ。M が非特異のとき M は R^n の微分可能多様体
としての(n-1)次部分多様体になる。この証明は陰関数定理を
使って簡単に示される。
この様に代数多様体というのは非常に素朴なものである。

>>202
そんなの当たり前じゃん。大体その命題の場合だと、
f_i を多項式に制限するほうが逆に不自然じゃない？

そんなレベルの命題はいちいち「代数幾何」とかいわ
ないと思うけど。

203 は釣り？

>>204
ん？ >>203 ってどこか変？

>>203
だから俺は難しいものだなんて言ってないだろ。一部の
代数アレルギーの人間が恐れをなしているんで、そんなに
怖がるほどのものじゃないっていうことを示したんだよ。
俺が言いたいことは代数多様体っていうのは素朴な対象であり、
しかも多様体の豊富な実例を提供するものであるということだ。
ただ誤解のないように言うと代数多様体を微分可能多様体と
してでなく解析多様体として考えるととたんに難しくなるよ。

Re:>>202
8〜10行目の定義はアフィン代数的集合の説明ですよ。
アフィン代数多様体は、何らかの意味で既約なアフィン代数的集合のことだったと思うのですが。

>>206
でも 202 の命題って f を多項式じゃなくて R^n → R
におきかえて普通に成り立つじゃん。微分多様体の
どの本にも書いてある基本的な命題じゃん。

>>202 読んで
「おー、なるほど代数多様体というのは簡単なもんなんだ」
と思う人がいるとは思えんのだが。

>>207
既約性は重要である場合もあるしない場合もある。
確かに「代数多様体」の定義に既約性を含めることが多いけど、
あまり気にしなくてもいいかも。

>>203
お前ね、当たり前のことが示されてからそんなの当たり前だよ
というのは簡単なんだよ。その当たり前のことを俺がこのスレ
の初めのほうで言ってるんだがお前も含めて誰もそんなの
当たり前だろなんて言ってないんだよ。つまり、それほど
当たり前じゃないってこと。俺は当たり前を馬鹿にする奴が
大嫌いなんだよ。

>>205

一般には発言の対象は全員ではない。狙った特定の範囲の人たちに
参考になるものならＯＫだろう。

誤解を招いたり、間違いが有るものなら補足すれば良い。

それに、KingMathematician も前に書いてたけど、「代数多様体」は
やっぱC上で考えるのが自然でしょ（当たり前だが）。

R上の代数多様体は妙に複雑で特殊なもんだと思うけど。

>>212
複素構造を持つものはそれで良い。ベースとなるのは実多様体。
実多様体を同次元の複素多様体の部分多様体と見れば扱いやすく
なるが多いからからそうしている。

そうできないものも広く解明したいが、まず代数多様体は扱い易く
相当深く大きな成果が出ている。

と言うのが専門家でないボクの理解です。違いますか？

>>212
そう、Cで考えしかも射影空間で考えるのが一番美しい。
しかも代数多様体としてでなく複素多様体としても考えると
代数、解析、幾何が融合したいわばthreesome
(日本語だと３ｐね）となり、ひじょうにセクシーな数学的対象となる。

Exotic R^4 の構成方法の説明お願いします

余談というか、脱線スマソ。

古典的、あるいは素朴に“複素数上の代数方程式で定義された図形”を考えてるだけなら、
代数幾何らしくないような気がする。
とっても個人的な感覚で申し訳ないが、係数体を入れ替えてあれこれ考えることができる対象を
指して「代数幾何」と呼ぶような感じがする。

　「図形の殻」＋「具体的な体（あるいは環）」　→　「図形」

特に、複素数や実数体で固定しちゃった図形は、定義がどんなに代数的であっても
代数幾何ちっくな対象に見えてこないんですよ。

「有限体上のホニャララ（笑）」を割とよく扱うせいで、偏ってるのかも知れないけど。

>スキーム　⊂　Algebraic space　⊂　エタール集合層
>>88さんありがとうございました。

>>216
同感。Grothendieckの代数幾何はその感覚を数学的に定式化した
ものと言えるだろうね。

>>208
俺はここで代数幾何の話をしてるんじゃないんだよ。
微分可能多様体または解析多様体の例としての代数多様体
について書いてるわけ。よく具体例をよく知らないで
多様体論やってる奴がいるけど、それじゃ駄目なんだよ。
代数多様体というのは多項式であらわせるんで計算が
しやすい。多項式でない微分可能関数で定義された多様体
なんて普通は扱いにくいだろ。

代数多様体を微分可能多様体とみることがトリビアル
だとしても、その微分可能多様体_(または位相多様体)としての
構造を詳しく調べるには代数幾何、微分幾何、複素幾何および
位相幾何のかなり深い知識が必要となる。
例えば、フェルマー型の方程式
(X_0)^r + (X_1)^r + ... + (X_n)^r = 0 で定義された
複素射影多様体のベッチ数を求めることですら、かなり難しい。

>>216
古典的代数幾何、即ち複素数体上の代数幾何では位相幾何的方法と
実解析及び複素解析的方法が使えるので抽象代数幾何的方法では
得られない深い結果が得られる。そもそも、抽象代数幾何は
古典的代数幾何からインスピレーションを得ていたわけで、
古典的代数幾何を軽視するのは本末転倒であると思うぞ。

>>216
複素数体上で定義された代数多様体 V というのは、複素数体上の
分離かつ被約な有限型スキームのことであり、
もろGrothendieck流の代数幾何の対象だぞ。

係数体を複素数体の部分体 k にとってもいい。
k としては有理数体とか代数体をとる場合が多い。
この場合、V は k 上 分離かつ絶対被約な有限型スキームとする。
V × C を k 上のファイバー積とすれば、これは古典的な
C 上の代数多様体になる。

このように複素数体またはその部分体上で定義された代数多様体
または代数スキームだけを考えても十分豊富な代数幾何が
展開される。というか森流の分類理論は今のところこの
古典的な場合のみ扱っているはず。何故なら特異点の解消
は標数０の場合しか証明されていないし、微分幾何的
方法も必要だから。

>>1 よ！
なんか簡単な質問でもあげないと、オッサンにスレ占領されちゃうぞ。

じゃ具体的な質問するけどS^7って微分構造の違うものがあるという話だが
これって具体的に作れる？

>>224
ぜんぜん簡単じゃない（ｗ

今更だが >>40 の例は間違っていると思う。
id: X → R は連続にならない。

Sard の定理の証明をネット上で探しています。
誰か教えて。

しょうか房の多様体入門よめばいいじゃん

まぁ、書籍にあるのは知っているが、ネットであるのは見たこと無い。

>>227
４番サード長島

功力の導入した超関数を研究中です。同じ様な方いますか？

>>230
うーん、ナイスですね。

>>228,230
4番　Sard 長嶋　背番号　3

川崎 construction で知られ、日本数学会のロゴも作成した
学習院大学の川崎徹郎先生が著した「曲面と多様体」(朝倉書店)
の p200〜p210 に R^n->R^m の証明があります。
微分可能性　r>n/m に関する議論もあります。
松本幸夫先生の「多様体の基礎」には、Sardの定理が成立しない例の
reference　↓　も紹介されている
r=1,m=2,n=1 が　Whitney 'A function not constant on a connected
set of critical points' Duke Math Journal 1 (1935) p514-517

なお、Arthur Sard の PhD thesis　(1936 Harvard Univ) は
The Measure of the Critical Values of Functions

です。

>>233
http://wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/
のロゴだよ。
川崎徹郎「曲面と多様体」p41
にもあるよ。

>>233
川崎 construction って何?
川崎建設(株)ってか?
何をどうやって、constructするの?

construction；作図、構成、構造

94

195

ほしゅったらageろ！

僕も多様体の定義に疑問を抱いています。
モジュライ理論の方でもorbifoldという概念を持ち出したりしているようですが、
Lecture Notes in Mathematics 1824 でこれらを包括する代数的な概念を導入しています。
（僕は多様体論を学び始めたばかりなので、有用性については判定できません。）
妄想ですが、TQFTを可微分多様体の圏よりもっと大きな圏で定義できたら素晴らしいでしょうね。

結び目が分類できたらしい。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1071929901/

>>15, >>18みたいに何か具体的で多様体を習いたての香具師にも
解けるような問題ｷﾎﾞﾝ。学校の演習問題ムズいし、本の演習問題は
数が少ない。もち、微分可能多様体ね。

多様体（多重体、 manifold, variety, varifold, orbifold...）
の様な基本概念の訳語が漢字三字にもなるのははなはだ不便だ。

そこで提案。「多様体」の訳語を、 manifold の頭文字を取って、
「馬」と訳したらどうか？

それは名案だ>243
さらに可微分を示すときには下に「鹿」をつければよい

「私の専門は可微分多様体」が

「私の専門は馬鹿」と簡潔に表現できる。

>>244
うまいこというね君。このスレのばかばかしさを如実に表してて
いいんじゃ？そろそろ何か多様体に構造を入れてみてみたらどうよ？
というだけの道具が全然揃わないままやがて１ヶ月ですね。

>>243-244
ｼﾞｴﾝ乙

>242
具体的問題といえば
シュプリンガーの微分幾何が
解答付きでいいかも。英語だけどね。

正則値定理を使うと、多様体かどうかの判定が容易になることがある。

>242んじゃ、練習問題をだして進ぜよう。

１）M、Nが境界のない滑らかな多様体のとき、M×Nも可微分多様体になることを示せ。
２）Ｍが多様体なら、接バンドルＴＭもそうであり、つねに向き付け可能。
３）グラスマン多様体に微分構造が入ることを示せ。その接バンドルを定式化せよ

こんなところで。

>>249
もっと簡単な問題
R^33 と R^100 は微分同相でない

>>250
つーか、位相同型ですらないじゃん。

>>251
そうなると少し難しくなる。
微分同相でないだけなら小学生にでも出来る。

>>252
微分同相を理解できない小学生にはむりぽ

>250
球面のホモロジ-群や位相空間の測度論を使わず、素手で証明しなさいというのは、
結構難しいかも。

てこともないか。
ｎ＞ｍにたいして　R＾ｎ〜R＾ｍ　から商空間を取って　R＾ｎ-ｍ〜R＾0　（一点）
でも、R＾ｎから一点への全単射はありえない、と。

>>255
証明になっていない

ありゃ、早とちりしたか。
同相な位相空間を、忠実に作用する同型な位相群で割ると、同相
と仮定してしまってるな。

同相な位相空間に、同型な連結位相アーベル群が作用していて、その作用が不動点をもたないなら、それでわった商空間は同相、
はいえるから、上の証明を補完すればよかろう。
【演習問題】
一般に、二つの同相な位相空間に同型な位相群が作用しているときｍその小空間が同相になる必要十分条件は？

>>258
又間違えとる
無限次元ヒルベルト空間 H の余次元1，2の部分空間 K, L は連結且つ忠実に作用しているが、
H/K = R, H/L = R^2

いい加減なこと連発してしまったｗｗｗ

まー、有限次元位相多様体にR＾ｋと同型な位相群が不動点なしに作用してたら、
同型は言えるじゃろさすがにｗ
ここまでくると、面白みもなんもない主張になってしまうが。

こっちのほうがいいな。

R＾ｎとR＾ｍが同窓とすると、それらを（アレクサンドロフの意味で）一点コンパクト化した空間S＾ｎ、S＾ｍも同型になるのは定義より明らか。
球面をひとつ次元の高いユークリッド空間に埋め込むと、S＾ｎ上の連続関数環はR＾ｎ＋１の球面を含むコンパクト集合上Ｋ連続関数環を、球面の近傍で0になる関数のなすイデアルで割ったものになる。
Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓの多項式禁禁じ定理より、Ｋ上の連続関数は多項式で近似できるので、この関数環は多項式環をＫ上の一様収束位相で完備化したものを、球面の近傍で0になる多項式のなすイデアルを完備化したもので割った環に等しい。
Ｒ＾ｎとＲ＾ｍの同窓は上の環の同型を誘導するが、ｎ＋１変数とｍ＋１変数の変数多項式環は同型でないので矛盾。

とか。ややこすぃか。

>>260
またまた間違えとる。
同相でない有限次元多様体 M, N で、
M×R と N×R が同相な物が存在する。
Milnor の Whitehead torsion でも勉強してみろ。

>262
じつは書き込んでから変だと気づいたよｗ

>>261
全然間違っとる。
話にならん。

ｗｗｗｗｗｗ
そんなに言うなよｗ
じゃー真面目に考えよう。そのうち書き込むｗ

これはどうだ。
ｎ＞ｍとする。
Ｒ＾ｍのなかでＳ＾ｍ−１は裏返せない（ノルムに中間地定理を使えば分かる）が
Ｒ＾ｎのなかでは裏返せる（ローカルに議論すればすぐわかる）
よって二つは同相でない。

262の具体例を作るのも面白い演習問題だね。

>>266
すぐには誤りを指摘出来ないが、
どっか間違っていそうだにゃー

んー・・・
具体的には、球面はちょっと（εで）ふくらまして、裏返すということを、
外側の境界を内側の境界に写す写像が恒等射と、
単位球面と交わらないという条件下でホモトピックになることとになると定義する。
これがＲ＾ｍで不可なのは中間地定理からわかる。
Ｒ＾ｎで可能なことは余次元の方向にずらせば分かる。

この設定だと、同相写像で球面が保たれることも自明と言えないか。

でも、Ｒ＾ｎ〜Ｒ＾ｍの同相写像からから一点コンパクト化でＳ＾ｎ〜Ｓ＾ｍになることとを利用して、もう一個次元を増やして（線型写像でもチョくわしといて）議論すればできそうだけどな。

しまった。>270は取り消しｗ　もう寝よう。。

球面が保たれるのは、同相写像の定義と部分位相の定義から自明か。できてそうだが。

俺的には帰納的次元とか位相不変量を導入してＲ＾ｍの帰納的次元は
mだから次元が違うと同相ではないと納得しているが
実際に図形的に考えて同相写像がないことを示す方法はよくしらないな

>>262
2次元トーラス×Ｒに、Ｒの作用を
トーラス上でのワイルの流れで作用させる場合と
Ｒ成分の平行移動で作用させる場合で
すでに商空間がちがうな。
ワイルの流れの比を無理数にすると、上のはハウスドルフ空間にさえなってない。

>>274
それは小林の意味で proper になっとらん。

どちらかというと小林の意味でパープリンだな

>ワイルの流れで作用させる

って知らないんだが何？
それってエルゴート理論と関連ありなのかな

>>276
パープリンってなぁに？
プリンプリンパイなら知ってるが・・・

>>267
M=R N=S^{1}
M=R/{0}, N=R

でいいんじゃ？

>>279
どっちも全然違っとる。
簡単な反例はない。
Whitehead torsion は必要だろう。

T^2からD^2を引いたものMと
S^2から３つのD^2を引いたものNを考えると
それらは両方ともホモトピー型は同じ（２つのS^1のブーケ）
M×R、N×Rは同じハンドルボディーになる

>>281
これも全然同相にならん

3-閉多様体が単連結ならば，それは 3-球面と同相である

＞283
今の所、その証明をした者だけに許される言葉である。

あｑｓｗｇｆてゅじ
あｑｆｔｒｈじゅこ
あｑｇｆｔこ
あｑｓｗｆｔｒひゅこ
あｑｓｗｆｔｒｇひゅじこ
くぁｓｗでｆｒｔｇひゅじこ
あｑｓｗでｆｒｔｇひゅじ
くぁｓｗでｆｒｇｔひゅｊきおｌｐ
くぁｓｗでｆｒｇｔｈｙじゅこ
あｑすぁｑｗせｄｒｆｔｇｙふじこ
あｑｓｗｇｆｈじゅ７きお
あｑｓｗでｆｒｇｔｈｙじゅいこ
あｑｗせｄｒｆｔｇふじこ
あｑｓｗでｇｆｔｙふ７こ
あｑｓｗでｇｆｔｒ５ひゅ７こ９
あｑでｆｒｇｔｈｙじゅいこｌｐ
あｑｓｗでｆｒｇｔｙふこ
あｑｓｗでｆｒｇｔｈｙじゅこ

>>279
RXS^{1}
R/{0}XR
が同相だというのならあっていると思うが。

あｑｓｗでｆｒｇてゅこｌ
あｑｓｗでｆｒｇｔｈｙじゅいこ
あｑｓｗでｆｒｇｔｈｙじゅいこ
あｑｓｗでｇｆｔｈｙじゅいこ
あｑｓｗｆｒｇｔｙふじこｌｐ
あｑｓｗｇｙふじこ
くぁｆｔｇｙふじこ
くぁせｇｙふじこ
あｑせｄｒｆｔｇｙふじおｋ
あｑｗせｄｒｆｔｇｙふじこ
あｑｄｒｆｔｇｙふじこ
くぁｗせｄｒｇｙじ９こ
くぁせｆｔｇｙじこ
あｑせｇｆｔ６ｙ７ふ８じこ
あｑすぇｇｆｔ６ｙ７ふ８じこ
あｑｄｒｆｔｇｙふじこ
あｑｗせｆｔｇｙふじこ

>>286
RXS^{1} は連結だが
R/{0}XR は連結でない

ポアンカレ予想って結局どうなったの？

>>280
なお、 Whitehead torsion を使わなくても 結晶群の理論を知っていれば、
基本群が同型でない多様体 M, N で
N×SO(2) と M×SO(2) が同相な例は作れる

Thurston のフィールズ賞受賞の業績は葉層構造の理論と、双曲可能定理だが、後者がメインであろう。
これは受賞時に未だ発表されていなかったばかりか、今も完全な発表はない。
幾つかの論文(主に他人の物であるが)をつなぎ合わせると出るとされているが本当なのか？

Thurston
はアホだ

>>292
どこが

FeaturesOfTheGod
はつくづくアホだなと感じ

解析を用いない多様体論は低調だな。

流行に群がるハイエナども。
分かりもしないくせに。

はぁ？
調和積分も知らない馬鹿ですか？>>295

氏んでいいよ

>>296
調和積分論は常識
サイバーグ・ウィッテンの理論
等に皆がなびいている。

>>296
あなたは何を知ってる馬鹿ですか?

早くして多様体

129

リーマン幾何との統合を求む。

このスレ、
構造を持つ多様体と、
持たない多様体に離せよ。

何でも良いから可微分多様体、リーマンタ様体、複素多様体･･･
このスレの目的は何だ。他人を馬鹿と呼ぶのが目的化。

多様体「総合」ｽｯﾄﾞﾚ

スレッドじゃなかったのか?

ｽﾚｯﾄﾞ、ﾚｯｽﾄﾞ､ｽｯﾄﾞﾚ、使い分けてくれ･････････････

ﾇﾚ

使い分けれない物は数学には向いていない。

ﾄﾞﾚﾄﾞﾚ

多様体がここ数ヶ月どれだけ進化した???

局所微分不変式論に逆戻りか???

485

もう一度一般相対論をやれ

foliation でもやれ

もう終わりか
話題出してくれ
例えば多様体上のバンドルとか

多様体上の球バンドルに付いて論ぜよ

|・ω・`)。oO( …M をメビウスの帯としたときに、
M×R と S^1×R^2 は同相にならないのかな…？)

（´-`）.｡oO（・・・ホモロジ―群がすでにちがうやん・・・）

|ω・`)。oO( …あ。そうなんだ…。ごめんﾈ…)

|彡

工学部卒、でも教養の数学を落としたせいで留年経験ありの俺に
教えてください。

巷ではポアンカレ予想が解けたと話題になっておりますが、予想が
正しかったとして三次元多様体はどのように分類されるんでしょうか?

二次元多様体の分類に付いては(ブルーバックスレベルですが)分かってます。
球、トーラスの穴の数、クライン、とんがり帽子ですよね。

三次元だと球とトーラス錐と...? 二次元球×トーラスとかいう単語で
言ってもらっても理解できると思います。

スレ違いなら誘導してください。どっかいいwebサイトがあったら、
そこを紹介してくれるのでもOKです。

ちなみに、このスレの内容の95%は理解できないです...。

>>320
ttp://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/Official_Problem_Description.pdf
ttp://jp.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0303109.pdf
ttp://jp.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf

>>321
ありがとう。せっかくだから読んでみたけど...全然分からないよ。
今回 >>320 を書くきっかけになった日経サイエンス2004/10を
読み直してみたよ。
「三次元多様体はいくつかの断片に分割した後に8個の標準的な
幾何を持つように変形できる。」
「そのうち5つの例として、正定曲率、ゼロ曲率、負定曲率、
2球面と円周の直積幾何、負定曲率曲面と円周の直積幾何。」
上の例の前三つは球面、穴ひとつのトーラス、穴ふたつ(以上?)の
トーラス、でしょ? 後ろの二つはまあ分かった事にします。
改めて質問だけど、「分類は8種類でOK?」「あと3種類はどんなもの?」
「向き付け可能、不能の両方含んで8種類?」

...もしかして、遠回しに「お前の存在がスレ違い」って言われてる?

>>18ってT井先生の2003年度幾何学�Tの試験問題ですか？

>>18は原点を通る直線全体と言いたいんだと思うが。実射影空間でしょ。

（´-`）.｡oO（原点を通る必要はないような・・・）

原点通りたきゃ通っても構わんが、>>18の設問に答えたことに
なってないから、単位は貰えんだろうな。

>>323
T井・・・坪井？
実射影平面状の2次元ベクトル束

よって多様体

675

Who wants to be famous?

WHOOOOOOOOO wanna be famous!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

どうでもいいよ

多様体になるわけ無いだろ

manifold to variety no chigaiwanani?
dareka oshietekure!

905

611

多様体の問題なのですが。。。
R^nの滑らかなコンパクト（正規）部分多様体Xについて、
X_ε:={p∈R^n|d(p,X)＜ε}とおきます。
このとき、εを充分小さくとれば、
任意のp∈X_εについて、d(p,X)==d(p,q)となるq∈Xが
一意に決まるようにできる、という主張がわかりません。
そもそも、これってただしいのですか？？

滑らかなコンパクト（正規）だからさ。

コンタクトレンズって
性器の上につけるのか?

>>338
コンパクトが効いてくるところがわからないから、
今ひとつ納得できてないんです。。。

571

多様体というくらいだから多様なんだろな。
日本ももっと多様になって欲しいというか
なんか狭苦しいぞｗ

多様体(manifold)の語源とは何だろう？

コンパクトじゃなかったら、そもそも「d(p,X)」なんてどうやって
定義すんのかー？

>>337
とりあえず問題の出処を書いて欲しい

808

>>340
指数写像

以前志賀浩二の本に（書名忘れた）
可微分多様体には一意的に実解析的構造が入ると書いてあったけれど、
証明はどうするの?

>>348 志賀先生の「多様体論」(岩波書店)を読め。

>>349
どのシリーズ?

以前志賀浩二の本（書名忘れた）は、記述が曖昧すぎる。
向き付けられた実解析的な多様体の間に向きを保つか微分同相写像があると、
向きを保つ実解析的同値写像があるかどうかなど、
この本では全然分からなかった。
>>349
分かるか?

>>350
岩波講座「基礎数学」じゃなかった？

多様体愛護協会　ってどうよ?

ごく常識的な話だけれど、4次元単連結可微分多様体 M で
H_2 (M) が正定値な多様体は何に微分同相なのかご存知かしら?
位相多様体の場合はご存知の方いるかしらん?

　　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 |
　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 |
　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 |
　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　|
　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　|
　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ
　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi
　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､
　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　　　　　　　　　　 ┃ 　 ┃
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　 ／　　　　 ＼
　　　　　　 　　　　　　　／　　　　　　 　 ＼
　　　　　　　　　　 　 ／ 　　　　　　　　 　　＼

おらしらね

M1：R^2内の直線全体の集合
RP^1：1次元射影空間（R^2内の原点を通る直線全体の集合）
M2：M1＼RP^1
とするとき、
M2に適当なC^∞級座標近傍系を与えることにより
M2が多様体となることを示せ。
という問題なんですが、
教えていただけませんか？

>>357
M_2は原点を通らない直線全体の集合ということなので，
M_2={ax + by + c = 0,a,b,c∈R, c≠0}
　={(a : b : c)| a,b,c∈R, c≠0}
φ: M_2→R^2, φ(a:b:c)=(a/c,b/c)で座標を定めればよい．　　

坪井に聞け

>>358
それってM_2に入る位相構造はすでに決定されているとして良いんだろうか？
M_2の位相って通常はどう入れるもの？(というかその写像で位相構造を入れるような希ガス)

>>357の問にM2の位相構造が与えられていないのが腑に落ちないんだが

>>358
ありがとうございます。
参考にさせていただきます。
>>360
説明不足ですみません。位相構造は自分で
考えるそうです。距離で入れるのが
いいと言われました。

適当な位相構造いれていいんだったらM2をR^1とみなしちゃいたい

>>361
位相構造を自分で入れていいなら濃度を見ただけで
(C^∞)多様体にできるか判断できるよな。

位相構造は自然なものを入れてってことなんだろうけど
この"自然"っていう言葉が曲者だよな。

親切にありがとうございます。
正直、自分、分かってるつもりで
結構分かってないもので・・・。
RP^n（実n次射影空間、すなわち
R^n+1原点を通る直線全体の集合）が
多様体である事を示すという例があり、
そのときには距離空間としての位相が
入るという説明だったので、そうでは
ないかと思います。

そもそも問題となる対象にどのような位相を入れればいいのか
分かる人には、問題を出す意味が無い気がする。

なるほど

射影空間が理解できたなら、次は
Grassmann 多様体を理解すべきね。

R^2内の正方形　
Ｘ={(x_1,x_2)∈R^2 | 0≦x_1≦1,0<x_2<1}
の同値関係
(x_1,x_2)〜(x_1´,x_2´)　⇔　(x_1,x_2)=(x_1´,x_2´) or (x_1,x_2)=(x_1´±1,1-x_2´)
による商位相空間をM_1=X/〜　とおく。
このM_1に適当な(C^∞)級座標近傍系を与えることにより、M_1が多様体になることを示せ。
という問題なんですが、教えていただけませんか？

>>368
紙を切って貼り付けてご覧になったら?

基本郡が位数２のCW複体ってR3内で実現可能？

>>370
有限CW複体なら、1次元整係数ホモロジー群が自由アーベル群になるので不可能。
一般の場合もその極限としてねじれをもた無いので不可能
と言う事になりますわね。

Re:>369 お前はそれでいいのか？
Re:>368
どう考えても多様体にはならない。境界付きの多様体だな。
上半平面のある開集合と同相(ユークリッド空間の部分集合としての相対位相で)となるような近傍系を与えるわけだ。
x_1=0,1と共通部分を持つ開集合においてどのように座標近傍をとるかが問題だ。
商位相の定義によって、x_1=0,1上の点における近傍はx_1<1/3,x_1> 2/3の両方と共通部分を持つ。
とりあえず例を挙げて座標近傍を構成しよう。
(0,1/4)=(1,3/4)中心、半径1/8の開円盤での座標近傍は、
x_1<1/4のとき、f(x_1,x_2)=(x_1,x_2-1/4),x_1> 3/4のとき、f(x_1,x_2)=(x_1-1,-x_2+3/4)とすればよい。
後は自分でナントカしてくれ。

>>371
名前忘れ

>>372
実多様体の場合は境界付きの多様体を単に多様体と言う事も多いのですよ。

>>372
Kingはあぼ〜んされているから、書いても駄目だよ。

上半平面といっときながらこの写像はいけないか。
f(x_1,x_2)=(x_1,x_2+3/4)(x_1<1/4),f(x_1,x_2)=(x_1-1,-x_2+7/4)(x_1> 3/4)
ぐらいにしておこう。

>>372,375
ありがとうございます。参考にしながら手を動かして
考えてみます☆

境界付きの多様体ではなく、ふつうの多様体だと思うのだけど・・・0<x_2<1だし。
X→X/〜をfで表すこととして、M_1＝X/〜の2つの開集合U_1，U_2を
U_1＝f({(x_，x_2)｜0<x_1<1，0<x_2<1})
U_2＝f({(x_，x_2)｜0≦x_1<1/2，1/2<x_1≦1，0<x_2<1})
とする。で、M_1に対する座標近傍(U_i，φ_i)を
φ_1(f(x_1，x_2))＝(x_1，x_2)
φ_2(f(x_1，x_2))＝(x_1，x_2) if x_1≠1
　　　　　　　　　　　　(x_1，1-x_2) if x_1＝1
で定める。

ありゃーま！
やっぱり言われたよ。
Re:>377 確かにそうだ。

>>378
お前やっぱり頭悪いな

がんがれや

>志賀浩二の本（書名忘れた）は、記述が曖昧すぎる。

なーんでかな？それはね、記述が曖昧なのではなくて、彼の理解が曖昧だから。

>>351
の問いかけを私なりに解釈してみよう。
向き付けられた実解析多様体の間に微分同相があれば、
向きを保つ C^ω 微分同相があるかと。
この問いに答えるには、Diffeo 群の分類空間のホモトピー型を調べる必要があるが、
志賀浩二の本はこの辺の考察が無い。

初歩ですまんが、C^ω 微分同相は必ず向きを保つわけではない？

そりゃそうだ

>>383
ｆ：R→R
f(x)=-x でも考えてみれ

C^ω構造がはいる

451

C^ω^∂

構造がはいる

C(^ω^)∂

多様体も知らんのか
>>389

http://info.2ch.net/guide/map.htmlに載せる
紹介文を雑談スレで議論しています。
ご意見のある方は、ネタでも結構ですので是非いらしてください。

単様体は知っているか?

しっちょるか〜？

>>393
調子に乗るな馬鹿

139

772

218

多様体愛護協会　ってどうよ?

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

多様体愛護協会　ってどうよ?

998

ﾀﾀ様

M, NをC^∞多様体とする．
M×Nが向き付け可能であるとき，
M, Nはともに向き付け可能であるか？

>>403
yes!
もし M が向き付け能でないとすると、 M の閉曲線 C で、
向きを反転する物が存在する。
よって、 M×N の閉曲線 C×* は向きを反転させる。

>>404
正解

>>405
何だ！
質問じゃないのか

ではこちらからも問題を出そう。
M を向き付け不可能な多様体とする。
この時接ベクトル束の全空間 T(M) の向き付け可能性はどうなるか？

もう一題。向き付けられた連結可微閉分多様体 M で、
向きを逆にする自己微分同相写像が存在するもの存在する。

>>407

ぼうー、と考えると、向き付けられた連結可微閉分多様体 M なら
いつでも「向きを逆にする自己微分同相写像が存在する」と思うが。

>>408
複素多様体CP~{2n}と
その向きを逆にした多様体との間には
向きを保つ同相は存在しないと思う。

>>409

すまんが、ぼうー、とした頭でわかる様に具体的に表現してくれ。
微分同相の話だろう？

複素射影空間CP^2から自身への連続写像をfとする。
ｆはCP^2のコホモロジー環の環自己準同型gを誘導する。
CP^2の2次コホモロジー群へのgの作用は整数倍であるから、
CP^2の4次コホモロジー群へのgの作用は平方数倍である。
よってCP^2から自身への連続写像で写像度-1のものは存在しない。
故にCP^2から自身への向きを逆にする同相は存在しない。

>>411
正解。整係数コホモロジー環を考えるのが一番簡単。
実二次元多様体では、常に向きを変える自己写像が存在する。
CP^(2n) では、コホモロジー環を考えれば、上記のように
向きを変える自己写像が存在しない事が言える。

CP^(2n+1) では向きを変える自己写像が存在する。（容易)
やや難しいが、３次元でも向きを変える自己写像が存在しないものがある事が言える。

＞CP^(2n+1) では向きを変える自己写像が存在する。（容易)
に付いて。これは C^(2n+1) で、複素共役
(z_1, ....... , z_n) → (z_1~, ....... , z_n~)
が自然に CP^(2n+1) の自己写像に拡張できるから。

<<262 の例でM = T(S^2), N = S^2×R^2
というのを考えてみたが、あってるだろうか？

>>414
正解です。
ただしコンパクト多様体の例を作るには
Whitehead torsion 等、何らかのテクニックが必要になります。

>>414
当然
M = T(S^2), N = S^2×R^2
が同相で無い事の証明は必要になる。

>>407
問題文が間違っていたことに今頃気がついた。

＞向き付けられた連結可微閉分多様体 M で、
向きを逆にする自己微分同相写像が存在しないものが存在する

と書くべきだったな。

>>407>>417
3次元の時やや面倒だと以前書いたが、
1次元ホモロジーの torsion part を使用すれば簡単に出来た。
well-known だった。

supermanifold の微分形式やベクトル場を論じた
良書があれば紹介してください。
微分形式の積分や奇シンプレクティック形式、奇ベクトル場のことなどが
知りたいです。

supermanifold = maifold + superLiealgebra + 物理

Is local cohomology finitely generated ?

NO!

>>NO!

Why not?

example CN

Is local cohomology finitely generated ?

C[x] の原点における 係数 C[x] での local cohomology は C[x] 上有限生成でない。

＞射影空間が理解できたなら、次は
＞Grassmann 多様体を理解すべきね。

その前にLie群の位相を理解すべきでは？
不変微分形式からBetti数が分かるぞ。

>>427
＞不変微分形式からBetti数が分かる
のは、単連結リー群のみ。

超局所解析的の意味を平たく教えてください。

その１

波動は色々な進行方向の波の合成であるが
進行方向別に分けて考える。

その２

ラドン変換によって進行方向別に分ける。

その３

しかし、ラドン変換では｢進行方向｣と言う概念が座標不変にならない。
さてこれをどうするか。
(以下続く)

245

n次元ベクトル空間において、
ある点を平面へ射影するという概念はよく知られています。
では、ある点を曲面(多様体)へ射影するというのは、
どのように定義されるのでしょうか？
どのような定義がもっとも自然ですか？
どのような定義がよく使われますか？

＞では、ある点を曲面(多様体)へ射影するというのは、
＞どのように定義されるのでしょうか？

射影とは何かを考えよ。
さすればこのような設問は意味を成さないことがわかるだろう。

>>435
いや、その射影の概念を定義したいわけなんです。
なぜ意味を成さないのでしょうか？

>>436
＞定義したいわけなんです
勝手に定義すれば何も問題ない。

>>437
ですから、もっとも自然な定義はどうなるかについてお聞きしているんです。

>>438
>>435は、自然な定義(例えば、多くの人が別々に考えても同じ定義にたどり着くもの)
等と言う物は、無いだろうといっているのだ。

>>439
もちろん多くの人がまったく同じ定義なるとは思いませんが、
自然な発想だと呼びえるものがあるのであれば、
それを教えていただきたいということです。
思いつきでも聞きかじりでも結構ですから。

>>440
円周は平面のレトラクトでは無い。

>>440
だから自分で「自然だ」と感じる方法でとりあえず定義してみて、うまくいくかどうか確かめてみるしかないだろ。

>>440
はじめから抽象的に捉えようとしても進歩しない。

球面において内部の一点から半直線を採る時、外部の平面との交点は
球面と半直線の交点に射影されると見ることはできる。

といっても、そんなことじゃないとと言いそうだな。

問題提起してスレを盛り上げようとしてるのかもしれんが、
なんかポイントがずれてるんだよな。代数幾何スレと同じで。
一般化といってもどこを強調するかでいろいろな仕方があるだろうし。
何か必然性があって一般化するならともかく、一般化のためだけに
一般化するのはアブストラクトナンセンスと同じことですよ。

>>442
> うまくいくかどうか確かめてみるしかないだろ。
それをやったことがある方がいれば、教えていただきたいということです。

>>443
> 球面において内部の一点から半直線を採る時、外部の平面との交点は
> 球面と半直線の交点に射影されると見ることはできる。
>
> といっても、そんなことじゃないとと言いそうだな。

いえいえ、そういう話で結構です。
そういった理論展開を詳しく考えたことがある方がいれば
さらに参考になります。

たぶん、任意の凸曲面に対してそういった射影が定義できるのでしょうね。
平面も凸曲面の１つで、平面の場合には通常の射影になるだろうから、
射影の自然な拡張となりますよね。たぶん。

>>444
> 一般化といってもどこを強調するかでいろいろな仕方があるだろうし。

どういった強調の仕方でも結構です。
さまざまな分野でさまざまな拡張の仕方が考案されているのであれば、
知っているものだけでも簡単に教えていただければ、と。
いわば、射影に関する雑学が知りたいということです。

>>447
雑学スレでも立てろ

>>446

射影という言葉の範囲を適当に採れば、多様体についての知識、具体例に応じて
いくらでも写像例を構築出来る。芸人風に手妻を披露してみたいのかね。

支那手妻

chony manse

松本幸夫せんせーの「多様体の基礎」という本でわからないところが
ありまして、質問させてください。

Ｐ２７の
この空間（Ｒ，Θ）では開区間（a,b)はΘに属さない

というところなのですが、ΘはＲを組み込んでいるのに
(a,b)みたいな領域が「属さない」意味がわからないのです。。
位相空間っていったい。。。。

とにかくよろしくおねがいしまつ

>>452
たとえば、A={1,2,3}という集合があるとして、
Aの部分集合を元とする集合　
Θ={　{1} , {1,3} , {1,2,3}　}というのを考える。

このとき{1,2}はAの部分集合だがΘに属してない、
という類の話だと思われ。

>>452
Θってのは集合族
U_a={x∈R | a<x}
Θ={U_a | a∈R}∪{φ,R}
というふうに定義されてるだろ？

＞開区間（a,b)はΘに属さない
これは (a,b)∈Θ とならないということ

位相空間というのは単なる集合ではなく
そこに"位相構造"を含んだものとして認識される。
"位相構造"というのは、"開集合"がどう定義されているかということ

例えばX={0,1}という集合を考えただけではXは位相空間とは呼べない
ここに位相構造を入れるというのは
Xの部分集合族を定義5.1の性質を満たすように定めるということ。
ここで注意したいのはXの部分集合族で5.1の性質を満たすものは
一つではないという事
たとえばΘ_1={φ,X} Θ_2={φ,{0},{1},X} としたとき
Θ_1,Θ_2は5.1の性質を満たす。
そこで、位相空間を指定する時は(X,Θ_1) (X.Θ_2) などのように
全空間(X)と共に"位相構造"="開集合族"(Θ)を指定しなくてはならない。

というかマルチ氏ね

おおわかりやすい
ありがとうござます

志村多様体は22世紀の中心になるだろう。

東村山多様体

Lie群の入門書って松島の多様体でいいんでしょうか？
一応，松本幸夫の多様体はやりますた

松島読むのは，まだ早い？？

>>454
やさしいやつだ。

a

ドカルモ

３次元空間の曲線Ｆが曲面の方程式ｆ１、ｆ２の共通部分として定義されているとします。
ある点でＦの接ベクトルが０という条件は、ｆ１とｆ２を用いて書くとどのような条件になりますか？
簡単な考え方とあわせて教えてもらえたらうれしいです。

>>462
大雑把に言うと、曲面が接するということだが、
正確に言うと、簡単にはかけない。

>>459
俺も優しい奴だと思った。
マルチ氏ねというのを読んで、それまでの書きこみに愛を感じた。

797

203

Abel Prize は Lax
http://www.abelprisen.no/en/prisvinnere/

数学の最先端　21世紀への挑戦
数学と数値計算 ・・・・・ P. ラックス
http://www.springer-tokyo.co.jp/math_ed/webLax.html

【数学界】 ピーター D. ラックス 【の巨人】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908

435

BlackLightOfStarBlackLightOfStar

Re:>470 私を呼んだか？

>>471
誰も呼んでないから帰りなさい

Re:>472 お前誰だよ？

825

BlackLightOfStarBlackLightOfStar

俺が松島与三に手を出したらｻﾎﾟｰﾄしてくれる人はいまつか？

松島与三程度にｻﾎﾟｰﾄがいるようなら素人

Re:>475 私を呼んだか？

多様体を日常に応用できる人はいないのかねぇ。

>>477
それでは
数学科の約9割は素人なんですねw

Re:>478 お前誰だよ？

Re:>481 私こそ私の理想になれる人。

素数です。

大学三年生からペレルマンの良き理解者まで
戯れるスレにはならないんですか？

なぜ[0,1]は境界のある多様体でその境界は{0,1}であるかわかりません。

>>485
ええ？{0,1}というのは閉区間[0,1]の両端の0と1という意味ですよ。

多様体の定義を読むとＲ＾ｎの開集合と同相な近傍を持つとある。Ｒ+^nの開集合と同相な近傍を持つのが境界とあるがＲ＾ｎの開集合から[0,1]の近傍への同相写像が存在することがわかりません。またＲ+^nの開集合から{0,1}の近傍への同相写像が存在することがわかりません。

>>487

R+ = R+^1 = [0,∞) 〜 [0,1) 〜 [0,ε)：ここで 〜 は同相を表す。0<ε<1
[0,1] における点 {０} の近傍は [0,ε) の形で表される。

松島与三ｲｲﾖｲｲﾖー

[0,∞) 〜 [0,1) 〜 [0,ε)：ここで 〜 は同相を表す。0<ε<1
ここで同相というのがわかりません。同相ならば同相写像があるはずですが、同相写像が何かわかりません。

>>490
同相写像とは、全単射であってその写像及び逆写像がともに連続であるような写像です。

二番目は一次関数．
最初の方はたとえばtan xとか
1/(1-x)とか．

>>492
tanx では [0,π/2)〜[0,∞) だし 1/(1-x) では [0,1)〜[1,∞) だろう。変なこと書くな。
x/(1+x) , εx

まあ本質的には間違ってないような

ほんとに開かないね。昨日俺はdownloadしたけど。

http://www.springerlink.com/app/home/contribution.asp?wasp=0c0d0fedb0e741eba62cea67cacfdd9d&referrer=parent&backto=searcharticlesresults,1,1;

ここでうまくいった。

>>489
松島与三
　↓
ttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Matsushima.html

YOZO難しいYO

yoｿﾞｳ(ﾟдﾟ)ｵﾓｽｨﾚー！

　　／ノヽ　　､､　　ヽ)　( ノ　　　　　ヽ　　　　　
　 |::::: ) (　　　て○ ）` ｿ' 、/~○ノ　 ::| 　　
　|:::::: 　　　　　　／'　.::::::. ` ＼　　 ::::::|
　|::::　　　 　　／　　/￣￣ヽ　　　　::::::|
　|:::::　　　 　　 　| 　|||!|||i|||!| |　　　::::::|　
　|:::::::.　　 　　　|　:| |ll ll !! !.| |　　　::::|　＜500なら全員超モテモテ！！
　　＼:::::　　 　　|　:|!! || ll|| !!:| |　　　ノ　　
　　　 ＼::::..　　　|　| ! 　　　　| l　　　　　＼＼
／／　　　 　　　　 `ー--― 'ノ　　　　　　　＼＼

　　 ／￣￣￣￣￣ ミ
　 /　　 ,――――-ミ
　/　　／　 ／　　 ＼ |
　|　 /　　　,（･）　（･） |
　 (6　　　　　　 つ　　|
　 |　　　　　　＿＿_　 |　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 | 　　　　 /＿＿/ ／　 ＜　なわけねぇだろ！
／|　　　　　　　　 ／＼　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

ファイバーバンドルについて勉強しようと思い本を読みましたが
それ以前にファイバーの意味がいまいち理解できません。
どなたかファイバーが何を意味しているのか分かりやすく説明してください。

繊維

ファイバーの定義から繊維をイメージするには？

>>504

直積についてはどう理解しているのか？

ファイバーって層の理論でいう茎stalkのことだろ？

関連するが、異なる。

自分で具体例を持って来い
まずそれからだ。

多様体にしても定義だけで理解は無理

多様体の本を２年前に買ったが何も分らず・・・

位相何たらがわけわかめ

>>504
ファイバーバンドルの一番簡単なものは直積だ。
例えば、I = [0, 1] として I×I を考える。
p: I×I → I を 射影 p(x, y) = x とする。
x ∈ I にたいして p^(-1)(x) = I×{x} が x のファイバー
だ。つまりヒゲのようなもの。I×I はヒゲ(ファイバー)の
集まりだからファイバーバンドルという。バンドルとは
束(たば)と言う意味。I×I はこの場合、櫛と言うか
薄いブラシみたいなイメージを描けばいい。
もうちょっとファイバーバンドルらしい例ならメビウスの
帯を考えればいい。これは、やわらかいブラシを捻ったもの
と見れる。

訂正
>x ∈ I にたいして p^(-1)(x) = I×{x} が

x ∈ I にたいして p^(-1)(x) = {x}×I が

>>509
位相わからなかったら手つけようがないでしょｗ

多様体の理論って数学の中で応用されてるの？
どうも、独立した分野で、完結してしまっている予感がするんだけど、
今盛んな研究ってされてる？

>>512
ヒント：3次元＆4次元

>>521
宇宙はカラビ・ヤウ多様体だそうです

間違えた
>>512
宇宙はカラビ・ヤウ多様体だそうです

>>513
ん？それはポアンカレとかの話？たしか3次元だけ未解決なんだよな。
俺には手の届かない話だ

>>515
ググってみました、ﾜｹﾜｶﾗﾅｽｗｗｗｗｗｗｗ

ﾆ-‐'' ／／　ヾｿ　､　!ヽ　 `ヽ ヽ
_／,.ｲ /　/ミ;j〃ﾞ〉 }�U ｝ ハ ヽ､}
..ノ /ﾊ　 〔　　 ∠ノ乂 ｛ヽ　ヾ丶ヽ　 　 ヽ
　ノﾉ　.>､_＼　{ j∠=, }、 l ＼ヽヽ ',　　_ノ
ｰ-=ﾆ二ﾆ=一`'´__,.ｲ<::ヽリ　j　`､ ）　＼　　　布施くん ッ！
{¨丶､＿__,. イ　|{.　 |::::ヽ（　{　〈　（　 　　〉
'|　　| 　 　 　　小,　|:::::::|:::l＼i　',　ｌ　　 く　　君の意見を聞こうッ！
_| 　｜　 　　`ヾ:ﾌ　|::::::::|:::|　 }　}　|　　　）
､|　　| 　　 ∠ﾆﾆ}　|:::::::::|/　/　/ /　　／-‐-､
トl、　ｌ 　　{⌒ヽr{　|:::::::::|,／／／　　　　　　　 ＼／⌒＼/⌒丶/´￣`
::＼丶、 　 ヾ二ｿ　|:::::::/∠-''´
/＼＼.丶、 ｀''''''′!:::::::ﾚ〈

>>516
ヒント：Seiberg-Witten

>>517
俺は結婚するなら倉木麻衣みたいな人がいい

>>518
ググってみた、ﾜｹﾜｶﾗﾅｽｗｗｗ
なんか中島啓氏のノートの走り書きみたいなのあったけど意味わかんねぇ

俺の知ってる多様体の話って、松本「多様体の基礎」ぐらいのしかわからん

森田茂之 微分形式の幾何学ってどうでしょう？むずかし目の本ですか？

チミの能力次第

記述がやさし目でわかりやすい方だと思うよ。

http://string.howard.edu/~tristan/Research/CYVars.htm

550

【ついに立つ】上野健爾スレッド【親玉・本丸】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117714255

上野健爾はもうあぼーんに登録しとくべきだな。

[理論物理学のための幾何学とトポロジーI]という本の例5.17(p.175)に
「SO(3)の元g,g'がSO(3)/H (Hは平面上の回転の集合)の同じ同値類に属する
（即ち g'=gh (h はHの元））ならgとg'は共通軸周りの回転になる」
とありましたが、なぜそうなるかわかりません。試しに
h：z軸周りの90度回転,g:x軸周りの90度回転, g'=gh
で図を描いてみると、合成の結果ghは明らかにy軸周り270度回転になりx軸周りの回転になりません。
私はどこで勘違いしているのでしょうか。それとも本が間違っているのでしょうか。

age

本が違っている。

多様体のDVDが出たようです
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/B0007MCIWY/qid=1119662766/sr=8-4/ref=sr_8_xs_ap_i4_xgl74/249-5665801-1676328

>>26
その考え方でよい。
複素構造のC^0級変形もその思想で考えられている。

>>532
複素構造のC^0級変形の文献ぎぼん

崩れ博士・PD PART3【コネの造りしもの】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120573848/

Aubin-Yauの定理のlocal variantってないんですか？

local analugy?

積多様体の証明教えて下さい。
Ｍをｍ次元Ｃｒ級多様体、Ｎをｎ次元Ｃｒ級多様体とした場合、
積多様体Ｍ×Ｎは（ｍ＋ｎ）次元Ｃｒ級多様体である。

なんで？

(x1,x2,…,xn)×(y1,y2,…,ym)=(z1,z2,…,z{n+m})だから

>>538
r = 0 の場合はそうはいかないな

age

>>15の問題って結局答えはどうなるんでしょう、、
>>40って間違いですよね
反例となる位相空間の分離できない二点p、qがあれば

・pを含む如何なる座標近傍(U,φ)とqを含む如何なる座標近傍(V,ψ)も交わる
・ψφ^(-1)|U∩VはU∪V∈R全体には拡張できない

ということはすぐ分かるんですけど、、

>>541
X=(-∞,0)U(0,∞)U{0'}U{0"} にii)をみたしi)を満たさない位相を入れてみてください。

助言ありがとうございますｗ
また考えてみますｗ

理解しました
旧帝大の先生はやはりすごいですね、、

>>544
お前が馬鹿なだけ

>>545
／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 |
　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 |
　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 |
　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　|
　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　|
　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ
　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi
　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､
　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､

多様体の基礎　（東京大学出版）
この本は分かり易いですか？

>528
Hは平面上の回転の集合とは　同一平面上って意味でしょ？

>h：z軸周りの90度回転,g:x軸周りの90度回転, g'=gh

では、あきらかに同一平面上でないじゃん

>>547
然り

多様体の基礎（松本幸夫著）
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama//kikagaku1/mani1.pdf
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/kikagaku1/mani21.pdf
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/kikagaku1/mani22.pdf

>>545
いや，この例を自力で思いつくやつはすごい。>>544みたいな疑問は持って
当然。

俺はlong line を自力で思いついたぜ。
ついでに言うと、二次元連結位相様体の同相類は非可算。

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
これを見た人は確実に【不合格】になります。どこかに３回コピペすれば回避できます。
これは本当です。やらないと一年無駄になります.

（体験者の話）
私も最初は嘘だと思ったんですが、一応コピペ３回しました。それでセンターで
私大に合格出来ました。 けどコピペしなかった友達がA判定だったのに、
落ちたんです。(慶應義塾大合格h.sさん)

俺はもうE判定で記念受験のつもりだったんだけど、コピペ10回くらいした途端に
過去問が スラスラ解けるようになって、
なんと早稲田に受かりました。(早稲田大３学部合格r.kくん)

No.918 2005/01/25(Tue) 20:06
hcou122122.catv.ppp.infoweb.ne.jp

お願いします。

>>552
long lineって何のこと？

ググッたのか馬鹿

>>541の香具師が｢long line｣？
代数幾何の教科書で｢２重化された原点｣って呼び名は聞いたことあるけど。

>>556
一行目 No
二行目 これでない？
http://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology)
long lineでぐぐってでるとは思わなかったが

>>551 >>552
オレもその例は、学部の頃自力で思い付いた記憶がある。
gaga 先生は学生をおだてるのがうまいですね。

>>557
thx。まだ全部よんでないんだけどちびりちびりとよんでみまつ。
ハズカシながら小生は最初多様体のハウスドルフ性について>>543みたいな
疑問をもてなかった。代数幾何の教科書に載ってた例見てはじめて気がついた。
もっとゆっくり勉強しなくては。

多様体の講義で単位とるには
ストークスの定理と陰関数の定理は必須

　　　　　　　　　　　ﾏﾎｶﾝﾀﾏｷﾝ！
　　　　　　　　　ヽ＼　　/／
　　　　　　　　　　 　 ,､_,､　　　　　　　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　ﾟ 　(ﾟjｺﾟ)っ

【効果】ｽﾚ内の呪いﾚｽの効果を無効にすると同時に
　　　　呪いﾚｽの効果をﾚｽした本人に跳ね返す高等ﾚｽ

【注意】童貞にはこのﾚｽは使えない

【追加効果】ｺﾋﾟﾍﾟするときにﾒｰﾙ欄にﾇﾙﾎﾟと書くと「ｶﾞｯ」されない限り幸福が訪れる

多様体は微分積分分からないとつまずく

ωがゼロでない微分形式のとき、ある特異チェイン c が存在して∫_c ω ≠ 0
ってなりたちますか？

age

ωがゼロでない微分形式のとき、ある特異チェイン c が存在して∫_c ω ≠ 0
ってなりたちますか？


Stokes no theorem!!

>>565
レスありがとうございます。
∀c ∫_∂c ω = 0 ⇒ dω = 0
は自明なんでしょうか？

自明

>>566
お前さんに分からんかったら君は自明といっちゃ駄目だよ

お前さんに分からんかったら君は自明といっちゃ駄目だよ

YES!!!

>>550って微妙にせこくないか？
いっそのこと教科書指定にしちゃえばいいのに

確かに纏まってなくて読みにくいけどさ

183

king氏ね。

talk:>>572 お前に何が分かるというのか？

kingの中の人って下がりまくりのスレにも一時間強で反応するんだ。
すげぇな。

専用ブラウザ使ってるんでしょ

>>565
ストークスとは無関係に正しい。

【かっこ悪い】建部崩れ、見参！【情けないｗ】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594
【夢vs】結果を出せば職はある？ｗ【現実】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134888899
【事実】研究しても、ポスト無し！【愕然】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134089493
関連：【建部 】斎藤毅先生【Invent】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220

　　　　／￣￣￣￣＼ 　　　２７歳で日本数学会は下らないと悟った。
　　　（　　人＿＿＿＿） 　　３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。
　　　 |ミ/　　ー◎-◎-） 　　３３歳で下らない建部賞を贈られた。
　　　（６　　　　　(_　_)　） 　　３６歳でアカポスを諦めた。
　　＿_|　∴　ノ　　３　 ﾉ　　　 ３９歳で自分自身を諦めた。
　（＿_/＼＿＿＿＿_ノ 　　　　 だから愚痴はかみ殺してた。
　/　（ 　　))　　　　　 ))）　　　「アカポスはコネ」が口癖。
[]＿__.|　｜ラブひな命 ヽ 　　　自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。
｜[]　.|＿|＿＿>>1＿＿＿） 　　　言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、
　＼_（＿_）三三三[□]三）　　　　ずっとかみ殺してた。
　　／（＿）＼:::::::::::::::::::::::|　　　　　　でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。
　｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 　　　　　　「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」
　（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/
　　　　　（＿＿＿[）＿[） 　　　　　　　　本当に心の底から笑えた…。

>>576
ストークスの定理ってどんなんだっけ。

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

会心の一撃Math Annなので，神棚に飾らなくてはならない．

会心の一撃Math Annなので，神棚に飾らなくてはならない．

会心の一撃Math Annなので，神棚に飾らなくてはならない．

年末一斉削除よろ

>>579
グリーンの定理に毛を生やしたもの。

>>584
グリーンの定理はストークスの定理から毛を抜いた物か

今年の建部崩れの主要な受賞業績の一つは
既に2003年に刊行されているから、成果に
無関係に退場命令が出た例だ。まあ、彼の
場合は風営法違反で排除勧告が出たのかも
しれん。ヘルスの行き杉には気を付けよう

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128350775/451-460

もう見飽きた

age

某大学のホムペで多様体の基礎の丸写しPDFを見つけた。

>>589
印刷出来るのか？

age

>>590
できます。　　>>550

>>589
でも今は見れなくなってるよ

金具市ね！金具市ね！金具市ね！金具市ね！金具市ね！

talk:>>594 お前に何が分かるというのか？

>>594
view 出来たよ。24p, 25p, 47p. 保存しておいた。

著作権違法

誰が？某大学の人？

でも数学の定理（ってか理論構成？）って著作権が成立するか微妙なとこだと思うなあ

著作権法の対象は定理でもなく理論構成でもなく基本的には文字列だよ

600

多様体の基礎
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/2003nen/mani1.pdf
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/2003nen/mani2.pdf
http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/2003nen/mani3.pdf

松本氏の著作権違反はどこの大学？

>>601
ちゃんと律儀に定義とか定理の番号だけは変えてるんだな。

多様体の基礎の最後らへんに、
松島本を読んだら研究者の知識に近い、
という文章が書いてあったけど、
この研究者っていうのはどれくらいのことを言うんでしょう？
大学院マスターくらいの研究者の卵みたいなのをいうのか、
それとも助手なれるくらいのレベルをいうんでしょうか？

age

教育学部四年男です．春休み中に，多様体の基礎（松本幸夫著，東京大学出版会）を読破することに決めました！

１年かかってでも、じっくり読んで理解する方が良いと思うのは、
私だけだろうか。

>>601
松本が著作権違反したんじゃないと思われ

>>606
でもあの本は非常に親切というか、当たり前のことをクドクドと
五月蠅い本だから、そうとも言えないでしょう
松島とかだったら一年かけるのが正しいかもしれないけど

６０１の著作権違反はKINGの仕業か？？？

talk:>>608 知らねーよ。

　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　([[[[[)<
([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<

　　　([[[[[)<　　おおっとここでダンゴムシの大群が！　　([[[[[)<

　　　　　　　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　　　　([[[[[)<
([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<

　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　([[[[[)<
([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<

　　　([[[[[)<　　おおっとここでダンゴムシの大群が！　　([[[[[)<

　　　　　　　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<
　　　　　　　　　　　([[[[[)<
([[[[[)<　　　　　　　　　　　　　([[[[[)<

kudarane!!!!!!

>>606
毎日その本の前に８時間座る覚悟を決めたということでしょう。
それができれば２週間で読めますよ。

>>612
ほんとですかw

私の経験ではある専門書を１冊読み切るのに毎日正味８時間、
ノートしながら１週間を要しました。あまり繰り返したくない経験ですが。
その間周囲にかなり迷惑を書けましたから。

>>613-614
本の内容を理解したいだけと思うなら1ページあたり30分から1時間くらいって
ペースで読めると思う。
別に証明は完璧に覚えてる必要は無い気もする。
自分で具体例を探すとなると、ものすごく大変だと思うけど。

>>615
「理解したと思うだけなら」では？

「多様体の基礎」だから数学科ならさほど読むのに時間はかからないと思うけどね
教育学部でも困難なしに読めるはず

この本を何度も繰り返し読むよりも、一度読んだら他の本に挑戦するのがいいと思うけどね

193

age

age

多様体の基礎をお持ちの方いらっしゃいましたら、教えていただけませんか。

P147、CP_mの任意の〜〜〜S^1と位相同型である
というくだりのところなんですが、これはいったい何が同型写像なのですか？
λ∈S^1に何を対応させてるのでしょうか。

まだそこまで読んでないや
一章でめんどくさくなって停まってるｗｗｗ

>>622
ちょｗｗおまｗｗｗ
せめて多様体の定義まではたどり着けよｗｗｗｗ

微分可能多様体の定義あたりまでは読んだな
で、なんか文章が煩雑すぎて読む気がしなくなった

中途半端な印象があるね。多様体の基礎って。
微分形式のあたりから特に。
多様体入門とかのほうがいいと思う。
難しいけど

age

文句があるってことはそれだけ新しく本を書く価値があるってことだが
多様体の話って一回理解すると厳密に座標変換の関数と座標を区別しながら
書いたりするのって面倒に感じるから書く人があんまりでてこないように思う。

age

どなたか教えてくだされ・・・

>>629
何を？

>>621じゃないの？

>>629
おれは以下のように脳内処理したが間違ってたらスマン

CP_m の任意の元 p は π が全射なので p=π(z) となる z が
存在するので p=[z] とおく。

[z] の逆像 π^(-1)([z]) の任意の元 w は π の定義により w=λz
と表示できる。また、π^(-1)([z]) から ｛λ∈C | |λ| = 1 } への
写像 f : λ=f(λz) を考えれば、これは明らかに同相写像(p30)。

｛λ∈C | |λ| = 1 } から S^1 への同相写像が存在するのは
図 11.15 を見れば明らか。

よって π^(-1)(p) と S^1 は位相同形。

>>632
なるほど、とても助かります。こういうことですね。

πの全射性より、
　　p＝π(z)
なるzが存在する。
集合π^(-1)(p)＝π^(-1)(π(z))を考える。
任意のw∈π^(-1)(π(z))に対して、
　　w＝λz
なる|λ|＝1が存在する。（一意？？）
wにこのλを対応させる写像fはπ^(-1)(p)から｛λ∈C | |λ| = 1 } への同型。

って感じでしょうか。同型写像であることの証明はまだしていません

age

age

6=√(36)

age

ageんなよ

中川さん
数学得意ですか？

苦手に決まって居ろうが

ならここ来るな
氏ね

だから勉強しようとしてるんだよ

馬鹿はコテをつけるな

>>641 何故切れている？　あなたは数学は得意なんですか？

>>643 自分の存在を主張するためには固定ハンドルでないとだめだ。

必要性は？

>>646 誰だかわかりやすいではないか？

>>643
私が法科・文科・理科・数学を修めれば
君たちは私の足下にも及ばなくなる。

>>64
私が玉・弾・球・珠・多摩・魂・田間・霊を納めれば
君たちは私の足下にも及ばなくなる。

とりあえずスレ違いな話する奴は出て行ってくれ

中川、多様体の基礎読めるの？

読めない。
読めるわけがない。

中川、位相空間わかる？

わから　(　れ　)　へん。

わかれられへん

>>654-655 紛らわしい名前だな。

紛らわしいのは前だ

>>657 前田さんって誰だよ？

。　　。ﾟ　。　。　。ﾟ.。
　　　彡川川三三三ミ〜　プウゥ〜ン
　。 川｜川／ﾟ∴ﾟ＼ b〜　ポワ〜ン　＿＿＿＿＿＿＿＿
　。‖｜‖.ﾟ◎---◎ﾟ｜〜 ﾟ・　　　 ／
　　川川‖∵∴ﾟ｡3∵ﾟヽ〜　　　 ＜ 　お前に何が分かるというのか？
　　川川∴ﾟ∵∴）д（∴）〜　　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　。川川∵∴ﾟ∵∴〜・%〜｡　カタカタカタ
　　川川‖∵∴ﾟ〜∵/‖｡ ＿＿＿＿＿_
　 川川川川∴∵∴‰｡U ﾟ |　　|￣￣＼　＼
　U　〆∵ﾟ‥｡ ﾟoﾟ o＼＿＿|　　|　　　　|￣￣|
　　　/　　＼数学男 _ 　　 |　　|　　　　|＿＿|
　　　|　＼＿＿＿＿　|つ　|＿_|＿＿／　／
　　 /　　　　　　　　　|￣￣￣￣|　　〔￣￣〕
　　　↑king

＞＞６５９は私　？

>>660
お前、こんなにかっこよくないだろ。

このブツブツは　にきび　？

talk:>>659 お前に何が分かるというのか？
talk:>>660 知らねーよ。

　　↓中川秀泰　　　　　↓king
　　　　　　　　　　　　 ,,----、,,,,,,,,,､､
　 ;''　"''―-､γ　　 / ,,-‐―、ヽヽヽヽ 　　　　　
　 |　　　　　 ヽυ　〔/　 　 　））））ヾヽヽ 　
　ヽ　　　　.,,,,､､）　 /.,,,,、､　,ヽξ＼Ξ/　. 　
　Ν　　　　-== ＼/ ==/　 .,==- 　 レi!　
　(6ヽ...........''''' ） (´ ）,(_,､ﾉ（ "",,ﾉ:: 6） 　　／￣￣￣￣￣￣￣
　|::::::::::::::::::::::::::::::::::３ε 　＾ﾝ ...::::: |/ 　　＜　 じゅるじゅる・・・
/ 〔::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ::::. .::.. ::...::::::/ λ 　　　＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　　::::::::::::::::::::::::::）::::::::::::::／/ .　λ
　　　　　　　＿＿ノ　￣|￣　　　 　　/~~￣⌒＼

talk:>>664 そのまま眠って悪い夢でも見てろ。

>>665きんぐきんもーす★。　そんな趣味あったんだな！！

talk:>>666 お前に何が分かるというのか？

>>667ほんとびっくりしたよ。う◆このあとはゲイか。

talk:>>668 お前に何が分かるというのか？

>>669マジきんもーす★。

　　　／) 　／) 
　　/ 　⌒　 ヽ　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 
　 | ●_　●　 |　＜　talk:>>669 お前誰だよ？
　(〇 〜　 〇 |　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 
　/　　　　　　 | 
　|　　　　 |_/　| 

talk:>>670-671 お前に何が分かるというのか？

>>671そのＡＡはなんだよ？　新手のアンテナかよ?
>>672そのままリバーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーす。

talk:>>673 お前に何が分かるというのか？

>>674其のままジャイアントリブァァァァァスッ!！

talk:>>675 お前に何が分かるというのか？

あ〜あ。king女の子泣かした。かわいそ。

　　　　　　　　　　　 _ ...　_
　　　　　　　　 ,.　´　　　　 ｀ 丶、
　　　　　 　 ／　　　　　　 ヽ､　ヽゝ　 ｡
　　　 　 　 ,　　 　 　 |ヽ 　 j__ ､　ヽ　　　 ｡
　　　　　／!　　 　l　 jr' ヽ/　,ﾆ,!　ﾉ ﾟ
　 　 　 /　j､:..ｉ　　ﾚ'「　_　　'´　 }/　　　°　｡
　　　　 ヽ/　!.!:::.　! ／　／￣｀! .ﾉ　　　｡　　　　｡
　。 　° 'ｰ-| :::::r'`_　 ｛　　　,ﾉく
.　　 　 　｡ ﾟ j .:::::ゝ-<ゝ.｀二フヽ. i
.　　°　 　 /.: .:::/ 　 }ヽ｀　 ′〉.} !
　°　　 　/　.:::::|　　,」,,L..-/7ﾊ>|.|
. 　 　 　 /　.:::::::j　 /{.　　　L|」ヽ」 ＼r‐fL
　　　 　 !　.:::::::::!　 j ゝ‐t-f‐' ￣ |.､　｀　/_
　　　 　 l :.::::::::/　/ /､　　　　　　｀ヾゝ-‐'´
　　　　 ､ゝ .:::/　/ノ　　　､　　　 j　　＼ヽ,　　　　　　　　　__
　　 　 '´ﾆ'￣'　/r'7　　 　 丶 ..::ﾉ:.　　　ゝﾆヽ　　　　　 ／__二ゝ‐-､
　　　 　 ゞ-､ ,//　|!　　　　　ﾞ ::､::::i:.　　　_,､} 〕　　　／ヽ､,＿（（)　 _,）
　　 　 　 　 ´ { {.　'′　　　　　　｀::'::::._rﾒ-ｰ<　　／　　／　　￣￣
　　　　　　　　ゝゝ ､　　　　　,_､,r=ﾐ-'ﾉ、　　 ｀ ´ 　 ／
　　　　　　　　 {_ヽ__`　　　 _),ﾉ　 　 ＼ ｀ - ._ 　 ／
　　　　　　　　　｀`ヽゝ=_,ノv'　 ヽ　　　}　　　 ￣
　　　　　　　　　　　 ￣ 　 　 　 /　　 /

ゆんゆん
　　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　／　　　　　　　＼
　　　　/　　　　　　　　　　＼
　　　/　/＠W∧WーVV　　＼ 　　　
　　/　 /┌─┐　┌─┐V│　　
　　| Ｃ/'┤¬├-.┤¬├）ミ　　　＜私は美人よ
　　ミ |U└─( 。。 ）─┘|V　　　
　（X）|U　∴　　　　　∴　/（X）
　（X）＼　　　　Д 　　　丿（X）＿＿＿＿
　（X）　　ー────'　　　|　　|￣￣＼　＼
　　　／　　　＼／　＼＿＿|　　|　　 　|￣￣|
　　/　　＼＿＿＿　　　 　 |　 　|　　 　|＿＿|
　　|　＼　　　　　　|つ　　　|＿ _|＿＿／　／
　 /　 　　￣￣　　|￣￣￣￣|　　〔￣￣〕
　｜　 　　　　　|￣

talk:>>677 お前に何が分かるというのか？

kingのレス率は９９％

　　　　　　　　　　　　　　ｌ iｌ i i i iiｌ
　　　　　　　　　　　　　　ｌ iiiｌ i i i ｌ　
　　　　　　　　 　　　　　~ ~~i ~i~
　　　　　　　　　　　　　　　｛＼　　　 　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 .,iﾄ .ﾞﾐ
　　　　　　　　　　　 ._,,yr!″　 《yyy
　　　　　　　　　　 ,メ″　　　 .｛l厂　 ´ﾞ)z
　　　　　　　　　　.l|　　　　　 l厂　　　　 ﾞlly_
　　　　　　　　 .,ノﾐly　　　　　　　　　 　,メﾞﾞ＼.
　　　　　　　　,i「　 .ﾞ＼u,,,,,,__　 .___,,,yr!″　　.＼
　　　　　　　　《　　　　　　⌒ﾞﾞ¨⌒′　　　　　il|､　　
　　　　　　　ノ'＼　　　　　　　　　　　　 　　 _yl¨ﾞ《ノ
　　　　　　i|′ .ﾞ＼u_　　　　　　　　　 _,yr厂　　ﾞlli|′ ボトン！！！
　　　　　　li,　　　　.ﾞﾞ^冖¬─ｰ¬冖ﾞ¨′　　　.メli,
　　　　　　.＼,_　　　　　　　　　　　　　 　　　 ,zl「　 .
　　　　　　　　ﾞﾞ＼u,,_　　　　　　　　　 .__,,yrll^″　　　
　　　　　　　_,,..--――--,,..
　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　 　,i ::　　　　　　　　　　　　　　 i
　　　,r':::　　　　　　　　　　　　　　　| ←　ｋｉｎｇ
　　 〈r"::ヽ ´ i''~""''ヽ`､;;;:::::　　　　|
　　 ,};:　ノ　　ヽ､　　/　ヾ､;;:　　　ヾi |::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::　　∞〜　ﾌﾟｰﾝ
　　 i'` i"ヽ　ﾞ;;,` ﾞ'''"　　　 ﾞ-'"　　 /
　　 `) ir,_ ,i　　;;::..　　_,,..-ー-'ﾂ　/　 ∞〜　ﾌﾟｰﾝ
　 　 〉,_,_,､,､_, _　 ｲ'" 　 /ｰ- ゝ'"　／
　 　 `i.j.j,j,j,ttﾞi,jｲj::ﾉ　 ,.i'　　　　
　 　 　,ﾄr,r,r,ｒｒtf,ｿ　　 j’　　∞〜　ﾌﾟｰﾝ 　　　　
　 　　 }ﾞ '"`'" 　　_,,..-"　　　　　　　　
　 　　 ｀-ー--''" 　　　　　　　　　　

talk:>>680-681 何考えてんだよ？

TamaKing元気？

(　　 ﾟ)ム
(　 ﾟд)シ
(　ﾟдﾟ)k
( ﾟдﾟ )i
(ﾟдﾟ　)n
(дﾟ 　)g
(ﾟ　　 )氏
(　　　)ね

　　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

>>683びみょーだ。

　　　　　　　　　＿＿
　　　　　　 , -'", -‐;　　 ﾞ '' - 、
　　　　　／　, '　／ 　 　, 、 、 ヽ.
　　　　/ ,　 '　/　/i　　 /l lヽ ヽ　ヽ
.　　　/ /　　/　/ ;1　 / .l l l .lﾞl lﾞi　ﾞi
.　　 ,! /　　/　/-+}､ /　// ! l l ! !　.i
　　 i ,! l.　i;' ,/ / ;' ,/ﾞ　//　 -!､!　!　l
　　iﾞ l　l　l;',k-t;ｖ_ﾒ.　 // 　 _　i` ! !.i　　　
　　i　r'ﾞ!　iｲ::ii:::l ` 　　/　 ,rtﾐﾉ .i i ,!
　　ﾞi l、 ! l lﾞ−'ﾞ　　　　　iﾞ:ii:l .ﾞ! i i iﾞ
　　 l l`i't l l : :　　　　　　`‐'ﾞ　/l i/
　　 i/ l l! N、　　 　 " 　 　: ://!/i 　　　　　　　ゆんゆんです。
　　/i/l lAl,i-ﾞゝ､_`ー'__,,....､r'ﾞ//ｲ!
.　/ｲ! ﾉ'"'i::ト、~`ﾞﾐZ`ヽ i /l lﾞ,〃ll
.〃 l./ﾞ`' ‐､i:::::ﾞヽ､_￣ﾉX_l/i l/.　l!
.l!　 !l　　　 ヽ::::::::::（　）::::`i､l l 　 ヽ
.l　 i l! 　　　 l::::::::::::`":::::::::!ﾞﾚl!　 　ヽ
　 /ｲ:ﾞi　　 　 i:::::::::::::::::::::::::l ﾞ､! 　　　ヽ
　/lﾞﾞi::::i,　　　 ﾞi;::::::::::i'`rt::::i　ヽ

　　　　　　　　 　　　　　~ ~~i ~i~
　　　　　　　　　　　　　　　｛＼　　　 　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 .,iﾄ .ﾞﾐ
　　　　　　　　　　　 ._,,yr!″　 《yyy
　　　　　　　　　　 ,メ″　　　 .｛l厂　 ´ﾞ)z
　　　　　　　　　　.l|　　　　　 l厂　　　　 ﾞlly_
　　　　　　　　 .,ノﾐly　　　　　　　　　 　,メﾞﾞ＼.
　　　　　　　　,i「　 .ﾞ＼u,,,,,,__　 .___,,,yr!″　　.＼
　　　　　　　　《　　　　　　⌒ﾞﾞ¨⌒′　　　　　il|､　　
　　　　　　　ノ'＼　　　　　　　　　　　　 　　 _yl¨ﾞ《ノ
　　　　　　i|′ .ﾞ＼u 　　／ーーー＼　　　 _,yr厂　　ﾞlli|′ ボトン！！！
　　　　　　li,　　　　.ﾞﾞ^冖¬─ｰ¬冖ﾞ¨′　　　.メli,
　　　　　　.＼,_　　　　　ｌo o o o l　　　 　　　 ,zl「　 .
　　　　　　　　ﾞﾞ＼u,,_　 ｌo o o o l　　　 .__,,yrll^″　　　
----------
　　　　　　　　　　　　　　　↑↑↑
　　　　　　　　　　　キングの棲家ブリブリ荘。

>>688よくキング王国の下痢水対空砲火砲より逃げ切れたものだ。

age

talk:>>684-685,>>689 お前に何が分かるというのか？

>>691お前の軍はウンコ・レギュレーションによって構成されたものばかりだ。

talk:>>692 お前に何が分かるというのか？

>>693
？かのういとるか分が何に前お

talk:>>695 お前誰だよ?

talk:>>698 何考えてんだよ？

talk:>>695-697 何考えてんだよ？

talk:>>698 何考えてんだよ？

talk:>>700 何考えてんだよ？

複素幾何の参考書探してるんだけど。
何故かっていうとBarth, Peters, Van de Ven の
Compact Complex Surfaces をamazonで買ったけど、その最初の準備
の章でやたらといろいろな本や論文を参照してるわけ。
例えばHirzebruch とか、Griffiths-Harris とか Milnorのmorse theory、
Grauert-Remmertのなんとかとか。他にもいろいろ。
でそんなのいちいち参照出来ないんで、なんか一冊いいのがあればと。
いや全部それでまかなえるとは思ってないけど。

因みにWellsとHirzebruch、小林は持ってる（だけｗ）。

talk:>>699 お前誰だよ？

>>701

＞例えばHirzebruch とか、Griffiths-Harris とか Milnorのmorse theory、
＞Grauert-Remmertのなんとかとか。他にもいろいろ。

上に挙げた物を既知とすると書いてあるのかい？
この人達の成果を含めて解説しているのが、いま読もうとしている本だろう。

>>703

その最初の準備の章でやたらといろいろな本や論文を参照してるわけ。
つまり、その準備の章でいろいろの既知の結果を述べていて、
その証明は上で挙げた本なり論文を参照せよと書いてあるわけ。

>>704
フツーだろ？
通読してわからなければ基礎やって。
あとネットで調べれば文献目録や公式が引き出せるからまとめやすいだろ。

>705
>フツーだろ？

フツーだとかフツーでないとかはどうでもいいんだけど。
参考書教えてもらえれば。
予備知識の引用文献がハンパじゃないのよ。
だからそれらの結果をある程度（全部とは言わないが）カバー
したものが無いのかなと聞いてるわけ。

>>701
昔上野健爾の修士論文（Hirezebruchが学位論文３つ分あると言ったヤツ）を読もうとして
あまりにもいろんなものを参照しているので投げ出してしまったことがある。
指導教官にどうやったら読めるか尋ねたところ
「読まずにすませることが出来ればいちばんよい」
と言われてしまった。

>>707
学位論文３つ分ってすごいね。そんなに画期的な論文だったのか。

砂田は修士論文３つ？

カラビーヤウ多様体を一夜漬けで学習できる参考書はありませんか？

>>710
Gross-Huybrecht

Gross-Huybrechts-Joyce

>>710
無い

>>710
だから、数学的素養次第では
Gross-Huybrechts-Joyceの本が適当ではないかと言っている

>>671
お前誰だよ

>>710
G-H-Jはいいよ。一度覗いてみたら？

いきなり複素幾何に入るより
多変数関数論のやさしいところを読んで
準備運動しておくとよい
一生準備運動だけやっているような研究者もいるが

多変数関数論は研究分野ではない
スポーツで太極拳がオリンピック種目にならないのと同じ

アホ

>>605
今，俺も多様体の基礎を読んでる。
接ベクトル空間の概念を理解するのに苦しんでるよ・・・
むずかしいよー

接ベクトルは微分演算子だとか言われてもわからんよね

解曲線を微分すると接ベクトルになるから、いっそのこと微分演算子を接ベクトルとする
∂/∂x をつけておくと、座標変換のルールが明白だから、接ベクトルをこう書く
と言われるとまあ、納得するんだけど、
酷い教科書だと、何の説明もなしにいきなり接ベクトル＝演算子だしねぇ。

多様体論ってすごい抽象化されちゃってるから、
形式的定義から出発されて、確かに公式に矛盾はないんだけど、
何でそれが出てきたのかが最初全然分からないこともあるし。

抽象化前の具体例を先に説明してから抽象化してる教科書もちゃんとあるけど。

多様体ってのは、内在的な（外の世界を知らない）形で定義されているから
接ベクトルを微分演算子で定義しているわけ。
多様体を大きい空間に埋め込んでやれば、「接ベクトル空間」はいわゆる
直感的に明らかな「接空間」と対応している。

接ベクトルは曲線を向き（曲線の座標の微分で定義）で分類した同値類ともみなせる。
「微分演算子」よりは幾何学的イメージで捕らえられる。向きが同じ
曲線が同じ同値類に属し、みな同じベクトルを表す。

昨日，ゼミで接ベクトルの定義を発表したよ。
ようやく理解できた気がする…。
早く多様体の基礎を読み終わりたいな。

age

>>726
進捗はいかが？
がんばってますか？

age

　　　　 i^〃￣｀ヽ　,,,,,
　　　　 |l i!ノﾉﾘﾘ）)ﾐ 　ミ 　いけいけkingのチンチン♪たてたてkingのチンチン♪
　 　 ,,,, 川(|!^ヮ＾ﾉﾉ'ｿｿﾞ
　　ミ　.ミヽ'^ Ｙ !´
　　｀ｿｿ＾-'^ｉ,,___,!
　　　　　　く/_i_i,〉
.　　　　　 　 〉〉!
　　 　 　 　 [,_),)

talk:>>731 Mailでチアガールの画像を送ってくれ。

ゆんゆんのチアガール写メだったら神

king多様体の本何冊持ってる？

「king多様体」って、どんな多様体なんだろう？本になっているのか。

talk:>>734 二冊。
talk:>>735 私を呼んだだろう？

　　　　／￣￣￣￣＼　
　　　（　　人＿＿＿__,,）
　　　 |ミ/　　ー(@o@)-）
　　　（６　　　　　(_　_)　）　　　I'm the king of kings.
　　 ノ|/　∴　ノ　　３　ﾉ､
　/ 　 ＼＿＿ /"lヽノ　 ヽ 　　　
/　　　,ｨ -っ　（ ,人） 　　ヽ
|　 ／　､__ う　|　　|　･,.y　 i
| 　　　/　　　 |　 ⊂llll 　　|
￣T￣ 　　　　|　　⊂llll /
　 | 　　 　　 ﾉ　　ﾉ 彡ｲ
　 | 　　ヽ､（__人_）_,ノ　|

talk:>>737 何考えてんだよ？

光速度普遍の原理だけを仮定した場合の線形位相空間は、
幾何学的にどんな形の多様体に近いのですか？

King多様体は微分可能ですか？

talk:>>740 私を呼んでないか？

kingって数学オナニーが得意なの？

talk:>>742 数学オナニーとは何か？1000字以内で説明せよ。

二年。

数学オナニーとは
kingのように
オナニーをしながら数学を考えること。

talk:>>745 何考えてんだよ？

kingのちんちんは微分可能多様体ではない。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 .,/　 _,／　　　　　 .､、　　　　 ...､ヽ,,-、
　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　.,,ﾒ-‐'"　　　　　　 _"',|　　.､､._,ｉ.""│._、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　._,,,／｀,イ―''　　　　　 ,｀",lﾞ､､,,ジ'"｀.`｀`.|ﾞ゛
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .,,,-,i´,―--―''"　　　　　 ､､,!冖'"｀､_､,,,/'ﾟ,,."ﾞl-‐''
　　　 　　 _,,,,,,,,,,,,,、　　　　_,,,,,--''"｀'",/ﾞ　 　 　 　 　 　 、､.',j/′.､,,∠''"｀ .'_ヽ.',ﾞl.._,,、
　　　 ,,-'"ﾞ｀　　　 ｀ﾞﾞ''lｰｲ"｀　　　　 .‐′　　　 _,．.,,／ .ヽ､,i,i´ ｀｀ﾞ’　　 、、シ":"'.「
　　.,,i´　　　　　　　　 ｀'i､＼ ﾞ!，　　　　　 ._,-'"ン'｀ ､､｀_,/`,i´　_,__＿,ﾆ＝'" .'ﾞ、ﾞ".ﾞl,,-'｀
　.,/′　　　　　　　　　　｀'i,＼ ′　　.,,,,-',,,,、.,i´､_:_'_ｖ`"ﾞi､|　　 ｀｀｀｀ ｀　 、_,Ｊィ""ﾞl, _,,,,、
: ,i´　　　　　　　　　　　　　ﾞl. ヽ丶　 .r‐'"､.lﾞ､､:,p=l┴丶 .!,,!　 ｀'"''''''冖''?'''ﾞ~."""'."'/゛　｀
: |,,r　　　　　　　 　 　 　 　 ﾞl, 、　i､､､､:,,_,ｘl!ヴi,、　　　　　 ､､っ,,,,　　　 ､｀',,,,､｀､｀､|、
　 |、　　　　　　　　　　　　､"| .i､ lrr-''"ﾞ,,ﾊ；､-'"ﾞﾞ'''''''"丶ヽ.,,冫｀｀~`"`"~"`｀｀ ｀／ `''''
　 ｀''r,,、 ､　、、 .、丶、.｀｀ヽ,レ"°　　｀｀ .jﾟ'=∠､`｀`｀,,,,,∠　~'ヽ｀｀｀｀｀｀｀､_,r‐'ﾍi､
　　　 ｀ﾞ'ｰi,,_、、、、、: :._,,,r〃　　　　　　　"　　/^ﾟ"'广　 ,/　　.,/ﾞﾞﾞ'''ヶ―''''″　　 ｀
　　　　　　 ｀ﾞ^""""''"'"　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　 ′　 ′　 ."

talk:>>747 私を呼んだだろう？

kingのちんちんに陰関数定理を適用すればいい

talk:>>749 私を呼んだだろう？

king中川多様体は微分可能ですか？

>>751
７回微分可能。
なぜ７回なのかが分かれば学位レベルと言われている。






いまいちだな。

ひどい荒れ方だな

talk:>>751 私を呼んでないか？

kingがking多様体の微分可能性の論文出したらフィールズ賞だ

talk:>>755 私を呼んだだろう？

月火水木king氏ね

talk:>>757 お前に何が分かるというのか？

Kingはオナニーしながら数学のアイデアを生みまくる天才数学者！

talk:>>759 お前は何をしている？

ねむれねー！

双曲多様体って勉強するの大変かな？
微分可能多様体なら少し勉強したんだけど．

よおking
今晩もビニール袋オナニーか？

talk:>>763 何考えてんだよ？

king中川多様体は超難しい

talk:>>765 何だよ？

kingは微分可能多様体でない

talk:>>767 何だよ？

　　　　　　　　ゴガギーン
　　　　　　　　　　　　　ドッカン
　　　　　　　　　ｍ　　　　ドッカン
　　＝＝＝＝＝）　）)　　　　　　　　　☆
　　　　　 ∧_∧ |　|　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　（　　　）|　|＿＿＿＿＿　　　　∧＿∧　　　＜　　おらっ！チンカスking！出てこい！
　　　　　「　⌒￣　|　　　|　　　　||　　　（´Д｀　）　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　|　　　/ ￣　　　|　　　　|/　 　 「 　　　＼
　　　　　|　　　|　|　　　　|　　　　||　　　 ||　　 /＼＼
　　　　　|　　　 | |　　　　|　　　　|　　へ//|　　|　　| |
　　　　　|　　　 | | 　　　ﾛ|ﾛ　　　|／,へ ＼|　　|　 | |
　　　　　|　∧　| |　　　　|　　　　|／　　＼　　/　（　）
　　　　　|　|　|　|〈　　　　|　　　　|　　　　　|　|
　　　　 / /　/ / |　　/ 　|　　　 〈|　　　　　|　|
　　　 / /　 / /　|　　　　|　　　　||　　　　　 |　|
　　　/ /　/ /　=-----=--------　　　　 |　|

talk:>>769 お前に何が分かるというのか？

　　 ﾄ、　, ---- ､
　　 H　/::(/､＾^, :ﾞi
((　(ﾖｂ |::l,,・　 ・,,{:Ｋ〉　))
　　 ＼｀ｌ:ﾄ､(フ_ノ:｣/　　　　＜夢はkingより先にフィールズ賞だ！
　　　　ﾞ、　ヾ〃　/
　　　　 〉 NEVADA|

talk:>>771 何考えてんだよ？

今日のkingはレスが早い

talk:>>773 私を呼んだだろう？

　　　　　　　　　　　,r'　　　　　　ヽ､
　　　　　　　　　　 ,i"　　　　　　　　ヽ､
　　　　　　　　　　i ヽ　　　　　　　　 　ヽ､
　　　　　 　　　　　i ヽ　　　　　　　　　▲ヽ､
　　　　　　　　　　/i 丶　　　 　　 　　　　▼ヽ､
　　　 　 　 　 　 /　 i　i　　　　　　　　　　　　 　ヽ､
.　　 　 　 　 　 /　__ノi i /⌒ｉ　　　　　　　　　　　　ヽ､
　　　　　 　 　 l. 　 `ｉﾉ /　 / |　　　　　　　　　　　　　ヽ,,
　　 　 　 　 　 | 　 ,,,|./ ｀`´.丿｀丶,　　　　　　　　　　　丿
.　　　　　　 　 l.　 　 |｀`'''　/ 　 　　'､　　　　　　　　　ﾉ
　　　　　　　　|　 ,___l　　 　|､.　　　　｀'､　　　　　　ノ
.　　　　　　 　 |　　 ﾉ 　 　 | ｀'､　　　 ,　'"⌒`'"""
　　　　　　　　 |　_/　　　　|` ‐､｀`''"´l
　 　 　 　 　 　 | /　　　　　ヽ-､ _￣`|
　　　　　　　　　| .　　　　　　ヽ::::.｀ ､,|
　　　 　 　 　 　 | :.　　　　　　 |::::　　|
　　 　 　 　 　 　 | :: 　　　　　　|::::　 |
　　　　　　　　　 λ:::　　　　　 ﾉ::　丿
　　　　　　　　　/　　　　　　,　::::::'/
　　　　　　　　/　　　　　　:/:::::::::/
　　　　　　　/　　　　　　::/:::::::::/
kingの手

talk:>>775 何考えてんだよ？

キングコングの歌

ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ
大きな山をひとまたぎ　キングコングがやってくる
こわくなんかないんだよ　キングコングは友達さ
火山も　津波も　恐竜も　キングコングにゃかなわない
戦えキングコング　ぼくらの王者

ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ
頭を雲の上に出し　キングコングがやってくる
逃げなくっていいんだよ　キングコングは友達さ
嵐も　地震も　怪獣も　キングコングにゃかなわない
戦えキングコング　世界の王者

talk:>>777 私を呼んでないか？

ちんこ

kinq

talk:>>780 私を呼んでないか？

キソグ

talk:>>782 私を呼んでないか？

Mを微分可能多様体として、
　多様体M,
　接多様体T(M),
　接接多様体T(T(M)),
　接接接多様体T(T(T(M)))
　・・・
の相互関係を学びたいんですが？何かいい文献ありますか。
（多様体初心者）

>>784

その動機は何だ？

何故 T(M) では足りない？

1)多様体M上の関数のn階導関数をMのn重接空間との関係で語れないか？
2)力学系化できるからほんとは必要ないんだけど、n階常微分方程式を
　n重接空間上のベクトル場で定式化してみたい。こいつをほどいて実は
　M上のベクトル場：T(M)のセクションと同値になるという風にもって
　ゆきたい。

>>786

＞多様体M上の関数のn階導関数

この定義を言ってみろ。

多様体に基礎はあるのか？

>>786
T(T(M)) というよりは、M上の写像の性質のようにみえるお？
T(M)の接空間とかだと、空間としては問題としたいものと比べて大きすぎないかお？
むしろ、M上のテイラー級数に対応するjet束とかでは駄目かお？（´・ω・｀）

手元にあまり本が無いので、あまり並べられないけど
特異点論の本とかでマザー理論の周辺とか書いてある本なら出てくると思うお

例えば
特異点の数理2　「特異点の分岐」 共立出版
とか、おそらくこれの元になっている
Singularities of Differentiabl Maps, Volume I (V.I.Arnold, S.M.Gusein-Zade, A.N.Varchenko)
Monograph in Math. 82, Birkh;auser
これは、原著ではなくて英訳のだけど

多様体の上でのn階微分方程式はよく扱われるけど
そもそも何で常微分をやりたいのか分からないし…
…時間変数とかでの常微分という意味なら分からなくもないか…
接束に拘る理由もよくわからないお（´・ω・｀）

>>787
>>787

fを多様体M上の関数、XをM上のベクトル場、pをMの点とする。X(f)は
関数 p -> X(p)(f) を表すものとする。X(f)はM上の関数なので、X(X(f))
が定義される。
　　　X　-> X(X(f))(p)
を点pでのfの２階導関数と考えていかんのかな？

>>788
特異点論は未習のため良く分かりませんがその方向で勉強を進めて行きたいと
思います。１径数群を使った多様体上のTaylorの公式に満足できないのと、
服部晶夫の「多様体」に２階常微分方程式がT(T(M))上のベクトル場を
使って定式化してあったので、この方向での一般化があるのかなと思って聞かせて
いただきました。

>>789

X(X(f)) を考える為にT(T(M)) が出て来たのか？

T(M）の問題じゃないか。

＞２階常微分方程式がT(T(M))上のベクトル場

そこに出て来た物を充分理解すれば、自分にとって次に何が必要か見えて来る。巻末に文献紹介もあろう。
抽象的に一般化を考えても始まらない。

初心者なのに786が弄ろうとしていたのは
　ttp://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/spray.html
この関連だよね。

服部晶夫を読んでる時点で
そんなに初心者とは思えないんだけどｗ

＞784 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/05(水) 15:59:16
＞ Mを微分可能多様体として、
＞ 　多様体M,　接多様体T(M),　接接多様体T(T(M)),　接接接多様体T(T(T(M)))
＞ 　・・・
＞ の相互関係を学びたいんですが？何かいい文献ありますか。
（多様体初心者）
＞791 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/05(水) 20:58:57
＞ 抽象的に一般化を考えても始まらない。

791の言うとおりだと思うが、形式的な議論が好きならPalaisとかMichorが色々書いている。

松本さんの本読んでます。次は松島かなー。服部の本って難しいの？

>>792
見たが何じゃスプレーとは。定義の意味がサッパリわからん。
「多様体の基礎」読んだ程度の知識では理解は無理か・・・

>790 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/05(水) 19:05:30
> １径数群を使った多様体上のTaylorの公式に満足できない

何でTaylorの公式が必要なのかね？
定義なんて必然性が生み出すものだと思うが？

π_1では満足いかないからπ_nを知る
しかしよく分からない
という感じなのか？

みんな背伸びして難しいものを読みたがるが、「多様体の基礎」のような
基本的な本を一年かけてでも身につける方が大切だよ。

>>799
実にもっともな意見で、その通りだとは思うが、
多様体の基礎を1年かけて読んでいるようでは、
数学科ではやっていけない。
要は己を知れ、ってことだよね。

>>800

一年掛かっても、ちゃんと自分の血肉に出来るなら他の者よりマシになるかも知れん。
並行して色々やる前提でね。

Kingって在日だったのかー。知らなかった

最近は色々な本が出版されているみたいだね．

大学数学の入門４
幾何学１　多様体入門　
坪井　俊
ISBN4-13-062954-9，発売日:2005年04月19日

主要目次
第1章　多様体論について
第2章　ユークリッド空間内の多様体
第3章　多様体の定義
第4章　接空間
第5章　多様体上の関数
第6章　多様体上のフロー
第7章　多様体上の曲線の長さ
第8章　多様体上のベクトル場

他にもいろいろ

多様体 共立講座21世紀の数学
荻上 紘一

複素多様体講義 シュプリンガー数学クラシックス
S.S. チャーン (著) (2005/10/26) シュプリンガー・フェアラーク東京

多様体のトポロジー
服部 晶夫 (著) (2003/08) 岩波書店

多様体入門―幾何学を考える出発点 数学レクチャーノート 基礎編
前田 吉昭 (著) (2005/09) 培風館

トーリック多様体入門―扇の代数幾何 すうがくの風景
石田 正典 (著) (2000/05) 朝倉書店

>>799,800,801
一通り読むには一ヶ月もあれば十分すぎるほどだが、
箸と同じように自由自在に使いこなせるようになるまでには、
それなりに時間が掛かると思う。

使いこなすためには
それだけ読んでても仕方ない

使いこなすには読むだけではだめだな。本をたくさん読んでも使いこなせない。

章末問題まで完璧に解答することまで含めてその本について
わからないところが完全になくなった状態を "読了" という。
この段階で次のステップに進むことができる。
学部時代はこのような読み方で十分である。

教科書に書いてあることを使いこなせないなら、「読んだ」とは言えないだろｗ＞806

30項1冊に1年かける人々
って感じ。

30項？

教科書に書いてあることをほぼ完璧に会得するには、
自分で様々な具体例を作ったり、定理の条件を緩めたり、逆を考えたり、と
結構大変。そういう読み方だと、年間でたった12冊仕上げるだけでも相当きつい。

ま、でも、多様体の基礎程度を仕上げるのに一年かかるって
相当の馬鹿だと思うよ。
そっから先、そいつはどうやって生きていくんだろう…

普通に生きていますが何か？

一冊をものすごく時間をかけて読むって方法もあるけど
同じ分野の本について沢山本を読むって方法もあって良いような

ゆとり教育が悪いんだ！

みんなピカが悪いんや！

ゆとり教育の影響か？

Manifolds とvariety　って同じ？

>>819
varietyは代数的多様体

面白いのを見つけました！
東京大学における多様体論の講義が映像で公開されています．
興味のある方はご覧になってください！
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/lecture/2003tsuboi/index.html

今日から始まります．
国際会議「Intelligence of Low Dimensional Topology 2006」
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/top/conf/ildt2006/ildt2006J.html

age

多様体の単位をとっても『多様体の基礎』程度の内容を会得してない学生が沢山いますよ。
そういう学生に限って参考書を沢山持っているんですよね。

おれおれ、おれがそれだよ。だって読んでもわかんねーんだもん。他の本買う以外何ができるって。

ようやく「多様体の基礎」を読み終わりました！
次はホモロジー代数を勉強する予定です．
がんばるぞ！

特に感動した定理ってあった？

はい！エキゾチック球面の構成には感動しますた！

exotic spheres の構成は簡単で
２８通りの記述も容易なのに
exotic R^4のexplicitな構成が難しいのはなぜだろうか

理由が全然違うから

よぉking
お前には多様体分からないだろｗ

>>830
それで納得できてしまう人は幸せ

talk:>>831 もし本当にそう思うのなら、何故人の脳を読む能力を悪用する奴を潰さないのですか？

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

なんで大葉君やねん

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>831
荒らすなバカ

多様体も本に載ってる分だけだと具体例が少ないと思う。
ユークリッド空間、球面、トーラス、射影空間くらいが代表的だけど、
それ以外の例ってのは代数とかと比べると、自力では探しにくいと思う。

対称性が高くないと妙に複雑になるだけだし美しくない。対称性が高いとなるとおのずから限られるってとこじゃ。

>>836
お前も荒らすな知能遅れ

>>839
認めたか。知能遅れはお前だろ、頭が悪いからすぐバレる。荒らししか能のないクソ野郎ｗｗｗ

>>840
漏れは荒らしではない。
勘違いするなよ。被害妄想野郎ｗｗｗ
要するにkingをアク禁にすればいいだけなんだよ
わかったかゴミカスｗｗｗ

talk:>>841 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せと書いたのに何故そうなる？

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

阿呆と対話を続行するのは阿呆と相場が・・・

よぉking
漏れは１８歳だ
お前何歳？

>>844
１７歳

>>838
隠れた対称性を探し当てるのが数学のプロ

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

339

曲率の基本的な性質がわからなくて困っています。
だれか、教えてください。

たとえば、エルミート計量<,>に対して、
<R(ei,fj)u,v>+<u,R(fi,ej)>=0,(fiはeiの複素共役)
というのはRをeiの双対e*iでR=�燃_{ij}e*i∧e*j
とあらわしたとき、行列R_{ij}がエルミートになるということで良いのでしょうか？

それでいいよ。

>>850
ありがとうございます。
少々、基本的なところが分かっていないので、もう少しお願いします。

曲率といっても、とくに直線束の曲率しか考えていないのですが、
直線束の場合、(i/2π)Rがチャーン類c1になりますが、
これだと(i/2π)Rが実行列になります。つまりR_{ij}は純虚数のはずで、
一方エルミートだと、とくに対角線R_{ii}は実でなくてはいけないと思われるのですが
矛盾はないのでしょうか？

あげ。誰かお願いします。

>>851

R_{ii} を実座標系で表現してみれば反対称行列で、対角化すれば純虚数のみを固有値にもつ。

>>853
どうもです。ありがとうございます。

>>反対称行列で
ということは対角成分=0でしょうか？
あと純虚数値ということはエルミートではなく歪エルミートということでしょうか？

R_{ii} について勉強しろ。

>>855
すみません。うっかり間違えました。
ずっと、直線束の曲率のくせがついていました。
R_{ii}が2形式で反対称行列の成分を持つと考えればよいのでしょうか？

・・・それでも対角化して純虚数の固有値となることが分からないです。
どうやって導けばよいのですか？

行列の標準形、複素ベクトル空間、複素多様体を復習しろ。

R_{ii}が2形式が２形式というのも間違いでしょうか？

混合四次テンソルの曲率形式 R_ijkl を対称部分一対 jl について縮約して反対称のリッチテンソル R_ik が得られる。

曲率形式の復習も必要だ。つまり全部のおさらいが必要だ。さほど時間は掛かるまい。

復習が必要なのは分かるのですが。
復習しても、又混乱するのではないかと心配なのです。

記号が少し分からないのですが、>>855のR_{ii}とはなんでしょうか？
リッチテンソル(R_ik)のことでしょうか？それとも、そのi,i成分の値でしょうか？

ちなみに、>>849等ではRは複素直線束の曲率＝2形式
R_{ij}はそのi,j成分というつもりで書いていました。

話の全容に混乱が有る様に見える。直線束なら複素一次元だから曲率形式は一次元で添字は不要。

一次元だから２形式(２形式の行列ではなく)で、
それにベクトルを入れた成分(値)として添え字付きの文字を書いているのです。
ただ、R_{ij}のjは共役を取ったほうです。

>>849では少し間違えましたが、
R=�燃_{ij}e*i∧f*j (←f*jはe*jの共役、e*jはベクトルejの双対)
と書いたときの行列(R_{ij})について知りたいのです。
<R(ei,fj)u,v>+<u,R(fi,ej)v>=0
という曲率の性質はR_{ij}がエルミートということでよいのでしょうか？

基本的なところの混乱で見苦しいとは思いますが、お願いします。

複素一次元のエルミート二次形式を、実二次元ベクトル空間で表現してみれば様子が分かる。

R=S+(√-1)Tとして、
<R(ei,fj)u,v>+<u,R(fi,ej)v>=0
⇔(S_{ij}+(√-1)T_{ij})-(S_{ji}-(√-1)T_{ji})=0
⇔(S_{ij}+(√-1)T_{ij})=(S_{ji}-(√-1)T_{ji})
で、エルミートでよいということでしょうか？

これだと>>851に書いたとおりR_{ij}が純虚数なことを考えると
訳が分からなくなるのですが、どういうことなのでしょうか？

あげます。
昨日、教えてくださった方ありがとうございます。
しかし、>>864までしか分かりませんでした。

分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

>>864

自分が何を掴もうとしているかを見失っている様だ。

(i/2π)Rが実行列で、これがエルミートになっている。それで良いのでは？

(i/2π)Rが実行列→Rの行列の成分は純虚数。
エルミート→対角線は実数。

つまりR(ei,fi)=0→R=0が正しいということでしょうか？
任意の多様体上の直線束の曲率が０なんてありえないのですが。

曲率行列は反対称、対角化すればその成分は純虚数。
√-1 を掛けて、(i/2π)Rが実行列

すいません。言葉が分かりません。
反対称＝交代ですか？
エルミートは間違いなのでしょうか？

何を理解しようとしているのかを始めから見直せ。

返事はありがたいのですが、
ちゃんとした回答はいただけないものでしょうか？

反対称＝交代ですか？
エルミートは正しいのでしょうか？
いずれにしろ(ある一般の基底に関する)対角線は０なのでしょうか？
任意の多様体上の直線束の曲率は０なのでしょうか？

ちゃんとした回答・正しいと確信できる答えが得られないから混乱していますが
理解しようとしていることは上の質問です。

>>871

その質問を見れば、取り組んでいる内容が君のレベルに合ってない事が分かる。

日本語の感覚すら疑われる、対称行列 ＜--＞反対称行列=インデックスに関して交代的な行列

複素数が絡めば行列の理解を整理し直す必要がある。

何度も書いてある様に、曲率 R は実基底を用いた行列で表せば反対称、元に戻り (i/2π)R はエルミート。

さようなら。

亜流ですが交代＝歪対称、共役交代(歪エルミート)＝反対称
という人もいるのです。その辺りが多少、中途半端に思えたので「あえて」質問しました。

何度も書いてくださって、大変ありがたいのですが、
こちらも基本が分かっていないため
会話になっていないような回答だと、とても理解できないのです。
たとえば、
(ある一般の基底に関する)対角線は０なのでしょうか？←エルミートかつ純虚数 より。
(今までに何度か書いたとおり対角線というのはベクトルの片方を共役を取っています。)
任意の多様体上の直線束の曲率は０なのでしょうか？
などが未だ分かりません。

できれは事実だけでなく根拠というかヒントも頂きたいものです。

「多様体の基礎」松本幸夫、東京大学出版会
の、１の分割の証明に一箇所間違いがあるとの事ですが、よくわからなかったので教えていただけませんか。

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/067.html

多様体の「向き」の意義もイメージもぜんぜんつかめないのですが、
「向き付け」なんてものを定義したのは、
その多様体上の微分形式の積分が局所座標の取り方に依存しないってことを保障するためだけなのでしょうか？
何かイメージがしっくりこないのですが向きづけ可能であることでどんないいことがあるのですか？

向き付け可能なものとそうでないものを混同すると
収拾がつかなくなってしまうので判別のための言葉として
導入されたものと思われる

向き付け不可能な多様体ってあまり研究されてないんじゃないの？

んなあーこたあーない

>>875
イメージとしては、
多様体上の任意の点に自分が立っていると考えよう。
その多様体上をどのように歩いて帰ってきてもスタート時と同じ向きに戻る。
メービウスなんかはひっくり返っちゃう。

>>878
たとえばどんなことがある？
向き付け不可能なものだけの構造の特徴を知りたい

最初っから多様体の定義を向き付け可能なものに限っておいてもいいと思うけど、
そんな流儀はどこにもないな。

>>874
俺も知りたい。ざーっと見たけど、どこが間違ってるんだろ？
まさか、ミスプリっていうんじゃないよな…。

>>879
それは一周するとTangent Spaceの基底の並びが置換群の作用を受けてるって感じなの？

Tangent Spaceの0元ってどういう作用素なの？
すべての連続関数を｛すべての点を０∈Ｒに飛ばす」関数に飛ばす作用素だと思えばいい？

変な安価だお。
僕がずっと気になってることがある。
プラトンの神秘図形。
位相空間内では三角形の内角の和は180ではない。
位相空間でプラトンの神秘図形がどう変化するか?
このあたりに位相幾何学における未解決問題。
複素平面からみた代数における解の公式やヒルベルトの14問題のヒントがあると思う。

>>884
日本人？

>>884
人工無能？

変な安価は日本人だお！
［プラトンの神秘図形］は多面体と多面体の関係（ユークリッド）
［多様体］はトーラス（非ユークリッド）
わかるんだけど、配置空間上の写像度としてのバジリエフ不変量を考えると、位相空間でのプラトンの神秘図形が、すんごくきになってしょうがないんだ。

あと、変な安価は天然無能（人間）だお。

忘れてしまいな
Vassiliev invariantなんか

いや！
ヴァジリエフ不変量を忘れることなんてできないよ。
リー・村上・大槻不変量の方がちょっぴり、すごいかもしれないけど・・・。

もっと大きな枠組みで考えて
自分のinvariantを見つけたら？

>>891
お前天才

もっと大きな枠組み、ローレンツ理論を組み入れた位相空間で考えてみると、オイラーの七つ橋とプラトンの神秘図形が5次方程式のところでレスった無限生成に絡んで来るような気がする。
迷い込んだラビリンスみたいな・・。

位相空間て何かわかっているのか？

いや、なんかこの人はイッチャッテいる人だから

>>893
確かにラビリンスに迷い込んでいるようだ。

位相空間とは相対性理論に基づく考え方でみた空間だから、ローレンツ理論が当然からむお。
だから、僕がゆってるのは1、3＾√2、3＾√3・・・3＾√9が有理数体で1次独立であることと、有限生成ではない不変式環とプラトンの神秘図形と回転した時の軌跡とプラトンの神秘図形とオイラーの7つ橋の関係。
つまり、有限生成ではない大きな枠組みで考えた場合ってことだお。

phase spaceのこと言ってんのかtopological spaceのこと言ってるのか知らんが、
topological spaceのほうは相対性理論とは関係ないかと。

というか1と3^√3が有理数体上で独立であると。ふーん。

不変式環の有限生成でないものとプラトンの神秘図形や一筆書きがつながらんかなぁと・・。
メビウスリバースあるでしょ。メビウスのリバースとプラトンの神秘図形の相関関係やまた0の位相空間とユークリッド空間でどう違うか、ここが大事じゃあないかなと思ってるの(ρ.-)
で、回転数列とかベクトルとか色色使って考えたらどうなるかなあと。
でも、希望は生命科学か基礎医学だから、（こっちの方は遺伝子でずっと気になってるものがあって。これは研究テーマにするから、ひ・み・つ）数学科は専攻しないから、趣味として考えてる。

前スレの数字の一次独立と有限生成でないことは、ヒルベルトの14問題に対する永田の反論で詳しく書かれているよ。

高校生かな

数学はまず定義をrigidに与えてしまわないと
単に面白そうな単語を適当に並べただけでは
夢想家の戯言とかトンデモで終ってしまいかねないから注意した方がいいですよ

というか「0の位相空間」で話が通じると思ってるあたりかなりヤバイよ

1と3^√9はどうみても一次従属ですが。
1と3^√3はどうみても一次独立だし、3^√2とか加えても一次独立になりそうだけど。

あと反論じゃなくて反例じゃないのかな。
言葉は正確に使うようにしなきゃ。

いや、位相空間にはX、Y、Z軸が微妙にずれているから3点が交差する0はない。
ただし、2点が交差する0はどうなんだろうかとか、いろいろ考えるんだけど・・。
相対性理論の基本に戻って、電車の中の人と電車の外から電車の中を見ている人の関係。
運動エネルギーと距離の関係とか、物理学的な要素（数学だと速度と時間と距離かな？）
位相空間は、回転数列やベクトルを使わないと難しいと思うんだ。

あと、おっしゃる通り永田の反例です。
ありがとうございますm(_ _)m
今は試験休み♪です。
ちなみにうちは数�T、数�Uではなく、数α、数βです。
1年生です。
弟君は今年中学受験です。

「位相空間にはX、Y、Z軸が微妙にずれている」
そんな位相空間とか相空間は初めて知ったけど。。

というか0じゃなくて原点のことじゃないの？言葉は正確に。
回転数列とやらも何のことか分からんが。

一次独立であることについては、n個の2次正則行列の直和による不変式を代数幾何学的に考えて欲しい。
A´はn＝9、i＝1
行列の成分を（1、0、i、1）とする2次正則行列の直和
A´´はn＝9、i＝1 行列の成分を（1、0、3＾√i、1）とする2次正則行列の直和
とおいて、代数幾何学的に考えた場合。
だって互いに可換を増やしていく手法では不変環式が生成できないお。
でいろいろ代数幾何学的に考えてみた数式が五次方程式の解は何でないの？のスレにカキコしたやつ。
また、考えてみる。
教えて下さってありがとうございますm(_ _)m

弟君は僕より算数と数学ができるから（今志望校で親とバトル中）、三年後、このテーマで話したいな。
弟君は学校の勉強では物足りなくて、個別指導の塾で先取り学習をしている。

弟君と話したら、うーん・・
シルベスターだけでは弱いかな・・。
ヒルベルト級数とモジュライにおける2次元か3次元のパラメータ、パラメータを考えるべきかな？

ちなみに弟君は将来、京大数理研で位相幾何学を研究するのが夢らしい。

多様体と関係ないので別のスレでやっていただけますか

話を物凄く蒸し返してすまないんだが
>>25の「極大アトラス不要論」が
何故あそこまで理解を得られていない(いなかった)のかが
全く分からんのだが

一変数の代数関数体からリーマン面を構成するときのことを考えると、
違和感があるかな。
結局25氏のやり方は、初学者の混乱を招かないというメリットだけなわけだから、
そのようにするなら何か別のネーミングを考えないといけないだろうね。
「座標付空間」とかｗ

位相空間Mで、条件

１） M はハウスドルフではない。
２） M の任意の点 p に対し、p の開近傍 U で R の開区間と位相同相なものがある。

満足するものを出来るだけ簡単で分かりやすく構成したいと思います。ようするに、局所
一次元ユークリッドな非ハウスドルフ空間 M を簡単に作りたい。M は位相多様体の
公理系から、ハウスドルフ性を外すことはできないことを示すための反例です。我こそは
と思う方お示し下さい。

これは、物理版の参考書スレ

大学生のための参考書・教科書Pt.24
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1159791010/l50

でもめていた問題の転載です。

既出。過去ログ嫁。

>>914
なるほど上にありますね。>>15 が問で >>542 が答えのようですが、数学ヲタの
物理屋に理解させるのには情報不足ですね。もっと猿でも分かるように易しく
解説できませんでしょうか？

>>915
っていうか、この問題は物理板の方でももう解決してるんだけどな。
なぜか言葉尻を掴んで、いつまでも議論を長引かせている人がいるだけで。

物理板からのコピペ

340 名前：330[] 投稿日：2006/10/25(水) 01:58:56 ID:TMqql66f
　> 位相空間Uとその開被覆A_{\lambda}が与えられたとき、各A_{\lambda}が
　> R^nの開集合と同相であればUはハウスドルフか？という問題ですが、
　> 答えは　偽　です。
　
　>>330に書いた「反例」が反例になっていなかったので訂正します。
　
　位相空間Sは2次元ユークリッド平面R^2とする：S=R^2
　Sに同値関係~を定める：
　　(x1,y1) ~ (x2,y,2) ⇔x1=x2かつx1≠0
　同値関係~による商空間をTとする：T=S/~
　(Y軸上以外の点をX軸に射影した空間)
　
　各yについてA_y = {(x,0)|x≠0}∪{(0,y)}とおくと、A_yはRと同相で
　{A_y|y∈R}はTの開被覆になる。
　しかし、(0,0)の開近傍と(0,1)の開近傍は常に交わるのでTはハウスドルフではない。
　
　ふ〜、今度は合ってるでしょう。
　
　

誰か、
４時と５時の間の長針と短針が重なる時間と
４時と５時の間の長針と短針が一直線になる時間を
解説込みで教えてください。

>>918
自明

725

560

>>918
短針と長針が重なる訳無い

>>922
( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼

向き付け可能な多様体から
向き付け不可能な多様体への
相転移について

king氏ね

talk:>>925 お前に何が分かるというのか？

松本　多様体の基礎　を読み終わったら、杉浦　リー群論　に進むといい。
ミルナー　微分トポロジー講義　とかの方向に行くと、ろくな人生まってないよ。

　 　 　 　 　 　 _ -‐ｧ　　　　　　　　　　　　 　 　 　 ＿_
　　　　　　 <三ﾆニＬ.　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _j‐-.三>
　　　　　　　{:::rj　 !　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ｀ﾄ､::::::j
　　　　　 _ノ＝=-く　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 ,＞ｰﾍ、
　　　　 / {　　　　_,.>　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 r=,￣￣ヽ、
.　　 　 Ｌ-! 　 　 |　(|　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 |　|　　　　ﾊ
　　　　丁 |　　　 Lﾆ|　　　　　　　　　　　　　　　　/､_j　 i 　 Ｌ.|
　　　　 | ,ﾊ＿＿__l　l　　　 　 　 ＿_ 　 　 　 　 　 !`7′ ! 　|「 |
　　　　 | | {:::::::::::::::ﾄ, ｌ　　 　 ／::::::::::ヽ、 　 　 　 ﾉ ﾊ―-―.{l　!
　　　　 | 〉|::::::i::::ヽ| |_j　　,.<:::::::::::::::::::::_ヽ　　　rﾍ/ |::ﾉ:::::::::::ﾊ |
　　　　 ｀　!:::::i:::::::ｉ|　 　 / 　｀￣￣￣ rっヽ　　〉′l:::::::::i::::::| Ｌ!
.　 　 　 　 |:::::i:::::::::!　 　 !　　　　 　 　 ､（　| 　 |　　|:::::::::!:::::|
　　　　　　l::::::〉:::::/　　　ヽ、＿＿＿＿＿ノ 　｜ 　 !::::::::!:::::!
　　　　　　|:::/:::::/　　 　 　 　 {　　 　｀ ﾇ._＿_ノ　 　 !:::::::i:::::|
　　　　　　|/:::::/　　　　　 　 ｜i 　 「`´　 　 　 　 　 |:::::::i:::::|
.　　 　 　 /:::::〈_　　　　　　　 ヽヽ　l　　　 　 　 　 　 |:::::::l:::::|
　　　　　 `ｰ一′　　　　　　　 | l 〈_　　　　　　　　　|:::::::ト-′
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀'ー′　　　　 　 　 └‐┘
↑
　　　　　　　　　　パンツ一丁で連行されるking

talk:>>928 何でそうなるんだよ？

警官「kingを幼女猥褻の罪で逮捕する」

talk:>>930 それはお前がやったのではないのか？

talk:>>932 お前に何が分かるというのか？

ムシキング

talk:>>934 何やってんだよ？

kingの脳
　　　　　 .ｌニｌ　 ヽ
　　　　　__|__|>　　 ヽ
　　　　 （＿＿）,　　　ー
　　　　 （___＿_）｀ｰ　　　.　 ..
　　　　 （＿＿）　　　　-
　　　　　（＿__）　　__,.--
　　　　　　|　| ￣￣
　　　　　　|　| 　　　　　　.
　　　　　　|__|　 　　　　　.
　　　　　　.∨　.

〃〃∩ 　_, ,_ 　
　⊂⌒（　`Д´）＜　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
　　｀ヽ_つ ⊂ノ

　　　　　　　l|i
　　　　　（l|i＼ l|
　　　　　 .ｌニｌ　 ｉ|ヽ
　　　　..l|i_|__|>　　 ヽｌ|
　　　　 （＿＿）,　　　ー
　　　　 （___＿_）｀ｰ
　　　　 （＿＿）　　　　-
　　　　　（＿__）　　__,.--
　　　　　　|　| l|i￣
　　　　　　|　| ；
　　''∩.ﾟ;･li|；|;ｉ/。；・：
　⊂⌒（(‘;ﾟ;|i･/ ）､
　　 ｀ヽ_つ ⊂ノ　 ﾟ

talk:>>936 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

キングコング

talk:>>938 何やってんだよ？

金具氏ね

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せと書いた奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用しない奴も潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

kinq

kingに質問なのですが
数学と物理の違いは何ですか？

age

949は素数ではない。
素因数分解949=13×73

950は素数ではない。
素因数分解950=2×5×5×19

nc03.wf.dion.ne.jp

talk:>>946 何やってんだよ？
talk:>>947 数学は数理現象の研究で、物理は粒子に関する法則、あるいは物体に関する法則。

king大学院数学部入学希望

954は素数ではない。
素因数分解954=2×3×3×53

talk:>>953 入学料は、女子■学生の画像40枚。

kingエロ杉

talk:>>956 木で女体の像を彫るのか？

kingは天才数学者であるが
論文を１度も発表していない。

960=2×2×2×2×2×2×3×5

つうか住人の為の２ちゃんねるじゃなくて、
ひろゆきの為の２ちゃんねるだから

これを理解してない人が多いなあ

　

BBS:
http://otd10.jbbs.livedoor.jp/ruy/bbs_tree
多様体上の微分形式:
http://www.geocities.jp/ruy406/diff-geometry.pdf

これどう思う？

リンク間違った
BBS:
http://otd10.jbbs.livedoor.jp/ruy/bbs_tree
多様体上の微分形式:
http://www.geocities.jp/ruy406/manifold.pdf

小さい奴だな〜

間違えちゃった、エヘ、で済む話

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

外積代数やテンソル代数なんて、２、３の性質を覚えれば十分だと
幾何学者や解析学者は考えてるでしょう。
その２、３の性質を満たすように、構成しただけのものに過ぎないんだから。
価値観の違い。
指摘はもっともだけどね。
しかし、双方とももっとクールなやりとりができないのかよw

>>966

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>969
うざい氏ね

勉強家でも経験がないとやっぱり本を書くのは無理かもね．
微積とかならまだしも

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>963,964のリンク先のＰＤＦを見る限りでは、
教科書を読んで要約しました、って感じだな。
日本語で書かれた優れた数学書がいくつもある分野で、
こういうことをするのは無駄としか思えないし、
そもそもあのＰＤＦだけを読んで理解できるはずもない。
概要説明＆教科書紹介と思えばいいでしょう。

数理物理や微分方程式との関係を丁寧にフォローしてるのがこのひとのテクストの特徴。
たまに参考にすると面白い。

そんなことより印税が羨ましい
月どれくらいはいるんだろ

>>975
学術書の印税なんて知れてるよｗ
図書館に購入してもらったり、
学生に買わせたり出来る立場ならともかく。

>>963,964
BBSの議論だけど、間違いを指摘されたのに直そうとしないってのは、
ちょっと「数学屋」としては理解できないな。

間違いを指摘される→
あちゃ，誤植でした，このように形式的に解釈してください→
なるほど，ありがとうございました．

でいいのにねぇ…
字の間違いとかじゃなくて数学の間違いを指摘されたからムッときたんだろうね．

ネット数学者の限界じゃろう

P^2(R) 実射影平面
P^2(R)からP^2(R)への連続とは限らない全単射で
直線の像は直線になるものは
射影変換である。

これは正しいですか。係数体を複素数体や有限体などの
一般の体に変えた時はどうなりますか。

　

talk:>>981 お前に何が分かるというのか？

二年百八十六日。

kingの専門分野を教えてください。

>>984
日本女性の外性器の形態的分類

外性器の種数は2

>>986　ケツの穴は？

talk:>>984 関数解析等。
talk:>>985 日本女性の乳房と、アメリカ女性の乳房の違いについて。ところでお前誰だよ？

kingは大学院時代に

sin(z)=2
に解があることを発見し論文にしようとしましたが、
そんなものは常識だったので認められませんでした。

Kingはおっぱい好きのマザコン

>>988
Kingは日本女性のおっぱいと白人のそれとでは、どっちが好きなの？

マザコンじゃなくてカントン

二年百八十七日。

a

二年百八十八日。

talk:>>989 何やってんだよ？
talk:>>990 マザコンはお前のことではないのか？
talk:>>991 実際のところ、どちらに美乳が多いのか？
talk:>>992 お前誰だよ？

S^2×S^4とCP^3が同相でない事を証明するにはどうすれば

sage

sage

sage

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。