巨大数探索スレッド6

この手の操作を繰り返しても ω_1^{CK} に届かないかと。

記号の意味からわからん。その上でどうすればいいのだろうか？

最初の非可算順序数は
定義により可算順序数全部の集合だけど、
具体的には構成できないんじゃない？
できたら連続体仮説が独立で
なくなりそうな気がする。

別に最小の非可算順序数が実数の濃度と言っているわけじゃないけど

>>955
だから何？

順序数の構成を進める操作だけだと、
ω_1（最初の非可算順序数）まで辿り着くのに
ω_1回の操作が必要だから、具体的にω_1を作る操作は書けないよなあ。

>>957
そうだよなあ。数をω個並べてその極限とって、という操作
（例えば>>936の
　η_0=｛0,…,ε_0,…,ε_ε_0,…,ε_ε_ε_0,…｝
　　　　=lim ε_・・・_0
とか）を使ってると、本質的に>>943の議論があてはまって
ω_1の壁が越えられないんだと思う。

>>956
連続体仮説って言ったからでしょ？

ω_1^{CK}って何なの？

>>959
>>955は>>954への反応としてはピンボケでしょ

「最小の非可算順序数が実数の濃度」と言ったら
そのまま連続体仮説の肯定になっちゃうんだから
>>955みたいなことは話以前の問題外

>>954はそういうことじゃなくて、
「ω_1が具体的に構成できちゃったらそこから
ω_1が実数の濃度かそうでないかが帰結してしまいそうだ」
ってことでしょ

連続体仮説の独立性って、
「ω_1の濃度が実数の濃度だ」と「・・・でない」の
どちらも証明できない、という意味だよ
どちらかだけではない

>>954の予想についての真偽は知らんけどね

>>962
最小の非可算順序数と実数の濃度がどう関係してくるの？

でも>>954の言い方だと、最小の非可算順序数と実数の濃度に関係がないとおかしくないか？
だから>>955のように書いたんだが。

ωより上の濃度を少しでも具体的に定義しよう（「最初の非可算
順序数」みたいな抽象的なのじゃなくて）とすると、まず2^ωを
とることが思い浮かぶわけけど、この操作でどこまで上のほうに
いっちゃうかはよくわからない、というか普通の集合論から独立

でも普通の集合論に何か公理を加えると独立でなくなったりする

例えば普通の集合論の上に構成可能性公理というのを前提すると
実数（2^ω）がスカスカになって、連続体仮説が真になる、つまり
最小の非可算順序数ω_1の濃度が実数の濃度に一致しちゃう

逆に、例えば、濃度を較べて
|ω|＜|ω_1|＜|2^ω|
となるようなω_1が「構成」できちゃったとしたら、それは何か
普通の集合論を超え出る前提が紛れ込んでたことを意味する



そんな初歩的なことはわかっとるんじゃボケ、ということでしたら
ごめんなさい

>>965
何か関係がないとおかしいとしても突然
イコールの関係限定になってるのは何故？
そもそも意図がさっぱりわからないので
もうちょっと長めの文章で>>955を書き直して
もらえると助かります

連続体仮説は
「実数の濃度が最初の非可算順序数か？」
ということだから、

>最初の非可算順序数は
>定義により可算順序数全部の集合だけど、
>具体的には構成できないんじゃない？

と

>できたら連続体仮説が独立で
>なくなりそうな気がする。

とが繋がるには、非可算順序数と実数の濃度に関係が必要だろ？
イコールはよくある間違いを>954がしている可能性を考えて書いたのだが、
そうではないようだな。

>>967
というか>>954の

> できたら連続体仮説が独立で
> なくなりそうな気がする。

の趣旨は「だからできない気がする」でしょ？
「具体的には構成できないんじゃない？」とのつながり
だったら、必要なのはむしろ

> 非可算順序数と実数の濃度に関係が必要だろ？

じゃなくて、（仮に見つかったとした）その具体的な構成と
実数との間の関係じゃないのかな

×>>967
○>>968
だった

>>966のような|ω_1|はちょうど一つだけ存在すると考えるのが
一番尤もらしい、とか言ってる集合論の学派があるみたいねｗ
どうでもいいがｗ

ε_0はα^α=αを満たす最小の順序数とかそういう特徴づけもあるよね。
こんな感じで方程式で定義したら非可算順序数に到達するのは無理かな？

>じゃなくて、（仮に見つかったとした）その具体的な構成と
>実数との間の関係じゃないのかな

でもそれって結局最小の非可算順序数と実数の濃度の関係になるでしょ？
それを言いたいわけ。

>971
>>>966のような|ω_1|はちょうど一つだけ存在すると考えるのが
>一番尤もらしい、とか言ってる集合論の学派があるみたいねｗ
>どうでもいいがｗ

有理数と無理数はどちらが多いか
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1083577336/538-

辺りね。

>>972
だから、そういう関係は普通の集合論からは
見つからないはずだ、っていうのが>>954でしょ

仮に構成できたとしても、それで独立でないとか言えるわけじゃないし、
言いたいことがわからん。

簡単な例で言えば、
「一見正しそうな原理を用いて可算順序数を尽くして
その次の順序数を構成したつもりが、
それと実数に対応がついてしまいました、
気が付いたら構成可能性公理を使っちゃってました」
みたいなケースじゃないの？

ZFCを越えることをしないとω_1が「構成」できなさそう、
ってんだからそういうことでしょ

ならそう書けばいい。あれだけだとそこまで想像するのは無理がある。

あれを読んでω_1＝実数の濃度の主張と想像するほうが
ずっと無理があるとは思うけど、まあいいですな

構成できても連続体仮説と関係ない

>978
その主張も無理があるな

その次の順序数を構成したつもりが、
それと実数に対応がついてしまいました、

だからさ、何度も言ってるように
ZFCでやってるぶんにはそういう関係は見つかりませんよ
それが独立性

構成できても問題無いじゃん

ZFCで構成できないってばｗ

有限or無限?

もう次スレ立てたほうがいいんでない？

いらね

結局構成的には最小非可算順序数は定義できそうもないけど、
>971の言うように上手くジャンプさせる方法はないの？
また、濃度を上げるような順序数を定義するのに「そこまで全て」
以外の上手い方法って無いの？

あと、本来の話に戻ると、>930に出てくるような関数や順序数に
ついて教えて欲しい。もともと「巨大数」スレだし。もちろん、非可
算順序数がそのために使われるのであればそれも含めてだけど。

cf(α)=α
・・・ってのは方程式には入らんよね
実質「そこまで全て」と代わらんし

二年二百十日。

どうも。あっという間に置いていかれました。
一応ここらでHardy functionの「簡単にしたやつ」を再掲しておきます。

F_0(x)＝x+1
F_α+1(x)＝(F_α)^x(x)
F_α(x)＝F_α_x(x)　（αが極限順序数のとき）

(以下はwikipediaより抜粋)
αが順序数のとき、ある順序数βが存在してα=β+1となるならば、
αは後続順序数(successor ordinal)であるという。
後続順序数でない順序数は極限順序数(limit ordinal)と呼ばれる。

>992
ありがとう。質問だけど

F_α+1(x)＝(F_α)^x(x)

は、(F_(α+1))(x)＝((F_α)^x)(x)
で、F^xは合成でいい？

また、

F_α(x)＝F_α_x(x)　（αが極限順序数のとき）

がよくわからない。

>>992-993
α_xは極限順序数αの
canonical fundamental sequenceの第x項でしたよね
αを極限とするω列をαのfundamental sequenceといい、
そのうち以下の帰納法で定義されるものをcanonicalという

ω_x = x
(α+λ)_x = α+(λ_x)
(ω^{β+1})_n = (ω^β)*n
(ω^λ)_n = ω^{λ_n}

>>321の論文からの引用ですけどね

>993
526氏による記述なので僕が口を出すのは無謀ですが、
しかも出遅れましたが。

今までの記法と同じ文脈ならば
(F_(α+1))(x)＝((F_α)^x)(x)でいいと思います。

合成という言葉をちゃんと知らないのでその点は分かりません。

α_xというのは添字付きのα (α_1とかα_1000とか)の
でっかいやつのように見えます。
(アンダーバー直後の文字は右下に付く小さい添字という慣例でやってました)
F_α(x)＝F_α_x(x)になるということは、
「αが極限順序数ならば、流れの中で関数F_α(x)というものに出くわした際は
使う関数を関数F_α_x(x)に差し替えるべし」ということでしょうか。
ここでいうα_xがどう構成されたものか分かりませんが。

次スレどうしましょうね。今夜中に1000行きそうですが、
僕はスレッドを立てたことがないのです。

たててきます

次スレ

巨大数探索スレッド7
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163947441/

>(F_(α+1))(x)＝((F_α)^x)(x)
>で、F^xは合成でいい？
はい。

>F_α(x)＝F_α_x(x)　（αが極限順序数のとき）
>
>がよくわからない。
α_xはαの基本列のx番目のものです。
基本列は>>571にある通りです。

>>995
>>321の論文が添え字で書いてるので>>526氏も
添え字に変更されたのかもしれませんね

> ここでいうα_xがどう構成されたものか分かりませんが。

解説を試みますと
ωはωの長さの数列 0, 1, 2, 3, ... の極限で、
この列のx番目が ω_x 。すなわち x それ自身。
α+ωはωの長さの数列 α+0, α+1, α+2, α+3, ... の極限で、
この列のx番目が (α+ω)_x 。すなわち α+x 。
一般に、極限順序数λについて、(α+λ)_x = α+(λ_x) 。
ω^{β+1} = {ω^β}*ω は {ω^β}*0, {ω^β}*1, {ω^β}*2, ... の極限で、
この列のx番目が ω^{β+1}_n 。すなわち {ω^β}*n 。

一個忘れた。

ω^ω は ω^0, ω^1, ω^2, ... の極限で
(ω^ω)_x はこの x 番目だから ω^x 。
一般に順序数λについて(ω^λ)_x = ω^{λ_x} 。

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。