■ガロア理論■簡単に説明して下さい

大学時代に数学科にいました。
だけど、「ガロア理論」が何だかよくわからないまま終わってしまいました。
「ガロア理論」とは一体どんなものなのか？どなたか簡単に教えて下さい！

ガロアの作った理論

ガロアもかわいそうだよな。
この後に及んで簡単にしてくださいなんていわれて、、、、

総理大臣／小泉純一郎さん 「何で今さら、こんなレスが出てくるのか分からない」
自由党党首／小沢一郎さん 「（事務所を通じて）コメントする価値を見いだせない。」
東京都知事／石原慎太郎さん 「くだらないねえ。何が楽しみでこんなレスしてるのかな。連中は。」
日銀総裁／速水優さん「頭の中までデフレが浸透していると、再認識せざるを得ない。」
ソニー会長／出井伸行さん 「ブロードバンドが普及すれば、こういう削除も速くなると思う。」
白鴎大学教授／福岡政行さん 「やっぱり自公保連立政権の発足からこういうレスが増えたと思います。」
タレント／デーモン小暮さん 「わが輩が地球を征服した暁には１から処刑するぞ。グハハハハ。」
新しい教科書を作る会／西尾乾二さん 「このレスほど戦後民主主義教育の欠陥を表しているものはない。」
元グリーンベレー／柘植久慶さん「海外にはこの程度の変質者はコンビニにもいる。日本が平和すぎた。」
女優／広末涼子さん「こういう人がいる日本って、やっぱりすごすぎると思う。」
プロデューサー／テリー伊藤さん「１は本当にバナナの皮を踏んで滑ってこけそうな人だよね。」
法政大学教授／田嶋陽子さん「これだから男社会はダメなんだよ」
マルチタレント／大橋巨泉さん「俺は１みたいなやつがいるから日本にいたくないんだ」
元大阪府知事／横山ノックさん「いつまでこんなコトしているんだ!」
元ホステス／福田和子さん「１みたいなんが、盗聴するんや。危ない危ない。」
前総理大臣／森喜朗さん「１のような子供を作らないために教育は私立に任せるべきです。」
元保険外交員／林真須美さん「１がおったからカレーに毒入れたんや。」
元公務員／宅間守さん「ほんまは１を殺したかったんや。」
元教祖／松本智津夫さん「１は今後も駄レスを書きこむだろうからポワしなさい。」
外務大臣／田中眞紀子さん「１が生きているのは日本の国益にかかわる重要な問題です。」
社民党党首／土井たか子さん「１がこういうスレを立てられる環境を改悪する串規制は絶対許さない」

代数方程式 f(x)=0 は根の置換により自然にそのガロア群 G(f) を定める。
そのとき、

　　f(x)=0 が（ベキ根によって）可解　⇔　G(f) が可解群

いわゆるガロア理論知らなくても十分ガロアの精神は浸透してるから
支障ないんだけどね。知ってて損はないけど。

よーするに「対応させて調べる」ってのがガロア理論。

数学者でもガロア理論知らない人のほうが多いから安心しろ。（藁

うそん

>>5の説明を見て、後は分からない用語を検索して調べれば終りだな。

ｺﾞﾙｧ理論

ある日、ガロアたんはルービックキューブで遊んでいて
それでひらめいて、群論を始めたのでした。。。。

Re:>1
ガロア理論は
不変体と自己同型群の関係を述べる理論。
この説明で満足いかぬようなら、まじめに参考書を読むように。

はーい

対応の秘密を見破れた、その精神は永久に不滅なのさ。

ガロアってﾌﾞｻｲｸだよね

女の取り合いで決闘して死んだとかいってーけど
その実、ただのストーカーだったんとちゃうだろうか

ガロア理論について分かりやすい教科書を教えてください。

あるちん

１９さん、ありがとうございます。
いま酒井文雄『環と体の理論』の「体とガロア理論｣の章を読み進めておりますが、その本は標数０の場合について証明しているだけです。
それだけでもガロア理論の考え方をある程度学べるのでしょうか？
やはり一般の体についての証明をきちんとやるべきなのでしょうか？

>>5
俺にはどうしても根の置換っていう操作が「不自然｣
に見えてしまう。もう少し分りやすく説明してはく
れないだろうか?

ガロア理論入門って本は腐るほどあるから
読んだほうがいいです。
ここのレスだけで理解できるものではありません。

感覚的な説明聞いて分かった気になって、
それで何かいいことあるわけ？

>>21
不自然とかそういう話ではなくて、根の公式は（存在すれば）根の置換で
不変でないとおかしいとかいうことから、その置換という作用そのものを
実体として捕らえるとガロア群という概念が発生するってことだろ。

>>23
「根の置換」とは何ですか?
　感覚的な説明でいいのでしてください。
　というか、分っているのならちょっとぐらい何か言えるだろ。

>>21,25
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039534450/233-234

>>25みたいな分かってない(+感覚的にだけ分かろうとする)奴に感覚的な説明だけすると
電波飛ばしだす可能性がかなり高いので世の中にとって迷惑といえる。

「餌を与えないで下さい」という言葉がぴったりだ｡

>>1
みたいなのが普通なんだろ。
だからガロアも生前
不遇だったんだな。

1は実は高校生で、教えてもらえる可能性が高い書き方をしたのかなと思った。
でも、「簡単に説明して下さい」とはムシがいいね。
わかってしまえば簡単だし、具体例もまじえて感覚的に分かりやすく
説明することは可能だけど、なんでおれがそんなことしなきゃならないの？
と思ってるひとが多いんじゃないかな。
みんな苦労して分かるようになるんだから。

ガロア理論というのはたいへんな深みを持っている。
もともとは方程式論から始まったし、「体のガロア理論」として
代数的に一応完結した体系にまとめられているが、これは一つの形に
すぎない。
ガロア理論の数論的、幾何学的な広がりは計り知れないほど広大。

http://village.infoweb.ne.jp/~ryotakun/alge3-00.html

>>27 おこちゃった？　ｸｽｸｽ

>>27見たいな奴はセミナーで立ち往生とかしてるんだろうな。。。

体 k とその代数的閉包Ωを考える。
f(X)を k を係数とする１変数多項式 f(X) でΩにおいて重根を
持たないとする。f(X) のΩにおける全ての根を添加した体 K を
考える。このとき K の任意の元 の k 上の最小多項式は K に
おいて１次式の積に完全に分解し、しかも重根を持たない。
K を k 加群と見たときの k 上の次数を n とすると、
拡大体 K/k の自己同型群 G の位数は n である。
G は f(X) の根の置換を誘導する。つまり、G は根の置換群と
見なせる。さらに G の部分群と K/k の中間体には標準的な１対１
の対応が成り立つ。これがGaloisの基本定理である。
体と群という別種のものの間に標準対応が存在するわけだ。
一般に体より有限群のほうが扱いやすいので G の構造を調べる
ことにより K/k の構造がある程度分かる。G がアーベル群のとき
が一番簡単であり、このとき f(X)の根は k の元より四則とベキ根
により求まる。もっと一般に G が可解群のときも同様である。
この逆も成り立つ。これがGalois理論の骨子である。

∧ ∧
　 (,,ﾟДﾟ)
　 ,,U,,U,.
　ﾐ・д・ﾐ　ﾎｯｼｭ!
　 """"
∧ ∧
　 (,,ﾟДﾟ)
　 ,,U,,U,.
　ﾐ・д・ﾐ　ﾎｯｼｭ!
　 """"

>>34
岡スレの人ですか?

>>34
すごい！

>>36
そう。名前を消すのを忘れた。

ガロア理論と言ったら現在では方程式の根がどうこうよりも
別々のものを対応させる精神というか、そういうもの一般を指すイメージだが。

>>39 それは面白い話だね。

方程式の解の置換と言うより、体の自己同型写像といったほうが適切なんだけどね。
有限次代数体の場合、自己同型写像は解の置換を引き起こすが、逆は必ずしも言えないから。

ガロアの理論とは、エバリスト ガロアというフランスの青年が書いた論文に
出てくる理論である。その原型はガウスの円周等分の理論とコーシーの置換論
それに、アーベルの方程式論である。

>>41
簡単な反例教えて。

>>41
オレもしりたい

なんと！　HPで☆キキ+キﾟДﾟ♪の声が聴ける！

ホームに☆キキ+キﾟДﾟ♪の哲学論が流れている！

http://www.geocities.co.jp/HeartLand/8862/

↑HPはこれね。

みんなで☆キキ+キﾟДﾟ♪の声を聴こう！

次数が階乗でないガロア拡大作れって。

具体例ならQに1の冪根付けろ。

わからない…
どんな置換も、なんらかの体の自己同形にはなってたりしないの？

そもそも>>41がちょっと的はずれなんだよね。
根の任意の置換が体の自己同型を起こさないことは
言うまでも無いことなんだ。言うまでも無いことをわざわざ
言うから妙なことになる。

次は標数が０じゃない体について、ツッコミが入る頃ですか。

ガロア理論だけ勉強して分かった気になるのはお粗末。
ガロア・カテゴリーまで勉強して１人前。ＳＧＡ１

英語or日本語でガロアカテゴリーを勉強できる本を教えてください

>>49に追加すると>>41は置換群を対称群と同義のものと思っている
んじゃないか？

>>51
言い過ぎだろう。普通、そこまでやる必要はない。

群>>>>>>>>>数




以上

＞＞４９
ケチつけられたからって、ケチで返すのは
ハタから見ててお粗末だぞ

>>56
そもそも>>41が何に対するケチなんだ？
根のかってな置換が体の自己同型だと書いたものが
このスレにいるのか？

他人に聞かずに、御自分でお調べ下さい。

レトリックの一種なんだけど。答えは分かってるわけ。

何に対するケチなんだ？ → 何のケチにもなってるわけない。
このスレにいるのか？ → いるわけない。

適切でないと指摘するのはケチと言えない事もないべ。

それも場合によりけり。体の自己同型をそれが誘導する根の置換と
同一視する場合が適切な場合もある。>>41は何に対する批判なのかが
はっきりしない。だから混乱する。

41は34の説明の一部にケチをつけている。それでえーだろ。

>>62
>>34も｢拡大体 K/k の自己同型群 G｣と書いてるわけだが。

要は、よく言われる｢解の置換｣ではガロア群の概念を厳密に捉えているとは言えない、
それよりは｢体の自己同型｣のほうがガロア群の概念を厳密に捉えているってことでは。

>>62
>>34の具体的にどこ？

>>64
そうじゃなかったら41は誰に向かって話してるのよ。

>>63
言ってることはもっともだけど、Galois理論を扱ってる場合、
根の置換だけに言及し体の自己同型に言及しないのは有り得ない。
逆はあるかもしれないが非常に少ないだろう。

>>65
何も>>34に向かってないとは言ってない。>>34のどの部分に
対する批判なのかと聞いてるだけ。具体的にその部分を引用
してみ。

おまえらそんな細かいことに拘ってるから「数学やってる人って（ｒｙ」
ってことになるんだよ。だから俺も振られたんだ。おまえらのせいだ俺は悪くない。ないったらない

>>67
＞具体的に
漏れも41に聞きたい。

>>66
ってかここはもともとリア工レヴェルの人間が立てた厨スレ。
厨向けの解説で解の置換のことばかり強調されるのが>>41には気に入らないのだろう。

>>41に腹を立ててる香具師が居るようで、笑える。
それが>>34だったりしたら爆笑ものだな。

>>34が、岡スレでのストレスをここで発散してるだけ。
大目に見てやれよ。

こっちでも煽りを繰り返す気ですか。勘弁して下さい

じゃあ何処で煽れつうんだよ！！！エェ？

>>74
国会でなら煽れますよ。

>>74
2chでなら煽れますよ。

ガロアの論文ではガロア群は方程式の根の置換群として定義されている。
どのような置換群をガロア群というのかはガロアの論文にちゃんと書いてある。
（もちろんガロアは“ガロア群”とは言っていないが。）
体の自己同型群としてとらえたのは確かデデキントだったと思う。

ひとくちにガロア理論といっても３種ある：

(1)デデキントらにより体論として抽象化（矮小化！）されたガロア理論。（ガロア
は楕円関数や微分方程式まで視野に入れていた。）

(2)ガロアの方程式論。（体論の教科書でガロア対応の証明だけ理解しても、ガロア
を理解したことにはならない。方程式のガロア群を計算するには、けっきょく判別
式とかガロア分解多項式とかラグランジュうんぬんなど方程式論の知識が不可欠）

(3)フェルマー予想の証明に使われた「ガロア表現」など、体論から脱却し一般的にと
らえなおしたガロア理論。（その場合のガロア群は、体の自己同型群でなく、根の置
換群という本来のものにむしろ近い（と数学セミナーで誰かが書いてた）。）

>>77
ガロアも彼の定義によるガロア群を構成する根の置換を
体の自己同型群としても捉えていたはず。ガロアは体という概念
を理解していた(有限体は彼により最初に発見された)。
ガロアは今日大学で教えられるガロア理論を完全に理解していた
と思われる。しかも、>>78の言うようにそれを遥かに超えた
ものを考察していた。

ガロア群を根の置換群と捉えるのはガロア群の置換表現を
考えることと見なせる。こう捉えて初めて見えてくるものが
あるわけで、体の自己同型なり根の置換なりの単一視点は不十分。

GaloisもAbelも方程式の可解性を考えるそもそもの出発点として
楕円関数の等分方程式の可解性の問題が意識としてあった。
この点からみても彼らはその研究の当初から今日大学で教えられる
Galois理論の射程を超えていたことが分かる。
何故、楕円関数の等分方程式なのか？
これはGaussが考えた円分方程式が指数関数の等分方程式であり、
楕円関数が２重周期を持ち単周期の指数関数の拡張になって
いることを見ればある程度納得いくだろう。
なおGaussもレムニスケートの等分問題から楕円関数を発見していた。

つまり>>78のいうように我々は抽象化、矮小化されたGalois理論を
本来のGalois理論というかそれより洗練された理論として見ている
わけだ。Galoisが生き返って今日のGalois理論を聞いたら苦笑するだろう。

なんか的外れなこと言ってないか？

痛いな。>>82みたいなアフォこそ、過去の偉人が見たら爆笑するだろう。

煽りはやめなよ

説得力のないアホな煽りは岡スレの粘着君の得意技。
大目に見てやりましょう。心と知性を病んでいる可哀相な人
なんですから。

上のカキコの中にはれいの417作のものもあると思われる。
自分が言っていたことを否定されたように感じたのだろうか。必死である。
なにせ、2chでの書き込みで「勝とう」としているような下らんやつ。
それで、岡スレからアオラーも一緒にやってきたから荒れる。

理論の名称にこだわる程度の人物には、数学の深遠など見える筈もあるまい。

>>87
おめーだろうが、岡スレのアホなアオラーはｗ

>>89
残念。違う。

とぼけるなｗ

上の方で、
「>>41は何に対する批判なのかがはっきりしない。だから混乱する。」
とか一人で混乱して大騒ぎしていた香具師が居たが、
また変なのが現れたな。

例の417氏が降臨するスレはここですか？

岡スレで相手にしてもらえないからここに来たか。
ここでもこれが最後だ。もう相手にしないよｗ

良スレage

ガロアは確かに天才だ。
しかし、女のために決闘して死ぬなんてやっぱアホだね。

>>96
秘密警察の罠であり、ガロアもそれに気づいていたふしがある、
と言う説もあるけどね。

たしか死ぬ前の晩に書いた手紙が残ってるんでしょ？

コ-シ-が置換(群)論を考えたときに,果して彼は正規部分群という概念を
把握していたかどうかが知りたい.だれか数セミなどでいいから,コ-シ-の
置換論の論文の内容紹介をお願いしたい.彼がどれだけのところまでを
掴んでいたか,それと比べてガロアが相対的にどうであったかが見所なのだ.

原典あたればー

>>96
ガロアは子供。分らないこともあるさ。

コ-シ-がそういう論文を書いたということは、いろんな文献に出てくるが、
原典は明治以前の時代だから、ちょっと街の本屋に売っているようなものじゃ
ないだろ。

数学科の図書室にコーシー全集があるだろ。

正規部分群はガロアが最初かもね。ガロアも“正規部分群”とは言って
なくて、“固有分解”とか言っていたと思うし。
それどころか、現在のような群の公理的な定義ができたのはずっと
あとの時代で、たしかクロネッカーあたりだったはず。
ガロアの時代は手探りの研究だったはず。

>>104
あのころは置換群をもっぱら考えていた。ガロア理論をやる限りに
おいて、これはハンディにはならない。前にも書いたがガロアは今日の
ガロア理論を完璧に理解していたと思われる。数学は一つであり、古いも
新しいもないというのが私の持論。ただ表現方式の違いがあるのみ。

>前にも書いたがガロアは今日のガロア理論を完璧に理解していたと思われる。

これはどうかな。今日のガロア理論の主要部分は理解していただろうけど
正標数の場合など、一般的な場合まで含めての細かい条件まで考えて
いたとは考えにくい。無限次拡大のガロア理論に必要なKrull位相
まで知っていたとでも？

>>106

「具体的なテクニックはわからなくてもその本質は理解していた！」
と言いたいんじゃない？そーいう超越的な本質論はキライなんだが。。。

>ガロアは今日のガロア理論を“完璧に”理解していたと思われる。

>>106
正標数も少なとも有限体の場合は理解していた。一般の場合も
理解していたと俺は思うが証拠はないだろうからこれ以上議論
しても無駄だろう。しかし、正標数といえどもガロア理論は
分離拡大を扱うので標数０の場合と大して変わらない。
このあたりは正標数が本質的な困難をもたらす代数幾何とは異なる。
無限次ガロア理論は確かに考えてなかっただろうが、それが
どうしたのと言いたくなる。あんなものは有限次の場合の射影極限
に過ぎないわけで．．．

>>107
違うよ。文字通り理解していた。

「あんなものは○○にすぎない」としても、やっぱり知らなかったら
完璧じゃないんじゃないの？

「重要なところは大体判っていた」と「完璧にわかっていた」の間には
恐ろしく差があるように思うが？

>>108
だから？

>>111
論点をずらして反論して何の意味がある？

もしかして、>>105は>>82のイタい御方と同じひと？ひょっとするとまた例の417?

>>113

論点はずれてないと思うが。。。
「ガロアは現在のガロア理論の主要部分は理解していた」って所では一致しているわけで
あとは「完璧性」についての議論なわけでしょ？僕は「完璧ってのは言い過ぎじゃね？」と
思うわけで、まあ、あとは「完璧」の解釈の問題なんだろうけどさ。

素朴な手法で構築された古典的な理論Ｔ
↑
（表現方法が異なるだけで両者は本質的に同じ）
↓
現代的な手法で再構築された理論Ｔ


素朴な手法で構築された古典的な理論Ｔ
↓
（様々な発見に伴い理論Ｔ自体が拡大解釈されている）
↓
「現代的な手法で再構築された理論Ｔ
　+様々なきっかけから派生した古典的理論Ｔの拡張
　+他の分野でも理論Ｔに相当するもの
　などなど
　現代ではこれら全てを含めて理論Ｔと呼ぶようになっている」

ガロア理論が上段の状態なのか下段の状態なのかってことで
意見が食い違っているってことでＦＡ？

上段の場合でも、現代的な方法で再構築されたものは現代のものであり、
古典的なものとはやはり別物である。（二つが本質的に同じである事は、
「現在にいる」われわれにしかわからないから）

という意見がありえちゃうんだけどね。

「完璧に理解してた」
じゃなくて
「本質は完璧に理解してた」
ならわかるけどね

ガロアが「ガロア理論」について書いたいわゆる「第一論文」には
「既約方程式は重根を持たない」という捕題が使われている。
これは正標数のときには成立しない。こういうことからも、ガロアは
必ずしも正標数の場合まで考えていたわけではないと思われるのである。
もちろん、ガロアは有限体を考えてはいたが、それと有限体上の
ガロア理論まで考えていたかは別の話。

>>117
そういうことじゃなく単純に同値性でいいんじゃないか？
上段なら数学的に同値だけど下段は同値じゃない（現代のほうに新たな情報がある）

これ以上議論するにはマジメに資料とかにあたって実証的に示さないと
説得力ないと思うし、ここらできりあげましょうぜ。

>>119が本当なら終了だな。乙

>>115
無限次を考えてないから完璧じゃないというのが、論点をずらして
いるってこと。守備範囲を拡大すれば完璧でなくなるのは当然。

「ガロアが現在のガロア理論を完璧に理解していたかどうかはわからない」

という当たり前の結論で終了ってことで。

>>119
完全体例えば有限体なら成り立つ。

>>119
その論文は標数０の場合を扱っていると思われる。

>>119
有限体を考えてその上のガロア理論を考えていなかったと
いうのは非常に考えにくい。

>>123
「今日のガロア理論」の中には、当然、無限次拡大のガロア理論も
含まれる。
>>125
有限体なら成立するが、「今日のガロア理論」において重要な概念で
ある「分離性」の概念がガロアにあったか疑問。

一つの書き込みに対して数分刻みで何度もレスする人って
まず間違いなく異常だから関わらないほうがいいと思うよ

>>128
言葉の定義の問題ね。

言葉の定義の問題だった事がわかったのでここで終了。

>>129
君こそ異常じゃないか（ｗ
単にこの話題は皆の関心を惹き付けるんでレスが多いってだけだろ。

>>132

少なくとも、漏れは105-109-110があんまり一生懸命でおもしろいから
レスしてたけど？まあそういう意味では「皆の関心を惹き付け」たかも。

>>129は>>125-127のことを言っていると思うが

ガウスが法剰余算法を形式的に数の場合になぞらえて定式化した。
彼の考え方には準同型の概念があった。
ガロアは、法剰余算法上の一変数多項式を考え、さらに
多項式による剰余での合同(準同型)を考えると、法が素数で
剰余を求める多項式が既約の場合には、剰余類が有理数
などと同様にいまの言葉でいえば体を為していることを見出し、
それについて調べている。これがガロアの体と呼ばれるものである。
有限個の元を持つ体は全て素数を法とする既約多項式をもとに
作られるガロア体であることが知られている。
素数を法とする一変数多項式の環はガウスが既に研究していた。
ガロアの研究はガウスの研究の延長上にあるのである。

ここはガロアを神格化したい人がいるスレですか？

105-109-110の言いたい事は、

「ガロアが完璧に理解していたもの」をガロア理論と呼ぼう！

つうだけの話。数学者が相手にするべきモノではない。

例の417が再起を図ってるな（ｗ

>>137
書き込みを読んだ限りそういう合理性は持ってないと思われる。
もっと無自覚に発言しているようだ。

>>1
ガロア理論そのものが簡単。

>>139
俺は夢遊病者か(w
結局昨夜の反論は上げ足取りみたいなものだろう。
やれ正標数だの無限次だのってガロアが書き残してないことを
持ちだしてもしょうがない。君たちは意を汲むということが
出来ないのか？ 俺の意見は数学の命題じゃない。
細かい条件なんかいちいち書かないよ。それ程、君たちの
判断能力を馬鹿にしちゃいなかったつもりだが、それを逆手に
とるとは．．．
ガロアの仕事に関するおおよその知識があれば俺の意見が正標数
の場合や無限次の場合を含まないことは分かりそうなもんだが
．．．

>>134
追記が異常って、その感覚のほうが．．．(w
感覚が短すぎるならどの程度なら正常なの？
数時間おきに追記ってのも．．．（ｗ

↑感覚は間隔の間違い。

>>133
別に一生懸命じゃない、悪いけど。寝る前の暇つぶしに酒をやりながら
書いてただけ。ただガロア理論は一般に思われているより深い。
だから暇つぶしといってもガロア理論に対する軽視から出たものじゃない。
むしろ君達の幼い揚げ足とりに対する面白半分の暇つぶし(w

こりゃ本物のキチ（ｒｙ

と本物が申しております。

努力賞

みんなにからかわれたことが口惜しくて、また恥をさらしに来た105-109-110
なのでありますた。

からかうにしては正標数とか無限次ガロア理論とかマジっぽい。
ああ、追記の件？ あれは105-109-110の反論もマジじゃないでしょ。

たしかにマジで異常だと思われていた可能性はある。

こういうのがいるから「数学やってる人って変人」
って言われるんだＹＯ！

基本的に、僕は105-109-110擁護派だったんだけど。

何度も「ここらへんで合意しね？」ってオファー出してたつもりなんだけど、
無視されてしまった。まあ別に結論ださなきゃいけない議論じゃないから、
無理に合意点作らなくてもいいんだけど、「あげあしとり」やら「君たちは
意を汲むということが出来ないのか？」と言われたらつらいなあ。

例の417が、105-109-110に変貌して
稚拙な煽りを繰り返してる、
つーのはどうよ？

例のって言われても知らないけど
いずれにせよおかしな人だね

例の417がどんなにバカであるかは知らんが、そのバカさをいちいち
いろんなスレで触れ回る153みたいなのも同様にバカだろ。

お前らは417の言ってることが理解できないバカなんですね。ご愁傷様です。

基本的に417も105-109-110も数学観が単純なんです。
自分の頭の中で単純化した数学観を事実として語っているところが
イタいわけです。

ともかく、正標数だの無限次だのってGalois理論においては瑣末も
いいとこ。標数０の有限次元の場合をまず完璧に理解しろ。
なんなら基礎体は有理数体として考えてもいい。Galois理論の本質
はこの場合のみ考えても何ら損なわれない。むしろ、この場合こそ
が最も興味深い。

だから、「ガロアは現在のガロア理論の主要部分は理解していた」んだろ？
みんなその点では合意してるんだよ。

>>159
ほんとかいな。例えば誰のレスがそうなの？
まあ、一人二人はいそうだが皆とはとてもいえないだろ。

106とか115とかはかなり好意的な意見を書いてると思うが。

好意的どころかはっきりと書いてる。
しかしそれを認識する余裕もなく
「揚げ足取りご苦労様ｗ」ということなわけだ。合掌

まあどうでもいいや（ｗ

105-109-110
「ガロアが完璧に理解していたもの」をガロア理論と呼ぼう！

ガロア・岡
アフォだなｗ

周囲
プｗ

まあ本当に「どうでもいい」って思ってるなら
そもそも書き込まない、なんてことは誰でも
わかってることなんだけどね

念のために>>163を補足するとこの２、３日このスレでは>>135を
除いてまともなことは何一つ書かれてないってこと。というか、
このスレでまともなことが書かれたレスは極めて少ない。

無駄発言王は>>105-109-110に決定すますたｗ

>>166
>>135を書いたのがおまえなんじゃないの？
いい加減、『近世数学史談』やイタい「19世紀人」ぶりから卒業しなよ。

１９世紀は数学の黄金時代だからね。２０世紀前半までの数学は
１９世紀数学の遺産で食っていたようなもの。現在でも１９世紀
の数学を完全に乗り越えたとはとても言えない。リーマン予想しかり、
虚数乗法(クロネッカーの青春の夢)の一般化しかり。

>>169
ハハハ

105-109-110は新入生でした。

おまえ等、>>169の言ってる意味分かってないだろｗ

一番分かってないのは105-109-110という悪寒。

また、「１９世紀は数学の黄金時代だからね」とか大きい事言っちゃったよ。

てゆうか


　　ど　　う　　で　　も　　よ　　く　　な　　い　　よ　　う　　だ　　ね　

君も俺の｢どうでもいい｣の意味をわかってないと思われ。

クロネッカーの青春の夢はガロアの夢でもあったんじゃないかな。
あれは１９世紀数学の華。

105-109-110は天才

19世紀に初めて数学者が大学に職を得ることでプロとして職業にすることが
出来た。それ以前は芸人とか天文の仕事の一貫としてとか、そういった
本業の片手間に数学をしていたようなものだし、成果は大道芸人よろしく
クイズ番組みたいに王侯貴族の前で、コンペして知識を競い合ったり、
あるいは金持のパトロンがいる場合にはその資金で著書でその博識や
学問を誇ったものだった。教育するシステムがちゃんとなかったので、
マニアがそういった他人の著書を読んで学問した。教える職業では
無かった為に、系統的な整理とか体系を考える動機に薄く、博物学
的に知識の羅列や散発的な成果を積み上げていたのが19世紀以前。

こんどは嘘八百を書き並べる奴が現れたな。ガリレオの時代からして
大学に数学教授がいたのに。。。

>>135と同じ奴っぽい

ピタゴラスとその一味は数学だけやってたんじゃないの？
音楽もやってたかもしれんけど。

>>182

>>179はバカなので、マジレスしてもしょうがないと思われ。

ガロア理論は、代数関数体の普遍被覆空間(リ-マン面)というものがあって、
それのアナロジ-を数体に対して展開したものであります。

圏論で出てくるGalois connectionと、
体論で普通に出てくるいわゆるガロア理論の関係を教えてていただけると嬉しいです。

今ガロア理論の一般向けの本を読んでるんだけど、質問です。
1のn乗根ってn個あるんだけど、それはどうやって解くんですか？
例えば、1の10乗根はすべて四則演算とべき根で表せるの？

間違いなく教科書に書いてあるから、先に進めばわかる。

＞それはどうやって解くんですか？
の意味が分かりません。n 乗根の n を固定しないで、全部ひっくるめて
冪根というのだが。

>>187
私の本ではそこは省略されてました。

>>188
1の冪根は解けなくてもいって事ですか？
例えば1のn乗根の偏角が一番小さい解をa＋ｂiの形で表せるんですか？
Xn乗-1=0の解はX=n√1では方程式を解いた気持ちにならないと思うんです。

cos使え

最近思ったんだが係数をつかった無限級数和による
解の公式の研究ってだれもやってないのか？

>>189
それはオレも最初ならったときおもったな。
そもそもガロア理論の始まりが｢５次方程式でとけないときがあることを示そう｣という
目標の内にはじまってるから。
つまりおおもとは体Kをx∈K＆“x>0”⇒(∀n)x^(1/n)∈Kをみたす最小のQの代数拡大
として任意のQ係数の5次方程式がK[i]に解をもつか？
という問題だとしてガロアの理論は↑このKをすこしふくらましてKにすべての1のべき根を
くわえた体をLとして
代数的数xがLにふくまれる⇔xをふくむ最小のガロア拡大のQ上のガロア群が可解
↑これからL内にも解をもたない５次方程式があるんだから
Kでも解をもたない５次方程式があるって流れになってる。

>>187
cos使うとガロアの精神に反しないですか？
ガロアは四則演算と冪根で解けると言ってるが。
例えば1の3乗根はcos使わなくても、ちゃんと解けるでしょ。
1のn乗根がすべてちゃんと解けるかが気になるんですよ。

しまった。ちょっとデタラメだ。LはKに1のべき根全部くわえただけじゃたりん。
Lの定義は
x∈L、∃n y^n=x⇒y∈L
をみたす最小のQの代数拡大だった。あきらかにK[i]⊂L

>>192
素人なので分かりやすくお願いします。
Kとは何を意味してますか？
結論として、1のべき根自体は解けないって事でいいんですか？

>>189

根号表示のn√aで許されるのはx^n-aが既約であるもののみ。
そしてn√1などではなく、1の冪根は根号表示ができる。

>>195
俺も素人に毛がはえた程度しかしらないけど。
Kはおそらく君がおもってるQにべき根をどんどんくわえていってできる体。
　
＞結論として、1のべき根自体は解けないって事でいいんですか？
　
実部も虚部もQにKの元になるか？という問いならそのとおり。解けるときもあるけど
解けないときもある。しかしそれをとけた内にしてもらわないと３次とか４次でもとけたことに
ならないのができると思う。

>>192
x^n-1は既約じゃないから、n√1としてはいけないって事ですね。
それで、1の冪根は根号表示ができるっていうのは、どういう意味ですか？

>>194
ありがとう。なんとなく分かりました。
5次方程式は四則演算とべき根の他にさらに1のべき根を加えても、
解けない事があると理解すればいいですか？
1のべき根自体が解けないっていう事は気にしなくていいんですね。

>>198
＞5次方程式は四則演算とべき根の他にさらに1のべき根を加えても、
＞解けない事があると理解すればいいですか？
　
そう。
　
＞1のべき根自体が解けないっていう事は気にしなくていいんですね。
　
すくなくとも｢５次方程式でとけないのがある。｣ということを示すためには気にしなくてよい。
もしかしたらだれか“正の”べき根について閉じておりかつ“i”を含む体で方程式が
解をもつのはどんなときか？というのを研究した人もいるかもしれないけど。
いづれにしてもたぶんずっと問題がむずかしくなってしまうから当面は
１のべき根は全部くわえときましょう。

>>198
こんなところで聞くより、ある程度の教科書を読むほうがはるかに確実です。
老婆心ながらまとめておきますが。


定理　各nに対し、n√1を含む体Lと
体の拡大列Q=K_0<K_1<...<K_r=Lで、各iに対し

K_i=K_{i-1}(b_i)
b_iのK_{i-1}上の最小多項式はx^{n_i}-a_iの形

を満たすものがある。


（存在証明だけでなく）具体的表示を与えることについては、よく知りません。

>>196
なるほど。分かりました。
ガロアも1のべき根だけは特別視してたんですね。

>>200
オレのドッペル君？

>>197
おすすめの教科書教えて下さい。

>>203
オレそんなにくわしくないよ。オレが読んだ教科書は大学で指定された教科書の
裳華房の永田先生の“可換体論”だけど。でもこれ難しすぎるってあんまり評判よくないらしい。

>>200の意味で、1のべき根は解けます。
（n√1でなくてね。誤解されてる方がいらっしゃるかもなので、念のため。）

>>203
永田の可換体論

>>205
そうなん。しらんかった。aiは全部正でとれるの？何にのってる？

>>205
n√1は何？

>>206
永田の可換体論。
正で取れたらＲの部分体になるから、それは不可能。

>>208
すまん。オレの>>197ってまちがってるの？
つまりKを(∀x∈K、∀y>0、∃n y^n=x⇒y∈K)＆exp^(πi/2)∈Kをみたす最小のCの部分体とするとき
Cはすべての１のべき根をふくむの？

>>208
ほんと？>>209に書いた俺の疑問の答え永田先生の本にのってるの？どこ？

訂正。
　
つまりKを(∀x∈K、∀y>0、∃n y^n=x⇒y∈K)＆exp^(πi/2)∈Kをみたす最小のCの部分体とするとき
Kはすべての１のべき根をふくむの？
　
だ。オレガロア理論ならったときこの問題考えてオレの頭では答えでなかったんだけども。
もしかして簡単にふくむことが示せたりする？

>>211
含まない

>>212
やっぱり？そうだよね。含まない実例と証明おねがいします。

>>213
1の7乗根でもすでに無理。
根号を使ってあらわすことができる正の実数があったとしても、根号の
中には一般的には複素数が必要なことは理解してるね？
証明はガロア理論を使えばできる。

>>214
＞1の7乗根でもすでに無理。

＞証明はガロア理論を使えばできる。
　
具体的にはどうするんでしょう？

あ、できた。簡単だ。

あ、いや、できてない。

>>214
やっぱり証明おしえて下さい。

寝る前に問題再掲
体の列KiをK0=Q、Si={x∈R|x>0、x^n∈Ki ∃n}、K(i+1)=Ki(Si)でさだめる。K=∪Kiとおく。
∃n not(cos(2π/n)∈K)をしめせ。
>>214さんによるとnot(cos(2π/7)∈K)らしい。個人的な予想ではnot(cos(2π/p)∈K)となる素数pが
無数に存在するとおもうんだけど。
おやすみなさい。

（1の7乗根の体）∩（実数体）はQ乗3次のガロア拡大体。これをkとおこう。
Gal(k/Q)は3次の巡回群なので、kは1の3乗根の体上の3次のガロア拡大体k'に含まれる。
[k':Q]=3だとすると、k'=kとなり、kが1の3乗根を含むことになり矛盾。
したがって、[k':Q]=6。
一方、k'=Q(α^(1/3),ω)。ここで、ω=e^(2πi/3), α∈Q(ω)。
α∈Qだとすると、[k':Q]=3となるので、α\not\in Q。
α∈Q(ω)かつα\not\in Qをみたす実数はないので、αは実数ではない。

なんか読みにくいスレだな・・・
とりあえず「べき根」って言葉を「正の実数（有理数？）のべき根」と同じ意味で使うのはやめてくれ。
そんなアホな用語の使い方は聞いたことない。

K を体とし、a を K の元とする。 多項式 X^n - a が K に
おいて根を持たないとき K の代数的閉包におけるその根を
a のべき根とよぶ。簡単のために n は体の標数 p で割れない
と仮定する場合が多い。　

>α∈Qだとすると、[k':Q]=3となるので、

これは大間違い。こんなことは言えない。

「Gal(k'/Q)は6次の巡回群である」(*)　ことと
α∈Qとすると、k'はQ上non-Galoisな3次拡大体を含み
これは(*)に反するから、α\not\in Qが言えるはず・・・。

どうも基本的なところで勘違いがあるよう。出直してきます。

確かにわかりずらい。
しかし、根の置換の話や、多面体の話などを読んでみると、
同値な問題が分かりやすい形で現れたりする。、、、、、らしい。
正直、俺も分かりたい。空で言える程、イメージも豊富に分かりたい。

n が奇素数であるときに、cos や sin のn倍角の公式を書いて、
それを tan の半角の公式で書き直せば、実の方程式を得て
それが実根を持つことがわかる。そうして x＝cos + i sin
とすればよいのだ。

>>226
どれに対するレス？

結局>>219の問題は正しい？まちがい？不明？

>>228
>>223の訂正版にすれば正しいはず。
ちょっと迷ったのは、7はQ(ω)で7=ππ'と分解する。
分岐の関係から、αはπ,π'からなる数のはずなのだが、α=πまたはπ'と
すると対称性がなくおかしいと思ったんだが、実はα=π^2π'またはα=ππ'^2
とすればいい。どちらの場合も同じ体が得られる。
もっとも、Gaussの和を使っても分かることだったんだが・・・。

>>229
ちょっと議論が飛びすぎてわからん。もちょっとサルにもわかるように
証明かいてください。

>220
というかなにやってんの？これ？
Kを(∀x∈K、∀y>0、∃n y^n=x⇒y∈K)＆exp^(πi/2)∈Kをみたす最小のCの部分体
c=cos(2π/7)、k=Q(c)とするときk∩K=Qがしめすべき命題なんだけど。
>>220で示せてるの？

おっと失敬。219の問題ね。
正のべき根とiだけでは円分体（またはその部分体）はほとんど得られない
ことはわりと簡単に証明できるはず。
多分、2次体の合成体くらいしか得られないのでは。

3次方程式の解は三解全て実数ならば、実数の三乗根を用いて表せないのは
良く知られた定理。
よってこれをcos(2/7π)を解として持つ方程式に適用すれば、
他の解はcos(4/7π), cos(6/7π)で全て実数なので、実数の三乗根を用いて表せない。

ただ、>>219の問題自体、元の問題からいつの間にかすりかわってる。
元々1の冪根が四則と根号で表せるかという問題なのに、
1の冪根が実数の冪根で表せるかと言う問題になってしまっている。

で、結論から言えば1の冪根は四則と根号で表せる。
もっと一般に、方程式がQ上可解であることと、Qに1の冪根を添加した体上
可解であることは同値（というか、これは方程式の可解性を議論する上で
基本的な定理なのだが…）。

>>230
220以下で書いたことは219の問題全体を扱う方法としては効率が悪い
ので、別の方法をおすすめします。
>>231
219の問題を扱ったのではないので忘れてください。

232は撤回。2次体の合成体よりは広い体が得られる。
多分、平方根だけをひらいていくことで得られる円分体の
部分体くらいだろう。

>>233
いや、おおもとの質問>>186からたどっていくと>>219になる。
つまりたとえば186のはなしからいえば
7√1(←1に7乗根の根号をかぶせたもの)=cos(2π/7)+isin(2π/7)と書くこと自体に抵抗をおぼえている。
で186の疑問はもっと“狭義の”べき根、つまり正の数のべき根のみをQに添加していった体に
cos(2π/7)などはふくまれるのか？ということが>>193などで提出された。
(実際そういうことを聞いているというのは>>189などをみればわかる。彼にとって“解ける”というのはそういう意味だろう。)
でそういう狭義のべき根のみをくわえた体だけではcos(2π/n)の形の元がすべてあらわれるわけではないという
197に対し>>205などが異をとなえた。で219で問題を整理して再提出されたという流れ。
したがって>>197の問題が肯定的に解かれるといってる人間が何人かはいる。（他には>>214など。）
しかし現時点で219の問題を肯定的にも否定的にも解いたレスは一つもｔない。

すくなくとも>>219の解釈が>>186が暗に提出した問題の正しい解釈であるか否かによらず
それを肯定的にとけるといった>>205や>>214などは証明をのせてほしい。
あるいは勘違いで>>219の答えをもってないならそれでもいいがその旨ぐらいはかくべきだと思う。

>>219の問題はもともと勘違いから生じた問題だろう。
「べき根であらわされる正の実数」と「正のべき根であらわされる実数」
とを混同したことが始まり。問題としてもつまらない。
>>205は「狭義のべき根」の意味で言ったのではないはず。
勘違いした本人以外にとっては面白くない問題なので、本人が勉強して
解きましょう。

もうそれでいいや。わるかったね。引っ張って。

>>186
ζ = √(√5-1+2√((-5-√5)/2))/2
ζ^10 = 1

>>236>>238

失礼ながらどうもまだ誤解されておられるようなので。

「1の冪根は解ける」という命題のガロア理論における
スタンダードな解釈は、>>200で述べつくされています。
高次方程式の可解性云々も>>200の意味です。
永田をよくお読みください。

あえて制限をつけて難解な解釈にすると
>>219の問題が得られるわけですが、
これはこれで一つの面白い問題であるとは思います。
少なくとも私は即答できませんが、
類体論などに詳しい方ならすぐに分かる類の事と思います。

>>238は>>239の間違い。

>>186
ζ = (1+√5+√(2√5-10))/4
ζ^10 = 1

>>233
＞3次方程式の解は三解全て実数ならば、実数の三乗根を用いて表せないのは
＞良く知られた定理。

それは容易だが、>>219より随分弱いのでは？

e^(2πi/7) =
(√(-7) - 1 + (56-4√(-7)+12√21)^(1/3) + (56-4√(-7)-12√21)^(1/3))/6

ただし
(56-4√(-7)+12√21)^(1/3) ≒ 4.81060276 - 0.1524875 i
(56-4√(-7)-12√21)^(1/3) ≒ -0.0696639528 + 2.19772508 i

スレが伸びてると思ったら・・・

体とか、痴漢とか、いやらしいスレだな

>>219
以下「ガロア拡大」とは自明でないガロア拡大を指すことにする。

１．K/kがk上のガロア拡大を一つも含まずL/KがK上のガロア拡大を一つも
含まないならば、L/kはk上のガロア拡大を一つも含まない。

２．L=K(a^(1/n)), a∈Kとする。Kが1の自明でないn乗根（つまり1以外）を
一つも含まないならば、Kはk上のガロア拡大を一つも含まない。

３．円分体の任意の部分体はQ上のガロア拡大である。

１．２．３．はガロア理論を使えば、いずれも簡単に証明できる。
１．２．３．より、Qに正の奇数乗根だけをいくら添加していっても
円分体の部分体（Qを除く）は全く得られないことが分かる。
実際には平方根の添加によるガロア拡大があるので、１．の
ステートメントをやや複雑なものに置き換えなければならないが
難しくはないだろう。

２．L=K(a^(1/n)), a∈Kとする。Kが1の自明でないn乗根（つまり1以外）を
一つも含まないならば、LはK上のガロア拡大を一つも含まない。

奇素数p次の円分方程式の解法はガウスが算術試作の最後の章で解答を与えている。
1のべき根を周期と呼んだグル-プに別けてやる。p-1＝Nとするときに
Nが2のべきになっているときがもっとも簡単で、それが初等作図できる
正多角形の場合に該当するが、それ以外の場合についても、Z_pの乗法群
がガロア群(ガウスはガロア群という言葉はもちろん使っていない)となって
いることを利用して、群の作用で不変であるような対称式を作り、それを
係数とする方程式を解くとよい。詳しくは高木貞二の初等整数論講義を
みられたい。

ガウスはそこまでやりながら何故ガロア理論に到達しなかったのだろう。

俺が読んだガロア理論の本では、どれも以下の定理が基本的な
役割をはたしている。

定理
K を体で L/K を次数 n の巡回拡大とし、K の標数は0であるか
素数 p のときは n は p と素とする。 K が x^n = 1 の根を
全て含むなら L = K(θ) となる。ここでθは K における
既約多項式 X^n - a の根である。

どの本の証明も天下りにラグランジュの分解式を定義して使っている。
俺が思うに、この証明がガロア理論の中で一番トリッキー。

0000

トリッキー、つまり技巧的でわかった気がしない。

ア-ベルとガロア以前にルフィニという人が根の置換群に着目して5次方程式の
不可解性を既に証明して本を出していたが、なぜか流布しなかった。

ガウスの円分体の理論(円周等分方程式論)の最後に、ガウスはレムニスケ-ト
の周の等分についても同様の理論を展開できることを一言だけ述べている。
ア-ベルやガロアがこれを読んでおり、後にア-ベルが楕円関数の周期に
於いて等分方程式を論文にて導いてこれがア-ベル方程式という言葉および
ア-ベル群という言葉の起源である。ア-ベルは、コ-シ-の置換論をも
学んでおり、(ルフィニも同様だろう)、それをもとに5次の方程式を
べき根では解けないことを証明して小冊子を作って主だった数学者
(ガウスも含む)に送ったが、誰からも無視された。理由の一つには、
結果を余りにも圧縮して書いた為に、当時の数学の常識とのギャップが
大きくて、読む側にも判断が付き難かった為であろう。(今日、既に
答えを知っている側が好意的に読むのとは違うわけです。)
ア-ベルは間もなく結核で死ぬが、その直前にクレレ誌に於いて楕円関数論
を展開して、一流の数学者として認められた。当然方程式論も見直された。
ガロアはそれらを知った上で、さらにべき根で解かれる方程式はどのような
ものかを考察し、正規部分群の概念や群と体の関係(ガロアの対応)を発見し、
べき根で解かれる為の条件を解決した。しかしその結果は、死後に遺稿を
有人の数学者が判読することで発見されたのです。

このように、成果を得ていながら、無視されたり、成果を発表する機会が
なかったり、若くして結核等で病死するなどのことは、昔は多かったようで
すね。

いろいろ勉強になりましたが、正直初学者の私にはちょっとついていけないです。
結局、1のべき根は、n√1以外にもうまく表現する方法があるって理解すればいいですか？
もう一つ、初歩的な質問なんですが、
3次方程式の解法で3√（a＋bi)という形が出てきますが、
x^3=a＋ｂiを満たすxは3つあるでしょ。
3√（a＋bi)と表記した場合に、それはその3つのうちのどれを表すんですか？

>>256
１の（原始）n乗根は必ずnより小さいインデックスのべき根で表せる。
>>243 >>245 なんかはその例。

n乗根の記号は、この手の話だとどれを取るとかいうあらかじめ決まった約束はない。
（約束があったりするといろいろ面倒なことが起きる）
文脈によって、任意のひとつだったり、特定のひとつだったりする。
例えば、３次方程式（x^3+px+q=0）の解の公式だと、
３乗根の記号を [3]√ と書くと、
x = [3]√u + [3]√v, ω*[3]√u + ω^2*[3]√v, ω^2*[3]√u + ω*[3]√v
u = -(q/2) + √((q/2)^2 + (p/3)^3), v = -(q/2) - √((q/2)^2 + (p/3)^3)
と書いたりするけど、３乗根は
[3]√u * [3]√v = -p/3
となる組を取ると断ってあるはず。
（これは、[3]√u を任意に取って、
[3]√v のほうは [3]√u * [3]√v = -p/3 となる特定のものを取るというのと同じ）

>１の（原始）n乗根は必ずnより小さいインデックスのべき根で表せる。
アルゴリズムはあるの？

>>258
あるよ。>>250 が書いてる。

>>258
>>252から出る。

>>251
ガウスはそういう「概念」の話に興味がなかったんじゃない？
ガウスが昔気質なのか、アーベルやガロアが新人類だったのか？

楕円関数が初等関数でないって簡単に証明できる？リーマン面？

>>261
円分体つまりアーベル拡大には興味があって非可換ガロア拡大に
興味無いってのは考えにくい。後者は前者の拡張になっているわけだから。

興味があっても到達できるとは限らない、というだけの話。

ガウスの時代の数学者は、研究態度として
解法を(しかも原理的であってもそれが構成的に)与えることに主眼があり、
存在しないことの証明というものは、まだ当時の学問的には
まだ一般的な態度ではなかったはずだ。もちろんフェルマ-の大定理
みたいな不存在性をあからさまに証明要求している命題はあったのだが。

不存在の証明というものが、法律学では悪魔の証明といわれるように、
論理的にいっても、あることが存在するという主張は実例を持っていれば
唱えることは容易だが、存在しないという証明は、なかなか難しい。
その前提として、どういう範囲に於いて存在しないとするのかをきちんと
見極めないと、抜けが生じがちである。不存在の証明というものは、
極めて一般的な構造に対する正確な把握が無しには完成しない。

>>265
ガウスは正１７角形の作図が可能なことを円分体論を使って
証明した。当然彼は正ｎ角形が作図可能な条件を知っていた。
つまり作図不可能な条件も知っていたということ。
これは不在証明でしょう。

>>266
>ガウスは正１７角形の作図が可能なことを円分体論を使って
>証明した。当然彼は正ｎ角形が作図可能な条件を知っていた。
>つまり作図不可能な条件も知っていたということ。
>これは不在証明でしょう。

作図可能であるための十分条件を知っていただけで、
作図不可能であるための必要十分条件を知っていたわけではない。

>>109
>正標数も少なとも有限体の場合は理解していた。一般の場合も
>理解していたと俺は思うが証拠はないだろうからこれ以上議論
>しても無駄だろう。しかし、正標数といえどもガロア理論は
>分離拡大を扱うので標数０の場合と大して変わらない。
>このあたりは正標数が本質的な困難をもたらす代数幾何とは異なる。
>無限次ガロア理論は確かに考えてなかっただろうが、それが
>どうしたのと言いたくなる。あんなものは有限次の場合の射影極限
>に過ぎないわけで．．．

まさにその通りじゃ。

>>267
その根拠は？
素数ｐに対して正ｐ角形が作図可能な必要十分条件は p = 2^n + 1
と書けることであることはガウスの円分論からすぐ出そうだけど。

相対性理論 ＝ ガロア理論

前提として、奇数次の既約な方程式が、平方根のみでは解かれないことを
示さないといけない。

>>271
簡単のために円の素数ｐ等分の問題だけに限定しましょうよ。
この場合でも作図可能な必要十分条件があるわけだから。
でガウスはこの場合も必要十分条件を得ていなかったと？

ガロア関係のスレには必ずアホがしゃしゃりでてくるな

立方体の倍積問題つまりx＾3＝2がQ上平方根のみではけっして
解かれないことを最初に示したのは、だれだったかな?
ガウスよりも前だったか、それとも後だったか。

アホはしばしば知恵者を自分より劣るアホと間違える。
なぜなら、アホは知恵者が当然とみなす前提なり理屈を理解出来ないから。

アホ=417

>>275
例えば>>276ですね。

アホは>>267と>>268。例の417の可能性もあり。

417って、岡スレのアレか。また現れたのか？

煽りあげ。

角の三等分が不可能であることは、體論から出てくる。
すなわち三次方程式が平方根のみで解かれるのであれば、
そもそも可約である。
という事実だが、これをガウスの青年時代に証明可能であったかどうか。
もしも、この厳密証明がガウスの青年時代にはまだ無理だとしたら、
ガウスは初等作図できる正多角形が 2＾N F_1 F_2 。。。。 F_N角形
のみに限る、ここでF_1などはフェルマ-型の素数である
という事実を証明できたとは思われない。可能性は具体的に与えているから
分かるが、それだけに限るということが言えたのか?

>>281
なにが言いたいのかよくわからんが、とりあえず何で
「体」だけが旧字体なのか説明してくれ。

それは彼が2ndﾏｽﾏﾆｱだからじゃないでしょうかね

431

ガロアってIQ(知能指数）どのくらいあったんだろう。
ちなみに君たちのIQはいくつだった？

＞■ガロア理論■簡単に説明して下さい

君には理解不能な理論（終）

ガロア理論：抽象的な数学は理解が困難であるという理論。

抽象的な方が簡単だろ。
具体的な問題の方が普通は難しい。

誰だったか忘れたが高名な数学者がセミナーで次のように発言したという：
「もっとわかりやすく、抽象的に話してください」

>>288
半可通の意見だな。

漏れは、ガロアの基本定理自体は抽象的にはすぐ理解できたが、「方程式論への応用」
になったとたん、対称式とか判別式とかラグランジュの分解式とか特殊な具体論がいっ
ぱい必要になって辟易した

理解を容易にする手段の一つに抽象化があるだけの話。
同様の手段の一つに具体化があり、本来難易度と抽象性・具体性の間に一切関係はない。

抽象化すると分かりやすいか。そうかそうか。確かにBourbakiは
わかりやすいよな。Grothendieckのschemeもtoposも
etale cohomologyも derived categoryも分かりやすいし。

>>293は賢いな（ｗ

>>293
schemeは抽象化だが、
etale cohomology とか derived category って何かの抽象化になってるのか？

抽象的な表現
と
抽象化
を混同してる人がいますね

>>296
それは君。

高校時代は数学がトップだったけど、
大学では数学の教育を受けてません。
こんな私が独学でガロア理論を理解できますか？
何冊か本持ってるんですが、いつも途中で挫折してしまいます。

挫折しなければ理解できます。

抽象化は、最初に具体的な事例の多くを知り、研究した上でサマリ-(要約)
として打ち建てれるものであって、その際に抽象化にとって邪魔な各事例の
個性は取捨撰択して捨てられる。食物から栄養素を化学分子として単離する
ように。
もうちょっと好意的な受け止めかたは、抽象化は異なるものごとを
背後にある共通の仕組を指摘して固定することで、整理し、分類し
理解を堅固にする為に便利なものである。そうでなければ、博物学的
なアプロ-チでは、数学の文献は分厚くなるし、専門分野がますます
細い針の如くになっていく時代にあっては、お互いがバベルの塔の
伝説の如く、実は同じ事柄を、別の言葉で呼び合っていたり、車輪を
あちらでもこちらでも再発明することになろう。
抽象化は取捨選択整理による、一種の知識の圧縮であるが、可逆な
圧縮ではないから、どうしても失われるものが出てくる。あくまでも
抽象化される前のことを良く知った上で抽象化したらこうなるという
形で学ぶのが理想で、抽象化のみを先に知って、そのよって来る源泉
を知らないのであれば、旅行のガイドブックのみを読み見して、観光を
するも同然であろう。

翻訳すると、
「数学者諸君、現実世界（特に情報科学ｗ）に目を向けなさい」

>>293=>>297

>>302
違うよ。

>>301
あー臭い臭いｗｗｗ

>>304
荒らしか？

おい>>293、もう黙ってろよｗ

>>306
よほど気に障ったなｗ

抽象化すると分かりやすいか。そうかそうか。確かにBourbakiは
わかりやすいよな。Grothendieckのschemeもtoposも
etale cohomologyも derived categoryも分かりやすいし。

作図可能な条件が十分であることを示したが、
それ以外は不可能であることの証明はついに描かれなかった。
D.A.の最後の文章には、厳密な証明が出来るとだけ言い切っているのだが、
(高瀬氏による日本語訳の最終章の最後から2ペ-ジ目を参照のこと)
それはついに発表されなかった。筆がすべったという可能性もあるが、
たぶん証明の方針は持っていたのだろうと考えられる。もしもそのような
不可能性の証明がD.A.に与えられていたとすれば、体論の発展がさらに
加速しており、五次方程式の代数的不可解性やガロア理論相当がもっと
早く発見された可能性があろうかと。

ところで、どこかに、ア-ベルが配ったと言われる短いパンフレット
の「5次の一般的な代数方程式の解の不可能なことについて」という
ガウスによってたちまちごみ箱行きになったとされる論文の英語訳や
日本語訳版(ネットにでも)ないの?

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Bookpages/Abel4.gif

抽象化とは、数学の構造を理解し、分解し、再構成する技術である。

>>298
＞いつも途中で挫折してしまいます。

どこで挫折するか書いてごらん。
同じ場所のはずだよ。
例えば群の定義とか（ｗ

練成開始だな、エドワード

>>300
抽象論だけですむか？というのは、栄養ドリンクだけで食事のかわりになるか？って
ことだな(w

>>312
方程式の群とかガロア群というのが難解です。
その方程式の群が巡回群であれば解けるというのが、
イメージできないです。

ガロア理論面白いですね。
数学以外の分野に生かせないのが、残非常に残念です。
何とかして、他の分野に生かせないのかなあ。

>>315
難解なんじゃなくて理解できないんじゃない？
つまり体の自己同型ってのが君には
全くイメージできていないんじゃない？

剰余類と商環のイメージが難しくて、泣けてくるよ。

>>315氏のために漏れの体Fの体E上の自己同型σ:F→Fのイメージをかいてみよう。
im(σ)=σ(F)=F. できたー！
うそうそ。
漏れは、同じ形のまる(F)が二つ横に並んでて、
その中にたとえば有限個の点(FのE上の体生成元)がおなじようにあって
左のまるの中のその点が右のまるの点に適当な置換になるように対応している
っていう絵が思い浮かんでいまーす！

>>315
たとえばさ、非常に非常にプリミティブな例として、（複素）平面上の単位円に、
1を頂点とする内接正三角形を描いて、この正三角形に自分自身を対応させる対称
移動（60度回転とか、120度回転とか、裏返しとかetc）やその合成をいろいろ考
えたもの（結局は1,ω,ω^2のなす巡回群を考えているわけだけど）が、「方程式」
x^3-1=0 の「構造」を表している、っていうイメージは持てるわけ？

>>320
おおー高校数学でも出てきますねーそれ。
大学生のいい方だと1,ω,ω^2のなす巡回群っていうのがガロア群なんですか？

>>320
それ位はイメージできる。
例えば、5次方程式でその方程式の群が正則巡回群となるような
方程式がイメージできない。
方程式の群が素数位数の正則巡回群になるという特別な場合というのが
イメージできなくて悩んでいる。

>>322
１の原始１１乗根を求めるときに、２次方程式と５次方程式を解くわけだけど、
この５次方程式がその例になってない？

「イメージ出来ない」じゃなくて「構成出来ない」の間違いじゃないのか

>>320
おまい、勘違いしてるぞ。そもそもGal(C|R)の元として
Q上のガロア群の元を捉えようとするのは的外れ。

>>325
横からスマソが、おまいの言ってることがよくわからんのだが。

>1,ω,ω^2のなす巡回群
>x^3-1=0 の「構造」

Z/3Z≠Z/2Z

>>320,325-327

x^3-1=0はQ上既約じゃないしね。1の原始3乗根ωを「定義」する多項式はx^3-1じゃ
なくてx^2+x+1だから（Qから最小分解体への）拡大は2次で、ガロア群はσ：ω→ω^2
を生成元とする2次の巡回群<1,σ>。
　幾何学的イメージでいえば、頂点1を固定して正三角形を反転するだけか。

よく例に使われるx^3-2=0ならQ上既約になるが、こんどは拡大が6次になって複雑だし。

　Q上のガロア群が<1,ω,ω^2>になる三次方程式はたとえば x^3+x^2-2x-1=0 とか。
幾何学的イメージは、1を頂点とする正7角形を考えて、原点から上下対応する2頂点
へのベクトルを合成した実軸上のベクトル3種が3実根で、それらの置換がωにあた
る。
　うーん、まわりくどいな。>>320に似た幾何学的簡明さをもつ例はないものか…

標数0の体Kでは，
判別式(根の差積の平方)Dの平方根が基礎体Kに属している場合，
K上既約3次方程式の群は位数3の巡回群になる．

円周率πが体Q上において代数的でない事は証明されてますが、
体Qのすべての代数拡大体の中にも存在しないって事は証明されてるんですか？

turidesuka?

>>329
＞判別式(根の差積の平方)Dの平方根が基礎体Kに属している場合，

問題にされているのは、そういう方程式の中で根の配置やガロア対応が幾何学的に見
やすいものがあるか、ってことでは？

>>328
x^4+1=0はどう？

>>328
x^3-2=0をQ(ω)上の方程式と思うことにすれば、>>320のイメージほぼそのままに
なるのでは。

（「1の根は自由に使用してよいものとする（すでに添加されているとする）」という
設定は不自然じゃない。一般方程式の解の公式などもその設定でやるし。）

確かに複素平面上に根をプロットして、ガロア群をその上の置換群と理解しても良いけど、
Ｃ上にまで目に見えるように自己同型が拡張される訳では全然無い。
320でしているのは、具体的な置換群を線形群に埋め込むといった類の事柄で、
体の拡大とはあまり関係なく思えるのだけど、体論あるいは数論としてメリットがあるのでしょうか。

有理数体上の任意のアーベル拡大はある円分体の部分体であるという
クロネッカーの定理の証明の方針は？

>>252
その定理はGalois cohomologyというかHilbertの定理９０から
直に得られる。この方法を使った本もあるのに気が付いた。
この方法も全然分かりやすくないが。

Lagrangeの分解式も本質的にはHilbertの定理９０と同じ。
つまり、代数的可解性の基本となる定理にGalois　cohomology
が関係しているわけで興味深い。リーマン面の被覆群をガロア群
と考えれば、Galois　cohomologyはその被覆リーマン面の
位相幾何的なcohomologyと一致するわけで、ここに
Galois　cohomologyが重要な理由がある。

＞ここにGalois　cohomologyが重要な理由がある。

はにゃ？？

>>338
位相幾何におけるcohomologyの重要性がわからないってこと？
なら位相幾何の勉強すればわかる。

ヒルベルト９０ってヒルベルトが９０歳のときに発見した定理だからそう呼ばれてるんだっけ

違う。彼の母親の９０歳の誕生日に発見した定理だから。

真にうける人がいると(masaka)可哀相だからほんとのことを言うと、
ヒルベルトの書いた代数的整数論の本の９０番目の定理だから。

平易な解説↓。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/

>>343　ガロアコホモロジーに触れてないじゃん。

呼び方だけど、みんなはガロア派？ガロワ派？

おれはガロイス派。

声に出すときは「ガロア」
ノートや黒板などに名前を書くときは
心の中で「ガ・ロ・イ・ス」と言いながら書く

他にもルベーグやルジャンドルなども同じような状況だ

ttp://no.m78.com/up/data/u030785.jpg
本名は「チョウイチ」

「oi」は「ワ」と読むほうがフランス語の日本読みの習慣に忠実だが、それなら
「Galois」は「ガルワ」と書くべきだ。

だから漏れは「ガロア」派。

ガルワのほうが原音に近いんじゃないの。

>>344
Milneのオンライン本
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html

上記のp.58にHilbertの定理９０について書いてある。

紹介しといてなんだけどちょっとズサンなとこがあるね。もったいない。

どこが？

>>349
そうだけど（そして外国語の日本語表記は英語読みでなく現地音に忠実であるべしと
いうのが原則だけど）、習慣として選択肢が「ガロア」と「ガロワ」しかないから。
そう考えると「ガロワ」は中途半端すぎると思う。

「チェビシェフ」も原音重視なら「チェビショフ」だよな（「チェブィショーフ」と
書いてある本があって、それはやりすぎだとオモタ）。実際、昔の政治家フルチショ
フはちゃんと「チョフ」が習慣になってる。
（同じ語に違う読みが当てられる変な習慣がついた例は、他にも「（オードリー）ヘ
ップバーン」と「ヘボン（式ローマ字）」などいろいろあるが…）

そんなこといったらHadamardやLegendreなんて最後は
どうやって日本語で書くんだ？
ル（ここ、水無しで嗽をするように）なんて書くのか？

原音重視は別に間違ってないと思うけどね。別にアメリカに
あわせる必要なんてないのだから。

我露亜
肌丸

>>354
原音重視という意味は、英語読みとかにしないというくらいの意味です。

＞ル（ここ、水無しで嗽をするように）なんて書くのか？

ワロタ。
昔、森鴎外だったかがゲーテをギョエテと書いたため「ギョエテとはオレのことか
とゲーテ言い」などという川柳が生まれたくらいで、それはやりすぎ。「インク」
か「インキ」かなんてのもどうでもいい（統一した方がいいとは思うけど）。

＞原音重視は別に間違ってないと思うけどね。別にアメリカに
＞あわせる必要なんてないのだから。

そうそう、それが言いたかった。アメリカ人は「ヒルベルト」を平気で「ヒルバート」
と読むし。「毛沢東」を日本人が「モータクトー」と呼ぶようなもんだろうけど。
日本人が英語読みするのは滑稽でしょう。

さて「Liouville」の読みは？(w

Σ（ﾟдﾟlll）
普通にリゥヴィルって読んでたが……。正しくは何て読むんだぁ!?

http://www.shugiin.go.jp/itdb_kaigiroku.nsf/html/kaigiroku/000414720000512020.htm
http://www.shugiin.go.jp/itdb_kaigiroku.nsf/html/kaigiroku/009615520021108003.htm

国会でも名前が挙げられているガロア。やはり天才は違いますね。

体ＱにＱ係数のｆ（ｘ）=0の解の一つαを添加した体をＱ（α）としたりするでしょ。例えば、Ｑ（√2）等のように。その時、Ｑ（α）って2次拡大になるとは限らないですよね？
教科書にはＱ（α）は必ず有限次拡大体になるような書き方をしてますが、
それが体になるのがどうして自明なのかが分かりません。
あと、有限次拡大をベクトル空間のように扱うのって一般的なんですか？
ベクトルのイメージと違う感じがするんですが。
有限次拡大→代数拡大だけど、逆は成り立たないでしょ。
有限次拡大って2次、3次位まではイメージ沸くけど、
次数が大きくなってくるとどういう体になるのか分からないです。
そういう事を詳しく説明してる本ってありますか？

>>359
>2次拡大になるとは限らないですよね？
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。

>それが体になるのがどうして自明なのかが分かりません。
というと、Qを含み、αを含む最小の体をQ(α)と定義した訳じゃないんだな？
分からなければ、f(α)=0を利用して分母の有理化とかして証明するが吉。
木田祐司『初等整数論』に無茶苦茶丁寧に議論されてた気がする。

>ベクトルのイメージと違う感じがするんですが。
有向線分の同値類としてのベクトルとはイメージが違うかも知れないけど、
実際 a+b√d と書く代わりに (a,b) と書けば、つまりこれは基底を{1,α=√d}
ととって表現してるわけだけど、そうすれば、数ベクトルと自然に同一視はできる
わな。ベクトル空間の公理を満たすのはほとんど自明だから、分からなければ
手を動かして証明してみるのが吉。

高木貞治『代数的整数論』はなんだかんだ言って分かりやすかったけど、
そういうイメージを掴むのに役立つのかは知らん。

そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。
そりゃあ、1次拡大(?)の場合もあるが。でも3次拡大にはならんわな。

>>360
3次拡大にならないって本当？たとえば、f(x)＝ｘ^3-2の場合はどうですか？
普通はαを含む最小の体をQ（α）とするんですか？確かにそのほうがわかりやすいですねえ。
その場合、Q（α）の拡大次数と方程式f(x）の次数は関係してくるんですか？
ベクトル空間の公理を満たすのは理解できるんですが、基底が一次独立かどうかがわかりずらい。
すなわち、f(x)=0の解をたくさん添加していった場合にどの解とどの解が一次独立なのか
ベクトルのように簡単にわからないのではないですか？
ベクトルだと平行じゃないもの同士は一次独立だけど、Q（α）の場合の一次独立というのは
どういうイメージなんですか？

普通じゃない定義ってどんなだ。

>>362
少しは考えるか、調べるか位してくれ。

何かたくさん勘違いしてる。

本当に悩んでるので、だれかアドバイスして。

まずは自分が読んでる本に出てくるQ(α)の定義を書くべきじゃないのか

線型代数の勉強をする。

>>361-362
ｽﾏｿ √2に引きずられて何故か勝手にdeg f = 2と思いこんでた。

対の有限次拡大をベクトルとみなすと、
内積とか定義できないんじゃない？
ベクトルでは内積定義できるのに、有限次拡大は　内積定義できない
ってのはやはり不自然だよ。

内積を定義はできる。
線型空間の定義に内積はない。
次元を定義するのに内積は必要ない。
ベクトルの使い方が変。

なんかやたらとレベルの低い奴がいるな。
いやレベルが低いというか、様々な概念の定義を
知らないんじゃないかっていう奴がいる。
体論の勉強する前に線型代数からやり直したほうが良さそうだ。

高校生以下だろ

以下は代数学の基本定理のArtinの証明にヒントを得て俺が
少し拡張したもの。

定理
ｋを標数０の体とし、ｋ上の奇数次の１変数代数方程式が必ず
ｋにおいて根を持つとする。
Ｌをｋの有限次ガロア拡大でＬの任意の元の
平方根がＬに含まれるとする。
このときＬはｋの代数的閉包である。

この定理から直に代数学の基本定理、即ち複素数体が実数体の
代数的閉包であることが出る。

この定理が正しければ証明し、正しくなければ反例を示してくれ。

>>374
まず、k上の任意の有限次拡大体 K(≠k) の次数は偶数である
ことに注意する。何故なら、K は単拡大 k(α) であるが、仮定
よりαの最小多項式の次数は奇数では有り得ないからである。
K/k を有限次ガロア拡大とし G をそのガロア群とする。
G の位数は偶数だから 2-Sylow部分群 P を持つ。 P で固定される
K の部分体の k 上の次数は奇数だから k に等しい。
よって G = P である。
f(X) を k 上の多項式とし、f(X) を L の代数的閉包において
１次式の積に分解する。L に f(X) の全ての根を添加した体を M
とする。M/k はガロア拡大だから、上で示したことからその次数は
２のベキである。M/L もガロア拡大であるが、この次数が１より
大きいとすると、L の２次の拡大体が存在することになって、仮定
に反する。よって L = M であり、L は f(X) の分解体である。

証明できてない段階で定理って書くなよ

私は数学の専門教育を受けていないので、よく知らないのですが、
高校まで数学の知識から他の分野を飛ばしていきなりガロア理論を勉強することはできないんですか？
もしできないのなら、最低限勉強しておかなければならない
分野は線形代数、集合論などの他に何かありますか？

>>376
証明は出来てた。>>374=375の最終定理。

>>377
それだけで十分。

>>375の証明から次のことが分かる。
ｋを標数０の体とし、ｋ上の奇数次の１変数代数方程式が必ず
ｋにおいて根を持つとする。ｋの代数的閉包をΩとすると、
ガロア群Ω/ｋは２−群、即ち位数が２べきの有限群の射影的極限である。
このΩがｋ上無限次となる例は知らないが。

因みにお前ら、多項式の可解性の問題点についていつ頃疑問を持ちましたか。
おれは１３歳だった。

おれは４歳だった。

他人がいつ頃疑問に思ったかなどどうでもいい…
いや、やっぱりガロアがいつ疑問に思ったかは気になる。

>>383
ガロアが数学に触れたのは１４歳頃らしいからどうしてもそれ以後
だろうね。彼が通ってた学校では数学は必修科目ではなかったようだ。
ヨーロッパ的というか。

＞ガロアが数学に触れたのは１４歳頃
天才にも程があるぞｺﾝﾁｸｼｮｰ

ガロアは最高の天才。ガロア以上の数学者をあげてみろよ。

16歳ごろって読んだ記憶が。

ガロアって、彼以上に功績をあげた数学者はたくさんいるのに、
その若さでの死が彼を神格化しちゃってるよね。
あと名前がかっこいいのも一因かな

名前が「ガロア」じゃなくて「ドドメッキー・マロブン」とかならどうだ
どうだって何がどうかはわからんが

>>388
彼の遺書に書かれた内容が、その時代の数学を超越したものであるから
ということもあるんじゃないかな？

ココ↓のガロア理論はスッキリしてる。かなりオススメ。
http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Courses/311/

ロットマンのよりぜんぜんイイ。

仮にガロアが彼の主なる論文を書き上げる前に、殺されていたら、
ガロア理論は何年遅れて発見されただろうか?
30年か、あるいは50年か?

リーマンが、ガロアの代数関数の被覆面の理論を知っていたのかどうか、
などなど、歴史的興味は尽きない。

>>392
ガロア理論が数学界に認知されたのはガロアの死後５０年後
くらいじゃないのか。そうだとすると、ガロアがいなかったら
ガロア理論が発見されるのは５０年より後ということになる。

>>391
そのリンク先の Lemma 3.57 は>>252の定理と同じものだけど、
その証明はやはりLagrangeの分解式を使ったVan der Waerden
の本にあるのとまったく同じだね。俺には何故あのような式を
思いつくのかが分からない。

あげとく

群の指標を学べば、フロベニウスによる指標による表現の分解が、
ラグランジュの分解式の一般化になっていることが分かる。

>>394
（・３・）　エェー　例えば、x^3+px+q=0っていう3次方程式を考えてみなＹＯ！
　　　　　　　　　　こいつの解はx^6+qx-p^3/27=0っていう6次方程式の解に
　　　　　　　　　　なってるＹＯ！逆、に3次方程式の解をx_1,x_2,x_3とすると、
　　　　　　　　　　6次方程式の解は(x_i+x_jω+x_kω^2)/3　(i,j,kは0,1,2のい
　　　　　　　　　　ずれか)と言う風に表すことができるというのがラグランジュ
　　　　　　　　　　の着想だＹＯ！

>>397
よくわからん。３次方程式を６次方程式に代えて何が嬉しいの？

>>398
（・３・）　エェー　カルダノの方法を知らないのかＹＯ！
　　　　　　　　　　

ネットワーク上の百科事典 WIKIPEDIA
http://ja.wikipedia.org/wiki/Main_Page
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
をみよう。

(
(a b c d e) (a b c e d) (a b d c e) (a b d e c) (a b e c d) (a b e d c)
(a c b d e) (a c b e d) (a c d b e) (a c d e b) (a c e b d) (a c e d b)
(a d b c e) (a d b e c) (a d c b e) (a d c e b) (a d e b c) (a d e c b)
(a e b c d) (a e b d c) (a e c b d) (a e c d b) (a e d b c) (a e d c b)
(b a c d e) (b a c e d) (b a d c e) (b a d e c) (b a e c d) (b a e d c)
(b c a d e) (b c a e d) (b c d a e) (b c d e a) (b c e a d) (b c e d a)
(b d a c e) (b d a e c) (b d c a e) (b d c e a) (b d e a c) (b d e c a)
(b e a c d) (b e a d c) (b e c a d) (b e c d a) (b e d a c) (b e d c a)
(c a b d e) (c a b e d) (c a d b e) (c a d e b) (c a e b d) (c a e d b)
(c b a d e) (c b a e d) (c b d a e) (c b d e a) (c b e a d) (c b e d a)
(c d a b e) (c d a e b) (c d b a e) (c d b e a) (c d e a b) (c d e b a)
(c e a b d) (c e a d b) (c e b a d) (c e b d a) (c e d a b) (c e d b a)
(d a b c e) (d a b e c) (d a c b e) (d a c e b) (d a e b c) (d a e c b)
(d b a c e) (d b a e c) (d b c a e) (d b c e a) (d b e a c) (d b e c a)
(d c a b e) (d c a e b) (d c b a e) (d c b e a) (d c e a b) (d c e b a)
(d e a b c) (d e a c b) (d e b a c) (d e b c a) (d e c a b) (d e c b a)
(e a b c d) (e a b d c) (e a c b d) (e a c d b) (e a d b c) (e a d c b)
(e b a c d) (e b a d c) (e b c a d) (e b c d a) (e b d a c) (e b d c a)
(e c a b d) (e c a d b) (e c b a d) (e c b d a) (e c d a b) (e c d b a)
(e d a b c) (e d a c b) (e d b a c) (e d b c a) (e d c a b) (e d c b a)
)

X^4+X^3+X^2+X+1=0の解
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4
をＱに添加した体をＱ(ζ)とする。
σ(ζ)=ζ^2
と写像σを定義すれば
σ∈Aut Ｑ(ζ)/Ｑ・・・（Ａ）

なぜ（Ａ）となるのか分かりません。
どなたか教えてくれませんか？

>>402
　　　　　　　　　＼　　　∩─ｰ､ 　　　====
　　　　　　　　　　 ＼／　●　､_ ｀ヽ 　　======
　　　　　　　　　　　/ ＼(　●　 ● |つ
　　　　　　　　　　　|　　 X_入__ノ 　 ミ　　　そんなネタで俺が釣られクマー！
　　　　　　　　　　　 ､　(＿／　　　ノ　/⌒l
　　　　　　　　　　　 /＼＿＿＿ノﾞ＿/　 /　　=====
　　　　　　　　　 　 〈　　　　　　　　 ＿_ノ　　====
　　　　　　　　　　　 ＼　＼＿　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　＼＿__）　　　　　＼　　　======　　　(´⌒
　　　　　　　　　　　　　　　　＼　　 ＿＿_ ＼＿＿　　(´⌒;;(´⌒;;
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＼＿＿＿）＿＿＿）(´;;⌒　 (´⌒;;　　ズザザザ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(´⌒;　(´⌒;;;

>>403
釣りではありません。
お願いします。

>>404
（・３・）　エェー　むしろσ∈Aut Ｑ(ζ)/Ｑをσ(ζ)=ζ^2で定義する
　　　　　　　　　　というべきだＹＯ！
　　　　　　　　　　Ｑ(ζ)はζとＱで生成されるわけだから、ζの行き先
　　　　　　　　　　を決めてやればいいんだＹＯ！

Aut Q(ζ)/Q
って言うのはQ(ζ)上の自己同型写像で
Q上に制限すると恒等写像になるものだから
たとえばσ(2)=4ってなって恒等写像じゃなくなるんじゃないでしょうか？

>>399
面倒くせーな。俺は>>394の答えを見つけたよ。
その答えは気が向いたら書くが、今はお前の言い草にむかつい
たんでやめとく。数学の教科書を書くなら、天下りの式を使うべき
じゃない。その式が何故考え出されたかを説明しなきゃ不十分だ。
それを知らずにいるってことは、その証明を真に理解したことに
ならない。ところで、お前は、ほんとに>>394の答えが分かってるのか？

>>407
そんなにヒマなの？

>>408
何故、俺がヒマだと思うんだよ。分かるように書けよ。

何故>>399にむかついたか、分かる人はいるだろうけど、一応
説明しとく。数学というのは知識が重要なのじゃない。
考え方が重要なんだよ。カルダノの方法を知らないとガロア理論
を理解したことにならないのか？　そんなことはない。
それに（ある特殊な）知識が人よりあるってことは、そんなに
ご大層なことじゃない。自慢にはならないし、優越感を持つのは
幼稚だよ。

>>402>>406
任意の x∈Ｑ(ζ) について σ(x) = x^2 ってことじゃないよ
Ｑ(ζ) の元は y = q_0 + q_1*ζ + q_2*ζ^2 + q_3*ζ^3 + q_4*ζ^4 (q_i∈Ｑ)
と表せて
σ(y) = q_0 + q_1*ζ^2 + q_2*ζ^4 + q_3*ζ + q_4*ζ^3

四乗はいらない。

あ、すまん。４次拡大だった。適当に汲んどいてくれ。

ガウスのADの円周等分論(CYCLOTOMY)を読めば、そこには素数Pを法とした
加群と、乗法群の理論、円分拡大による体とその自己同型群(ガロア群)
の概念、自己同型群の部分群に対応した部分体の鎖、それを用いた
円分方程式の代数的分解の理論、、などという具合に、ガロア理論の
原型(プロトタイプ)が具体的に記述されていることに気がつくはずである。

ガウスは、この意味でガロア理論にあと一歩の人だったのである。
もしもコーシーの置換論に接していれば、非可換の群を持つ場合の
体の拡大に関する考察を行えば、自然にガロア理論に到達していたであろう。
それは、フランス人ガロアの立場そのものである。

>>410
（・３・）　エェー　わからないからって逆ギレするなＹＯ！
　　　　　　　　　　ラグランジュは自分のひらめきだけで思いついたんじゃないＹＯ！
　　　　　　　　　　カルダノ、フェラーリ、チルンハウゼンら先人たちの業績を踏まえ
　　　　　　　　　　て代数的可解性の先験的理由を模索する中で、分解式に思い
　　　　　　　　　　至ったわけだＹＯ！
「ラグランジュがなぜそのような式を思いついたのか」
　　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^　
　　　　　　　　　　を知りたいなら、当然代数方程式の解法のその程度の歴史は知
　　　　　　　　　　っておくべきＤＡ・ＹＯ・ＮＥ！
　　　　　　　　　　というわけで、君は>>394の答えが分かってないＹＯ！

（・３・）　エェー　ズレてしまったＹＯ！
　　　　　　　　　　吊ってくるＹＯ！

>>411
なるほど
ありがとう。

>>415
君は俺の質問に何も貢献してないんだよ。
君の答えは小学生程度。

小学校の先生：ここにラグランジュの分解式というものが
あります。これは誰のアイデアでしょう？

ぼるじょあ：はーい、先生！　分かりました。
それはラグランジュという人のアイデアでしゅ。

小学校の先生：そのとうりです。お利巧ですね。

小学生が答え教えてもらえなくて逆ギレしたか

>>418
（・３・）　エェー　変な煽り入れるなＹＯ！でも>>397も読み直してみると、
　　　　　　　　　　変だから頭の悪い君のために丁寧に説明してあげるＹＯ！
　　　　　　　　　　まずはカルダノの方法の復習だＹＯ！
　　　　　　　　　　u^3+v^3=q,uv=-3pを満たすu,vを見つけると、
　　　　　　　　　　x^3+px+qは(x+u+v)(x+uω+vω^2)(x+uω^2+vω)って因数
　　　　　　　　　　分解されるＹＯ！u^3,v^3はt^2+qt-27p^3=0っていう2次方
　　　　　　　　　　程式の解になってるＹＯ！で、u,vはt^6+qt^3-27p^3=0って
　　　　　　　　　　いう6次方程式の解になってるＹＯ！だからこの6次方程式
　　　　　　　　　　を補助方程式として3次方程式の解が求まるわけだＹＯ！
　　　　　　　　　　だから一般の代数方程式についてもこのような補助方程式
　　　　　　　　　　を求めるかが問題になるわけだＹＯ！

（・３・）　エェー　で、ラグランジュは逆転の発想で、この6次方程式の
　　　　　　　　　　解が(x_i+x_jω+x_kω^2)/3　(i,j,kは0,1,2のい ずれか)
　　　　　　　　　　と言う風に3次方程式の解で表されるということを手が
　　　　　　　　　　かりに、補助方程式を一般に求めようとしたんだＹＯ！
　　　　　　　　　　このとき、6次方程式の係数はx_1,x_2,x_3の対称式で、
　　　　　　　　　　もとの3次方程式の係数はx_1,x_2,x_3の基本対称式
　　　　　　　　　　になっているのいうことがｷﾓになってるＹＯ！
　　　　　　　　　　で、n次方程式の場合に、
　　　　　　　　　　x_0+x_1ζ+x_2ζ^2+・・・+x_{n-1}ζ^{n-1}を考えるのは
　　　　　　　　　　自然だＮＥ！体論の言葉で言うと、分解体に1の巾根
　　　　　　　　　　を付加した体で考えなくてはいけないと言うことで、
　　　　　　　　　　不還元性の問題とか言われるﾔｼだけど、考えがまと
　　　　　　　　　　まってからまたｶｷｺするＹＯ！
　　　　　　　　　　君が問題にしているのは、基礎体に1の巾根が全部
　　　　　　　　　　含まれている場合の話で、上の流れを理解できてい
　　　　　　　　　　たらさほど不思議なことではないと思うわけだＹＯ！
　　　　　　　　　　

（・３・）　エェー　「ラグランジュ」　「分解式」でググったら、
　　　　　　　　　　今井のＨＰが出てきたのにはﾏｲｯﾀＹＯ！
　　　　　

>>420
カルダノの方法は非常に技巧的で、これをヒントにした
ラグランジュのアイデアも技巧的だろう。
俺は、こういう技巧的なものは数学的証明には不十分である
と主張している。で俺は自然な解法を見つけたんだ。

>>422
神の御導きです。逆らわずにクリックしなさい。

ただ見つけた言うだけじゃ全然説得力ねぇ。

>こういう技巧的なものは数学的証明には不十分である
これはさすがに言いすぎ。初学者用の本に天下り的に載せるのは良くない
とかならまだわかるけど、証明として不十分なんてこたぁない。

>>426
＞初学者用の本に天下り的に載せるのは良くない
とかならまだわかるけど、

そういう意味だよ。意を汲み取れ。
スレを追えばそういう意味だと分かるはず。

>>425
お前とぼるじょあが低姿勢で俺に懇願すれば教えてやる。

>>428
ぼるじょあでも>>425でもないが気になるので書いて欲しい…と俺は思うわけだが。

>>427
>>423は
カルダノの方法もラグランジュの方法もぼくの頭じゃ理解できないよ（泣
ぼくの頭で理解できることしか証明として認めてやんないぞっっっっ

って読めますが。

＞で俺は自然な解法を見つけたんだ。

ひょっとして今井賞をねらっているんですか？

>>430
むかついたからお前と>>425とぼるじょあが低姿勢で俺に懇願
しない限り教えない。

>>431
いや別に、あなたの脳内数学理論なんて知りたくありませんので。
がんばってトンデモ理論を作り上げて、今井賞を受賞して下さい。

てゆうか別に技巧的でもないんだけどな・・・
端的に言うなら巡回行列式を展開してるだけなんだから

2次方程式：a^2-b^2
a b
b a

3次方程式：a^3+b^3+c^3-3abc
a b c
c a b
b c a

4次方程式：省略
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

>>432
何か誤解してるな。スレを追ってみろ。俺は何も俺の発見を
発表したいために>>394を書いたわけじゃない。
別に君たちに教えたいとも思っていない。教えるとしたら
純粋な親切心からだ。でその親切心をつぶす君のような人間
がいるんで．．．後は言わなくても分かるよな。

２ａ＋ｂ。

群論スレで笑い者になった次は、ここで大騒ぎ。
かわいそうな奴だ。

くだらない発見を発表する必要無し。

>>436
笑い者になった奴はお前(岡スレの粘着)だろうがｗ

こうも簡単に釣られるとは（ｗ

苦しいな

別に発表しなくていいからこれ以上下らぬ主張をしないで下され。

394=岡スレ417なの？

発見と言っても別に大げさなもんじゃないんだが。
ただ、大抵のガロア理論の教科書では天下りにラグランジュの
分解式が出てくるんで俺の説明も無意味ではないと思うぞ。
コロンブスの卵みたいに簡単なことだけど。

別に大げさなもんじゃないならそんなに粘着しないで下さい

スレを読め。粘着してるのは俺じゃない。

必要無し。

n次巡回拡大のガロア群の生成元の拡大体への作用を基礎体上の線型変換と思うと，
これはある基底の巡回置換になるから，固有多項式は t^n-1．
仮定より，t^n-1 は基礎体上1次式に分解，重根はない．
よって，固有ベクトルによって基底が取れる．固有値は1のn乗根すべて．
そこで1の原始ｎ乗根に対する固有ベクトルvを取れば，
1, v, v^2, ..., v^{n-1} が基底になり，v^n は基礎体に属する．
Lagrangeの分解式はvを具体的に与える．

スレを読んだ結果、何度もしつこく「お前の説明は不十分だ」とのみ主張する394の姿がありました。

事実ならしかたない。不十分な説明を何回もしつこくするほうが悪い。

なんで名無しになってるんだ。

そうやって仕方ないと割り切った結果が粘着なのですね。

粘着してないでいいかげん降参したらどうだ。素直に教えて
下さいと言ったら？

いらない。

粘着してないでいいかげん降参したらどうだ。素直に教えて
下さいと

>>394
粘着してないでいいかげん降参したらどうだ。素直に教えて
下さいと言ったら？

どんなに悪態をつこうが人間性が腐ってようが、数学的に正しい主張をバーンと示して
相手を黙らせるのが数学科（家）の精神というか。聞いてる側にしても、どれだけ相手を
馬鹿にしてても数学的な主張をきちんとされたら素直に認めざるを得ない。
粘着だろうが自演だろうが騙りだろうが荒らしだろうが、とにかく数学的な内容さえあれば
それでいいし、逆にそれが無い（もしくは出せない、出さない）のならどうでもいいな。

456に同意。
もしちゃんとした主張出されたら444、448、451で下らぬ煽りをしたと謝罪致します。

>どんなに悪態をつこうが人間性が腐ってようが、

おいおい、誰のことを言ってるんだよ。俺は売られた喧嘩
は買ったがこちらから喧嘩を売ってはいない。まあ、
ちょっとした誤解はあったかもしれないが。
ボルジョアの言ってることは歴史に学べっていう陳腐な
ことで、俺もそのくらいは言われなくても気づいてた。
ラグランジュの分解式と聞いてラグランジュの方程式論
が関係してることくらい普通は気づく。
それだけだったらたいして役にたたない。文献を紹介する
なら別だが。実際問題、ボルジョアの説明でわかった気に
なったひとはいるのかね？

>>456, >>457
素直に教えて下さいって頼めばいい。その前に謝罪も忘れないでね。

いらない。

これほど読解力の無い人も珍しい・・・
仮定法とか通じないんだろうな。
（仮に）人間性が腐ってたとしてもってのは
別に腐ってると言ってるわけじゃないだろ・・・

>>459
結局このスレで既出の意見しか言わなさそうだから、別に教えて欲しいって訳ではじゃない。

>>456は仮になんて書いてないが。それに俺は、それが仮定で
ないとも決めつけてないが。だから、（仮に）俺のことを
言ってるのだとしたらという意味で書いた。読解力のないのは
君じゃないのか(俺も珍しく丁寧だなｗ)。

>>460
いいよ。じゃあこの話題はもう終わりにしたら。
だけど、いらないと何度も言ってるわりには皆さん妙に
この話題を引きずってるよね、ずるずると。ひょっとして、
本当は興味あるんじゃないの？

なんか幾つかのスレで同一人物が荒らしてるような気がするんだけど・・・ｗ

必ず番号コテハンになるし

誰がどのスレを荒らしてるの？

>>465
自分で答えを出してるじゃないか。そのとうり、気のせいだよ。

荒らしじゃなくて本気だよ、あれは。

少なくともコテハンの394は荒しじゃないだろ。

>>469
荒しと本気は両立するけど。つまり本気で荒らしているとか。

ひょっとして万が一にも俺のことを言ってるのかｗ
荒らしてるのはお前等だろ。お前等は個人攻撃になると
いきなり活気付くな。数学それもガロア理論について話せよ。

これは一種の芸ってことだな

>>472
話題を終わりにするため、「俺は別に何も発見して無い」と言って話題を
終わらせてくれないだろうか。
すまないが君はただハッタリを言ってるようにしか見えないんだ。
他人に対して「自然な着想でない、俺のは違う」と言い張ってるだけだし。

自分も457に書いたように下らぬ煽りをしてスレッドが荒れる原因を作ってしまった事を反省する。
本当に済まなかった。

>>447はこの話題に関しては今までで一番良質な説明だな。
理論的には彼のやり方でＯＫだ。
しかし、彼も言ってるように具体的に固有ベクトルを計算する
方法としてLagrangeの分解式が有力であることに代わりはない。
即ち、依然として俺の問題は残る。そしてその満足のいく解答は
このスレにおいて未だに誰も提出していない。

394が一人で悦に入っているので、わかっているひとも書く気がしない。

微分ガロア群ってなんですか？

394は地方の大学の数学科で一人で『近世数学史談』なんか読んで
「これこそ本当の数学だ！」と思い込んでいるイタい数学オタク
の感じがする。

あまり引っ張るのも可哀相だから解答を書く。
K を体で L/K を次数 n の巡回拡大とし、K の標数は0であるか
素数 p のときは n は p と素とする。 さらに K が x^n = 1
の根を全て含むとする。GをL/Kのガロア群としgをその生成元と
する。>>447が書いてるように g を L の K-線形写像とみた
ときのωを固有値とする０でない固有ベクトルを求めるのが
問題である。ここでωは１の原始ｎ乗根。
K上の１変数多項式環を K[X]とする。L の元 v に対して
Xv = g(v) と定義すれば、L は自然に K[X]-加群となる。
θとして L = K(θ) となるものをとれば、θの共役全体は
L の K-線形空間としての基底だから、θは L をK[X]-加群
と見たときの生成元でもある。θのK[X]における零化イデアル
(annihilator)は、(X^n - 1) である。よって L はK[X]-加群と
して K[X]/(X^n - 1) と同型である。この同型により L と
K[X]/(X^n - 1)を同一視する。K[X]/(X^n - 1) の K-線形
基底は 1, u, ..., u^(n-1) である。ここで、 u は X の
剰余である。つまり K[X]/(X^n - 1) の元 v は
a_0 + (a_1)u + ... + (a_(n-1))u^(n-1) と書ける。
g の固有ベクトルを v とすれば、gv = ωv となる。
この条件から a_0, ..., a_(n-1) を決めればLagrangeの
分解式が得られる。正確には ω^(-1)に関する分解式だが。

>>481 を読むより、>>447 と >>433 のほうがわかりやすいな。
>>396 でわかった人は、394ﾀﾝ は最初からスルー

>>479
微分拡大体の変換群です

>>481
>θとして L = K(θ) となるものをとれば、θの共役全体は
L の K-線形空間としての基底だから、

これは間違いだったな。だけどθが L をK[X]-加群
と見たときの生成元であることは明らかだからこの間違いは
この際問題ない。

>>482
ハッタリでないなら、>>396からLagrangeの分解式がどう
出てくるのか説明してくれ。

>>484
Gal(L/K) の表現を既約分解してみろ

>>485
そんなことは始めから分かってる。要は加群 K[X]/(X^n - 1)
を単純加群の直和に分解することだ。つまり>>447と同じことだ。
>>477を読め。そこからLagrangeの分解式を得るのが>>481だ。

>>486
＞始めから分かってる

ったて、>>396 を読んだ時は意味がわからんかったんだろ、あんた。
だいたい、>>477 自体が >>484 への回答になっているのに気がつかずに
質問しているくらいだもの。

>>396 で、普通にガロア理論知っている人は、>>394 に対する答えだと
気がつくよ。>>433 なんか、わかりやすい解説じゃないか。
その時はわからなかっただろうが、今なら、>>433 の意味がわかるだろ。

あんた一人気がつかずにずっと暴れているから、笑いものにされてるんですよ。

>>487
君、じゃあ、>>396からどうやってLagrangeの分解式が出るか
教えてくれないかな？

なんだ、やっぱりハッタリかよｗ

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　|∵∴/三　|　三|∵|　　　
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>>488
本当に「>>396からどうやってLagrangeの分解式が出るか」
わからないんだね・・・

>>491
俺は俺のやり方で出しただろ。だから君のやり方を聞いている。
勿体ぶらずに答えたら？
ところで君のハンドル名に入ってる>>483は俺が書いたものだよ。

>>492
ああ、483 は書き間違い。すまん。2個飛びと勘違いした。

もったいぶってんじゃなくて、Gal(L/K) の表現を既約分解
すれば Lagrange の分解式が出るだろ。それ以上何が聞きたいの？

>>491
もう時間切れだな。即答出来ないってことはハッタリだったと
いうことだ。

>>493
レスが重なったな。いいから学部学生に分かるように説明して
みてくれ。群の表現論の基礎知識は仮定していい。

>>495
ハッタリだなんだ言って、なんで俺がそこまで説明しなきゃいけないんだ？
>>493 で解らなかったら、バイバイ。

>>496
ハッタリだと見え見えだよｗ
このスレはガロア理論の学生を主に対象としている。
普通の学生じゃ>>396を見てもLagrangeの分解式は出てこない。
たとえ有限群の線形表現の知識があってもな。
普通の学生に理解出来るように説明出来ないってことは
このスレで先輩面することは出来ないってこと。
そもそも>>394の問題意識は既存のガロア理論の教科書に
おけるLagrangeの分解式の説明に対する不満なんだよ。
説明出来ないならはじめから引っ込んでなさい。

基底の巡回置換の行列の固有ベクトルを求めてLagrangeの分解式を導出するのは難しくない．
単位行列のスカラー倍を引いたとき，各行ベクトルの0でない成分は2つだけなので．

ただ，447は線型代数の範囲でやっているが，
481は環上の加群を考えていて，その意味でより進んだ見方をしている．
Jordan標準形をやるのに広義固有空間と単因子論があるのと同じこと．

>>498
巡回行列式ですから、線型代数のいい問題ですよね。

>>497
はいはい。

いつのまに学生専用に。

>>499
名誉挽回のチャンスをあげよう。
その問題を解いてくれ。学生にわかるようにね。

>>500
>>1を読んだ？
ただ、誰も学生専用とは言ってない。

群論って一体どういう分野で役に立つんですか？
具体的におしえてください

>>500
いつのまにか、394 が「俺は普通の学部学生以下だ」って告白するスレに

複素数体C上の群の作用の線形表現は、群がアーベル群の場合には、
既約表現は全て1次元表現となり、表現の指標(複素数の1の冪根)と
同一視できる。非アーベル群の場合には、既約表現は二次以上の
行列表現が出てくる。
但し、これは係数体がCでない、たとえばRなどであると、修正を受ける。

もしかすると北大出身の彼？

コロンブスの卵とか言ってたけど
極普通のことを書いただけですね・・・

低姿勢で懇願すれば教えてやると言いつつ、
誰も聞いていないのに勝手に解答を書くとか言って悦にいるものの、
大したことの内容を長文で書き連ねて非難囂々の394に萌え。

群の表現のことばで言い直してみる．

今，n次巡回群Sの基礎体K上の群環 A=K[S]=K[X]/(X^n-1) と拡大体Lが
A加群（SのK上の表現）として同型，という状況．
（K代数としては同型でない．）

仮定より，AはSの1次元既約表現に分解，そこにすべての既約表現が1つずつ現れている．
Sの既約表現全体 S' は，テンソル積に関してn次巡回群をなす（Pontrjagin双対）．

拡大体Lの乗法は表現のテンソル積と両立しているので，
S' の生成元である既約表現に属するLの非零元vを取ると，
1, v, v^2, ..., v^{n-1} がLのK上の基底を与え，v^n は自明表現すなわち基礎体Kに属する．

巡回行列式とLagrangeの分解式の関係はこんな感じか．

基底の巡回置換の行列Cを対角化すると，
D=diag(1 q ... q^{n-1}) になる．ここでqは1の原始n乗根．

このとき，巡回行列 f(C)=a_0+a_1C+ .. .+a_{n-1}C^{n-1} は
f(D)=diag(f(1) f(q) ... f(q^{n-1})) に対角化される．
特に，Lagrangeの分解式 f(q) は f(C) の行列式の因子である．

a_{i+1} を a_i に置き換えると（a_n=a_0)，f(C) はC倍，f(D) はD倍，f(q^i) は q^i 倍される．
よって，この置換を a_0, ... , a_{n-1} の張るベクトル空間上の線型変換と見るとき，
巡回行列式 det f(C) の因子 f(q^i) が固有ベクトルを与えることがわかる．

>>433

ttp://www.kato-lab.net/mental/3-1.html
この話題に関して面白いページがありましたよ

mage

煽りとかじゃないんで、普通に教えてホスイのだが。

>ただ，447は線型代数の範囲でやっているが， 481は環上の加群を
>考えていて，その意味でより進んだ見方をしている．

線型代数の範囲で語られていることを環上の加群において考え直す
ってのは、そんなに凄いことなのか？
どの辺りがコロンブスなのか、誰か解説ｷﾎﾞﾝﾇ。

447 で，固有多項式が t^n-1 であることは Artin-Dedekind の定理から導かれると言うべきだった．
むしろ固有多項式の形から，Galois 群の作用がある基底の巡回置換になることがわかる．

>>514
たとえば，単因子論ならば，Jordan 標準形と abel 群の基本定理を統一的に理解できる．
環上の加群と見ることの良さについては，
　堀田良之，加群十話
がおすすめです．

「線型代数の範囲で語られていることを環上の加群において考え直す」
というのは，「凄い」とか「コロンブスの卵」と言うより，「より自然な見方をする」という感じだと思う．
また，線型代数の勉強から加群の勉強に進むときに，両者をつなぐ，という利点もある．
そもそも，１つのことを複数の見方から考えてみること自体が良いことだ，とも言えるだろう．

丁寧な解説、どうもありがとうございます。

>堀田良之，加群十話
>がおすすめです．
了解しました。読んでみます。

Ｋ上の群代数 K[G] は G-加群として L と同型になるというのが
キーポイント。これさえ分かればLagrangeの分解式つまり
gの固有ベクトルを求めることはトリビアルである。これが
>>481の要点だ。因みにθの共役全体はL/Kの基底すなわち正規底
でなければならない。つまり>>483は間違いだった。
結局、正規底の存在定理が本質的である。

>>510
Ｃの固有ベクトルがLagrangeの分解式だけど、それが君のその議論
からどうでるのか分からない。

>>514
答えを知れば簡単なことだが(ほとんど)誰も思いつかなかった。
これがコロンブスの卵。つまり、簡単なことと誰でも思いつきやすい
こととは別であるということ。
実際、Artinの教科書でも>>252の定理の証明は天下り式だ。

Artinも>>252の問題意識さえ持てば>>481はすぐ思いつくだろうな。
結局>>252の問題意識そのものがコロンブスの卵だろう。

俺が答えを出してからそんなの分かってたとか言っても駄目だよ。
俺が>>477でチャンスをあげてるのに誰も答えなかったんだからね。
>>433もあれだけじゃハッタリと言われてもしかたない。
ハッタリと言われたくなかったら分かりやすく説明することだ。

仕方ないですよ。良い人は良い人の周りに集まる物ですから。

あ、チャンスとかハッタリとか、そういうのは私は全然興味ありま
せんので。ていうか、どうしてそういう話になるんでしょうか？(^^;

>結局>>252の問題意識そのものがコロンブスの卵だろう。

なる程、それはおっしゃる通りではないかと思います。納得しますた。

あいかわらずバカばっかだな

オレの勘では、このスレで一番頭が良いのは>>524だなー。

いちいちこの式はかくかくしかじかの理由で出てくるんだ、
みたいなことを書かなければ、その教科書は欠陥品だって
いうんなら、セールの本はことごとく悪書に類されるわな。

>>520
Artinなら分かっていてもいちいちその程度のことは書かんわな。

394はバカだ、ってのがこのスレの結論なのか？

>>527
このスレの一連の考察で>>252の定理がArtinの本よりよく理解出来ただろう。

>>526
説明はないよりあったほうがいいだろう。

>>529
それは否定しない。数学の本を読むときにそのような問題意識を持つことは大切なこと。
>>530
必要ない。自分で考えるべきこと。
そういうことをうだうだ書かれるとかえって煩わしいし、
押しつけられるのでなく自分で考えることによって別の側面が見えてくることがある。

>>522
くだらない煽りを除いてもこのスレは伸びてるし、生産的な
結果も出てる。つまり、俺は良い人ってことにならないか？

君も自分で考えたからこそよく理解できたんじゃないのか？

>>531
説明の必要がある奴が多いだろ。このスレを見ればわかる。

>>523
>あ、チャンスとかハッタリとか、そういうのは私は全然興味ありま
せんので。ていうか、どうしてそういう話になるんでしょうか？(^^;

必ずしも君に言ってるわけじゃないから君が興味なくてもかまわない。
誰も一向に分かりやすい説明をしないので苦言を呈したわけ。

教えてクンのくせにえらそうな 518 のような質問をするのは 394 くらいの
バカしかいないのに、そこだけ名無しで書き込む 394 に萌え〜

>>536
僕は394じゃないよ。

つーかまんこ

>>517
>gの固有ベクトルを求めることはトリビアルである。

念のためこれを説明しよう。
v をgのωに属す固有ベクトルとする。ここでωは
１の原始ｎ乗根。
v は K[G]の元と見なせるから
v = a_0 + (a_1)g + (a_2)g^2 + ... (a_(n-1))g^(n-1)
と書ける。
gv = ωv より関係式
a_0 = (a_1)ω
a_1 = (a_2)ω
...
a_(n-1) = (a_0)ω

が得られる。a_0 = 1 と置けば
a_1 = ω^(-1)
a_2 = ω^(-2)
...
a_(n-1) = ω = ω^(-(n-1))
となる。

>>480
『近世数学史談』の主なテーマは楕円関数論とその整数論との
関わりなんだけどこのテーマは今でも重要だろう。Wilesの証明も
このテーマにもろ関係している。

>>531
>必要ない。自分で考えるべきこと。

>>252の定理はガロワの方程式論の要となるもの。
だから自然な証明が欲しいところ。
天から降ってきたような式で証明されても困るんだよ。

皆さん394の煽りにまんまと乗せられてますね。
可愛いいな。

394が一人で悦に入っているだけ

それにしちゃ394以外の書き込みも多いな。

>>541
なら君が教科書を書いてうｐしてみそ。

>>545
証明は今までの議論で明らかだろう。gv = ωv となる
０でない v を>>539のように求めればいい。v^n は g で
不変だから基礎体 K に含まれる。1, v, v^2, ..., v^(n-1)
は g の固有値 1, ω、ω^2, ..., ω^(n-1)に属す固有ベクトル
だから一次独立であり L/K の基底である。
よって L = K(v) となる。

>>480
誤解してるな。>>135は俺が書いたものじゃない。

一般に，ガロア拡大体はガロア群の基礎体上の正則表現を与える（正規底の存在）．
標数がガロア群の位数を割らないとき，これは既約表現に直和分解する．
よって，拡大体の乗法構造が，
既約表現どうしのテンソル積の既約表現への直和分解の様子から，
既約表現の自己準同型の分以外，決まってしまう．
509はこれを巡回拡大の場合に適用したもので，線型代数のことばに直すと447になる．

ただ，有限体の場合，巡回拡大を調べることによって正規底の存在が証明されるので，
巡回拡大に関する基本的事実の証明に正規底の存在を用いることには少し抵抗がある，
というのが515の冒頭の訂正の意図．

>>548
>ただ，有限体の場合，巡回拡大を調べることによって正規底の存在が証明されるので

有限体でなくても成り立つと思うけど、これの証明希望。

>>548
ついでに>>518にも答えてやってほしい。

>>549
ガロア群を { g_1=e, g_2, ..., g_n } とし，
f(X_1, ..., X_n)=det( A_{ij} ), A_{ij}=X_k if g_i^{-1}g_j=g_k
とおく．f(X, 0, ..., 0)=X^n　より，f は 0 でない．

拡大体の基礎体上の基底 x_1, ..., x_n を固定し，拡大体の元を w=b_1x_1+...+b_nx_n と書くと，
( g_i(x_j) ) が可逆行列なので，f(g_1(w), ..., g_n(w)) は b_1, ..., b_n の 0 でない多項式．

したがって，無限体の場合，
f(g_1(w), ..., g_n(w))=det( g_i^{-1}g_j(w) )
が 0 でないような w が存在する．
このとき，g_1(w), ..., g_n(w) は1次独立．

>>550
518にどう答えればいいのかわからないのだが．．．

510は，ラグランジュ分解式 f(q)=a_0+a_1q+...+a_{n-1}q^{n-1} が
巡回行列式 det f(C) の因子であることを説明したもので，
Cの固有ベクトルとしてラグランジュ分解式が現れることを出す議論ではない．
そちらの議論については498の冒頭に書いた．

>>551
それはＧが巡回群でなくても適用できる普通の証明ですよね。
巡回拡大を調べることによって正規底の存在が証明されるという
その証明を聞いたんですけど。質問の仕方が悪かったらごめんなさい。

>>552
では>>510は>>252の証明とどう関係してるんでしょうか？

ゲット？

>>554
510は，433にどなたかが書かれた巡回行列式とラグランジュ分解式との関係に証明をつけてみた，
ということなので，252の証明との関係をきかれてもどう答えればいいのかわからないのですが．．．
「巡回行列式の因数分解にも巡回拡大の方程式を見つけるのにも，
基底の巡回置換の行列の対角化とラグランジュ分解式が出てくる」
とは言えますが．

>>553
n次巡回拡大のガロア群の生成元の拡大体への作用を基礎体上の線型変換Fと思うと，
Artin-Dedekind の定理より，id, F, F^2, ..., F^{n-1} は基礎体上1次独立なので，
Fの最小多項式は t^n-1，これは固有多項式でもある．
よって単因子論より，u, Fu, F^2u, ..., F^{n-1}u が拡大体の基底になるような u が存在するが（自然標準形），
これは正規底である．

（有限体の有限次拡大は巡回拡大なので，551と合わせてすべての場合に正規底の存在が言える．）

標数がnを割らず，基礎体が1のn乗根をすべて含む場合は，
単因子論によらず，より初等的に証明することもできる．

Fの固有多項式が t^n-1 であるところまでは同じ．
一方，基底の巡回置換の行列Cの固有多項式も t^n-1 であり，
仮定より，t^n-1 が相異なる1次式の積になるので，FとCは相似．
よって，u, Fu, F^2u, ..., F^{n-1}u が基底になるような u が存在し，
正規底が得られた（515の2行目の証明）．

この証明と447（515の1行目のように修正したもの）を見比べると，
252の証明に正規底を使うことに少し抵抗がある，
と548に書いた気持ちがわかっていただけるかと思う．

>>556
巡回行列式の因数分解に出てくる式と巡回拡大における
固有ベクトルとしての式は同じラグランジュ分解式という
名前があるようですが別物ではないでしょうか？

>>558
好みの問題ではないでしょうか？
正規底の存在定理というのはガロア理論において重要であり
常識ともいうべきものなのでそれを巡回拡大に応用するのは
Artin-Dedekind の定理を使うのと同様に自然だと思うのです。
結局、両方の見方を知っておいたほうが良いでしょう。

私はラルクアンシエルのハイドが大好きです！！！
彼は日本一の美形、福山雅治や柏原崇なんてハイドの前じゃ糞以下じゃない？
あと、ラルクはハイド以外必要無しだよ。他のメンバーなんて作曲も出来ないしー
なんか暗い。
この日本で、ハイドより美形だと思うやつがいたらいつでもかかって来い。
福山なんてハイドに比べたらチョンだよ・・・
ハイド世界一。

>>559
そのとうり。>>433は知ったか。
２ｃｈは知ったかぶりが非常に多い。例えばリーマン予想は
ある種のアデール環上の微分作用素の固有値問題である、
とか言えばもっともらしく偉そうに聞こえるが、こんなの聞きかじりで
簡単に言える。知ったかと思われたくなかったら詳細を書け。
詳細を書きたくなかったら文献をあげろ。

394は何故しばしば名無しになるのですか？

>>563
しばしばってお前は千里眼か？

＞リーマン予想はある種のアデール環上の微分作用素の固有値問題である

かっちょい〜。

>>559
別物ではないかと言われても，何と答えればいいのかわかりません．
繰り返しになりますが，510への一連の質問の意味がよくわからないのです．
また，510に付け加えることは別にありません．

>>560
好みという点では，わたし自身，447，509，548で正規底を使っています．
その一方で問題も感じる，ということです．
なので，正規底による証明がラグランジュ分解式によるものより優れている，
とも言い切れないと思っています．
advanced か elementary かというのはあるでしょうが．

「こいつの態度にムカついた。俺は知ってるけど謝らないと教えない」
「おまえは知ったか。そう思われたくなければ書け」

なんですかこれは

知ったかというより理解が浅いのでは。
分かったつもりになっているというやつ。

教えてクンが偉そうなスレはここですかぁ？

>>566
勿論、どちらが優れているとは言えない。
例えばアーベル圏におけるある可換図式を証明するのに圏論的に
やる方法とその図式をあたかも加群の圏における図式と考えて
diagram chasingで証明する方法がある。前者は骨が折れるが
よりelementaryと言える。後者はアーベル圏の加群の圏への
埋め込み定理という非常にnon-trivialな定理を使っている。
私は後者を好む。何故なら見通しがいい方法だから。

>>567
別に矛盾してないけど。

誰も矛盾してるとは言ってないと思うが？

何も>>567が矛盾してると言ってるとは言ってないが。

>>562の態度にムカついた。俺は知ってる。562がちゃんと謝って
誠意を持ってお願いしてくれたら教えるよ。

>>574
何も君に教えてもらう必要はない。でこの件は終わり。

>>570
diagram chasingによる証明は、
圏論的に容易に書き換えられる。
埋め込み定理に依存しているのではない。

あまり引っ張るのも可哀相だから解答を書く。

>>571でレス指定してるのに見事に開き直った>>573は素敵だと思います

>>576
ああ思いだした。Mac Laneの本にも確か書いてあったかな。
だけど>>570の埋め込み定理を知っていればアーベル圏の図式については
応用上は十分だろ。これは単なる例であって俺の言いたいことは。。。
分かるよね？

グロタンディークのガロア理論をしらべてます。
おすすめの本教えてください。SGA1は読んだのですが
フランス語がわからないため理解できません。
おねがいします。

「読んだ」じゃなくて「見た」だろ。

グロタンディークのガロア理論をしらべてます。
おすすめの本教えてください。SGA1は見たですが
フランス語がわからないため理解できません。
おねがいします。

フランス語の辞書を買ってSGA１を読め

>フランス語の辞書を買ってSGA１を読め
ありがとうございます。辞書かって再び挑戦してみます。
理解できないところが別の本に載っているかもしれないので
もう１、２册ほどお勧めの本を教えていただけませんか?

とりあえず、相手の意見を素直に受け入れたふりをしつつ、
その意見に満足をせず、最初の質問を繰り返す。

分かりやすい説明、とか394が主張してた割には
結局誰も分かりやすいって言って無いじゃん。

>>585
いぢめないで教えてください。おねがいします。

>585

藤原さんが「数学のたのしみ」で言及していたGaloi理論はSGA１の内容なの？
初めて知った。
それならSGA１以外にはないんじゃないの？
おれも聞いたことないし。

>>570

Mitchellの埋め込み定理（←数学辞典p322）は、Ob(C)が集合となるabelianカテゴリーの仮定が必要だよね。
実際に君が使ったカテゴリーでその仮定が満たされるものはどんなものがあった？ようなものがあった？

なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1057731708/

わからないところはガロアの基本定理(群と体の対応)に関する部分です。
中断してからしばらくたってしまいどのあたりが理解できなかったか
忘れてしまいましたが理解したいのは次の部分です。

SGA1　ttp://arxiv.org/pdf/math.AG/0206203　の
EXPOSE V LE GROUPE FONDAMENTAL : GENERALITES
(PDFのページp103-134です。)

On the Galois Theory of Grothendieck
ttp://arxiv.org/pdf/math.CT/0009145　
のTheorem 5.15〜Theorem 5.20です。

これから再開してみます。
わからないところがあったら教えてください。
他の参考文献もあったら教えてください。

おれもSGA1を確認してみます。
でもそんな暇ないんだけどな〜。今他の勉強してるから

>>592
ありがとうございます。

このスレはガロア理論の学生を主に対象としているそうなので、
学部学生に SGA1 を解説できない人は、このスレで先輩面する
ことは出来ないそうですｗ
>>497

SGAのことなど聞かないで
まだ読んでないのに

>>589
相手は有限個の対象と射からなる図式だ。

>>594
そんなことは言ってないだろが、ゴルァ。

>>591
分からないのが何かわからないなら説明のしようがないだろうが。

>>598
すみません。教えてください。
On the Galois Theory of Grothendieck　ttp://arxiv.org/pdf/math.CT/0009145　
の8ページの図式の後の３行がわかりません。εがmonomorphismになるところです。
お願いします。

>>599

ところで、この文献はどこかのArchiveにでも貼り付けられているの？
「On the Galois Theory of Grothendieck　ttp://arxiv.org/pdf/math.CT/0009145」

むしろ、そのことを教えてほしい。
私も論文情報をすばやく手に入れたいので。

>>600
Googleで"On the Galois Theory of Grothendieck"を検索
すればよい。わからないときは何はともあれ検索。

>>600
プレプリントサーバー ttp://front.math.ucdavis.edu/
でAnywhere : grothendieck galois
を検索してもでてきます。SGAもそうです。

>>600
>ところで、この文献はどこかのArchiveにでも貼り付けられているの？
すみません。この部分がどういった意味なのかわからないのですが。
ttp://arxiv.org/pdf/math.CT/0009145をブラウザで開くとダウンロードまたは
ブラウザに表示されると思うのですが?なにもおきませんか?

downloadはできて今読んでるところなので気にしないで

>8ページの図式の後の３行がわかりません。εがmonomorphismになるところです。

functor　[A,-]　がfaithfullであることと、ε_*がmonomorphismであることから得られるんじゃないの。

ｆがmonomorphismの特徴づけは「ｇｆ＝ｈｆ⇒ｇ＝ｈ」だっけ？
これとfunctor　[A,-]　がfaithfullであることを組み合わせれば得られる。
ボケかましてたらすみません

ｆがmonomorphismの特徴づけは「ｆｇ＝ｆｈ⇒ｇ＝ｈ」だっけ？

faithfull⇒faithful

>>602

600です。Great Thanks

>>605 >>606 >>607
ありがとうございます。アドバイスを元にじっくりかんがえます。
このあたりがわかっていないところが多くてもうすこしかかりそうです。
図式の可換性もきちんと確認できてないですし、
5.7のstrict epimorphism + monomorphism = isomorphismもホントなのかとか
疑ってますし、左から右がどうやってもでそうにないです。

こんな論文があること教えてもらって、こちらこそありがとうだよ。

>>606
monomorphismはｆｇ＝ｆｈ⇒ｇ＝ｈでいいです。

それと、
functor　[A,-]　がfaithfullであること
すなわち、[P,Q]⊂[[A,P],[A,Q]]から証明できる。

>>612
ありがとうございます。

>>609
strict epi の定義に用いられる，compatible arrow の定義がおかしいのでは？
fx=fy --> gx=gy
だと思います．

f : mono より，1_X : compatible.
よって f : strict epi より，hf=1_X なる h が存在．
次に f 自身 compatible, また fhｆ=1_Yf.
よって一意性より fh=1_Y.

SGAを輪読するスレはここでつか？

>>609
>5.7のstrict epimorphism + monomorphism = isomorphismも
ホントなのかとか疑ってますし、

これが分からないなら圏論の基礎がわかってないということ
だから基礎的な概念に慣れたほうがいい。例えばファイバー積
とか表現可能関手だとか極限など。

>>615も解答を書いてるらしいけど、俺なりに書くとこうなる。
ただし、俺はそのPDFを見てないので記号は違うかもしれない。
f: X → Y をstrict epiでmonoとする。
Z を X と X の Y 上のファイバー積、 p と q をその射影
とする。 f はmonoだから p = q となる。一般に等しい射の
余核は恒等射だから恒等射 1_X: X → X が p, q の余核である。
一方、仮定から f: X → Y も p, q の余核だから余核の同型を
除いた一意性より f は同型射である。

アーベル圏もGrothendieckが最初に定義した。Buchsbaumも
同じ様なものを定義していたがGrothendieckのものの方が
整理されている。Grothendieckは圏論がabstract nonsense
どころか非常に強力な道具であることを示した。

>>617
614に書いたように，その論文の strict epi の定義の所に間違いがあるせいで
609=591氏は当惑されているのではないかと．

蛇足かも知れないが少し補足すると，
今はファイバー積の存在が仮定されていないが，
前層の圏の中で617の議論をして，米田の補題で元の圏に戻ればいい．

>>589
集合論的に危なっかしいときはその圏はあるuniverse U に属する圏と
考えればいい。この考えかた、つまり呪文を唱えれば基礎論オタクを
厄払いできる。SGAはこの思想に貫かれている。
だから考えてるアーベル圏はいつでもsmallと見なしていい。

>>620
此処でもその話か・・・。

同じ人間が書いてるからな(w

>>622
論調も同じだし、分かってて呆れてるんだが・・・。

>>615 >>617
ありがとうございます。修正後定義と教えてもらった解答により理解することができました。

一般の圏論でstrict( abel圏=すべての射がstrict(+α?) )というのも定義されているため
strict + epimorphism + monomorphism = isomorphism
なのかもしれないな?これでもでも出来ないなと困っていました。

>>623
２ＣＨでは多分そうだろうくらいはいくらでも言えるが確実とは
言えない。それはそれとして、>>252の問題提起はなかなかいいだろ。

因みに俺は代数幾何のスレでHartshorneの問題を解いていた
ヒマ人だ。そのスレを見ると俺のプロフィールがほんの少し
わかる。

酔っ払い親父のひけらかしはもういいっての。

>>627
わざわざ代数幾何のスレに行って読んだな。
ご苦労なこった(w

アレもコレもソレも、全部394かよ！！

‥‥‥少し見直した（マジで

>>628
もともとあっちでウザイと思ってただけだが？

>>625
そんなんいくらでもあるよ。
平方剰余の相互法則の証明で、なんでいきなりGaussの和が
出てくるんだ？こんなものを天下りに持ち出すとは欠陥証明だ！
とかね。

>>630
お前は変人だな。俺がHartshorneの問題を解かなくなってから
あのスレは閑古鳥が鳴いてるだろ。

>>631
じゃあ君がそういう命題を見つけて自然な証明を考えたらいい。
そしてスレを立てればいい。

>>633
そんなん発見できたら、スレ立てるより論文にするってｗ

>>634
２ｃｈでもいいだろ。２ｃｈにリ−マン予想の証明を載せても
誰も文句は言わない。かえって粋じゃないか。

>>635
テンプレだけ作っておく。


【ついに】リーマン予想証明しますた【陥落!?】

1 ：１３２人目の素数さん ：投稿日：04/04/24 13:26
やあ　（´・ω・｀)

ようこそ、バーボンハウス＠数学板へ。
このテキーラはサービスだから、まず飲んで落ち着いて欲しい。

うん、「また」なんだ。済まない。
仏の顔もって言うしね、謝って許してもらおうとも思っていない。

でも、このスレタイを見たとき、君は、きっと言葉では言い表せない
「ときめき」みたいなものを感じてくれたと思う。
殺伐とした世の中で、そういう気持ちを忘れないで欲しい、そう思って
このスレを立てたんだ。


じゃあ、注文を聞こうか。

>>636
粋なのは正しい証明の場合ね。念のために言っておく。

冗談は別として匿名で素晴らしい仕事を発表するってのは
粋だよね。粋というよりキザか。
広中か誰かがＩｓｓａとかいう名前で論文を書いていたけど。
数学者は生活が楽ではないからそういう余裕のある人はあまり
いないだろうね。

非可換アーベル圏論ってあるの?

>>639
あるわけ無い。何故なら言葉の矛盾だから。
遠アーベル幾何というのはある。

(非可換な)群のイメージ、カーネルはあるんだから
それを一般化してホモロジー代数ができないのかと考えてみるんだが。

>>13
君の父親も2chやってたんだな。驚いたよ

俺に息子も娘もいない。

まあ大きいことを言ってるけどSGAはむずいわ(w
大体、SGA I の最初で躓いてる。だから今はそこをとばして
ファイバー圏とdescenteのところを読んでいる。
SGA IIIとFDAも参照しつつ。酒を飲みつつ。２ＣＨをやりつつ。

tohokuはhttp://kolmogorov.unex.es/~navarro/res/
のSur Quelques Points d'Algebre Homologique

FGA はhttp://kolmogorov.unex.es/~navarro/res/

EGA はhttp://www.numdam.org/numdam-bin/search
でgrothendieckを検索

SGA はここ
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/pdf/index.html

SGA5はここ
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga5/index.html

FDAでなくてFGAね。何せ酔、いや何でもない。
しかしGrothendieckは凄いよね。何でdescenteなんて思いつくの
だろう。

396 が 394 の説明になっていることすら理解できずに「はったり」と
逆切れしていた394が SGA を読んでいる・・・ねえ・・・

396って何だよ。まあどうせはったりだろ(w
ひょっとして群の表現に言及したやつ？
巡回群と１の冪根ときて群の表現を思いつかない奴は
もぐりだろ。

>>647
とにかく>>252の定理の自然な証明（例えばこのスレで447と俺が示した
ような証明）を載せた本は俺が知る限り無い。つまり、その定理の
自然な証明というのは、君が思うほど思いつきやすいものではない。

しかし、このスレは面白いわ。君達もそう思うだろ。
悪態をつきながらも、それだからこそ本音が出る。
実社会ではこうはいかない。それこそ本音とは正反対の
ことを正反対の表情で語らなければならないケースが多い。
喧嘩するほど仲が良いという言葉があるけど、それと通ずる
ものがある。

い

いつから酔っぱらい親父が愚痴をこぼすスレに変わったんだ？

>>650
人生の敗北宣言でつか？

>>652
悪いがその手には乗らない。これから六本木に遊びに行くんで。

まだちょっと早いな。相手になるよ。

>>652
べつに愚痴をこぼしてはいない。そのくらいわかるだろ。
ただ、このスレの始めから酔ってはいる(w

>>654
六本木と言うより秋葉原じゃないのかい？

何が悲しくて秋葉原に行かなくちゃならないんだ？
実際のところ俺はコンピュータのハードにはあまり興味ない。
ソフトにもあまリ興味がないが。

ただコンピュータだろうと女だろうと個人の趣味は同等だろう。
趣味に貴賎はない。当人が楽しんでいれば他人がとやかく言う
ことではない。しかし、女のほうが扱いが難しいということは
言えるが（ｗ

>>642
ﾜﾛﾀ

いったい，いつから秋葉原より
ろっ本木の方が偉くなったんだ？

前にも書いたけど>>252はHilbertの定理９０からも得られる。
GrothendieckのGalois theoryにはHilbertの定理９０と
その拡張が重要な役割をしているはず。

>>661
もういいんだよ、その話題は。夜に酔って話した話題を翌日に
ぶり返すのは野暮。スレ違いだし。

ねるとんの頃から

>>664
意味不明。説明してくれ。

ああ大体わかったから説明しなくていい。その話題はもういい。

394はもういい

俺の尻の穴に貴方の野太いちんぽぶち込んでくれませんでしょうか？

自分で考えろヴァカ。

お前等、何荒れてるの？

394って何者？社会人？学生？

descentって名前だけはkummerの無限降下法のことだっけ？
Freitag−Khielの本にも出てたけど

>>672
それとは違うような気がする。Grothendieckのdescenteの淵源は
Weilによる曲線のヤコビ多様体の構成における定義体の縮小方法から
来ているらしい。このことから類推出来るようにdescenteの理論は
代数群の商群の構成とかモジュライ多様体の構成に利用される。

>descentって名前「だけ」は

確かに意味ないな(w
名前だけ同じもの挙げてどうする、ってそんなことはどうでも
いいんだよ。ガロア理論の話をしろよ、ゴルァ。

ヽ(｀д´)ノ　ｶﾞﾛｧ!

>>394はおとなしくハーツホーンの問題をといてればよかったんだ。
>>394がなんかを語り始めると、途端にそのスレは荒れてだめになる。

んなこたあない。このスレだって俺のおかげで結構面白いものに
なってるだろ。

>>677の言ってることも一理あるからしばらく俺はハンドル無し
で投稿する。

内容が反感食うって話なのに、奈々氏にするとか言ってんの。
はっきり言って意味ねー。

俺の自由だろ。ハンドル付きで投稿しまくるぞ、ゴルァ。

荒らす奴ってのは固定ハンドルが基本的に嫌いなんだよ。
出る杭は打つというか嫉妬というか、根性の卑しい奴が
荒らすんだよ。２ｃｈというのは匿名だから下卑た感情が
生で出るんだな。精神が大人ならいくら匿名でも自省心が
働くんだが。

>>680
俺が解答を保留したくらいで反感もつなよな。くやしかったら
解答を出せばいいだろ。簡単な話だ。それにもう解答は出てん
だからいつまでも根にもつなよ。

わかってない

じゃあ試しにしばらくおさらばしようか。さびれるぞ。
代数幾何スレとか群論スレとか圏論スレみたくな（ｗ

もっとも、ここの話題も出尽くしたようだしな。

>さびれるぞ

それでいいとおもう

(ﾟДﾟ)ガロｧ!

>>394って、何でこんなにヴァカなんだろうね。まるで自分が、精神が大人
な香具師だとでもいいたそうな口振りだが、精神が大人ならばよくもまあ、
こんな他人の反感買うえらそうな書き込みができるもんだ。

自分が荒らしてるってことにまったく自覚がないところがまた痛い。
ま、>>394はジャイアンみたいなもんだってこった。

>>687
わけわからんこと言うなよ。いくら負けおしみでも。
荒されたくないってのは、そのスレがまともな活動をしている
ことが前提だろ。

>>689
具体的に指摘してみな。それなしに非難しても説得力がない。
俺のおかげでスレが伸びてることを忘れるなよ。荒しもあるけど
それは副作用。適度に(知的に)煽ることによってそのスレは
活発化する。

適度に(知的に)煽ることによってそのスレは活発化する。

現実問題として、これは真実だよなー。
それはそれとして少し酒控えたら。

394は数学科出身で趣味で数学の勉強してる人？大学の人じゃなさそうだけど。

いくらスレが活発化しようと、荒らしで伸びてもうれしくないねぇ。

Abstract Algebra の教科書は何がお勧めでしょうか？今在海外なので洋書を
探しています。物性理論の研究者です。線形代数など物理で使う数学ならば
大体理解しているつもりです。別に研究に役立てるためではなく、趣味で
抽象代数の本でも読んでみようと思っています。例えばディラックの量子力学
の様な古典的な名著を探しています。よろしくお願いします。

>>695
漏れのおすすめにこれ!!
ttp://www.numdam.org/numdam-bin/search?au=Grothendieck
抽象代数幾何ですが．．．。

>>695

1. Van Der Waerden, "Algebra"
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0387406255/qid=1082947995/sr=1-1/ref=sr_1_1/103-4599533-6735867?v=glance&s=books

2. Michael Artin, "Algebra"
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0130047635/qid=1082947825/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl14/103-4599533-6735867?v=glance&s=books&n=507846

3. David S. Dummit, Richard M. Foote, "Abstract Algebra"
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0471433349/qid=1082947896/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl14/103-4599533-6735867?v=glance&s=books&n=507846

1. 「古典的名著」というのであればこの本を挙げないわけにはいかない。
記号や定義がちょっと古かったりするがあまり気にしなくていいと思う。
特にガロア理論の記述は秀逸。

2. 「現代の名著」。標準的な代数の教科書とはいろいろな点で違っていて
非常に面白い。題材の取り上げ方に著者の数学的素養の深さを感じる。
ただ、undergraduate向けとあるのだが、本当にundergraduateがこの本だけで
代数を学べるかどうかは若干疑問。線型群を主眼に置いているので物理屋さん
にもとっつきやすいかも。

3. アメリカのundergraduate向けの典型的教科書。「サルでもわかる」ように非常に
細かく丁寧に書かれている。例も豊富。扱っている題材のバランスもよい（というか
非常に標準的）。最初に読む代数の本としては最適だと思う。

695 さんには 2.の Artin の本がいいような気がします。

>>696
伊賀って、みんな食わず嫌いなだけで
ほんとは定義、定理がほぼ自明化されていて難しくないよね。
１巻からだと環の局所化、テンソル積に関する説明もあるし
抽象代数学の入門書としても読めるとおもう。ﾀﾞｳｿして直ぐ読めるのもいい。

>>689：
>３９４はえらそうな書き込みができるもんだ

394は自分の知識をひけらかしたいの
でも、その知識は表面的に過ぎないの
数学で通用しなかったやつが、暇に飽かしてSGAをすこし勉強し始めたのが３９４なの

でも俺たちもモチーフで論文書くためには
SGAを読んでしまわなければならない。
それまでこのスレは休みにする？
以後このスレはSGAを完全マスターしたもののみ書き込むべし。

モチビック・ガロア理論を極めたものが書きこめるスレはここでつか?

Motivic Galois theory for motives of niveau ≤ 1
math.NT/0309379

初心者の質問すらも許されないだなんて酷いや＞スレ休止

>>703
それでは700のおもうつぼだぞ。それでいいのか?

▲■● SGA 1 勉強スレッド ●■▲
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1082964664/

>>699
ばかやろ。俺が自分で意識的にばらしたことを偉そうに（ｗ

俺はBourbakiが好き。最初の本としては向いてないが。
Bourbakiは古いので圏論的な考えは表だって出ていない。
これがほんのわずか不満。

>>694
このスレの荒しはたいしたことないだろ。それよりかなり有意義な
議論がされている。マイナス面よりプラス面を評価したらどうだ。
荒しは無視すればいいだけのもの。どうってことない。
この世に理想的なものなんてないんだよ。水清くして魚住まず、とか
清濁併せ呑む、という言葉を噛み締めたらいい。

>>672
それを言うならKummerでなくFermatの無限降下法だろ。

ジャイアンというよりジャイアンを返り討ちにするどらえもんだろ。
俺はうるさいハエのような奴を追い払ってるだけ。自分から進んで
弱い者いじめをしてはいない。

394はドラえもんのキャラで言えばスネ夫なんじゃないの

394：招待状

▲■● SGA 1 勉強スレッド ●■▲
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1082964664/

>>712
かってに各自勉強すればいい。そして、わからないところが
あったらそこに質問を書けばいい。

>>698
ＥＧＡを伊賀なんて書くなよ。それにＥＧＡをイガなんて呼ぶ
のはＤＱＮな日本人くらいだ。ＵＦＯをユーフォーと呼ぶのもな。
ＥＧＡは確かに読みやすいが予備知識が結構いる。
Bourbakiの可換代数とかCartan-EilenbergとかTohokuとか。

予備知識より、忍耐力が結構いるとおもう。

そのとおりだと思う

ある意味丁寧だけど、冗長すぎて、時間がかかりすぎる

Hartshorneよりいいだろ。丁寧すぎて悪いことはない。
あと、圏論的な考えに慣れておくのがコツかな。
Grothendieckの重要な思想に圏の対象 X と 関手 h_X を
同一視するというのがある。これは簡単なことだけどこれを
徹底的にやるのは自明なことじゃない。

漏れ的には
抽象代数幾何学(永田,宮西,丸山) > ＥＧＡ > Hartshorne
日本語の名著で勉強しる!

>>719
抽象代数幾何学(永田,宮西,丸山)は悪くないけどコホモロジーを
扱ってないのがもの足りない。コホモロジーをやらないと
Grothendieck流の代数幾何は価値が半減する。
Hartshorneはコホモロジーを扱っているし非常にいいんだけど
スペクトル系列を扱っていないのが物足りない。
スペクトル系列こそコホモロジー論の真髄なんだが。

>>715
忍耐は勿論だが予備知識を取得するのは結構骨が折れる。
Tohokuを読んだことある？

それとGodementね。

スペクトル系列の議論はすべてderived　categoryを使う議論におきかえれるの？

Godementは感心しない
IversenとKashiwara−ShapiraとBredonが互いに補っていい

EGAはCartan-Eilenberg,TohokuとGodementを参照してるんだから
しょうがないの。

過去に固執するのは（・Ａ･）ｲｸﾅｲ

>>726
わかってないな。EGAとかSGAに代わるものは今のところ無いんだよ。
固執も何もない。

EGAを読んでなくたってSGAを読めるだろ？

>>728
EGAはレファレンスとして必要。全部読んでおく必要は無いが
必要なときに必要な個所を読んでそこに書いてあることを
それ程時間をとられずに理解出来るくらい慣れておくとよい。

>>394は頭悪そうには見えんが、どうして就職したの
酒飲みながら人生を語って下さいませんか

時間さえかけりゃ３９４ぐらいのことは誰でもできる

>>730
単に人のいったことを理解できるだけでは学者にはなれない。

また394に怒られるぞ

怒られたい！
そんな気さえする今日このごろです

>>731
待ってました。よく言ってくれた。代数幾何スレでHartshorneの
演習問題を解いていた俺の後をついでくれ。

ばかやろ。俺は数学はからっきし駄目なんだよ。だから２ｃｈで
くだを巻いてるんだ。でその俺にやり込められるお前達は(ry

SGA読めてんだから、からっきしということはないような。
それとも俺たちのレベルがひくすぎるのか。
そうだ！！それに違いない！

>>737
理解してるとは言ってないしぃ、読み終わったとも言ってないしぃ。
俺って低脳ちゃんなのよ。

>>738
そんなことは最初からわかりきっているよｗ

ひどいこといえるよね

２ｃｈのサーバー運営者、夜勤こと中尾嘉宏。
サーバー屋の株式会社ゼロの社長。
「bbspink」「pink-TV」などアダルト関係のサイトの運営者。
出資法違反の前科あり（1997.05.06　共同通信記事に記載）
その他、■児童買春斡旋■、pnik-tvのログ販売などの前科あり。
怪しい(￣ー￣)限りなく怪しい(￣ー￣)
某宗教団体や某ねずみ講マルチと同じくらい怪しい(￣ー￣)
充分に怪しいホモっ子よりも更に数倍プロ級に怪しい(￣ー￣)
んで既に「北」のように怪しいタコＣＨと怪しい出資法違反な鯖屋の
素晴らしい組み合わせ。完璧です。１２０％です。精子が通り抜ける隙間も
無い完璧さです。もう誰も文句は言えません。敵はいないのです。
そのまま突き進んで空中爆発しちまいましょうヽ(´ー`)ﾉ
http://jbbs.shitaraba.com/computer/2095/
http://blog.livedoor.jp/hirox1492/archives/398543.html

>>739
君って凄いね。わざと僕の問題が解らないふりしてたんだ。
みんなずるいんだから、もー。僕ちゃんまいったな。

ん？ここは低脳ちゃんの394を生暖かく見守るスレじゃないか。
いまさら何をまいってんだ？

せっかくいいこと書こうと思ったのに荒れてるから書く気なくした

>743
いい度胸だ。

>>744
おいおい。単にじゃれてるだけだよ。

どうしようもなく中途半端なスレだね。
せいぜい頑張って盛り上がってくれたまへ。

太っ腹？

>>747
だからもうネタ切れなんだよ。ガロア理論じゃそう
長く保たない。ガロアの逆問題となれば別だけど。
ここの連中には手に負えそうもないし。

３９４の論文でもupしてネタにすればい〜んでね〜の？

３９４のおかげで２ｃｈの数学者のレベルが明らかになりつつあります。
ありがたや、ありがたや

>>723
一般のスペクトル系列の議論についてはしらないが
代数幾何ものは導来圏の理論に言い換えられる。

>>752
感謝いたします。

×ネタ切れ
◯394が一方的に望むような展開が無くなった

×ここの連中には手に負えそうもないし。
◯学部生以下の394には理解できそうもないし。

何で３９４を嫌うのかね

＞数学で通用しなかったやつが、暇に飽かしてSGAをすこし勉強し始めたのが３９４なの

俺はヒマじゃないよ。前にヒマと書いたのは言葉のあや。
普段は目一杯仕事してる。世の中、そう甘いもんじゃないことくらい
いいかげん悟れよな。

おまいら煽り合いでスレ消費するのやめて、もう少しマターリしる。

とにかく俺たちは数学好きの仲間でねーの
いろんな境遇にあるだろうけど数学のロマンに生きようぜ

>普段は目一杯仕事してる。

分かってるって。昼にこのスレに来たとき３９４は頑張ってるんだろうなって思うもの。
お帰りなさい。今日一日お疲れ様

おう、ありがと。だけど、何か照れるな。

「暇に飽かしてSGAをすこし勉強し始める」なんて、結構カコイイ！
で、その格好良さを分かってくれる人、身の回りにいますか
いやいるわきゃねーだろうけど

俺がかっこいいと思うのはやはりGaloisだな。
２０歳で死にやがって、かっこ良過ぎるっての。

あの高速道路も、394が汗水流してスコップやつるはしを
振りかぶってできたものなんだぞ。
もっと喪前ら、394を尊敬しる！

>>764
お前、彼等を馬鹿にしてるだろ。

ふぁ

何が｢ふあ｣だよ。恥を知れ、この糞馬鹿。

いつおさらばするんだ。

確かに、彼等を馬鹿にしたり軽蔑したりしてはいけないというのは、
反論の余地なき正論だ。

だがしかし、今までの煽りの中で、>>764が一番笑えるということ
もまた事実って感じでしょうか。

ふぁ

>>769
だからぁ、それが彼等を馬鹿にしてんだよ、ぼけが。

>>769
汗水流して働いてその合間に数学書を読むのが可笑しいのか。
ぶっ殺されんなよ。

>>770
だからぁ、それが彼等を馬鹿にしてんだよ、ぼけが。

>>764 に対して、>>765 のようなレスをつける394も、
内心で彼等を馬鹿にしているのだろうな。

394が肉体労働者でないとして、本当に馬鹿にしてなければ、
「俺はそこまでやれる人間じゃないよ」的なレスになったはず。
まあ、２ちゃん的に煽った表現になるだろうがｗ

>>774
>>>764 に対して、>>765 のようなレスをつける394も、
>内心で彼等を馬鹿にしているのだろうな。

どうしてこういう結論になるんだ？

ここは394の職業について語るスレになりましたｗ

■394の職業■簡単に説明して下さい

そのまえにあんたの職業・出身大学をかけ

無職、高卒

ガロア群有限に対してΩの元の個数無限を一対一で対応させることができる

>>779
はったりだと見え見えだよ。
このスレでは学部学生にもわかるように書けなければ、
先輩面することはできない。

そんな！
ボクが肉体労働者を馬鹿にするなんて、そんなことあるワケないじゃ
ないですか。
この日本という国を支えているのはね、実際に生産的な労働にいそし
んでいる、地道な努力を怠らない人達なんですよ。数学者みたいに、
非生産的なことにうつつを抜かしてる人間よりも、そういった人達の
方がずっと貴い、尊敬すべき人達なんです。そんなこと、ボクだって
分かってますよ！

>汗水流して働いてその合間に数学書を読むのが可笑しいのか。

氏ぬほど可笑しいです（プゲラ

ふぁ〜

394は呆れて「ふぁ〜 」になっちゃったぞ。
もう来てくれないかもしれないぞ。みんなあやまれ。

>>784
あやまるときは、学部学生にもわかるようにあやまらないと
はったりだと言われるから気をつけろよ

平謝りのＡＡ貼っておきますね。
ペコm(_ _;m)三(m;_ _)mペコ
（´Д｀;）ヾ
　　　∨）
　　　（（
（´д｀;）ヾ
　 ｣｣ て乙

ガロア理論見っけ♪
http://coolee.at.infoseek.co.jp/note.html

平謝りＡＡは効果がないようだ．．．。

ＡＡじゃあ、394には難しすぎたんだろ

数学を勉強している人は性格悪いだろうか？
自分の性格を正直に正確に白状せよ

だれかグロタンディエクのガロア理論をまとめてアップしてちょ。

それよりもまずグロタンディークのガロア理論を理解したやつがここにいるのか?

クラシカルなガロア理論を含むことの証明もｷﾎﾞﾝﾇ

>>391
ヤフーの掲示板ではロットマンの本がいいって書いてあったけど？

>>792 あんなの1日もあれば理解できるよ。

>>795
できてから言ってください。
はったりだと見え見えだよ。
このスレでは学部学生にもわかるように書けなければ、
先輩面することはできない。

ヽ(｀д´)ノ　ｶﾞﾛｧ!理論

部分群と中間体の対応かなぁ、、。

グロタンディエクのガロア理論 (+ クラシカルなガロア理論の関係)
のまとめつくってくれるひといないの

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/852

Ｋ⊂Ｍ⊂Ｌが夫々体で、Ｌ：Ｋが冪根による拡大だが、Ｍ：Ｋは冪根による拡大でない例を教えて下さい。

>>800
冪根による拡大の定義は知ってる？

>>800

ファンデル・ベルゲンの本を読んでみてください。
或いは、永田先生の可換体論を読んでみてください。
回答が載っています。

>>802
な面倒な。ここで教えてちょうだいな。
まず冪根による拡大体の定義は？

>>800-803
もう解決したからいいです。

>>802
Van der Värden を「ファンデル・ベルゲン」と表記する人は始めてみました。
情報提供、ありがとうございました。図書館で当たってみたいと思います。

>>804
自分だけわかってないでおしえてちょうだいな。

既約 3 次式 f(x) = x^3 - 3x - 1 において、特性方程式は g(t) = t^2 - t + 1 で、その解は e^(±πi/3)。
1 の立法根 ω = e^(2πi/3) と、 g の解の立法根 e^(πi/9) を用いると、f の解は、
　　α_1 = e^(πi/9) + e^(-πi/9) = 2cos(π/9) = 1.87…
　　α_2 = e^(πi/9)ω + e^(-πi/9)ω^2 = 2cos(7π/9) = -1.53…
　　α_3 = e^(πi/9)ω^2 + e^(-πi/9)ω = 2cos(5π/9) = -0.34…
と表せる。

α_k は f の根だから、Q(α_k) / Q は 3 次拡大で、その Galois群は A_3 。
Q(α_k) が Q の冪根拡大だとすると、Q(α_k) = Q(a^(1/3)), a ∈ Q となる。
ここで、¬a^(1/3) ∈ Q。
a の最小多項式は h(x) = x^3 - a で、この解は、 a^(1/3), a^(1/3)ω, a^(1/3)ω^2。
Q(a^(1/3), a^(1/3)ω, a^(1/3)ω^2) / Q は正規拡大で、Q(α_1) はその部分体だから、
f は Q(a^(1/3), a^(1/3)ω, a^(1/3)ω^2) で分解している。

Q(a^(1/3)) は、Q(a^(1/3)ω), Q(a^(1/3)ω^2) と共軛。
一方、Q(α_1) は、Q(α_2), Q(α_3) と共軛。
Q(a^(1/3)) = Q(α_1) だから Q(α_2) = Q(a^(1/3)ω) または Q(a^(1/3)ω^2) だが、
このとき、a^(1/3)ω または a^(1/3)ω^2 ∈ Q(α_2) ⊂ R となり矛盾。

>>804
van der Waerdenだけど。vanのvは小文字。

ﾜﾗﾀ

ﾜｸﾜｸ

昨日の例を、refine しました。

相異なる実数解 α_1, α_2, α_3 を持つ既約かつ monic な有理係数 3 次式 f(x) を適当に取る。
f は、α_k の最小多項式だから、 Q(α_k) / Q は 3 次拡大で、
f の分解体 K = Q(α_1, α_2, α_3) は、 Q の正規分離冪根拡大。

Q(α_k) / Q が冪根拡大だと仮定する。
この拡大次数は 3 だから、冪根列の長さは 1 で、立方根による拡大。
∃q ∈ Q： Q(α_k) = Q(q^(1/3)) となる。
q^(1/3) の最小多項式は、 g(x) = x^3 - q で、 ω = e^(2πi/3) とすると、
g の解は、q^(1/3), q^(1/3)ω, q^(1/3)ω^2。
q^(1/3) ∈ K だから、g は K で分解している。
よって、ω = q^(1/3)ω / q^(1/3) ∈ K ⊂　R となり矛盾。

q^(1/3) ∈ K でも、 q^(1/3)ω∈ K ではないかもしれない。
最小多項式gをKのなかで分解したとき、Kにωが含まれなければ、
g は因子(xーq＾(1/3))と、(x^2+ax+b) という二次の規約因子に分かれる
かもしれない。実際 a=q^(1/3)∈K 、b=(q^(1/3))^2∈K である。

f(x)∈K[x] が K で分解する　⇔　f が一次式の積で f(x) = k(x-a_1)…(x-a_n)、 k, a_1, …, a_n∈K と表せる
K / Q は正規拡大　⇔　Q 上の既約多項式は全て K で分解する

ＫはＱの代数閉包を含む。

ある多項式がQ上で既約であることを確認する方法ってどんなのがありますか？
特に、アイゼンシュタインの方法が使えない場合とか。
例えば（1次式*2次式）に因数分解できたとして話をすすめて矛盾を導くと言う原始的な方法も
手詰まりになる場合が多いし、第一次数が大きくなると分解の組み合わせが大きくなって面倒
だし。

分母を払って整数係数にして、そのZ係数多項式を
適当な素数を法にして写像した先で既約ならば、
(そのような素数があれば)既約です。

２ｘ＾２＋ｘ＝ｘ（２ｘ＋１）は２を法とすると既約。

>>814
まず、f∈Z[x]を原始多項式（係数の最大公約数が1）とするとき、
「fがQ 上で既約⇔ｆが Z 上で既約」はいいよね？
で、f∈Z[x] がZ上既約であるかどうかは、次のKroneckerのアルゴリズムを使えば
有限回で判断できる。

deg(f)/2 を超えない最大の整数を m とする。fが可約なら、fは次数≦mの因子を持つ。
相違なるm+1個の整数α_0、α_1、・・・、α_mを勝手に取り、f(α_i) = a_i とおく。
g∈Z[x]がfの因子ならg(α_i) は a_i の約数になるはずである。
そこで、 D = {(b_0, b_1, ・・・, b_m)|b_iはa_iの約数（注：負数も含める）} とし、
各(b_0, b_1, ・・・, b_m)∈Dに対してg(α_i) = b_i となる次数≦mの多項式gを求める
（Lagrangeの補間公式からこのようなgが一意的に存在する）。fを実際にgで割って
みて割り切れれば、fは可約。あらゆる(b_0, b_1, ・・・, b_m)∈Dについてこの手続き
でfの因子が見つからなければ、fは既約。

ちなみに>>815は、「多項式の最高次係数がその素数の倍数ではなく」という仮定が
抜けている（この条件は忘れられることが多い。たとえばvan der Waerdenの本でも
この条件が抜けている）。

>>815
その方法が効かない場合もあるし、あまり大きい素数だと
実用的でない。

>>817
その方法は実用的でない。

>>819
実用的でないから何？Mathematica や Maple は基本的にこの方法を使ってると思うが。

>>820
実用的でないから使い物にならない。
Mathematica や Maple では使ってないだろ。

>>821
んじゃ使い物になるアルゴリズムを書いて。

>>822
やだ。自分で調べたら。googleで、計算代数を検索するとか。
多項式　因数分解　アルゴリズムで検索するとか。

>>823
アホか・・・

>>823は、自分で
「googleで、計算代数を検索するとか。多項式　因数分解　アルゴリズムで検索するとか」
して>>817と違う方法があることを知っただけと思われ。

>>824
アホじゃないだろどう見ても。ここに使い物になるアルゴリズム
を書いてくれと頼むほうがよっぽど(ry

>>826
痛いね・・・

>>825
勝手に決めつけるな。何でいろいろある可能性の中からそれに
なるんだよ。短絡的な奴だな。カルシウムか何かが不足してん
じゃないのか？俺はそのアルゴリズムが書いてある本を
読んだことがあるんだよ。その本の題名を調べるのが面倒なだけ。

>>828
本を読んだことがあって、そのアルゴリズムの内容も、アルゴリズムの名前も、その本の題名も
覚えてないアフォなんですね。

弱ったな。>>819でホントのことを指摘したら逆恨みの粘着ときた。

>>823は真性アフォなので、自分で調べました。

Mathematica では Kronecker のアルゴリズムは使ってなかったみたい。>>820は取り消す。

Mathematcia のヘルプより。
For univariate polynomials, Factor uses a variant of the Cantor-Zassenhaus
algorithm to factor modulo a prime, then uses Hensel lifting and recombination
to build up factors over the integers.

Cantor-Zassenhaus algorithm ってのは有限体上で多項式を因数分解するアルゴリズム。
Hensel lifting ってのは http://www.math.colostate.edu/~hulpke/lectures/m676ca/hensel.pdf
とかをみよ。

いずれにせよ、>>817 のKroneckerのアルゴリズムが最もシンプルじゃない？
「実用的かどうか」を抜きにして、それ以外にもっとシンプルなアルゴリズムはあるの？

>>831
＞>>823は真性アフォなので、自分で調べました。

支離滅裂だな。俺(823)が自分で調べたらどうかと言ったから
お前はそのとうりにしただけだろ。俺が真正アフォならその言う
ことを聞いたお前は何なんだ？ｗ

超新星

＞俺はそのアルゴリズムが書いてある本を読んだことがあるんだよ。
＞その本の題名を調べるのが面倒なだけ。

お前こそカルシウムが不足してるんじゃないのか？死ぬぞ(ｗ

>>832
実用的でないアルゴリズムにあまり価値はない。

>>836
実用的でなくても「アルゴリズムが存在する」ということを示しているから、意味はある。

>>835
読んだことのある本の題名を全部覚えてないとカルシウム不足
を疑われるのか？ｗ

＞ホントのことを指摘したら逆恨みの粘着ときた。

何がホントなんだか。
本は読んだ。題名は忘れた。アルゴリズムの名前も中身も忘れた。
ただ、効率的だという記述だけ覚えてから書いた。
学校の試験でそんなこと書いたら必ず落ちるぞ。
貴様、２ｃｈだからって気楽に書くなよ（ｗ

>>837
よく読め。価値がまったくないとは言ってない。
カルシウム不足してない？

>>838
それだけじゃないな。調べることを面倒くさがるのもある。
まあ、本当はカルシウム以前に誠意が足りないんだろうけど（ｗ

つまり
・「実用的でない」とだけいうのは三流
（何も中身がなく、調べることすらできないゴミカキコ）
・本の題名を挙げて、読めというのは二流
（中身はないが、調査のきっかけは与えるカキコ）
・アルゴリズムの名前のみならず中身の説明までするのが一流
（中身のあるカキコ）

>>839
クロネッカーのアルゴリズムが実用的でないことは事実だろ。
それを指摘してどこがわるいんだよ。それを指摘したら
実用的なアルゴリズムの名前なり文献なりをあげないと
駄目なのか？

>>843
駄目。当たり前。

>>842
その３流の指摘で勉強になったろ。

>>844
何故？

素因数分解するとき２からその数まで
順に割っていくのは実用的でない。

>>823は二流。

>>842は三流。

>>841
２ｃｈのどこの誰とも分からない人間のために調べることを
面倒がるとおかしいのか？

>>845
たいしてならなかった。ちなみにおれは842ではない。

なんだかよくわかりませんが、ここに自動宿題処理機のURLを置いておきますね。

http://www2.ezbbs.net/07/dslender/

>>819がなければ８１７は>>820だと思い続けていた。

>>851
君はクロネッカーのアルゴリズムが実用的だと思っていたんだろ。
その間違いを指摘されたら悔しいだろうが、間違いに気が付かない
ことと比べたらはるかにましだろ。つまり勉強になったろ。

Cantor-Zassenhaus algorithm と Hensel lifting を使って
因数分解する方法というのは、20 年ぐらい前の数式処理の
本に書いてあることで、そんな常識もないのに Mathematica
だの Maple だのと言い出す人を相手にしても。

>>853
まあそうだね。だけど、因数分解の「実用的な」アルゴリズムには、今のところ俺はそれほど興味を
感じない。一方、Kronecker のアルゴリズムは「因数分解のアルゴリズムが存在する」っていう事実
として知っておく必要があると思う。

しかし、自分でもよく知らないくせに「実用的でない」とだけ書く >>819のような態度は俺
には理解できない。数学をやる人の態度じゃないと思う。

>>855
数式処理にはあまり興味がないんで知りませんでした。
「Mathematica や Maple で」って書いたのは勇み足でした
（以前誰かにそう聞いたことがあったんで確認せずに書いてしまった）。

>>856
まだ言ってるのか。クロネッカーのアルゴリズムが実用的で
ないことは、俺が多項式の因数分解をするプログラムを
作ろうとしてすぐ気がついたことだ。このアルゴリズムが
実用的でないことに気づくためにCantor-Zassenhaus algorithmを
知っている必要はまったくない。

>>855
んじゃ、「Cantor-Zassenhaus algorithm と Hensel lifting を使って
因数分解する方法」が具体的にどんな方法で、それがKroneckerの
アルゴリズムよりどの程度「実用的」なのかを説明してくれませんか。

>>858
よくわからないんですが、819さんの「実用的である/ない」の定義を書いてくれませんか？

>>860
普通のパソコンで数百次の多項式の因数分解が数時間以内に
出来る。

２＾５００＝３．２７×１０＾１５０。

>>859
See 佐々木建昭他、岩波講座応用数学 (第５巻)「計算代数と計算幾何」、1993年

>>863
それだ。俺が読んだ本。

>>863
ありがとう。今度時間があるときにでも読んでみます。

>>819は何のために数学の本を読んでいるのだ？
あるアルゴリズムが「実用的でない」ってことだけしか憶えていないような
本の読み方では、数学の本を「読んだ」とはいえない。
フツーそういうときは「眺めた」とかいうもんだが。

>>817>>823>>831>>863
一流か二流。
>>817-866の上記以外
一流でも二流でもない。
よって大部分のレスは一流でも二流でもない。

久々に伸びてると思ったら・・・

間違いを指摘されてそれを認められない人がいると突然スレが伸びる。

>>866
本の読み方っていうのはいろいろあっていい。何もすみから
すみまで全部読んで完璧に理解したという読み方だけが
正しいというわけではない。
あの本は、あるコンピュータプログラムを書くために買った
んだが、あの本では不十分だとわかったんでアルゴリズムの
部分はさらっと読んだだけ。つまり、後でプログラムを書くとき
に参照すればいいんであって、さしあたってその時にアルゴリズムを
十分理解してもあまり意味はない。アルゴリズムの本っていうのは
そんなもんだろ。いつでも必要なときに参照すればいいわけで、
全部頭に入れて置く必要はあまりない。

それから一度読んだ本の内容（の一部）を忘れるのは
よくあることだろ。それは忘れただけであって、頭のどこかには
残っている。だからそれはその知識がゼロになったのとはわけが
違う。再びその本を読めばすぐ思い出す。

>>869
このスレが伸びるのは、イタイ人が来た時だけ（ぼそ

>>822が一番の原因。間違いを指摘されて、じゃあ使いものになる
アルゴリズムを書いてみろという反応がおかしい。使い物にならない
ものは、他に使い物になるものがあろうとなかろうと関係なく
使いものにならない。

>>872
その反応が普通だと思うが。
具体的なことを何も書かずに単に指摘するだけのほうがおかしい。

だいたい「間違い」「間違い」ってさかんに言ってるけど、俺が書いたことのうち
「間違い」は>>820の「Mathematica や Maple はこの方法を使ってると思う」
ってとこだけで、しかも後でそれは間違いだったって自分で調べて報告して
るんですけど・・・

よく読んでもらえばわかると思うが、俺は「Kroneckerのアルゴリズムが実用的だ」
とは1回も主張していない（そもそも「アルゴリズムが実用的かどうか」に最初からあまり
興味がない）。

>>873
見当違いの反応のどこが普通なんだよ。
それから、単純に間違いを指摘したからといっておかしい
ことはないだろ。指摘されたことを感謝されこそすれ
恨まれる筋合いはない。

>>819は一連のレスで具体的なことを何一つ書いてない。
なんなんだ、あんた・・・

>>874
Mathematica や Maple を引き合いにだしたのが、クロネッカーの
アルゴリズムが実用的であると思っている証拠なんだよ。
君は最初にボタンの掛け違いをしてしまったんだ。
はじめに、実用的でないと指摘されたときに、
だから何？とでも言えばよかったんだ。

>>876
具体的なことを書いてるだろ。
なんなんだ、あんた・・・

>>878
「具体的な」ってのは「数学的に」具体的なっていう意味。
どのレスが具体的なつもり？

>>879
アルゴリズムが実用的でないというのは具体的な指摘だろ。
それから実用的という言葉の意味も定義しただろ。

>>879
>>862 は >>861 の続きとして 819 が書いたもののような気がする。

>>880
だからそんなんが「具体的」って思ってるようだから駄目なんだよ。

>>881
>>862は俺じゃない。

そろそろやめませんか・・・不毛なんで・・・

>>882
何がどう駄目なんだ。わかるように説明してみろ。
具体的といってもちょっと考えればわかることを説明したりは
しないぞ。俺は無作法な奴に親切に教えるほど人が好くはない
からな。

>>884
クロネッカーのアルゴリズムが何故実用的でないか納得してる
のならやめていい。

だから実用的かどうかには今のところあんまり興味がないんだって。
それに >>863が参照先を示してくれたんで、興味がでたら自分で読んでみようと思ってる。

そもそもあなたのカキコからは「クロネッカーのアルゴリズムが何故実用的でないか」
全然わからないんですが。

>>887
クロネッカーのアルゴリズムが実用的か否か。
これがこの議論の中心だろ。興味がないなら初めから
スルーしろよ。このバカタレが。

んじゃ、あなたは「クロネッカーのアルゴリズムが何故実用的でないか」わかってるの？
本読んでそう書いてあったから、ってだけでしょ？

発端である書き込みの>>814には計算速度のことは触れてなくて
数学的というか理論的に調べられる方法を聞いていると思うけどな。
計算速度はそれはそれで大きなテーマではあるけど
>>814でそれを聞いてるかというとそうでもなさそうだけど。

まあいずれにせよ不毛な言い争いであることは確かだ・・・

>>870
貴様は本が読めてない。それは皆が認めることだ。
肝心なことが説明できないならば、
何も理解できていないということだ。

＞その時にアルゴリズムを十分理解してもあまり意味はない。

そのときにアルゴリズムを理解できないなら全く意味はない。
そんな馬鹿者にプログラムが作れるわけがない。

＞忘れただけであって、頭のどこかには残っている。
＞再びその本を読めばすぐ思い出す。

過去に理解できなかったことが残ってるわけがない
思い出せるわけがない。何度読んでも理解できずに忘れるだけ。

貴様には決して理解できない。諦めろ。

817=887
いまさらイイ子ぶりっ子するな。
貴様も819と同じバカのくせに大口叩くな
ひたすら平身低頭して教えを請え

とはいえ、819が817の文章に書かれていることを
全く理解できなかったゆえに嫉妬したのは確か
バカのくせに自尊心だけ有り余る大バカってやつ。

はっきりいえば、Cantor-Zassenhaus algorithmも理解できないどころか、
Kronecker algorithmの計算オーダーも示せないくせに非実用的とだけいう
バカは数学板には要らない。２ちゃんねるだからいい加減なこといっても
いいという連中は、バーべキューにでもなっちまえばいい

＞アルゴリズムが実用的でないというのは具体的な指摘だろ。

違うぞ、この大馬鹿者め。

そもそも貴様は「クロネッカーのアルゴリズムが何故実用的でないか」
か理解できていないだろう。説明できないからな。

議論が不毛である責任は全て819が負うべきだ。
819を擁護する奴は819と同じバカ者。

＞興味がないなら初めからスルーしろよ。このバカタレが。

知識がないならはじめからカキコするな、819の大バカ者が。

なんかいきなりまたヘンな奴が現れたね・・・
激しく不毛だな。

>>894さん、平身低頭して教えを請います。
「Kronecker algorithmの計算オーダー」を示してください。
お願いします。

>>817
ｆの次数が９９９ならｍ＝４９９で５００個の点を取ることになる。
約数は±１があるので二個以上なので調べる多項式は２＾５００以上。

>>900
なるほど、サンクス。
ちなみに「Cantor-Zassenhaus algorithm」だとこれがどのようになるの？

ｘ＾４−４ｘ＾２＋１はＺ［ｘ］で既約。
ｐが素数のときｘ＾４−４ｘ＾２＋１は（Ｚ／ｐＺ）［ｘ］で可約。

↑まさか反例のつもりじゃ・・・

>>903
>>902は、monic f∈Z[x]に対して、
fがZ[x]で可約⇒すべてのpでf~∈F_p[x]は可約
の逆がいえないことの反例になってるんじゃないの？

だけど、証明はどうやんのかな、これ。
x^4 + 1 が同様の例になっていることの証明は知ってるが、
同じようにできるのかな？

苦しいフォローだな。
どう見ても>>815(と>>817後半)に対する反例として書いてあると思うが

>>905
何いってんの? 意味不明なんだが。

ちなみに、x^4 + 1 が F_p[x] (p: 任意の素数) で可約なことの証明。

p = 2 なら x^4 + 1 = (x + 1)^4 で可約。以下、pを奇素数とする。
x^4 + 1 | x^8 - 1 | x^((p^2)-1) -1
なので x^4 + 1の根はF_(p^2) （位数p^2の有限体）に含まれる
（∵F_(p^2)は x^((p^2)-1) -1 の分解体だから）。
F_(p^2) はF_pの2次拡大だから、x^4 + 1はF_p[x]で既約であり得ない。

>>815-817と読めばわかるだろ
新手の阿呆か

>>908
>>902が「>>815-817の反例のつもり」かどうかはどーでもいいんですけど。
Z[x]で既約だがすべての素数pについてF_p[x]で可約な多項式の例、ってのは、
それなりにおもしろい例だと思うんですが。

>>909
うん、それなりに面白い。
でも、無限素点に対応する実数体上で既約であることが確かめられるね。

>>902
x^4 - 4x^2 + 1 が任意のF_p[x] で可約であることはどうやって示すの？

>>901
こんなの自分で考えろよな。中学生レベルの計算だ。

俺が考えていたプログラムは有理数係数の方程式を
与えてそのガロア群を計算するものだった。これには、
代数体上の方程式を因数分解する必要がある。これの実用的
なアルゴリズムがあの本には書いてなかった。

>>889
お前は俺の頭の中がわかるのか？　>>858を読め。気が付いたという
のは自分で考えて気が付いたってことだ。それもすぐにな。
お前みたいに何時間もわからず、結局人に聞いて初めてわかった
というのと一緒にするな。

ま〜た、コイツが騒いでるのか。

>>819って、もしかして代数幾何スレに登場してたおじさんですか？
Hartshorneの講義を聴いたことがあるとかいう。

だったら不毛なことしてないで、もっと数学板を盛り立ててよ。
それとコテハンつけたら人気者になるかもよ。

「気が付いた」ってのを納得してくれる人がほぼ皆無って事は
819は説明能力がほぼゼロって事なんでしょうな。
自分の意見が他人に殆ど伝わらない。

>>917
ちょっと考えればわかることを説明しないということと、
説明能力が無いことは全然違うだろ。俺は>>917がいつ気づく
か暖かく見守っていたんだ。

819は>>870でアッフォーぶりを自白してる通り
ちょっとも考えてないから、説明なんかできるわけもない。
なにが暖かく見守るだ。バカのクセに

「ちょっと考えればわかる」って風にすら受け取ってもらえて無いんでしょ、819は。
それじゃぁやっぱり説明能力ゼロじゃないですかね。

ところで私は819が気付いて欲しいと思っているような人たちとは別人です。
917が書くまで全然書き込んで無いし。

917が書くまで→917を書くまで

>>920
君は勘違いしてるぞ。そもそも説明しようとしてないんだよ。
説明する義務はないんだからな。

今日中に１０００いけば妹のマンコアップ

だったらしゃしゃり出てくるなって言ってるんだろ。

>>924
俺のかってだろ。

>>922
そもそも説明できないんだろ？
説明できる理解がないんだからな(ﾌﾟ

>>925
説明は出来ないが知ったかぶりはしたい。
つくづくバカだねぇ。貴様って野郎は

理科大スレと双璧

俺がすぐ気づいたといったのが分からなくてかっかときてるな。
可愛いやっちゃ。

>>916
人違いだよ。俺は今退屈なんで、ＸＸＸをからかって遊んでるだけ。

>>929
俺は>>917-928には書き込んでないよ。

で、いい加減そろそろやめようよ。
確かに俺も>>900のようなことがすぐ分からずにアフォだった。

あなた貴重な人材なんだからもっと有益なことしてよ。

>>930
なんだ、あなた代数幾何スレのおっさんじゃなかったんだ。
俺もそう思ったが。

おっさんというのが気に入らなかった。
俺がいるとこのスレ盛り上がるだろｗ

暇なんでKroneckerみたいだけど実用的なアルゴリズムつーのを作ってみるわ。
もちろん数学板ネイティブな。少しまちなー。

>>934
ﾀｲｰﾎ

ふーん、819=394 なの？

確かに義務はないです。
でも、普通は「こいつは分かってる」って展開になる筈なのに、
何故819や394が書き込んでるとこんな風になるんですかね。

同一人物かどうかは知らんが、はたから見てて雰囲気はそっくりだ。
「その方法は駄目だ。自分はなぜ駄目か知ってる。
　これ以上は説明する義務はないから書かない。」
なんて言ってたら根拠の無い知識を振りかざしてるようにしか見えない。
貴方が知識を持ってるかどうかに関わらずね。

調べかたは>>823にある。

ａ，ｂが有理数でａ，ｂ，ａｂが有理数の二乗でないとき
ｘ＾４−２（ａ＋ｂ）ｘ＾２＋（ａ−ｂ）＾２はＱ［ｘ］で既約。
さらにｐが素数で２（ａ＋ｂ），ａ−ｂの分母がｐの倍数でないとき
ｘ＾４−２（ａ＋ｂ）ｘ＾２＋（ａ−ｂ）＾２は（Ｚ／ｐＺ）［ｘ］で可約。

２（ａ＋ｂ），ａ−ｂが整数のとき
>>815では既約であることが分からない既約多項式の例。

>>940
後半のZ/pZ[x]で可約ってとこ、どうやって証明するの？ ヒント教えて。

>>941
根を求める。
どう因数分解されるか考える。

どう見ても「圏はsmallと考えてよい」おじさんの（略

>>910
可約の間違い？

人以内

体Kの代数閉体をK~としたとき、Gal(K~/K)は一般的にどうなるの？

Re:>>946 それじゃあ、先ずGal(C/Q)がどうなるのか教えてくれないか。

G = Gal(Q~/Q)は興味深い対象であり神秘のベールに包まれて
いる。一方、G の交換子部分群 [G, G] に対応する Q~ の
部分体をQ_ab で表すと G/[G, G] = Gal(Q_ab/Q) の構造は
比較的よく分かっている。

代数閉包。
存在しない。

すいません。代数閉体でなくて代数閉包でした。
まだGal(Q~/Q)も分かって無い状態なのですか。ありがとうございました。

>>950
Kが有限体のときGal(K~/K)がどうなるか考えてみるべし。

スミマセン。
数学に達者な方が大勢いらっしゃるということなので、ちょっとお尋ねしたんですが、

　----　（長さ：a）
　----------　（長さ：b）
------　（長さ：１）

があって、このとき、定規とコンパスだけを用いて、
　(1)a×b　　(2)a÷b　　(3)√a
を作図するには、どうすればいいんでしょうか...

注意）0＜長さa＜1、長さb＞1　です。a、bはそれ以外の情報を得ていません。

>>952

デカルトって人が書いた「幾何学」って本に載ってるよ。

>>952
（２）　ｘｙ平面上で、Ａ＝（０，ａ）、Ｂ＝（０，ｂ）、Ｃ＝（１，０）とする。
Ａを通りＢＣに平行な線とｘ軸との交点をＤとすると、ＡＤ＝ａ/ｂ

（１）　（２）でａ＝１とおくと、１/ｂが得られるから、再び（２）により、ａ/（１/ｂ）＝ａｂが得られる。

（３）　（−１，０），（ａ，０）を直径とする円を作図し、ｙ軸と円との交点をＢとすると、ＯＢ＝√ａ

>>951
Gal(K_p^n/K_p)はφ(x)=x^pで生成される巡回群になるから
Gal(K~/K)はZと同型になる、でいいでしょうか？

>>955
だめ。Z^と同型になる。
Gal(Q~/Q)もDrinfeldや伊原康隆の研究により
2個の元で位相的に生成されることがわかってるんじゃなかったっけ。

>>954
ほんまで、これ、定規とコンパスだけで書けますか？
a、bの長さはハッキリしてないんですが...

>>957

教科書読み直したほうがいいと思うよ。全然理解してないみたいだし。
あと、スレ違い。

>>958
ガロア理論に関する内容だって聞いたんですけど...　違うんでしょうか...

>>959

関係はあるけど、それを言ったらそれこそ小学校の足し算引き算だって、Galois理論と(当たり前な意味で)関係がある。
中学・高校生向けの質問スレは他にあるだろう。そっち行けよ。
てか、954に具体的な手順が与えられてるし、それでもわからなきゃ953の言うとおりデカルトの「幾何学」嫁。最初の
ほうに図つきで書いてあるはずだ。

319

おめーら今日はガロアの命日だぞ。
二十歳で死んだなんて俺より若いぞ。

俺は１１月で２０歳だからそれまでに数学界に大偉業を残してガロア超えてやるよ

>>963
中途半端なやり方じゃ一年半はかかるからね。これみて頑張って。
ttp://www.math.tsukuba.ac.jp/~kazunari/Kimurata/kimurata.html

>>964
そのコラムは「数学は体力だ」って言葉を実際に運動して表現してる所が面白いのぅ。

839

564

終わりそうだな．

714

ガロア理論の初等適応用例 (1)
a, b を実数とする時、 a + bi の立方根の実部・虚部を、
a, b から四則演算と、実の冪根で表す公式は存在しない。

但し実の冪根とは冪根を取る前も後も実数に限定するという意味である。
また、 a, b に適当な具体的な有理数を入れた時、
a, b から四則演算と、実の冪根で表す事は出来ない。

誰か証明してみよ。

具体的数値では、
(√3) + i の立方根の実部・虚部が、有理数から始めて、
四則演算と実の冪根では表示出来ない。

発展問題：
　　実係数の方程式であって、実数のみの演算（実部と虚部を別々に
計算するのはOK）と、実数のみの冪根（結果も実数）だけを使って
少なくとも一根が解かれるようなものは、どのような場合か？

>>972
少なくとも1根なら
xf(x) = 0 等幾らでもある。

>>972
（一寸変形し）
実係数の方程式であって、実数のみの演算（実部と虚部を別々に
計算するのはOK）と、実数のみの冪根（結果も実数）だけを使って
（全ての根が）解かれるようなものは

一つの十分条件として、ガロア群がアーベル群となることがあげられる。
これは必要条件ではない。

ﾍﾟﾌﾟｼｺｰﾗ

方程式を実既約なものに制限した方が実りある結果が得られるであろう。

ﾊﾙﾏｹﾞﾄﾞﾝ

死ねｳﾞｧｶ

次スレでつ

ガロア理論 Part 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1089611846/

ガロアはアーマゲドンで負けた。
私はアーマゲドン起こしても死なない。
私は無敵だ。

>>979
じゃこのスレ保存しとかないと。

ガロイスなどと読んでみるテスト。

>>982
<<346も書いてるが　おれも書くとき（ガロイス）って心で唱えてるな笑

百六十七日。

９８５

ガロワに聞いてくれ

９８７

百六十八日。

989

やはりガロァヮ

９９１

５ヶ月と１６日

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