フィボナッチ・リュカ数列の定理を並べるスレ

トリボナッチ数
　T_1=1, T_2 =1, T_3=2,
　T_n = T_(n-1) + T_(n-2) + T_(n-3).

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159088715/264-287
分かスレ２５９

>346
特性方程式 x^3 -x^2 -x-1=0 の3根を a,b,c とする。
　x^3 -x^2 -x-1 = (x-a){x^2 +(a-1)x+(1/a)}
　a = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3) }/3 = 1.83928675521416113255185256465329… トリボナッチ定数
　b = (1/√a)exp(iθ),
　c = (1/√a)exp(-iθ).
　θ = arccos{-(1/2)(a-1)√a} = 90ﾟ + (1/2)arccos{(a-1)^2 /2} = 124.68899739147561093738917517977…ﾟ

　T_n = k_1･a^n + {k_2･cos(nθ) + k_3･sin(nθ)}(1/a)^(n/2).
k_1 = -k_2 = 0.33622811699493…, k_3=0.3996482801623…

>346
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0
http://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/TribonacciConstant.html

age

n-bonacci 数
　F_k = F_(k-1) + F_(k-2) + …… + F_(k-n).

特性方程式
　x^n = x^(n-1) + … + x+1.
　x^(n+1) -2･x^n +1 =0,　x≠1.
　2-x = (1/x)^n,　x≠1.

x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989…
x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/4 = 1.839286755214161132….
x_4 = {1 +√u +√(11-u +26/√u)}/4 = 1.927561975482925...,
　u = {11 +2*(12*√1689 -260)^(1/3) -2*(12*√1689 +260)^(1/3)}/3 = 1.704371307008…
　u^3 -11u^2 +115u -169 =0 の実根
nが大きいとき
x_n ≒ 2 - (1/N) - (n/2)(1/N)^2 - {n(3n+1)/8}(1/N)^3 - {n(2n+1)(4n+1)/24}(1/N)^4 -…
ここに N=2^n.


http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/TetranacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/PentanacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/HexanacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/HeptanacciNumber.html

>350 (補足)

x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989484820458683436564…
x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/３ = …. ｽﾏｿ
x_4 = 1.92756197548292530426190586173648…
(u = 1.70437130700810135321359904631276…)