【執り付かれた】数学的帰納法は無効【悲劇】

ｐ（１）が成り立つ。
ｐ（ｎ）を仮定してｐ（ｎ＋１）を示す。

真偽を確かめるべくP(ｎ）を仮定してしまって、
結論としてｐ（ｎ）が真といってしまうのはおかしい。
ｐ（ｎ）が偽のとき必ずｐ（ｎ＋１）が偽になる保障はあるのか？
真を仮定して真を結論付けるのはどういう原理によるのか？

数学的帰納法による論証は無効である。

うんこ。

ｎじゃなくてkだから。終了

3 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/11/24 22:52
ｎじゃなくてkだから。終了

自然数の公理を否定しるんだな

n=k　ですよ！

釣りに対して面白いレスができないよ俺

>>1は自然数がどっかで間隔0.9とかになってるんだろうな

>>1 は本当は帰納法の正当性を教えて欲しいんだよ
漏れは痛いほどわかるぞ

n=kのときP(k)ってP(n)じゃないですか？！！

P(k)は性交すると１点です．

そだな〜。
P（ｋ）が成り立つならばP（ｋ＋１）が成り立つ。
って示せても、
P（ｋ）が成り立つかどうかは分からんのだから、
ｎ＝１のとき成り立つからといって、
ｋ＝１とはできないじゃん。
じゃん。

ガ━━（ﾟДﾟ;)━━ン！

テンプレ訂正版

ｐ（１）が成り立つ。
ｎ＝ｋのときｐ（ｋ）を仮定してｐ（ｋ＋１）を示す。
すなわちｐ（ｎ）を仮定してｐ（ｎ＋１）を示す。（なぜならｋ＝ｎ）

真偽を確かめるべくP(ｎ）を仮定してしまって、
結論としてｐ（ｎ）が真といってしまうのはおかしい。
ｐ（ｎ）が偽のとき必ずｐ（ｎ＋１）が偽になる保障はあるのか？
真を仮定して真を結論付けるのはどういう原理によるのか？

数学的帰納法による論証は無効である。

まあ>>1は今日学校の授業で数学的帰納法を勉強したんだろう。
疑問点は2chでなく数学教師にぶつけなさい。

釣り・・・なのかな・・・

やばいよ。数学界、激震じゃない！？
ドキドキしてきたよ。

>>14
サンクス。できれば、１２で書いたことも加味して欲しい。

>>17
いいね子供は夢があって。

>>19
よちよちしてくれる？
まじれす希望。押忍。

大発見ですな

寝ます。またあした。
数学を感ずるようなレスをこさえてくれよ。
２ｃｈ数学のみんな。
世界はグラフティだろ。やさぐれないで楽しもうぜ。

１さん、いまいち理解できないので
よければ具体的な例をあげて下さい

俺が寝たからって悪口言わないでくれよ

電波？それともネタ？

>>23
例の禿云々は？

最近、杉浦で読みましたよ

一応わかりやすいようにマジレスしておくと…

自然数nについて以下の性質が成り立つとする。{ p(n)が真 }
これを示したい場合どうすればよいか？方法は高校段階で二種類
１−普通に式を変形して示す。２−数学的帰納法を使って示す。
２で引っかかる香具師多いんだよな。まあ、論法としては、
p(1)が真であることを示す　…　[1]
自然数kについて、p(k)が成り立つと仮定した時、p(k+1)も成り立つことを示す。　…[2]
そうすれば、p(n)が真だということがわかる。

なぜなら、[1]より、p(1)が真である。さらに、[2]より、p(k=1)が真なら、
p(k+1=2)も真であるはず。もっかい[2]より、p(2)が真なら、p(2+1 = 3)=p(3)も真なはず。
さらに[2]より、p(3)が真ならp(4)も真なはず…、とこれをnまで繰り返せばp(n)が真なのがわかるはずだ。

>>1はこんなわかりにくい説明より、天下り式に納得するか、中学からやり直すなり
大学への数学開くなりしてxやyの意味をもっと考えた方が将来にとって有意義だと思う。

↑一番最初にマジレスしたコイツは負け組

なるほど。
テンプレ訂正版

ｐ（１）が成り立つ。
ｎ＝ｋのときｐ（ｋ）を仮定してｐ（ｋ＋１）を示す。
すなわちｐ（ｎ）を仮定してｐ（ｎ＋１）を示す。（なぜならｋ＝ｎ）

真偽を確かめるべくP(ｎ）を仮定してしまって、
結論としてｐ（ｎ）が真といってしまうのはおかしい。
ｐ（ｎ）が偽のとき必ずｐ（ｎ＋１）が偽になる保障はあるのか？
真を仮定して真を結論付けるのはどういう原理によるのか？

数学的帰納法による論証は無効である。

※具体例
髪の毛がn本の人はみなハゲである・・・（A)ことの証明
�@)髪の毛の本数をn本として、n=0のとき（A)は成り立つ。
�A)n=k(k≧0)のとき(A)の成立を仮定すると、n=k+1のときもヤッパリ禿。
以上よりみんな禿である。
しかしどうみても俺がハゲではないことに矛盾する。そもそもその間違いは
数学的帰納法を使ったことに起因する。よって数学的帰納法は間違いであることが証明された。

これをみた>>1が感動で涙にむせぶ顔が目に浮かぶ

>>30
おもしろいね〜。今度塾で教えちゃおうかな

>>29
ごめん。>>1がまじめに悩んでいたら、悪いなーと思ったから。
俺も自分が間違った論理展開しているのに気づかずに「こりゃ数学界が震撼するぞ」
と思うことはよくある。が、すぐに気づいて自分の愚かさに気づく…。
数学的帰納法が一般人に難しいのは明らかだから、躓いてもしょうがないものだと思う。

>>30
iii）髪の毛が100本以上あれば禿じゃないとする
というのも入れておいて。冗談のわからない男だとののしって。ｱｱﾝ！

k番目のドミノが倒れるならばk+1番目のドミノも倒れる

1番目のドミノは倒れる

よってn番目のドミノも倒れる

「仮定して」とか言うから、変な誤解を生んでしまうのかな。

P(1) が真であることを示す。
P(n) が真ならば P(n+1) も真であることを示す。

などと言ったほうが良い?

>>35
P(n) が真のときは P(n+1) も真
のほうが良くね？

>>36
同じ

>>37
いや、内容が同じなのはわかるけどさ、誤解する香具師に与える印象
としてはどうなの？ って話だろ？

過ちの根本を解明した。
すり替えである。

とあるｋでP（ｋ）が成り立つときP（ｋ＋１）が成り立つ。・・・（おっ）
これと、
命題P（ｎ）が成り立つとき命題P（ｎ＋１）が成り立つ。・・・（ぱい）
の絶妙なすり替えが日常茶飯事に行われている。

往々にして、ｋで書かれた式中のｋがとあるｋであることが
含意されていない（例は割愛する。諸氏には必要あるまじろ）。
即ち、私たちは数学的帰納法を使うとき、最中、（ぱい）を示して
いる。そして、これを（おっ）にすりかえて、証明すたと結ぶわけ
である。悲劇だ！あぁ、涙がこぼれてきそうだ。

いってきまーす。じゃ、また夜きましゅ。

むかしは「排中律認めません」なんて数学者もいたわけで
たとえばもし仮に帰納法を「捨てる」となると、
どんな定理が犠牲になるんだろうか
それで数学やっていけるのかどうか？

>>38
いい考えだと思う。まじめに。

>>40
ペアノの公理が…

>>40

自然数同士の足し算すら定義が難しくなると思うけど。

例外のない法則はない、という法則を法則Ａとすると、法則Ａには例外があるだろうか？

板違い。論理学にちょっと興味が出てきました！みたいな厨房は哲学板にでも逝け。

>>45
誰に言ってんの？

>>44
ある。もし例外がないとすると矛盾する。

>>33
100本ならまだ禿だろ。

>>43
定義はできると思う。
「全ての自然数の組に対して加法が定義される」ことは証明できないかも。

ぐぅのねもでないのぉ？

１００年後の２ちゃん数学でさ、昔の数学の話題で、昔はさ、
数学的帰納法っていういんちき論法が誰疑うことなく使われて
たんだってｗ、てなレスが飛び交うのではないか。
興奮だ、興奮だ、歴史が動いているそのさなかに僕たちはいる。
数学的帰納法が崩れ去るとき（そのとき歴史は動いた）。
皆さん、皆さん、証人ですよ証人ですよ、歴史の、はぁ、はぁ、
数学史の証人ですよ。ライブだ。楽しいねぇ。あばあばあば、、、。

ということで、お暇しようかな。
ぅん。また会おう。

あーあ、完全に釣りだな、こりゃ。

>>51
だってだって（うるるん）、>>39への反論ないじゃん（はにゃーん？）
じゃん。
>>39への反論ないじゃん。
>>39への反論ないじゃん。
>>39への反論ないじゃん。

わぁっかたぁぞー、うやむやにする作戦だな。
ずるいぞ、つまらにゃいにょ。あそぼっ。

>>52
（おっ）の式は、証明の中で導ける関係（あるｋについて）である。
（ぱい）の式は、証明の中で一度も出てきていない。
そもそもｋ→ｎ　への絶妙なすり替えなど無い。

このスレを見ると大学生のフリした高校生が割りと多いことがわかるな…

天然だとするとイタすぎるな⇔よって1は釣り。

>>53
反論になってない。
ぐっと来てよー（絶叫）。
シェアしようよぉー（絶叫）。
他にいねぇのか！？
ぐっとぐっとぐっとくる的屋はいないのかー！（来てよ来てよ来てよ（ハァハァ））
みどりたんはぁはぁ。

２ｃｈてこの程度か！？買いかぶり過ぎだったかなぁ。うーみゅ。

数学帰納法には少なくとも5つのパターンがある

てか、単に1は数学的帰納法を使わなければいいだけの話だよね。
間違ってると思うならさ。

こうか？
とあるｋで[P（ｋ）が成り立つときP（ｋ＋１）が成り立つ]

なんだかな〜。

おやすみ。またあした。あしたになればまた何かついてるかも
しれないし、今日のところは寝るべ。ぐっと頼むぜ。

１にどう理解させるかが最も難しい問題だね
みんながんばれよ〜

＞とあるｋでP（ｋ）が成り立つときP（ｋ＋１）が成り立つ。・・・（おっ）
＞これと、
＞命題P（ｎ）が成り立つとき命題P（ｎ＋１）が成り立つ。・・・（ぱい）
＞の絶妙なすり替えが日常茶飯事に行われている。

行われてないです．

＞往々にして、ｋで書かれた式中のｋがとあるｋであることが
＞含意されていない（例は割愛する。諸氏には必要あるまじろ）。
＞即ち、私たちは数学的帰納法を使うとき、最中、（ぱい）を示して
＞いる。

いないです．終了．

1ｶﾞﾏｼﾞﾅﾗｼｼﾞｮｳｻｲｷｮｳﾉﾃｲﾉｳｶﾓｼﾚﾝ

実数上で数学的帰納法(と同等なもの)は定義できないんかね？

>>64

超限帰納法というのがあるにはあるが、まず実数を整列させねばならん。

おはよっ！（はにゃーん）あっはっはっはっは。自己ウケ。
ふにゃーん、特に反論がないのですね。みゅみゅ〜（くねくね）。
あぁ、孤高というサダメなのか。あたしは今独り闘っている（リゲインはいらない）。
数学的帰納法の過ちを知る者、今、世界でボク独りなの？
名乗り出て欲しい。
「キミはひとりじゃない」
「ボクはひとりじゃないぃぃっ！」
うれしいぞ、涙が目に浮かぶぞ。

ファミコンの電源いれちゃおうかな（持ってないけど）。
２CHてさ、任天堂がチャンネル権持ってたわけで、なんか納得いかねぇ。

いってきましゅ。また、夜ね。

そうか…せめてネットの中だけでもみんなに構って欲しかったのか…




板違い

>>1
ひょっとして無限桁自然数の人？
突っ込みの内容をまるで飲み込めていないところがｿｯｸﾘ

1=1である。
n=nより、n+1=n+1
よってn=n

>>66の文章とか、見てるうちにどんどん好きになってくるよ。
てゆうか一行目でヤラレタ！って感じがした

（はにゃーん）あっはっは。自己ウケ。

数学的帰納法を使って、
この世のすべての碁石が同じ色であることを証明しよう。（以下略）

押忍。悲劇の１です。
時間がないので、また。
「まんじゅうぅぅぅっ！」←心の中ででも絶叫すると気持ちいいよ。

>>1は馬鹿である。　…　[1]
>>k が馬鹿だとすると、なんだかしらないが>>k+1も馬鹿である。 … [2]

[1]、[2]よりこのスレ全員馬鹿。

>>1
マジレスしてやるよ
ペアノの公理。ZF。以上。

何か、はじめのほうの>>1と雰囲気違うような・・・

>>39
とある k じゃだめだって。どんな k を持ってきた時でも P(k)→P(k+1) が言えなきゃ
P(∞)まで数学的帰納法を進められない。
選べる k に条件をつけるなら k,k+1,…,k+n が順番に条件を満たし続ける範囲しか証明に使えない

一回､帰納法を使った証明を見せればいいんじゃね？

nを自然数とし、n(n+1)(n+2)(3n+5)は24の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。

(n = 1)のとき、
与式 = 1(1+1)(1+2)(3+5)=48 よりこれは24の倍数である。…[1]

n=k(ただし、k≧1)の時の与式とn=k+1の時の与式の値の差が24の倍数であればよいので、
K = k+1とし、
その差 = {K(K+1)(K+2)(3K+5)} - {(K-1)K(K+1)(3K+2)} = {K(K+1)({K+2}{3k+5} - {K-1}{3K+2})}
= K(K+1)(11K + 10 + K +2) = 12K(K+1)^2
このとき、KまたはK+1は必ず偶数になる。よりこれは24の倍数である…[2]

[1]と[2]により題意は示されたが、微妙に数学的帰納法使ってないので失格である。

ドミノが一列に限りなく並んでいるとします。ここで
（１）あるドミノが倒れているならば、その一つ後ろにあるドミノも倒れている
（２）１番目のドミノは倒れている。
の２つが示されれば、一つ目のドミノ以降のすべてのドミノが倒れていることが分かります。
これが数学的帰納法です。
と教科書に載っていた記憶が。

P(1) が真であることを示す。
任意の n に対し、P(n) が真ならば P(n+1) も真であることを示す。

とか言ったほうが良いと。

おはようございます。なけなしの１です。
独り言っぽい性格なので気にしないでくさい。

結局ね、
P（１）が成り立つならばP（ｎ）が成り立つ。
わけねぇじゃんってこと。
すり替えだすり替えだ。
わっかんないかなぁ〜。
そろそろシェアする同士が現われるころだろう。
わくわくするね。近いうちにアメリカ数学会が声明を出すかも知れない。
「従来の数学的帰納法は誤りであった」（ロビンソン会長）

いってきます。また。でも、シェアする人が現われないと、
寂しさに気づかされてしまうから来られないかも。
でも、ボクは寂しくない。やんややんややんややんや（やんやのリズム）
キミはどんなリズムを持っているの？

>>1の勢いが衰えてきたな。「びっくりするほどユートピア」でもやって回復汁。

>>81
そりゃそうだ。
1=1は真だが一般にn=1とは限らないもんな。

>>77-79はペアノの公理も知らないと見た

>>84
高校生に説明するときあんたいちいち「ペアノの小売がどうのこうの」って言うの？

>>84
>>79は知っていてあえて教科書を写しただけと見るがどうだろう

>>85
定義や公理なしに議論ができるのか、と。
>>1は自然数の公理に関する疑問を抱いているわけで。

>>87
１は自然数の公理に関する疑問を抱いていたのか。

>>87
数学的帰納法とペアノの公理って同値だもんね

P(1)がなりたつからといってP(n)が成り立つかわからないのは当たり前
数学的帰納法はそのことをいっているのではない。
「P(n)が成り立てばP(n+1)も成り立つ」　これが証明できれば、
P(n)が成り立てばP(n+2）も成り立つ」も証明でき、
同様にn+nのときも証明できる。
ここで、nが１０のとき成り立つと証明できれば、１０以降の数では成り立つと証明できたことになる
n=1というのは、単に自然数の最初の数というだけで深い意味はない。
重要なのはP(n）が成り立つならP(ｎ+１）が成り立つ
の部分。

>>1　ｐ（ｎ）が偽のとき必ずｐ（ｎ＋１）が偽になる保障はあるのか？
保証なんかない。でも保証がある必要がない
真⇒真がいえればそれでいい。真⇒偽だとこまる。
偽⇒真でも偽⇒偽でもどうでもいいこと。
n=10が真⇒n＞１０でも真　　が成り立てばいおいのだから。
n=10が偽　について考えるのは意味がない。実際偽にならないしね

>>88
今ごろ気づくなって。

こんな帰納法・・・
[�T]Ｐ（１）が真であることを示す。

[�U]Ｐ（ｍ）　(但しｍはｎ以下の自然数)
　　を真だと仮定して
　　Ｐ（ｎ＋１）
　　が真であることを導く。

>>84
俺も含まれるのかよ！

77 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 03/11/26 22:56
一回､帰納法を使った証明を見せればいいんじゃね？

いかにも含まれるが。

>>30
�A)n=k(k≧0)のとき(A)の成立を仮定すると、n=k+1のときもヤッパリ禿。

ここが理解できない漏れは１と同レベル？

>>73

数学的帰納法を用いて、きちんと証明してみましょう。
ｎ人の集団において、
「全ての人間が馬鹿である」か、「全ての人間が馬鹿でない」かのいずれかである・・・[A]
ことを、人数ｎによる帰納法で証明する。

ｎ＝１の場合は成立・・・[1]

ｎ人については[A]が成立していると仮定する。
ｎ+１人の集団からある人物ｘを除くと、
残りはｎ人なので[A] が成立する。
すなわち「全員{馬鹿/馬鹿でない}」が成り立つ。
ところで、上記ｎ+１人の集団からｘではない人物ｙを除いた場合も、
[A]が成立しており、しかもｘがその中にいる。
従ってｘも残りと同じ{馬鹿である/馬鹿でない}性質を持つ。
よって、ｎ+１人の集団についても[A] が成立する。・・・・[2]

以上で数学的帰納法の要件は満たされており、
すべてのｎについて[A] が成立することが示された。

ｎを世界の総人口とおけば、全ての人間が{馬鹿である/馬鹿でない}ことが示される。
ところでその１人である >1 は（以下略）

>>96

うーむ。45点だ。

>>84
一応言っておきますが、知ってます。単にここで数学の復習しただけです。

>>96

ツマラン。ってか、[2] のどこで勘違いさせたいのかわからない。
「よって〜」てとこが単に （ﾟДﾟ）ﾊｧ?
って感じ。

おまいら
よく>>1を読んでみろ

いわゆるωー無矛盾性というやつではないですか。
i) P(1)
ii) P(n) => P(n+1)
上記より三段論法を有限回用いることによって P(1), P(2), P(3), ...
はそれぞれ証明できるが、∀nP(n)が証明できるとはただちに言えない。
（無限回の三段論法が必要である）

いくら持っていても貧乏であることの証明

Ｐ（ｎ）＝ｎ円持っている人は貧乏である

Ｐ（１）：今のレートで1円しか持っていないのなら
　　　貧乏であるのは当然である、よって成立
Ｐ（ｎ）＝ｎ円持っている人が貧乏である、これを仮定する

Ｐ（ｎ＋１）＝ｎ円持っていて貧乏だというのに、1円増えただけで
　　　　　　　貧乏じゃない、なんてことはありえない
　　　　　　よってｎ＋１のときも成立

以上より
　命題成立

貧乏を定義しろ。

瓶・棒

>>103
おとーさん、それは言わない約束でしょ。

貧乏人は麦を食え

ってゆ〜かぁ、「ＡならばＢ」っていう命題の真偽と、Ａそのものの真偽とは別だ、ってゆぅ話と違うのぉ？

>>1はすりかえだすりかえだと喚くばかりでまるでこちらの話が通じない。
単に自分が正しいと主張したいだけなら以後完全に放置するぞ。

>>108
みんな、ネタにつきあってるんでしょ？

おはようございます。はしくれの１です。混迷が深まってきました。
わたしたちの目の前に少しづづスモッグがかかってきてるかの
ようです。
「こわれたレコードのうにボクは何度でも言うよ（おんぷよろしく）」
いいですか？注意してください。>>107がいいことを言っています。
しかし、問題の核心をついているわけではないので気にしてはいけない。
いいですか？
要するにですね、∃と∀の違いなんです。
∃ｋ：P（ｋ）⇒P（ｋ＋１）・・・（１）
と
∀ｋ：P（ｋ）⇒P（ｋ＋１）・・・（２）
は違うんです。

数学的帰納法を使うとき、ｎをｋに置き換えるだけでは（１）は示せない
のです。
それは（２）なのです。
そこで、
P（１）⇒P（２）
としてしまうのは、
∀ｋ：P（ｋ）のｋに１を代入してるわけで、それは
明らかにおかしい。

はぁはぁはぁ、みどりたんはぁはぁ。
ふっ、朝から世紀を揺るがす仕事をしてしまった。
いってきます。また、夜ね。みゅぅ（ういんく）。

＞∀ｋ：P（ｋ）のｋに１を代入してるわけで、それは
＞明らかにおかしい。
おかしくねーよ。
任意なんだから何を代入しても成り立つの。

>>1
こんな事、学校の先生に言えばいいのに。
言ったけど相手にされなかったのかな?

高校の先生で分かるレベルではないと思うが、集合論でCantorやHilbertの時代に議論された
ことじゃないか？これって

>>101
ω無矛盾関係あるの？

P(n)がすべてのnで証明可能であり、かつ
not∀nP(n)も証明可能
なPがあるときにω矛盾という

そもそもそういう話ではないと思うが・・・

数学的帰納法が正しいと仮定するか、
自然数のなす空でない集合には必ず最小元があることを仮定すれば、
数学的帰納法は正しい。

Qマン＝翔太＝>>1

P(n)を「髪の毛が(n-1)本の人間はハゲである(＝髪の毛がn本ある人間はハゲではない)」とする。
「髪の毛が無い人間はハゲである」のでP(1)は明らかになりたつ。
ここで、P(k)が成り立つと仮定すると、髪の毛がk本のハゲの人間に髪の毛が
1本増えたところで、所詮はハゲには違いないのでP(k+1)がなりたつ。
よって数学的帰納法によりすべてのn≧1についてP(n)がなりたつことが照明される。
しかし、世間の実情を鑑みるに、髪の毛が充分にあり明らかにハゲでは
ない人間は多数存在するので、上記の証明は明らかに誤りである。
これは、数学的帰納法が間違いであることを示唆している。
よって、>>1の「数学的帰納法による論証は無効」と結論は正しい。

P(n)を「（１０−１）以下の自然数（０含む）は１桁である(＝１０以上は１桁でない)」とする。
「０は１桁である」のでP(1)は明らかになりたつ。
ここで、P(k)が成り立つと仮定すると、ｋが
1増えたところで、所詮は１桁には違いないのでP(k+1)がなりたつ。
よって数学的帰納法によりすべてのn≧1についてP(n)がなりたつことが照明される。
しかし、自然数の集合を鑑みるに、１桁では
ない自然数は多数存在するので、上記の証明は明らかに誤りである。
これは、数学的帰納法が間違いであることを示唆している。
よって、>>1の「数学的帰納法による論証は無効」と結論は正しい。

>>118
ネタはもっと上手く作ろう（＾ー゜）b

「1はω無矛盾性について語っているんだ」っていう空気を勝手に
1の知らないところで作って行ってしまうあたりが2chぽくていいな。

>>110
>>119

>>48
最もﾜﾛﾀﾖ

おはよぅ。しおしおのぱ〜。あはっ（くびをかわゆく曲ぐ）。
おまいらいい加減分かれよ。切れやしないけど（きれやしない、
きれやしないよ）。
∀ｋ：P（ｋ）⇒P（ｋ＋１）・・・（２）
ってさ（感じろ（アムロレイ（「ボクはニュータイプなんかじゃないんだ！」）、
示すことないじゃん。当然じゃん。
すべてのｋで成り立つならば、つまりP（ｎ）が成り立つならば、
ｋ＋１もｎなわけで、成り立つに決まってるじゃん。
だから、実質、（２）はP（ｎ）が成り立つならば、P（ｎ）が
成り立つ。といってるだけｗ。
そこへ、P（１）が成り立つをもってきて、以下順繰り成り立つ
のですって、おかしいですよっｗ。
むふー（鼻息）。

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
llllllllllllllllllllllllll／￣￣ヽlllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
lllllllllllllllllllll /　　　　　　ヽllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii　 試 そ あ　.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii|　 合 こ き　 |iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;|　 終 で ら　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;|　 了　　め　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|　 だ　　.た　 |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|　 よ 　　ら　 |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ、　　　　　 /.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
:. :. :. :. :. :. :. :. ‐‐--‐‐':. :. :. :. :. :. :. :. :. :. :. :.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :　,.‐- 、 : : : :
　　　　　　　　　　　　　　　　　　廴ﾐﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　／//¨' ､
　　　　　　　　　　　　　　　　 y':;:;:;:/⌒i!
　　　　　　　　　　　　　　　　�J:;:;:;:;};:;:/;},
　　　　　　;il||||li'　　　　　　　t`'---‐';:;:;:l
　　　　 ,.r'"''､,┘　　　　　　　 7;:;:;:;:;:;:;:;「
　　　　ﾉ4　(⌒i　　　　　　　　.}:;:;:;:;:;:;;/
　　　/..,__彡{, |　　　　　　　　　`i:;:;:;:;:;}
　　 （　　.ミi!} l､　　　　　　　　　.」:;:;:丿
　　ｸｭ二二`Lっ)　　　　　　　　`==='

>>123
「すべてのｋで成り立つならば、」
それを「示す」のが数学的帰納法の核です。「ならば」と言うような仮定ではない。

「つまりP（ｎ）が成り立つならば、
ｋ＋１もｎなわけで、成り立つに決まってるじゃん。」

Ｐ（ｋ）とＰ（ｋ＋１）は無関係な二つの命題です。
それらに対して、P（ｋ）⇒P（ｋ＋１）　を示すのが
数学的帰納法の核です。

Ａ
ＡならばＢ
よってＢ

公理系ＬＰ
Ａを仮定してＢが導かれるとき、Ａという仮定無しにＢを導いてよい。

なぜ１＋１＝２ですか？

これを数学的帰納法を用いて説明するにはどうすればいいですか

別に１＋１＝１でもいいんじゃない？
０＋０＝０．１＋０＝０＋１＝１＋１＝1って決めれば。
１＋１＝２なんて勝手に決めてるだけですし。

>>127
数学的帰納法による証明は不可能です。

0'+0'=x ⇒ x=0''
ならxに関する数学的帰納法で示せた

0'+0'=0 ⇒ (0'+0)'=0 ⇒ ⊥ ⇒ x=0''
0'+0'=x' ⇒ (0'+0)'=x' ⇒ 0'+0=x ⇒ 0'=x ⇒ x=0' ⇒ x'=0''

>>130
あなたの言う 「数学的帰納法」 のステイトメントを教えてください。

補足が必要かと思ったがやっぱり必要か。

命題「0'+0'=x ⇒ x=0''」をP(x)としよう。
一行目によりP(0)が成り立つ。
次に、二行目により、任意のxに対してP(x')が成り立つ。
したがって、任意のxに対してP(x)⇒P(x')も成り立つ。
以上のことと数学的帰納法により任意のxでP(x)が成り立つ。

帰納法使わなくてもいいじゃんって言われればまあそうなんだが、
「帰納法で」ってことだったので。

>>132
あなたの言う 「数学的帰納法」 のステイトメントを教えてください。

普通のだって。
こんなふうに書くんだっけ？
P(0) ∧ ∀x(P(x)⇒P(x')) ⇒ ∀xP(x)

なんかよくわからんのが来たな。。。
しょっぱなから0 = 0''なんだけど、これってどうなんだ

>>134
普通じゃないと思いますけど。

>>135
矛盾。1+1=0なんて仮定したから。
それだけ。
形式的証明では普通にあることです。

>>134
x' って何？

>>136
そう？普通はどんなんだっけ。

>>138
形式的にはx'
直感的にはx+1

何を書いてんだ

形式的にはx∪{x}
直感的にはx+1
の間違い。

>>130

あんまり意味があるように思えないが。それがアリなら、
命題「0' + 0' = 0''」をP(x)とおいて、帰納法ってのもアリなんじゃね？

>>127
ｱﾌｫですか？　（ ´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

>>141
そりゃまあそうなんだけどね
っていうかP(0)を示した時点で終わってるけど。

130って高校生だろ？ｗ

>>144
違うけど。

中学生ならまあしょうがないな

>>146
おかしいとこがあるなら中学生相手だろうが何だろうが
言うべきだと思うのだが

>>130は「ペアノの公理」と「数学的帰納法」
について勉強してきてくださいm(_　_)m

それだけ？
もうちょっとなんか言ってくれないとつまんない

てか、ペアノの公理に多少とも理解がないと、1を0'と書いたりしないと思うんだが。

数学的帰納法の言い換えでもしてみる
X⊂Nが次の二条件を満たすならばX=N
1. 0∈N
2. x∈N ⇒ x'∈N

こっちのほうが普通だったかも知れん
>>136はこのことを言いたかったのか
それとも0ではなく1から始めると言いたかったんだろうか

ところで今夜は1が来ないな

来て欲しいのか？

>>149
別にキミが楽しむためのスレじゃないしー

>>151

二条件は、

1. 0∈X
2. x∈X ⇒ x'∈X

だな。

悲劇に打ちひしがれて書き込みを忘却していた１です。おはようじゃがいも。
反論も出尽くし、わたしの正しいことがわかったので、ノートにまとめて
HPにアップしようかとおもっとるとこですたい。
数学的帰納法の誤謬、というタイトルにしようかと。
俺、間違ってないよな。ぅんぅん。

自然数全体を N の元を自然数と呼び、自然数は次の4項を満たす。

x が自然数であれば、 x+1 も自然数である。
0 は自然数であるとし、任意の自然数 x に対し、x+1≠0 を満たす。
自然数全体の部分集合が、0 を含み、さらにその任意の元 x に対し、x+1 もそれに含まれる時、その集合は自然数全体に等しい。
x と y が自然数であるとき、x+1 = y+1 であれば、x = y が成り立つ。

x∈N ⇒ x+1∈N.
0∈N, ∀x∈N x+1≠0.
∀S (S⊂N ∧ 0∈S ∧ (∀x∈S x+1∈S)) ⇒ S=N.
∀x,y∈N x+1=y+1 ⇒ x=y.

1の中の人は新累乗かはたまた無限桁自然数か。

コテハン名乗ると荒れるみたいだし。

しかし、いや、なんでもない。

静かだな。サンデーだからかな。

５０年後くらいなのかな、数学的帰納法が誤りだと広く認められるのは。
そんときさ、今世紀はじめに２CHでそのことにいちはやく気づいていた
日本人がいた、とか書かれたり、しないか。今、このスレを読んでいる
貴下は生き証人である。５０年後、そんな記事を読むことがあったら、
あぁ、そういえば、と思い出して欲しい。

帰納法が適用出来る命題とそうでない命題があるので。
あと、帰納法で論述してる途中で背理法持ってくるのは詭弁作りには最適。

悩んでいます。食事も喉を通りません。
P（ｋ）を列挙してみると、P（１）、P（２）、P（３）、、、、
P（ｋ＋１）を列挙してみると、P（２）、P（３）、P（４）、、、
ここで、P（ｋ＋１）側のP（２）、P（３）、、、は
P（ｋ）側に含まれています。よって、P（ｋ）を仮定すると、
P（ｋ＋１）はすでに成り立っています。
数学的帰納法を使うなかでｋとｋ＋１がセットである保障はどう
なされているのですか？ご教授ください。

を、今度は切り口を変えてきたな

>>161
(　´,_ゝ｀)ﾌﾟｯ

数学的帰納法における帰納的議論は｢P(n)ならばP(n+1)｣が
すべてのnについて成り立つことを示すということ。
｢すべてのnについてP(n)｣を仮定して｢すべてのnについてP(n+1)｣を
示すことではない。終了。

数学的帰納法はいつ頃､誰によって考えだされたのですか？
また､その時数学的帰納法を認めない人はたくさんいたのですか？

どんな時代でも
　　認めない人は
　　　　理解しない人
　　　　　　少し進めば今井さん。

数学的演繹法

>>163
とってもよくわかりました。
ありがとん。ぺこっ。
いやぁ、勉強になったなぁ。まじでｗ。
喜劇の１に変身だ。
数学的帰納法は正しかったよぉ。
「どべるちゃびるべぼんだるばんむほんばぼっ」（喜びのオタケビ）

>>1の中の人の今後に期待。新たなネタを提供するのか、スレ放置して逃げ出すのか
はたまた・・・。

相対性理論は間違っていた！

>>167
あれ？その程度の説明で納得しちゃうんだ。
今までの>>1の中の人とは随分違うんだな。

中の人の中の人になったんだ

>>170
日進月歩さ。
ところで中の人ってなに？みゅぅ？（かわゆく首を傾斜）
ｋとｋ＋１がリンクしてるのが分かりやすい新しい帰納法を
考案中である。HPにアップできたら報告しよう。できないかも
知れないし。

>>155
まあｶﾞﾝｶﾞﾚ、一応応援してみよう。

数学的じゃない帰納法ってあるのか？

>>174
あるよ。
演繹法とごっちゃになるので数学的帰納法と呼ぶのに
すげえ疑問を感じるんだが。
帰納法と演繹法（ついでに言えば帰謬法もｗ）別物

無限降下法というのがある。
1：命題は無限大ではなりたつ。
2：命題がNのときなりたてばN-1でもなりたつ
すると全ての自然数についてなりたつ
という証明法だというのだが、だれか具体的な例を教えて下さい。

無限降下法はそんな論法じゃねーっす。
だいたい無限大で成り立つって何だよ

>>176
チミが次の「１の中の人」になりなしゃれ
資格は十分にありそうだし

>>159
とりあえずリアルで名乗っとけ
そうすればそんな記事が出なくても思い出すから

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1070401660/l50
ここの>>1の中の人がいます。

┐(´ー｀)┌ﾔﾚﾔﾚ

385

1

673

28

もういっそのことめんどいからやめよーぜ。

よし、おれが分かりやすくまとめよう

（１）　ｐ（１）が成り立つ。
（２）　ｐ（ｎ）を仮定するとｐ（ｎ＋１）が成り立つ

（１）と（２）からｐ（２）が成り立つ　・・・（１−２）
（１−２）と（２）からｐ（３）が成り立つ　・・・（１−３）
（１−３）と（２）からｐ（４）が成り立つ　・・・（１−４）
（１−４）と（２）からｐ（５）が成り立つ　・・・（１−５）
（１−５）と（２）からｐ（６）が成り立つ　・・・（１−６）
（１−６）と（２）からｐ（７）が成り立つ　・・・（１−７）
（１−７）と（２）からｐ（８）が成り立つ　・・・（１−８）
（１−８）と（２）からｐ（９）が成り立つ　・・・（１−９）
（１−９）と（２）からｐ（１０）が成り立つ　・・・（１−１０）
（１−１０）と（２）からｐ（１１）が成り立つ　・・・（１−１１）
（１−１１）と（２）からｐ（１２）が成り立つ　・・・（１−１２）
（１−１２）と（２）からｐ（１３）が成り立つ　・・・（１−１３）
（１−１３）と（２）からｐ（１４）が成り立つ　・・・（１−１４）
この先はどんなに頭の悪いお前だろうときっと分かることだろう。
すなわち、ｐ（ｎ）が成り立つ。

219

23

なんか187が解決しちゃったね。でも高校生に教えるのに
それいいね。1みたいな事いう生徒がいたら
そいつが降参するまで
(n)と(*)からP(n+1)が成り立つ　・・・(n+1)
を続けたら絶対納得してくれる。

704

高校生向けなら、187で十分だろうね。数学科の学生なら、たとえ学部生でもこんな解釈はして欲しくないのだが。

じゃあどんな解釈？

ここには高校生が主に来てるんですか？

数学的帰納法は公理です。
だから、馬鹿でもわかる当たり前な事であり、
証明できない証明法であり、
それが成り立たないって事にすると、、、、、ああ、たくさんの数学的結果が無に、、、、

公理ってのは、あまりにも当たり前で誰も疑おうとしない様な事なので、
もしかしたら、嘘かもしれなません。

ユークリッドが公理を発明したときはそうであったかもしれませんが、
いまでは理論の前提の仮定という程度のことですね。

仮定なんだから、別に成り立たないとしたって構わないんですね。

実際基礎論じゃ、Peano算術から、帰納法の公理を取り除いて
考えることがある（RobinsonのQ）。しかし、それは
飽くまでもmetamathの対象としての数学理論であって、実際に
帰納法の公理を使わずに数学をするわけじゃないので注意。

というか、192が言いたいことは数学のアーキテクチャを
理解しなさい、ということだね、きっと。

ar・chi・tec・ture


━━ n. 建築学［術］; 建築; ((集合的)) 建造物; 建築様式; 構成; 【コンピュータ】アーキテクチャ ((ハードウェアやソフトウェアの基本構造の設計法)).
ar・chi・tec・tur・al　━━ a.
ar・chi・tec・tur・al・ly　ad.


三省堂提供「EXCEED 英和辞典」より

集合の数え上げの方法を使えば数学的帰納法を拡張できると考えた。

[自然数]
p(1)
p(n)→p(n+1)

[整数]
p(a∈Z)
p(n)→p(n±1)

[有理数]
p(a∈Q)
p(m/n)→(p(m±1/n) ∧ p(m/n±1))

実数はどうやってやるのだろうか。

公理なんですか？

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
ここ見てください。
…間違ってるよね？

なんかこういうトコ見つけると自分の方が
間違ってる気がして怖い。

>>202
正確な書き方ではないね

>>202
どの部分？

どこが間違ってるの？
書いた人の趣味が混じっているような感じはするけど。

しかし、1ってアイツだったんだな。さっき気付いた…………

日を置いて見てみたら勘違いでした。


……ごめんなさい。

>>なんかこういうトコ見つけると自分の方が
>>間違ってる気がして怖い。

君の直観は正しかった！（ｗ
まあ気にするな

漏れは数論よりだったのか

0

ちょっと待ってください
n=kのとき成り立つと仮定してとありますよね
その仮定が正しいという保証はどにあるんですか？

そして最初に戻る、か

>>211

教えて下さい

数学的帰納法はペアノの公理によって「要請」されているわけで。
「数学的帰納法が正しい」という定理が証明されたわけではない。
[Ｐ（０）∧[Ｐ（ｋ）→Ｐ（ｋ＋１）]]→Ｐ（Ｎ）が成立しないモデルが作れるか？

いや、作れるだろうし213の言うことも正しいが、
それはペアノが最初に発見したわけでもなんでもない。
ペアノの公理系では証明できない命題なんて
いくらでもあるだろ。

数学的帰納法は実は間違っているんじゃないだろうか、
なんていっている香具師にはもっと簡単な説明をしてやらないと。

> 数学的帰納法は実は間違っているんじゃないだろうか
逆にある n で P(n) が成り立ってないとするとどうなるか考えさせるとか。
数学的帰納法は駄目でも、自然数の整列性なら認めてくれるかもしれないから、
そこから数学的帰納法を導くとか。

>>逆にある n で P(n) が成り立ってないとするとどうなるか考えさせるとか。
数学的帰納法が分かってない香具師はおそらくは
最小数の原理もよく分かってないだろうからね。
>>187式に無理やり教え込むのが結構効果的かもしれない

1 2 3 ...
といくら並べていっても数字が出てくるだけで
nなどという文字は出てこない

とか言い出しそうだな

すべての自然数で成り立つのはいいんだから
P(__)は__にどんな数字が入っても成り立つ。つまり
任意の自然数nで成り立つ。でいいんじゃないの？
そもそも
>>nなどという文字は出てこない
なんていってる香具師は帰納法が分かっていないというより
中一の数と式が分かっていない訳で。

仮定しての仮定が違っていたらどうするんだよ

どうもしないよ
間違っていたら間違っているだけだ

＞なんか187が解決しちゃったね。

いや、頭の悪さには限りってものがないからな。
「１４までしかやってねーじゃん」
といわれたら終り（ｗ

帰納法ﾊｧﾊｧ

公理として帰納法否定すると、自然数の集合がなくなるんじゃ？
そういう数学を考えてみたいﾔｼは否定してみれば？
もしかして非ユークリッド幾何並の発見になるかも？ｗ

すでにあったような気がするが・・・

帰納法自体は公理じゃねーぞ。

補題 任意の自然数の集合AについてAが空でなければAは最小元を持つ。

証明 Bの任意の要素をb1とする(Bは空でないため必ずb1が存在する)。
b1がBの最小元でなければ、それより小さいBの要素b2をとる。
以下同様の操作を繰り返すと、
b1>b2>b3>b4>.....
という下降する自然数列ができる。どんな自然数sについてもsより小さい数は有限個しかないため、
この下降列は有限であり、Bの最小元が存在する。

定理 n∈Nについての命題A(n)について、
[1] A(1)
[2] A(n) ⇒ A(n+1)
が成り立てば、すべてのnについてA(n)が成立する。

証明 ([1]∧[2])∧(A(n)が成り立たないn∈Nが存在する) と仮定する。
ここで、そのような自然数の集合Bを考える。すなわち、
B={n | A(n)が成立しない}
ここで、Bの最小元をkとする(Bは空でないため必ずkが存在する)。
k=1とすると[1]に反する。
よって、(kはある自然数の次の数だから) k=m+1 (m∈N)であるmが存在する。
よって、Bの定義により「A(m+1)が成立しない」となる。 ……[3]
m<k より、 mは集合Bに属さないので、「A(m)は成立する」となる。 ……[4]
[3]∧[4]は[2]に矛盾する。
よって、すべての自然数nについてA(n)が成立する。

大前提は"どんな自然数sについてもsより小さい数は有限個しかない"だから、
帰納法が成り立たないようにするためにはこれを外さなくてはならん訳だ。

786

数学と新しい論理　数学的帰納法をめぐって
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4795268959/qid=1084461862/sr=1-8/ref=sr_1_8_8/249-3682668-2391511

【次元乱流】異次元コボちゃん【永劫回帰】
http://comic4.2ch.net/test/read.cgi/csaloon/1084576719/

本橋先生また本書いたのか。

>>225
基礎の公理の対偶が帰納法と書いてあるのだが・・・
ごめんもうちょっと勉強してから出直す・・・

112

普通は、「全ての自然数は1の次の次の次の…次の次の数である。」とかまあ、
もっと厳密なのは本を読んで欲しいんだけど、そういう公理を「帰納法の公理」
と言う。自然数Nで、1+1+1+…+1という形で表せないものがあるとすると、
数学的帰納法が成り立たないのは明らかだろう。

>>25
>補題 任意の自然数の集合AについてAが空でなければAは最小元を持つ。
自然数、最小元を定義して下さい。

証明 Bの任意の要素をb1とする(Bは空でないため必ずb1が存在する)。
>Bとは何ですか？

b1がBの最小元でなければ、それより小さいBの要素b2をとる。
>「Bの最小元が存在し、b1が最小元かどうか判定しうること」を前提にBが最小元を持つことを
議論しても意味がありません。さらにこの場合順序はどう定義されているのでしょうか？　

>以下同様の操作を繰り返すと、
>b1>b2>b3>b4>.....
>という下降する自然数列ができる。
自明ではないと思います。証明が必要でしょう。まさか暗に数学的帰納法を使っているとか・・・

>どんな自然数sについてもsより小さい数は有限個しかないため、
⇒この下降列は有限であり、Bの最小元が存在する。
Bが可算無限集合なら有限なんて言えませんよね。

そもそも何の公理から出発しているのですか？　

http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/houhou/dodaitaiwa/node34.html
これって厳密?

>>235
足し算の定義に足し算を使ってるのにはﾜﾛﾀ｡

>>236
確かに書き方がいいかげんだが、使ってない。

ふむ

以前「数学的帰納法の正当性を示せ」という問題を入試問題に出した大学があったが、
これは自然数の公理だから他から出るわけがない。
この大学の教授連はｳﾞｧｶｳﾞｧｯｶ

答えは、「だってペアノの公理なんだもん。
嫌なら仮定しなくて結構です。」だろう。

>>236
使ってるのはサクセサーじゃないか？

>>239
仮定は何を使っていいんだ、その問題は？

>>242
何も前提無し

びぼん

http://www.mankobank1.com/mov/4296.wmv

http://www.mankobank.com/mov/1054.wmv
http://www.mankobank.com/mov/1547.wmv
http://www.mankobank.com/mov/1900.wmv
http://www.mankobank.com/mov/1945.wmv

>>33
>iii）髪の毛が100本以上あれば禿じゃないとする

100本は少なすぎると思うがx本にしたとして
x-1本で禿ならx本でもやっぱり禿だろ

毛髪の総重量が x gram で禿なら、x - 10^(-1000000) gram でも禿。

516

ｐ（ｎ）が偽のとき必ずｐ（ｎ＋１）が偽になる保障はあるのか？

>>249
それは必要ない。

>>250
＞保障はあるのか？
＞それは必要ない
保証のないエリコの保険

>>
エリコの保険
に入れよ

>ｐ（１）が成り立つ。
>ｐ（ｎ）を仮定してｐ（ｎ＋１）を示す。

>真偽を確かめるべくP(ｎ）を仮定してしまって、
>結論としてｐ（ｎ）が真といってしまうのはおかしい

P(1)が成立つことは確かめた。
一つ成立っているならその次も成立つ事が
わかってんだからP(2)もOK
順番にやってけばいくつでも大丈夫というのが
まじレスだが、こういう事を言い出すのは哲ヲタ
それとも高校のおちこぼれ？

ここまでの流れは読んだのか？

>>254
何ヶ月も前の書き込みに突っ込んでる馬鹿は
落ちこぼれ云々以前に高校にも行けて無さそうな予感

くそすれふんじまった('A`)さらしage

話がループしてない？もう秋田

あぼーん

Re:>259 人のメアドを勝手に載せるな。

　　　　　　　　　　ヽ∂ﾉﾉﾉﾉﾉﾉ ∂☆
　　　　　　　　 　ﾉﾉ;;;;;;;;;;;;;;;;｀';;;;;;;ﾉﾉ☆
　 　 　 　 　 　ヽ/;;;;;;;;〃/´ヾﾍ;;;;;;;;;;;ヽ ☆
　　　　　　　ヽ/;;;;;;;（（,/　　　 i;;;;ノ;;ノ;i ☆　　　　漏れ、解析系。D3。
　　　 　 　　ヽ|;;;;;;;;;i !/　─ 　.ﾉノ）ﾉノ|☆ 　　　　夢はフィールズ賞だ！
　　 　　 　 ノ |;;;;;;;;;|　　 ６　　∂ i;;;;;i| ☆　　　　 北海道のﾃｨﾑﾎﾟはうまいよ、
　　　　　　ノ　|;;;;;;;;i　”” 　　 ゝ　 |;;;;;;;|☆ 　　　　　それ喰ってフィールズ賞とってやるぜ！
　　　　　　　　!ノ;）ﾉ＼　　≪＞ .ﾉ;;;;;〈 　　 Ψ　 　　>>680、漏れと一発やらないか？
　　　　　　　　|（（/´ i ｀ ー─ 'iヽヾ);;）|｀i ω∩　　　 　　楽天ガニよりシタラバガニ
　　　　　　　ヽ ／＼￣￣｀ヽノ　 i (＼_l　!)))　　　　
　　　　 　 ヽ／　　　 ￣￣ヾ 〃´　 ヽ/ ) ' ﾉ
　　　　ヽ　／　　V　A　K　Ａ　Ｄ　Ａ　N　A

ｸﾎﾟﾂｶがどれほど高いところから飛び降りても死なない事・・・・(*)を数学的帰納法によって証明する
飛び降りる高さをn�_�bとして

１）n=1のとき、ｸﾎﾟﾂｶは飛び降りても明らかに死なない
２）n=k(k≧1)のとき(*)の成立を仮定すると
　　死なない高さから1�_�b高くなった程度では死なないので
　　(*)はn=k+1のときにも成立

以上よりｸﾎﾟﾂｶはどれほど高いところから飛び降りても死なない事が示された

つまりそこから1mmでも高くなると死ぬ、という高さが存在するんだな。

むしろ死ぬ/死なないの2個の値で表すことに無理があるぽ

ハゲと禿げてないもね

その手の詭弁は反対の命題も証明できてしまうので意味ないかと

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,,..､-―-- .,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　,..-''"　　　　　　　 ｀ヽ
　　三|三　　　　　　　 　　　,. '"　　　　_,,... - __　　　　ヽ、　　　　　
　　イ `＜　　　　　　　　／　　　　,..=-‐''~￣_ ~'''- ､ 　 ヽ
　　￣　　　　　　　　　, ′　 　 ／,,..-'''"~￣:::￣~'''-ヽ,　 ヽ　　　　 _|＿
　　　∧　　　　　　　/　　　　,､'7:::,:'//:::,:´/∧::､:::゛,:::::ヽ、 ﾞ',　　　　 |＿　ヽ
　　 /　 ＼　　　　 /　　.......//,:///!',::////　 ',:::!!:::!i::::ヽ:, ...ﾞ,　　　 （j　　）
　　　　　　　　　　 l　........./n,V:;l;j］ﾄi､」ﾄ:{:{　　 }!}」j:,l!:}:::!l:ﾞ, ...〉
　　└┼┘　　　　゛, .......,';「rll:´kr_ﾃ'::「` |　ヽﾉ_｣Lﾒl::;;ll!l:l./　　　　 _ヽ＿∠
　　.|＿|＿|　　　　　゛､../ ﾊ l!::l| 「!-'lj　　　　r'::/`/ｲ,:ﾉﾉ |!'　　　　 ｌニl ｌ ｜
　　　_＿　　　　　　　 ,ｿ//:::|!:::l!　￣　　　　 '-" ,'::ｲ!..／'　　　　　 l─| l 亅
　　　 ／　　　　　　　/://::;;ﾊ::::ll＼　　　 _ '　 ,,::':::,!l:|
　　　´⌒)　　　　　ノ:ｲ/:/;/;;｀ヾ､_ ` 、　 _ .イ::く;;ﾉﾒ!、
　　　　-'　　　,. '"',ｲ;'::/;/;;;-'"(⌒ヽ ,,_!ヽ､;;;:!:::!::|　ﾍヽ
　　　　　 _,,-"／..'/:::/;;;-'"　 !_ヽ/´,,‐''_｀、`''-.,,:!　　ﾞ';ヽ、
　　　 .,-'":;; ',／,,',.-＜　　　　 ﾞ'〈　　'",-'┐　,,'"ｽ、　 ﾞ;:､､、
　 ,.-'"::;;／.'／',/^ヽ``､､　　　　 ﾞ,　 　 <ノ ノ' /　,ﾊ,　 ﾞ;:'; ヾ､
../"/:;;／ '‐'／,「｀ヽ､ `　､ =　__　 ﾞ､　 　'v'"／｀､'　'l　　',::',　ヾ､
l' /::;'"　 ,.:';:"/;;!　　　`.ー､~''ーﾆ.,ﾊ, 　　ﾊ'"　　 ヽ, ﾞ,　　!::;!　 ヾ!
　!:/　　/:/ /:/;ﾄ､　　　...ﾞ, |　　　_|　＼_,ﾉ::.＼= ､._ l ,!､　 l::;!　　ll
　!:!　 ,//' /::/::ﾊ ',..　　　ﾞ',l　,-',-ﾄ､　　`'ｰ-､ヽ, 7./l ﾄ`､, !ﾉ　 丿
　'､　//　/:/:,/_,,l ゛､..　　 ﾞ',. ヽ:Vヾ､､､_　 　 ~///,ﾉ l;;:',ヾ'
　　 /,'　,!::/!ll`i;;;｜ ヽ..　　 ヽ `/:　 ヽ ﾆﾆ‐=/ノr' ,' l;!l,:l 'ヾ;、
　　,!:!　 !::l'l:!l::!;;:::ﾊ　　 ヽ､. 　ｿ' :　　 ........,~7,　 ,l /　!;;!ll!!　ヾ;、

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くてかっこいい人。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに独創的な人。それが必要条件よ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　さらに数学ができれば十分条件にもなるわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
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　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

711

634

"n=k(k≧1)のとき(*)の成立を仮定すると"
がナンセンスなわけか？

N回目の飛び降りのあとN+1回は可能なのだろうか？

N回目の飛び降りのあと元気にN+１も元気にとびおれるとすると
不死身であるのは、べつに不思議ではない！

718

459

119

786

450

これ答えれる方！
〇〇〇／〇〇〇＋〇〇／〇〇＝1
わかる方いますか？
後半のフタ桁の分母は36〜56以内です
お願いします

100/200 + 25/50　=　1

僕は大きな哲学的問題を解いたと思う。帰納法の難問を
カール・ポパー

841

173

ω-実在性に懐疑的です
数学なんて虚構で空想の産物です
実数の存在をも信じていません
うっかり長さ10cmの線分を見かけちゃっても
見なかったふりをしてスルーです
だれかそんな僕を助けて下さい

712

nurpo

>>285
gatt!!

age

P(0)から始めろよ！！
ホントに、最近のヤツらは！！

P(0)から始めろよ！！
ホントに、最近のヤツらは！

帰納法やってるうちはまだまだだよ。

>283
実数の存在を認めないとは、
大したヤツだな。

自然数を全部知らないくせに、
自然数全部について成り立つなんていわないで欲しいわ。

的確に答えているヤシは一人もいない。

ドミノだよ。

>1
同値かどうかってこと？

ドミノ倒しに例えるなんてアフォのすること。

実際ドミノじゃん。

超純じゃ∞も入っているから帰納法は成り立たないね。。。

勝手にいれるなよ！！！！！！！！！！！！！

帰納法を否定すると自然数も危ないんじゃないか？

874

395

493

ロリにとりつかれたKingは無効

Re:>>304 いいからお前の肛門を貸せ。

ttp://tv6.2ch.net/test/read.cgi/tv/1113568408/801-900

856 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:00:04 ID:tsdxeffQ
>>818
>太い直線を引くという答えが間違いである理由がわからない。

直線には面積なんてないから太いとか細いとかないよ
だからその答えは間違い

857 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:09:03 ID:19rbNtem
↑　釣りですか？
どんなに細くても　線には面積あるじょ

860 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:26:31 ID:iH/MecV4
太さが0.1mmでも1mでも、曲がらなければ直線なわけで。

894 ：名無しでいいとも！：2005/05/16(月) 00:47:03 ID:p2QlEvol
>>856
> >>818
> >太い直線を引くという答えが間違いである理由がわからない。
> 直線には面積なんてないから太いとか細いとかないよ
> だからその答えは間違い

↑この人何言ってんの？
どんな太さでも直線は直線なんだったら、あれは正解だろ
不正解とするには前もって直線の太さを限定しなければ駄目だ

320

http://members14.tsukaeru.net/ogawa/

どうしても納得がいかなくて朝まで考え込んでしまいました。
どうか私に救いの手を差し伸べてください。

n=kのときｐが成り立つと仮定すると、「ｎ=K+１のときｐが成り立つ」。と参考書に載っているのですが
これは「n=k+１のときもPが成り立つと仮定される」わけではなく、
n=k+１のときもPは成り立つ、と断言してしまって良いのですか？

詭弁といわれるかもしれませんが、どうしてもそこで引っかかってしまいます。

n=k+１のときもPは成り立つ、というのはあくまでも
n=kが成り立つという仮定の上に存在していると考えてよろしいのでしょうか？

帰納法はすべての自然数nについて成立することがわかりきっているときに
有効。反例があるかもしれないときは使えない。たとえばan=Σ1/nでanは
発散しないとか。

>>310
その通り。
その上でn=0の時（無条件で）Pが成り立つことが判明したら
n=1,2,…についても（無条件で）Pが成り立つことを証明出来ることになる。

http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1120061659/648
この論理は正しい？

>>313
ハゲとは何かが定義されていないところに問題がある。
ハゲとハげでないことをそれぞれ定義すれば解決する。

そもそも数学的帰納法と言うよりは帰納的数学法としたほうがいいような気もするが…
というか証明できるとした時点で、数学的帰納法は演繹的。

ペアノー(・∀・)

799

すごい発見！

1cmの高さから落ちても死なない！
2cmの高さから落ちても死なない！
　　　　・
　　　　・
　　　　・
Ncmの高さから落ちても死なない！
N+1cmの高さから落ちても死なない！
なぜならNcmの高さから落ちても死なないから、
たった1cm増えたくらいで突然死ぬはずがないから！
　　　　・
　　　　・
　　　　・
帰納的に、無限の高さから落ちても死なないことが証明された！
もう我々は無敵である！



こんなこと言ってる奴がいたんだけど、どう思いますか？

>>318
無限の高さから落ちると地面にぶつからないので墜落死はしない。
しかし墜落死しないことと死なないことは異なるので不適。

帰納法から「無限の高さから〜」の結論は導けない。

数学的帰納法などというものはない

>>167をみると>>1の疑問は>>163によって解決されたようだ。
１は数学的帰納法を正しいと認めている。

しかし、
>>102　いくら金を持っていても貧乏である
>>117　すべての人間はハゲである
>>262　人間はどんな高さから飛び降りても死なない
という一連の疑問に対しては明確な答えは出ていない。
（>>96は n=2 のときを考えると成立しないことがわかるので無視）

さらに、数学的帰納法の2つの前提から
　P(1), P(2), P(3), ...
という命題がそれぞれ成り立つのは認めるとして、このことから直ちに
　∀n∈N[P(n)]
という結論が成り立つということまで認められるだろうか？という疑問も残る。
（例えば、話は違うと思うが
　P(1), P(2), P(3), ...
から、直ちに
　∞
　∧ P(n)
　n=1
が言えるだろうか？このような推論をみると私には違和感が残る）

これらのことに対してどなたか明確なご回答をお願いいたします。

ようするに「自然数」ちゅー概念そのものが「帰納的」に定義されてるからでしょ。

(1) 1は自然数である。
(2) kが自然数ならばk+1も自然数である。

P(n)を「nは自然数である」に置き換えれば、自然数の定義そのものだ。

だから帰納的証明っちゅーのは、
P(n)が自然数の定義と同等とみなせるか否かっちゅーことでそ。

あ、ゴメン。「同等」ではなく「同値」だね。
つまり「nが自然数である」という命題をN(n)とすると
N(n)⇔P(n)が成り立つことが∀n[P(n)]の証明だと思います。

述語論理で自然数論を作るときは、帰納法は公理か変形規則かだったと思うが。

髪の毛が一万本生えてる人はフサフサ。
フサフサから高々一本抜いてもフサフサ。
帰納法より、髪の毛がゼロ本の人はフサフサ。

352

age

ｐ（ｎ）がｎ≧1000で破綻する時、

ｐ（999）が成り立つ。
ｐ（ｎ）を仮定してｎ＞０のときｐ（ｎ−１）を示す。

ってのは帰納法というのでしか？

age

>>331
Q(n)=n≦999→P(999-n)
とすれば
Q(0), Q(n)→Q(n+1)
を示すことになるから普通の帰納法と同じこと。

ひとついっておくが、数学的帰納法は数式に強い証明法です、実際のケース
に当てはめて考えても無理があるケースが多い













そんなんも分からんの？

523

二年。

age

313

吸うが苦嫡昨日砲

ソリテスパラドックスについて、誰か語ってはくれないのですか？

>>318
そいつ馬鹿じゃねーの？
だったら学校の屋上から飛び降りて死なないことを証明しろって逝ってやれ。

100

>>341
ゼノンの弟子は、師匠にそう言って怒鳴られてしまった、と、野矢が書いてたな。

何が？どこがわからないの？
無効とかいってるのはアホにしかみえない。。

>>341
それ言っても帰納法的に証明されるだけかと。

なら落ちてみろって言うのが一番良い

>>345
>>343を嫁

>>346
読んだけど？

404

＞髪の毛がn本の人はみなハゲである・・・（A)ことの証明
＞�@)髪の毛の本数をn本として、n=0のとき（A)は成り立つ。
＞�A)n=k(k≧0)のとき(A)の成立を仮定すると、n=k+1のときもヤッパリ禿。
＞以上よりみんな禿である。

　こういう議論がヘンだということを数学として定式化できるらしい。↓

http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf

まだ読み始めたばかりで>>352のような内容に繋がるのかよくわからないが、
このPDF自体が面白い。この糞スレを気まぐれに見に来ての思わぬ収穫だったw
�d�d

ノシノシ

king的オナニー法は？

talk:>>355 私を呼んだだろう？

kingのおかげで>>352に出会えた
すばらしく刺激的だった

talk:>>357 何だよ？

A:すべての集合を要素とする集合。

B1:要素が集合であるような集合。
B2:要素が集合であるような集合を要素とする集合。
B3:要素が集合であるような集合を要素とする集合を要素とする集合。
。。。。。。。。。

C:自分自身を要素とする集合。つまりCの要素は１つであって、それがC。

>>1はバカである
>>kがバカのとき、それにレスをする>>(k+1)もバカである
よって(ry

341

123

402

良スレはageる

582

三年十時間。

age

数学的帰納法:
1. P(1) が真であること。
2. "ある" k に対して P(k) が真ならば P(k+1) が真であること。
が示されれば、"すべての" n に対して P(n) は真である。

2 の「ある」というキーワードがないがしろにされていると思うのだが。

だってそこに「ある」を書くのは
数学的帰納法の説明として間違いなんだもの

あっそうか。ちょっとで直してきます。

1. P(1) が真であること。
2. P(n) が真となるすべての n に対して P(n+1) が真であること。
を示す。ならどう？

まあそれならいいんでないの

何を悩んでいるのかわからんが・・・
１．Ｐ（１）が真
２．全てのｎについて「Ｐ（ｎ）が真⇒Ｐ（ｎ＋１）が真」
ということ

わかりにくければ超限帰納法でも勉強してみ

>>373
それって>>371に書いてあることと寸分違わないよな

>>371を数学語に翻訳すると>>373になるね。

>>373
いやあ、俺、ずっと >>368 だと思い込んでたからさ。
さっき気付いてよかったわ。危なかった。

37

今の数学の世界では、数学的帰納法は完全に正しい理論だ。

しかし、いつの日か、正しいといえない数学の１分野ができるかもしれない。

例えば、平行な２直線はどこまで行っても交わらない。
しかし、平行線が交わる世界を考えて１つの数学の分野を作ることもできたわけだ。
（非ユークリッド幾何学）

だから、ドミノ式に正しくても、最終的には成り立たないとする
非数学的帰納法証明が成り立つ数学の分野ができるかもしれないのだ。

今、できないから無駄だといことはできない。
これ自体は失敗するかもしれない。
だが、多くの失敗の中に、新しい可能性がかくれているかもしれない。

とりあえず>>378がいう平行線の定義について聞きたい気分

ロジャーペンローズが超限帰納法を使って
グッドスタインの定理を説明していた
何日たっても
わからない。信じられない。理解できない
たぶん
ω　と　∞　の　違いの　ためだと思うが
グッドスタインの定理　は　本当に　正しい　の　でしょうか　？

桁数がどんどん減っていく感覚がわかれば成立する方が当たり前に感じられる。

よくわからないんだけど
f(ω)の次がf(ω)ってのが？？？
次はf(ω+1) じゃないのかな？？？
それともf(ω)＝f(ω+1)なの？？？
それと
ωから１へ戻れるの？？？

(´･ω･`)　　知らんがな

506

>>1がなに言いたいのかわからんが、結局のところ

仮定が成り立つとして実験すると成り立つからおｋ

ってとこが引っかかってるんだろ？
仮定が真だと仮定してるんだから仮定が真になるのは当たり前で、
その論理だとすべての仮定は真になるってことだろ？

じゃあ実際に絶対に合わないような仮定を考えて、それを帰納法で成り立つかどうか証明してみればいいんじゃないか？
>>1の論理が正しければ絶対に成り立つはずだが、実際に成り立たないこともある。
ということは帰納法は正しい証明方法であることにならないかな？

f(k)が真ならばf(k+1)が真。これを示した。

だが、f(k)が偽の場合だってあるかもしれない、と>>1は疑問。


上で示したのは要は、もしもf(1)が真ならf(2)も真。f(2)が真ならf(3)も真…ってことだ。
じゃあスタートのf(1)が真であることを示す。
上よりf(2)も真。よってf(3)も真。よってf(4)も真…すべての自然数についてf(n)は偽。
どうよ

>>385-386
とりあえずこのスレを全て読むこと。

無効であることを証明しろ。

>>1は単に　「任意の〜」　という概念が理解出来てないだけでは？　
　
それと、数学の多くでは対象を∞をも含めて　「俯瞰的」　に見て扱ってる、例えればドミノ倒しだったらドミノ全体を上空から見て理論を展開するのに対して、
帰納法では先の方はおいといて隣の要素との関係だけで全体を論じる、いわばドミノ倒しを地上で、倒れていくドミノの最前線を追っていくようなものだから異質だと感じてるのではないだろうか？
　

情報系の人間なんだが無限の場合の数学的帰納法はやばく感じる
(有限の場合は理解できる)

なぜかというと
無限の部分集合は加算無限を含む(Wikiかなんかで見た)
帰納法は、数学的にはf(1)から計算するが
計算機ではf(n+1)から再帰的にf(n)を計算していく
するとn+1が無限のとき、nも無限
つまり有限回の繰返しではf(1)にたどり着かない
(無限回繰り返してもたどり着かない気がする)
⇒よって、全てのnについて証明できるというのはおかしい

#現実的には計算機では有限の値しか扱えないから問題はないが

>>390
> 計算機ではf(n+1)から再帰的にf(n)を計算していく

どういうこと？ どこでそんなこと読んだ？

どっかに書いてあったわけではないが・・
それと、計算するではなく値を取り出すのほうがよいか

例えば階乗の計算では
factorial(5)を再帰で実装すると
factorial(5)=5*(factorial(4))
factorial(4)=4*(factorial(3))
..
となり、実質5*(4*(3*(2*(1))))が計算される
このとき、スタックには5→4→3→2→1の順に値が積まれる
そして、計算時に1→2→3→4→5の順に取り出される

無限を認めると、上のスタックの例では
5→4の部分が∞→∞となるため停止せず計算できないと思う
(チューリングマシンの停止問題と同様)

>>392
そのような計算方法があるというだけで
そのように実装されることはごく希だろうよ。

>>393
そのように実装されるというのがどういう意味かわからないけど
スタックを用いているかという意味でなら
全てのプログラミング言語はどこかでスタックを使ってる
アセンブラは全てスタックを利用してるわけで
プログラムは最終的にアセンブラへ変換されるわけだから

つうか数学的帰納法の話に何で∞が出てくるのかと
せめてωとかにして超限帰納法の話の中で出してくれや

数学的帰納法では無限は扱わないのか
んじゃあ何も問題はないよ
証明とかで、任意のnについて成り立つっていうあのnには
無限は含まれてないってことでおｋ？

>>394
・スタックを使うからといって再帰とは限らない。
・アセンブラに変換されないプログラミング言語もある（こちらは主題とは関係ないか）

数学的昨日法はもう通用しない
これからは数学的明日法だ

>スタックを使うからといって再帰とは限らない。
そういえばそうだった

数学的明日法のパラドックス
「1週間以内にテストがあり、いつテストがあるかは予想できない」とする
もし6日目にテストがあるとすると、最終日にテストがあることが予想できる
よって6日目にテストはない
もし5日目にテストがあるとすると、6日目にテストがあることが予想できる
しかし6日目にテストはないので5日目にテストはない
同様に繰り返すと明日もテストはない
よってテストは行われない

で安心していた三日目に先生が
「ハイ！今からテストを始めます！」
と言った。
驚いた君は
「>>399という理屈で今日テストは出来ないはずですよ！」
と言った。
すると先生は
「つまりあなた今日テストはしないと思っていたのね？つまり今日のテストを予想できなかったんじゃないの。だからあなたの負けね」
と返してきた。
あわてて言い返そうとしたが君は何も言い返せずテストは結局行われた

ストーリーはここまで書いておかないと

↓で「取りに行ったけどなかった」どこに何をとりに行くの？だれか教えて！

>>399-400
前になんかの本でまったく同じ話し載ってたな。

一ヶ月たったことだし保守しとくか

age

数学白勺リ帚糸内シ去

どんな集合とも等しくない集合をAとすると、AはAにも等しくない。

数学的帰納法で最も単純なやつは
1+2+3+4+5+・・・+n=n(n+1)/2
n=1のとき
左=1、右=1*2/2=1
n=kのとき成り立つとすると
1+2+3+4+・・・+k+k+1=k(k+1)/2+(k+1)=(k^2+k+2k+2)/2=(k+1)(k+2)/2
だと思うんだが、もっと簡単なものある？

和の交換法則とか