◆ わからない問題はここに書いてね １２６ ◆
800 ：１３２人目の素数さん：
【３】ｆ（χ）＝（χ＾2＋ａ）e＾χ－2ａ （ａは１より大きい定数）とする。
（１）ｆ'（χ）を求めろ。
（２）χの方程式ｆ（χ）＝０はただ１つの実数解をもちそれは０＜χ＜log２の範囲にあることを示せ。
（３）（２）の実数解をｔとする。
（i）lim（a→∞）ｔを求めよ。
（ii）（i）の極限値をpとするときlim（a→∞）｛（ｔ－p）ａ｝を求めよ。
の、（２）、（３）（i）（ii）お願いします。
（１）ｆ'（χ）を求めろ。
（２）χの方程式ｆ（χ）＝０はただ１つの実数解をもちそれは０＜χ＜log２の範囲にあることを示せ。
（３）（２）の実数解をｔとする。
（i）lim（a→∞）ｔを求めよ。
（ii）（i）の極限値をpとするときlim（a→∞）｛（ｔ－p）ａ｝を求めよ。
の、（２）、（３）（i）（ii）お願いします。
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801 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 21:37
原点と（複素座標が）α（の点）と（複素座標が）β（の点）が正三角形になることを使う。
802 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 21:42
803 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 21:42
なんでエックスじゃなくてカイを使ってるんだろ？
全角のａと半角のaが混在してるんだが意味があるのだろうか？
全角のａと半角のaが混在してるんだが意味があるのだろうか？
804 ：この問題にピンときたら110番：03/09/04 21:42
【1】
五つの異なる点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある。
（ⅰ）ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝１
（ⅱ）ベクトルＯＡ⊥平面ＢＣＤ
（ⅲ）ベクトルＯＤ⊥平面ＡＢＣ
のときベクトルＯＡ・ベクトルＯＣ＝１/２である。 ベクトルＯＢ・ベクトルＯＣを求めよ。
【2】
ｙ＝ｓｉｎχ－ａｌｏｇ（ｃｏｓχ） がある。
この接線の傾きが同じになる点が少なくとも２点はあるとき
ａの条件を求めよ。
【3】
α、βを複素数とし、ｚ1＝β、ｚ2＝αｚ1＋１、ｚ3＝αｚ2＋１
とする。ｚ1、ｚ2、ｚ3が正三角形を作るとき以下の問題に答えよ。
ただし、αの虚部は正とする。
（１）αを求めよ
（２）原点Ｏが正三角形の周上にあるときβの
範囲はどのように表せるか。
【４】
N枚のカードがありその数は１～Nで各1枚ずつ。人がN人いる。（N≧３）
順にカードを引いていき前の人より大きい数字なら次の人はカードをひけるが小さいならそこで終了とする。
最期まで静止しないならN人目の勝ち、N-2人目で静止したら直前の人（N-3）が勝ちとする。
（１）Nが勝つ確率
（２）N－１が勝つ確率
（３）N－２が勝つ確率
【５】
An,Bnで表される数が２ｎ個ある。
∑（1～n）ＡkL＾（ｋ‐1）＝∑（1～n）ＢkL＾（ｋ‐1）
０＜Ａｎ≦L、 ０＜Bnのとき
∑（1～n）Ａk≦∑（1～n）Bk を示せ。
五つの異なる点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある。
（ⅰ）ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝１
（ⅱ）ベクトルＯＡ⊥平面ＢＣＤ
（ⅲ）ベクトルＯＤ⊥平面ＡＢＣ
のときベクトルＯＡ・ベクトルＯＣ＝１/２である。 ベクトルＯＢ・ベクトルＯＣを求めよ。
【2】
ｙ＝ｓｉｎχ－ａｌｏｇ（ｃｏｓχ） がある。
この接線の傾きが同じになる点が少なくとも２点はあるとき
ａの条件を求めよ。
【3】
α、βを複素数とし、ｚ1＝β、ｚ2＝αｚ1＋１、ｚ3＝αｚ2＋１
とする。ｚ1、ｚ2、ｚ3が正三角形を作るとき以下の問題に答えよ。
ただし、αの虚部は正とする。
（１）αを求めよ
（２）原点Ｏが正三角形の周上にあるときβの
範囲はどのように表せるか。
【４】
N枚のカードがありその数は１～Nで各1枚ずつ。人がN人いる。（N≧３）
順にカードを引いていき前の人より大きい数字なら次の人はカードをひけるが小さいならそこで終了とする。
最期まで静止しないならN人目の勝ち、N-2人目で静止したら直前の人（N-3）が勝ちとする。
（１）Nが勝つ確率
（２）N－１が勝つ確率
（３）N－２が勝つ確率
【５】
An,Bnで表される数が２ｎ個ある。
∑（1～n）ＡkL＾（ｋ‐1）＝∑（1～n）ＢkL＾（ｋ‐1）
０＜Ａｎ≦L、 ０＜Bnのとき
∑（1～n）Ａk≦∑（1～n）Bk を示せ。
805 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 21:51
>>801
代数的にはどうするのですか
代数的にはどうするのですか
806 ：この問題にピンときたら110番：03/09/04 21:52
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061092369/373-374
【１】（１）ｆ（χ）＝｛log2（χ）｝｛log4（８/χ）｝（χ＞０）とする。
（ｉ）ｆ（２）を求めろ。
（ii）｛log2（χ）｝＝ｔとするとき、ｆ（χ）をｔで表せ。
（iii）χ＞０におけるｆ（χ）の最大値とそのときのχを求めろ。
（２）ａ1＝１、ａn+1＝２ａn＋２で表される数列ａnがある。
（i）ａ2を求めろ。
（ii）anを求めろ。
（iii）∑（k=1～n）ａk＾2を求めろ。
【２】χｙ平面上に３点Ａ（－１、０）Ｂ（７、４）Ｃ（５、０）がある。２点Ａ、Ｂを通る直線
ｌ：ｙ＝ｐχ＋ｑと3点A、B、Cを通る円Ｋ：χ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ＝０がある。
（１）ｐ、ｑの値を求めよ。
（２）ｒ，ｓ，ｔの値を求めよ。
（３）不等式ｙ≦ｐχ＋ｑかつχ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ≦０で表される領域に含まれる（χ、ｙ）について
（ｉ）ｙ－χの取り得る値の範囲を求めよ。
（ii）ｙ－mχの最大値が2となるような定数mの値を求めよ。
【３】ｆ（χ）＝（χ＾2＋ａ）e＾χ－2ａ （ａは１より大きい定数）とする。
（１）ｆ'（χ）を求めろ。
（２）χの方程式ｆ（χ）＝０はただ１つの実数解をもちそれは０＜χ＜log２の範囲にあることを示せ。
（３）（２）の実数解をｔとする。
（i）lim（a→∞）ｔを求めよ。
（ii）（i）の極限値をpとするときlim（a→∞）｛（ｔ－p）ａ｝を求めよ。
【１】（１）ｆ（χ）＝｛log2（χ）｝｛log4（８/χ）｝（χ＞０）とする。
（ｉ）ｆ（２）を求めろ。
（ii）｛log2（χ）｝＝ｔとするとき、ｆ（χ）をｔで表せ。
（iii）χ＞０におけるｆ（χ）の最大値とそのときのχを求めろ。
（２）ａ1＝１、ａn+1＝２ａn＋２で表される数列ａnがある。
（i）ａ2を求めろ。
（ii）anを求めろ。
（iii）∑（k=1～n）ａk＾2を求めろ。
【２】χｙ平面上に３点Ａ（－１、０）Ｂ（７、４）Ｃ（５、０）がある。２点Ａ、Ｂを通る直線
ｌ：ｙ＝ｐχ＋ｑと3点A、B、Cを通る円Ｋ：χ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ＝０がある。
（１）ｐ、ｑの値を求めよ。
（２）ｒ，ｓ，ｔの値を求めよ。
（３）不等式ｙ≦ｐχ＋ｑかつχ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ≦０で表される領域に含まれる（χ、ｙ）について
（ｉ）ｙ－χの取り得る値の範囲を求めよ。
（ii）ｙ－mχの最大値が2となるような定数mの値を求めよ。
【３】ｆ（χ）＝（χ＾2＋ａ）e＾χ－2ａ （ａは１より大きい定数）とする。
（１）ｆ'（χ）を求めろ。
（２）χの方程式ｆ（χ）＝０はただ１つの実数解をもちそれは０＜χ＜log２の範囲にあることを示せ。
（３）（２）の実数解をｔとする。
（i）lim（a→∞）ｔを求めよ。
（ii）（i）の極限値をpとするときlim（a→∞）｛（ｔ－p）ａ｝を求めよ。
807 ：この問題にピンときたら110番：03/09/04 21:53
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061092369/373-374
【４】平行六面体ＯＡＤＢーＣＥＦＨがあり辺ＯＡ（ﾀﾝ点除く）上に点Ｐを、辺ＯＣ（ﾀﾝ点除く）上に 点Ｑを取る。三角形ＢＰＱの重心をＧとして直線ＯＧと平面ＣＥＦＨの交点をＲとする。
ＯＰ→＝ｓＯＡ→、ＯＱ→＝ｔＯＣ→（０＜ｓ＜１、０＜t＜１）とするとき
（１）ＯＧ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→、ＯＣ→で表せ．
（２）ＣＲ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→で表せ。
（３）ｓ、ｔが１/２＜ｓ＜１、１/２＜t＜１の範囲を変化するときのＲの存在範囲の面積を求めよ。
但し、平行四辺形ＯＡＤＢの面積は１である。
【５】Ｏを原点とするχy平面状に曲線Ｃ：ｙ＝logχ（１＜χ＜ｅ）がある。Ｃ上に点Ａ（α、logα）
をとり直線ＯＡをｌとする。（α＜χ＜ｅにおいてＣとｌは共有点を持たない）
（１）ｌの方程式を求めよ。
（２）∫logχｄχを求めよ。
（３）Ｃとｌとχ軸で囲まれた図形の面積をＳ1、Ｃとｌと直線χ＝ｅで囲まれる図形の面積をＳ2とする。
（i）Ｓ1をαを用いて表せ。
（ii）Ｓ1＋Ｓ2を最小にするαの値を求めよ。
【４】平行六面体ＯＡＤＢーＣＥＦＨがあり辺ＯＡ（ﾀﾝ点除く）上に点Ｐを、辺ＯＣ（ﾀﾝ点除く）上に 点Ｑを取る。三角形ＢＰＱの重心をＧとして直線ＯＧと平面ＣＥＦＨの交点をＲとする。
ＯＰ→＝ｓＯＡ→、ＯＱ→＝ｔＯＣ→（０＜ｓ＜１、０＜t＜１）とするとき
（１）ＯＧ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→、ＯＣ→で表せ．
（２）ＣＲ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→で表せ。
（３）ｓ、ｔが１/２＜ｓ＜１、１/２＜t＜１の範囲を変化するときのＲの存在範囲の面積を求めよ。
但し、平行四辺形ＯＡＤＢの面積は１である。
【５】Ｏを原点とするχy平面状に曲線Ｃ：ｙ＝logχ（１＜χ＜ｅ）がある。Ｃ上に点Ａ（α、logα）
をとり直線ＯＡをｌとする。（α＜χ＜ｅにおいてＣとｌは共有点を持たない）
（１）ｌの方程式を求めよ。
（２）∫logχｄχを求めよ。
（３）Ｃとｌとχ軸で囲まれた図形の面積をＳ1、Ｃとｌと直線χ＝ｅで囲まれる図形の面積をＳ2とする。
（i）Ｓ1をαを用いて表せ。
（ii）Ｓ1＋Ｓ2を最小にするαの値を求めよ。
808 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 21:57
>>800
(1)ムズイ
(2)ムズイ
(3)(i)g(x)=(e^x-2)/x^2とおく。0<x<log2でg(x)は単調増大でg(log2)=0
そこで0<x<log2でのg(x)の逆関数をh(x)とおくとh(0)=log2
tは方程式g(x)=1/aの解、つまりt=h(1/a)なので
lim[a→∞]t=lim[a→∞]h(1/a)=･･･
(ii)lim[a→∞](t-p)a=lim[a→∞](h(1/a)-h(0))/(1/a)=･･･
(1)ムズイ
(2)ムズイ
(3)(i)g(x)=(e^x-2)/x^2とおく。0<x<log2でg(x)は単調増大でg(log2)=0
そこで0<x<log2でのg(x)の逆関数をh(x)とおくとh(0)=log2
tは方程式g(x)=1/aの解、つまりt=h(1/a)なので
lim[a→∞]t=lim[a→∞]h(1/a)=･･･
(ii)lim[a→∞](t-p)a=lim[a→∞](h(1/a)-h(0))/(1/a)=･･･