【脅威の的中】２回全統記述ネタ予想会

数学　�VＢ・�VＣ型　

【１】（１）ｆ（χ）＝｛log2（χ）｝｛log4（８/χ）｝（χ＞０）とする。
（ｉ）ｆ（２）を求めろ。　
（ii）｛log2（χ）｝＝ｔとするとき、ｆ（χ）をｔで表せ。
（iii）χ＞０におけるｆ（χ）の最大値とそのときのχを求めろ。
（２）ａ1＝１、ａn+1＝２ａn＋２で表される数列ａnがある。　
（i）ａ2を求めろ。　　　　　
（ii）anを求めろ。　
（iii）�煤ik=1〜n）ａk＾2を求めろ。

【２】χｙ平面上に３点Ａ（−１、０）Ｂ（７、４）Ｃ（５、０）がある。２点Ａ、Ｂを通る直線
ｌ：ｙ＝ｐχ＋ｑと3点A、B、Cを通る円Ｋ：χ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ＝０がある。
（１）ｐ、ｑの値を求めよ。　　　　
（２）ｒ，ｓ，ｔの値を求めよ。
（３）不等式ｙ≦ｐχ＋ｑかつχ＾2＋ｙ＾2＋ｒχ＋ｓｙ＋ｔ≦０で表される領域に含まれる（χ、ｙ）について
（ｉ）ｙ−χの取り得る値の範囲を求めよ。
（ii）ｙ−mχの最大値が2となるような定数mの値を求めよ。

【３】ｆ（χ）＝（χ＾2＋ａ）e＾χ−2ａ　（ａは１より大きい定数）とする。
（１）ｆ'（χ）を求めろ。　
（２）χの方程式ｆ（χ）＝０はただ１つの実数解をもちそれは０＜χ＜log２の範囲にあることを示せ。
（３）（２）の実数解をｔとする。
（i）lim（a→∞）ｔを求めよ。
（ii）（i）の極限値をpとするときlim（a→∞）｛（ｔ−p）ａ｝を求めよ。

数学　�VＢ・�VＣ型　

【４】平行六面体ＯＡＤＢーＣＥＦＨがあり辺ＯＡ（ﾀﾝ点除く）上に点Ｐを、辺ＯＣ（ﾀﾝ点除く）上に　点Ｑを取る。三角形ＢＰＱの重心をＧとして直線ＯＧと平面ＣＥＦＨの交点をＲとする。
ＯＰ→＝ｓＯＡ→、ＯＱ→＝ｔＯＣ→（０＜ｓ＜１、０＜t＜１）とするとき
（１）ＯＧ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→、ＯＣ→で表せ．
（２）ＣＲ→をｓ、ｔ、ＯＡ→、ＯＢ→で表せ。
（３）ｓ、ｔが１/２＜ｓ＜１、１/２＜t＜１の範囲を変化するときのＲの存在範囲の面積を求めよ。
但し、平行四辺形ＯＡＤＢの面積は１である。

【５】Ｏを原点とするχy平面状に曲線Ｃ：ｙ＝logχ（１＜χ＜ｅ）がある。Ｃ上に点Ａ（α、logα）
をとり直線ＯＡをｌとする。（α＜χ＜ｅにおいてＣとｌは共有点を持たない）
（１）ｌの方程式を求めよ。　　　
（２）∫logχｄχを求めよ。
（３）Ｃとｌとχ軸で囲まれた図形の面積をＳ1、Ｃとｌと直線χ＝ｅで囲まれる図形の面積をＳ2とする。
（i）Ｓ1をαを用いて表せ。　
（ii）Ｓ1＋Ｓ2を最小にするαの値を求めよ。