◆ わからない問題はここに書いてね １０８ ◆

>>959
どういうふうに部分積分するの。

>>960
大学では　√(x^2±1)がでてきたら 　t=x+√(x^2±1)とおくのを
標準的な手法として教える。

>>963
大学では…そうですか、わかりました。
形はキレイなのに、全然解けなくて鬱になってました。
ありがとうございました。

ｘ＝（ｔ＋１／ｔ）／２とすると
√（ｘ＾２−１）＝（ｔ−１／ｔ）／２となって
有理関数の積分になる。

>>965
（ｔ＋１／ｔ）／２
これはなんでしょうか？？
２分のｔ分のｔ＋１…２ｔ分のｔ＋１ですか？２倍の、ｔ分のｔ＋１ですか？
う〜ん、わかりません。

>>966
x=(t+(1/t))/2のことで、t=x+√(x^2-1) と同じこと。

>>967
あ、スミマセン。読み違えていました。ちゃんと"(　)"を見ていませんでした。

この問題がどうしても分からないので誰か解いてくれませんか？
k:体　F=F(X1,X2--,Xn) G=G(X1,X2--,Xn) k[X1,X2--,Xn]にＧは属す。
この時D(F)とD(G)の共通部分はD(F.G)と等しいことを証明せよ。

すみません　宿題、小学校の問題です。解けませんお願いいたします。

問題
兄は１０００円、弟は７８０円を持っていましたが、二人とも同じ値段の本を買ったので
残りのお金を比べると、弟は兄の６割になりました。本代はいくらだったでしょうか。

こっちの方が良いかな　学校に間に合わないかな

The Cauchy-Schwarz Inequalityというヤツですが、その証明がよくわかりません。
まず、下の証明を見てください。
---------------------------------------------------------------------
『命題』
a_1, ..., a_n とb_1, ..., b_nを任意の実数とすると、
(Σ[k=1~n]a_kb_k)^2 ≦ (Σ[k=1~n]a_k^2)(Σ[k=1~n]b_k^2)。

『証明』
2乗した数の和は負になりえないので、全ての数xに対して、下の式が成り立つ。
Σ[k=1~n](a_kx+b_k)^2≧0......�@

A=Σ[k=1~n]a_k^2、B=Σ[k=1~n](a_kb_k)、C=Σ[k=1~n]b_k^2
とすると�@を
Ax^2+2Bx+C≧0......�A
と書ける。

ここで、B^2≦ACを証明したい。
A=0のとき、それぞれのa_k=0で、B=0となり、結果はいうまでもない。
A≠0のとき、平方完成によって、
Ax^2+2Bx+C=A(x+B/A)^2+(AC-B^2)/A......�B
x=-B/Aのとき、�Bの右辺は最小となる。
x=-B/Aを�Aに代入してB^2≦AC。
これで命題が証明された。
----------------------------------------------------------------------
えーと、この証明の全体がまずつかんでないのですが、
一番疑問なのは下から3行目あたりである。
なぜ、「x=-B/Aを�Aに代入してB^2≦AC」となったからといって、
証明されたのかよくわかりません。x=-B/Aを�Aに代入する目的も
わかりません。誰かご指導お願いいたします。

>>971
B^2≦AC ってのは A=Σ[k=1~n]a_k^2、B=Σ[k=1~n](a_kb_k)、C=Σ[k=1~n]b_k^2
を代入したら「(Σ[k=1~n]a_kb_k)^2 ≦ (Σ[k=1~n]a_k^2)(Σ[k=1~n]b_k^2)」
のことだろ。これが証明すべきことだろ。

A≠0に対して f(x) = Ax^2+2Bx+C とするとき、任意の実数 x について
f(x)≧0 が成り立つことの必要十分条件は x に関する2次方程式 f(x)=0 の
判別式 D について D/4 = B^2-AC が零以下になることだから、ふつうは
f(x)≧0 を示した時点で終り。「A≠0のとき、平方完成によって、」以下は
f(x)≧0 ならば D/4≦0 の証明をわざわざやってくれてる。

Schwarz完成

Schwarz的帰納法

２２０円が弟の５倍Schwarz

コーシーシュワルツとか意味わかんねぇ
こんなん証明して何の役にたつんやろうか・・・・

次スレ
◆ わからない問題はここに書いてね １０９ ◆
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057885849/

>>972
さっそくの返答ありがとうございます。

＞f(x)≧0 が成り立つことの必要十分条件は x に関する2次方程式 f(x)=0 の
＞判別式 D について D/4 = B^2-AC が零以下になることだから
ここを考えてみました。「判別式D」とは何かよくわかりませんが、
何回か放物線をグラフ上に描いて、B^2-AC が零以下の場合f(x)≧0が
成り立つことと、座標[-(B/A), (AC-B^2)/A]がf(x)の最小値である点だと
確められた。
f(x)≧0 ⇒ B^2-AC≦0 ⇒ B^2≦ACということなんですね。ここまでは
分かるのですが、「A≠0のとき、平方完成によって、」以下がちょっと…

座標[-(B/A), (AC-B^2)/A]がf(x)の最小値な点としよう。（ここもあやふやだけど）
x=-(B/A)をf(x)に代入してB^2≦ACになるようにするってのは、
証明する方針としておかしいですし、これだと、たまたま「f(x)の最小値≦0」と
置いたらB^2≦ACになった、としか考えられません。やっぱりこういうことですか？

>>978
訂正
＞たまたま「f(x)の最小値≦0」と置いたらB^2≦ACになった
たまたま「f(x)の最小値≧0」と置いたらB^2≦ACになった

そもそも、「f(x)の最小値≧0」と置く意味がほかに考えられないし。

1000GET!!!
おまいらおせーんだよ（ﾌﾟ

なんかおかしいと思いませんか？任意のxについて成立するのなら、
最初から「Ax^2+2Bx+C≧0がB^2≦ACになるようなxを探す」ということを
すれば終わりじゃないですか。なんと可笑しい問題なんだろうか。

前レス読んでない人のためにもうちょっと説明を付け加えますが、
例えば命題で、「任意のxに対してAx^2+2Bx+C≧0が成り立つならば、
B^2≦ACであることを証明せよ」ってあったら、最初からAx^2+2Bx+C≧0が
B^2≦ACになるようなxを探して、それをAx^2+2Bx+C≧0に代入すれば良い。
なんか証明としておかしいと思いませんか？

>>982
人には向き不向きがある
悪い事は言わない
手を引きなさい

>>983
majiresu?

>>982
どこの国でどういう教育を受け取るんが知らんが、
「任意のxについてf(x)≧0」かつ「任意のxについてf(x)≧f(-A/B)」ならば
「f(-A/B)≧0」だろ。

「任意のxについてf(x)≧f(-A/B)」の証明
f(x) = A(x+B/A)^2+(AC-B^2)/A において A(x+B/A)^2 ≧ A(-B/A+B/A)^2 = 0 だから
f(x) ≧ A(-B/A+B/A)^2+(AC-B^2)/A = (AC-B^2)/A = f(-A/B) //

最後に「f(-A/B)≧0」かつ「f(-A/B) = (AC-B^2)/A」だから「AC-B^2≧0」。

これで B^2≦AC が導かれるの。

ちなみにこれは Schwartz の不等式の証明としては技巧的なもんだが、
ここに書いたこと自体は二次関数の基本性質として日本では高校1年で学ぶことだよ。

「任意の＝ある特定の」 だと思ってるのかな。

「任意の＝全ての」 だよ。数学ではね。

>>985
ありがとうございます。おかげで疑問が解決しました。
差し支えなければ何をされてるのか、教えていただけますか？
口調からして一流大学の教授のように聞こえます。

>>985
任意のｘに対して０≦ｆ（ｘ）ならば０≦ｆ（ａ）。
ｆ（ａ）≦ｆ（ｘ）は要らない。
だから
＞「任意のxについてf(x)≧f(-A/B)」の証明
＞f(x) = A(x+B/A)^2+(AC-B^2)/A において A(x+B/A)^2 ≧ A(-B/A+B/A)^2 = 0 だから
＞f(x) ≧ A(-B/A+B/A)^2+(AC-B^2)/A = (AC-B^2)/A = f(-A/B) //
この部分は無駄。
それと−Ａ／Ｂ≠−Ｂ／Ａ。

数学のことは良く分からんが、常識でも　任意≒自由　なんだから
全てについて成り立たなければおかしい。　

＞＞985
あとになってよく考えてみたらやっぱりおかしいですね。

まず、986もいってるように、「任意の」＝「全ての」だから、
「f(-A/B)≧0」を証明すること自体必要ないじゃないですか？
それに、f(x)≧0かつf(x)≧f(-A/B)だからf(-A/B)≧0ってのも
おかしいと思います。

＞最後に「f(-A/B)≧0」かつ「f(-A/B) = (AC-B^2)/A」だから「AC-B^2≧0」。
漏れがもっとも疑問なのはここです。なぜ、「f(-A/B) = (AC-B^2)/A」を
f(-A/B)≧0に代入するのか？なにか特別な意味でもあるのでしょうか？
たまたま、それを代入したら、証明すべき結果が導かれたとしか考えられないです。

>>990
多分，混乱している箇所は数学１の「必要条件と十分条件」のところだと思います。
まず，そこら辺を教科書で勉強してみましょう。。。
で，この問題を解く際に，まず，確認して欲しいこと。それは，
「任意の(すべての)実数xに対し，f(x)≧0 が成り立つ．」⇒「f(x)の最小値≧0」
が成り立つということです。これを明確に打ち出して，証明を書き換えてみましょう。

「証明」
xを任意の実数とすると，a_k，b_kは共に実数であることから，
Σ[k=1,n](a_kx+b_k)^2≧0・・・[1] が成り立つ．
ここで，A=Σ[k=1~n]a_k^2，B=Σ[k=1~n](a_kb_k)，C=Σ[k=1~n]b_k^2
とすると，証明すべき不等式は，B^2≦AC・・・★ であり，また，
[1] ⇔ Ax^2+2Bx+C≧0・・・[2] となる．
不等式[1]，すなわち，不等式[2]は任意の実数xに対して成立するので，
f(x)=Ax^2+2Bx+C (-∞＜x＜∞) の最小値をmとすれば，
m≧0・・・[3] が成り立つ．

ところで，Aは0以上の実数であることから，次の2通りに分けられる．

(1) A=0 のとき
　　1≦k≦nなる任意の自然数kに対し，a_k=0であるから，
　　B=0となる．これは，★を満たす．

(2) A＞0 のとき
　　y=f(x) は下に凸の放物線であるから，
　　f(x)の最小値mは m=f(-B/A)=(AC-B^2)/A となる．
　　したがって，[3] ⇔ (AC-B^2)/A≧0 ⇔ B^2≦AC (∵A＞0)
が成立する．

(1)と(2)より，どちらのケースにせよ，不等式★の成立は示されたので
題意は示された．[証明終わり]

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz09.html

1000

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ヽ二/

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