リーマン幾何学スレッド

みんなで一緒に勉強しましょ

嫌なこった

最近リーマン幾何が流行ってんのか？

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052743389/といいこのスレといい。

サラリーマンのための幾何学スレッドでつか？

>>4
それはこっち

リーマンがリーマン幾何学語る擦れ
http://etc.2ch.net/test/read.cgi/employee/1012188642/

だれかクリストッフェル記号について解説してよ

めんどくさい

トポロジについて勉強したいんだけど
何からはじめたらいいのかわからないんですが
なにかお勧めの本とかありますか？

Re:>6
曲率テンソルをg_{ij}とする。
Γ_{jk}^{i}=1/2*Σ_{l}g^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l})
但し、,kは、k番目の成分による偏微分とする。(反変微分)

>>6
小林昭七、野水克己のFoundation of Differential Geometry(I)を読みなさい

いつから計量のことを曲率と呼ぶようになったの？

>>11
計量と曲率ってちがわないかい？

（・3･)　計量と曲率は全く違うものだYO。
曲率は、計量の存在しない通常の線形接続でも
R(X,Y)Z=∇(X)∇(Y)Z−∇(Y)∇(X)Z−∇[X, Y]Z
により定義される（１，３）型のテンソル場だYO。
それに対し、計量は、擬リーマン多様体で定義される２階共変テンソルだNE。

接続って結局何なんですか？意味がわかりません。

（・3・）　エェー　まがった空間でベクトルを平行移動すると，
　　　　　　　　　　もとのベクトルとズレてるYO！
　　　　　　　　　　そのズレを表しているのが接続だYO！

曲率と同値ガウンですか！

>接続
凶変美文だよ

>12
簡単に言えば、直観的に
計量：空間の各点に無限小のモノサシ
計量の微分⇒接続：
ある点からある点へのベクトルの平行移動がどうなるかを示す〜ポテンシャル〜
無限小離れた点での接空間を比べるための構造,
接続の微分⇒曲率：（より正確には,　接続1フォームの外微分⇒曲率２フォーム）
その接続の変化率〜場〜共変微分の非可換性を測る量.
こんな感じかな.

小学生チャットに来てね
http://www13.big.or.jp/~fubuki/chat/chat1.html　　　

「有限幾何に曲率みたいなものないんですかね?」
と聞いたら、
「曲率?何それ?」
「curvatureです。」
「聞いたことないな。」
だそうです。
微分を差分に置き換えてさ。。。拡張できない?

（・３・）
微分幾何だったら、小林昭七と野水克己のFoundation of Differential Geometryがお勧めだJO
日本語だったら、ボクは、野水の現代微分幾何入門が好きなんだけど、どうも絶版みたいで残念だYO

曲がった空間ではベクトルを平行移動するとずれが生じちゃって
それを接続を使って修正するみたいなことを聞いたことあるけど
ベクトルを回転行列とか使って回転させて修正することってできないの？

平行移動ってどうやって定義するんですか？

まず曲線を一つ指定してください。話はそれからです。

>>24
指定しましたです。でそれから？

>>25
・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

＞指定しましたです。

warota

＞・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

中途半端で気持ち悪い。

（・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

>>28
（ ・∀・ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

＞（ ・∀・ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

イライラって感じ♪

（・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

>>30
∀・ ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ!

・

　　　

（･∀･）ｻﾃｵｼｺﾞﾄ･･･　　　　　　　　　　ε三三三三（; ･∀･）鯖ﾏﾃﾞｵﾂｶｲ
（　･∀･）　　　 鯖ｶﾗﾍﾝｼﾞ（･∀･ ;）つ□　三三三三３
φ（･∀･）未読変換(384ﾊﾞｲﾄ)
（ ･∀･）（･∀･ ）ｵﾂｶｲｵﾜﾘ　三三三三３
（･∀･∀･）
（･∀･）新着 1件
（･∀･）ｶﾝﾘｮｳ!!
（･∀･∀･）

写真集
http://www.sexpixbox.com/pleasant/sexy/index.html

>>22
>>23

>>18さんの解説で概ねいいと思うんだけど、
そういう疑問に答えるとすれば、
むしろ「接続とは、無限小離れた接空間の間で、
一方の接空間の接ベクトルに対して、それと「平行」だとみなす他方の接ベクトル
を定めるシステム」だと捉えることもできる。
何がユークリッド空間での平行に相当するものかを接続によって定めることで、
ベクトル場の微分を一般の空間でも定義できるようになる、と言える。

Lie微分とかとも関係があるのでしょうか？

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

ほしゅったらageろ！

874 ：１３２人目の素数さん ：03/07/14 20:23
>>873
例えそうだとしても、一つか推薦していない。

ぼるじょあは解析学の中でも主要な単元の推薦書をいくらか挙げるべき。
偉そうに800を批判したのだから、同じようにして推薦書をだせるはず。
出なければ、ただのチキンと言うわけだ。

ぼるじょあ廃れましたな（ｹﾞﾗ

(´▽｀）ゲラゲラゲラゲラゲラゲラゲラ

（・３・）　エェー　ぼるじょあはいつもみんなのこころのなかにいるYO！

　 　∧＿∧
　　 （,,　・∀・）氏ね
　と⌒ 　 　 て)从,;　 ∧∧
　　 （　　______三ﾌ∵;ﾞ'；３・);:.,∴痛いＹＯ！
　　　 )　　）"　;W　`'ﾉつ っ
　　　 レ'　　　　　　.. ;:':/
　　　　　　　 　　　　''(ノ

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

14

15

22

5

l

l

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

9

946

325

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

386

11

因みに、接続自体は計量を持ち出さなくても定義できる。平行移動もね。

曲面論をちょっと復習した。

曲率が内在的な量という
ガウスのビックリ定理を勉強した。

>>21
Nomizu-Kobayashi も絶版…。
他になんか良い本ないのかねぇ…。

>>64
微分幾何の本なんて本屋に行けばいくらでもあるじゃん。

野水の現代微分幾何入門ならその後復刊した。
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1127-4.htm

ホロノミーがよくわからんな

>>66
その復刊したのがすでに手に入りずらいみたいだが。
去年の8月に復刊して、そこには在庫僅少って書いてあるが、
amazon, bk1, Yahoo!Books, 旭屋書店 では買えないし。

酒井隆のってどうなの?

>>66
この本は微分幾何を学ぶ上で必読？
小林さんのものや、微分幾何とは少しずれるかもしれないけど、森田先生の本なども
ありますが。

>>70
必読なんてこたぁない。
外国人はその本を読めないのに、微分幾何を学んでるんだから。

483

>>70
「現代」ってのは、多様体上で接続を用いるってところがそうなのかな？
そうなると小林の「曲線と曲面の微分幾何」は、古典的ってわけだな。

>>22
ずれる、の意味がわかって無いでしょ

内積の意味がいまいちわからない

行列式で内積を定義するときのこと？テンソルを基底に分解してそれをベクトル空間とみなして標準内積とってみ。同じになるよ。

470

988

最近、朝倉書店から
復刊してるけど、どうよ？立花の本とか

リーマン幾何学って何の役に立つの？

>>80
一般相対性理論の分析とか。

まぁ俺の頭間の中ではこんなもののカスに見えるほどの計算式と空間がうずまいてるわけだが。

うずまいてんのか、スゲーな

応用するときにCインフィニティっていう仮定は
強すぎることはないのか？

>>84
何故？

127

Re:>>84 じゃあ、区分的にC^∞にするか？

素人の質問で申し訳ありません。いくつか微分幾何やリーマン幾何の本を見たのですが、共変微分の定義が2種類ありました。

(i).∇_{j} v^i
(vは反変ベクトルの成分)
(ii).∇_{X} Y
(X,Yは接ベクトル)

どちらも同じような定義になっているのですが（ベクトルであるか成分だけかの違いだと思います）、この2つにはどんな関係があるのでしょう？

Re:>>88
吾が思うに、
(i)は、和の記号を省略しているものと思われる。
詳しいことは知らないので他の人の意見を待つように。

Re:>>88
[>>89]だが、冷静に考えてみたら、和の記号を省略するかどうかは殆ど関係ないことだった。
そもそも、(ii)が具体的にどう定義されているのか、それを吾は知らないのだが。(i)も。

そうですね。不親切ですみません。両方ほとんど同じで

(i): ∇_{i} Y^k =(d_i Y^k + Γ_{ij}^k Y^j)
(ii): ∇_{X} Y = X^i (d_i Y^k + Γ_{ij}^k Y^j) d_k

です。(i)と(ii)を対応させるため記号と添え字を最初とは変えました。
(i)も(ii)も同じ接ベクトル Y = Y^k d_k (これは反変ベクトル)に対する共変微分です。
d_iは偏微分の記号です。(i)は成分だけに対して、(ii)は基底も含めて微分という点で違っていると思っています。

Re:>>91
同じものだと思われる。
(ii)から(i)が云えるのは容易に分かるだろう。
(i)を使って∇_{X} Yを定義するのも容易であろう。
詳しいことは知らないので、他の人の意見を待つように。

>>91
∇_{i} というのは、X=∂/∂x^i に対する ∇_{X} のこと。
ただし、(i) の表記法は、本当は ∇_{i} という作用素が Y の第k成分 Y^k
だけに対する作用素ではなく、Y の全成分に対する作用素なので、本当は ∇_{i} Y^k
ではなく (∇_{i} Y)^k とでも書くべきモノです。そのため、∇_{i} Y^k のことを
セミコロンを使って Y^k_{;i} と書いたりします。
（ http://home.p07.itscom.net/strmdrf/manifold21.htm の (21-40) 参照）

丁寧にありがとうございます。
∇_{i} Y^k をkについて基底∂_kを足し合わせて縮約すれば同じものというわけですね。
しかし、まだよくわかっていないのでまだ疑問があります。また基本的な事ですみません。
基底の変換

∂_a = B^i_a ∂_i , B^i_a=(∂x^i/∂y^a), ∂_a=∂/∂y^a,∂_i=∂/∂x^i, i,a=1,2,...,n

をしたときに、ヤコビ行列 B^i_a は（1,1）テンソルにならないのですか？
これを共変微分するときに、(ii)の定義であればBは関数と思ってやればいいのですが、(i)の定義では（1,1）テンソルの成分として共変微分を考えなくてもいいのでしょうか？
極端にBがクロネッカーデルタならどうなるのでしょう？

>>94
基底の変換って、…。テンソルっていうのは基底に依存しない概念なんですから、
ンなもんテンソルじゃありません。
(1,1) テンソルなら、共変ベクトル（＝１形式）と反変ベクトルの双線形形式という
形に表現できなければなりません。
　クロネッカーデルタはOKです。これは共変ベクトル（＝１形式）と反変ベクトルの
縮約という双線形形式に対応する(1,1)テンソルです。

＞テンソルっていうのは基底に依存しない概念なんですから、
ンなもんテンソルじゃありません
たしかにそうでした。すっかり抜けていました。
∂_a = B^i_a ∂_i 自身が反変ベクトルですのでBの添え字aは共変微分には関係ありませんね。
本当にありがとうございました。

746

微分貴下と何が違うのですか？

リーマン計量

お勧めトリップです。
H06di47hDM : #yN||\kBa

Re:>100
何やってんだよ。

ゲリラ活動Ｐａｒｔ�U

test

>>81
ローレンツ幾何。

>>84
色々な変分問題を考えるとき、確かに C^∞ と言う仮定は強すぎる。その範囲で解が無い事もある。

お勧めトリップらしいです。KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれとか。
#/{\@%YwX
#SgHdO'H%
#*｢A@?NVF
#[Aｼsudｾl
H06dWifa1A : #{SfbN(6ｦ

誰か116まで回しといてくれ。

KingOfKingMathematician
氏ね

Re:>108
ここにはもう王は居ない。
私は長き旅を経て生まれ変わったのである。
そうだ、リーマン幾何学があれば、生まれ変わっても困ることは少なくなるかも。

いかん、昔のハンネ使ってしまった。

リーマン幾何学により、どのような世界を考察できるであろう？
応用範囲が一見広そうだけど、実際に応用するとなるとなかなか…。

近似リーマンと1次オイラー方程式について、レポートがあるんですが、
近似リーマンって簡単に概要を言うとどんな感じなの？？　

>>112
古典力学でも拘束系の力学など色々ある。
電子顕微鏡の電磁レンズ等もその応用。

当方、リーマン幾何の初学者なので以下の説明にも
アホなミスがあるかもしれませんが・・・

コントラストと計量の関係がどうなってるのか教えてください。

コントラストは距離のようなものでD(p,q)>0、D(p,p)=0という
要請があって、一方計量<X,Y>は接空間での内積を
定義するもののようですが、

<X,Y>=-D[X||Y]=XYD[p||p]

としてコントラストから計量が導かれるという説明が
ありました。どうして負号がつくんでしょうか？
どなたか教えていただけないでしょうか。

こんどが

ラスト

658

>115
当方リーマン幾何に覚えがありますが
「コントラスト」とは何ですか？
どの本に書いてます？

>>115>>118
私も小一時間問い詰めたい

>>115
早く答えんか

>>120
うるせんだよリーマン

>>121
=11^2
コ

リーマン幾何を学びたいのですが、
トポロジー、多様体の基礎レベルをやっておけば大丈夫でしょうか。

>>123
十分です。
村上慎吾、多様体
も、すぐリーマン幾何に入っている。

>>124
thx

506

アインシュタイン方程式の厳密解に挑戦する香具師
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1092872747/

可積分 G 構造で重要なものはどんなのがあるのだ。

697

リーマン幾何学

◎現在
　頂点に社長１人、底辺にオレらヒラたくさんのピラミッド型
◎将来
　大して偉くない上層部たくさん、入社しないので底辺少数の逆ピラミッド型

>>130 社長って誰よ?

734

521

リーマンどうした

子供を作った

どこで作った

夜作った

169

415

Super Star Billy Graham

407

817

コンパクトな C^3 級リーマン多様体で、
断面局率が常に 0 以下なら K1 である。
（アダマール−カルタンの定理）
これを精密化したピンチング問題はどの程度進んでいるのだろう。

酒井隆氏の「リーマン幾何学」の評判はどうですか？

>>144
以前書店でざっと目を通しただけだが、
入門者向けとしてはまあまあだな

俺はリーマン幾何学入門（日本評論射）を推すぜっ！

あれはどうも・・・
　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

421

561

723

C^2じゃだめ？

C^2でもいいよ。証明がちょっとだけ面倒になる。
ピンチング問題なら普通コンパクト性を仮定するので余り関係ない。

今数値ははっきり記憶にないが、
コンパクト且つ、断面曲率が [-1-c_n, -1] で、
非ユークリッド空間形に微分同相と言うのはあったと思うよ。

非ユークリッド空間形って何?

space form

空間形

クリッド

クリ

と

栗鼠

数学の三大未解決難問は
Ｐ＝ＮＰ問題
リーマンの予想
ポアンカレの予想
ですね？

アホ

231

964

931

743

g_{,k}=g g^{ij} g_{ij,k}
どなたか、この証明を教えてください。

両辺をそれぞれベタに展開したら等しいことが判りました。

age

651

441

もっとうまいやり方がある気がする

315

351

Rauch comparison theorem

Rauch comparison theorem

25 KB [ ２ちゃんね

176 ：１３２人目の素数さん ：05/02/26 16:32:12
Rauch comparison theorem

25 KB　[ ２ちゃんねるが使っている 完全帯域保証レンタルサーバー ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣

842

Topogonov comparison theorem

【問題】
n次元ユークリッド空間で、m個の制約式
f_1(x) = 0
...
f_m(x) = 0
で定義される曲面があるとする (x は n次元ベクトル)。
この曲面の Riemann計量を求めよ。

765

234

それは特異点をもたないのかい？

age

>>183
はい

mazu hypersurface de kangaeyo!!

>>180
f_iは一時独立なのかな？

akukinna!!

493

772

二年。

age

リーマン幾何学とミンコフスキー幾何学の違いを教えてください。

>>193
ds^2 = �波_ij(dx^i)(dx^j)
において、行列(g_ij)が正定値なのがリーマン幾何学
そうとは限らないのがミンコフスキー幾何学。
たとえば、R^4(時空間)においてds^2 = x^2 + y^2 + z^2 - t^2したのがミンコフスキー空間

>ミンコフスキー幾何学
は平坦なローレンツ幾何

ユークリッド幾何
リーマン幾何
ミンコフスキー幾何
ローレンツ幾何

どうしても人名をつけたいのかｗ

age

>>196
自分の名前がつかないからと云ってひがむな

非可換幾何学はコンヌ幾何学ですか

king幾何
今井幾何
人生幾何
布施君幾何

他

股間幾何学

ロバチェフスキー幾何学
ヘッセ幾何学
ケーラー幾何学

多様体なんてもっと人の名前ばっかりだ。

（*´Д｀）ﾊｧﾊｧ

Finsler幾何

本幾何

j

age

age

682

酒井隆氏の「リーマン幾何学」の評判はどうですか？

もしかしたら物理で相対論の教科書から勉強したほうが
理解しやすいのかもしれんな

958

どういう幾何

423

ルブランが最近評判になっているそうだが
リーマン幾何の問題を複素幾何で
システマティックに解いているとかで

質問です。
４次元アインシュタイン多様体なのですが。
Ric = cg とするとき、
スカラー曲率 s = 4c, 長さ |Ric|^2 = 4c^2.
ということで、s^2 - 3|Ric|^2 = 4c^2 > 0.
という計算は正しいでしょうか？

age

okuchi ga kawaii

ブラックホールの本によく出て来る、へこんだ方眼紙みたいなのは何といいますか

デコンボサン

ホーガン氏はしゃべりません

イチバーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーン!!!

多様体上の調和微分形式の長さに対して、
平均値の定理みたいなのって成り立つのでしょうか？

age

age

>>219 懸垂面

ほんとかよ

そんなのがあったとしたらコンパクト多様体上の
調和形式の長さは常に定数でなければならないが
０でない調和形式で０点を持つものは腐るほどある。

>>228
>０でない調和形式で０点を持つものは腐るほどある。
やはりそうですか。今それで困っているのです。
調和という性質から、局所的に変形して０点をなくすとかは出来ませんよね？

また、今はコンパクト４次元アインシュタインという状態で２形式で０にならないものを探しているのですが、
こういう条件からは、０点をなくすと言うのは何とかならないでしょうか？

その調和形式をどうやって作るかを決めないと
性質を調べにくいと思いますが。コホモロジー類に何か条件を課するのでしょうか？

簡単に言ってしまうと、
上の条件の下、シンプレクティック形式を探しているのです。
(もちろん任意の４次多様体がシンプレクティックとは限らないけど、
これだけ条件があれば十分かとも。)

簡単のため$b_{-} > 0$(交差数が負のベッチ数が正)を仮定してます。
この中から微分形式 w を取り、その反双対部分 w- をとれば
w- \wedge w- = -|w-|^2
となるわけです。
積分が負だから、恒等的に０ではない。
で、０点があると困るのですが。。。

このままだと、性質は反双対だけになってしまいますね。
調和形式についてあまり勉強してないために、作り方とかを良く知りません。
何か参考になる本とかありませんか？

調和形式を作る話ですか。
古典的には周期を与えて作るのがドラーム理論。
複素多様体上で零点や極を与えて有理型函数を作るためには
それに応じた調和形式を作ればよいというのが
ワイルとか小平の理論。
先入観かもしれませんが調和形式に０点があった場合、
その個数と自己交点数の関係とかが問題になるような気がします。
０点があったとき、０点集合の次元について何か言えないのですか？

>>232
>その個数と自己交点数の関係とかが問題になるような気がします。
>０点があったとき、０点集合の次元について何か言えないのですか？
確かにそのような気がします。次元についてはあまり考えていませんでした。
しかし、４次元(オープン)で無いことは確かです。
そして、もしかしたら、１次元以下になるのではないかとも考えています。
(２単体上で０だったら、それを面にもつ４単体上で
w \wedge w = -|w|^2の積分が０になってしまう。)

ところで、ドラーム理論と言うのは「小平の分解定理」に関連するものでしょうか？
(あれは調和空間の直交空間＝ラプラシアンの像、ということだったと思ったのですが。)
また、周期を考えると言うことは、
任意小のコンパクト集合を台とするような非定値調和形式が作れるということでしょうか？
(それなら、１の分解とか局所変形とかも出来そうな気がする。)

＞０点があったとき、０点集合の次元について何か言えないのですか？

つーか、点だったとしても、その個数が
特性数とかに関連して決まってるとか
そういうことはないのか？

確かに、調和形式の０点は特性数とかも関係するように思えます。
つまり、位相的条件がだいぶ影響してくると言うことですよね。

>>233
Aronszajnの定理によれば
調和形式が空でない開集合上で０なら
全体で０になります。

>>236
そういわれてみれば確かに。
ということは調和形式の０点はどんな場合でも n - 1 次元以下ということですね。
そうすると１の分解等の局所変形は無理か。

しかし、Aronszajnのは一点で０で近傍上「無限階の意味で抑えられる」。
とかではなかったっけ？
ちなみにWeitzenbockの公式から、一点で０⇒任意階の共変微分もその点で０
となりそうなものですが。
そうすると、まだ確かめてないけど「無限階の意味で抑えられそう」だし。
０点を持つ調和形式って０点近傍でどんななんだろう。。。

正則関数は調和です。

Aronszajnの論文を確認してきました。
コンパクト・リーマン多様体の場合、近傍上の不等式の条件は自動的にＯＫだから、
０をもつ場合、０点周りの半径 r の球上で∫|u| > O(r^n)という n がある。
ということのようですね。
・・・任意階の共変微分が０でもこの条件は満たされないだろうか？

要するに調和形式は解析関数と同様、
テイラー係数で決まってしまうということだと理解してください。

>>240
本当ですか？
それなら、任意階の共変微分が(一点で)０なら、近傍上０ですか？
この条件は一点で０となるから導けると思うのですが。

Weizenboeckの公式からは
１点で０ーーー＞任意階の共変微分もその点で０
は導けません。

>>242
むむ。そこが間違いですか。確かにどこか間違いがあるのですが。
しかし、△ｗ = -∇∇ｗ＋(ｗに関しての曲率の線型項)ですよね。
まず、これから、(一点での話ですが)
ｗ=０⇒∇ｗ=０
さらに△∇ｗ=-∇^3ｗ＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
０=∇△ｗ=-∇^3ｗ＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
上から下を引くと
△∇ｗ=(△∇-∇△)ｗ=-(∇ｗに関しての曲率の線型項)＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
したがって、一点で△∇ｗ=０で∇^3ｗ=０
以下同様。どこが間違ってるのでしょうか？

Weitzenboeckの公式の右辺がちがうのでは？
Bochner Laplacianはナブラの2乗ではありません。

正確ではありませんでした。省略してしまいました。
-∇∇ｗとｗの内積を取って |∇ｗ| だから、∇ｗ=０は確実です。
(∇∇で、g^kl∇_k∇_lとします。)
で、下のほうでは任意のベクトルＸを取って△∇_X(ｗ)を考えます。
△∇_X(ｗ)=-∇∇[∇_X(ｗ)]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
０=∇_X(△ｗ)=-∇_X[∇∇ｗ]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
よって、△∇_X(ｗ)=(△∇_X-∇_X△)ｗ
=-(∇ｗに関しての曲率の線型項)＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
これが一点で０(任意のＸで)だから、一点で
０=△∇_X(ｗ)=-∇∇[∇_X(ｗ)]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項) =-∇∇[∇_X(ｗ)]
これと∇_X(ｗ)の内積を取って |∇(∇_X(ｗ))|=０
と考えました。

なんか顔文字に見える^∇^

トウシロウですが定数って調和形式じゃないすか？自明じゃない調和形式wをとってある点pをえらんで
w’=w-w(P)とか考えたらw’とかはpで0になる調和形式とかにならないすか？

>>245
2行目で部分積分していませんか？Bochnerは
曲率項の条件があれば部分積分してw＝０が導けることに気づいたわけですが。
>>246
はやるかもね。
>>247
健全な議論ですが、コンパクト多様体上の0次調和形式は定数に限ります。

そうか。考えてるのは２次の調和形式でしたね。吊って来ます。
４次元の話あんまりしらないんすけど調和形式ってあれば定数倍をのぞいて一つなんすか？

>>249
一つのコホモロジー類につき
一つだけあります。

>>250
なるほど。つまり引き算して０点をつくるって作戦は成功しないんすね。おさわがせしますた。

どうもお騒がせしてる張本人です。
>>251
いやいや、この乱雑な文を読んででいただけただけで結構うれしいものです。
あと、ここまでの話によればコンパクト台のcut offとかを使って
局所変形をするとか言うのも無理みたいですね。
（実解析的のようなものらしい。）
>>248
消滅定理というやつですね。
たしか、１次のときはリッチ>０ですよね。

・・・どこかに間違いがあるはずなのですが、
>>245は結構自信あるのです。
どこに間違いがあるのか分からないのも結構つらいもので。
だれか、教えてください。お願いします。

>>252
だから、245の二行目で反則わざを使っていると。

∇ｗ=０は確実です。

W公式とw＝０とΔw=0から出せるのは
wのBochner Laplacian = 0
(あなたの記号でナブラを二回wに施したものが０）
であり、wの共変微分＝０ではないと思いますが。

なるほど。積分してるから、∇ｗ=０もいえないのですか。
馬鹿な間違いだ。

すいません。最後に一つ質問させてください。
うえの議論で、実解析的というのがありましたが、
複素正則の場合と違って０点が孤立するとかは言えませんよね。。。

>>253-254
すいません。トーシローです。くわしく教えていただけませんか？>>245さんがいってるのは

0=(-∇∇ｗ,ｗ)=(∇ｗ.∇ｗ)=∫|∇ｗ|
　
って感じの議論だとおもうんですがこれオカシイんすか？

しまった。詳しく説明してくれてるよ･･･

>>256
調和形式の次数によります。
直積多様体の場合に考えてみればよくわかります。
また、１点におけるテイラー係数で決まる
というのと実解析的というのは厳密には区別しないといけません。
計量としてC^∞級のものを考えることもあるので。

>調和形式の次数によります。
>直積多様体の場合に考えてみればよくわかります。
とはどういうことなのでしょうか？

結局「０点があると困る」というのが間違いだったのか

色々と教えてもらえまして、本当にありがとうございました。

まあ、そんな簡単に０点のない形式が見つかっては困るようですが、
だいぶ状況も分かってきましたし、
条件もかなりある(４次元とかアインシュタインとか)ものですから、
別方面から頑張ってみようと思います。

(後、できれば>>259を教えてもらいたいのですが。。。)

>>262
Mを種数gが２以上の閉リーマン面、
wをM上の０でない正則１形式とすると、
wは共形計量に関して調和であり、（重複を込めて数えて）２g−２個の０点を持つ。
wをMxM上に第一成分への射影によって引き戻して得られる１形式は
直積計量に関して調和であり、その０点集合はMの次元に等しい。

>>263
なるほど。つまりいくらでも大きい次元の０点をもつ
調和形式を作れるわけですね。

本当に色々とありがとうございました。

どういたしまして。

エルミートの多項式とチェビシェフの多項式の直交性について詳しく教えてください。
できれば数式を用いて説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いしますm(_ _)m

すみません。誤爆でした。

120

測地竜検算！

時代は、Ｐｕｂｌｉｓｈ ＆ Ｐｅｒｉｓｈ　へ

アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です

271 は素数

曲面Ｍ上の輪ｌに対し、ｌを中心線とする帯ＮがＭの内部に存在する
という事実を証明したいのですが、これは明らかではないのでしょうか？
帯の幅を十分小さくとればいいと思うのですが。

明らか

曲面の条件がわからんが、局所ユークリッドなら明らかでは？
境界餅ならダウト。

曲面上に切断輪は存在しない。（ジョルダンの曲線定理）という定理の
証明を考えているのですが、参考になるサイトとかあれば教えて下さい。

787

>>272
「lを中心線とする帯」の定義を書いてみてください。

Mをコンパクトリーマン多様体としたとき、
(M上のp-form全体)=(harmonic form全体)+Im △
と直交分解でき、ラプラシアンの固有値は離散的で各固有値の重複度は有限となりますが、
これはMを完備有限体積リーマン多様体としたときも成立するでしょうか？

>>278
しません

>>279
ありがとう。
考えてたら反例になりそうなの思いつきました。

>>278
R^3 の閉部分多様体となる2次元多様体で
p = 0, 固有値 0 で反例が出来ると思うよ。

連続スペクトルの下限が多様体の変形にどう応ずるかが興味深い問題である。

age

age

太鼓の音から説明して下さい。

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>288 私の城を用意してくれるのか？

三角形の短い辺の対角より長い辺の対角のほうが大きい。その理由を教えて下さい

ミラー対称性？

>>290
正弦定理

>>290
菊池寛によれば犬猫でも知っている事実
人間様が学ぶべき程の事もない

>>294
菊池寛の言うことなら何でも正しいと思っているアホの登場だ

菊池によれば彼の言うことが正しいと思えないやつは犬猫にも劣る。
人間様が相手をする程の事もない。kingで十分。

304

いつまで経ってもkingが来ないな

最近大人になったよな king

もう･･･

talk:>>296,>>298-299 私を呼んだだろう？

三年。

age

一次元複素多様体

しまった
一次元複素多様体＝リーマン面って事でオッケー？

あげ

>>304
OKだと思いますよ。
証明は知らない。
（知ってる人いたら教えてほしい。）

どうなんだろ？
よくわからん

ど〜なのかの〜

あ。当然だけど向き付け可でないと。

リーマン幾何やってるとリーマン予想解けると思ってる？

は？

344

345

179

>>309
概複素多様体は向き付け可能
連結な（これを定義に含める時もある）n次元複素多様体とは、ハウスドルフ空間で
局所的に複素n次元数空間の開集合への同相写像が与えられており、それらの間の変換関係が
正則写像になっているものを言う。リーマン面とは１次元複素多様体を言うが、
元来は複素数平面に無限遠点を付加してできるリーマン球面上の分岐点を持つ被覆面を言った。
これらは同等であることが知られているが、その証明は難しい。

>>315
2 次元（複素1次元）概複素多様体は必ず積分可能にならないのか？

252

リーマン幾何初心者です。
リーマン多様体上の点pの座標近傍Uを適当にとって
U上で g_ii=1、g_ij = 0 とすることは、いつでも可能ですか？

>>318
私のつたない耳学問では、
計量から決まるレビチビタ接続の曲率テンソルが零の時可能でその時のみ可能
じゃ無かったかな。小林野水に証明が載っているらしい。

>>319
ありがとうございます。やっぱし、いつでもそうできるわけではないんですね。
今度図書館から小林・野水借りてきて見てみます。

>>87
しね

talk:>>321 お前が先に死ね。

talk:>>323 お前が先に死ね。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>316
real analyticな場合はそうなることが昔から知られていたが、
smoothな場合はNNの定理。

real analyticな概複素構造って意味分かるよな

king

307

talk:>>327 私にも知らないことはある。

3次元ポアンカレ予想の証明を理解したいのだが、何を勉強すればいい？

数学セミナー増刊「解決ポアンカレ予想」
Ricci flowがキーワード

質問です
Gauss-CodazziとWeingartenは
一方が他方の系なのでしょうか

>>331
�d
実はその本を見たのでちゃんと勉強してみたくなった。
どんな本で何を勉強すれば理解できるかなあ？

とりあえず
Reto Mullerの
Differential Harnack Inequalities and the Ricci Flow
でもどうですか
Prefaceには
The goal of this book is to explain some of the key
ingredients of Grisha Perelman's first paper on the Ricci flow,
namely Li-Yau type differential Harnack inequalities, entropy formulas
and space-time geodesics.
とある。

ありがとう。とりあえず読んでみる。

237

重力と電磁気の統一は、そんなにむずかしいことではない。
アインシュタインは重力を計量によって与えたが、それを少し変えて、
各点の慣性座標として重力を与えれば、電磁気を同時に含むようにすることができる。
それを下記に示した。
これは新しい時空の幾何学である。

http://blogs.yahoo.co.jp/japan_miroku/1528596.html

馬鹿も休み休み云え

最近フィンスラー幾何が盛り返して来た

>>339
昔から電子顕微鏡理論に使われていたらしい。
詳しい事は知らんが。
最近の話題って何だ？

ICM のプロシをみよ

とある一般相対性理論の本を読んでいて、微分形式について簡単な説明が
あったのですが、計算上の係数に納得出来ない箇所があります。
どなたかのアドバイスを頂ければ幸いです:

http://www.nowsmartsoft.or.tv/bbs/test/read.cgi/Relativity/1179990332/l50

四年。

STML16
Differential geometry Kuhnel
AMS
の評価はどうですか？

>>345
http://www.maa.org/reviews/brief_mar02.html
の評によれば、学部生には難しいだろう。

わざわざありがとうございます
前半は曲面論のようなので　なんとか読めそうです。

曲線と曲面の微分幾何（小林昭七）
という本もあるよ

>348
前半部分（極小曲面）まではだいたい読みました
もう少し曲面からリーマン幾何につながる本を探してたんですが
>>345を入手したのでここで評判を聞いてみました。

な〜るほど

擬リーマン幾何の教科書を教えて下さい。

962

このスレまじでもっと活発になっていいと思うよ。

このスレの上のほうで、接続についてのわかりやすい説明があったのですが、
いまいちわかりません。
私の理解では接ベクトルでベクトル場を微分しているようにしか見えません。

もう一度説明お願いします。

分からないのなら、分かり易くはなかったということだw

>>355　うるせーデブさっさと教えろ。

>>354
接続は誰もが一度はわかんなくて悩むところ。
ユークリッド空間と比べたりして考えてみてください。

>>357　今日それやってみました。
少し理解のレベルがあがりました。

もう少し具体的ベクトル場などを構成してやってみようと思います。

>>354
真面目に勉強しろ

sumimasenndeista

このスレってかなり重要でしょう。
はやくもっと活発にお話しましょう、。

>>357
普通の偏微分をちょっと補正するだけなんだけど

>>362　もっと詳しく。
ちなみに今の俺は線形接続についてはわかりました。ｌ

>>363
線形接続については362の通りだと言うことはわかった？

>>364　なんとなくわかりました。
しかし、偏微分を補正するというよりは方向微分を補正するというほうが近いと
思いました。俺は間違っていますか？

362のことについてもう少し詳しく教えてください。

全微分を補正すると言っても
実質は変わらない

クリトリス

king弟子は位相空間論の基礎もサッパリなのに接続がわかるのか。
ある意味天才かも。

>>368　だから、位相空間は本当に完璧です。
位相空間に関しては大学院レベルの自信はあります。マジで。

位相空間にレベルとかないだろ・・・
数学やっている人でそんな発言したら笑われるよ。

位相空間にレベルはあるだろ
T_3-空間だけど、T_4-空間でない位相空間の例は？なんて普通は知らねえだろ

誰かメチャクチャ難しい一般位相の問題を書き込んでやれｗ

>>371
そんなことを言ってるんじゃないってわかるだろ？

>>373　位相空間にだって理解のレベルってものはあるだろ。
位相の本は一冊読んだけどあんまり使わないって人と、コンパクトオープントポロジーとか
使ってリー郡とかやってる人とは差があるだろ。やっぱり。

初心者はご注意。>>374は位相のことが全く分かっていない
とんでもない馬鹿です。コンパクト性すら良くわかっていません。
位相の天才と自称して偉そうに教えようとしますから、騙されないよう
注意してください。

>>374

まあ、位相空間は奥が深いということだけ言っておく。
位相空間(或いは位相幾何)を専門にする人間がいる位だ。
しかし、微分幾何をやる人間は普通はそこまで深くはやらない。
>>374の言うことは或る意味では正しく或る意味では間違っている。

>>375　お前誰だよｗ

>>376　そりゃ位相空間は奥が深いですよ。

位相幾何やってる人には位相の知識はかなわないかもしれないですが、
微分幾何だって普通に位相は使います。

俺は位相幾何にむいてるし。

微分幾何っていっても広いしね。

リーマン多様体とかリー郡とか、そういう人たちは位相あんまり詳しくないかもしれないですね。

多様体と行っている時点で、位相の近傍系はR^nの近傍系と同じだかからな
リーマン計量を入れると、距離空間の位相と一致するしね

むしろ、微分幾何は微分構造、特にエキゾティック構造の研究の方が重要だろ

ﾎﾟｱﾝｶﾚの予測の反例を見つけたような気がしないでもないかもしれない

>>380　エキゾチック構造もそりゃ重要だけど、
リーマン幾何だって重要だよ。リーマン幾何によってまず、接続とか曲率形式とかに
なれて、対称空間とかそういうもの勉強するんだよ。

＞＞king
じゃあ距離空間がパラコンパクトであることを証明してくれるかな

>>383　そんな本に普通にのってることわざわざ書かなくていいだろ。、

ΠXi（i belongs to A）（Xiは位相空間）
に位相を入れてみろ。

Reply:>>383 私を呼んでないか。

>>385　意味わかんねーそんな位相の入れ方たくさんあるんじゃないですか？

可換環RのSpec R（Rの素イデアル全体）に位相を入れてみろ〜。

king

Reply:>>388 離散位相以外に何を考えられる。
Reply:>>389 私を呼んでないか。

先ず曲率（テンソル）より始めよ
しからば特性類も定義出来る

Do Carmoの【Riemannian geometry】って
可微分多様体の定義でハウスドルフ空間であることを要請していないけれど
これオッケーなの？

何が？

環R、SpecRという少しの代数的構造しか持ってない対象だけじゃリーマン幾何の言葉をほとんど使えようが無い

小林先生、フンボルト賞受賞おめでとうございます

>>394
環 R が C^∞ 関数環でも？

リーマン多様体間の局所等長写像F:M→NがなぜMの測地線からNの測地線へ写す写像になるのかわかりません。かなり考えたのですが。ご教授下さい。お願いします

>>397
F は局所的に計量を保ち、測地線は計量から導かれる微分方程式の解となるから

>>397 レスありがとうございます。
ということは実際にF。Cが測地線の二階上微分方程式系が０になることを計算によって示すしかないのでしょうか？

計算しなくても微分方程式が計量のみから導かれる事をいえば良い

>>400 申し訳ありません。もう少し詳しくお願いします。計算せずに証明する方法を数日考えているのですがわかりません。よろしくお願いします。m(__)m

明らか

五年一日二時間。

m次元実ベクトル空間はリーマン多様体になる
と思うのですが、
どのような内積を接空間上に定義すればよいか分からず
悩んでいます。
どなかた解決できる方はいらっしゃいますか？

>>404
m次元ベクトル空間はR^nと同型なので
R^nの内積いれればいいんじゃない？
一意的じゃないけど。

>>405
コメントありがとうございます。
確かに、その方法は王道ですね。
一方、Ｒ^nの内積（ユークリッド内積）に限らず、
実ベクトル空間上にある内積＜、＞が定義されているとして、
その内積を実ベクトル空間の接空間上に定義したい場合
どのような方法があるのでしょうか？

>>406
正規直交基底e1,e2,…,emをとって、それを(1,0,…,0),…,(0,…,1)∈Ｒ^m
にうつす同型写像を考えればいいんでない？
これは(基底の取替えの自由度を除いて)一意的。定まる内積も一意的。

ユークリッド幾何の公理は
ピタゴラスの定理が成立する座標系を設定することなのだよ

Reply:>>387お前はなぜKingの弟子を名乗っている

324

某島尻安伊子（自民）もリーマンでリーマンしてたらしいよ・・・・

age

224

うるさい。

029

age

071

131

566.

測地であるか否かは局所的に決定される。そして局所同型なんだから、移った曲線が測地線であることはあきらか。また測地線は局所的に2点の最小距離を与えることからも明らか。

724

SO(m)はコンパクトでしょうか？
Ｏ（ｍ）の中に入っているからコンパクトですよね？

六年。

この問題解けるんですか？解き方もよろしくお願いします。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/15884.gif

なんだ、グロか

専ブラで見えないので貼り直しました。
解き方もよろしくお願いします。
http://kissho.xii.jp/1/src/1jyou83324.gif

だめでした orz もう一度トライします
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org217407.gif

>>427

ΔABC は二等辺三角形なのか？

なら、簡単だ。

いや二等辺三角形じゃないと思う。

リーマン幾何のスレだからABCがあるのが平面上だとは限らない
よって不定

どなたか加須栄『リーマン幾何学』を一緒に読みませんか

クソだからやめたほうがよい

>>432
マジ？どこらへんが？
既に40ページぐらい読んだ・・・

>>433
いや，単純に体裁が汚くて読みにくくない？
記号とか乱用したり改行しないし，文字ばかりだし

>>434
確かにちょっと読みにくいｗ
でも記号の乱用は今のところあんまり気にならないかな
それより誤植のほうが嫌かも

今のところのこの本の印象は「ねこまんま」って感じかなｗ
いけるとこまで読んでみようと思います

ほー、そうなん。
ワシもちょっと見てみたいなぁ

ワシが阪大生の時には加須栄さんに
ちょっとだけお世話になりましたしね。

阪大の微分幾何の伝統は
複素幾何に受け継がれたか

山辺の問題、松島・村上の定理、あとは何やっけね
ちょっと思い出してみますけんどネ

481

3 14 5 9 14 23 37 60 97

最近はCR山辺問題というのがやられている

確かめて欲しがる

円周率の数字の並びに

１を足すか引くかして奇数にして

二乗したものの逆数の値を、数字をだして並べてみてよ

うほ

719

298

632

リーマン先生、暑中お見舞い申し上げます。

>>437-438
今は藤木先生や並河先生、後藤先生とか凄いね。
でも、手法は代数的に使うから、松島・村上の流れは汲んでいるじゃないのかな？

一方で解析系は山辺の問題があるけど、山辺先生の死後に誤りが見つかって
始まった問題だから、ちょっと微妙

猫

猫