高木貞治
102 ：１３２人目の素数さん：
11 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/02/06(日) 20:09
>問題は、もっと深刻な「間違い」でしょう。定理の証明に
>不備があるとか、実は著者自身が何か誤解してるとか…。
そんなこと言ったら、高木貞二の「数学概論」だって
実数の公理のあたり・・・って有名ですよね・・・
12 名前： >11 投稿日： 2000/02/06(日) 21:54
たぶん
高木貞治「解析概論」（改訂第３版）岩波書店
のことを言ってるんだとおもうけど、
実数の公理のあたりにあると貴方が言う“有名な”
間違いというのは何ですか？
何ページの何処かってところまで教えてくれると
有難いです。
13 名前： >12 投稿日： 2000/02/08(火) 18:59
通りすがりだけど代りに注釈（＾＾；
\begin{どーでもいいことだけど}
解析概論には実数の公理が４つあり、この本では、これらは同値とされているが
実は同値ではない。
\end{どーでもいいことだけど}
>問題は、もっと深刻な「間違い」でしょう。定理の証明に
>不備があるとか、実は著者自身が何か誤解してるとか…。
そんなこと言ったら、高木貞二の「数学概論」だって
実数の公理のあたり・・・って有名ですよね・・・
12 名前： >11 投稿日： 2000/02/06(日) 21:54
たぶん
高木貞治「解析概論」（改訂第３版）岩波書店
のことを言ってるんだとおもうけど、
実数の公理のあたりにあると貴方が言う“有名な”
間違いというのは何ですか？
何ページの何処かってところまで教えてくれると
有難いです。
13 名前： >12 投稿日： 2000/02/08(火) 18:59
通りすがりだけど代りに注釈（＾＾；
\begin{どーでもいいことだけど}
解析概論には実数の公理が４つあり、この本では、これらは同値とされているが
実は同値ではない。
\end{どーでもいいことだけど}
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103 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:39
14 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/09(水) 04:14
え！本当ですか？
ひょっとして
基礎数学２ 解析入門Ⅰ（杉浦光夫、東京大学出版会）
も公理として5組の命題が同値とされてますけど・・・
（一応sageときます）
15 名前： 12>13 投稿日： 2000/02/10(木) 04:41
＞解析概論には実数の公理が４つあり、この本では、これらは
＞同値とされているが実は同値ではない。
その４つの公理ってのは
（１）Dedekind の定理（実数の切断に関するもの），
（２）Weierstrass の定理（上限または下限の存在），
（３）有界な単調数列の収束，
（４）区間縮小法
であって（解析概論 p10），この本ではこの４つは同値である
と主張して，その証明を
（１）⇒（２）⇒（３）⇒（４）⇒（１）
という順にやってます．証明を読んでみました．読んだ結果，
不覚にも（？）「なるほど確かに同値だ」と思いました．
１３の言ってる通りだとすると，証明の中のどこかで何かを
こっそり使っちゃってるのかも知れません．
困ったな…．この本は好きなのに．
え！本当ですか？
ひょっとして
基礎数学２ 解析入門Ⅰ（杉浦光夫、東京大学出版会）
も公理として5組の命題が同値とされてますけど・・・
（一応sageときます）
15 名前： 12>13 投稿日： 2000/02/10(木) 04:41
＞解析概論には実数の公理が４つあり、この本では、これらは
＞同値とされているが実は同値ではない。
その４つの公理ってのは
（１）Dedekind の定理（実数の切断に関するもの），
（２）Weierstrass の定理（上限または下限の存在），
（３）有界な単調数列の収束，
（４）区間縮小法
であって（解析概論 p10），この本ではこの４つは同値である
と主張して，その証明を
（１）⇒（２）⇒（３）⇒（４）⇒（１）
という順にやってます．証明を読んでみました．読んだ結果，
不覚にも（？）「なるほど確かに同値だ」と思いました．
１３の言ってる通りだとすると，証明の中のどこかで何かを
こっそり使っちゃってるのかも知れません．
困ったな…．この本は好きなのに．
104 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:42
16 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/10(木) 06:47
解析入門Ⅰでは上の４つに
(５)アルキメデスの原理
(６)ボルツァ－ノ・ワイヤストラスの定理
(有界数列は収束部分列を含む）
(７)コ－シ－の収束条件
を加え
(２)⇒(３)⇒(４)と(５)⇒(６)⇒(５)と(７)⇒(２)
としてから、(１)と(２)が同値なことを示しています。
更に(４)や(７)から(５)は導かれないとしているで解析概論の
(４)⇒(１)
というのが間違いであるということでしょうか？
（手元に解析概論がないのでよく解らん）
18 名前： 15>16 投稿日： 2000/02/11(金) 00:45
「アルキメデスの原理」ってのは
『任意の正の数ａ，ｂに対して ａ×ｎ＞ｂ を満たす
自然数ｎが存在する』
という公理のことですか？
19 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/11(金) 09:01
＞１８
はい、そうです。そしてそれは(３)からは導かれるが、
(４)からは導くことができない。だから(４)を公理と
するなら(５)も公理としなければならないということ
です。
解析概論ではこのへん、どうなってますか？
解析入門Ⅰでは上の４つに
(５)アルキメデスの原理
(６)ボルツァ－ノ・ワイヤストラスの定理
(有界数列は収束部分列を含む）
(７)コ－シ－の収束条件
を加え
(２)⇒(３)⇒(４)と(５)⇒(６)⇒(５)と(７)⇒(２)
としてから、(１)と(２)が同値なことを示しています。
更に(４)や(７)から(５)は導かれないとしているで解析概論の
(４)⇒(１)
というのが間違いであるということでしょうか？
（手元に解析概論がないのでよく解らん）
18 名前： 15>16 投稿日： 2000/02/11(金) 00:45
「アルキメデスの原理」ってのは
『任意の正の数ａ，ｂに対して ａ×ｎ＞ｂ を満たす
自然数ｎが存在する』
という公理のことですか？
19 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/11(金) 09:01
＞１８
はい、そうです。そしてそれは(３)からは導かれるが、
(４)からは導くことができない。だから(４)を公理と
するなら(５)も公理としなければならないということ
です。
解析概論ではこのへん、どうなってますか？
105 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:44
20 名前： 18>19 投稿日： 2000/02/12(土) 06:07
解析概論では「アルキメデスの原理」につい記述がありません．
この本では（４）⇒（１）の証明のなかで
「n→∞ のとき 2^(-n)→0 である」
という命題を何の断りも無しに使っているところがあるのだけど，
この命題は，もしかしたら「アルキメデスの原理」から導かれる
ものなのかもしれないなあ…．
21 名前： 20 投稿日： 2000/02/12(土) 06:13
訂正．
誤）解析概論では「アルキメデスの原理」につい記述がありません．
正）解析概論では「アルキメデスの原理」についての記述がありません．
23 名前： 解析入門Ｉによると 投稿日： 2000/02/15(火) 00:43
「n→∞ のとき 2^(-n)→0 」と「アルキメデスの原理」は同値ってなってますね。
24 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/15(火) 03:31
あ！復活してる。
サポ－ト、ありがとうございます＞２３
どうも「アルキメデスの原理」が抜けているのが問題のようですね。
ということでよろしいのでしょうか？＞１３
解析概論では「アルキメデスの原理」につい記述がありません．
この本では（４）⇒（１）の証明のなかで
「n→∞ のとき 2^(-n)→0 である」
という命題を何の断りも無しに使っているところがあるのだけど，
この命題は，もしかしたら「アルキメデスの原理」から導かれる
ものなのかもしれないなあ…．
21 名前： 20 投稿日： 2000/02/12(土) 06:13
訂正．
誤）解析概論では「アルキメデスの原理」につい記述がありません．
正）解析概論では「アルキメデスの原理」についての記述がありません．
23 名前： 解析入門Ｉによると 投稿日： 2000/02/15(火) 00:43
「n→∞ のとき 2^(-n)→0 」と「アルキメデスの原理」は同値ってなってますね。
24 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/02/15(火) 03:31
あ！復活してる。
サポ－ト、ありがとうございます＞２３
どうも「アルキメデスの原理」が抜けているのが問題のようですね。
ということでよろしいのでしょうか？＞１３
106 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:47
55 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/21(月) 10:57
その後の「アルキメデスの原理」
｢解析入門」（杉浦光夫）では順序体から実数を構成するので
アルキメデスの原理は必要に応じて導入しなければならない。
｢解析概論」（高木貞治）では有理数から実数を導入するので
アルキメデスの原理はもともと前提されている。
と思うのですがいかがでしょう？
56 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/21(月) 11:03
つまり
｢解析概論」（高木貞治）の実数論の間違いというのは
アルキメデスの原理のことではないのかもしれない
ということです。
57 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/21(月) 11:14
55、56は11～23の続きです。
分かり難くてすんませんです。
（しかも超カメレス！）
その後の「アルキメデスの原理」
｢解析入門」（杉浦光夫）では順序体から実数を構成するので
アルキメデスの原理は必要に応じて導入しなければならない。
｢解析概論」（高木貞治）では有理数から実数を導入するので
アルキメデスの原理はもともと前提されている。
と思うのですがいかがでしょう？
56 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/21(月) 11:03
つまり
｢解析概論」（高木貞治）の実数論の間違いというのは
アルキメデスの原理のことではないのかもしれない
ということです。
57 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/21(月) 11:14
55、56は11～23の続きです。
分かり難くてすんませんです。
（しかも超カメレス！）
107 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:51
58 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/21(月) 12:49
「解析概論」スレッドあったほうがいいのかなあ、、、
59 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/21(月) 21:55
そもそも本当に｢解析概論」に“有名な”間違いはあるの？
60 名前： 20=21>55=56 投稿日： 2000/08/22(火) 22:35
20=21
＞解析概論では「アルキメデスの原理」についての記述がありません．
↑これ嘘でした．あります．「アルキメデスの原則」と言ってますが，
同じです．おもいっきり見落としてました．弁解の余地ないです．
ゴメンナサイ．
それから“Dedekind の定理からアルキメデスの原則が導かれる”という
内容の記述が，こともあろうに（笑）積分の章のはじめにありました．
・・・ああ恥ずかしい．
61 名前： >60 投稿日： 2000/08/23(水) 09:38
１１や１３は何だったんだ！
それと｢大した間違いではない」などと言ってた連中（他のスレも含む）も
間違いではあると認めてたことになるわけだけど、結局彼らもよく読んで
そういうことを言ってたわけじゃなかったんだ。
「解析概論」スレッドあったほうがいいのかなあ、、、
59 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/21(月) 21:55
そもそも本当に｢解析概論」に“有名な”間違いはあるの？
60 名前： 20=21>55=56 投稿日： 2000/08/22(火) 22:35
20=21
＞解析概論では「アルキメデスの原理」についての記述がありません．
↑これ嘘でした．あります．「アルキメデスの原則」と言ってますが，
同じです．おもいっきり見落としてました．弁解の余地ないです．
ゴメンナサイ．
それから“Dedekind の定理からアルキメデスの原則が導かれる”という
内容の記述が，こともあろうに（笑）積分の章のはじめにありました．
・・・ああ恥ずかしい．
61 名前： >60 投稿日： 2000/08/23(水) 09:38
１１や１３は何だったんだ！
それと｢大した間違いではない」などと言ってた連中（他のスレも含む）も
間違いではあると認めてたことになるわけだけど、結局彼らもよく読んで
そういうことを言ってたわけじゃなかったんだ。
108 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:51
62 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/23(水) 10:39
解析概論は良い本です。
むちゃむちゃ勉強になります。
ちょっと数学からはなれるがＪＪサクライの量子力学も
かなりよい
63 名前： 60>61 投稿日： 2000/08/24(木) 04:42
第３章のはじめに書いてある「アルキメデスの原則」に関する記述を考慮
しても，それでも
『（４）⇒（１）（←１５を参照）の証明において「アルキメデスの原則」
を暗黙のうちに使っているようである』
という見解に変わりはありません．
64 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/24(木) 08:27
>63
ども、お久しぶりです。
｢解析概論｣では“有理数”(単なる順序体ではない！）に何らかの
条件を加えることで実数を作ろうとしているのだから、
「アルキメデスの原則」を使っても問題無いと思うのですが？
解析概論は良い本です。
むちゃむちゃ勉強になります。
ちょっと数学からはなれるがＪＪサクライの量子力学も
かなりよい
63 名前： 60>61 投稿日： 2000/08/24(木) 04:42
第３章のはじめに書いてある「アルキメデスの原則」に関する記述を考慮
しても，それでも
『（４）⇒（１）（←１５を参照）の証明において「アルキメデスの原則」
を暗黙のうちに使っているようである』
という見解に変わりはありません．
64 名前： 錬金術師 投稿日： 2000/08/24(木) 08:27
>63
ども、お久しぶりです。
｢解析概論｣では“有理数”(単なる順序体ではない！）に何らかの
条件を加えることで実数を作ろうとしているのだから、
「アルキメデスの原則」を使っても問題無いと思うのですが？
109 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:53
66 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/24(木) 17:14
解析概論は手許に無いので推測。
たぶん、有理数をアルキメディアンなふつうの距離を使って
完備化しているのでは？ 非アルキメディアンものも高木先生は
知っていたはずだけど。
67 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/25(金) 11:09
｢解析入門｣（杉浦）Ｐ２０
定理３．３(区間縮小法)・・・・・
１）すべてのｎ∈Ｎに対して Ⅰ_n⊃Ⅰ_(n-1)
をみたすとき、・・・・・
｢解析概論｣(高木)Ｐ１０
５．区間縮小法
定理7．・・・・・
・・・ｎが限りなく増すとき、・・・
「すべてのｎ」という言い方と「ｎが限りなく増す」という
言い方の違いでアルキメデス性を前提にしているかどうかを
表現している。（ちょっと苦しいか？(^^;）
だから問題なし。
ただし｢解析概論｣ではデデキント以外から話を始めた場合、順序の定義
がどうなるのか記述がなく、そのへんが曖昧であるのは否めません。
その点では｢解析入門｣のほうが話を順序体から始めているので明確で、
より洗練されていると思います。時代の差でしょうか。
解析概論は手許に無いので推測。
たぶん、有理数をアルキメディアンなふつうの距離を使って
完備化しているのでは？ 非アルキメディアンものも高木先生は
知っていたはずだけど。
67 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/25(金) 11:09
｢解析入門｣（杉浦）Ｐ２０
定理３．３(区間縮小法)・・・・・
１）すべてのｎ∈Ｎに対して Ⅰ_n⊃Ⅰ_(n-1)
をみたすとき、・・・・・
｢解析概論｣(高木)Ｐ１０
５．区間縮小法
定理7．・・・・・
・・・ｎが限りなく増すとき、・・・
「すべてのｎ」という言い方と「ｎが限りなく増す」という
言い方の違いでアルキメデス性を前提にしているかどうかを
表現している。（ちょっと苦しいか？(^^;）
だから問題なし。
ただし｢解析概論｣ではデデキント以外から話を始めた場合、順序の定義
がどうなるのか記述がなく、そのへんが曖昧であるのは否めません。
その点では｢解析入門｣のほうが話を順序体から始めているので明確で、
より洗練されていると思います。時代の差でしょうか。
110 ：１３２人目の素数さん：04/08/06 08:55
69 名前： 名無しさん 投稿日： 2000/08/26(土) 12:00
> 67
アルキメデス性は順序の問題でしかないので区間縮小法では
ちょっとそれは苦しすぎるのでは
位相空間論を踏まえた現代的な実数論を読むには「解析入門」の方が
ちゃんとしていると言う事でしょう。今となっては「解析概論」は
古いので他の参考書と一緒に読んだ方が良いでしょうね。
70 名前： ＞６９ 投稿日： 2000/08/26(土) 21:39
＞古いので他の参考書と一緒に読んだ方が良いでしょうね。
そうそう、古いけど読んだ方がいいです。絶対いい。
でもその前に他のテキストを読んでおくべき。
＊ ただ解析の本で１１～２３についての話題（命題が同値であること）
を扱ってる本はあまりないですよね。（志賀浩二先生の｢数学が育って
いく物語」のような一般人向けの本でも扱ってるのに。）
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
ここまで>>100のスレッドより
『解析概論』について
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1012121435/l50
> 67
アルキメデス性は順序の問題でしかないので区間縮小法では
ちょっとそれは苦しすぎるのでは
位相空間論を踏まえた現代的な実数論を読むには「解析入門」の方が
ちゃんとしていると言う事でしょう。今となっては「解析概論」は
古いので他の参考書と一緒に読んだ方が良いでしょうね。
70 名前： ＞６９ 投稿日： 2000/08/26(土) 21:39
＞古いので他の参考書と一緒に読んだ方が良いでしょうね。
そうそう、古いけど読んだ方がいいです。絶対いい。
でもその前に他のテキストを読んでおくべき。
＊ ただ解析の本で１１～２３についての話題（命題が同値であること）
を扱ってる本はあまりないですよね。（志賀浩二先生の｢数学が育って
いく物語」のような一般人向けの本でも扱ってるのに。）
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
ここまで>>100のスレッドより
『解析概論』について
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1012121435/l50