巨大数探索スレッド５

>>360

ふぃっしゅっしゅって自分の理解を超えた話では
平気でアラシをやる厨房だったんだ。

>>358-359

無視じゃなくて、反応できないんじゃないかな？

　　 　　　　　　　　　　　　　　(￣￣<　 　　　／￣＞
　　 　　　　　　　　　　　　　　　＼　 ヽ　 　／ ／ｿ
　　 　　　 　プ　ロ　ジ　ェ　ク　ト＼　 ヽ P r o j e c t　X
　　 ─────────────────────
　　 　　　　　　挑戦者たち　／|_／ ／＼Challengers
　　 　　　　　　　　　　　　　　|　 　／　　　＼ 　　丶
　　 　　　　　　　　　　　　　　＼／　　　 　　 ＼__ノ

ペケ・・・

　2003年、落胆と失望が2ｃｈ数学板を支配した。
驚異的である筈の巨大数論争は、実際にはアッカーマン関数を定義する
二重帰納法の範囲内にあることが明らかになった。
次々に報告される事実は、「ふぃっしゅ数」の巨大さを信じる人々に
大きな打撃をあたえ、チェーン、バード、そしてふぃっしゅ数の前には
まだ見ぬ三重帰納的関数の壁が立ちはだかっていた。
　巨大数スレッドに挑んだ男たちは、既に知られた多重帰納法の
手のひらの上で踊らされていただけだったのだろうか？
プロジェクトは、疑心暗鬼による、誹謗や荒らしを生み出し、
男たちは夢の前に挫折しようとしている。
　2002年の狂騒から3か月、2003年は、我々が辿りついた場所が
新大陸どころか、ハワイやグアムですらなく、伊豆七島だった
ということに気づいた年として、来年にはキレイサッパリ
忘れ去られることだろう。
これは、妄想に狂った男どもの悲喜劇のエピローグである。

>>361-363＝「自分の理解を超えた話では平気でアラシをやる厨房」

サイエンスゼロ、「巨大数って何？　その騒動の実態」

高市アナ「サイエンスゼロです。今日は２ｃｈで密かにフィーバーした謎の企画
　　　　　巨大数について紹介します。本当はこれプロジェクトＸで放送するはず
　　　　　だったんですけど、なんか今年の展開は番組のカラーと違ってきたので
　　　　　こちらで放送することになりました。」
眞鍋かをり「てことは、早い話が尻拭いってことすか？勘弁してくださいよ〜。
　　　　　　たしか話しは、今年になってから
　　　　　「ふぃっしゅ数って〜、実は二重帰納法なんじゃな〜い？」
　　　　　　というツッコミがあって、それに対して
　　　　　「ゲッ、チェーンも矢印回転もふぃっしゅも
　　　　　　実は二重帰納法じゃん。やっべー」
　　　　　ということになって、今までのｳﾞｧｶ騒ぎは何だったんだ？
　　　　　てことですね。でも２ちゃんねるだからま、いいかって感じで。」
高市アナ「そうですね。」（をひをひ）

>>365
>「ゲッ、チェーンも矢印回転もふぃっしゅも
>実は二重帰納法じゃん。やっべー」
>ということになって、今までのｳﾞｧｶ騒ぎは何だったんだ？

オマエがヤケになってる理由は、よ〜く分かったから、もう荒らすなよな(w

http://www.agemasukudasai.com/movie/

上の馬鹿の作ったプロＸは、巨大数サイトに載せないでほしいなあ

今までの成果で充分ですよ

♪風のなかのふぃっしゅ〜
♪砂の中の物体
♪みんなどこへ行った−
♪見守られることも無く−
♪草原のＳ変換
♪街角の対角化
♪みんなどこへ行った−
♪見送られる事もなく−
♪多重帰納法を
♪誰も知りもしない−
♪人は上ばかり見てる〜
♪ローザよ〜高い空から〜
♪教えてよ〜多重帰納を〜
♪ローザよ〜多重帰納は〜
♪今誰が〜知るのだろう〜

ﾏﾂｼﾝは今日も元気でつ。

このスレに入ってから、多重帰納とか対角化とか高階とか枚挙とか
わからない単語が多すぎです。誰か、かいつまんで説明してくれないものでしょうか？

みなさん、いろいろ教えていただいて有難うございました
>>344->>347
は、Ver2､Ver3の理解の方向としては間違ってないでしょうか？

>>371
枚挙は…

「ふぃっしゅ数が小さく見える展開」は皆さん待ち望んでいた展開
ではなかったのでしょうか。

それでは、とりあえず>>355の検証を、といきたいところですが、
その前に>>352のF(*,*,*)がC(2,*,*,*)としてすべて書けてしまう、
というところを説明していただければと思います。

>>372
ぱっと見た感じいいかなと思ったのですが、どうも

s(1)^3f(3)=m(1)=s(2)^1f(1)が得られる

というあたりからおかしいような気がします。そうじゃなくて、
s(2)^1f(1)=s(1)^xf(x)
なのです。というと、またループになるな…。関数の表を作る段階では、
まだ値を代入しないでください。

>>375
ではなくてs(2)^1f(x)=s(1)^xf(x)になるのか。

少なくとも、

　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^4f(4)　　

という感じになります。s(2)^2以降については、このような原始帰納的な
表記ではs(1)だけではあらわせないと思います。

>>377

>>345でs(2)を訂正してますが
それでもおかしいでしょうか？

もう一回正確に書きます
　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(1)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(1)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(1)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(1)変換で生成される関数に初期値の3を代入してs(1)^3f(3)=m[1]が得られる　
　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(2)^1f(1)　　s(2)^1f(2)　　s(2)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(2)^3　　s(2)^3f(1)　　s(2)^3f(2)　　s(2)^3f(3)　　s(2)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(2)^4f(1)　　s(2)^4f(2)　　s(2)^4f(3)　　s(2)^4f(4)
‥‥
のs(2)で生成される関数にm[1]を代入してs(2)^m(1)f(m(1))=m'(1)が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(3)^1　　s(3)^1f(1)　　s(3)^1f(2)　　s(3)^1f(3)　　s(3)^1f(4)　　
s(3)^2　　s(3)^2f(1)　　s(3)^2f(2)　　s(3)^2f(3)　　s(3)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(3)^4　　s(3)^4f(1)　　s(3)^4f(2)　　s(3)^4f(3)　　s(3)^4f(4)
‥‥
のs(3)変換で生成される関数にm'(1)を代入して　s(3)^m'(1)f(m'(1))=m''(1)が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(4)^4　　s(4)^4f(1)　　s(4)^4f(2)　　s(4)^4f(3)　　s(4)^4f(4)
‥‥
s(n)^n　　s(n)^nf(1)　　s(n)^nf(2)　　s(n)^nf(3)　　s(n)^nf(4)

s(4)で得られたm'''(1)を代入して　数：s(m'''(1))^m'''(1)ｆ(m'''(1))
変換：ss(1)^1が求められる

2番目が字がずれました、
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(1)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(1)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(1)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(1)変換で生成される関数に初期値の3を代入してs(1)^3f(3)=mが得られる　
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(2)^1f(1)　　s(2)^1f(2)　　s(2)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(2)^3　　s(2)^3f(1)　　s(2)^3f(2)　　s(2)^3f(3)　　s(2)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(2)^4f(1)　　s(2)^4f(2)　　s(2)^4f(3)　　s(2)^4f(4)
‥‥
のs(2)で生成される関数にmを代入してs(2)^mf(m)=m'が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(3)^1　　s(3)^1f(1)　　s(3)^1f(2)　　s(3)^1f(3)　　s(3)^1f(4)　　
s(3)^2　　s(3)^2f(1)　　s(3)^2f(2)　　s(3)^2f(3)　　s(3)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(3)^4　　s(3)^4f(1)　　s(3)^4f(2)　　s(3)^4f(3)　　s(3)^4f(4)
‥‥
のs(3)変換で生成される関数にm'を代入して　s(3)^m'f(m')=m''が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(4)^4　　s(4)^4f(1)　　s(4)^4f(2)　　s(4)^4f(3)　　s(4)^4f(4)
‥‥
s(n)^n　　s(n)^nf(1)　　s(n)^nf(2)　　s(n)^nf(3)　　s(n)^nf(4)

s(4)で得られたm'''を代入して　数：s(m''')^m'''ｆ(m''')　　変換：ss(1)^1が求められる

>>378
そうでしたね。すみません。

>>379-380
これならば問題なさそうです。

ほんとうに永い間、辛抱強く教えて頂いてありがとうございました。

ふぃっしゅさんの不滅の功績に改めて敬意‥‥。

＞説明していただければと思います。

簡単なので説明の必要はないでしょう。
分かるまで考えていただければと思います。

「ふぃっしゅが小さく見える展開」は
ふぃっしゅ自身が一番望まない展開
ではないのでしょうか。

>>383
俺には分からん

説明きぼんぬ

>>384
そう思っているあなたはふぃっしゅ氏を
小さく見すぎているのではないでしょうか。

ここまで来ると単なる誹謗中傷。削除依頼のひとつも出してやろうか。

ここまで来るとって…この程度を誹謗中傷と受け取るとは、
これまたびっくりだ。依頼はどうぞご自由に。

よかった！本人の了解もとれたし
どのレス削除しようか？

こいつは自分の説に誰も耳を傾けないので、荒らしになったんだな
でもそれは自業自得じゃん？＿

無礼な方言の数々が自分の首を占めただけ　　ったく進歩がねえなあ（ぷ
どうしてもやりたきゃ他のBBSでやれよ

http://www2.leverage.jp/start/

>>383
ああ‥‥‥説明できないんだね　　自分でも‥‥

ふぃっしゅっしゅさん、これはどうだ。
n!...!(!をn!個並べる、つまり階乗をn!回施す。)をn@で表し、
n@...@(@をn@個並べる)をn#で表し、
n#...#(#をn#個並べる)をn$で表す。
n@=!(n,2),n#=!(n,3),n$=!(n,4)で表し、同様の方法で、
!(n,5),!(n,6),...を定義する。
s0=3$として、iを1以上の整数とするとき、si=!(3,s(i-1))で定義する。
このときs64はグラハム数よりどれ位大きいですか？

>>393
ぱっと見、上に出たs(1)の類似かな。
(sf)(x):=f^{f(x)}(x)とおくと!(n,m)=(s^mf)(n)
そして
s^63f(...(s^2f(sf(3)))...)
を考えている。グラハムよりは大きそうだけど、それほど違わないかも。
上のs(n)も見てね。

今さらグラハム数と比べられても

訂正、もっと大きいね。
s^{s^{s^{sf(3)}f(3)}f(3)}(3)
という辺りか。s(2)とイイ線行きそうな感じ。

>>390
せっかく>>374で耳を傾けてもらっているのに
説明しないのでは話にならん。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

>>397
せっかく考える機会を与えられているのに
考えないのはｳﾞｧｶだな。

ふぃっしゅは、自分では人に考えろというくせに
自分は考えず人に説明させようとするｱﾌｫ

>>400
お前はなんで
すべての女性に嫌われてるの？

質問！
（ふぃっしゅ数)重帰納法ってのがあったとして
ビジービーバーの増大率はどっちが上？

考えろって･･･用語の定義まで考えさせてどうするよ。
ちゅーか、どの分野の用語？

いくらなんでも>>399-400は>>352とは別人だろ。

いくらなんでも>>399-400はやりすぎたと後悔してますか。

いくらなんでも>>399-400まで言われて考えないﾔｼはいないだろ。

■■再度　質問！！！！！！■■

（ふぃっしゅ数)重帰納法ってのがあったとして

ビジービーバー関数と増大率はどっちが上？

ＢＢはいかなる構成的な関数をもしのぐ、という事なので聞きました

http://homepage.mac.com/hitomi18/

>>402 >>407

当然、ビジービーバーのほうが上

理由は、（ふぃっしゅ数)重帰納法も構成的な関数に”すぎない”から

>>409
BB(６)あたりだとまだアッカ−マンの方が強そうだが
二重帰納でもふぃっしゅ数重帰納でも、いずれは関数を重ねていくうちに
その効果が回数の割には薄くなっていき
ＢＢが上回るってこと？
だとするとＢＢはどこまで行っても効果が下がらない（むしろ効果が増大する）
関数ってこと？？

>>410
そうだよ。
大体、多重帰納じゃダメだよ。
帰納的関数で、どんな多重帰納よりも早く増えるものがある。
>>61および>>189をみよ。

>>411
つえェ――――っ！
かっこいい―！

>>61よりＢＢははるかに凄いわけね
すっげ――――――――っ！！！
最高―――！

>>411
＞多重帰納じゃダメだよ
じゃあなんで、ふぃっしゅ数が三重帰納に勝てないの？

>>61を具体的な数値で立証してみよ
具体的な数値による証明なしに巨大数と言い張っても
誰も耳を貸さないだろう

>>414
＞じゃあなんで、ふぃっしゅ数が三重帰納に勝てないの？

なんで「じゃあ？」なの？
ふぃっしゅ数は二重帰納だから三重帰納に勝てないってだけでしょ。
そのことと、「多重帰納より強い帰納的関数がある」というのと
無関係じゃん。

＞具体的な数値で立証してみよ

数値とかいってる時点で完全に誤解してるのがバレバレ。
君みたいな人が、ｘ＾２に適当なｎを入れて計算した値より
ｎのところで上回る一次関数ｃｘが取れるから、一次関数で
万事ＯＫとかおｳﾞｧｶなことをいうんだね。

ああ、それからＢＢは計算不能だよ。
つまり小さい状態数ｎについても、
「これが停止するオートマトンで最大のステップ数をもつものだ」
とは示せるわけではないよ。

たしか、ＢＢの計算不能性はベリーのパラドックスと
同様のしかけで証明するんじゃなかったかな。
BoolosとJeffreyの本に証明が載ってる筈。

グラハム数がよく理解できないのですが、
↑の計算方法を教えていただけ無いでしょうか？
もしくは、それについて詳しく書かれたサイトを教えていただけ無いでしょうか
工房ですいませんが、どうかよろしくお願いします。

>>417
過去ロ(ry

>>415
ああ、自分で立証できないのね
じゃあ用は無い二度と来るな
というか氏んでいいぞ

Graham数って確かRamseyの定理と関係あるって話

ちなみにRamseyの定理から証明可能な帰納的関数を
越える関数も導けるらしいが、よう知らん。
（Paris=Harringtonが示した非決定性命題）

>>415
ふぃっしゅ関数＜多重帰納関数＜それより大きい帰納的関数
だったら、
ふぃっしゅ関数＜それより大きい帰納的関数　を証明しろや

少なくともふぃっしゅ氏はﾊﾞｰﾄﾞのチェーン回転との比較証明は
自力でやったぞ（ｗ

>>419
BBの計算不能性の証明を読め。
それなしにカキコしても無駄。
なにも知らねえガキが
遊んでんじゃねえよ。

>>421

貴様やれや。

>>422
やだ！
ていうか頃すぞてめえ

>>424
自分が言ったことは、自分で責任持って証明しろよ（ぷ

間違えた>>423の馬鹿だった

>>415に聞くとすべて見当違いの事言ってるから

聞かない方がいいよ

あの馬鹿、人望無さ杉だから
なんか言っても誰にも聞いてもらえないね　ああ愉快

そんなことゆわれても
「人望で数学やろうなんて終わってるな（ｗ」
とかゆって煽り返すしか能がないのです勘弁してあげてくだちい

帰納的関数全体は加算個しかないので、それをf1,f2,f3,...とする。
F(n):=max{f1(n),f2(n),...,fn(n)}とおくと、
Fはあらゆる帰納的関数よりも増大度が大きい。

基本となるアイデアはこの程度の三行半。

また、ひとりごと言ってやがる

人望も無いが、ブ男でもある

通りすがりなんだが･･･

関数の実体が枚挙に依存するので、枚挙の仕方もあわせて特定しないと
値が求まらないな。どうにか特定する方法がある、ってのは明らかだけど、
ここはほら、凄い増大度関数スレじゃなくて巨大数スレだし。枚挙の方法の
特定も含めて巨大数探索の一環なのではあるまいか。

そりゃまあもちろん
　f1＝ふぃっしゅ関数、あとは任意
ってしとけば、F(n)は常にふぃっしゅ関数の値以上になる、ってのは言える
わけだが、それってなんかズルというか。

>>434は>>430へのレスということで。
まあ通りすがりの人に「このスレは・・・」とか言うのも無粋だったか。

>>434
その通り
あんな程度なら誰でも考えるよ

>>434
おお、あんたはちゃんと知ってそうだな

ね、教えてください、「枚挙」って何だ！？

数え上げ

>>434
>>430はビジービーバーのタネを書いただけ。
帰納的だの言い出すと、逆に目的が見えなくなるスレだね。

そいえば全然関係ないんだけどさ、
３↑↑↑↑３＝３↑↑↑（３↑↑↑３）ってこと？

>>439
ありがとうごぜ―ますだ。

>>439

確かに。ビジービーバーのような計算不可能関数と
帰納的定義とごっちゃに語るとわけわからなくなる。

とりあえず、帰納的関数の中で考えるということについては
おおかたの意見は一致してたのでないかい？そうでなきゃ、
バージョン４が最強っつうことになるわけだし。

いかなる多重帰納よりも大きい帰納関数がある、という
ことはまた別のことで、ｎ重帰納の定義のしかたさえ
求まれば、ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
大きい帰納関数になりますわなわな。

＞ｘ重帰納を作れば

何でも「ｘ」と置けばいいと考えてるところが
何も理解してない小僧だな。

定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて
変数化できるわけないだろ。

>>184のA_nを使って
f(x):=A_x(x,x,...,x)
とおけば良い。

>>445

君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
いつでもそううまくできるとは限らないってことが、何も考えない
素人には分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

もう少し良く考えてご覧。
A_nのnには意味が無い事と、>>446が的外れな事が分かるよね。
何も考えない 素人には分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

初心者ですいませんが、私はどうも巨大数が理解できません。
何故なら、どんな数字でもそれの2乗とかやれば簡単にもっと大きい数字にできるでは無いですか。
例えば、グラハム数がありますよね？だったらグラハム数のグラハム数乗ってやれば
簡単に大きな数字にできるのになぜこのようなスレが進展してるんですか？
私は根本的に間違ってるのですか？

そういう方法以外も考えているから進展しているんですよ。
あと煽りとか。

よく考えてごらん

A_nのnには意味がある事と、>>447は明後日な事が分かるよね。
君は分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

>>448
このｽﾚｯﾄﾞの名前である「巨大数」は、だいぶ以前の
ふぃっしゅ数が出てきた頃から、実態に合わなく
なってます。

ふぃっしゅ数は、実際には「関数」と考えるべきで
ここで競われているのは関数の増大度と考えるべき
です。これを理解できない人が、「巨大数」に話を
もどそうもどそうとしてますが、それだと、「＋１」
とかいう陳腐な方法を否定する何の論拠もなくなって
スレッドが一気に無意味化することも、理解できない
ようです。そもそもその程度の理解度のｱﾌｫがなにが
楽しいんだか分からないが粘着して荒らすというのが
このスレの一番の問題で、そのうち、ＩＰを公開して
晒し者にするしかないでしょう。ｱﾌｫは自覚なしには
直りませんから。

>>450
nに意味がないとは誰も言ってないと思う。

>>451
関数は手段で巨大数が目的だと思うのだが。
そして、さらに厳密には「記数法」という理論で
「＋１」の意味づけを考えようとした考察もある。

巨大数に話を戻しても、たとえば「二重帰納法で
生成された数」に「＋１」をしたような数は、
「三重帰納法で生成された数」にはかなわないから、
巨大数としての意味があるのであって、このスレの
趣旨はあくまでも巨大数にあります。

逆に、巨大数に興味がなければこのスレにいる
必要はないわけです。

あ、>>447で言ってたか、すまん
なんだか「意味」の意味が食い違っているような？？？

まあ、要はf(x):=A_x(x,x,...,x) の意味は
f(1):=A_1(1)
f(2):=A_2(2,2)
f(3):=A_3(3,3,3)
といった関数を生成するという意味だと思うのだが、
A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、なぜ
こういった関数が定義されないと主張する人がいるのか、
理解に苦しむ。

>>452
＞たとえば「二重帰納法で生成された数」に「＋１」をしたような数は、
＞「三重帰納法で生成された数」にはかなわないから

それこそ、どういう意味で書いてるのかな？

どんな数も「＋１」の反復として実現できる、というのが
数学的帰納法だよね。
その意味でいえば、君のいってることはナンセンス。

つまり、君のいうことが意味をもつためにはやはり
関数の増大度を競うと考えるべきなんだ。

>>454
＞要はf(x):=A_x(x,x,...,x) の意味は
＞f(1):=A_1(1)
＞f(2):=A_2(2,2)
＞f(3):=A_3(3,3,3)
＞といった関数を生成するという意味だと思うのだが

で、その場合、A_1、A_2、A_3をただ並べるしか、
表現のしようがないなら、それは永遠に定義として
「完結」しないよね。

＞A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、なぜ
＞こういった関数が定義されないと主張する人がいるのか、
＞理解に苦しむ。

A_nが”それぞれ”定義されるだけで、なぜ
統一的なA_nの定義も与えられると主張できるのか
理解できない。間違っているからだ。
単に考えていないのだろう。
考えない人間は間違っていることが分からない。
間違っていると気づきたくないから考えないのだろう。
これが最も反知性的な野蛮な行為であることはいうまでもない。

> その意味でいえば、君のいってることはナンセンス。

無理矢理その意味でいうからナンセンスなんでしょ

>>456
まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。
でもこれは君には無理だろうから、一つヒントをあげよう。
「チェーンや矢印回転は *君にとって* 良くて、>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか」
を説明してごらん。がんばるんだよ。そうでないと、みんなから

「単に考えていないのだろう。
考えない人間は間違っていることが分からない。
間違っていると気づきたくないから考えないのだろう。
これが最も反知性的な野蛮な行為であることはいうまでもない。」

と思われるだけだからね（笑

>>444>>446>>456みたいに浅はかな反応ばかりしてるから、次から次へとボロが出る
山口人生や松本真吾みたいなヤツだな（爆笑

今井レベルだけどな。

>>458
>まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。

またかよ。他に突っ込み方知らんのか？（笑）

いっとくけど、君が考える定義でも、
君のいってることはやっぱりナンセンスだよ。

＞>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか
*君にとって*　は良いわけか。
その理由を説明してごらん。
そうすれば自分の間違いに気づけるから。

君は考えていないから、>>454が(･∀･)ｲｲ!と思えるんだよ。
でもそれって今井以下だけどな（笑

458は、数学的帰納法を使う意味とか理解できないだろ。

∀nP(n)を示すのにP(1),P(2),P(3),…と次々試すだろ（笑

そこまでｳﾞｧｶじゃないって？
だったらなんで>>454みたいなｳﾞｧｶなこというんだ？

つまり任意のnに対してA_nを定義する”仕掛”を
示さなくちゃ無意味だってことさ。
いっとくけど、A_nのそれぞれに定義があるだけじゃ
ダメなんだよ。nを与えることで、A_nの定義自体を
導けなくちゃダメなの。分かる？
分かったら黙りな。黙れないならただの厨だな（笑

>>443の浅はかな発言
＞ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
＞大きい帰納関数になりますわなわな。

>>444のツッコミ
＞定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて変数化できるわけないだろ。

>>445の浅はかな反論
＞f(x):=A_x(x,x,...,x)とおけば良い。

>>446のツッコミ
＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

>>447の無内容な言い逃れ
＞A_nのnには意味が無い事と、>>446が的外れな事が分かるよね。

あのさあ、肝心なところで言語障害になるのは分かってない証拠だよ。
>>446を受けて、「このnは>>184にあるように変数化できる」とか
いっときゃいいじゃん。それができない奴はｳﾞｧｶ。

>>454の浅はかな発言
＞A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、
＞なぜこういった関数が定義されないと
＞主張する人がいるのか、理解に苦しむ。

>>456のツッコミ
＞A_nが”それぞれ”定義されるだけで、
＞なぜ統一的なA_nの定義も与えられると
＞主張できるのか理解できない。

>>458の見当違いな逃げ口上
＞まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。

あのさあ、肝心なところで、見当違いなこというのは分かってない証拠だよ。
>>456を受けて、「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」とか
いっときゃいいじゃん。それができない奴はｱﾌｫ

>>443>>445>>454みたいに
浅はかな発言ばかりしてるから、
次から次へと突っ込まれて
ボロが出るんだよ。

おっと、ﾑｶﾂｸのは勝手だけど
ﾏﾂｼﾝ呼ばわりはやめとくれ。
あんたが、ｴﾑｼﾗじゃないならね（笑

>>459は
> 山口人生や松本真吾みたいなヤツだな（爆笑
としか言ってないのに、なんで「山口人生や松本真吾呼ばわりはやめとくれ」
じゃなくてとりわけ「ﾏﾂｼﾝ呼ばわりはやめとくれ」になるんですか？
またかまかけにひっかかってるんですか？また図星なんですか？

ん？>>459にもﾔﾏｼﾞﾝの名前はあったけど
ﾔﾏｼﾞﾝだったら、例えば
「４６６の猿、抵抗はそれまでか？」
とかいうｽﾀｲﾙがあるんで、なんか
的外れだなって感じはしたよ。

"ﾏﾂｼﾝ"の名は、最近では
「厨房のいいかげんな発言の揚げ足をとる奴」
の意味に用いられてるね。
で、これに対して
「いいかげんな発言ばかりする厨房」
は当然"ｴﾑｼﾗ"ってわけ。

＞"ﾏﾂｼﾝ"の名は、最近では
＞「厨房のいいかげんな発言の揚げ足をとる奴」
＞の意味に用いられてるね。

そう思ってるのは本人だけだからなあ。やっぱり図星だったか。

ここまで簡単にひっかかるのも珍しい（爆笑>

>443の発言
＞ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
＞大きい帰納関数になりますわなわな。

>>444の浅はかな発言
＞定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて変数化できるわけないだろ。

>>445のツッコミ
＞f(x):=A_x(x,x,...,x)とおけば良い。

ここで止めとけば良いのに、

>>446の見当違いな逃げ口上
＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

とか無理するから「恥の上塗り」になる（爆笑

>あのさあ、肝心なところで、見当違いなこというのは分かってない証拠だよ。
>>>456を受けて、「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」とか
>いっときゃいいじゃん。それができない奴はｱﾌｫ

君でも「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」位は理解できるんだね。
君のこの発言↓は無駄骨だったね（笑

>つまり任意のnに対してA_nを定義する”仕掛”を
>示さなくちゃ無意味だってことさ。

もう少しがんばれば、肝心の
「チェーンや矢印回転は *君にとって* 良くて、>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか」
が説明できるかも知れないね。がんばるんだよ。

ワスは・・・全般的に・・・読みが浅かったようだ。

　　 ||
　∧||∧
（ / ⌒ヽ
　| | 　　|　
　∪ / ﾉ　　　
　 | ｜|　
　 ∪∪
　　　；
　-━━-

まだ二重帰納と三重帰納についても十分に分かったとは
いえないところで気がはやいのだけれど、ゲームのルールは
帰納的関数であるとすると、A_x(x,x,...x)は多重帰納以上の
帰納関数ということになるから、次はさらにこれよりも大きな
帰納関数を作る方法はどうなるのか、ということになるね。

>>184においてA_1(x_1)=f(x)としたとき
g(x):=A_x(x,x,...x)
とすれば、f(x)からg(x)への写像がS変換になるわけで、
これがふぃっしゅ数方式の拡張、すなわち高階の拡張、
ということになるのだと思う。これが、いわゆる名無しの
ような物体氏がめざしていたふぃっしゅ数の新定義なの
ではないだろうか（物体氏がまだ見ていたら、そろそろ
出番かも？）。

この場合もやはりそういった拡張は本質的でないのだろうか？
つまり、それよりも本質的な拡張方法があるのだろうか？

>>455
だから記数法の議論を読めっつうの

「＋１を重ねればやがてはある数を追いつく」という
ことが問題なのではなくて、それを実際に記述できるか
どうかが問題。このときに、厳密に文字数は定めない
までも、たとえば定義の文字数がグラハム数もあるような
定義は記述できないわけだから、ある現実的な文字数で
記述する数の大きさを競っている、ということになる。
もっとも、そういった記数法のシステムを競っている、
という意味で解釈すれば、増大度の大きい関数を作ることは
その目的と合致している。

話を戻すとか戻さないという以前に、ここは巨大数の
スレなのであって、増大度の大きい関数を作っているのも、
それによって巨大数ができるから。ある目的を達成する
ための手段が目的となる、ということは意味のあること。

>>469
＞＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。
＞とか無理するから「恥の上塗り」になる（爆笑

恥ずかしいのは、自分でも変数だと気づけなかった469（大爆笑

>>470
＞君でも「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」位は理解できるんだね。

470君には理解できてなかったんだね（嘲笑

＞君のこの発言↓は無駄骨だったね（笑

君は自分では何もできないんだね。
もう少しどころではなく、全力でがんばったほうがいいね。
ま、君には無理か。ｳﾞｧｶだから。

>>446にも
＞まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
とあるよね。つまり>>184のままではまだ十分ではないんだ。
ま、でもｳﾞｧｶには分からないか。読めてないものな。

>>474
そこまでいって何で本当の目的が
「関数の増大度」であることに
気づけないかな？

固定観念は精神障害だよ。
つまりね「題名に巨大数とあるから」
というだけでそういいはる君は
精神を病んでしまってるんだ。

>>477
で？何でオマエは童貞なわけ？

>>478
悪いこといわないから、ｾｸｰｽでもしてなさい（ｗ

別に言われなくてもするけど
何でオマエが入って来ると女が嘲笑しながら逃げるわけ？

>>475-476
>＞まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
>とあるよね。つまり>>184のままではまだ十分ではないんだ。

折角「申し開き」の機会が与えられてるんだから、十分でない理由を詳しく語ろうね。
このままだと皆から
「ｳﾞｧｶだから十分だと思えないんだな」
と思われるだけだよ（爆笑

>>477は、誰が誰やら分からないんだろうな。

ふぃっしゅ氏が来なくなると
一気にどうしようもないスレになることがよくわかった

〜(´ー｀)〜

１再掲

> 「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
> 私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
> 数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
> 特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
>
> という類の投稿は放置推奨。

Re:483
私が来ても大して改善されぬわけだ。

無計画に巨大数を作ってみよう。
ak[a,b,0]=a+b,ak[a,b,1]=a*b,ak[a,b,2]=a^b等、
akはアッカーマン関数とする。
ak[3,3,6]をt(0,0,0)としよう。
非負整数nに対して、t(0,0,n+1)=ak[3,3,t(0,0,n)]とする。
また、非負整数m,nに対して、t(0,m+1,n)=t(0,m,t(0,0,n))とする。
さらに、非負整数l,m,nに対して、t(l+1,m,n)=t(l,t(0,m,n),n)とする。
u(0)=t(64,64,64)として、非負整数nに対してu(n+1)=t(u(n),u(n),u(n))とするとき、
u(63)はどのくらい大きいか？

巨大数の大きさを判定できる方求む。

mathmaniaがんがれ

>>481
＞折角「申し開き」の機会が与えられてるんだから、
＞十分でない理由を詳しく語ろうね。

折角「反省」の機会が与えられてるんだから
十分でない理由をじっくり考えようね。

このままだと皆から
「ｳﾞｧｶだから分からないんだな」
と思われるだけだよ（爆笑

以上、トンデモ助平町人「松本真吾とかいうの」の独り言ですた（爆笑

以上、トンデモ百姓エムシラのストーキング発言ですた（爆笑

「松本真吾とかいうの」は巨大数部門に限っては
素人の「ふぃっしゅっしゅ」より数学の実力下だね
だって、何も説明・証明できないんだもん（藁

ふぃっしゅ数を超える数・関数の定義もできなかったし
それに巨大数の把握のセンスもないしなあ

仲良いな（ｗ

491 １３２人目の素数さん 03/04/26 20:37
「松本真吾とかいうの」は巨大数部門に限っては
素人の「ふぃっしゅっしゅ」より数学の実力下だね
だって、何も説明・証明できないんだもん（藁

ふぃっしゅ数を超える数・関数の定義もできなかったし
それに巨大数の把握のセンスもないしなあ

ふぃっしゅ数の矛盾を発見しちまった・・・

>>494
言わないほうがいいぞ
恥かくだけ（ｗ

>>491
やれやれ、一介の鉄道総研トンデモ社員に何を期待しているのやら（爆笑

鉄道総研ってひまなの?

ひまですよ。
社員の書き込み時間を見てみなさいな。
TeXについて何も知らなくても「研究員」やってられるみたいだし。

>>486
↑3(3,3,3)には、とてもかなわないくらい。

↑3(3,3,3)
これがふぃっしゅ数なんですか？
ふぃっしゅ数がどういうものか見たこと無いんですけど

>>491は数学のセンスも社会人としてのモラルも欠如してるな。
名指しでの誹謗は犯罪ですよ。

>>501
それなら>>493も同じだね。コピペしてるし

>>496
やれやれ、人名の次は会社名か。

>>497ってヒマなの？

ヒマなんだろ。夜中に起きてるくらいだから（笑
それにウムラウトでTeXとかいってるくせに
"の打ち方も知らないのはやっぱ厨房だからでしょ。

>>505

そうだね。「ｱﾗｼがｷﾀ!」と騒ぐのは、知的能力がないので
なにもまともなｶｷｺが出来ない厨房。そのくせ自尊心とか
自己顕示欲とか強いので、すぐに名誉毀損の犯罪を犯す。
社会のゴミだね。

>>506

うんうん。知性があれば、無意味なｶｷｺには反応しないし
さらに、自分から意味のあるｶｷｺをすることで、スレッド
を活性化させることもできる。そうできない人間が、
無意味なｶｷｺに無意味な罵倒で対抗して活性化させた
つもりになるんだろうね。

>>507

で、意味あるｶｷｺが絶えたこのｽﾚはもう終わりかな？

>>508

終わったね。結局ｎ重帰納法を知ってる人が誰も現れなかった。
ｎ重帰納法の候補はいくつか出たけど、それが本当にそうなって
いるか誰も確かめられなかった。それじゃ話は進まないでしょ。

>>509

その件に関していうと、ｎ重帰納法に関する成果が
Rosa Peterの古い文献しかなくて、ﾈｯﾄ上には
見つからなかったのは致命的だったね。

ひとりで、会話してんじゃねえよ（ｗ

＞そうできない人間が、
＞無意味なｶｷｺに無意味な罵倒で対抗して活性化させた
＞つもりになるんだろうね。

そりゃオマエだ（稿

御意（−−）

おまいら皆、天才。

>>505-510
天罰滅と情報総帥の漫才の真似か？

この人が山口人生級の既知害なのはもう十分わかりましたから
煽り合いの続きは当該スレでやってください

【徹底】ネット数学者総合スレV''【検証】
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049552733/l50

前々スレのふぃっしゅさんのメールに対しての
ロバート氏の予想が正しければ
ふぃっしゅ数VER３はBB(BB(BB(3)))で超えてしまうわけですが
Ver５では、どれくらいになるんでしょう？

ビジービーバー関数の増大度は数値が増える毎に亜jbvckjhfんｈｆヴぁ

ぺろーんヽ(´ー｀)ノ

ぺーんヽ(｀★´)ノ

３↑↑↑↑３‥‥。

ｎ重帰納的関数の定義おしえれ。
検索したけど見つからなかった。

原始帰納的関数は理解した。

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

３↑３っていくつになるの？　

3↑3=3^3=27　です。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

捕手

じゃあ3↑↑3は？

3↑↑3＝3↑3↑3＝3^27です。

ナレーション：田口トモロヲ

「熱狂から数ヶ月が過ぎた。プロジェクトメンバーは各自の職場・学校へと生活の場を戻していった
　
　プロジェクロリーダーのもやしっ子さん、今でも職場のふとした時間にメモ用紙に
　数式を書きとめる事がある、今でも何かを発見する瞬間がとても好きだという。
　
　豊富な知識でﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄを勇気付け続けた名無しのような物体さん、巨大数を追い求める
　気持ちが、その後も脈々と流れている。今は日々新しい仕事に忙しい日々を送っている

　時には辛口なコメントでﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄを推進し続けた有流才蔵さん、今も数学板で叱咤激励
　の日々を送っている

　質問や議論を繰り返したプロジェクトメンバーの多くの名無しさん達、職場や学校で
　ﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄの日々を思い出しながら、時には数学の素晴らしさについて語る人も多い。
　
　巨大数サイトを作った名無しさん、もうすでにカウンターは1000を超えようとしている
　
　終盤に登場しより優れたなｱﾌﾟﾛｰﾁを繰り返したｉｂさん、そしてふぃっしゅ数を作った
　ふぃっしゅしゅさん、今でも巨大数スレの1レス１レスを思い浮かべ
　いつかまた‥‥と少年のように瞳を輝かせている。
　
　多くの人々の参加と前人未到の領域を進み続けた　巨大数プロジェクト
　そのすべての記録と豊かな数学への想いは今でも巨大数研究室で脈々と
　受け継がれている」

中島みゆき　「ヘッドライト・テールライト」

これで音だけでも流して読んでください
http://monaflash.s3.xrea.com/img/flash058.swf

１１５のスネーク数って、どうやって求めるの？

↑についてですが、

3↑3 = 3^3 = 9
3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3^3^3 = 3^27 = 7625597484987
3↑↑↑3 = 3↑3↑3↑3 = 3^3^3^3 = 27^27

これであってますか？

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3^27) = 3↑3↑・・・(3^27個)・・・↑3↑3 = (以下略)

です。

ｽﾏｿ、
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3
これがなんでだかﾜｶﾗﾝです。
どこかに↑について書かれたサイトないですか？
巨大数研究室には初歩的すぎて書かれてない・・・
ｳﾜｱｧｧｧｧﾝ!

3と3の間の↑を一個減らすと、
残った↑の数の隙間に右辺の数(この場合は3）だけ
左辺の数(これも3）がはさまるのよ
3↑↑↑3＝3↑↑3↑↑3

こうした方がわかるかな
3↑↑3＝3↑3↑3
3↑↑4＝3↑3↑3↑3
3↑↑5＝3↑3↑3↑3↑3
それとさあ
3＾3＾3＾3がなんで27＾27になるのよ？
指数が積み重なった場合は　右側から計算するんだよ
だから
　3＾3＾3＾3
＝3＾3＾27
＝3＾7625597484987

巨大数研究室の中の過去スレの１番目「史上最大の数　グラハム数」あたりを
読めばよくわかるよ

>>535
展開する場合、左側の数を右側の数だけ用意してやって、
そこに一個少ない連続する矢印をサンドしてやります。
たとえば、

4↑↑↑↑5＝4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4

3↑↑8＝3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3

2↑↑↑2＝2↑↑2＝2↑2＝4
(一般に2↑…↑2＝4)

ありゃ、出遅れた。

　3↑↑↑3
= 3↑↑3↑↑3↑↑3
= 3↑↑3↑↑(3↑3↑3)
= 3↑↑3↑↑(7625597484987)
= 3↑↑(　〜

こんなんで合ってますか？
ああ、もうグラハム数すげぇ

3↑↑↑3
= 3↑↑3↑↑3
ですよ。3↑↑3↑↑3↑↑3になるのは3↑↑↑4です。

やっと理解できました。
本当にすいませんでした。

お礼にお茶でもどうぞ。
.　　　　　　　　　　　　　　　 ξ
　　　　　　　　　　　　　　⊃旦

　　　　　　旦
ﾜｰヽ(´ー｀)ノ

http://science.2ch.net/math/kako/1024/10243/1024311743.html
と
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln01.html
読みました。

グラハム数、というかタワーの凄さに感動。
あとはアッカーマン関数がどうのってのがありましたが、
まだ理解してないんですけど想像するだけでﾜｸﾜｸです。

いやいや、凄すぎ。

こっからが大変なのよ、理解するのが

グラハム数は、ほんの入り口だったのがわかってくるよ

タワー関数の増大度に感動しますた。
↑一つ　3
↑二つ　9
↑三つ　7625597484987
これ以上は書けない

そういえば、グラハム数って
3↑↑↑↑3
これですか？それともこれがグラハム数への一歩なんですか？

>>545
それ、ちがうよ

↑二つで３↑↑３だから
＝３↑３↑３＝３↑２７＝7625597484987でしょ

３↑↑↑↑３は６３段階ステップの出発点
その３↑↑↑↑３で表される数だけ３と３の間に↑が挟まった数
その数だけ、↑が挟まった数‥‥‥‥
で63段階目がグラハム数

でも、こんなん程度の数で騒いでたら、
バード数やふぃっしゅ数は、もう無限大に感じるくらいトンでもないぞ

>>545
例えばグラハム数よりも、3→→4という数の方が圧倒的に
でかかったりします。アッカーマンは、それ自体は大して
強くはないですが、入れ子にすることでいい味がでます。
僕も最初はタワーの定義すら知らないところからやりました。
よかったらテキトーに巨大数と戯れてみてください。

>>546
あ、すいません。間違えてました。
>でも、こんなん程度の数で騒いでたら、
数の大きさが全く想像できないのですが。
で、フィッシュ数はグラハム数が0に等しいくらい大きいんですよね？

>>547
ｽｹﾞｰ
タワーだとか、チェーンだとか、アッカーマンだとか、ビジービーバーだとか凄すぎです。
やっと今タワーが理解できた程度です。

意外とこの人が↑
将来最大の数、作ったりして

3↑↑↑↑3
これがグラハム数の一段階目ですよね？
これをAとすると
2段階目は
3↑〜計A個のタワー〜↑ 3
これをBとすると
3段階目は
3↑〜計B個のタワー〜↑3
これが64回繰り返す
これで合ってますか？

それと。グラハム数はこれっ！ってのであらわせないんですか？
いつもいつも3↑↑↑↑3が一歩目だ、みたいな感じで
ちゃんとしたグラハム数を見たことが無いんですけど。

>>550
それで合ってますよ。
グラハム数は、過去ログにあるような挟み撃ちによる近似で
3→3→64→2 ＜ グラハム数 ＜ 3→3→65→2　としたり、
または、f(x)=3→3→xとしたときに
グラハム数=f^64(4)として表しています。
いずれにせよ、タワーではなくチェーンですね。

>>もやしっ子さん
いつも丁寧にありがとさんです。
よろしかったらこれﾄﾞｿﾞｰ
(･∀･)つ�I

はあ〜

誰か4状態のビジービーバーで1を11個かく式がわかる人
いませんか？

　3↑↑↑3
=3↑↑3↑↑3
=3↑↑(3↑3↑3)
=3↑↑(3^27)

これ以上簡単に分解するにはどうしたらいいんでしょうか？
というかこれであってますか？

引越してネット環境が整ってないです。うひ

>>554
BBは暗いので分かりません。ｽﾏｿ

>>555
合ってます。さらに分解するなら
3↑3↑…(7625597484987個)…↑3↑3　みたいな。

�@.s変換の変化と回数を対角化した関数
　　　　　　　1　　　　　2　　　　　3　‥　　　n　　
s(1)^1　　s(1)^1　　s(1)^2　　s(1)^3　　　s(1)^n　　
s(2)^2　　s(2)^1　　s(2)^2　　s(2)^3　　　s(2)^n
s(3)^3　　s(3)^1　　s(3)^2　　s(3)^3　　　s(3)^n　　
‥‥
s(n)^n　　s(n)^1　　s(n)^2　　s(n)^3　　　s(n)^n
でss変換に移行するという段階を関数化して

�A.ss…変換のsの個数の増加と変換回数を対角化した関数

　　　　　　　　　　　　1　　　　 　2　　　　　3　 ‥　　　n　　
s(1)^1　　　　　　　s(1)^1　　 s(1)^2　　 s(1)^3　　 　 　s(1)^n　　
ss(2)^2　　 　　　　ss(2)^1　　 ss(2)^2　　ss(2)^3　　　 　 ss(2)^n
sss(3)^3　　　　　　sss(3)^1　　sss(3)^2　 sss(3)^3　　　 　sss(3)^n　　
‥‥
s…n個…s(n)^n　　　s…s(n)^1　 s…s(n)^2　s…s(n)^3　　　 s…s(n)^n

でsの字を使用した関数からs’に格上げして
�B　s’s’…変換の　’の個数の増加と変換回数を対角化した関数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　 　2　　　3 ‥　　n　　
s’…n個…s’(1)^1　　　　　　
s”…n個…s”(2)^2　　 　　　　　　　　　　
‥‥
s”(n個)”…n個…s”(n個)”(n)^n　　　

というように、�@�A�B‥‥という関数の列を作り

　 　　　　　1　　　　2 　 　3　 ‥　　　n　　
�@　　　　　^1　　 ^2　 ^3　　 　 ^n　　
�A　 　　 ^1　 　 ^2　 　^3　　 　 ^n
�B　　　 ^1　　 ^2　 ^3　 ^n　　
‥‥
ｎ ^1　　 ^2　 ^3　 ^n　　
　
と対角化し、さらにこの上の関数列を作っていき、それら全域をまた対角化する
というように対角化の次元をどんどん引き揚げていくこと自体を関数化していく
みたいなイメージなんでしょうか？　ヴァージョン５は

失礼、字がずれまくりました

　　　１　　　２　　　３　　　・・　　　ｎ　　
�@　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ
�A　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ
�B　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ　　
‥‥
ｎ　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ　　
　

あ、557は違うな
�Bは、�@から�Aへの関数の次元アップの流れそのものを関数列にして対角化したものだから
�Aを上記の�Bに次元アップするステップの段階を関数化しなければいけないわけか‥‥

つまり上記の�Aから上記の�Bへのｽﾃｯﾌﾟｱｯﾌﾟをさらに、上記の�B⇒次の段階へ‥‥
と、同じ価値のステップを踏んで、どんどん段階を重ねていき、
その過程を関数化したものが　真の�Bになるわけかな

ところでタワーの定義の記述が相変わらず間違ってるようなので
修正キボン＞もやしっ子さん
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html

>>561
それは他のサイトからの引用なので巨大数研究室では直せないと思うよ

それと3↑↑↑↑3をグラハム数としてるのは間違いだが
他の部分はｱｯｶｰﾏﾝ式に表してるので、これでいいんじゃない

【１】：（１０の１０乗）・・・1'
【２】：（1'の1'乗）・・・2'
　・
　・
　・
　↓
　・
　・
　・
　→【1'】・・・【2'】・・・

>>564
何がしたいのかよくわからんが
>>557-560あたりのことを
ものすごく小さい数に置き換えて説明したいのだろうか？

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

再度Ver4のイメージについて、訂正しまとめてみました
�@.s変換の変化と回数を対角化した関数
　　　　　　　1　　　　　2　　　　　3　‥　　　n　　
s(1)^1　　s(1)^1　　s(1)^2　　s(1)^3　　　s(1)^n　　
s(2)^2　　s(2)^1　　s(2)^2　　s(2)^3　　　s(2)^n
s(3)^3　　s(3)^1　　s(3)^2　　s(3)^3　　　s(3)^n　　
‥‥
s(n)^n　　s(n)^1　　s(n)^2　　s(n)^3　　　s(n)^n
s(n)のnは旧S変換のSの個数だから、s(n)変換はSS…n回…SS変換と言える
そこで、次のss変換に行く前に、S変換を1sと表示する。SSは2s　SSSは3s
さらに次元が上がるss変換の表示は、nSのnを増やすので、さらに数字表記
を左辺に増やして　従来のss(1)を1.1s　ss(n)を2.1s　sss(n)を3.1sと表記する
すると以下のような関数ができる
1.1s　→　1.ns　→　2.1s(旧ss(1)）　　　　　　　 　 　　　
2.1s　→　2.ns　→　3.1s(旧sss(1)）
3.1s　→　3.ns　→　4.1s(旧ssss(1)）
‥‥‥
n.1s　→　n.ns　→　1.1.1s(旧sss…(n回)…sss(1))
これは、�Aでは無く�@から�Aの段階へ進む過程を示したものに過ぎない
�@から上記の次元アップの一段階目への過程を関数化したものが�Aとなる
したがって�Aは
1.1s　→　n.n　→　1.1.1s
1.1.1s　→　n.n.n　→　1.1.1.1s
1.1.1.1s　→　n.n.n.n　→　1.1.1.1.1s
‥‥
1.…(n回)….1.1s　→　n.…(n回)…n.n　→　1..1ｓ となる。

さらに�Bは、
1.1s　→　ｎ…(n回)…n.n　→　1..1s
1..1s　→　ｎ..ｎ..ｎ…(n回)…n..n　→　1...1s
1...1s　→　ｎ...ｎ...ｎ…(n回)…n...n　→　1....1s
‥‥‥
1...(n回)..1s　→　n...(n回)...n...(n回)...n…(n回)…n...(n回)...n...(n回)...n

という感じになる。�C以降は記号表記が困難なため割愛
その�@→�A→�B→�C・・・・という次元のステップアップを関数化したものを【Ｍ1】変換と
呼び　

その【Ｍ1】を上記の関数の流れ�@→�A→�B→�C・・・・に乗せたものが【Ｍ2】
さらに【Ｍ3】は【Ｍ1】→【Ｍ2】の拡張を関数化したもの
と進めていく。【Ｍｎ-1】の時の値が【Ｍｎ】のｎになる。

こんなイメージでしょうか？　

>>567の一行目　訂正
Ver4じゃなくてVer5でした。

巨大数研究室の資料を整理しないか
とりあえず、巨大数のところで「説明」となっている
ところを埋めていったらいいと思うんだけど

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/number.html

ここね

＞巨大数研究室の資料を整理しないか

整理したいならまず貴様がやれ

>>571
お前がやらないなら糞レスつけるな

ごめーんね。
まだネット環境が整ってないのです。もすこしお待ちを。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

捕手

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

保守ついでにさっき思ったこと

バード数って卑怯じゃないか？
グラハム数をGとするなら、ってあるけどそれが許されるなら
G↑↑〜計G個のタワー〜↑↑G
とか。さらにこれを(G_1)として、
(G_1)↑↑〜計(G_1)個のタワー〜↑↑(G_1)
これを(G_2)として〜・・・・ってやればふぃっしゅ数を超えちゃうんじゃないの？

と、素人ながら言ってみるﾃｽﾂ
ついでにage

>>577
保守乙ｶﾚ

でも、それだとチェーンや矢印一回転の方がぜんぜん効果が高いです

そして、その程度ではふぃっしゅ数のVer1も抜けないです
Ｓ変換1回の効果で軽く吸収してしまうでしょう

>>578
Σ(ﾟДﾟ)ｽﾞｶﾞｰﾝ

ふぃっしゅ数って凄い・・・
やっぱ素人には無理だわ。

いや〜、凄い。
漏れ的なイメージは　∞<グラハム数　こんなイメージw

まあグラハム数以上になるともうどれも想像つかないですね

ちなみにVer1で使われるＳ変換のｇ函数なるものを見ると

1回目のＳ変換でak(3.3)＝61　
次からgという、ふぃっしゅ数特有の函数が出てきて、それに61を代入
2回目のＳ変換でg(61)となるわけでこれでもうグラハム数を越えている
つまりg(61)＞＞＞＞＞＞　〜　＞＞＞＞＞＞＞＞グラハム数

3回目のＳ変換ではgg函数なるものを使い、ﾜﾝﾗﾝｸｱｯﾌﾟするわけだが
gg(g(61))はgg函数に上のg(61)という巨大数を代入したもの

gg函数を、ｱｯｶｰﾏﾝＢ(x.ｙ)で表現するとＢ(1.g(61)）の時点で
g(g(g(g(〜【g(61)回】〜(g(g(g(61)))))〜【g(61)回】〜))))))
つまりg函数にg(61))という数を代入したをg函数に代入し‥‥という
繰り返しをg(61)回重ねた数ということ。

このように気の遠くなるような数になり、gg(g(61))自体はもっとはるか上

これでＳ変換たった３回分　そこで得られた数だけＳ変換を繰り返すという
段階を63回繰り返すのが『Ver1ふぃっしゅ数』だからどれだけ大きいかは‥‥。

そのＳ変換の回数を対角函数なんかを使ってどんどん次元をあげていくのがVer2及び3
そっから先はよくわからんけど
さらにその次元を関数化していくのが手法がそれ以降のVerという感じ　Ver4はBB函数
なので別物らしい

繰り返す系は強いね。
タワーなりチェーンなりアッカーマンなり。

アッカーマンはネストしなくても爆発的増大度を得ることが出来れば
それをネストしてふぃっしゅ数に組み込めばさらに至高の世界を見せてくれそうだ

・・・ちょいとアッカーマンver.2でも考えてみるか

>>581
多分ガイシュツな気もするが、わかりやすくまとめてくれれば許すのでがんがれ。

>>582
いや〜、改めて研究室を見たらすごいなぁ〜、としみじみ思ったよ。

で、なんとなく思ったけどこのスレの住民は大きさもそうだけど
関数の増大度も楽しんでるね

ak(m,ak(m,n))を
ak[2](m-n)

ak(m,ak(m,ak(m,ak(m,ak(m,n)))))を
ak[5](m-n)と、置く。
つまりak函数の展開しない引数のネストの回数をxと置くなら
[x]のように[]の中に書くのはどうか、ってこと

こんな感じに定義して行けば面白い感じになりそうだけどどうなん？
ak[ak[ak[ak[ak[5](m-n)](m-n)](m-n)](m-n)](m-n)とか。
さらにこの[]内のネストの回数を・・・

コメントｷﾎﾞﾝﾇ偉い人

ちょいと考えてみた

ak[a,b,c]
aを函数の中で(a-1)ネストする回数とする。
bをak函数の1番目の引数、cを2番目の引数とする。
ak(x,y)のxがb,yがc。

例えば、ak[2,2,2]。
これは1回ネストし、2,2を引数とするのだから
ak((ak(2,2),ak(2,2)),(ak(2,2),ak(2,2)))。
ak[3,3,3]だったら更にネストの階層が深くなって
ak(ak((ak(3,3),ak(3,3)),(ak(3,3),ak(3,3))),ak((ak(3,3),ak(3,3)),(ak(3,3),ak(3,3))))

と、糞わかりにくくなるほどネストする。
ak[4,3,3]となると書けないほどネストする。
あとでわかりやすく書いたhtmlアップするかも。

それとhttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln031.htmlの眠い人さんの
2|5 = 2^2^2^2^2なんかも結構いい味だしてるかも

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlto/4702/ather/ak.htm

・・・ﾜｶﾘﾆｸｽｷﾞ?

以下は、ふぃっしゅ数Ver1の２回目のＳ変換です。参考までに‥‥Ａはakです

Ｂ（1.3）＝Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
＝２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３

Ｂ（1.4）＝Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
＝２↑〜【２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３ 】〜↑
（２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３ ）−３

Ｂ（1.5）＝Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））

Ｂ（1.6）＝Ａ（（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

Ｂ（1.7）＝Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

Ｂ（1.8）＝Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

>>587
それは漏れに大して
「お前のはたった3回しかネストしてねーだろｸｽﾞ」
って意味なら、ak[3,3,3]をなるべく小さい数字にしただけであって。
ak[a,b,c]のa,b,cをどんどん大きくすることが出来るわけであって

「いや、お前のは全然見にくくないよ。」
という意味なら、そのまま受け取っておきます。

>>587-589
というようにakの威力自体の上昇度を利用して大きくなっていくのが、ふぃっしゅ数のＳ変換
このあとＢ(1.8）Ｂ(1.9)‥‥と、どんどん大きくなりますがＢ(1.61)でおよそグラハム数の
あたりに来るそうです。さらにＢ(2.1）はもっと大きいわけで‥‥。
最後にＢ(61.61）で、やっとg(61)つまり、２回目のＳ変換が終了するわけですが
3回めのＳ変換にくらべりゃ2回目は全然なんてことない
3回目はg関数より一段上のgg関数を使うので、もう超超超ウルトラ級にトンデモない
　>>580とかぶるので書きませんが、3回目のＳ変換は>>580の7行目以降に成るわけです。
4回目はggg(gg(g(61)))です。そっから先はこのすごいＳ変換を、その4回目で得られた
巨大数の回数繰り返すってわけですが、そこでやっと1段階目のＳＳ変換が終わるわけです
さらにこの得られた数だけ自身が大きくなっていくＳ変換をその前のＳＳ変換で得られた
数だけ繰り返して63段階目でようやくVer1にたどりつくんですけど

はっきり言ってVer1は　超超超超スーパー小さいです！
それ以降のVerナンバーに比べると‥‥‥‥。

ちなみにネストしたときのak函数の個数は

1回目・・・1
2回目・・・5　　前回との個数の差 4
3回目・・・13　.前回との個数の差 8
4回目・・・28　.前回との個数の差 16

この様に差が4,8,16,32,64,128,・・・
とどんどん2^nになっている。
よってn回ネストしたときのak函数の個数は(2^n)+1となる。

前スレから引用

612 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/21 18:41
ふぃっしゅ数Ver1のＳ変換内ｱｯｶ-ﾏﾝは、計算して行き着いた根っこの
Ｂ(0.ｎ）をｇ(ｎ）に変換することで数値を決定する。
※ｇ(ｎ）は一段階前のＳ変換で得られた値

Ｓ変換を重ねるということは
ただアッカ−マンを倍々で繰り返してるわけではない

さらに引用
＞Ｓ変換2回目はＢ(61.61)だが、途中の段階のＢ(1.61）ですでに
＞61段階以上の倍々アッカ−マンが出現するし。
＞Ｓ変換3回目ではグラハム数以上の段階のアッカ-マン関数の拡張が行われる。

4番目のスレ（巨大数研究室の過去のゼミ参照)
の500番台終盤〜600番台あたりにこの辺の論議がのってます

つか、実際はおまいら3↑↑↑↑3の大きさも理解してないだろ。

誰も理解できんか

>>595
はあ？　誰に言ってんの？
じゃあ、お前はわかるのか？

595＝581？

>>596
おちけつ
>>595は別に「俺は理解できるがお前らは理解できねぇんだろ(ﾌﾟ」っていう意味じゃないでしょ。
ヽ(´ー`)ﾉﾏﾀｧﾘ

で、過去ログ読んでて思ったけど
ふぃっしゅ氏定義のg(x)なんだけど
g(2)が既にグラハム数を超えてるって本当？
グラハム数ほど大きくない気がする

もうちょっと良く読みなよ
g(2)なんて書いてないよ
2回目のS変換と勘違いしているようだが
g関数は2回目のS変換に使われる関数
2回目の値はg(61)です

>>599
そうだったのか。ｽﾏｿ。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024311743/331
を見てちょいと間違って理解してたようだ。

まだ全部読み終わって無いけど、
g(x)を括弧の中にいれると爆発的に大きくなるんじゃないの？
g(g(g(x)))って感じに。これは卑怯？

俺みたいな数学初心者が言うのもなんだけど、
ふぃっしゅさんってただ定義を繰り返してるだけじゃないの？
レベルの違いこそあれ
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
ってのを高いレベルでやってるだけのように見えるけど・・・
激しく勘違い？

あ、g(g(g(x)))とおんなじ手法、ふぃっしゅさんも使ってた・・・

>>600
＞g(x)を括弧の中にいれると爆発的に大きくなるんじゃないの？
＞g(g(g(x)))って感じに。これは卑怯？

すぐ上の>>580も読んでよ〜　コピペしておきます

つまりg(61)＞＞＞＞＞＞　〜　＞＞＞＞＞＞＞＞グラハム数
3回目のＳ変換ではgg函数なるものを使い、ﾜﾝﾗﾝｸｱｯﾌﾟするわけだが
gg(g(61))はgg函数に上のg(61)という巨大数を代入したもの
gg函数を、ｱｯｶｰﾏﾝＢ(x.ｙ)で表現するとＢ(1.g(61)）の時点で
g(g(g(g(〜【g(61)回】〜(g(g(g(61)))))〜【g(61)回】〜))))))
つまりg函数にg(61)という巨大数を代入した数をg函数に代入し‥‥という
繰り返しをグラハム数より大きいg(61)回重ねた数ということ。

>>601
＞あ、g(g(g(x)))とおんなじ手法、ふぃっしゅさんも使ってた・・・

それは手法というより、ふぃっしゅ氏が作った関数がそういう性質を利用して
すぐ上の変換の増大速度を飛躍的にあげていく過程で、その入れ子の数が
爆発して、それをさらに増大速度の速い関数を作る‥‥‥
という関数生成マシーンを作ったって感じだと思う

あなたが先ほどからやってることは、増大速度のエンジンの回転数をあげてる
だけ‥‥と言えばわかりやすいだろうか
そのエンジンで別のエンジンを作りさらに次のエンジンを‥‥‥
という増大法がふぃっしゅ数やチェーン及びその回転関数という所だと思う

>>602
こんな漏れに�dｸｽｺﾝ。
やっぱりふぃっしゅさんは偉大なのね。

g(x)からB(x,x)、さらにそこからA(n,n)って函数の変換というか
函数から函数への数値の引渡しを行ってるから
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
こんな風に勘違いしたのよ

>>603
＞そのエンジンで別のエンジンを作りさらに次のエンジンを‥‥‥

「そのエンジンで別次元のエンジンを作りさらにそのエンジンで次の次元のエンジンを‥‥‥」
この方が表現としてはいいかもしれない

単純に指数を積み重ねるよりもakの増大度の方が
高いからそっちを使ってるわけで、その性質を利用してＳ変換と言う
増大度をより高いレベルの変換が生まれた


例えば
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
にしても、増え方が一元的に同じではなくて

a = 99999999999
b = a^a…(a^a)…a^a
c = b＾b…(b^b…(b^b…(b^b)…b^b)…)…)…)　この階層をｂ回繰り返すのがｃ

というように、増え方そのものが変化していく構造を作れば
飛躍的に増大度はあがる。そういう考え方の転換が必要
これだけ多くの数学好きがやってきたんだから、それなりの意味はあるんですよ
私も最初はグラハム数が巨大すぎて(10年前にこの数に出会ったからね）
ふぃっしゅ数の方が、はるかに大きいってのに中々ピンと来ませんでした。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)

と定義を見つけたんですが、このf(n)は何の函数なのでしょうか？
3↑↑〜n個のタワー〜↑↑3ですか？

f関数は一回前のＳ変換で使用された関数なので常に変化するわけです
初期値が3だとして、Ｓ変換1回目はak(3.3)で61に成ります
　ここで重要なのは、Ｓ変換の2回目に成るとそこに出ているak式は
数値を直接出すためではなく、新たな関数を作るための式になっている
ということなのです（もっとウマク説明できないかな〜）
　Ｓ変換2回目ｇ(ｘ）＝Ｂ(ｘ、ｘ）で、ｘは前のＳ変換で得られた値61を
代入します。するとＢ(61.61)になり、そのak式を追っていくと
最後はB(0,n)=f(n)が出てきますよね。
そこでｆという関数は一つ前、つまりＳ変換1回目で使われた関数なので
ak関数がそのまま入ります、ak(ｎ、ｎ)というわけです。
そこで値が確定しますので、そこからまた上記のak式を解いていくわけです

三回目のＳ変換になると、最後のｆ関数は一つ前の関数ですから
g(x)関数になるわけです。最後までまたak式を計算していって
最後に出てきたB(0,n)=f(n)はB(0,n)=ｇ(n)でＳ変換2回目のｇ関数
にｎを代入して、そこの値が確定します。

こんな感じかな　わかりますか？　ぜんぜん専門じゃないので説明がヘタでスマソ

あとタワーはこの場合関係ないです。もともとタワーはｱｯｶｰﾏﾝが種になってる関数
なので、タワーに置き換えることは出来なくはありませんけど。ふぃっしゅ数のＳ変換
で使われるのはあくまで上記のak関数を基盤としています。

>>606
ありがとうございました。
まさにエンジンから別次元のエンジンを」ですね。
しかしアッカーマン函数は見れば見るほど完成した函数だと思います。
爆発的に増大しながら無限大には発散しないと。
自然数の環から飛び出さずにここまで爆発する函数なんて見たことありませんので。

定義は単純だけど爆発させるアッカーマン函数、素晴らしいです。
さらにアッカーマンからB(n,m)を作ったふぃっしゅ氏も素晴らしいです。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)
となってますが、このB()の引数となってるg()を入れ子にし、
さらにそれを単純に書けたらさらにより素晴らしい爆発を見せてくれそうですね。
g()の引数が1つなのがなんかさびしいですが。

いやー、本当に凄い。

>>607
お疲れ様でした。でも、あなたの方が私よりも理解速度がはるかに速いです。
おっしゃられてるアプローチは「名無しのような物体氏」が2番目のスレの最後から3番目の
スレにかけてトライしていたように思います。
まあ、とにかくふぃっしゅ数はその登場時からここまで巨大数スレの原動力and話題の中心に
なってきたわけで大したもんだと思います。
　そして、そのふぃっしゅ関数を驚異的に越えるチェーン回転関数にも度肝を抜かれましたし
それをまた信じられないくらい大きく抜き返して、とんでもない彼方まで行ってしまった
その後のふぃっしゅ関数の新ヴァージョンや、超無敵のビジービーバー関数の登場
さらに真のｎ重帰納法の論争など、ふぃっしゅ数から始まり思えば遠くへきたものです。

g(x) = B(x,x)についてですが
gの引数(x)を一つでなく二つにし、
g(x,y)として、yをB()の引数に渡し、xの回数だけB()をネストするというのはどうでしょうか？
たとえば、g(2,2)だったら
　B( B((2,2),(2,2)) , B((2,2),(2,2)))
= B( B(7,7) , B(7,7))
= B( B(6 , B(7 , 6)) , B(6 , B(7 , 6)))
= B( B(6 , B(6 , B( 7 , 5))) , B(6 , B(6 , B( 7 , 5))))
・・・と。
非常に強いと思うんですがg(x,y)のx,yが十分大きくてもふぃっしゅ氏には及ばないのでしょうか？
まだまだ井の中の蛙状態ですか？
　

>>608
おお、リロードしてなかったからレス来てるのわからんかった・・・

>あなたの方が私よりも理解速度がはるかに速いです。
いえいえ、そんなことは無いです。
私はじーっと見てもまだわからなく、質問してやっとわかったくらいですからw

まだver2ぐらいまでしか読んでなかったんですが、
ここからまだまだ展開があるのですね。
上のレスが恥ずかしい・・・。無知をさらけ出してしまった・・・。

>>609->>610
仕事があるので今日の夜にでもまたレスします。

おお。伸びてるヽ(´ー｀)ノ

>>609
B(x,x)をネストする、という手続きは定義の上でどう表記できるのか
興味があります。さっき試しましたが無理でした。バカです。

>>609
たぶん、その方がずっと大きくなるのでしょう
ただ、同様の拡張を目指した方に対して、ふぃっしゅ氏が言うには、
「その効果がＳ変換１回で吸収されてしまうのなら飛躍的に大きく成ったとは言えず
　Ｓ変換の回数の速度をいかに爆発させるか、を考えた方がさらに巨大な増大度が求められる」
ということだったと思います。
　仮に提案された変換をネストのＮをとってＮ変換と名付けたとすると、こういうことです。

Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換３回＞Ｎ変換３回‥‥

と、実際はすごい大きな差があるわけですが、一つ上のＳ変換で抜かれてしまう
のであれば巨大数のマクロな視点的には奇数・偶数のような関係になってしまい
Ｓ変換の数を爆発させるＳＳ変換が登場すると太刀打ち出来なくなってしまいます。
もし仮に

Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回〜Ｓ変換回100回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換グラハム数回〜‥‥

のような関係でも、上位の次元のＳＳ変換を関数化したVer2のｓ(n)変換をもって
すれば、越えてしまうのは簡単で、ふぃっしゅ氏のアプローチはVer1の定義以降は、もっぱら
そっちの方向で「ふぃっしゅ数」の拡大を目指したわけです。

Ver2では、
Ver1のＳ変換を　s(1)　
Ｓ変換の回数を爆発させる上位の概念であるVer1のＳＳ変換を　s(2)
と名を変えます。

s(1)変換はVer1では唯のＳ変換なので、
それを３回繰り返した数は>>602より、gg(g(61))なわけですが
ふぃっしゅ数の初期値の3をとりs(2)の1回目は、
そのs(1)3回分となります。
これをs(1)^3とします。以後のs(1)とs(2)の関係は

s(2)^1＝s(1)^【3】‥‥‥‥‥‥‥‥＝gg(g(61))
s(2)^2＝s(1)^【s(1)^【3】】　　
s(2)^3＝s(1)^【s(1)^【s(1)^【3】】】
s(2)^4＝s(1)^【s(1)^【s(1)^【s(1)^【3】】】】
となっていき
s(2)^gg(g(61))でとりあえず終了します

※実際は当初定義されたはVer2は、Ｓ変換つまりs(1)変換を繰り返す回数
　を増やしていくだけではなく
　そのs(1)を繰り返す回数と同じ数を代入するという定義があるのですが
　ややこしくなるので省略しました。

さらに
Ver1のＳＳ変換を　s(2)としたなら　
ＳＳ変換の回数を爆発させる上位の概念であるＳＳＳ変換を　s(3)として

上のs(1)からs(2)の関係同様に
s(3)^1＝s(2)^【gg(g(61))】
s(3)^2＝s(2)^【s(2)^gg(g(61))】
s(3)^3＝s(2)^【s(2)^【s(2)^gg(g(61))】】　　
‥‥‥‥
s(3)^〔s(2)^【gg(g(61))】〕
で終了
以後　s(3)からs(4)　さらにs(4)からs(5)も同様です。
そしてその、s(1)→s(2)→s(3)→s(4)というＳ変換の次元ｱｯﾌﾟの過程自体を
関数化してしまい
s(1)^1＝61
s(2)^2＝s(1)^【s(1)^【3】】
s(3)^3＝s(2)^【s(2)^【s(2)^gg(g(61))】】　　
‥‥‥‥とs(　)の(　)の中の数字つまり次元をあげていき
s(n)^ｎ　で終了　

この時のｎは、初期値が３(4かも？）なので、ｓ(3)の拡張の最終段階で求められた
s(3)^〔s(2)^【gg(g(61))】〕という数が入ります。

Ver3では、このs(n)のnを増やしていく関数を　増やす関数としてss(n)という変換を
用います。

ss(1)^1＝s(n)^nです
ss(1)^2＝s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】
ss(1)^3＝s（【s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】）^【s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】】
‥‥‥
ss(1)^[s(n)^n]
ここからss(1)→ss(2)→ss(3)‥‥という展開は上記のs(1)→s(2)→s(3)と同様で
ss(n)^nで終了します。　この時のnは、ss(s(n)^n)^nで求められた数です。

そして、sss(n)^nさらにssss(n)^n　とどんどんsが増えていくたびに次元があがり
s…(n)…s(n)^nで終了します。
この時のnはs…(s…s(…【s(n)^n回の入れ子】…s)…s)…s)…s(n)^nで求められた数
※ここちょっといい加減かも

というように展開していきます。
さらに、この上の次元　
関数→関数を関数化→さらにそれを関数化　この流れ自体を関数化していく過程が
それ以降のVerﾅﾝﾊﾞｰということだと思います。ただしVer4は根っ子をakではなくてBB
の拡張を使うということに成っているので、上記の一連の流れからは別物と考えて
良いでしょう。
このような拡張でどこまでいけるかという感じになっていたときに、n重帰納法の話になり
根っ子がakのような二重帰納であれば、それはどこまで行っても二重帰納の範囲を出ないという
話になってから、展開が止まっています。

ただ、その肝心のｎ重帰納の定義があいまいなまま。
言い出した当人からも説明が無かったし。

おお、伸びてる・・・
>>613-617
すごいですねぇ。やっぱりふぃっしゅ氏には頭が上がりません。
S変換をグラハム数回や、s(n)を増やす関数ss(n)も簡潔に書いてますが
爆発的な増大度ですね。
Ver.4ではアッカーマン函数ではなくビジービーバー函数を使用してるとのことですが
最強に思えたアッカーマン函数も凌ぐ増大度を持った函数なのでしょうか？
・・・過去ログ漁ってきます。

>>612
確かにg(n,m)は例えばg(2,2)等定数なら
B( B((2,2),(2,2)) , B((2,2),(2,2)))と表せますけど
一般数g(n,m)で表すのは難しそうですね。

.　 g(n,m)
=　B( B( ...計n個のB()...B(m,m),B(m,m)...),B( ...計n個のB()...B(m,m),B(m,m)...))


('A`)

>>618
たぶんわかってらっしゃるとは思いますが‥‥。

＞すごいですねぇ。やっぱりふぃっしゅ氏には頭が上がりません。
＞S変換をグラハム数回や、s(n)を増やす関数ss(n)も簡潔に書いてますが
　↑
ここの『S変換をグラハム数回』というのは>>613の
＞Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回〜Ｓ変換回100回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換グラハム数回〜‥‥

の右の部分を言ったものだと思いますが、当然これはＮ変換がこの程度上回っていても
s(n)で吸収されてしまう差であるという点を示すために、わざと差を大げさに示した単なる“例”
に過ぎません。実際のVer2にはグラハム数はいっさい関わっていませんので念のため。
むしろVer2はグラハム数どころか、ふぃっしゅ数(Ver1)回よりはるかに多い回数S変換を繰り返す
わけです。

上記の説明は私が「わかったつもり」で書いたもので、そこにも間違いがある可能性も
ありますし、何より私が作者に無断で説明してしまったので
その私の説明がもとで誤解をまねき、間違った認識が定着してしまうと作者(ふぃっしゅ氏)
本人にも失礼なので、あえて確認した次第です。

>>618
＞Ver.4ではアッカーマン函数ではなくビジービーバー函数を使用してるとのことですが
＞最強に思えたアッカーマン函数も凌ぐ増大度を持った函数なのでしょうか？

ビジービーバーはさっぱりわかりません「ラージナンバーズ」のサイトを見てみるのが
一番よいでしょう。
ただ、ふぃっしゅ数及びその関数は現在の所、ｱｯｶｰﾏﾝ関数の延長上のために
二重帰納法の域を出ていないということに成るようです。
そこで三重帰納法が待望されるのですが、誰も真の三重帰納について語るのは
難しいようで中々定まりません。
三重帰納法の上位にさらに四重帰納法さらに五重帰納法があったとして
最終的に「ふぃっしゅ数重帰納法」というトンでもないものがあったとします

しかしビジービーバー(ＢＢと呼ぶ)は、それを越えてしまう関数だということです
（ただしＮが充分に大きな値を取った時です）
どのような構成的な関数をも超えてしまう、それがスーパー関数ＢＢ(Ｎ)なのだ
そうです。ただし今度は計算可能・不可能問題が出てきてしまい
最終的にはＢＢは巨大数スレでは反則技では？という意見も出て現在まで凍結されて
いるという感じです。

私はＢＢについては、スレを見て来てもその程度の認識しか持ち合わせていません。

最初の頃のスレの方で、時々話題に出ていた東京書籍の「数の事典」の中に
※グラハム数のことも書いてあるが定義は大きく間違っていた

戦前のﾚﾄﾛな元祖巨大数とも言うべきスキュイーズ数について次のような記述が
なされています。
「宇宙のすべての素粒子をコマとしたチェスを考えて、粒子の1個同士の交換を
　１手としたとき、『【３】回同じ局面が現われたときにゲームを終了する』という
　ゲームを定義した時に考えられるゲームの総数、それがおよそスキュイーズ数
　である」　という数学者の話を紹介しています。

スキュイーズ数はご存知のように10^10^10^34で　ここに登場している数から
見ると、とてつもなく小さいですが、普通の１０進法の０表記では宇宙には
収まらない大きさなので、まあ一般人が考える巨大数よりかははるかに大きい
数です。　それをゲームという状況に置き換えると【３】という非常に小さい数字
で言い表すことが出来ます。

このようなゲーム展開を関数化して【　】の数を増大させて逆に巨大数を作るという
アプローチはどうでしょうか？
まあ内容に限界がありそうだし、それでもＳ変換の増大にはかなわないか‥‥。

>>613
一連のふぃっしゅ数でak(n,n)を使っているのも、その文脈でいえば
無駄に話をややこしくしているだけのように思えるのです。
（と書いていったん投げ）

どのヘンがややこしいのだろうか

>>622にしろビジービーバーにしろ、値が計算で求まらないような｢関数｣を使うのはどうかと･･･。

いや〜、昨日の夜過去ログ読んで、寝る前に巨大数って凄いなーと考えてたら
何故か涙がちょっと出てきちゃいました。
g(n)が・・・　B(x,x)のネストは・・・
とか頭の中でぐるぐるしちゃって。
アッカーマンの爆発的増大度も凄いけど、
そのアッカーマンから作られた巨大数も
1+2+3+4+・・・+n = n(n+1)/2
とかこういうのが成り立つんだなーとか思うとまさに感動。
さらにこれらの式が帰納法で解いてしまうというのがまた凄い。
kが成り立つならk+1も成り立つ。

本当に1,2,3,4・・・と数えていって、一つの数字を数えるのにに一秒時間がかかったとして、
ふぃっしゅ数秒たったら数えていった数字はふぃっしゅ数にたどり着いてるんだろうか。
ふぃっしゅ数は本当に自然数なのか。数字なのか。

もう本当に自分がちっちゃなーと思う。

ビジービーバーの定義ってどこにあるの？

アッカーマン関数の定義をちょっといじらせてもらいます。
akm(0,b)=b+1, akm(1,0)=2, akm(2,0)=0,
akm(a,0)=1 (a>2)
a＼b..　0　 1　 2　 3　　　　4
0 　 　 1　 2　 3　 4　　　　5　 1+b
1 　 　 2　 3　 4　 5　　　　6　 2+b = 1+1+…+2
2 　 　 0　 2　 4　 6　　　　8　 2*b = 2+2+…+0
3 　 　 1　 2　 4　 8.　　　16　 2^b = 2*2*…*1
4 　 　 1　 2　 4. 16　65536　 2↑↑b = 2^2^…^1
a>=3でakm(a,b)=2→b→(a-2)

a(x)=2+x
b(x)=(a^x)(0)=2*x
c(x)=(b^x)(1)=2^x
d(x)=(c^x)(1)=2↑↑x
：
「こういう定義をm回繰り返してできる関数をakm(m,x)と書く」
……という言い方をしたらいきなり原始帰納関数から飛び出して
しまったので、それ以降ずっと感覚的にだまされていた格好に
なるのですね。実際にはこの言い回しをどう積み重ねても
2重帰納的定義の範囲を超えられないみたい。

なら2重帰納的であることが自明になるような定義のしかたを
考えるべきではないか。そうすることにより屋上屋の重ね方が
はっきり見えてきて、2重帰納的定義同士の比較が容易になる
のではないだろうか。

というわけでチェーンの定義を考えてみました。
つまり多変数関数なんて使わなくても定義できるという話。

（(a→)をm回繰り返し）→b→c=C(a,b,c,m)と書く。
関数X(a,m,b)と変換Y(c,b,f(*))を考える。（*: 写像渡し）

X(a,m,b)
m＼b.　1　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　3
1 　 　 2→1→1 　　　　 2→2→1 　　　　 2→3→1
2 　 　 2→2→1→1.　　 2→2→2→1.　　 2→2→3→1
3 　 　 2→2→2→1→1 2→2→2→2→1 2→2→2→3→1

Y(c,b,f(*))
c＼b..　1　　　　 2　　　　3
1 　 　 →1→1 →2→1 →3→1
2 　 　 →1→2 →2→2 →3→2
3 　 　 →1→3 →2→3 →3→3

C(a,b,1,m)=X(a,m,b)
c>1の時 C(a,b,c,m)=Y(c,b,X(a,m,*))
X(a,1,b)=a^b
m>1の時 X(a,m,b)=Y(b,a,X(a,m-1,*))
Y(1,b,f(*))=f(b)
Y(c,1,f(*))=f(1)
b>1,c>1の時 Y(c,b,f(*))=Y(c-1,Y(c,b-1,f(*)),f(*))

矢印回転だってこういう風に定義できるんでしょうね。

ところで628は｢2重帰納法｣って何のことだと思う？

ホームページをちょっと更新してみた

http://up.isp.2ch.net/up/6e0fc788ef04.zip

どんなもんでしょ

ネット環境整いましこヽ(´ー｀)ノ
更新しときました。いつもご苦労様です

>630
正直分かりません。
「ある関数の再帰的定義において、2個の引数が変化する」？
あと「関数列を定義するのは危険だ」というのが>628での考え。

ここで「引数の数は固定、特定の2個の引数だけが変化」と条件を
厳しくしたのが>629である……つもり。こういう制限をつけても、
増大度の面で本来の2重帰納的関数の範囲で作れるものと同等の
ものが実現でき……ればいいなぁ、という願望を語っちゃってる
わけです。


専門外の英語の論文なんて漏れには無理……

>>627
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/comp.html
ここに、英語のページが２つほどリンクされている。
日本語のページで、どこかないのかな。

チューリングマシンがどんなものかが分かれば
ビジービーバーを理解するのはたやすいと思われ。

チューリングマシンを説明してるところはいろいろあるけど、具体的なのは
ttp://www.f6.dion.ne.jp/~itake/twoone/cifer20.html
こことか

ttp://kitchom.ed.oita-u.ac.jp/~jyo/proh09/mkiribu/erabi.html
こことかはどう？

おまけ
ttp://member.nifty.ne.jp/mindstorms/gallery/k025.html

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln01.html#R78
これって3↑↑↑3の説明でしょ？
3↑↑〜↑↑3なんて書いてるからわからん

>>636
その説明でわからんようだと、どう説明してよいか
考え方は↑が増えても同じ

>>633
このスレッドを読み返してみたが、どうも
>>58-59 >>63 の計算が、ふぃっしゅ数の
定義を２重帰納的な表現（２重帰納そのものが
定まってないが）で書き直した式という
ことみたい。

ふぃっしゅ数はこういった表現では簡単に
書けない、と思われていたが、このように
記述できそうになったことで、流れが変わった
ように見える。

よく考えたら、だからといってふぃっしゅ数の
それぞれのバージョンの大きさそのものは、
大きくなったわけでも小さくなったわけでも
ないんだよね。

アク禁に引っかかってました。
>>638
ありがとうございます。（ていうかしばらく自分宛だと気づかなかった）

自力で考えている間にふぃっしゅ数バージョン5案のM2〜M3変換
をたどっていたらしい……しかもチェーンは>>56で十分すっきり
書けてますね。

ちなみに自分用語では
P変換： 写像の累乗列を対角化して写像を作る、つまりM2変換
S変換： 写像にアッカーマン漸化式を適用して対角化する
P超変換： 変換の累乗列を対角化して変換を作る、つまりM3変換
ちなみにP変換にP超変換をかけるとS変換になる
S超変換： 変換からアッカーマン風に云々？
　：

うわ、いつのまにかログがすいすい読めるようになって（泣）

>>63やはりいきなりｎ変数関数になってしまうのですね。
A(x,y,z)=〜のようなミニマルな定義でこれを突破できるのなら
もう何がなにやら。

双魚宮時代の次は宝瓶宮時代でしょ（命名ネタ）

>>638
そして、問題の焦点は、>>181-182の３重帰納とされて
いる式（いわゆるミニマルな定義）が、
>>56 >>58-59 >>63といった２重帰納とされている
式よりも増加率が大きい、ということをどうやって確認
できるかだと思う。

ここから先の検証が、誰もできずに止まっているみたい。
俺もしばらく考えてみたが、俺の力では無理っぽそう。

いつのまにかログがすいすい読めるようになったところで、
考えてみてもらえると嬉しい。

>>183の４重帰納、>>184のn重帰納の式については、
３重帰納が突破できるかどうかが鍵だね。

>>640
うわ、自分にレスしてどうする。

>>638ではなくて>>639。

考えてみますが、正確な議論とかは期待しないでください。
それよりもうすぐ夏休みが……

http://hobby.2ch.net/test/read.cgi/av/1061134403/768

ここでgoogolplexをグーゴルプレックスとゴーグルプレックスの
2通りの発音（日本語表記？）が紹介されてるんですが、
これは正しいんでしょうか？
わたしはグーゴルプレックスしか聞いたことが無いんで
ちょっと気になりました。

>>643
グーグルで検索したら

グーゴルプレックス41件
グーグルプレックス3件
- 億兆星精神(グーグルプレックス・スター・シンカー)
- グーグルプレックス社
- 2chのスレッド

というわけで、圧倒的に前者。英語の読み方も、日本語の
グーゴルプレックスに近いと思う。

グーゴルプレックスか‥‥‥
久々に超小さい数を聞いたな

>>181-182,>>194の3重帰納的定義を自分の主張に従って
　　 A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z))
＜　A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
　　 A(x,0,z) = A(x-1,1,z)
＜　A(x,0,z) = A(x-1,ｚ,z)
　　 A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＝　A(x+1,y+1,z+1) = A(x+1,0,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＜　A(x+1,y+1,z+1) = A(x+1,y,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＜　A(x+1,y+1/2,z+1) = A(x+1,y,A(x+1,y+1/2,z))
えー何が言いたいかというと、この3重帰納的関数は、
S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
のと同等以下の増大度しかない、と思う、ということです。。


図書館に>>139の本がありました。が、
多重帰納的関数について直接触れている部分はないみたいです。

次はPeterとKleeneの”論文”を探すのか……

n重帰納的関数を研究してる人と高階の定義を研究してる人の間で
用語に行き違いが生じているのではないかって気が

それ以前にそれら用語の定義を誰も説明してくれないので
（数学やってる人なら当然知ってる類のものかもしれないけど）
われら素人はさっぱり話に参加できないわけですよ

ふぃっしゅっしゅさんみたいに懇切丁寧に説明してくれる人が
現れてくれれば言うことないのですが

そもそもそこまでの素人にはきついスレであろ・・・。

何をおっしゃる、このスレの住人の大半は素人さんですよ？

＞ えー何が言いたいかというと、この3重帰納的関数は、
＞ S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
＞ のと同等以下の増大度しかない、と思う、ということです。。

つまり、

1. >>181-182 は２重帰納程度の増大度を持つ関数であり、
　「真の３重帰納」ではない
2. そもそもあらゆる２重帰納関数よりも大きい「真の３重
　帰納」などというものはない
3. S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
　という操作は、２重帰納よりも増大度の大きい操作である

のいずれか、ということでしょうか。

そうだとすると、また流れががらっと変わって、というか前スレ
までの流れに戻って、３重帰納という概念を持ち出しても、
ふぃっしゅ数を超えることはできない、という可能性もある？

そもそも、２重帰納や３重帰納の定義が定まらんことにはなにも
分からないわけですが。

>>647
用語の定義については、ある程度までは巨大数研究室からの
リンクを読めば分かると思います。２重帰納、３重帰納については、
誰も定義を明確にしてないので分かりませんが。

え

http://hobby2.2ch.net/bike/kako/1037/10377/1037762676.html

まず、f(x)をn回入れ子させることを以下のように定義する。

Nest(f,x,1) = f(x)
Nest(f,x,2) = f(f(x))
Nest(f,x,3) = f(f(f(x)))
.
.
.
Nest(f,x,n) = f(f(f(...[f(x)をn回入れ子]..)))

xが自然数の場合のfを以下のように定義する。

f(x) = x^x

さらにf_nを以下のように定義する。

f_1(x) = Nest(f,x,x)
f_2(x) = Nest(f_1,x,x)
.
.
.
f_n(x) = Nest(f_[n-1],x,x)

さらにf_1_nを以下のように定義する。

f_1_1(x) = Nest(f_x,x,x)
f_1_2(x) = Nest(f_1_1,x,x)
.
.
.
f_1_n(x) = Nest(f_1_[n-1],x,x)

さらにf_n_1を以下のように定義する。

f_1_1(x) = Nest(f_x,x,x)
f_2_1(x) = Nest(f_1_x,x,x)
.
.
.
f_n_1(x) = Nest(f_[n-1]_x,x,x)

さらにffを以下のように定義する。

f(x) = x^x
f_1(x) = Nest(f,x,x)
f_1_1(x) = Nest(f_x,x,x)
f_1_1_1(x) = Nest(f_x_x,x,x)
ff(x) = Nest(f_x_x_...[_xをx回]..._x,x,x)

fをff、ffをfffに置き換えて
>>654-655をくり返す

順次fを追加したものをくり返し、それをx回行ったものをgと定義する。

g(x) = ffffffff...[fをx回くり返す]...f_x_x_x...[_x]..._x(x)

>>656は以下のように訂正
g(x) = ffffffff...[fをx回くり返す]...f_x_x_x...[_xをx回くり返す]..._x(x)

fをg,gをhと置き換えて
>>654-657をくり返す

f,g,h,...,zをFの関数として順次置き換える
F(x,1) = f(x)
F(x,2) = g(x)
F(x,3) = h(x)
.
.
.
F(x,n) = z(x)

f`を以下のように定義する。

f`(x) = F(x,x)

fをf`に置き換えて
654-658をくり返す...もうだめぽ...

>>653-659は、まだ、フィッシュ関数からほど遠いですか？

ふぃっしゅ数と比較するならはじめのf(x)をx^xよりむしろ
アッカーマンにした方がやりやすいと思います。
時間切れ。仕事行ってきまっす

累乗とｱｯｶｰﾏﾝでは比較にならんでしょう

そうですか、比較対象外ですか...。
ちなみ、f`(3) をアッカーマンで表すとどうなります？

>>121
＞ In 1976, she published Recursive Functions in Computer Theory.
＞ この本のことですか。

いいえ
R. Peter, Recursive Functions (3rd Ed.), Academic Press, (1967)

f`(3)＝F(3,3)
＝h(3)
＝ggg_3_3_3(3)
ここから先が早くもわかんないので何とも。
操作がバード数のあれに似てるような感じですね。
前にf(x)をアッカーマンにするみたいなことを書きましたが
ふぃっしゅ数ではf(x)＝x+1なのでそっちの方がよいのかしら。
そうするとアッカーマンには勝てない気がするなぁ。
それでやるとNest(f,x,n)＝n+3だし。

Nest(f,x,n)＝n+3　←大うそ

Nest(f,x,1)＝f(x)=x+1　としたとき、
f_1(x)＝Nest(f,x,x)=2x
f_2(x)＝Nest(f_1,x,x)=x*(2^x)
ここから先は不明。ちなみに
Nest(f_2,x,3)＝402653184*(2^402653184)

>もやしっ子さん
わざわざありがとうございます。

任意の増加関数f(x)をNestで変換して新たな増加関数を定義すれば
新たに定義された増加関数をさらにNestで変換すれば
いくらでも次元を突き抜ける増加関数を定義できると思ったんですが
上手く説明できない自分が悔しい。

>>668
>>667でいいとすると、その「次元の突き抜け方」の程度が、
せいぜい原始帰納的な程度だと思う。

もしもそうだとすると、アッカーマンを超えることもできない。

>>669
レスをわざわざありがとうございます。

自分もNest単体で突き抜けるなんて考えていません。

>>667は、f_1(x),f_2(x),f_3(x)...の増加は原始機能程度なんでしょうが、

f_1_1(x),f_1_2(x),f_1_3(x),...の段階で アッカーマン程度になると思います。
ちなみにf_3_3(3)の場合、以下のようになります。

f_1_1(1) = f_1(1)
f_1_1(2) = f_2(f_2(2))
f_1_1(3) = f_3(f_3(f_3(3)))

f_1_2(1) = f_1_1(1)
f_1_2(2) = f_1_1(f_1_1(2))
f_1_2(3) = f_1_1(f_1_1(f_1_1(3)))

f_1_3(1) = f_1_2(1)
f_1_3(2) = f_1_2(f_1_2(2))
f_1_3(3) = f_1_2(f_1_2(f_1_2(3)))

f_2_1(1) = f_1_1(1)
f_2_1(2) = f_1_2(f_1_2(2))
f_2_1(3) = f_1_3(f_1_3(f_1_3(3)))

f_2_2(1) = f_2_1(1)
f_2_2(2) = f_2_1(f_2_1(2))
f_2_2(3) = f_2_1(f_2_1(f_2_1(3)))

f_2_3(1) = f_2_2(1)
f_2_3(2) = f_2_2(f_2_2(2))
f_2_3(3) = f_2_2(f_2_2(f_2_2(3)))

f_3_1(1) = f_2_1(1)
f_3_1(2) = f_2_2(f_2_2(2))
f_3_1(3) = f_2_3(f_2_3(f_2_3(3)))

f_3_2(1) = f_3_1(1)
f_3_2(2) = f_3_1(f_3_1(2))
f_3_2(3) = f_3_1(f_3_1(f_3_1(3)))

f_3_3(1) = f_3_2(1)
f_3_3(2) = f_3_2(f_3_2(2))
f_3_3(3) = f_3_2(f_3_2(f_3_2(3)))

>>670
えーっと、f_n(x) （nが変数、x=定数またはx=n）の段階で
アッカーマン級（S変換1回）になってると思う。その後は、

f_1_1(x) = Nest(f_x,x,x) = f_(x+1)(x) ≒ f_x(x)　←S変換1回完了
Ver.5用語だと≒((m(3)m(2))f)(x)
f_1_n(x) = Nest(f_1_[n-1],x,x)　←2回目のS変換のｎ行目
f_2_1(x) = Nest(f_1_x,x,x) ≒ f_1_x(x)　←S変換2回完了
f_1_1_1(x) = Nest(f_x_x,x,x) ≒ f_x_x(x)　←S変換列の対角化
Ver.5用語だと≒((m(3)^2m(2))f)(x)
……f_l_m_n(x)の定義がわかりません。停止しました。(￣ー￣)ﾆﾔﾘｯ

でですね、その次でff(x)と1つの関数にまとめちゃってますね。
そうなると>>654-655をNest2(f,x)の定義であると認識すれば
fff(x)=Nest2(ff,x)、……となり、
g(x) = 云々 = fff...[fを(x+1)回くり返す]...f(x) ≒ ((m(3)Nest2)f)(x)
h(x) ≒ ((m(3)Nest2)^2f)(x)
F(x,n) ≒ ((m(3)Nest2)^nf)(x)
f`(x) = F(x,x) ≒ ((m(3)Nest2)^xf)(x) = ((m(3)^2Nest2)f)(x)
f``(x) ≒ ((m(3)^2Nest2)f`)(x) = ((m(3)^2Nest2)^2f)(x)
f`...[x]...`(x) ≒ ((m(3)^2Nest2)^xf)(x) = ((m(3)^3Nest2)f)(x)

あーつまり後半はダメダメさんなんですよ。
((m(3)^2Nest2)^2f)(x) より
((m(3)^xNest2)f)(x) = (((m(4)m(3))Nest2)f)(x)のほうが
効率がいいのです。っていうか
Nest2(f,x) = (((m(4)m(3))m(2))f)(x) だとしたら
(((m(4)m(3))Nest2)f)(x)
= (((m(4)m(3))^2m(2))f)(x)
< (((m(4)m(3))^xm(2))f)(x)
= (((m(4)^2m(3))m(2))f)(x)

……色々な意味でゴメンナサイ。

>>628
ありがとうございます。

元関数をf(1,x)
S変換で生成された関数をf(2,x)
2回目のS変換で生成された関数をf(3,x)
3回目のS変換で生成された関数をf(4,x)
.
.
.
みたいなことを繰り返せばと思ったんですが...。

すみません修行いってきます。

英語ページをちょっと作ってみた
http://up.isp.2ch.net/up/46a42ef99951.ZIP

英語は自信ないんで、適当に直してください

英語は自信ないんで、そのまま載せましたﾉ(´Д`)

このページを使うと、日本語フォントがないブラウザでも
日本語の文字が読めるね

http://lfw.org/shodouka/http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/JapNumber.html

>>677
ime.nuが2番目のhttp://を勝手に消すんでうまくとべないな

ttp://lfw.org/shodouka/http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/JapNumber.html

このページにも、日本語の大きな数の読み方が英語で解説されている。

http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/japanese/largenumber.html

ふぃっしゅ数！（･∀･）

ここ
http://ninkirank.misty.ne.jp/06/enter.cgi?id=lovesex

今まで過去ログずっと見てきたが、
やはり>>653のような関数ネスト法はかなりすごいと思う。
２重帰納とかも使わずにx+1からf=1_1(x)段階でAc関数までいけるし、
Ac関数から初めてかつネスト回数の変数をネスト関数化するなどの
工夫を加えればフィッシュ数と比較できるような感じがする。
とりあえず>>653の多重超ネスト漸化式を
自分で改造してみた。
f(a)=A(a,a)
A(a,b)=A(a-1,A(a,b-1))
A(a,0)=A(a-1,a)

N(f,x,1)=f(x)
N(f,x,2)=f(f(x))
N(f,x,n)=f^n(x)
関数fにはA(x,x)を入れる。

続き。以下Ａ段階
(Nn^(Nn)(a,b,c)=Nn^(Nn(a,b,c))(a,b,c),n=1,2,...)
※ここで３項以上のA()関数は、
A(a,b,...,n)=A(a,A(a,b-1,...,n),...,A(a,b-1,...,n))
A(a,b,...f,0,h,...,n)=A(a-1,b,...f,a,h,...,n)
f[1](x)=N^(N)(f,x,x)=f^x(x)
f[n](x)=N^(N)(f[n-1],x,f[n]x)
２項以上はAc関数の要領で[]内を２重帰納で繰り返す。
f[1,1](x)=N1^(N1)(f[n],x,f[n])
f[1,n](x)=N1^(N1)(f[A[1,n-1]],x,f[A[1,n-1]])
f[2,1](x)=N2^(N2)(f[1,2],x,f[2,1])
f[2,n](x)=N2^(N2)(f[1,A[2,1]],x,f[1,A[2,1]])
N(n-1)^N(n-1)=Nn
f[n,1](x)=Nn^(Nn)(f[n-1,n],x,f[n-1,n])
f[n,m](x)=Nn^(Nn)(f[n-1,A[n,m-1]],x,f[n-1,A[nm-1]])
f[1,1,1](x)=Nn1^Nn1(f[n,n],x,f[n,n])
f[l,m,n](x)=
Nln^Nln(f[l-1,A[l,m-1,n],A[l,m-1,n]],x, f[l-1,A[l,m-1,n],A[l,m-1,n]])
f[l,0,n](x)=Nln^Nln(f[l-1,l,n],x,f[l-1,l,n])
f[l,n,0](x)=Nln^Nln(f[l-1,n,l],x,f[l-1,n,l])

Nk=f[a,..n-1個..,a]^(f)(x)
f[1,..n個..,1](x)=Nk^Nk(f[n,..n-1個..,n],x,f[n,..n-1個..,n])
f{1|a}(x)=f[a,..n個..,a](x)
Ａ段階ここまで

さらに続き
以後f{1|a}(x),f{2|a}(x),...でそれぞれＡ段階を繰り返し。
f{2|1}[1](x)=f{1|n}[]^f(x)
f{m|1}[1](x)=f{m-1|n}[]^f(x)
これをさらにn1×n2×...nm回繰り返す。({}内の項の数が増える)
f{1,1|1}[](x)=f{n|a}[]^f(x)
f{2,1|a}[](x)=f{1,n|a}[]^f(x)
f{n1,1|a}[](x)
...
f{nm,...,n2,n1|a}[](x)

次にＦ関数を定義する。
Ｆ(n,x)=f{nn,...n1|n}^(f)(x)
F^F(a,b)=F^(F(a,b))(a,b))
F[1](n,x)=F^F(F^F(n),F^F(x))
F[N](n,x)=F[N-1]^F(F[N-1]^F(n),F[N-1]^F(x))

以下、Ａ段階と同様に２重帰納漸化式で繰り返す。(以下Ｂ段階)
F[1,1](n,x)=F[N]^F(F[N]^F(n),F[N]^F(x))
F[1,N](n,x)=F[1,N-1]^F(F[1,N-1]^F(n),F[1,N-1]^F(x))
F[N,1](n,x)=F[N-1,N]^F(F[N-1,N]^F(n),F[N-1,N]^F(x))
F[N,M](n,x)=F[N-1,F[N,M-1](n,x)]^F(F[N-1,F[N,M-1](n,x)]^F(n),F[N-1,F[N,M-1](n,x)]^F(x))
項の数を増やして同様に２重帰納で繰り返し。
F[N1,N2,...,NN](n,x)=F{N|b}(x) (N1=N2=...=NN=b)
さらにＡ段階と同様にM1×M2×...×MN回Ｂ段階を繰り返す。
F{2|1}[1](n,x)=F{1|N}[N1,...,NN]^F(n,x)
F{2|1}[1,1](n,x)=F{n|a}[]^F(x)
...
F{NN,...,N2,N1|a}[](x)=F{N|a}[](x)
ここまで来てできる関数をM(x)とおく。
M(0)=1,
M(x+1)=M^{M^(x)|M^(x)}[]M(x)

これでどのあたりまで増加できるのだろう？

訂正スマン。
Ａ段階で
A(a,b,...,n)=A(a,A(a,b-1,...,n),...,A(a,b-1,...,n))
→A(a,b,...,n)=A(a-1,A(a,b-1,...,n),...,A(a,b-1,...,n))
最後のあたりで
M(x+1)=M^{M^(x)|M^(x)}[]M(x)
→M^{M^(M(x))(x)|M^(M(x))(x)}[]M(x)

やっぱり数学板は数式エディタを採用するべきだ。
もしくはTeXで書いてどこかにうｐしてくれ。
読む気にならん・・・

http://www.forkosh.com/cgi-bin/mimetex.cgi?formdata=4%24f%28x%29%3D%5CBigint_%7B-%5Cinfty%7D%5Ex%7Ee%5E%7B-t%5E2%7Ddt

http://www.forkosh.com/htdocs/mimetex.html
ここからクエリを送信して、出てきた数式を確認して、
URLを貼る。

１つずつの式ごとにURLがあってもうざいだけか。

一応自分の考えでいくと、
最初のf[n]段階ですでにＳ変換完了して
次の２項目以降ではもうＳＳ変換段階に入っているのかと思うが。
自分でも計算して調べてみたいが素人だし時間がかかるなぁ…。
あとまた訂正失礼。
最初のA(a,b)関数の段階で、
A(0,a)=a+1を加える。
f{1|a}(x)=f[a,..n個..,a](x)→f{1|a}(x)=f[a,..a個..,a](x)
M^{M^(M(x))(x)|M^(M(x))(x)}[]M(x)→F^{M^(M(x))(x)|M^(M(x))(x)}[]F(x)

乙カレ様でした　私もあまり良くわかってないので間違ってたらスマソ

>>683の７行目って
f[n](x)=N^(N)(f[n-1],x,f[n]x)　→　f[n](x)=N^(N)(f[n-1],x,f[n-1]x)
ではないでしょうか？
上記の記述で言うとf[n](x)では単純な関数ネストにしかならないので
Ｓ変換で例えれば一回目のg(x)の増加にはならないと思います
２項でＳ変換に相当という感じな気がします（間違ってたらスマソ）

全体的に見て上記の拡張方法は、
ふぃっしゅ数のVer2以降でやった関数の対角化の次元をあげていく手法によって
Ｓ変換１回目の関数ネストのスピードを上げてるように見えますが、
どうなんでしょう？

やはり前に挙げた単純なネスト方法は最初で
Ｓ変換よりかなり下がると思ったので、別の方法で考えてみた。
まず基盤として、ネストを使った次の漸化式を使う。
A(a)=a+1
以下An^(An(a))(a)=An^An(a)
A1(a+1)=A^A(A1(a)), A2(0)=A(a+1)
A2(a+1)=A1^A1(A2(a))), A2(0)=A1(a+1)
An(a+1)=A[n-1]^A[n-1](An(a)), An(0)=A[n-1](a+1)
これらの漸化式はそれぞれ初期値が代入した変数により動的に変化する。
つまり、A1(1)→A1(a)→A2(1)→A2(a)→...→An(1)→An(a)と
いうように２次元的に変化する。

>>692
ありがとうございます。
７行目はf[n](x)=N^(N)(f[n-1],x,f[n-1]x)ですね。

やはり前に挙げた単純なネスト方法は最初で
Ｓ変換よりかなり下がると思ったので、別の方法で考えてみた。
まず基盤として、ネストを使った次の漸化式を使う。
A(a)=a+1
以下An^(An(a))(a)=An^An(a)
A1(a+1)=A^A(A1(a)), A2(0)=A(a+1)
A2(a+1)=A1^A1(A2(a))), A2(0)=A1(a+1)
An(a+1)=A[n-1]^A[n-1](An(a)), An(0)=A[n-1](a+1)
これらの漸化式はそれぞれ初期値が代入した変数により動的に変化する。
つまり、A1(1)→A1(a)→A2(1)→A2(a)→...→An(1)→An(a)と
いうように２次元的に変化する。

>>692
ありがとうございます。
７行目はf[n](x)=N^(N)(f[n-1],x,f[n-1]x)ですね。

いつのまにか連続カキコシマタ。とりあえず続き。
まずf漸化式。これも前の漸化式のように２項を使って、
各式の初期値を変数で動的に決める。
初期関数f1に前の漸化式を代入して、繰り返し関数ネストを使って
全体として２重帰納になり、これでVer1のＳ変換に相当すると思う。
以下、f_n^(f_n(x))(x)=f_n^f_n(x)
f1(x)=A[x](x),
f2(x+1)=f_1^f_1(f_2(x)), f_1^2(x)=A[A[x](x)](A[x](x)), f_2(0)=f_1(x+1)
f3(x+1)=f_2^f_2(f_3(x)), f_3(0)=f_2(x+1)
fn(x+1)=f_[n-1]^f_[n-1](f_n(x)), f_n(0)=f_[n-1](x+1)

次にf2漸化式。これはf漸化式の添え字や変数に前の式を関数ネストしたものを
代入するもので、ＳＳ変換でいうＳ変換の回数の増加式にあたる。
またこの漸化式は同時に２種類の項と動的初期値を使っていて、増加率をさらに上げている。
f2_1(a)=f_[f_a^f_a(f2_1(a-1))](f_a^f_a(A2_1(a))), f2_1(0)=f_a+1(a+1)
f2_2(a)=f_[(f2_1^f2_1(f2_2(a))](f2_1^f2_1(f2_2(a))), f2_2(0)=f2_1(a+1)
f2_n(a)=f_[(f2_[n-1]^f2_[n-1](f2_2(a))](f2_[n-1]^f2_[n-1](f2_2(a))),
f2_n(0)=f2_[n-1](a)
以下、f3漸化式以降も同様にして計算する。
fm_1(a)=f[m-1]_[f[m-1]_a^f[n-1]_a(fm_1(a-1))](f_[m-1]^f_(fm_1(a-1))), fn_1(0)=f[n-1]_a(a)
fm_n(a)=f[m-1]_[fm_[n-1]^fm_[n-1](fm_n(a-1))](fm_[n-1]^fm_[n-1](fm_1(a-1))),
このあたりでＳＳ変換は行ってるかな？

さらに続き。
３項以上のf漸化式は、682以降であげた方法と同じようにする。
f[1,1,1](x)=f[x,x]^(f[x,x](x))(f[x,x](x))
f[l,m,n](x+1)=
f[l-1,f[l,m-1,n]^f[l,m-1,n](f[l,m,n](x))(x),(f[l,m-1,n]^f[l,m-1,n](f[l,m,n](x))(x)](f[l,m1,n](x))
f[l,1,n](x)=f[l-1,n,n](x)
それ以降は682以降と同じように上の方法を繰り返す。
以降同じようにして、M1(n,x)ではfの項の次元拡張関数にあたる。
さらにf[1](x)のときと同じように
M1(n+1,x+1)=f[nn,...,n2,n1](x), F(0,0)=1
とおくと、さらに次元数nなどが莫大に増加する。

以降Ｍ段階
次にM1(n,x)を最初に使ったBn(x,y)関数に対応させる。
B1(0)=M1(a,a)
B1(a+1)=M1^(B1(a,a))(a,a)
B1(a+1)=B1^B1(B2(a)), B2(0)=B1(a+1)
B1(a+1)=M1[n-1]^FM[n-1](FMn(a)), FMn(0)=FMn[n-1](a+1)
以降f[a,b...]漸化式と同じようにして、
m_1(x)=M[x](x)
m_n(x)=M[M_[n-1]](M_[n-1])
m[2,n](x)=m[n-1]_[m2_[n-1]^m2_[n-1](m2_n(a-1))](m2_[n-1]^m2_[n-1](m2_n(a-1)))
...以上Ｍ段階
次にM2関数,...,Mn関数を決めて、M1関数と同じようにＭ段階を繰り返す。
M2(x+1)=m2[n(M2(x)),...,n2,n1](M2(x)))(M2(x)),M2(0)=m[nx,...,n2,n1](x)
...
Mn(x+1)=m2[n(Mn(x)),...,n2,n1](Mn(x)))(Mn(x)),Mn(0)=m[nx,...,n2,n1](x)

フィッシュ数の対抗ネタ数→M[M100(100)](M100(100))
動的初期値とか２次元みたいな数列とかいろいろ考えたが
これならVer.1でS(n)変換はとっくに超えているか？

訂正発見。
Ｍ段階で
B1(a+1)=B1^B1(B2(a))→B2(a+1)=B1^B1(B2(a))
B1(a+1)=M1[n-1]^FM[n-1](FMn(a)), FMn(0)=FMn[n-1](a+1)
→Bn(a+1)=B[n-1]^B[n-1](Bn(a)), Bn(0)=B[n-1](a+1)
M2(x+1)→M2(n+1,x+1),M2(x)→M2(n,x)
Mn(x+1)→Mn(n+1,x+1),Mn(x)→Mn(n,x)

久しぶりにage
>>181のような３重帰納関数を試しに計算してみたら
とんでもないような結果になりました。
A(x,y,z)=A(A(x-1,A(x,y-1,z),z),A(x-1,A(x,y-1,z),z),z-1)
A(0,y,z)=A(y,y,z-1), A(x,0,z)=A(x,x,z-1), A(0,0,z)=A(1,0,z-1)
A(x,y,0)=A(A(x-1,y),y-1), A(0,y,0)=A(y,y-1,0), A(x,0,0)=f(x)
として、A(2,2,2)を求めると、
A(x,x,0)=g(x),g^a(x)=ga(x),@は次の項に等しい項
A(2,2,2)=A(@,A(1,A(@,A(1,A(2,0,2),2),1),2),1)=A(@,A(1,A(@,A(1,α,2),1),2),1)=X
A(2,0,2)=A(2,2,1)
A(2,2,1)=A(@,A(1,A(@,A(1,A(2,0,0),1),0),1),0)=A(@,A(1,A(@,A(1,3,1),0),1),0)
=A(@,A(1,A(g5(108),g5(108),0),1),0)=A(@,A(1,g6(108),1),0)
=>A(@,g[2^g6(108)](108),0)=α
A(1,3,1)=A(@,A(0,A(@,A(0,A(@,A(0,A(1,0,1),1),0),1),0),1),0)=A(@,A(0,A(@,A(0,A(@,A(0,3,1),0),1),0),1),0)
=A(@,A(0,A(@,A(0,A(@,A(3,3,0),0),1),0),1),0)=A(@,A(0,A(@,A(0,A(108,108,0),1),0),1),0)
=A(@,A(0,A(@,A(0,g(108),1),0),1),0)=A(@,A(0,A(g2(108),g2(108),0),1),0)
=A(@,A(0,g3(108),1),0)=A(g4(108),g4(108),0)=g5(108)
A(1,g7(108),1)=A(@,A(0,A(1,A(...g7(108)回...A(1,0,1)...),0),1),0)>=g(2^g7(108))(108)
A(β,β,1)=A(@,A(1,A(@,A(...β回...A(β,0,0)...),0),1),0)
>=g[2^g[...β(=Kn-1)回...g(2^g(2^g(2^β)(108))(108))(108)...β回...)(108)=Kn, K1→{β=g6(108)}
A(1,α,2)=A(@,A(0,A(@,A(...α回...A(1,0,2)...),1),2),1)=A(@,A(0,A(@,A(...α回...g(108)...),1),2),1)
>=g(2^g(...【g(108)*K1*K2*...*K[α]回】...g[2^g(108)](108)...)
A(1,0,2)=A(1,1,1)=A(@,A(0,A(1,0,1),1),0)=A(108,108,0)=g(108)
A(1,0,1)=A(1,1,0)=A(A(0,1),0)=3
A(1,1,2)=A(@,A(0,A(1,0,2),2),1)=A(@,A(0,g(108),2),1)=A(@,A(g2(108),g2(108),1),1)
A(x,x)=g(x),
変数値が２でもac関数とかでは書き表せないほどの大きな数になりました。
さらに項数を増やす変数を作ってn重帰納のnの数自体を増幅させるような
漸化式を使えば今までの方法よりもはるかに大きな数ができるだろうな・・・。

ふぃっしゅ数は、そのトリッキーさが人々の興味をひいていたんだけど、
そんな事せずとも実は「適当にでっち上げた」式で、
より巨大数が簡単に出来そうってんで、みんな醒めちゃったのよね。
第二次ブームを起こすためには、何か新しい視点が必要だろうな。

「2つの多重帰納法の大きさ比較」あたりは、
平凡でごく自然なテーマだけど、ブームは無理っぽいな。

ブームもいいけど、地道な検証も悪くない
なかなか自分で計算する力はないけど、楽しんでるよ

はじめて書き込みます。
色々検索しているとき偶然Part1（？）のログにたどりつき、ここまで半日かけて読みました。
といっても複雑な数式は飛ばしながら全体の流れをなんとなく読んだだけですが。

プログラム言語でグラハム数ふぃっしゅ数他の巨大数を記述するというのは
ここまで誰かやってみたのでしょうか？
もちろん結果を出すためには時間もメモリ容量も全然足りませんが、
記述というだけならなんとかできると思います。
自分はプログラマーで、数学の知識はこのスレの人達に比べると乏しいのですが、
計算に使うタワーやアッカーマンの漸化式はわりと簡単にプログラム上で
関数化できると思うので色々やってみようかなと。

↑そっち方面の人は少なかったので、お願いします〜
>>682氏が頑張ってる以外は
新たな展開が少なくてちょっと停滞気味のスレになってます

>>702
期待せずに待っていてください

千里の道も一歩から。というわけでタワー演算子の計算関数を作ってみたんですが、
>>537 の 2↑^n 2 に関する記述って間違ってませんか？
タワー表記の定義に従って計算すると
2↑2 = 4
2↑↑2 = 2^4 = 16
2↑↑↑2 = 2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^16
のようになると思いますがあっていますかね？

>>703
ならないよ。
2↑↑↑2
= 2↑↑2 (2個の2の間に↑↑)
= 2↑2 (2個の2の間に↑)
= 4

>>704
わかったかも。
タワーの計算がなぜか合わないと思っていたら、どうもサイトの情報が間違っていたみたいですね。
ここ http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/function.html
元を正せばここ http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html
の表記、
＞ x↑y = x^y,
＞ x↑↑1 = x↑x, x↑↑y = x↑(x↑↑(y - 1)),
＞ x↑↑↑1 = x↑↑x, x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y - 1)),
＞ x↑↑↑↑1 = x↑↑↑x, x↑↑↑↑y = x↑↑↑(x↑↑↑↑(y - 1))
が間違えていたようです。
これだと、x↑↑2 を展開したときに x↑(x↑↑1) = x↑(x↑x) になってしまう。

http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
が正しいようですね。
以上を踏まえてタワー表記を定義するなら、

x↑y = x^y
x↑↑2 = x↑x
x↑↑y = x↑(x↑↑(y - 1))
x↑↑↑2 = x↑↑x
x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y - 1))
x↑↑↑↑2 = x↑↑↑x
x↑↑↑↑y = x↑↑↑(x↑↑↑↑(y - 1))
となるわけですね。
さらに、
x↑^n 1 = x
x↑^n 0 = 1
だと思います

・・という勘違いもありましたが、とりあえずグラハム数までの巨大数を
計算するプログラムのソースです。
http://okei-super.hp.infoseek.co.jp/src_large_number.txt
グラハム数以外の小さい（？）数は指数関数Power()を数回呼ぶ程度の処理ですが、
グラハム数だけは再帰関数Tower()を使っています。
もちろんコンパイルは通りますが、実行してもまず結果がオーバーフローになるか、
処理が半永久的に終わらないか、スタックオーバーフローで止まるかのいずれかだと思います。

次はどうしようかな、ふぃっしゅ数にとりかかる前にチェーン表記を関数化してみるかな。

ふぃっしゅ氏がいないのなら代わりに頑張ってみようかな。
ここで一つネタ。
数の代わりに関数をタワー表記にしてみるのはどうだろう？
関数の場合はネスト回数でいいかな。
とりあえずひととおりまとめてみた。ただし記号は↑でなく＾だが。
f^f(x)(x)=f(^2)2(x)
f^(...g(x)回...f^(x)...)(x)=f(^2)g(x)(x)
f(^2)(f(^2)...g(x)回...(x)...)(x)=f(^3)g(x)(x)
f(^n)(f(^n)...g(x)回...(x)...)(x)=f(^n+1)g(x)(x)=M1
f(^m)(f(^m)...[f(^m-1)(...[f(^m-2)(...[...[f(^1)(...f(x)回...(x)...)]回...]...(x)...)]回...(x)...]回...(x)...)
f(^f(x))f(x)=f(^2,1)2(x), f(^(f(^f(x))f(x)))f(x)=f(^2,1)3(x)
f(^(f(^...g(x)回...f(^f(x))f(x)...)(x)=f(^2,1)g(x)(x)
f(^2,1)(f(^2,1)(...g(x)回...(f(^2,1)f(x))...)(x)=f(^2,2)g(x)(x)
f(^2,n)(f(^2,n)(...g(x)回...(f(^2,n)f(x))...)(x)=f(^2,n+1)g(x)(x)
f(^n,f(^n,...g(x)回...f(^n,f(x))f(x)...)(x)=f(^n+1,1)g(x)(x)
f(^(f(^...g(x)回...(^f(^f(x),f(x))f(x),f(^f(x),f(x))f(x))...)(x)=f(^2,1,1)g(x)(x)
f(^a_1,a_2,...,a_g(x))f(x)=f(2^1)g(x)(x), (a_n=f(x))
f(2^2)g(x)=f(2^1)(f(2^1)(...g(x)回...(f(2^1)f(x))...)(x)
・・・
f(m^f(x),f(x),...g(x)個...,f(x))f(x)=f(m+1^1)g(x)(x)
いわゆるチェーン表記の関数ネスト版ですね。
g(x)=f(x^1)f(x)(x)とかおけば変換にかなり使えるかも。

ちわヽ(´ー｀)ノ
最近はネタが高度なのと本業多忙につき、語り部をやるべき
自分がなんにもできない状況が続いており、申し訳ないです。
また新たな展開が出てきているようで楽しみです。

>>707
早くも一行目から解読不能です＿|￣|○

＞数の代わりに関数をタワー表記にしてみるのはどうだろう？

それ随分前ににみんなでやってなかったっけ？

＞数の代わりに関数をタワー表記にしてみるのはどうだろう？

それ随分前ににみんなでやってなかったっけ？

>>707
＞数の代わりに関数をタワー表記にしてみるのはどうだろう？

それ随分前ににみんなでやってなかったっけ？

調子が悪くて３連になってしまいましたスマソ

関数をタワーにするのと関数の肩に数のタワーをつけるのは違うのでせうか

>>710>>714
正しく言うと、今までのタワー表記で言うa(↑c)bのaの部分を関数にして、
ｃが１のときはbを関数aのネスト回数にするところから始まります。
つまり714では後者にあたると思います。
例えばf(^2)2(x)=f^(f(x))(x)、f(^2)3(x)=f^(f^(f(x))(x))(x)となり、
以降(^2)の右の数を増やすごとに、ネスト回数部分の入れ子を増やしていき、
f(^2)(f(x))(x)までいったときにはf(^3)2(x)となります。
(^3)以降は(^2)と同様に、f(^3)3(x)=f(^2)(f(^2)(f(x))(x))(x)となり
f(^2)b(x)のｂの部分を多重入れ子にしていきます。
そして(^4),(^5),...と続けていきます。
こうしていくことで、関数f(x)のネスト回数をak関数化していくことができます。
f(^2,1)b(x)では、f(^(f(^...b回...f(^f(x))(f(x))(x)...)(x)))f(x)(x)というように
f(^c)a(x)のｃの部分にf(^c)a(x)をｂ回ネストして、ｃの値がどんどん増えます。
(^2,n)以降ではf(^n)と同じようにしていき、(^a,...,n)と変数が増えていくと
f(x)→b→c→dといったチェーン表記のようになり、(a^b)になると
今度は回転チェーンのような効果が得られます。
全体として関数のネスト回数が回転チェーンで示すような増大率が得られます。

あと707の９,１０行目の
f(^n)(f(^n)...g(x)回...(x)...)(x)=f(^n+1)g(x)(x)=M1
f(^m)(f(^m)...[f(^m-1)(...[f(^m-2)(...[...[f(^1)(...f(x)回...(x)...)]回...]...(x)...)]回...(x)...]回...(x)...)
は無視ね。失礼。

例の３重帰納関数A(x,y,z)の増大率について分析してみた。
A(1,1,1)=g(108), g(a)=A(a,a,0)
A(n,1,1)=g[2*n](108)となる。
まずA(1,n,1)について調べる。
A(1,2,1)=g[2*g4(108)-1](108)=X2
A(1,3,1)=A(A(@,A(0,3,1),0),2,1)=A(A(@,A(3,2,1),0),2,1)=A(A(g[2*g(X1)](1),g[2*g(X1)](1),0),2,1)
=A(g[2*g(X1)+1](1),2,1)=A(A(@,A(g[2*g(X1)+1](1)-1,2,1),0),1,1)=A(A(@,A(...g[2*g(X1)+1](1)回...A(A(@,A(0,2,1),0),1,1)...),0),1,1)
=A(A(@,A(...g[2*g(X1)+1](1)回...A(A(@,A(1,1,1),0),1,1)...),0),1,1)=A(A(@,A(...X2回...A(g2(108),1,1)...),0),1,1)
=g[2*g[...X2回...2*g[g2(108)](108)]...](108)=X3, X2=g[2*g(X1)+1](1)
A(n,2,1)=A(A(@,A(...n回...A(A(@,A(1,1,1),0),1,1)...),0),1,1)=g[2*g[...n回...2*g[g2(108)](108)]...](108)
このようにｎが２から３に上がると一気に増大する。n=4では
A(1,4,1)=A(A(@,A(0,4,1),0),3,1)=A(A(@,A(4,3,1),0),3,1)>A(X3_4,3,1)
=A(A(@,A(...X3_4回...A(3,2,1),0),2,1)...),0),2,1)
>=g[2*g[...【X3*X3_2*...*X3_[X3_4]回】...2*g[g2(108)](108)]...](108)
A(n,3,1)=A(A(@,A(n-1,3,1),0),2,1)=A(A(@,A(...n回...A(3,2,1),0),2,1)...)),0),2,1)
g[2*g[...X3_k回...2*g[g2(108)](108)...](108)=X3_k+1, X3_1=X3
A(4,3,1)=X3_4
というようにn=3よりはるかに増大率が大きくなる。
このように全体としてみていくと、
A(1,n,1)→Ｓ変換に相当すると思われる。

続き。次にＳ(２)変換以降で調べていくと、
A(n,1,2)=A(A(@,A(A(@,A(n,n-1,2),1),0,2),1),0,2)
と、A(a,1,2)が繰り返されていき、これはＳ(２)変換の対角化と見られる。
以下同様にして、
A(n,2,2)=A(A(@,A(n-1,2,2),1),1,2)=A(A(@,A(...n回...A(2,1,2)...),1),1,2)→Ｓ(３)変換対角化
A(n,n,2)→Ｓ(ｎ)変換対角化
となることが推定できる。A(a,b,3)以降は、
A(n,1,3)=A(A(@,A(n-1,1,3),2),0,3)=A(@,A(@,A(...n回...A(1,1,2)...),2),2)→ss(1)変換
A(n,2,3)=A(A(@,A(n-1,2,3),2),1,3)=A(@,A(@,A(...n回...A(2,1,3)...),2)1,3)→ss(2)変換
A(1,n,3)=A(A(@,A(0,n-1,3),2),n-1,3)=A(@,A(0,A(...n回...A(1,0,3),2),1,3)...),2),n-1,3)→ss(n)変換
A(n,1,4)=A(A(@,A(n-1,1,4),3),0,4)=A(@,A(@,A(...n回...A(1,1,3)...),3),3)→sss(1)変換
A(1,n,4)→sss(n)変換＞Ver3ふいっしゅ数
となり、A(1,1,4)段階ですでにVer3ふぃっしゅ数を超えることになる。
このままいくと、A(1,n,m)→s(m-1,n)変換までいくと考えられる。
これ以上次元を上げるには項数を増やすか４重帰納にしていく必要があるだろう。

>>708
＞もやしっ子さん
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
のページ作っている方ですよね？非常にお忙しいようで
このレスを見ているかどうかわかりませんが、とりあえず
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/function.html#tower
のタワー表記のところを正しい記述に直したほうがいいと思いますよ。
今のままだと自分のように勘違いたまま計算してあれれ？って人が
後を断たないと思うので、暇な時間ができたときにでもどうかひとつ更新を。

確かにネタは高度ですよね。682さんのやっているようなこと、
いまいち理解が追いつかない。自分もわかるところから順に
踏みしめていこうかなと思ってます。

話はかわって、モーサー数(Moser's number)を計算するプログラムができました。
http://okei-super.hp.infoseek.co.jp/src_large_number2.txt
例によって実行しても結果が出るまでに宇宙が終わるくらいの時間がかかりますが。

ここ２、３日ずっとモーサー数を調べていて、今更ながら色々わかりました。
モーサー数はかなり大きい数ですが、グラハム数に比べると限りなく小さく、
ふぃっしゅ数からすれば無に等しいほどのレベルです。
ちなみに、前スレ407のふぃっしゅ氏のモーサー数のチェーンによる近似、間違ってます。
恐らくモーサー数を算出する前段階のMEGAという数と勘違いしているのではないかと。

モーサー数＜グラハム数 の証明というのは
http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/gmproof.htm
このページに出ているのですが、ちょっと荒っぽい近似を使っていますね。
もう少し精密に計算すると、
3→3→(2[5]-3) ＜ 2[ MEGA ]=2[ 2[5] ] (Moser's number) ＜ 3→3→(2[5]-2)
ただし、 2→259→2 ＜ 2[5] (Steinhaus's MEGA) ＜ 2→260→2
のようになります。

ここまで色々計算したものをまとめて、モーサー数を含めてチェーンによる大小比較を
改めて書いてみました。

10→2→2=10↑↑2 　＝ 10^10
3→3→2=3↑↑3 　 　≒ 10^12
無量大数 　 　 　 　　 ＝ 10^68
エディントン数. 　 　 　≒ 10^79
グーゴル. 　 　　　　　 ＝ 10^100
センティリオン..　　　　＝ 10^600
現在の最大素数 　 　≒ 10^10^6
10→3→2=10↑↑3 　＝ 10^10^10
3→4→2=3↑↑4 　 　≒ 10^10^12
不可説不可説転 　 　≒ 10^10^37
グーゴルプレックス..　＝ 10^10^10^2
10→4→2=10↑↑4 　＝ 10^10^10^10
3→5→2=3↑↑5 　 　≒ 10^10^10^12
第1スキューズ数 　 　＝ 10^10^10^34
第2スキューズ数 　 　≒ 10^10^10^10^3
10→5→2=10↑↑5 　＝ 10^10^10^10^10
3→6→2=3↑↑6 　 　≒ 10^10^10^10^12
10→2→3=10↑↑10 .＝ 10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
＝ 10→10→2
＜ 2→259→2　＜ 2[5] (Steinhaus's MEGA) ＜ 2→260→2
＜ 3→3→3 ＜ 3→3→4
＜ 3→3→2→2 ＜ 2[ 2[5] ] (Moser's number) ＜ 3→3→3→2
＜ 3→3→64→2 ＜ グラハム数 ＜ 3→3→65→2
＜ 3→3→3→3

「おいおい、今更そんな小さい数かよ。ふぃっしゅ数がバージョン５まであって
さらに三重帰納法がどうたらってときにこんな話題出すなｺﾞﾙｧ!!!」
とお怒りの方もいるでしょうが、適当にｽﾙｰしてください。

どの時点で宇宙の電子の数を超えるの？
宇宙の電子の数に一つ一つ(ry　はいつ超えるの？

>>715
確かに違うかなという雰囲気はしてきたんですけど
f(^2,1)以降の定義がよくわかりません。
とりあえずf(^m)nは↓で合ってますか？

f(^2)2 (x) = f^f(x) (x)
f(^m)(n+1) (x) = f(^m)(f(^m)n(x)) (x)
f(^m+1)n (x) = f(^m)(f(x)) (x)

二行目がちがうかな。
これじゃwell-definednessすら怪しいし。

f(^m)1 (x) = f(x)
f(^1)n (x) = f^n (x)
f(^m+1)n+1 (x) = f(^m)(f(^m+1)n (x)) (x)

これでうまくいくかな。
Ackermann関数の定義に似てる。

定義する際は入れ子にせず、多変数関数として漸化式を書く方が分かり易いよ。例えば
f(^a)b(x)はf(a,b,x):=f(a-1,f(a,b-1,x),x)？

>>714
確かにふぃっしゅ関数とかもかなり理解が難しいし、
自分がやっているのもそれ以上に高度なネタだからね。
あとネスト関数の記号では>>724で正しいです。
まさにak関数と似てますね。
ちなみに２変数以上については
f(^n,1)b(x)=f(^n-1,f(^n,1)b-1(x))f(x)(x), f(^n,1)1(x)=f(x)
と言った感じか。これは
f(n→1→b)(x)=f(n-1→f(n→1→b-1)(x)→f(x))(x)のようにすればわかりやすいか？
>>725
わかりやすい表記法どうも。まさにアッカーマンそのものの感じですね。

>>726
そうなるんですか。
漸化式の形はチェーンと同じですね。
f(x)=axとすると
f(^d,c)b (1) = a→b→c→d
かな？

今まで出てきた爆発的な関数を作る手続きの共通点について、
前から思ってたことがちょっとまとまってきたんで書いてみます。
もっと一般化できるかもしれない。
ふぃっしゅ数がこれでうまく表現できるかどうかも未検証だし。

f：N→N
W：Nと同型な部分集合を持つ整列集合（以下その部分集合とNを同一視する）
として、fをWからNへの部分関数とみなして超限帰納的に
φ：W-N → W s.t. φ(a)＜a (∀a∈W-N)
f(a)=f(φ(a))
（b＜aのときφの定義にf(b)の値を使ってもよい）
を定義すると、fをWからNへの関数に拡張できる。
Wは一般の整列集合としましたが、気持ちとしては
N^nに辞書式順序を入れたようなものを考えてます。

f(b)の値を使うってところはちゃんと書くと、
「W-NからWへの写像の族{ψ_λ}を
ψ_λ(a)＜aをみたす任意のものとするとき、
φ(a)の定義はf(ψ_λ(a))に依存してよい」
こんな感じですかね。。。
わざわざ分かりにくく書いてるようで嫌ですが。

例えば・・・
f(x)=x+1、W=N^2(辞書式順序で整列)として{(0,n)|n∈N}をNとみなし、
φ(m,n)
|(m-1,1) (if n=0, m>0)
|(m-1,f(m,n-1)) (if n>0, m>0)
によってfを拡張して得られるのがakです。
ちなみにψ_λ((m,n))=(m,n-1)です。

アッカーマンって結局タワーより増加小さいんじゃなかったっけ？

>>717
だとすると、
s(n)変換から
ss…ｎ…ss(ｎ)変換
の過程で二重帰納からｎ重帰納になっていくってこと？
確か、根っ子の計算が二重帰納なら二重帰納の域を出ないという
意見はどうなるんでしょうか？

さらに
ss…ｎ…ss(ｎ)変換から
記号化が追いつかないｎ次元の変換
というように続いていくVer5はどうなるんだ？

>>730
たしかアッカーマンの方が大きいんじゃない

>>730
アッカーマンは
A(x+2,0)+3 = 2→3→x = 2↑↑…（↑がx個）…↑↑3
で表せるからxが1増えるごとにタワーが1増えるということで
タワーと同じ発散力だと思います。
ちなみにモーサー表記も同じでn[x]からn[x+1]になるとタワー1個ぶんの増加です。

>>716-717
ようやく３重帰納関数の威力が垣間見えて来たような…

乙です

たびたびすいません。728の文章を理解するには、どこを参照すればよいのでしょうか？
特に「超限帰納的」と言う単語が初耳でして・・・

>>734
超限帰納的な定義というのは、
aより下での値を使ってaにおける値を定義すると
すべてのaで定義できるというような話です。
その理屈が成立するために必要なのが整列集合であるという条件です。
詳細は集合論の本に載ってると思います。

>>731
ふぃっしゅ関数のように何重も２重帰納を重ねて次元を上げれば
ここで取り上げた３項の３重帰納関数を超えられると思います。
ただ関数一つの範囲ではどの
２重帰納関数も３重帰納関数の増大率を
超えることはないようです。

ここで多重帰納を重ねた巨大関数を思いつきましたが、
その前に４重帰納の威力も少し説明。
A(w,x,y,z)
=A(A(w-1,x,A(A(w,x-1,y,z),@,@,z-1),z),A(w-1,x,A(A(w,x-1,y,z),@,@,z),z-1),z),y-1,z)
A(0,x,y,z)=A(0,x-1,y,z)
A(w,0,y,z)=A(w-1,0,A(w-1,0,A(A(w,0,y-1,z),A(w,0,y-1,z),A(w,0,y-1,z),z-1),z),z)
A(w,x,0,z)=A(w,x-1,w,z)A(w,x,y,0)=A(A(A(w-1,x,y),x,y-1)x-1,y)
として、
A(1,1,1,1)=A(A(0,1,A(A(1,0,1,1),@,@,0),1),@,0,1)
=A(A(0,1,A(gg(1),gg(1),gg(1),0),1),@,0,1)
=A(A(0,1,gg(g(108)),1),@,1)=A(A(gg(g(108)),1,gg(g(108)),0),0,A(gg(g(108)),1,gg(g(108)),0),1)
<=A(gg2(g(108)),0,gg2(g(108)),1)=A(gg2(g(108)),0,A(gg2(g(108))-1,0,A(...gg2(g(108))回...A(0,0,α,0)...),0),0)
>=A(...gg2(g(108))-1回...A(1,gg2(g(108)),gg2(g(108))-1)...)<=gg[gg2(g(108))-1](gg2(108))>=gg[gg2(g(107))](107)
α=A(0,0,A(A(1,0,0,1),A(1,0,0,1),A(1,0,0,1),0),1)=A(0,0,A(g(108),g(108),g(108),0),1)=gg2(g(108))
gg(a)=A(a,a,a)とおく。

続いてA(1,1,1,2)では、
A(1,1,1,2)=A(A(0,1,A(A(1,0,1,2),@,@,1),2),@,0,2)
=A(A(0,1,A(A(1,1,1,1),@,@,1),2),@,0,2), Y=A(1,1,1,1)
=A(A(0,1,A(Y,Y,Y,1),2),@,0,2)
=A(A(A(Y,Y,Y,1),A(Y,Y,Y,1),A(Y,Y,Y,1),1),@,@,1), Y2=A(A(Y,Y,Y,1),A(Y,Y,Y,1),A(Y,Y,Y,1),1)
>=A(Y2,Y2,Y2,1)
というように、A(1,1,1,1)でもA^2(g(108),g(108),g(108))となり、
ss...A(g(108),@,@)...s(n)変換にもなり、
さらに右端が２になるとさらに次元を超えた増大率になる。
こうして、ｎ重帰納のｎを上げていくごとにどんどん次元が上がっていく。

ではn重帰納の威力を説明した所で本題に入っていこう。
従来のふいっしゅ関数が２重帰納関数を重ねて増大していくのに対し、
これはn重帰納のnの値を関数化して、増大していくことで
さらなる増大の次元を上げていくことになる。(いわゆるf(x)重帰納)
まず次のような多重(f(x)重)帰納関数を定義する。
A(a_1,a_2,...,a_n)=A(a_1,a_2-1,B_n-2,...,B_n-2)
B_[k+1]=A(a_1,...,a_[n-k+1],B_k,...,B_k)
B_2=A(a_1,...,a_[n-1],B_1), B_1=A(a_1-1,A(a_1,a_2,...,a_n-1),...,A(a_1,a_2,...,a_n-1))
A(a,b,...,f,0,h,...,n)=A(a,...,f-1,n,h,...,n)
A(0,b,...,n)=A(0,b,c-1,B_[n-2],...,B_[n-2])
A(0,...,m,n)=A(0,...,m-1,A(m,n-1)),A(0,...,m,0)=A(0,...,m-1,m)
A(0,...,n)=f_k(n)
A(a1,a2,...,an)=A[n](a), f_k+1(x)=a[x](x) (a1=a2=...=an=a)
a[x](x)の[x]は関数の変数の数である。
初期値f_0(x)にはx+1を入れる。項の数を変数とすることで、
変換を１回繰り返すごとにx重帰納のxの変数値が増加して対角化する。

次にf_1_k(x)をこのＡ関数で漸化式にして変換する。
f_1_1(x)=[f2]_[k-1](x), [f2]_1=x+1
A(0,...,x)=f_2_k(x), f_2_1=f_x(x)
f_2_[k+1](x)=A2(x_1,...,x_x)(x)=A2[x](x)
その次にf_2_1(x)=f_1_x(x)として、f_2_k(x)も同じように何回か変換する。
以降f_3_k(x),f_4_k(x),...と繰り返す。
f_n_1=f_[n-1]_x(x)
A(0,...,x)=f_n_k(x)
fn_k+1=An(x_1,...,x_x)=An[x](x)

続き。
fn_k(x)まできたら、次は項を漸化式fの項を３つにしてf_2_1_1(x)=f_x_x(x)として、
以降f_2_1_2(x),...へとＡ関数の変換を繰り返す。
さらに項の数を増やして何回も変換を繰り返す。
f_1(x)=[fn+1]_x1_x2_..._ax(x)=[f(n+1)]{x}(x), (1<=n<k) [fk]_1=x+1
f_a_1_1(x)=[fn](a-1)_x_x(x)
...
f_2_1_...k個..._1(x)=[fn]_x_...k-1個..._x(x)
f_a_b_..._k_1_..._1(x)=f_a_b_..._k-1_x_..._x(x)
f_a_b_..._k(x)=A(0,...,x)
f_a_b_..._k+1(x)=A(x_1,...,x_x)=A[x](x)
f_x1_x2_..._xx(x)=f{x}(x)として、{x}は漸化式fの変数の個数。
[f2]_k(x)=f{x}(x)とおく。このとき[f2]_[k-1]をf_1(x)とおく。
つまり、[f2]漸化式は上のような過程を繰り返すものになる。
ここで[f2]_1(x)=x+1とおく。
こうして、ふぃっしゅ数のs(m,n)変換にあたる所を何回もＡ関数の変換を繰り返して
f漸化式の添え字の値を増やして次元を上げていく。
次はさらに[f2]漸化式の変数も増やして新たに[f3]漸化式を決めて
さらに[f4],[f5],...と次元を上げていくと増大の次元が急激に増大する。

これで、本当に二重帰納突破しｎ重帰納への道に入ったんでせうか？
だとしたら、久々の、驚異的に大きな展開
ぜひ頑張ってください！

当方は能力が低いので時間をかけてじっくり学ばさせてもらいます。
レギュラー陣にも又帰ってきて欲しいが‥‥‥‥。

>>717
A(1,n,m)で、すでにs(m-1,n)変換までいくというのは
たしかに驚異的。

一般にどんな二重帰納関数よりも大きいことを示すには、>>51の

たとえば、３重帰納法で定義される３変数関数 f(x,y,z)できれいな形
のものをつくってどの２重帰納法で定義されるyに関する関数よりも f(x_0,y,y)が
大きくなる、あるいはある y からさき大きくなるというようにつくれば、f(x,x,x)
がどの２重帰納法で定義される x に関する関数よりあるところからさき大きくなる
わけです。

といったところをうまく説明できればいいのだけれど、たしかに
>>716-717 の説明を見るとなんとなく分かったような気もするの
だけど、どうもまだすっきりしないなぁ。

自分がf(x)重帰納で挑戦するとすれば他はどんな方法でやるのか楽しみだﾅ。
>>741
ただ従来のak関数とかに比べて違うところは、
A(0,y)=A(1,y-1)だったのが、A(0,y)=A(y,y-1)だというような所で、
これによってA(1,1,1)からかなり大きな数になったのだと思います。
あと２、３重帰納については、例えば原始帰納関数
A(a,b)=A(A(a,b-1),0), A(a,0)=fn(x)　として、
f1(x)=a+1, f[n+1](x)=A(x,x)　とすると、
fn(x)はak関数のような二重帰納関数になります。
つまり、このようにn重帰納関数を何重にも変換させると
いつかはn+1重帰納関数化にありえますが、
単一のn重帰納関数のそれ自体ではどれもn+1多重帰納関数を超えることはないことです。

あと訂正
738の下から６行目
A2(x_1,...,x_x)(x)=A2[x](x)→A(x_1,...,x_x)(x)=A[x](x)
739の５、６、８行目
f_1(x)=[fn+1]_x1_x2_..._ax(x)=[f(n+1)]{x}(x), (1<=n<k) [fk]_1=x+1
→f_1(x)=[f2]_x1_x2_..._ax(x)=[f2]{x}(x)
f_a_1_1(x)=f_(a-1)_x_x(x)
f_2_1_...k個..._1(x)=f_x_...k-1個..._x(x)
[fn]についてはもう少し後で説明ね。

>>742
> ただ従来のak関数とかに比べて違うところは、
> A(0,y)=A(1,y-1)だったのが、A(0,y)=A(y,y-1)だというような所で、

ほう、アッカーマン的部分にも手を付けたんですね。
それならいっそA(0,y)=A(fn(y),y-1)みたいに
fn(x)を定義中に混ぜるときっと恐ろしい事になりましょう。

>>742
>A(0,y)=A(1,y-1)だったのが、A(0,y)=A(y,y-1)だというような所で
その違いは一見重要でないように見えるんですが。

というのも、例えばAをこんな風に定義します。
A(0,y) = y+1
A(x+1,0) = A(x,x+1)　　　　(akの場合ak(x,1))
A(x+1,y+1) = A(x,A(x+1,y))
これをakと比べてみます。
まず簡単な計算でA(0,y)=y+1<ak(1,y)=y+2となります。
つぎに、A(x-1,y)＜ak(x,y)と仮定すると
A(x,0)=A(x-1,x)＜ak(x,x)＜ak(x,ak(x,0))=ak(x,1)=ak(x+1,0)
で、あとはyに関する帰納法でA(x,y)＜ak(x+1,y)
となってしまうのですよ。
つまり第1引数を1増やすぐらいの違いすらないと。

むしろ項数を増やしたことの寄与のほうが
絶大な威力を持ってるということなんじゃないでしょうか。

う、なんか違う。
ak(x,ak(x,0))=ak(x+1,1)=ak(x+2,0)
ですか。じゃあA(x,y)＜ak(2x,y)ぐらいしかいえないか。
まあ、それにしてもそんなに寄与はしてなさそうな感じ。

まだ一箇所違ってた。
もうちょっと丁寧に検証しないといけませんね。
ak(x,ak(x,0))＜ak(x,ak(x+1,0))=ak(x+1,1)=ak(x+2,0)
です。

そうすると帰納法の仮定が変でした。
ダメですね。。。すいません。

また修正して、A(x,y)＜ak(x+1,y+1)にします。
A(x-1,y-1)＜ak(x,y)を仮定すると、
A(x,0)=A(x-1,x)＜ak(x,x+1)＜ak(x,ak(x+1,0))=ak(x+1,1)
y>0では漸化式の形が同じなので簡単な帰納法。

携帯からカキコ。
昨日は忙しかったけど大学からしかネットできないので
次の火曜日まで出られなくてスマン。
ではまた。

>>744よりももうすこし大きい
A(0,y) = y+1
A(x+1,0) = A(x,x+1)
A(x+1,y+1) = A(x,A(x+1,y))
を計算してみたら、
A(x,y)≦ak(x^2,y)
となることがわかりました。
粗いといえば粗い評価かもしれない。

>>744-749
検証どうもお疲れです。
ちなみに748は自分のね。
確かにxとx^2との差は大きいようですね。
ちなみに３重帰納関数で
A(0,y,z)=A(1,y-1,z), A(x,0,z)=A(x,1,z-1), A(x,y,0)=ak(x,y)とおくと、
A(1,1,1)=A(A(A(0,1,1),@,0),0,1)=A(A(A(1,1,0),@,0),0,1)
=A(A(3,3,0),0,1)=A(61,0,1)=A(61,1,0)=A(A(60,1),0)=63
A(1,1,2)=A(A(A(0,1,2),@,1),0,2)
=A(A(A(1,1,1),@,1),0,2)=A(A(63,63,1),1,1)
A(63,63,1)=A(A(A(62,63,1),@,0),0,1)
=A(A(A(...63回...A(A(A(0,63,1),@,0),0,1)...),@,0),0,1)
=A(A(A(...63回...A(A(A(1,62,1),@,0),0,1)...),@,0),0,1)
=A(A(A(...125回...A(A(A(1,0,1),@,0),0,1)...),@,0),0,1)
=A(A(A(...125回...A(A(3,3,0),0,1)...),@,0),0,1)
=A(A(A(...124回...A(A(63,63,0),0,1)...),@,0),0,1)=g124(63)
となり、どちらも前のよりグンと小さくなります。

とりあえずn重帰納関数の次元増大について検証してみるか。
まず３重帰納関数がs(m,n)変換で表されるとして、その変換の回数をpとして、
s(m,n,p)=s(m,n-1,s(m,n,p-1))
s(m,1,p)=s(m-1,s(m,1,p-1),s(m,1,p-1))
s(m,n,1)=s(m,n-1,x)
s(m,1,1)=s(m-1,x,x)
s(n,p)=s(n-1,s(n,p-1))
と表される。つまり、s(1)変換p回をs_pとすると、s(n,p)(s(n)^p)変換は
B(0,p)=s_pのときのs(1)変換１回にあたる。(仮にs'(1)変換とおく)
そしてs(m,n)変換はそのs'(1)変換をm回していることになる。
つまりs(1)変換を２重にしているとみることができ、
これが３項３重帰納関数の正体になる。

次に４重帰納関数では、
A(1,n,1,1)=A(A(A(A(n,n-1,1,1),@,@,0),@,0,1),n-1,1,1)
→A(a,a,a)変換(B(a,a)変換を３重帰納にしたもの。仮にs3(1)変換とおく。)
A(1,n,2,1)=A(A(A(A(0,n,2,1),@,@,0),@,0,1),n-1,2,1)→s3(n)変換
A(1,n,m,1)→s3(m-1,n)変換
となる。A(1,1,1,2)以降では
A(1,n,1,2)=A(A(A(A(n,n-1,1,2),@,@,1),@,0,2),n-1,1,2)
→A(a,a,a,1)変換(s3'(1)変換とおく)
A(1,m,n,2)→s3'(m,n)変換
A(1,n,m,x)→A(a,a,a,x-1)変換(s3''...x個...'(m,n)=s3(x,m,n)変換)
となり、３重帰納変換がx回重ねられる。
ちなみに５重帰納では４重帰納がx回重ねられたs4'(x)(l,m,n)変換になると思う。
こうしてn重帰納のnの値が増えると増加の次元も大幅に大きくなり、
ふぃっしゅ関数Ver5のm(n)変換もこれにつれて増加しているかもしれない。
もっともVer5のはほとんど理解できていませんが。

>>749
うわぁー間違ってる
これじゃ前のと同じじゃん・・・

誤　A(x+1,0) = A(x,x+1)
正　A(x+1,0) = A(x,A(x,x))
度々ｽﾐﾏｾﾝ・・・

>>752
もしもふぃっしゅ関数Ver5のm(n)がn重帰納的に増加すると
すれば、>>10 で f5(x) はx重帰納となってn重帰納を
超えてしまうわけか。

Ver5の理解をしないとはじまらないけど、そもそもVer5は
まだ作りかけだったような…>>10-11でいいのかな？

先ほどの４重以上の帰納関数ですが
４重帰納は2*x段階の３重帰納、５重帰納は2*x*x段階の４重帰納を重ねて、
n重帰納では2*x^(n-3)段階のn-1重帰納を重ねていると思われます。
A(a1,a2,...,an)においてn重帰納変換をf(n)とおいて、
f(3)=(f(2)^xf)^xf(x)
f(4)=(f(3)^xf)^xf)...2*x回...)^xf(x)
f(n)=(f(n-1)^xf)^xf)...2*x^(n-3)回...)^xf(x)
となる感じです。
もちろんn多重帰納関数の変数がnより多いときにはこれより複雑になります。

多重帰納関数をさらに改良してみた。まず３項関数においてA(x,y,z)=A(A(A(x-1,y,z),y-1,z), A(A(x-1,y,z),y-1,z),z-1)=A(A(A(x-1,y,z),y-1,z),0,z)＜A(A(A(x-1,y,z),y-1,z),y-1,z)
であり、これを発展させてネスト回数を利用して、
A(x,y,z)=A(A(B[B1],y-1,z),y-1,z)
Bn=A(A(B[n-1],y-1,z),y-1,z), B1=A(x-1,y,z)
A(0,y,z)=A(B[B1],y-1,z), B1=A(f(y),y-1,z)
A(x,0,z)=A(B[B1],B[B1],z-1),Bn=A(B[n-1],B[n-1],z-1),B1=A(f(x),f(x),z-1)
とする。ネスト回数までＡ関数なので従来のより爆発的に増大する。
これで多重帰納に多重帰納を重ねて同様の形で変数を増やしていけば
さらなる次元の高い変換も作れるかもしれない。

さらにもう一つ提案。
>>653での改良みたいだがNest変換をf(x)重帰納関数の変換に変えると
絶大な効果が得られるかもしれない。
>>738の手順の改良版かもしれないが。
とりあえず、多重帰納関数をA{m}(x1,...,xx)として、
{m}はその関数をm回変換することを意味するとする。
A{1}(0,...,x)=f(x)
A[f,x]=A{x}(x1,...,xx)
f_1(x)=A[f,x]
f_n(x)=A[f_[n-1],f_[n-1](x)]
f_1_1(x)=A[f_x,f_x(x)]
というようにして、
f_x_x_...x個..._x(x)まで来たらこれまでの手順をまとめて
[f2]_1(x)=A2[f,x]=f{x}_x_..._x(x), f_1(x)=f(x)　({x}は変換回数)
[f2]_2(x)=A2[f_1,f_1(x)]
とし、以降繰り返してAn[f,x]までいく。
A[f,x]に>>756の関数の多変数版を使ったらどうなるか。

むー、どうしても式が見づらいなあ。
テキストでも入れ子関係がわかりやすい表記法を開発した方が良いかもなあ。

A(x,y,z)=
A(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)=
　　A(　　　　　　　　　　),A(　　　　　　　　　　),z-1
　　　　A(x-1,y,z),y-1,z　　A(x-1,y,z),y-1,z

A(　　　　　　　　　　　　　　　)＜
　　A(　　　　　　　　　　),0,z
　　　　A(x-1,y,z),y-1,z

A(　　　　　　　　　　　　　　　　)
　　A(　　　　　　　　　　),y-1,z
　　　　A(x-1,y,z),y-1,z


例えばこんな感じ？

A(x,y,z)=
A(
　A(
　　A(x-1,y,z),
　　y-1,
　　z
　),
　A(
　　A(x-1,y,z),
　　y-1,
　　z
　),
　z-1
)

こんなんとか？行数多すぎるかも。

>>758
やはりそれだと行数が多くなるのが痛いですね。なら(),{},[],...と括弧の種類を増やすのがいいかな？

Ver5はまだ意味不明というほどの理解度だな・・・。
なら次元拡張も独自に作ってみよう。
次元拡張の一つに変換関数の変数を増やすのが最も単純だが、
その変数の集合をリストとして、さらにそのリストを増やして
別のリストにまとめるというのを繰り返す方法をとる。
例えば関数f[a](x)はaを変換(漸化式など)Ａを繰り返す回数とし、
f[a,b](x),f[a,b,c](x),...,f[a,...,n](x)と変数を増やして
>>653>>757と同じ要領でＡ変換を何度も繰り返す。
f[a,...,n](x)=f[L1,n](x)とおく。(nはリストの変数の数)
次にそのリストの外に別の変数を作り、f[a,[L1,n]](x)とし、
これをf[b,...,n](x)をa回繰り返す。(この手順をL1変換とおく。)
さらにリスト外の変数を増やしてL1変換を繰り返してf[[L1,n][L1,n]](x)となる。
さらにその[L1]を増やしてf[[L1]...n個...[L1]]でf[L2]とまとめる。
ここまでをL2変換とし、f[a,...,n,[L2]]で同様にL2変換を繰り返し、
f[L1][L2],f[[L1]...[L1]][L2]=f[L2][L2],...とさらにリストを増やして
f[L3]とまとめて、さらにf[L3]...[L3]=f[L4],...とリストの次元を上げて、
f[Ln-1]...[Ln-1]=f[Ln]とおく。
ここまで来たらものすごいと思うが、さらにその[Ln]のnの値の関数f(n)を
もとに上のリスト次元変換をしてさらにそれを繰り返していくと
次元がどんどん拡張される。

多重帰納変換の増大率について改めて考察。
A(a,b,c)はs(1)変換を２重帰納変換にしたときのs(m,n)変換相当
A(a,b,c,d)はs(1)変換が３重帰納のときの
s'(m,n),s''(m,n),...,s'...n個...'(m,n)=s(l,m,n)変換相当
A(a1,a2,...,an)はs(1)変換がn-1重帰納のときのs(b1,b2,...,bn)変換相当
になるのかな。

>>58-59 >>63 にて Ver.5 の M(n) と
F(w1,x1,w2,x2,...,wi,xi;z)=F(w1-1,F(w1,x1-1,w2,x2,...,wi,xi,y,z),w1,x1-1,w2,x2,...,wi,xi;z) (w1,x1>0)

といった感じの多項漸化式が比較されているので、Ver.5 については
この漸化式との比較で考えると分かりやすくならないかな？

こんなのはどうでしょうか

A(x,y,z)=A┬A┬A(x-1,y,z)
　　　　　　│　├y-1
　　　　　　│　└ｚ
　　　　　　├＠
　　　　　　└z-1

書きづらいように見えるけどAAEを使えばかなり楽。

なんとなく良さ気なので、いろいろ書いてみる。
とりあえず698に手を加えてみました。

A(x,0,0)=f(x)
A(0,y,z)=A(y,y-1,z)　[z=0含む]
A(x,y,0)=A┬A(x-1,y,0)
　　　　　　├y-1
　　　　　　└0
A(0,0,z)=A(z,z,z-1)
A(x,0,z)=A┬A(x-1,0,z)
　　　　　　├@
　　　　　　└z-1
A(x,y,z)=A┬A┬A(x-1,y,z)
　　　　　　│　├y-1
　　　　　　│　└z
　　　　　　├@
　　　　　　└z-1

こっちの方が698より大きく、かつ自然な拡張かと思いますがどうでしょう？

>>762
その漸化式は１回ごとに変数が増えていくのかな？
だとしたら本当に帰納的になるのかはわからないですね。普通に
F(w1,x1,w2,x2,...,wi,xi;z)=F(w1-1,F(w1,x1-1,w2,x2,...,wi,xi,y,z),w2,x2,...,wi,xi;z)
とかだったらわかる気もしますが。

そういえばプログラミングの配列表記にしてみると先ほどの
リスト構造はL[a][b]...[n]で表せますね。
１次元L[n]はf(a1,...,an)、２次元L[m][n]はf((a1,...,an),...,(m1,...,mn))
といった感じで。つまり各要素とリストの数を表しているだろうか。
これをさらに拡張してL[n]...[n]のリスト構造をL2[n][n]と表して
さらにL2[n]...[n]→L3[n][n]というような次元拡張もいいですね。

>>763
A(x,y,z)=A┬──A┬A(x-1,y,z)
　　　　 └y-1,z└y-1,z
A(0,y,z)=┬──A(y,y-1,z)
　　 └y-1,z
これならあまり行数とかも使わずにすむけどね。
こっちがさらに大きいです。同じ繰り返しになりますが。

あ、上のAAずれてしまった。欝だ・・・。

ほれ
http://aaesp.at.infoseek.co.jp/

>>765
引数として、多重にネストした list を許すならば、次のような関数が定義できます。

[ と ] をバランスよく並べた列を考えます。

例) [[[ ]]] とか [[[ ][ ]][ ]][[ ]][ ]

_list_ を上のような列としたとき、
A{_list_}(n) という関数を次のように定義します。

A{ε}(n)=n
A{_list_[ ]}(n)=A{_list_}(n+1)
A{_list1_[...[_list2_[ ]]...]}(n)=A{_list1_[...[_list2_]*(n+1)...]}(n+1)
(ただし、]...] の部分は ] だけの列)

ただし、εは空列、[_list_]*n は [_list_] を n 個並べた列です。

f(x)=A{[[...[ ]...]]}(x) ({} 内の列は x 重のネスト)

とおけば、f(x) は猛烈な速さで増加する関数であることが知られています。
hydra game とか Goodstein sequence で検索してみてください。

>>768
hydra game とかについては一応見ました。
いわゆるリスト階層を木で表して枝の数を１、２、・・・と増やして
いくもので、ここでは特定のリストを変数xでどんどん増やしていく関数ね。
さらにこの関数から同じリスト階層引数を使って同じように繰り返して
いく方法をとれば次元もどんどん上がるでしょう。
でも、A{_list_}(0)とかはどう定義すればいいのかな？

あといろいろ検索してみたら同じ巨大数で語っている面白いサイト発見！
ttp://www.bekkoame.ne.jp/ha/hc17910/short8.htm
これはak関数に極限順序数を用いたもので、>>60のHardy Functionの応用
だと思われるがこれだと今までここで出たどの関数よりも大きいようだ。
もちろんBB関数とかよりは小さいようだが。
ちなみに極限順序数とかはやっとだいたい理解できたところです。

>>769
てゃんｋｓ！
・・・でも極限順序数についての説明はそこには無いのね。
ちょいと自力で調べてみましょう。時間はかかりますが。

実はあんまりよく分かってなかったのでふぃっしゅ数Ver.1計算してみました。
http://briefcase.yahoo.co.jp/ring_hom
とりあえず適当に作ったプログラムと計算過程を記したdviファイルを置いときました。
プログラミングに関しては素人に近いので変なとこがあるかもしれませんが。

数日前からアクセス規制のため書き込めなくなってしまってます。
今はダイヤルアップで繋いで書いてますが、
解除されないようならここへのレスなども上のフォルダに置いとくかもしれません。

>>769
そりゃ、超限順序数使えばできるでしょ・・・と思いながら見てみましたが、
よく読んだら斬新なことをやってますね。
関数値まで超限数にしてしまうとは。
でもちゃんと定義できてるんでしょうか？
一番微妙なところが「対角化」の一言で済まされてしまってるようですが。

解除されたようです。
こっちに書いときます。

>>769のリンク先にある関数ですが、何の定義もなしにAk(ω，ω，n)と書いてしまってますね。
Ak(ω, ω, 0)=2ω
Ak(ω, ω, 1)=ω^2
Ak(ω, ω, 2)=ω^ω
Ak(ω, ω, 3)=ε=ω^ω^ω^...
ということなのでしょうけど。

まあそれは筆者自身も不自然だとしているし、あんまりつつかないことにして、
P(k, 1, 1) = 2k,
P(k, n+1, 1) = 2P(k, n, 1),
P(k，1，z)= k,
P(m，n＋1，z) = P(P(m，n，z), P(m，n，z)，z−1) (z≦2)
ですが。
やっぱりzが極限数になるところでの定義がわかりません。
要は任意の極限数に対してそれに収束する順序数の列を取って
>>60と同じことをやるんだとは思いますが。
それが任意の順序数について取れるのかというと・・・よくわからない。
計算不可能云々の話が出ているので一般には取れないのかもしれません。
読んだ感じでは、
「一般には取れないけど具体的に極限数がひとつ与えられたら作れる」
というような感じを受けましたが。

しかもまた定義なしでP(ω, ω, n)なんて書いてあるし・・・

もしかして、P(k, m, n)のk, mに無理矢理ωを代入してしまうのか？
それならAkの時と変わらないような。

プログラム間違ってました
SS変換後の関数の計算のところでtmpは和ではなく積になります。
こんな感じで
tmp=1;
for(j=0;j<=i;++j){
　　　　tmp*=snd_component(j,fst_component(j));
}

久しぶりにあげ。
>>772
確かにあそこのページの定義は説明不足でしょう。
でもやはり極限数での定義はそのとおりでいいと思いますね。

それにしても極限数とか使うのは何かと抽象的っぽいので
まずは見た目が単純なリスト拡張法で行きますか。
そろそろふぃっしゅ関数対抗の公式Ver.1発表していきます。
まず>>653のように
f(x)=x+1, [1]f(x)=N[f,x]=f^x(x)とおいて、
[n]f(x)=N[[n-1]f,x]
[n,x]f(x)=N[[n-1,x]f,x]
...
リスト２階層以上は次のように多重括弧で定義して
[[1],[1]]f(x)=N[[x1,...,xx]f,x]=N[[[x]]f,x]
[[[x1]],[[x2]],...,[[x]]]f(x)=[[[1],[1]]]f(x)
...
{[[...n回...[[x1]]...]],...,[[...n回...[xx]...]]}f(x)=[[...n+1回...[x]...]]f(x)
までいく。ここで初期値f(x)=x+1のとき[[...x回括弧...[x]...]]f(x)=L1[x+1,x]とおいて、
以降[2]f(x)=L1[[1]f,x],...と上の手順を繰り返して
[[...x+1...[1]...]]f(x)=L2[[[...x...[x]...]]f,x]までいったら
次はL3[x+1,x]で、以降繰り返しでLn[f'(x),x]まで次元を上げる。
ここでL63[x+1,3]を682の居住地の静岡県をとって
Ver.1の静岡数とでも名づけてみる(ｗ

>>774
[n]f(x)がだいたいak(n,x)ですね。
それ以降はよくわからないので順番に質問していきます。

>[n,x]f(x)=N[[n-1,x]f,x]
まずここから。
左辺の二つのxは同じxですか？それとも
[n,y]f(x)=N[[n-1,y]f,x]
と思っていいんでしょうか？

それからもうひとつ、n=0のときはどうするんでしょう。
[0,y]f(x)=[y]f(x)？

>>769のサイトに新たな記述が加わってましたが、
前からそんなようなことは何となく感じてました。
その辺がちょっと考えれば見えてしまうから
「巨大数をつくる」ということに関心を持つ人があまりいないのかな。

>>775
どうも失礼。
正しくは[n,x]f(x)=N[[n-1,x]f,x]ではなくて
[n,1]f(x)=N[[n-1,x]f,x], [n,y]f(x)=N[[n,y-1]f,x]でした。
あと[0,y]f(x)=[y]f(x), [0,x]f(x)=[1,1]f(x)でいいです。
それから２階層以上については
([x1,...,xx][x1,...,xx]...x...[x1,...,xx])f=([[x1]],...,[[xx]])f
→([1][[[1]]])f=[1][[0][0]...[0,...,1]]f(x)→[1][[0][0]...[0,...,2]]f(x)
というような感じで進んでいきます。
つまり上位階層リストの一つの要素を変えたりのリストを一つ増やしたりするだけで
想像以上の手間がかかるということです。
ちなみに[1,1][1]f(x)の段階ですでにx重帰納が対角化されていると思います。

>>777
>あと[0,y]f(x)=[y]f(x), [0,x]f(x)=[1,1]f(x)でいいです。
ここの二つ目の式は・・・？

今分かってるところをまとめると
[0]f(x)=f(x)
[n+1]f(x)=N[[n]f,x]
[0,n]f(x)=[n]f(x)
[m,0]f(x)=??
[m,n+1]f(x)=N[[m,n]f,x]
こんなところです。

>>778
おっと、正しくは[1,1]f(x)=N[[0,x]f,x]でしたね。またスマソ。
それから[m,0]f(x)は一応ありませぬ・・・。
あるとしたら[m,0]f(x)=[m-1,x]f(x)でしょうか。

>>779
じゃあこういうことですか
[0]f(x)=f(x)
[n+1]f(x)=N[[n]f,x]
[0,n]f(x)=[n]f(x)
[m,0]f(x)=[m-1,x]f(x)
[m,n+1]f(x)=N[[m,n]f,x]

nをどんどん減らしていって0になったときどうするか決めておかないと
定義できたことににならないので一応[m-1,x]f(x)と書いておきました。
まあ[m+1,1]f(x)=N[[m,x]f,x]でも同じです。

一般の場合も含めるとこんな感じですか？
[0]f(x)=f(x)
[x_1,...,x_n]f(x) = N[ [x_1,...,x_{n-1},x_n-1] f, x]　(x_n>0)
[x_1,...,x_n,0,...,0]f(x) = N[ [x_1,...,x_{n-1},x_n-1,x,...,x] f, x]　(x_n>0)
[0,x_1,...,x_n]f(x) = [x_1,...,x_{n-1},x_n-1]f(x)

>>780
>[x_1,...,x_n,0,...,0]f(x) = N[ [x_1,...,x_{n-1},x_n-1,x,...,x] f, x]　(x_n>0)
>[0,x_1,...,x_n]f(x) = [x_1,...,x_{n-1},x_n-1]f(x)
正しくは
[x_1,...,x_n,0,...,1]f(x) = N[ [x_1,...,x_{n-1},x_n-1,x,...,x] f, x]
[0,x_1,...,x_n]f(x) = [x_1,...,x_{n-1},x_n]f(x)
です。

ちなみに一つ目のリストでの関数の増大率についての検証してみました。
[n]f(x)→原始帰納関数
[1,1]f(x)→２重帰納
[1,1,1]f(x)→３重帰納（たぶんs(1)変換の対角化だと思う）
[1,...n...,1]f(x)→n重帰納
二つ目のリストの一つ目の変数では
[[1][1]]f(x)→x重帰納
[[n][1]]f(x)→x重帰納変換n回
というような感じで増えていきます。
それ以降のもできたら調べてみます。

それから先ほどの３重帰納関数ですが、実は
s(1)変換の対角化にしかすぎないらしいです。
A(a,b,1)のはs(1)変換の２、３回目あたりだと思います。
もっともどっちにしてもn多重帰納関数は
s(a1,b2,...,an)変換に収まるものですが。

素人にゃわけわからんな

>>781
じゃあ
ｓ(2)を対角化したs(3)変換が四重帰納法？
それとも
ｓ(n)を対角化したss(1)変換が四重帰納法？
だとすると
ss…(ｎ)…ss(ｎ)変換がｎ重帰納法？

>>781
そうですね、書き間違いでした。
[0]f(x)=f(x)
[x_1,...,x_n]f(x) = N[ [x_1,...,x_{n-1},x_n-1] f, x]　(x_n>0)
[x_1,...,x_n,0,...,0]f(x) = [x_1,...,x_{n-1},x_n-1,x,...,x](x)　(x_n>0)
[0,x_1,...,x_n]f(x) = [x_1,...,x_{n-1},x_n]f(x)
こんな風に理解しときます。

2階層以降はまだ全く理解できておりません。
まず>>774の
>[[1],[1]]f(x)=N[[x1,...,xx]f,x]=N[[[x]]f,x]
ここでいきなり出てきているx1,...,xnは何者ですか？

>>781
それから一応確認。
[n]f(x)が原始帰納だというのは、nを定数と見ているからですよね？

>>783
Ver1でいくとss...n...ss(n)(=s(n,n))変換を一回して、
h(x)=s(x,x)^xとおいて、さらにs(n,n)変換をx回繰り返した
ときが４重帰納法になると思います。
ちなみにVer2の場合はs(3)変換あたりで４重帰納法になり、
s(n)変換でn重帰納法になると思います。
(２回目からのs(2)変換での元の関数がg(x)=s(1)^xとなり、そこから
s(1)変換を繰り返す、というような変換だと思う)

>>784
x1とかxnはそのリストの変数の順序を示していて、n個変数があるという意味です。
[n]f(x)などのnは定数で、xは変数です。
あと２階層以上については大リストの外側別リストの変数が増えていくに
つれて、その大リストの中の小リストの数が増えていくという仕組みです。
外側リストの変数が１増えるのに大リスト内の変数増加の変換を繰り返す
という多大な手間をかけていく形です。
まあリスト階層はベクトルから行列、さらにそれを次元拡張した
テンソルというのを想像すればいいかもしれません。

聞き方が悪かったのかな？
>>774の
>[[1],[1]]f(x)=N[[x1,...,xx]f,x]=N[[[x]]f,x]
この式は、何をどのように定義するといっているのですか？

後で読み返したらなぜか偉そうな口調になっていることに気付く。
失礼しました。

>>787
忙しくて遅れてスマソ。
[x1,...,xx]=[[x]]ですが、
[[x]]は第１リストの変数の数と値がxだということを示して、
続いて[[[x]]]=[[x]][[x]]...x...[[x]]と第２リストx個を示し、
以降続いて[[...x...[x]...]]まで続くという意味になります。

つまり、まず
[^(n+1) x ]^(n+1) :=[^n x ]^n をx個並べたリスト
として帰納的に定義し
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^(n+1) 1 ]^(n+1) ] f(x):=N[ [^n x ]^n f,x]
と定義するのですか。
じゃあ一般に自然数x_1,x_2,...,x_nに対して、
[ [x_1],[x_2],...,[x_n] ]f(x),
[ [[x_1]],[[x_2]],...,[[x_n]] ]f(x), etc
も定義しなければならないわけですが、
これはどう定義されているのですか？

>>790
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^(n+1) 1 ]^(n+1) ] f(x):=N[ [^n x ]^n f,x]
だいたいその通りですね。
ちなみにここでの１は各階層のリストが一つで元の変数値も１という意味になります。
その次には
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^1 2 ]^1 ] f(x),
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^1 3 ]^1 ] f(x),...
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^1 1, 1 ]^1 ] f(x),...
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^2 1 ]^2, [^2 1 ]^2 ] f(x),...
[ [^(n+1) 1 ]^(n+1), [^n x ]^n ] f(x),
[ [^(n+1) 2 ]^(n+1), [^1 1 ]^1, [^1 1 ]^1 ] f(x),...
[ [^(n+1) 2 ]^(n+1), [^1 1 ]^1, [^n x ]^n ] f(x),
[ [^(n+1) 2 ]^(n+1), [^1 2 ]^1, [^1 1 ]^1 ] f(x),
[ [^(n+1) 2 ]^(n+1), [^n x ]^n, [^n x ]^n ] f(x),
[ [^(n+1) 3 ]^(n+1), [^1 1 ]^1, [^1 1 ]^1, [^1 1 ]^1 ] f(x),...
といった感じで増えていくのかな。

>>791
もしかして2階層以降の定義についてはまだ考案中ということですか。

>ちなみにここでの１は各階層のリストが一つで元の変数値も１という意味になります。
各階層のリストがひとつってどういう意味ですか？

それとこの表記だと、たとえば
[[2]]=[[2],[2]]
ですが、それでは[2]ひとつだけからなるリストはどう表せばよいのでしょう。

[[2]]=[2,2]ですね。
どっちにしても[2]ひとつのリストの表し方が･･･

>>793
[n]は[n]のままでいいです。

age

やはり[[x]]とかはわかりづらいですね。なら
[x1,x2,...,xx]f(x)=[L1]f(x), {[L1][L1]...x...[L1]}f(x)=[L2]f(x), ...
とでもしましょうか。これならなんとかわかると思いますが。

OK、では具体的にいってみよう。
まず>>774から
f(x)=x+1
[1]f(x) = N[f,x] = f^x(x) （= f(f(f(…f(x)…))) （ｆがx回）でいいんですよね？）
[2]f(x) = N[[1]f,x] = [1]f^x(x) ( = [1]f([1]f(…[1]f(x)…))　[1]f がx回？）
[3]f(x) = N[[2]f,x] = [2]f^x(x)
……

次に>>777>>779から
[0,y]f(x)=[y]f(x)
[1,1]f(x) = N[[0,x]f,x] = [x]f^x(x)
[1,2]f(x) = N[[1,1]f,x] = [1,1]f^x(x)
[1,3]f(x) = N[[1,2]f,x] = [1,2]f^x(x)
……
[2,1]f(x) = N[[1,x]f,x] = [1,x]f^x(x)
[2,2]f(x) = N[[2,1]f,x] = [2,1]f^x(x)
……

そして>>780-781から
[0,x,y]f(x) = [x,y]f(x)
[1,0,1]f(x) = N[ [0,x,x]f,x ] = N[ [x,x]f,x ] = [x,x]f^x(x)
[1,0,2]f(x) = N[ [1,0,1]f,x ] = [1,0,1]f^x(x)
……
[1,1,1]f(x) = N[ [1,0,x]f,x ] = [1,0,x]f^x(x)
確認のため（四行目）一旦中止。

age

ところで巨大数探索スレッドも
５スレ目まできてるんですけど
今までで最も大きい数は結局何なんでしょうね？

>>1のルールを無視すれば後だしジャンケンを幾らでも出来る。
それよりはジャンケンに役立つ武器について考えた方がいい気が。

age
最近話題少ないなぁ･･･

age
長い間書き込みせずにスマソ。
例の静岡数のですがいろいろ検証とかしていくにはやはり
今までのよりかなり時間とかかかりそうです。
もしできたらまた書き込みます。

>>799
ふぃっしゅ数Ver5と自分で考えた静岡数と
どっちが大きいか気になるところです。

>>802
お久しぶりです。
ところで>>797ですが、この段階でまだ間違いはないですかね？

ちなみに正しい場合、

[1]f(x) = (…((x+1)+1)…)+1 = x+x = 2x
[2]f(x) = 2(…(2(2x)…) = (2^x)x
[3]f(x) = ( 2^(…(2^(2^(2^x)x)(2^x)x)(2^(2^x)x)(2^x)x…) )(…(2^(2^(2^x)x)(2^x)x)(2^(2^x)x)(2^x)x…)

となります。

ところで禁じ手のBB(N)を使うとどのくらい大きくなるのだろうか？
誰も予想できないのは確実だが
BB(3)＝6なのでBB(BB(BB(3)))でふぃっしゅ数VER1を軽く抜いてしまうだろう
（ふぃっしゅ数がBB(10000〜10000000)程度という予想に基ついたもの）
今まで出てきたような増加方法でBB((…((の入れ子回数をs(1)変換の回数に例えてみたとして
わかりやすくしないと自分が理解できないので簡単な図にしてみる

ss(1)を（2.1）　　sss(1)を(3.1)　　　sss(n)を(3.n)
sss…(n回)…sss(n)が(n.n）とする
さらに上位のｓ変換を位置付けて
s(1.1)が(1.1.1）で　　s(1.1.1）が(1.1.1.1）
以下表にすると
(1.1)→(1.n)↓　　(1.1.1)→(1.n.n)↓・・・（1.1…(n回)…1.1)→(1.n.n…(n回)…n.n)↓
(2.1)→(2.n)↓　　(2.1.1)→(2.n.n)↓・・・（2.1…(n回)…1.1)→(2.n.n…(n回)…n.n)↓
(3.1)→(3.n)↓　 （3.1.1)→(3.n.n)↓・・・（3.1…(n回)…1.1)→(3.n.n…(n回)…n.n)↓
‥‥　　　　 ↓　　‥‥ ↓ ↓
(n.1)→(n.n)　↑　(n.1.1)→(n.n.n)　↑　　（n.1…(n回)…1.1)→(n.n.n…(n回)…n.n）

上記の流れを【1】として【1】の項数の増加を次の(1.1)→(1.n)で関数化すると同時に
上記の関数の流れをそのまま（1.1)→(1.n)のｎの増加にあてはめ、((1.1))→((1.ｎ))で表す

(1.1)→(1.n)↓　　(1.1.1)→(1.n.n)↓・・・（1.1…(n回)…1.1)→(1.n.n…(n回)…n.n)↓
(2.1)→(2.n)↓　　(2.1.1)→(2.n.n)↓・・・（2.1…(n回)…1.1)→(2.n.n…(n回)…n.n)↓
(3.1)→(3.n)↓　 （3.1.1)→(3.n.n)↓・・・（3.1…(n回)…1.1)→(3.n.n…(n回)…n.n)↓
‥　　　　　 ↓　　‥‥ ↓ ↓
(n.1)→(n.n)　↑　(n.1.1)→(n.n.n)　↑　　（n.1…(n回)…1.1)→(n.n.n…(n回)…n.n）

の流れををｎ回(【1】終了時のｎの値)繰り返して((1.1))→((1.n))が終了

以下同様に
((1.1))→((1.n))↓　　((1.1.1))→((1.n.n))↓・・・((1.1…(n回)…1.1))→((1.n.n…(n回)…n.n))↓
((2.1))→((2.n))↓　　((2.1.1))→((2.n.n))↓・・・((2.1…(n回)…1.1))→((2.n.n…(n回)…n.n))↓
((3.1))→((3.n))↓　 （(3.1.1))→((3.n.n))↓・・・((3.1…(n回)…1.1))→((3.n.n…(n回)…n.n))↓
‥‥　　　 　　　↓　　‥‥ 　　↓ 　　↓
((n.1))→((n.n))　↑　((n.1.1))→((n.n.n))　↑　　((n.1…(n回)…1.1))→((n.n.n…(n回)…n.n))

で【2】が終了　以下は【1】→【2】の関数の次元upと写像を【2】→【3】　【3】→【4】にも適用する
ただし【2】は想像を絶する巨大関数になっているので表記は不可能
【2】→【3】の流れは((((…((と括弧の数を増やしていく流れを【2】の巨大関数の流れに組み込んだもの
【ｎ】まで行って（ｎは【1】終了時の値）その値を【　】に入れるという繰り返しを
【ｎ】の値の回数だけ行う。これでどれくらいの数になるんだろう？

【1】を((1.1))つまりs(1)にかけるとこがちょっと間違った
Ver2.3では
　　　　　　　1　　　　　　　2
s(1)＾1　s(1)＾1(1) s(1)＾1(2)
s(1)＾2　s(1)＾2(1） s(1)＾2(2)
s(1)＾3　s(1)＾3(1） s(1)＾3(2)
…
s(1)＾n　s(1)＾n(1） s(1)＾1(2)

なので、それに【1】をs(1)の変換回数にそのままあてはめて

　　　　　 　　1　　　　　　　2 ………………… n
((1.1))^1 【1】^1(1) 【1】^1(2)
((1.1))^2 【1】^2(1） 【1】^2(2)
((1.1))^3 【1】^3(1) 　 【1】^3(2)
…
((1.1))^n 【1】^n(1) 【1】^n(2) 【1】^n(n)＝((1.2))^1

というように【2】の内部で【1】は延々と連なり、
ひとつ前の段階の(n.n…［ｎ回］…n.n)の［　］の項数を
増やしていくという構造です。



なので

BBは禁じ手ではないが、評価できないから、扱っても無駄

>>768がヒドラゲームの関数なら、どんな多重帰納関数をも上回っているな。

2003年最後のageとなるか!?

「巨大数」を定義教えてください。

誰一人定義を分からずに適当な関数を作り上げていくｽﾚはここでつか？

>>811
レスが欲しけりゃ３日待て。
有意義なレスなら３週間はかかる。

>>812
＞レスが欲しけりゃ３日待て。
＞有意義なレスなら３週間はかかる。

でも３重帰納法の定義は３年かかっても出てこない（ｗ

仕事始めage(w

0から積み上げるから遅いんじゃないの
無限大側から作ったらどうよ

あけおめっす。

>>813
だね。そもそもｎ重帰納という言葉は数学用語としては使われていない様子。
巨大数スレで最初に２重帰納とか３重帰納とか言い出したのは確か・・・昔のスレの２６４氏
（１に書いてある「本日からこのスレでは〜」でおなじみの人)じゃなかったっけ？

まあでもみんな、変数が３つだとか、３重括弧を使ったとか言う意味で使ってるんじゃない？

>>815
いったいどうやるんだそれわ

さて、よろっと７９７の続きをば。６８２さんからのご返事がありませんが、とりあえず勝手に肯定と解釈しまつ。

ここからは多重リストの世界。

[ [1],[1] ]f(x)=N[ [x1,...,xx]f,x ]=N[ [[x]]f,x ]　(>>774)

これは789を参考にすると例えばx＝5のとき
[ [1],[1] ]f(5)=N[ [5,5,5,5,5]f,x ]=N[ [[5]]f,x ]

( [x1,...,xx]=[[x]]はむしろ[[x]]の定義とみるべきか？)

で、ここから[ [1],[2] ]f(x) , [ [1],[3] ]f(x) という風に進んでいくのでしょうか？　例えば・・・

[ [1],[2] ]f(x) = N[ [ [1],[1] ]f,x ] = [ [1],[1] ]f^x(x)　こんな感じ？

>>816
＞そもそもｎ重帰納という言葉は数学用語としては使われていない様子。
君が知らないだけ。
＞巨大数スレで最初に２重帰納とか３重帰納とか言い出したのは確か・・・昔のスレの２６４氏
＞（１に書いてある「本日からこのスレでは〜」でおなじみの人)じゃなかったっけ？
「本日からこのスレでは〜」といったのは、昔のスレの２６４氏とは別人というのは常識
それを認めないのはいった当人だけ。

>>818
そうだっけ？　昔264に散々荒らされてた記憶が・・・まあいいか。
それよりも〜重帰納の定義を教えてもらえる？俺もはっきりとは知らないし。

>>819
＞〜重帰納の定義を教えてもらえる？俺もはっきりとは知らないし。
漏れも知らん（爆

ただ、アッカーマン関数が二重帰納的関数だというのは知られてるから
３重、４重、・・・とその上があるのは確か。

個人的には
(a1,b1)＜(a2,b2)　（a1＜a2の場合）
(a1,b1)＜(a1,b2) （b1＜b2の場合）
というのは二重帰納法で、これを３つ、４つと増やせば
三重、四重になると思ってるが。

今更ながらあけましておめ。
冬休みはいろいろ忙しくてカキコできずにスマン。

>>817
797のはあってます。
[x]f(x)段階でak関数レベル、[x,x]f(x)でs(1)レベルですね。
多重リストのもそういう解釈でいいでしょう。
ちなみに[[[x]]]=[[x]],[[x]],...,[[x]]といったような感じで。
というか[x1,...,xx]=[L1,x]、[L1,x],...x...,[L1,x]=[L2,x]
という表記ほうがわかりやすいですね。

＞n重帰納法
個人的にはA(a1,a2,...,an)=A(a1,...,a[n-1]-1,A(a1,...,an-1))
のようにak関数をn個に拡張したものがn重帰納関数だと思ってます。
つまりak関数A(a,a)を根にしたs1変換b回をA1(a,b)が３重帰納関数、
A1(a,a)を根にしたs2変換b回をA2(a,b)が４重帰納関数と続けて、
An-2(a,a)関数がs(n-2)変換a回のn多重帰納関数ということです。

ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/function.html#tower

x↑↑1 = x↑x じゃなくて x↑↑1 = x かと。
x↑↑↑1 = x↑↑x なんかも同様。

age

age

こぶさたですヽ(´ー｀)ノブックマークが死んでて更新に気が
つかないまま年を越してしまいましたヽ(´ー｀)ノあけおめ
サイトのタワー定義も直してません。申し訳ないっす。
相変わらずログ読む暇がないんですが、無責任に応援します。ワーワー
さて。
個人的には、n重帰納(n>2)という言葉はあまり考えなくてよいと思います。
そこの議論に終始してしまうと泥沼にはまります。実際いまだ
確実な定義に出合ってない訳ですから、どちらかといえば
既存の巨大数との比較検討をする方法論の話題の方が建設的なの
かなぁ、とか思ったりします。
もちろん作ったn重帰納関数がすげえ強くて、でもBBやヒドラにはかなわない
というのが理想ですが、やはり屋台骨が不透明では追い込んでも
徒労になってしまう可能性がありますし。大小比較しているうちになんか
妙なことが分かるかも…とか超無責任発言。

で、結局ふいっしゅver.3>>バード　でいいんだっけ？(;´Д`)ど忘れ

058

age

パート２で誰かが書いてたんだけど、
アッカーマン関数よりもその関数が呼び出される回数の方が発散力が強いというのを、具体的に計算してみた。
ソースはC++で。
int k;
A(int m, int n)
{
k++;　　　　　　　　　　　　//カウンター
if(m==0)　　　　　　　　　　//A(0,n)=
return n+1;　　　　　　　 // n+1
else if(n==0)　　　　　　　 //A(m,0)=
return A(m-1,1);　　　　　// A(m-1,1)
else　　　　　　　　　　　　//A(m,n)=
return A(m-1,A(m,n-1));　 // A(m-1,A(m,n-1))
}

A(m,n)が呼び出される回数をβ(m,n)とする。
まず、m=0の時は一回しかカウントされない
β(0,n) = 1
次に、A(1,n)=A(0,A(1,n-1)) より、
A(1,n)からA(0,A(1,n-1))に変換するのに１回、A(0,A(1,n-1))をA(1,n-1)+1に変換するのに１回、A(1,n-1)を具体的な数値に求めるまでにβ(1,n-1)回だから、
β(1,n)=β(1,n-1)+2
β(1,0)=2
となる。これを解くとβ(1,n)=2n+2となり、
同様にしてβ(2,n) = 2n^2+7n+5
β(3,n)=β(3,n-1)+2*2^(2n+4)-5*2^(n+3)+3 となり、
β(4,n)はどうなるのかさっぱりわからん。
で、ふぃっしゅ数の最初らへんで登場するA(3,3)なんだけど、これはβ(3,3) = 2432回になって、もうびっくりです。
ちなみにβ(4,1) = 2862984010となり、β(4,2)=1+2862984010+β(3,65533)となって、もうびっくりです。
これで、ふぃっしゅ数が出来るまでに最下層のB(0,n)が呼び出される回数なんかは少なくともふぃっしゅ数よりは大きいんだけど、もうそんな次元の話じゃないのかな。

ちなみに
アッカーマン関数を
A(0,n)=n+1
A(m,0)=A(m-1,1)
A(m,n)=A(m-1,A(m,n-1))
とするとき、

その呼び出される回数の関数は
β(0,n)=1
β(m,0)=1+β(m-1,1)
β(m,n)=1+β(m,n-1)+β(m-1,A(m,n-1))
となる(証明略)。

これの呼び出される回数の関数、それがまた呼び出される回数の…という感じで増やしていったら、また新しい巨大数が生まれるんじゃないかな。

なかなかよさげですね。
根っ子を強化するのは、その後の増加ｽﾋﾟ-ﾄﾞを考えると
けっこう意味があると思います

なんにせよ、久々の話題で楽しませてもらいました。

前に書いてあった Peter の英語の本をちゃんと読めば、ｎ重帰納法
の定義も書いてあるよ。見つけ難いけどね。ただ前にも書いてあった
けど、その後研究があって見捨てられてるみたいだね。これも前に
書いてあったよ。

>前に書いてあった Peter の英語の本をちゃんと読めば、ｎ重帰納法
>の定義も書いてあるよ。

どの本？
俺は一冊図書館で読んだが、見つけられなかった。

>ただ前にも書いてあった
>けど、その後研究があって見捨てられてるみたいだね。

以前に（遊びだが）n重帰納の候補が何個も出てきた事等から推測するに、
定義の妥当性が欠如してるんじゃないかな。
専門家は本質的でないものを切り捨てる事には躊躇しないからね。

>>831
その、ｎ重帰納法の定義というものを一つかいつまんで説明してもらえませんか？
「書いてある」という人は今までにも何人かいるけど、まだ誰も書いてくれてないので、ぜひ。

「n重帰納法」
http://www.google.com/search?q=%EF%BD%8E%E9%87%8D%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95&ie=UTF-8&oe=UTF-8&hl=ja&lr=

いろいろありました。

>>834
その中では最もきちんと書いてある
www.dumbo.ai.kyutech.ac.jp/hirata/lecture/ computation/recursive_main.pdf
にも定義は無い。

Peterさんの論文に書いてある、て言うけど、その人が独自に使ってる用語なのかもよ。＞ｎ重帰納法

>>76 が定義を与えていると思うのだけれど、より簡明な定義の例。

H.E.Rose,
Subrecursion: functions and hierarchies, (Oxford logic guides 9),
Oxford University Press, 1984.
ISBN 0-19-853189-3

の pp.16--17 より

DEFINITION k-recursion. A function is k-recursive if it can be
defined using elementary functions and a finite number of k-recursions
given by the following scheme for φ,

φ(x,y_1,...,y_k)=0 if y_1・y_2・...・y_k=0
φ(x,y_1+1,...,y_k+1)=g(x,y_1,...,y_k,φ1,...,φk)
where for i=1,2,...,k, φi is given by

φi=φ(x,y_1+1,..,y_{i-1}+1,y_i,
　　　　f_1^i(x,y_1,...,y_k,φ(x,y_1+1,...,y_{k-1}+1,y_k)),
　　　　...
　　　　f_{k-i}^i(x,y_1,...,y_k,φ(x,y_1+1,...,y_{k-1}+1,y_k))),

and where g and f_j^i (j=1,2,...,k-i) have been defined previously.

サンクス。
しかし>>76の意を汲み取るとして、>>837はk-termでは無く2-termでは？
他にもいろいろな定義が考えられるんだが、それらは同値なんだろうか。
もし仮にそうなら、そこそこ意味のある概念と思う。

>>838 の引用の次から。

Peter has shown that a number of other nested schemes can be reduced to
k-recursion. We shall not give the details here. The readers is referred
to Peter(1957) for the two variable case and Peter(1936) for the general
case, ...

Peter(1936)
R. Peter, Uber die mehrfache Rekursion, Math. Ann. 113, 489--527.

Peter(1957) の英訳が次の本
R. Peter, Recursive Functions (3rd Ed.), Academic Press, (1967)

９＾９＾９。

76 の定義は「 f(x,y,0,a), f(x,0,z,a),f(0,y,z,a) が与えられていて」
っていうのの a が抜けてるみたいだけど、割合自然だから、それを
使うと、837,839 から推測すると Peter は76のような意味の k重帰納法
は 2-term だけを使った 837 の型の繰り返しに還元できるってことを証明
したのかな?
それに 76 の定義によるどの2 重帰納法で定義された関数も 181, 182 で定義
された関数を対角化したものの方が早く大きくなるってことは,どの原始
帰納関数より A(x,x) の方が早く大きくなることの証明みたいにやれば
いいんじゃないの? いままで76の定義は無視されていたのかな?

過去レス見れば分かるよ。

>>841
「関数を対角化」とは？

>>839
良い感じだけど、Ｐｅｔｅｒさん一人というのが、どうもね。

せめてWebのどこかに転がってるといいんだけど。

>>843
A(x_1,x_2,...,x_n)に対し、A(x,x,...,x)=B(x)なる新しい関数を定義すること・・・でいいんだっけ？

>>844
多重帰納関数についての基本的な定義と結果は Peter が全部やって
しまっただけのことです。
いちゃもんは Peter(1936) を検討してからにしてください。

>>846
そういうことではなくて、その結果を誰も引用したり
紹介したりしていないところが不思議だ、ということ
じゃないのかな。

なんでだろう。

多重帰納関数について触れている本で Peter を引用していないものは、
見たことがないのですが。

Kleene の Introduction to metamathematics,
上に書いた Rose の本、
Odifreddi の Classical recursion theory, Part II

とか、代表的な本には Peter の仕事が引用されています。

既出かもしれませんが、一応。
英語の翻訳サイトを見つけました。
http://www.excite.co.jp/world/

数学の論文を訳すために作られているわけではないので、
訳した結果はすこぶる読みにくいですがまあ無いよかマシかと。

普通、本当に有用な概念は創始者に追随した多くの論文でより深められていくよね。
決して、We shall not give the details here.なんて歴史的記述程度の引用ではすまない。

>>837 が Peter の与えた k-recursion の定義。他にも、k-recursion の
定義はいろいろ考えられるが、それらはすべてこの定義に帰着できる。
この本では、k-recursion の性質を調べることに興味があるので、その他
大勢の定義を述べることや、帰着できることの証明は detail だと言って
いるだけでしょ。
k-recursion の定義が確立していると考えられているからこそ、detail
なわけ。

ところで、k-recursion＝ｋ重帰納 と考えて本当にいいのか？

>>851
なるほどなるほど。
やはり太鼓判を押してくれる人がいると、安心感が違うね。

さて>>76の段階ではk-termのkがｋ重帰納のｋと一致する事が、
重要であるかの様な誤解があった訳だけど、
結局は何termであっても良いのかな？
要は辞書式順序が入っているN^kの指数のkのみが重要と。
これ位の普遍性があれば、相当良い感じです。

>>76 の定義をその後の >>155 や >>854 の書き込みに従って書きかえると次
のようでよいのかな?

term の定義を変数記号と 0, x+1 から始めて普通のとおりとする。
a は変数の有限列の略。
f(0,y,z,a), f(x,0,z,a), f(x,y,0,a) が既に定義された 3重帰納関数で
f(x+1,y+1,z+1,a) は term で f 以外は既に 3重帰納関数で与えられてい
る関数の記号として f が現れるときは f(x,*,*,a), f(x+1,y,*,a),
f(x+1,y+1,z,a) のどれかであるという形である。
このとき f は 3重帰納関数を定義しているという。

このように k 重帰納関数を定義する。たとえば2 重帰納関数は3 のとき
の z がない形で定義する。そうすると >>837 の線では

1. k 重帰納関数は k-recursion の繰り返しで定義できる。
2. >>182 >>181 の
A(0,y,z) を良く知られた Ackerman 関数として
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
で A(x,y,z) を定義して、A(x,x,x) がどんな 2重帰納関数よりも早く
大きくなる。(1が示せれば 2-recursion でおきかえて示せばよい
わけであるけど。)

この2つを示すと多重帰納法に関する今までの疑問のかなりの部分
が解けるってことでしょうか?

参考になるかどうか分からんが

k=1のとき
φ(x,0)=0
φ(x,y+1)=g(x,y,φ(x,y))

k=2のとき
φ(x,y,0)=φ(x,0,z)=0
φ(x,y+1,z+1)=g(x,y,z,φ1,φ2)
[ φ1=φ(x,y,f(x,y,z,φ(x,y+1,z))), φ2=φ(x,y+1,z) ]


・・・なんだかｘがちっとも働いてないように見えるのは気のせいか？

>>856
それは、そのとおりで気のせいではない。 855 の a に対応するパラメーター
の部分だから。

>>841
＞k重帰納法は 2-term だけを使った 837 の型の繰り返しに還元できる
>>855
＞1. k 重帰納関数は k-recursion の繰り返しで定義できる。
＞(1が示せれば 2-recursion でおきかえて示せばよいわけであるけど。)

どこをどう数えて"2-term"とか"2-recursion"とか
いってるのかわけわかめ。説明してみそ。

>>858
説明だけど、>>76は忘れて、>>837のk-recursionの定義だけから
k-recursionは2-recursionで置き換えられることを、具体的手順に
よって示してくれるかな。そこだけが重要だから。

そういやk重帰納に関するソースってどこよ？
Peterの論文だってことなら当然"k重帰納＝k-recursion"ってことになるんだろうけど、
837を見る限りでは、k-recursionは今まで俺らがイメージしてた「多重的な帰納法」とは違う気がする。

>>859
何質問者に要求してるんだ、おまいは。

>>859
>k-recursionは2-recursionで置き換えられる

これはありえない。この k は本質的だから。

>>858
2-recursion は 837 にある定義。しかし、この定義は k重帰納法と
いった場合のもっと一般的と感じられるものを含んでいるか不明。
そこで、76 の流れで自然な定義のものを考えて、837 の定義の繰り返し
に還元できることをいえばよかろうってこと。855 は 76 の流れの
なかでは一番一般的なものだから、これを k-recursion の繰り返しに
還元すれば 839 にかいてある Peter の結果の一部を証明したことに
なるだろうってこと。

誤解しておられる方がいらっしゃるようだが、問題は
2-term k-recursion=任意term k-recursion。
kは固定しなくては無理。

>837を見る限りでは、k-recursionは今まで俺らがイメージしてた「多重的な帰納法」とは違う気がする。

では何が自然？
Ｎ＾ｋを使うあたりいかにもそれらしいと思うのだが。

某日本語対応ターミナルについて語るスレはここですか?

>>855
より単純な
＞A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,z),A(x+1,y+1,z)))
では？

>>863
そういわれればそうなんだが・・・ほら、前から
「2重帰納をいくら繰り返しても3重帰納は超えられない」
とか言われてたじゃない？　それで、k重帰納＝k-recursionとして
837の定義を見てもほんとかよ？　と思ってしまうのよ。

>>865
それでもいいのかもしれないけど、まだ 855 の 1 の証明が終って
いない。つまり 866 の心配もあるから、855 の形のk 重帰納法
でも通用することがほぼ見える形になってるわけ。
ともかく 855 の A(x,y,z) が 837 の k-recursion の何回かで
書けることを示すことが Peter の結果にちかづくことなので
しょうか?

>>861
>>k-recursionは2-recursionで置き換えられる
>これはありえない。この k は本質的だから。

了解

>>862
>問題は2-term k-recursion=任意term k-recursion。

問題はtermの数でなくrecursionのオーダーじゃないだろうか？
つまりｋ重帰納法＝k-recursionとするなら、
2-recursionだけではkが3以上の関数を作れない
ことを>>866のような人に示すことではないだろうか？

どんな2-recursion関数よりも早く増加する
3-recursion関数(855のAでも他の関数でもよい）
があることを、ずばり対角線論法で示せないか？

久しぶりに現れてみました。

>>837.の定義はそれっぽいのですが、ひとつ疑問が。
この定義では合成は認めてるんでしょうか？
つまりk重帰納的な関数の合成はまたk重帰納的であるということが
定義に含まれているのかどうかがはっきり分からないのですが。

>>870
837 の k-recursion をみれば極めて特殊な形をしているので当然
合成その他、原始帰納関数の定義で許されるものははいっていて
そのほかにこれを使ってよいということでしょう。
>>869
855 の1 の部分はよくわからないのですが、855 の A(x,y,z) が
855 の意味のどんな2重帰納関数(これは837を含むことは明らかです)
より早く大きくなることは、Ackermann 関数がどんな原始帰納関数
よりも早く大きくなることの証明マネすればよい形となっていると
思うのですが、、、。とくに、この証明を term の形で原始帰納関数
を定義しておけば、マネしやすいと思いますが。

>>871
じゃ、マネしてごらん。
Peterのk-recursionがｋ重帰納法であって
ｋ−１重帰納法より真に強いことが
君にも分かるだろう。

>>872には分からない模様（ｗ

またか

まあ、dat落ちするよりはたまに活性化してくれた方がいいけど

>>873には分からない模様（ｗ

>>871
確かに考えてみれば当然許されるはずですね。
そうでないとf(x)=x+2みたいなものも入らない。

とりあえず837の1-recが原始帰納関数を含むことの証明を試みました。
elementary functions とは定数、後者、射影関数と解釈しています。

nonzero(0)=0
nonzero(y+1)=1
とおくと1は定数関数だからこれは1-recであることに注意しときます。

f, hがすでに与えられたとし、原始帰納
ψ(x, 0)=f(x)
ψ(x, y+1)=h(x, y, ψ(x, y))
でψが定義されているものとします。
すると、φを1-recにより
φ(x, 0)=0
φ(x, y+1)=h(x, y, f(x))*(1-nonzero(y)) + h(x, y, φ(x, y))*nonzero(y)
と定義することで
ψ(x, y)=φ(x, y)+f(x)*(1-nonzero(y))
となります。

あとは足し算と1-x（x=1のとき0、それ以外で1となる関数）ができれば
x*0=0, x*(y+1)=(x*y)+x
で掛け算ができて証明完了なんですが。

>1-x（x=1のとき0、それ以外で1となる関数）
ここの書き方が変でしたが、
とにかくf(0)=1, f(1)=0 となる関数なら何でもいいです。

あれ、よく考えたら>>837の1-recでは非減少関数は作れない？
elementary functionsは非減少だし、
gが非減少なら
φ(x,0)=0
φ(x,y+1)=g(x,y,φ(x,y))
で定義されるφも非減少になります。

φ(0)=0≦φ(1).
あるy>0に対してφ(y)≧φ(y-1)とすると
φ(y+1)=g(y,φ(y))≧g(y-1, φ(y-1))=φ(y).
（簡単のためパラメータ省略しました）

原始帰納ならy=0の部分がいえないんですが・・・
φ(0)=0が効いてますね。

>>879
おお、ごめんなさい。これも定義を書いておくべきでした。
Rose の本で elementary function と言っているのは、次の class に
属する関数です。

the class of functions containing the successor, projection, zero,
addition, multiplication, and modified subtraction functions and
closed under composition and bounded sums and products

>>880
elementary functionsに含まれてたんですね。了解です。

じゃあ837の意味の1-recは原始帰納に含まれるということはよくて、
>>837の1-rec ⊂ >>855の1重帰納 ⊂ 原始帰納
だからk=1のときは>>855の1. は示せたのかな。

まずk重帰納法の定義のため：関数記号 f
1. 既にk重帰納関数となっている関数 g として g(y_1,...,y_m) は 0-term
g(*,...,*) で * は k-term で k の最大を i する。このとき
g(*,...,*)は i-term。
2. * は k-term で k の最大を i するとき f(x_1,*...*,a),
f(x_1+1,x_2,*...*,a),f(x_1+1,...,x_k,a) は i+1-term.

変数 x_1,...,x_k と a = (a_1,...,a_m) に対して原始帰納法を一般化したもの：
g,h は既にk重帰納関数であるもののとき
f(0,*...*,a) = g(*...*,a)
f(x_1+1,...,x_k+1,a) =
h(f(x_1,*...*,a),f(x_1+1,x_2,*...*,a),f(x_1+1,...,x_k,a),x_1,...,x_k,a)
ただし、* は k-1-term で変数記号は x_1,...x_k,a_1,...,a_m 以外にない。

とくに k=2 のときに着目し 855 の 3重帰納関数 A(x,y,z)について次のこと
を示す筋を書く。
「任意の 2重関数 f(x_1,...,x_n) に対して x_0 が存在し
x = max{ x_1,...,x_n } で x > x_0 なら f(x_1,...,x_n) < A(x,x,x)」
(続く)

(続き)
1. まず A(x,y,z)の単調増加性を示しておく。
2. 2重関数 f(x_1,...,x_n) に対して x_0 が存在し x = max{ x_1,...,x_n }
とすると f(x_1,...,x_n) < A(x_0,x,x) であることを2重帰納関数の定義
に関する帰納法で示す。

ここで2の証明のうち原始帰納関数に対する Ackermann 関数の場合の証明より
議論が複雑となる場所を指摘する。
f(0,y,a) = g(y,a)
f(x_1+1,x_2+1,a) = h(f(x_1,*,a),f(x_1+1,x_2,a),,x_1,...,x_k,a)
の * の部分に 1-term が現われる。この 1-term の一般形を考えておかない
と証明できない。これは 既に2重帰納関数となっている関数 g_1,g_2 として
g_1(f(x_1,g_2(x_1,x_2,a),a),f(x_1+1,x_2,a),x_1,x_2,a) となることを示し
ておく。この g,h,g_1,g_2 を使って x_0 を定める。k>2 についてk-重帰納関
数に関する結果をうるためには * の部分が複雑さを増すのでうまく用意をす
るかあるいは、Peter の結果 837 のような nesting が２回の場合に帰着でき
ることを使うとよい。

age

(loop (format "~A" #\9))

「９を延々と書き続けるプログラム」

age

ってことは、>>182 の3 重帰納法で大体普通のやつよりは早く大きくなるって
ことなわけ?

もうすぐ、このｽﾚ１年

初めてこのスレに来たけど、いま多重再帰法って
そんなに流行ってるの？それとも単に趣味的なだけ？
k-重再帰的函数やω-重再帰的函数は計算可能性の定義が
なされた時点で終わっちゃったと思ってたが。

＞いま多重再帰法ってそんなに流行ってるの？

巨大数スレではリバイバルヒットしてるね。
そもそもここでやってることが、
k-重再帰的函数やω-重再帰的函数の構成
なんだよね。実は

そういう考え方では、ヒットは生まれない。
遊びと学問を要所で分離するセンスが必要。
多重再帰は、多分に遊びくさいにしても、ヒットにはならないだろう。

>>892
そういう考えでは遊べないよ。
学問は遊びなんだよ。遊び。
遊べる人が学問でヒットできる。

脊髄反射ですなぁ

＞学問は遊びなんだよ。遊び。

遊びは学問とは限らない。

＞遊べる人が学問でヒットできる。

このスレと関係ない発言は無意味。

>遊びと学問を要所で分離するセンスが必要。

マーチン・ガードナーとかだね。

別に漏れは趣味でも遊びでも構わんと思うがね。
2chで必ずしも学問をしなけりゃいけないわけではない。
ただ学問的に意義深いことをやっていると勘違いすると
イタい目を見ることになると思う。

このスレはでやっていることは巨大数の探索と言うより
急増化な自然数の上の函数の探索だね。まあ
大きな自然数は函数を作って定義するしかないから当然だが。

ときに、急増化函数が元々考えられたのはどういうご利益が
あるからだっけ？Ackermann函数は任意の原始再帰的函数を
追い越してくれるから、Ackermann函数自体は原始再帰的函数
でないことになって、明らかに計算可能な全域的函数で、
原始再帰的でないいい例となっているわけだが。
あと急増化函数はPAからの独立命題を作るときなどにも
一役買ってたと思うけど。Graham's NumberはGrahamがなにか
論文で使ったんだろうから組み合わせ論の役には立つんだろうが。

>2chで必ずしも学問をしなけりゃいけないわけではない。

>>892で言わんとしていることは、まさにそれ。
学問からうまく分離させないと、遊びとしてはヒットしない。

900!and１年ｇｅｔ！

>>899
学問アレルギーのヒッキーですか？（ﾌﾟ

>>900
おみごと

>>901
煽りだろうが、念のために
「2chで」に注意

結局 882,883 で n+1 重帰納的関数でどんな n 重帰納的関数より
早く大きくなるものが以前からあったものだったってことは終った
のかな?

まだ、チェインとスネ−ク以外のこと何も示されていないのに
もう終っちゃうの? どうなっての?

>>905
スネークの何が示されたって？

スネーク数はその概要すらろくに示されてないし。

ふぃっしゅ数がその名を残したのは何より作者がまめで
住人の質問にも丁寧に答えていたからだと言える。

この先、再びまめな人が現れない限りこのスレは休眠状態だろう。

適当に漸化式でっち上げても、うけないのよ。
そゆこと。

ふぃっしゅ数が作者がまめで住人の質問にも丁寧に答えていたにも
かかわらず概要すら明らかにならなかった。

その理由として
１．作者の数学的レベルが高くなかった
２．住民の数学的レベルも高くなかった
ことがあげられる。

時たま数学的レベルが高い人がきても
理解されずに排斥される始末。

この先、レベルの低い住民が淘汰されないかぎり
このスレはダメだろう。そゆこと。

>>909
分からんことがあったら教えるぞ。

松本真吾降臨か？（爆笑

ふぃっしゅ数を理解できない>>909って、
松本真吾さんっていうんですか？

帰納的関数 共立講座 現代の数学
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320011201/qid=1081930791/sr=1-9/ref=sr_1_10_9/249-0313927-8909963

まだ2章までしか読んでないけど、これ面白そうですよ。

>>910-912
マツシンヲタ一人で大暴れ(ﾜﾗ

考えてみれば、何で巨大数を語るのに帰納的関数の知識が必要になったんだろう？


>>914

910≠911,912

はい残念。

>>915
898 に書いてあることじゃないの。
とくに、このスレッド5 の初めのほうで今までものが2 重帰納的関数
になっているという指摘があって帰納的関数の知識が必要だろうという
ことじゃないかな?
Knuth とか Conway がちょっと気軽に導入した記法を押し進めたって
のがスレッド4 までの流れだから、本格的に考えるのはちょっとつらい
んじゃないかなぁー。

>>916
>Knuth とか Conway がちょっと気軽に導入した記法を押し進めた
ふぃっしゅはもっとお気楽だったが。
910はなんかわかってるみたいだから聞いてみたら？。
多分いってることワケワカランで終りだろうけど。

何が分からないのかさえ分からない917が聞いても無駄と思われｗ

>>916
KnuthはタワーでConwayはチェーンでしたかね、確か。
いずれにしても今まで出てきた関数はどれもAｃkermann関数の応用に過ぎないのでしょうね。
これまでと全く異なる手法で巨大数あるいは急増化関数が編み出されれば
このスレもまた盛り上がるのでしょうけど・・・。

>>917
909氏がふぃっしゅ数の概要が理解できないそうなので
それくらいなら教えられるだろうと言ったまでです。

・・・とは言ったものの、ふぃっしゅっしゅ氏の丁寧な説明でも理解できないとすると
そのような人に理解してもらうのはさすがに骨が折れそうな悪寒。

みんな909氏を馬鹿にしているみたいだけど、
初めの定式化の拙さもあって、
ふぃっしゅ数は確かに理解しずらいな。
そして、それを理解していく過程を楽しめた事が、
ふぃっしゅ数がうけた要因の一つだろう。
彼は>>892の意味でのセンスの持ち主だな。

>>920
彼って、ふぃっしゅ氏?
909 は馬鹿にされて当然だよ、
「この先、レベルの低い住民が淘汰されないかぎり
このスレはダメだろう。そゆこと。」 なんてのは話しにもならない。
レベルの低い人がいなくなったらスレッドはダメになる。大学の
セミナーだってよくできる人ばかりになったら、あまり集まらなく
なる。マツシンがよくも分かりもしないことを偉そうに振り回して
馬鹿にされるが、いい歳をしているのに、そのあたりさえ、わかって
いないのだから当然だ。

巨大数というものについて、誰かが好きな遊び方をすればいいと
思うんです。ここは少し宗教がかった公園みたいなもんだし。
自分などは「数式みたいなのを眺めて知った風な気分に浸り
ニヤニヤする」という人間の典型ですし、荒れたら荒れたで
それがまた楽しい場合もあります(´ー｀)うはは

>>921も妙なプライド捨てて、もやしっ子みたいになっちゃえば楽なんだけどね。
てゆーか、>>921って知ったかぶりっていう点ではマツシンと同じだよね。
なんてゆーか、知ったかぶりって反発しあうんだよね。

>>920はよく見てるね。
ふぃっしゅ数ってよくある竜頭蛇尾の典型だと思うわけ。
で、訳もわからず礼賛するヤシ貶すヤシと有象無象が
出てくるのが滑稽極まりないってのがこのスレの持ち味なわけ。

>>924
訳もわからず貶める輩しか見受けられないのだが。
そもそもふぃっしゅ数のどこが竜頭蛇尾の典型だと？

ふぃっしゅ数を理解できない事に対する心情が
「竜頭蛇尾」という言葉に良く表れているな。

921氏も苛立ちすぎだなぁ。
まともに読解すれば彼＝ふぃっしゅ氏だろう。

なんか、やたらふぃっしゅを弁護するﾔｼがいるけど
もしかして、ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ？(藁

９２８はふぃっしゅ数への評価とふぃっしゅっしゅ氏への評価を分離して考えられないようです。

＞ふぃっしゅ数への評価とふぃっしゅっしゅ氏への評価を分離して考えられない
それは９２９のほうじゃない？

909にしろ924にしろ、ふぃっしゅ氏を貶すやつって
根拠のないことばっかり言って反論にまともに答えようともしないのな。
でもって複数のレスがつくと決まって自作自演扱い(w

文句があるならきちんと筋道立てて説明したらいかがです、自称レベルの高い人。

しかし、それがあるからスレが活性化したという面もある。
今となっては、ときどき懐かしみつつ煽りあうことによって、
ようやくスレが保全されているというところか。

ふぃっしゅ氏のアイデアの面白いところは、
Ｎ
Ｎ＾Ｎ
（Ｎ＾Ｎ）＾（Ｎ＾Ｎ）
（（Ｎ＾Ｎ）＾（Ｎ＾Ｎ））＾（（Ｎ＾Ｎ）＾（Ｎ＾Ｎ））
・・・
と考える集合を変えていっている所にある。
このアイデア一発で、巨大数スレは５まで
盛り上がったといっても過言じゃないな。

巨大数スレでマツシンが活躍中だぞ。
久々にほめられたと勘違いして、恥をかいて八つ当たりの様子（ｗ

巨大数スレももう終わりだね。
934のようなカスばっかじゃね。

>>934
ここに書いてどうする。あんたも赤っ恥だな(w

F(n)=
(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)^(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)^(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)^
(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)^・・・計n個の(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)・・・^
(n^n^n^・・・計n個・・・^n^n^n)

こんな風にやっていけばあっという間にフィッシュ数超えちゃうじゃん。
少なくとも文字数を厳密に制限しないと。

ループｗ

>>937
あっという間というのは何文字？

937 はその典型だが、今まででも、本当にどちらが早く大きくなるか？と
いうことの証明がされてるのは、同じ形式で定義される関数の間でしか
ないようだ。例えば、Ackermann 関数がどの原始帰納的関数より早く大きく
なることの証明を実行している人は少ないように思う。
882,883 で 182 の三重帰納的関数がどの二重帰納的関数より早く大きくなる
ことの証明の道筋が示されているが、この追証がされていないようだ。
大きくなる関数の定義形式の競争をするということより、定義の明確にある
関数を２つ与えてどちらが早く大きくなるか、証明を与えるということに目
を向けるのがよいかと思う。証明を与えることの練習として以下の問題を考
えるのはいかが。
単調増加つまり f(n)≦f(n+1) である自然数値関数 f で定数関数でなくなる
べくゆっくり大きくなるものをつくることを考える。このことと今までやって
いる早く大きくなる関数を探すというのは強く関係する。
単調増加関数 f について F_f(0) = f(0), F_f(n+1) = k, F_f(n) より f(k)
が本当に大きくなる最小を k とする。
与えられた g より F_f が早く大きくなるような f があることを示せ。また
f,g が単調増加で定数関数でなく、f の方がゆっくり大きくなれば F_f の方
が F_g より早く大きくなるか?

>>937
こういう初心者が来るのも宿命だが、いちおう言っておくと

そのやり方だと　
Ｆ(ｎ)＝ｎ1　
Ｆ(ｎ1)＝ｎ2
Ｆ(ｎ2)＝ｎ3
‥‥延々とやっていくと、けっこうでかい数にはなりますが
あなたが、言うように「あっと言う間」ではなく、もっと繰り返して
無量大数回この演算を続けたとしましょう、すると

Ｆ(ｎ無量大数)＝ｎM　となります

でｎ＝無量大数としても、ｎMは、3↑↑↑↑3にさえはるか〜に及ばない
さらに、グラハム数にはもっと、もっと及ばないし
ふぃっしゅ数の入口のVer1には、問題外に及ばん　というわけです。

>>940
帰納的関数の定義に従って書けばこういうことですか？
F_f(0)=f(0)
F_f(n+1)=G(F_f(n))
where
G(x) = x+μy.(1+f(x)-f(x+y))
（=min{ y | f(y)>f(x) }）

で、単純に考えて
f(n)=g([√n])などとすればF_fはF_gより速そうですが。

関数srtをsrt(a)=[√a]で定義します。

一般にF_f(x)=min[ f^(-1)([f(0)+x,∞)) ] と書けることと
定義からf(0)=g(0)であることから

　　a≧F_f(x)
⇔　a∈f^(-1)([f(0)+x,∞))
⇔　f(a)≧f(0)+x
⇔　g(srt(a))≧f(0)+x=g(0)+x
⇔　srt(a)∈g^(-1)([g(0)+x,∞))
⇔　srt(a)≧F_g(x)

よってa≧F_f(x) ⇔ srt(a)≧F_g(x)が示せました。
aにF_f(x)とか(F_g(x)+1)^2を入れてみれば
F_f≒(F_g)^2となることが分かります。

>>942
よく問題を読んでください。そして問題は予想をすることでなく証明
することなのです。予想したらそれを証明することが、今までと違う
流れをつくるのではないか？という提案なのです。（G_f の定義は
そのとおりです。）

>>940
F_fというのも関数なのですか？

>よく問題を読んでください。そして問題は予想をすることでなく証明
>することなのです。予想したらそれを証明することが、今までと違う
>流れをつくるのではないか？という提案なのです。

すばらしい提案です。
以前、ふぃっしゅ関数が2（？）重帰納的等という
発言をされた方にも、ここを覗いておられるなら、
ぜひとも実行していただきたいですなぁ。

＞単調増加関数 f について F_f(0) = f(0), F_f(n+1) = k, F_f(n) より f(k)
＞が本当に大きくなる最小を k とする。

g(n)からG(n)=g^n(0)を作る操作を、グラフの縦横ひっくり返した見たいね。

>>946
定義を見たとたんに計算ができるということがわかる関数の増大度は
たかが知れているという定理があるので、そういう問題を真面目にや
る人は少ないと思います。

それは、巨大数スレの否定ですね（笑

＞定義を見たとたんに計算ができるということがわかる関数の増大度は
＞たかが知れているという定理があるので、そういう問題を真面目にや
＞る人は少ないと思います。

その定理を本当に理解してるなら、こんないい加減な紹介ではなく、
ふぃっしゅ関数はその仮定を満たすのか、その結果何が結論されるのか、
などもっと生産的な話をして下さいよ、先生。

>>948
それでも最低限、提唱したご本人は責任を持って証明していただかないと。
ところで

> 定義を見たとたんに計算ができるということがわかる関数の増大度はたかが知れているという定理

なんなんですか、このあいまい極まりない「定理」は。数学を馬鹿にしてるのですか？

>>943
>一般にF_f(x)=min[ f^(-1)([f(0)+x,∞)) ] と書けることと
なんか違う。
そもそもF_fの定義を読み違えていたようです。

で、>>942のGはこっちが正しいような気がしてきたんですが
G(x) = μy.(1+x-f(y)) =min { y | f(y)>x }

直感的には逆関数を合成したようなものになってるんでしょうか？

まず、>>7 について考えてみました。
有限列 s に関する原始帰納的関数を用意します。
(s)_i ：s の i 番目と (a\m)_i = a, i≦m ：長さ m の有限列など。

f_n(3,a,b,1) = a^b
f_n(3,a,b,2) = f_{n-1}(a, b\(a-2), b, b)
b>1,c>2 のとき
f_n(3,a,b,c) = f_n(3,a,f_n(3,a,b-1,c), c-1)
ここまでが初期状態 (3から始めている)。 f_{n-1} が2重帰納的関数なら
2重帰納的関数となっている。
k≧4 のとき
b=1 または c＝1 なら f_n(k,a,b,c) = a^b
b>1 かつ c>1 なら f_n(k,a,b,c) = f_n(k,a,f_n(k,a,b-1,c), c-1)
ここの形も2重帰納的関数の定義となっている。

7 の関数は f_n の a のところに有限列 a,b,...,x をかためてほうり込めば
えられる。

>>954
f_{n-1} が2重帰納的関数ならといっても、
そもそもf_{n-1}はnumeric functionではないんじゃないですか？

>f_n(3,a,b,2) = f_{n-1}(a, b\(a-2), b, b)
ここを見る限り任意の長さの有限列σに対して一斉に
f_{n-1}(σ)が定義されているという仮定があるように思えます。

それと第1変数のkが何のために存在しているのかよく分からないのですが・・・

>>955
帰納関数論で自然数の有限列がどのように自然数として扱えるか学んで
ください。
それがわからないと理解できないと思います。

>>956
そういうことですか。わかりました。

>>956
や、だからそういう態度をとられてしまうと議論がそこでストップしてしまうのですが・・・。

>>958
もう限界なんでしょう。

一番肝心な部分を省略して証明とは・・・

f_nの最初のパラメータの意味とか、何で3から始めるのかとかぐらいは素人にも説明できそうなものだが。

>>961
教えてクンってウザイ

>>962
それはこういうときに言う台詞じゃないだろう・・・。

954 は肝心なところを書いている証明なのですが、おわかりにならない方も
いらっしゃるようなので少し説明します。しかし自然数の有限列を自然数で
表したり、その数から元の有限列の要素を取り出したりすることが原始帰納的
関数でできることは帰納的関数に関することを書いてある数学の本のほとんど
に書いてあることなので説明しません。
まず >>7 にある ↑n は関数とはなっていないことに注意します。関数という
のは変数の個数が決まっているものです。そこで変数の個数についての情報
を k としていれて4 変数の関数を定義することにします。n = 1 の場合は
b\(a-2) に関するところがないので2重帰納的であることが明らかです。
k=3 からやっているのは 1,2 のときは 3以上に含まれているので不必要だ
からです。954の式は決して簡単な書き直しではありません。n を含んだ5
変数関数の定義としてみると3重帰納的であるという形ではなく、5重帰納的
であるという形となっています。つまり、元の ↑n(a,b,2) は複雑な要素を
含んでいるということなのでしょう。
有限列を使えば簡単に2重帰納法で表されるというわけではありません。7に
ある定義を見て前の部分のみ有限列としてまとめるから2重帰納的である
ことがわかるわけで、すべてをまとめてしまっては帰納的であることさえ定か
でなくなります。
このあと、ふぃっしゅ数に関することの証明をしようとすれば、定義を正確
に書いておくことが必要です。954 の証明でわかるように、概念や雰囲気だけ
では間違える要素が多くあるところのようです。

>>964
どもども。ありがとうございます。

＞関数というのは変数の個数が決まっているものです。
＞そこで変数の個数についての情報を k としていれて4 変数の関数を定義することにします。

aの部分の変数の個数が、ｋによってコロコロ変わるようなものも、関数なのか？
情報が変数の一つに入っていれば良いなんて、変だぞ。

＞自然数の有限列を自然数で
＞表したり、その数から元の有限列の要素を取り出したりすることが原始帰納的
＞関数でできることは帰納的関数に関することを書いてある数学の本のほとんど
＞に書いてあることなので説明しません。

素数列p_nを取って、
N^n∋(x_1,x_2,...,x_n)→p_1^x_1*p_2^x_2*...*p_n^x_n∈N
とする、という事だろうが、しかしnも変化させる時、
これを原始帰納的「関数」と捉えて良い？

＞このあと、ふぃっしゅ数に関することの証明をしようとすれば、定義を正確
＞に書いておくことが必要です。

どれをふぃっしゅ数というのか、よく知りませんが、
少なくとも>>10-12は正確な定義でしょう。

>>968
分からないのにくいさがる馬鹿ってウザイ

君、10-12がわからないの？

>>966>>967
おそらく両氏の疑問は同じところにあるのだと思いますが

>N^n∋(x_1,x_2,...,x_n)→p_1^x_1*p_2^x_2*...*p_n^x_n∈N
みたいな"写像"を考えて自然数の話に帰着するのではなく、
自然数列を扱う代わりにそのコード化である自然数を扱うという話です。
ゲーデル数みたいに。

あんまりうまく説明できないんですが、
何か一つ例を出すとわかりやすいかもしれません。
ちょっと考えてみます。

自然数上の原始帰納関数 ( )_i, *, lh 等が存在し、
>>967 にあるコーディングの下で、lh は有限列の長さ、
* は列の連結、( )_i は列の第 i 成分等を表すことが
わかる。

これは、自然数とこれらの原始帰納関数のなるカテゴリーが
自然数の有限列全体と有限列を扱う基本的な演算のカテゴリー
と同型となることを意味している。

だから、自然数の有限列上の関数 f についての議論は、上の
同型で対応する自然数上の関数 g についての議論に帰着できる。

>これは、自然数とこれらの原始帰納関数のなるカテゴリーが
>自然数の有限列全体と有限列を扱う基本的な演算のカテゴリー
>と同型となることを意味している。

圏１：対象はN一つ、Hom(N,N)は原始帰納関数全部
圏２：対象は自然数の有限列の成す集合X一つ、Hom(X,X)は原始帰納関数（？）全部

この二つの圏が同型というのは、良いんだろうけど、問題はHom(X,X)の定義が、
先に与えられるのか、あるいはHom(N,N)を用いて定義するのか、
後者の場合はN^nの時の定義とうまくかみ合うのか？
といった疑問が>>966-967の正体だと思う。

> 問題はHom(X,X)の定義が、先に与えられるのか、
> あるいはHom(N,N)を用いて定義するのか

お好きならば、自然数と自然数の有限列からなる 2-sort の
カテゴリーを定義して、その上の原始帰納関数の理論を作れば
同時に解決できますよ。

問題になるのは X 上の基本操作に対応する関数と、N の元 n
に対し、n からなる長さ 1 の列を対応させる関数、それと X
上の列の長さに関する原始帰納法による関数の定義だけでしょ。

> 後者の場合はN^nの時の定義とうまくかみ合うのか？

( )_i, *, lh 等が原始帰納関数なのだから、これはあたりまえ。

どうもすみません。よくみたら >>954 には書き間違いがあります。
967,974で使われている記法は普通のようなのでそれを使います。

まず k≧4 のときですが、b=1 または c=1 のときというのが具合が
わるいです。そのときは、まず

a が長さ k-2 の有限列のコードでないとき、f_n(k,a,b,c) = 1。
これは b,c の値に無関係にそう定義します。
a が長さ k の有限列のコードであるときで、
b=1 または c=1 のとき f_n(k,a,b,c) = f_n(k-1,a',(a)_k,b)
ただし、a'*(a)_k = a 。
b>1 かつ c>1 のときは前と同じで
f_n(k,a,b,c) = f_n(k,a,f_n(k,a,b-1,c),c-1)。

その結果というと変ですが、f_n(3,a,b,c) でも長さ 1 の有限列の
コードとやったほうが整合性があると思います。しかし、準備を
しっかりしないと中々大変なもんですね。

さてそうすると、これは n = 1 のときはほぼ >>7 のままとして、
2 重帰納法 ですが n が 2 以上では 2重帰納法には見えませんね。
4重帰納法となっていることは形からわかります。a' は a より
小さいから、3重帰納法とはなっていると予想できますが、証明を
する必要がありますね。証明することを提案したので、954を書き
ましたがとても勉強になりますね。

964 に書きましたが↑n は >>7 で何変数の関数として定義されている
のでしょうか? この定義域が自然数の有限列全体とするならば、その後
>>10 で1 変数の自然数に関する関数として許されるものは何なんで
しょうか? このあたりをはっきりさせないと色々なことの証明は進まない
と思います。>>966 >>967 の疑問はむしろ >>7 に向かうべきなのでは
ないでしょうか? そして、自然数の有限列を自然数で表すというのはむしろ
>>7 の時点でなされることにより、自然数上の関数として定義され、既存
の帰納的関数論とのつながりもはっきりすると思います。

>だから、自然数の有限列上の関数 f についての議論は、上の
>同型で対応する自然数上の関数 g についての議論に帰着できる。

あまり安心できていないのだけど、
例えば>>967の記号の元でg(n)=(p_1p_2...p_n)^nとすると、
これが原始帰納的であることは、
>>972ではどう保証されるのでしょうか？
これは有限列上の関数fからg(n)=f(n,n,...,n)(n個)を
作る事を意識しての質問ですが。

>>>966 >>967 の疑問はむしろ >>7 に向かうべきなのでは
>ないでしょうか?

>>966は、>>964の

>関数というのは変数の個数が決まっているものです。

というご説明を受けての事と思われます。
関数という言葉で、帰納的関数を意味するのは、方言ですので。
もっとも、↑n(a,b,...,x,y,z)は↑n((a,b,...,x,y,z))とするのが良いとは思いますが。

>>954は、すでに↑nとは定義域の別の関数を考察している（aは自然数）、
と理解していますが、その場合a\mは自然数列ではなく(p_1p_2...p_m)^aですか。
安心できればいいんですが。

>>977
972 を書いたわけではないのですが、まず、n 番目の素数を対応
させる関数として p_n は原始帰納的です、これは極めて多くの本
に書いてあります。ですから g(n) が原始帰納的であることは成立
しています。また、今まで書かれているように有限列のコードが
原始帰納的関数でなされることを使い、↑n((a,b,...,x,y,z))
とされるのであれば、これ自然数から自然数への1 変数関数として
しますのが後のなながりをよくすると思います。
a\m は自然数列のコードですから、コードの仕方が p_n を使うのなら
954 はまさしくそれを使っているのです。954 + 975 はすべてを自然数
に関する4 変数関数でなされるため、良く知られている、自然数の
有限列コードを使おうといっているのです。ですから >>971 の説明は
適切だと思います。

>>976
↑n は >>7 で何変数の関数として定義されている
のでしょうか?

変数の数自体が可変、あるいは任意長の関数ということだと思う。

>>>10 で1 変数の自然数に関する関数として許されるものは何なんで
>しょうか? このあたりをはっきりさせないと色々なことの証明は進まない
>と思います。

それは定義の問題ではありませんので、
例えば帰納的関数の枠組みで取り扱う必要のある方なら、
帰納的関数として十分か（即ち以後の定義に支障はないか）？
など考えられると良いと思います。

予想するだけなら、帰納的関数として十分な気はしますが、
なにぶんコード化さえ最近知った所で、証明は手に余ります。

列の長さの情報はlh(a)という形でaに含まれているものと考えれば
kは必ずしも必要ではないんじゃないかという気がしてきましたが、
やっぱり必要なんでしょうか？

一応3変数でそれらしい定義を書いてみたのですが
確信がもてないのでもうちょっと検証してみます。

>>982
とくに必要というわけではなく、↑n から関数を定義する際、変数の個数
を指定すべきであるという観点で、対応が見えやすいという理由でした。
↑n を使って定義する関数が最終的に n を含んだ関数とするなら、必要
ないと思います。
目標は、この関数が4 重帰納的あるいは5 重帰納的であることを明確に
すること。>>10 のやり方が原始帰納法で置き換えられるということを
示すといった2 点であろうと思います。
n 重帰納的であることを示すために、原始帰納的であることを示すときに
使う補題を用意しておかないで直接示すのはやっかいかもしれません。

９８４。

ふぃっしゅ関数のバージョンが6以降も無限に拡張できるとしたら
ヴァージョン番号を引き数にとる関数を作ればふぃっしゅ関数が生成する数を
こえる巨大数を生成する関数ができるじゃん

ふぃっしゅ関数ヴァージョン1〜nをF1(x)〜Fn(x)とすると

FF(x,1) = F1(x)
FF(x,2) = F2(x)
FF(x,3) = F3(x)
FF(x,4) = F4(x)
FF(x,5) = F5(x)
・
・
・
FF(x,n) = Fn(x)

G(x) = FF(FF(x,x),FF(x,x))

てなぐあいにね

任意の数に対して任意の関数または任意の演算子を任意の回数くり返して
導出された関数または演算子のヴァージョン番号に自然数を対応させてせれば
そのバージョン番号を引き数とする関数または演算子を定義することにより
その引き数に導出した関数または演算子を任意の回数入れ子にすることによって
いくらでも次元を超越する巨大数を生成する関数を導き出せますよね

よって、キリがない。

>>985
その考え方は素晴らしい考え方だ！　>>1 の一番はじめの書いてある
「前の数＋１」というのと本質的に変わらない！と思えれば、
あなたは数学者への道を歩んでいる！なんちゃって。

>>985
>ふぃっしゅ関数のバージョンが6以降も無限に拡張できるとしたら

とか言ってる時点で、意味の無い発言ですな。

>>985-986
Ver5及び6自体がそういう感じの関数じゃないの？

もっとも、985のような、いい加減な定義ではないけど

>>989
Ver.5はまだできてない、はず。
というか、ver.4がどんなのだったかも記憶にないのだが。

Ver.5を作ろうとして、帰納関数のところで話が混乱してそのままになっている、といった感じだったかな。

てゆうか早くVer.5完成させてください。

つうかアッカーマン関数やタワー演算子がすでにその演算子のバージョンを
引き数にとってシステムを増大させているわけだから、>>987の言っている
『「前の数＋１」というのと本質的に変わらない』
ということなってしまう。

そうするとこのスレで議論していること自体が
スレの前提条件と矛盾したことになるのでは？

※種関数f(x,n)を決める。
※定義したい定義番号kを決める。
※定義番号iを1に初期化

k = 1　『定義番号kが決まってない場合』
f(x,n) = x+n　『f(x,n)が決まってない場合』

※繰り返しポイント(A)

x[0]n := f(x,n)
x[1]n := x[0](x[0](x[0](...[0](x[0]x)...)))　『xに演算子[0]をn-1回適用』
x[2]n := x[1](x[1](x[1](...[1](x[1]x)...)))　『xに演算子[1]をn-1回適用』
x[3]n := x[2](x[2](x[2](...[2](x[2]x)...)))　『xに演算子[2]をn-1回適用』
x[4]n := x[3](x[3](x[3](...[3](x[3]x)...)))　『xに演算子[3]をn-1回適用』

x[m]n := x[m-1](x[m-1](x[m-1](...[m-1](x[m-1]x)...)))
　　　『xに演算子[m-1]をn-1回適用』

f(x) := x[x]x　『関数fはxに演算子[x-1]をx-1回適用すること』
f(x,1) := f(f(x))　『関数fを1回入れ子』
f(x,2) := f(f(f(x)))　『関数fを2回入れ子』
f(x,3) := f(f(f(f(x)))))　『関数fを3回入れ子』
f(x,4) := f(f(f(f(f(x)))))　『関数fを4回入れ子』

f(x,n) := f(f(f(f(f(...f(x)...)))))　『関数fをn回入れ子』

※もし定義番号iと定義番号Kが等かったら終了ポイント(B)へジャンプ
※定義番号iをインクリメントする。
※繰り返しポイント(A)にもどる。

※終了ポイント(B)

f(x,n,1)『定義番号kが1の場合のf(x,n)』
f(x,n,2)『定義番号kが2の場合のf(x,n)』
f(x,n,3)『定義番号kが3の場合のf(x,n)』
f(x,n,4)『定義番号kが4の場合のf(x,n)』

f(x,n,m)『定義番号kがmの場合のf(x,n)』

g(x) := f(x,x,x)　『関数gは関数fの引き数全てに同じ値xを入れること』
g(x,1) := g(g(x))　『関数gを1回入れ子』
g(x,2) := g(g(g(x)))　『関数gを2回入れ子』
g(x,3) := g(g(g(g(x)))))　『関数gを3回入れ子』
g(x,4) := g(g(g(g(g(x)))))　『関数gを4回入れ子』

g(x,n) := g(g(g(g(g(...g(x)...)))))　『関数gをn回入れ子』

f(x,n) := g(x,n)
※g(x,n)を種関数として>>994の定義を適用

どうでもいいでつが、次スレは何時起つのでつか

>>995
それで、ようやくSS変換１回分くらいかな。

久々に「SS変換」という言葉を使ってみたかっただけ。

>>993
アッカーマンやタワーのどこに、
>>1の「前の数」とか、>>985の「拡張できたとして」
に相当する遅出し要素がある？

>>994-995
ふぃっしゅのアイデアにさえ、遠く及ばない。

巨大数探索スレッド6

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1082727613/

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。