巨大数探索スレッド５

巨大数研究室
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/

前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。

「前の数＋1」
「1/x　x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」

という類の投稿は放置推奨。

パート１：■■■史上最大の数　グラハム数■■■
　　http://science.2ch.net/math/kako/1014/10140/1014030375.html
パート２：一番でかい数出した奴が優勝
　　http://science.2ch.net/math/kako/1024/10243/1024311743.html
パート３：【ふぃっしゅ数】巨大数の探索スレ【ばーど数】
　　http://science.2ch.net/math/kako/1033/10333/1033320305.html
パート４：巨大数探索スレ
　　http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043210147/ （前スレ)
　　http://katjusha.2ch.net.cn/read.cgi/science.2ch.net/math/1043210147/ (かちゅ〜しゃ）

避難所
　　http://www.bc.wakwak.com/~sarumaru/cgi-bin/readres.cgi?bo=math&vi=1045500685&rm=100

乙

前スレ1000=(¬＿¬)ｙ―ξ~~よ、
巨大数探索スレにまったく関係のないお前が1000げとすんなｳﾞｫｹ。逝ってよし。消えろ。今すぐに。

>>4
よ　っ　ぽ　ど　彼　に　恨　み　を　も　っ　て　い　る　の　で　つ　ね














（ぷ

>>5
は　？　な　に　当　た　り　前　の　こ　と　言　っ　て　る　ん　で　す　か　貴　方　は　？












（ぷぷ

定義をまとめておきます。
参考：チェーンとの対応は(a→b→...→x→y→z)=↑1(a,b,...,x,y,z)
　　　　　タワーとの対応は(a↑...c個...↑b)=(a→b→c)=↑1(a,b,c)

以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。

まず多変数関数↑1を次で定めます。
↑1(a):=a
↑1(a,b):=a^b
3変数以上に対しては、
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,↑1(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)

次に多変数関数↑n-1から、多変数関数↑nを作ります(n>1)。方法は、
↑n(a):=a
↑n(a,b):=a^b
↑n(a,b,c):=a^b (b=1 or c=1)
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)
↑n(a,b,c):=↑n(a,↑n(a,b-1,c),c-1) (b>1,c>2)
4変数以上に対しては、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)

>>7
そういえば、ふぃっしゅさんが前に、チェーンは well ｄｅｆｉｎｅｄ　じゃないかも、て言ってたけど大丈夫？

>>8
大丈夫。但し↑n(a,b,2)の式を間違いやすいので、注意が必要。
タワーと無理に類似させようとしたためか、そこだけ規則性が崩れてる。

作成中のふぃっしゅ数バージョン５のイメージ

[1] 集合Mn(n=0,1,2,...)を以下のように定める。
　M0=自然数の集合
　Mn+1=写像Mn→Mn全体の集合
　Mnの元をMn変換と呼ぶ

[2] Mn変換 m(n) (n≧1) を定める。

[3] ふぃっしゅ関数 f5(x) を以下のように定める。
　f5(x):=((..((m(x)^xm(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)

[4] 最後にふぃっしゅ数 F5:=f5^63(3) とする。

[2]の記述方法として、
f_n∈M(n)に対して、m(n+1)(f_n)=g_nを以下で定める。
　　f_{n-1}∈M(n-1)に対して、g_n(f_{n-1})=g_{n-1}を以下で定める。
　　　　f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_n(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
　　　　　　　　･･････
　　　　　　　　f_0∈M(0)に対して、g_1(f_0)=g_0を以下で定める。
　　　　　　　　　　　　g_0=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0

すなわち
m(1)(f_0)=f_0^f_0
(m(2)f_1)f_0=(f_1^f_0)(f_0)
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f1)f_0:=(..(f_n^{f0}f_{n-1})...f_1)f_0

といった記述法が、一つの候補となっています。

>>11の4行目、誤植ありました。
誤：　　　　f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_n(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
正：　　　　f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_{n-1}(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。

ログに関係するところを更新しますた。
http://cgi.members.interq.or.jp/hokkaido/asato/upload/jam3ddr/OB000175.zip

もやしっ子さん、サイトへのアップお願いします。

内容に関しては、バージョン５ができたころにでも。

>>10
m(x)^xはm(x+1)m(x)とほとんど同じなので、あまり意味
なかったようです。
f5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)
で十分です。結局のところ、最も本質的なところだけを
変数にすればいいということか。

ふぃっしゅ数（変換）の簡易版を>>15-17に書きます。

関数とは「自然数から新たな自然数を作る操作」の事とします。
（バージョン5では、関数をM1変換と呼びます。>>10[1]）
これを一般化して、「関数から新たな関数を作る操作」を考えて、
それをM2変換と呼ぶ事にします。

関数f,gから新たに合成関数fgができます。
方法は、fg(x):=f(g(x))です。
同様に、二つのM2変換a,bから新たにM2変換abができます。
方法は、関数の時と全く同じで、ab(f):=a(b(f))です。
aa...a （aをn回合成したもの）をa^nと略記します。

M2変換aが与えられたとします。
それから新しいM2変換bを定める事を考えます。

M2変換bを定めるという事は、
「与えられた関数fに対して、新しい関数bfを定める」という事です。
関数bfを定めると言う事は、
「与えられた自然数xに対して、新しい自然数(bf)(x)を定める」と言う事です。
では、(bf)(x)を次の式で定めましょう。

(bf)(x):=(a^xf)(x)

右辺を説明します。
a^xは>>15で定義した、M2変換aをx回繰り返したM2変換です。
(a^xf)は、M2変換a^xによりfから作られる関数です。
関数(a^xf)の、xにおける値(a^xf)(x)、
それを(bf)(x)とする訳です。

>>15-16により、M2変換aから新しいM2変換bが定義されました。
簡単のために、b=m(3)aと書く事にします。

さて、M2変換s(n) (n>0)を、次の式で定義します。

s(1):=m(2) (>>11)
s(n+1):=m(3)s(n)

この「簡易版ふぃっしゅ変換」s(n)の計算例が、
後ほど幾つか挙げられると思います。

ib氏の説明はわかりやすいなあ

比較不可能なんだろうけど
Ver5とビジ−ビ−バ−との比較はどうなんでしょ

>>17 >>18 自作自演？

何をやりたいかがよくわからないので伺います。
19 のことも関係しますが、計算可能な関数でありながら、比較的簡単
に定義される非常に早く大きくなる関数の集まりをつくりたいのでしょうか?
ビジービバーの話をするなら、計算可能でないものを含むことになるので
なにが目的なのか、教えてください。

>>21
その議論はパート３あたりでかなりされている
とりあえず記数法の議論を読むことをすすめる

俺の解釈では、面白い巨大数を作ればなんでもいいんじゃないかな。
計算可能であるとかないとかは、そのあとに判断すればいいこと。

>>22
どうも有り難うございました。
たぶん、「計算可能な関数でありながら、比較的簡単に定義される
非常に早く大きくなる関数の集まりをつくりたい」ということだろう
と思いました。
ここでやっているのは、演算の繰り返しにより新しい演算を定義する
ことと、対角化(変数を減らすこと)なのだと思います。これは自然な
考えかたで、そのようにして定義できるのは、n-重帰納法の範囲だと
思います。どうも何が定義だか理解できていないのですが、帰納関数
でn-重帰納法で定義できないものもあるわけですから、n-重帰納法
(n は任意)の範囲であることを示し、次に、あるn-重帰納法で定義
できる関数よりは、ここで定義された関数で早く大きくなるものが
あるっていうことをいえば、１ステップだと思うのです。

>>24
いや、ｎ重帰納法はとっくに超えている。
そして、帰納関数なのかどうかが問題になっている。
全部ガイシュツなんで、読んでみて。

ときどき新しい人がやってきては、判を押したように
同じことを言っていくんだよね。あまりにもみんな
同じことを言うので面白い。

せっかくなので、ここで議論されているバージョン５が
帰納関数なのかどうか、といった判定をしていくと
みんなに喜ばれると思う。

>>25
すいません、バージョン５の定義は >>7 なんですか?
それならもちろん帰納関数だと思いますが。読み方が悪いんでしょうか？

簡単に言うと、対角化操作そのものを対角化する操作が
あるんだよね。それで、ｎ重帰納法は越える。
そして、対角化操作を対角化する操作を、さらに対角化
する、といった感じですすめるらしい。
対角化操作でｎ重帰納法しかできない、という先入観に
とらわれているうちは、ここで議論されている対角化の
意味は分からないだろう。

>>26
いや、それはバージョン５の定義ではない。
まあ、あわてずに過去ログを読んでみるといいよ。

新スレご苦労様です。

>>13
ありがとうございます。もうすっかりロートルで何やってるのか
ほとんど分からないですが、毎日見てます。見るだけ。笑い

第一スレ(‥‥になるとは思わなかった）グラハム数スレ立てた者です。
あれから、もう１年以上経過しましたね。
実質的なスタートはふぃっしゅ氏の第一の定義が定着し695さんが新ｽﾚ立てからだと思いますが
このままずっとスレが続いていけば数年後に信じられない巨大数が誕生するのでしょうか
それとも、もうすでにこの辺で拡張不可能な極限まで世界が引き伸ばされているのでしょうか
当時のかめさんや、名無しの物体さんも来て意見書いて欲しいですね。



思えば遠くへ来たもんだ。

>>28
過去のどこに定義があるかわからないので、このスレッドの 10-17
を読みました。形式的には関数の関数などどんどん複雑なものをあつかう
形式ですから、対象自体は自然数上の帰納関数ではないでしょうが、
そのようなことでは帰納関数でない自然数上の関数が構成できるはずが
ないのではないでしょうか? どの定義が帰納関数から飛びだしている
可能性があると考えられているのでしょうか?

>>31
つまり帰納関数であるということは自明だと。
サンキュ。

>>31
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/index.html
及び
前スレの後半700番以降のふぃっしゅ氏とib氏のやりとりを読むことを
オススメする

>>31
> そのようなことでは帰納関数でない自然数上の関数が構成できるはずが
> ないのではないでしょうか?

感覚的にはそうなんだけど、それでは説明にはなっていないような。
帰納関数の定義に基づいて説明しないと。

>>34
すみません、今からでかけるのであとで書きます。
形式的に大きな対象を扱っているように見えても、枚挙するような
対象を導入しないと本質的に計算可能性からでません。(ビジービバー
はTuring Machine を使うので枚挙性をもちます)
Kleene の高階帰納関数の理論のなかにはいっている話だと思います、
会社にはいる前の話でこれはうろ憶えですが。

>>35
素人質問ですみませんが、帰納関数と計算可能関数は
同じ意味なのでしょうか？

>>35 (素人という人が答えている人より詳しいかもしれないのですが）
計算可能関数という言葉は色々な意味で使われることがあるので帰納関数と
いう方が間違いがないと思います。Church's Thesis はそれが同じものだと
思おうという宣言ですから同じ意味でつかうこともあります。ただ昔の宣言
で今どう思われているか知りません。

まず 7 の定義によって導入されている関数はすべて２重帰納法の範囲です。
つまり、原始帰納関数の定義の原始帰納法の部分を２重帰納法で置き換えて
できる関数のクラスに入っています。↑n(a,b,2) がその型から
はみ出ているようにみえますが、有限列およびその m 番目をとりだす関数
が原始帰納関数で得られることに注意すれば、それがいえます。
つぎに 10 以下の functional など高階の対象を扱うものに関しては、定義
がちょっと不明確なのですが、気持ちをよみとれば、evaluation E つまり
E(f,x) = f(x) と関数を繰り返す操作の組合せのようにみえます。この範囲
ですと、最初の段階が原始帰納関数から始めていれば原始帰納関数、２重帰
納関数から始めれば２重帰納関数しかうみだせません。これは定義を明確に
すれば、大体その定義の長さに関する帰納法で（少々工夫は必要ですが）
示せます。つまり、24に書きました n 重帰納法で定義できる関数よりは早く
大きくなるといったことは成立していません。逆に 3 重帰納法でこれらのど
の関数よりもあるところからさき大きくなる関数が存在します。高階の対象
を使うことは見通しをよくすることはあると思いますが、本質的なことでは
ないと思います。

>>37
＞逆に3重帰納法でこれらのど
＞の関数よりもあるところからさき大きくなる関数が存在します。

＞高階の対象を使うことは見通しをよくすることはあると思いますが、
＞本質的なことではないと思います。

そうなの！！？？

http://www5b.biglobe.ne.jp/~ryo-kyo/osu.html

http://my.vector.co.jp/servlet/System.FileDownload/download/ftp/0/279026/pack/win95/game/table/pachinko/sikisai.lzh

最初の頃のスレに比べると
けっこう人材が揃ってきたね
いいことだ

もう一回思うことですが
tan90°とかは、正に∞とか、不に∞じゃないですよね。
どっちでもない…？

>>37
＞7 の定義によって導入されている関数はすべて２重帰納法の範囲です。

やっぱりそうか･･･
Ｓ変換とチェーンの同値性が示されたときに
実はそうではないかと思ったのだが。

ということは、チェーンを超えるには
三重帰納法を考えればよいということか･･･

>>24

やっぱり真面目に帰納的関数の理論を勉強しないとダメか。
まあ、そうなることはわかってはいたんだが･･･

このあたりのことを勉強するのに適当なテキストは何かな？
多分、日本語ではいいものがなくて、英語になると思うけど。

http://www.dumbo.ai.kyutech.ac.jp/hirata/lecture/computation/recursive_main.pdf

を読んで見た。
定理４を見る限り、>>35でいうような枚挙性がカギだな。

>>37
いろいろお聞きしたい事があるのですが、とりあえず。
おっしゃる通り、
「比較的簡単に定義される、非常に早く大きくなる関数の集まりをつくる」事
がスレの一応の目的ですが、個人的には、素人である自分なりの「面白さ」を、
最重視しています。
計算論は、より面白くするための「究極的手段」だと思いますので、
確固たる知識をお持ちの方の参入は、たいへんありがたいです。

>>37
下の(1)-(3)に関するHPや入門書を教えていただけないでしょうか？
（直接お答えいただければ、なおありがたいです。）

(1) n-重帰納法の定義。
高階が2重帰納法で収まる、というご指摘には意表を突かれました。
出来る範囲で検証してみたいと思います。

それから、
(2) 帰納関数でn-重帰納法で定義できないものの実例
(3) (2)のような関数は、どのようなクラス分けが成されるのか？
についても関心があります（野次馬的ですが）。

637 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g [03/03/22 03:00]

そして、さらに気になるのが、このことを踏まえた上で

> しかし、k重帰納的でない(k+1)重帰納的な関数が存在することを示す
> ことができ

と続けていることです。つまり、ここで議論しているチェーンのような
ｋ重帰納法よりも、さらに上のｋ重帰納法が存在する、ということを
この文章は示唆していないでしょうか。

>>37
> 逆に 3 重帰納法でこれらのどの関数よりもあるところ
> からさき大きくなる関数が存在します。

「あるところ」がどこなのかという問題もあるな。
ここは巨大数探索スレなのだから。

BB(x)についても同じことで、BB(x) > f5(x) は当然だけど、
問題は BB(M) > F5 を満たすMがいくつか、だと思われ。

枚挙性によって巨大関数をつくるときには、
こういった問題が本質的に生じると思う。

出張先で調べようがないのですし、すみませんが随分昔勉強したことで定義など
正確には思いだせません。
n 重帰納法に関する詳しい結果は、R.Peter という女性の数学者によるもので
Recursive functions という本があったように思います。論文もいくつか書いて
いて、ドイツ語で泣かされました。多重帰納法はそれほど多くの人の研究した
分野ではなかったのだと思います。また高階の帰納関数論は Kleene の論文だと
思いました。本はなかったように憶えています。
以下昔の記憶だけ書きますから、いい加減に受け取ってください。Ackermann の関数
は初めは足し算、かけ算、べき乗と帰納的に演算をつくっていく考え方で定義した
もので、３変数の関数となっていたものを簡略化して現在の形になっていたのだと
思います。たとえば、３重帰納法で定義される３変数関数 f(x,y,z)できれいな形
のものをつくってどの２重帰納法で定義されるyに関する関数よりも f(x_0,y,y)が
大きくなる、あるいはある y からさき大きくなるというようにつくれば、f(x,x,x)
がどの２重帰納法で定義される x に関する関数よりあるところからさき大きくなる
わけです。もちろん、このあるところからさきというのは一つ下の帰納法の段階から
は超越的に見えるところです。Ackermann 関数がどの原始帰納関数より早く大きく
なるという証明を考えると３重の場合などなど考えやすいのではないでしょうか？
また高階の対象あるいは順序数を考えることが、本質的でないということは帰納関数
の定義ができたころ一流の数学者たちがよってたかってアルゴリズムの究極を考えて
それがすべて一致したことを考慮すれば当然そうであるべきで、なにかそこから抜け
出ようと無理に考えないとなかなかでられなくできているはずです。もちろん証明する
ことは別のことですが。計算機のことを考えれば原始帰納関数の範囲でもかな
りきついわけで、たまたま巨大数をつくるということからは原始帰納関数の範
囲でつくることもいいのではないか？と思います。

学術的な動機を突き詰めると、専門家以外には何もする事が無くなって、
スレが終了してしまうかも。
だから今まで通り、ふぃっしゅ数やチェーンに沿っていろいろ考えていき、
計算論の勉強もぼちぼちしていく、てな事を考えてます。

とりあえずは、>>10-12のf5の２重帰納性を、自分なりに納得できれば良いな･･･

>>51
レスありがとうございます。
「帰納関数を抜け出る」という事は目標とは全く異なります。
むしろ逆で、帰納関数の中でもある種の「性質の良さ」を
一つの基準としているのかもしれません。（素人の言葉です。）
包括的な視点からではなく、個々の面白いと思える関数を扱って行きたいと思います。

>R.Peter という女性の数学者によるもので
>Recursive functions という本があったように思います。論文もいくつか書いて
>いて、ドイツ語で泣かされました。多重帰納法はそれほど多くの人の研究した
>分野ではなかったのだと思います。

数学辞典や検索でも定義は見つかりませんでした･･･

>また高階の帰納関数論は Kleene の論文だと
>思いました。本はなかったように憶えています。

「高階」とは、>>10のMnを扱う事と考えて宜しいのでしょうか？

>Ackermann 関数がどの原始帰納関数より早く大きく
>なるという証明を考えると３重の場合などなど考えやすいのではないでしょうか？

これは大体納得しました。

>また高階の対象あるいは順序数を考えることが、本質的でないということは帰納関数
>の定義ができたころ一流の数学者たちがよってたかってアルゴリズムの究極を考えて
>それがすべて一致したことを考慮すれば当然そうであるべきで、なにかそこから抜け
>出ようと無理に考えないとなかなかでられなくできているはずです。もちろん証明する
>ことは別のことですが。

「本質的でない」とは「帰納関数の範囲を広げる」という観点から見てですよね？
高階の対象の導入は、新しい素材を追加するためには全く無意味でしょうが
（基礎論的視点）、素材から何か楽しめる作品を構築する過程においては、
本質的な場合もありえると推測します（数"楽"的視点）。

でも、本当に2重帰納法以下となると失敗作なのかも･･･

　 　 　 　　　　┌┬┬┬┐
　　　　―――┴┴┴┴┴―――――、
.　　. / ￣￣￣//.￣￣| ||￣￣￣|||￣ |｜　　　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　./　 　　∧// ∧ ∧| || 　 　 　||| 　 |｜　　／
　[/＿＿__(ﾟ_//[ ].ﾟДﾟ,,) ||＿＿＿||| 　 |｜ ＜ 　こんなのが有りますた
.　||_.　*　 ＿|_|￣￣ ∪|.|. 　 　 　 |ヽ.__|｜　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　lO|o―o|O゜.|二二 |.|　　　 救済病院 ||
　.| ∈口∋￣_l＿＿ｌ⌒ｌ_|＿＿＿|_ｌ⌒ｌ._||
　　￣￣`ー'￣ 　　`ー'　 `ー'　 　`ー'
http://saitama.gasuki.com/koumuin/

チェーンについてですが、
c→x→n＝B(1,n,x,c)
･･･
(c→がm個)･･･→x→n＝B(m,n,y,c)
として４変数の関数として書けますね。

B(1,1,x,c)=x*c
B(m+1,1,x,c)=B(m,x,c,c)
B(m,n+1,1,c)=B(m,n,c,c)
B(m,n+1,x+1,c)=B(m,n,B(m,n+1,x,c),c)

>>51
＞Ackermann 関数がどの原始帰納関数より早く大きくなるという
＞証明を考えると３重の場合などなど考えやすいのではないでしょうか？

そうですね。考えてみます。

>>52
＞学術的な動機を突き詰めると、専門家以外には
＞何もする事が無くなって、スレが終了してしまうかも。

すでに知られている結果について学ぶのは当然で
それ貫きには、このスレッドの議論は無意味だろう。

>>17の続きです。
M2変換m(2)は、関数fに対して新しい関数m(2)fを
(m(2)f)(x):=f^x(x)
により定めるものでした(>>11)。
以下、((m(3)m(2))f)(x)=(m(2)^xf)(x)を計算してみます。

より一般にF(x,y,z):=(m(2)^xf)^y(z)とおく時、次式を示します。
[1] F(x,y,z)=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z))
[2] F(x,1,z)>F(x-1,1,F(x,1,z-1))
[1]より関数((m(3)m(2))f)(x)は多重帰納的です。
[2]より関数F(x,1,z)=(m(2)^xf)(z)は、アッカーマン漸化式よりも"増大度が大きい"事が分かります。
。

【証明】簡単のためm:=m(2)とおきます。
F(x,y,z)=(m^xf)^y(z)
=(m(m^{x-1}f))((m^xf)^{y-1}(z))
=(m^{x-1}f)^{(m^xf)^{y-1}(z)}((m^xf)^{y-1}(z))
=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z))

F(x,1,z)=F(x-1,z,z)=(m^{x-1}f)^z(z)
>(m^{x-1}f)^z(z-1)
=(m^{x-1}f)((m^{x-1}f)^{z-1}(z-1))
=(m^{x-1}f)((m^xf)(z-1))
=F(x-1,1,F(x,1,z-1)) QED

>>58
>関数((m(3)m(2))f)(x)は多重帰納的です。

fが多重帰納的なら、((m(3)m(2))f)(x)も多重帰納的です。
に訂正します。


次の目標は(((m(4)m(3))m(2))f)(x)でしょうか。

Hardy Function のHierarchyというのが面白そう。

以下、[]の0,a,λは順序数(ordinal)

H[0](x)=x+1
H[a+1](x)=H[a](x+1)
H[λ](x)=H[Λ(x)](x)

λは極限順序数、
Λ(x)はλに収束する基本列
(canonical fundamental sequence)

三行目はふぃっしゅ氏の"対角化"に似ているけれども
違うのは"Λ(x)"ってところ。

Hardy FunctionのHierarchyでいうと、
primitive recursive functionはH[ω＾ω]より小さく
multiply recursive functionはH[ω＾ω＾ω]より小さく
general recursive functionはH[ε0]より小さいそうだ。
（ε0とはω＾ω＾･･･なる順序数）

>>60
面白そうですね。初めは穏やかなのが渋いです。
H[a]は自然数から自然数への写像ですよね。
Λ(x)は「λ以下の順序数の列でλに収束するもの」でしょうか。
するとλは加算に限るのか。

(((m(4)m(3))m(2))f)(x)の計算を少し書きます。

簡単のため n:=m(3),m:=m(2)と置きます。すると
F(w1,x1,w2,x2,...,wi,xi;z):=((n^{w1}m)^{x1}(n^{w2}m)^{x2}...(n^{wi}m)^{xi}f)(z)
は以下の式を満たします。

(1) F(w1,x1,w2,x2,...,wi,xi;z)=F(w1-1,F(w1,x1-1,w2,x2,...,wi,xi,y,z),w1,x1-1,w2,x2,...,wi,xi;z) (w1,x1>0)
(2) F(w1,0,w2,x2,...,wi,xi;z)=F(w2,x2,...,wi,xi;z)
(3) F(0,x1,w2,x2,...,wi,xi;z)=G^z(z) ただし G(z):=F(0,x1-1,w2,x2,...,wi,xi;z)

どれもアッカーマンに酷似している。という事は2重帰納なのか。
（現時点では定義が不明なので推測ですが。）

とするとVer5の増大度はそれほどでも無くなるってことかい？

2項演算（というかMn+1のMnへの作用）を基調としている以上は、
2重帰納を出る事は無い、という事なのかなぁ（当てずっぽう）
3重帰納の凄さを実感する必要あるかも。
A(x,y,z)=A(x-1,y,A(x,y-1,A(x,y,z-1)))
は（真に）3重帰納なのかな？

n重帰納の、ｎを増やす関数って無いの？

>とするとVer5の増大度はそれほどでも無くなるってことかい？

早計は禁物ですが、そうかもしれません（笑
比較相手に恵まれていたのは、確かですね。

じつはVer1に負けてたりして

>>66
変数の個数を任意にしてやるのかな？
>>63(1)でも変数が増加してるけど、これも2重帰納なのかな。

定義（というか一般帰納との隔たり）も分からずに、
これ以上考えてもしょうがないか。今日はこれ位にしとこ。

>>68
今までここに出てきた関数が、ことごとく2重帰納だった、
って事だと思いますよ。チェーン幻想が罠でしたね。

がーん！

Hardy Functionの定義を眺めて、次のような関数A,B,Cを考えてみた。
順に原始帰納法、二重帰納法、三重帰納法のつもりなのだが･･･

A(1,x)=x+1
A(a+1,x)=A(a,A(1,x))

B(1,1,x)=A(x,x)
B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
B(b+1,a+1,x)=B(b+1,a,B(b+1,1,x))

C(1,1,1,x)=B(x,x,x)
C(c+1,1,1,x)=C(c,x,x,x)
C(c+1,b+1,1,x)=C(c+1,b,x,x)
C(c+1,b+1,a+1,x)=C(c+1,b+1,a,C(c+1,b+1,1,x))

チェーンが2重帰納ならCも2重帰納っぽいけど、どう？
（最後の式でc+1とb+1は一定）

>>73

Ｃの２番目の式で、
c+1,1,1→c,x,x
と３つ変化してるから、三重帰納だと思うけど、どう？
（チェーンの場合はどの式でも変数２つ分しか変わらない）

>>53
高階という意味は御理解どおり Mn を扱うという意味です。初期の関数を原始
帰納関数として具体的に Mn を使って定義すれば原始帰納関数の範囲にあること
は納得されると思います。
>>54
御理解されているとおりです。ただ、２重帰納法の範囲であるというのは、初め
のところに Ackermann 関数のようなものが入っているからで、むしろいれないで
原始帰納関数のなかで考えるのも 51 に書いたように面白いように思います。
また高階で考えるのは、計算機関係でコンパイラーをなんだと思うか、とか
プログラム変換とは何かとか考えるときは見通しがよいと思います。

巨大数という流れではありませんが原始帰納関数でも十分複雑なものがあるという
ことでは MathWorld で van der Waerden numbers というのにあります。これは、
２重帰納法で定義されるのが普通で、ずっと原始帰納関数にならないと思われていた
はずです。Journal AMS の１巻にのっているのだから、かなりよい結果なのではない
でしょうか？
k-帰納法の正式な定義ですが、家で調べましたが当時のコピーは始末してしまって
残っていませんでした。大学にいられる方に調べていただくしかありません。正式で
はないかもしれませんが同等のものは次のようにして定義できると思います。
長くなるので、次に書きます。61 にある Hardy function はよく知らないのですが
感じでは、帰納法を本質的に何回使うかという回数を数えているものだと思います。
ですから、そのような方法で帰納関数の階層ができているのだろうと想像します。

f という関数記号に関する、0−term とは f を含まないこと。
f(t_1,t_2,...t_n) として t_i が k-term なら これは k+1-term
g(t_1,t_2,...t_n) で g が f でないとき t_i が k-term なら これは k-term
とする。
たとえば 3重帰納法のときは
f(0,y,z), f(x,0,z), f(x,y,0) が与えられていて
f(x+1,y+1,z+1,a) が 3-term でそのなかに現われる f は f(x,*,*), f(*,y,*),
f(*,*,z) という形である。

これでよいと思います。ただ１の場合原始帰納関数の普通の定義より面倒になって
います（本質的には同等ですが）から、もう少し簡明な形があると思いますが、
定義されたものがk−重帰納法の中にはいっていることを調べる目的ではこの方が
便利かもしれません。
65の関数は A(0,y,z)=y+z+1, ...などとすれば多分本質的に3重帰納法となっている
ように思います。72 は73の指摘のように２重帰納法を繰り返しているだけですから
２重帰納関数の中にはいっています。今までの試みはAckermann関数に頼る以外原始
帰納関数の範囲からでていないということですから、いかに原始帰納関数の範囲が
広いかということを示してともいえるのではないでしょうか？

7行目で f(x,*,*,*) ... とすべきでした。また a はいくつかの
パラメーターのつもりです。

大分、イメージがつかめたかもしれません。
大雑把に言って「変数の数」ではなく「fが合成されている回数」が問題という事でしょうか。
例えば、f(x+1,y)=f(x,f(x,f(x,f(x,y))))は、（形式上）4重帰納？
また、>>63(1)のように変数の数が変わる場合も2重帰納に入るのでしょうか？

>>78は>>76-77へのレスです。
ご説明ありがとうございます。

>>78
すみません、明日あさ早く出張なので寝てしまいます。
ｆの合成と帰納的定義の組み合わせで複雑性が増します。合成の繰り返し
という概念だけですと十分ではありません。よく知りませんが61の記述
はこのところをついている感じがします。

おつかれさまです。またお暇な時にご教示下さい。


ちょっと気になった事を書いておきます。
>f(x+1,y+1,z+1,a) が 3-term でそのなかに現われる f は f(x,*,*,a), f(*,y,*,a),
>f(*,*,z,a) という形である。
*の置き方によっては、いつまでもf(x+1,y+1,z+1,a)が"定まらない"場合があると思うんですが、
それはどうやって排除するんだろう。（g(x+1,y+1)の式にg(x,y+2)とg(x+2,y)が現れる様な場合。）

例えば、x,y,zの部分のN^3を（辞書式順序等で）整列集合とみなして、
(x+1,y+1,z+1)>(x,*,*),(*,y,*),(*,*,z)となる事を課したりするんでしょうか。

チェーンが２重帰納法だったとは驚愕です。さらに
驚いたのは、高階の対象を考えることは関数の増加率を
あげる本質的な方法でない、ということです。そんな
こととは露知らず、ひたすら高階の定義を追いかけて
いました。

議論が一気に深まり、ますます面白くなってきました。
まとめるとこんな感じでしょうか。

(1) ふぃっしゅ数の本質は、高階の２重帰納関数である。
(2) チェーン関数およびバードによるチェーンの拡張等は、
　すべて２重帰納の範囲である。
(3) いかなるn-1重帰納関数（高階であってもよい）よりも
　増加率の大きいn重帰納関数を作ることができる（これを
　仮に「真の」n重帰納関数と呼ぶ）。
(4) (1)(2)(3)より、ふぃっしゅ数やバード数など、これ
　までにこのスレッドにでてきたあらゆる巨大数（計算
　不可能関数を除く）は、真の３重帰納関数によって簡単
　に超えられる。

>>75によると、高階はあくまでも原始帰納関数の範囲ということか。
そうすると、バージョン５では一切二重帰納の定義を使っていない
ので、原始帰納関数ということになるのかな？だとすると、
原始帰納関数では決して生成できないはずのアッカーマン系列が
得られたことと矛盾するような気がします。原始帰納と二重帰納の
関係から整理していかないと…。

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>>82
あまり役に立たない事をお勧めしてしまい、申し訳なく思っています。
とりあえずは、良い3重帰納の例がほしいですね。

ところで、n重帰納は本来は増大度とはあまり関係ない概念なんですよね？>>80さん
たとえば、原始帰納より増大度が小さくても原始帰納とは限りませんよね。
けれども、各nごとに>>82の意味の「真の」n重帰納関数は確かに存在する、と。
そういう「真の」n重帰納で、扱いやすい物があれば嬉しいんですが･･･

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Kleeneの業績一覧が出てきました。
http://math.library.wisc.edu/biblio.htm
高階の帰納法とは、英語でいうとどうなるんでしょう？
functionalのことだとすると、それはM2変換のことなので、
その先を考察しているのだと思いますが…。

>>51で言われているKleeneの論文は、どの論文なのかを
教えていただけますか？

>>37
> ↑n(a,b,2) がその型からはみ出ているようにみえますが、
> 有限列およびその m 番目をとりだす関数が原始帰納関数
> で得られることに注意すれば、それがいえます

「有限列およびそのm番目をとりだす関数」は、
いわばふぃっしゅ数でいうところの「操作の
対角化」にあたるわけですが、これが2重帰納で
あるというのは納得できますが、原始帰納で
あるというのは納得できません。

アッカーマン関数そのものが、有限列とそのm番目を
とりだす関数であることを考えると、これは2重帰納
そのものであると考えられませんか？

真の3重帰納法の例が得られたら、それを使ってチェーンや
ふぃっしゅ数を近似できるはずなので、その過程で2重帰納と
3重帰納の本質を理解できるような気がします。

検証はけっこう大変そうですが、やはりここはきっちりと
理解したいところなので、一つ一つすすめていきたいと
思います。

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このスレを荒らすのは惜しいと思うが…

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>>85
そのあたりがｎ重帰納を理解する上で、今まで妨げになっていた
ことなのかもしれません。チェーンも、見方によってはｎ変数で
帰納をしているのでｎ重帰納法といえるのでしょうが、これは
「真の」ｎ重帰納法ではないと。

このあたりのことに疑問を持ったのが前スレの421,637だった
わけです。つまり「真の」ｎ重帰納法ではないｎ重帰納法を、
「真の」ｎ重帰納法だと思い込んで議論を進めてきたのでは
ないのか？という疑問でした。もっと早い段階で、「真の」
3重帰納法の例を考えることができていれば、だいぶ展開は変わって
いたことと思います。

ここまでの流れはやはり「計算可能な関数の定義の黎明期」の
流れそのものだったのですね。

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n-1重帰納関数として記述できないｎ重帰納関数を、
真のｎ重帰納関数とする。

といった書き方をすればすっきりするか。

>>76の定義から、一番すっきりした形で真の3重帰納
関数を書くにはどうしたらいいのかしばらく考えてみるか。

結局ﾊﾞ-ｼﾞｮﾝ５はご破算でスか？

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前々スレ164で名無しの物体さんがやってたのは
何重帰納法ですか？

　　 ,.´ / Vヽヽ
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>>107
これのことかな？
---
「多変数のB関数」を使って、B変換を次のようにしてみます。

f(x) = B_m(0,0,･･･,x)
　　　 　 B(0,0,･･･,b,0) = B(0,0,･･･,b-1,1)
　　　　　B(0,0,･･･,b,a) = B(0,0,･･･,b-1,B(0,0,･･･,b,a-1))
　　　　　B(0,0,･･･,c,0,a) = B(0,0,･･･,c-1,1,a)
　　　　　B(0,0,･･･,c,b,a) = B(0,0,･･･,c-1,B(0,0,･･･,c,b-1,a),B(0,0,･･･,c,b-1,a))
　　　　　　･･･（中略）･･･
Bf(x) = B_m(x,x,･･･,x)

ここで、Bの添え字_mはBの変数の個数（次元）であり、
もちろん「あの」mを代入します。すなわち、f(x) = x+1 , m = 3 として

x+1 = B_3(0,0,x) ; B{x+1} = B_3(x,x,x) ; B{m} = B_3(3,3,3)

となるのです。（B{ }はB変換を作用させることを意味します）そして、次のB変換では

B{x+1} = B_(B{m})(0,0,･･･,x) ; B^2{x+1} = B_(B{m})(x,x,･･･,x) ; B^2{m} = B_(B{m})(B{m},B{m},･･･,B{m})

としていきます。

> >>72は>>73の指摘のように２重帰納法を繰り返しているだけですから

最後の式だけをみてそう判断するのは早計じゃないかな？
その理屈でいえば、Bの最後の式は同じくb1+1が変化してないから
２重帰納法ではなく原始帰納法だということになるよ。
でも計算すればわかるけど、Bは実際にはAckermannと同じような
関数になってるよね。>>76はどっか間違ってるんじゃない？

２重帰納法っていうのは基本的には

　０＜１＜２＜３＜・・・
＜（１，０）＜（１，１）＜・・・
＜（２，０）＜・・・

というような順序を定義するものだと思えばいいわけでしょう。
>>72の関数Bの場合は
＞B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
で、b+1,1→b,xのところで２重帰納法になってると思う。
だから、同様に関数Cで
＞C(c+1,1,1,x)=C(c,x,x,x)
のところで３重帰納法になってるんじゃないかな？

チェーンの場合、どの変換でも最後の数を１減らすのに
最後から二番目の数しか大きくならないので、２重帰納法
で済んでしまう「落とし穴」があったんだけど、
>>72のA,B,Cは、１の列の直前の数を１減らすと
それ以下の数が、ドカンと増えるところが違う。

>>109はよく見てないんで分からないけど
ｎ重帰納法になってる可能性は高そうだね。

A(a,x)はH[a](x)のつもり
A(x,x)はH[x](x)=H[ω](x)のつもり

B(b,a,x)はH[a(ω^b)](x)のつもり
B(b,x,x)はH[x(ω^b)](x)=H[ω^(b+1)](x)のつもり
B(x,x,x)はH[x(ω^x)](x)=H[ω^ω](x)のつもり

C(c,b,a,x)はH[a(ω^(cω+b))](x)のつもり
C(c,b,x,x)はH[x(ω^(cω+b))](x)=H[ω^(cω+b+1)](x)のつもり
C(c,x,x,x)はH[x(ω^(cω+x))](x)=H[ω^((c+1)ω)](x)のつもり
C(x,x,x,x)はH[x(ω^(xω+x))](x)=H[ω^(ω^2)](x)のつもり

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>>113のつもりでいけば、>>72の定義の延長で
ｎ変数にしてもH[ω^(ω^n)](x)どまりで、
H[ω^(ω^ω)]に到達することはないことがわかる。

一応、現段階での最強（？）関数、
Snake（蛇）を以下に定義しておきます。

Snake([1,･･･(n+1個)･･･,1],x)
=Snake([x,･･･(n個)･･･,x],x)
Snake([a<1>,･･･,a<m>,1,･･･(n-m個)･･･,1],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,･･･(n-m個)･･･,x],x)
Snake([a<1>,･･･,a<n>],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<n>-1],Snake([a<1>,･･･,1],x))

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ついに

スネーク関数登場！！

ここは魚(ふぃっしゅ)の領分だ・・・・・・巨大数に蛇は似合わない。

「真の3重帰納法」と「見かけの3重帰納法」の違いは、
どこにあるんだろう。真の3重帰納法であることを
確認する方法は、その方法で任意長のチェーンを
近似するといった計算による方法と、厳密な証明を
する方法、真のｎ重帰納法の正確な定義を調べる
方法の３通りがあると思います。いずれの方法を
とるにしても、簡単ではありません。

なにしろ、あのRobertさんのページでも、チェーン等の
2重帰納の世界から、一気にビジービーバーまで
飛んでいるくらいですから、ｎ重帰納の話はなかなか
正確なところを理解している人は少ない、つまり>>51の
ように研究者の絶対数が少ないのではないかと思います。

計算をするといっても、いくつか値を代入してみて
増加率が高いことに驚くといった計算方法では、
ふぃっしゅ数バージョン１よりも大きいことすら十分に
いえないと思います。少なくとも、ふぃっしゅ数の高階の
定義が3重帰納にかなわないということは私の直感には
反しているので、直感では理解できないだろうな、と
思います。

R. Peter さんがみつかりました
http://www.sdsc.edu/ScienceWomen/peter.html

In 1976, she published Recursive Functions in Computer Theory.

この本のことですか。さすがにドイツ語はやだな。

真のｎ重帰納の定義や例が解説されているページを探そうと
しているんだけど、なかなかみつからない。

どこもかしこも、アッカーマンからすぐにチューリングマシンへ
飛んでいる。このスレッドで話していることは、決して当たり前の
ことではなくて、実はあまり知られていないか触れられていない
ことのような気がします。

私も探しましたが、定義見つかりませんねぇ。
後世の教科書に残るほど良い定義では無かったって事なのかも？
（定義の必然性が不足している、とかいう類の。）

「2重帰納」という言葉だけは、アッカーマンにからんで
頻出なのが何とも。
でも今の所、関数の増大度の理論的指標が「n重帰納」しか
ないのもまた事実･･･

どうやらふぃっしゅ数もチェーンも3重帰納に負けているらしい、
というところまではつかめたけれど、その負けている相手の
正体がなかなか見えてこない。とりあえずは、>>65 >>72 >>76
あたりを検証していくしかないのだろうか。

ただ、すでに結果がでていることなのであれば、まずは正確な
結果を知ってから確認の計算に入りたいと思うのが人情というもの。

英語のページでも、なかなか見つからない。

今まで見たページの中で、唯一それらしきことが書いてあるのが
>>44のページです。>>102に書いたように、この著者はなにか
知っている感じです。

2重帰納の操作を枚挙して3重帰納を作れ、ということなのだろうか。
それよりは、漸化式ですっきりとあらわせるのであればあらわしたい。
そういった具体的な例がどこにも書いていないところがなんとも。

考えてみると、今までこのスレッドでｎ重帰納について
何人か発言した人はいたけど、ほとんどの人は「ｎ重
帰納はn-1重帰納であらわせない」といった表現を
していましたね。「n-1重帰納であらわせないｎ重帰納が
存在する」という正確な表現をできる人がなかなか
いないところをみても、ここらへんのところは勉強した
ことがあっても正確な知識は教えられていない、
むしろ知っている人が少ないところなのかもしれません。

あぼーん

確かに"枚挙性"で作られる真のn重帰納、というのはここで検討する価値は
あまり無い気がします。なぜならそれはおそらく+1する発想の類似だから。
そうではなくて、2重帰納の時のアッカーマンのように、
あらゆるn-1重帰納より大きいn重帰納で、しかもごく単純に定義されるもの、
それが必要ですね。

あらゆる操作を枚挙すればビジービーバーだしな。
そう考えると、枚挙性を持ち出すならば一気に計算不可能まで
飛んでしまった方がいい。

やはり、枚挙性なしでどこまでいけるかでしょう。

たとえばチェーンで後ろから2番目の変数にだけ作用させるという
のは、関数の増加率にとって考えてみると、最も効率よく増加
させるところだけに作用させているということで、すべての変数に
作用させたところで、実はそれほど効果が増すわけではない。

そう考えると、作用させる変数を増やすことは本質的でないだろう。
かといって、合成を増やすだけでも本質的でないので、本質的に
増加率を増す鍵は、やはり>>80の言うところの「合成と帰納的定義
の組み合わせ」というところではないか。双方が独立では二重帰納を
繰り返しているだけにすぎず、組み合わさるところに本質があると。

>>65はなかなかすっきりしているし、おそらくPeterの論文を
読んだ彼のみがｎ重帰納の本質を知っている、その彼が3重帰納
だろうと言っていることなので、この線で検証をすすめるのが
良さそう。ここは１つl.b.氏に漸化式を一通り書きあげてもらい
たいところ。式を眺めれば、何か分かるかもしれない。

>>65はいきあたりばったりだし、>>76も肝心なことになると
「…と思います」と一気に腰砕けなんで、ちゃんとわかっている
かどうかあやしいもんだ。
>>44のリンクの論文にAckermann関数の作り方があるから
それを踏まえて拡張しなくては意味がないな。
例えば、
A(x,y,z)=A(x-1,A(x,y-1,z),A(x,y-1,z))
A(0,y,z)=A(1,y-1,A(1,y,z-1))
A(0,0,z)=z+1
というのは如何？
（なお、上の定義では、A(x,1,z)、A(0,y,1)の箇所が抜けている）

Ackermannは本当に真の3重帰納法を与えるのかどうか。
もともと、2重帰納を示すための方法なので、その拡張で
「真の」3重帰納が得られると考えるのはどうだろう。

>>65と>>132を見比べていると、どうも>>65の方に、
より不思議な複雑性があるように思う。

たぶん、通常の3重帰納は全部真の意味で3重帰納じゃないのだろう。
そのあたりが、大きな落とし穴になっているように感じる。

より不思議な複雑性というのは、>>132を見ると、だいたい
こういう手順でxを減らして、次はyを減らして、そして
zを減らして、といった感じで計算手順がすっと理解できる
のに対し、どうも>>65はx､y､zの減りかたがそう簡単でない。
なんか今までみてきた帰納法とは全然違う。

>>130

チェーンと>>115のスネークは違うよ。分かってない？

チェーンの場合、長さが短くなる方向にしか
変化が起きないことが本質的なんだよ。

それに対して、スネークは全部が１並びになるまで
基本的に長さは減らないし、奥にあるほど１減らす
のに莫大な手数が掛かるようになっている。

>>133-135

闇雲な複雑さの追求はいただけないな。

まず、探すべきは、どの二重帰納的関数よりも
増大度が大きいと示しえる三重帰納的関数で
あって、より複雑な三重帰納的関数ではない筈。

>>80の「合成と帰納的定義の組み合わせ」というのは
同語反復。新たな帰納的定義を構築するために、
合成の次のステップが問題になっているのだから、
それに言及しないのは無意味。

となれば手がかりは>>60のΛ(x)しかない。
アッカーマンも最初の引数を固定して第二引数だけの関数とみれば、
原始帰納的関数となる。二重帰納的関数の真のパワーは第一引数に
ある。「対角化」の本質は、基本列をとることだと考えれば、そこ
から新しい光が見えると思う。

>>120-126

このあたりのことについて書いてある文献って
実はみんな証明論がらみなんだよなあ。
とある論文にはGoedelのT（自然数論の無矛盾性
証明のために考えられた高階帰納的関数の理論）
とかでてきたからなあ。

でもって、証明論だともう多重帰納的とかいう
弱い（！）レベルの話はもうしてなくって、
ε0とかそのあたりまでいっちゃってるからねえ。
ヘラクレスとヒドラの戦いとか、Ramseyの定理
に関してParis-Harringtonがどうしたこうした
とか。
ついでにいうとスネークの次はヒドラにしようかな
とかおもってんだけど･･･(^^ゞ)

>>121

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/english-books/0470271957/250-6951802-3942614

英語だとおもうけど･･･品切だな（笑）

はい！　ここで質問！
次の語・記号の意味おせえてくださいまし！！？
�@ ω
�A枚挙性
�BΛ(x)
�C高階

それと、このスレで最初にn重帰納性って言い出したのは誰？

>>140
�@1,2,3,…という有限順序数の極限としての最初の無限順序数
�A読んで字の如し
�B極限順序数に近づく順序数列
�C関数から関数への写像などの汎関数を高階の対象と呼んでいる？

>>141
パート３：【ふぃっしゅ数】巨大数の探索スレ【ばーど数】
にて私、有流才蔵が言い出しました（笑）

しかし、実際には
・ふぃっしゅのＳ変換でチェーンは実現可能
・Ｓ変換もチェーンも二重帰納法の繰り返し
ということで、全くの見込み違いであった。

373 名前：264 ：02/11/14 23:46

Conwayのchain notationは、任意の多重帰納法を含みます。
Ackermannはたかだか２重帰納法でしょう。
これを、３重、４重としたところで、それらで定義される
いかなる関数よりも大きいでしょう。
まさに「超革命的」増加ですね。

508 名前：264 ：02/11/17 16:16

コンウェイのチェーン関数は、アッカーマン関数とは違うレベルの関数だと思っている。
アッカーマン関数が、単純な帰納法で定義される関数とは違うレベルにあるように。

大まかに言えば

単純な帰納法　＜　二重帰納法（アッカーマン）　
　　　　　　　　　　＜・・・＜　リストの帰納法（コンウェイのチェーン）

となる。

ふぃっしゅ氏の方法は、S変換のレベルでは単純な帰納法であり、
SS、SSSというレベルは、どう贔屓目にみても、二重帰納法、
三重帰納法というところまでしかいっていないと思われる。

関数のクラス分けの話と、増大度の話は分けて考えた方がいいかも。
たとえば、ｎ重帰納法のクラスに入るからといって2重帰納よりも
増大度が必ず大きいとは言えないし、多重帰納よりも複雑だからと
いって多重帰納でそれよりも増大度の多きい関数が作れるとも
限らない。Kleeneの理論は、高階の定義を考えても帰納関数の範囲を
超えない、ということを言っているわけですよね。増大度の立場
からは、ビジービーバーよりは増大度が小さいということは言えますが、
それ以上のことは言えないのでは？

そういった立場から>>10-17を再評価すると、M2変換とは関数生成の
操作を示しているわけです。ここで、>>17のs(1)については
(s(1)f)(x)=f^x(x)
という原始帰納の操作をあらわします。
s1(n,x)=(s(1)^n)f(x)
という関数を考えると、この関数は合成、原始帰納などを枚挙する
penum(n,x)よりも大きくなります。すなわち、s1(n,x)>penum(n,x)です。
なぜならば、penum(n,x)はf(x)に合成、原始帰納などのせいぜいを
高々ｎ回施した関数であり、その中でも特に関数の増大度が大きい
g(x)=f^x(x)といった操作をｎ回施した関数よりも大きくはなり得ない
からです。このようにして、s1(x,x)は原始帰納を枚挙する二重帰納関数
であることが分かります。
s(2)f(x)=(s(1)^x)f(x)=s1(x,x)
なので、s(2)は真の二重帰納の操作と同等です。

同様に、s(3)は二重帰納の操作を粗い意味で枚挙します。粗い意味で
枚挙するとは、最も関数の増大度が大きい二重帰納の操作だけをして
いくということです。したがって、s(3)は三重帰納の操作であると
考えれます。同様に、s(n)f(x)はn重帰納関数となりますから、
M3変換でいかなるｎ重帰納関数よりも大きい関数が生成されます。

といったことを考えてみましたが、いかがでしょうか。
Kleeneの言っていることと矛盾するとしたら考え直さないといけませんが、
Kleeneは高階の操作で「多重」帰納関数しかできない、とは言ってないの
ではないかと思います。もし言っているとしたら、どの論文か教えて
ください。

そう考えると、>>7の定義は↑n(a,b,2)の個所で荒い意味の枚挙性を
備えているので、3重帰納まではいきそう。↑x(3､x､2)が4重帰納だと
すれば、s(4)でこの関数が生成できることとも合致するし。

やはり、↑n(a,b,2)の定義が原始帰納だというのはどうしても
信じられない。定義を読み違えていませんか？

>>139
ああそうか、>>51でドイツ語と書いているのは、Peterの書いている
論文のことで、この本は英語なのか。

>>146-147
つまり、数え上げと操作の対角化は同じことだと。
たしかにそんな気もしないことはない。

Hardyの定義は面白いんだけど、「有限の実数」を定義
しない限りは、巨大数の話にはならない。だから、
Hardyの定義を元に関数を定義する、というのはこの
スレッドとしては当然の流れだな。無限順序数は有限の
数ではないが、関数を定義すれば有限の数はすぐに
得られるわけだから。

>>65 >>72 >>132 は、いずれも真の3重帰納ではないと思われ。
みんな、3重帰納であることを一生懸命説明しているが、
はっきりいって意味なし。任意長のチェーンが2重帰納である
ことが示され、真の3重帰納は2重帰納よりも大きい関数である
のだから、任意長のチェーンを超えることを示さなければ
意味がないだろう。どの関数も、x=1,2,3…と代入していく
ときに、チェーンが1つずつ伸びるような効果はない。
あるというなら、そう思う根拠を示すべき。

結局、真の3重帰納は数え上げによってしか作れないんじゃ
ないの？

スネークは２重帰納関数で追い越されるよ。
真の3重帰納までもいかないね。
2重帰納を数え上げる操作がどこにも入ってないから。

>>142
�@1,2,3,…という有限順序数(?)の極限としての最初の無限順序数(?)
�A読んで字の如し(??????数え上げること？)
�B極限順序数(?)に近づく順序数列(?)
�C関数から関数への写像などの汎関数を高階の対象と呼んでいる？

？の部分がわかりません

どうも正確なことを思いだせないのでお役にたてないし、色々な定義をゆっくり
読む根気も時間もなくなってしまっていて申し訳ないので、多少役にたつ可能性
のあることだけ書きます。
>>81
確かに、76 ではちゃんと書けてません。ご指摘の辞書式順序に関する次のこ
とが入っていないと間違っていました。
f(x+1,y+1,z+1,a) の定義の右辺で使ってよいのは 76 の
f(x,*,*,a), f(*,y,*,a), f(*,*,z,a) を訂正し
f(x,*,*,a), f(x+1,y,*,a), f(x+1,y+1,z,a) として、
f(0,y,z,a) はこの定義で (k-1)-term の形で定義される
関数となっている要請をすればよいと思います。

この定義は思いつきですから、歴史的正当性はないかもしれません。しかし、
例えばこの定義の x を落した形の帰納法と原始帰納関数の定義の scheme でできる
どんな関数も、この形で定義できる関数たとえば 65 を対角化してできる関数の方が
早く大きくなるということを証明することを考えれば、多重帰納法の一般形をどう
定義すればよいかわかることになると思います。高階であってもなくても、関数族の
定義を正確に書くことが始まりになると思います。(高階の場合は対象と思わず、文字と
しての処理系と考えるとよいかと思います。）正確に書けば、それを数え上げる、
あるいは大きくなるという意味での数え上げの関数をどのようにつくればよいかが
わかるからです。とくに、関数の定義の帰納的順序に目をつければどのような定義が
数え上げ的な大きさを増すをいうことにつながるかわかると思います。ぼんやりした
記憶によると定義の形が、順序数の積やベキとつながっていたように思うのですが、
いい加減な記憶は迷惑をおかけしそうなので上記だけにします。

>>155
3重帰納の例を一つ書いてみてもらえますか？
>>92-93については、論文のタイトルを見て思い出せませんか？

ああ、そうか
f(x,*,*,a), f(x+1,y,*,a), f(x+1,y+1,z,a)
という式で、xを落とすと
f(y,*,a), f(y+1,z,a)
が出てくるから、 f(x,*,*,a) からf(x+1,*,*,a)への
式が、S変換の式になるっつうことか。
そうすると、ｘを1個増やすごとにＳ変換1回で、Ｓ変換を
対角化する操作に等しい効果が得られるわけか。

なんとなく気分で解釈したが、本当になるのかな？
だとすれば、ふぃっしゅ氏が書いている通り､この
３重帰納法の作り方とふぃっしゅ数のＳ変換と同じ
しくみだから、>>146-147に書いてあることはどうも
本当っぽい。

チェーン回転は４重帰納で、ふぃっしゅ数は多重帰納以上の
帰納関数である、というところまでは「どうやら」たしからしい。

チェーンとふぃっしゅ数の関係についても、多重帰納の概念を
使って説明することで、よりすっきりした。かなり進展したかも。

>>156
A(0,y,z) を良く知られた Ackerman 関数として、
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
などが典型例だと思います。
Kleene の論文は思い出す努力はしてみますが、あまり期待
しないでください。

>>152
＞真の3重帰納ではないと思われ。

真の3重帰納だと示せていないと思われ。
というべき。

＞どの関数も、x=1,2,3…と代入していくときに、
＞チェーンが1つずつ伸びるような効果はない。

ないというなら、そう思う根拠を示すべき。

でかけなのであわてて３変数目がぬけていました。
明日までには典型例をかきます。

>>155

>>159にもあるけど、>>65が有望だと思ってるわけね。
個人的には>>72と>>65は同等になるように書きなおせると思うんだけど。

Sankeを見るにはまず、Hardy関数が分からない事には。
というわけで質問なのですが、
(1) Hardy functionの添字aはどのような順序数ですか？
(2) そのとき"基本列"とは何ですか？"基本"と言うからには唯一つ定まるのだと思うけど。
(3) (2)に依る事だとは思うけど、Haはどのようなaに対して（多重）帰納的なの？
>>61が一つの上界を定めてはいるけれど･･･
(4) SnakeがHardyを参考にしている事は大体>>113で分かりましたが、
Snake([a<1>,･･･,a<n>],x)=Snake([a<1>,･･･,a<n>-1],Snake([a<1>,･･･,1],x))
の部分の解釈はどうなるのでしょう？Hardyとの大小関係など分かるのでしょうか。
(5) また、Snake([a<1>,･･･,a<n>],x)に"対応"する順序数はあるでしょうか？
>>113では規則性が分かりませんでした。

(1)-(3)は、過去スレにあった「Alonzo ChurchとStephen.C. Kleeneによる、ある深い定理」
”すべての構成的順序数に名前を与える、再帰的に関係づけられた記号法は
　存在しない”
に関係するんでしょうかね。

>>163
(1)順序数とはぶっちゃけていえば
　1,2,3,･･･
･･･、ω、ω+1、ω+2、･･･
･･･、２ω、･･･、３ω、･･･
･･･、ω＾２、･･･、ω＾3、･･･
･･･、ω＾ω、･･･、ω＾（ω＾ω）、･･･
のようなもの。

それは分かってるんじゃ？

>>163
(2)イメージとしては、例えばω＾２に収束する列として
ω、２ω、３ω、・・・のようなものを考えること
(3)>>61にある通り、
a＜ω＾ωならH[a]は原始帰納的
a＜ω＾（ω＾ω）ならH[a]は多重帰納的
なんじゃないかな？

>>163は、>>167のような事が、どのようなaに対して可能なのか？
って聞いてるんだと思う。

>>163
(4)>>72の
＞A(a+1,x)=A(a,A(1,x))
＞B(b+1,a+1,x)=B(b+1,a,B(b+1,1,x))
＞C(c+1,b+1,a+1,x)=C(c+1,b+1,a,C(c+1,b+1,1,x))
を一般化したんじゃない？
(5)>>113から類推してごらん
Snake([a<1>,･･･,a<n>],x)
=H[a<n>(ω＾(ω＾(a<1>*(n-2))+･･･+ω＾(a<n-2>)+a<n+1>)]
となるのは明らかだよね。

>>168
それ>>167の(3)の答えだよね。
多分、枚挙性は、基本列をつくるところに係ってくるんだよね。
例えば、ωとか、ω＾２とか、ω＾３とかいうのは原始帰納法で
定義できるんだけど、ω＾ωはそうじゃなくて、ω、ω＾２、ω＾３
という列を考えてはじめて実現できるわけで、そこで二重帰納法
に飛んでいるんじゃないかな？
これは推測だけど、同じことはω＾（ω＾ｎ）から
ω＾（ω＾（ｎ＋１））にいくところで起きてる
んじゃないかな？つまりそこで（ｎ＋１）重帰納法
から（ｎ＋２）重帰納法に飛んでる、と。

>>164はもっとハイレベルの話
例えばH[ε0]を考えようとすると自然数論をはみ出す必要があるとか。

>>169
a<n>ω^(a<1>ω^(n-2)+･･･+a<n-3>ω^2+a<n-2>ω+a<n-1>)の事か。
という事は
xω^(xω^(n-2)+･･･+xω^2+xω+x)が
ω^(ω^(n-1))に対するcanonical fundamental sequenceなの？

単に収束する列なら、幾らでもあるわけだけど、
どう取れば「canonical」なのかが良く分からない。
そして「canonical」なものが存在するaの条件も知りたいです。
そこら辺が曖昧にしておくと関数が定義された事にならないので。

＞xω^(xω^(n-2)+･･･+xω^2+xω+x)が
＞ω^(ω^(n-1))に対するcanonical fundamental sequenceなの？

そのつもり

何がcanonicalか、漏れも知らんが（笑）
帰納的定義の仕方によるもんだと思ってる。
だから、原始帰納法だとω＾ωのcanonicalな
fundamental sequenceがとれない、とか
いう風に考えてる。
そこら辺、試行錯誤して考えてる。
人の情報を待ちつづけるならｻﾙでもできるんで（ｗ

>>173
単純な定義ではない、って事なのかな。

>だから、原始帰納法だとω＾ωのcanonicalな
>fundamental sequenceがとれない、とか
>いう風に考えてる。

「a以下で基本列が「規則的に」取れる場合は、Haが帰納的に定義される」
というイメージが在るんだけど、
>>61によるとそのようなaは限られている。
「限界はどこ？>>164ともしかして関係が在るのか？」
って思ったわけです。

よろしければ、HPか文献をお教え下さい。

>>174
＞「a以下で基本列が「規則的に」取れる場合は、Haが帰納的に定義される」
＞というイメージが在るんだけど、

漏れは、
「aの基本列が”規則的に”とれる＝Haが帰納的に定義される」
と思っている。

ただ、aより小さい任意の極限順序数の基本列が
”規則的に”とれるとしても、そこからa自身の
基本列が同様の規則でとれるとは限らないと思う。
>>61でいえば、ω＾ωは、ωや、ω＾２や、ω＾３
とかの順序数の基本列と同じようなやり方では
基本列がとれないでしょ？

自然数論で証明可能なレベルだと、無矛盾性証明で有名な
ε0より小さな順序数じゃないかな？

文献なら、"Hardy function" "hierarchy"で、ぐぐれば
引っかかると思うよ。だいたい上のキーワードだって、
"Multiply Recursive Function"とかで引っ掛けた
文献読んだらあったんで。
確か、Weiermannの論文だったと思うよ。あとWainerの論文もあった。
どちらもSLACS'98で日本に来て講演したみたい。
でも、日本じゃHardy functionでは一つも引っかからんね（笑）

サンクス。見てみるです。

あと、"canonical fundamental sequence"でも
いろいろ引っかかるなあ。

これって証明論の業界用語だったのか（汗）
でもはっきりいってよう分からん（涙）

再び、以下を読んでみた。
http://www.dumbo.ai.kyutech.ac.jp/hirata/lecture/computation/recursive_main.pdf

p9の
　f[n](x,y)=f[n-1](f[n](x,y-1),x)
→f(n,x,y)=f(n-1,f(n,x,y-1),x)
の方針にしたがって、以下のようにやってみた
　f[n,m](x,y)=f[n-1,m](f[n,m](x,y),x)
=f[n-1,m](f[n,m-1](f[n,m](x,y-1),x),x)
→f(n,m,x,y)=f(n-1,m,f(n,m,x,y),x)
=f(n-1,m,f(n,m-1,f(n,m,x,y-1),x),x)
基本的には>>65と同じだな。

ということで、>>65がAckermannを拡張する
３重帰納法になりそうな気がしてきた。

>>178
＞f[n,m](x,y)=f[n-1,m](f[n,m](x,y),x)

あ、両方にf[n,m](x,y)が出てきた。これじゃダメだな。
とりあえず
　f[n,m](x,y)=f[n-1,m](f[n,m](x,y-1),x)
→f(n,m,x,y)=f(n-1,m,f(n,m,x,y-1),x)
としておこう。

やっぱり、もう一度考えてみると、単純には
>>65のようには書けないなあ。

f[n,m](x,y)=f[n,m-1](f[n,m](x,y-1),x)
f[n,1](x,y)=f[n-1,x](x,y)

てゆーか、これってやっぱ>>65よりでかくない？

f[n,m](x,y)=f[n-1,X](X,･･･)
X=f[n,1](･･･f[n,m-2](f[n,m-1](f[n,m](x,y-1),x-1)，f[n,m](x,y-1)-1)･･･）

>>159 の訂正です。
A(0,y,z) を良く知られた Ackerman 関数として、
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,A(x+1,y+1,z)))
が典型例だと思います。>>65 をみたときこれだと思っていましたが、
ちょっと違いますね。典型例というのは、これはどの Double recursion
より早くおおきくなるだろうということです。61 によれば超限的につづけ
られそうですから1から2、2から3の方法を繰り返すことによってすべて
の帰納関数ができるということなんですかね。よく知りませんが。

また訂正：
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
これですね。いちおう規則性をもってかいているつもりです。

規則性って、4変数だとこうかな。
A(w+1,x+1,y+1,z+1)=
A(w,A(w+1,x,A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z))
計算する気が起きないな･･･

>>183
また見間違いがこわいのですが、それだと思います。規則性をかきます。
いままでの流れで、変数の順序を逆にします。
A_n(x_n,...,x_1) を定義します。
A_1(x_1)=x_1+1
x_i = 0 となるものがあるとき、
A_{n+1}(0,x_n,...,x_1) = A_n(x_n,...,x_1),
A_{n+1}(x_{n+1}+1,...,x_{i+1}+1,0,x_{i-1},...,x_1) =
A_{n+1}(x_{n+1}+1,...,x_{i+1},1,x_{i-1},...,x_1)
x_i = 0 となるものがないとき、
A_{n+1}(x_{n+1}+1,x_n+1,...,x_1+1) = A_{n+1}(x_{n+1},T_n,...,T_1)
として T_i を以下に定義します。
T_1 = A_{n+1}(x_{n+1}+1,...,x_2+1,x_1),
一般に
T_i = A_{n+1}(x_{n+1}+1,...,x_{i+1}+1,x_i,T_{i-1},...,T_1)

確か、正規形の概念があってもう少し簡単でも同じ効果があるものもあるのかも
しれませんが一応典型的なものだと思います。A_2 が普通の Ackermann 関数
のつもりです。何度も書き間違うので自信がなくなってしまいますが、もう
私よりもわかっていられる方もいらっしゃるようですから、このくらいで
失礼します。

>>182
真の3重機能を式で書くとけっこう複雑なんですね。
>>157のようにＳ変換と同じしくみだという意見もあり
ますが、なんだかもう少し複雑そうです。

>>146-147に書いたs(3)が3重機能だ、ということは、
この仕組みとs(3)が同じだということが分かれば
よりすっきりするのですが、どうなんだろう…。

s(2)の繰り返し、すなわち2重帰納の繰り返しでs(3)が実現できない、
ということだけでは3重帰納であることを説明するのには十分で
ないかどうか、がポイントかな。

>>182

>>65よりもっともらしい（笑）

でもなぜそうなるかがようわからんなぁ･･･考えてみます（・・ゞ）

で、>>182で
A(0,y,z)
A(x,0,z)
A(x,y,0)
はそれぞれどうなるのかな？

>>181
＞61 によれば超限的につづけられそうですから
＞1から2、2から3の方法を繰り返すことによって
＞すべての帰納関数ができるということなんですかね。
＞よく知りませんが。

>>61は一箇所誤りがある。
＞general recursive functionはH[ε0]より小さいそうだ。

正しくはprovably recursive function
つまり、自然数論の中で、帰納的であることが証明できる関数

>>61を読めばわかるが、多重帰納法で定義できる関数は
帰納的であることが証明できる範囲の一部でしかない。

Helene Touzetさんの論文に
canonical fundamental sequenceの
定義があったので書いておきます。
(記号は書き込みの都合上、元のものと変えています）

CFS(ω)＝0,1,2,3･･･
CFS(α＋λ)＝α＋seq(λ）
(例えばCFS(ω＋ω)＝ω,ω+1,ω+2･･･)
CFS(ω^(β+1))＝0,ω^β,2*ω^β,･･･
CFS(ω^λ)＝ω^CFS(λ)
(例えばCFS(ω^ω)＝1,ω,ω^2,ω^3･･･)

seqってのはCFSの事か。いかにもな定義だけど、
CFS(ε0)は定義できないの？

>>188
184 に書いてあるね。しかし、182 は複雑だなぁ。
>>191
f(0)=1, f(n+1)=ω^f(n)
が自然と思うけどね。

>>191

seqはCFSの事です。
>>190は、ε0より小さい順序数に対するCFSのとり方です。

>>192
あ、そうでしたか。
じゃ、>>182の場合こうなるのかな？
A(0,y,z) = a(x,y)　(aはAckermann)
A(x,0,z) = A(x-1,1,z)
A(x,y,0) = A(x,y-1,1)
うーむ、ますますもっともらしい(笑)

ああ、それから
＞f(0)=1, f(n+1)=ω^f(n)
は>>190の規則の外だよね。
（つまり、CFS(ω^λ)＝ω^CFS(λ)が、
　他の三つの規則の外であるように）

>>148
＞>>7の定義は↑n(a,b,2)の個所で
＞荒い意味の枚挙性を備えているので、
＞3重帰納まではいきそう。

↑n(a,b,2)で2重帰納法が荒い意味で尽くされるというのは
ふぃっしゅ氏の思い込みに過ぎないのでダメそう。

＞↑x(3､x､2)が4重帰納だとすれば、
＞s(4)でこの関数が生成できることとも
＞合致するし。

↑関数が全て2重帰納法の範囲なら
どのs(n)も2重帰納法から外に出ない
という>>37の指摘と合致するよ。

ふぃっしゅ氏は冷静さを失っているようだけど、
三回深呼吸してからもう一度>>37を読んだほうがいいよ。

>>37が言っているのは、↑(a,b,2)=↑(a,...,a)の操作は
例えば、↑(a,b,2)=↑(cons(a,↑(a,b-1,2)))
(consはリストをつなげる関数）みたいに書けば
原始帰納的な範囲で収まるってことだね。

それは至極もっともな指摘だと思うよ。

>196はふぃっしゅ数回深呼吸しとけ。

ひさびさにほのぼのとした質問させてください　しつこくもVer２の理解なんですが
S2:[m,f(x)]-->[n,p(x)] S2^y:[m,f(x)]-->[q(y),r(x,y)] g(x)=r(x,x)
で、結局Verが進むに従ってＳ＾f(m)は無くなり、関数そのものの拡張段階を関数を使って
増やす方向のみに集約化されていったわけですが‥‥。そこを、あえてそのままとして
構造的にはこの最初の時点での提案ではこういう事だったのかな？と思いﾚｽします

g(m)はf(x)にS2変換をm回繰り返した関数にx=mを代入した数、という事だけど
g(3)はf(x)にS2変換を3回繰り返した関数にx=3を代入した数になる
最初のＳ変換（Ｂ変換4回分）を初期値の３回繰り返すと数
ggg(gg(g(aK【ggg(gg(g(aK【ggg(gg(g(ak(３))】)))】)))に成るわけですが
この数をm[1]とした時に次(Ｓ変換2回目）は、こうなるのでしょうか？
まず、gg関数(上記のVer1のg関数とか異なるVer2のg及びgg関数）を作って
★gg(m[1]）がVer2のＳＳ変換2回目の求める数になる。
例えばgg(2)は
gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))
ここでのg関数は、Ver2の上記のg関数なので
Ｂ(1,1)=g(m[1])　f(x)にS変換をm[1]回繰り返した関数にx=m[1]を代入した数
Ｂ(1,2)=g(g(m[1])) f(x)にS変換をg(m[1])回繰り返した関数にx=g(m[1])を代入した数
Ｂ(1,3)=g(g(g(m[1]))) f(x)にS変換をg(g(m[1]))回繰り返した関数にx=g(g(m[1]))を代入した数
Ｂ(1,4)=g(g(g(g(m[1])))) f(x)にS変換をg(g(g(m[1])))回繰り返した関数にx=g(g(g(m[1])))を代入した数
Ｂ(1,5)=g(g(g(g(g(m[1]))))) f(x)にS変換をg(g(g(g(m[1]))))回繰り返した関数にx=g(g(g(g(m[1]))))を代入した数
‥‥‥‥‥‥‥‥
Ｂ(1,m[1]）=g(g(g‥【m[1]個】‥g(g(m[1]))))‥【m[1]個】‥))))
は、f(x)にS変換をg(‥【m[1]-1個】‥g(g(m[1]-1))))‥【m[1]-1個】‥))回繰り返した関数に
　　x=g(‥【m[1]-1個】‥g(g(m[1]-1))))‥【m[1]-1個】‥))を代入した数
ってな具合で進んでいき、gg(m[1])を求めてＳＳ2回目が終了
ＳＳ変換３回目に移行する　というイメージだったのだろうか？

訂正↑
gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(m[1]))
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑ここg(61)に成ってた

また訂正
この数をm[1]とした時に次(Ｓ変換2回目）は、こうなるのでしょうか？
　　　　　　　　　　　　　↑ここも、ＳＳ変換2回目と書いたつもりだった‥‥

すいません、√ってなんでしたっけ。。。
どうやって計算するんでしたっけ？二乗？

>>198のＳＳ変換という部分は、やっぱりＳ変換かな
名無しの物体氏が提唱したように初期Ｓ変換をＢ変換としたら
最初のＳ変換はｘに３を代入してＢ変換を３回繰り返した関数・数で
そして、>>198に書いたＳＳ変換（s(2)変換）は単なるＳ変換（s(1)変換）かな
g(m)はf(x)にＢ変換をm回繰り返した関数にx=mを代入した数、

まあ、その辺は今はもうどっちでもいいんだろうけど‥‥‥。

>>195
そうですね、だめですね。
枚挙性を与えるためには、少なくともf(n,x,y)を考えないと。

>>58の計算でm(3)が簡単な３項漸化式であらわされている
わけだから、s(2)の対角化に相当する↑n(a,b,2)には２重
帰納を数え上げて３重帰納に持っていくだけの力はないです。

操作の対角化は、原始帰納を数え上げることは可能なので
2重帰納にはなりえるけど、2重帰納を数え上げることはでき
ないので3重帰納にはなりえない、ということかな。

2重帰納操作の対角化の場合は、原始帰納だとしても2重帰納だと
してもできあがるものは2重帰納なのでたいした違いはないか。

ということは、>>72や>>182がなぜ2重帰納を数え上げる力を
持っているのかを理解できれば、１つステップアップかな。

枚挙性を考える鍵は>>170あたりにあるようだけど、
ふぃっしゅ数の手法はどういった計算に相当するんだろう。
ω＾ωまではいくけど、ω＾（ω＾２）まではいかないという
ことは、結局ω＾（ａω＋ｂ）といった程度の計算を繰り返す
のがm(n)ということなのかな…。

>>198
関数のみにしぼった定義だと、ふぃっしゅ数の定義は>>58の
ような単純な漸化式で記述できますが、もともとのVer2の
定義も基本的にはそれほど複雑さが増してないことを考えると、
簡単な漸化式で記述できるのかもしれません。

3重帰納に追いつかないことが分かった今となってはどうでも
いいような気もしないこともないですが、また考えてみるかも
しれませんです。

検証という観点から見ると、実は何一つ明らかになっていない。
2重帰納の定義さえ、はっきりしていないのが現状。

>>203

まあ、そう悲観しなさんな。

思うに、
ａ→ａ→・・・→ｘ
とチェーンの形で表せるものは、二重帰納法だと思うけど
例えば
ａ→ａ→ｘ、ａ→ａ→ａ→ｘ、…
と続けていくような関数は、それを超えているかもしれない。

ａ→…ａ→ｃ→ｂとａがｎ個つづくチェーンを、
a_chain(n,b,c)としよう。

その定義は
a_chain(1,1,c)=a^c
a_chain(2,b,1)=a^a
a_chain(n,1,c)=a_chain(n-1,c,a)
a_chain(n,b,1)=a_chain(n-2,a,a)
a_chain(n,b+1,c+1)=a_chain(n,b,a_chain(n,b+1,c))

>>72とはちょっと違うけど、似たような形にはなってきた。

>>203

そもそも>>182にしても>>72にしても
2重帰納法を数え上げることを示した
わけではない。

s1(f)=f^x(x)
s2(s1(f))=s1^x(f)
s3(s2(s1(f)))=s2^x(s1(f))
…

という発想は>>72と共通していると思うので、
これがダメなら、>>72もダメだろう。

ただ、s2も原始帰納的な汎関数(関数から関数への関数）なのに
結果として二重帰納的な関数を生み出しているので、
s3が原始帰納的であるからといって、三重帰納法を実現しない
という理屈は通らない。

ちなみに前スレで
チェーンを伸ばすといってた
Ｓ変換はS2に当たると思う。

B(0,0,n)=n
B(l,0,n)=B(l-1,n,n)
B(l,m+1,0)=B(l,m,1)
B(l,m+1,n+1)=B(l,m,B(l,m+1,n))

今は根っこの部分(従来のふぃっしゅ数はak函数)の根源の増大の議論をされてる
最中だとは思いますが
少し戻って
以前のVer3についても質問させて下さい
Ver3は当初自分が思っていたのは
Ｓ変換[s(1)]4回⇒s(2)4回⇒s(3)4回⇒s(4)4回⇒ss(1)でs(n)を求める
そこからs(1)に戻ってs(n)までの関数を構成するという流れで
ss(63)で終りっていう感じでしたが

本当の(途中で導入された？）Ver3の定義では
s(1)変換対角関数を生成するのがs(2)
s(2)変換対角関数を生成するのがs(3)
s(3)変換対角関数を生成するのがs(4)
s(n)変換対角関数を生成するのがs(n-1)
という関数の列を生成するのがss(1)なんでしょうか？、
さらにss(2)はどのようになるのでしょう？

>>203
「操作の対角化は、原始帰納を数え上げることは可能なので」
とありますが、これ本当なのですか？
以前のスレッドで何がされてきたのかわからないのですが、7で２重帰
納法により Ackermann 関数が入っているという理由で数え上げ可能って
いってるわけじゃないんですか？つまり原始帰納法だけを基礎にして
「操作の対角化」（これ何だかわかりませんが）によって Ackermann
関数より早く大きくなる関数がつくれるんですか？

>>212
たぶんこのあたりのことを述べているのだと思います。

755 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 04:07
お気づきかもしれませんが、>>746のs:=s(1)はアッカーマン流s(1)より強力みたいだよ。
F(x,y):=(s^yf)(x)とおくと、F(F(x-1,y),y-1)<F(x,y)だもの。

F(F(x-1,y),y-1)
=(s^{y-1}f)((s^yf)(x-1))
=(s^{y-1}f)((s^{y-1}f)^{x-1}(x-1))
=(s^{y-1}f)^x(x-1)
<(s^{y-1}f)^x(x)
=(s(s^{y-1}f))(x)
=F(x,y)

>>213
s は代入する f がなければ絵に描いた餅でしょう。何でもよいなら
定数関数にすればよいでしょうが、そうではないと思います。もし
それが本当に強力なら x+1 で十分ではないでしょうか？そのときそれ
ほど大きくならないなら、結局それほど強力ではないということでは
ないでしょうか？

>>214
初期のf(x)=x+1として、アッカーマンができるということを
言ってるのだと思います。本当かどうか私はわかりませんが。

2重帰納を数え上げることができるかどうかは別として、
原始帰納の数え上げに限れば、>>146の説明はごく妥当な
説明だと思う。

タワーの定義だって、要はf^x(x)の繰り返しなわけだから、
それを数え上げれば（つまり繰り返し回数を変数とすれば）
2重機能になるというのは、至極当然と思うが？

>>215 >>216
それなら s(2)（よくわかりませんが）を使って >>182 の A(x,x,x)
より大きくなることを示せば、>>37 が間違っていることがわかるん
じゃないですか？

>>217
それは、まぁ十分条件ではある「かも」けれど、ちょっと虫が良い期待だよね。
一般的に言って、n重帰納では「ない」事を示すのは、「ある」事を示すよりも
遥かに難しいんじゃないでしょうか。

>>212
＞7で２重帰納法により Ackermann 関数が入っているという理由で
＞数え上げ可能っていってるわけじゃないんですか？

全く違います。

＞原始帰納法だけを基礎にして
＞「操作の対角化」（これ何だかわかりませんが）
＞によって Ackermann関数より早く大きくなる
＞関数がつくれるんですか？

ええ。

＞Ackermann関数より早く大きくなる

おっと、「より」なんてついてるのか。
その前に、Ackermannが作れることを示さないと（笑）
>>72のBでいこうか。
A(1,x)=x+1
A(a+1,x)=A(a,A(1,x))

B(1,1,x)=A(x,x)
B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
B(b+1,a+1,x)=B(b+1,a,B(b+1,1,x))

B(1,1,x)=A(x,x)=2xであることは明らかだね。
B(1,a,x)=2^a*xだから、
B(2,1,x)=B(1,x,x)=2^x*xだね。
B(2,2,x)=2^(2^x*x)*(2^x*x)となるから
B(2,a,x)＞2^･･･(a回)･･･^2^xとなるね。
このあたりはAckermannと同じだね。

この調子でどんどんステップアップするとして
B(x,x,x)を考えればそれがAckermannと同等の
増大度になる･･･というわけさ。

だいたい、今、教科書みたけど、
＞B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
これって、原始帰納法じゃないじゃん。
　B(b+1,1,x)=B(b,1,x)
ならそうだろうけど。

それなら、「対角化」は原始帰納法の範囲外だから
これで原始帰納的でない関数ができても問題ないわけだ

>>217

てゆーか、肝心の>>182が２重帰納法を
枚挙することを示すのが先じゃない？

>>222
それだと、何が2重帰納法かっていう定義がはっきりしていないと前に
進めないっていう >>206 にもどるね。

>>223
いいんじゃないかな。

>>221にも書いたけど、いわゆる「対角化」
＞B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
は原始帰納法で許されている操作ではないよ。
で、このような操作が多重帰納法にあたるのか？
あたるとして、「ｎ重」のｎを数える基準は何か？
が問題だと思うよ。

>２重帰納法を枚挙

増大度が2重帰納より大きい事を枚挙と呼ぶの？
枚挙とはpenumみたいなもので、増大度とは関係ないと思うんだが。

>>225
いや、枚挙すれば、どの２重帰納法よりも
大きくなるようにできるってこと。

･･･でも、それって結局”対角化”じゃん（笑）

いってることわかるかな？
つまり、引数の増大にともなって、
枚挙される関数をどんどん大きいものに
していけばいいってこと。

無意味な誤解を避けるために>>226に注釈

２重帰納法を枚挙すれば、
どの２重帰納法よりも
大きくなるようにできる
ってこと

それを言うなら「2重を枚挙すると、2重でなはいものが出来る」だろ。
全て枚挙すると、小さい物も混じるので大きいと限らないぞ。

高いレベルの話の最中申し訳ありませんが　Ver３のことで解る方にお伺いしたいです。

一応ここまでは理解できたような気がするのですが‥‥　
※最初の(Ver1の)Ｓ変換をs(0)変換とし
　以降ののs(1).s(2)‥‥は、例の変換回数を対角化した関数
s(1)f(m[0])=s(0)^3ｆ(3)=m[1]　m[1]をVer1風に表すとgg(g(aK(3))
s(2)f(m[1])=s(1)^(m[1])ｆ(m[1])=m[2]　
s(3)f(m[2])=s(2)^(m[2])ｆ(m[2])=m[3]　
s(4)f(m[3])=s(3)^(m[3])ｆ(m[3])=m[4]　
‥‥‥
s(n)f(m[n-1])=s(n-1)^(m[n-1])ｆ(m[n-1])=m[n]　この関数の流れがss(1)変換

ここから後は、Ver2の関数の理解に関わってきますが、例えば上記の
s(2)f(m[1])=s(1)^(m[1])ｆ(m[1])=m[2]　のs(1)^(m[1])ｆを例に取ると
s(1)をm[1]回繰り返した関数という事だと思いますが、
s(1)をm[1]回繰り返すということは具体的にはこういうことでしょうか？

s(1)をm[1]回繰り返した関数にm[1]を代入した数=m(1）　
s(1)をm(1)回繰り返した関数にm(1)を代入した数=m(2）
s(1)をm(2)回繰り返した関数にm(2)を代入した数=m(3）
‥‥m[1]回繰り返す
s(1)をm(m[1]-1)回繰り返した関数にm(m[1]-1)を代入した数=m(m[1]）=m[2]

これがs(1)をm[1]回繰り返した数なのでしょうか？
さらに上記のss(1)からss(2)にはどう行くのでしょうか？？

数ではなくて関数でした、また早ﾄﾁﾘｽﾏｿ
s(1)をm[1]回繰り返すということは
B(0,y):=f(y),
B(x+1,0):=B(x,1),
B(x+1,y+1):=B(x,B(x+1,y)),
(s(1)f)(x):=B(x,x)

C(0,y):=(s(1)f)(y),
C(x+1,0):=C(x,1),
C(x+1,y+1):=C(x,C(x+1,y)),
(s(1)^2f)(x):=C(x,x)

B→C→‥‥という流れをm[1]回繰り返した関数ということでしょうか？
そこで出来たスーパー関数にm[1]を代入するのがs(2)f(m[1])ですか？

お伺いには答えられないので、話を戻すよ

>>228
枚挙するときに、大きくなる方向に関数を挙げるとして
１，２，３と入力を大きくするごとに、関数のほうも
大きくすれば、結果として枚挙されたどの関数よりも
大きくなるでしょ。

そりゃ当然。でも枚挙という用語を、そういう限定された意味で
断り無く用いるのは、好ましく無いよね。

意味を限定したわけじゃないよ。
そんなの考えればわかるじゃん。
考えないのは好ましくないよね。

用語が的確でないから、突っ込まれてるのさ。
本当に考えている人は、「粗い意味の枚挙」とかきちんと使い分けてるよね。

分からない奴に限って、用語が的確でないとかいうな。
下らない使い分けに目がいくのは、ホントに考えていない証拠だね。

分からない奴に限って、他人の指摘に素直になれないよね。
あわてて開き直る様は、ホントに考えていない証拠だね。

分からない奴に限って、自分の指摘に酔いしれるよね。
頑強に自分の非を認めない奴は、全く考えていない証拠だね。

分からない奴に限って、他人の忠告に過剰反応するよね。
頑強に自分の非を認めない奴は、全く考えていない証拠だね。

sarasiage

分からない奴に限って、無意味な忠告するよね
自分のしてることに反する忠告する奴は、ウソつきだよね。

>>232

もう書くなよ。貴様がヴァカにされるだけだぞ

両方馬鹿にされてますが、何か？

馬鹿しかいないからこんな糞スレでもパート５まで続くんだろうな

馬鹿に限って、自分が理解できなくなると糞スレというね。
糞は貴様自身だろ。ああ、くせぇ！

マツシンのあぶり出しなら、他所でやった方が良いぞ。

マツシンごっこなら、他所でやった方が良いぞ（笑）

(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

>>230の
B(0,y):=f(y),
B(x+1,0):=B(x,1),
B(x+1,y+1):=B(x,B(x+1,y)),
(s(1)f)(x):=B(x,x)

C(0,y):=(s(1)f)(y),
C(x+1,0):=C(x,1),
C(x+1,y+1):=C(x,C(x+1,y)),
(s(1)^2f)(x):=C(x,x)

C(0,y):=(s(1)f)(y),←の部分なんですが
C(0,y):=s(1)変換をｙ回繰り返した関数にｙ＝□を代入した数
ということでしょうか？

その場合次の関数の根っ子が
D(0,y):=(s(1)＾2f)(y),だとしたら
D(0,y):=s(1)変換を‥‥←このあとどのように記述できるのでしょうか？？

さらに、
(s(1)＾2f)　と　 (s(1)f)＾2
ではどちらが大きいのか？
また、具体的に記述するとどのように違うのでしょうか？

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>>248

D(0,y):=(s(1)^2f)(y),
D(x+1,0):=D(x,1),
D(x+1,y+1):=D(x,C(x+1,y)),
(s(1)^3f)(x):=D(x,x)

考えれば分かる質問はするな。

>>251
D(0,y):=(s(1)^2f)(y)
という事は誰でもわかります

そうではなくて(s(1)^2f)(y)を
「s(1)変換をｙ回繰り返した関数にｙ＝□を代入した数」
というように記述したらどう記述できるのかが知りたいのです

>>249
(s(1)＾2f)のほうが(s(1)f)＾2より大きい

(s(1)f)＾2＝B(B(x,x),B(x,x))

C(x,x)はB(B(x,x),B(x,x))ではない。

>>252
(s(1)^2f)(y)は、
「s(1)変換を2回繰り返した関数」
もしくは
「上記関数にyを入力した数」
だ。

>>254
「s(1)変換を2回繰り返した関数にｙを入力した数」
ということは結局s(1)変換を何回繰り返した関数になるのですか？
>>253
C(x,x)をBを使った表記は出来ないでしょうか

ついでに
(s(1)f)＾2(x)に3を代入すると＝B(B(3,3),B(3,3))に成るわけですが

(s(1)＾2f)(x)に3を代入するとどのような感じでしょう？

>>255
s(1)変換を2回繰り返した関数は
s(1)変換を2回繰り返した関数だ（笑）

>C(x,x)をBを使った表記は出来ないでしょうか

それは結局C(x,x)を計算することになる。
つまり、決まった表記にはならず
xの増大によって、その表記はいくらでも
長くなる。*を+で表すのと同じこと。

>>256
定義から計算が可能なはず。
やってごらん。それが君に対する唯一の解答

「s(1)変換を2回繰り返した関数にｙを入力した数」
にｙを入力すれば、そのｙの回数だけs( )変換を繰り返した関数が生成
される作用が起きるのではないでしょうか？

>>259

じゃ、君の>>255は言い間違いだね。

＞結局s(1)変換を何回繰り返した関数になるのですか？
ではなく
「s(1)変換した関数を何回繰り返すのですか？」
と問うべきだね。

自分の書いた文章を一回は読み直してほしい。
その程度の余裕もないのでは何も考えることはできないだろう。
考えることが必要。書き込むのはその後にしていただきたい。

繰り返し回数を評価するには、実際に計算をするしかない。

つまりD関数の根っ子の
D(0,y):=(s(1)^2f)(y),
の部分でｙに数を代入した時に、>>259のように
s(1)をy回繰り返す作用は生まれないのでしょうか？
s(1)＾2なので2回繰り返した関数、それはわかるけど
ｙ回繰り返す操作はどこへ行ってしまうのでしょう？

>>260
Ver2の定義では
s(1)変換した関数をx回繰り返す　‥‥のではなくて
s(1)変換をｘ回繰り返した関数にｘに数を代入
と成っているのでそう聞いたまでです

>>261
肝心の根っ子の関数の増加の作用がわからないので、
計算が出来ないから、お伺いしてるわけです

>>262

ああ、>>259は”ｙの回数だけs( )変換を繰り返した”といってるの？
それは違うよ。

ｙに関わる情報は、"s(1)変換を一回繰り返した関数"の繰り返し回数
に関わるものとなる。お分かり？

>>263
それは不適切な定義だね。

で、それを捨てて、>>230や>>248のように考えれば計算可能だよね。

>>263
＞s(1)変換をｘ回繰り返した関数にｘに数を代入

ってs(2)の定義のことか。じゃそれはOKだ。

つまり
x=1のときはBで、
x=2のときはCで、
x=3のときはDで
・・・
という感じで計算するってこと。

だとすると
Ver1では
Ｓ変換が進むに従って根っ子の関数が
B(0.n)＝s(1)(ｎ)
C(0.n)＝s(1)(ｎ)
D(0.n)＝s(1)(ｎ）
となっていったのがVer2では
B(0.n)＝s(1)＾1(ｎ)
C(0.n)＝s(1)＾2(ｎ)
D(0.n)＝s(1)＾3(ｎ）
って成った程度の増加なの？

>>266
＞Ver1では
＞Ｓ変換が進むに従って根っ子の関数が
＞B(0.n)＝s(1)(ｎ)
＞C(0.n)＝s(1)(ｎ)
＞D(0.n)＝s(1)(ｎ）
＞となっていったのが

右辺が変化してないじゃん（笑）

つまりs(2)生成過程での
s(1)＾xの計算の根っ子のB(0.n)＝s(1)＾1(ｎ)の変換部分では
関数ではなくて数を生成してるわけだから

「s(1)変換をｘ回繰り返した関数にｘに数を代入」

という操作はしないわけなのか
で、s(2)が生成されたら、そこのxに代入する数が決定されてから、
その対角化(?)操作が施されるってこと？

>>268
>>230の表記じゃ、関数がしょっちゅう変わってダメだから、
それを変数bとして繰り込んだ下の定義Bで考えてくれる？

A(1,x)=x+1
A(a+1,x)=A(a,A(1,x))

B(1,1,x)=A(x,x)
B(b+1,1,x)=B(b,x,x)
B(b+1,a+1,x)=B(b+1,a,B(b+1,1,x))

f(x)=x+1として
A(x,x)=f^x(x)
B(x,x,x)=(S(1)^x)f(x)
と考えて。

>>269
しまった、定義がアッカーマンにそってなかった。

今、忙しいから、繰り込みは自分でやってくれよ。
できるよな。

＞(s(1)＾2f)のほうが(s(1)f)＾2より大きい
＞(s(1)f)＾2＝B(B(x,x),B(x,x))
＞C(x,x)はB(B(x,x),B(x,x))ではない。

Bの根っ子をakとして計算していくと
(s(1)f)^2(x)にｘ=3を代入したら、B(ak(3.3).ak(3.3))=B(61.61）

(s(1)^2f)(x)にｘ=3を代入すると
C(1.1)でak(3.3)＝61
C(1.2)でB(61.61)
C(1.3)でB(B(61.61))
C(2.1)＝C(1.B(3.3))＝C(1.61）なので
C(2.1)＝B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
(61.61)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
C(3.1)＝C(2.C(2.1))
　　　＝C(2.B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
(61.61)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
C(3.3)は表記不可能
ってことか、
でも、これだとVer1のＳ変換の増加の構造そのままじゃない？？

>>270
あああ、いったのに、やってないじゃん。
これだよ、これ。

B(0,0,b)=f(b)
B(n+1,0,b)=B(n,b,b)
B(n+1,a+1,0)=B(n+1,a,1)
B(n+1,a+1,b+1)=B(n+1,a,B(a+1,b))

よくわからないから、やってみて下さい

＞Bの根っ子をakとして計算していくと
＞(s(1)f)^2(x)にｘ=3を代入したら、B(ak(3.3).ak(3.3))=B(61.61）

間違い。君のいう根っこがf(x)のことなら
それをx+1としたときB自身がakになる。
でその場合に、
(s(1)f)^3(x)=ak(ak(3,3),ak(3,3))
だろ？

>>274
(s(1)f)^2(3)=ak(ak(3,3),ak(3,3))

>>271

おまえ、計算の仕方分かってないだろ。
なんで根から計算できるの？逆だろ。

C(3,3)
=C(2,C(3,2))
=C(2,C(2,C(3,1)))
=C(2,C(2,C(2,C(3,0))))
=C(2,C(2,C(2,C(2,1))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,C(2,0)))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,C(1,1)))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,C(0,C(0,1))))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,C(0,B(1,1))))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,B(B(1,1),B(1,1))))))

Bがアッカーマンだとすると
B(1,1)=3だから

C(2,C(2,C(2,C(1,B(B(1,1),B(1,1))))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,B(3,3)))))
=C(2,C(2,C(2,C(1,61))))

ここで>>271の
＞C(1,1)でak(3,3)＝61
はOKだな。

＞C(2,1)＝C(1,B(3,3))＝C(1,61）なので

ここまではいい、が、このあとがいかんね。

＞C(2,1)＝B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B(B
(61,61)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

まず、
C(2,1)=C(1,61)
=C(0,･･･（60回）･･･C(0,C(1,1))･･･)
=C(0,･･･（60回）･･･C(0,61)･･･)

で、Bは"2変数関数"だから（笑）

C(0,61)=B(61,61)
C(0,C(0,61))=B(B(61,61),B(61,61))
･･･
となって、C(2,1)=C(1,61)はもう書く気がせんな（笑）

まあ、>>271の表記は
Bd(x)=B(x,x)　(dはdiagonal(対角)の意味)
C(2,1)＝Bd(･･･Bd(61)･･･)
として理解してあげよう（笑）

とすると、>>271の計算は結果としてはもっともらしげである（笑）

＞これだとVer1のＳ変換の増加の構造そのままじゃない？？

そこはな。ただ、ここの計算は容易に三変数関数にできるから
そこで、次のS(2)変換をやればVer1のSは超えるんじゃないのか？

＞(s(1)f)^2(x)にｘ=3を代入したら、B(ak(3.3).ak(3.3))=B(61.61）
これは、Bから計算したんじゃなくて(s(1)f)^2(x)とs(1)^2f(x)
を比較するために(s(1)f)^2(x)を先に計算しただけ
271の最初でそう言ってるんだが‥‥‥。

C(1,61))の、B(B(61,61),B(61,61))倍々は面倒なのでBで置き換えただけ

まあ最初からs(1)を＾xで繰り返す増大度はVer1のＳ変換増加とまったく同じ
と言ってくれれば・・・・。

＞そこはな。ただ、ここの計算は容易に三変数関数にできるから
＞そこで、次のS(2)変換をやればVer1のSは超えるんじゃないのか？

三変数はともかくs(2)になって対角化したg(x）関数の威力が効き始めるんだろうが
これだとVer1→2→3は超革命的増加というほどでもなくない？
ふぃっしゅ氏が言っていたように、Ver2はVer1を何回繰り返しても
絶対に追いつかないと言っていたような増加は・・・。
ヘンな例えだがVer2のｓ(63)回に3代入した数回、Ver1のＳ変換を
繰り返したらVer2は軽く抜くだろ。
だから、こういう簡単な増加じゃなくて、もっとすごい仕掛けがあるのかと
思ってずっと深読みしてた。

>>280
＞最初からs(1)を＾xで繰り返す増大度は
＞Ver1のＳ変換増加とまったく同じ
＞と言ってくれれば・・・・。

Ver1なんて知らねぇよ。

＞三変数はともかくs(2)になって対角化した
＞g(x）関数の威力が効き始めるんだろうが
＞これだとVer1→2→3は超革命的増加というほどでもなくない？

だからその超革命的増加って何だよ？（笑）

＞ふぃっしゅ氏が言っていたように、Ver2は
＞Ver1を何回繰り返しても絶対に追いつかないと
＞言っていたような増加は・・・。

だからVer1もVer2も知らねぇっていってるだろが！

＞ヘンな例えだがVer2のｓ(63)回に3代入した数回、
＞Ver1のＳ変換を繰り返したらVer2は軽く抜くだろ

うむ、君がそのヘンなたとえをした瞬間に
君が、全く分かっていないことが
明らかになった（笑）

数だけを考えたら、計算というのは最後は
繰り返しに還元されるのだから、
Ver1も2もない。考えればわかること。

問題は関数の定義とその増大度。
つまり、単純に繰り返しだけで定義できる関数の
増大度はアッカーマンを超えないわけ。わかる？
つまり、アッカーマン関数にある値をいれたものが
ある特定の原始帰納的関数にある値をいれたものに
等しいとかいう難癖はｳﾞｧｶ下駄ものであるわけ。

つまり、最初から話の流れがわかってなかったんだな‥‥‥

＞だから、こういう簡単な増加じゃなくて、
＞もっとすごい仕掛けがあるのかと思って
＞ずっと深読みしてた。

なにが簡単で、何がスゴイ仕掛けなのか分からんな。
まず、繰り返しになったら簡単というのはｱﾌｫ
さらに、繰り返しにならないのがスゴイというならｳﾞｧｶ
君はもちろん、ｱﾌｫでもｳﾞｧｶでもないよね？

つまり、最初から計算というものがわかってなかったんだな･･････

＞つまり、単純に繰り返しだけで定義できる関数の
＞増大度はアッカーマンを超えないわけ。わかる？

そんなことは馬鹿でもわかるよ
だから、それよりもっとすごい増加だったんだと
思っってたって、言っただけだよ

>>281
Ver1を知らないなら
Ver1と2の差がわかるのかな？

>>282
あなたが言ってるｱｯｶ-ﾏﾝの増加の効果はVer1で提唱されたの
わかる？
Ver1が単純にｱｯｶ-ﾏﾝを倍々したものじゃなくて
278であなた自身がやってる操作が入って増大してくんだよ
つまりその増大のｼｽﾃﾑがVer1のＳ変換なの
わかる？

Ver1のＳ変換を繰り返したらすごい数・関数が生成されていくのは
あなたでもわかるよね？
その後Ver2が登場したんだが、その説明の過程で
驚異的な増大って言ったのはふぃっしゅ氏自身で
そしてVer1を何回繰り返してもVer2は超えないって
いう発言が過去にあった。
(ただ、これは関数の増大度という意味においてだと思うが)

だから、すごい増大度だと思ったのだが
今日見て自分が思ってたほどではないという感想から
絶対超えないっていう発言に対して、すごい陳腐な例として
ｱｯｶ-ﾏﾝ的増加を重ねるVer1のＳ変換をVer2で得られた数自身で繰り返したら
最後はVer2を上回る数・関数が生成されVer2自体を越えるってことを言っただけ

>>286
やっぱ、お前わかってねーじゃん。
>>287
てゆーか、そんな低レベルの昔話すんなよ
>>288
誰が単純にｱｯｶ-ﾏﾝを倍々したものとかいってんだよ。
そんな時代遅れの奴は逝ってよし。
>>289
Ver1のS変換を繰り返しただけでは2重帰納法を越えないことが
君には分からないみたいね。
Ver2の仕掛けってのはよう分からんが、s(1)、s(2)、s(3)･･･
のことなら、数字が増えるごとに2重、3重、4重と帰納法の
多重度が増えるというふれこみだね。ホントかどうかは、
また確かめられていないけど。

＞すごい陳腐な例として
＞ｱｯｶ-ﾏﾝ的増加を重ねるVer1のＳ変換を
＞Ver2で得られた数自身で繰り返したら
＞最後はVer2を上回る数・関数が生成され
＞Ver2自体を越えるってことを言っただけ

だからお前は分かってないっていうんだよ。
まず、Ver2はVer1を含んでる。
つまりお前のいってることは、
"Ver2はVer2自身を超える"
という意味不明の発言になってるわけ。

で、まあ、その意味不明な発言の意味を強引に汲み取れば
「いくらでも大きな増大度をもつ関数がつくれる」
ってことなんだろうけど、ただそれだけでは、その枠組み
で作れるどんな関数よりも大きな増大度をもつ関数が
存在しないってことにはならないの。

ま、268にもわかる例として、多項式関数を考えてみようや
x,x^2,x^3とxを掛けていけばいくらでも増大度の大きな
関数がつくれるわな。

ここで、x^xを考えてみれば、ある特定の数をとれば、
それより大きな多項式関数が存在するだろうけど、
全域で、これより大きな多項式関数は存在しないわな。
そういうことだ。どうだ分からざるを得ないだろ？

>>292よんだか？

なら、Ver2のs(1)、s(2)、s(3)、がそれぞれその前のステップで
つくられる関数を必ず超えるような仕掛けになってることが
分かるだろ？
いっとくけど、>>289みたいに上のステップで作ったものを
かっぱらって下で使うのは万引きと同じだぜ。
そういうものは認められない。わかるな。

＞Ver2の仕掛けってのはよう分からんが。

ちゃんとわかったら聞くよ

>>294

要するにお前もわかってないんだ。
だったら知ったかぶるなよ。

てか、お前Ver2が、>>290のs(1)、s(2)、s(3)、のことかどうかも
自分で分からないわけ？お前いったいなに分かってるわけ？

>>296
そりゃVer3の定義だ

>>297
そうか。
ま、Ver1とかVer2とかいうのはもう過去のことだと思ってるからな。
そんなもん、いちいちほじくりかえす気にもならねえんだよ。

なんで、お前はそんな火事場ドロボーみたいなことしてるわけ？

もういいよ、
ちゃんとわかってる人に聞くから

>>299
てか、そんな奴いねえよ。

過去のことで
不明な点を
しっかりと知りたいだけですが
何か悪いのでしょうか

つまりだな、Ver1とかVer2とかでは
S変換はともかくとして、次のステップの
定義ができていなかったんだよ。

で、とにもかくにも分かるレベルになったのが
Ver3というわけ。だからそれ以前のことを
解釈しようというのは無駄なわけ。悪いわけ。

では、Ver3をわかりやすく説明してください

ﾊｧ？おまえVer3もわかってねぇの？

だったらこのｽﾚ読んでもわかんねえだろ。やめとけ。

ここはレベル低いスレですね。

>>304
あなたは、やっぱりわからないのですか
はあ〜
ss(1)はわかりますか？

>>306

きみは、やっぱりわからないのか。
はぁ〜
対角化、わかんないんだろ？

>>249で
＞(s(1)＾2f)　と　 (s(1)f)＾2
＞ではどちらが大きいのか？
とか聞いてた人がいたけど、
分かっていたらあの質問はないわな。
まあ、分かってないから聞いたんだろうけど

さらに>>262の

＞(s(1)^2f)(y)でｙに数を代入した時に、
＞s(1)をy回繰り返す作用は生まれないのか？

というのは、考えてたら書かないわな。
s(1)を2回繰り返す関数に2より大きなyを入れて
s(1)をy回繰り返しちゃったら、止まらなく
なっちゃうじゃん（笑）

ま、多分考えてなかったんだろうけど
世の中、妙な期待が膨らんで、目の前に
あることが見えなくなることってあるよね。

268=198かね？

だとすると、さすがに気づいて恥ずかしくなったんで
HN変えたのかな？

ま、間違いはだれにもあるさ。
でも、知らん振りってかえって恥ずかしいもんだよね。
さっさと認めちゃえば？

>>280の「ヘンな例え」とか、>>289の「すごい陳腐な例」も
>>262とは違うけど、共通のおかしさがあるね。

なんていうかな、関数を計算していく場合に
より複雑度が低いレベルに落ちていかないと
計算が終了しない、という基本的な理解が
欠けているような気がするわけ。

だからポンと途中で飛躍的上昇しちゃうわけ。

いつまでひとりごと言ってんだ
この馬鹿は。（ぷ
氏ねよ
昨日あたりからこいついるんだけど
荒らしてんのは、この馬鹿だけだろ
ってか削除依頼だそうか？

>>307->>311
Ver2.3が前より少しわかったような気がします
まあ、お疲れ様でした
>>306では本当にわからないので聞いたのですが
ss(1)からss(2)への展開はs(1).s(2).s(3）‥‥の階層を
関数化したものと考えていいわけでしょうか

最後にここが、よくわからないのですが
s(3)f(x)に3を代入すると
s(2)^3f(3)に成りますよね
s(2)自体はs(1)変換をx回重ねた変換だから
s(1)の変換回数が決まらないと計算できないですよね
ということは同時にs(1)もs(1)^3f(3)
のようにｘに同じ数を代入するのでしょうか

>>314

だから、ふぃっしゅのs(1),s(2),s(3)で
考えてたんじゃ具体的な計算はできないよ。

C(x,x,x)=(s(2)^2)(s(1)^f)は

B(0,0,b)=f(b)
B(n+1,0,b)=B(n,b,b)
B(n+1,a+1,0)=B(n+1,a,1)
B(n+1,a+1,b+1)=B(n+1,a,B(n+1,a+1,b))

C(0,0,b)=B(b,b,b)
C(n+1,0,b)=C(n,b,b)
C(n+1,a+1,0)=C(n+1,a,1)
C(n+1,a+1,b+1)=C(n+1,a,C(n+1,a+1,b))

となると考えれば、計算できるのはわかるよね。

具体的な計算ができなくなるのは何でも一緒だぞ。

>>316

そうじゃなくてふぃっしゅの記法だと
＞s(2)自体はs(1)変換をx回重ねた変換だから
＞s(1)の変換回数が決まらないと計算できないですよね
なんて錯誤が生じ易いんだよ。

実際にはs(2)の中の手順からs(1)の変換が決まるんだけど
そこがふぃっしゅの定義では見えないんで。規則をちゃんと
明示しなくちゃならない。

計算が膨大になるからできない、とかいう以前の話なんだよ。

括弧を沢山書く場所の違いに過ぎんよ。多重帰納はみんなそう。

>>316
＞(s(2)^2)(s(1)^f)

これ何？

>>315
それってs(1）s(2）じゃなくて　
s(1)として表される　Ｓ変換の１回目、２回目じゃないの？

>>320
違う。

以上

>>314
前スレの717とのやりとりをよく読むべし。
関数そのものは定まる。計算は、関数に値を代入したときに値が定まる。

これだけのことだと思うのだが、なぜみんなそんなに混乱するんだろう。
ずっと同じ質問の繰り返しだと思うのだが。

それから、計算ができないというのも、現実的にコンピュータで
計算ができなくなるほどの数だという意味なのか、原始帰納的な
表現では表記できないほどの計算量になるという意味なのか、
帰納関数の範囲をとびだしてしまうという意味なのか、意味が
いかようにも取れる。最後の意味で計算ができなくなるわけではない。

そして、計算の意味を帰納的な定義だとすれば、ふぃっしゅ数の
定義は帰納的な定義をとびだしていないので、計算できる。

やはり、ひとつひとつの言葉の意味を正確にしていかないと
混乱するよね。

s(ｎ)で生成される関数・数の大きさが
「s(ｎ-1)変換を^x回繰り返した関数にxを代入したものである」という性質だとすると
常にs(n)が変化して関数の大きさが変化していくわけだが
s(n)のnの数値が大きい方(上位)から計算していこうとすると、その関数の大きさは
常に下位の変換の情報によって決定されるために下位の計算を先にしないと、上位の
関数の構造は決定しないのでは？

つまり
s(3)から計算していくと、s(3)にある数値を代入したとしてs(2)の変換回数を
定めたとしても　、s(2)変換1回で生成される関数自体の大きさと構造はs(1)の繰り
返し回数によって決定されるという性質だから、s(2)1回の関数の大きさが定まら
ないため、計算できないと思うのだが。

それともs(1)から先に計算していくのだろうか？それなら計算できるけど

>>325
(2)1回の関数はs(1)の「繰り返し回数」によって決まるのではないのです。
s(1)をある回数繰り返した関数を生成するのとは、全然違うのです。

ここは、何度も同じことの繰り返しなのでさすがに疲れてきました。

「関数を決める」とは、自然数から自然数への変換表を定めること、
「関数に値を代入する」とは、その関数に自然数の値を入れることです。

関数が決まって、値が代入できないということはありません。
値が代入できないということは、それは関数が決まっていないということです。

そして、どのようにして関数を決めるのかは何度も今までに書いてきた
通りです。

計算方法は>>58でより明らかになっていると思います。

>>326
>>315はどうでしょうか？

どうでしょうかとは？

スネークの本質についてはまだ私にもわかっていないので、
なんとも答えようがありません。

>>58の計算は、まさにふぃっしゅ数の計算そのものです。
あとは、>>58とスネーク、そして三重帰納法の式の比較という
ことになるのでしょうが、これらの式は今まで相手にしてきた
式とは複雑さが格段に違うので、どう相手にしていいものか
分かりません。

>>326
では、s(n）はある値をｱｯｶ-ﾏﾝ(でなくても良いが)に代入して
そこで得た値を、下位のs(n)の関数列の対角を取り出すこと
に利用するという考えでよろしいですか？

>>329
だいたいそんな感じです。
>>58の式で言うと、

F(x,y,z)=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z))

このxの値を1つ増やす計算です。

このように式で書けば、すっきりしますよね。

ｘを１つ増やすとは、s(n)からs(n+1)を作るという意味です。

s(n)の計算とは、つまりF(n,y,z)の計算です。

その場合、計算は上位からやるべきなのでしょうか？
そのように主張してる方がいるように思うのですが

ちなみに、前スレのふぃっしゅ数とチェーンの比較計算をこの式で
書くと、

F(4,1,x) > ↑x(3,x,2)

といった感じになります。F(5,1,x)でバードをこえます。

これだけでも、三重帰納の威力が分かると思います。

この式が三重帰納になっているかどうかは別問題で、たぶん二重帰納
なのでしょうが、だとするとこれよりもすごい三重帰納とは？

と、そういったレベルの話になってきています。

>>332
上位からでも下位からでもいいと思います。
どっちにしても、実際に計算をするのは不可能ですから、
矛盾なく帰納的に計算が定義されていることさえ分かれば
十分なのではないでしょうか。

>>332 >>334

>>58は上位からしか計算できないと思うが

ん？>>58の２は何で不等式なんだ？
そういう歯切れの悪いことはするなよ。
言い訳も無用。＝に改めよ

>>330-331

＞s(n)の計算とは、つまりF(n,y,z)の計算です。

呆気…（￣□￣；）そんな低レベルの拡張を
今まで自慢タラタラに語ってたわけ？

つまりs(n)からs(n+1)へのステップアップは、
二重帰納法の中で閉じたものであったと。

>>58の証明とは違う戦略でやってみた。

F(x,y,z)
=(m^xf)^y(z)
=(m^xf)^{y-1})((m^xf)(z))
=(m^xf)(m^{x-1}f)^{z}(z)
=F(x,y-1,F(x-1,z,z))
=F(x,y-1,F(x-1,z-1,F(x-2,z,z)))
…
=F(x,y-1,F(x-1,z-1,…,F(1,z-1,F(0,z,z))…）

これだと、fが原始帰納だとして
Fはアッカーマンになるってところだな。

>>338
＞ F(x,y,z)
＞=F(x,y-1,F(x-1,z,z))
これってよくみれば>>72のBじゃん。
72はBは二重帰納法だといってるね。

>>336
ハァ？

>呆気…（￣□￣；）そんな低レベルの拡張を
>今まで自慢タラタラに語ってたわけ？
>つまりs(n)からs(n+1)へのステップアップは、
>二重帰納法の中で閉じたものであったと。

呆気…（￣□￣；）オマエ、そんな事も分かってなかったの？
こんな低レベル奴が今まで自慢タラタラに語ってたわけ？

なんだ常識だったのか（＾＾ゞ）

その意味でいえば、
アッカーマンがH[ω^ω]として
s(1)変換でH[ω^(ω+1)]
s(2)変換でH[ω^(ω+2)]
…
s変換全体でH[ω^(2ω)]を越えないくらいの変化だな。
二重帰納法を越えるにはすくなくともH[ω^(ω^2)]くらいを
実現しなくてはならないだろう。

はっくしょん＞（｀£´)
ふぁんくしょん＞（´▽＾)（´◇｀)

　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(1)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(1)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(1)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(1)変換で生成される関数に初期値の3を代入して　
s(1)^3f(3)=m(1)=s(2)^1f(1)が得られる
以下　s(1)^m(1)=m(2)=s(2)^2f(2)　　s(1)^m(2)=m(3)=s(2)^3f(3)　となる

　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(2)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(2)変換で生成される関数にm(1)を代入して　
s(2)^m(1)f(m(1))=m'(1)=s(3)^1f(1)が得られる
以下　s(2)^m'(1)=m'(2)=s(3)^2f(2)　s(2)^m'(2)=m'(3)=s(3)^3f(3)　となる

　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(3)^1　　s(3)^1f(1)　　s(3)^1f(2)　　s(3)^1f(3)　　s(3)^1f(4)　　
s(3)^2　　s(3)^2f(1)　　s(3)^2f(2)　　s(3)^2f(3)　　s(3)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(3)^4　　s(3)^4f(1)　　s(3)^4f(2)　　s(3)^4f(3)　　s(3)^4f(4)
‥‥
のs(3)変換で生成される関数にm'(1)を代入して　
s(3)^m'(1)f(m'(1))=m''(1)=s(4)^1f(1)が得られる

2番目のs(2)訂正
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(2)^1f(1)　　s(2)^1f(2)　　s(2)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(2)^3　　s(2)^3f(1)　　s(2)^3f(2)　　s(2)^3f(3)　　s(2)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(2)^4f(1)　　s(2)^4f(2)　　s(2)^4f(3)　　s(2)^4f(4)
‥‥

　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(4)^4　　s(4)^4f(1)　　s(4)^4f(2)　　s(4)^4f(3)　　s(4)^4f(4)
‥‥
s(n)^n　　s(n)^nf(1)　　s(n)^nf(2)　　s(n)^nf(3)　　s(n)^nf(4)

s(4)で得られたm'''(1)を代入して
数：s(m'''(1))^m'''(1)ｆ(m'''(1))
変換：ss(1)^1が求められる

※上記も訂正します
s(1)^m(1)f(m(1))=m(2)‥‥数
s(1)^m(1)=s(2)^2　‥‥‥変換　

s(1)^m(2)f(m(2))=m(3)‥‥数
s(1)^m(2)=s(2)^3　‥‥‥変換

‥‥

※訂正　s(2)→s(3)の部分

数：s(2)^m(1)f(m(1))=m'(1)
変換：s(2)^m(1)=s(3)^1が得られる

数：s(2)^m'(1)=m'(2)
変換：s(2)^m'(1)=s(3)^2　

数：s(2)^m'(2)=m'(3)
変換：s(2)^m'(2)=s(3)^3　

　　　______________
　／:＼.＿＿＿_＼
　|:￣＼(∩´∀｀)　＼　　＜先生！こんなのがありました！
　|:在　 |:￣￣ U￣:|
http://freeweb2.kakiko.com/mona/

まさに呆気ですよね。

前スレまでの流れだと「チェーンを多重帰納だと思っていたこと」と
「そのチェーンを超したことで多重帰納を超えたこと」「チェーン回転を
超えたこと」などで、面白いなと思っていたのですが、このスレッドで、
チェーンがそもそも２重帰納であり、ふぃっしゅ数の拡張も２重帰納で
あるということになって、一気にたいしたことがないということが
分かりました。そのことは、このスレッドに入ってからはみなさん
了解していたことと思っていたのですが…。途中で、私自身が混乱して、
変なことを言ったりしてしまいました。

Ver.1 < Ver.2 < チェーン回転 < Ver.3 < Ver.5

という大小関係については、三重帰納が出てきたところでなにも変わる
わけではありません。三重帰納がこれよりも大きい、というだけの
ことです。

「操作の対角化」という高階の概念は、自然数の関数でみたときには、
二重帰納に相当する、ということですね。それに対し、Ver.1のように
「ある操作で得られた回数、ある操作を繰り返す」といった操作、
たとえばＳ変換で得られた数だけ、Ｓ変換を繰り返す、といった概念は
原始帰納の概念です。Ver.1は原始帰納的拡張、Ver.2は2重帰納的拡張で、
２重帰納的拡張は原始帰納的拡張に比べて理解しにくいので混乱を
生じていた、ということになりそうです。

（＾＾）

>>349
つーか
　Ackermann関数　
＜Conwayのチェーン＝ふぃっしゅのS変換(Ver.1)
＜Birdの矢印回転
＜ふぃっしゅのS(n)変換(Ver.3)
…
がみな二重帰納法の範囲ってことだな。
で、ふぃっしゅのS(n)がFの形なら、
>>72のCでいえば、C(2,*,*,*)として
全て書けてしまう。

>>72のCは>>115のSnakeで、リストの長さが3のもの
（以下これをSnake-3と呼ぶ）にあたる
ちなみにアッカーマンはSnakeで、リストの長さが2
（以下これをSnake-2と呼ぶ）

ということで、

　Ackermann関数＝Snake-2
＜Conwayのチェーン＝ふぃっしゅのS変換(Ver.1)
＜Birdの矢印回転
＜ふぃっしゅのS(n)変換(Ver.3)
＜Snake-3

当の昔に明らかな事を何度も繰り返すマヌケ

ま、いいじゃないですか。まとめることは良いことです。

目下の懸案は、
1.>>72のCことSnake-3は三重帰納法として二重帰納法を列挙するか？
2.>>182は三重帰納法として二重帰納法を列挙するか？
3.>>72と>>182の比較。
というところですか？

＞列挙するか？

はぁ？するわけないじゃん。

スレがやけに落ちてると思ったら山崎の所為か

スネークの人ってなんで
無視されてるの？

スネークの人って
無視されてるの？

snake はもちろん snakehead のことですよね？
タイで食べたプラーチョン・ペッサはおいしかった。

http://www.itagaki.net/trv/thai/ChiangMai_dish/raigyo_karaageni/
http://www.bangkokpost.net/breakfast/a050702.html

>>360

ふぃっしゅっしゅって自分の理解を超えた話では
平気でアラシをやる厨房だったんだ。

>>358-359

無視じゃなくて、反応できないんじゃないかな？

　　 　　　　　　　　　　　　　　(￣￣<　 　　　／￣＞
　　 　　　　　　　　　　　　　　　＼　 ヽ　 　／ ／ｿ
　　 　　　 　プ　ロ　ジ　ェ　ク　ト＼　 ヽ P r o j e c t　X
　　 ─────────────────────
　　 　　　　　　挑戦者たち　／|_／ ／＼Challengers
　　 　　　　　　　　　　　　　　|　 　／　　　＼ 　　丶
　　 　　　　　　　　　　　　　　＼／　　　 　　 ＼__ノ

ペケ・・・

　2003年、落胆と失望が2ｃｈ数学板を支配した。
驚異的である筈の巨大数論争は、実際にはアッカーマン関数を定義する
二重帰納法の範囲内にあることが明らかになった。
次々に報告される事実は、「ふぃっしゅ数」の巨大さを信じる人々に
大きな打撃をあたえ、チェーン、バード、そしてふぃっしゅ数の前には
まだ見ぬ三重帰納的関数の壁が立ちはだかっていた。
　巨大数スレッドに挑んだ男たちは、既に知られた多重帰納法の
手のひらの上で踊らされていただけだったのだろうか？
プロジェクトは、疑心暗鬼による、誹謗や荒らしを生み出し、
男たちは夢の前に挫折しようとしている。
　2002年の狂騒から3か月、2003年は、我々が辿りついた場所が
新大陸どころか、ハワイやグアムですらなく、伊豆七島だった
ということに気づいた年として、来年にはキレイサッパリ
忘れ去られることだろう。
これは、妄想に狂った男どもの悲喜劇のエピローグである。

>>361-363＝「自分の理解を超えた話では平気でアラシをやる厨房」

サイエンスゼロ、「巨大数って何？　その騒動の実態」

高市アナ「サイエンスゼロです。今日は２ｃｈで密かにフィーバーした謎の企画
　　　　　巨大数について紹介します。本当はこれプロジェクトＸで放送するはず
　　　　　だったんですけど、なんか今年の展開は番組のカラーと違ってきたので
　　　　　こちらで放送することになりました。」
眞鍋かをり「てことは、早い話が尻拭いってことすか？勘弁してくださいよ〜。
　　　　　　たしか話しは、今年になってから
　　　　　「ふぃっしゅ数って〜、実は二重帰納法なんじゃな〜い？」
　　　　　　というツッコミがあって、それに対して
　　　　　「ゲッ、チェーンも矢印回転もふぃっしゅも
　　　　　　実は二重帰納法じゃん。やっべー」
　　　　　ということになって、今までのｳﾞｧｶ騒ぎは何だったんだ？
　　　　　てことですね。でも２ちゃんねるだからま、いいかって感じで。」
高市アナ「そうですね。」（をひをひ）

>>365
>「ゲッ、チェーンも矢印回転もふぃっしゅも
>実は二重帰納法じゃん。やっべー」
>ということになって、今までのｳﾞｧｶ騒ぎは何だったんだ？

オマエがヤケになってる理由は、よ〜く分かったから、もう荒らすなよな(w

http://www.agemasukudasai.com/movie/

上の馬鹿の作ったプロＸは、巨大数サイトに載せないでほしいなあ

今までの成果で充分ですよ

♪風のなかのふぃっしゅ〜
♪砂の中の物体
♪みんなどこへ行った−
♪見守られることも無く−
♪草原のＳ変換
♪街角の対角化
♪みんなどこへ行った−
♪見送られる事もなく−
♪多重帰納法を
♪誰も知りもしない−
♪人は上ばかり見てる〜
♪ローザよ〜高い空から〜
♪教えてよ〜多重帰納を〜
♪ローザよ〜多重帰納は〜
♪今誰が〜知るのだろう〜

ﾏﾂｼﾝは今日も元気でつ。

このスレに入ってから、多重帰納とか対角化とか高階とか枚挙とか
わからない単語が多すぎです。誰か、かいつまんで説明してくれないものでしょうか？

みなさん、いろいろ教えていただいて有難うございました
>>344->>347
は、Ver2､Ver3の理解の方向としては間違ってないでしょうか？

>>371
枚挙は…

「ふぃっしゅ数が小さく見える展開」は皆さん待ち望んでいた展開
ではなかったのでしょうか。

それでは、とりあえず>>355の検証を、といきたいところですが、
その前に>>352のF(*,*,*)がC(2,*,*,*)としてすべて書けてしまう、
というところを説明していただければと思います。

>>372
ぱっと見た感じいいかなと思ったのですが、どうも

s(1)^3f(3)=m(1)=s(2)^1f(1)が得られる

というあたりからおかしいような気がします。そうじゃなくて、
s(2)^1f(1)=s(1)^xf(x)
なのです。というと、またループになるな…。関数の表を作る段階では、
まだ値を代入しないでください。

>>375
ではなくてs(2)^1f(x)=s(1)^xf(x)になるのか。

少なくとも、

　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^4f(4)　　

という感じになります。s(2)^2以降については、このような原始帰納的な
表記ではs(1)だけではあらわせないと思います。

>>377

>>345でs(2)を訂正してますが
それでもおかしいでしょうか？

もう一回正確に書きます
　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(1)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(1)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(1)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(1)変換で生成される関数に初期値の3を代入してs(1)^3f(3)=m[1]が得られる　
　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(2)^1f(1)　　s(2)^1f(2)　　s(2)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(2)^3　　s(2)^3f(1)　　s(2)^3f(2)　　s(2)^3f(3)　　s(2)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(2)^4f(1)　　s(2)^4f(2)　　s(2)^4f(3)　　s(2)^4f(4)
‥‥
のs(2)で生成される関数にm[1]を代入してs(2)^m(1)f(m(1))=m'(1)が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(3)^1　　s(3)^1f(1)　　s(3)^1f(2)　　s(3)^1f(3)　　s(3)^1f(4)　　
s(3)^2　　s(3)^2f(1)　　s(3)^2f(2)　　s(3)^2f(3)　　s(3)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(3)^4　　s(3)^4f(1)　　s(3)^4f(2)　　s(3)^4f(3)　　s(3)^4f(4)
‥‥
のs(3)変換で生成される関数にm'(1)を代入して　s(3)^m'(1)f(m'(1))=m''(1)が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(4)^4　　s(4)^4f(1)　　s(4)^4f(2)　　s(4)^4f(3)　　s(4)^4f(4)
‥‥
s(n)^n　　s(n)^nf(1)　　s(n)^nf(2)　　s(n)^nf(3)　　s(n)^nf(4)

s(4)で得られたm'''(1)を代入して　数：s(m'''(1))^m'''(1)ｆ(m'''(1))
変換：ss(1)^1が求められる

2番目が字がずれました、
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(1)^2　　s(1)^2f(1)　　s(1)^2f(2)　　s(1)^2f(3)　　s(1)^2f(4)
s(1)^3　　s(1)^3f(1)　　s(1)^3f(2)　　s(1)^3f(3)　　s(1)^3f(4)　　
s(1)^4　　s(1)^4f(1)　　s(1)^4f(2)　　s(1)^4f(3)　　s(1)^4f(4)
‥‥
のs(1)変換で生成される関数に初期値の3を代入してs(1)^3f(3)=mが得られる　
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(2)^1　　s(2)^1f(1)　　s(2)^1f(2)　　s(2)^1f(3)　　s(2)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(2)^3　　s(2)^3f(1)　　s(2)^3f(2)　　s(2)^3f(3)　　s(2)^3f(4)　　
s(2)^4　　s(2)^4f(1)　　s(2)^4f(2)　　s(2)^4f(3)　　s(2)^4f(4)
‥‥
のs(2)で生成される関数にmを代入してs(2)^mf(m)=m'が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(3)^1　　s(3)^1f(1)　　s(3)^1f(2)　　s(3)^1f(3)　　s(3)^1f(4)　　
s(3)^2　　s(3)^2f(1)　　s(3)^2f(2)　　s(3)^2f(3)　　s(3)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(3)^4　　s(3)^4f(1)　　s(3)^4f(2)　　s(3)^4f(3)　　s(3)^4f(4)
‥‥
のs(3)変換で生成される関数にm'を代入して　s(3)^m'f(m')=m''が得られる
　　　　　　　　1　　　　　　　2　　　　　　　3　　　　　　4　　　‥‥
s(1)^1　　s(1)^1f(1)　　s(1)^1f(2)　　s(1)^1f(3)　　s(1)^1f(4)　　
s(2)^2　　s(2)^2f(1)　　s(2)^2f(2)　　s(2)^2f(3)　　s(2)^2f(4)
s(3)^3　　s(3)^3f(1)　　s(3)^3f(2)　　s(3)^3f(3)　　s(3)^3f(4)　　
s(4)^4　　s(4)^4f(1)　　s(4)^4f(2)　　s(4)^4f(3)　　s(4)^4f(4)
‥‥
s(n)^n　　s(n)^nf(1)　　s(n)^nf(2)　　s(n)^nf(3)　　s(n)^nf(4)

s(4)で得られたm'''を代入して　数：s(m''')^m'''ｆ(m''')　　変換：ss(1)^1が求められる

>>378
そうでしたね。すみません。

>>379-380
これならば問題なさそうです。

ほんとうに永い間、辛抱強く教えて頂いてありがとうございました。

ふぃっしゅさんの不滅の功績に改めて敬意‥‥。

＞説明していただければと思います。

簡単なので説明の必要はないでしょう。
分かるまで考えていただければと思います。

「ふぃっしゅが小さく見える展開」は
ふぃっしゅ自身が一番望まない展開
ではないのでしょうか。

>>383
俺には分からん

説明きぼんぬ

>>384
そう思っているあなたはふぃっしゅ氏を
小さく見すぎているのではないでしょうか。

ここまで来ると単なる誹謗中傷。削除依頼のひとつも出してやろうか。

ここまで来るとって…この程度を誹謗中傷と受け取るとは、
これまたびっくりだ。依頼はどうぞご自由に。

よかった！本人の了解もとれたし
どのレス削除しようか？

こいつは自分の説に誰も耳を傾けないので、荒らしになったんだな
でもそれは自業自得じゃん？＿

無礼な方言の数々が自分の首を占めただけ　　ったく進歩がねえなあ（ぷ
どうしてもやりたきゃ他のBBSでやれよ

http://www2.leverage.jp/start/

>>383
ああ‥‥‥説明できないんだね　　自分でも‥‥

ふぃっしゅっしゅさん、これはどうだ。
n!...!(!をn!個並べる、つまり階乗をn!回施す。)をn@で表し、
n@...@(@をn@個並べる)をn#で表し、
n#...#(#をn#個並べる)をn$で表す。
n@=!(n,2),n#=!(n,3),n$=!(n,4)で表し、同様の方法で、
!(n,5),!(n,6),...を定義する。
s0=3$として、iを1以上の整数とするとき、si=!(3,s(i-1))で定義する。
このときs64はグラハム数よりどれ位大きいですか？

>>393
ぱっと見、上に出たs(1)の類似かな。
(sf)(x):=f^{f(x)}(x)とおくと!(n,m)=(s^mf)(n)
そして
s^63f(...(s^2f(sf(3)))...)
を考えている。グラハムよりは大きそうだけど、それほど違わないかも。
上のs(n)も見てね。

今さらグラハム数と比べられても

訂正、もっと大きいね。
s^{s^{s^{sf(3)}f(3)}f(3)}(3)
という辺りか。s(2)とイイ線行きそうな感じ。

>>390
せっかく>>374で耳を傾けてもらっているのに
説明しないのでは話にならん。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

>>397
せっかく考える機会を与えられているのに
考えないのはｳﾞｧｶだな。

ふぃっしゅは、自分では人に考えろというくせに
自分は考えず人に説明させようとするｱﾌｫ

>>400
お前はなんで
すべての女性に嫌われてるの？

質問！
（ふぃっしゅ数)重帰納法ってのがあったとして
ビジービーバーの増大率はどっちが上？

考えろって･･･用語の定義まで考えさせてどうするよ。
ちゅーか、どの分野の用語？

いくらなんでも>>399-400は>>352とは別人だろ。

いくらなんでも>>399-400はやりすぎたと後悔してますか。

いくらなんでも>>399-400まで言われて考えないﾔｼはいないだろ。

■■再度　質問！！！！！！■■

（ふぃっしゅ数)重帰納法ってのがあったとして

ビジービーバー関数と増大率はどっちが上？

ＢＢはいかなる構成的な関数をもしのぐ、という事なので聞きました

http://homepage.mac.com/hitomi18/

>>402 >>407

当然、ビジービーバーのほうが上

理由は、（ふぃっしゅ数)重帰納法も構成的な関数に”すぎない”から

>>409
BB(６)あたりだとまだアッカ−マンの方が強そうだが
二重帰納でもふぃっしゅ数重帰納でも、いずれは関数を重ねていくうちに
その効果が回数の割には薄くなっていき
ＢＢが上回るってこと？
だとするとＢＢはどこまで行っても効果が下がらない（むしろ効果が増大する）
関数ってこと？？

>>410
そうだよ。
大体、多重帰納じゃダメだよ。
帰納的関数で、どんな多重帰納よりも早く増えるものがある。
>>61および>>189をみよ。

>>411
つえェ――――っ！
かっこいい―！

>>61よりＢＢははるかに凄いわけね
すっげ――――――――っ！！！
最高―――！

>>411
＞多重帰納じゃダメだよ
じゃあなんで、ふぃっしゅ数が三重帰納に勝てないの？

>>61を具体的な数値で立証してみよ
具体的な数値による証明なしに巨大数と言い張っても
誰も耳を貸さないだろう

>>414
＞じゃあなんで、ふぃっしゅ数が三重帰納に勝てないの？

なんで「じゃあ？」なの？
ふぃっしゅ数は二重帰納だから三重帰納に勝てないってだけでしょ。
そのことと、「多重帰納より強い帰納的関数がある」というのと
無関係じゃん。

＞具体的な数値で立証してみよ

数値とかいってる時点で完全に誤解してるのがバレバレ。
君みたいな人が、ｘ＾２に適当なｎを入れて計算した値より
ｎのところで上回る一次関数ｃｘが取れるから、一次関数で
万事ＯＫとかおｳﾞｧｶなことをいうんだね。

ああ、それからＢＢは計算不能だよ。
つまり小さい状態数ｎについても、
「これが停止するオートマトンで最大のステップ数をもつものだ」
とは示せるわけではないよ。

たしか、ＢＢの計算不能性はベリーのパラドックスと
同様のしかけで証明するんじゃなかったかな。
BoolosとJeffreyの本に証明が載ってる筈。

グラハム数がよく理解できないのですが、
↑の計算方法を教えていただけ無いでしょうか？
もしくは、それについて詳しく書かれたサイトを教えていただけ無いでしょうか
工房ですいませんが、どうかよろしくお願いします。

>>417
過去ロ(ry

>>415
ああ、自分で立証できないのね
じゃあ用は無い二度と来るな
というか氏んでいいぞ

Graham数って確かRamseyの定理と関係あるって話

ちなみにRamseyの定理から証明可能な帰納的関数を
越える関数も導けるらしいが、よう知らん。
（Paris=Harringtonが示した非決定性命題）

>>415
ふぃっしゅ関数＜多重帰納関数＜それより大きい帰納的関数
だったら、
ふぃっしゅ関数＜それより大きい帰納的関数　を証明しろや

少なくともふぃっしゅ氏はﾊﾞｰﾄﾞのチェーン回転との比較証明は
自力でやったぞ（ｗ

>>419
BBの計算不能性の証明を読め。
それなしにカキコしても無駄。
なにも知らねえガキが
遊んでんじゃねえよ。

>>421

貴様やれや。

>>422
やだ！
ていうか頃すぞてめえ

>>424
自分が言ったことは、自分で責任持って証明しろよ（ぷ

間違えた>>423の馬鹿だった

>>415に聞くとすべて見当違いの事言ってるから

聞かない方がいいよ

あの馬鹿、人望無さ杉だから
なんか言っても誰にも聞いてもらえないね　ああ愉快

そんなことゆわれても
「人望で数学やろうなんて終わってるな（ｗ」
とかゆって煽り返すしか能がないのです勘弁してあげてくだちい

帰納的関数全体は加算個しかないので、それをf1,f2,f3,...とする。
F(n):=max{f1(n),f2(n),...,fn(n)}とおくと、
Fはあらゆる帰納的関数よりも増大度が大きい。

基本となるアイデアはこの程度の三行半。

また、ひとりごと言ってやがる

人望も無いが、ブ男でもある

通りすがりなんだが･･･

関数の実体が枚挙に依存するので、枚挙の仕方もあわせて特定しないと
値が求まらないな。どうにか特定する方法がある、ってのは明らかだけど、
ここはほら、凄い増大度関数スレじゃなくて巨大数スレだし。枚挙の方法の
特定も含めて巨大数探索の一環なのではあるまいか。

そりゃまあもちろん
　f1＝ふぃっしゅ関数、あとは任意
ってしとけば、F(n)は常にふぃっしゅ関数の値以上になる、ってのは言える
わけだが、それってなんかズルというか。

>>434は>>430へのレスということで。
まあ通りすがりの人に「このスレは・・・」とか言うのも無粋だったか。

>>434
その通り
あんな程度なら誰でも考えるよ

>>434
おお、あんたはちゃんと知ってそうだな

ね、教えてください、「枚挙」って何だ！？

数え上げ

>>434
>>430はビジービーバーのタネを書いただけ。
帰納的だの言い出すと、逆に目的が見えなくなるスレだね。

そいえば全然関係ないんだけどさ、
３↑↑↑↑３＝３↑↑↑（３↑↑↑３）ってこと？

>>439
ありがとうごぜ―ますだ。

>>439

確かに。ビジービーバーのような計算不可能関数と
帰納的定義とごっちゃに語るとわけわからなくなる。

とりあえず、帰納的関数の中で考えるということについては
おおかたの意見は一致してたのでないかい？そうでなきゃ、
バージョン４が最強っつうことになるわけだし。

いかなる多重帰納よりも大きい帰納関数がある、という
ことはまた別のことで、ｎ重帰納の定義のしかたさえ
求まれば、ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
大きい帰納関数になりますわなわな。

＞ｘ重帰納を作れば

何でも「ｘ」と置けばいいと考えてるところが
何も理解してない小僧だな。

定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて
変数化できるわけないだろ。

>>184のA_nを使って
f(x):=A_x(x,x,...,x)
とおけば良い。

>>445

君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
いつでもそううまくできるとは限らないってことが、何も考えない
素人には分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

もう少し良く考えてご覧。
A_nのnには意味が無い事と、>>446が的外れな事が分かるよね。
何も考えない 素人には分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

初心者ですいませんが、私はどうも巨大数が理解できません。
何故なら、どんな数字でもそれの2乗とかやれば簡単にもっと大きい数字にできるでは無いですか。
例えば、グラハム数がありますよね？だったらグラハム数のグラハム数乗ってやれば
簡単に大きな数字にできるのになぜこのようなスレが進展してるんですか？
私は根本的に間違ってるのですか？

そういう方法以外も考えているから進展しているんですよ。
あと煽りとか。

よく考えてごらん

A_nのnには意味がある事と、>>447は明後日な事が分かるよね。
君は分からない（分かりたがらない？）んだなあ。

>>448
このｽﾚｯﾄﾞの名前である「巨大数」は、だいぶ以前の
ふぃっしゅ数が出てきた頃から、実態に合わなく
なってます。

ふぃっしゅ数は、実際には「関数」と考えるべきで
ここで競われているのは関数の増大度と考えるべき
です。これを理解できない人が、「巨大数」に話を
もどそうもどそうとしてますが、それだと、「＋１」
とかいう陳腐な方法を否定する何の論拠もなくなって
スレッドが一気に無意味化することも、理解できない
ようです。そもそもその程度の理解度のｱﾌｫがなにが
楽しいんだか分からないが粘着して荒らすというのが
このスレの一番の問題で、そのうち、ＩＰを公開して
晒し者にするしかないでしょう。ｱﾌｫは自覚なしには
直りませんから。

>>450
nに意味がないとは誰も言ってないと思う。

>>451
関数は手段で巨大数が目的だと思うのだが。
そして、さらに厳密には「記数法」という理論で
「＋１」の意味づけを考えようとした考察もある。

巨大数に話を戻しても、たとえば「二重帰納法で
生成された数」に「＋１」をしたような数は、
「三重帰納法で生成された数」にはかなわないから、
巨大数としての意味があるのであって、このスレの
趣旨はあくまでも巨大数にあります。

逆に、巨大数に興味がなければこのスレにいる
必要はないわけです。

あ、>>447で言ってたか、すまん
なんだか「意味」の意味が食い違っているような？？？

まあ、要はf(x):=A_x(x,x,...,x) の意味は
f(1):=A_1(1)
f(2):=A_2(2,2)
f(3):=A_3(3,3,3)
といった関数を生成するという意味だと思うのだが、
A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、なぜ
こういった関数が定義されないと主張する人がいるのか、
理解に苦しむ。

>>452
＞たとえば「二重帰納法で生成された数」に「＋１」をしたような数は、
＞「三重帰納法で生成された数」にはかなわないから

それこそ、どういう意味で書いてるのかな？

どんな数も「＋１」の反復として実現できる、というのが
数学的帰納法だよね。
その意味でいえば、君のいってることはナンセンス。

つまり、君のいうことが意味をもつためにはやはり
関数の増大度を競うと考えるべきなんだ。

>>454
＞要はf(x):=A_x(x,x,...,x) の意味は
＞f(1):=A_1(1)
＞f(2):=A_2(2,2)
＞f(3):=A_3(3,3,3)
＞といった関数を生成するという意味だと思うのだが

で、その場合、A_1、A_2、A_3をただ並べるしか、
表現のしようがないなら、それは永遠に定義として
「完結」しないよね。

＞A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、なぜ
＞こういった関数が定義されないと主張する人がいるのか、
＞理解に苦しむ。

A_nが”それぞれ”定義されるだけで、なぜ
統一的なA_nの定義も与えられると主張できるのか
理解できない。間違っているからだ。
単に考えていないのだろう。
考えない人間は間違っていることが分からない。
間違っていると気づきたくないから考えないのだろう。
これが最も反知性的な野蛮な行為であることはいうまでもない。

> その意味でいえば、君のいってることはナンセンス。

無理矢理その意味でいうからナンセンスなんでしょ

>>456
まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。
でもこれは君には無理だろうから、一つヒントをあげよう。
「チェーンや矢印回転は *君にとって* 良くて、>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか」
を説明してごらん。がんばるんだよ。そうでないと、みんなから

「単に考えていないのだろう。
考えない人間は間違っていることが分からない。
間違っていると気づきたくないから考えないのだろう。
これが最も反知性的な野蛮な行為であることはいうまでもない。」

と思われるだけだからね（笑

>>444>>446>>456みたいに浅はかな反応ばかりしてるから、次から次へとボロが出る
山口人生や松本真吾みたいなヤツだな（爆笑

今井レベルだけどな。

>>458
>まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。

またかよ。他に突っ込み方知らんのか？（笑）

いっとくけど、君が考える定義でも、
君のいってることはやっぱりナンセンスだよ。

＞>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか
*君にとって*　は良いわけか。
その理由を説明してごらん。
そうすれば自分の間違いに気づけるから。

君は考えていないから、>>454が(･∀･)ｲｲ!と思えるんだよ。
でもそれって今井以下だけどな（笑

458は、数学的帰納法を使う意味とか理解できないだろ。

∀nP(n)を示すのにP(1),P(2),P(3),…と次々試すだろ（笑

そこまでｳﾞｧｶじゃないって？
だったらなんで>>454みたいなｳﾞｧｶなこというんだ？

つまり任意のnに対してA_nを定義する”仕掛”を
示さなくちゃ無意味だってことさ。
いっとくけど、A_nのそれぞれに定義があるだけじゃ
ダメなんだよ。nを与えることで、A_nの定義自体を
導けなくちゃダメなの。分かる？
分かったら黙りな。黙れないならただの厨だな（笑

>>443の浅はかな発言
＞ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
＞大きい帰納関数になりますわなわな。

>>444のツッコミ
＞定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて変数化できるわけないだろ。

>>445の浅はかな反論
＞f(x):=A_x(x,x,...,x)とおけば良い。

>>446のツッコミ
＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

>>447の無内容な言い逃れ
＞A_nのnには意味が無い事と、>>446が的外れな事が分かるよね。

あのさあ、肝心なところで言語障害になるのは分かってない証拠だよ。
>>446を受けて、「このnは>>184にあるように変数化できる」とか
いっときゃいいじゃん。それができない奴はｳﾞｧｶ。

>>454の浅はかな発言
＞A_n(x_n,...,x_1) が定義されたときに、
＞なぜこういった関数が定義されないと
＞主張する人がいるのか、理解に苦しむ。

>>456のツッコミ
＞A_nが”それぞれ”定義されるだけで、
＞なぜ統一的なA_nの定義も与えられると
＞主張できるのか理解できない。

>>458の見当違いな逃げ口上
＞まずは、君のいう「定義」の意味を明らかにしてごらん。

あのさあ、肝心なところで、見当違いなこというのは分かってない証拠だよ。
>>456を受けて、「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」とか
いっときゃいいじゃん。それができない奴はｱﾌｫ

>>443>>445>>454みたいに
浅はかな発言ばかりしてるから、
次から次へと突っ込まれて
ボロが出るんだよ。

おっと、ﾑｶﾂｸのは勝手だけど
ﾏﾂｼﾝ呼ばわりはやめとくれ。
あんたが、ｴﾑｼﾗじゃないならね（笑

>>459は
> 山口人生や松本真吾みたいなヤツだな（爆笑
としか言ってないのに、なんで「山口人生や松本真吾呼ばわりはやめとくれ」
じゃなくてとりわけ「ﾏﾂｼﾝ呼ばわりはやめとくれ」になるんですか？
またかまかけにひっかかってるんですか？また図星なんですか？

ん？>>459にもﾔﾏｼﾞﾝの名前はあったけど
ﾔﾏｼﾞﾝだったら、例えば
「４６６の猿、抵抗はそれまでか？」
とかいうｽﾀｲﾙがあるんで、なんか
的外れだなって感じはしたよ。

"ﾏﾂｼﾝ"の名は、最近では
「厨房のいいかげんな発言の揚げ足をとる奴」
の意味に用いられてるね。
で、これに対して
「いいかげんな発言ばかりする厨房」
は当然"ｴﾑｼﾗ"ってわけ。

＞"ﾏﾂｼﾝ"の名は、最近では
＞「厨房のいいかげんな発言の揚げ足をとる奴」
＞の意味に用いられてるね。

そう思ってるのは本人だけだからなあ。やっぱり図星だったか。

ここまで簡単にひっかかるのも珍しい（爆笑>

>443の発言
＞ｘ重帰納を作ればそれがいかなる多重帰納よりも
＞大きい帰納関数になりますわなわな。

>>444の浅はかな発言
＞定義のスタイルに対して、単純に「ｘ」なんて変数化できるわけないだろ。

>>445のツッコミ
＞f(x):=A_x(x,x,...,x)とおけば良い。

ここで止めとけば良いのに、

>>446の見当違いな逃げ口上
＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。

とか無理するから「恥の上塗り」になる（爆笑

>あのさあ、肝心なところで、見当違いなこというのは分かってない証拠だよ。
>>>456を受けて、「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」とか
>いっときゃいいじゃん。それができない奴はｱﾌｫ

君でも「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」位は理解できるんだね。
君のこの発言↓は無駄骨だったね（笑

>つまり任意のnに対してA_nを定義する”仕掛”を
>示さなくちゃ無意味だってことさ。

もう少しがんばれば、肝心の
「チェーンや矢印回転は *君にとって* 良くて、>>454はなぜ *君にとって* 良くないのか」
が説明できるかも知れないね。がんばるんだよ。

ワスは・・・全般的に・・・読みが浅かったようだ。

　　 ||
　∧||∧
（ / ⌒ヽ
　| | 　　|　
　∪ / ﾉ　　　
　 | ｜|　
　 ∪∪
　　　；
　-━━-

まだ二重帰納と三重帰納についても十分に分かったとは
いえないところで気がはやいのだけれど、ゲームのルールは
帰納的関数であるとすると、A_x(x,x,...x)は多重帰納以上の
帰納関数ということになるから、次はさらにこれよりも大きな
帰納関数を作る方法はどうなるのか、ということになるね。

>>184においてA_1(x_1)=f(x)としたとき
g(x):=A_x(x,x,...x)
とすれば、f(x)からg(x)への写像がS変換になるわけで、
これがふぃっしゅ数方式の拡張、すなわち高階の拡張、
ということになるのだと思う。これが、いわゆる名無しの
ような物体氏がめざしていたふぃっしゅ数の新定義なの
ではないだろうか（物体氏がまだ見ていたら、そろそろ
出番かも？）。

この場合もやはりそういった拡張は本質的でないのだろうか？
つまり、それよりも本質的な拡張方法があるのだろうか？

>>455
だから記数法の議論を読めっつうの

「＋１を重ねればやがてはある数を追いつく」という
ことが問題なのではなくて、それを実際に記述できるか
どうかが問題。このときに、厳密に文字数は定めない
までも、たとえば定義の文字数がグラハム数もあるような
定義は記述できないわけだから、ある現実的な文字数で
記述する数の大きさを競っている、ということになる。
もっとも、そういった記数法のシステムを競っている、
という意味で解釈すれば、増大度の大きい関数を作ることは
その目的と合致している。

話を戻すとか戻さないという以前に、ここは巨大数の
スレなのであって、増大度の大きい関数を作っているのも、
それによって巨大数ができるから。ある目的を達成する
ための手段が目的となる、ということは意味のあること。

>>469
＞＞君の目がフシ穴じゃなけれなA_"n"は変数じゃないって分かるよね。
＞とか無理するから「恥の上塗り」になる（爆笑

恥ずかしいのは、自分でも変数だと気づけなかった469（大爆笑

>>470
＞君でも「>>184は、任意のnに対するA_nの定義になっている」位は理解できるんだね。

470君には理解できてなかったんだね（嘲笑

＞君のこの発言↓は無駄骨だったね（笑

君は自分では何もできないんだね。
もう少しどころではなく、全力でがんばったほうがいいね。
ま、君には無理か。ｳﾞｧｶだから。

>>446にも
＞まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
とあるよね。つまり>>184のままではまだ十分ではないんだ。
ま、でもｳﾞｧｶには分からないか。読めてないものな。

>>474
そこまでいって何で本当の目的が
「関数の増大度」であることに
気づけないかな？

固定観念は精神障害だよ。
つまりね「題名に巨大数とあるから」
というだけでそういいはる君は
精神を病んでしまってるんだ。

>>477
で？何でオマエは童貞なわけ？

>>478
悪いこといわないから、ｾｸｰｽでもしてなさい（ｗ

別に言われなくてもするけど
何でオマエが入って来ると女が嘲笑しながら逃げるわけ？

>>475-476
>＞まあ、この程度はうまくやれば解決できるけど（試しにやってごらん）
>とあるよね。つまり>>184のままではまだ十分ではないんだ。

折角「申し開き」の機会が与えられてるんだから、十分でない理由を詳しく語ろうね。
このままだと皆から
「ｳﾞｧｶだから十分だと思えないんだな」
と思われるだけだよ（爆笑

>>477は、誰が誰やら分からないんだろうな。

ふぃっしゅ氏が来なくなると
一気にどうしようもないスレになることがよくわかった

〜(´ー｀)〜

１再掲

> 「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
> 私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
> 数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
> 特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
>
> という類の投稿は放置推奨。

Re:483
私が来ても大して改善されぬわけだ。

無計画に巨大数を作ってみよう。
ak[a,b,0]=a+b,ak[a,b,1]=a*b,ak[a,b,2]=a^b等、
akはアッカーマン関数とする。
ak[3,3,6]をt(0,0,0)としよう。
非負整数nに対して、t(0,0,n+1)=ak[3,3,t(0,0,n)]とする。
また、非負整数m,nに対して、t(0,m+1,n)=t(0,m,t(0,0,n))とする。
さらに、非負整数l,m,nに対して、t(l+1,m,n)=t(l,t(0,m,n),n)とする。
u(0)=t(64,64,64)として、非負整数nに対してu(n+1)=t(u(n),u(n),u(n))とするとき、
u(63)はどのくらい大きいか？

巨大数の大きさを判定できる方求む。

mathmaniaがんがれ

>>481
＞折角「申し開き」の機会が与えられてるんだから、
＞十分でない理由を詳しく語ろうね。

折角「反省」の機会が与えられてるんだから
十分でない理由をじっくり考えようね。

このままだと皆から
「ｳﾞｧｶだから分からないんだな」
と思われるだけだよ（爆笑

以上、トンデモ助平町人「松本真吾とかいうの」の独り言ですた（爆笑

以上、トンデモ百姓エムシラのストーキング発言ですた（爆笑

「松本真吾とかいうの」は巨大数部門に限っては
素人の「ふぃっしゅっしゅ」より数学の実力下だね
だって、何も説明・証明できないんだもん（藁

ふぃっしゅ数を超える数・関数の定義もできなかったし
それに巨大数の把握のセンスもないしなあ

仲良いな（ｗ

491 １３２人目の素数さん 03/04/26 20:37
「松本真吾とかいうの」は巨大数部門に限っては
素人の「ふぃっしゅっしゅ」より数学の実力下だね
だって、何も説明・証明できないんだもん（藁

ふぃっしゅ数を超える数・関数の定義もできなかったし
それに巨大数の把握のセンスもないしなあ

ふぃっしゅ数の矛盾を発見しちまった・・・

>>494
言わないほうがいいぞ
恥かくだけ（ｗ

>>491
やれやれ、一介の鉄道総研トンデモ社員に何を期待しているのやら（爆笑

鉄道総研ってひまなの?

ひまですよ。
社員の書き込み時間を見てみなさいな。
TeXについて何も知らなくても「研究員」やってられるみたいだし。

>>486
↑3(3,3,3)には、とてもかなわないくらい。

↑3(3,3,3)
これがふぃっしゅ数なんですか？
ふぃっしゅ数がどういうものか見たこと無いんですけど

>>491は数学のセンスも社会人としてのモラルも欠如してるな。
名指しでの誹謗は犯罪ですよ。

>>501
それなら>>493も同じだね。コピペしてるし

>>496
やれやれ、人名の次は会社名か。

>>497ってヒマなの？

ヒマなんだろ。夜中に起きてるくらいだから（笑
それにウムラウトでTeXとかいってるくせに
"の打ち方も知らないのはやっぱ厨房だからでしょ。

>>505

そうだね。「ｱﾗｼがｷﾀ!」と騒ぐのは、知的能力がないので
なにもまともなｶｷｺが出来ない厨房。そのくせ自尊心とか
自己顕示欲とか強いので、すぐに名誉毀損の犯罪を犯す。
社会のゴミだね。

>>506

うんうん。知性があれば、無意味なｶｷｺには反応しないし
さらに、自分から意味のあるｶｷｺをすることで、スレッド
を活性化させることもできる。そうできない人間が、
無意味なｶｷｺに無意味な罵倒で対抗して活性化させた
つもりになるんだろうね。

>>507

で、意味あるｶｷｺが絶えたこのｽﾚはもう終わりかな？

>>508

終わったね。結局ｎ重帰納法を知ってる人が誰も現れなかった。
ｎ重帰納法の候補はいくつか出たけど、それが本当にそうなって
いるか誰も確かめられなかった。それじゃ話は進まないでしょ。

>>509

その件に関していうと、ｎ重帰納法に関する成果が
Rosa Peterの古い文献しかなくて、ﾈｯﾄ上には
見つからなかったのは致命的だったね。

ひとりで、会話してんじゃねえよ（ｗ

＞そうできない人間が、
＞無意味なｶｷｺに無意味な罵倒で対抗して活性化させた
＞つもりになるんだろうね。

そりゃオマエだ（稿

御意（−−）

おまいら皆、天才。

>>505-510
天罰滅と情報総帥の漫才の真似か？

この人が山口人生級の既知害なのはもう十分わかりましたから
煽り合いの続きは当該スレでやってください

【徹底】ネット数学者総合スレV''【検証】
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049552733/l50

前々スレのふぃっしゅさんのメールに対しての
ロバート氏の予想が正しければ
ふぃっしゅ数VER３はBB(BB(BB(3)))で超えてしまうわけですが
Ver５では、どれくらいになるんでしょう？

ビジービーバー関数の増大度は数値が増える毎に亜jbvckjhfんｈｆヴぁ

ぺろーんヽ(´ー｀)ノ

ぺーんヽ(｀★´)ノ

３↑↑↑↑３‥‥。

ｎ重帰納的関数の定義おしえれ。
検索したけど見つからなかった。

原始帰納的関数は理解した。

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

３↑３っていくつになるの？　

3↑3=3^3=27　です。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

捕手

じゃあ3↑↑3は？

3↑↑3＝3↑3↑3＝3^27です。

ナレーション：田口トモロヲ

「熱狂から数ヶ月が過ぎた。プロジェクトメンバーは各自の職場・学校へと生活の場を戻していった
　
　プロジェクロリーダーのもやしっ子さん、今でも職場のふとした時間にメモ用紙に
　数式を書きとめる事がある、今でも何かを発見する瞬間がとても好きだという。
　
　豊富な知識でﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄを勇気付け続けた名無しのような物体さん、巨大数を追い求める
　気持ちが、その後も脈々と流れている。今は日々新しい仕事に忙しい日々を送っている

　時には辛口なコメントでﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄを推進し続けた有流才蔵さん、今も数学板で叱咤激励
　の日々を送っている

　質問や議論を繰り返したプロジェクトメンバーの多くの名無しさん達、職場や学校で
　ﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄの日々を思い出しながら、時には数学の素晴らしさについて語る人も多い。
　
　巨大数サイトを作った名無しさん、もうすでにカウンターは1000を超えようとしている
　
　終盤に登場しより優れたなｱﾌﾟﾛｰﾁを繰り返したｉｂさん、そしてふぃっしゅ数を作った
　ふぃっしゅしゅさん、今でも巨大数スレの1レス１レスを思い浮かべ
　いつかまた‥‥と少年のように瞳を輝かせている。
　
　多くの人々の参加と前人未到の領域を進み続けた　巨大数プロジェクト
　そのすべての記録と豊かな数学への想いは今でも巨大数研究室で脈々と
　受け継がれている」

中島みゆき　「ヘッドライト・テールライト」

これで音だけでも流して読んでください
http://monaflash.s3.xrea.com/img/flash058.swf

１１５のスネーク数って、どうやって求めるの？

↑についてですが、

3↑3 = 3^3 = 9
3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3^3^3 = 3^27 = 7625597484987
3↑↑↑3 = 3↑3↑3↑3 = 3^3^3^3 = 27^27

これであってますか？

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3^27) = 3↑3↑・・・(3^27個)・・・↑3↑3 = (以下略)

です。

ｽﾏｿ、
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3
これがなんでだかﾜｶﾗﾝです。
どこかに↑について書かれたサイトないですか？
巨大数研究室には初歩的すぎて書かれてない・・・
ｳﾜｱｧｧｧｧﾝ!

3と3の間の↑を一個減らすと、
残った↑の数の隙間に右辺の数(この場合は3）だけ
左辺の数(これも3）がはさまるのよ
3↑↑↑3＝3↑↑3↑↑3

こうした方がわかるかな
3↑↑3＝3↑3↑3
3↑↑4＝3↑3↑3↑3
3↑↑5＝3↑3↑3↑3↑3
それとさあ
3＾3＾3＾3がなんで27＾27になるのよ？
指数が積み重なった場合は　右側から計算するんだよ
だから
　3＾3＾3＾3
＝3＾3＾27
＝3＾7625597484987

巨大数研究室の中の過去スレの１番目「史上最大の数　グラハム数」あたりを
読めばよくわかるよ

>>535
展開する場合、左側の数を右側の数だけ用意してやって、
そこに一個少ない連続する矢印をサンドしてやります。
たとえば、

4↑↑↑↑5＝4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4

3↑↑8＝3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3

2↑↑↑2＝2↑↑2＝2↑2＝4
(一般に2↑…↑2＝4)

ありゃ、出遅れた。

　3↑↑↑3
= 3↑↑3↑↑3↑↑3
= 3↑↑3↑↑(3↑3↑3)
= 3↑↑3↑↑(7625597484987)
= 3↑↑(　〜

こんなんで合ってますか？
ああ、もうグラハム数すげぇ

3↑↑↑3
= 3↑↑3↑↑3
ですよ。3↑↑3↑↑3↑↑3になるのは3↑↑↑4です。

やっと理解できました。
本当にすいませんでした。

お礼にお茶でもどうぞ。
.　　　　　　　　　　　　　　　 ξ
　　　　　　　　　　　　　　⊃旦

　　　　　　旦
ﾜｰヽ(´ー｀)ノ

http://science.2ch.net/math/kako/1024/10243/1024311743.html
と
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln01.html
読みました。

グラハム数、というかタワーの凄さに感動。
あとはアッカーマン関数がどうのってのがありましたが、
まだ理解してないんですけど想像するだけでﾜｸﾜｸです。

いやいや、凄すぎ。

こっからが大変なのよ、理解するのが

グラハム数は、ほんの入り口だったのがわかってくるよ

タワー関数の増大度に感動しますた。
↑一つ　3
↑二つ　9
↑三つ　7625597484987
これ以上は書けない

そういえば、グラハム数って
3↑↑↑↑3
これですか？それともこれがグラハム数への一歩なんですか？

>>545
それ、ちがうよ

↑二つで３↑↑３だから
＝３↑３↑３＝３↑２７＝7625597484987でしょ

３↑↑↑↑３は６３段階ステップの出発点
その３↑↑↑↑３で表される数だけ３と３の間に↑が挟まった数
その数だけ、↑が挟まった数‥‥‥‥
で63段階目がグラハム数

でも、こんなん程度の数で騒いでたら、
バード数やふぃっしゅ数は、もう無限大に感じるくらいトンでもないぞ

>>545
例えばグラハム数よりも、3→→4という数の方が圧倒的に
でかかったりします。アッカーマンは、それ自体は大して
強くはないですが、入れ子にすることでいい味がでます。
僕も最初はタワーの定義すら知らないところからやりました。
よかったらテキトーに巨大数と戯れてみてください。

>>546
あ、すいません。間違えてました。
>でも、こんなん程度の数で騒いでたら、
数の大きさが全く想像できないのですが。
で、フィッシュ数はグラハム数が0に等しいくらい大きいんですよね？

>>547
ｽｹﾞｰ
タワーだとか、チェーンだとか、アッカーマンだとか、ビジービーバーだとか凄すぎです。
やっと今タワーが理解できた程度です。

意外とこの人が↑
将来最大の数、作ったりして

3↑↑↑↑3
これがグラハム数の一段階目ですよね？
これをAとすると
2段階目は
3↑〜計A個のタワー〜↑ 3
これをBとすると
3段階目は
3↑〜計B個のタワー〜↑3
これが64回繰り返す
これで合ってますか？

それと。グラハム数はこれっ！ってのであらわせないんですか？
いつもいつも3↑↑↑↑3が一歩目だ、みたいな感じで
ちゃんとしたグラハム数を見たことが無いんですけど。

>>550
それで合ってますよ。
グラハム数は、過去ログにあるような挟み撃ちによる近似で
3→3→64→2 ＜ グラハム数 ＜ 3→3→65→2　としたり、
または、f(x)=3→3→xとしたときに
グラハム数=f^64(4)として表しています。
いずれにせよ、タワーではなくチェーンですね。

>>もやしっ子さん
いつも丁寧にありがとさんです。
よろしかったらこれﾄﾞｿﾞｰ
(･∀･)つ�I

はあ〜

誰か4状態のビジービーバーで1を11個かく式がわかる人
いませんか？

　3↑↑↑3
=3↑↑3↑↑3
=3↑↑(3↑3↑3)
=3↑↑(3^27)

これ以上簡単に分解するにはどうしたらいいんでしょうか？
というかこれであってますか？

引越してネット環境が整ってないです。うひ

>>554
BBは暗いので分かりません。ｽﾏｿ

>>555
合ってます。さらに分解するなら
3↑3↑…(7625597484987個)…↑3↑3　みたいな。

�@.s変換の変化と回数を対角化した関数
　　　　　　　1　　　　　2　　　　　3　‥　　　n　　
s(1)^1　　s(1)^1　　s(1)^2　　s(1)^3　　　s(1)^n　　
s(2)^2　　s(2)^1　　s(2)^2　　s(2)^3　　　s(2)^n
s(3)^3　　s(3)^1　　s(3)^2　　s(3)^3　　　s(3)^n　　
‥‥
s(n)^n　　s(n)^1　　s(n)^2　　s(n)^3　　　s(n)^n
でss変換に移行するという段階を関数化して

�A.ss…変換のsの個数の増加と変換回数を対角化した関数

　　　　　　　　　　　　1　　　　 　2　　　　　3　 ‥　　　n　　
s(1)^1　　　　　　　s(1)^1　　 s(1)^2　　 s(1)^3　　 　 　s(1)^n　　
ss(2)^2　　 　　　　ss(2)^1　　 ss(2)^2　　ss(2)^3　　　 　 ss(2)^n
sss(3)^3　　　　　　sss(3)^1　　sss(3)^2　 sss(3)^3　　　 　sss(3)^n　　
‥‥
s…n個…s(n)^n　　　s…s(n)^1　 s…s(n)^2　s…s(n)^3　　　 s…s(n)^n

でsの字を使用した関数からs’に格上げして
�B　s’s’…変換の　’の個数の増加と変換回数を対角化した関数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　 　2　　　3 ‥　　n　　
s’…n個…s’(1)^1　　　　　　
s”…n個…s”(2)^2　　 　　　　　　　　　　
‥‥
s”(n個)”…n個…s”(n個)”(n)^n　　　

というように、�@�A�B‥‥という関数の列を作り

　 　　　　　1　　　　2 　 　3　 ‥　　　n　　
�@　　　　　^1　　 ^2　 ^3　　 　 ^n　　
�A　 　　 ^1　 　 ^2　 　^3　　 　 ^n
�B　　　 ^1　　 ^2　 ^3　 ^n　　
‥‥
ｎ ^1　　 ^2　 ^3　 ^n　　
　
と対角化し、さらにこの上の関数列を作っていき、それら全域をまた対角化する
というように対角化の次元をどんどん引き揚げていくこと自体を関数化していく
みたいなイメージなんでしょうか？　ヴァージョン５は

失礼、字がずれまくりました

　　　１　　　２　　　３　　　・・　　　ｎ　　
�@　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ
�A　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ
�B　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ　　
‥‥
ｎ　　＾１　　＾２　　＾３　　　　　　　＾ｎ　　
　

あ、557は違うな
�Bは、�@から�Aへの関数の次元アップの流れそのものを関数列にして対角化したものだから
�Aを上記の�Bに次元アップするステップの段階を関数化しなければいけないわけか‥‥

つまり上記の�Aから上記の�Bへのｽﾃｯﾌﾟｱｯﾌﾟをさらに、上記の�B⇒次の段階へ‥‥
と、同じ価値のステップを踏んで、どんどん段階を重ねていき、
その過程を関数化したものが　真の�Bになるわけかな

ところでタワーの定義の記述が相変わらず間違ってるようなので
修正キボン＞もやしっ子さん
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html

>>561
それは他のサイトからの引用なので巨大数研究室では直せないと思うよ

それと3↑↑↑↑3をグラハム数としてるのは間違いだが
他の部分はｱｯｶｰﾏﾝ式に表してるので、これでいいんじゃない

【１】：（１０の１０乗）・・・1'
【２】：（1'の1'乗）・・・2'
　・
　・
　・
　↓
　・
　・
　・
　→【1'】・・・【2'】・・・

>>564
何がしたいのかよくわからんが
>>557-560あたりのことを
ものすごく小さい数に置き換えて説明したいのだろうか？

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

再度Ver4のイメージについて、訂正しまとめてみました
�@.s変換の変化と回数を対角化した関数
　　　　　　　1　　　　　2　　　　　3　‥　　　n　　
s(1)^1　　s(1)^1　　s(1)^2　　s(1)^3　　　s(1)^n　　
s(2)^2　　s(2)^1　　s(2)^2　　s(2)^3　　　s(2)^n
s(3)^3　　s(3)^1　　s(3)^2　　s(3)^3　　　s(3)^n　　
‥‥
s(n)^n　　s(n)^1　　s(n)^2　　s(n)^3　　　s(n)^n
s(n)のnは旧S変換のSの個数だから、s(n)変換はSS…n回…SS変換と言える
そこで、次のss変換に行く前に、S変換を1sと表示する。SSは2s　SSSは3s
さらに次元が上がるss変換の表示は、nSのnを増やすので、さらに数字表記
を左辺に増やして　従来のss(1)を1.1s　ss(n)を2.1s　sss(n)を3.1sと表記する
すると以下のような関数ができる
1.1s　→　1.ns　→　2.1s(旧ss(1)）　　　　　　　 　 　　　
2.1s　→　2.ns　→　3.1s(旧sss(1)）
3.1s　→　3.ns　→　4.1s(旧ssss(1)）
‥‥‥
n.1s　→　n.ns　→　1.1.1s(旧sss…(n回)…sss(1))
これは、�Aでは無く�@から�Aの段階へ進む過程を示したものに過ぎない
�@から上記の次元アップの一段階目への過程を関数化したものが�Aとなる
したがって�Aは
1.1s　→　n.n　→　1.1.1s
1.1.1s　→　n.n.n　→　1.1.1.1s
1.1.1.1s　→　n.n.n.n　→　1.1.1.1.1s
‥‥
1.…(n回)….1.1s　→　n.…(n回)…n.n　→　1..1ｓ となる。

さらに�Bは、
1.1s　→　ｎ…(n回)…n.n　→　1..1s
1..1s　→　ｎ..ｎ..ｎ…(n回)…n..n　→　1...1s
1...1s　→　ｎ...ｎ...ｎ…(n回)…n...n　→　1....1s
‥‥‥
1...(n回)..1s　→　n...(n回)...n...(n回)...n…(n回)…n...(n回)...n...(n回)...n

という感じになる。�C以降は記号表記が困難なため割愛
その�@→�A→�B→�C・・・・という次元のステップアップを関数化したものを【Ｍ1】変換と
呼び　

その【Ｍ1】を上記の関数の流れ�@→�A→�B→�C・・・・に乗せたものが【Ｍ2】
さらに【Ｍ3】は【Ｍ1】→【Ｍ2】の拡張を関数化したもの
と進めていく。【Ｍｎ-1】の時の値が【Ｍｎ】のｎになる。

こんなイメージでしょうか？　

>>567の一行目　訂正
Ver4じゃなくてVer5でした。

巨大数研究室の資料を整理しないか
とりあえず、巨大数のところで「説明」となっている
ところを埋めていったらいいと思うんだけど

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/number.html

ここね

＞巨大数研究室の資料を整理しないか

整理したいならまず貴様がやれ

>>571
お前がやらないなら糞レスつけるな

ごめーんね。
まだネット環境が整ってないのです。もすこしお待ちを。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

捕手

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

保守ついでにさっき思ったこと

バード数って卑怯じゃないか？
グラハム数をGとするなら、ってあるけどそれが許されるなら
G↑↑〜計G個のタワー〜↑↑G
とか。さらにこれを(G_1)として、
(G_1)↑↑〜計(G_1)個のタワー〜↑↑(G_1)
これを(G_2)として〜・・・・ってやればふぃっしゅ数を超えちゃうんじゃないの？

と、素人ながら言ってみるﾃｽﾂ
ついでにage

>>577
保守乙ｶﾚ

でも、それだとチェーンや矢印一回転の方がぜんぜん効果が高いです

そして、その程度ではふぃっしゅ数のVer1も抜けないです
Ｓ変換1回の効果で軽く吸収してしまうでしょう

>>578
Σ(ﾟДﾟ)ｽﾞｶﾞｰﾝ

ふぃっしゅ数って凄い・・・
やっぱ素人には無理だわ。

いや〜、凄い。
漏れ的なイメージは　∞<グラハム数　こんなイメージw

まあグラハム数以上になるともうどれも想像つかないですね

ちなみにVer1で使われるＳ変換のｇ函数なるものを見ると

1回目のＳ変換でak(3.3)＝61　
次からgという、ふぃっしゅ数特有の函数が出てきて、それに61を代入
2回目のＳ変換でg(61)となるわけでこれでもうグラハム数を越えている
つまりg(61)＞＞＞＞＞＞　〜　＞＞＞＞＞＞＞＞グラハム数

3回目のＳ変換ではgg函数なるものを使い、ﾜﾝﾗﾝｸｱｯﾌﾟするわけだが
gg(g(61))はgg函数に上のg(61)という巨大数を代入したもの

gg函数を、ｱｯｶｰﾏﾝＢ(x.ｙ)で表現するとＢ(1.g(61)）の時点で
g(g(g(g(〜【g(61)回】〜(g(g(g(61)))))〜【g(61)回】〜))))))
つまりg函数にg(61))という数を代入したをg函数に代入し‥‥という
繰り返しをg(61)回重ねた数ということ。

このように気の遠くなるような数になり、gg(g(61))自体はもっとはるか上

これでＳ変換たった３回分　そこで得られた数だけＳ変換を繰り返すという
段階を63回繰り返すのが『Ver1ふぃっしゅ数』だからどれだけ大きいかは‥‥。

そのＳ変換の回数を対角函数なんかを使ってどんどん次元をあげていくのがVer2及び3
そっから先はよくわからんけど
さらにその次元を関数化していくのが手法がそれ以降のVerという感じ　Ver4はBB函数
なので別物らしい

繰り返す系は強いね。
タワーなりチェーンなりアッカーマンなり。

アッカーマンはネストしなくても爆発的増大度を得ることが出来れば
それをネストしてふぃっしゅ数に組み込めばさらに至高の世界を見せてくれそうだ

・・・ちょいとアッカーマンver.2でも考えてみるか

>>581
多分ガイシュツな気もするが、わかりやすくまとめてくれれば許すのでがんがれ。

>>582
いや〜、改めて研究室を見たらすごいなぁ〜、としみじみ思ったよ。

で、なんとなく思ったけどこのスレの住民は大きさもそうだけど
関数の増大度も楽しんでるね

ak(m,ak(m,n))を
ak[2](m-n)

ak(m,ak(m,ak(m,ak(m,ak(m,n)))))を
ak[5](m-n)と、置く。
つまりak函数の展開しない引数のネストの回数をxと置くなら
[x]のように[]の中に書くのはどうか、ってこと

こんな感じに定義して行けば面白い感じになりそうだけどどうなん？
ak[ak[ak[ak[ak[5](m-n)](m-n)](m-n)](m-n)](m-n)とか。
さらにこの[]内のネストの回数を・・・

コメントｷﾎﾞﾝﾇ偉い人

ちょいと考えてみた

ak[a,b,c]
aを函数の中で(a-1)ネストする回数とする。
bをak函数の1番目の引数、cを2番目の引数とする。
ak(x,y)のxがb,yがc。

例えば、ak[2,2,2]。
これは1回ネストし、2,2を引数とするのだから
ak((ak(2,2),ak(2,2)),(ak(2,2),ak(2,2)))。
ak[3,3,3]だったら更にネストの階層が深くなって
ak(ak((ak(3,3),ak(3,3)),(ak(3,3),ak(3,3))),ak((ak(3,3),ak(3,3)),(ak(3,3),ak(3,3))))

と、糞わかりにくくなるほどネストする。
ak[4,3,3]となると書けないほどネストする。
あとでわかりやすく書いたhtmlアップするかも。

それとhttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln031.htmlの眠い人さんの
2|5 = 2^2^2^2^2なんかも結構いい味だしてるかも

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlto/4702/ather/ak.htm

・・・ﾜｶﾘﾆｸｽｷﾞ?

以下は、ふぃっしゅ数Ver1の２回目のＳ変換です。参考までに‥‥Ａはakです

Ｂ（1.3）＝Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
＝２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３

Ｂ（1.4）＝Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
＝２↑〜【２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３ 】〜↑
（２↑〜【２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑回】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ 】〜↑
（２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３ ）−３ ）−３

Ｂ（1.5）＝Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））

Ｂ（1.6）＝Ａ（（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））
　　　　　　.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

Ｂ（1.7）＝Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

Ｂ（1.8）＝Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　Ａ（Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））））
　　　　　　.Ａ（Ａ（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））
　　　　　　.（Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)）））
　　　　　　.Ａ（Ａ(Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））.Ａ((61.61).(61.61)).Ａ((61.61).(61.61)））））

>>587
それは漏れに大して
「お前のはたった3回しかネストしてねーだろｸｽﾞ」
って意味なら、ak[3,3,3]をなるべく小さい数字にしただけであって。
ak[a,b,c]のa,b,cをどんどん大きくすることが出来るわけであって

「いや、お前のは全然見にくくないよ。」
という意味なら、そのまま受け取っておきます。

>>587-589
というようにakの威力自体の上昇度を利用して大きくなっていくのが、ふぃっしゅ数のＳ変換
このあとＢ(1.8）Ｂ(1.9)‥‥と、どんどん大きくなりますがＢ(1.61)でおよそグラハム数の
あたりに来るそうです。さらにＢ(2.1）はもっと大きいわけで‥‥。
最後にＢ(61.61）で、やっとg(61)つまり、２回目のＳ変換が終了するわけですが
3回めのＳ変換にくらべりゃ2回目は全然なんてことない
3回目はg関数より一段上のgg関数を使うので、もう超超超ウルトラ級にトンデモない
　>>580とかぶるので書きませんが、3回目のＳ変換は>>580の7行目以降に成るわけです。
4回目はggg(gg(g(61)))です。そっから先はこのすごいＳ変換を、その4回目で得られた
巨大数の回数繰り返すってわけですが、そこでやっと1段階目のＳＳ変換が終わるわけです
さらにこの得られた数だけ自身が大きくなっていくＳ変換をその前のＳＳ変換で得られた
数だけ繰り返して63段階目でようやくVer1にたどりつくんですけど

はっきり言ってVer1は　超超超超スーパー小さいです！
それ以降のVerナンバーに比べると‥‥‥‥。

ちなみにネストしたときのak函数の個数は

1回目・・・1
2回目・・・5　　前回との個数の差 4
3回目・・・13　.前回との個数の差 8
4回目・・・28　.前回との個数の差 16

この様に差が4,8,16,32,64,128,・・・
とどんどん2^nになっている。
よってn回ネストしたときのak函数の個数は(2^n)+1となる。

前スレから引用

612 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/21 18:41
ふぃっしゅ数Ver1のＳ変換内ｱｯｶ-ﾏﾝは、計算して行き着いた根っこの
Ｂ(0.ｎ）をｇ(ｎ）に変換することで数値を決定する。
※ｇ(ｎ）は一段階前のＳ変換で得られた値

Ｓ変換を重ねるということは
ただアッカ−マンを倍々で繰り返してるわけではない

さらに引用
＞Ｓ変換2回目はＢ(61.61)だが、途中の段階のＢ(1.61）ですでに
＞61段階以上の倍々アッカ−マンが出現するし。
＞Ｓ変換3回目ではグラハム数以上の段階のアッカ-マン関数の拡張が行われる。

4番目のスレ（巨大数研究室の過去のゼミ参照)
の500番台終盤〜600番台あたりにこの辺の論議がのってます

つか、実際はおまいら3↑↑↑↑3の大きさも理解してないだろ。

誰も理解できんか

>>595
はあ？　誰に言ってんの？
じゃあ、お前はわかるのか？

595＝581？

>>596
おちけつ
>>595は別に「俺は理解できるがお前らは理解できねぇんだろ(ﾌﾟ」っていう意味じゃないでしょ。
ヽ(´ー`)ﾉﾏﾀｧﾘ

で、過去ログ読んでて思ったけど
ふぃっしゅ氏定義のg(x)なんだけど
g(2)が既にグラハム数を超えてるって本当？
グラハム数ほど大きくない気がする

もうちょっと良く読みなよ
g(2)なんて書いてないよ
2回目のS変換と勘違いしているようだが
g関数は2回目のS変換に使われる関数
2回目の値はg(61)です

>>599
そうだったのか。ｽﾏｿ。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024311743/331
を見てちょいと間違って理解してたようだ。

まだ全部読み終わって無いけど、
g(x)を括弧の中にいれると爆発的に大きくなるんじゃないの？
g(g(g(x)))って感じに。これは卑怯？

俺みたいな数学初心者が言うのもなんだけど、
ふぃっしゅさんってただ定義を繰り返してるだけじゃないの？
レベルの違いこそあれ
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
ってのを高いレベルでやってるだけのように見えるけど・・・
激しく勘違い？

あ、g(g(g(x)))とおんなじ手法、ふぃっしゅさんも使ってた・・・

>>600
＞g(x)を括弧の中にいれると爆発的に大きくなるんじゃないの？
＞g(g(g(x)))って感じに。これは卑怯？

すぐ上の>>580も読んでよ〜　コピペしておきます

つまりg(61)＞＞＞＞＞＞　〜　＞＞＞＞＞＞＞＞グラハム数
3回目のＳ変換ではgg函数なるものを使い、ﾜﾝﾗﾝｸｱｯﾌﾟするわけだが
gg(g(61))はgg函数に上のg(61)という巨大数を代入したもの
gg函数を、ｱｯｶｰﾏﾝＢ(x.ｙ)で表現するとＢ(1.g(61)）の時点で
g(g(g(g(〜【g(61)回】〜(g(g(g(61)))))〜【g(61)回】〜))))))
つまりg函数にg(61)という巨大数を代入した数をg函数に代入し‥‥という
繰り返しをグラハム数より大きいg(61)回重ねた数ということ。

>>601
＞あ、g(g(g(x)))とおんなじ手法、ふぃっしゅさんも使ってた・・・

それは手法というより、ふぃっしゅ氏が作った関数がそういう性質を利用して
すぐ上の変換の増大速度を飛躍的にあげていく過程で、その入れ子の数が
爆発して、それをさらに増大速度の速い関数を作る‥‥‥
という関数生成マシーンを作ったって感じだと思う

あなたが先ほどからやってることは、増大速度のエンジンの回転数をあげてる
だけ‥‥と言えばわかりやすいだろうか
そのエンジンで別のエンジンを作りさらに次のエンジンを‥‥‥
という増大法がふぃっしゅ数やチェーン及びその回転関数という所だと思う

>>602
こんな漏れに�dｸｽｺﾝ。
やっぱりふぃっしゅさんは偉大なのね。

g(x)からB(x,x)、さらにそこからA(n,n)って函数の変換というか
函数から函数への数値の引渡しを行ってるから
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
こんな風に勘違いしたのよ

>>603
＞そのエンジンで別のエンジンを作りさらに次のエンジンを‥‥‥

「そのエンジンで別次元のエンジンを作りさらにそのエンジンで次の次元のエンジンを‥‥‥」
この方が表現としてはいいかもしれない

単純に指数を積み重ねるよりもakの増大度の方が
高いからそっちを使ってるわけで、その性質を利用してＳ変換と言う
増大度をより高いレベルの変換が生まれた


例えば
a = 99999999999
b = a^a^a^a^a^a^a^a^a
c = b^b^b^b^b^b^b^b^b
にしても、増え方が一元的に同じではなくて

a = 99999999999
b = a^a…(a^a)…a^a
c = b＾b…(b^b…(b^b…(b^b)…b^b)…)…)…)　この階層をｂ回繰り返すのがｃ

というように、増え方そのものが変化していく構造を作れば
飛躍的に増大度はあがる。そういう考え方の転換が必要
これだけ多くの数学好きがやってきたんだから、それなりの意味はあるんですよ
私も最初はグラハム数が巨大すぎて(10年前にこの数に出会ったからね）
ふぃっしゅ数の方が、はるかに大きいってのに中々ピンと来ませんでした。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)

と定義を見つけたんですが、このf(n)は何の函数なのでしょうか？
3↑↑〜n個のタワー〜↑↑3ですか？

f関数は一回前のＳ変換で使用された関数なので常に変化するわけです
初期値が3だとして、Ｓ変換1回目はak(3.3)で61に成ります
　ここで重要なのは、Ｓ変換の2回目に成るとそこに出ているak式は
数値を直接出すためではなく、新たな関数を作るための式になっている
ということなのです（もっとウマク説明できないかな〜）
　Ｓ変換2回目ｇ(ｘ）＝Ｂ(ｘ、ｘ）で、ｘは前のＳ変換で得られた値61を
代入します。するとＢ(61.61)になり、そのak式を追っていくと
最後はB(0,n)=f(n)が出てきますよね。
そこでｆという関数は一つ前、つまりＳ変換1回目で使われた関数なので
ak関数がそのまま入ります、ak(ｎ、ｎ)というわけです。
そこで値が確定しますので、そこからまた上記のak式を解いていくわけです

三回目のＳ変換になると、最後のｆ関数は一つ前の関数ですから
g(x)関数になるわけです。最後までまたak式を計算していって
最後に出てきたB(0,n)=f(n)はB(0,n)=ｇ(n)でＳ変換2回目のｇ関数
にｎを代入して、そこの値が確定します。

こんな感じかな　わかりますか？　ぜんぜん専門じゃないので説明がヘタでスマソ

あとタワーはこの場合関係ないです。もともとタワーはｱｯｶｰﾏﾝが種になってる関数
なので、タワーに置き換えることは出来なくはありませんけど。ふぃっしゅ数のＳ変換
で使われるのはあくまで上記のak関数を基盤としています。

>>606
ありがとうございました。
まさにエンジンから別次元のエンジンを」ですね。
しかしアッカーマン函数は見れば見るほど完成した函数だと思います。
爆発的に増大しながら無限大には発散しないと。
自然数の環から飛び出さずにここまで爆発する函数なんて見たことありませんので。

定義は単純だけど爆発させるアッカーマン函数、素晴らしいです。
さらにアッカーマンからB(n,m)を作ったふぃっしゅ氏も素晴らしいです。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)
となってますが、このB()の引数となってるg()を入れ子にし、
さらにそれを単純に書けたらさらにより素晴らしい爆発を見せてくれそうですね。
g()の引数が1つなのがなんかさびしいですが。

いやー、本当に凄い。

>>607
お疲れ様でした。でも、あなたの方が私よりも理解速度がはるかに速いです。
おっしゃられてるアプローチは「名無しのような物体氏」が2番目のスレの最後から3番目の
スレにかけてトライしていたように思います。
まあ、とにかくふぃっしゅ数はその登場時からここまで巨大数スレの原動力and話題の中心に
なってきたわけで大したもんだと思います。
　そして、そのふぃっしゅ関数を驚異的に越えるチェーン回転関数にも度肝を抜かれましたし
それをまた信じられないくらい大きく抜き返して、とんでもない彼方まで行ってしまった
その後のふぃっしゅ関数の新ヴァージョンや、超無敵のビジービーバー関数の登場
さらに真のｎ重帰納法の論争など、ふぃっしゅ数から始まり思えば遠くへきたものです。

g(x) = B(x,x)についてですが
gの引数(x)を一つでなく二つにし、
g(x,y)として、yをB()の引数に渡し、xの回数だけB()をネストするというのはどうでしょうか？
たとえば、g(2,2)だったら
　B( B((2,2),(2,2)) , B((2,2),(2,2)))
= B( B(7,7) , B(7,7))
= B( B(6 , B(7 , 6)) , B(6 , B(7 , 6)))
= B( B(6 , B(6 , B( 7 , 5))) , B(6 , B(6 , B( 7 , 5))))
・・・と。
非常に強いと思うんですがg(x,y)のx,yが十分大きくてもふぃっしゅ氏には及ばないのでしょうか？
まだまだ井の中の蛙状態ですか？
　

>>608
おお、リロードしてなかったからレス来てるのわからんかった・・・

>あなたの方が私よりも理解速度がはるかに速いです。
いえいえ、そんなことは無いです。
私はじーっと見てもまだわからなく、質問してやっとわかったくらいですからw

まだver2ぐらいまでしか読んでなかったんですが、
ここからまだまだ展開があるのですね。
上のレスが恥ずかしい・・・。無知をさらけ出してしまった・・・。

>>609->>610
仕事があるので今日の夜にでもまたレスします。

おお。伸びてるヽ(´ー｀)ノ

>>609
B(x,x)をネストする、という手続きは定義の上でどう表記できるのか
興味があります。さっき試しましたが無理でした。バカです。

>>609
たぶん、その方がずっと大きくなるのでしょう
ただ、同様の拡張を目指した方に対して、ふぃっしゅ氏が言うには、
「その効果がＳ変換１回で吸収されてしまうのなら飛躍的に大きく成ったとは言えず
　Ｓ変換の回数の速度をいかに爆発させるか、を考えた方がさらに巨大な増大度が求められる」
ということだったと思います。
　仮に提案された変換をネストのＮをとってＮ変換と名付けたとすると、こういうことです。

Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換３回＞Ｎ変換３回‥‥

と、実際はすごい大きな差があるわけですが、一つ上のＳ変換で抜かれてしまう
のであれば巨大数のマクロな視点的には奇数・偶数のような関係になってしまい
Ｓ変換の数を爆発させるＳＳ変換が登場すると太刀打ち出来なくなってしまいます。
もし仮に

Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回〜Ｓ変換回100回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換グラハム数回〜‥‥

のような関係でも、上位の次元のＳＳ変換を関数化したVer2のｓ(n)変換をもって
すれば、越えてしまうのは簡単で、ふぃっしゅ氏のアプローチはVer1の定義以降は、もっぱら
そっちの方向で「ふぃっしゅ数」の拡大を目指したわけです。

Ver2では、
Ver1のＳ変換を　s(1)　
Ｓ変換の回数を爆発させる上位の概念であるVer1のＳＳ変換を　s(2)
と名を変えます。

s(1)変換はVer1では唯のＳ変換なので、
それを３回繰り返した数は>>602より、gg(g(61))なわけですが
ふぃっしゅ数の初期値の3をとりs(2)の1回目は、
そのs(1)3回分となります。
これをs(1)^3とします。以後のs(1)とs(2)の関係は

s(2)^1＝s(1)^【3】‥‥‥‥‥‥‥‥＝gg(g(61))
s(2)^2＝s(1)^【s(1)^【3】】　　
s(2)^3＝s(1)^【s(1)^【s(1)^【3】】】
s(2)^4＝s(1)^【s(1)^【s(1)^【s(1)^【3】】】】
となっていき
s(2)^gg(g(61))でとりあえず終了します

※実際は当初定義されたはVer2は、Ｓ変換つまりs(1)変換を繰り返す回数
　を増やしていくだけではなく
　そのs(1)を繰り返す回数と同じ数を代入するという定義があるのですが
　ややこしくなるので省略しました。

さらに
Ver1のＳＳ変換を　s(2)としたなら　
ＳＳ変換の回数を爆発させる上位の概念であるＳＳＳ変換を　s(3)として

上のs(1)からs(2)の関係同様に
s(3)^1＝s(2)^【gg(g(61))】
s(3)^2＝s(2)^【s(2)^gg(g(61))】
s(3)^3＝s(2)^【s(2)^【s(2)^gg(g(61))】】　　
‥‥‥‥
s(3)^〔s(2)^【gg(g(61))】〕
で終了
以後　s(3)からs(4)　さらにs(4)からs(5)も同様です。
そしてその、s(1)→s(2)→s(3)→s(4)というＳ変換の次元ｱｯﾌﾟの過程自体を
関数化してしまい
s(1)^1＝61
s(2)^2＝s(1)^【s(1)^【3】】
s(3)^3＝s(2)^【s(2)^【s(2)^gg(g(61))】】　　
‥‥‥‥とs(　)の(　)の中の数字つまり次元をあげていき
s(n)^ｎ　で終了　

この時のｎは、初期値が３(4かも？）なので、ｓ(3)の拡張の最終段階で求められた
s(3)^〔s(2)^【gg(g(61))】〕という数が入ります。

Ver3では、このs(n)のnを増やしていく関数を　増やす関数としてss(n)という変換を
用います。

ss(1)^1＝s(n)^nです
ss(1)^2＝s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】
ss(1)^3＝s（【s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】）^【s(【s(n)^n】)^【s(n)^n】】
‥‥‥
ss(1)^[s(n)^n]
ここからss(1)→ss(2)→ss(3)‥‥という展開は上記のs(1)→s(2)→s(3)と同様で
ss(n)^nで終了します。　この時のnは、ss(s(n)^n)^nで求められた数です。

そして、sss(n)^nさらにssss(n)^n　とどんどんsが増えていくたびに次元があがり
s…(n)…s(n)^nで終了します。
この時のnはs…(s…s(…【s(n)^n回の入れ子】…s)…s)…s)…s(n)^nで求められた数
※ここちょっといい加減かも

というように展開していきます。
さらに、この上の次元　
関数→関数を関数化→さらにそれを関数化　この流れ自体を関数化していく過程が
それ以降のVerﾅﾝﾊﾞｰということだと思います。ただしVer4は根っ子をakではなくてBB
の拡張を使うということに成っているので、上記の一連の流れからは別物と考えて
良いでしょう。
このような拡張でどこまでいけるかという感じになっていたときに、n重帰納法の話になり
根っ子がakのような二重帰納であれば、それはどこまで行っても二重帰納の範囲を出ないという
話になってから、展開が止まっています。

ただ、その肝心のｎ重帰納の定義があいまいなまま。
言い出した当人からも説明が無かったし。

おお、伸びてる・・・
>>613-617
すごいですねぇ。やっぱりふぃっしゅ氏には頭が上がりません。
S変換をグラハム数回や、s(n)を増やす関数ss(n)も簡潔に書いてますが
爆発的な増大度ですね。
Ver.4ではアッカーマン函数ではなくビジービーバー函数を使用してるとのことですが
最強に思えたアッカーマン函数も凌ぐ増大度を持った函数なのでしょうか？
・・・過去ログ漁ってきます。

>>612
確かにg(n,m)は例えばg(2,2)等定数なら
B( B((2,2),(2,2)) , B((2,2),(2,2)))と表せますけど
一般数g(n,m)で表すのは難しそうですね。

.　 g(n,m)
=　B( B( ...計n個のB()...B(m,m),B(m,m)...),B( ...計n個のB()...B(m,m),B(m,m)...))


('A`)

>>618
たぶんわかってらっしゃるとは思いますが‥‥。

＞すごいですねぇ。やっぱりふぃっしゅ氏には頭が上がりません。
＞S変換をグラハム数回や、s(n)を増やす関数ss(n)も簡潔に書いてますが
　↑
ここの『S変換をグラハム数回』というのは>>613の
＞Ｓ変換１回＞Ｎ変換１回＞Ｓ変換２回〜Ｓ変換回100回＞Ｎ変換２回＞Ｓ変換グラハム数回〜‥‥

の右の部分を言ったものだと思いますが、当然これはＮ変換がこの程度上回っていても
s(n)で吸収されてしまう差であるという点を示すために、わざと差を大げさに示した単なる“例”
に過ぎません。実際のVer2にはグラハム数はいっさい関わっていませんので念のため。
むしろVer2はグラハム数どころか、ふぃっしゅ数(Ver1)回よりはるかに多い回数S変換を繰り返す
わけです。

上記の説明は私が「わかったつもり」で書いたもので、そこにも間違いがある可能性も
ありますし、何より私が作者に無断で説明してしまったので
その私の説明がもとで誤解をまねき、間違った認識が定着してしまうと作者(ふぃっしゅ氏)
本人にも失礼なので、あえて確認した次第です。

>>618
＞Ver.4ではアッカーマン函数ではなくビジービーバー函数を使用してるとのことですが
＞最強に思えたアッカーマン函数も凌ぐ増大度を持った函数なのでしょうか？

ビジービーバーはさっぱりわかりません「ラージナンバーズ」のサイトを見てみるのが
一番よいでしょう。
ただ、ふぃっしゅ数及びその関数は現在の所、ｱｯｶｰﾏﾝ関数の延長上のために
二重帰納法の域を出ていないということに成るようです。
そこで三重帰納法が待望されるのですが、誰も真の三重帰納について語るのは
難しいようで中々定まりません。
三重帰納法の上位にさらに四重帰納法さらに五重帰納法があったとして
最終的に「ふぃっしゅ数重帰納法」というトンでもないものがあったとします

しかしビジービーバー(ＢＢと呼ぶ)は、それを越えてしまう関数だということです
（ただしＮが充分に大きな値を取った時です）
どのような構成的な関数をも超えてしまう、それがスーパー関数ＢＢ(Ｎ)なのだ
そうです。ただし今度は計算可能・不可能問題が出てきてしまい
最終的にはＢＢは巨大数スレでは反則技では？という意見も出て現在まで凍結されて
いるという感じです。

私はＢＢについては、スレを見て来てもその程度の認識しか持ち合わせていません。

最初の頃のスレの方で、時々話題に出ていた東京書籍の「数の事典」の中に
※グラハム数のことも書いてあるが定義は大きく間違っていた

戦前のﾚﾄﾛな元祖巨大数とも言うべきスキュイーズ数について次のような記述が
なされています。
「宇宙のすべての素粒子をコマとしたチェスを考えて、粒子の1個同士の交換を
　１手としたとき、『【３】回同じ局面が現われたときにゲームを終了する』という
　ゲームを定義した時に考えられるゲームの総数、それがおよそスキュイーズ数
　である」　という数学者の話を紹介しています。

スキュイーズ数はご存知のように10^10^10^34で　ここに登場している数から
見ると、とてつもなく小さいですが、普通の１０進法の０表記では宇宙には
収まらない大きさなので、まあ一般人が考える巨大数よりかははるかに大きい
数です。　それをゲームという状況に置き換えると【３】という非常に小さい数字
で言い表すことが出来ます。

このようなゲーム展開を関数化して【　】の数を増大させて逆に巨大数を作るという
アプローチはどうでしょうか？
まあ内容に限界がありそうだし、それでもＳ変換の増大にはかなわないか‥‥。

>>613
一連のふぃっしゅ数でak(n,n)を使っているのも、その文脈でいえば
無駄に話をややこしくしているだけのように思えるのです。
（と書いていったん投げ）

どのヘンがややこしいのだろうか

>>622にしろビジービーバーにしろ、値が計算で求まらないような｢関数｣を使うのはどうかと･･･。

いや〜、昨日の夜過去ログ読んで、寝る前に巨大数って凄いなーと考えてたら
何故か涙がちょっと出てきちゃいました。
g(n)が・・・　B(x,x)のネストは・・・
とか頭の中でぐるぐるしちゃって。
アッカーマンの爆発的増大度も凄いけど、
そのアッカーマンから作られた巨大数も
1+2+3+4+・・・+n = n(n+1)/2
とかこういうのが成り立つんだなーとか思うとまさに感動。
さらにこれらの式が帰納法で解いてしまうというのがまた凄い。
kが成り立つならk+1も成り立つ。

本当に1,2,3,4・・・と数えていって、一つの数字を数えるのにに一秒時間がかかったとして、
ふぃっしゅ数秒たったら数えていった数字はふぃっしゅ数にたどり着いてるんだろうか。
ふぃっしゅ数は本当に自然数なのか。数字なのか。

もう本当に自分がちっちゃなーと思う。

ビジービーバーの定義ってどこにあるの？

アッカーマン関数の定義をちょっといじらせてもらいます。
akm(0,b)=b+1, akm(1,0)=2, akm(2,0)=0,
akm(a,0)=1 (a>2)
a＼b..　0　 1　 2　 3　　　　4
0 　 　 1　 2　 3　 4　　　　5　 1+b
1 　 　 2　 3　 4　 5　　　　6　 2+b = 1+1+…+2
2 　 　 0　 2　 4　 6　　　　8　 2*b = 2+2+…+0
3 　 　 1　 2　 4　 8.　　　16　 2^b = 2*2*…*1
4 　 　 1　 2　 4. 16　65536　 2↑↑b = 2^2^…^1
a>=3でakm(a,b)=2→b→(a-2)

a(x)=2+x
b(x)=(a^x)(0)=2*x
c(x)=(b^x)(1)=2^x
d(x)=(c^x)(1)=2↑↑x
：
「こういう定義をm回繰り返してできる関数をakm(m,x)と書く」
……という言い方をしたらいきなり原始帰納関数から飛び出して
しまったので、それ以降ずっと感覚的にだまされていた格好に
なるのですね。実際にはこの言い回しをどう積み重ねても
2重帰納的定義の範囲を超えられないみたい。

なら2重帰納的であることが自明になるような定義のしかたを
考えるべきではないか。そうすることにより屋上屋の重ね方が
はっきり見えてきて、2重帰納的定義同士の比較が容易になる
のではないだろうか。

というわけでチェーンの定義を考えてみました。
つまり多変数関数なんて使わなくても定義できるという話。

（(a→)をm回繰り返し）→b→c=C(a,b,c,m)と書く。
関数X(a,m,b)と変換Y(c,b,f(*))を考える。（*: 写像渡し）

X(a,m,b)
m＼b.　1　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　3
1 　 　 2→1→1 　　　　 2→2→1 　　　　 2→3→1
2 　 　 2→2→1→1.　　 2→2→2→1.　　 2→2→3→1
3 　 　 2→2→2→1→1 2→2→2→2→1 2→2→2→3→1

Y(c,b,f(*))
c＼b..　1　　　　 2　　　　3
1 　 　 →1→1 →2→1 →3→1
2 　 　 →1→2 →2→2 →3→2
3 　 　 →1→3 →2→3 →3→3

C(a,b,1,m)=X(a,m,b)
c>1の時 C(a,b,c,m)=Y(c,b,X(a,m,*))
X(a,1,b)=a^b
m>1の時 X(a,m,b)=Y(b,a,X(a,m-1,*))
Y(1,b,f(*))=f(b)
Y(c,1,f(*))=f(1)
b>1,c>1の時 Y(c,b,f(*))=Y(c-1,Y(c,b-1,f(*)),f(*))

矢印回転だってこういう風に定義できるんでしょうね。

ところで628は｢2重帰納法｣って何のことだと思う？

ホームページをちょっと更新してみた

http://up.isp.2ch.net/up/6e0fc788ef04.zip

どんなもんでしょ

ネット環境整いましこヽ(´ー｀)ノ
更新しときました。いつもご苦労様です

>630
正直分かりません。
「ある関数の再帰的定義において、2個の引数が変化する」？
あと「関数列を定義するのは危険だ」というのが>628での考え。

ここで「引数の数は固定、特定の2個の引数だけが変化」と条件を
厳しくしたのが>629である……つもり。こういう制限をつけても、
増大度の面で本来の2重帰納的関数の範囲で作れるものと同等の
ものが実現でき……ればいいなぁ、という願望を語っちゃってる
わけです。


専門外の英語の論文なんて漏れには無理……

>>627
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/comp.html
ここに、英語のページが２つほどリンクされている。
日本語のページで、どこかないのかな。

チューリングマシンがどんなものかが分かれば
ビジービーバーを理解するのはたやすいと思われ。

チューリングマシンを説明してるところはいろいろあるけど、具体的なのは
ttp://www.f6.dion.ne.jp/~itake/twoone/cifer20.html
こことか

ttp://kitchom.ed.oita-u.ac.jp/~jyo/proh09/mkiribu/erabi.html
こことかはどう？

おまけ
ttp://member.nifty.ne.jp/mindstorms/gallery/k025.html

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln01.html#R78
これって3↑↑↑3の説明でしょ？
3↑↑〜↑↑3なんて書いてるからわからん

>>636
その説明でわからんようだと、どう説明してよいか
考え方は↑が増えても同じ

>>633
このスレッドを読み返してみたが、どうも
>>58-59 >>63 の計算が、ふぃっしゅ数の
定義を２重帰納的な表現（２重帰納そのものが
定まってないが）で書き直した式という
ことみたい。

ふぃっしゅ数はこういった表現では簡単に
書けない、と思われていたが、このように
記述できそうになったことで、流れが変わった
ように見える。

よく考えたら、だからといってふぃっしゅ数の
それぞれのバージョンの大きさそのものは、
大きくなったわけでも小さくなったわけでも
ないんだよね。

アク禁に引っかかってました。
>>638
ありがとうございます。（ていうかしばらく自分宛だと気づかなかった）

自力で考えている間にふぃっしゅ数バージョン5案のM2〜M3変換
をたどっていたらしい……しかもチェーンは>>56で十分すっきり
書けてますね。

ちなみに自分用語では
P変換： 写像の累乗列を対角化して写像を作る、つまりM2変換
S変換： 写像にアッカーマン漸化式を適用して対角化する
P超変換： 変換の累乗列を対角化して変換を作る、つまりM3変換
ちなみにP変換にP超変換をかけるとS変換になる
S超変換： 変換からアッカーマン風に云々？
　：

うわ、いつのまにかログがすいすい読めるようになって（泣）

>>63やはりいきなりｎ変数関数になってしまうのですね。
A(x,y,z)=〜のようなミニマルな定義でこれを突破できるのなら
もう何がなにやら。

双魚宮時代の次は宝瓶宮時代でしょ（命名ネタ）

>>638
そして、問題の焦点は、>>181-182の３重帰納とされて
いる式（いわゆるミニマルな定義）が、
>>56 >>58-59 >>63といった２重帰納とされている
式よりも増加率が大きい、ということをどうやって確認
できるかだと思う。

ここから先の検証が、誰もできずに止まっているみたい。
俺もしばらく考えてみたが、俺の力では無理っぽそう。

いつのまにかログがすいすい読めるようになったところで、
考えてみてもらえると嬉しい。

>>183の４重帰納、>>184のn重帰納の式については、
３重帰納が突破できるかどうかが鍵だね。

>>640
うわ、自分にレスしてどうする。

>>638ではなくて>>639。

考えてみますが、正確な議論とかは期待しないでください。
それよりもうすぐ夏休みが……

http://hobby.2ch.net/test/read.cgi/av/1061134403/768

ここでgoogolplexをグーゴルプレックスとゴーグルプレックスの
2通りの発音（日本語表記？）が紹介されてるんですが、
これは正しいんでしょうか？
わたしはグーゴルプレックスしか聞いたことが無いんで
ちょっと気になりました。

>>643
グーグルで検索したら

グーゴルプレックス41件
グーグルプレックス3件
- 億兆星精神(グーグルプレックス・スター・シンカー)
- グーグルプレックス社
- 2chのスレッド

というわけで、圧倒的に前者。英語の読み方も、日本語の
グーゴルプレックスに近いと思う。

グーゴルプレックスか‥‥‥
久々に超小さい数を聞いたな

>>181-182,>>194の3重帰納的定義を自分の主張に従って
　　 A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z))
＜　A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
　　 A(x,0,z) = A(x-1,1,z)
＜　A(x,0,z) = A(x-1,ｚ,z)
　　 A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＝　A(x+1,y+1,z+1) = A(x+1,0,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＜　A(x+1,y+1,z+1) = A(x+1,y,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)))
＜　A(x+1,y+1/2,z+1) = A(x+1,y,A(x+1,y+1/2,z))
えー何が言いたいかというと、この3重帰納的関数は、
S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
のと同等以下の増大度しかない、と思う、ということです。。


図書館に>>139の本がありました。が、
多重帰納的関数について直接触れている部分はないみたいです。

次はPeterとKleeneの”論文”を探すのか……

n重帰納的関数を研究してる人と高階の定義を研究してる人の間で
用語に行き違いが生じているのではないかって気が

それ以前にそれら用語の定義を誰も説明してくれないので
（数学やってる人なら当然知ってる類のものかもしれないけど）
われら素人はさっぱり話に参加できないわけですよ

ふぃっしゅっしゅさんみたいに懇切丁寧に説明してくれる人が
現れてくれれば言うことないのですが

そもそもそこまでの素人にはきついスレであろ・・・。

何をおっしゃる、このスレの住人の大半は素人さんですよ？

＞ えー何が言いたいかというと、この3重帰納的関数は、
＞ S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
＞ のと同等以下の増大度しかない、と思う、ということです。。

つまり、

1. >>181-182 は２重帰納程度の増大度を持つ関数であり、
　「真の３重帰納」ではない
2. そもそもあらゆる２重帰納関数よりも大きい「真の３重
　帰納」などというものはない
3. S変換の累乗列を対角化する（orチェーンの長さを変数化する）
　という操作は、２重帰納よりも増大度の大きい操作である

のいずれか、ということでしょうか。

そうだとすると、また流れががらっと変わって、というか前スレ
までの流れに戻って、３重帰納という概念を持ち出しても、
ふぃっしゅ数を超えることはできない、という可能性もある？

そもそも、２重帰納や３重帰納の定義が定まらんことにはなにも
分からないわけですが。

>>647
用語の定義については、ある程度までは巨大数研究室からの
リンクを読めば分かると思います。２重帰納、３重帰納については、
誰も定義を明確にしてないので分かりませんが。