1=0.999999999999・・・・・　その３

1 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:14

前スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1022253026/
その前
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/l50

２

3 ：前スレの980：03/02/19 21:17

新スレ立ててくれてありがとうございます。

4 ：前スレの980：03/02/19 21:22

私の意見をまとめマス。

0.9999…は　lim[n→+∞]{1-10^(-n)}　と定義します

定義より0.9999…は数列の極限値です

計算すると、　0.9999…＝1　となります

この式の意味は

「数字0.9999…9はその“9”の個数を増やせば増やすほど1に限りなく近づくが1にはならない」

です（ここがまだ疑問）

極限値には、「限りなく近づいて極限値になる」ものと「限りなく近づくが極限値にはなりえない」ものがあります

0.9999…は後者です

5 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:22

んじゃ、仕切りなおし。

0.999… という実数は、{ 1 - 10^(-n) } : 0.9, 0.99, 0.999, …
という数列の極限値であると考える、というのは OK?

6 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:25

1000000だと
1000000=9999999.9999999999・・・・になります

7 ：前スレの980：03/02/19 21:26

>>5
「極限値である」という定義では0.9999…＝1
は自明ですから話は終わってしまいませんか？

8 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:28

まず論点は

数字「0.9999…9」の9の個数をかぎりなく多くしたとき，
この数字が1に到達しうるかどうか

にしませんか？

9 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:30

>>8
「限りなく大きくする」の言葉の意味がはっきりしない。
極限をとるでいいの？

10 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:32

>>9
「極限をとる」＝「極限値を求める」＝「限りなく近づく値を求める」
ですよね？

11 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:35

>>9
「9」の個数がn個で、そのnを限りなく大きくするとは
lim[n→+∞]を考えるという意味です

12 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:37

>>11
そうだとすると、１になると思うが。

13 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:39

>>12
「極限値」は1です。疑いの余地はありません。
ただ、1に限りなく近づいて「1になり得る」のかというと
それは別問題ですから
厳密に検討しないといけないですよね？

14 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:42

ごめん前スレの987だけどさ
飯食ってた

何でも質問してよ

15 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:42

数列｛ａ_n＝1-10^(-n)｝について、

　すべての自然数nに対して　ａ_n＜1

は自明です。つまり、nをどれだけ大きくしたところで
1に限りなく近づくことはできても1にはなりえない。

16 ：こんな説明でどうかな？：03/02/19 21:43

0.99…9 と "有限個"の 9 では 1 に到達しない。
しかし、今問題にしてるのは 0.999… という 9 が限りなく続く数だ。
"限りなく" という表現を考えてもらいたい。

a_n = 1 - 10^(-n) = 0.999…9 (n 個) と n 個の 9 が並んだ数を考えてみよう。
そうすれば 1 - a_n = 0.00…001 だ。
だが、これでも n はまだ有限だ。
9 の個数はは "限りない" のだから、n をまだまだ大きくしなければならない。

n をいくら大きくしても、1 と a_n の差は 0 になるわけではない。
しかし、たとえばその差を 0.01 より小さくしろ、といえば n > 2 とすればいいし
0.000001 より小さくしろ、といわれても、n を大きくすれば可能である。
少し考えれば、どんな正の数をとってきても、1 と a_n の差をそれより小さくできる。
もし 0.999… と 9 が限りなく続く数が
　　『もし 1 と異なる数だったら』
どうなるだろうか？
1 - 0.999… = c > 0 と書けるが、c は正の数である。
さっきの議論から、n を大きくして 1 - 0.999…9 を c より小さくできる。
ということは、0.999… の 9 の個数に限りがあるということになってしまう。
だから、こう結論付けなければならない: 9 の個数が限りないならば 0.999… = 1

# 無論、これを精密に、また一般的にしたものがε-N 論法だ

17 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:43

>>13
a_n={0.9,0.99,・・・}としたとき、0.9999・・・＝lim{a_n}

18 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:44

>数字「0.9999…9」の9の個数をかぎりなく多くしたとき

「かぎりなく」は文字どうり「限りがない」つまり終わりの無いということ、
「かぎりなく多くしたとき」は何かの作業をした（しきった）を表意すると思われる。
終わりの無い作業をやり終えるとは、矛盾した文章ではないか？

19 ：14：03/02/19 21:45

いやだから、 1に限りなく近づいたら1になるんだよ
1になっていないということは、限りなく近づいてはいないってこった。

「nをどれだけ大きくしたところで」この表現がポイントかな
nが有限のときは1より小さいのは当たり前

20 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:47

9の個数を「限りなく」多くすることが不可能だとすると、

n→+∞

は何を表しますか？

21 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:48

で、この発言だけどさ、

「それが「極限」の定義ですか？
ではlim[x→+∞](1/x)＝+0だから
1/xは0になるんですか？
lim[x→+0](1/x)＝+∞だから
1/xは+∞になるんですか？」

なんでこんなことを言い出すのかがわからない。
0.999・・・・というのは0.99999999・・・・9（有限桁）とは違う

22 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:49

「9の個数を「限りなく」多くする」

これは、数列0.9,0.99,・・・の極限をとるということ
キミは自分では極限を扱っていないつもりらしいがそうではない

23 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:51

「限りなく近づくが極限値にはなりえない」

こういう状況は、極限値が一意に定まらないときに起こりうる。
実数列ではそんなことは起こらない。

24 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:51

>>21-22
しかしそれでは∞桁の数を考えるということになってしまいませんか？
“∞”は実数として定義するのですか？
だいたいそれではわざわざlimを使って表記する必要はないのでは？

25 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:56

「n→+∞のとき」

とは「n＝+∞」のときではないですよね？

ではやはり「近づける」ということになるのでは？

26 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:56

n→+∞ っていうのは、ｎを大きくした時の極限をとるって言う意味。

27 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:57

有理数列の極限を「∞桁の数」と呼びたいのならそう呼んでくれ
桁数というのは有限の桁のときのみ意味がある

なぜ∞を持ち出すのかがよくわからんが、∞は普通実数に含めない。

＞だいたいそれではわざわざlimを使って表記する必要はないのでは？

何について言っているのかがよくわからん

28 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 21:58

話がぐるぐる回っていますが、もう一度だけ訊きます。
「極限をとる」＝「極限値を求める」＝「限りなく近づく数字を求める」
は正しいですか？

29 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:59

＞前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q

これ以上質問しても無駄。
極限のところを勉強しなおせ。

30 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 21:59

>>28
正しい。

31 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:00

>>29
皆さんそう言って最後は放置です。未だ明快な答を頂けません。

32 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:01

＞前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q

釣りか？何の解答が欲しいの？

33 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:03

>>32
まあまあ、おちけつ。

34 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:04

>>30
「その数字に限りなく近づく」＝「その数字になる」

がわかりません。その数字になるのなら、初めから

1-10^(-∞)＝1　と書くでしょう？

なぜわざわざ　lim[n→+∞]｛1-10^(-n)｝＝1

と書くのですか？

35 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:04

16 だけど…

"明快な答え" を書いたつもりだけど、あれでもまだ不満かな？
どこがわからないか書いてほしい。

36 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:05

＞「その数字に限りなく近づく」＝「その数字になる」

だから本読めって！！！！その等号は正しくないよ。

37 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:07

>>36
「1に限りなく近づいたら1になる」
と言う方も上のほうにいますが？

38 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:07

>>34
わざわざ0.99999・・・・=1と書くことに意味はない
だからここに議論に加わっていない人達はみんな馬鹿馬鹿しいと思ってるさ

39 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:08

>>37
それは間違っています。っていうか極限値の定義を言ってみ＞前スレの980

40 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:11

>>39
「1に限りなく近づいたら1になる」だろ

41 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:11

「限りなく近づける」＝「極限をとる」という意味でつかってるよ。＜９８０は

42 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:12

>>39
では>>19さんは知ったかぶりですね。

極限値の定義ですが、無限数列｛ａ_n｝において、項の番号を限りなく大きくするとき、
ａ_nが一定の値αに近づく場合αを数列｛ａ_n｝の極限値といいます。

43 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:12

＞「1に限りなく近づいたら1になる」だろ

・・・。ネタ？

44 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:12

>>43
電波の方ですか？

45 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:14

誰が正しいのかわからなくなってきました（泣

46 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:15

>>44
釣り師はどっか行け。

>>45
もう一度疑問をupしろ。

47 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:16

殺伐としてきますた。

48 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:17

>>46
まって。「1に限りなく近づいたら1になる」を承認するかどうかで
結論は変わりますが。

49 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:17

1に限りなく近づく＝極限をとったら1になる

1に限りなく近づいたら1になる＝極限をとったら1になるものの極限は1

50 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:17

43は釣り師

51 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:19

もうすこし、マターリしる

52 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:19

＞「1に限りなく近づいたら1になる」を承認するかどうかで結論は変わりますが。

意味不明。

53 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:20

>>50
真面目にやっているつもりですが・・。

54 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:20

>>52
とりあえず、>>4にかいてある＜９８０の主張

55 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:21

トリップつけて釣りですか？いいかげんにしろよ

56 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:22

頼むから、おちけつ。

57 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:23

＞極限値には、「限りなく近づいて極限値になる」ものと「限りなく近づくが極限値にはなりえない」ものがあります

はぁ？

58 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:24

>>56
はい。漏れは釣り師じゃないよ。

59 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:24

落ち着いて、数学の論理できちんと語ってクダサイ。。

60 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:25

43は放置の方向で。
真面目に議論する気が無いようです。

61 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:26

>>60
まじめにやってるって！！>>57の説明をしてくれ＞９８０

62 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:26

>>57

たとえば

lim[n→1]n＝1　が前者

lim[n→+∞]｛1-10^(-n)｝＝1　が後者

のつもりで書きました。どこが違いますか？

63 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:27

有理数体の有理数列{1.4,1.41,1.414,14142,・・・・}
は実数列としてみれば√2に収束する
しかし、有理数列としては√2を集積点にもつが√2には収束しない。

今は実数列の話をしているので余計なﾁｬﾁｬはいれないように。

64 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:28

>>62
あんたまだそんなこと言ってんのかよ・・・・・

65 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:29

>>62
まったく同じ。

66 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:30

>>65
しかし前者はａ_n＝1となるnが存在しますが（n＝1）
後者はそのようなnはないですよ？

67 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:31

>>66
その通りだけど、それがなにか？

68 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:32

>>65
それが「ある値に限りなく近づくがその値にはなりえない」
の意味です。

69 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:32

＞しかし前者はａ_n＝1となるnが存在しますが（n＝1）
＞後者はそのようなnはないですよ？

さっき極限の定義を書いていただろ・・。それを素直に適用してみ。

70 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:34

lim[n→1]n＝1　　　　　　　　　これはf(n)=n という関数の収束
lim[n→+∞]｛1-10^(-n)｝＝1　これは数列の収束

そういう違いがあるにはある

71 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:38

>>70
９８０はそういうことをいってるのではないと思われ。

72 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:40

>>70
確かにごっちゃにしてました。すいません。
では、後者を関数g(n)の収束と見たとき、やはり二つの収束のあいだには
違いがありませんか？

たとえばf_1(x)＝x+1と，f_2(x)＝{(x^2)-1}/(x-1)
についてlim[x→1]の極限値は共に2です。しかし
f_2(1)は定義されないのでf_2(x)は2になることはないと思います。

73 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:41

（72の続きです。）

それが「ある値に限りなく近づくがその値にはなり得ない」
の意味です。どうでしょうか？

74 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:42

＞f_2(1)は定義されない

定義されないのではなく、定義していないだけ

75 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:42

漏れは降ります。

76 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:44

>>74
関数f_2(x)の定義域はx≠1ではないのですか？

>>75
逃げないでくださいよ！私も必死に考えてるんです。

77 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:44

>>72
何度も言うが、実数の世界において、
「ある値に限りなく近づくがその値にはなり得ない」
という状況はあり得ない。

それを実数の連続性という

78 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:45

>>76
x=1でも定義出来て立派な連続関数になる。

79 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:47

>>77
「実数の連続性」は聞いたことがあります。（すいません勉強不足で）
しかしもし　g(n)＝1　になるのだとすれば
それはnがいくつのときですか？
それはnが「限りなく大きい数」のときですか？

80 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:48

>>78
x＝1でどう定義されるのですか？

81 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:49

>>79
だから、g(n)＝1となるnは存在しない
なぜそれが不満なのかがわからない

f(n)=n　がn→1のとき1になるというときも、nが1ではないときは
決して1にはならない。

82 ：４３ ◆CW6LlqZOVU ：03/02/19 22:49

>>77
完備性だろ・・。いい加減釣りはやめろよ。

>>76
きりがないよ・・。

83 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:50

>>80
f_2(1)=2

と定義する

84 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:52

>>83
私はそのような定義はしていませんよ。

85 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:53

７７の沙良氏上げ

ぷっ

86 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:54

>>82
逃げたんじゃないのか？早く消えろよ
完備性＋Archimedes性は連続の公理に使えるんだから
言葉の綾として流してくれよ

87 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:54

>>77さんは間違ったことを言っているんですか？

88 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:55

>>84
だから、定義されないのではなく君が定義していないだけ

89 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:56

とりあえず、もちつけ

　　　　　／＼⌒ヽﾍﾟﾀﾝ
　　　／　／⌒)ﾉﾍﾟﾀﾝ
　 ∧＿∧ ＼（(　∧＿∧
　（； ´Д｀））'　））（・∀・；）
　/　　⌒ノ　（ ⌒ヽ⊂⌒ヽ
.（O　　ﾉ　)￣￣￣(）__ 　）
　）_）＿）（;;;;;;;;;;;;;;;;;;;）（＿（

90 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:56

>>87　43が釣り師なのは確定。もう相手にするな

91 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:56

みんな、銀河鉄道９９９でも見ようぜ。

92 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:57

論点がずれてきてないか？

93 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:57

>>88
定義する必要がないじゃないですか！
私がf_1(x)と比較するためにf_2(x)を作ったんですから。
言ってることがめちゃくちゃです。

94 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 22:58

ひとまず今日はもう寝ます。明日学校だし。。。
みなさん、お付き合いして頂いて本当にありがとうございました。

95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:58

>>90
>>77は４３のレスではない罠

96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 22:59

９４たん、おやすみなさい　　　

97 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:00

確かに、論点ずれてる。原因は>>70の予感。

つーか９８０は高校生かな？
>>16を普通にスルーしたし。

98 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:00

まとめ

９８０：dqn
４３、７７：釣り師

99 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 23:01

私は高校２年生です。

100 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:03

>>93
ああわかった、f_1とf_2は違う関数ということにしよう。
で、それで何が言いたいのかな？

101 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:04

１００＝釣り師

102 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:06

みんなは、９９９が辿って行くごとに増えつづけて居ると思って居る所があるんだろ。
実際には下位の桁も上位の桁も同時に存在することを認識できない。

103 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/19 23:06

>>16の証明は完璧だと思いました。
詳しくやってないから言葉の意味まちがってるかもしれませんけど
ようはδ－ε論法というやつですよね？
極限も本当はεを使って定義するんですよね？
ただ>>43さんの言ってることがわからなかったのでここまで
ズルズル引きずってしまったというしだいです。

104 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:06

＞たとえばf_1(x)＝x+1と，f_2(x)＝{(x^2)-1}/(x-1)
＞についてlim[x→1]の極限値は共に2です。しかし
＞f_2(1)は定義されないのでf_2(x)は2になることはないと思います。

だから、極限の話をしているんじゃなかったのか？

105 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:08

>>103
自分がいかに馬鹿であるか、ということがわかったのならそれでよい

106 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:08

＞「1に限りなく近づいたら1になる」

まだ、そんなことを逝っているのか？

107 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:09

>>106
実数列の話では正しいだろ？
なんか異存あるか？

108 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:09

>>103
「限りなく近づける」というのは曖昧な表現だからね。

109 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:10

１０６は９８０に対してのレス

110 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:11

釣り師かいっぱいｗ

111 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:11

だから、

1に限りなく近づいたら1になる＝極限をとったら1になるものの極限は1

という意味で使ってるの。

112 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:12

「限りなく近づく」という表現を禁止しよう。
そうすれば誰も混乱しない。

113 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:13

>>107
１０６だ。あくまでも極限の定義から出てくるイコールだろ？
そこのところをはっきり区別しないから９８０が混乱しているのだろう。

114 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:13

>>111
そうだけど、そういう意味にとってない奴がいるような気がしたから、
曖昧といった。

115 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:15

突然だが、

実数とは無限小を０とみなす立場。
無限小を 0 とみなさないならば、 0.999…　< 1 は正しい。

もちろん 1 - 0.999… は(正の)無限小。

だから「実数においては」 0.999… = 1。これでどう？

116 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:18

＞これでどう？

またわけのわからんことを・・。

117 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:18

>>113
誰が極限以外の話をしているんだ？

118 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:20

>>113
極限を使わずに限りなく近づけてみてください。

119 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:21

＞１１７

９８０だろ（ｗ

横レスですた

120 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:21

>>115
無限小の定義は？

121 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:23

＞極限を使わずに限りなく近づけてみてください。

　　　ネ申？↑

122 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:23

９８０のような馬鹿が二度と発生しないためにはどうすればいいのだろうか

123 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:24

FAQ でも作る？(w

124 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:24

>>119
９８０は「極限をとる」＝「極限値を求める」＝「限りなく近づく値を求める」と言ってる。>>10より

125 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:25

ちょっと待って、

「限りなく近づけるというのは極限をとること」

たったこれだけのことをまだ理解していない人がいる

126 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:26

＞１２４
９８０は「極限の定義としてのイコール」と、
「実数のイコール」の区別がわからないんじゃない？

127 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:30

＞極限の定義としてのイコール

言おうとしていることがｲﾏｲﾁわからんが

128 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:31

>>126
もう少し詳しい説明キボンヌ。

129 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:32

おやおや、まだ馬鹿が潜んでいるようですね。

0.999・・・・=1

これは数列の極限値としてのイコールですが、
これが実数のイコールでないとしたらなんなんですか？

130 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:33

>>127
そのままだろ！

131 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:33

＞極限の定義としてのイコール

{a_n} が(略)であることを a に収束するといい、
　　lim[n→∞] a_n = a
と書く。この等号が実数の等号と同じ性質を持つかどうかは証明を要する。

ってことでない？

132 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:35

>>129
正確には0.999・・・・≡1(右辺を左辺で定義）と書くべき。
それは通常の＝とは別物。

133 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:37

(右辺を左辺で定義）は（左辺を右辺で定義）の間違い。

134 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:38

痛い１２９がいるスレはここですか？

135 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:39

>>131-132
あのさあ、極限値が実数なのはわかるでしょ
0.999・・・・というのは実数として定まっているわけ。
その上で、

0.999・・・・=1

が実数の等号として成り立つかどうか、が問題だったわけ。
そのへん理解しているのか？

136 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:41

131=132=134

このスレでずーっと馬鹿な発言をしているﾔｼ

137 ：１３１＝１３２：03/02/19 23:43

>>136
１３４は俺じゃない！もちろんマジレスだ。

138 ：１３１＝１３２：03/02/19 23:44

っていうか俺間違ってる？

139 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:46

＞この等号が実数の等号と同じ性質を持つかどうかは証明を要する。

数列{a_n}が実数aに収束しているときにそう書くわけだ。
つまりその等号は実数の等号なわけ。

140 ：１３１＝１３２：03/02/19 23:46

>>135
よく考えてみる

141 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:46

>>136-138
131 は俺なんだが…。俺は 132 でも 136 でもない。

>>135
その問題は解決して、なんか違う議論してたんじゃなかったのか？
何の議論なのかはいまいちよくわからないが…
俺は >>127 を受けて『極限の定義としてのイコール』の定義を(勝手に予想して)書いただけ。

142 ：１３２＝１３３：03/02/19 23:49

>>141
スレ板間違えた。すまん。

143 ：１３２＝１３３：03/02/19 23:50

＞数列{a_n}が実数aに収束しているときにそう書くわけだ。
＞つまりその等号は実数の等号なわけ。

ここに抵抗があるんだけどなぁ・・。誰か説明してくれ。

144 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:52

>>131-133
煽りでも何でもなく、君たちは正しい。
もう寝なさい。

145 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 23:55

lim{a_n}というの{a_n}がCauchy列であれば実数として定まっている。
lim{a_n}は極限値が何であるかに関わらず、実数として存在している。

実数aを、数列{a_n}の極限であるということをハッキリさせるために、

a=lim{a_n}

と書いているだけ。両辺は実数だし、これは実数の等号。

146 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/20 00:00

>>一部の人へ

なんか私と他の人ごっちゃにしてますか？私はちゃんと９８０でｶｷｺしますから。
あと、知ったかぶりの人かなりいるようですけど、見ていて腹が立ってきます。やめてください。

>>皆さんへ

私は数学的に厳密な手順と同時に、感覚的にも理解しやすい答を待っています。
贅沢言いますけど、ここには凄い人がたくさんいますから。

※前スレより関連ものです。

「a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される。
a ≦ 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、 a = 1 は許される。 1 = 0.9999・・・・なら同じ意味に見えるな。
概念をつかめ、とかそんなんじゃなくて上手く説明できるヤシ募集中。」

「１個の白い碁石がはじめにある。
９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９。
９９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９９。
９９９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９９９。
この操作を無限に繰り返しても、黒い碁石の濃度は１にはならない。」

147 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:01

ε-N で極限を定義したときは極限値がある一つの実数に定まるかどうか自明でない(と、俺は思う)。
# もちろん、極限が一つに定まることは簡単に証明できるが。
それを踏まえれば lim a_n = a, lim a_n = b のとき a = b であるか
つまり、実数の等号の性質を満たすかどうかは、わからない。
そういう点から見れば実数の等号と同じとみなしていいかは微妙。
証明が必要という論拠だ。

極限値が一つの実数に定まるということを自明とするならば、
無論、実数の等号と同じ性質を持つこともまた自明だろう。

148 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:03

＞a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される

＞この操作を無限に繰り返しても、黒い碁石の濃度は１にはならない。

ここがまったくのデタラメ
おやすみ

149 ：前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q ：03/02/20 00:05

>>148さん
私が何のために先ほどのｶｷｺをしたのか
あなたは全く理解してくれていませんね。
ちょっぴり悲しいです。

150 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:09

>>146
＜感覚的な理解＞なんて意味ない。
感覚というのは、正しく理解してはじめてついてくる。

151 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:09

＞極限値が一つの実数に定まるということを自明とするならば

そのくらいは証明済みなのは前提にしたいものです。
証明も２行で終わりますし。

152 ：前スレの980◇CYShH4Cn.Q：03/02/20 00:15

>>150
あなたの説明が下手すぎるから、
という可能性を忘れてはいけません。

153 ：150：03/02/20 00:17

>>152
おい、俺を誰と間違えてるんだ？
理解できないのを人のせいにするな。

154 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:18

教わる側の理解する能力が絶望的という可能性も忘れてはならない

155 ：150：03/02/20 00:18

スマン。。。逝って来る

156 ：前スレの980◇CYShH2Cn.Q：03/02/20 00:19

>>153 >>154
かかったな（藁
お前ら頭悪いくせによく言うよ。

157 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:21

>>153　>>154　>>156　みんな馬鹿ｗ

158 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:22

釣り師のフリをした馬鹿よりはマシだよ

159 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:26

終わり？

160 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:27

980の疑問点は解消されたんですか？

161 ：前スレの980◇CYShH2Cn.Q：03/02/20 00:27

ここにいる香具師みんな馬鹿。
わかってないのにやたら喋りたがるからすぐボロが出る。
だいたいお前らがもっと賢こけりゃこんなスレPart3まで続くかっての。

162 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:28

◇CYShH2Cn.Q
↑

帰りたまえ。

163 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:29

ていうか前スレ980=152=156だろ？

あと、知ったかぶりは一人だけだろ
前スレで上限の定義を知らなかったﾔｼ（ｗ

164 ：115：03/02/20 00:32

>>116 >>120
無限小とは 0 に近づく数列のこと。
詳しくは無限小解析参照。
# 似たものとしては今井実数が有名か…(鬱
# あれも似非無限小を扱ってはいるんだよなぁ・・・

ちなみに無限小解析はきちんとした数学。
気になるならぐぐれ。

>>146
無限を認める立場では 1 にはならない。
すなわち無限小,無限大を加えた数(超数)の中で考えればきちんと無限小の差が残る。

実数の中だけで行えば, ε-N の証明で問題なし。
115 でも言ったが, 超数の立場で言えば, 実数とは　無限小 = 0　とみなした数の事だ。

165 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:33

◇CYShH2Cn.Q←本家をこえてＤＱＮ決定

166 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:35

conjecture：
non-standardを持ち出す奴の99％はnon-standardをロクに知らない

167 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:35

>163
いたな。そういうヤツ

168 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:37

＞無限小とは 0 に近づく数列のこと

ギャグですか？

169 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:39

>>149
感覚的に、とはあなたの感覚的にってことですよね。
過去レスからあなたは、
　１．lim[n→+∞]{10^(-n)}　=　0 だが
　２．10^(-∞)　=　0　は違う。
と考えてる人だと勝手に分析。よってまず２の私のイメージを、、、

例えば、10^(-5)とは0.00001に等しい。つまり10^(-n)とは、
0.00・・・と0をn個並べたあとに1を書いた数に等しい。
このことから10^(-∞)とは0.00・・・と0を無限個並べたあとに
1を書いた数に等しいことになる。
ここで”0.00・・・と0を無限個並べる”とは、限りなく0が続く
状態であるから、”0.0000・・・と永遠に0しか出てこない”と
言い換えることが出来る。”0.0000・・・と永遠に0しか出てこない”
状態が”＝0”と言わない理由が見つからない。よって”10^(-∞)=0”。

>a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、
>a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される
とは a = 1 - 10^(-∞) が許されるか？　と言い変えることが出来
るが、”10^(-∞)=0”なのだから当然許されない。

碁石の問題も同様。

170 ：115：03/02/20 00:44

>>168
キースラーもロビンソンもギャグを本にしてたのか・・・

「コーシー列が収束するような数」を実数と「定義」したんでしょ？
どこら辺りがギャグなの？

171 ：115：03/02/20 00:48

>>166
超べきと数列の関係考えたことある？

172 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 00:49

超DQNの言うことは意外と正しいのかもね！
実例：>153->155、>168

173 ：153：03/02/20 00:53

>>172
まだＤＱＮ扱いしますか。･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･

174 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 01:13

終わりか？

175 ：115：03/02/20 01:27

ネタにまじレス、ｶｺﾜﾙｲ?

176 ：115：03/02/20 03:56

眠れない・・・

ついでなので。厳密に言えば
0.999・・・　という表現は超数においては一意に定まらない。

a = {0.9, 0.99, 0.99, 0.999, …}　という列も、
b = {0.99, 0.9999, 0.999999, …}　という列も
0.999・・・を表していると考えられるが、これは超数においては区別される。
ちなみに　 (1-(1/n)) < a < b < 1 (for all n)

# a < b if ∃N ∀k>N, a(k) < b(k)
## 一般に、有限点を除いて成立する性質は保存される

一方で実数を「有理数のコーシー列を用いて定義」すれば a = b = 1。
なぜなら, この実数構成における本質は「０に近づく列」を「０」と「定義する」ことであり、
a, b は 1 に近づく数列だから。
＃もちろんこの構成はデデキントの切断と同値。

「０に近づく列は０と定義」したら
0.999…が well-defined になって、その値が１。

要するに「０に近づく列全体」を一点とみなすのが実数。
互いに違うとみなすのが超数。その差は無限小って事。

これでどう？

177 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 07:17

超準解析の話は人がはけた時にしないと場を混乱させるぞ。

178 ：115：03/02/20 10:45

確かになー。
でも分かれば ε-N より明快だと思うんだけどなー。

直観の回復という意味でも、
数の構成後、無限小を定義するときに自然にε-N が出てくるっていう意味でも。

179 ：１３２人目の素数さん：03/02/20 12:26

両方３で割ったら同じ値になるってことでもういいんじゃない？？

180 ：784：03/02/20 12:39

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181 ：１３２人目の素数さん：03/02/21 21:19

哲学板へ持っていってはどうかと話をややこしくしてみる

182 ：１３２人目の素数さん：03/02/21 21:52

むしろ向こうに引き取ってもらいたい。資源ゴミだし（ｗ

183 ：小川君：03/02/21 23:18

１ってどこだよ？１を教えてくれよ！
１の正確な位置を教えてくれよ！（やまだく～んっ！）

実数は極限で定義されている。
０．９９９、、、は何か？
１だよね。

ノットイコール１だワンっ！（名犬しし丸）
と言うためには、ソノ極限による定義は採用できない。
まぁ、てきとうにウェルジェファインドな定義をしてやれば、
ワンっ！と言えるんだね（きゃはっ）

ソノ極限を採用していなくてもダイジョウビなのか？
と思うよね。でもね、マジで１の位置さえ分からない世界だから、
問題ないよ（ウヒー）、な！？ソノ極限を採用しないからといって相対関係が
把握できなくなるわけでもあるめぇ（コンチクショー）
と僕は思います。問題があると思うのなら、１の位置を教えてくれよベイビー！？

わけあって、２ちゃんに書き込みする気はなかったんだが、１１５にシンパシーを
感じたんだ。シンパシーのエナジーだね。（恥ずかしい、、、（恥しがり屋さん））
ぼく、ザーサイが好きです。おっぱい回路３乗おっぱい回路３乗おっぱい回路３乗。

184 ：１３２人目の素数さん：03/02/21 23:42

きっしょ

185 ：１３２人目の素数さん：03/02/22 03:20

たとえば徳島の片田舎でスカート穿いた男性が
天皇廃止と画期的な速読法を1つにまとめた本について解説していたとしよう。

彼の名は小川。小川としておこう。
普通の人は小川と出来るだけ関わりあわないように注意するだろうて。

186 ：１３２人目の素数さん：03/02/22 10:24

(1/a)*a=1??

187 ：１３２人目の素数さん：03/02/22 12:30

なんか、「限り無く」ってことばに惑わされているような
1＝0.999…
を動的なイメージで考えるとわかんなくなるよ

188 ：age：03/02/22 23:08

>>0.999…
糞スレ立てんな

189 ：sage：03/02/22 23:13

>>187.999・・・
んなことでいちいちageるなや

190 ：１３２人目の素数さん：03/02/23 13:19

もっと世間のためになる数学はしないんですか？

191 ：１３２人目の素数さん：03/02/24 05:11

これくらいの事が出来ないと世間のためになる数学も出来ない気がするとマジレス。
しかし煽りとしても190の書き込みは見てて恥ずかしいね。

192 ：１３２人目の素数さん：03/02/24 14:11

結論　>>190は馬鹿

193 ：１３２人目の素数さん：03/02/24 21:59

>>191

気がする･･･

この言葉に僕らは何度振り回されたのだろう。

「必要な気がする」と、いらない物を買った。

「知らなきゃいけない気がする」と、無駄な知識を溜め込んだ。

今振り返ると、あれはいったい何の役に立ったのだろう。

本当に必要だったのだろうか。

僕はそんな気がしてならない･･･。

結論　>>190は馬鹿

194 ：sage：03/02/24 22:00

>>193
あきらめてこのｽﾚは下げましょう

195 ：191：03/02/25 04:58

私が悪うございました。

196 ：１３２人目の素数さん：03/02/25 14:50

>>195
気にするな。馬鹿は>>190　これが結論だ。

197 ：１３３人目の素数さん：03/03/13 20:18

>>190
Gaussが泣くぞ！！！！

198 ：梶谷　拓人：03/03/13 20:51

age

199 ：梶谷　氏ね：03/03/13 20:54

sage

200 ：梶谷　氏ね：03/03/13 20:57

199.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999・・・

201 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:10

この論争に遅ればせながら加わりたいと思います。
私の学部時代の指導教官が高校の先生方を対象とした、
数学教育のあり方についてのセミナーで次のような話をされたそうです。

・0.9999999…＝1
・lim[n→+∞]{1-10^(-n)}=1
この二つの式の等号は正しいか否か？
（つまり記号の意味が同じ物か否か）

高校の先生方は「違う」「同じ」がほぼ同数だったそうです。
結論から言えば、教官は上の等号は同じもので、
普通0.9999999…と書いてあれば、下の左辺の極限の式を思い浮かべるのが
自然であり、極限の定義を知っているのなら二つの等号は同じ意味だと
解釈するべきなのだそうです。
（・・・教官は高校教師の不勉強を激しく嘆いておられました）

つまり、0.9999999…の定義が下の左辺の式である以上、
＞「極限をとる」＝「極限値を求める」＝「限りなく近づく値を求める」
などの言葉の違いによる話は全く関係ないのです。

ちなみに私の個人的な感想は、大学でε-δ論法などを習っていない
普通の人がこの数式を見れば、混乱したり猜疑的になるのは無理もないかと。

哲学の人に対しては口を噤みます。

202 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:14

>201

長いョ

203 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:18

>>201
言葉の違いによる話が関係ないことは外出。
前スレの980 ◆CYShH4Cn.Q もそれはわかってたみたい。
>>202
んなこたーない。

204 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:37

>>201
> lim[n→+∞]{1-10^(-n)}=1
とは書くけど
　1-10^(-∞)=1
とは書かねージャン。
ということは
　0.9999999…＝1
とも書いちゃだめなのでは？

205 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:41

>>204
普通は
1-10^(-∞)=1
とは書かないが、
書いてはいけないとは誰も言わないだろう。

206 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:43

>>205
>1-10^(-∞)=1
という書き方に抵抗があるやつは、真の意味で
0.9999999…＝1
を理解していない。

207 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 01:46

>>206
limっとなんてまどろっこしく書いてる香具師も、
理解してないと考えてOK？

208 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:10

けっきょく、
「ある値ａに対して、それより微少量大きい値と、
　微少量小さい値は、ともにａと等しい」ということでＯＫか？

209 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:18

>>208
つまり a<1 は a≦1 と同じ意味であり、
a>1 と a≧ も同じ意味である。
また同じ理由から a≠1 は無意味な制限である。
ってことで終了。

210 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:26

>>209

ａ<1 は、ａより大きい数ということで、
ａと等価な、ａ＋ｄａおよびａーｄａ（ｄａは微少量の意）
は含まないということで。

a≦1 の場合は、ａとａ＋ｄａはもちろん、ａーｄａも含む方向で。

・・・ってダメ？
だって、0.9999・・・って、１より微少量小さいくせに、
１と同じなんでしょ？

211 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:27

思いっきり訂正。

×　ａ<1　→　○　ａ<ｘ
×　a≦1　→　○　a≦ｘ

あたりで適当に読み替えておいてください・・・

212 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:29

↑また繰り返す気かよ・・・どのスレ行っても春真っ盛りだな。

213 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:32

つまり a<x は a≦x と同じ意味であり、
a=x と a≠x は同じ意味である。
したがって、x≠x
ということで終了。

214 ：終了：03/03/23 02:37

つまり、1＝0.9999･･･より1≠0.9999･･･なわけだな。終了。

215 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:41

>>213

うーん・・・
私は数学専門じゃなくて、物理の人間なんですけど、
熱力学で可逆変化というのがあるんですよ。
それは、無限小だけパラメータ（体積や圧力）を変更して、
反応の進む向き（圧縮or膨張など）を変えられるような変化とされています。
そういう時は、気体の圧力と外圧が等しい条件で、膨張が起こる、
と考えるんですが、圧力と外圧が等しければ膨張しないんじゃ？
っていう疑問から、そういう考えに至りました。

で、いまちょっと検索してみたんですが、
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/infinity/infinitesimal.htm

+0 = 1/∞　というのが無限小の定義らしいです。
で、さらに　-∞ < x - 0 < x < x + 0 < +∞　とのこと。
これが、このスレの問題の解答になるのではないでしょうか？

微少量と無限小という言葉は違うのかもしれませんが・・・。
数学専門の方、どうなんでしょうか？

216 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 02:45

(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

217 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 03:45

>>215
熱力で可逆変化というのは平衡状態から無限小しか離れていないことですよね。
これは過程の滑らかさに関する性質です。
フェルミは非可逆過程が滑らかでないことを強調する絵を教科書に描いています。

曲線上のある点で接線が引けるときに曲線と接線の共通部分の長さが
正であることは必要としないのと同じように、
「気体の圧力と外圧が等しい条件で、膨張が起こる」というのは
ある時刻での体積変化率が非零であり、その時刻を含む短い時間の間は
体積を線形近似できるということです。

218 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 11:56

>>217

平衡状態から無限小だけ圧力が大きい状態が可逆変化というのは、
つまり、平衡状態の圧力（Ａとする）に対して無限小大きい圧力（Ａ＋無限小）でも、
「そこから無限小の圧力を引けば、変化を逆向きにすることができる」
という要請を満たしているということですよね。

ということは、Ａ＋無限小ー無限小＝Ａー無限小
という奇妙な関係を満たしていることになります。

（正の）無限小というのは、あらゆる正の実数よりも小さい実数、
ということになっているので、それを足したり引いたりしても、
もとの実数Ａと一緒であるということなんだと思います。

0.9999・・・も、１から無限小引いたものと見なせるので（少なくとも形式的には）
そういう理由から、１と同等なのではないでしょうか。
「１ー無限小」はずっと９ばかり続くので、微妙に数値表示できますが、
「１＋無限小」だと数値で見せるのは難しいですね。
けど、どちらも１と同じ、だと思います。

219 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 12:39

x > 0 が成り立つとき 1 - 1/x < 1 が成り立つ。
ここで x = +∞ とすると
1 - 1/+∞ = 1 となる為、+∞ > 0 という関係式は
成立しない。
ということで終了。

220 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 13:02

>>219

1 - 1/x < 1
が成り立つのは、通常の正の実数ｘに対してのみ。

無限大や無限小は通常の実数とは違う。
正の無限大は、どんな（普通の）正の実数よりも大きいとされている。

例えば、普通の実数ｘに対して、ｘ－ｘ＝０だが、
無限大に関して、∞ー∞＝不定　となる。

221 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 13:13

>>220
「無限大は特別な数だから成り立たない」って言う意見よく見るけど、
　1-10^(-∞)　=　0.9999・・・・
とあったとき「無限大は特別な数だから成り立たない」と、反論しても
OK？

222 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 13:32

1 - 1/+∞ < 1 という関係式は使用してはならないが、
+∞ > 0 という関係式は使用していい。理由はない。そういう決まり。
例えば三角形の内角の和が180°という証明は、
　理由は無い、そういう決まり。
これが正解。
以上、終了。

223 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 13:49

無限大や無限小は通常の実数とは違う。
よって
　0.33333・・・・・×3 = 0.99999・・・・・
は成立しない。

224 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 14:05

＞ +0 = 1/∞　というのが無限小の定義らしいです。

これじゃあ全然定義になっていない
∞の"逆数"とは何ぞや？

225 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 14:32

>>218
無限小は無限回の和を行なった時に初めて非零になる数だと思えば良いでしょう。
無限回の操作の対象にしない限りは零とみなせるので
「Ａ＋無限小ー無限小＝Ａー無限小」は奇妙ではありません。
分配関数で各点の確率は零ですが、ある範囲で積分したときは非零にもなります。

226 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 14:38

＞221
反論された側は
1-10^(-∞) := lim[n→∞] 1-10^(-n)
と定義してやれば済むだけのこと。

227 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 14:47

0.33333・・・・・×3 :=　0.99999・・・・・
と定義する。
よって
　1 := 0.999999・・・・
しかし
　1 = 0.999999・・・・
は証明されない。

228 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 15:21

>>227
0.33333・・・・・
の定義は？

229 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 16:01

>>224

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/infinity.html

＞超準解析 (Non-Standard Analysis, 略して NSA) と呼ばれる
＞数学の一分野がある。ここでは ∞は次の様にとらえられている。
＞　∃∞∀n∈N (n < ∞)
＞即ち「いかなる自然数 n よりも大きい ∞ というものが存在する」(公理である)。
＞そしてその逆数を無限小 infinitesimal と呼ぶ (超準解析ではそれは 0 ではない !
＞どんな標準実数よりも小さい正の数である)。(これは無限大を中心にした
＞述べた述べ方であって, 逆に無限小中心の述べ方も出来る)

ということで、∞の逆数を認めるのは間違いじゃないそうです。
ちなみに、式の中に∞を代入するやり方と、
∞というのをlimでｘ→∞という時にしか認めないという立場の両方あるそうな。

後者の考えは、
＞ここにはアリストテレスやユークリッドが採った
＞「無限から目をそむける」という立場が見て取られる。
＞「無限」というものは状態であって存在するものではないというのが彼らの立場である。
＞現代の数学の高校教師は「n に ∞ を代入する」という言い方を極端に嫌う。

で、

＞近現代の数学では無限というものを
＞既に与えられてあるものとしてとらえることが多い

これが前者の立場ですね。

230 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 16:25

>>229
＞∞, ∞の逆数
要するに, 順序, 代数構造, 位相構造など, 普通の意味での実数の
性質を ∞ やその逆数なんてのを加えた体系で, 何の吟味も無く
成り立つとして考えるものでは無いということだろうと思うが・・・？

non-standard 解析でも, いろいろ確認の下でやってると思うけど・・・.
少なくとも, 位相は変わってるはずだ.

231 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 16:47

>>229
そうじゃない。超準解析では実数体Rを真に含む集合として超実数体*Rを作る。
ある超実数 a∈*R は任意の実数 x>0 に対して -x<a<x と a≠0 を満たす。
またある b∈*R は任意の実数 x に対して b > x を満たす。
しかし無限小超実数 a や無限大超実数 b は一意ではない。
だから∞という記号は一意な対象を指すわけではなく、
1/∞も一意ではないから定義にはならない。
ただし無限大超実数 b を一つ持ってきたとき 1/b は定義でき、
ちゃんと存在してこれは一つの無限小超実数になっている。
また二つの超実数の差が無限小超実数であるという関係は同値関係だが、
ある実数との差が無限小超実数であるような実数は存在しない。

232 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 16:58

>>231

実数と、無限小超実数との和（例えば、Ａ＋ａ）
は、実数か超実数のどちらに入るの？

233 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 17:04

>>232
実数と純虚数との和（例えば 1+i）
は実数と虚数のどちらにはいるの？

234 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 18:50

>>233
実数と複素数との和（例えば 1+i）
は実数と複素数のどちらにはいるの？

235 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:01

>>176
時々このようなレスを見かけるのですが、
{0.99, 0.9999, 0.999999, …} = 1
ではあっても、
0.99999… = 1
を示したことにはならんと思うのですが。
私は超準解析なんて言葉ははじめて知りましたが、どうなんでしょうか？

236 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:11

>>231
>∞という記号は一意な対象を指すわけではなく
・・・*Rは「集合」なのか？？？
カントールもびっくり！！！

237 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:13

>231

超実数体というものが、実数体を全て含むと考えていいのかな。
その場合、実数Ａと、無限小超実数ａの和　Ａ＋ａは超実数である。

＞二つの超実数の差が無限小超実数であるという関係は同値関係

１は実数である。ゆえに超実数でもある。
１ーａ（ａは無限小超実数）は超実数である。

ここで、
１ー（１－ａ）＝ａ
であるが、「二つの超実数の差が無限小超実数であるという関係」
を満たすので、１と１－ａは同値である、と考えられる。

１－ａが０．９９９・・・・だとしたら、これで証明はできたね。
∴　１＝０．９９９・・・・

238 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:27

>>235 >>237
同値関係で割ったら実数になる.
>>237 で同値であるのと一致する(「=」)のは別の概念.

239 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:28

>>237
＞超実数体というものが
ちと疑問なんですが、超実数の全体は、体をなすのですか？

240 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:32

>>238
>同値関係で割ったら実数になる
ということは実数では（＝）として等しくなると言いたい訳ですか？

241 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:35

>>240
そうだよ. 実数の位相はそうやって入っている.

242 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:35

>>237
無限大や無限小は通常の実数とは違う。
よって
>１－ａが０．９９９・・・・だとしたら
は成立しない。

243 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:37

ここにいる「超準解析」人って説明がへたー。
ぜんぜん分からん。
うまく説明できる人いないのー？

244 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:53

>>243
本気で知りたいのなら、まずは自分の知識の程度を相手に知らせなされ。
それと責めて高校生程度の読解力を身に付けてくだされ。

それが無理なら「超準解析は∞を数のように扱う」で我慢。

245 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:55

>>242

０．９９９・・・だって普通の実数と違うジャン。
なぜなら、ａ＝１ー０．９９９・・・　は、あらゆる正の実数より小さい数でしょ？
つまり、「任意の実数 x>0 に対して -x<a<x と a≠0」というのを満たす。
従って、ａは無限小超実数である。

１は実数であったが、１ー０．９９９・・・は超実数（非実数）なので、

＞ある実数との差が無限小超実数であるような実数は存在しない。

ということから、０．９９９・・・は実数ではないと結論できる。
だから、１－無限小超実数＝０．９９９　と表記しても問題ないのでは？

246 ：243：03/03/23 19:56

>>244
自然数から、実数への構成くらいの知識はあります。

247 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:58

>>238

同値であるのと、一致する（＝）のが別概念だとしたら、
それぞれの定義はどうなってるの？

248 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 19:59

>>245
１は紛れも無く実数だ。０．９９９・・・が実数でないなら、
　１＝0.9999・・・・
とする根拠は？

249 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:06

>>248
分数の形で表される、これが実数。ただ一つ例外がある
1/3＝0.3333・・・・　これは実数。
2/3＝0.6666・・・・　これも実数。
3/3＝0.9999・・・・　しかしこれだけは実数ではないのだ。
納得してくれ。

250 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:06

>>247
無限小超実数の取り方が一意的でないというのは理解してるの？
一般に、一致するなら同値だが、逆はいえない。
一般的な集合論の教科書で、同値関係の定義を確認するべきだな。

251 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:06

＞分数の形で表される、これが実数。

252 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:07

>>249
では, あなたは 1=3/3 は実数でないと主張することになりますね.

253 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:09

>>249
なんでお前みたいなのが数学やってんのか小市次官（ｒｙ

254 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:10

>>248

それを考えるために、同値の定義が知りたいわけだが。

俺は、＝（一致する）の定義を拡張して、
「無限小小さいか無限小大きい」ときにも使えるようにすると、
辻褄があうような気がするのだが。

1/3＝0.333・・・
1＝0.999・・・　の論法はなんだかんだで正しい気がするし、
1＝0.999・・・は成り立っていると考えた方がいいと思う。
その上で、整合性があうように無限小やらを考えた方がいいと思うし。

255 ：247：03/03/23 20:11

>>250
>∞という記号は一意な対象を指すわけではなく
は正しいのか？
このままでは*Rは集合ではなくなるよ。カントールによればね。
集合論の教科書で、集合の定義を確認するべきでは？？

256 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:15

>>255
正いよ「∞」は *R の元では無いから.
*R の元のうち無限大超実数であるものにつける記号が「∞」.

同値関係の代表元のとり方は, 一意では無いってこと.

257 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:16

>>254
>x > 0 が成り立つとき 1 - 1/x < 1 が成り立つ。
>ここで x = +∞ とすると
>1 - 1/+∞ = 1 となる為、+∞ > 0 という関係式は
>成立しない。
これはどう否定するのだ？
「無限という特殊な状況では　1 - 1/x < 1　は成り立たない」
という説明か？

そのような説明なら
3×0.333・・・＝0.999・・・
上記は無限という特殊な状況は成り立たない。
と反論されたときどう説明するのだ？

258 ：256：03/03/23 20:16

訂正.
*R の元のうち無限大超実数であるもの
↓
*R の元のうち無限大超実数であるもの全体

259 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:16

>>256
ではRから*Rへの拡張の仕方教えてもらえませんか？

260 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:20

１＝０．９９９９・・・・
をもっともらしく説明することも、もっともらしく否定することもできそう。

したがって、
１＝０．９９９９・・・・
は「そう決められているから」以外のふさわしい説明は無いと思う。

261 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:21

>>260
またバカが一人。

262 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:23

>>261
そこをどうするかが数学者でしゃうが。
ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の例を見な去れ。

263 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:24

>>261
それでは　>>257　を説明してくれ。

264 ：256：03/03/23 20:24

>>259
>>231 で十分じゃネ？

265 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:28

>>261
それじゃ >>257 をどうやって否定するのだ？
0.3333・・・・　×3
は無限という状況下ではあくまで =1 であり、0.999・・・・
では無い。したがって 0.9999・・・＝１という根拠には当たらない。
もしそうではないとするなら 257 の　+∞ > 0 を論理的に説明してくれ。

266 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:29

>>264
どうも納得いかんのですが。
まず、*Rが存在すること、つまりその元が存在することの証明がないですね。

267 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:59

＞+∞ > 0 を論理的に説明してくれ

+∞の定義を見ろ

268 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:07

>>266

少なくとも実数列空間を考えれば、これは実数を埋め込める。
つまり、任意の項が、ある実定数であるような実数列を
その実定数自身と同一視する。

このとき、順序や位相やらをどう入れるかはきちんと考えないといけないがね。
そのあと、どんな性質が言えるか、特に実数に制限したとき
元の性質を保存するような拡張であるとかいうのを確かめるのは
また別の話。

269 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:10

>>268
すなわち*Rとは実数列全体であると？
Q→Rの拡張に似てますね。

270 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:14

>>267
したがって、
１＝０．９９９９・・・・
は「そう決められているから」が正解。

271 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:16

>>269
>>268 が何処まで知ってて言ってるのか俺には判らないのだけれど,
(というか, 俺が良く知らないのだけれど.)
Q から R への拡張は, 最後に同値関係で割ったはずだけど,
もし, 実数列全体を同じ同値関係で割れば, 実数と同型？

272 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:22

>>265

等号を拡張して「Ｘ＝Ｘ＋ａ＝Ｘーａ」の意味を持たせる。（仮定）
（Ｘは実数。ａは無限小超実数）

1/3＝0.333・・・
左辺について、1/3 * 3 ＝1
右辺について、0.333・・・ * 3 ＝0.999・・・＝１ーａ＝１
ここで上の仮定に反する変形はしていないので、問題はない。
あくまで仮定だが、こうすればきちんと説明できる。
もし、この仮定に問題があるのなら、それで困るという例を挙げてもらいたい。

で、
＞0.3333・・・・　×3は無限という状況下ではあくまで =1
というのがよく分からんのだが。

「無限という特殊な状況では　1 - 1/x < 1　は成り立たない」
を認めたら、どういう問題があるのか？

273 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:25

>>272
等号を拡張するのは構わないが, 拡張したものは恒等関係
ではないので, 同じ記号 "=" を用いるのは良くない.

274 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:29

>>273

その主張はよく分かるが、
「Ｘ＝Ｘ＋ａ＝Ｘーａ」という関係が＝で表せないとなると、
１＝０．９９９・・・というのも、うまく説明できなくなるので・・・。

例えば、≡みたいな別の記号でやっちゃうと、
１≡０．９９９・・・は成り立っても、１＝０．９９９・・・が言えない。

あくまで、
（１）０．９９９・・・は１ー無限小である。
（２）１＝０．９９９・・・
であるという２つの立場（一見矛盾するが）を両立させたいなあと思うのだが。

275 ：273：03/03/23 21:33

>>274
一致しないんじゃない？
超実数まで考えたものが, 演算について本当に閉じてるのかは
よく判らないんだけど・・・.

一致させたかったら, 引いて無限小という同値関係で
割ってしまえば実数の範囲で成り立つんだから.

276 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:38

>>275

気になってたんだが、
＞引いて無限小という同値関係で割ってしまえば実数の範囲で成り立つ
というのはどういうこと？
同値関係というのは、２つの差が無限小ってことだよな？

277 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:40

>>276
そだよ。

278 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:41

>>277

同値関係は分かるが、それで割るというのはどういうこと？
具体的な例でプリーズ。（ほんとに分からんだけなので）

279 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:43

>>278
同値類の集合を考えるということ. ＜割る

280 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:48

>>279

複素数で実部だけに着目する、みたいな感じ？

281 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:51

そういうのは質問スレでやってくれ

282 ：277：03/03/23 21:56

>>278
具体例といわれても困るのだけど。

たとえば、n を自然数として、n を法として合同と言う関係(合同関係）
は、有理整数環 Z における同値関係である。
この同値関係で Z を割った集合は、自然数を n で割ったときの余り
を代表元とする集合となる。

みたいなもの。
感覚的には、同値関係を恒等関係とみても良いようにする。
ってことなんだけど、考える集合が変わるので、きちんと
理解しないとマズイ。

283 ：269：03/03/23 22:58

>>268
結局の所、実数列全体が*Rと考えてよいのですね。
この*Rに対して、どのような順序・演算が成り立つのでしょう？？
・・・誰も知らないんですか？？

284 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:03

>>283
あなたは 2ch に何を期待しているのですか？

285 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:05

超準解析がいかにマイナーであるかがわかりますね

286 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:06

>>285
しかも、これを主張する人も何となく不勉強なことも分かります。
これくらいのことはtxtでも書けないとね。。。

287 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:14

>>285
良い参考書が無いからじゃない？

288 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:42

>>259
私が知っている構成方法は斎藤正彦『超積と超準解析』にある方法だが、
少なくともフィルターがどういうものか知っていてもらわないとめんどうだし、
フィルターから自由超フィルター(countably incomplete ultrafiltr)を定義して
超積にたどり着くまでをここに書くのはやっぱり長過ぎる。
例えば、
ttp://www.math.uiuc.edu/~henson/papers/basics.pdf
の最初の14ページが *R の定義と基本性質に相当する。

289 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 00:26

>>288
フィルターとは位相のフィルターベースのことでしょうか？
この辺はまだ勉強不足なので、もう一度勉強して出直してきます。

290 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 16:39

√2は二乗して2になる数である。
有理数でない(a/bの形で表せない)から便宜上この形式の書き方にしている。

1/2は1を2で割った値である。
これは少数でいう0.5である。
では1/3は？これを少数で表すと無限小数になる。
つまり、1/3は少数で(正確に)表すことが出来ない数字なのである。
つまり、少数というフォーマット自体が1/3という数値を表すのに
不適当なのである。

291 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 18:07

>>290
確かに、小数ならまだしも少数じゃねえ。。。

292 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 18:26

Nを自然数全体、Rを実数全体、R+を正の実数全体、aをNからRへの関数とする。
等式「x = lim a」を「与えられた任意に小さな実数 d > 0に対して
「n > k(d) ならば |a(n)-x| < d」となるようなR+からRへの関数 k が存在する」
ことだと定義する。x = lim a を満たす x は存在しない場合もある。

命題: a(n) = -1-(1/10)^n、0.999… = lim a と定義すれば 0.999… = 1 となる。

証明: k(d) として d > 0 の常用対数を1から引いたもの 1-log10(d) をとれば、
　　(1/10)^k(d) = 10^(-1+log10(d)) = (10^-1)*(10^log10(d)) = d/10 < d
よって n > k(d) ならば (1/10)^n < (1/10)^k(d) であり
　　|a(n)-1| = |1-(1/10)^n - 1| = (1/10)^n < (1/10)^k(d) < d
ゆえに 0.999… = lim a = 1 ■

この話に無限小など出てこない。0.999… = lim a という定義を認めないなら、
0.999… に対して別の定義を用意しない限り議論はできない。
∞ は lim の記述を簡便にするために用いられる記号に過ぎないという立場を
貫いても解析学は構築できるし、標準的な解析学はそうやって作られている。
超準解析でなくても幾何などで複素体 C のコンパクト化の場合に C∪{∞} を
考えることはあるが、その場合は∞の同一性がきちんと定義される。

293 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 18:35

>>292
> 命題: a(n) = -1-(1/10)^n

a(n) = 1-(1/10)^n だな

294 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 23:00

ところで、0.9999999999…(10進)≠1とするとき、当然
0.8888888888…(9進)≠1
0.7777777777…(8進)≠1
　　　　：
0.2222222222…(3進)≠1
0.1111111111…(2進)≠1
だと思うんだが、これら
0.1111111111…(2進), 0.2222222222…(3進), …, 0.9999999999…(10進), …
の間の関係は
＝なのか、≠なのか？
≠だったら、進法によって表現できる数とできない数が存在するってコトだな？
＝だったら、1-(1/k)^n の(1/k)^n が異なってて＝とできる理由は？

ちょと知りたい。どうすれば整合性がとれるか。整合性がとれれば盤石だから。

295 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 23:39

>>294
> ＝だったら、1-(1/k)^n の(1/k)^n が異なってて＝とできる理由は？

m+1 進法の場合でも、 >>292の証明に出てくる 10 をすべて m+1 で置き換えれば、
0.mmm… = 1 の証明になる。

296 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 01:43

>>289
それよりも259の挙げてるPDFを読んだ方が早いと思うよ。
まあどちらにしてもスレタイと超準解析は関係ないと思うけど。

297 ：289：03/03/25 03:00

読み始めました。

298 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 13:04

というか、0.999... = 1というやつは
0.333...という実数が存在するという事を証明しろ。
そもそも、0.333...は実数なのか？有理数なのか？
有理数という形で表すこともできないし、ある一定の値に定まるものでも
ないものだと思うのだが。

299 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 13:38

0.333... = 1/3 \in Q

300 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 17:54

0.333... = 1/3 \in Q \subset R

301 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 18:03

0.333... = \frac{1}{3} \in Q \subset R

302 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 20:01

>>298
命題: a(n) = Σ[k=1～n] 3/(10^n) とおき
0.333... := 0.3 + 0.03 + 0.003 + … = lim a と定義するとき、
0.333... = 1/3 が成り立つ。

証明: 1/3 - a(n) = 1/(3*(10^n)) なので、k(d) = 1-log10(d) とおけば
任意に与えられた d > 0 に対して、1/(10^k(d)) = d/10 < d より
n > k(d) を満たす n に対して 1/(3*(10^n)) < 1/(10^n) < 1/(10^k(d)) であり
　　|a(n)-1/3| = 1/3-a(n) = 1/(3*(10^n)) < 1/(10^k(d)) < d
ゆえに 0.333... = lim a = 1/3 ■

命題: x は自然数、関数 ceil:R→N は y≦ceil(y)＜y+1 を満たす自然数とする。
このとき次が成り立つ。
　　x/(10^ceil(log10(x))-1) = lim Σ[k=1～n] x/(10^(k*ceil(log10(x))))

例1: x = 3 のとき ceil(log10(x)) = 2、x/(10^(ceil(log10(x)-1))) = 3/9 = 1/3
　　1/3 = lim Σ[k=1～n] 3/(10^(k*5)) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + … = 0.333...
例2: x=12345 のとき ceil(log10(x)) = 5、x/(10^(ceil(log10(x)-1))) = 12345/99999
　　12345/99999 = lim Σ[k=1～n] 12345/(10^(k*5))
　　　= 0.12345 + 0.0000012345 + 0.000000000012345 + 0.00000000000000012345 + …
　　　= 0.12345123451234512345...

303 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 21:00

＞例1: x = 3 のとき ceil(log10(x)) = 2、x/(10^(ceil(log10(x)-1))) = 3/9 = 1/3
　例1: x = 3 のとき ceil(log10(x)) = 2、x/(10^ceil(log10(x)-1)) = 3/9 = 1/3

＞例2: x=12345 のとき ceil(log10(x)) = 5、x/(10^(ceil(log10(x)-1))) = 12345/99999
　例2: x=12345 のとき ceil(log10(x)) = 5、x/(10^ceil(log10(x)-1)) = 12345/99999

304 ：１３２人目の素数さん：03/04/03 11:53

というか、「実数が存在するという事を証明しろ」というやつは
まずは実数の定義について勉強しろ。
そもそも、>>298は定義を知っているのか？知らないのか？
実数の構成法を知らないどころか、有理数がどういう物か
知っているかも危ういと思うのだが。

305 ：１３２人目の素数さん：03/04/07 20:00

イマドキの新入生は切断と完備化のどちらを習うんだろうか

306 ：１３２人目の素数さん：03/04/16 00:37

漏れは甘美化だったーよ

307 ：１３２人目の素数さん：03/04/16 00:55

ε-δに慣れされるという目的もあって、完備化から始めてた。
でもその後切断と同値である事説明するから大して変わらんか。

308 ：１３２人目の素数さん：03/04/18 18:35

両方やって同じものが出来ることを示す暇があればいいんだろうね。

309 ：１３２人目の素数さん：03/04/18 18:57

授業0.5回分でどうにか出来るんじゃないか？
それを示す事もしない解析の授業というのは少々寂しい物がある。

310 ：１３２人目の素数さん：03/04/18 22:40

平成４年ごろからの新入生って知らんことが多いから時間が足りなくない？

311 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 00:19

312 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 01:07

平成四年ごろの新入生って・・・11年前か？もう30歳か？？

313 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 05:35

間違えた。平成七年だったよ。平成四年はその課程が始まった年だな。

314 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 22:56

0.9999999…という表記は数そのものではない、ということにしたら？

315 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 22:58

>>314
では.0.9999999…を何にするのか実に興味がある

316 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 23:24

ということにしなくても数そのものと表記は違う
数そのものとは異なるからこそ同一の数に異なる表記を与えることが出来る
どれか一つを数そのものするのは構わないがどれを選ぶかには恣意性がある
(-1+√5)/2 = 1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/… = 0.61803398874989484820…

317 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 01:11

数学として考えない、例えば文学とかで考えるのなら1じゃない事もあるだろうけどさ。

でもそれは「1足す1はたんぼの田」と同じレベルである事が分かってんのかなぁ…

318 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 01:28

比喩としてそれほど適切とも思えないし、
比較できないものを同じレベルという辺りが数学的でない。

319 ：317：03/04/20 01:51

>>318
比較できない？

320 ：山崎渉：03/04/20 03:59

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾）＜ぬるぽ（＾＾）

321 ：１３２人目の素数さん：03/04/24 16:31

　　 x=0.9999999・・・・・
) 10x=9.9999999・・・・・
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　9x=9
よって
　x=1.

このようなことを言ってるんですよね？

322 ：１３２人目の素数さん：03/04/24 21:36

>>321
言っていません。

323 ：１３２人目の素数さん：03/04/24 23:19

こんな計算出来なくてもオマンコ出来れば生きていけるよ
頑張れ

324 ：１３２人目の素数さん：03/05/02 23:41

ブサイクとやるより、このスレで遊^H学ぶ方が有意義なのだが
お前には経験ないか？

ブサイクと交尾中：
俺「漏れ、何でこんな奴と(;´Д`)ﾊｱﾊｱしてるんだ…たりぃ…い…いまい！？
　今のは今井…無かったことにしよう…うどん…よし、終わった？！…
　！そんなスレあったっけ…け…そういえば、あれにケーラー計量って…天和
　飽和水蒸気圧なんてのもあったな…なまずは天ぷらにすると(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ」

とか中の人が思いつつ、そんなこんなで正直なちんぽは（´･ω･`）

そこへ勘違いの一言：
ブ「緊張しなくてもいいよ」

325 ：１３２人目の素数さん：03/05/03 01:59

久しぶりにこの板に戻ってきたけど、
まだ続いてたのか、この議論が……

なんで、こんなに長く続くの・・・・

あ、そうか、厨房がどんどん、新しく入ってくるからか……
新入りはわからんかもな。

326 ：１３２人目の素数さん：03/05/03 07:36

2週間に1レス程度あればスレは続くと言うのに
何故いつまでも325のように不思議がる人が出てくる？

327 ：１３２人目の素数さん：03/05/03 09:32

まぁ、わからないひとは、
１≒０．９９９９９９９９９･･････
の≒の点点を薄く書いておけば良い。

328 ：１３２人目の素数さん：03/05/04 03:50

この板最近来たんですが、

1 = 1/3 * 3
↓
1 = 0.333333・・・ * 3
↓
1 = 0.999999・・・

っていうのはもうガイシュツですか？

329 ：１３２人目の素数さん：03/05/04 07:48

>>328
ここは算数板ではありません

330 ：328：03/05/04 16:02

吊ってきます。

331 ：１３２人目の素数さん：03/05/05 16:45

x=0.99999999...

100x=99.9999999...

99x=99

x=1

どうだ！中学生の俺が証明してやったぜ！

332 ：１３２人目の素数さん：03/05/05 16:48

>>331
(・_・)ﾂﾏﾗﾝ

333 ：１３２人目の素数さん：03/05/05 16:49

釣り師ｷﾀ━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━!!!!

334 ：１３２人目の素数さん：03/05/05 16:51

>>331
（ﾟ∀ﾟ）ｱﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬ化ﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬﾋｬ

335 ：１３２人目の素数さん：03/05/05 16:57

:::::::::::/　　　　　　　>>331ヽ::::::::::::
:::::::::::|　　ば　　じ　　き　　i::::::::::::
:::::::::::.ゝ　か　つ　み　ﾉ:::::::::::　
:::::::::::/　だ　　に　　は　ｲ:::::::::::::
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:::::::,-‐､,‐､ヽ.　)ノ　　　　　＿,,...-　
:::::_|/ ｡|｡ヽ|-i､　　　　　 ∠＿:::::::::
／. ` ' ● '　ﾆ､　　　　 ,-､ヽ|:::::::::
ニ　＿_ｌ＿_＿ノ　　　　 |・ |　|, -､::
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|(￣`'　　）/ /　,..　　　 i　　　　　'-
`ー---―' / '（__ ）　　　ヽ、　　　
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336 ：１３２人目の素数さん：03/05/06 01:28

1÷3=0.3333333...

0.33333333....×3＝0.99999999...

よって1=0.99999999999....

どうだ！小学生の俺が証明してやったぜ！

337 ：１３２人目の素数さん：03/05/06 01:31

:::::::::::/　　　　　　　>>336ヽ::::::::::::
:::::::::::|　　ば　　じ　　き　　i::::::::::::
:::::::::::.ゝ　か　つ　み　ﾉ:::::::::::　
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338 ：328：03/05/07 01:48

>336
あ。それもう俺がやりました・・・

339 ：aaad：03/05/17 12:38

永遠だから1=0.999999…
終わりがあるなら1≠0.9999999…
低レベルスマソ。

340 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 12:50

永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…
永遠だから1=0.999999…

341 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 17:23

1/3=0.333333333･････
3/3=0.999999999･････

∴ 1=0.999999999･････
これで終わりだろうが。
悔しいからって「馬鹿だ」だの「既出」だの言うなっての。
何故これで納得出来ないんだ？上の証明に誤りでも在るのか？
どうせ、叩いてうやむやにするんだろうな。

342 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 17:26

:::::::::::/　　　　　　　>>339ヽ::::::::::::
:::::::::::|　　ば　　じ　　き　　i::::::::::::
:::::::::::.ゝ　か　つ　み　ﾉ:::::::::::　
:::::::::::/　だ　　に　　は　ｲ:::::::::::::
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343 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 17:32

344 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 17:32

>>341
一応数学板も説明不足の証明を嫌いますので。

345 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 17:52

>>341
馬鹿

346 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 18:55

0.999999999・・・・9＝1だったらもちろん
1.000000000・・・・1＝1ってことになるのですかねぇ？
それともまったくべつのものになるんですかねぇ？

347 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 19:01

>>346
つまんねえぞ。

348 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 19:05

>>347
おまえがな

349 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 21:06

>>348
馬鹿。

350 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 22:12

パナウェーブ研究員以外で白色が好きな人。

http://plaza16.mbn.or.jp/~satchel/omoshiroi/

351 ：１３２人目の素数さん：03/05/17 23:08

0.999999999・・・・9＝1 が偽なので以下の2つの命題 A, B はどちらも正しい。
A: 0.999999999・・・・9＝1 ならば 1.000000000・・・・1＝1
B: 0.999999999・・・・9＝1 ならば 1.000000000・・・・1＝2

352 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 01:31

1.000000000・・・・1＝2
これはなぜだか理解できんかった

353 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 01:36

1≒0.999
1≒0.999999
1≒0.999999999

∴ 1≒0.9999999999･････

354 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 03:08

>>352
命題Aが偽であるとき任意の命題Bに対して「AならばB」は真。

355 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 10:45

>>353
　∴ 1≒0.9999999999･････

＞
･････がつくと＝になるみたいです。

356 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 10:50

付いているのに≒じゃん

357 ：１３２人目の素数さん：03/05/18 22:30

a＝b ならば a≒b
は間違いじゃないと思う

358 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 09:39

0.9999999999･････ですが、
　≒１なのか、＝１なのか、どちらでもいいのか、

　私(素人）は、どちらでもいい　が正解だと思うんですが。それでいいのでしょうか？
　
　

359 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 09:59

>358
自然科学の範囲ならばどちらでもよいのですが、数学的な意味としては両者は異なる意味を示しているのではっきりさせましょう。

360 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 10:22

361 ：358：03/05/20 12:20

>359さん、レス有難うございました。

　数学的には、0.9999999999･････≒１は間違いということでよろしいですね。

362 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 12:59

>>361
数学的には、0.9999999999･････≒１は無意味。

363 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 13:26

素人は口を挟まないこと、これ定説＞ 358

364 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 15:06

>>361
というか >>357 のいうように a＝b ならば a≒b は間違いではないが、
正しいというわけでもない。つまり a≒b は数学の命題ではない。
≒は説明のために用いる慣用記法だがそれでも 0.9999999999･････≒１
とは絶対に書かない。間違いだからではなく >>362 のいうように意味がないから。

365 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 15:08

(1 - 0/9) = 1.000000000...
(1 - 1/9) = 0.888888888...
(1 - 2/9) = 0.777777777...
(1 - 3/9) = 0.666666666...
(1 - 4/9) = 0.555555555...
(1 - 5/9) = 0.444444444...
(1 - 6/9) = 0.333333333...
(1 - 7/9) = 0.222222222...
(1 - 8/9) = 0.111111111...
(1 - 9/9) = 0.000000000...

366 ：FOREVER：03/05/20 15:52

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367 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:07

0.99999・・・というのは、小数展開を続ける、という操作（規則）を
表しているわけで、1のような数の名称と区別しなければならない。

368 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:15

つまり、0.99999・・・＝1というときの0.99999・・・とは小数展開の
操作（規則）以外のなにものでもなく、なんらかの値を導く操作ではな
いということ。
したがって、これを＝1とすることはできない。

369 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:30

0.999・・・=1.000・・・

370 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:37

?????????

371 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:41

>>368
そうなのか？
前に呼んだ本には全く逆のことが書いてあったが…
「0.999……は計算を永遠に続けるという動作ではなく、行き着く先（結果）を表しているので1に等しい」だったかな

372 ：もりんきー ◆pEJ60eOcEw ：03/05/20 16:43

わけがワカメちゃん

373 ：もりんきー ◆pEJ60eOcEw ：03/05/20 16:44

>>369

374 ：358：03/05/20 16:46

>>364 ≒は説明のために用いる慣用記法だがそれでも 0.9999999999･････≒１
とは絶対に書かない。

高校数学で≒という記号が出てきたと思いましたが、何か,うさん臭さを感じていました。

375 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:48

0.999999・・・=1.00000・・・
だとするならば、
1.000000・・・=1.00000・・・1
1.00000・・・1=1.00000・・・2

こんなんになってしまうわけですがどうなんですか？

376 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:49

>>375
その通りです。

377 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:51

0.999・・・ = lim[x→+∞] 1-10^(-x) = 1

これ見て一応納得したけれど
しかしやはり0.999・・・<1のような気がしてならない。

378 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 16:59

A　　 <------>

B　　＞------＜

Bの方が長いように見えるだろ。
数学の世界で感覚をあてにしちゃいかん

379 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:05

>>208の
「ある値ａに対して、それより微少量大きい値と、
　微少量小さい値は、ともにａと等しい」

>>209の
つまり a<1 は a≦1 と同じ意味であり、
a>1 と a≧1 も同じ意味である。
また同じ理由から a≠1 は無意味な制限である。

これってホント？

380 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:06

>>377
この問題の不思議なところは
０．９９９９・・・＜１
が一見あってるようにも見えることなのですが
・・・の部分を言葉で「永久に続く」と曖昧に
するものだから論議がややこしくなるのであって
　たとえば、高校の極限の範囲で lim[x→0] f(x)
を、感覚的に =f(0) ととらえていましたよね？
それと同じことで感覚的にとらえるのなら
０．９９９・・・＝１でも不思議がないのではない
でしょうか？数学はある意味「感覚」が必要な学問
ですから厳密な証明は難しいので「感覚」で感じ取って
ください。

381 ：そっすう：03/05/20 17:10

0.999・・・をｘとおき、
x=0.999・・・とする
　　両辺十倍して、
　10x=9＋ｘ
　10x-x=9
9x=9
x=1 よって 1=0,999・・・　　　　
　これ有名ですよね？

382 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:11

>>381
そういう次元での話をしているわけではないのだが

383 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:15

>>381
有名です。しかしある数学者はこの部分は
その方法の「特異点」ではないだろうか？
とも、言っていますし、哲学者の西田幾多
郎先生は感覚の延長上に数学、ひいては↑
の証明がある。とも言っています。

384 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:18

任意の正の数εに対して、x<εならばx=<0である。

これはどうやって証明するんですか？それとも公理？
あと>>379にも答えて欲しいです

385 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:18

　　　　　　 Λ＿Λ 　D
　　　　　　<＃｀Д´>○　　　 ___
　　　　　　（　　　　） D……／◎＼

386 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:21

超準解析？　

387 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:41

みなさん、あほですな。
有限と無限について御ぞんじないようで。
0.9999･･･の9が有限ならば当然
1>0.9999･･･
無限ならば
1=0.9999･･･ですよ。
1>0.9999･･･
と言ってるのは9が有限だとどこかで思っているから。
9が無限回続くならば1になるんですよ。

388 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:46

無限を定義してください

389 ：Albert：03/05/20 17:47

2CHを批判する掲示板です。といっても，結構雑談ですが・・・。
http://bbs5.cgiboy.com/p/03/00883/

（参考）
「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）

http://members.tripod.co.jp/nichkirai/index.htm
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
２００３年５月２１日午前０時を以て
攻撃開始。
他のスレッド・板にコピペしてくれ。

これは我々２ｃｈねらーに対する挑戦であり
善良な２ｃｈねらーを巻き込ませようとしている悪の芽を摘むことを決定した
間引きをすることにより、２ｃｈの秩序を保つのだ

　　青銅の掟
　・かぶっても喚かない
　・ワンピースネタには必ず反応する

390 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 17:49

>>388
常識ですが。この定義は数学にもあてはまります。

むげん【無限】
（名・形動）[文]ナリ
(1)限りがないこと。どこまでも続くこと。

391 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 19:37

>>384
> 任意の正の数εに対して、x<εならばx=<0である。

もし 0<x とすると 0<ε<x となる ε を選ぶことができる。
例えば 0<x/2<x だから ε=x/2 とすれば 0<ε だが x<ε は
満たされない。よって 0<x ではない。

392 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 19:40

>>388
ttp://mathworld.wolfram.com/AxiomofInfinity.html

393 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 19:45

>>379

394 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 20:25

(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

395 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 20:36

なんか、無限につづく数字って数字として存在しない気がするなぁ
存在しない数字のことを話し合ってもその数字は無いんだから結局のところ
答えが出ない気がする・・・

・・・なんか自分変なこと書いてるなぁ・・・

396 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 20:36

２３才ＯＬです。彼氏がＨしてくれないので、いつも一人でオナってます。
でも、けっこうオカズに困るんですよね。そんな時見つけたのがＹＵＩＳ！！
安いし、安心して買えるし種類もいろいろでなかなかいいですよ！
私はいつもバイブモノとかレイプモノ買ってます！

http://www.dvd-yuis.com/

397 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 20:42

>>395
「√2なんて数字って数字としてない気がするなぁ」
って感じなのだろうか？

398 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 21:00

>>397
ガイシュツ。
それは数字でない。

399 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 22:26

つまり無理数は数字じゃない
数じゃないということは無理数はただの「無理」となるわけですか？??395

400 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 22:36

無理数は数だろ

401 ：１３２人目の素数さん：03/05/20 22:51

数字と数の違いについてよぅく考えてから質問し直せ

402 ：１３２人目の素数さん：03/05/21 03:15

「数字」っていうのは有限個の記号なの。
「符号」と「数字」と「小数点」を一定の規則で連結させたものが「数の表記」なの。
「数の表記」は、「数字」から「数」への写像と「数」の演算で定義される値を持つの。
連結規則とその値の決め方のことを「記数法」というの。
「数」っていうは「記数法」と別に公理で順序と演算が定義された対象なの。
「数の表記」の末尾につける「…」は極限操作を表す記号なの。
「数の表記」に現れる「数字」は出現位置が右側にいくにつれて値が指数で減少するの。
だから「…」で表される極限は存在するの。
その極限を以て末尾に「…」を持つ「数の表記」の値と定義するの。
そうすると「数の表記」の値を与える写像は単射じゃなくなるの。
その例が二つの表記 "0.9999…" と "1" の値は等しいということなの。
"1.0000…" と "1" の値が等しいことも同様なの。
だけど普段はめんどくさいから一番短い表記を使うの。
例えば "0.1999…" と "0.2000…" の値は等しいから "0.2" を使うの。
でも、"0.2" と書いたら物理屋が有効数字を気にするから数学では "1/5" と書くの。
こうやって「数の表記」に「数」の除算の記号を借用するの。
これで有理数なら「…」を書かなくて済むことも証明できるの。
"0.9999… = 1" の証明に "1/3 = 0.3333…" を使ってるのは証明じゃないの。
それで証明にするなら "1/3 = 0.3333…" も証明しないといけないの。
その証明には何らかの形で「記数法」の定義が出てくるの。
それを考えたことがないから "1/3 = 0.3333…" じゃなくて "0.9999… = 1" で悩むの。

403 ：１３２人目の素数さん：03/05/21 14:26

誰か>>402を五七五であらわしてくれ
長文は読む気になれん

404 ：１３２人目の素数さん：03/05/21 14:48

読む気がね　全く無いなら　無視しろよ　ｳﾞｫｹ

405 ：違うか？：03/05/21 19:00

>>403
数字には
終わりがあるが
数に無し

406 ：山崎渉：03/05/21 22:00

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

407 ：１３２人目の素数さん：03/05/21 22:01

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

408 ：山崎渉：03/05/22 00:06

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

409 ：sage：03/05/25 02:47

　　・
０．９
が正しい表記。

よって０．９９９・・・＝１は間違い。

410 ：１３２人目の素数さん：03/05/25 09:07

あほくさ。定義を与えなければ正しいも間違いもないだろ。

411 ：１３２人目の素数さん：03/05/27 21:40

もうアバウトでいいじゃん。

412 ：あ：03/05/27 23:30

純粋な質問なんだけど、
「＝」であるか「≠」であるかで
なんか証明が成り立たなくなったり計算が長くなったりみたいな
被害というが影響ってあるんですか？
いや論争が不毛だとかそういうんじゃなくて。プチ疑問。

413 ：１３２人目の素数さん：03/05/29 07:54

>>403
表記・・・・で表される極限？定義されてんのか。されてなきゃ無効。

414 ：１３２人目の素数さん：03/05/29 08:02

そもそも漸近線の定義どーすんだよ。0.999999･････＝１と矛盾するぞ。

415 ：１３２人目の素数さん：03/05/29 08:18

>>414
小一時間問い詰めるぞ。

416 ：bloom：03/05/29 08:23

http://homepage.mac.com/ayaya16/

417 ：１３２人目の素数さん：03/05/29 11:18

極限値は、極限操作として列の収束する「行き先としての値」という意味
あるいは、適当な埋め込みのもとでの収束列そのものであって、数列の添え字を
限りなく増大させると言う操作とは実質的に関わりが無い。

>>414
∞ は実数ではないから矛盾しない。

418 ：１３２人目の素数さん：03/05/30 11:34

>>412 定数 a が実数であるとき、
x についての方程式 (a-1)*x = 1 を解け。
lim[n→∞] a^n の値を求めよ。

419 ：413：03/06/01 08:57

>>417
極限値の意味用法には、疑問はない。

0.9999999･･････＝1
が極限操作だぞ、と断言しないから、ここでうるさく問い詰められてるんだな。
電波な奴が、極限操作でなしに、いつかはマジモンの　1　になるって主張するから
ここまでもめる。

420 ：１３２人目の素数さん：03/06/01 14:30

つーか高校が「限りなく近付く」なんていうわけの分からない表現で済ませるから
200年遅れの議論をする不幸な人が出てくる

421 ：１３２人目の素数さん：03/06/03 21:06

1/3は0.333333・・・・・であって0.333333・・・・・3333
でわない

422 ：１３２人目の素数さん：03/06/03 21:11

>>419
だから、極限値としての等号であって、極限操作ではない。

423 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 01:30

　　・
１．０が正しい表記。

よって１．０００・・・＝１は間違い。

424 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 02:35

NIKKEI NET：経済
http://www.nikkei.co.jp/news/keizai/20030609AT1F0901209062003.html

短期指標金利「0.000%」に、量的緩和で異例の現象

　銀行や証券会社など金融機関が手元資金を取引する短期金融市場で
9日、指標となる無担保コール翌日物金利の平均値が「ゼロ」となっ
た。中央銀行が金融市場を運営する際の指標に据える金利が「ゼロ」
になるのは諸外国でも例がない。量的緩和策で日銀が金融市場に大量
の資金を送り続けるなか、金融市場の極度の「カネ余り」が特異な現
象を生んだ。
　無担保コール市場は銀行などが信用力を裏付けに資金を貸し借りす
る場で、返済までの期間が1日の「翌日物」の金利は金融機関の資金
需給を反映しやすい。このため日銀は金融市場の動向を見極めるため
の指標と位置付け、その平均値を毎夕公表している。前週末は0.002％
だったが、9日の公表値は「0.000％」。四捨五入によって小数第四位
以下が切り捨てられ、「ゼロ金利」となった。 (22:25)

425 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 02:48

１≠０．９９９９９９９・・・・・
だと思ってる人はDedekindの本読んでみ。

426 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 04:38

わざわざ Dedekind の本を読む必要もないと思うが。
ほかにも書いてある本あるでしょ。

427 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 11:56

結局
０．９９９９９９９・・・・・
という数は定義されてないてことで

または
０．９９９９９９９・・・・・
という数は存在しないてことで

従って
１≠０．９９９９９９９・・・・・
てことで

何回目かの終了かな

428 ：１３２人目の素数さん：03/06/11 06:03

１≒０．９９９９９９９・・・・・

429 ：１３２人目の素数さん：03/06/11 07:57

>>358-428

430 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 01:17

何このスレ？？
算数板じゃないんだから…

431 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 03:38

　　　　１　＝　０．９９９９・・・
　　１－１　＝　１　－　０．９９９９・・・
　　　　　０　＝　０．０００・・・１
∞　×　０　＝　∞　×　０．０００・・・１
　　　　　０　＝　∞

したがって　１　≠　０．９９９・・・　　　ＱＥＤ

432 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 04:10

>>431
> 　　１－１　＝　１　－　０．９９９９・・・
> 　　　　　０　＝　０．０００・・・１
なぜ？

433 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 16:22

>>431
０＝０．００００００１の１が違う
その操作をしている時点で０が無限に続く事を無視している。
０＝０．００００００・・・・・・・
としなければならない。

434 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 16:34

>>433
基底ベクトルもとめてるんじゃないでしょうか？

435 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 16:39

>>432
> 　　１－１　＝　１　－　０．９９９９・・・
はなぜ？はなぜ？

436 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 17:51

１　‐　０．９９９９・・・
が
０．００００００・・・・・・・
だとして　どっかに　1がでてくるかどうか
永遠にわからない罠

437 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 18:18

１が出てくるという発想自体がおかしい
実数の連続性とか無限の概念とかちゃんと分かってる？

438 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 18:21

>>431です

０．０００・・・
と無限に続くけど完璧な０ではないから、最後に０ではない数字がくるはず
だから、無限大をかける事により無限大になる

これを「Ｋの定理」と呼ぶ事にしよう

439 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 18:28

>０．０００・・・と無限に続くけど完璧な０ではないから、最後に０ではない数字がくるはず
だあーかーらー
その最後にお０でない数が出てくるという事を仮定してる時点で
０が無限に続くことを無視してるの！

440 ：431：03/06/13 18:37

えぇ～そんなぁ・・・

じゃあ　「Ｋの定理」は間違ってるって事？

441 ：！：03/06/13 18:44

まじっすか！こんなんええの！
http://www.39001.com/cgi-bin/cpc/gateway.cgi?id=wwfhnkl

442 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 18:57

>>431
うん間違ってる。
きみ高校生？
ちゃんと本読んで修行積んでそれから定理とか考えな
数学にも基本的な知識は必要だからね。

443 ：431：03/06/13 19:03

>>442

ガーン・・・超ショック。
せっかく考えたのに～
全部否定したら、俺がかわいそうだから
半分あってるって事で手を打とう？ｗ

444 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 19:11

>>431
■合っている箇所
　　　　１　＝　０．９９９９・・・
　　１－１　＝　１　－　０．９９９９・・・

■間違っている箇所
　　　　　０　＝　０．０００・・・１
∞　×　０　＝　∞　×　０．０００・・・１
　　　　　０　＝　∞
したがって　１　≠　０．９９９・・・

■間違っている箇所を修正すると、
　　　　　０　＝　０．０００・・・
∞　×　０　＝　∞　×　０．０００・・・
　　　　　０　＝　０
となって、単なるトートロジーになる。

445 ：_：03/06/13 19:13

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku03.html

446 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 19:15

>>438
Ｋの定理というものはないけど、Ｋ理論ならあるよ。

447 ：431：03/06/13 19:24

厳しいね・・・テストに例えたら２０点くらいか

Ｋ理論ってどんなの？

448 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 20:05

>>Ｋ理論ってどんなの？
漏れも知らないんだが、代数幾何やってる連中が騒いでいたから、きっと代数幾何の一分野なんだと思う。

449 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 20:12

うぉう
まだやってるの

450 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 20:30

ツーか普通に
x=0.9999999・・・・・・①
10x=9.99999999・・・・・・・②
②-①で
9x=9
x=1
でいいんじゃねーの？

451 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 21:11

まさに無限ループだな

452 ：１３２人目の素数さん：03/06/13 21:26

もし0.999999･････≠1 なら　0.999999<c<1を満たす実数cが存在しなくてはいけない。
このcを小数で記述したとき、小数点以下に9でない数がくることがあれば
c < 0.999999･････となる。
もし小数点以下がすべて9ならばc = 0.999999･････となる。
よってそのような実数cは存在しない。

0.999999･････=1 //

453 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 03:43

>>444
0点

454 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 06:30

452のでいいじゃない
もう終わりにしようよ…

455 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 07:15

>>450
０点
むちゃくちゃになってる450も無限の意味が分かってない
（結果だけはあってる）

456 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 07:31

>>452
＞このcを小数で記述したとき、小数点以下に9でない数がくることがあれば
＞c < 0.999999･････となる。

なんで？

457 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 07:35

>>456
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 のなかでは 9 が最大だから。

458 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 08:21

この手のＦＡＱは世界共通なんだな。ここにちゃんとした証明がのってる。

FAQ: Why is 0.9999... = 1?
http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/

というわけで結論は0.9999... = 1で終了。
lim使う証明も、実数の定義をして証明する方法もでている。

あと過去スレによくでてくる
「x = 0.9999... として10x = 9.9999...」とか
「0.3333... = 1/3 」とか
で証明していくやつは本当に証明になってるのか？なってないのか？とかも述べられている。

もちろんε-δ論法も、超準解析についてもでている。

英語が読めない？そんくらい勉強しろｗ

459 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 09:54

>>15 = 前スレの980 ◆CYShH4Cn.Qさん

前半あってるのに結論が間違っています。
これは無限大の概念を理解していないのでしょう。
あなたの文章をできるかぎり尊重して書きなおすとすれば以下のようになります。

-------
数列｛ａ_n＝1-10^(-n)｝について、

　すべての自然数nに対して　ａ_n＜1
　n = 無限大であるならば　ａ_n = 1

つまりnが自然数である場合、nをどれだけ大きくしたところで1にはなりえない。

nが無限大（∞）である場合、１になる。（限りなく近づくとかではなく、まさに１そのもの、イコール１になる。噛み砕いた証明は>>16さんがしてますね）
-------

自然数の集合 N は、その要素に無限大(∞)を含みません。
>>15は自然数ｎについての結論を、無限大(∞)にまで当てはめてしまっている点が誤りの元ですね。

繰り返しますが、自然数の集合 N は、その要素に無限大(∞)を含みません。
任意の自然数nについてあてはまることが、必ずしも無限大(∞）にはあてはまるとは限らないのです。

460 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 09:55

似たような話しですが、0.999・・・・(無限に続く)というのは0.99999999・・・・9（有限桁）とは違います。これがごっちゃになっていると、

0.999・・・・(無限に続く) = 1　と
0.99999999・・・・9（有限桁） ≠ 1　を混同して誤った話をすることになります。

あなたが>>146であげている前スレにあった
「a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される。」という誤った文も、

「a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・9(有限個)　は許される。a= 0.999・・・・(無限に続く)=1は許されない。」

となります。

もちろんここでは普通のε-δを前提にしており、超準解析（Non-standard Analysis）に基づくとまた話しは違いますが。

その場合でも一意に定まらないだけで、実数系での話しと仮定すればやはり0.999・・・・ = 1　になります。

461 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 09:58

結論: 1=0.999999999999・・・・・　は正しい。

証明は >> 458のリンク先に書いてあるのでそれを読め。

FAQ: Why is 0.9999... = 1?
http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/

462 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 09:59

－－－－－－　終了　－－－－－－

463 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 10:14

ごくたまにいるトンデモは
0.999・・・・(無限に続く) ・・・9
などというわけのわからんものを持ち出す

464 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 10:23

ｗ

465 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 10:27

>>463-464
おまいら>>462に終了って書いてあるのが見えないのか

終了

466 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 15:21

>>465
そんなといったら書くことなくなるじゃん。
どうするんだよ、雑談でもしてるのか？

もともと解析の本でもよめば書いてある内容なんだし、
無限の概念がわかってない香具師がたまに現れて
理解して去っていくスレでいいんじゃないか？

467 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 16:54

>>466
禿同

468 ：１３２人目の素数さん：03/06/14 20:50

実際465のような事言われても納得できないような人しか書き込まないんだしね。このスレは。
普通の人はざっと眺めてマジレスを見つけ納得し帰ってゆく。

469 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 00:43

>>458
> もちろんε-δ論法も、超準解析についてもでている。
> 英語が読めない？そんくらい勉強しろｗ

本当に、そこに「超準解析」もでてた？

470 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 00:56

じゃあ敢えてテイラー展開で定義を…
とヤケクソかつ無知な発言をしてみる。

471 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 04:31

>>469
>>458自身がそこを読んでないと思われ

472 ：１３２人目の素数さん：03/07/02 15:19

n　->　無限大　のとき　1/n = 0
これを　誰か証明してくれ

473 ：１３２人目の素数さん：03/07/02 18:52

>>472
e > 0 に対して k(e) = 2/e とすると、k(e) > 0 であるから、
n > k(e) のとき n > 2/e > 0 すなわち e/2 > 1/n > 0 となる。
e > 0 なので e > e/2 より e > e/2 > 1/n > 0 つまり e > 1/n > 0 となる。
ゆえにどんな e > 0 に対しても n > 2/e ならば e > 1/n > 0 である■

474 ：中学一年：03/07/04 00:30

>>463
友達とこの問題について議論したことがあるんですが，まったく同じことを抜かしておりました．
その友達は今武蔵中学校に通っています．
日本の受験システムはどうなってるんだ・・・？

475 ：１３２人目の素数さん：03/07/04 01:14

要は０．９９９・・・をどう読むかですね。

無限の概念を導入すれば１だし
１より小さい最大の実数と読めば、そんな数存在しないって結論になる。

大体最初は後者と読むよな。
で、無限の話を切り出されて前者で納得しちゃうと。

どっちも正しいんだ。
ただ、０．９９９・・・の定義が主観的に変わっただけ。

だと思う。

476 ：１３２人目の素数さん：03/07/04 04:08

そうかあ？大抵の人は小学だか中学だかのときに
1 = (1/3)*3 = (0.333....)*3 = 0.999....
というのを見て変なの、と一瞬思うだろうが特に悩まないんでは？

人によっては循環小数を分数に書き換える方法から
>>321 >>331 >>381 >>450 を思いつくだろう。
それは 0.999.... という数の存在性を保証してない点を除けば正しい。

存在性を証明しなければならないと気付いたときに初めて
級数による説明の必要性を納得する。
しかし高校の段階では、極限の定義が曖昧だし実数にいたっては
マトモに定義すらされないので十分に理解することは難しい。

そして、極限と実数の両方の定義をきちんと学んだあとで、
やっと級数 0.999.... が実数 1 が一致するという意味を現代的に理解できる。

と思うんだが。

477 ：１３２人目の素数さん：03/07/04 22:42

>>473
それは
　1/n = 0
の証明では無いだろ

478 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 09:35

>>477
正しいと思うが？
"="の意味が問題だな。ｎ　->　∞　なときを考える場合
"等しい"というより”等しいとみなせる”と言う意味だな。

>>473の言わんとするところは
どんなに小さな正の数eをもってきても、
ｎが結構大きければ（具体的にはk(e)より大でさえあれば）、1/nはeより小さくなる
この事実があるのでｎ　->　∞のとき1/nは０と”等しいとみなす”わけ。

479 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 11:19

どんどん限りなく0に近づくというこであり
決して0になるという証明ではないのね
それが0であると主張するには、別の定理または定義が必要なはずだ

480 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 14:51

>>472の「n　->　無限大　のとき　1/n = 0」は
現在通用している記法のもとでは無意味ですが何か？

481 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 18:32

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482 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 22:19

>>479
実数の完備性

483 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 23:39

1=0.999
10=9.999
10-1=9
9.999-0.999=9
1=0.999

484 ：１３２人目の素数さん：03/07/05 23:55

>>480
ということは
１　＝　０．９９９９・・・
も無意味ですか?

485 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 00:13

お前何言ってんの？馬鹿じゃねえの？

486 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 07:08

>>479
1/n = 0 であるとは誰も主張しませんが何か？

487 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 19:06

>>484
>>480は
n　->　無限大　のとき　1/n = 0
の"1/n = 0"がおかしいと言っている（んだよね？>>480）。
正しくは
n　->　無限大　のとき　1/n -> 0
あるいはlim記号を用いて
lim[n->∞]1/n = 0
と書くべきだ。

それで
１＝０．９９９９・・・
と言うのは、式の意味自体にすでに極限の概念が含まれていて
式を厳密に言いかえると
数列a(n)を０．９９・・・９９と９がｎ個続くものとしたときに
lim[n->∞]a(n) = 1
であると言うことを主張しているわけ。

488 ：aaad ◆ozOtJW9BFA ：03/07/06 21:34

泥沼で藻面白いスレ。
前にも書いたけど、無限である限り1=0・9999999999999999999999999...というのはだめなのでしょうか？
だめだとしたら何でだめなんだ？

489 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 21:57

>>488
> 前にも書いたけど、無限である限り1=0・9999999999999999999999999...

「無限である限り」意味不明
「0・9999999999999999999999999...」これは0.9999999999999999999999999...か?

490 ：aaad ◆ozOtJW9BFA ：03/07/06 22:06

あ、そうです。書き間違いごめん。

491 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 22:07

んで「無限である限り」の意味は？

492 ：aaad ◆ozOtJW9BFA ：03/07/06 22:12

>>489 >>491さん
0.9999999999...と続くのが、永遠ということです。。。

493 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 22:21

じゃあ正しいだろ。
「永遠」とか「無限」って言う言葉の意味を定義しない限りは正当性は保証されないが。

494 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 23:33

私とうとう脱いじゃった♪
http://alink3.uic.to/user/angeler.html

495 ：１３２人目の素数さん：03/07/06 23:50

結局この話題って、言葉や記号の定義を自分なりの解釈のまま
説明に用いてしまう人達との戦いって感じだ。
「0.999…」は点々も含めてあくまでも一つの記号なんだから、

0.999… := 左辺を定義する式

という定義式を出発点にするしかない。
もちろんこの右辺を散々既出の有理数列の極限値にしなくたって構わないけど
それならそれで未知の記号「0.999…」に対する定義式を明確に書く必要がある。
その際には曖昧な表現や感覚的な表現は一切してはならないし、その記号が
どのような対象か（どのような集合に属するか）を示す必要もある。

しかし定義を「小数点以下に９が延々と続くもの」などとしたら、それが実数であること
すら示せない。未知の記号「0.999…」と実数1との比較の前に、まずそれが実数
であることすら示せない説明文は（少なくとも実数の）定義になどなっていない。

見た目で考えるといかにも身近なものに思えるから「小数点以下９がずっと続く『数字』」
などと勝手に実数の仲間入りをさせてしまっているようだが、見た目などは数学的に
はどうでもよくて、唯一大事なのは定義の文章のみ。

有理数列の極限値という定義以外を用いる人は
自分の定義を出発点として「0.999…」が実数であることを証明してみよ。
それが出来ずに実数1と比較するのはおかしい。

496 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 00:05

>>487
>lim[n->∞]a(n) = 1
>であると言うことを主張しているわけ。

0.9999....がlim[n->∞]a(n)を表すという主張がわからない。
前者は無限に足してるというだけで、別にlimじゃないように見えるけど。

497 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 00:16

>>496
おまえ釣りはやめとけよ

498 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 00:46

>>496
a(n) を 1 - 10^-n と置く。

499 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 00:50

lim[n->∞]a(n)って0.999....と1の二つあるんじゃね？

500 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 06:44

じゃあ二つあることを証明して

501 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 12:36

世界史の教師が授業中に

1=0.999･･･
両辺を3で割って
1/3=0.333･･･
両辺に3をかけて
1=0.999･･･
教師「ほらっ、等式変形できた。だからこれは等式だ！」と言った。
俺は何も言わなかったさ。世界史の授業中だったからね

502 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 13:05

工房のとき、教師が授業中に
1=1
両辺を3で割って
1/3=0.333･･･
両辺に3をかけて
1=0.999･･･
教師「ほらっ、等式変形できた。だからこれは等式だ！」と言った。
俺は何も言わなかったさ。保健体育の授業中だったからね

503 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 15:35

ネタとしてはちっとも面白くないがその変形は間違いではない

504 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 16:19

無限大、は極限値であり数値としては表現できない。

1/∞＝０　1＝0.99999…

疑いの余地は全く無い。

505 ：内田栄治 ◆0KFWZfjnEk ：03/07/07 16:22

＞疑いの余地は全く無い。
ハァ？

506 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 16:31

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507 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 16:46

ネタにマジレス
等式→等式変形可〇
等式変形可→等式×

ｦﾏｹ
1=3
↓
1/3=1
↓
1=3

508 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 16:51

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509 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 18:46

実数xを小数表記a.b_1 b_2 ... で表すときの手順
(1) a<=x<a+1となるような整数aを見つける
(2) a+b_1*10^(-1)<=x<a+(b_1+1)*10^(-1)となるような整数b_1を見つける
以下略

で、0.999...が表す実数をxとすれば、
(1)より0<=x<1
ところが1-x=0
∴実数xは存在しない。

510 ：１３２人目の素数さん：03/07/07 21:28

0.9999…と1との間に数ってないもんね。
間ないってことは同じ数だもんね。

511 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 01:50

> (1)より0<=x<1

このネタが510に無視された509に幸あれ

512 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 01:52

俺は釣りじゃなくて本気っぽいと思いながら見守ってた

513 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 04:41

ところでこの板って≦や→を使ってはいけないという
ローカルルールがあるんですか？

514 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 04:52

板？
このスレにはないと思われ。なぜ？

515 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 12:53

->　とか　>_　とかわけわからないのばかり使われているので

516 ：１３２人目の素数さん：03/07/08 13:09

わけわかんなくないだろ。

517 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 00:32

(1) a=0.9999... と置く
両辺10倍
(2) 10a=9.999...　＊

(2)-(1) 9a=9
よって a=1 って既出だろうけど。

でも、＊があやしいような、そうでもないような…

518 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 01:20

>>517
>>476

519 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 07:39

>>476
1/3=0.3333... ってのは、たいていの人が受け入れちゃうけど、
考えてみると、これも簡単には認められないってことだね。

520 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 14:29

小数展開された実数に掛け算を施せる保証ってあるの？

もし0.999・・・×10ができるというなら、
0.999・・・×n(自然数)はもちろん0.999・・・×α(実数)
なども計算のアルゴリズムと、nやαが具体的に与えられた場合の
計算結果を表記できなければならない
もちろん0.999・・・以外の数についても同様

521 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 14:36

1/3 = 0.333... が受け入れられるのは、割り算の筆算が有限桁の数字を入力とし
各ステップでは有限桁で表せる数しか扱わないアルゴリズムだからなんだろうな。
入力が無限桁になると>>520のような反論が起こる。

522 ：１３２人目の素数さん：03/07/09 17:19

>>520
そういう操作的な保証の仕方もあって計算可能実数という理論がそれにあたる。

523 ：475：03/07/12 03:48

１より小さい最大の実数の存在を証明するのに極限つかっちゃだめでしょ。
１より小さい最大の実数は１です。って訳の分からん結果になっちゃうよ。

ここら辺が分かってないって感じの発言が結構多いんだよなぁ。このスレ。

524 ：１３２人目の素数さん：03/07/12 04:14

>１より小さい最大の実数と読めば

>どっちも正しいんだ。
>ただ、０．９９９・・・の定義が主観的に変わっただけ。

きみ、軽い電波だね

525 ：山崎渉：03/07/12 12:45

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

526 ：１３２人目の素数さん：03/07/12 14:15

◆◇◆◇　海外サイトだから安心無修正　◇◆◇◆
http://upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

　↑　
ココは丸見え！　今ならまだ消されてないよ。たぶん・・・

527 ：aaad ◆ozOtJW9BFA ：03/07/12 17:16

>>493さんありが㌧

528 ：１３２人目の素数さん：03/07/12 19:25

理系板に貼る業者って。。。

529 ：１３２人目の素数さん：03/07/13 09:31

理系の板だからこそ需要がある

530 ：１３２人目の素数さん：03/07/26 19:20

1∋0.99･･･

531 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:30

>>523
1より小さい最大の実数なんてない

これでいいですか

532 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:45

1より小さい最大の実数があるなら0より大きい
最小の実数が在る
その数をXとすれば0<X²<X<1となるX²がある
よってこれは矛盾。

533 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:47

X^2とXが逆

534 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:51

逆か？

535 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:53

すまん逆じゃなかった
しかし0<X^2<X<1だったら矛盾していないのでは
0<X<sqrtX<1とかの間違いじゃないかな

536 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 00:56

Xは0より大きい最小の実数と仮定してるから
それより小さな数X²が存在するという事なのでは？

537 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 01:17

あー完全に読み間違えとったすまんかった

538 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 04:26

森毅「その2つちゃうんやったら差をいうてみい」
鶴瓶「0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
フロアディレクター　両手でばってん印

539 ：１３２人目の素数さん：03/08/01 11:01

a：1より小さい最大の実数

このとき1-aは0より大きい最小の実数である
実際もし1-a>b>0なるbがあれば
1>a+b>aとなりaの定義に反する
一方、一般に0<x<1であるxはx^2<xであるから
(1-a)^2<(1-a)
これは矛盾

540 ：１３２人目の素数さん：03/08/02 01:16

数列a_nを{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ……}、
b_nを{0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ……}とおくと、
a_n - b_nは常に0にならないから、無限に大きいnに対してもa_nとb_nは
等しくならない。ゆえに、0.999…と1ばかりか、0.999…と0.999…も等しくない
場合がある。ってのはどうよ。

541 ：540：03/08/02 01:32

む。はげしくガイシュツであった。すまそ。

542 ：１３２人目の素数さん：03/08/02 01:33

極限は等しい。
0.999…を極限として定義するのなら等しい。

ちゃんとした定義は大切ですな。

543 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/08/02 03:03

　　　　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　・３・） (　　＾＾）＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

544 ：１３２人目の素数さん：03/08/05 12:02

1と0.999…が等しいのは
1/3と0.999…/3が等しいことより自明
では何故1と書くか。

a) 面度臭いから
b) 0.999…より1の方が先に発見されたから

545 ：１３２人目の素数さん：03/08/05 13:39

＞無限に大きいn
ﾌﾟ

546 ：１３２人目の素数さん：03/08/09 12:14

つまりあれだ、1じゃないものは1ではない。
1は1だ。
違うか？

547 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 09:03

>>4

１
　ⅰ) 分数を小数表記する。
　　例えば、1/8 = 0.125 。
　ⅱ) 循環小数の場合は、循環節を　( )　で表すことにする。
　　例えば、1/3 = 0.(3)
２
　ⅲ) 小数を級数表記する。
　　例えば、0.125 = 1/10 + 2/10^2 + 5/10^3　
　　(これより、有限小数の分数表記の分母は　2^α*5^β (α、β = 0,1,2,3,・・)　の形に限ることが判る。)
　ⅳ) 循環小数は無限級数表記する。
　　例えば、0.(3) = ∑[n=1→∞] 3/(10^n)

さて、
　0.(9) = ∑[n=1→∞] 9/(10^n)　
であるが、一方、
1 = 3*1/3 = 3*0.(3) = 3*∑[n=1→∞] 3/(10^n) = ∑[n=1→∞] 3*3/(10^n) = ∑[n=1→∞] 9/(10^n)　である。
であるから、
　　1 = 0.(9)
である。

無限小数を、例えば
　1/3 = 0.(3) = 0.3333・・・
　√2 = 0.141421356・・・
などと表現したとき、上は 3 が循環節になっていて 3 が無限に繰り返されるが、
下には循環節は無く非循環無限小数であり、「・・・」の部分の意味が曖昧である。

548 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 09:06

恥ずかしいスレですね。

549 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 19:55

>>547
正解。limなんて使う必要はゼロ。

550 ：１３２人目の素数さん：03/08/15 11:33

>>549
明示的に使ってないだけだろ。

551 ：１３２人目の素数さん：03/08/15 16:11

>>550
h性h不ヴェあy78ｓx78rx78hｔ78kｚくぁt67kg7ｙｈっぇｄｘ＠うぇうｓ９８ｙｈｓｄぉ

552 ：山崎渉：03/08/15 18:26

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

553 ：１３２人目の素数さん：03/08/16 09:56

>>549

例えば

lim[n→∞] ∑[k=1～n]1/k = ∑[n=1～∞]1/n

この表現は正しいのでしょうか？
(因みに、lim[n→∞] ∑[k=1～n]1/k = ∞ )
正しいとすると

lim[n→∞] ∑[k=1～n]k = ∑[n=1～∞]1/n

も正しいのでしょうか？
(因みに、lim[n→∞] ∑[k=1～n]k = ∞ )

lim[n→∞]∑[k=1→n] 9/(10^k) = ∑[n=1→∞] 9/(10^n)

これは正しいですね。

lim[n→∞]∑[k=1→n] 9/(10^k) = 1　(確定値)

ですから、

∑[n=1→∞] 9/(10^n) = 1

ですね。

554 ：１３２人目の素数さん：03/08/16 12:32

age

555 ：１３２人目の素数さん：03/08/19 23:59

無限小数って、なんだか「フラクタル次元」持ってそうな気がする。

0.999999...が「0次元」以外だったら、1と比較しようが無い。

556 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 10:44

557 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 12:36

x*10=x+9
xの値を求めよ

558 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 12:38

>>557
x=1

559 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 15:42

>>558
否、0.999…

560 ：ﾎﾟﾍﾟﾙまんじゅう：03/08/21 15:49

次の数量を文字を使った式であらわせ
（１）xで割ると商が4であまりが3になる整数
（２）分速umで，t分間進んだときの距離
（３）１個agの品物を２０個を，重さbgの箱に詰めたときの全体の重さ
（４）５ℓでx円のガソリンyℓの代金
（５）２数の平均がm，その一方の数がaの時のもう一方の数
やって

561 ：558：03/08/21 15:51

>>559
どっちも同じだって。

562 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 22:34

>>560
ﾎﾟﾍﾟﾙまんじゅうちゃんは何年生？

（１）　元の数を y とする。
　　　x で割って商が 4 で割り切れるようにするにはを掛けた数は y とどのくらいの差があるの？
（２）　t分進むうち、初めの1分で u(m)進み、次の1分でさらに u(m)進み、3分後には結局合計 3u(m) 進んでいて、
　　　さらに次の1分でさらに u(m) 進み、・・・、結局t分後には合計　??(m) 進んでいる。
（３）　1個a(g)なら20個で ??(g)、重さbgの箱に詰めたら合計で　??(g) + b(g)
（４）　５(ℓ)でx円のガソリンは、1(ℓ)では ?円だから、y(ℓ)だったら ?円のがy(ℓ)なんだから・・・
（５）　一方の数が2の時のもう一方の数を4としたらその2数の平均は 3 だから、
　　　一方の数がaの時のもう一方の数bとすると、その2数の平均は　??　でこれがmに等しいから・・・

563 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 22:44

>>562。。。訂正。。。

×　　x で割って商が 4 で割り切れるようにするにはを掛けた数は y とどのくらいの差があるの？
↓
○　　x で割ると商が 4 で、割り切れる数は x に 4 を掛けた数だけど、その数は y とどのくらいの差があるの？

564 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 22:46

アダルトＤＶＤ１枚５００円～！

http://www.net-de-dvd.com/

565 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 16:39

>>517って実は循環小数を分数に変換する時の操作そのままだから、あれを疑問に思うって
ことは循環小数が分数に直せないってことになるけど、その辺はどうなんだろう？

566 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:03

　　1÷3＝0.3・・・

　　 1/3＝0.3・・・
　1/3*3＝0.3・・・*3
　　　　1＝0.9・・・・

とかは？・・・だめか。
1÷3≒0.3・・・　になるか。

567 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:08

低レベルなスレだなｗ

568 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:09

>>566
真似してみる。
10a-a=9⇔a=1
0.99…*10=9.99…
9.99…-0.99…=9

569 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:14

おまいら、あんまりいい方法じゃないぞ。

x = …999999 とおくと
10x = …999990
9x = 10x-x = -9
∴ x = -1

もちろんここから発展する数学はあるけどね。

570 ：あっぺ：03/08/25 01:16

∞ー∞　は定義されないのでは？

571 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:31

>>570
もちろん。しかし例えば、>>569の引き算を筆算でやってごらん。
何となくやっていることの意味がわかると思うよ。
一見馬鹿なことやってるようにも見えるけど、
「…99999×…99999」を同様に筆算でやるとちゃんと「…000001」
と答えが出てくる。これは(-1)*(-1)=1に対応してる。

572 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:35

低レベル過ぎる。

573 ：あっぺ：03/08/25 01:40

「…99999×…99999」を同様に筆算でやるとちゃんと「…000001」

では∞にも奇数と偶数があるの？

574 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:42

>>573
騙されるな…

575 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:44

>>572
そうですか。
>>573
∞としてとらえていいのかどうか…
まあそこらの数論の本でも読んでください。10進法では体は生成できませんが
素数pに対しては上述のような演算に対してp進体というものを考えることができます。

576 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:45

>>574
知らないだけ？

577 ：あっぺ：03/08/25 01:47

x = …999999 とおくと
10x = …999990

･･･が同じ数ということでしょうが、（つまり９の数がおなじ）
無限に続く･･･に対して同じかどうかなんて考えれません

578 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:49

>>577
しかし「すべての自然数nに対して10^nの位が0になること」なら証明可能でしょう。

579 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 01:55

15へぇ

580 ：あっぺ：03/08/25 01:57

>>578
はい。たぶん・・・
でもそれと引きざんと関係があるんですか？

581 ：あっぺ：03/08/25 02:05

すみません。587さんの発言の意図をわかってませんでした

０になることが問題でなく、９の数が問題だと思います。

582 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 02:46

10の位が0、100の位が0、…、10^nの位が0、…
だから結局1の位だけ考えればいいってことでしょ。

583 ：あっぺ：03/08/25 02:49

１０の位は９　１００の位も９
１０＾ｎの位も９
はたしてどこまで続くのかとにかく９
だと思うのですが

584 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 02:54

x = …999999
は形式的級数 9*∑[n=0,∞]10^n で与えたもの。
9x = 10x-x = 9*{(∑[n=1,∞]10^n)-(∑[n=0,∞]10^n)} = -9。
∴ x = -1。

発想は収束する級数 0.999999… のときと同じ。

585 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 02:58

掛け算は約束事が必要。
(∑a(i)10^i)*(∑a(j)10^j) = ∑[k=0,∞](∑[i+j=k]a(i)a(j))10^k

586 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:03

スマン>>585訂正させてくれ

まず足し算を追加 ∑a(i)10^i + ∑b(j)10^j = ∑(a(k)+b(k))10^k
続いて掛け算の訂正 (∑a(i)10^i)*(∑b(j)10^j) = ∑[k=0,∞](∑[i+j=k]a(i)b(j))10^k

これでたぶんOK。

587 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:06

>>あっぺ
とりあえず基本事項だけ載せておいたからよく考えてみて。
あと>>575にもあるけど、10進法では体にはならないから、そこは注意。

588 ：あっぺ：03/08/25 03:14

ありがとうございます

589 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:17

いっそのことココp進体スレにするか？
いつまでも0.9999・・・やっててもつまらんし

590 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:20

＞いつまでも0.9999・・・やっててもつまらんし

禿同。

591 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:29

よく３スレ目まで行ったもんだ

592 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 03:30

確かにｗ

593 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 12:20

>>589に加えて
n進数スレッド（http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014541767/l50）と合流ってのはどう？
これから先はローカルルールで重複扱いにしてさ。

594 ：撒き餌はほどほどに：03/08/25 14:53

>>584
マジでいってんのか？　（　と、真剣な振りをしてみる。（ｗ
∑[n=0,∞]10^nは発散いてますが・・・
確定数では無い。

595 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 15:11

>>594
整数xに対して
n(x)=max{k:自然数;xが10^kで割り切れる}
とすると整数x,yに対してd(x,y)=n(x-y)と定めたものは距離になる。
>>584はこの距離で収束するよ。

ってか>>594が餌だったらやだなー

596 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 15:40

>>595
今読み返してみたが、これでは不正確だな。
この距離で完備な環を考えれば
…9999はそのような環の元と考えられる、と。

597 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 18:05

p進数の話題って広すぎて何を書いて良いのやら・・・
その一方でアデール化も知らない人もいるだろうし

598 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 20:12

＞マジでいってんのか？　（　と、真剣な振りをしてみる。（ｗ
＞∑[n=0,∞]10^nは発散いてますが・・・
＞確定数では無い。

ｗｗｗｗ

599 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 21:12

>>597
アデールだのイデールだのについてというと手頃なところで局所類体論について
語ってはくれまいか？

600 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 22:54

類体論って滅茶苦茶準備いるがな！
以前どこかのスレで類体論を語ろう、というような書き込みがあったけど
あっさり断念してた気がする。

「類体論講義,」　足立恒雄・三宅克哉
はもっとも準備の少ない類体論の教科書と言われているが
それでもかなり面倒・・・

601 ：１３２人目の素数さん：03/08/26 11:50

>>600
まあ、400レスぐらい残ってるし、p進スレにしようと仰る人の熱意とセンスで
なんとかしてみることも検討してくだされ。

602 ：１３２人目の素数さん：03/08/26 13:51

類体論じゃないけど、p進数を「目で見る」ってのが
整数論サマーセミナーに参加した院生が発表してたな。
ちゃんと読んでないんでどの程度のものかわからないけど
p進距離を視覚化したというような内容だった・・・かな？

603 ：コギャルとカリスマH：03/08/26 13:53

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604 ：１３２人目の素数さん：03/08/26 22:10

小学生にはこう教える。

１÷３＝0.3333333・・・

0.333333・・・×３＝0.999999・・・

だから、0.999999・・・＝１

605 ：１３２人目の素数さん：03/08/26 22:14

君ら、ウデールを知ってるかい？

606 ：１３２人目の素数さん：03/08/27 22:27

エーテル？

607 ：１３２人目の素数さん：03/08/28 20:19

∑a(i)p^i + ∑b(j)p^j = ∑(a(k)+b(k))p^k
(∑a(i)p^i)*(∑b(j)p^j) = ∑[k=0,∞](∑[i+j=k]a(i)b(j))p^k

ここからどう進むのか教えて。

608 ：１３２人目の素数さん：03/08/29 02:19

>>607
ナニガしたかったんだろう。

609 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 04:03

>>607
？

610 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 22:51

カテーテル

611 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:23

>>604
１＝０．９９９・・・は間違いやろ
以前小学生に聞かれたとき、
どんだけ９が増えてもぜったい繰り上がらないから１にはならない
と答えた
ま、ある意味スレ違いですみません。
q進数のはなしですね

612 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:31

>>611
はぁ？

613 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:39

＞１＝０．９９９・・・は間違いやろ
＞以前小学生に聞かれたとき、
＞どんだけ９が増えてもぜったい繰り上がらないから１にはならない
＞と答えた

電波ｷﾀ Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒(｡A｡)!!!

614 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:42

>>611
いますぐ、解析学の本読んであなた自身が勘違いに気づき、
その小学生に分かるように説明しなおすことを強く要求します。

615 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:47

0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

616 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:47

解析の本を読むほどのことか？（ｗ

617 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:55

>>616
自分の頭だけで分からんかったら実数論のとこ読むしかないでしょうよ。

618 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:57

つーか普通に0.9999…の収束くらいわかるだろ

619 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 23:58

いくら増えてもって考え方は無限を理解していない（ｒｙ

620 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:01

１＝０．９９９・・
このときの＝は収束の意味ではない
本当に等しいかどうかの＝
収束の意味での＝なら、いちいちこんなスレたたんやろう

621 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:05

記念かきこ

622 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:07

>>618
まあこのスレッドが3621レスも続いてるってことが
分からん人が大勢いるってことの傍証でしょうよ。

623 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:08

× 3621レス
○ 2621レス

624 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:09

http://www.google.com/search?num=50&hl=ja&ie=Shift_JIS&c2coff=1&q=0.9999999999999999999%3D&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=lang_ja

625 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 00:12

>>624
まあそれは四捨五入してるだけだけどね。

626 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 01:19

>>620
本当に等しいかどうかの＝だろ？

627 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 01:23

>>626
そうだよ。

628 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:22

どうやらp進数の話にはならんようですたい

629 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:26

おれは思った
０＝０．００００００００００・・・　　　・・・・１
を考えてるのといっしょだよなぁ
素人意見ですんまそ

630 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:28

>>629
それはイコールではありません。

631 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:36

>>629
じゃあ
0.000000000000・・・・1+0.999999999999・・・＝１
これって成り立つ？？？やべわかんなくなってきた

632 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:38

>>631
成り立たない。

633 ：631：03/08/31 02:38

>>629じゃなくて>>630でした

634 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:40

>>631
0.0000・・・ + 0.9999・・・ = 1 なら成り立つ。

635 ：631：03/08/31 02:41

てことは
0.00000000000000・・・・１+0.99999999999・・・・＝１．0000000000・・・1
なのかー？？もしくは何になるんでせう

636 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:43

0.0000・・・・1 = 0.0000・・・・100000000・・・
だろ？

637 ：631：03/08/31 02:48

>>636
すげーありがとう理解できたー最高
てことは、
結局0＝0.00000・・・　　　0＜0.000・・・・1000・・
　　　1＝0.99999・・・
ことなんすね

638 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 02:53

>>637
そう。

639 ：631：03/08/31 03:04

ほんとにありがとう初めて数学板きたんだけど
なんかやさしいし、少し賢くなれたよ

640 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 03:09

日ごろの数学板はとても殺伐としている罠

641 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 03:09

>>639
スレ汚すな。氏ね。

642 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 03:17

夏は>>641がよく喚くな

643 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 05:42

>>642
オマエモナー

644 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 10:59

「0.000…1」なんていう定義できもしない「もの」について
真剣に語るようなのがいる限りこのスレは不滅だね。

「もの」を「実数」にしたければちゃんと実数であることを示してみな。
実数との大小の比較するなんてのは「0.000…1」というのが
実数じゃなければできないのだから。
「0.999…」に関してもまずそれが実数であることを示して
それで初めて不等号の話に持っていけるってのに・・・

散々既出な内容だけど何度言ってもわからない人や
実数であることを示さず（示せず）にいきなり不等号を
用いる人がいるから不思議だ。

「0.999…」が実数であることを示すにはどうしてもコーシー列
の概念（もしくはそれと同値なもの。デデキントカット等）を使う必要があって
結局は有理数列からなるコーシー列の極限値として「0.999…＝1」という
実数としての等号を示すことになる。実数として定義しつつ「0.999…≠1」
と導けるならむしろ導いてみて欲しい。
（念のため書いておくけど無限小は実数ではないからね。舞台を超準解析の
世界（集合として実数Ｒよりも真に大）にして「0.999…」と「1」は同じじゃないぞ、
と言うのは自由だけどそれはあくまでも「0.999…」に実数ではない定義を与えただけだから）

645 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 11:12

>>644
むしろ
何度言っても分からない人がなぜ存在してしまうか
とか
どうしてそのことを私は分かってしまうのか
とか
に興味がむきませんか?

646 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 12:36

>>644
定義できるだろ。アホか？

647 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 13:26

>>646
アホを黙らすためにもズバーっと定義を書いてやってくれ

648 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 14:29

定義がはっきりしていない、に留めておいたほうがいいやね

649 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 16:00

∑(a_k)10^(-k)
でa_kを定義すればいいだけ。

650 ：釣られてやるか：03/08/31 16:51

>>649
そのa_kの定義が問題なのでは・・・？
まさか「a_kは無限個0が続いて最後に1」とか
言うつもりじゃないだろうねｗ

651 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 16:54

>>646＝>>649＝夏休みの宿題をやってない厨房

652 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 17:50

四則演算が出来なくてもいいんなら「1/0=zとおいて10^(-z)」とするとか。
出来るようにするなら「∀n∈N(c>n)となるようなcを新たに自然数に追加して10^(-c)」とするとか。

653 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:05

ｚといえばｚ案・・・
懐かしい

654 ：649：03/08/31 18:15

だから k=n のとき a_k=1
k≠n のとき a_k=0
で定義完了。

655 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:17

>>650
そんな数は存在しない。

656 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:32

>>654
それがなんの定義になってるの？
というかｎってどこから出てきたの？
釣り続けると何か楽しいことがあるの？

657 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:33

>>656
nは定数。
おまえこそ何の話をしてるんだ？

658 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:50

どうやら>>657は１０＾（-ｎ）について言っていたらしい・・・
こんな数に誰もイチャモンつけるわけないのに

>>629が想像してるのが0.00・・・（0が無限個）・・・001
だと読めないとはな・・・

659 ：１３２人目の素数さん：03/08/31 18:54

だから 0.0000・・・00010000・・・のことだろ？

660 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 01:14

mim

661 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 10:13

ていうか、無限小数は収束するんだからその収束値を、その無限小数の値にしただけじゃないのか？

662 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 18:13

1÷1=1
　＿
1ノ1

↓
　＿0
1ノ10

↓
　＿0.9
1ノ10
　　 9
　----
　　10
↓
　＿0.99
1ノ10
　　 9
　----
　　 10
　　　9
　　---
　　 10

　　・
　　・
　　・
よって1=0.999999999999・・・・・

663 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 19:47

あなたはその計算を永遠に続けないと
いけない
したがっで
いつまでたっても
よって1=.....の結論にはたどりつけない

664 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 22:03

おまえらいい加減わかってくれよ

665 ：１３２人目の素数さん：03/09/04 22:57

0.999…より、少しでも大きい数は１よりも大きい。
１よりも少しでも小さい数は、0.999…よりも小さい。
見た目はどうであれ、性質的に0.999…は１以外の何者でもない。
とりあえず今の数学では、
「１より小さいが、ほかのどんな数よりも１に近い」数は
存在しない。

666 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 00:37

＞とりあえず今の数学では、
＞「１より小さいが、ほかのどんな数よりも１に近い」数は
＞存在しない。

(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

667 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 00:42

>>662
スレ違い

668 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 05:41

単純な質問なんですが0.999･･･といったような数に四則演算は使っていいのですか?　

669 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 15:12

>>668
悪い理由がどこにもない

670 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 16:40

8=7.999999999999・・・・・

671 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 17:05

A={0.9 , 0.99 , 0.999…}　とおいた時
Ａは開集合ですか？それとも閉集合ですか？
Ａが開集合だとsupＡ＝１なだけで
0.999…＜１のような気がするですが…。
supA∈Ａなのでしょうか？

672 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 17:26

開集合でも閉集合でもありません。
位相の勉強をきちんとしなおしてきて下さい。

673 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 02:32

0.9999999…＝χ…①とおくと、10χ＝9.99999… …②、①と②の差を取って9χ＝9,χ＝1 よって0.9999999…＝1 もうこれでいいじゃん、面倒だし。

674 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 02:39

>>673
数学やめれ

675 ：>：03/09/09 19:40

>673
”9.9999999...- 0.999999.... が 9になる”
をどうやって計算した？

676 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:02

>>671
> {0.9 , 0.99 , 0.999…}

その書き方変だよ。A = {0.9, 0.99, 0.999, …} ならいいんだが。
んで、0.999999… は A には属さない。しかし、A の唯一の集積点ではある。

677 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:25

無限については、皆さんだけでなく、昔から偉いと言われている有名な人達も
けんがくがくでした。未だに異論はたくさんあります。
ですから、皆さんがあいつが馬鹿だとかこいつが足りないとか言う必要はありません。
だって、皆様々だから、、、いまだに。

納得はできないとは思いますが、とりあえずそうしといて、
他の分野の数学も見てください。
皆さんと同じ論点でけんけんがくがくやってる分野もありますよ。
ですから、つまらない議論などと思わず、疑問は疑問のまま大切にとっておいてください。
それが学問の原動力ですから。

みなさんの疑問や意見は決してくだらない物なんかではなく、
昔の人も同じに考えてたと思ってください。
それは多分ほんとうです。

678 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 21:54

>>677
大賛成。

679 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 22:12

>>677-678

680 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 23:49

1/9=0.11111･･･
2/9=0.22222･･･
3/9=0.33333･･･
　　　　：
8/9=0.88888･･･
9/9=0.99999･･･
数列ではこうなる。しかし9/9=1。
よって0.9999･･･=1
終了

681 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 00:49

>>680
ネタですか？

682 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 04:37

>>678
1-1+1-1+1-1+…
の値は
(1-1)+(1-1)+…
と捕らえれば0となり
1+(-1+1)+(-1+1)+…
と捕らえれば1となる。
0にも1にも平等になり得るのでこの値は1/2

こう考えたのは彼のライプニッツでした。

この板で間違いを笑う人たちはライプニッツもわらって下さいね。
この板で間違いを馬鹿にする人たちはライプニッツも馬鹿にしてくださいね。

683 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 05:06

未解決の問題に関して、仮説を立てるなどしたことが
結果的には間違っていた、というようなことなら大いに結構。
しかし、すでに決着のついた問題に関して、
そのことを理解できず、延々と間違い続ける奴はただのバカである。

684 ：●のテストカキコ中：03/09/10 05:16

http://ula2ch.muvc.net/　(このカキコは削除しても良いです)

685 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 09:46

>>683
決着済みか未解決かは事前には分かるものじゃないですよね。
すでに決着のついた問題が理解できないとして自分なりの解決を探ることは
いいことじゃないですか。
やっぱりあなたも理解できないことそのものをバカにしてることになりますね。
私の言ってること理解できますか？

686 ：supermathmania ◆ViEu89Okng ：03/09/10 09:51

1-1+1-1+...をn項まで続けると、
(1-(-1)^n)/2となる。n→∞で収束しないことは明らかだ。
だが、こんな式変形が考えられる。
1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+...)より、2*(1-1+1-1+...)=1なので、1-1+1-1+...=1/2
この=の意味するところは何だろう？

687 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 20:22

1/9 = 0.111…。両辺に9を掛けて、9/9(=1) = 0.999…

688 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 20:55

>>687
無限につづく少数に素朴に掛け算が実行できると決め付けるおまえは
ただのアホ

689 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 22:14

>>681
ネタに見えるのか、数列知らない人？

690 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 22:32

>>687
厳密に言ったら　1/9 = 0.111‥　ってのは正しくないんじゃないの？

691 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 23:16

>>682
無限の数の和の定義次第ではそのように結論付ける事は間違っていない。
それと循環論法になっているような間違いを一緒にしないように。

>>685
＞決着済みか未解決かは事前には分かるものじゃないですよね。
図書館やネット等を利用する事は出来るし、このスレにおける問題は
そこまで調べるのに苦労する物ではない。
＞すでに決着のついた問題が理解できないとして
よく考えもせず、ロクに調べてもいないだけです。

692 ：683：03/09/11 01:54

>>685
> いいことじゃないですか。

まあ、それには反対はしません。

> やっぱりあなたも理解できないことそのものをバカにしてることになりますね。

世の中には自分にも理解できないことはあるでしょうし、
何かを理解できないということで人をバカにするつもりはございません。
>>683に書いたことと矛盾してるように思われるでしょうが、
>>683は>>682を見て、ライプニッツの間違いと、
このスレに書きこんでる人の間違いは、或る面において質の違うもので
一緒にできるものではないだろうと思って書いたのであります。

693 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 13:49

>>691
＞無限の数の和の定義次第ではそのように結論付ける事は間違っていない。
どう定義したらwell-definedで1/2になる定義があるのか知ってるのなら教えてください。

＞図書館やネット等を利用する事は出来るし、このスレにおける問題は
そこまで調べるのに苦労する物ではない。
それはあなたが大学人だからでしょう。大学人でなくて気軽に数学に興味を持って、
調べるなんて思いもつかなくて、でも考えることは好きだ、っていうひとってこのスレだと
平均的なんじゃないですか？
私にも覚えがあるけど、自分のできることは人もできるって錯覚はいやみだと思いますよ。

694 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 13:53

０．９９９９９９９９...＋無限小＝１
０．９９９９９９９９...not＝１に個人的には賛成します。
無限小＝０とすると、皆さんや学校で習った方が正しい。
無限小を０とは別の数として定義しなおせば、このスレを立てた人も少しは納得
していただけるのでは、、、？（そんな数学もある。）
無限を何かまとまった完成された物として見る事に激しく抵抗のある数学者は
たくさんいます。
ガウス、ブロウアー、反カントール的人々（忘れたが有名所がたくさんいる）、、、

いきなりの無限に抵抗のある人はたくさんいる。
カントールの対角線論法の新しい数の定義。
数学的帰納法のだから、無限の自然数について成り立つ。
選択公理。
可算無限の自然数サイコロで１の出る確率は？
、、、、、

有限構成的な物しか認めないぞって言う数学だってある。（そんなに異端じゃあない。
むしろ、豊かさはないが、数学を安定で安全なものにしてくれる。）

695 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 13:58

>>692
いわばこのスレッドの話題はツェノンの逆理から
実数の十進表記の確立、数直線というおよそ二千年くらいの
不思議の追求なんでしょう。
それを現代日本の初等中等教育を受けて作られた数のイメージのみを武器に、
あれこれ試行錯誤している人たちの集まりなわけじゃないですか。このスレは。
だったら温かく見守ってあげましょうよ。

696 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 16:39

>>693
級数1-x+x^2-…はx=1を代入すると1-1+1-…となって収束しないが、
|x|<1の際1-x+x^2-…=1/(1+x)となる事を利用して、
1-1+1-…を1/(1+x)にx=1を代入した値で代用すると1/2になる。

と、ここまで書いてみると「定義次第では～間違っていない」
という言い方は余り適切ではなかったな。
しかし循環論法になっているような間違いや、
過去のレスと全く同じな誤り等と一緒にするべきではないのは確かではある。

＞調べるなんて思いもつかなく
確かに図書館で調べる暇がない事は仕方が無い。
しかし"1=0.999…"でgoogle検索したりしない、
いやそれどころかこのスレの過去ログもロクに読まずに書き込み、そして
前にされたのと同じ質問・意見を繰り返す奴には弁解の余地はないと思うが。
このスレにおいて馬鹿にされてるのはそのような人たちであり、
彼らが馬鹿にされるのは仕方の無い事であろう。

697 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 17:42

0.999…は0.9+0.09+0.009+…という無限級数の和で定義される。
この無限級数は初項0.9、項比0.1である。
初項a、項比rの無限級数の和の公式S=a/(1-r)より、S=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1

698 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 21:51

0.999…　などという数は存在しない　でファイナル答え

699 ：・・・の人：03/09/11 22:39

数字の並びはどこかで終わる。
証明の例として単純なものを・・・
１ｍのヒモがある。これを３等分すると何ｍになるか。
答えは３分の1ｍ。
３分の1ｍ＝０.３３３３３３３…ｍ
でも長さは決まっている。
果たしてどこまでも続く数字に長さがきまるのだろうか？

700 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 22:49

>>699
0から1ってのは有限だが、0～1の中に実数は無限にある。
ｱﾌｫですか？

701 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 23:25

その　無限級数の和の公式　を証明してみてね

702 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 23:34

実数の十進表記の確立・・ふむ
無理数は十進数では表記できないと考えるのが自然ではないですか

703 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 23:35

いいかげんにせい。

704 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 00:47

>>697
こいつはバカの典型

705 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 03:35

>>702
なんで？

706 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 13:22

>>699
正確に1mといえるか？
正確に1/3に切れるといえるか？
原理的にでいいが、それはほとんど不可能だ。
原子を切れるか？電子を切れるか？
長さが0.33333･･･　になりえないことは明らかだ

707 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 18:48

>>706
思弁的な世界と物理的な世界の話を混同してはいけない
と言う話だと思います。

708 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 00:16

>>705
ルート2を10進数で表現してみましょう
あなたのできる範囲でいいですよ

709 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 00:53

>>708
ああ、十進表記が出来ないといってたのですか。
　　　　　　　　　　　＿＿＿＿
でも存在はしますね。
初等関数で表現できない原始関数が存在するように。

710 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 15:15

√2の10進表示の任意の桁を求めるアルゴリズムは存在する。
だから10進表示は出来ると言えるだろ。
但し10進表示で√2を指定することは出来ないが。（具体的には計算機への入力として、など）

711 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 15:16

√2の10進表示とは
有理数列 {1,1.4,1.41,…} の極限値のことを言うのですか？

712 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 15:36

>>710自己レス
2行目「出来る」→「存在する」

>>711
用語法が謎すぎ。
10進表示は実数じゃなくて整数から{0,1,...,9}への関数だよ。

713 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:02

>>710
計算できるのは有限桁だけですよ

714 ：渡部真哉：03/09/13 17:17

中学生なので「有理数列」とか「有限桁」とかは分かりません。
このスレの答えだけを言います。

0.99999999999999999999999999999999999999・・・・を　ｘ　とする。
10ｘ　＝　9.99999999999999999999999999999999・・・・
10ｘ　-　ｘ　＝　9ｘ
9.999999999999999・・・　-　0.999999999999999・・・　は９
9ｘ　＝　9
ｘ　＝　1

よって　0.99999999999999・・・　は1と言える。　

715 ：渡部真哉：03/09/13 17:19

分かりにくかったら言ってください。

716 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:20

>>714-715
我々は数学的厳密性等々の話をしているわけであって。
キミみたいに空気の読めない馬鹿はスレ違いかと。

717 ：渡部真哉：03/09/13 17:20

去っていいですか？

718 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:21

>>714
まず0.9999・・・を定義せよ

719 ：渡部真哉：03/09/13 17:22

このスレは0.9999999999999・・・が1になるかを
話しているのではないのですか？

720 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:23

>>719
キミの場合はそれ以前の話だけどね。

721 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:25

>>714みたいに書く香具師は極限の概念も知らんのだよ

722 ：渡部真哉：03/09/13 17:26

0.99999999999・・・をｘとして話しました。
さっきも言ったように中学生なので定義せよと言われてもね・・・
では、数学的厳密性等々の話に戻ってください。
失礼しました。

723 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 17:27

＞0.99999999999・・・をｘとして話しました。

(ﾟДﾟ)ﾊｧ?　

724 ：１３２人目の素数さん：03/09/13 20:43

河東がいかにすごいやつか。再認識した。

725 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 00:40

>√2の10進表示の任意の桁を求めるアルゴリズムは存在する。
>だから10進表示は出来ると言えるだろ。

0.99999999999・・・の任意の桁を求めることも可能だから
10進表示は出来ると言えるだろ。

どの桁も９だ！！

・・・あれ？・・・じゃ、＝１じゃないじゃん！
これでよいですか？

726 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 00:52

>>725
はぁ？

727 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 05:14

>>725
10進表示から実数への関数が単射であるのなら君の意見は正しい。

728 ：有限構成：03/09/14 21:13

任意の桁について成り立つ。＝＞よって、無限にある全ての桁について成り立つ。
これは、数学的帰納法でも用いられていますが、
無限に対して？？と言う事を言い始めているこのスレの根本的疑問に対しては
有限構成的でないと、おそらく納得はしてもらえないだろう。

カントールは実数と無限小数（今言う所の１０進表示）は1対1,ontoであると（そんな事当たり前でしょ）して
集合論を立てている。んで、いろんなしちめんどくさい矛盾をつかれて、最後は精神病院で終わっています。
ゲーテルまでで、どうもこの豊かな数学世界を認めて行くには、真か偽か判断のつかない命題が存在してしまう。
ちょとした疑念をも許さないとすれば、徹底的に有限構成的に話を進めて行くしかない。

729 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 21:15

１０進少数表示は一意でないが

730 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 21:17

１０進少数表示なんて無いが

731 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 21:48

>727,729,730
君はカントールを頭のさわりも多分読んでないんだね。
誰かに何か教える時や、馬鹿にして反論する時はよく調べてからにしてね。

732 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 21:51

さわりとは話の核心のことです

733 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 21:57

1.0000000・・・・・=0.9999999・・・・

734 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 22:02

カントールも733はあたりまえでしょって話がはじまります。
でも、実際１が言う様にそんなに当たり前ではないんですよ。
それは基礎論ばかりでなく、数学その物のその後の歴史が示しています。

735 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 22:05

実数とは何か。
極限とは何か。
何を公理とし、何を公理としないか。

そこから始めよ。

736 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 22:38

1.0000000・・・・・=0.9999999・・・・が成り立つってことは、
10進小数表示が一意でないってことなんだけど。

737 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 22:54

カントールは736を抜けば一意であるとして話がはじまる。
つまり、超越数も全て、可算無限の数の並びと一意であるとして話は始まっている。
1.0000000・・・・・=0.9999999・・・・
は成り立つって事で話は終わりだよ。
普通は1.0=0.9999999・・・。
でもちょっと違うんでしょって言うのが１。
いつまでたっても同じにはならないんでしょってのが１。

で、ここに無限があるんだって。
・・・がある。

無限に続いたら同じになるでしょって言うのが教科書。
それから、普通の人。

なんだよ、その無限って、汚いよ。少しは違うんでしょって言うのが１。

いつまでやったっておわりゃしないよ。

無限をどう認めるかって話なんだから、、、。

738 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 00:47

ⅹ=0.9999999･･･････　　　　　　･･･①
とおくと
10ⅹ=9.999999･･･････　　　　　･･･②
②－①をすると
9ⅹ=9
ⅹ=1

ほらね

739 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 00:52

>>738
いい加減にしろ。

740 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 04:02

カントールだのを持ち出す前に、
>>725は「=」の定義をまずしておけ。
そこら辺を曖昧にしたままなら、結論はどうとでも言える。

これでよろしいかな？>>731よ。

741 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 09:46

無理数が有限桁の少数では表現できない
という結論から
無限桁なら表現できる　というのは　論理的ではありません

742 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 13:33

741<<
あのー、誰もそんな事言ってないんですけど、、。

743 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 13:50

>>740
「=」の意味は一意だ。問題なのは無限和と収束の方。記号と論理をごちゃ混ぜにするな。

744 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 14:03

>>743
「・・・・」の部分も曖昧ではあるな。
でも、「=」も曖昧だぞ。「A=B」のAとBがいかなる条件を満たす時に「A=B」が正しいのか、
それもちゃんと定義されてない。

どっちにしろ曖昧なままでは議論にならないのは確か。

745 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:08

>>744
「=」は「両辺の値が（集合の元として）等しい」という以外の意味を持たないよ。

746 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:18

>>744みたいのがいるから、このスレはいつまで経ってもまともな議論が
交わされないのだ。

747 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:19

おまこんばんわ。

748 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:53

1と0.999999999999・・・は、
値が等しいとは思うが、集合の元として等しいというのはどうだろう？

749 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:55

>>748
それは「1+1」と「2」の関係を考えてるようなもんだ。

750 ：１３２人目の素数さん：03/09/15 23:57

>>748
何がどうだろうなの？

751 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 00:03

>>745
ふむ。了解した。

ところで>>734の「実際１が言う様に」と>>737の「が１。」に使われている"１"は何なのだろう？
">>1"の事を指してるのか？しかし前スレしか書いてない…

あと>>737は少々分かりにくいので、もう少し分かりやすく説明して貰えんだろうか…

752 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 00:06

＞748
そういうことですね。
「値が等しいものは集合の元として等しい」
「値は等しいが集合の元としては（数字と記号の文字列と考えて）異なる」
と、２通りの解釈ができる。
ガイシュツの話かもしれないけどね

753 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 00:13

>>752
集合の元というのを記号列として捉えていたの？
両辺の値が「実数の集合の元」として等しいと言い直してやったほうが親切か？

754 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 14:31

>>695
恥ずかしくて見てらんないのですが。

755 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 17:47

>>754
「生」温かく見守ってやればいいのさｗ

756 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 20:04

こいつらみんな極限のなんたるかをわかってない

757 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 21:19

>>756
？

758 ：まさお：03/09/17 22:35

これ俺がリア厨の時に証明したよ
1÷3＝0.333・・・
0.333ｘ3＝0.999・・・
よって１＝0.99999・・・

左と右が一緒じゃねえからおめーら理解できないんだろ？
カントンだか無理数だか知らないけどよ
脳みそが岩石だから俺みたいな自由な発想が出ないのよ

759 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 22:36

へたな釣りだな。

760 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:11

カントールを知っててデデキントは知らない人が集まるスレはここですか?

761 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:45

デデキントと栗きんとんの区別がつかない人が集まるスレはここですか？

762 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:50

栗きんとんとクリントンは似たようなものですがなにか？

763 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:56

>>762
てことは
デデキント＝栗きんとん＝クリントン＝おまんこ
ってことで間違いありませんね？

764 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:57

ちんちん。

765 ：１３２人目の素数さん：03/09/17 23:59

ちんちん！！？じゃあなんでさっきまでデデキントの話してたのさ。軽々しくおまんこの壁を超えないでもらいたい

766 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:02

おまんこだって一皮むければ間トールといっしょさ

767 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:03

>758
0.333ｘ3＝0.999・・・
おまえへんだぞ

768 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:05

>>767
どこが

769 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:08

>>767
ねーどこが？

770 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:10

>>767
もしかして、
０．３３３・・・
が　
０．３３３
になっている。とかいうくだらないあげあしとるわけじゃないよね。
まさかね。ねぇどこがへんなの？

771 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:11

えっくすさん

772 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:14

あげあしじゃねーか

773 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:15

あしあげ

774 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:15

ぱんつ。

775 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:16

>>773
あしあげたろうはあなたですか

776 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:17

僕です

777 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:17

ちんちん

778 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:21

わいさん。

779 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:21

何が揚げ足なのか漏れには理解できない。

780 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:40

何が変なのか理解できない

781 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:43

>>780
＞0.333・・・
って何？

782 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:47

>>781
１を３で割った値でしょーが

783 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:48

>>782
それは 1/3 のことだよね？僕が聞いてるのは 0.333・・・って何？ってこと。

784 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:52

>>783
１/３と０．３３３・・・って違うの？

785 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:52

オマンコ数

786 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 00:56

おまんこ数なのか

787 ：783：03/09/18 01:00

>>784
1=0.999・・・なら同じかもしれない。しかし単独では何も定義されていない。

0.333・・・というのを、Σ_{i：自然数} 3*10^{-i} で定めたなら
この和は収束して 1/3 に等しい。

君は一体、0.333・・・や 0.999・・・を何だと思っているの？
と問うているんだよ。

788 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:08

0.333・・・とやらをきちんと定義もしないでいては

　　0.333・・・ × 3 = 0.999・・・

が正しいかどうかすらも怪しいね。

789 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:09

散々概出な会話を延々と繰り返しているのは君たちですか

790 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:13

ちょっと計算すればすぐわかるやん。
1-0.999・・・=0.000・・・
だから
1=0.999・・・

791 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:15

>>790
下手な釣りはヤメトケ。

792 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:17

>>787
小数点以下ずっと３が続く数
０．３３３３３３３・・・
はまぎれもなく
Σ_{ｔ＝１、∞} 3*10^{-ｔ}
に他ならないでしょう。

793 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:17

(´･∀･｀)ﾍｰ

794 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:17

子供でもわかることです。

795 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:18

>>790
厨房ならそれで満足してていいよ。
工房で極限を習ったならもうちょっと疑問を持つべきだよ。
理系大学生なら、すべてきちんと構成されて、それで上手くいくというところ
まできちんとやった方が良い。

796 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:19

てか、７８７と７８８の言ってることは絶対間違ってる。

797 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:20

>>792
じゃあ、君の定義はそれで良いかね？
では、それが収束する事は？また、収束値が実数になることは？

798 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:21

>>796
何が？

799 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:25

>>797
それが収束することなんて高３でならうだろ。「収束値が実数になることは？」って、どうやったら複素数になるのよ

800 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:26

>>792
tが１から∞までで足りると言う保証を是非教えてください。

801 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:27

「小数点以下ずっと３が続く数」が定義なんだろ？
「ずっと」の部分は意味不明瞭だが。

802 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:27

>>798
単独では何も定義されていない。←意味わからない。
0.333・・・ × 3 = 0.999・・・
が正しいかどうか怪しい。と、君は今でも本当にそう思ってるのか？

803 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:28

>>799
可哀想に。有理数の列の収束先を付け加えることで実数が構成されるということが
判らないのね？
しかもそうやって構成した実数がちゃんと有理数の構造を保っているのだよ。

だから漸く 1=0.999・・・が結論付けられる。

804 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:30

>>802
当然だ。確かめもしないで正しいなどとは言わないよ。
私が示した意味ならば正しいけれどもね。

805 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:30

>>800
tが１から∞までで足りると言う保証を是非教えてください。なぜ足りないのか是非教えてほしい。そんな定義いちいち言わないでも「・・・」って書いてあったら普通はそう思うんじゃないの？

806 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:32

>>805
「普通は」って何？

807 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:34

普通はって意味わからんのか。そうか

808 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:34

「１から∞まで」ってどういう意味？

809 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:35

おまえら、数学の話しをしようぜ。

810 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:35

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
俺様用しおり
　 ∧＿∧ 　　
　（　・∀・）＜　今日は大漁だった　　　　　　
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

811 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:36

はなしし萌え

812 ：εδ：03/09/18 01:36

>>803
有理数の列の収束先を付け加えることで実数が構成されるということが
判らないのね？しかもそうやって構成した実数がちゃんと有理数の構造を保っているのだよ
↑君ここの分野もう一度勉強した方が良い

813 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:37

>>800 >>805
有理数からなるコーシー列の極限値として実数が構成されるからだよ。

ちなみに、超準解析でいう「超実数」なら 1≠0.999・・・だよ。
きちんと無限小や無限大を定式化して、破綻の無い体系を作れるということを
保証するのが「超実数の理論」だ。私は中身は知らないが・・・（苦笑

814 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:37

>>812
お前も

815 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:37

オメコ

816 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:42

低俗なスレだな…

817 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:42

収束の定義知らなかったらe^iπ≠－１だ。かわいそ

818 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:43

バウカーバウカー

819 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:44

カプドランスキ構成を知らんの？

820 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:49

ご高説賜りましょう。

821 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:49

かぶとらんぱっぱ構成って何ですか

822 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:50

まあ、俺も知らないけどな

823 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:52

>>822
なるほど、つまりその構成から何が言えるの？おまんこ？

824 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:55

うんこ

825 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:55

ちんこでしょう。

826 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:56

くらが　のギャグつまらない

827 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:57

アシックス羽

828 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:58

いや　ここはちんちんであるべきだ。　
こだまなんて行かねっちゃ

829 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 01:59

意味をわからない

830 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 02:01

ジャンクション！

831 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 02:01

こだま公園知らないの？こだまは知ってなきゃダメさ。

832 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 02:03

児玉清

833 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 10:46

おまいらレベル低すぎ

834 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 11:14

「普通」なんて各人ごとに違うだろ。
特に、極限とか無限とかが絡むときに普遍な感覚なぞ無い。
数学の話で「普通」という言葉を持ち出す人間の感覚がわからん。

835 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 12:57

０．９９９９・・・って見たら、普通は小数点以下９がずっと続く数を指すだろ。まさか０．９９９９１４２８７３３・・・だと思う奴いるか？って意味で「普通」というのは何も変じゃない。どんな数学者でも０．９９９９・・・の「・・・」て表現は使うだろ

836 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 13:01

オマリングカネス

837 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 13:55

>>834
数学のことをわかった気になってるアフォ

838 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 15:29

>>835
その「普通」の意味が問題になっている文脈で「普通だから」で通すのかね、君は？

839 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 20:21

もう国語審議会に決めてもらおう

840 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 22:11

>>838
いやお前の方がおかしいだろ。何が普通じゃねーのよ

841 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 00:35

>>840
「普通でない」とは誰も言っていない。普通とは何だと問われているのに、
「普通だから」で済ますのか？と言われているのだよ、君は。

理屈の無い論理など無いよ、可哀想に。

842 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 01:26

最後の文章が無ければ数学の話なんだが、
結局、他人を馬鹿にするために数学を利用してるだけか。

ま、0.9999・・・関連のスレで
まともな数学の話を期待するほうが無理な話か。

843 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 02:10

3.14・・・といったら普通は円周率だな。
普通という言葉は便利だね。
何もかも解決だぁ。うわぁーい

844 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 02:19

>>835
聞かせて欲しい。

＞小数点以下９がずっと続く数
の「普通の定義」ってなんだろ？そして何でそれが「普通」なんだろ？

＞どんな数学者でも０．９９９９・・・の「・・・」て表現は使うだろ
使わない人もいるだろ。そもそも、「文脈からあきらか」である場合に限っての
略記法であるわけだし。

845 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 02:28

普通はだれでもうんちする。でもしない数学者もいる。

846 ：sage：03/09/19 02:53

じゃ、０．９９９・・を定義する。

①小数点以下９が無限に続く実数値
②小数点以下、任意の桁の値が９である実数値
③1より小さい最大の実数値
④１－無限小

他にもなんかあれば。

ちなみに①のみ＝１。
②③④は＝１にはなりません。
これでよいっすかね。

847 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 02:54

倉賀野足くさくね？

848 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 02:56

>>846
なぜ②と④はちゃうの？③は「より」って言ってるからなんとなくわかるが、④なんてその無限小ってのは０と等しく・・・ならない？

849 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 04:33

>>846
＞小数点以下９が無限に続く
と
＞小数点以下、任意の桁の値が９
をきちんと定式化してください。
でなければ 1 と比較できません。
＞1より小さい最大の実数値
「1 より小さい」ということと「最大の実数値」として定義できる
ということを示してください。

850 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 07:05

>>841
決まりじゃん。常識というべきか。
１，２，３、・・・・、ｎ　
の「・・・・」の場合は４からｎまでの自然数を指すし、
３．１４・・・・
は円周率を指すし、
２．７１８２８・・・・
は自然対数の底を指すし、
０．９９９９９・・・・
の「・・・・」の場合は９９９９が続くんだな、って、お前以外な
らわかってくれるだろ。数学の常識と言うか、そういうのがあれば。
ここで、「その常識とは何だ!!」かと「普通とは何だ!!??」だとか
聞いてくるのは、おかしーんじゃにーかに？

851 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 07:08

>>850
訂正
誤）「その常識とは何だ!!」かと「普通とは何だ!!??」
正）「その常識とは何だ!!」とか「普通とは何だ!!??」

852 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 12:56

十進法の定義も知らん香具師がいるのか？
小数点第i桁目がa_iであるような実数 = ∑a_i*10^(-i)
これに基づいて話をしろ。

853 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 15:26

>>850
要するに、もまいは何も判らないので常識とか普通とか言って誤魔化している
と言うわけですな。

854 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 22:00

0.999・・・って書いてあったら、1より小さいって考えるのが普通だろ？

855 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 22:03

>>854
考えたくなる気持ちはわかるよ。

856 ：132人目の素数さん：03/09/20 12:42

0.999・・・≠１の主張する人は
0.333・・・
は有理数じゃないと思ってるわけですか

857 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 16:42

>856
「0.999・・・≠１」と「0.333・・・は有理数じゃない」になにか関係あるの？

858 ：青じそドレッシング：03/09/20 17:39

１＝０．９９９９９９９９・・・・というのは、人間が作った実数というもの自体が近似的であることから生まれている問題だと思います。０．９９９９９９・・・≠１を主張する人を馬鹿にはできないかも。
実際、開区間（０、１）の最大数を考えた場合、０．９９９９９・・・となって存在しないとなる。しかし、この開区間の上限を考えると１である。ということは０．９９９９９９・・・・＝１と近似できて、０．９９９９９９・・・＝１と認めて差支えないとなる。
この先もっと無限小の研究が進むと、０．９９９９９９・・・・≠１というのがでてくる可能性も否定できないと思います。
皆どう思う！？

859 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 17:39

856
あたりまえではないか
1/3
を0.333・・・
と定義した場合以外は
数であるかどうかも怪しい

860 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 17:55

最近飛び込んだので，何が問題になっているのかよくわからないが，
0.33・・・が無限に続くのが気味悪いなら，
3進表示で0.1で終りなんじゃない？
3を掛けるとは，この表示ではもちろん10を掛けることで，
その結果は小数点の位置が一つずれて結果は1

861 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 18:43

>>860
0.33…が1/3=(三進法の0.1)と等しいかが問題なんだよ。

862 ：青じそドレッシング：03/09/20 18:48

だから、さっき言った理由から０．９９９９９９・・・＝１と認められ、両辺を３で割って０．３３３３・・・・＝１/３です。

863 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 19:25

>860
釣りかも知れませんが一応書いておきます。
３進法でも同種の問題があります。

1/2 と 0.111111…
　1 と 0.222222…

864 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 19:31

>>861
なるほど．
数列｛3/10^n｝の最初のn項の和の極限を0.333・・・と書いたりする，
ということを問題にしているわけじゃないのね．
で，「・・・」の意味について合意はとれているの？

865 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 19:36

>>863
釣りでもなんでもなくて，極限の意味が確定しているなら，
進法に依存した表記は本質ではないということ．

866 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:14

数字をアルファベットとする文字列の集合と実数の集合をきちんと区別しようや。
たまにごっちゃにしてる人がいて議論を混乱させてる。

867 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 17:46

どやって区別すんの

868 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 23:48

>862

>開区間（０、１）の最大数を考えた場合、０．９９９９９・・・となって

という定義から

０．９９９９９９・・・を３で割って０．３３３３・・・・

になる理由を詳しく説明してくれ。

869 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 04:30

>>858
＞開区間（０、１）の最大数を考えた場合、０．９９９９９・・・となって存在しないとなる。

『最小数を考えた場合、□．□□□□□・・・となって』の□には何が入るのでしょうか。
『開区間（０、√２）の最大数を考えた場合』も、できればよろしく。

870 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 09:45

１＝０．９９９９９．。。でよろしいか？

871 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 13:13

　有限桁の少数だけだと、有理数全体を表せないので不便
⇒循環小数を発明シマスタ！循環部分をいくつか書いて、あとは…でよし！いろいろ書けてウマー！
⇒複数の表現（ex. 1 = 0.99999..., 0.3 = 0.29999 ) が同じ数を表していてマズー！

ってことじゃないの？

872 ：866：03/09/22 15:03

文字列としての"1"は"0.999…"はあくまで文字列であって実数ではない。
(数字と高々1個の小数点からなる)文字列wが表現する実数をI(w)と表せば
I("1")=I("0.999…")=1∈Rということに過ぎない。

873 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 16:02

0.99999･･･を、小数点以下の任意の桁で切り捨てる。

0.999|99･･･　ここで切り捨てると　0.999
0.9|9999･･･　ここだと0.9

どこで切り捨てても一の位が１にならない。
何故か？

それは0.99999･･･が１より小さいからだ。

874 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 16:08

ちょっと付け足し

1を小数点以下の任意の桁（表記する時に省かれているだけで、存在はする）
で切り捨てる時は、どこで切り捨てても一の位は１だ。
しかし先程書いた通り、0.99999･･･は、どこで切り捨てても一の位が１にならない。

──────────────終了──────────────

875 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 16:14

エサがでかすぎて、どこに食いつけば良いのか分かりません。

876 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 16:20

>>875
とりあえず最も矛盾してる部分に食いついて下さい

877 ：青じそドレッシング：03/09/22 16:24

>>869
実数体において開区間に最大数、最小数は存在しません。
その□に数字を入れることはできません。

878 ：青じそドレッシング：03/09/22 16:41

今のところ０．９９９９・・・＝１と認めても差し支えないんじゃないかな？
何か問題が生じる？差し支えるようにするにはコーシー列や連続の概念をくつがえさないといけないんじゃない？
それか実数の間にまだ細かい数があるとして使うとか。実数で十分だと思うけど。人類がそんなの必要になるかな

879 ：青じそドレッシング：03/09/22 16:54

>>868
０．９９９９・・・・ってのは『永遠に９が続く』という意味です。
途中で９以外の数字がでてこない限り３が続く事は明らかなんじゃない？

880 ：青じそドレッシング：03/09/22 17:07

０．９９９９・・・・≠１⇔実数は連続ではない
ってなるけど、０．９９９９９・・・・≠１を主張している人は、『これより１に近い数（∈R）は無い』って数（∈R）の存在を主張できるんですね？
その数（∈R）は何なんですか？教えて下さい。

881 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 17:15

異なる２実数の間には無限に数が存在する。
０．９９９・・・と１の間に数はある？ないでしょ？
だから＝

882 ：青じそドレッシング：03/09/22 17:23

そのとおり！

883 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 19:33

0.999...という実数が存在しないことの背理法による証明。

0.999...は 1 よりも明らかに小さい。
しかし、x = 1 - 0.999... を満たす実数xは存在しない。
これは0.999...が1よりも小さいことに矛盾する。
よって背理法により、0.999...という数は存在しない。

884 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 19:54

0.99999･･･を、小数点以下の任意の桁で切り上げる。

0.999|99･･･　ここで切り上げると　1
0.9|9999･･･　ここだと1

どこで切り上げても一の位が１になる。
何故か？

それは0.99999･･･が１だからだ。

885 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 19:58

>>883
証明になってないような気がするけどｗ

886 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 19:59

0.999...という実数が存在しないならば、
1=0.999...
は正しいんじゃないのか？

887 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 20:25

でも 1=0.999... を認めると、0.000...1=0 になって
極限が取れなくならない？

888 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 20:40

ガイシュツかも知れないがどうして
1.0000000000000000000000000000(無限).............
=1
なの?
0.9999999999999999999999999999(無限).....
より分かりやすいのは文字が変わっている数が
少ないからかな？不思議さとしてはそんなに変わらないんじゃないの？

889 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 20:55

>>884
（ﾟдﾟ）ﾎﾟｶｰﾝ

890 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 20:58

>>887
0.000...1=0
ってのはおかしいだろ。
0.000...0=0
だ。

891 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 21:05

>>890
＞0.000...0=0
＞だ。

そうなると、1=0.999...9 は×で、1=1.000...0になるの？

892 ：aaad ◆ozOtJW9BFA ：03/09/22 21:16

このスレはガイシュツおおいから、誰かまとめてくれないか。

893 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 23:11

>>892
言い出しっぺの法則。おまえがやれ。

894 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 23:15

やっと規制解除された。何か最近全板規制連発し杉。

ずーっと言いたかったんだ。
＞青自訴
2階の偏微分と全微分の区別もつかん香具師が偉そうにすんな。

895 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:12

>>895
すまん。１回理解してたんだけど、最近見てたらなんかおかしい気がして、よく見たらｄｘとｄｙ付け忘れてたよ。
でもこれは間違ってない。

896 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:12

0.999...という実数が存在しない事から1=0.999...を導くのは
矛盾した考え方だと思う。
0.999...が実数として成り立たない前提では当然実数である１との
イコールが成り立つはずがない。

897 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:19

>>895
おまえも日本語がワカラン香具師だな。
「間違っているとは言っていない」いい加減な理由で誤魔化すな。
と言われているのだ。

既に何人も言っていることだが、極限の取扱も含めて、きちんと実数の
構成から始めて証明を記述汁。

898 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:20

てか858じゃダメなんですか！？

899 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:23

>>897
日本語分かってなくてすまん。
いい加減な理由ってどれ？

900 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:27

>>899
近似とか言う話ではないから。

901 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:31

lim1/n=0(n→∞)でもそうだけどね、開区間の最大数・最小数は上限・下限で近似しているんだよ。なんか違うと違和感を感じるのはその近似性ゆえ。

902 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:34

無限を数字で表そうとするから近似性が出ても仕方がない。

903 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:44

＞青時素
だめだこりゃ。

もうラストにするぞ、お前にとって実数はどう定義されているものなのか言ってみ？

904 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:46

連続な物の箇所を指定するのには限界があると思いませんか？
顕微鏡Aで見た物をもっと細かく見るために高度な顕微鏡Bを作る。それでも見えなかったら顕微鏡C・・・
って具合にどんどん細かく見るんです。今の技術で最高に高度な顕微鏡は実数やエプシロンデルタで、それでは同じに見えるんだから仕方ない。

905 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:52

やっぱヴァカだ。完備化とか全然理解せずに喋っている香具師は話にならん。

906 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 00:58

>青じそ
>実際、開区間（０、１）の最大数を考えた場合、０．９９９９９・・・となって存在しないとなる。

そこで最大値が「０．９９９９９・・・となって」というのはどういうこと？
存在しないんじゃないの？
存在しないものを「０．９９９９９・・・」という小数で表すのはなぜ？

907 ：青じそドレッシング：03/09/23 00:58

>>905
そこまで言うならじゃああなたが０．９９９９９・・・＝１を説明して下さい。
さあどうぞ！

908 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:02

>>906
０．９９９９９・・・・ってのは最大数を頑張って表現しようとしているってことです。
存在しないものを表現しようとするから『・・・・・』っていう風に無限になってしまった。

909 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:08

何度も出てきてるけど
0.9999… = 9∑[n=1,∞]10^(-n)
はそもそもこの数の定義じゃないの？

910 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:14

それを＝１とするかが議題

911 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:16

＞909

ちがう。

912 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:17

　　　　　　　　　　　　　　　　　┌─┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜も.｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜う　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│来│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│ね│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│え .|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│よ .|
　　　　　ﾊﾞｰﾔ　　　　ｺﾞﾙｧ　　│ !!.│
　　　　　　　　　　　　　　　　　└─┤　　　　ﾌﾟﾝﾌﾟﾝ
　　　　ヽ(`Д´)ﾉ　ヽ(`Д´)ﾉ　　(`Д´)ﾉ　　　（　`Д）
　　　　|￣￣￣|─|￣￣￣|─|￣￣￣|─□（ヽ┐U
～～　￣◎￣　　.￣◎￣　　￣◎￣　　 ◎－>┘◎

913 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:17

０．９９９．。。＝１－無限小でよろしいか？

914 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:19

＞９１０
それは＝１でほとんどの人は納得してると思う。

915 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:19

偽者に化けてごまかすなよ

916 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:21

馬鹿のふりは止めろ

917 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:22

>>913
それでいいよ！そして無限小＝０として近似している。

918 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:23

>>916
馬鹿のふりって？

919 ：905：03/09/23 01:26

＞糞青自訴
コーシー列の説明は省略する。
有理数 Q 上のコーシー列は Q 内で必ずしも収束しない。
二つのコーシー列 {a_n}, {b_n} に和と積を
{a_n}+{b_n}:={a_n+b_n}, {a_n}{b_n}:={a_nb_n}
で定義すれば, コーシー列の全体 S は環になる。
a ∈ Q に対し, a_n=a を満たす定数列を対応させれば, Q は S に埋め込める.
必ずしも収束しないと言っても、収束値が 0 の列は存在するので,
その全体を N とする。これは S のイデアル。

よって、商環 S/N が定義できて、これを実数体 R と書く。
{a_n=1}-{b_n=Σ_{i=0,...,n}9*10^(-i)} は 0 に収束するので
その剰余類は [{a_n}]=[{b_n}] になってるってこと。
つくり方から Q が R に埋め込めることは自分で確認しとけ。

920 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:28

909の定義だと、

1/9=0.111・・・
両辺に9をかけて
1=0.999・・・

という証明になるな

921 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:34

>>920
はぁ？なるわけねーだろ。

922 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:35

>>909の定義ならば
∑[n=1,k]10^(-n)→1 (k→∞) でよい。

923 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:36

↑9倍しといてくれ。

924 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:37

>>872完全無視は悲しすぎる…
訂正1行目、"1"は→"1"や

925 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:42

いやいや全然０．９９９９９・・・・＝１証明できてないじゃん。馬鹿じゃないのか？
０．９９９９９９９・・・・みたいな数が有理数なのは０．９９９９９・・・＝１で近似したからだよ。

926 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:42

「9」をかけるのが、数列の和の個々の項目か、ｎ項目までの和にかけるのか、極限値なのかによって、証明の方法はかわるだろ

927 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:44

>>925
頭大丈夫ですか？

928 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:45

>>924
ごめん、見落としてた。同じ意見だよ！言いたいこと同じ！

929 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:45

>>925
ヴァカはいい加減に氏ねよ。

930 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:46

>>928
同じやないやん

931 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:48

>>927
大丈夫です。

932 ：905：03/09/23 01:48

＞糞自訴
アフォを相手にした俺がヴァカだった。クズはさっさとクビ吊ってくれ。

933 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:49

>>931
いや、さっさと病院逝った方がいい

934 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:49

久しぶりに電波が来てるからみんな楽しそうだなｗ

935 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:50

>>930
いや同じはずだが。
実数で表現できない数を一番近い実数で表現したら１になったってことですよね？

936 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:51

>>935
全然違う。

937 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:52

>>935
そういうさ、気分で勝手に意味を読み替えるって態度はやめといた方がいい。

938 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:52

そうなのか。じゃあちがう

939 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:54

糞自訴くんは、伝説の今井さんの素質があるかもしれないね。

940 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:54

青じそよ、貴様は数学やらんほうがええ。

941 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:57

872は近似じゃないのか

942 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:57

今井さんってだれ？

943 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:57

>>941
おまえ、>>872の言ってる意味全くわかってねえだろ

944 ：青じそドレッシング：03/09/23 01:59

>>940
じゃあもうしません

945 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 01:59

>>青じそ
君の定住板は数学板じゃなくて↓ですよ。

http://www.2ch.net/2ch.html

946 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:00

>941
少なくとも近似じゃない。872は、
「100」「100.000」「百」とかの異なる文字列が同じ実数（数値）を表してる
という意味だと思う。

947 ：間違えた↓こっち：03/09/23 02:00

http://etc.2ch.net/denpa/

948 ：青じそドレッシング：03/09/23 02:06

『限りなく１に近い数は１と近似しても良い』と理解してしまっていました。すみません。じゃあどんな感じなんですか？教えて下さい

949 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:08

>>948
過去レス全部読めよクズ。

950 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:14

そうよってたかっていじめんなよ。

951 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:18

>>950
>>934 が全てを物語ってるのかもな。

952 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:19

とりあえず『限りなく１に近い数は１』にしとけ

953 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:22

>>919 は
＞よって、商環 S/N が定義できて、これを実数体 R と書く。
の辺、大分省略してるな。そう難しく無いとは言え、0 でない元に逆元が取れて
体になるということも確認すべき事項だ。

954 ：872：03/09/23 02:34

こんな時間にえらく盛り上がってるなー

>>946
漢数字は考えてなかったけど大体そう。
文字列の集合と、その解釈（文字列から実数への写像）の
2段階で考えるということを言いたかった。
0.999…という実数をいきなり考えるのは無理がある。

955 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 02:36

ま、青じそはあれで2回生だっつんだからダメダメだね。
解析も代数もいい加減で、よくもまあ、このスレを仕切ろうなんてしたものだ。

あ、そうそうしね☆ゆきのサイトは匿ハン禁止らしいから、早めに謝っとけ。＞青じそ

956 ：青じそドレッシング：03/09/23 03:16

色々意見があってよく分かりません。どれが正解なんですか？

957 ：青じそドレッシング：03/09/23 03:20

私はダメダメです。まだ微分積分学の本を半分くらい読んだあたりですから、代数は全く知りません。どんな入門書にすればいいかも教えてもらえれば嬉しいです。文系なんで情報不足でどれ読めばいいかあまりわからない

958 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 03:55

↑凄いオチだな

959 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 04:01

ネタなんだろ？

960 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 04:20

ｳｪｰﾊｯﾊｯﾊ　4スレ目へ突入じゃー

961 ：DQN三種の神器：03/09/23 07:17

>>957

やさしく学べる微分積分石村園子 (著)
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やさしく学べる線形代数石村園子 (著)
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すぐわかる代数石村園子 (著)
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962 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 07:29

∑[n=1,k]10^(-n) (k-->∞) = 1/9
を証明してください

収束するからってのは　なしよ

963 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 08:33

∑[k=1,n]10^(-k) - 1/9 = ∑[k=0,n-1]10^k/10^n - 1/9
= {9*∑[k=0,n-1]10^k - 10^n} / (9*10^n)
= -1/(9*10^n)
なので
lim[n→∞]{∑[k=1,n]10^(-k) - 1/9} = lim[n→∞] -1/(9*10^n) = 0
よって、lim[n→∞]∑[k=1,n]10^(-k) = 1/9

964 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 09:03

lim[n→∞] -1/(9*10^n) = 0
を
証明してください

965 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 14:52

0.99999・・・は数字じゃなくて記号だ。
1と全く同じ値を表す。
0.33333・・・も記号だ。
1/3と全く同じ値を表す。

966 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 16:23

>>963,964
普通にε-δ使えよ

967 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 18:12

4スレ目は立たせないぞ

968 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 18:16

>>967
それは４スレ目をたててくださいという意味でつか？

969 ：１３２人目の素数さん：03/09/25 18:25

これ以上埋まるとまぢで誰かが次スレを立ててしまうから
みんなレスを控えているわけだな。

埋め。