級数のことならなんでも書いてけろ

まぁとりあえず書いて見れ。

　　_, ._
（　ﾟ Дﾟ）

Eisensten 級数についてわかりやすく解説下さい

(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

　_, ._ 　　　やんのか、こら！！
（　ﾟ Дﾟ）　　俺のε論法は半端じゃねえぞ、ごらぁ！

俺はアレね。π/４になる奴。

Einstein級数についてわかりやすく解説しくだい

>>7
保型形式

ﾎｰｹｲ形式？

ひよのﾀﾝぴんち！

>>9
べたべたやね

　_, ._ 　　　漏れが図書館で本借りたら
（　ﾟ Дﾟ）　　 偶数乗分の１の級数和の答えがかいてあったぜ！

理緒ﾀﾝぴーんち！

>>7
マジで知りたかったら、
Daniel Bump のAutomorphic Forms and Representations
がいいんじゃないかな？

>>8 ， >>14
>>7 をよく見ろよ

解説しくだい？

>>3も>>7もEisenstein級数じゃなかったのね。やられたわ（ｗ

なんですかここは？削除候補ですか？

なんか最近頻繁にクソスレがたつな。ヤケになった受験生がやってんのか？

エイセンステイン級数についておしてください。

ラウレント級数についておしえてくだし。

氏ね

364 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 03/01/22 17:34
級数を使えば何だって表されますよ。
365 名前： 今井弘一 ◆y5cqyKrLAo 投稿日： 03/01/22 17:39
３６４さん

強力なレスですねえ・・。今井の引退は近いようです。

ﾅﾝｶ,笑

世の中には５つの算術操作がある
足し算　引き算　かけ算　割り算　モジュラー形式

冪級数は係数がQやRやCの場合は収束半径というのを考えればいいけど、
係数が一般の体の場合はこれに類似する物は無いのでしょうか？

さあ語れ！

>>27
形式的には考えることはできるけど、収束云々は位相を入れないとだめ。

1 + 2 + 3 + 4 + ...

（＾＾）

こっちを上げようぜよ

ゼータ関数は全部、級数で表されるんじゃないのかよーヽ(`Д´)ノ

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

　

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

18

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

10

12

18

18

>>30

＝-1/12

f(s)=(1+(2+(3+(4+...)^s)^s)^s)^s
は収束します。
連分数はs=-1です。
s=1/2も結構一般的です。
誰か、自然数だけでなく数列で一般化して、これをおおきな理論にしてください。

11

∫[0→∞]x*sin(x^3)dx
が収束することを、級数使って、
絶対収束する→ゆえに収束
って導こうとしたんだけど、
積分の範囲に0が入ってるからやっかいになってきた。
１から∞までだったらよかったんだが・・・

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

*****5^(n+1)+6^(2n-1)が31の倍数であることの数学的帰納法による証明が>>50をゲット！*****

n=k+1 のとき与式は
5^(k+2) + 6^(2k+1)　　　　　　　　　　　　　　　　>>1　●N個、○N個の合計2N個の玉がある。
である。この式を変形すると　　　　　　　　　　　　　　これらすべてを円形に並べる並べ方の総数を求めよ。
5*5^(k+1) + 36*6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　>>2　∫[0≦x≦1]x(log(x))^2dx　を求めよ。
となる。この式の5^(k+1)に　　　　　　　　　　　>>3-9　レムニスケート曲線　x^2+y^2=a√(x^2-y^2) (a>0)　上の任意の点（ｘ、ｙ）
5^(k+1) + 6^(2k-1) = 31m　　　　　　　　　　　　　　　での接線の方程式を微分計算により求めよ。
より得られる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>10-19　f(t)=e^(-t)sinwt　をラプラス変換せよ。
5^(k+1) = 31m - 6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　>>20-29　正多面体が4,6,8,12,20の五つしかないことを証明せよ。
を代入する。すると与式は　　　　　　　　　　　>>30-39　U_n(cosθ)=sin((n+1)θ)/sinθ　とし、母関数展開、
31m*5 + 31*6^(2k-1) = 31*[5m + 6^(2k-1)]　　　　1/(1-2xξ+ξ^2)=Σ[n=0〜∞](U_n(x)ξ^n)　を証明せよ。
となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>9　D=((X､Y)∈R^2|1<X､0<Y<X^α
よって数学的帰納法により、　　　　　　　　　　　　　0<α<1　ならば次の広義積分は収束することをしめせ。
すべての自然数nの値において　　　　　　　　　　　I=∬1/x^2+Y^2　dxdy
与式が正しいことが示せた。　　　　　　　　　>>40-49　0以上の実数x,y,zが　x+y^2+z^3=3　を満たしている
証明終　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　L=x+y+z　とおくときLの最小値mが　m<(3/2)　であることを示せ
>>51-1000　5+3=x　xを求めよ。

オイラーは
１−１＋１−１＋・・・＝？
の答えを１／２としてその事を使って
正しい結果を出したそうですが、
いまいち納得できないなぁ。
途中式には１と０しか出ないのに。。

どなたか
>>48
解決した方いらっしゃいませんか・・？

ていうか級数王のスレいけよ

級数王はもうこの板にはいないんだろ？

>>30
= ζ(-1) 〜 -1/12
おいらーヲ読ミタマヘ、おいらーヲ。彼コン我々ミナノ司ナノダカラ。・・・・・ら＋

平方数の逆数和が６分のΠ２乗に収束することを小学校６年生にもわかるよう説明できますか？

20

保守ごくろう。

>>56
「小学校６年生」の定義を述べよ。話はそれからだ。

>>1
急須

書いてけれ

12

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

28

http://mathemperor.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/upload.html

786

884

8

7

431

483

226

650

http://up.isp.2ch.net/up/535ff262d6b3.mp3

180

>59
急須れば通ず。

123

904

686

>>48
∫[0→1]x*sin(x^3)dxは明らかに有限だし、
>>48の文からすると∫[1→∞]x*sin(x^3)dxが有限なのは示せたようなので
いいんじゃないの？
（折れからすると∫[1→∞]x*sin(x^3)dxの有限性のほうがどうやるかよくわからんが）

845

きゅうすう、猫を噛む。

お茶を飲むときに必要

もっと　ひねったら　?

で、ぼくは四国出身だけど、きみは　?

きゅうすう　。

分かスレにあったYo.

846 ：１３２人目の素数さん ：04/06/24 23:46
n=2,3,4… で定義された数列
　a(n) = 1/log2 + (-1)/log3 + 1/log4 + … + {(-1)^n}/log(n)
が n→∞ 収束することを示し、どのような値に収束するかを述べよ。


944 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：04/06/25 02:05
>>846
a(n) → 0.92430031579832886147････　(n→∞)
「収束はするNE!。しかし値は求まらないYO!。by Mathematica5」

分かスレ１７２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087644616/846,944

次の和を妥当な級数総和法によって求めよ。

!! + 2! + 3! + 4! + .......

395 ： 2003年9月号P.90「エレ解キボンヌ」より
　Σ[n=0 to ∞](n^k)/(n+m)! = ?
分からん、分からんYo！ 教えて下さい。

396 : m=1のときは↓だったな。
　Σ[n=0 to ∞](n^k)/(n+1)! = a_k･ｅ + (-1)^(k-1), a_k∈N

シンプルで難しい問題
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/395-396

>>79
a>0 のとき
∫[a→∞]x･sin(x^3)･dx = ∫[a→∞](-1/3x)･(-3x^2)sin(x^3)･dx
= [(-1/3x)cos(x^3)] - ∫[a→∞]{1/(3x^2)}cos(x^3)･dx
= (1/3a)cos(a^3) - ∫[a→∞]{1/(3x^2)}cos(x^3)･dx.
|∫[a→∞]{1/(3x^2)}cos(x^3)･dx| ≦ ∫[a→∞]{1/(3x^2)}･dx = [-1/(3x)] = 1/(3a).
と部分積分するの鴨.

100

ローラン展開マジでわからん・・・

ようはローラン展開ってテイラー展開できる部分とそうでない部分に分けちゃえばいいってこと？
たっくどいつもこいつもクソみたいな教科書しかかかねぇからさっぱりわかんねぇや

>>90
洋書を嫁。

>>91
和書でも幾らでもあると思うが・・・
例えば、
辻正次、複素関数論、槙書店

無限次元級数論より。

バナッハ空間の基底問題の反例ってどうやって作るの？

532

複素関数の展開ってほか(教科書に良くあるもの以外)で
どのようなものがあるの??

221

>>846
プッ。
お前、痛い香具師だなｗ
何を勘違いしてるんだ？ｗｗ
見当ハズレなレスは止めておこうね厨房さんｗｗｗ

>>3205

ふっ、それを言うならオマエだな。
一体どこへアンカーつけてんだ(w

875

>>85
アダマールの無限乗積展開定理

この位は知ってるだろ。

271

級友の事を書けばいいんだな

体毛を刈る
（カール・タイケ）
この(解説つき)シャレわかる香具師いね−だろーな

ローラースケートマジ乗れね

126

Σ[k=1,n]k^4
の公式は既出か？

194

412

834

てす

http://www.geocities.jp/fingerlockjp/

869

５９３

1から1/nまで足すと何になるのですか？

Re:>114 Mathematicaでやると何か出てくるんだけどね。まあ普通の関数では表せない。

で？

>>114
>1から1/nまで足すと
何を足すんだ？

＞１１４
つまり、(1/logee)log(n)+0.577215...に近づくということです。

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝？

焼酎はどんなのがうまいんですか?

>>117
1 + 2 + … + 1/n

479

Σ 1/p, p ： 素数
= ∞

x/(1-x)=x+x^2+x^3+,,,
x/(1-x)^2=x+2x^2+3x^3+,,,
x(x+1)/(1-x)^3=x+4x^2+9x^3+,,,
x(x^2+4x+1)/(1-x)^4=x+8x^2+27x^3+,,,
x(x+1)(x^2+10x+1)/(1-x)^5=x+16x^2+81x^3+,,,

π(k=1〜∞)(1-x^k)^(-1)=1+x+2x^2+3x^3+,,,
Fn:フィボナッチ数列
Σ(k=1〜∞)Fk*x^k=1+x+2x^2+3x^3+5x^4+,,,=x/(1-x-x^2)
from tp://mathworld.wolfram.com/GeneratingFunction.html

346

468

964

　　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

Σ 1/n, μ(n) = 0
= ∞

それはもっと無限な無限の集合だろ。
素因数の個数別にしても、すべては０になるんだから、、、。

０じゃないや、全てが無限大だった。

深夜や休日など、込み合った時間を避けてカウント厨や
糞スレが立ったり上がったり
ウザイあぼーん候補レスが沢山つくのは数学版の仕様でつか?

484 ： ：04/11/23 19:11 HOST:YahooBB219174040245.bbtec.net<8080>
152 ：依頼 ：04/10/11 15:38:30 HOST:33.93.215.220.ap.yournet.ne.jp
執拗なまでのコピペ荒しです。「うんち食いたい」や、某コテハンのアドレスを各スレにコピペしながら回っているようです。
これでもまだ1/5ぐらいの量です。よければ削除お願いします。永久アク禁してもらいたいぐらいですが。
153 ：依頼２ ：04/10/20 23:24:48 HOST:14.91.215.220.ap.yournet.ne.jp
名前「********@yahoo.co.jp」（名前がメールアドレスなので一応隠しました）と、
名前「LettersOfLiberty ◆〜〜〜〜〜」（〜〜〜はいろいろと）、
名前「FeaturesOfTheGod ◆〜〜〜〜〜」における共同荒らしが２ヶ月ほど絶え間なく続いていて数学の議論ができない状態です。
このキーワードでレスを摘出していただければわかります。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1097495449/
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095390340/
この２スレを見ていただければ、続いている荒らしについての議論がされています。
挙げた例はほんのわずかな例です。上から順にスレを開けばほとんどのスレが荒されているのがわかります。
いくつかすでにレスが削除されている様子ですが、それは荒らしレスの1/100ほどです。
尋常じゃないです、どうにかしていただきたい。
157 ：∂ ：04/11/20 05:40:32 HOST:65.98.66.20
163 ：π ：04/11/20 21:11 HOST:tetkyo024225.tkyo.te.ftth2.ppp.infoweb.ne.jp<80><8080>
171 ： ：04/11/23 16:10 HOST:glass.ipe.tsukuba.ac.jp<80><8080><3128><8000><1080>

613

>>103
行進曲「旧友」か？

503

947

875

126

285

道州制によって、級数は九州になる。

Σ [n = 1→∞] a^(log n) が収束する a ＞ 0 の範囲を求めよ。

二年。

　

「級数」の定義を述べ、数列および実数とどう違うのか説明せよ

478

106

>>146
ムリポ

Re:>146 例えば、象と象の鼻はどう違うのか説明せよと訊かれて答えられるのか？

象は大きい。
象の鼻は長い。

267

象は動物の一種。
象の鼻は象という動物の一部。器官。

級数 a[1]+a[2]+a[3]+…

とは、S[n]=Σ[k=1〜n]a[k]とするとき、数列{S[n]}のことなのか、極限値lim[n→∞]S[n]
のことなのか、どっちだ

Re:>154 極限値の方だ。

>>155
では、「級数1/1^2+1/2^2+1/3^2…はπ^2/6に収束する」という文章は変で、
「級数1/1^2+1/2^2+1/3^2…はπ^2/6に等しい」と言わなければならないわけでつね。

そして「級数1/1+1/2+1/3+…は発散する」ではなく「級数1/1+1/2+1/3+…は存在し
ない」と言わなければならないと。

Re:>156 どっちだって訊くな。極限値が存在しない数列もあるから、級数も収束するとは限らない。可算数列の総和を級数というのだ。

f(x)=x+x/(1+x)+x/(1+x)^2+…
で定義された関数f(x)の定義域と値域を求めよった。

＞級数も収束するとは限らない。

藻前の「定義」（級数とは極限値のことである）にしたがうと、「極限値も収束するとは限らない」と言っていることになるぞw

Re:>159 異議あり！[>154]は誘導尋問だ。

>>157
＞可算数列の総和を級数というのだ。

「総和」ってなんだよ
ちゃんと定義してくれ

Re:>161 それじゃあ、やっぱり部分和の数列を級数と呼ぶことにしていいのか？

要するに「級数」は“数学俗語”であって、厳密な定義は不可能なのだろう。
>>154の２つの意味を文脈でテキトーに使い分けているとしか考えられない。

（“数学俗語”は実はいっぱいあって、「任意定数」とか「一般項」なんてのもそうだ。）

極端にいうと、∑_{n=1}^{∞}1も級数なのだ。

極端に言わなくても級数。

ブルバキ的定義：
数列 (a_n)、それから定まる部分和 s_n = Σ{k=1}^{n} a_n、および (s_n) の極限値αの三重対
((a_n), (s_n), α) を級数と言う。

Re:>166 極限値も要るんだっけ？じゃあ、形式的冪級数とかいうやつは何なの？

カスばっかりｗ

級数の定義は無い。

え？数列の項の間に＋を入れた奴じゃないの？(笑)

つまり、「級数」はそれ自体では>>170のいうような「シンボル」で、>>167が指摘した
「形式的冪級数」もその範疇。

「級数の和」はシンボルとしての「級数」に付随して定義される概念だが、級数それ
自体とわざと混同することもある。a[1]+a[2]+… = αのように。

　したがって本当は、「級数」をシンボルとするなら、級数にその和を対応させる写
像Ｓを定義して、S(a[1]+a[2]+…)=αと書くべきなのだろうが、そうしないのは、
関数それ自体と関数の「値」をわざと混同する f(x) のような用法と同様といえる。
（無理に記号的区別をガンバルとsinxとかx^2で困るし、かえって不便になる）

てことでどうよ

795

727

633

��(k+4)(k+2)(k-1)/2^(k+5) {k=1〜∞}
↑これが　37/8　になる事を誰か証明せよ

Re:>175 先ずは、等比級数の和の公式の発見法を思い出そう。

級数は算術で解ける。

級数算術

Re:>175
とりあえず、∑1/2^kは知っているだろう。
∑k/2^kの出し方も知っているだろう。
同じようにして、∑(k+1)k/2^kも出せる。
∑(k+2)(k+1)k/2^kも出せる。
そして、(k+4)(k+2)(k-1)=(k+2)(k+1)k+2(k+1)k-2k-8となる。

Re:>175 13/8だな。

998

Σ[n=0,∞] 1/n+1 が発散することを示せ。

Re:>>181 1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+…が発散することを利用する。

519

604

584

「-1<x<1」->1+x+x^2+x^3+x^4+,,,,=1/(1-x)
は良く知られている。しかし、
「x<-1,1<x」->
1/(1-x)=1/x*1/(1/x-1)=1/x*{1+1/x+1/x^2+1/x^3+,,,,}
=1/x+1/x^2+1/x^3+,,,,
は見落とされがちだ。
1/(1-x)=
1+x+x^2+x^3+,,,,(|x|<1)
,,,+1/x^3+1/x^2+1/x(|x|>1)
2(x=-1)
数列がつながっているのが見える。

∫|x|e^-i2πkxdx (-∞,∞)

例によってマイナスが抜けていたが、ニュアンスは感じてもらえた事と思う。

Σ[n=0,∞] 1/n+1 =Σ1/n　(1->∞)

c=Σ1/n-∫logxdx　(1->∞)

c=Σ1/n-∫1/xdx　(1->∞)

Σ1/z　の収束半径　zは複素数

Σ1/z^n　の収束半径　zは複素数

ごめん。誘導してくれてるらしいのはわかるんだが、今一主張がよくわからん。

無限級数そのものが極限値を表してるんだとしたら
1 = 0.99999…　も成り立たなくなっちゃわね？

√(196) = 14

極限ってさ、結局、その収束値を表現しているんではなくて、その近づき方の
ニュアンスを表現してるんじゃないの？感覚って大切だと思うよ。

age

3

age

数学５７巻４号の「Ｒａｍａｎｕｊａｎの数学…藤原正彦」がおもしろいよ。

754

y=x^α (α≠1)

これの0〜1までの面積を無限に分解した無限級数の不足和と過剰和を使って解くらしい。
誰か考えてください…。

高校の区分求積？

二重級数の取り扱いには
ご注意ください。

131

三年。

age

497

級数があればその解析接続がある。
しかしそれをどこでやるかという問題がある。
解析接続をするには座標系が必要であると思いがちだが
実はそうではなく、解析接続とは解析的構造層の連結成分を求める操作に他ならない。
こう考えると無限級数の理解には大域的な見地も必要であることがわかる。

age

母関数の方法をランベルト級数でやってみたいとか夢想してるんだけど、
べき級数より遙かに扱いづらいね、これ

収束半径0の級数を「有限の部分＋発散する部分」って感じに分ける事は出来ませんか？

>>213
発想は良い。ただし順序は
発散する部分＋有限の部分
とした方が考え易いかも
有限の部分を主要部と考えず、むしろ剰余項とみる。
割り算のプロセスをうまく定式化することにより
与えられたdataのregularityを上げる問題となる。

まあ、漸近級数は解析では基本的な道具なわけだが。

収束の判定に便利な級数には誰それの優級数という名前がついていることが多い。
浜田の優級数とか

小平の優級数

休めないお父さんの有休数。

2/2=1

log_{2}(2)=1

絶対収束しないが（条件）収束する無限級数を
収束の仕方で分類する話はありますか

収束活動は、もう始まっている。

600

174

942

>>222
例えばどういうタイプの？

条件収束だと並べ方を変えて発散させたりできるわけだが
その並べ替え方に制約を加える

ヒルベルト級数
かな？

ヒルベルトの弟14問題に対する永田の反例は面白い。

>>229
By definition, the coefficients of a Hilbert series are all nonnegative.

133

339

問）サイコロを振って、
　　１，２，３が出たらもう1度振ることが出来る。
　　４，５，６が出たら終了。
　　この条件では平均何回継続することが出来るか。

解）1/1-r=1/1-0.5=2　


↑これが正しいのかどうか、おまいらわかりますか？

結果的にはそれで正しい。

福岡県　北級数市　

673

歴史的に見ても、関数はべき級数で表すのが正しいだけでなく、おもしろい。
しかし、現在の導入はこれを忘れている。

おまえらよりな、オイラーの方がおもしれーーよ。

932

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+,,,,,
1/√(1-x)=1+1/2*x+1*3/(2*4)*x^2+1*3*5/(2*4*6)*x^3+,,,,
1/(1-x)^(1/3)=1+1/3*x+1*4/(3*6)*x^2+1*4*7/(3*6*9)*x^3+,,,
1/(1-x)^(2/3)=1+2/3*x+2*5/(3*6)*x^2+2*5*8/(3*6*9)*x^3+,,,

2項定理でもマクローリン展開でも別にいいけど、
1/√(1-x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+,,,と置いて、ラグランジュらしくやった方が
簡単だし、味わいがある。と思う。Σなんか使わない方が手触りがある。別に使ったていいんだが、、、

modの世界がでも、露骨に見えてるよ。

誰かさ、逆関数のべき級数の出し方教えてください。

age

>>239
atanを級数展開してみればいいだろう。
数3C範囲の応用にある。

　　＿／＼＿
　｜　　　　　｜
／　　　　　　　＼→x軸　↑y軸

こういう形をフーリエ級数で表す事は可能ですか？

矩形波も三角波も問題なくフーリエ級数で書けるから、そのくらい大丈夫だろ？

>>241はおかしい。一般性がない。

age

>>239
逆関数の微分ができれば大丈夫だ
1/(dy/dx)=dx/dy

487

>>246
y=a0+a1x+a2x^2+,,,
dy/dx=a1+2a2x+,,,,
から
dx/dy=b0+b1x+,,,,は求まるとしましょう。
しかし、欲しいのは
x=c0+c1y+c2y^2+,,,
なのですが、それをどうやって、一般的にも求まるというのかがわかりません。

↓うるせーんだよ
↓このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)

age

前から気になってたんだが，幾何級数（geometric series）は何故geometricなんだ？

�納n=1 -> ∞]�納k=2^n -> 2^(n+1)-1] (n(-1)^k)/k
がわかりません！

>>248
f~: f の逆関数
D[f,k]: f の k 階導関数

y = f(x) と置けば、x = f~(y) となるから y で微分していけば

D[f~,1](y) = 1 / D[f,1](f~(y))
⇒
D[f~,2](y)
= -D[f,2](f~(y)) D[f~,1](y) / D[f,1](f~(y))^2
= -D[f,2](f~(y)) / D[f,1](f~(y))^3
⇒
D[f~,3](y)
= { -D[f,3](f~(y)) D[f~,1](y) D[f,1](f~(y))^3
. + D[f,2](f~(y)) * 3 D[f,1](f~(y))^2 D[f,2](f~(y)) D[f~,1](y) }
. / D[f,1](f~(y))^6
= { -D[f,3](f~(y)) D[f,1](f~(y)) + 3 D[f,2](f~(y))^2 } / D[f,1](f~(y))^5
⇒
...

となる。あとはテイラー級数を作ればいい。だたし、非実用的
だから近似値ならニュートン法でも使ったら？

なんか過疎ってるから有名問題でも。

1/1^1+1/2^2+1/3^3+1/4^4+.........
=∫_{0から1まで} x^x dt
を示せ

√(25)=5

√(256) = 16

四年。

age

級数はWhittaker & Watsonとかがやたら詳しいよね

そろばんでの平法、開法の解き方が載ってるサイトを教えて偉い人#＾ω＾)

>>260　本当はエロイ人いうのですよ

>>254
∫x^x dtといきなり言われてもxとtの関係が分からねーぞ！！
x=tと仮定したら 1/(1^1)+1/(2^2)+... > 1 = ∫1dt > ∫t^t dt になるし

dxの間違いっぽいなｗ

1/(1^1)+1/(2^2)+...=1.29128...だが
>>254の式を連分数だと考えると1/(1^1+(1/2^2+1/(3^3+...=0.8014...
0.6922<∫{t=0,1} t^t dt<0.8461だから
連分数と考えればいいのかもしれぬ。やってみるか

>>254 問題間違ってる。
(正１)
∫[0,1] x^(-x) dx = Σ[n=1,∞] n^(-n)

（解法）
左辺 = ∫[0,1] e^(-x log x) dt = ∫[0,1] Σ[n=0,∞] (1/n!)(-x log x)^n dt
= Σ[n=0,∞] (1/n!) ∫[0,1] (-x log x)^n dt
ここで、x=e^(-t/(n+1))と置換
左辺 = Σ[n=0,∞] (1/n!) ∫[0,∞] (1/(n+1)^(n+1)) t^n e^(-t) dt
= Σ[n=0,∞] (1/n!) (1/(n+1)^(n+1)) Γ(n+1)
= 右辺

（正２）
∫[0,1] x^x dx = 1 - 2^(-2) + 3^(-3) - 4^(-4) + ...

∫{t=0,1} t^t dt ≠ 0.8014... っぽいじゃねーか
結局連分数でもねぇ

有名な問題を一つ。

{(1/10000000)Σ[k=-∞,∞] e^(-(k/10000000)^2)}^2 とすると、
この値はπと428兆桁以上一致することを示せ。

パイに出てこない数列ってないのですが。。。

>>252
答えはオイラー定数γ=lim[n→∞](1+1/2+1/3+...+1/n-log(n))です。

帰納的に
Σ[k=1 -> 2^(n+1)-1] (-1)^k/k = -Σ[k=2^n -> 2^(n+1)-1] 1/k
が成り立つことがポイントです。

したがって、
�納n=1 -> N]�納k=2^n -> 2^(n+1)-1] (n(-1)^k)/k
= �納k=1 -> 2^N-1] 1/k - N �納k=2^N -> 2^(N+1)-1] 1/k

ここで、
N �納k=2^N -> 2^(N+1)-1] 1/k
＝ N (1/2^N)�納k=2^N -> 2^(N+1)-1] 1/(k/2^N)
→ N ∫[1 -> 2] 1/x dx
＝ N log(2) = log(2^N)

>>267
f(x) = aΣ[k=-∞,∞] e^(-(a(x-k))^2), a>0 とおくと、
f(x)は周期１の周期関数で、そのフーリエ係数を計算すると
c_n = ∫[0,1] aΣ[k=-∞,∞] e^(-(a(x-k))^2) e^(-2πi n x) dx
　= a∫[-∞,∞] e^(-(ax)^2) e^(-2πi n x) dx
　= (√π) e^(-(πn/a)^2)
となるので、
f(x) = (√π)Σ[n=-∞,∞] e^(-(πn/a)^2) e^(2πi n x)
と展開できる。

x=0とおくと、
f(0) = (√π)(1+2ε),
ε＝ Σ[n=1,∞] e^(-(πn/a)^2)
　≦ Σ[n=1,∞] e^(-n(π/a)^2)
　＝ 1/(e^((π/a)^2)-1)
a=1/10^7とおくと、
0<ε≦ 1/10^428631000000000

したがって、
{(1/10000000)Σ[k=-∞,∞] e^(-(k/10000000)^2)}^2はπと428兆桁以上一致するが
πとは異なる。

等式：
{aΣ[k=-∞,∞] e^(-(ak)^2)}^2/{Σ[n=-∞,∞] e^(-(πn/a)^2)}^2 = π

>>248
arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + (x^9)/9 - ...
tan(x) = x/(1 - (x^2)/(3 - (x^2)/(5 - (x^2)/(7 - (x^2)/(9 - ...)))))

>>267 別解
πcot(πz) = ±πi±2πi/(e^(±2πiz) - 1) の部分分数展開は
πcot(πz) = 1/z + Σ[n=1,∞] (1/(z-n) + 1/(z+n)) なので、
コーシーの積分公式より、a>0, r>0とするとき
∫[-∞-ir,∞-ir] e^(-(az)^2)/(e^(+2πiz) - 1) dz +
∫[-∞+ir,∞+ir] e^(-(az)^2)/(e^(-2πiz) - 1) dz
　= Σ[n=-∞,∞] e^(-(an)^2) - ∫[-∞,∞] e^(-(ax)^2) dx
が成り立つ。

このとき、r=π/a^2, a=1/10^7とおくと
|aΣ[n=-∞,∞] e^(-(an)^2) - √π|
　＝ 2a|∫[-∞,∞] e^(-(ax+iπ/a)^2)/(e^(-2πix + 2(π/a)^2) - 1) dx|
　≦ 2a∫[-∞,∞] e^(-(ax)^2)/(e^((π/a)^2)-e^(-(π/a)^2)) dx
　≦ (√π)/sinh((π/a)^2)
　≦ (2√π)/10^428631000000000

>>269
最後から二番目の矢印がおかしい
おそらくN→∞と考えているだろうが、係数にNが残ってる

>>273 >>269 すまん。
正確には、
log(2) < �納k=2^N -> 2^(N+1)-1] 1/k < log(2) + 1/2^N
なので、
log(2^N) < N �納k=2^N -> 2^(N+1)-1] 1/k < log(2^N) + N/2^N
で挟み込む。

1+1/2+1/3+...+1/2^N - log(2^N) - (N+1)/2^N
< �納n=1 -> N]�納k=2^n -> 2^(n+1)-1] (n(-1)^k)/k
< 1+1/2+1/3+...+1/2^N - log(2^N)
として、N→∞とすると(N+1)/2^N→0。

>>274
すげー。これって自力であみだしたん？

文科系のものです。 別のスレで聞いていたのですが、どうやらこちらの方が適切なスレだと思いますので、転記します。

a,cを非ゼロの定数、b,dを定数として、|α|<1,|β|<1とする、このときT→∞のとき

S = T^(-1) sum_{t=1}^T (c+dβ^t)/(a+bα^t) → c/a

になることを示しなさい。直感的にはα^t, β^tは0に収束すると思うので結果は自明だと
思うのですが、証明方法が分かりません。|S-c/a|→0を証明すれば良いと思うのですが・・・。

よろしくおねがいします。

数列a_nがaに収束するならば(1/n)�納K=1→n] a_kもaに収束する
これは解析学の基本中の基本
証明はε-N論法による、てか微分積分学の教科書読め

【MIT】マサチューセッツ工科大円周率πを「4.14...」で計算 米国数学会騒然【転覆】
http://science5.2ch.net/test/read.cgi/sci/1142831001/l50

>>277

ありがとうございます。
277さんのコメントで少しわからないのは、a_nがn→∞のときにaに収束する
ということを使っていますが、もとの問題はa_Tではなくてa_tというところです。

たとえば(c+d/T)/(a+b/T) → c/aなら
S = T^(-1) sum_{t=1}^T (c+d/T)/(a+b/T) → c/a
が277さんの結果を使えば言えると思いますが、�狽ﾌ中身がTではなくてtになっていても
成り立つのでしょうか？

もっと単純計算を使ったprimitiveな解法がありそうな気がするのですが、なかなか思いつきません・・・。

>>276 εδ論法を使わないやり方：

まず、問題に不備があって、分母が0にならないという条件が必要ですので、
条件|b/a|<1を仮定します。

S = (c/a) T^(-1) sum_{t=1}^T (1+(d/c)β^t)/(1+(b/a)α^t)
なので、
T^(-1) sum_{t=1}^T (1+(d/c)β^t)/(1+(b/a)α^t) → 1
を示せばよい。

不等式
・1-|d/c||β|^t ≦ (1+(d/c)β^t) ≦ 1+|d/c||β|^t
・1-|b/a||α|^t ≦ 1/(1+(b/a)α^t) ≦ 1+|α|^t/(1-|b/a|)
が成り立つので、
1-|d/c||β|^t-|b/a||α|^t
≦ (1+(d/c)β^t)/(1+(b/a)α^t)
≦ 1+|d/c||β|^t+|α|^t/(1-|b/a|)+|αβ|^t|d/c|/(1-|b/a|)

あとは、和を計算すればおしまい。

>>279
> たとえば(c+d/T)/(a+b/T) → c/aなら
> S = T^(-1) sum_{t=1}^T (c+d/T)/(a+b/T) → c/a

この二行目はおかしい
変数はtでTではない。正しい式はT^(-1) sum_{t=1}^T (c+d/t)/(a+b/t)

>>280

ありがとうございました。できました！差が0になるというところではなく、
比が1になるというところがポイントですね。これだと証明もかなりクリアです。

174

185

992

そう/\/

368

909

age

既出だろうけどごめんね
f(x)＝1/(1-x-x^2)で
x＝10^-nを代入すると
少数点以下にフィボナッチ数列が出てくるの最近知った‥
すごいなコレ。

>>291
http://mathworld.wolfram.com/GeneratingFunction.html
の (3) 式から出るよ

(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・
=1-x-x^2+x^5+x^7-・・・
↑この級数って何か名前付いていますか？

ざっとwebで見る限りではそれ自身に名前はないっぽい。
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A010815

x^(1/24)(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・
x=e^(2πiτ) Im(τ)>0
とするとこれはデデキントのイータ関数η(τ)になる。

>>294
電光石火のごとき回答。
ありがとうございます。

>>294
Euler's Pentagonal Theorem
ってかいてあるじゃないか！

それ級数についてる名前じゃないだろｗ

>>292
ありがとう！よくこんなの思いつくよなぁ‥

>>297
ではΣz^n/n!に名前あるのか？

32rrfeag5

五年五日二十時間。

713

648

649

大浮上ｗｗ

山崎がいる

miをi番目の質点の質量とするとき，
慣性モーメントがΣmiri^2で定義されるらしいのですが，
連続体の極限になると
∫r^2dmになるのがわかりません．
このように，級数が積分になるのっていまいち分からん．．
リーマン和ならmi-m(i-1)みたいに区間の幅が入っているはずなのですが．．．

釣りすんな　m9（・∀・）ﾋﾞｼｯ!!

>>307
＞リーマン和ならmi-m(i-1)みたいに区間の幅が入っているはずなのですが．．．
直観的な話をすると、連続体だから、区間の幅は「無限小」まで縮めるのだよ。
そこまで縮めたリーマン和のことを積分と呼ぶのだ。
(数学的には、この直観は超準解析を用いて正当化されるので、この解釈の仕方は
間違いではない。)

>>309
そうなのでつか．．．10時間かけて，積分の仕方というか，区間の分割方法をうまく考えて，
mi=yi-y(i-1)みたいに差が出てくるように変形してみてうまく行ったと思っていたのですが．．．
超準解析でしたか．．．
てなわけで，Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis 買いに行ってきます
どうもありがとうございました．

一応，考えたことは，m_i=Σ(j=0 to i) y_j とすると，
y_i = m_i - m_(i-1)とできるので，
Σyiri^2 = Σ(m_i - m_(i-1))ri^2とできて，分割を無限に細かくすれば積分になるのかなーと．．．
こんなのでどうでしょうか．

大浮上ｗｗｗ

無限和Σa_iはある数に収束するけど
任意の実数r>1に対してΣa_i * r^i は発散するような例が思いつきません
助けて下さい

>>312
1/i

1/r^i

(-1)^(i)/i.

オイラーは全ての関数は無限級数で現せると思っていた。
ワイエルシュトラウスは複素関数を、同値なべき級数で定義域を広げてみせた。
ラマヌジャンはもう大抵誰かがやり尽くしてるだろうと思われたべき級数の世界を
思いもよらぬやり方や見たこともない並びで広げてみせた。
ガウスの超幾何級数は未だに、その応用を広げ続けている。

べき級数は解析のルーツなのだよ。
それはオイラーに始まっている。単純な形に見たこともない結果。そこにはまだまだ
不思議が隠れている。

無限級数を見て頭が痛くなる学生が多い風潮を変えねばならない

昨今のトレンドはジンバブエ級数
変数tと共に理解できない勢いで増えていくから

そのうち指数を書くのが面倒になって指数が指数で書かれたり、
指数の指数が指数で書かれたりする

lim_[n→∞]{d/dn 1/f(n)} は発散する。　⇒　無限級数　Σ_[n=1,∞]f(n)　は収束する。
lim_[n→∞]{d/dn 1/f(n)} は収束する。　⇒　無限級数　Σ_[n=1,∞]f(n)　は発散する。

Σ_[n=1,∞]{0}　は、収束する。　逆数が1/0になるため逆数の導関数が定義不能。
Σ_[n=1,∞]{1}　は、発散する。　lim_[n→∞]{1}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{n}　は、発散する。　lim_[n→∞]{-1/n^2}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{n^2}　は、発散する。　lim_[n→∞]{-2/n^3}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{n^(1/2)}　は、発散する。　lim_[n→∞]{1/[2n^(1/2)]}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{1/n}　は、発散する。　lim_[n→∞]{1}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{1/n^2}　は、収束する。　lim_[n→∞]{2n}　は発散はする。
Σ_[n=1,∞]{1/n^(1/2)}　は、発散する。　lim_[n→∞]{1/[2n^(1/2)]}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{1/n^(3/2)}　は、収束する。　lim_[n→∞]{n^(1/2)}　は発散する。
Σ_[n=1,∞]{e^n}　は、発散する。　lim_[n→∞]{e^(-n)}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{e^(-n)}　は、収束する。　lim_[n→∞]{e^n}　は発散する。
Σ_[n=1,∞]{log(n)}　は、発散する。　lim_[n→∞]{-1/[n・log(n)^2]}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{1/log(n)}　は、発散する。　lim_[n→∞]{1/n}　は収束する。
Σ_[n=1,∞]{1/[n・log(n)]}　は、収束する。　lim_[n→∞]{1+log(n)}　は発散する。
Σ_[n=1,∞]{1/Γ(n)]}　は、収束する。　lim_[n→∞]{Γ'(n)}　は発散する。

log2 = log1 +1/(1・1^1) -1/(2・1^2) +1/(3・1^3) -1/(4・1^4) +1/(5・1^5) ...
log3 = log2 +1/(1・2^1) -1/(2・2^2) +1/(3・2^3) -1/(4・2^4) +1/(5・2^5) ...
log4 = log3 +1/(1・3^1) -1/(2・3^2) +1/(3・3^3) -1/(4・3^4) +1/(5・3^5) ...
log5 = log4 +1/(1・4^1) -1/(2・4^2) +1/(3・4^3) -1/(4・4^4) +1/(5・4^5) ...
log6 = log5 +1/(1・5^1) -1/(2・5^2) +1/(3・5^3) -1/(4・5^4) +1/(5・5^5) ...

log(n+1) = log(n) +1/(1n^1) -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) +1/(5n^5) ...

log(n+1) = Σ_[k=1,n]1/k -1/2Σ_[k=1,n]1/k^2 +1/3Σ_[k=1,n]1/k^3 ...

γ = lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n]1/k - log(n)}
ζ(n) = Σ_[k=1,∞]1/k^n

γ = lim_[n→∞]{1/2Σ_[k=1,n]1/k^2 -1/3Σ_[k=1,n]1/k^3 +1/4Σ_[k=1,n]1/k^4 ...}

γ = ζ(2) /2-ζ(3)/3 +ζ(4)/4 -ζ(5)/5 +ζ(6)/6 -ζ(7)/7 ...

708

うるさい。

490

六年。

age

n/(2n^3+1)の級数が収束するか発散するかを
判断するのですがどうすればいいかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

>>326
つダランベールの判定法

n/(2n^3+1)<n/(2n^3)=1/(2n^2)

>>328
級数の話でしょ

>>329
Σ[n=1,∞]1/n^2＜∞に帰着させただけだが。

>>330
問題を簡単にしただけか。ｽﾏｿ。

>>327.328
ありがとうございます。
ダランベールは１になってしまい判断ができないと思うのですがどうですか？
�農[k=1 n]{1/n^2}もわからないです。ヒントをいただけませんか

>>332
ああ、そうか
よく見てなかった
�農[k=1,∞]{1/n^2}=ζ(2)=π＾2/6

つcauchyの収束判定ほう

>>333
そうですね。でも問題は解けないですね
>>334
コーシーも１になりますね

>>335
解けてるよね
上に有界な単調増加な級数なんだから収束

コーシーは1じゃない

>>336
ほんとですね。解けてました。ありがとうございます。

でもコーシーは0^0となって１になると思ったのですがどうですか？

>>336
1に収束するだろ
�農[k=1,∞]{1/n^2}の収束性は
�農[k=1,∞]{1/n^2}<1+�農[k=1,∞]{1/n(n-1)}から導ける

「幾何級数的に危険性が増大する」
「等比級数的に・・・」

時々見かける表現ですが、
いつ頃、誰が使い始めたんでしょうか？

いいたいことはまあわかりますが、
自分が使うにはかなり抵抗、違和感があります。

a_nを実数とする。
Σ[n=1..∞]a_nが収束するならば,Σ[n=1..∞](a_n)^3も収束する。

の真偽判定問題です。真だと思うのですが如何でしょうか?

ジャップ哀れやな

>>340
おｋ。番号が十分大きいところでは　|a_n|≧|(a_n)^3|
になることを使ってコーシーの条件を考える。

偽。

Reply:>>341 日本に来る反日教育信者が先に滅びるべき。

>>340
[ ] をガウス記号として

a_n = 2*((n/3)+1)^(-1/3)　　(n が 3 の倍数のとき)
a_n = -[(n/3)+1]^(-1/3)　　(n が 3 の倍数でないとき)

とすると、Σa_n は収束、Σ(a_n)^3 は発散

>>340
嘘言っててごめんよ

3+4=7

見とく、知っとく、納得。

円周率は一種のフィボナッチ級数

496

急須

416

087

我々保安庁の討伐を試みるKingの脳を細密に解析して試みを先取りし、Kingを隠密に闇に葬り去ること
それが私に与えられた使命　kkgeryh

>>353
最近うるさいぞお前
同じことばっか書き込むな

Reply:>>353 お前が守ろうとしているものは何か。
Reply:>>354 つまり、[>>353]がよそに行くべきこと。

308

http://pract1.blog21.fc2.com/?mode=m&no=31

ガ　��(a^(1/n)−1)
(a＞0)
a＝1のとき、明らかに収束。
a≠1のとき、lim(a^(1/n)−1)≠0より、発散。

対話式の文章は、壊滅的に気持ち悪くてわかりにくい。死ねぃ

927

554

160

123