2003年の年賀状用の数学の問題ありませんか？

2003がらみの問題ってない？

2+0+0+3=5

1/x + 1/y = 1/2003 を満たす自然数の組(x, y)は何組存在するか？

制限時間 3分。

>>3
０組

>>4
1/4006 + 1/4006 = 1/2003

2003を素因数分解しなさい

>>6
2003

子供の数だけ答えがある。□,△に適当な整数を入れて等式を完成させなさい。

□＋△＝２００３

a,b,cを自然数でa≦b≦cとする。
a^3+b^3+c^3-3abc=2003となるa,b,cを、全て求めよ。
高校初級レベル。

>>8
それを日本でやると□に１から順に入れていくやつが多数なんだろうな。

>8,10
-660　＋ 2663　
1988 + 15

>>10
2003じゃなくて5で、幼稚園児or小１にやらせれば
「2+3」って解答が多くなる気がする。

C[14, 5]

1,2,3,1から
2を作る
0を作る
0を作る（重複ｗ）
3を作る

2^2002-1は素数であるか？

>15
why 2002??

「n進法で２００３と表される数」＝「2003[n]」について・・・
nを1づつ増やしていくとき，2003[n]は・・・・？
　　　※ n>=4の整数

* 中学生向け：偶数にはならないことを証明せよ．
* 高校生向け １：3の倍数は3つおき，5の倍数は5つおきに現れることをそれぞれ証明せよ．
* 高校生向け ２：7の倍数は，いくつおきに現れるか？
* 専門課程向け：素数が連続しないことを証明せよ．

・・・・っていうか中学で「○○進数」は、やらなかったっけ

中学ではやらヘンよ
やったほうがいいとおもうんだけどね（中3の2学期で２次グラフの読み方は明らかに遅い。
中学生向けからやってみるか

2n^4+3・・・偶数・・・?

2n^4が偶数で・・・３が・・・

あ、わかった・

>>18
「2n^4+3」でなく「2n^3+3」なんですけど・・・(笑)

１＾７
２＾６
３＾５
４＾４
５＾３
６＾２
７＾１

ということで２５６かな？

2*n^3+3について
* 中学生向け：偶数にはならないことを証明せよ．
* 高校生向け １：3の倍数は3つおき，5の倍数は5つおきに現れることをそれぞれ証明せよ．
* 高校生向け ２：7の倍数は，いくつおきに現れるか？
* 専門課程向け：素数が連続しないことを証明せよ．

7k,7k+1,7k+2,,,,,,7k+6を考えれば

3,5,5,1,5,1,3mod7
７の倍数は表れない？

3,5,5,1,5,1mod7
７の倍数は表れない

3
5
5
1
5
1
1
だ・・・
次は専門過程向けを考えるぞぉ

131
253
435
689
1027
1461
2003
2665
3459
4397
5491
6753
8195
9829
11667
13721
16003
んー、よくわかんないや。落ちて考えます。

>>19
だから中学では進数はやらないのだと・・（T_T；
高校生むきでもするか

2*n^3+3って書くとなんか味気ないですなぁ・・・

17ですが・・・
えーと、怒られる前にバラしますが、この「専門課程向け」はウソです。
反例の一つ：2003[43]=159017と2003[44]=170371は，ともに素数

うそなのか・・・。もうちょっと暇だったら、挑戦するところだったぞ。

>>29
俺＞＞２６です・・・
激しく鬱です。

なら、
2003[n]、2003[n+1]ともに素数となるnは有限個か無限個か
有限個なら全て見つけよ。

という問題に変えよう。

2003[n]=2*(n^3)+3

＞激しく鬱です。

えー17です。
では、マジに出題してみます。専門課程向けです(ただし初等数論)。
　　※ 連続して素数になるのは無限個あることは、(証明は難しくても)すぐ予想できそうだから・・・

『2003[n]が素数になるときの，nに共通する性質を示して下さい』

3の倍数でないｗ

>>33-34
周期的に素因数になるもの(3,5,11,13 など)と、
(たぶん一度も)素因数とならないもの(7,31,37 など)があるのは、なんで？

何か規則があるの？

検討中

うーんおもしろい

さて、今年もω^2003って問題は出るのかな？(w

ん、来年か。

>>38
2003mod3=2mod3より
ω^2003=ω^2

ωを1の原始3乗根だと思った私は逝ってよしかな・・・

>>41
いや、それで有ってなかったっけか？

分からんぞｺﾞﾙｧ

n^2+1に素数が有限個あるかどうかは未解決なので、
まずは2n^3+1という形の素数が有限個かどうかを考えた方がいいような気が。

>>44
まじっすか・・・・・
>>33
その問題本当に初等整数論で解けるのか？？

15/2003 = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d

>>46
それをどうするの？
何組あるか数えるの？解けるの？

>>45
＞その問題本当に初等整数論で解けるのか？？
33に対して、35がヒントになると見た。

ｵﾚ？
ｵﾚは考え中・・・・

a,bを自然数とする。
a^2+b^2=2003となるa,bを全て求めよ。

>>47
解ける。複数解あるかどうかは調べてない。たぶんないとは思うけど。

>>49
aを1から順に当てはめていけばいいだけじゃんｗ

2003^2003は何桁の数か？

数オリのパクリだが、
f:N→Nを自然数間の写像とする。
この時、f(f(n))=n+2003になる写像は存在しないことを示せ。

>>47
すまん。>>46はかなりの数の組み合わせがあるようだ
15/2003 = 1/a + 1/b +1/c
なら、だいぶ減る。 それでもとりあえず３通りはあるようだ。
それ以上あるかもしれない‥

>>50
大量にあると思うんだが…。

ごめん、>>54を読んでなかった。

>>33が分からない。お手上げ。

あげとく。

Σ1/k
は収束ですか？発散ですか？

>>33
だれかHELP!

いい問題が出来たけど、ここに公表するのは年明けかな

>>62
年明け、遅いと思う。
このスレについてのｵﾚの想いとしては、
数セミの１２月号(11月発売)に出るであろう「2003年関連問題」と
２chの本スレに登場した問題と、どちらが良問かってことだ。

まあ、２chのレベルでは無理ってことか・・・。
(そんなこたーない？)

あ、新年号(12月発売---18日頃だっけ?)かもしんない。

2003年用の自作問題だけど、実は昨夜、某所に投稿したんだよね
ボツになったら、すぐにでもここに書き込むよ

数学セミナーでも問題を募集してたりするの？

>>66
募集ではなく、「エレガントな解答を求む」にどこかの先生が出題するやつ。

>>64
数学セミナーは１２日発売でーーーす。

n角形だけで2003面体を作れるようなnを全て求めよ。

>>69
存在しない

>>70
いや、n=3,4,5,6で可能。

>>71
n=3,5なら辺の数2003n/2が自然数にならないから無理じゃない？

>>71
n面体ってのは、真中にぽっかり穴があいてるようなやつでもいいのか？

集合{0,1,2,,,,,,,1338004}から、2003個の要素を持つ部分集合を1338004個取り出す。
これらの部分集合をS(1),S(2)....S(1338004)とし、異なる自然数1≦i,j≦1338004に対して
集合S(i)∩S(j)の要素数をf(i,j)とおく。
i,jが上記の条件を満たしながら動くとき、f(i,j)の最大値をMとする。。
このときMの最小値を求めよ。

>>74
2003?

>>75
3

0?

>>74
解く前に確認なのだけど、下の集合の要素数は1338005個で、
取り出す部分集合は1338004個でいいのだね？

「下の」は「元の」。変換ミスった。

>>74
1338004は2003を約数に持つとはいえ、ちと唐突に出てきた気がした。
(オレが感悪いだけか？)

年賀状用かつ数学板に出すものなら、簡単そうに見えて奥深い(ムズい)のｷﾎﾞｰﾝ

感 → 勘

>>80
奥深くなければらくにつくれるけどねぇ

>>80
2003*2004/3だから、きっとなんかあるんだよ。

ま○こ。

そろそろ年賀状を書く用意をしないとなぁ

2003/15
が割り切れるのは何進数か

ふん、はー

2003年用の問題を２つ作ったけど、そのうちの１つ（簡単なほう）をＵＰしといたよ

TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/l50

方程式
x^2+y^2+z^2+w^2=2003
の整数解の数を求めよ。

スタートからｎマスでゴールするすごろくがある。さいころを振って出た目の数だけ進めていくが、
ゴールする際は、必ず出た目ちょうどでゴールに着かなくてはならず、出た目の数が大きすぎた場合は
多い分だけ戻ることとする。

例：ｎ＝４の場合
スタートでさいころを振って６が出た場合、２だけ多いので、ゴールから２マス戻って４のマスの位置に来る。

ｘ回目でちょうどゴールに着くとした場合、E(x)をｎを用いて表せ。n≧３とする。

>>89
プログラムすれば簡単だけど、手計算は大変そうですね

>>90
面白そうですね

>>89
＞ 方程式 x^2+y^2+z^2+w^2=2003
＞ の整数解の数を求めよ。

これもっとシンプルにしようよ。
「x^2+y^2=2003 の整数解の数を求めよ」とか・・・。
あ。解が無いか。
でも「x^2+y^2+z^2=2003」では、ダメなんすか？

解説ｷﾎﾞｰﾇ！

>>92
ヤコビの等式というのをしらべてみるべし。
岩波の現代数学の基礎３とかにのっとる。

和として表すには平方数4つなきゃいけないから仕方ないのですよ。
それはともかく、x^2+y^2+z^2+w^2=Nの整数解の個数Q(N)は数論の本見れば載ってるのですよ。

>>93
＞岩波の現代数学の基礎３とかにのっとる。
岩波の現代数学の基礎、数論３とかにのっとる。だった。

ありがたい
この機会に勉強させてもらうよ

>>65に書き込んだ2003年用の問題ですが、採用されたので
Web上に公開されたら、リンク先を貼り付けます

高校生むけ模試仕様
a,b,x,yは2以上の正の整数
(a^2003-x)(b^2003-y)が2003で割り切れるとき
a^3+b^3=15^3+23x*yであるときa,bの値はいくつでしょうか
簡単すぎだね

>>98
もしだったら誘導しれ。

100GET?

>>2

２００３って素数？

20％くらい素数じゃないの？

>>102
素数です。間違いないです。この人が言ってますから。
ttp://jp.mathnori.com/

大学受験生のみなさん
西暦2003年　平成15年にちなんで
（15＾2003）-15　は　2003で割り切れます。
なぜでしょうか？？？

なんでだよぉ ヽ(｀д´)ノﾌｫﾙｧ

>>105
フェルマーの定理が使えるなら、さくっと一行で……。
使えないとなると厄介だな。

>>107
が受験生なら京大は楽勝かな

>>105
そろそろ答え出せ！

は・や・くぅ・♥

　　　　　　　　 ／■＼　　
　　　　　　　　（　´∀｀）　　出しますた
　　　　　　　　/, 　　つ　
　　　　　 �＝i_（＿,　）　ぶりぶりぶりっ
　　　　　ξ　　　しし'　　　

>105
2003が約数だから割りきれる














文句ある？

>>107
(15^2003)-15は2003で割り切れると言う問題で
なぜフェルマーの定理が出てくるかわからない…
説明ｷﾎﾞﾝﾇ

フェルマーの小定理
フェルマーの大定理

a^(p-1)≡1(modp)
a^p-a≡0(modp)

p=2003の場合

>>105
（15＾2003）-15　は　2003で割り切れるとする。
(15^2003)-15=15{(15^2002)-1}
2003は素数らしいから(15^2002)-1が2003で割り切れることになる。
(15^2002)-1=2003k (kは自然数) とおき、両辺において底15の対数をとると
2002-0=log15(2003k) となりもとに戻すと
15^2002=2003kとなる。これは矛盾。よって割り切れない。

と思ったんですが、何か計算間違いがありそうなのでアドバイス
お願いします。

＞(15^2002)-1=2003k (kは自然数) とおき、両辺において底15の対数をとると
＞2002-0=log15(2003k) となりもとに戻すと
ここ

>>117
そうそう。なんかオカシイなと思いながらやってたんですが
よくわかりません。
教えてください。お願いします

1=15^0ってことでlog15(1)=0ってしたんですが

log(A-B)≠(logA)-(logB)

ああーあーあーあーああ
分かった！！

２００３年の年賀状が１０枚ある。これらを１列に並べる方法は何通りあるか。

>>118
みにくいので底は省略して
log(15^2002-1)=log(15^2002)-log(1)
ってやってるけどlog(a-b)=loga-logbなんて成立しないよ。
たとえば底を２として
log8-log4=3-2=1、log(8-4)=log4=2
で全然ちがうじゃん。

>>120>>123
どうもｱﾘｶﾞﾄｳ!これからも宜しく

がんばって書いたのに･･･>>120でわかるのか･･･

＞１２２
『並べる』の定義しだいでいかようにも。

122の問題は解けなくていいです。

105の問題全く分かりません

> 128
厨房にもわかる説明
http://www.faireal.net/articles/6/05/

もうそろ年賀状出さないとやばいよ！

もうそろage

あ、あぁぁん。。
はやくしないと・・・
い、いくぅ。。
いっちゃうぅぅ！

>>129
みんなはそのこと言ってたのね
目からうろこ出た

１０進数の数で上４桁が２００２で下４桁が２００２、かつ２００３で割り切れる
最小の数はなぁに？（盗作すまそ）

20020000でいい？

だめ

おいたはだめだめね

200202522002でいい？

200202522002
200222552002
200242582002
200262612002
200282642002
2002001172002
2002021202002
2002041232002
2002061262002
2002081292002
2002101322002

すごいね、みなさん。

2＾ｐ-1は2003で割り切れ、2003＾2でも割り切れる。
ｐの最小値はなんでせう？

>>141
0

>>141
2003^2で割り切れれば、当然2003でも割り切れるんだけども、
この問題って綺麗に解けるの？

すいません、よっぱらってました。141は取り消します

すいません。>>98がわからない馬鹿者です。教えてください。

全て求めなくていいんなら
(a^2003-x)(b^2003-y)≡(a-x)(b-y) mod 2003を利用して

>>98
答えが無数に存在するのですが、ご返答願う。

切れた…

全て求めなくていいんなら
(a^2003-x)(b^2003-y)≡(a-x)(b-y) mod 2003を利用して
a=x=y=23でb=15としちゃえばいい。

京都大学入試模試風に
Pは整数（ｐ＞１）
F(p)=(Σ[k=1 p] k)^p-(Σ[k=1 p]k^p)とする
F(2003)/(2*n＋1)が正の整数となるような最大の整数nを求めてみましょう。

（＾＾）