複素数が大小関係を持ち得ないのは何故？

複素数は大小関係を持ち得ないって事をどう理解したら良いんですか？
いろんな説明（証明？）の方法があるみたいなので、たくさんの
人の説明を聞いてみたいです、お願いします。


数単位が複数になった＝一列に並べられない
＝順序的構造を持てない、
みたいにするのかなって自分では思ってるんですけど
間違いですか？

a+b√(-1) に(a,b)　の辞書式順序を入れれば順番付けできる。
自然な大小関係とは思わない、といわれりゃそれもそうですが。

>>1は大小関係をどのようなものと考えているのか
小一時間説明するように。

>>2
すいません、その辞書式は具体的にはどんなものですか？？
本当にできます？

>>3
まず単位を定義して、その単位の元を持つものを
その単位をどのくらい含んでるかによって
a<b<c<d<e<f<g…
と一列に並べる。という感じでしか理解してません。。。

あ、
aは、a<b,a=b,a>b、の関係のうちいずれか1つを満たす、
を前提にしてます。これは同じ単位で計れるって事からの
条件ですよね？ごめんなさい、説明になってないかもです。

複素数では＋∞と−∞の区別もない。
おなじ∞なんだな。

いま、複素数を
a+bi
とする。
これに、虚数単位iを掛ける事を繰り返す。
ai-b(１回)
-a-bi(２回)
-ai+b(３回)
a+bi(４回)
４回掛けたら、元の式に戻ってしまった。
このとき、途中に出てきた式と元の式とに
大小関係をつけることは出来るか？
a+bi>-ai+bとしたら？
・・・？？？a+bi>a+bi？？？
では、同じ値かと問われても同じとは説明できない。
つまり大小関係を説明できない。

いま、実数を
a
とする。
これに、-1 を掛ける事を繰り返す。
-a(１回)
a(２回)
２回掛けたら、元の式に戻ってしまった。
このとき、途中に出てきた式と元の式とに
大小関係をつけることは出来るか？
a>-aとしたら？
・・・？？？a>a？？？
では、同じ値かと問われても同じとは説明できない。
つまり大小関係を説明できない。

(a,b) < (c,d) の辞書式順序の定義は
「a<c」 または
「a=c かつ　b<d」
これだけのこと

天は複素数の上に複素数を作らず複素数の下に複素数を作らず

順序は辞書式なら入れられるけど、
それじゃぁ加法や乗法に関して順序が保存しないもんな。

本当に演算に関して保存するような順序関係を入れられないということの証明って見たことないな。

辞書式順序は
加法で順序は保存されるじゃん。

>>10
早まるな。辞書式順序は加法に関して順序を保存する。
乗法に関して保存しないだけだ。

乗法について、
実数として a>0 ならば 複素数として a>0
実数として a<0 ならば 複素数として a<0
a>0 b>0 ならば ab>0
a>0 b<0 ならば ab<0
a<0 b<0 ならば ab>0

をみたすような順序を入れられないことの証明は >>6 の方針でOK。
(aを正の実数とする。 i>0 と仮定しても i<0 と仮定しても、 -a>0 となり矛盾。)

>>5
すいません、もっと詳しくお願いします。

>>7
あんまり数学には詳しくないんですけど
それは実数における加法の単位元みたいなものを
複素数が持ち得ないってことの説明ですか？？
あれれ、ごめんなさい、良い説明な気はするんですけど
まだ分かりません

13=1です

複素数が全順序であったら、実数と一対一対応ができてしまうのでダメ。

といってみるテスト。

>>13
複素平面に１点∞を付け加えて球面にする。
これを複素球面（リーマン球面）といい，
とても便利なものだ。
たとえばこれによって
分数１次変換 f(z)=(az+b)/(cz+d)　(ad-bc≠0)
が１対１連続な写像として扱える。

>>15
その「ダメ」はどこにかかる修飾語なのかが非常に興味がある。

>>16
もうちょっと噛み砕いて表現する事ってできますか？？
それって、例えば、ある複素数の絶対値が1だとすると、
それは半径1の円になって、その円弧には隙間が無いから
その円周上の点，各点に対応する複素数は無限にある事に
なっちゃうって事ですか？？ひゃーわかりませんー

2i>i（ア）
とする
2i-i>0
i>0(iが正)
（ア）の両辺にiを掛ける
-2>-1(矛盾)

2i<i（イ）
とする
2i-i<0
i<0(iが負)
（イ）の両辺にiを掛ける
-2>-1(矛盾)

これでいいのかな？複素素じゃなくて虚数単位の説明だけど・・・。

1>-1（ア）
である。
（ア）の両辺に-1を掛ける
-1>1(矛盾)

>>19
乗法と加法に関して"正"の数が閉じているという仮定をおけば十分という事だね。1の意図は謎だけど。

>>19
それって虚数単位が加法に関して保存しない(←こう表現すんのかな？？）
ってことの証明ですよね？？虚数(複素数）に関しての
大小関係が成立しない事を説明ってありますか？？
あ゛そんなの無いようなきがする。。。

>>20
その場合
−１を掛けた時に＞が＜に変わる。

虚数が実数と合わさったときに大小関係の
説明がつかなくなると思うのですが。

>>21
物理の教授に聞いたら、複素数に大小関係の概念を持たせられないのは、
平面紙をリンゴの皮向きのように一列に切れるかみたいなもの、
そのときに意味のあるきり方ができないようなもの、みたいな事を
言ってたんですよ。方向にはどちらが大きいとかなく、大きさの
物理的な意味を持たせるにはスカラー量じゃないとだめ、みたいな
事なのかなーとかいろいろ考えたんですけどさーぱりだったんで。。
数学的発想ではなく物理的な発想をしてるから余計分かり難く
なってるのは分かってるんですけど。。。どうも苦手で。。。

"意味"とは何か、何が重要な状況かで答えは違ってくるでしょ。
８で出てた辞書式順序は複素平面を右端から順に少しずつ削り落としてる
訳で、そういう切り方に意味がある状況では「大小関係がある」ね。
体構造とか位相構造とか、重要なのは時によって違う。

乗法だけを保存する全順序ってあるのかな
-1<0を仮定すると、z^2>=0を満たさない複素数z=iがあるからおかしくなるな

logとって辞書式順序入れればいいのか･･･
みんな非負になるな･･･

既存の複素数は欠陥だらけですねぇ。複ベクトルで全て解決です。
天才ガウスも踏み込みが一歩足りなかった。
数学史上屈指の天才と言えども、思い付くことの出来る環境を整えてやらない
と無理だったのでしょうねぇ・・・。

http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/english/kekan/no004.html

もう夏は終わったと思ったんだがなあ

あー、わかりました。
即決さんたちの言いたい事は
こういうことですか？
a、bがa>bという不等式の関係を満たすと仮定する。
両辺に同じ事をすればその関係は当然変わらないはず。
それなのに
i<2i、において両辺にｉをかける。すると
-1<-2
よって始めに大小関係があるとした仮定がおかしい。
こんなかんじで背理法みたいにしてるんですか？
納得

>>20

＞両辺に同じ事をすればその関係は当然変わらないはず。

どこからこんな自身が沸いて出てくるのだろう。

>>29＞数学史上屈指の天才

#なにを根拠にこんなことを言っているのですか？？

＞両辺に同じ事をすればその関係は当然変わらないはず。
あともう少し


複素数に全順序が入っているとしてその順序についての「正」の数
を両辺にかけても順序が保たれると仮定すると
その順序についてiが「正」であっても「負」であっても
矛盾があると１９は言っている．

乗法を保とうとするとどの元も正になって
結局>>20みたいにすれば矛盾するのか
ﾈﾎﾞｹﾃﾙﾅ

>>34
蛆虫ですか？

2ちゃんも蛆虫ばかりですねぇ。複ベクトルで全て解決なのに、これ以上何を望みますか？

http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/english/kekan/no004.html

>>35
あぁーすごいー、なるほど。そういうことか。
わっかりました。
ちなみに負の数だと逆の元(？）を掛けるってことで不等号も
反対になるんですよね？

こういう証明のほかに何か直観的に理解する方法ってありますか？？

＞ちなみに負の数だと逆の元(？）を掛けるってことで不等号も
＞反対になるんですよね？
そう、符等号が逆になっちゃうことを利用

つーか高校で習うことだろ。このくらい。

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026811023/l50
こっち読んでみたら？
［45:］以降かな？

>>41
shrodinger eqだの場の論に毎日埋もれてると
なんで自然の中にこんな大小関係を持たない複素数
に対応するもんがあんのかなーって思ってると、
なんかたまに足元すくわれてる気分になるんですよぉ〜。
不思議じゃありません？こんなのが物理の基礎方程式に
入ってくるなんて。数学の人たちはどう思うのかな〜って
結構気になりますよ。。

絶対値の大小だけでガマンしとけや。
それが大人。

量子論とかはもう「現実世界を解釈する方法」の一つであって、
自然の中とは言えないでしょう。
スカラー量の大小比較だって、人間が意味付けしてるだけでは？

>>44
ですよねー、それ言えてます。
複素数に大小関係持たせられないなら波動関数の
時間発展演算子も果たして物理的な意味持つのかぁ〜？
絶対値とってから時間発展演算子付けるなら分かるけどもさぁ〜
とか思ったりしたことありません？？？そんなこんなが
もともとの疑問の元でした。

ごめんなさい、最後にもう1つ質問していいですか？

「複素数は実数のような符号による大小関係の表現はできない。
でも順序関係はつけられる」みたいな発言してる方が
いたんですけども、これって本当ですか？？？？？
又どういう意味なんでしょうか？？

>>46
？
絶対値でじゅうぶん順序（しかも全順序）がついてるじゃないか。
とりあえず、順序の定義を調べてみれ。

後、時間発展演算子というのはよくしらないが、時間を実数として
考えて、時間に対する函数としてそれを定義するなら
ちゃんと順序もつけられるじゃないか。時間は今の場合
広がりを考えないんだろ？

>>47
＞広がりを考えない
これは、複素数をパラメータに持つ時間を考えたり、
あるいは実高次元（二次元以上）を持つような時間を考えない、
と言う意味だと思ってくれ。

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　　　　　　　　　　　　　　　─（ ﾟ ∀ ﾟ ）＜　のるむのるむ！
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￣￣￣￣￣￣￣￣＼∩ ∧　∧　＼（ ﾟ∀ﾟ）＜　のるむのるむのるむ！
のるむ〜〜〜！　 　 ＞（ ﾟ∀ﾟ ）/ ｜　　　　/　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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>>49

>>49
なんか激しくﾜﾗﾀ。
笑いすぎて書き込みミスった。

１はa,b∈C のときa≠b⇒a>bまたはa<bなる順序が欲しいの？

>>52
それだったら>>2で解決してるって。

１は平面から直線への連続な全単射がつくりたいの？

あるちん・しゅらいやーの定理というのがあります
だれか書いてるかなーとおもったらかいてなさげなのでいちおう

「可換体K上に，Kを順序体とするような順序構造が存在する
必要十分条件は
『x_1^2+...+x_n^2=0　ならば　x_1=...=x_n=0』
がなりたつこと」

ってゆう定理です

順序体ってゆうのはようするに
順序関係がきまっていて
x≦y ならば　x+z≦y+z
0≦x，0≦y ならば 0≦xy
をみたすようなもののことです

私の記憶によると、順序集合（もちろん、それより条件の厳しい「順序体」もだが）の条件には
「a≦b, b≧aならばa＝b」
ってのがあったと思うが．．．
絶対値の大小で順序を定義するとこいつが成立しない。

>1
漏れも物理屋だが、自然の中にshrodinger eqで記述
される複素数量が存在するというのはアブナイぞ。
もう一度、量子力学の構成の仕方を考えなおしたほうが。

exp[a d/dx]f(x)=f(x+a)を物理屋は時間発展演算子と呼ぶ也。
物理屋は半群をやらないという罠

>>54
たぶんそうだろう。

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　　　　　　　　　　　　　　　─（ ﾟ ∀ ﾟ ）＜　ペアノペアノ！
　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿／　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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￣￣￣￣￣￣￣￣＼∩ ∧　∧　＼（ ﾟ∀ﾟ）＜　ペアノペアノペアノ！
ペアノ〜〜〜〜！ 　 ＞（ ﾟ∀ﾟ ）/ ｜　　　　/　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿／ ｜　　　 〈　｜　　　｜
　　　　　　　　　　　　　 /　／＼_」　/　／＼」
　　　　　　　　　　　　　 ￣　　　　 / ／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣

>>59
不連続だろ・・・
位相の勉強やりなおし。

>>60
59は、まだ集合しか勉強していない。

>>54
で終了。そろそろ気付よ！>>1

今年３０になるサラリーマンなんだけど、
直線と平面の連続全単射が存在しないってどう証明するんだっけ？
（手元に数学の本なんかもうないもんで・・・）

>>63
直線から任意に１点を取り除くと、連結では無い。
平面は１点を取り除いても連結。
同相では無い。

>>64
ペアノ曲線は連続全射だっけ？

みなさん面白い人ばっかですねー、すごいです。
>>54ごめんなさい、面白い話が聞けるんで
ついつい引き伸ばしちゃいました。。
54さんの
１は平面から直線への連続な全単射がつくりたいの？
はい、その事に興味がありました。結局無理って事なんでしょうか？
55さんありがとうございます。面白そうなんですけど、
それを複素数に当てはめて順序構造が存在しない事の証明とかってできるんでしょうか？
57さん、ですよねぇ。。数学的実在とでも言ったほうが良かったかもしれないです。。
物理的実在とは思ってません、そういう演算規則が成立する(?)って感じで理解してます。
ちなみに57さんはどう理解してますか？実体概念と関数概念てとても難しいです。。

あぁーみなさんすいませんー、下げたいですよね？？ごめんなさいー

>>65
>>60

微分不可能

実は谷の底に実数の数直線があり、複素数はその谷の岸壁の部分に存在する。とかカッコつけてみる。

>>68
微分不可能⇒不連続
だとおもってんのか？

>>65
R^nの濃度の証明で例として出てくるんだから、全単射にきまってんだろ。

んで、平面上のある点を中心とした半径rの円をペアノ曲線をつかって、
数直線にマップしてみれ。
近傍が近傍にうつんねーだろ。

折れているところは微分できませんよね？

微分不可能（角の部分）でも、角を持った物は連続（正方形とか）

ここは数学板ですか？教育板ですか？

複素数（以下略

今のプロジェクト終わって暇になったら位相への３０講買ってこようかな。

>>64
直線から平面への連続全単射があれば同相？

>>77
定理(de・Qunn 1925)
直線からハウスドルフ空間への全単射連続写像は、実は同相写像である。

>>77
全単射に方向があるのかと小一時間・・・・

>>79
「連続」に向きがあるわけだが。

之車糸売

之
車
糸
売

Cω連続ドラえもん

>>80
ペアノ曲線はまっすぐ伸ばせば直線になりますっていいたいのか？？

数直線をくるっと回転の説明でおしえてあげたら？

>>83
意味不明。

>>66
1,i∈C, 1^2+i^2=0だからCは順序体じゃない。

>>57>>66
物理量が複素数でも別にいいと思うけど。
どうせ観測するときはre^iθのrとθしか見えないんでしょ？

体ならば
1=1+(-1)(1+(-1))=1+(-1)+(-1)^2=(-1)^2
よって順序体を仮定すれば
a)x>0 仮定より x^2>0
b)x<0 のとき 0<-x であるから仮定より
0<(-x)^2=(-1)^2x^2=x^2
であるから常に x^2>=0
よって
x^2+y^2+...=0 ならば x^2=-y^2+...<=0 すなわち x^2=0

あれ・・・同相の定義って、連続全単射が存在することでなかったっけ？

>>88
逆写像が連続でないといけない。

複素数の稠密ではない離散部分集合の上にだったら、大小関係を整合的に
定義できるのか？

複素数に大小があってもいいじゃないか！
ということで、ｉ＜２ｉと定義する。

大小関係を入れるのは簡単だけど
あんまり意味がないんちゃう

トライアングル・イネクオリティーって照明に使われるじゃん。
大小関係意味ありまくり。

複素数で大小関係は意味無いっていうやつら、ちゃんと勉強した？
大小関係使わなかったら積分の応用も出来ねーし。

複素数を論じるのに大小関係が役に立たないという話じゃなく、
複素数どうしの大小関係が役に立たないという話じゃないのか

それなら>>92の様に明らかだ。他に何の議論の余地がある？

>92
ではその場合、
1-iと-1+iは
どちらが大きいですか？

>>98
原点からの距離は同じっていうしかない。
ベクトルで(1,-1)と(-1,1)はどっちが大きいかと聞いてるのと一緒。

>>99
いや、９２の定義
ｉ＜２ｉ
だとこの場合どうなるのかという質問ですが。。。

それともあれは、純虚数どうしのみに定義された大小関係？

>>98
外積からも明らかなように、電位ポテンシャルは保証されるが、
磁位ポテンシャルは保証されない。
同様に、-1+iから見れば1-iは大きいし、1-iから見れば-1+iは大きいとしても
なんら矛盾はない。
つーか、ポテンシャルが保証されるかどうなんてまだ確認してないし。
芸術はバクハツだー！！

>>95
お前、ちゃんとこのスレ読んだ？

（補足）
一般に、ベクトルＸにおいて、rot(Ｘ)≠Ｏのとき、
Ｘのポテンシャルは保証されない。

芸術はバクハツだー！！

なんか下らん事でもめとるスレなんで俺は降ります。
コンプレックスプレインで考えましょう。では。

2chなんかで実のある議論なんかできるわけないじゃん？
ここは数学をネタとして楽しむところなんだよ。
数学板なんか見てる暇が一秒でもあるんなら本を読むべし
少年易老学難成

>>105
そういうスレしか見てないわけですか、そうですか。
あ、実のある議論は理解できないからネタスレしか
読めないのね。納得。

ま、ここがネタスレであることには同意。

55のアルチンシュライヤーの定理ってどうやって証明するの？

>>107
>>87

このスレに限らず、中にはいいこと言ってるときもあるよ
必要なことを選んで読めばいい

>>108
87で証明になってる？

よく見たら必要性しか示してなかった。
十分性はZorn's Lemmaでも使うのかな。

ですよね。あなただったらZorn's Lemmaでどうやって証明しますか？

>>109
それにしてもこのスレ変なの多すぎ

ﾌﾝﾅﾏｰヽ(`Д´)ノ　110-112の問題出来ねぇZO(ﾟДﾟ)！！

>>114
でっしょ、俺もまだできません・・・

Kがある順序体の純超越拡大体の場合はできた･･･と思う。
代数拡大のときが難しいのだが。

それによって全ての体に対する証明が出来るの？

１から読んでから議論しろ。

韓国の全てが分かります
http://ex.2ch.net/test/read.cgi/korea/1035676130/


2000年の国勢調査 在日韓国人数
長崎県 1,183　 鳥取県 1,323　 愛媛県 1,337　 富山県 1,387 山形県 1,578人　
福島県 1,766　 山梨県 1,927　大分県 2,017 石川県 2,209　 新潟県 2,221人　
栃木県 2,693　 群馬県 2,790 和歌山県 2,942　宮城県 3,654　 福井県 3,739人　
長野県 4,058 北海道 4,740　 茨城県 4,818　 奈良県 4,861　 静岡県 5,846人
三重県 6,253　 岐阜県 6,332　 滋賀県 6,366　 岡山県 6,442 山口県 9,306人　
広島県 10,815　千葉県 14,338　埼玉県 14,621 福岡県 18,254　 神奈川県 28,437人　
京都府 35,034　愛知県 40,654 兵庫県 55,744　東京都 76,383　大阪府 133,941 人
m

「へんなのがいっぱい・・・」

悲しい事だけど仲間外れはいないのよね

>>117
Fを順序体としてK=F(a)と書ける場合だけ示せば、
{ (L,<) | LはKの部分体かつ順序<で順序体 }
としてこの集合上に
(L,<)≦(L',<') ⇔ L⊂L'かつL上で<と<'は一致する
で順序を入れてZorn's Lemmaでできると思ったんですが。

もう数学なんてだいぶやってないから、すっかり忘れちゃったよ。
次の式って、実数部と虚数部とにはどうやって分けるの？
1)sin(θi)
2)2^i
3)log(i)

>>123
それぐらいなら気合があれば解けるでしょ？

>>124
基本から忘れてるようでさっぱりだ。
だからこの辺を解説付きで説明してくれるとうれしい。
これを思い出せれば後は何とでもなるから。

e^(iθ)=cosθ+i sinθ

基本の説明終わり。

log(i)は多価なのだが･･･

数日前にも同じような話題が出ていたような。

質問スレと間違えた。

>>126
電気出身だからそれはわかる。
でもそこから>>123へのアプローチが思い出せない。
ので、実数部と虚数部への分け方を教えて下さい。
1)sin(θi)
2)2^i
3)log(i)

>>130
kimiha,denkochandetsuka?

e^(iθ)=cosθ+i sinθ, e^(-iθ)=cosθ-i sinθ
なので
sinθ = [e^(iθ)-e^(-iθ)]/2i
sin(θi) = {[e^(θ)-e^(-θ)]/2}i　（実数部無し）

logはちょっとややこしいね。Logの事かlogの事かlnの事かちょっと解らんのですが。

z=re^(iθ)とすると
ln(z) = ln(re^(iθ)) = ln(r) + iθ
z=i=1e^(iπ/2)の場合　（r=1, θ=π/2)なので
ln(i) = ln1 + iπ/2 = iπ/2、これも虚数のみ。

>>132
ln(i)です。

>>132
おお、サンキューベラマッチャ！！

では2)については、
底が2の対数を取ると、log2(2^i)=i
底を自然対数eに変換すると、log2(2^i)=ln(2^i)/ln(2)
上記から、ln(2^i)/ln(2)=i より、
　　ln(2^i)=i*ln(2)
よって、
　　2^i=e^{i*ln(2)}
　　 =cos{ln(2)}+i*sin{ln(2)}

ってことで合ってるのかな？

ついでに言うと
z^a = e^(aln(z))
2^i = e^(ilin2)
= cos(ln2) + i sin(ln2)

>>134
蛇足だった。欝死

>>126>>132>>135-136
おかげ様で、複素数を思い出せました。
ありがとうございます。

でも複素数の醍醐味はやっぱり積分にあると思ふます。

>>138
ラプラス変換とか？

>>139
ラプラス変換はクラスの最後にちょろっとやっただけだけど。
contour integralとか面白かったっす。
residue問題とかね。
コンフォーマルマッピングはちょっと忘れちゃった。

ラプラス変換は自動制御をやるためになくてはならない。
まだ産業への応用でのポテンシャルを秘めてるから研究すると面白い。

追加質問いいっスか？
やはり複素数を実数部と虚数部に分ける問題です。
4)i!
5)(2√2+i2√2)!

積分変換しないと解けない？

>>142
i!は、ル・リヨネの「なんだ、この数は？」に出ている。
まー今ならMathematicaで計算というのが一番速いか。
もってるなら。

少なくともn!=n*(n-1)!じゃ解けないって事は確か。
まずは自分で頑張ってみ

＞まずは自分で頑張ってみ
すまん。酷過ぎた

ちょっとやってみたのだが･･･
i!=Γ(1+i)
=∫(t^i)*e^(-t)dt
=∫exp(ilog(t)-t)dt
=∫e^(-t){cos(log(t))+isin(log(t))}dt

できそうにないな。

>>146
実数部と虚数部に分けるだけなら、それ以上どうしようもないから
それで正解なのでは？

Γ(i) を i! って書くのは気持ち悪い…

i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i
┌──────┐i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!
│立ち入り禁止│i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!
└──────┘i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!
i!i!i!││i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i
i!i!i!││i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i
i!i!i!││i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i
i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i!i

i>0としてもi<0としても、i*i<0より実数と同じような大小関係が成立しないから。
じゃなかったかな。

(i)って何かアレに似てるね。

>>151
timpo

「複素数は大小の関係を持ち得ない。」じゃなくて
「大小の関係を持ち得ない数を複素数。」って定義したんじゃないの？

>>153
んなわけない。

>>153
ではその定義に従ってできる数が複素数に限ることを示してください。

z_1 = x_1 + iy_1 と z_2 = x_2 + iy_2 の大小を
1) x_1 < x_2 => z_1 < z_2
2) x_1 = x_2 のとき y_1 < y_2 => z_1 < z_2
って決めればいいんでない？

>>156
辞書式順序の話なんてとうの昔に終ってるんだけど。

>>122、もうちょっと詳しく説明してくれたら嬉しい

ワシが終了させたスレですが何か？

>>158
ちょっと条件が不足してました。

順序体Fの単純拡大体F(a)について、x_i∈F(a)に対し
「x_1^2+...+x_n^2=0 ならば x_1=...=x_n=0」　(*)
が成立するならF上で元の順序に一致するように
F(a)に順序体の構造が入ると仮定します。
すると以下のようにして(*)を満たすすべての体には順序体の構造が入ることが示せます。

>>122で定義した集合の全順序部分集合{(L_&lambda, <_&lambda)}をとる。
L=∪_λ L_λ とおく。
Lの元x, yに対しx, y∈L_λとなるλをとり
xとyの間の順序をL_λの間の順序で定める。
これはλのとり方によらないので、これによりL上に順序<が入り、
(L, <)は順序体になる。
しかも任意のλについて<のL_λへの制限は<_λに一致するから
(L, <)は{(L_&lambda, <_&lambda)}の上界である。
よって>>122の集合は帰納的であり、またQを元にもつから空でない。
したがってZorn's Lemmaにより極大元を持つ。
その極大元の一つを(F, <)とする。
K=FでないとしFに属さないKの元aをとれば
仮定からF(a)にはF上で<に一致するように順序体の構造が入ることになる。
これは極大性に反するから、K=Fである。

すみません、ところどころセミコロンが抜けてたようです。
&lambda = λ です。

i>0と仮定
だから、iを乗じてi^2>0、-1>0　矛盾
i<0と仮定
だから、iを乗じてi^2>0、-1>0　矛盾
だから、i=0 やはり矛盾
こんなんじゃだめかな？

i>0とする
2i>i
の両辺にiを掛けると
-2>-1矛盾

i<0とする
2i<i
の両辺にiを掛けると
-2>-1矛盾

要するにこのスレの結論をまとめると162，163
i>0とする
2i>i ・・・・・・・・・ここまでは順序（大小関係）を保存
の両辺に（正の同じ元、逆元でない；i>0より）iを掛けると・・・・・・・・・ここで崩れる
-2>-1矛盾

要するに虚数（複素数）に対して虚数（複素数）をかけた時に順序を保存しなくなるけれども、それまでは
iには大小関係は持たせられる（自然な、われわれが思っているような
大小関係では無さそうだけれども）。
複素数としては、アルティンシュライヤーの定理を使って
1，i∈C
1^2+i^2=0、1≠i≠0で順序構造をもたない事がいえる

こういうことでないんだろうか。複素数という大きな集合でみたら
順序構造をもたないけれども、部分集合のように（？）大小関係を
持たせられるところもある、実数のみのときのように。
ってかんじでないんでしょうか

↑
http://www5e.biglobe.ne.jp/~nanko-m/index.htm
なるほど！そう言えばそうかもしれません。
ある意味納得ですね・・・
色々な意見はあると思うけど参考にしてみてください

>>162-164
z1,z2を複素数とする。
複素数に大小関係を決められるものとした場合、
z1<z2 かつ z2<z1 が成り立つ可能性（あくまで可能性）を否定してはいけない点に
注意したい。
例えば、電線に電流Ｉが流れると、電線の周りに磁界が発生する。
電線の周りを回るように周回路Ｃを取ると、
��(C)gradＩ≠Ｏ
上式は、磁界による位置エネルギーは保証されないことを示す。
上り勾配のまま周回路Ｃを１周していることもあり得るということである。
同様にして、複素数においても z1<z2 でありながら z2<z1 であったとしても
必ずしも矛盾しているとは言えないのである。
実数の大小と比べ、かなり違和感があってもいいじゃないか！！
で、ほんとに i<2i と定義してもいいのかな？

今井弘一様に清き一票を！
http://curoco.com/2chvote/vote700/tvote.cgi?event=math

>>166
ﾊｧ?
順序の定義わかってる？
…とか言って終わらせたいけどもう一言。
君の言ってる電磁場の例えをそのまま複素数に持ち込むと
e^0=1<e^iπ=-1<e^2iπ=1
と言うようなことになるんだけど。

>>168
そうなると言ったつもりなんだけど。
実数で当てはめればそれこそめちゃくちゃだよ。
だからといって複素数でもめちゃくちゃかと言えば
必ずしもそうとは言い切れない。
ポテンシャルが保証されることを確認できれば
確実に複素数には大小関係がないと言えるのだが。

どうも等価であることが証明されていないようなので、
問題を変えます。私にはこれが解ければ十分です。
４）Gamma(i+1)
５）Gamma(2√2+1+i2√2)

確かに>>146は実数部と虚数部に分かれてますが、
できれば計算もして欲しい。
ときに、i^i が実数になるなんて、私ﾋﾞｸｰﾘ! しかも複数解とは!!

x / x = 1

x = 0
0 / 0 = 1

これって発見された？

exp(ilog(t)-t)を級数展開してルベーグの収束定理で何とかならないかな・・・。

i<-1<-i<1<i<-1<...
i>-1>-i>1>i>-1>...
i倍してるんだからどっちかは、成り立つだろ〜〜・・・みたいな

e^(-t)をマクローリン展開して項別積分したら
i!=lim[R→+∞] [ R^i Σ[n=1, ∞] {(-R)^n / (n!*(1+i/n))}
になりますた。

0 / 0 = 0っしょ

x/x
=(x/x)/(x/x)
=>x/xが不定なら？

だから定義でしょ

>>175
もしかして174へのレスでしたか？

>>178
うーうん、171にですよ

>>179
そうでしたか。
ところで171はいったい何が言いたいのでしょう。。。

http://alink3.uic.to/user/ranran2.html

>>179
第二の今井っぽいので関わらないほうがいいかと・・。・

test

工学部は位相をしらんのか・・・・

数学科でも位相を
知らん奴がいそうだな

いそう ゐさう 【位相】


（1）〔数〕〔topology〕極限や連続の概念が定義できるように、集合に導入される数学的構造。トポロジー。
（2）〔物〕〔phase〕振動や波動のような周期的現象において、ある時刻・ある場所で、振動の過程がどの段階にあるかを示す変数。

物理系がいう位相と数学の人が言う位相って話題合わせてから出ないとズレるっぽいね

たぶん54の意味がわかんないんだろうな。

>>54,平面から直線への連続な全単射
のことですか。全１対1対応ですか。

01,02,06,07,...
03,05,08,...
04,09,...
10,...
...
とかですか？

160、諦めんな。漏れは諦め気味

general topologyて終わった分野なの？

厳密ではないかも知れないが、
積分とは法が定数でない乗算
微分とは法が定数でない除算
これは元来の定義だ。　

整列可能定理勉強しる！

>>160よ、頼むから続きをｷﾎﾞﾝﾇ

>>193
複素数には極大元がないってこと？

>>169
実数の大小関係の拡張になんないとｺﾏﾙﾖ

なんで命題とその証明っていうシナリオで話ができないんだ？？

それともまったく新しい理論を構築するためのブレインストーミングしてんのか？

>>194
続きができないんだょぅ(ﾉД`)

>>196
仮に、1>i かつ i>-1 かつ -1>-i かつ -i>1
が成立するとしても、実数の大小関係の拡張になってるということはわかるよね？
もちろん実数においては矛盾した関係だが、複素数においてはこの段階で
矛盾しているとは必ずしも言えない。
ここまでわかってくれているなら、>>196の言うとおりだよ。

うーうーうーうーうーうー

大小関係って１次元でしか定義できないのか。

多次元大小関係ってないのか。

>>200
複素数に大小関係があってもいいじゃないか！
ということで、以前のスレで私は i<2i と定義したよ。
それに対し、i<2i は偽であるということがいまだに示されていないので、
今のところ複素数にも大小関係はあるよ。

たとえば、実軸と平行な直線上で、実部の大小関係をそのまま大小関係に採用する。
実部が等しくない複素数同士は比較可能でない、とする。

うーん、意味のある順序関係とは思えない。

>>202
その「順序関係」では、1+i と 2+i は比較出来るのか
出来ないのかはっきりしてくれ。

>>202
おいおい、全ての複素数について分け隔てなく大小関係が比較可能でないと
意味がないではないか。愚か者！

だーから、1+i ＜ 2+i と大小関係をつけたいなら付ければいいけど
それは和算除算では順序を保つが
実数以上、つまり虚数単位を含む複素数を掛ける乗法では
順序を保存しない、ということでいいじゃん。

>>200
それは無理みたいよ。

>>201
i<2i
0<i(両辺よりiを引く)
-1<-2(両辺にiを掛ける)
もとの大小関係に矛盾。
じゃないのか？反例

>>205
誰もそんな話はしてないぞ。202 は「実部が等しくない複素数同士は
比較可能でない、とする。」と言ってるんだからな。何を勘違いしてるのやら。

今井のページをご覧なさい。数学の土台があるのはここだけです。

http://imai48.hoops.ne.jp/index.html

ﾌﾟ

>200の話
まあ前提として1次元では、ふつうの順序関係…2数を比べたら>、=、<の３つのいずれかになる…は譲れないとする。
この先単純に考えて、
たとえば2次元では、それぞれの軸の対象関係を並記する、つまり、
2次元の大小関係は、>>,>=,><,=>,==,=<,<>,<=,<<の９つのいずれかになると考える。
ってやって、n次元の大小関係は、3^n種類の関係のいずれかになる…
これでも
何らかの意味はあるのかも知れないが、収拾がつかないことだけは確かだな。
収拾がつかなければ意味があっても利用はできない。

二つの順序並べただけじゃん。

つーかそもそもなんで大小関係にこだわんのさ。何がしたいワケ？

拘りたいからだろ。数学やってるんならそれ位分かれ。
そして拘っている奴は>>55>>87>>107-117>>122>>160-161で話されてる奴
についても考えてみてくれんか？

まあとりあえず、
211のやつは「わざわざそんなこと言ってどうすんだ当たり前やないか」
数学には付きもんの煽り文句がぴったりや。

んで、この並べただけの順序対を「普通の順序関係」にもってく演算（多次元→1次元への変換）
をどうするんかって所に落ち着けそうな気もしないでもないんけど。
どうすれば、多少なりとも意味のある（なにがしかの有用な演算でも定義できる）ものが作れるか、
って、ところじゃぁ、ﾛﾛ'あ〜りませんか。

>>214
さすがだねえ、よくわかってらっしゃる！
ことのついでに複素数の大小関係の理論を構築してみないか？

>>207
過去レスを読んでくれないかなあ。
その証明は不完全だということを何回書けばわかるんだい？

２成分の実ベクトルだと思って、成分に関する辞書式順序を使って比較すれば
大小関係は定義できるはずだが、それは単に元の間の比較のみ可能という
ことで、実数の場合のような四則演算と絡めた性質をそのまま持ち上げる
ことはできないね。

>>216
ｶﾞｲｼｭﾂにもほどがある

0 + 0 i = 0

だから・・・。

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複素数において、ｉ＜２ｉ　と定義することはなんらかまわない。
ただしそこに自己矛盾があれば、それを定義することはできない。
ちなみに、よく実数の大小関係から複素数の大小関係はないとする証明を
見かけるが、あれは証明としては不完全だからね。

成分に関する辞書式順序を使って大小関係を比較？
検討したことは評価するが、ただ単に数を並べたってねえ。
複素数が化学元素のように一定の周期をもって性質が系統づけられる
というのなら意味があるんだろうけど。

デムパな２２０は放置ということで。

>>221
はぁ？じゃあオレみたいな鋭い考察ができるのか？
出来ないだろ！！それなら煽るなよ・・。

マジレスなのかどうか微妙だね

>>221
いい忘れたけど、オレは天才ではないので、
>>220の考察に100%の自信をもっているわけではない。

>>223
はいはい落ちこぼれ君（ｗ

>>219
禿げ同！！

>>225
結局マジレスなの？

>>227
それは無い。

あんたら、複素数が電気工学や量子力学でどのように扱われてるか知ってるのか？

>>55>>87>>107-117>>122>>160-161で話されてる奴について考えたらマジレスとみなす。
そうでなかったら簡単な問題に手を出す事しか出来ないタイプの人と認定。

>>230
それらは全て参考文献の丸写しだ。

>>231
丸写しだっていうのなら、未解決部分の補完してくれ。

教えてﾁｬﾝが出ますた。

む、解答ｷﾎﾞﾝﾇという意思を読まれたか。
でもそれ以外は全部過去ログも読めない人による既出意見だしねぇ。

>>229
虚数単位がjで扱われる。
電流iは別格なの、と、認識させられますが。

>>複素数において、ｉ＜２ｉ　と定義することはなんらかまわない。
ただしそこに自己矛盾があれば、それを定義することはできない。
ちなみに、よく実数の大小関係から複素数の大小関係はないとする証を
見かけるが、あれは証明としては不完全だからね。

どこがどういうふうに不完全なのかご教示お願いします。

>>236
計算途中で例えば、1＞2　・・・(1)
といった式が導き出され、この式が矛盾だと宣う証明が蔓延っている。
実はこの式、実数としては矛盾なんだけど、
複素数では必ずしも矛盾ではないんだよね。
(1)式をもとに複素数には大小関係がないと言うためには
複素数においても(1)式が矛盾であることを証明する必要がある。
だが、それを証明したものは未だかつてない。
そういったことで、証明としては不完全なのだよ。

>>229>>235
マジレスすると、電気は複素数だと言うのはあれ、
実数を変換したら複素数になったってだけのことだぜ？
で、計算は複素数のまま行うし、それが一般に浸透してるから
普通に話す場合、電気は複素数であることが当たり前になってる。
でも、だからと言って電気そのものが複素数なわけじゃないんだぜ。
お前ら、彼女の影を見て「キミって色黒だよな」なんて言わないだろ？

>>238
そうだね。長さが実数じゃないとか、個数が自然数じゃないというのと一緒だね。

>>237
実数の2項関係としての大小を完全に含む関係として定義するのが目標でないとしたら、
同じ記号を使うことやそれを大小関係と呼ぶこと自体まぎらわしすぎる。

最近見てないから外出かもしれんけど
大小関係と和、積の演算の関係があやふやなまま議論されてない？

２２０の事？

ちょっとちゃんと考えてみた。

F:順序体　t:F上超越的　とする。
F[t]には辞書式順序で順序体の構造が入る。
この順序を使ってa/b, c/d∈F(t) に対して
a/b < c/d ⇔ ad < bc
で定義すればF(t)が順序体になる。

>>243にb, d>0の条件を書き忘れてました。
これがあれば大丈夫なはず。

で、問題はtがF上代数的な場合なんですが。
Fは{x∈F | a<x<b }(a, b∈F) で生成される位相でHausdorff位相体になるので
tのF上のmonicな最小多項式をfとし、
写像f:F(t) → F でF(t)に位相を入れたりして
何かできないかなどと考えてます。

>>レスありがとうございます。
でも何だか判ったような判らないような…
結局、実数における大小関係は複素数の範囲まで持ち込めない
或いは持ち込むとすれば複素数における大小関係をきちんと
定義する必要が有るということでよろしいですか？
（しかしそれだとスレの存在意義は？）

>>54が決定打だろ。
なんべんいったらわかるんだ。ばかどもが・・・・。

集合と位相からやり直して来い。

>>246
(･∀･)ｼﾞｻｸｼﾞｴｰﾝ

つーか、全射をどう作るかの話だろ。
単射がないと不便か？εが泣くか？

>>248
つーか全射である必要こそないでしょ。
単射にしたくなる心は
「全順序でないと大小関係とは言い難い」
ってことなのかねえ。

＞249
その心は分からんではないけど、実数の大小関係の拡張でなくていいの？
むしろ全順序を捨てて強弱に甘んじた方がもっともらしい気がする。

（＾＾）

（･∀･）ｹﾞﾊﾊﾊﾊ

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2^8got!

　

（＾＾）

大小関係があればそれは平等に反するからいけない。

全ての大小関係は平等である。
そして、一部の大小関係はもっと平等である。

(･∀･)ｹﾞﾊﾊﾊﾊ

なんでだろ〜、なんでだろ〜

ざんげだぞ〜、ざんげだぞ〜♪
ざんげだ、ざんげだぞ〜♪

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

なぜ！

>>238
電気は確かに方便だが、量子力学は違うと思う

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

1

11

★★完全無修正のエロエロサイト★★
http://upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

　↑　
このサイトマジやばいです。早く見ないと消されちゃうかも・・・

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

x,y∈C に x〜y =def= |x|=|y| と同値関係を定めて
C/〜 を作ると、C/〜は大小関係を持つ。

それで？

かたつむりは自分の知っていることを発表したいだけで、
前後関係には感知しないなので、無視するのが一番。

大小関係だけなら整列定理でも持ち出せば十分なわけで。
んな当たり前の事書くなと。

# 俺モナー

自然に入るのは辞書式順序ぐらいだろうけど
極限との相性が悪そうだね

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

>>1
当然大小関係はあるよ。

複素数の定義が分からんヤシは
→ 「2ちゃんねる・数学辞典」 #15

7

12

複素数。

age

213

3

639

30

複素平面で原点からの距離が遠いほうが大きく近いほうが小さい。と思えばよろしい。もし距離が同じなら諦めざるを得ません。

>>291
それは順序になりませんよ。

半直線上の順序関係でしかない

複素数を２つ持ってきて、どちらが大きいか小さいかを言えればよい訳でしょう。
原点からの距離が同じ時にあきらめるのが癪なら、実数軸方向からの角度を使えばよいでしょう。実数軸に近いものほど大きいとか。

普通の意味での順序になるかどうかはどうでもいい。
それより大小関係を導入することで何か面白いことがあるのかが問題だ。

>>294
癪とかそういう問題ではないよ、291のままでは順序とは呼べないということ。
順序って何か知ってますか？

大小関係をもつとバリ矛盾する。
原点からの距離が遠いほうが大きく近いほうが小さいとすると
i<-2i i≠0より両辺をiで割ったとき矛盾が生じないためにはi<0が必要。
この時、i<-2の両辺にiをかけると-1>-2iとなり
原点からの距離が遠いほうが大きく近いほうが小さいことに矛盾する。
定義し直せ。

>>297
291のままではダメだけれど294の云う順序にすれば全順序集合にはなりますよ。
順序について勉強し直せ

>>297

i を掛けるとか割るとかしても原点からの距離は変わらんのだから元の不等号の向きは変わらない。
別に矛盾はなかろう。

iと-2iでは、 i<-2i
iで割ったものどおしすなわち 1 と -2 では、　1<-2

iと-2では、i<-2
iを掛けたものどおしすなわち -1 と-2i でわ、-1<-2i

ばかやろう
100+5i>>>>>>>>>>>>>>1+5iに決まってるだろうが

>>294

反時計回りに回転させるとちょっと小さくなる、という操作ですネ。
時計回りにちょっと回転させたものを反時計回りにちょっと回転させるとだいぶ大きくなるところが気味悪いです。何とかなりませんか？

013

あふぉ

輻輳数

ほしゅったらageろ！

マジレスすると
（１、０）と（０、２）に大小関係があるのか？
と聞いているのと同じ

平面上の点に大小関係は無いからね

（１、０）と（０、０）には大小関係は無いの？

ないよ
点でしょ
（１）と（０）にならあるけど

>>307
普段は入れないというべきか
>>308
繰り返しになるが、持ち得ない訳ではないよ。
辞書式順序を入れれば全順序集合とすることも可能。

なるほどー
要素を複数個扱うってそういうことかー

826

順序体の特徴づけをSerreが論文で書いて多

√４＝２（≠−２）にも関係するのかな？

x=y+ziとa=b+ciについて、
y<bならばx<a,y=bならばz<cのときx<a。
y=bかつz=cのときはもちろんx=aとすればいいのですね。

w=a+biに対して、ι(w)の値と、r(d)の値を決定しておいて、
ι(w)/r(d)を迫関数列とみなせば大小関係作れるし。

きもいなこのスレ。
特に>>1

>>316
なるほどね。
ι(w')/r(d')<ι(w)/r(d)のときw'<wと定義するってことか。

>>318
そゆこと。
でももう少しいい大小関係作れないかな？

>>316
迫関数列なんてやってんのか。
専攻はどこだよ？

って俺もくわしい事知らないんだけどね。
最近出てきた分野だろ？

856

727