虚数が恐くて眠れません

>>68
それは神に聞くしかないと思う。いやマジで。
同様な疑問として、何故現在知られている物理現象のほぼ全ては「高々２階までの微分方程式で記述できるのか」というのもありますぜ。
つまり、３階微分はなぜ必要ないのか、と。

>>68
すんません　ちと正確な記述じゃなかった。

物理法則を解く場合、２元数および２元数を要素とするベクトル、テンソルおよび
演算子で不都合が生じないんです。
要素として３元数以上を求めないんです。

なぜ２元数で十分なのか　そこが疑問

>>68
複素数は代数的に閉じている最小の体だからではないだろうか？
（わかりやすくいうと、複素係数のn次方程式の解は複素数の範囲で必ず解けるってこと。）

＃　でも漏れは数学屋であって物理屋ではないので見当違いだったらスマソ。

>>70
気象現象予測に使う　低速流体力学って、４階の偏微分方程式じゃなかったかな？
（いい加減かも・・・・・ｗ）

>>72の書き込みは>>69-71を読む前に書いたモノです。
あと、>>54=>>66=>>72です。

>>72
逆に質問です。

代数的に閉じてるというのは

「１次元代数の演算は平面内での写像になるため、２元数を使えば閉じる」

ということですか？

このスレ、>>46のカキコを境にまともなスレになってるな。
てゆーか>>45より前のレスは厨房過ぎて失笑を禁じえない。

今、このスレは１がスレを立てたときの気持ちに応えるスレになったのだろうか……？

>>75
もうちょっと拡張

n次元での代数演算においては、n+1元数を使えば閉じる

なぁ〜〜〜〜んてことになったりして（ｗ

であれば、スカラー、ベクトル、テンソル、演算子の要素として最低次元の１次元代数
が可能な数を要求するなら、それは２元数となる

ってことで帰着？（藁）
要求するなら

>>75の質問に直接答える代わりに、もう少し噛み砕いて説明。

・整係数の方程式は、解が整数とは限らない（例：2x=1→x=1/2）
・有理係数の方程式は、解が有理数とは限らない（例：x^2=2→x=±√2）
・実係数の方程式は、解が実数とは限らない（2次方程式の判別式D<0なら解は複素数）
というように、一般的に解の範囲は係数の範囲よりも広がっていくもの。

でも！
複素係数の方程式は、解が複素数の範囲に収まるんだよ！
これが「代数学の基本定理」と呼ばれる大定理です。

>>75
言ってることがよく分からんが…（苦笑）
自然数係数の代数方程式の解を記述するには、自然数だけでは足りない。整数を解に持つこともある。
整数係数の代数方程式の解を記述するには、整数だけでは足りない。有理数を解に持つこともある。
有理数係数の代数方程式の解を記述するには、有理数だけでは足りない。実数を解に持つこともある。
実数係数の代数方程式の解を記述するには、実数だけでは足りない。複素数を解に持つこともある。

ところが、複素数係数の代数方程式の解を記述するのには、複素数だけで足りるのである！
これが複素数が代数的閉体である、ということである。

ちなみに、「自然数、整数、有理数、実数はみんな数直線に乗っているんだから１次元の広がりしかない。だから大して数を増やしたことになっていないのではないか？」というのは（ある意味で）間違い。
体の拡大次数というものを考えれば、最後の「有理数→実数」のプロセスでは「無限次元の拡大」を行なっているのだから。

…で、75は何が聞きたいのですか？

78とかぶりまくったＹＯ！（ﾜﾗ

スズメバチ駆除　ビーバスターズ
　http://ww41.tiki.ne.jp./~mikihiro9649/

>>78
えっと　それは理解出来てるんですが、定理なんですか？

>・実係数の方程式は、解が実数とは限らない（2次方程式の判別式D<0なら解は複素数）

の理由というか、もっと一般化した必然性って解明されてないんでしょうか？
それとも解明する必要がない定理？

そー！すげー！
おもしろい。
まってろよー追いつくからね。今度ガロア読んだる

>>78>>79の「！」の付け所のかぶり方にワラタ！
ひさびさに数学でたのしい！

>>77の推測は、残念ながら全然ちがいます。
数の拡張は、実数から始めると
実数(1次元) → 複素数(2次元) → ４元数(４次元) → ８元数(８次元)
でおしまい。
さらにいうと、拡張の際、成り立って欲しい計算法則を捨てていかなければなりません。
例えば４元数は、複素数ではなりたつ交換法則 a×b＝b×a が成り立ちません（>>54を見てみて）
また、８元数にもなると結合法則 (a×b)×c＝a×(b×c) まで成り立たなくなります。

ところで>>46は数学屋じゃないですね？　物理屋？

>>77
実は、実数体Ｒを含み、かつ演算を「ある程度」保つように体を拡大できるのは、n=1,2,4,8しかないことが知られています。驚くべきことです、これは。

というわけで、３次元数とか５次元数とかは、無理やりに定義することはできても、実数たちと、ある程度以上の演算の可換性を要求することは出来ないのデス。

>>85
っていうかさっきから被りすぎなんだYO！！（激藁

まー当然といえば当然なんだがなー

みなさん　いろいろありがとうございます。

えっと、しばし整理を（使っている専門単語が可笑しかったらごめんなさい。数学屋の言葉を
しらない元理論物理屋なんで）

（１）当初の疑問
物理法則などを説くときに、２元数（例えば複素数）を使えば解ける。逆に考えると３元数以上じゃなければ
解けないということはないのか？（実際にはお目に掛かったことがない）

→自己解決
　　物理量および物理で使う数として、最低次元の１次元での演算が可能な体を選択して、それを要素とする
　　スカラー、ベクトル、テンソル、演算子を用いて解いているため、その要素数として代数的に閉じてる体と
　　して２元数（例えば複素数がある）

　　単に、１番単純な要素を選んでいるから、要素は複素数になる

（２）次に生まれた疑問

代数的に閉じている最小の体として複素数があるが、なぜ複素数まで拡張しないと体として閉じないのか？
（物理屋の経験則としては当たり前とは思ってますが、その当たり前を突き詰めたい（笑））

>>78,>>79
いやー、しかし
話の進め方がここまでそっくりだともう笑うしかナイ（ｗ

ということで、このスレは今から
>>78と>>79を結婚させるスレになりました。

>>85
はい、元理論物理屋です。場の量子論（第２量子化）をやってました。

こんな話、物理板では解決出来ないと思って、ここに来ました（藁）

>>88
ベクトルの回転とか3次元じゃないと定義できないかと。
うちは一応工学です

>>46
数学屋と物理屋、犬猿ですが仲良くしませう

>>92
僕は犬猿の仲だとは思ってないです。 (｡･_･｡)ﾉ
１９世紀までは同じ学問だったしね。
昔は哲学とも同じだったが・・・・（ｗ

数物工哲とそろってひとつのことを考えるのもおつかと

>>88
後者に関しては、時間なり位置なりを「実数値を取るもの」だと考えれば、必然的に代数方程式の解として（代数学の基本定理から）複素数が要求されることになる。
代数学の基本定理とは、実数係数の代数方程式が必ず解を持つようにするには、複素数を考えればよく、さらに逆も言えて、複素数だけで解を記述するのに十分である、というものだ。
というわけで（２）の疑問は代数学の基本定理をしっかり学べば解決します。

（１）については…数学屋の折れにはよく分からん。（苦笑）
それこそ本当に神に聞くしかない気がする。
特に、量子力学とかで何故iが出てくるのか？と言われても、こじつけすら考えつかん。（死）

どうせまた78と被ってるんだろうなぁ…

>>93
漏れも、個人的には犬猿だとは思ってないよ！

78と79のｹｺｰﾝを祝うスレはココですか？

>>91
ここで言ってる次元は、その次元とは「ちょっと違う」。
その次元は考えている「図形（というか、多様体）」の次元。

ここで言っている次元は、体（もどき）として実数を含むものであって、実数上拡大次数が有限であるものの「拡大次数（＝次元）」。

つまり、今の文脈に合わせて言うと、
「３次元空間のことを表すのには３つの成分が必要だが、その『成分』として現実に現れてくるのは（高々）複素数のみのようだ。」
ということ。

>>98
そういえばそうでしたね。納得しました

>>95
まず（１）の話から
例えば、量子力学での単純な（一番原理的な）一次元波動方程式(h=Dirac h)

　　ih(∂Ψ/∂t)＝-(h^2/2m)(∂^2Ψ/∂x^2)

は、一般的で古典的な一次元波動方程式

　　∂^2Ψ/∂t^2 ＝γ(∂^2Ψ/∂x^2)

から求めるのですが、この時に期待する解の形として

　　exp( i (kx - ωt) )

を選んで、あとは演繹的に導いたが故に、i が出てきます。

>>95
（２）に関して

>代数学の基本定理とは、実数係数の代数方程式が必ず解を持つようにするには、
>複素数を考えればよく、さらに逆も言えて、複素数だけで解を記述するのに十分である

の「理由」が、代数学の基本定理を学べば理解出来るということ？

複素数で代数が閉じること自体は、体験的にしってます。（検証をしたことはないですが）


あと、ちょっと余談。
４元数が可換で無いというのははじめてしりました。というか、理論物理屋は新しい演算子を
定義するたびに交換関係を証明することからスタートします。
４元数って言葉、始めてしりました

うむ・・・勉強になる。

>>101
うむ、そういうこと。
ていうか「逆に」がいらなかった気がしてきますた。

一応余談ついでに…
絶対値が１の複素数全体は、積に関して閉じている。
これを普通Ｓ＾１（もとい単位円周）と呼ぶ。

実は、ハミルトンの４元数体にも自然な「絶対値」が定義できて、(h=a+b*i+c*j+d*kとしたとき｜h｜=√a^2+b^2+c^2+d^2）
この絶対値が１である４元数全体も積に関して閉じている。
これが実はＳ＾３の各点と対応させることが出来て同一視できることが知られている。

…ここから先は折れもしっかり理解している自信がないので遠慮しておくよ。（苦笑）
ただ、ハミルトンの４元数体は、しっかりとした幾何学的背景をもった代数的対象なんだ、ということを理解して欲しくて書きこみますた。

ちなみにハミルトンの４元数体に

102の最後の１行はただの削除漏れです…

>>102
代数的に閉じた系かどうかは、単位円周（もしくは超球）で積が閉じるかどうか？
ってことに集約できるってことですか？

余談（笑）
そういや、コンピュータソフトウエア会社の入社試験で

　　x^5=1

の解を求めよって問題で、単位円周上での積の一般則を出して
それに「5」を当てはめて答えを出した漏れってアフォ？（ｗ

>>104
恐らくそうだと思うけど、折れには示すことはできないっす…

…余談のほうは、試験時間に余裕があったんなら、いいんじゃないの？（ｗ

除算についてもとじとじしますね

>>106
そりゃ逆演算だからなぁ

みなさま　どうもありがとうございました。
なんとか酢っきり寝れそう（ｗ

さて、これからフェイエノルトの試合の生中継だ　って
結局寝れないじゃないか（ｗ

ラマヌジャン!

ｵｰﾙ巨人が怖くて眠れません

ｼﾞｬｲｱﾝﾂ愛が怖くて起きられません

>>113
warata

>>100
γって何を表してるんですか？

>>115
筆記体の小文字のｒです。

>>116
ごめんなさい、言葉足りませんでした。物理的な定義を聞きたかったんです。
100で「一次元波動方程式∂^2Ψ/∂t^2 ＝γ(∂^2Ψ/∂x^2)から〜」
の説明を見るとこの人はハミルトンーヤコビの方程式から導出してるのかな〜、
て考えたんですけど、本当はどうなんだろ、って興味が湧いたんで。
俺は(h=i/2πとして)
p=hk
E=hω
エネルギーと運動量の関係式E=p^2/2mより
hω=h^2/2m･k^2 （1）
の関係式が得られる。
物質波を支配する基本的な微分方程式が存在するとすれば
それから(1)の関係式が得られるはず、として
一般に波数ベクトルがK，角振動数がωの平面波はf(kx-ωt)
で表される（周期関数って言ったほうが良い？）。
(1)がこのｆから得られるには、一番簡単に考えられるのは
∂f/∂t=ωｆ’
∂^2f/∂x^2=K^2ｆ''
fはｆ'=f''、1階微分と2階微分が一致するような周期関数
だと考えられる。それによって
　ｆ＝exp( i (kx - ωt) )
のような関数だと予想できる、みたいな方法を取ったんですけど
これっていいのかな

>>102
＞絶対値が１の複素数全体は、積に関して閉じている。

当たり前っちゃそうなんだろうけど面白いよね。