一番でかい数出した奴が優勝

一番でかい数を出した奴が優勝です。

【ルール】
・∞　は　真の意味での無限ではないものとする。
・「理論上では」というのは禁止。
・基本的にはどのような式などを使っても良い。
・どれが一番でかいかという審査もこのスレ内で行う


=================開始=====================
まず俺から。
999^999

>>1 の知能指数の逆数

このスレのクソスレ度。

ブラジル×ベルギー始まるぞ

∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞

===========これより上は無いので終了=============

=================再開=====================
>>5 は並んだブタさん
とりあえず、ビール。

また愚民どもがクソスレクソスレ騒いでますね。






































実は、私もこのスレはクソスレだと思います。

>>２　ワラタ

ブラジルの国歌って歌うの難しそうだな。

1の短小包茎指数。

>>2
ゼロ除算でエラーが出ました。

>>11

ﾜﾛﾀ。

マジレス。
いくらでもあるので証明しようがありませぬ。
が、一応現在最高値を出しておこうと思う。

∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^ _
∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞

ﾜｰｲ今のところ俺が一番だ！

∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞

↑の意味については調べてね♥

↑の意味ﾜｶﾗﾝ。明日先生に訊いて来よう・・・

前レス＋１

マジレスは気が引けるが
＞・∞　は　真の意味での無限ではないものとする。
これが非常に気になる･･･

んじゃ
∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞
↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞↑∞ 　＋　１

１００億万

>>19
ネタだろうとわかっててもﾜﾛﾀ

じゃぁ俺は999999億兆万　で。

惜しいーーーーーー！！！ロナウド！！！！！！

俺は1兆マンコ

>>17
もしも∞が本当の意味（真の意味）での「無限」であるなら
∞も∞^∞　も同じ数とういことになってしまう。
それでは勝負にならないからだろう。

ういこと　→　いうこと

＞もしも∞が本当の意味（真の意味）での「無限」であるなら
＞∞も∞^∞　も同じ数とういことになってしまう。
おい、一匹釣れたぞ。

無限＝無量数＝10^88　じゃないの？

>>25
違うのか？

>>1=>>23

>>28
だろうな

ネタを披露するのが本筋
マジレスはださい。

1降臨

たまにはこういうネタスレもいいと思うが。

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

でも∞^∞にさえ勝ててないという罠

俺のこの手が真っ赤に燃える

勝利をつかめと轟き叫ぶぅ！！

>>30の言う通りです

T/O

ここまででた一番でかい数+1

今37がかなり(･∀･)ｲｲ!ことをいいますた。
で、俺が結論出していい？

このスレ内で出る一であろう一番でかい数+1

くらえ、愛と怒りと悲しみのぉ

シャアイニング･フィンガァァァソォォォォォド！

このスレ内で出る一番大きい数＋100
でどうだ。

なんか思ったんだが、
「このスレ内で出る一番大きい数」っていうのは
どっか矛盾っていうかおかしくねーか？
今41が
「このスレ内で出る一番大きい数＋100」を出したから、
このスレ内で出る一番大きい数　＝　このスレ内で出る一番大きい数＋100
になるだろ？
とすると
「このスレ内で出るであろう一番でかい数+1」は
「このスレ内で出る一番大きい数＋100 +1」にならないか？

それとも、俺ｳﾞｧｶ？

1000getした奴が勝つんじゃねえか。
+1ずつしてけば。

そしたら
「1000が出した数 +1」で勝てるんじゃ？

（´-`）.｡oO（いつの間にか「鶏と卵どっちが先に」系の議論と化しました。）

＞「鶏と卵どっちが先に」
俺は卵だと思うな。

卵が出来る過程で、天文学的小確率で突然変異して
んでニワトリ。これが俺の説だがな。

で、元に戻るが、

「一番でかい数」
これが正解？　

>>48

「一番でかい数」
は存在しません


ｳﾞｧｶ？

だって漏れ厨房だもん

>>49
存在しないのか・・・。残念。
50は俺じゃないけど。ちなみに工房だけどさ・・・

書き込みサイズ制限の中で如何に大きな実数を表現できるか、ならまだ楽しめる。

もっと効率的な書き方ないのかな？

∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞
を短く書ける方法とか。

>>53
>>14

どうでもいいけど、俺様が優勝！！！！！！

>>54
だから14の「↑」の意味わからんっちゅうねん（泣

πの桁数

∞＜πの桁数　なのかよ。
いくら円周率が流行ってるからといって・・・。

ウォーレン（不正投球疑惑） キヨ(黒い交際) クレメンス（殺人未遂） グッデン（麻薬所持・使用）
ストロベリー（麻薬所持・使用） デービス（大麻所持・栽培） バレンタイン（変装罪） ヒルマン（詐欺罪）
ピート・ローズ（八百長） ミッチェル（婦女暴行罪・暴行罪） 王（スパイ行為指示） 掛布（飲酒運転）
吉永（スパイ） 吉村（飲酒運転） 宮本（脱税） 駒田（職場放棄） 桑田（土地転がし）
桑田武(元ヤクルト　オートレース八百長） 元木（婦女暴行） 光山（婦女暴行） 江夏（麻薬）
江川（野球協約違反） 江藤（婦女暴行） 高山忠克（元阪神の キャバレーのホステスをだまし、詐欺）
佐々木（傷害） 坂東（窃盗罪） 山之内（恐喝） 篠塚（車庫飛ばし） 柴田(審判をぼこぼこにして傷害罪)
柴田勲（賭博罪） 種田（脱税） 小久保（脱税） 小川健太郎（中日　オートレース八百長）
松坂（無免許・駐車禁止） 上原（交通事故交通違反） 新垣（スカウト殺し） 杉浦（隠し子）
杉山（強制わいせつ罪・暴行罪） 星野（暴行） 正垣(元阪急、詐欺) 清原（人妻略奪・出産）
石井一（不法侵入） 川崎（殺人罪） 川尻（脱税） 足立(元広島、覚醒剤) 村田（交通事故） 大西（暴行罪）
大道（スパイ） 大道（脱税） 大豊（暴行罪） 辰市邦輔（元阪神内野手のは３回くらい詐欺罪で逮捕）
池永（黒い霧） 　中込（悪質ないじめ） 中山（幼女強制わいせつ罪） 中内（商法・特別背任罪） 張本（傷害）
張本（賭博罪） 長嶋（詐欺罪） 鳥越（脱税 ） 土井正博（麻雀賭博） 島野(審判をぼこぼこにして傷害罪)
東尾（賭博罪） 藤井（脱税） 藤王（傷害罪） 波留（脱税） 白(元東映、傷害罪＋韓国にて姦通罪)
柳田（脱税とスパイ） 林正広（元近鉄　ゲーム機とばく）

やっぱり中山かな？

>>57
もうちょっと工夫してやろうよ。
∞以上は禁止ということで、空想上途方もない数を探せばいいんでしょ。

「これまで、このスレで出てきた数でもっとも大きい数（∞以上は除く）の分」
０が連続して出てくるまで、円周率を計算したとして、その桁数っていうのは
どうだ？

＃全宇宙の光子の数なんて目じゃないな。

今まで出てきた数をすべて加えた数＋１

私の万個の直径

オレに惚れた女の数、これで糸冬了だろ。

>>63
０に収束しますが何か？

>>60
あ〜。確かにな。∞以上禁止にしてやると少しは燃えそうだ

>>61
じゃぁ俺は　　今まで出てきた数をすべて掛けた数 ^ 今まで出てきた数をすべて掛けた数
あ、負の数が出てくると終わるか（ｗ

>>62-63
お前ら神です。

√-1

俺が最大

モ娘。の石川のウンコに含まれる大腸菌の数

>>68
具体的な数を言って下さい

>>69
1万ぐらいだと

少なっ（藁

東京タワーのてっぺんから立ちションをしたと仮定して放出される量を１リットルとする。
すべての外力を無視しないで液が全部地面に落ちた時を運動の終点としたとき、終点までの間に
考えられる全てのションベン運動のパターン総数。

>>72
ﾎｹｰｲだと問題が難しいと思われ

log0

実数の濃度

グラハム数（「↑」の記号が出てくるやつ）は、
数学史上「論文に登場した数字」の中で最も大きい数字。
ギネスブックにも載ってる。無量大数どころの騒ぎではない。
全宇宙空間の物質をすべて万年筆に変えても、指数を用いた表記法ですら
とても書き表せないくらい大きい。
それどころか、人類が何兆年続いたとしても既存の数字と記号では
表記することは無理だろうと言われている。
表現することはおろか想像することも不可能なので、
新たに「↑」という記号を作ったとのこと。

グラハム数＋１

π

>>77
ｶﾞｲｼｭﾂ

グラハム数↑グラハム数↑....
をグラハム数回

自分数字（「━━━（ﾟ∀ﾟ)━━━!!!!」の記号が出てくるやつ）は、
数学史上「論文に登場した数字」の中で最も大きい数字。
ギネスブックには載ってないが、無量大数どころの騒ぎではない。
全宇宙空間の物質をすべて(・∀・)に変えても、指数を用いた表記法ですら
とても書き表せないくらい大きい。
それどころか、人類が何兆年続いたとしても既存の数字と記号では
表記することは無理だろうと言われている。
表現することはおろか想像することも不可能なので、
新たに「━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!!」という記号を作ったとのこと。

22cm

ひゃくまんえん

6人

エジプト人が驚いてるやつ

いままで地球の回転した回数

グラハム数↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑グラハム数

これを物にたとえることは当然だが無理だな。
宇宙の体積/米粒の体積　なんかの次元じゃない。

日本がW杯で優勝する可能性の逆数。

>>87
何次元ですか？

ＦＦに対する世間の評価

プレステユーザーの漏れから見ても、>>90は逝ってよしだと

>>1のﾃｨﾝﾎﾟの直径の逆数

>>91
そんなことねーぞ
ＦＦは最高だ！

>>93
ハァ？

まあ何だ、今のところ俺の年収を越える数は出ていないな。

まあ何だ、今のところ俺の時給を越える数は出ていないな。

餃子１日１００万個

6

1+1=2の証明を教えてあそばせ。

>>99
π＋π＝π^2

両辺をπで割って１＋１＝２

>>100
違うよ、
e+e=e^2
eでわって
1+1=2

>>95-96
単位はペソか？リラか？

まあ、それでもすげえ額だけど。

３↑↑↑↑３＝３↑↑↑３↑↑↑３＝３↑↑↑（３↑↑↑３）
＝３↑↑↑（３↑↑３↑↑３）
＝３↑↑↑（３↑↑（３↑３↑３））
＝３↑↑↑（３↑↑（３↑２７））
＝３↑↑↑（３↑↑7625597484987）
＝３↑↑↑（３↑３↑３〜〈7625597484987回繰り返す〉〜３↑３）
＝３↑↑３↑↑３〜（３↑３↑３〜〈7625597484987回−3回.繰り返す〉〜３↑３回−5回.繰り返す）
　〜３↑↑３↑↑３↑↑３
＝３↑↑３↑↑３〜（３↑３↑３〜〈7625597484987回−3回.繰り返す〉〜３↑３回−5回.繰り返す）
　〜３↑↑３↑↑7625597484987
＝３↑↑３↑↑３〜（３↑３↑３〜〈7625597484987回−3回.繰り返す〉〜３↑３回−5回.繰り返す）
　〜３↑↑【3↑3↑〜《7625597484987回繰り返す》〜3↑3】

ここから先は、もう大変なので書きませんが、最終的に超膨大な3↑3↑3‥‥3↑3が残りそれを計算していこうとしても
>>95「3の3.6兆桁乗は、数字で表記すると61.70.78でやった宇宙に10の200乗個の
　　　粒子をつめそれがまた10の200乗個集まって宇宙をという繰り返しをおよそ
　　　100億回繰り返し、そこにある粒子のひとつひとつを並べると粒子一つが
　　　この数字の一桁の数字になるだろうが、これを宇宙100億段階とでも名付ける
　　　とすると、3↑3↑3↑3↑3↑3は　3↑宇宙100億段階になる
　　　さらに3↑3↑3↑3↑3↑3↑3は、およそ3↑宇宙1.6兆桁段階（1.6兆段階ではない）になる
　　　さらに3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3は‥‥‥もう無理ですね。
　　　しかし、最終的には3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
　　　3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
　　　3↑3↑3↑3↑3↑3↑3……………と矢印が無限の彼方ぐらいまで続いてるんだから‥もう‥‥。」

とまあ、これが「3↑↑↑↑3」。　つまり1段階目の3↑↑↑〜↑↑3の間に挟まった↑の数

このあとこんな作業が63回繰り返してグラハム数にたどり着くだす。
ほえほえ。

つまり>>87はもうなんつーか次元というか
時空というかもう言葉で表せる域をﾄﾞｯﾋﾟｭｰﾝと超えちゃってると・・。

俺以外の人が出した一番でかい数＋１

あら？　よく考えると　
>>87はグラハム数が「何かが成立するための次元数」であることを
知っているようだ。

>>92
単位は?

中田やアレックスのシュートがバーにあたって跳ね返った時の
ため息の数。

数列x[i,j]を
x[0,0]=グラハム数
x[0,j]=x[0,j-1]↑↑↑↑...x[0,j-1]回繰り返す...↑↑↑↑x[0,j-1] (j>0)
とする。
x[i,j]=x[0,x[i-1,j]] (i>0)
としたときのx[グラハム数,グラハム数]は現在のところ最強ではないかと。

>>41が実数でないことの証明
x∈R|x=このスレ内で出る一番大きい数＋100とする。
よってx=x+100⇔0=100
よってxは実数ではない
>>41消えますたー

おぉ、なるへそ。
卑怯な手段がひとつ減った感じ。
とすると>>109が最大になってるわけだが。現在では。

>>110へ
>>105はどうなんだ？

>>105の数字＋１

これで>>105もあぼーん。

ルール改正した方が面白そうだ。ネタスレにするには惜しいと思うし、取りあえず一案ね。

・数学的にある一つの実数に定まっていなければならない。
　（「無限」「抽象的なもの」「物理的なもの」「自己言及的なもの」など禁止。）
・無定義で用いて良い記号は高校の教科書レベルまでとする。
　それ以外の記号（グラハム数における↑、またグラハム数自体など）を用いる時は定義しなければならない。
　例外として指数表記「＾」は認める。
・一レス内におさめなければならない。（他レスの引用も禁じる。）

どうかな？　このルールでいくと>>1が一番でかいようだが(w

＞・無定義で用いて良い記号は高校の教科書レベルまでとする。
＞　それ以外の記号（グラハム数における↑、またグラハム数自体など）を用いる時は定義しなければならない。

＞（他レスの引用も禁じる。）

これらについてちょっと解説。

この勝負は「いかに効率よく発散させるか」を考えるのが面白いと思うのよ。
仮にいいものを思いついても「グラハム数」の一言であぼーんじゃつまんないじゃん？
かといってグラハム数を公に認めても、単にグラハム数が基本単位になるだけだし（>>109参照）。
つーわけで無定義のグラハム数や引用は禁止にさせてもらいました。

要するに「グラハム数の如き驚異の発散力を自分の文章で表現してね」ってとこかな。

ちなみに分かってると思うけど、引用禁止ってのは
「>>○○の数+1」みたいなのがダメってことね。
盗作はもちろん可。

良スレと化したのでageてみる

じゃぁ俺は手軽にこんなの出してみます。
まだただの数値表記のままだけど（ｗ

999^(999^999)^(999^999)
ま、基本ネタってことで。
現在俺トップっぽいぞ新ルールだと。

999^(999^(999^(999^999)))
この方が大きくなるかと。

おっとっと。確かにﾈ。
でも
999^(999^(999^(999^(999^999))))
で簡単に抜かせてしまうという。
何か効率的な・・・例えるなら109みたいな。
あれはグラハム数を使ってるから新ルール適当じゃないけど
あんな感じのなら楽々↑の数ぐらいは抜けるでしょう。

適当　×
適応　○

数字の使える回数を限定しない？
今のままだと、前でたものに桁数を増やせばいいだけだから。
いかに短いor簡潔な文章でできるだけ発散するようにするのが目的っしょ？

子供のころ

途轍もなく大きいものを想像し、１人１回ずつそれを発表し、
１番大きいものを表現できた奴が優勝、などというゲームをしたが・・・

各々が大きいものを言っていくんだが、最後の奴が「それらが全部入る箱」と言う。

ありがちだね

>>123
俺は千兆の次は万兆だと思っていた未就学児の頃。
「京」だと知ったのは小学二年になってからﾀﾞﾀﾖ

表現の文字数か何かを制約しなければ
ガイシュツをコピーしてそれに +1 つけるとかが
ありになっちまう。（これは引用ではないからね)

つーか、細かいルール決めなくても良いんでね？
今ルールを決めようとしてる連中なら「常識の範囲」で
おもしろいの考えようとするだろうし。「>>**+1」みたいな
つまらんの書く奴なんて読み流せば良いんだから。

>>122,125
確かにそれは俺も思ったよ。
字数制限が１レス内ってのは自由度が高すぎるかなって。
というわけでまず最初は１０文字以内で始めるのはいかが？
で、１０文字単位で字数制限を増やしていくの。

まずは
9^9^9^9^99（１０文字）
9^9^9^9^9^9^9^9^9^99（２０文字）
9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^99（３０文字）
これらを越えてみてくれ。

早速ﾜｶﾗﾝ(氏
ちょっと発想の転換が必要？
それともそれを組み替えるだけで越えれるかな？

>>126
「常識の範囲」ってのがやはり微妙なんだよなあ。

>>109を例に取れば
＞数列x[i,j]を
＞x[0,0]=グラハム数
＞x[0,j]=x[0,j-1]↑↑↑↑...x[0,j-1]回繰り返す...↑↑↑↑x[0,j-1] (j>0)
＞とする。
＞x[i,j]=x[0,x[i-1,j]] (i>0)
＞としたときのx[グラハム数,グラハム数]は現在のところ最強ではないかと。
このときx[x[グラハム数,グラハム数],x[グラハム数,グラハム数]]はどうか？

みたいな感じになっちゃって不毛だと思うんだよ。
厳格に制限を定めてその中で最大を目指すって方がやる気が出ると思わない？

>>129
最大を目指すっつーか「こうやれば大きい数字作れるぞ」
みたいなのをワイワイと出し合う感じで進めても面白いと思った。

>>127
9^9^9^9^9!
これで9^9^9^9^99よりでかいかと。

>>131
階乗があったか！

>>131
うぉっなるほど・・・。
99 < 9!
と考えれるわけだな。それもありなわけだ。
なかなか奥が深いね。

>>130
そういうことだったらうまく共存できるんじゃない？
みんなでワイワイ最大を目指そうよ♪

今のとここうかな？

（１０文字）9^9^9^9^9!
（２０文字）9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!
（３０文字）9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!

３０文字制限なんかは日本語でガツンといってほしいね。

ところで指数の優先順位が自信ないんだけど
9^9^9=9^(9^9)　でいいんだよね？

日本語という言葉で気づいたけど、
千^千^千^千^千!
ってのはあり？無量大数を使った方がいいのかな。４文字消費しちゃうけど。

>>136
千^千と無量大数の大きさを比べればどっちが効率が良いかは
一目瞭然。

千^千かー。個人的には認めたくないなあ。うまいけど(w

＞・数学的にある一つの実数に定まっていなければならない。

「数学的」ではないっつーことで排除できないかな？
つまり「数学という場における文章としては広く認められる表記ではない」と。

あまり字数制限にとらわれずに>>109みたいな案も出してほしいな。
それをみんなで要約する作業もそれはそれで楽しいかと。

（３０文字）
an+1=an^an
a0=9
の時の
a9^9^9^9^9^9!

どうよ？

糞工房がどうこう言ってなんやけど、n進数って使っていいんか？

>>141
∞進数だったら2桁で十分だな

>>141
n進法いいと思うけど、通常は10進法なわけだから宣言しないと。
その宣言文も文字数に含まれる。

半順序関係を辞書的順序で定義しつつ

9999999999

>>140
9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!
は楽々越えてるね！やっぱそういう風に式作る事考えると
10,20,30文字と、100文字ぐらいのコースも欲しいと思ったり。
それなら結構自由に作れるだろうし。

(20文字)
x=9^9^9
x^x^x^x^x^x^x

これで「9^9^9^9^9^9^9^9^9^9! 」越えれてる？
越えれてないという突っ込みが入り次第逝こうと思います。

tan(pi/2)

とりあえず10文字で
9!!!!!!!!!

言葉を入れるとさらに大きく
9を9!!回階乗する

べき乗を多用するのと、階乗を多用するのとどっちが良いかな？

>>147
それ定義できないでしょ。tan(pi/2)は∞じゃない。

>>148
階乗はたくさん並べたら逆に数が減るよ。
!!だと一つおきの階乗になる。
例えば5!!=5*3*1ね。

あと上の140の数列を用いたやつや、146の文字を使ったもので気になったんだけど、
どちらも改行を行って意図的に文章をわけてるけど、これは一文字に入らない、ってことでOK？

>>150
そうなのか。()を使うと字数が増えてしまうしね。

とりあえず、修正案を出しておく

(10文字)
9を99!回階乗する

「する」がなくても意味通じるか…
9を9^99!回階乗

>>150
そのつもりで書いたよん。
改行はさすがに文字数に入れないでそ。
そうしないとみんな改行詰めて見にくいし（ｗ
それと、意図的にスペース挿入するのもありでそ。
ということで

・改行は文字数に入らない
・スペース(半角全角共に）は文字数に入らない
ってことで施行していいかな。

どこかで読んだことあるのは、

17文字で表現できない最小の自然数

はいくつかという話。その数を確定してしまえば、
その数自体が上記のように表現できるという罠

普通に数式を表記するときには、使わないが、
2chなどの掲示板での書き込みの際にのみ、()を要する場合もあるはずだ。
そういうときの()はカウントすべきか？

たとえばtan(pi/2)のような式の（）とか

>>154
そう考えると、冪乗は^記号を使わなくても書けるよね
かなりの文字数節約になる

グラハム数いじって頑張る部門もあるべきでは？
で、グラハム数使う奴はちゃんとグラハム数の定義も書かなきゃダメとかで・・・（ただしコピペ可）

>>156
だな
ちょっと前より数字が小さくなりすぎてちょっぴり虚しく思ってた
グラハム数とかのレベルのもあってほすぃ

>>146
＞x=9^9^9
＞x^x^x^x^x^x^x
これでは意味が通じなくないか？
例えば>>140の「の時の」のような日本語が必要だろう。

>>150,>>152
改行やスペースはそれらがなければ意味が通じなくなってしまう場合は文字数に入れるべき。
>>140で言えば１行目から２行目への改行だけは１文字にカウントすべき。

>>154,>>155
冪乗に関して言えば「^」は必要かと。だって
9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9
こんなもん「^」を使わずに紙に書くのは非現実的じゃん。
tan(pi/2)のような式の（）については微妙だけど
上と統一性を持たせるために１文字にカウントしていいと思う。
掲示板に限らず大学以上の数学書では一般的な表記方法だしさ。

究極目標が「１レス内で表現できる最大の数」であるのならば、以上の俺の意見に同意できると思う。
ま、本音を言えばいたずらに例外ルールを増やしたくないだけなんだけどね。

Π[k=1,((((((9!)!)!)!)!)!)!]k!

30文字部門

>>156　じゃあグラハム数でいってみよう

グラハム数の定義はご存知だと思うが3↑↑↑↑3（これがどれだけ超巨大かはグラハム数スレ参照）
の数だけ3と3の間に↑が挟まった数を1段階として、2段階は1段階の数だけ3と3の間に↑がある数と
繰り返した63段階目の数がグラハム数と定義されてる。
　この前段階の数だけ↑が挟まる数が次の段階という63回の変換の1回をＧ変換と名付ける。
「Ｎ０１　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した〜この繰り返しを
　Ｎ０２　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した〜この繰り返しを
　Ｎ０３　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した〜この繰り返しを
　Ｎ０４　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した〜この繰り返しを
とやっていって、Ｎｏがグラハム数回まで到達したら終り
‥‥だけだと面白くないので　
このＮｏの繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
　　〜この繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
上と同じく1行目がＮ01、2行目がＮ02としてＮ0グラハム数までいって終了　　
　
‥‥だけだと面白くないので　
このＮ0の繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
　　〜この繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
上と同じく1行目がＮＯ1、2行目がＮＯ2としてＮＯグラハム数までいって終了
　　　
以上のように延々繰り返してＮＯの種類がグラハム数種類に到達した時の数　　　　

>>156
うん、取りあえず実際にグラハム数の定義を書いてもいいんじゃない？
もちろん文頭には（○○字）って書いて。
いい比較対照になっていくと思うよ。

>>158
ﾔﾊﾟｰﾘ？（ｗ
省いちゃダメと思いつつも文字数制限にノせられて省いちゃったという・・・。

(20文字)
x=9^9^9　とし
x^x^x^x^x^x

これならOKっぽいと。

>>160って具体的になにやってるの？
ｳﾞｧｶな工房なんでわからんのですが。

　　　　　　　　　　　　　　　£＿＿
　　　　　　　　　　　　　 ／￣　　　＼
　　　　　〜 ＆　　　　　|　　　　　　:::|
　　　　　　 　 ~ 　 　 　 |　　　　　　::::|
　　　　　　　　　　　 　 |　　 　163　　::::::|
　　　　　　　　　　　　 |　　　　　　　::::::|
　　　　　　　　　　　　 |　　 　 の　　:::::|
　　　　　　　　　　　　 |　　　　　　　:::::::|
　　　　　　 　 　 　 　 |　　　　墓　　:::::::|
　　　　　　 　 　 　 　 |　　　　　　　:::::::::|
　　　　　　　 　 　 　 |　 ∬　　　 　 ∬:::|　ﾁｰｰﾝ､､､
　　　　 　 　 　 　 　 |　　ii　,,≦≧､ :ii :::::|
　　　　　　　 　 　 _ |　　旦‖===‖旦::::::| _
　　　　-W-----┘二二二二二二二二二└--ff---\--

独断でまとめてみました。異論があればどうぞ。

●基本ルール
１．数学的にある一つの実数に定まっていなければならない。
　（「無限」「抽象的なもの」「物理的なもの」「自己言及的なもの」など禁止。）
２．無定義で用いて良い記号は高校の教科書レベルまでとする。
　それ以外の記号（グラハム数における↑、またグラハム数自体など）を用いる時は定義しなければならない。
　例外として指数表記「＾」は認める。
３．一つのレスで完結していなければならない。（リンクなど禁止。）
４．字数制限を設ける。１０文字単位での増減が基本。その各々の中で最大を目指す。

●文字数の判定について
１．改行、スペース、句読点などはそれらがなければ意味が通じなくなってしまう場合にのみ文字数に入れる。
２．「＾」「（）」は全て文字数に入れる。

●表記について
１．数学という場における文章として広く認められる表記でなければならない。
　（「千^千」など禁止。）
２．基本は十進表記。その他の場合は宣言しなければならない。

∞！

>>166
あんまり異議ないです。

>>167
まずは「∞」が何であるかを定義しようね。
（´-`）.｡oO（それとも∞って高校の教科書なんかで出てたっけ？）

9c9

e^e^e^e^e!
eは自然対数の底

>>170
aho

>>169
9c9って9C9のことだろうか？
だったら9P9のほうが大きかったような気がするのは罠？

>>172
むしろ9C9=1

たとえば>>163を
x:=9^9^9
x^x^x^x^x^x
とするのは有り？

良スレハケーン

-1/logsin0←低脳

>>174
「:=」って何？　普通に知らない。。。

test

>>177
A:=B
なら、AをBと置く、の意

>>179

あなたはPascalな方ですね。

x:=9^9^9
x^x^x^x^x^x

って
x:=9^9
x^x^x^x^x^x^x
とか
x:=9^9^9^9
x^x^x^x^x
よりでかいの？

「n番目の素数」というアプローチだとたいして大きな数には
ならない（せいぜい冪乗レベル）ので、「n番目の双子素数」
的なアプローチをしたらどうかとも思ったが、双子素数が
無限にあることは証明されていなかったか。

あるいは「○○を満たす○番目の素数」的アプローチはどうか。
存在が示せて、しかも冪乗や階乗のアプローチよりもずっと
大きい数になることが示せれば面白いとは思う。

例外的に１文字から９文字までの最大は調べておこうよ。
絶対あとあと便利だって！
ただしここでは日本語使用不可。
他の式の一部に用いるのが目的だから。

（１文字）9
（２文字）9!
（３文字）99!
（４文字）9^9!
（５文字）(9!)!
（６文字）
（７文字）
（８文字）
（９文字）

ここまでは自信あり。

>>163
「Π」

>>174
「:=」

高校の教科書レベルでは定義されていないので駄目かと。

だな

>>183
5文字は
9!^9!のがでかい

x=9!とし
x!^x!^x!^x!^x!

>>186
9^10!の方がでかいかも

>>188
それより明らかに
9^99!
の方が大きい

凡ミスｽﾏｿ

1と記号だけ使うとしたら、どのくらいの数が作れるの？

>>191
文字制限ありの話？
無しなら当然いくらでもつくれるでしょ？1+1=2なんだから。
あとは煮るなり焼くなり炒めるなりしてやれば・・・さ。

tan90°

まず　(9!)!＜9!^9!　これは明らかだな。

残るは　9^99!　か…
9^99!≒10^99!（約99!桁の数)　で、

一方　9!＝362880　なので
9!^9!＜100万^100万（約600万桁の数）

完全にオーダーが違うな。というわけで現在の最有力は

（５文字）9^99!

ところで、指数と階乗って、
どっちの演算が優先されるんでしょう？

>>>195
それ気になってた。
誰か知ってる方ソースつけてplz!　
と言いたいけど、個人的に階乗、かな。
どっちなのかハッキリしないようなら
カッコ付けてやればいいけど。

「9^9!」を紙に書いた場合「!」を適切な位置に書けば混同の恐れはないからな。
「9^9!」そのものに関するソースはなさそうだな。

でも俺も個人的には階乗を優先していいかな、って思うよ。

「∞」を数値として使うのはどう？

なんとなく
>>87
が一番大きそうですね。

>>99
1+1=2 は我々が四則演算をする上での定義ですよ。
小学校以来定義としても教えてもらってないと思うけどね・・・
円の面積の求め方が証明できるのもせいぜい高校の微分積分を習ったときだしね。

それにしても
>>100
π＋π＝π^2
両辺をπで割って１＋１＝π
>>101
e+e=e^2
eでわって
1+1=e
ですが・・・

>>184
そこまで厳しくすると杓子定規すぎてつまらん。

だな

>>200
煽るわけではないけど、じゃあ何を基準にすればいいんだ？
さすがに

（５文字）
グラハム数

なんてのまで認めたくないし。
どっかで線引きしなければならないのなら
「高校の教科書レベル」ってのは
分かり易さ、自由度の点から言ってかなり優れていると思う。

9＾9＾9

x->+0 1/x
漏れが優勝。

俺の一番でかいよ！
ひひひ、びっくりするなよ！

lim(x->0) exp[1/x]
>>204よ、漏れのが速い！

>>204は左から０に近づくとマイナスになってしまうがな。

じゃ、俺は卑怯かもしれんが、デルタ関数のx=0

>>206
何故素直にlim(x->∞) exp(x)と書けん？

厨だから。

∞使うなって書いてあるからじゃねえの？？？

正解。

(20文字)
@0=9
@n=@n-1をn乗
とし
@99!

>>140を改造

(３０文字)
an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としa99!

グラハム数越えたべ。

自分の提示した数が10の何乗のオーダーか書くと少し数学風のスレになる。

>>212
ばかですいません
anって何ですか？
階乗はわかるんですけど

an自体がひとつの何かであるわけじゃなくて
aっていう関数みたいなものを作って
a0=〜〜〜〜　とかやるの。
その0とか1とか2とか1010とか何が入るか分からないところに
変数nを入れて「an」となったの。

で、a99!の時のanの数を212は言ったの。
だから212の場合はn=99!　なわけ。あんだすたん？

添え字に _ を使わないのは規則違反。

21100ガバス

>>213
「10の何乗のオーダー」かを記述した数は10の何乗のオーダーなんでしょうか？(w

>>216
くっ、予想通り突っ込まれたか・・・
やっぱ駄目だよな・・・

>>215
で、だいたい何桁くらいの数になるの？

カズ、三浦カズ

>>215さんありがとうございます。
ただ、>>212の
an+1=an^…^an(an個続く),はわかるんですが

a0=9とし、がわかりません。すいません厨房なもんで
どなたか教えてください（あきれないでね）

>>222
数列は初項が定まってないと具体的に数が出てこないんだよ。
a0が定まれば順にa1,a2・・・って定まっていくわけ。
その作業を99!回続けたのが>>212の数。

表記の不備は取りあえず置いとくとして、
>>212はほんとにグラハム数を越えてるのだろうか？

どうやってチェックすればいいのだろう・・・

「一番大きい数字を、一番少ない文字数で表した奴が優勝（ただし∞はなし）」っていうルールはどうでしょうか？

というかまず、
相当力量のある奴じゃないとどれが一番でかいかってのを
見分けられなくなってくるわけで。

>>224
あの式をプログラム書いて走らせてみればわかるが
そこらのPCじゃぁ計算しきれんだろうなぁ
企業用のｽﾊﾟｺﾝ持ってこないと。
とりあえず試しにコード書いてみるわ。

俺プログラム組んでやってみたけどあっさり桁あふれおこしました。
long doubleを使っても212等はあっさり超えてそう。対数とればいいのか？

俺は桁数だけ取ってやってるわ（ｗ
誤差ありすぎだが許せ。

半分の半分を無くなるまで繰り返した回数

このスレで使う記号の定義その１
↑（タワー）：
m↑n = m×m×m×m×m... をn回繰り返す。
m↑↑n = m↑m↑m↑m↑m↑.... をn回繰り返す。
m↑↑↑n = m↑↑m↑↑m↑↑m↑↑... をn回繰り返す。
....

ちなみに、m↑↑nは、mのm乗のm乗のm乗…をn回繰り返した数。
　m↑↑↑2は、mのm乗のm乗のm乗の…をm回繰り返した数。
m↑↑↑3は、mのm乗のm乗のm乗の…を、m↑↑↑2回繰り返した数。

ちなみに、グラハム数とは、3↑↑↑↑3の数だけ、3↑↑↑...↑3の“↑”が
あるような数を考え、その数だけ、3↑↑↑...↑3の“↑”が
あるような数を考え、…と６４回繰り返す。
これは、「n人の人がいて、彼らがなんらかの委員会に所属しているとする。
委員会を２つずつ取り出し、それを２つのグループのどちらかに割り当てる。
そのとき、４つの委員会があり、それらのペアが同じグループに所属し、かつ
すべての人々は偶数個の委員会に所属する、それが保証される最低の人数
nを求めよ」という問題の答えらしい。nがグラハム数あれば、確実の保証される
ことは分かっているが、現実には6人いれば十分じゃないかと考えられている。

230を読んでグラハム数のあまりのでかさに涙を流しました。

lim(x→0)1/x
だめ？

このスレで使う記号の定義その２
→（チェーン）：
m→n = m→n→1
m→n→o = m↑↑↑...(o個タワーが続く)↑↑n

3→3→64→2 < グラハム数 < 3→3→65→2 < 3→3→3→3

ということで、この記号を使えば、簡単に恐ろしいサイズの数が
作れます。

良スレもっとでかい数期待age！

3→3→64→2 < グラハム数 < 3→3→65→2 < 3→3→3→3
233の定義って
3→3→65→2だと
3→3→65→2→1＝3→3→65↑2＝3→3→65の65乗＝
3↑↑〜（65の65乗−4個のタワ−）〜↑↑3
ってことか？

間違えた　65↑2は65の２乗だから4225でした
だから一番下は3↑↑〜（4221個のﾀﾜ-）〜↑↑3です

3→3→3→3だと
3→3→3→3→1＝3→3→3↑3＝3→3→9＝3↑↑↑↑↑↑↑↑↑3
あれ？

222の厨房です　教えてばかりいただいて申し訳ないです
‥‥が
すいません実は、まだあまりよくわかりません

>>212の式はつまり
（99!+1）^（99!+1）^（99!+1）‥‥っていうのを（99!+1）回続けた数という
ことでしょうか？

>>232
マイナスから０に近づく時の値とプラスから０に近づく値が一致しないので
lim(x→0)1/x　のリミットは存在しない。

>>205
負けた、、、、鬱だ逝ってきます。
>>207
207よ、x->+0は右からの極限。
つまり、解は+∞だぞ。207漏れと共に逝こう。

>>238
違う。
君、数列は知ってる？

an+1　ってのは　a　の右下に小さく　n+1　って書いてあるもの。
an　ってのは　a　の右下に小さく　n　って書いてあるもの。

これを前提に>>232をもっかい読み返してみ。

>>232じゃなくて>>223だ。スマソ。

>204
オマエひとりで逝け

>>241
すいません厨房なんでまだ習ってないです
数列、教えてください
それと212の表す数を言葉でイメ−ジするとどんな感じですか？

えっと〜、
普通、a^b^c^d^e=(((a^b)^c)^d)^e=a^(b*c*d*e)…(1)です。
↑を使った場合のa↑b↑c↑d↑e=a^(b^(c^(d^e)))…(2)は
(1)よりはるかに巨大な数になります（a〜e：全て1以上の場合）
これだけ、グラハム数知識が普及しているこのスレで
↑を前述の定義で用いるのには問題ないと思いますが、
高校で習っているべき乗のべき乗の定義から考えると
^を特段の説明なしに(2)の意味に用いるのは問題あり、と思います。

>>212は劇的にグラハム数より小さいと思います。
>>233は、↑同様、計算を後ろから行なう、と言うことなのでしょうね。

＞普通、a^b^c^d^e=(((a^b)^c)^d)^e=a^(b*c*d*e)…(1)です。

そんなことないと思うが。
そう思う根拠は？

厨だから

どこの普通かは知らんが2chではa^b^c=a^(b^c)と表記しないと
質問スレで質問に答えるのが面倒くさくなって困る。

>>243
ｵﾏｴも来い。一人は寂しいんじゃw

さげ忘れた。スマン。

>>245
212って（2）だとしても、グラハム数よりはるかに小さいように思えるんだが
ついでに、233もグラハム数より小さいんじゃない？

まあグラハム数は20年以上、実質的に「数学の証明で用いられた最大の数」として君臨してるんだから
その辺で数学ヲタがちょこちょこ考えて超えられるような数には見えんけどね
今、グラハム数スレ見てきたが、話になんないぐらいでけ−ぞ！

x=9^99!とし
x^x
えと、けたすうは・・・
このかずは(9^99!)^(9^99!)である。これをaとおく。
log_10[a]=(9^99!)log_10[9^99!]
=(9^99!)99!log_10[9]
これは
(9^(155桁の数))(155桁の数)(約0.95)だから・・・
((155桁の数)桁の数)(155桁の数)(約1)
まあ大体(155桁の数)桁?
計算間違ってたらｽﾏｿ。厨房なんで。

x=9^99!とし
x^x^x^x^x^x

今までの作品は
〜10文字部門〜
「9^9^9^9^9!」
「9を9^99!回階乗」
〜20文字部門〜
「9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!」
「x=9^9^9　とし　x^x^x^x^x^x」
「x=9^99!　とし　x^x^x^x^x^x」
「@0=9　@n=@n-1をn乗　とし　@99!」
〜30文字部門〜
「9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!」
「an+1=an^an　a0=9　の時の　a9^9^9^9^9^9!」
「an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としa99!」
でいいか？
意見あったら言って。
（なんかこうやって書いてると某○○。○□□○○。○のようだ…vv

「an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としa99!」
を誰か　>>252風に説明してみて

>>248
いや、だから↑を使えば混乱が無いじゃないですかという提案なのですが。
>>254の中の「9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9!」は
一般的には9^(117*(9!))程度の数に受け取られると思います。

>>246-247
log(a^b^c^d)=log(a)*log(b)*log(c)*log(d)って公式見覚えない？
これは
a^b^c^dが一般に((a^b)^c)^dと理解されていることが前提なのだが…
また、グラハム数スレでもこの見解に異論は生じていないのだが。
厨にﾏｼﾞﾚｽ　ｶｺﾜﾙｲ?
教科書ないしは下で引用されてるサイト見てきてね。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014030375/96

a(x,0)=9x;a(0,y)=9;a(x,y)=a(a(x-1,y),y-1);a(9!)
47文字部門。

a(x,0)=9x;a(0,y)=9;a(x,y)=a(a(x-1,y),y-1);a(9!,9!)
まちごうた。50文字かかった。

おまいらちっちぇえよ。

０分の１。これこそ至高の数値！

>>259みたいのって、真性のバカかギャグのセンスが致命的に欠如してるのか、どっちだろね？

どっちも、だろ。

>>260
残念ながら数学板では259程度のギャグが平均です。

＞２６０
z案を持ち出した高尚(?)なジョークだと理解してあげるのが、人間の優しさだよ。
２５９みたいに生きていくだけで精一杯な方もいらっしゃるんだから。。。

「an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としa99!」
を誰か　>>252風に説明してみて

>>256
＞log(a^b^c^d)=log(a)*log(b)*log(c)*log(d)って公式見覚えない？

正直ないです。
っつーかそもそも教科書に「＾」なんか出てこないし。


結局「＾b」という「操作」の捉え方が重要なんだと思う。
１．b回かける
２．右上に小さくbと書いた数を想定する

１．の解釈をすれば、「基本は前から」という計算の原則により　a^b^c=(a^b)^c
２．の解釈をすれば、階段状に指数が並んだ数を想定して　a^b^c=a^(b^c)　（e^(x^2)等の紙面上での表記を参考）

そして俺は２．の解釈の方が自然だと思う。
なぜなら「^b」ってのはもともと、ネット上では右上に小さくbと書けないために仕方なく生まれた記号なのだから

んんん？　良く見直してみたら

＞log(a^b^c^d)=log(a)*log(b)*log(c)*log(d)って公式見覚えない？
＞これは
＞a^b^c^dが一般に((a^b)^c)^dと理解されていることが前提なのだが…

これ間違ってるよ。
その公式って（俺は見覚えないけど）
a^b^c^d=a^(b^(c^d))
が前提じゃん。

たびたびすまん。
>>266は完全撤回。

＞log(a^b^c^d)=log(a)*log(b)*log(c)*log(d)

こんな公式ないね。
どっちの解釈にしろ間違ってる公式だ。

>>254
10文字部門の２作品を比較。
nが十分に大きいときに 9^n<n! は明白。
したがって、
　9^9^9^9^9!
< 9^9^9^(9!)!
< 9^9^((9!)!)!
< 9^(((9!)!)!)!
< ((((9!)!)!)!)!
= 9を５回階乗
<<9を9^99!回階乗

しばらく様子を見て10文字がやぶられなければ、
＆時間があれば20文字にチャレンジしま〜す

「9を9^99!回階乗」っていう言葉、どうも言葉が足りないと思うのは俺だけ？
これだと、9!,9!,...,9!　（9^99!個つづいてる）ともとれる気がしてしまう。

>>270
判断はみなさんに任せます
却下であれば、「9を9!階乗する」を採用して下さい

グラハム数について
「グラハム数」という表記を許せば「9」が「グラハム数」に
変わるだけで、たとえば10文字ならば「9^(グラハム数)!」と
いった競争になり（文字数が多くなれば、n=グラハム数、と
定義するでしょうし）面白くない

タワー関数を認めるならば、Ackermann函数も認めて然るべき
ttp://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html
10文字ならば ak(9,9,9!) なんてのが作れます。

結局、↑もakも使わずに行くのがシンプルでいいと思うよ
ただし、文字数内でakや↑を定義できれば話は別。

>>186-189より
「x=9^9^9　とし　x^x^x^x^x^x」＜「x=9^99!　とし　x^x^x^x^x^x」
なので「x=9^9^9　とし　x^x^x^x^x^x」は脱落。

　 　　　　 ／￣￣￣￣￣
　冫、 　＜　　あっそー
　` 　　　　＼＿＿＿＿＿

スキュ−イズ数やフォ−クマン数は？

周りに聞いてみたが、やっぱりみんな
a^b^c=(a^b)^c
としていたぞ。
つまりa^b^c=a^(b*c)

記号の優先順位は微妙だから、ここらでだれか定義して欲しいな。
! > ^ > */ > +-
でいい？

Excelに計算させると、2^1^2=4、すなわち(a^b)^c
Octaveに計算させると、2^1^2=2、すなわちa^(b^c)
Excel < Octave （数学的優秀さ）
なのでOctaveの勝ち

というのはだめか

>>254
残った２つを比較
「x=9^99!　とし　x^x^x^x^x^x」
「@0=9　@n=@n-1をn乗　とし　@99!」
99!<(9^9)^(9^9)=@2
x=9^99!<@2^@2=@3
x^x=@4
x^x^x<(x^x)^(x^x)=@5
同様に続けて
x^x^x^x^x^x<@8
よって、今のところ20文字部門では
「@0=9　@n=@n-1をn乗　とし　@99!」
が最高（グラハム、↑系を除く）

あや、@n-1をn乗であって、@n乗じゃなかったのね
だけど、そうした方が圧倒的に大きいぞ

20文字部門で今までのどれよりも大きい数
「@0=9　@n+1=@n^@n　とし　@99!」

「@0=9　@n+1=@n^@n　とし　@99!」
の@0=9　@n+1=@n^@nの部分をやさしく
解説していただけますか？
すいません、よくわからない厨房なんで　

n=0のとき、@1=@0^@0=9^9
n=1のとき、@2=@1^@1=(9^9)^(9^9)
ということ

ただ、(n!)!>n^nであることを考えると、@n+1=@n^@nよりも
「@nを2回階乗する」方が大きいことを考えると、結局は
@99!は9を99!*2回階乗する数よりも小さいんだよね。
結局、10文字部門の「9を9^99!回階乗」の方が大きい。

まだ、20文字部門で10文字部門を超える数が出ていない模様。

>>280
ありがとうございました

悪い。すまん。俺、強引＆勘違いだった。
特に246、厨房呼ばわり悪かった。
仮に俺の言う「普通」としても、
log(a^b^c^d)=log(a)*log(b)*log(c)*log(d)ではないよな。ああ恥ずかしい。
log(a^b^c^d)=(log(a))*b*c*dだわ。

もっと本質的に言うと、aという数字の右肩にb、さらにその右肩にc、と
乗っかっている数の計算順番はどうやら「確定していない」んだな。
ただ、高校では指数法則として(a^b)^c=a^(b*c)を教え、その反面
a^(b^c)の計算順番を教えないこと、
日常的に用いている指数計算では(a^b)^cタイプが多いことから、
前述の決め付けに至った訳だ。
俺にとって不利なことには、巨大な数を扱うサイトでは
結構a^b^cをa^(b^c)と決めて（特段定義せず）使っていることが多いんだよなあ。

しかしこのスレ、途中で結構文字数にシビアな検討もしていたし、
計算順序を決定する()を外してもいいのかよ、という気持ちはある。
ただスレの趣旨から
「複数の解釈が考えられる時は、
その中の最も大きい数値であることを自明とする」ルールを
普遍的に取り入れるのなら、もう自分の意見に固執しないよ。
（長々書いたが、要は>>248に禿同ということだ」
>>275　脳内支援ありがとう。
>>276　勉強になった。

＞「複数の解釈が考えられる時は、
＞その中の最も大きい数値であることを自明とする」

こんないい加減なルールも無いと思うが。
一意に定まっていない物を認めるのは美しくない。
a^b^c に関しては、自分は a^(b^c)と解釈していたが
(a^b)^c と見る向きもあるのであれば、a^b^cという
表記自体を認めるべきでは無い。

>>284
くー。荒れてきたなあ。
いやあなたが荒らしってわけではなく、このスレの内容自体がね。
今までのa^b^c表記が全て無駄になったわけだ。

確かにあなたは正論なんだよなあ・・・
俺自身めっちゃ禿同だし・・・
しかし・・・うーん・・・

そもそも、高校の教科書で3^3^3と言う表記について
言及されてるのか？載ってないなら問答無用でアウト。

厳密に言うと数列の表記もおかしいんだよな。
みんな分かってて敢えて突っ込まないんだろうけど(w

an+1　は　a_(n+1)　って書かなきゃ全く一意に定まってないからな。
（a　の代わりに　@　を使えば　_　は要らないのかな…？）

ここは更なるルール改正が必要か？

>>287
>>216

「an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としa99!」
は、ａ1＝9^9^9^9^9^9^9^9^9で
　　ａ2＝（9^9^9^9^9^9^9^9^9）^（9^9^9^9^9^9^9^9^9）〜を（9^9^9^9^9^9^9^9^9回繰り返す）
こりゃあ、でけえ！　「ａ99！」まで行ったらとんでもねえぞ
ａ1ですでに宇宙じゃ書く場所が無い状況だな　※a^(b^c)タイプね

でもグラハム数に比べると、たぶん比較にならんくらい小さいと思われ

むしろ、こうやって色々議論してる方が楽しい人はいない？

>>286
それについては大丈夫。上の方で指数表記^はいいというように書いてあるからね。

それでa^b^cの問題だけど、これはa^(b^c)として解釈していいかと。
この記号はプログラミングの手法から来たのだと思う。断言できないが。
そこでは結合規則というのがあり、^は右から左。
^という記号を用いる以上、計算方法もこれに準ずる方法でいいかと思う。

>>290
＞それについては大丈夫。上の方で指数表記^はいいというように書いてあるからね。

いや。3^3^3 をどのようにして求めるかが載っていなければ
3^3^3 は出てこないだろう。3^3と3^3^3の間には大きな
隔たりが有る。^ が結合的でない演算であるのに () を
略して書くのはいかがなものか。 ちゃんと 3^(3^3) と
書くべきだろう。

９極の９極乗９極乗
が最強

289とグラハム数の比較
まずグラハム数の３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３と
289の９^９^９^９^９^９^９^９^９を比較すると断然上の方が大きい
次に289のａ２である
（9^9^9^9^9^9^9^9^9）^（9^9^9^9^9^9^9^9^9）〜を（9^9^9^9^9^9^9^9^9回繰り返す）
と３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３を比較すると当然上の方が断然大きい
おお！　グラハム数をリ−ドしたぞ！
しかしここからが問題、グラハム数は３↑↑３↑↑３〜この連続が３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３回続くのだ
後ろから３↑↑３〜［３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３］〜↑↑３↑↑３↑↑【３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３】
　　　　３↑↑３〜［３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３］〜↑↑３↑↑｛３↑３〜【３↑３〜（約7兆回続ける）〜３↑３】〜↑３｝
この段階で、たぶん９９！回前記の（9^9^9^9^9^9^9^9^9）^（9^9^9^9^9^9^9^9^9）〜を（9^9^9^9^9^9^9^9^9回繰り返す）
を繰りかえしても届かないんじゃないだろうか
さらに、これはグラハム数の出発点である３↑↑↑↑３のことであり、グラハム数は次の３↑↑〜（３↑↑↑↑３回の↑）〜↑↑３
からまた63段階目の数なので、もう勝負にならないだろう。
ただ、前記のように３↑↑↑↑３と289の数がどっちが大きいかは興味がある、誰かわかる？

そもそも「９９！」は何桁くらいなんだ？

>>294
http://medetai.kakiko.com/kopipe/shr.htm

３↑↑３↑↑３〜（【3↑を7兆回】回）〜↑↑３↑↑３を後ろから↑↑を１段階消すのと
289のａ１→ａ２→ａ３の１段階ぶんの増大を比較すりゃ
289のほうが増大の効率は高いだろうが
３↑↑↑↑３の方は、３↑↑３の繰り返しが（【３↑を７兆回】回）あるわけだから
１行目の後ろから↑↑を消していくのを、１兆けた段階ずつ消していっても充分“９９！”よりはるかに多い
増大の段階を踏むことができるわけで
その１兆けた段階ぶんの増大率と289の１段階ぶんの増大率を比較すれば、
３↑↑↑↑３が289より大きいと予想できるのでは

(20文字部門)
f(n):=nに階乗をn回
f^9!(9)

(30文字部門)
f(n):=nに階乗をn回
f^(f^(99!)(9))(9)

なんてのはちょっとつまらないので、
Ackermann関数を定義できるかどうかが勝負だが…
この文字数では無理？

(?文字部門)
n階のAckermann関数をf(m,n,0)=Ak(m,m,...,m)と定義して…
再Ackermann?

>>297について、一応、お決まりの大小比較をば。
20文字部門、30文字部門ともにグラハムにはまだ及ばないはず。
今までの最高の>>289の値をXとすると、
f^(99!)(9) < X < f^(99!*2)(9)
という関係があるはず。よって、>>289は20文字部門よりも
大きいが、30文字部門よりは小さい。

ただ、なんともまぁ醜いね…。

醜いなんていうから、レス止まっちゃったんじゃん。

「an+1=an^…^an(an個続く),a0=9としaグラハム数」

超弦基数Хn

http://profiles.yahoo.co.jp/tengaiten2002

>>299
ごめんごめん。お詫びに、文字数無制限にチャレンジ。
文字数無制限だと、今までの最大は>>161だと思う。
もちろん、無限大になるもの、自己言及的なものを除く。

これからしばらく考えて>>161に挑戦してみることにするよ。

とりあえずこんなんでどうだろう。

Ackermann関数は、以下のように定義される。

A(0,n)=n+1
A(x+1,0)=A(x, 1)
A(x+1,n+1)=A(x, A(x+1, n))

http://tuk.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softkiso/soft55.html
http://www.ed.kagu.tus.ac.jp/~j1402058/ackermann.html

ここで、
g(n)=A(A(n,n),A(n,n))
とする。Ackermann関数の定義でA(0, n)=n+1としている
ところをA(0,n)=f(n)とすると同様の手続きでg(n)が決まる。
このとき、関数f(n)から関数g(n)への写像をS(1)とする。

関数から関数への写像S1から、関数から関数への写像S2への
写像SS(x)を以下のように定義する。
「g(n)に写像S1をg(x)回施した関数をh(n)として、S2=S1^h(x)」

写像S(n)に写像SS(n)をg(n)回施した結果の写像をS(n+1)とする。
F(n)=S(g(n))g(n)としたときに、
F^(F^(F(3))(3))(3)をふぃっしゅ数とする。

ふぃっしゅ数がグラハム数よりも大きいことは明白。
さらに、>>161よりも大きくなると思う。
ただ、ふぃっしゅ数の定義を>>161のように通常の言葉に
書き下すのはかなり大変なので、大小比較は骨が折れる。

「０」

しまった。

F(2)<F(F(1))<S(1)F(1)=S(1)S(g(1))g(1)<S(g(2))g(2)=F(2)
となってしまうので、>>304のふぃっしゅ数は定義されない。

また、週末に考え直すとするか。

>>305
このｽﾚずっと読んできましたが、すいません厨房なものでさっぱりわかりません
その「ふいっしゅ数」を骨が折れるでしょうが是非通常の言葉で解説して下さい。
グラハム数より大きいという感じがよくつかめません。

>>308
>>304のふぃっしゅ数は失敗作でした(理由は>>307)。
改訂版を考えてから説明を試みますので、しばしお待ちを。

>>294
99!=933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168640000000000000000000000

999!=402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629\
020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590\
997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418\
278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955\
735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820\
291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928\
090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025\
478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868\
170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566\
832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889\
679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736\
280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510\
907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967\
146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911\
903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299\
024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226\
143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781\
391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955\
131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790\
084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720\
559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900\
140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017\
860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519\
296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218\
940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278\
288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752\
344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701\
244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254\
742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700\
624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

9999!は・・大体７千桁ちょっと。
字数制限で・・

δ(0)

ってあり？（笑）

米ヶ
女×

とりあえず数の４倍ってとこで・・・

>>314
ﾅｲｽ!

よーしパパもっとでかい数出しちゃうぞー

うりゃ

＼ 　　　| 　 　 ／　　　　|
　 ＼　　| 　 ／　　 　 　 |
　　　＼ | ／　　　 　 　 /
───┼───　 　./─────┬──
　　　／ | ＼　　　　　/　　　　　　　　 |
　 ／　　|　　＼　 　 /　　　　　　　 　 |
／　　　 |　　　 ＼ 　 　 | 　 　　　　　 |
　　　 　 　 　 　 　 　 　 |　 　 　 　 　 |
　　|　　　　　 |　　　　　 |　　　　　　 /
─┼───┼─　　　　＼　　　　/
　　|　　　　　 |　　　　　　　 ＼　　/
　　|　　　　　/　　　　　　　　　＼/
　　＼　　　/　　　　　　　　　　／ ＼
　　　 ＼／　　　　　　　　　／　　　　＼
　　　 ／＼　　　　　　　／　　　　　　　 ＼
　　／　　　＼

これまでの書き込みで「いかにして大きな数を作るか」という
プロセスを一般化すると、大きな数と増加の程度が大きい関数を
生み出していくプロセスだと表現できる。

たとえば、「mという数にf(x)という変換をn回繰り返す」という
表現をするときに、m,f(x),nに使えるのは今までに定義された
数と関数のみ。そこで、数と関数を双方ともに帰納的に定義して
いくプロセスを追っていくことにする。

そこで、自然数mと関数f(x)のペアから、自然数nと関数g(x)の
ペアを生み出す変換（写像）を
　S:[m,f(x)]→[n,g(x)]
と表記することにすると、たとえば３↑↑↑↑３は、自然数
４と、f(x)=３（↑がx個）３からf(4)とあらわされる。
３↑↑↑↑３個だけ↑がはさまった数、はf(f(4))である。
したがって、これを64回繰り返した数はf^64(4)となり、
この操作はg(x)=f^64(x)という関数を自然数64と関数f(x)から
生み出す操作にほかならないため、
　S:[m,f(x)]→[f^m(m),f^m(x)]
と書くと、m=64,f(x)からグラハム数よりも大きいf^64(64)
という数が生み出される。

これまでのスレッドにかかれた数は、いろいろなタイプの
S変換を数回、>>161でもせいぜい10回程度行っているに
すぎない。S変換については、上記のS変換よりも、
AckermannタイプのS変換の方がより関数を増加させる。

そこで、これから先は「いかにしてより大きな数、関数を
生み出すS変換を作り出すか（これを「より大きいＳ変換」
と呼ぶ」といった考察をする。

その第１段階として、Ackermann関数にならい、

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))g(x)=B(x,x)

としたときに、
S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
とする。少なくとも、これ以上に大きいＳ変換はこれまでに
あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

では、このS変換をさらに大きくするにはどうすれば良いか。

それには、S変換をf(m)回繰り返した変換をS2変換と
すれば良い。すなわち、m,f(x),Sからさらに大きな
S2変換を生み出すことができる。このプロセスを、
SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
というSS変換で記述することにする。
[3,x+1,S]にSS変換を1回かけると、S変換を4回くり
かえす変換が得られ、さらにもう1回かけると、
S変換を大変な数繰り返した変換が得られるため、
２回数くりかえしただけで、すでにこのスレッドに
登場したいかなる有限の数よりも大きな数が
得られる。

>>317-319をまとめて、ふぃっしゅ数を以下のように
定義しなおす。

　B(0,n)=f(n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

としたときに、
　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)] という自然数と関数のペアから、自然数と関数の
ペアへの写像S（Ｓ変換）を定義する。

自然数、関数、Ｓ変換から同様の組を生み出す
写像SSを、
　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
と定義する。

このとき、[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した
結果得られる自然数、関数、S変換について、
自然数をふぃっしゅ数、関数をふぃっしゅ関数とする。

ふぃっしゅ数の大きさは、グラハム数を越えることは
もちろん、想像を絶する大きさとなっている。

SSSS:[m,f(x),S,SS,SSS]→[n,g(x),S2,SS2,SSS2]
と定義していけば、さらに大きくなるとは思うのだけど、
とりあえずこんなところでいかがでしょう。

ちなみに、ふぃっしゅ数は>>161のような形では
「書き下し不可能」です。なにしろ、書き下せない
ほど大きな数をつくってしまったわけですから。

直前のレスに1足せば絶対負けないのになんか意味あるのか

ログ読まないでレスするアホって、どこにでもいるんだね。

じゃあ16はどこかで否定されてるのか。

されてたな

361が優勝？

「ふいっしゅ数」への質問
>>308の厨房です、毎度スミマセン

「あっか−まんカンス−」の増大率が半端じゃない事や、Ｓ変換の回数をＳＳ変換
で急激に増大させるような点はわかりましたが、
いかんせんその他の記号がさっぱりわかりません。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))g(x)=B(x,x)

としたときに、
S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
とする。少なくとも、これ以上に大きいＳ変換はこれまでに
あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

だそうですが、この辺から手ほどきおねがいできませんでしょうか
たとえば[3,f(x)=x+1]にＳ変換を１回やった数というのはどのくらいなんでしょう？
何回も話題に成ってるグラハム数と上記の【[3,f(x)=x+1]に１回Ｓ変換】あたりを
比べていただけると、少しはピンとくるかもしれません。
お願いします

>>328
[3,f(x)=x+1]にＳ変換を1回すると、

　B(0,n)=n+1
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)
となるので、B(m,n)はあｋｋ−あまん関数と一致し、
g(x)=A(x,x)となるため、
　S:[3,x+1]→[A(3,3),A(x,x)]
となる。
　http://tuk.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softkiso/soft55.html
より、A(3,3)=61なので、Ｓ変換1回ではまだたいした
大きさにはならない。Ｓ変換2回目から、すごいことに
なっていく。

┌─┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜も.｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜う　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│来│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│ね│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│え .|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│よ .|
　　　　　　ﾊﾞｶ　　　　ｺﾞﾙｧ　　│ !!.│
　　　　　　　　　　　　　　　　　└─┤　　　　ﾌﾟﾝﾌﾟﾝ
　　　　ヽ(´Д｀)ﾉ　ヽ(`Д´)ﾉ　　(`Д´)ﾉ　　　 （　`Д）
　　　　|￣￣￣|─|￣￣￣|─|￣￣￣|─□（ ヽ┐U
〜 〜　￣◎￣　　.￣◎￣　　￣◎￣　　 ◎−>┘◎
ば〜かっ！！もう来ねーよチンカス野郎っ！！死ねっ！！

Ｓ変換の2回目。今度は、

　B(0,n)=A(n,n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)
となるが、このg(x)関数はとてつもない関数になる。

　g(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,A(1,1))
　　　=B(0,3)=A(3,3)=61

　g(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,B(1,61))
　　　=B(1,B(0,B(1,60)))

このあたりで、すでに書き下すことが困難になってくる。
　B(1,1)=61
　B(1,2)=A(61,61)
　B(1,3)=A(A(61,61),A(61,61))
という調子で関数が増えていくので、B(1,61)はとんでも
ない数。g(2)=B(1,B(1,61))なので、g(2)ですでに
グラハム数を超えているように思う。

g(2)ですでグラハム数を超えてしまい、さらにg(x)は
xが増えるにつれてものすごい勢いで増えるので、
g(61)の大きさは想像を絶する。
Ｓ変換2回目にして、g(61)というとんでもない数が
得られることになる。

あと、細かいことだが>>320で

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)

と書いたが、g(x)=S2[m,f(x)]という書き方は良くない。

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]

という書き方の方が正確だ。

具体的な数字つかったらどうせ[9]しか使わないんだから
いっそある数[a]しか使わないようにして
aを使った一番大きい関係を考えた方が純粋じゃない？

グラハム数はＡckermann函数表記だと、どのくらいの値になるんだろうか
「数の事典」によると（3.4）←（4.3の間違いか？）
で、2の65536乗（１９７２９桁）だそうだが。

もうひとつ疑問Ａckermann関数の（61.61）はどれくらいになるのかな？
これがおよそわかれば、ふぃっしゅ数の巨大さが掴めそう

ｱｯｶ-ﾏﾝ関数の驚異的増大率は知ってるけど、なんとなくグラハム数のほうが
乗法のタワ−を使ってる部分に関しては、効率が良さそうに見えてしまう
3↑3＝27だが　3↑↑↑↑3で宇宙をＡ（10.10）桁重ねても書けない数が出現
するわけで、↑が３個増えた増大率はすごいものがある
低い段階の数字（グラハム数の場合の3↑↑↑↑3のように）でｱｯｶ-ﾏﾝ関数の
増大率を示す適当な例があれば、誰か示して欲しい。
上記のＡ（61.61）やのような‥‥。

∞
やったー
どんな数よりも大きいや
俺が優勝！

【ルール】
・お前は　真の意味での人間ではないものとする。
・「理論上では」というのは禁止。
・基本的にはどのような式などを使っても良い。
・どれが一番でかいかという審査もこのスレ内で行う

ありりー
∞いけないのねん？
じゃあ素数思いつくだけ足し合わせた数でいいよ
矢ター
俺が優勝だー

素数思いつくだけ足しても、グラハム数や上記ふぃっしゅ数の足元にも
およばん。

じゃあぼくたんは何をすればいいの？
勉強してもっとハイレベルな数学を学べっちゅうことなのに？

>>341　とりあえずこれでも読め、このスレの入門編

非負整数 x, y, z (但し z ≧ 2) に対し
ak(x, y, 0) = x + y,
ak(x, y, 1) = xy,
ak(x, y, 2) = x^y,
ak(x, 0, c + 1) = x,
ak(x, y + 1, z + 1) = ak(x, ak(x, y, z+1), z)
とする。これを Ackermann 函数と呼ぶ。同様のことを tower というものを用いて次のように表現する。
x↑y = x^y,
x↑↑1 = x↑x, x↑↑y = x↑(x↑↑(y - 1)),
x↑↑↑1 = x↑↑x, x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y - 1)),
x↑↑↑↑1 = x↑↑↑x, x↑↑↑↑y = x↑↑↑(x↑↑↑↑(y - 1))
と決める。上述の Ackermann 函数との関連を述べるために,
簡単にx↑^2 y = x↑↑y, x↑^3 y = x↑↑↑y等と書くことにすれば, 上記の定義は
x↑^m 1 = x↑^(m−1) x, x↑^m y = x↑^(m−1) (x↑^m (y−1)) と比較的簡単に書け,
x↑^m y = ak(x, y, m+1) であることが確かめられる。
グラハム数とは３↑^4 ３という数だけ、３の間に↑が挟まった数をａ1として
ａ1の数だけ３の間に↑が挟まった数をａ2
ａ2の数だけ３の間に↑が挟まった数をａ3‥‥‥というように繰り返していき
ａ63がグラハム数に成る　

グラハム数↑(Xグラハム数)グラハム数

1番でかい数出して何になるの？

よく天文学的数字という言葉を聞くが、どのような分野の単位や量を表す巨大数字も
数学の世界に出現する数に比べれば、全くなんてことのないショボ数字
この有限の世界をすべて数値化できるとしたら、唯一、数学という学問自身だけが
無限空間に広がっている。
　まあ、その実空間よりはるかに広大な空間でどこまで数を伸ばしていけるかという
遊びなんだろうな。

それは・・・なぜかオナニーにも似て、僕は・・・・・・

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2n+3-3

A(4,n)=EXP(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP(1)=22

EXP(3)=2EXP(2)=24

EXP(4)=2EXP(3)=216

EXP(5)=2EXP(4)=265536

訂正

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2^(n+3）-3

A(4,n)=EXP^(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP^(1)=2^2

EXP(3)=2EXP^(2)=2^4

EXP(4)=2EXP^(3)=2^16

EXP(5)=2EXP^(4)=2^65536

再訂正

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2^(n+3）-3

A(4,n)=EXP(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP^(1)=2^2

EXP(3)=2EXP^(2)=2^4

EXP(4)=2EXP^(3)=2^16

EXP(5)=2EXP^(4)=2^65536

349は
ＥＸＰ（6）だと＝２ＥＸＰ＾（5）＝〈２＾65536）＾（２＾65536）‥‥19729桁＾19729桁

ってこと？

ちなみに
Ａ（5.ｎ）だと　どんな感じですか？

左の方のＥＸＰの（　）の数字はどの数に対応してんの？

ふぃっしゅ数は、グラハム数超えたのか？
俺は、ずっとグラハム数スレ見てきたんだが、ふぃっしゅ数の下敷きになってる
アッカ−マン関数より増大率がはるかに高い気がしてしまうのは同感
指数を重ねて後ろから計算した時の増加はともかく
その3の3乗の指数の重なりを示す↑の圧倒的な量が、グラハム数の巨大イメ−ジを掻きたてる
たぶん、グラハム数の方は、いろんな人が苦労して指数の塔の量を他のものに置き換えたり
してるんで、その驚異的増大のすさまじさがわかりやすいんだろうけど。
349でアッカ−マン関数の増大の凄さの入り口程度は見えたが、もう少し上の方まで
見てみたい。ふぃっしゅ数の方がデカイという事は説明読んでわかってるつもりだが、
なんせ、世界最大の数を初めて超えたと思われる数なので、覇者交代の大切な部分なんで
わたしらのような数学オンチにもなんとか納得できるような結果で示して欲しい。
もし、支持者が増えたら、名実ともに今のところの従来の巨大数を使用しないで作った「世界最大の数」
に認定されるんじゃあないかな。ま制作者はそんな大げさな事を考えてないだろうが

とりあえず、>>331のg(2)がどの程度の大きさになるか、
そしてg(3)がどの程度の大きさになるか、あたりから
誰か説明できないかな？

俺も考えてみたが、たしかにg(2)ですでにグラハム数を
超えそうな気がしている。うまく表現できないが。

ふぃっしゅ数にはどんな意味があるんですか？

それから、どうもアッカーマン関数に2種類あるようだけど、
アッカーマン関数どうしの比較はどうなるんでしょう？

3↑↑↑↑3とak（61.61）はどっちが大きいの？
ついでに
3〜（3↑↑↑↑3個の↑が挟まる）〜3　と　ak（61.61）はどっちが大きいの？

>>356
記号↑を使うと、ak(x,y)=2↑…↑(y+3)-3　ここで↑の数は(x-2)個。
グラハム数の勝ちでしょう。

>>352
グラハム数も、アッカーマン関数を下敷きにしている。
ひとたびアッカーマン関数を定義してしまうと、
>>317に書いたように

たとえば３↑↑↑↑３は、自然数
４と、f(x)=３（↑がx個）３からf(4)とあらわされる。
３↑↑↑↑３個だけ↑がはさまった数、はf(f(4))である。
したがって、これを64回繰り返した数はf^64(4)となり、

すなわち、a_0=4, a_n+1=f(a(n))と原始帰納的に
あらわされてしまう。アッカーマン関数を下敷きに、
さらにアッカーマン関数的に２項漸化式で関数を
増やす方が、ずっと大きくなることは明白。

>>354
意味もなく大きい

>>357
どうして、>>331でg(2)はグラハム数よりも大きい、
と書いているのに、誰も比較しようとしないんだろう。

>>355
とてもいい質問だ。２変数のAckermann関数をA(m,n),
３変数のAckermann関数をac(m,n,x)と表記すると、
>>349よりA(m,n)はおよそac(2,n,m-1)のオーダーになる。
したがって、
ac(3,3,n)<A(n+2,n+2)
ということになると思う。
つまり、３（↑がn個）３よりも、A(n+2,n+2)がずっと大きい。

あとは、>>331の漸化式より、
B(1,2)>3↑↑↑↑3
B(1,3)>a1 (>>342の定義）
B(1,4)>a2
B(1,65)>a63

すなわち、B(1,65)はグラハム数よりも大きい
g(2)=B(1,B(1,61))は、グラハム数よりもずっと大きい

というか、>>357で
A(x,y)=ac(2,y+3,x-2)-3
と正確に比較されているのでこれを元にすると
ac(3,3,n)<ac(2,3,n+1)<A(n+3,n+3)
といった感じか。それでもやはりB(1,65)はグラハム数よりも
大きくなるけど。

このスレ内の最大数＋１

361の馬鹿具合を数値化したもの

>>362の数値＋１

>>1000ｹﾞﾄした奴が勝者。

>>357　でＡ（61.61）をグラハム数的に表すと

Ａ（61.61）＝2↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
　　　　　　　　↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑64　-3

つうことかな？　――んでもって
Ｂ（1.2）であるＡ〔（61.61）.（61.61）〕は

Ａ（（61.61）.（61.61））＝２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３
つうことかな？

Ｂ（1.2）でグラハム数のａ1を超えたわけね
やっぱり、似た形で表すとわかりやすい
でも365はあってるのか？

いや、a1を超えるのはB(1,3)だろう
>>331 >>359 参照

9999の9999999999999999999999999999999999999999999999乗

任意の数Mに対してM<NなるN。これ最強！！

ざっとこのスレを読んでみましたが, >>114ルールの元で

【10文字部門】
9を99!回階乗する 　　(>>151)

【20文字部門】
f(n):=nに階乗をn回
f^9!(9)　　　　　　　(>>297)

【30文字部門】
f(n):=nに階乗をn回
f^(f^(99!)(9))(9)　　(>>297)

【文字数無制限部門】
ふぃっしゅ数（>>320、長いので略)

といったところが一番大きそうです。
ただ, ふぃっしゅ数についてはなんだかよく分からず。

それで、Ｂ（1.2）からＢ（1.65）でグラハム数本体を抜いて
ｇ（2）は、Ｂ（1.そのばかでかい数）ってことか
ｇ（61）は、　う〜ん確かにでかい！

で？　Ｓ変換の３回目ってのはどうなるの？　（ごめんアホなもんで）

B(0,n)=（ここには何が入るの？）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

ついでにＳＳ変換もイマイチわからん
Ｓ^ｆ(m)ということで１回目が４回変換ということだが、3＋1＝4ということか？
２回目は、どこの数字をもとに計算すんですか？　（ホントにアホでごめんね）

>>368
いきなり何て小さい数字を出すんだ！　びっくりしたじゃないか！

>>76
高校生です。グラハム数ってなんですか？
最初に出す人は定義するのではないですか？

>>374
寝ろ

ここで定義された数の和。
これ最強。

Ｓ変換の３回目ってのはどうなるの？　（ごめんアホなもんで）

B(0,n)=（g61の数　．g61の数）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

それとも

B(0,n)=（g61の数をak表記したもの）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

あとＳＳ変換２回目って

Ｓ変換４回ぶんでもとめられた数の回数だけ変換するってこと？

>>377
とりあえずS変換の３回めについては
　B(0,n)=g(n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　gg(x)=B(x,x)
としたときのgg(x)かな。

>>378
その通り。答えてくれてありがとう。
これを>>331に習って計算すると

　gg(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,g(1))
　　　=B(0,61)=g(61)

　gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))

　B(1,1)=g(61)
　B(1,2)=g(g(61))
　B(1,3)=g(g(g(61)))

つまり、gg(2)は61をg(x)に代入して…とg(61)回繰り返した数。
この調子でgg(3),gg(4)...と増えていき、gg(g(61))がS変換を
３回繰り返した数。

>>377
SS変換２回目は、>>332の

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]

を読み下すと、SS変換１回によって得られたm,f(x),S
に対してS^f(m)とする、すなわちS変換（つまり最初の
S変換を４回繰り返す変換）をf(m)回繰り返す。ここで、
f(m)回とはSS変換１回、つまりS変換４回によって得られる
大きな数mを、これまたS変換４回によって得られる増加率の
大きな関数f(x)に代入した数なので、とてつもなく大きな数。
その数だけ、新S変換を繰り返す、ということ。

つまり、大きな数と関数から大きな数と関数を生み出し、
その生み出された大きな数と関数から大きなS変換を
生み出し、大きなS変換がさらにとてつもなく大きな数と
関数を生み出す、とお互いがお互いを増幅させていく。

ということで、>>371-372にも答えたことになるかな。
S変換１回めは、最初の数が３、f(x)=x+1なので、
代入してf(3)=3+1=4と計算されるということ。

うぎゃ―――――――――――――っ！！！

でっ、でけえ！！！

フィッシュ数は文句なし世界一、宇宙一の数だ！！！！！！

グラハム数とフィッシュ数を比べると、グラハム数は限りなく０に近い

お疲れ様でした、

ギネス申請を！
1ペ−ジ使っちまいそうだが‥‥‥。

でも、ふぃっしゅ数って意味が無いですよね？

つ-ことは、SS変換３回目は

　SS:[m,f(x),S2]→[n,g(x),S3]
　ただし S3=S2^f(m), S3:[m,f(x)]→[n,g(x)]

SS変換２回によって得られたm,f(x),Sに対してS^f(m)とする。
（つまりS変換を４回繰り返して得られる大きな数mを、
　これまたS変換４回によって得られる増加率の大きな
　関数f(x)に代入した数）回繰り返す変換をして得られ
　た数mをこれまた、同じ数回変換して得られる増加率
　の超大きな関数f(x)に代入した数
その数だけ、新新S変換を繰り返す、ということなのかな？

間違えた４行目

SS変換２回によって得られたm,f(x),S2に対してS2^f(m)とする

フィッシュ数ヤバイ

超でかい。

ていうか
現実にあるものを文字にするだけの数字とかより
フィッシュ数のこと考えろ！
もうすごいから。すごいしヤバイから。

スキュ-イズ数で大騒ぎしていたアイザック・アジモフ（巨大数字フェチ）
に教えてやりたい

最近出た「数の寓話」とか言う本でグラハム数紹介されてたな。

小・中学生の頃、講談社のブル−バックスの宇宙や物理の本で
全宇宙のニュ−トリノの数とか光子の数が10＾88とかいう数字を見て
ぶったまげてたのが、なんかカワイク思えるよ

国の借金７００兆円＝7×(10＾14)円　

というのもなんかカワイ‥‥‥くないか。

ふぃっしゅ数の意味するところは伝わったようなので、
>>317-319を読み返して、ふぃっしゅ数を生み出す思考
プロセスを理解していただければ幸いです。

あとは、>>321に書いたようにSS…Sを一般的に定義して、
[n,x+1,...]にSS..(Sがn個)..SS変換をした数をf(n)とか
階層を増やしていけばまだまだ大きくすることはできるの
ことは分かってはいるのだけど…。

もっと大きい数を見たい、ということであれば次は
「大ふぃっしゅ数」でも考えてみますが、特に斬新な
切り口もなく拡張するだけだとすると面白くないので、
このへんで止めておくのが美しいのかもしれない。

>>382
「意味もなく大きい」と書いたように、意味があってしかも
大きい数であれば２ちゃんねるに書き込まずに実名で公表
する価値があるかもしれないけど、「意味もなく大きい」
というだけなので、ふぃっしゅ作のふぃっしゅ数、といった
おちゃらけた感じで、あとはここにいる「大きい数大好き」
なみなさんに楽しんでいただければよろしいかと思っています。

>>383
の定義はあってますか？

とにかくお疲れ様でした。
たしかに、この辺で拡張はストップした方がいいかもしれませんね。
数学的な美しさや、グラハム数へのオマ−ジュとしてのＳＳ変換６３回
という数字も、けっこうイイとこ突いてるんじゃないかと‥‥‥。

>>391
あっていると思います。

数式→言葉の変換は私の苦手としているところ（数式の
ままの方がずっと理解しやすい…)なので、大きさを
分かりやすく表現する方法については、みなさんで
わいわいと楽しく工夫していただければよろしいかと。

グラハム数ってなんですか？
いまだに誰も教えてくれません。
そんなに僕が参加するのが怖いのですか？

このスレ、永久保存！

>>394
面白そうだ、参加してみ

ふぃっしゅ数　すごい！

他愛の無い遊びスレが、グラハム数を超えたってことがすごい

そんな数学的実力持ってる人が、このスレに真面目に取り組んだのもすごい

２ｃｈってやっぱりいいですね。

僕の友人に数学を得意としてる男がいます。（高校で学年１番だったらしい）
その友人に聞いてみました。
僕「一番大きな数字を考え付く範囲で言ってみて」
友「う〜ん‥‥‥‥、１兆×１兆！」
僕「‥‥‥‥‥。」

一般社会の中での数字の実用度
では、古代から中世にかけて
最も大きな数字を実際に使うのは家畜の頭数
を数える時に使う数字だったようです
だいたい　1000〜5000
これ以上大きな数字は庶民には無縁なもので
当然、その上の数は使わない知らない状況だったと思います
１万以上の単位でお金を数えるようになったのは
１８世紀くらいからだそうです。
（王侯や特殊階級は別です。もちろん数学者も。あくまで庶民の話）

はいはい。みんなちっちゃいね。ふぃっしゅ数？帰っていいよ

∞！−（１／∞）＾∞！

これぞ究極の数値！

全宇宙に存在する素粒子の個数。

グラハム数に一番近い数をグラハム数を使わずに目指すというのはどうか？




誰がどうやって検証するのかは知らんが。

グラハム数を使わずにグラハム数をはるかに超えたといって
騒いでいるのに、スレの空気を読め。

次の展開の一つとして、ふぃっしゅ数の下○桁シリーズはどうか。


計算できるかどうかは知らんが。

どうでもいいよ

>>401
あまりにも少ないものを出すんで、びっくりしたじゃないか！

401の素粒子の個数は10＾80くらいだな。5文字で書ける
または全宇宙の粒子1個1個を0に置き換えて１列に並べて
でっかい数作っても
ここで話題に成ってる数から見たら０同然くらい小さい

ふぃっしゅ数大きい！
素直に感動した。

特に「意味もなく」大きいというところが気に入った。
意味もなく想像をふくらますって楽しい。

ふぃっしゅ数マンセ−

アッカ−マン函数のもつ急激上昇率をこれだけ無駄なく使った関数は無いよ
数学の持つ破壊的な力を実感したです。

グラハム数は1974年頃に発表された数で、ここ２０数年来この数が巨大数の
代名詞になってたわけで、いくら意味が無いとはいえ、違うアプロ−チで
大きく超えたことになんか感銘を受けました。

いろんな人が、しつこく質問してくれて、創作者もていねいにそれに答えて
くれたおかげでその巨大さの全貌が見えた。　よかったです。
えてきて

＜えてきて＝誤植　スマソ

>>403
んじゃ、「ふぃっしゅ数に近い数字をふぃっしゅ数を使わずに」でも
構わんよ。

みんな騙されてるな。

「じゃあ俺、今まででてきた数＋１〜♪」
「じゃあ俺、今まででてきた数×２〜♪」
「じゃあ俺、今まででてきた数だけ↑が挟まってるやつ〜♪」
こういうのは禁止されてるらしいが、
彼らは巧妙に自分で出した最大の数に対してそれを１レス内で行ってるだけだ。

しかもタワーなんか相手にならないくらい発散の仕方がデカイやり方で、
しかもグラハム数の間にグラハム数だけ↑が挟まってる数が０に見えるくらいたくさんの回数！

-1×（このスレ内にあるすべての数の和の絶対値）

このレスにより「今まででてきた数＋１」等は最大でなくなる。

>>413
今までで出て来た最大の数
のことだろ。
あなたの数は適応されません

ふぃっしゅ数の大きさをうまくたとえることはできないかな

１秒に１兆回の演算をするコンピュータで計算すると何年かかるとか、
大きさを実感できるような表現はないだろうか

>>415
グラハム数でも「実感できないほど大きい数」だからなぁ・・・

πを書き出した時に、
はじめてふぃっしゅ数がふぃっしゅ数回正確に繰り返される桁数
ふぃっしゅ数とは･･･(以下略)

なんかこのスレ見てると、
現実から抜け出しそうになる。

「ふぃっしゅ数の桁数×ふぃっしゅ数」をnとしたとき、
どの程度のオーダーになる？

けっこう楽しんでもらえたようで嬉しい

>>420
厨な俺もふぃっしゅ数のでかさに驚愕したいがむずくてわからん。
大学入ったらその時にこのスレのログでも見て
ふぃっしゅ数のでかさに泣くとでもしようかな。

久々に数学版を見に来たのだけれどこんな良スレ見れて良かった。
ログ保存してのんびり読むぞ〜

一番でかいティムコ出した奴が優勝

いざ鎌倉時ですか？ ＞ 423

数直線の0と1の間にある点の数

>>425
それが有限であることを証明せよ

>>417
ふぃっしゅ数がふぃっしゅ数回正確に繰り返された時の、最後の桁が最低位の数となるような自然数。
のほうが大きいかな。

>>427
円周率のどこかのスレに書いてあったように、一様分布性が証明
されていない、つまり有限の数であることが保証されていない
ところが弱点かな。

一様分布性を仮定すると、ふぃっしゅ数=nとしたときに
log_10(n)*n桁の数が繰り返されるわけなので、
10^(log_10(n)*n)=n^n桁程度繰り返せば、かなりの確率で>>427
の桁数を超えると思う。すると、10^(n^n)程度の数だろうか？
期待値はそれよりもかなり小さくなりそうだが。

この計算はあまり自信なし。

>>428
とりあえず、仮に円周率とふぃっしゅ数が全く同じ並びだったとしてもふぃっしゅ数より小さくはならないだろうな。
ちなみに123456789が並ぶのは50億桁よりもっと下なので、実際には相当大きな数字になると思われるが、
とりあえずふぃっしゅ数って何桁？πの計算って数千億桁までしかいっていないような気がするんだが･･･

ふぃっしゅ数の桁数は、およそlog_10(ふぃっしゅ数）桁で
あると書く以外に表現のしようがないほど大きい数です。
πの計算がふぃっしゅ数桁まで現実的に計算で求めることは、
現実的には無理でしょう。

>>430
999^999^999^999^999
よりもふぃっしゅ数大きいの？
タワー使ったりして
999↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑999
ってやるよりも大きいの！？
というか
グラハム数↑↑↑↑......（グラハム数回）グラハム数
よりも大きいの？よぅわからんけど凄そう。

>>431
そう、どれよりも大きい

てか、タワーって何？

「なるべく簡単な数学で理解できるように」だととんちみたいになっちゃうかな？やっぱり？

グラハム数の、入り口の３↑↑↑↑３でさえ下のようになってるのに、桁数を言えるはずがない

以下グラハム数スレより　コピペ

3の3.6兆桁乗は、10進法の数字で表記すると現在の観測可能な宇宙には、プランク定数ぎりぎり
の極微粒子があったとして、びっしり宇宙に詰められたとして10の200乗個つめられる。
その宇宙がその微粒子の1個として、また10の200乗個集まって宇宙をという繰り返しをおよそ
100億回繰り返し、そこにある粒子のひとつひとつを並べると粒子一つが、この数字の一桁の数字
になるだろうが、これを宇宙100億段階とでも名付ける。とすると3↑3↑3↑3↑3↑3は　
3↑宇宙100億段階になる。さらに3↑3↑3↑3↑3↑3↑3は、およそ3↑宇宙1.6兆桁段階
（1.6兆段階ではない）になる。さらに3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3は‥‥‥もう無理ですね。
しかし、最終的には3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3……………と矢印が無限の彼方ぐらいまで続いてるんだから‥もう‥‥。」

3↑3↑3↑3↑3↑3は前記で表すと宇宙1.6兆桁段階と表せますが
その宇宙1.6兆桁段階で、そこにある粒子の粒を数字に置き換え、その数だけ今度はまた宇宙の段階を重ね
その宇宙に存在する粒子を数字に置き換えて表した数だけ宇宙の段階を重ねるという繰り返しをして
いつ頃3↑3〜7625597484987回〜3↑3にたどりつく（普通の１０進法で表した数の桁数になる）か？
　
およそ３兆６０００億回繰り返すとたどりつくようです
そして、その数だけ3↑↑3↑↑3〜3↑↑3↑↑3の間に3があって、それを後ろから計算していくと
後ろの3つの3が消えた段階で、後ろに上記の数だけ3と↑が並ぶわけで、そこから先はさすがに
宇宙○○段階という表現では、言い表す事は難しいと思われます

これが、グラハム数の入り口の“小さな”3↑↑↑↑3という数です

436よりはるかにはるかにばかでかい（でかすぎて言いようがない）グラハム数
が、ほとんど０に限りなく近い存在にしてしまう“ふぃっしゅ数”は桁数どうの
という問題ではない。
　何億桁、何兆桁、何無量大数桁なんて小さすぎて、ここで扱う数を表現するには
10ｃｍ定規で宇宙を計ろうとするほうがまだ現実味があるくらいの隔たりがある
グラハム数桁でも、何の役にも立たない。

もうまず、10進数じゃ無理みたいな。
グラハム数進数で・・・みたいなノリか。
もしくはもう「桁」とかそういうのでなんとかできる数じゃない。
数学的かつ身近にはほぼ絶対形容できないほど。
俺のｱﾌｫ度でもさすがにふぃっしゅ数越えは出来ん。

>>407
「ふぃっしゅ数」は6文字ですが何か？

グラハム進数でグラハム桁でも、「たかが」グラハム数の
グラハム乗程度。ふぃっしゅ数には遠く及ばない。

グラハム進数でやって
グラハム数をグラハム数回階乗

でも遠く及ばない・・・というか及ぶ気配すらない。

グラハム進数でグラハム数を書くと10になる
なんだか小さく見えるけど、数の大きさが変わるわけではない
当たり前だが

ふぃっしゅ数のＳ変換1回目は

[3,f(x)=x+1]にＳ変換を1回すると、
　B(0,n)=n+1
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)
となるので、B(m,n)はあｋｋ−あまん関数と一致し、
g(x)=A(x,x)となるため、
　S:[3,x+1]→[A(3,3),A(x,x)]
となる。

Ｓ変換2回目は

　B(0,n)=A(n,n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

　g(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,A(1,1))
　　　=B(0,3)=A(3,3)=61
　g(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,B(1,61))
　　　=B(1,B(0,B(1,60)))
〜g(61）＝グラハム数はるかに越え

でS変換3回目は
gg(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,g(1))
　　　=B(0,61)=g(61)
　gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))
〜gg(g61)＝超でかい

このあとＳ変換4回目があったとして

〜ggg(gg(g61）という馬鹿でかい数が出たとしてこれをＰとします

Ｓ変換が4回終わったので、次はいよいよＳＳ変換に突入しますが
Ｓ変換4回分＝新Ｓ変換とすると、巨大数Ｐを新Ｓ変換という関数で巨大化させて
出た数字が【Ｐ】だとして、【Ｐ】をＰ回だけ新Ｓ変換した数ということだと思いますが
ここで疑問なのは、Ｐにしても【Ｐ】にしても、再度Ｓ変換にかける時の最初に上記の
Ｓ変換1回目の関数で増大させるのか――（3.3）＝61というak関数で処理するのか
　　　　　　それとも、2回目以降の――g(x)＝g(61)というg関数で処理するのか
それとも、どっちでも同じ結果になるのか？
それとＳＳ変換は、1回目Ｓ変換を4回　2回目新Ｓ変換(Ｓ4変回ぶん)をf(m)回
3回目新新Ｓ変換（新Ｓf(m)回ぶん）をｆ(f(m)）回という増え方かな？？

一部訂正します（あと長すぎたので一番下は、そのままもう一回書きます）

Ｓ変換が4回終わったので、次はいよいよＳＳ変換に突入しますが
Ｓ変換4回分＝新Ｓ変換とすると、巨大数Ｐを新Ｓ変換という関数で巨大化させて
出た数字が【Ｐ】だとして、【Ｐ】回だけ新Ｓ変換した数ということだと思いますが
ここで疑問なのは、Ｐにしても【Ｐ】にしても、再度Ｓ変換にかける時の最初に上記の
Ｓ変換1回目の関数で増大させるのか――（3.3）＝61というak関数で処理するのか
　　　　　　それとも、2回目以降の――g(x)＝g(61)というg関数で処理するのか
さらに、ＳＳ変換は、最初の1段階目からカウントするのか？
それとも4段階目のggg(gg(g61)を基準として、5回目以降に代入して計算していくのか
その5回目以降をＳＳ変換の回数としてカウントしていくのか？
それとＳＳ変換は、1回目Ｓ変換を4回　2回目新Ｓ変換(Ｓ4変回ぶん)をf(m)回
3回目新新Ｓ変換（新Ｓf(m)回ぶん）をｆ(f(m)）回という増え方かな？？

質問ダラダラ書いてごめん
よく考えるとＳＳ変換2回目は、すでにＳＳ変換1回（Ｓ変換4回）で巨大数ｍと巨大関数
がもとめられてるので、そこからスタ−トして
2回目以降の――g(x)＝g(61)というg関数にf(m)回繰り返し代入して値を求めていくという
理解でよろしいのかな？

で、ふぃっしゅ数はギネス申請かー。
Fisshu Number is the biggest

ふぃっしゅ数
まだアイマイな部分が多いのかな
やっぱ、数である以上。1違っても良くない
定義が細部にわたって徹底しないとな
まあ、数学専門家から見れば徹底してるのかもしれないが、
質問が出てるということは、まだ読むほうの理解が足りないのかな

俺は数学の専門家じゃないけど、ふぃっしゅ数の定義は
俺にとっては分かりやすかった

ただ、どんな人にも分かりやすく説明するのはけっこう
大変かもね

「数、関数、写像」の組から「数、関数、写像」の組への
写像、という考えをすんなり理解できる人は少ないかも

で、俺としては「大きな数」といったホームページを
誰か立ち上げないかなと思ったり

スキューズ数とか、グラハム数あたりの解説から入って、
最後にふぃっしゅ数の説明をする

ギネス申請云々は、ある程度知名度があがってからだろう
そのためには、まずは一般受けするサイトがないと

要するにＳＳ変換1回（Ｓ変換4回）の数＝ｍを、ＳＳ2回目の変換回数を
求めるためにＳ変4回分の巨大関数ｆに代入するってのは

最初の1回目のＳ変換の所の（3.3）の3の部分に代入して（Ｐ.Ｐ）
とやってＳ変2回目に進むのか？　それともｘ＋1の所に代入して（0.ｎ）＝Ｐ＋1とやるのか？
それで（3.3）を計算して値を求めるてＳ変2回目に進むのか？
ようわからんのじゃ‥‥447さんでもイイ、教えて！

>>447
知名度っつーか数学的意味があるかないかの問題。
グラハム数は単に一番でかいからギネスに載ったわけではない。

>>448
混乱している様子がうかがえるね

SS変換２回めは、SS変換１回目に生成された巨大数、
巨大関数、巨大変換から生成される。

巨大数、巨大関数はそれぞれSS変換１回（S変換４回）
によって生成されたもの。その生成された巨大数を、
巨大関数に代入すればいい。ここでいう巨大数、
巨大関数は、>>442の書き方だとそれぞれ
P,gggg(ggg(gg(g(x))))となるので、
gggg(ggg(gg(g(P))))となる。

>>449
たしかに、ギネスは無理っぽいね

>>450
それはＳ変換で言うところの2回目以降のｇ関数に代入した場合だと思うが
1回目のak関数に代入するわけじゃないのかな？

1回目だけスタ−トだからしょうがないが、ｇ関数とは違う形じゃない？

>>451
あれ、数え間違えたか？ちょっと整理。

S変換1回目でできる関数 A(x,x)
S変換2回目でできる関数 g(x)
S変換2回目でできる関数 gg(x)
S変換2回目でできる関数 ggg(x)

で、関数にそのまま代入するのだからggg(P)になるわけか

いやはや、具体的にネスト構造を追っていくと混乱するね

>>450　――それは百も承知、質問したのはその事ではない

それと前も聞いたが、gggg(ggg(gg(gＰ)で求めるのはＳＳ2回目の新Ｓ変換の回数
でしょ（新Ｓ変1回＝初代Ｓ変4回分）
そこから始まるgggg(ggg(gg(gＰ)回の新Ｓ変換の1回目は、またスタ−ト地点に戻るのか
それとも、Ｓ変換5回目（Ｓ変4回の数値を5回目に代入して）から再スタ−トするのか？
それによって最終的な値が違ってくるでしょ？
どっちなのかな‥‥‥とそれも疑問

>>452
なるほど
ggg（Ｐ）ね、そう言えばふぃっしゅ氏のレスでも
Ｓ変4回で現れた関数を使ってという表現をしてたな
そうなのかな？？

http://hadakaa.return.to
最近のネタ場です。俺はロリ好きだからどうかわからんが、好きな奴は逝ってくれ。サンプルならタダでもらえるぜ。ネタには十分だとおもうよん、、
　　┌─────────
　　　│俺の夜の楽しみを邪魔する奴
　　　│ はこうなるぜ。。
　　　└─V───────
　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　　　（　´_ゝ｀）
　　　　　　（　ヽ＿　 ⌒,ヽ、
　　　　　　　lヽ＿ 　ｿ ￣_/
　 　 　 　 　 l　　　 '　 ~ｌ
　　　　　　　 l　　　神　 ｌ
　 　 　 　 　 （　 　　　 ﾉ
　　　　　　　　ヽ　　ｙ　l
　　　　　　　　　ヽ　 ヽl
　　　　　　　　　　ヽ　 ）
　　　　　　　　　　 ｌ　 ｌl　　　　　　　　　　　　　
　　　 　 　 　　 　 l　 l.l　　 　　　サンプルでヌキすぎた、、　　　
　　∩　　　 ∩ 　 l　 ll　　　　 ＿＿＿＿＿ 　 ＿＿＿＿＿＿＿＿│　　∫
　　 ）`i＿　 ）`i　　l　l ＿＿＿＿＿ 　　　＼／
　　（　　 ￣￣⌒￣￣　 　　　￣ ― _ ＿＿ 　　　　_　 _
　　　￣￣￣ ⌒─‐＿＿＿／　 _ノ`（ ；、Д, ）＿￣ 二､`っ^つ)
　　　　　　　　　　　　　　 ／　／　　　∨￣∨　　　￣　　　￣
　　　　　　　　　　　　　 ／ ／
　　　　　　　　　　　　 （ __( J

せっかくいいスレになってきたのに‥‥。

タワーはかなり増加効率の高い演算子だけど、
タワーよりも増加効率の高い演算子はいくらでも考えられる。
↑↑↑↑を適当な演算子に置き換えたりね。
でもこのスレ見てて思った。
そんなことやっても、
結局はタワー使えば容易に表現できる程度の演算子でしかない。
『^』→『3↑↑↑↑3』で増加効率が爆発的に高くなったのに比べれば、
「その程度の伸び」でしかないんじゃないか。
……という観点から、
何か面白い演算子考えつかないものかな。


ｽﾏｿ、日本語不自由でうまく考えつたえられないぽ。

一番でかい数

http://profiles.yahoo.co.jp/tengaiten2002

タワ−が
３↑３が３＾３ではなくて３＾３＾３だったらどうだろう
つまり、右側の数字の数だけ指数の塔が積みあがるという事
３↑３↑３＝３↑(３＾３＾３)＝３↑約７兆＝３＾３＾３＾３〜（７兆回)〜３＾３
グラハム数よりでかいぞ
ふぃっしゅ数のｇ（61）くらいまではいくかな？

答えが無いので、まとめるとこんな感じかな

ＳＳ変換1回目で得られた巨大数Ｐをggg()関数に代入して巨大数【Ｐ】を求め

ＳＳ変換2回目はＰという数を　
新Ｓ変換＝「ggg()の関数にひとつ前のｍを代入する変換、この場合のひとつ前の数はＰ」
という新Ｓ変換を【Ｐ】回繰り返す。この時新Ｓ変の関数ggg()は便宜的にg()という形に戻す

このＳＳ変換2回目によって得られた巨大数をＲとして、gg〜(ＳＳ変換2回目の新Ｓ変の回数）〜gg（　）関数
に代入してさらなる巨大数【Ｒ】を求める

ＳＳ変換3回目はＲという数を
新新Ｓ変換＝「gg〜(ＳＳ変換2回目の新Ｓ変の回数）〜gg（　）関数にＳＳ2同様ひとつ前のｍを代入」
という新新Ｓ変換で【Ｒ】回変換させる変換　（またgg〜gg（　）関数はg()に戻す）

なんて感じでしょうか？？？

age

宇宙にある素粒子とかの「組み合わせ」なんかでふぃっしゅ数を表現できないかな
今後10の100乗年間の宇宙の全粒子が位置をどう移動していくか、の考えられる
組み合わせの総数だとか

>>463
グラハム数なら数学板のどこかのスレに
ある団体が委員会に入っている組み合わせがなんたら…って
結構現実的なイメージの話が書いてあったけど。
不可能ではないはず。

ただ、俺がいつも思うのは初期値を「宇宙にある粒子」にする意味はあんまりないと思うぞ。
増加のプロセスのほうが大事だ

じゃあ私は無限数で

わけわからん

しばらく見なかったら、また盛り上がっていますね
>>452 >>461 が正しいと思います

>>463
「どう移動していくのか」については何を変数とするのでしょう
座標(x,y,z)や速度ベクトル(vx,vy,vz)を変数とするのであれば、
それらが連続関数である限り取り得る値は無限になります。

>>457
本質的なところですね
この点については、もう少し考察をすすめてもいいでしょう

>>449
そういう考え方もできますし、そもそも「一番大きな数」は
存在しないので「○○の中で一番大きな数」としなければ
意味がなく、その意味で「論文に掲載された中で一番大きな数」
というのは一つの指標になるでしょう。

ふぃっしゅ数、あるいは類似の数を論文に公表したり、本に
書いたりする人が出ればギネス認定も可能かもしれませんが、
その場合には「意味があるかどうか」は重要ですね。

>>467
おや、名前のクッキーが消えていた
また、>>457について書き込もうと思います

さて、Ackermann関数はそもそも「どんな原始帰納的関数よりも
増加の割り合いが大きい関数」ができることを示すために考え
られた。そこで、

　原始帰納的関数→１項漸化式
　Ackermann関数 →２項漸化式

とすると（３項漸化式のAckermann関数もありますが、２項でも
同程度の増加率をあらわせる）、２項漸化式を考えることで
どんな１項漸化式よりも増加率の大きい関数を考えることが
できる。

ここで、漸化式をたてるときには「演算子」または「関数」が
必要となる。四則演算やベキ乗、階乗などの関数は、すべて
たし算から１項漸化式により定義できる。ところが、Ackermann
関数は１項漸化式ではおいつかないほどの大きさの関数である。

さて、グラハム数は２項漸化式(Ackermann関数)に、さらに
１項漸化式を重ねることによって得られる数である。
このことを、
　２項×１項
と表記する。S変換は関数に２項漸化式を重ねることを意味
するので、たとえば[3,x+1]にS変換を４回重ねる関数は
　２項×２項×２項×２項
となる。

１項漸化式を重ねる程度では、２項漸化式には到底おいつかない。
>>457は、そのことを感じ取った発言だろう。

それでは、３項漸化式をたてるとどうなるのだろう。

３項漸化式、n項漸化式については、検討しようとしてはいたの
だけれどまだしていないので、ぜひしてみてください。

というか、そもそもAckermannはそこまで考えていたのかどうかも
知らないので、専門家の方がいましたら教えて下さい。

いくつかの設問をしておきます。答えは私も分かりません。

1. Ackermann関数の自然な拡張として、３項漸化式、さらには
　n項漸化式を考えるとどうなるか？
2. ３項漸化式と、２項漸化式を２回繰り返した関数はどちらが
　増加の程度が大きいか？３項漸化式と、２項漸化式をn回繰り
　返した関数はどちらが増加の程度が大きいか？
3. ふぃっしゅ関数をn項漸化式であらわすことは可能か？
　可能であるとすれば、どのように書くことができるか？

最初は、n項漸化式のあたりから考えようとして>>297に
「n階のAckermann関数」という書き方をしたのでした。

KING KAZU


これ、最強

(-_-)ｼｰｿ

てｓつお

ふぃっしゅ氏はやはりこのスレに無くてはならない人だね
と、あらためて思いました。

そういえば、日本の人口は1.3億人だけど、
日本に生まれた人の延べ人数（死んじゃった奴も含む）って
どれくらいの大きさになるんだろ。

ちとグラハム数について質問

紙に，99999+999999+999999+999999+999999+・・・って書いていっても
99999*99999に到達するのははるかかなた．

紙に，99999*99999*99999*・・・って書いていっても
99999^99999に到達するのははるかかなた．

そして，99999^99999^99999^・・・って書いていっても，
99999↑99999に到達するのははるかかなた．

さらに，99999↑99999↑99999↑・・・って書いていっても，
99999↑↑99999に到達するのははるかかなた．

まだまだ，99999↑↑99999↑↑99999↑↑・・・って書いていっても，
99999↑↑↑99999に到達するのははるかかなた．

そして↑↑↑↑なんてもっとかなた．

ところで，a1=3↑↑・・・（↑が3↑↑↑↑3個）とし，（この時点でもう笑える
a2=3↑・・・（↑がa1個）
a3=3↑・・・（↑がa2個）
とやっていって，グラハム数はa63くらい，ってことでいいの？

勘違いしてるかもしれないので検討お願いします

>>477
まあ、所詮は6より大きいって程度だよ。

宇宙に存在する原子の数は？

このスレタイの真の意味は、「１０００ＧＥＴした奴が優勝」だと思うのだが？

＞４８０
仮に俺が、
「１０００をゲットした奴が書いた数に１を足した数」
と言ったら？？？
もしかしたら循環してしまうかもよ？

>>32
あれか？月面基地のコンピュータで、エネルギー係数を算出した
結果とか？

>>479
スレ読めよ
10＾80個程度の数（このスレではゴミのような数）って書いてあるだろ

一万円

>>476
　今までに生まれた人間の数は、今現在生きている人間の数の
　2倍程度らしいよ。（マジ）
　人口増加率が違うからね。

日本じゃなくて、世界の話ね

んで今現時点で一番大きな数はどれ？

一番でかい答えになる問題出したやつが優勝ってスレたてよか

１万円はでかいだろ

>>489
言えてるな
いくらグラハム数やフィッシュ数が大きくても，
一万円の方がはるかにでかいような気がする

>>481
それでも>>1000は>>1000、
お前は所詮半分以下の>>481だろ。

>>490
グラハム数はいくら？

>>492
10円くらい

>>490
それって、つまり
「うちの町内の少年サッカ-大会の方がＷ杯より規模がでかいと思う
　２日間で８チ−ムが出場して６０人も観客がいるんだよ！
　だいたいＷ杯って規模が大きいって言うけど
　俺はよく知らないし、実感したことないもん」
というような事でいいですか

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999^999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
Qaho? Ayes.

演算詞 ×(n) を次のように定義する。
　a ×(n) b ＝ a ×(n-1) a ×(n-1) … ×(n-1) a　（b 回くりかえす。後ろから順に計算する）
　×(0) は＋（足し算）

で、９ ×(99) ９
ってのは、どんくらいでかい？

って、それがグラハム数なのか。逝ってきます

>>467-471
反応が薄いので、少し考えてみた。とりあえず３項漸化式の例。

B(0,0,c)=f(c)
B(a+1,b+1,c)=B(a,B(a+1,b,c),B(a+1,b,c))
B(a+1,0,c)=B(a,1,c)
B(0,b+1,c+1)=B(0,b,B(0,b+1,c))
B(0,b+1,0)=B(b,1)

ためしに、いくつかのB(1,1,1)あたりから少しずついろいろな
値を代入していくと感じがつかめるだろう。

おそらく、n項漸化式で2項漸化式を(n-1)回繰り返すだけの効果を
持つと予測する。とりあえず、いろいろな値を入れてみましょう

a(0)=9極
a(n)=(a(n-1)!)!
a(a(n))!

３０文字部門に挑戦してみた。しかし勝ってるのか負けてるのか・・・

>>499 9極って何?

しまった。数値確定してない（汗
修正版です

a(0)=9極
a(n)=(a(n-1)!)!
a(a(9極))

計算の仕方が想像できない

1極=10^48ですが、説明いる？

>>502 なるほど、数の単位か。 了解。

>>501 >>297の方が大きいように思う`

>>297の99!のところを9極!にすればもっと大きくなるな

日本語の数字の単位は使わない方向だったと思うが。

>>498
新たな展開の予感

>>506
たしかにあった。
さらに297に大負けしてるのを理解できた。

ところで、
n=結構大きい数として
tan(π/2-1/n) の方向で考えているんだけど、nとtan(π/2-1/n)の関係って
どんなものなんだろうか？

>>508
うん、その調子でいろいろと考えてみよう

nがけっこう大きい数なので、
tan(π/2-1/n)≒sin(1/n)≒1/n
といった感じかな。

>>509
じゃない、誤爆
tan(π/2-1/n)＝1/tan(1/n)≒1/(1/n)=n

（本当に最後に大きい数を決定した物が言う数の＋１）
とか言うと、いつまでも決まらない。

だからそういうのはナシと決めてあるだろ。
いい加減にスレ読めよ。
真のルールが>>1　じゃないのはまずいと思うケドサ。

n
ただし、nは自然数とする。

0の0乗。

0乗ってのは1だって知ってた？　>>514

摩訶不思議

>>515

>>511
有限の数ではないので却下

あけ

あげてみるtest

俺に惚れた女の数。

i++
か
i=i+1

i=i+2

同じパソコン使ったら、おれのほうが１だけの差で勝つ可能性もある。

1/0 はだめ？

M1=グラハム数
M2=グラハム数
M3=グラハム数

For N1 = 0 to グラハム数
　M1 = M1 ^ M1
　For N2 = 0 to M1
　　M2=M2^M2
　　For N3 = 0 to M2
　　　M3=M3^M3
　　Next N3
　Next N2
Next N1
Print M3

Run

>>521は最下位

俺が振られた女の数

>>527
なんとなくふぃっしゅ数のほうが大きそうな気がする。
だれか証明して。

main()
{
　　　　int c =0;

　　　　while ( c <= ふぃっしゅ数 ) {
　　　　c++;
　　　　}
　　　　
　　　　printf ("フィッシュ数を超えた数：_%d\n", c);
}

>>530
残念ながらintでは最大2147483647までしか表せません。（32ビットの場合で）
したがってその場合無限ループです。

つーか最後の
「printf ("フィッシュ数を超えた数：_%d\n", c); 」
でとてもじゃないけど処理が終わらない罠。

ルールは基本的には
>>114
だよな?
面白そうなので参加してみようかと思うがちょっと質問
自己言及的なものは禁止というのは
「○○が言った数＋１」とか「このスレで一番大きい数＋１」
みたいなものが禁止ということだよな
それで、帰納的定義の使用可否について。

フィッシュ数、グラハム数ともにアッカーマン関数が使われているけど
アッカーマン関数自体が、原始的帰納関数でありながら
帰納的関数でない関数の例として有名でもあるらしいので
（関数の形としては帰納的関数だが、機能的にはそうじゃないってことか？

「アッカーマン関数のような定義の関数は例外として使用してよい」

「帰納的関数は使用してよい」

のどっちなのか今のルールではよくわからない
（どちらも不可にすると「ふぃっしゅ数」はルール違反ということになる？
漏れ的に、ルールとしては下のほうが面白いと思うが…
（アッカーマン関数のような増加率を誇る関数を誰か作るのが少し楽しみ
これってここまで暗黙のうちにこれまでやってきてるよな？
長文ｽﾏｿ

>>533
数学的にある一つの実数に定まっていなければならない。
（「無限」「抽象的なもの」「物理的なもの」「自己言及的なもの」など禁止。）

ここでいう「自己言及的なもの」は、ちょっと分かりにくい表現だが、
「１つの実数に定まる」ために必要な条件で、たとえば「このスレで
最大の数+1」と書くと、その発言が最大の数となれば「このスレで最大の
数」は自分自身になるので定義されない。また、「100文字以内であら
わせる最大の数」的な発言も、自己言及的なため１つの実数に定義
されない。

帰納的関数についてはいくらでも使用してよく、それがだめになると
なにもできない。;)

>>534
補足すると、仮に「このスレのこの発言以外で最大の数+1」と
書くと、その発言だけでは自己言及的にはならないが、同じ
発言がもう１回されてしまうと、お互いにおたがいを参照する
(循環参照)ために、定義されなくなる。このことも、広い意味で
「自己言及的」となる。すなわち、１つの実数に定義される
保証がない発言はだめ。

>>534,535
補足説明ｻﾝｸｽ
だいたいルールは理解したからさっそく取り掛かろう・・・と思ったけど
例えばもしグラハム数より大きい数を作ったとしても
比較する手段がなければこのスレ自体ナンセンス
なにか比較する手段を考えなければならないと思われ

グラハム数なんて
logをとるのをそれこそ無量大数回くりかえしても
まだ無限大のごとき大きさになるような…

ここで、対数関数の拡張！という考えは必然の流れと思う
幸いなことにグラハム数、ふぃっしゅ数ともにアッカーマン関数が
使用されているからこいつを利用すれば
少なくともこの2数がどのぐらい違うのかが理解できると思うのだがどうだろう
とりあえず用事があるので続きはまた帰ってから考えよっと

10進法で表すより９９９進法で表したほうが同じ数字使ってもでかくなる。

536
がんばって下さい、グラハム数は少し数学の素養がある人はわりと簡単に越えられそう
ただ、ふぃっしゅ数以上はちょっとムリなような気がしますが。
（ふぃっしゅ数で使用された関数を使用しない、という条件の場合ですが）
537
上の方でグラハム数進法が出てますよ

とりあえず、2項のアッカーマン関数のプログラム組んで実行してみた
んで、少し実験してつかんだイメージ

一、A(0,y) = y + 1
ニ、A(x+1,0) = A(x,1)
三、A(x+1,Y+1) = A(x,A(x+1,y))

という定義だとすると
イメージとしてA(x,0)をｘ次元だと考えると
初期値として自然数列が与えられてA(1,a)=a+2
ここでa∈1を除く自然数の上を動く
A(1,a)からみてA(2,b)を一次元あがったものと考えると
こいつはある写像によって切り取られた自然数列の部分集合みたいなもんになる
b∈自然数の部分集合
(例えば一の定義だとA(2,b)は3,5,7,9,11,...の上を動く
次元が上がればそのひとつ前の次元の集合を母体として
さらに切り取っていくのでどんどん増加率が増えていく
ここである写像の増加速度は
一の式
に影響されているようなので
単純にこいつをA(0,y)=y+2に変更するだけでもとてつもなく増加率がふえる
ただし、この方法はなんだか味がない
99*99を99^99に変更するようなありきたりさといえばよいだろうか
実験してて気づいたのだがアッカーマン関数によって返される値よりも
アッカーマン関数が呼び出される回数のほうが圧倒的に大きいことがわかる
A(3,3)の値はまだ61（これでもかなり増加速度は速いが・・・)だが、
A(3,3)を計算するのに呼び出される関数の回数は2500回にもなる
一式の増加率をいじり、関数の呼び出された回数を保存する引数を追加すれば
とてつもない増加率を誇る関数が完成してしまう
（一式の結果を厨房的に増やすだけでA'(3,3)ぐらいでCのlong double型整数が
バッファオーバーフローするぐらいにはなる

こいつを使えばグラハム数を超えるのは楽勝で
ふぃっしゅ数はまだ詳しくみてないけど、単純に写像を2倍しただけなのであれば
ふぃっしゅ数を超えるのも可能だと思われ
少なくともアッカーマン関数を入れ替えて
その他の部分を流用すれば確実にふぃっしゅ数を超える
ただ、その他の部分もオリジナル色を出したいのでもうちっと考えてみる

あとは、それを比較するための道具を作ればいいわけだが…
まだまだ不勉強でアッカーマン関数と↑の対応がよく理解できてないので
そこから勉強しなければ
とりあえず指数関数←→対数関数という安易な発想で
アッカーマン関数と↑の関連ででてくる3↑↑↑3の3が対数の底になりそうな予感
でも、拡張しちゃうとまた面倒なことになりそうだな…

あと、断っておくけど漏れは全然数学とは縁のない身分で
漏れの脳内解釈的な不正確な用語がふんだんに使われてる可能性があるけど
ばしばし指摘してくれ
ひきこもります
では

>>539
がんばれ！応援してるぞ

>>539
ぜひ、いろいろと考えてみてください。楽しみましょう。

さて、>>498以降３項漸化式については特にふれられていない
ようなので、もう少しだけ書いてみます。

おそらく、n項漸化式で2項漸化式を(n-1)回繰り返すだけの効果を
持つと予測する。

という予測はただの「カン」だけど、このカンが正しいとして、

(1) ふぃっしゅ数において最初のS変換を1000000項漸化式に変えた数
(2) ふぃっしゅ数においてSS変換を2回増やして65回に変えた数

を比較すると(2)が大きくなる。なぜならば、SS変換を2回繰り返した
段階で、すでにS変換はS変換をものすごく大きな数、少なくとも
1000000回繰り返した数よりは大きな変換になっているので、それから
さらに63回繰り返すということは(1)よりもはるかに大きな数が
生成される。

このように、最初のS変換を(1)のように大きくしても、SS変換の
繰り返しをたった2回増やす程度の効果もないことになってしまう。

最初のS変換をｎ項漸化式とすると、今度はSSS変換を定義しないと
追いつかないほどの数になることでしょう。

ｎ項漸化式のアプローチは面白いけれど、定義が難解なため、
2項漸化式のままにしておく方がシンプルでいいだろうなというのが
現在の感触です。

おお、ふぃっしゅ氏が登場した

>>488みたいなスレでグラハム数超えたらギネス？

その数を使うために出来た問題で無ければ、
あと問題を解くのに無理にその数を使うので無ければ、
ギネスになるかもね

ところで、俺はいまだにグラハム数に出てくる委員会問題の意味が
できていないのだが、みんな理解しているのかな？

英語の原文を調べてみたところ、
http://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html

The smallest dimension n of a hypercube such that
if the lines joining all pairs of corners are
two-colored, a planar complete graph of one color
will be forced. Stated colloquially, this is
equivalent to considering every possible committee
from some number of people n and enumerating every
pair of committees. Now assign each pair of
committees to one of two groups, and find the
smallest n that will guarantee that there are four
committees in which all pairs fall in the same group
and all the people belong to an even number of
committees (Hoffman 1998, p.�54).

n人の人がいる。まずは委員会をわけることになる。
そして、２つの委員会の組を「グループ」に分ける、
というあたりから分からなくなり、だんだん頭が
うにになってくる。

jhgjghj

１
―
０

だめ？

(´･ω･`)ﾀﾞﾒ…

（10！）！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

２

>>549
あまりにちっちゃい数字を出すからビックリしちゃったじゃないか。

>>551
もはやこのスレのテンプレだな

トリップつけてみた
どうも、タワーと関係してるほうのAckerman関数は微妙に定義が違うのかも?
関係する事柄を色々学ばないとだめだな

>>540
がんがります
でも、テストなのでしばらく引きこもります

>>541
ふぃっしゅさんこんちは
なんでもいいからこうやって数学のこと考えるのは楽しいですね
Ackerman関数を拡張したら任意の数値に対してきちんと値が
決定できるかという検証も必要になってきそう

((99極!)!)!

>>554
もうアホかと。馬鹿かと。

>>553
ふぃっしゅ数に関して言えば、値が一つの自然数に決定
されることは理論的に明らかだが、実際に計算するのは
無理だろうね。メモリと計算時間の制約がある。

>>556
ふぃっしゅ数はおろか、グラハム数ですら正確に計算するのは無理
なにしろ、全宇宙の素粒子１つ１つに１桁ずつの記憶をさせたと
しても、間にあわない数なんだから、10進法で表現しようとするのが
無謀。

そもそも、10進数表記をすることと３↑↑↑↑３といった表記を
することの間に本質的な違いはないので、グラハム数の定義その
ものがグラハム数を表現していると理解すればよいだけのこと。
10進数で表記する（＝計算する）ことにはさほど意味はない。

-1

>>557
10進法である必要はないが、一発で比較できる基準があると便利かな。

でも、数字が10進法だから比較時には10の何乗とかにしたほうが
少しわかりやすいYO

10の何乗という表現で表現しきれるような数ならばそれでいいけれど、
10の何乗か？ということを表現するための数が10の何乗になるか？
ということを表現するための数が…と、その繰り返しを何回するか、
ということを表現するために…

といった世界の話なので、「10の何乗」という表記ではとてもとても
おいつかない

要するに「10の何乗」といったような慣れ親しんでいる表現で
簡単にあらわせるような数ではない数についての話をしている
のだから、その数と同じ程度の大きさの数を別の表現法であらわす
ことは、とてもとても難しい

というか、少なくとも「○の×乗を△回繰り返して…」という
ような表現法では、とても書ききることはできないとんでもない
数について、このスレでは話題にしている。

ということを、おぼろげながらでも感じ取ってもらえれば
それでいいかと

>>317-320
これまでの書き込みで「いかにして大きな数を作るか」という
プロセスを一般化すると、大きな数と増加の程度が大きい関数を
生み出していくプロセスだと表現できる。
たとえば、「mという数にf(x)という変換をn回繰り返す」という
表現をするときに、m,f(x),nに使えるのは今までに定義された
数と関数のみ。そこで、数と関数を双方ともに帰納的に定義して
いくプロセスを追っていくことにする。


という書き込みではじまっている。つまり、たとえば10^(10^10)
という表記であれば、１０という数と冪上という関数から、
大きい数を生み出している。こういった数を定義するプロセス
そのものから見直した結果、そういった帰納的定義をまともに
書いていては追い付かないほどとてつもなく大きな数になった、
という点が面白い。

でかすぎ！

超でかいね！と言っておく義理

もうでかいとしか言いようが無いな
想像を超えてる。頭のなかで何かイメージ化しようとしても出てこない。
なんかグラハム数だと、宇宙のなんちゃらなんちゃらを宇宙のなんちゃら乗で・・・
とか言われていたので宇宙が積み重なってべき乗の形になってるような
まぁ不思議な図だが、これを思い浮かべて「でかいなぁ」と思っていたが
フィッシュ数。人間ってのは自分の理解を超えることを想像することはできないんだね。
どうやってもイメージ化されないよ。

ひとことで表すと「でかすぎ」

「天文学的数」が非常に小さい数の事を意味するスレはここですか？

大きい数の定義を「数え上げるのにより手間がかかる数」として考えてみると、
Winの関数電卓でも10万の階乗にとんでもない時間が掛かるのに気付く。いつも
複雑な3D処理を行っているマシンがこういう計算で時間が掛かっているのは
論理的に考えれば当たり前なんだけど妙な違和感があって面白い。
Pen3-1.2Ghz 512MB RAMの構成で100000!は結局時間が掛かりすぎる結果に
なったけど、「要求された操作には〜」のダイアログなしに計算完了するマシン
てある？
あと、他に関数電卓で実際に計算できる数で、すごく重い計算ってないかな。
階乗くらいしか思いつかんけど、できるだけシンプルな数きぼん。

コンピュータにふぃっしゅ数の計算をさせようとしても、
メモリや制限時間の制限でとても計算ができないことは
分かったけど、とりあえずプログラムを書いてみるという
のはどうだろう。桁数に制限のないinteger型の変数を
利用して、メモリの限界、計算時間の限界については
いっさい考慮せず、とにかく「プログラムを書く」ことを
目標とする。

S変換やSS変換を、スマートに記述するにはどうしたらいいか、
といったテクニックが問題になる。

もっとも、数学板でする話題でもないのでプログラミング系の
板でやれ、という意見も出るだろうが、プログラミング系の
板の人たちがこの話題に興味を持つかどうか。

最大の増加率の函数を使用した数であることは認めるけど
まだ、以下の部分の定義が不明瞭に思える

《疑問1》.　ＳＳ変換の１回目と２回目の接点
　　　　
　　　『ＳＳ変換1回目で得られた巨大数Ｐをggg()関数に代入して巨大数【Ｐ】を求め
　　　　ＳＳ変換2回目はＰという数を　
　　　　新Ｓ変換＝「ggg()の関数にひとつ前のｍを代入する変換、この場合のひとつ前の数はＰ」
　　　　という新Ｓ変換を【Ｐ】回繰り返す。』
　　　　〜という事だが、すると２回目のＳＳ変換の、さらにその中の最初の変換というのは
　　　　１回目のＳＳ変換の最後（４回目）のＳ変換で出来たggg(　）関数に巨大数Ｐを代入する
　　　　変換から始まるということなのか？？
　　　　Ｐはggg(gg(g61)))なので
　　　　Ｂ（１．２)＝ggg［ggg(gg(g61)))］
　　　　Ｂ（１．３)＝ggg［ggg［ggg(gg(g61)))］］
　　　　と進みＢ（１．ggg(gg(g61))）になり、後は同様にggg(ｎ）の増加によって
　　　　増大していくという事なのか？？
　　　　そうすると、１回目のＳＳ変換の最後(4回目)のＳ変換と
　　　　　　　　　　２回目のＳＳ変換の最初のＳ変換が同じggg(　)関数をダブって２回使用
　　　　することになるけど、それでいいのかな？？
　　　　それとも２回目のＳＳ変換の最初のＳ変換はgggg(　)関数、つまりg4個の関数を
　　　　使用するのか？どちらなのだろう？



このＳＳ変換2回目によって得られた巨大数をＲとして、gg〜(ＳＳ変換2回目の新Ｓ変の回数）〜gg（　）関数
に代入してさらなる巨大数【Ｒ】を求める

ＳＳ変換3回目はＲという数を
新新Ｓ変換＝「gg〜(ＳＳ変換2回目の新Ｓ変の回数）〜gg（　）関数にＳＳ2同様ひとつ前のｍを代入」
という新新Ｓ変換で【Ｒ】回変換させる変換　（またgg〜gg（　）関数はg()に戻す）

すいません、コピペの下半分消し忘れで変なレスになってしまった御容赦

《疑問2》.新Ｓ変換・新新Ｓ変換って？？？
　　　　　上記のコピペにも出てるが、ＳＳ変換2回目は新Ｓ変換を【Ｐ】回繰り返す
　　　　　となってる、この新Ｓ変換ってどの変換なの？
　　　　　ＳＳ変換1回目は最初のＳ変換を4回繰り返すんだけど、その最初のＳ変換
　　　　　と同様に新Ｓ変換もｇ(　)関数を使って拡大していくとすると、Ｓ変換も
　　　　　新Ｓ変換も同じ定義じゃないの？？？
　　　　　それとも、変換4回分を1回と数えてＳ変換４回分が新Ｓ変換１回分ってこと？？
　　　　　そうすると２回目のＳＳ変換は４×【Ｐ】回のＳ変換をするということなのか？？
　　　　　同様に、３回目のＳＳ変換で出てくる新新Ｓ変換は〔４×【Ｐ】回〕を１回分とｶｳﾝﾄし
　　　　　〔４×【Ｐ】回〕×【Ｒ】回のＳ変換をするということなのかな？？？？？？？？
　　　　　
　　　　　どっちでしょうか？？
　　　　　くだらないと思われるでしょうが、どうもスレ全体を読んでも掴めません
　　　　　みなさんはわかっているのかな？？　気になってしまったので、教えて下さい
　　　　　

>>570
一部、間違えました、すみません

もし上記のように2回目のＳＳ変換の最初にggg(　)関数を使うと
（ここから下が訂正部分です）
　　　　Ｐはggg(gg(g61)))なので
　　　　Ｂ（１．２)＝gg［ggg(gg(g61)))］
　　　　Ｂ（１．３)＝gg［gg［ggg(gg(g61)))］］
　　　　と進みＢ（１．ggg(gg(g61))）になり、後は同様にggg(ｎ）の増加によって
　　　　増大していくという事なのか？？

でした、右側のgggのgが1個多かったです

有限種類の記号の集合を固定したとするときに、
そのような記号を有限個ならべた記号列Sがあるとして、
その記号列の長さｎを指定したときに、
長さｎの記号列を使って記述できる整数の個数は有限で
あるから、その中に最大の値が存在する。
そこで、記号の長さｎに対応する最大の整数の値をM(n)
とすれば、ｎ文字の記号の列で表される最大の整数M(n)
こそが求めるものである。

メタリカのライブで俺が首を振った回数。もしくは
有賀美穂のビデオをはじめて借りた時に家に帰るまでの
俺の心臓の鼓動の回数。

>>574
余りにも小さい数でびっk（略

>>573
>>153のパラドクスがおきそう

>>570-572
g(x)という関数や、S変換は、変換のたびに変化する。
その点をよく理解していないと混乱する。
すべて別の記号になるように定義すれば混乱しないの
かもしれないけど。

質問者が混乱しているとき、質問者がなにを質問しようと
しているかを理解するのがとても大変

俺はなんどか読みかえしてみたが、混乱してしまった

変にggg(x)とか表記せずに、[m,f(x)]から、ある
S変換によって変換した[n,g(x)]を、つぎの変換では
[m,f(x)]と表記する

そして、[m,f(x),S]から、SS変換によって変換した
[n,g(x),S2]を、つぎの変換では[m,f(x),S]と表記
する、ということが分かれば、そのまますんなりと
理解できると思うんだけど。

記号を別々に書こうとすると、逆に混乱するよ。

>>579　ていねいに、どうもすいません

>>そして、[m,f(x),S]から、SS変換によって変換した
　[n,g(x),S2]を、つぎの変換では[m,f(x),S]と表記
　する、ということが分かれば、

つまり、ＳＳ変換2回目の最初の変換はggg(　)関数ではなく、gggg(　)関数を使うということですか？
そして、新Ｓ変換は上記のようにＳ変換を4×【Ｐ】回、
　　　　新新Ｓ変換は上記のようにＳ変換を4×【Ｐ】×【Ｒ】回ということですか？

この2点が聞きたかったのですが‥‥‥。

ふぃっしゅ数のｇ(　)関数の定義やＳＳ変換の増加のシステムは充分理解してます
ただこれらの一連の定義の中に欠陥（と言うと言いすぎかな？）があるように思え
上記の２点の定義が、明確に成されてない感じを受けるのです。
どうでしょうか？

>>580
定義はとても明確だけど、具体的に代入するときに
混乱しないように注意しないと

>>442 >>452 >>467
の流れでいくと、
ggg(P)=ggg(ggg(gg(g(61))))
ということになるね。たしかに、ggg関数を2回使うことに
なる。SS変換は、S変換をm回くり返す、というふうに
しておく方がきれいなのかもしれない。f(m)回の方が
大きいけど。

ふぃっしゅ数マンセー

新新Ｓ変換は上記のようにＳ変換を4×【Ｐ】×【Ｒ】回ということですか？

まあ、そういうことかな

S変換そのものが、SS変換ごとに変化する、という点が理解
できればすんなり分かることだと思う

SS変換n回目のS変換をS[n]と表記すればいいのだろうか

このあたりのrecursiveな定義を簡単に記述できる
プログラム言語はなんだろう、という意味で>>569は
おもしろそう

付け加えると、疑問なのは増加のシステム（関数）ではなく
【2回目以降のＳＳ変換】の内部で起きるＳ変換がどのように、何回行われるのか
という事が疑問なのです。
ＳＳ変換は、Ｓ変換をベ−スにして、その使用した関数を使って自身の変換回数を
驚異的に増加するシステムなのでしょうが、逆に言うとＳＳ変換はＳ変換が基盤に
無いと成り立たない変換なので、その内部のＳ変換の形態によって決定される変換
だと思います。

>>さらに、[m,f(x),S]から、SS変換(1回目)によって変換した[n,g(x),S2]
　を、つぎの(2回目の)SS変換では[m,f(x),S]と表記する、
とした場合、
普通にＳＳ変換をしない場合の5回目のＳ変換のｇ関数と比較して
ＳＳ変換2回目の中の最初の1回目のＳ変換のｇ関数はひとつ前の関数を
使用するためにｇがひとつ少ないｇ関数になりませんか？

>>585
は、あわてて追加レスしましたが、中々書き込めずに遅レスになってしまい
どうもすいません
なので、581以降答えていただいたものの内容も重複してます。すいませんです。

ベタな質問ですいませんが、
すると2回目SS変換の　1回目S変換＝1S、でggg(　)関数を使用した後は
2Sはgggg(　)関数、3Sはggggg(　)関数とｇが増えていくという
最初の形態に戻るわけですね？

http://go.iclub.to/ddiooc/
　　　　　
　　　　　i/j/ez/対応です

お役立ちリンク集
必ず役立ちます

　サイト管理者お役立ち集
　　　　1日4000ＨＩＴ以上
↓
http://kado7.ug.to/wowo/
　　　　　　
　　　　　i/j/ez/対応
　　　　
　　　コギャルとＨ出来るサイトはここ
ヌキヌキ部屋へ直行便

　　　　　　　　　↓
　　 http://kado7.ug.to/wowo/-a.htm
　　　　
　　　　　　　i/j/ez/対応

>>587
そういうことですね。この場合、いわゆるgggg(x)関数は、
ggg(x)関数に新S変換(＝最初のS変換4回)を施した関数、
といった意味になるでしょう。

どのように記号をシステマティックに定義するのが分かり
やすいのかな。たとえば、最初の組を[m[0],f[0](x),S[0]]
として、SS変換をn回施した組を[m[n],f[n](x),S[n]]と
書けばいいのだろうか。

そうすると、>>332はn回目のSS変換について
　SS:[m[n-1],f[n-1](x),S[n-1]] →
　　　[m[n],f[n](x),S[n]]
　ただし S[n]=S[n-1]^f[n-1](m[n-1])
　　　S[n]:[m[n-1],f[n-1](x)]→[m[n],f[n](x)]

と書ける。はたして、分かりやすくなるのかどうか。

元の書き方の方がすっきりしていて分かりやすいとは
思うのだけど、説明としてこのように表記してもいい
かもしれない。

tangentってすげーよな。

>>589 >>590
よくわかりました。ありがとうございます。
私のようにあまり数学が得意でないような者からすると、数式のすっきりした美しさ
より、細部の解釈がより気になるもので‥‥。これでやっと眠れます。

あ〜すいません。漏れもちょっと質問していいすか

>>589：そういうことですね。この場合、いわゆるgggg(x)関数は、
　　　　ggg(x)関数に新S変換(＝最初のS変換4回)を施した関数、
　　　　といった意味になるでしょう。

ということはSS2回目の中の新S変換1回目は
ｇｇｇｇ(1)＝ggggggg(gggggg(ggggg(gggg(ggg(gg(g(61))))))　
　　　　　　　※右のgは旧S変換で使用されたg関数の意
んで、新S変換2回目は、
ｇｇｇｇｇ(1）＝ggggggggggg(gggggggggg(gggggggg(gggggggg(ggggggg(gggggg(ggggg(gggg(ggg(gg(g(61))))))))))　

つ−ことかね？　新S変換1回につき旧S変換が4回ずつ増えていくんだろ？

あ〜、こっちのほうがいいかな？

SS2回目の中の
新S変換1回目は
ｇｇｇｇ(1)＝gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))　
　　　　　　　※右のgは旧S変換で使用されたg関数の意
新S変換2回目は、
ｇｇｇｇｇ(1）＝gggg(ggg(gg(g［gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))］)))　

つ-ことか？

ついでにもう少し直すと

新S変換1回目の関数をｇに戻す
ｇ(1)＝gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))　
　　　　　　　※右のgは旧S変換で使用されたg関数の意
新S変換2回目は、
ｇｇ(1）＝gggg(ggg(gg(g［gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))］)))　

これでどう？

百円

さらにもう少し直すと

左の新S変換1回目の関数をｇｇｇｇからｇに戻す
ｇ(1)＝gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))　
　　　　　　　※右のgは旧S変換で使用されたg関数の意
新S変換2回目は、
ｇｇ(1）＝gggg(ggg(gg(g［gggg(ggg(gg(g［ggg(gg(g(61))］)))］)))　

これでどうすかい？

>>596は>>304に勝ちました

>>304は>>307であぼーんされている
>>317-320, >>332が正しい参照方法
ややこしいので、ここらでまとめてもいいかもしれない

600げっと

左の新S変換1回目の関数をｇｇｇｇからｇに戻す
ｇ(1)＝gggg(ggg(gg(g【ggg(gg(g(61))】)))　
　　　　　　　※右のgは旧S変換で使用されたg関数の意
新S変換2回目は、
ｇｇ(1）＝gggg(ggg(gg(g【gggg(ggg(gg(g【ggg(gg(g(61))】)))】)))　

ところで、誰か答えてよ〜

>>600
それでいいと思います
意味は伝わっているようなので、あとはどういう表記が
一番分かりやすいか、ということですね
これについては、私もよく分かりません

ふぃっしゅさん！あんたを１日待ってたよ！（ずっとやってたわけじゃないが）
どうもありがとう！

結局１+１＝2の証明はどうやってやるの？

>>603
あんまり小さい数を出すからびっくりしたじゃないか！
って誤爆？

>>603
1+2=3
両辺から1を引いて
1+1=2

０

>>182の応用で「ふぃっしゅ数番目のメルセンヌ素数」というのは
どうなんだろう

これまた、メルセンヌ素数が無限に存在することが証明されていない
ので、はたして存在するかどうかは分からないのだけど

>>607
斬新！
すくなくとも増加率という点でいけばいまのとこ最強？
でも、無限に存在することが証明されてないのでOUT

○○番目の素数というのは、やはり従来の数学体系から引用されるものだから
悪いけど、誰でも思いつくし、価値がほとんど無いと思う
（実を言うと私もレスが100くらいの段階で考えました　自分を棚に上げて言うのも申し訳無いが）
たとえば最大の数ｍが定義されたとして
ｍ番目のﾒﾙｾﾝﾇ素数を抜くには、「ｍ番目のﾒﾙｾﾝﾇ素数番目のﾒﾙｾﾝﾇ素数」で簡単に抜いてしまう
独創性が無ければ似たような手ですぐに抜き返されてしまう
ふぃっしゅ数はｱｯｶ-ﾏﾝ函数をベ−スにして、ｵﾘｼﾞﾅﾙの超急激上昇関数を作った
そこに価値があり、アプロ−チの方法を競っていると言ってもいい
さらに「ふぃっしゅ数」自体を使用して大きな数を作っても
それは、半分が「ふぃっしゅ数」そのものの価値になってしまう
できれば「ふぃっしゅ数」を使わない方が望ましいと思う
‥‥‥‥とこのスレを見てきて思うんだが‥‥。

>>608
うん

そして、無限に存在することが証明されているものは、たいていのものが
その存在確率が冪乗などの初等関数で簡単にあらわされるため、S変換や
SS変換にはかなわないという罠

>>609
ふぃっしゅ数を使って新しい数を作るときには、>>541のように

(1)ふぃっしゅ数においてSS変換を2回増やして65回に変えた数
(2)SSS変換を定義したときに得られる数

あたりと比較するのがいいのでしょう。(1)を超えていないようでは
あまり意味がない。これまでに出て来たふぃっしゅ数を使った数は、
(1)を超えていない数がほとんどだと思います。

(1)を劇的に超えると、次は(2)との比較になるのでしょうが。

(10!^10!)!で十分でかいと思うがどうよ？

>612
厨だな

で、一番デカイ数って何文字制限で？

>>612
x→0 とした時の x くらいの大きさかな。

E(1,n):=n^n^n^n^...^n （∀n∈N）　（n回n乗する）
E(m,n):=E(m-1,E(m-2,E(m-3,...E(1,n)...)))　（∀m≧2,m∈N)
と定義した時の E(9,9)! って
かなりでかくありませんこと？

x!って速いよね

>>617
x^xより遅いけどな

僕はとっても頭が悪い厨房なのでふぃっしゅ数がいまいち理解できません。
そんな僕にもわかるようにふぃっしゅ数の大きさを説明してくれませんか？
ぜひともお願いします。

「説明不可能なほど大きな数」というくらいしかないのでは。
いや、まじで。

(´∞｀)

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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　━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ┛　　

>>623
ﾜﾗﾀ確かにデカイ。

>>623-624
既出ということはだまっておく方が幸せかもしれない

>>619
この宇宙において比較できる例えがない、くらい大きな数

であることは、すでにグラハム数でおなじみだが。
グラハム数は、なんとかイメ−ジぎりぎりで脳にひっかかるが、
（素粒子を１桁の数字に使って宇宙○○段階の○○くらい彼方というイメ−ジだが）
ふぃっしゅ数は、まったくひっかからない。
グラハム数を１としたとしてもグラハム数をはるかに越え（越えるなんてもんじゃないか）
ているし、その越え方をグラハム数を使って表すことすらできない

だいたい、イメ−ジつかめたでしょうか。

グラハム数年後に人類がいたとして、その時の【π】はふぃっしゅ数と同じ桁数まで
求められてない確立は100%。
この方がイメ−ジ湧くかな？

すみません、文学的才能がないものでどうやって表現していいか
分かりません。というよりも、私自身ふぃっしゅ数の大きさが
どの程度のものなのか想像できていません。グラハム数ですら、
どの程度の大きさなのか想像もつきません。

ただ、よく考えてみると、10^1000という数ですら、本当にその
大きさを想像できているか？となると、実はできていないのでは
ないでしょうか。冪上という演算を定義して、その演算を理解
するにつれて、だんだん10^1000はとてつもなく大きな数だ、
ということが分かった気になるだけのこと。それはつまり、
10^1000の大きさを私たちの頭が認識したというよりは、冪上の
定義を理解した、というだけのことでしょう。

ふぃっしゅ数の大きさについても同じことで、定義を理解して、
そういうものだと納得する以外には、説明がつかないと思うのです。

でかい数＋１って

物理板から来ました。面白そうなので覗いてみました。
はっきり言ってびっくりしました。
数学って、それ自体がひとつの宇宙を形成してますね。
物理も、もっと遊びの部分があるといいんですが。
こんな巨大数について考えてみたこともありませんでした。

あれだ。クラスNとかクラスNPのあれだ。そう。それ以上突っ込むな。

>>622
なんて（略

わたしが最初に巨大数字に出会ったのは、小さい頃のＳＦアニメ
そこには数百万馬力とか数万トンなど、私生活とは無縁の巨大数字の宝庫でした
知ってる人は知ってると思いますがケイブンシャの「原色怪獣怪人大百科」などの図鑑で
巨大数字をチェックして比較していました。（小学校低学年時）
　次に巨大数字の対象に成ったのはプロ野球です、野球の観衆の数などを年間通して比べたり
してました（この時は、巨大数字が好きなのではなく、対象物そのものが好きだと思い込んでいました）
　やがて高校生になり、対象は歴史→地理→世界経済→天体のこと→宇宙・物理と次第に巨大数字を
扱う分野に興味は移行していきました。
　大学生の頃、スキュイ−ズ数に出会い、対象に依存しない数そのものの巨大さの方が圧倒的に
巨大であることに気付き、完全に巨大数字が好きな自分をはっきり認識しました。
　社会人になり、グラハム数を知るに及び、あまりの巨大さに巨大数を求める旅もこれで終わった
‥‥‥‥‥‥‥‥と思っていました。

それが思いもかけずこのような巨大数に出会え、感謝しています
どうもありがとう！

〜作文コンクール＠数学板〜
テーマ「巨大数に自分の想いを寄せて」

「一番でかい整数」はない。この基本がわかっていないやつは数学を
語るな。

「２」を６個使って大きな数字を作ってみな！

2^2^2^2^2^2=4294967296

>>635
そんなこたぁみんな知ってるよ
つまらん煽りはやめんか

　　　　┏━━┓
　　　　┃�U�U┃
　　　　┃�U�U┃
　　　　┃�U�U┃
　　　　┗━━┛　

大学に入って「自然数は上に有界ではない」を示せたのはちょっと感動した

つうか、ここの１はばかだからな。
クソスレになるところが、途中から流れが変わって面白くなった。

>>637
2^2^2^2^22のほうがいいよ

ところで、>>637はa^b^c=(a^b)^c？a^(b^c)？
計算結果から考えると前者だが。

2↑2↑↑2↑↑↑2↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2

２を２個、３を２個とか
限られた数の中で一番大きい数を出したヤツを優勝にすればそりゃ
面白くなるわなぁ、一番大きな数なんて無いっつーの！

>>645
蛆虫ですか？レス無用。

10文字、20文字、30文字部門も全部ふぃっしゅ氏の独占か？
挑戦者はなし？

ｎ↓ｎ＝ｎ＾（〜ｎ回）＾ｎとした時のak（9↓9，9↓9）

>>648
ふぃっしゅ氏の10文字、20文字、30文字の作品は、
あくまでアッカーマン関数、グラハム数ぬきの
ルールでやっていたと思うが、そのルールはもう出尽くしたのであれば、アッカーマン関数は
ありにしてもいいかもしれないね。

そのルールでいくと、>>648よりはまだまだ大きな
数を作れそうな予感。ふぃっしゅ氏が来る前に、
なんか考えてみるか。

ちなみに、>>648は30文字部門だと思うが、
　ak（9↓9，9↓9）
のところを
　ak（9！↓9！，9）
に変えるだけでも、かなり大きくなるはず。
つまり、アッカーマン関数の肝は第一引数にある。

ふぃっしゅ氏の今までの作品を見ると、そういった
ことをきちんと考慮して文字数内で大きくする工夫を
していることが分かる。

ｎ↓ｎ＝ｎ＾（〜ｎ回）＾ｎとした時のak（9↓↓9，9↓9）

ｎ↓ｎ＝ｎ＾（〜ｎ回）＾ｎとした時のak（9↓↓↓↓9，9）

>>652
9↓↓↓↓9の定義が明確じゃないかも。
あと、 ｍ↓ｎ＝ｎ＾（〜ｍ回）＾ｎのように
（逆でもいいが）、記号を別にしておかないと
定義があいまい。

読むだけで頭が良くなる良スレ

↓はタワ−関数と同義で、もう一つ増加の段階を増やしたもののつもりだったが
やっぱ説明に手間取るかな。
3↑3は3の3乗だが、3↓3は3の3乗の3乗と3を3つ積み重ねたもの
＞＞ｍ↓ｎ＝ｎ＾（〜ｍ回）＾ｎのように
そうですね、ｍ↓ｎ＝ｍ＾(〜ｎ回）＾ｍのつもりでやってました。

では、少しだけルールをまとめておこう。
今までは、>>114ルールにおいて>>370のような結果が
出ていた（全部ふぃっしゅ氏の作品！）。

そこで、>>114ルールを緩和して、アッカーマン関数の
使用を許すことにする。ただし、グラハム数は使わない。
アッカーマン関数は ak(m,n) と表記する。
10文字、20文字、30文字でそれぞれなるべく大きな数を
作ろう（無制限はふぃっしゅ数があるからね）。

こんなところか？

もちろん、アッカーマン関数を使わずに>>370を超える
作品ができれば、それも募集。

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999^
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999×０

あの、グラハム数もふぃっしゅ数も未だ理解途中で、
これから一所懸命このスレを読み込んでみようと思っているのですが、
ひとつだけ質問させて下さい。
そしてできればお答え頂きたく。

グラハム数やふぃっしゅ数の任意の位の数を示すことは可能ですか？

たとえばグラハム数の一の位は…
3?

＃だめだ、もっぺん1から読み直してみる。

グラハム数の下数桁を求める、というのはグラハム数スレで
やっていたと思います。ふぃっしゅ数の下数桁を求める、
ということについては、誰かが言い出したものの誰もやって
いません。よほど簡単な法則がなければ、実際に力業で計算
しようとしても計算時間がいくらあっても足りないことでしょう。

1/0
アイオーじゃないよ。

>>656
アッカーマン関数をありにすると、30文字でグラハム数を
こえるけど、20文字でこえるのはきついかもしれない。
20文字で>>652はこえると思う。

しばらく様子を見てから書き込みます。

m☆n : mをn回使って表現できる最大の整数
と定義すると、
定義より 2☆3 ≧ 2☆(2☆2)
∴ 3 ≧ 2☆2 ≧ 2*2 = 4

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999!

664を見て改めて思ったんだが、１０進法（664は階乗がついてるが）で普通に大きな数を表記するのって
すごいスペ−スが必要なんだな。よく使われてる宇宙の粒子全部に１個１個に数字を一つずつ
書いて並べたという表現があるけど、まあそれが人間の実際の想像力の限界なんだろうね
ただ、当たり前だけどその数があらわしてる“数そのもの”はもっとでかいわけで、
スキュ−イズ数でさえ『〇〇個のものを数える』ようなことに使われることはまずないだろう。
でもそこは、『数の神様』は良くしたもので、組み合わせという分野をちゃんと残しておいて
くれた。
まあ、それにしても現実空間と数学上の空間（事実上無限）のあまりの差異にびっくり。
他の学問や分野に登場する巨大数は前者の現実空間の範囲をでないわけで改めて数学の持つ
特異性にびっくり。

そして、数の大きさは想像がつかないものの、２つの巨大数について
その大小関係を比較することはできる。たとえば、簡単なところでは
10^10000 > 10^1000 であることは明白だけれども、それぞれの大きさ
そのものについては私たちの頭の想像を超えている。

ふぃっしゅ数についても、その大きさは想像はできないが、いろいろな
巨大数を持って来て、それらが歯がたたないくらい大きい、という
「大小比較」をこれまでのスレッドでしてきたことで、その大きさに
驚くことになったわけだ。

よく考えれば当たり前のことなんだけど面白い。

現在の一番でかい数+１

>>663ｲｲ

>>662
特に反応はなさそうなので、解答例を書き込みます。

10文字：ak(9^9!,9)
20文字：ak(ak(ak(9!,9),9),9)
30文字：f(x)=ak(x,x)として f^(f^99!(9))(9)

>>663
面白いですね

2☆3 ≧ 2☆(2*2) ＝ 2☆4 ≧ 2☆(2*2*2) ＝ 2☆8 ≧ 2☆(2*2*2*2*2*2*2) ＝ 2☆128 ≦ …
わーい

最後の不等号逆だった。ｳﾁｭ

i

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999×999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

>>675
ち、小さすぎる！！！

>>663ﾜﾛﾀﾖ

i > j ならば、2☆i ≧ (2☆j) + (2+2+...(i-j)個...+2) > 2☆j
∴ i > j ならば、2☆i > 2☆j
対偶をとって 2☆j ≧ 2☆i ならば j ≧ i
>>672より
3 ≧ 4 ≧ 8 ≧ 128 ≧ …
わーいわーい

>>678
パラドックス厨にネタにされそう。
こんなんでスレ建ったら鬱だなあ。

>>663
2☆3 ≧ 2☆(2☆2)から3 ≧ 2☆2と導けるとは限らないでしょ。
例えばa^b>a^cの時必ずしもb>cとなるとは限らないわけだし（0<a<1の時符号は反転する）
ってもしかしてマジレス禁止？だったらスマソ。

>>680
3 ＜ 2☆2 であるとすると、
2☆(2☆2) ＜ 2☆(2☆2)*2(2☆2-3)
　＝ 2☆(2☆2)+2+…+2 （全部で2が2☆2)個
　≦ 2☆(2☆2)
よって、2☆(2☆2) ＜ 2☆(2☆2) より矛盾

などと、背理法を使って厳密に示すまでもなく
自明だとしても、この場合はいいと思います。

>680
その証明が>678の前半

仮定のどこに間違いがあって矛盾が生じたのかがわからん。誰かおせーて

私は一番でかい数を知っているが、
余白が狭すぎるのでここに記すことはできない。

>>684失念・・・フェルマの最終定理だっけ？
手ぶらもなんなんで、
９の
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999×999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
乗

☆ってどうやって計算するんですか?

>>663に定義がありまひゅ

こんなのどう？
lim(n→+0)1/n
(nの値を正の方向から0に近づけた場合の1/nの極限値。

>>681,682
どうも解答ありがとです。その部分はわかりました。

ただ、さらに考えたところ、この定義自体が無意味なのではと。
m☆nがmをn回使って表せる数字なのだから、
ある関数P(x) をP(x) = ∞*（∞-1）*（∞-2）*…*xと定義すると、
m☆n ≧ {P(m)}^n　（実際にはP(m)*P(m)*…（n個続く）…*P(m)）とおくことができる。
よって1☆1≧P(1) = ∞　となり、定義自体が無意味（いくらでも大きい値がとれる）
と思うですがどでしょうか。

(,,ﾟДﾟ)

>>689
んな関数定義できねーよ。

>>689
定義自体がはっきりしていない、というのはたしかなこと。
使える関数や言葉を限定しなければ、いくらでも大きくできる。
本来ならば、厳密に定義するべき。
☆関数そのものを使えることにしてしまうと、上記のような
矛盾が生じる。

さて、その上で、P(x) = ∞*（∞-1）*（∞-2）*…*xのように
式の中に∞を入れたものは、計算自体が無意味だし関数だとは
いえない。

つまり、言っていることはおおむねただしいのだけれど、
あげた例が不適切だった。

「m☆n : mをn回使って表現できる最大の整数」と定義するときに
予め許される演算を規定しておかないとこの定義は無意味だ罠

あげてみる、と

誰か文系にも理解できるようにふぃっしゅ数を翻訳してくれないかな…
これっぽっちもわかんない。

>>695
グラハム数はわかるの？

1/0
↑
これはどうなの？

>>696
グラハム数で使うタワーとかいうのはなんとなくわかります。多分。
でもアッカーマンなんたらと言われると頭が…

無料

695に同じ。
やさしい解説･･･無理か。

x=f(x)=x+1

>>699
たしかにそれよりも高いものはないな。

>>699702に説明されて始めて激しくワラタ

>>699
ｳﾏ-

>>699が優勝

>>697

計算不能。
lim x→0 1/xなら∞。

どちらにしても「数」じゃないね。

10 ÷ 3

手元にふぃっしゅ数の文章（>>317->>321）をまとめてみた。
自分で解釈していこう…
えーと。

＞「いかにして大きな数を作るか」という
＞プロセスを一般化すると、大きな数と増加の程度が大きい関数を
＞生み出していくプロセス

関数ってなんだ。調べてみよう。xの値が決まるとyの値が一意に決まるのか。
つまりxをyに変えるマシーンが関数なんだな。そのマシーンが強力だと
しょぼい数からすげえ数が作れる訳か。つまりマシーンの開発競争。

＞たとえば、「mという数にf(x)という変換をn回繰り返す」という
＞表現をするときに、m,f(x),nに使えるのは今までに定義された
＞数と関数のみ。そこで、数と関数を双方ともに帰納的に定義して
＞いくプロセスを追っていくことにする。

えーと、わからん。また今度。

細かいところは飛ばして本題の理解にいこう。

＞そこで、自然数mと関数f(x)のペアから、自然数nと関数g(x)の
＞ペアを生み出す変換（写像）を
＞　S:[m,f(x)]→[n,g(x)]
＞と表記することにすると、たとえば３↑↑↑↑３は、自然数
＞４と、f(x)=３（↑がx個）３からf(4)とあらわされる。

写像？どうやら数と関数のペアをまるごと変換するマシーンらしい。
上の場合、(mという自然数とf(x)という関数のペア)に対して(Sという写像)を
かますと、(nという自然数とg(x)という関数のペア)に変換されるということかな。

ここで、グラハム数＝３↑↑↑↑３というものらしいが、これを上の考え方で
表記すると、ここでのf(x)が、「３と３の間に↑をx個並べる」というマシーンで
あると決めたとき、グラハム数の↑の数は４個だから、f(4)と書くことができると。

そんで、

＞３↑↑↑↑３個だけ↑がはさまった数、はf(f(4))である。
＞したがって、これを64回繰り返した数はf^64(4)となり、
＞この操作はg(x)=f^64(x)という関数を自然数64と関数f(x)から
＞生み出す操作にほかならないため、
＞　S:[m,f(x)]→[f^m(m),f^m(x)]
＞と書くと、m=64,f(x)からグラハム数よりも大きいf^64(64)
＞という数が生み出される。

f(f(4))というのはつまり、f(4)というのは一つの数として定まるからこういう
書き方ができるのかな。すでにグラハム数が屁のツッパリにもならない領域だ。
これはf(4)を2回繰り返したということなのかな。f(f(4))=f^2(4)でいいのかな。
いいとしよう。f(4)を64回繰り返すとf^64(4)と表記することができるらしい。
ここで、(64という自然数とf(x)という関数のペア)に対して(Sという写像)を
かますと、(f^64(64)という自然数とf^64(x)という関数)に変換することが可能らしい。

ここで出てきたf^64(64)という数、３↑↑…(64個)…↑↑３　が第１段階。
３↑↑…((３↑↑…(64個)…↑↑３)個)…↑↑３　が第２段階。
これを第６４段階までやった数というから凄い。
ところで、↑ってなんだっけ？

↑(タワー)の基本的な約束としては、

＞　x↑y＝x^y
＞　x↑…(m個)…↑１＝x↑…(m-1個)…↑x
＞　x↑…(m個)…↑y＝x↑…(m-1個)…↑(x↑…(m個)…↑(y−1))

ということらしい。
↑について理解してみよう。上の約束に従って、グラハム数＝３↑↑↑↑３に挑んでみる。

３↑↑↑↑３＝３↑↑↑(３↑↑↑↑２)
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑↑↑１))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑↑３))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑↑２)))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑↑↑１))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑↑３))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑↑２)))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑(３↑↑１))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑(３↑３))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑２７))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑7625597484987))))))

こいつは一大事だ。しかしこれでもf(4)なのであって、f(64)には遠く及ばない。
f^64(64)の破壊力は推して知るべしだ。怖い怖い。そしてまだふぃっしゅ数の定義にすら
踏み込んでないというのはどういうことだろう。

＞これまでのスレッドにかかれた数は、いろいろなタイプの
＞S変換を数回、>>161でもせいぜい10回程度行っているに
＞すぎない。S変換については、上記のS変換よりも、
＞AckermannタイプのS変換の方がより関数を増加させる。

S:[m,f(x)]→[f^m(m),f^m(x)]　のような、「もとの関数をm回繰り返す」というような
タイプの写像マシーンはまだまだ手ぬるいらしい。ではどんなのが凄いのか。
「AckermannタイプのS変換」がどうやら関数を爆発的に増加させるらしい。
それはどんなものかいな。

＞その第１段階として、Ackermann関数にならい、
＞　B(0,n)=f(n)
＞　B(m+1,0)=B(m, 1)
＞　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))g(x)=B(x,x)
＞としたときに、
＞　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
＞とする。少なくとも、これ以上に大きいＳ変換はこれまでに
＞あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
＞このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

数式の意味するところが分かりません。ヘルプ。

gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0))) =B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))
Ｂ(1,1)=g(61)
Ｂ(1,2)=g(g(61))
Ｂ(1,3)=g(g(g(61)))
Ｂ(1,4)=g(g(g(g(61))))
Ｂ(1,5)=g(g(g(g(g(61)))))
Ｂ(1,6)=g(g(g(g(g(g(61))))))
Ｂ(1,7)=g(g(g(g(g(g(g(61)))))))
Ｂ(1,8)=g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))
Ｂ(1,9)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))
Ｂ(1,10)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))
Ｂ(1,11)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))
Ｂ(1,12)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))
Ｂ(1,13)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))
Ｂ(1,14)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))
Ｂ(1,15)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))
Ｂ(1,16)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))
Ｂ(1,17)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,18)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))
Ｂ(1,19)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))
Ｂ(1,20)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))
Ｂ(1,21)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,22)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,23)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,24)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,25)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,26)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))
〜
Ｂ(1,ｇ(61)）=g(g(g(g(g(g(【〜ｇ(61)個〜】g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))【〜ｇ(61)個〜】))))))

比べようも無いくらい ｇ(61）＞グラハム数

>>713,714さんヒント感謝。ではあらためて。

【自然数mと関数f(x)】から【自然数g(m)と関数g(x)】を生み出す
上記の【Ｓ変換】の仕組みには、まず
　g(x)＝B(x,x)　がある。これによると、例えば【自然数3と関数x+1】が与えられたとき、まずは
　g(3)＝B(3,3)　である。
このB(3,3)は、上記のルールに基づいた計算により、最終的に一つの自然数として
表現することが可能である(実際問題はともかく)。
式変形を進めると、

B(3,3)＝B(2,B(3,2))
　　　＝B(2,B(2,B(3,1)))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(3,0))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(2,1))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(2,0)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(1,1)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(1,0))))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(0,1))))))

ここでB(0,1)というものが出てきた。ルール　B(0,n)＝f(n)　より、
B(0,1)＝f(1)＝1+1＝2 となるので、上の式は続けて

　B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,2))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(1,3))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(1,2)))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(1,1))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,B(1,0)))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,B(0,1)))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,2))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,3)))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,4))))))
＝B(2,B(2,B(2,5)))))
…
のように進んでいく。この程度ならプログラミングなど使えば最後までいけるだろう。
ともかく、S変換によって【自然数B(3,3)と関数B(x,x)】が生み出された。
これを更にS変換すると何が起こるのだろう。

S変換のルール(おさらい)

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)

のとき、

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　(S変換１回目)
S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　(S変換２回目)

を考えてみましこ。
h(x)というのはS変換２回目で生まれる新しい関数だと思いねぇ。このとき、

C(0,n)=g(n)=B(n,n)
C(m+1,0)=C(m, 1)
C(m+1,n+1)=C(m, C(m+1, n))
h(x)=C(x,x)

という新ルールが同時に発生する模様。C(n,n)ってのはB(n,n)とは別もの。
なぜなら　B(0,n)=n+1　であるのに対し、C(0,n)=B(n,n)　だからです。
根っ子の計算がいきなりパワーアップしてます。つまり、S変換を繰り返す度に、
生まれる自然数とそれを増加させるルールがそれぞれ爆発的に狂暴化されるのが
この例で分かったような分からないような。次回からとうとうふぃっしゅ数本体の攻略です。
お楽しみに(俺だけ)

Ｂ(1,1)=g(61)
Ｂ(1,2)=g(g(61))
Ｂ(1,3)=g(g(g(61)))
Ｂ(1,4)=g(g(g(g(61))))
Ｂ(1,5)=g(g(g(g(g(61)))))
Ｂ(1,6)=g(g(g(g(g(g(61))))))
Ｂ(1,7)=g(g(g(g(g(g(g(61)))))))
Ｂ(1,8)=g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))
Ｂ(1,9)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))
Ｂ(1,10)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))
Ｂ(1,11)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))
Ｂ(1,12)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))
Ｂ(1,13)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))
Ｂ(1,14)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))
Ｂ(1,15)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))
Ｂ(1,16)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))
Ｂ(1,17)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,18)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))
Ｂ(1,19)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,20)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))
Ｂ(1,21)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,22)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,23)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,24)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,25)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,26)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,27)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,28)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,29)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,30)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,ｇ(61)）=g(g(g(g(g(g(【〜ｇ(61)個〜】g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))【〜ｇ(61)個〜】))))))

ふぃっしゅ数の定義。

＞　　B(0,n)=f(n)
＞　　B(m+1,0)=B(m, 1)
＞　　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
＞　　g(x)=B(x,x)
＞　としたときに、
＞　　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)] という自然数と関数のペアから、自然数と関数の
＞　ペアへの写像S（Ｓ変換）を定義する。
＞　自然数、関数、Ｓ変換から同様の組を生み出す
＞　写像SSを、
＞　　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
＞　　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
＞　と定義する。
＞　このとき、[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した
＞　結果得られる自然数、関数、S変換について、
＞　自然数をふぃっしゅ数、関数をふぃっしゅ関数とする。

要点を抜き出すと、

ふぃっしゅ数＝[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した結果得られる自然数

のことだそうな。
ではプロセスを最初から見ていこう。まず第１段階では、

[3,x+1,S]→[g(3),g(x),S2]　が行われる。(この変換がSS変換)

S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m) より　
S2=S^f(3), g(x)=S2[3,f(x)], n=g(3)　だから、

[g(m),g(x),S2]＝[g(3),S2[3,x+1],S^(3+1)]
　　　　　　 　＝[g(3),S^4[3,x+1],S^4]　　　となる。

>>719の下から３行目の、S2[3,f(x)]はS2[3,x+1]に訂正。

つまり、第１段階を行うことによって生まれるものは、

自然数　g(3)
関数　　S^4[3,x+1]
写像　　S^4

である。ここで関数　S^4[3,x+1]　を、もう少し進めてみる。
これは　[3,x+1]　にS変換を４回繰り返した結果得られる関数のことなので、
S変換の１回目は

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　となり、３回目は

S^2:[3,x+1]＝S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　ただし

C(0,n)=B(n,n)
C(m+1,0)=C(m, 1)
C(m+1,n+1)=C(m, C(m+1, n))
h(x)=C(x,x)

となる(>>715-717参照。)。同様にして３回目は

D(0,n)=h(n)=C(n,n)
D(m+1,0)=D(m, 1)
D(m+1,n+1)=D(m, D(m+1, n))
i(x)=D(x,x)

S^3:[3,x+1]＝S:[h(B(3,3)),h(x)]→[i(h(B(3,3))),i(x)]　となる。

同様にして４回目、

E(0,n)=i(n)=D(n,n)
E(m+1,0)=E(m, 1)
E(m+1,n+1)=E(m, E(m+1, n))
j(x)=E(x,x)

S^4:[3,x+1]＝S:[i(h(B(3,3))),i(x)]→[j(i(h(B(3,3)))),j(x)]

こうして生まれる関数j(x)が、SS変換１回目において生まれる関数g(x)である。
(S変換１回目で生まれる関数と名前が被るといかんので、そっちはシカト)
ともかくg(3)だ。g(x)=j(x)=E(x,x)のxに3を代入すると、SS変換１回目で生まれる自然数が
得られる。できるとこまでやってみよう。

E(3,3)＝E(2,E(3,2))
　　　＝E(2,E(2,E(3,1)))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(3,0))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(2,1))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(2,0)))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(1,1)))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,E(1,0))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,E(0,1))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(1,1)))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,D(1,0))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,D(0,1))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(1,1))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(1,1)))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,C(1,0))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,C(0,1))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(1,1))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,B(1,0)))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,B(0,1)))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,2))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,3)))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,B(3,3)))))))))

ホゲー。

さてSS変換２回目。

SS^2:[3,x+1,S]＝SS:[E(3,3),E(x,x),S^4]→[w(E(3,3)),w(x),S^E(3,3)]

w(x)って名前は適当です。でもって
w(x)=S^E(3,3)[E(3,3),E(x,x)]　です。そういうもんだからです。
まとめると、SS変換２回目の操作によって、

自然数　w(E(3,3))
関数　　S^E(3,3)[E(3,3),E(x,x)]
写像　　S^E(3,3)

が得られます。こいつらの変態っぷりを説明すると、
関数w(x)とは、関数E(x,x)をE(3,3)回もパワーアップさせた　変態(x,x)　です。
多分そういう表記ができます。そんでw(E(3,3))　とは、すなわち
　変態(E(3,3),E(3,3))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-1))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-2)))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-3))))
…

てな具合です。すばらしい変態です。

変態の申し子であるSS変換を第６３段階まで繰り返したとき、そこで得られた
自然数がふぃっしゅ数で、関数がふぃっしゅ関数なんだそうです。
無理矢理表記すると、

SS^63:[3,x+1,S]　においては、

ふぃっしゅ数　　完全究極変態(究極変態,究極変態)
ふぃっしゅ関数　完全究極変態(x,x)

みたいな形なのかな。
変態にもほどがあります。最高。ひとまず終了。
しかし合ってるのかなこれ。御粗末でした。

完全究極変態(究極変態数,究極変態数)　に訂正。どうでもいいですが。

lim x→∞ x!（ただしｘは整数）

100:a=2^13466917-1
120:a=(a+1)*2-1
140:goto 120

{実数に属するxの集合}のmax x

∀f(x)>0で
区間ー∞、∞におけるf(x)の積分

なんか、2チャンから新しい学問が生まれてきそうで。

�狽P≦ｋ≦ｎ（１／ｋ）＝9を99!回階乗
のｎってどんくらい大きいんだ？
とりあえずアッカーマン関数無しの２０文字部門｡

０＜○○の魅力＜∞
ベッカムの魅力!^タッキーの魅力!／俺の魅力

が３０文字で表現可能な最大の数ですが？

>>722
のスタ−トのＥ（3.3）って
従来のＳ変4回目に得られる数　
であるggg(gg(g(61)))と同じかな？

今までだと
Ｅ(　gg(g(61))　.　gg(g(61))　）
もしくは、695氏の記号でやると
Ｅ(Ｄ(Ｃ(Ｂ(3.3).Ｂ(3.3)).Ｃ(Ｂ(3.3).Ｂ(3.3)))).Ｄ(Ｃ(Ｂ(3.3).Ｂ(3.3)).Ｃ(Ｂ(3.3).Ｂ(3.3))))
じゃないのかな？？

これと722は結果的に同じなのかな？勘違いしてたらスマソ

>>695さん乙カレー

ふぃっしゅ数が出てからもう誰も一番でかい数出そうなんて思ってないよな

>728
数式がﾜｹﾜｶﾝﾈｪﾖ

TeXベースで書くのが一番伝わりやすいと思います
みなさま如何でしょうか？

結局の所>>2が1番でかいのは明らか

グラハム進数で999

>>735
すごく小さい数！

>>730
はい。間違えてました。超恥ずかしい。もう一度かいつまんでやります。

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　でもって、B(3,3)=61　で、

S:[61,B(x,x)]→[C(61,61),C(x,x)]　そんで、

S:[C(61,61),C(x,x)]→[D(C(61,61),C(61,61)),D(x,x)]　で、

S:[D(C(61,61),C(61,61)),D(x,x)]→[E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))),E(x,x)]

より、
S変換を４回繰り返して得られる関数g(x)=E(x,x)　である。
また得られる自然数はE(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61)))　である。

またSS変換２回目の操作によって、

自然数　w(E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))))
関数　　w(x)=S^E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61)))[E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))),E(x,x)]

が得られる。かも。

あ、違うわ。忘れてください…

695さんお疲れ様、はっきり言ってふぃっしゅさんよか説明わかりやすかったよ（ｗ
まあ、ふぃっしゅしゅさんは創作者だから、数学的な独創性はもちろんダントツですが

　つまりこのフィッシュ数の増加率のすさまじい所は、前の関数で得られた巨大自然数を次の
関数に組み込むことが最大のポイントなんだろう、その組み込みにより次の段階の関数の増大
が一つ前の関数を意味を成さないくらいの関数にしてさらに巨大数を生み出し、またそれを利用
して‥‥‥という繰り返しが信じられない数を生み出すのだろうな。
　そうでなければアッカ−マン関数による変換をつなげていくような感じなら、わりと一般的
な人にでも考え付く。

　あともうひとつ、ＳＳ変換の２回目の回数なんだけど、ＳＳ変換はggg(　)関数つまり
695さんが言うところのＥ関数(またはｊ関数かな？）に
Ｓ変換４回目で得られた巨大自然数をもう一回代入して、さらに大きな自然数を作っておいて
その、超大きな自然数の回数だけ新Ｓ変換（Ｓ変換４回分）を繰り返すと成ってるようだが、
>>738のレスであってるのかな？

>>740
あれはミスです。もっとでかいはずです（藁

SS変換は、自然数m,関数f(x),写像Sを、自然数n,関数g(x),写像S2に変換するというものです。
写像Sが写像S2になるとき、S2=S^f(m)です。またS2は自然数mと関数f(x)について
作用し、S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]　と変換します。これによって生まれたn,g(x)は
SS変換後の各要素に等しいので、つまりSS変換とはまずSからS2を生み出し、
そのS2をもってm,f(x)からn,g(x)を生み出す変換ということです。

でもって、くどいですがSS変換の２回目

SS:[E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))),E(x,x),S^4]

を考えると、まずS^4がルールによって(S^4)^E(E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))),E(D(C(61,61),C(61,61)),D(C(61,61),C(61,61))))

になります。よって、SS変換の２回目で得られる関数は、E(x,x)にS変換を上記の回数だけ
繰り返したものになります。自然数はもっとえらいことになります。

SS変換の１回目で、E(x,x)にはじめの数3を代入してしまったのが間違いでした。
代入するべきは3回目のS変換で得られた自然数だった訳です。失敬。

ふぃっしゅ数はグラハム数より構造が複雑ですね
表記も最初はけっこう難しい
関数が変化していくことがその原因なんでしょう
まあそのおかげで巨大数が生まれたわけですが

ふぃっしゅ数とグラハム数の比較をしたいのですが壁にぶつかっています。

非負整数x,y,z（ただしxは2以上）に対し、
ak(x,y,0)=x+y
ak(x,y,1)=xy
ak(x,y,2)=x^y
ak(x,y+1,z+1)=ak(x,ak(x,y,z+1),z)

のとき、グラハム数＝ak(3,3,5)らしいのですが、
これはどう比較すればいいんでしょう。
S変換の定義になんとか持っていきたいところ。

（ただしzは2以上）の間違いでした。度々すみません。

プロジェクトＸ『巨大数を追い詰めろ〜　ふぃっしゅ数誕生秘話』

田口トモロヲ
「今から２０年前、巨大な数字としてギネスブックに登録された数があった‥‥‥。
　その数は、あまりの大きさに全貌を想像することさえ不可能だった。
　誰もがこの数を越えることに意味さえ見出せなかった‥‥‥。
　　ネット上に2ｃｈという掲示板ができた。そこの数学板には数学に興味を持つ者達が集まった
　やがてその中から巨大数への挑戦が始まった。
　　だが何回も計算しても巨大数に届く気配はなかった。
　しかし男達はあきらめなかった。そしてついにすべてをかけてやり遂げた。
　　これは史上最大の巨大数、グラハム数に挑んだ男たちの壮絶なドラマである。」
シャキ−ン（効果音）　エ〜ックス
　　中島みゆき『地上の星』　　バックの字
　風の中のす〜ばる〜　　　　（世界一の数）
　砂の中の銀河〜　　　　　　（巨大な壁　　　計算不可能）　　
　みんなどこへいった〜　　　（日米の差なのか）
　見送られる事もなく〜　　　（2ｃｈに集まれ）
　草原のペガサス〜　　　　　（男達はたちあがった）
　街角のビ−ナス〜　　　　　（見守る女たち）
　みんなどこへいった〜　　　（コンピュ−タ−では出来ない）
　見守られることもなく〜　　（失敗につぐ失敗）
　地上にある星を誰も
　覚えていない人は空ばかり
　見てる〜　　　　　　　　　（アッカ−マン関数がある！）
　つばめよ高い空から
　教えてよ地上の星を〜　　　　（越えたのか巨大数を？）
　つばめよ地上の星は
　いまどこにあるのだろう〜　　（完成のとき男達は）

国井アナ数学教師のコスプレで登場　善波アナ女子高生のコスプレで登場
　

>>744
357.365あたりにakを↑に置き換えて比べてますが‥‥。

>>747
あ、ありましたありました。どうもどうも。あの辺読んでないんですよ。

B(x,y)=ak(2,y+3,x-2)-3　
ak(3,3,n)<ak(2,3,n+1)<B(n+3,n+3)　が成り立つそうなので、

グラハム数＝ak(3,3,5)＜ak(2,3,6)＜B(6,6)

ということになります。理屈は知りませんが。

巨大数って疲れるね

というか気が遠くなる。

>>359に
グラハム数＜C(1,2)　という記載がありました。
C(1,2)=B(61,61)　だそうです。S変換２回目で得られる自然数が
C(61,61)　ですから、なんとなくやばさ全開です。

>>746乙カレー

これだけ発散が速いということは、
微分というか、階差がものすごい大きいんだろうと思った。
階差は大きいが階差の階差の…もすごく大きいのではないか。
階差ではまったくおいつかない、階比がすごい、階比でもおいつかない、
階乗…
どうやってこれらの数の成長のすごさを評価したらいいんだ…

695さん、あと378.379のレス読めば一番わかりやすいよ

>>754
読みました。最初難しそうと思い飛ばしたんですが、今は読めます。
やっぱり数学畑でない人に説明するには、文章に記号を一切登場させない方が
いいんですかね。自分もここで勉強する以前はそうでしたが、
数学に興味がない人にとって9999999999999999999と9999^9999の大小なんて
わからんし区別が付かないですから。うーん。

z^z^z!（六文字）

10^10^←＾←＾←＾←

ぷーーー！
始めの方のやつら頭悪すぎ！！
＞４文字なら9^9!
＞５文字なら9^99!
はあ？何文字でも999...!　に決まってるだろばああああああか！！

例えば、それぞれ４文字の9^9!と999!において、

9^9!＝9^362880
log9^362880≒346275.5　より9^9!は346276桁の数

999!＜999^999＜1000^1000＝10…(0が3000個)…0　より、

9^9!＞999!　かな。

ひさびさの真性のばかだな758は

>>758
みたいなヤシがいる事が悲しくなってくる

グラハム粉↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑グラハム粉

パン食いてえ

ループ文書いたらどうなん？

>>567「天文学的数」が非常に小さい数の事を意味するスレはここですか？

これからは、「天文学的数字」をはるかに超える数を「数学的数字」と呼びます。

番外編優勝は
１万円
でいいか？（ﾜﾗ

ﾍﾟｰ＾(ﾟ∞ﾟ)＾ﾁｭﾝﾁｭﾝ

>>765
グラハム万円で。
すくないんだろ？（藁

>>767
何故万が・・

というかグラハム数とかフィッシュ数なんて、数字で表記出来ないような数だしなあ・・・・
もうさっぱり訳がわかめ
とりあえず３↑↑↑３だけでも充分ヤバイ数だってことはわかりました・・・・

なんだかんだいっても>>699が一番デカイ。

>>770
禿同

B(3,3)＝B(2,B(3,2))
　　　＝B(2,B(2,B(3,1)))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(3,0))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(2,1))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(2,0)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(1,1)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,ｇ(61))))))　以下g(61)＝g61
　　　＝B(2,B(2,B(2,g(g(g(~『g61回』~g(g(g61))~『g61回』~)))
　　　＝B(2,B(2,　B(1,B(1,B(1,〜【g(g(g(~『g61回』~g(g(g61))~『g61回』~)))】〜B(1,B(1,1)))〜【前に同じ】〜))　　~＝g61回
＝B(2,B(2,【g(g(g(~【g(g(g(~【g(g(g(~【g(g(g(~【g(g(~g(『g61回』))~))回】~g(『g61回』))~))回】~g(『g61回』))~))回】
　　　　　　↑
　　　　　　【【【〜《g(g(g〜g61回〜g(g(61)))〜g61回〜)))》〜【【【g(g(~g(『g61回』))~))回】回】回】回】〜《前と同じ》〜】回】】

＝B(2,　B(1.B(1.〜［上の【一番外側の】の回数］〜B(1.B(1.1))))〜［前と同じ］〜)))

もうだめ！

「一番でかい数」 ポンっ!

やったー出したー!!

>>773
おじさん泣けてきた

こういうでっかい数ってさ、x→∞の極限みたいなのはどうなるんだろ？
例えば「ふぃっしゅ数のふぃっしゅ数乗根」とか。
ふぃっしゅ数からとんでもなく小さくなりそうだけど、
もとの数がとんでもなくでかいよ。

このスレ>>1-1000に出てくる最大の数+１
これ最強

>>777
>>110

くだらないと思ってたんだけど

このスレにでてくる，自分を除く，最大の数+1

としたらどうなるんだYo!

>>636
2^22222

lim(a→+0)tan((pi+a)/2)
無量大数/六徳

無量大数/(六徳^9)

この行以外の、レス内の一番大きな数に１加えたもの。

六徳って何？？？？？単位？？？

>>783
仮に>>779の数字をx、>>783の数字をyとすると（以下略

>>784
50年くらい前の数学者の名前でつ。

http://www.nona.dti.ne.jp/~jimita/zatugaku/kazu.html
ここにある。
「六徳」より、さらに極端なものも載っているが。
>>785無限ループ？？？まぁ、定義できないって事かな。

結局誰が優勝？？？

>>782
＞lim(a→+0)tan((pi+a)/2)
それだったらlim(a→∞)aでいいじゃん。なにを遠慮してるのか

>>781
＞無量大数/六徳
お前はセルがいる時代のピラフ一味か？

暗に仁を説く者

結局誰が優勝したの？？？　　　　　　　

max{>>n}+1 (∀n∈Ｎ)

(一番でかい数)

ｎが十分大きいとき、nとtan(π-１/n)ってどっちが大きいの？

>>775
x^(1/x)の値はx→∞のとき１に収束する。

ak(3↑↑↑↑3,…(3↑↑↑↑3個)…,3↑↑↑↑3)とふぃっしゅ数とでは
どちらが大きいんだろう。

796ってちょっと意味不明
3↑↑↑↑3＝Ｍとして
ak（Ｍ.Ｍ.Ｍ〜（Ｍ個）〜.Ｍ.Ｍ）ってことかい？
だとすると、それを代入するak式が無いとだめなんじゃない？
んでもって、たぶんフィッシュ数のＳＳ変換1回分より小さいと思われ
つまりフィッシュ数よりはるかに小さいと思われ

━━━┓━━━┓
　　　┃　　　┃
　　　┃　　　┃
┏━━┛┏━━┛
┃　　　┃　　　
┃　　　┃　　　
┗━━━┗━━━

おれの心の広さ。

そか。非負整数からなるn変数アッカーマン関数を定義する必要があるのか。
無理。

∞−１

>>801
成立してないよ〜！　(@_@)

１

将棋の全局面

いまこのスレで出ている一番大きな数って、見える範囲の宇宙の中の
電子を集めてきて、順に並べて２進数を作った数よりはるかに大きいの
ですよね？　有限の頭がそれをはるかに超えた数を考えている様って
不思議。

告白すると、その昔、アッカーマン関数で（引数の値は忘れたが）、
宇宙に存在する電子の数と比較してどのくらいの比になるのか、
徹夜しながら計算して、まったく比較にならないことが分かって、
叫びたくなるほど感激したことがあるのだが、次第に徹夜明けの疲労が
襲ってきて、時間を無駄に使ったことに後悔したことがあるよ。

それで、その電子の数よりはるかに少ない電子によってしか
数を記憶できない現実のコンピュータはやはりチューリングマシンでは
なく、有限状態のオートマトンだと思い知ったよ。だけどそんな
コンピュータの研究だって、人間にはなかなか手ごわい。

誰かアッカーマン関数を越える増加率の関数を定義して論文にすれ

誰が優勝でもいいじゃないか
みんなが争う姿なんて見たくないよ
世界中の人と友達になれたらいいな

難しすぎてわけわからんかったが、
眺めてるだけで面白かった。このスレ。

そうだよ、争ったりせずに仲良くしようよ
誰が一番とか下らないよ

LOVE&PEACE!!

>>797
４９８に３変数型のak式の例が書いてあるけど
これを応用すれば、任意のｎ変数型（ｎは自然数)のak式が定義できないだろうか？
で、ふぃっしゅ数の定義中のB式をf(m)変数型と定義しなおす、というのはどうだろう？
(かえって小さくなるかも？)

５くらいまでしかかぞえられないけどまあいまのところたのしくいきてるよ

>>813
つまるところ、ふぃっしゅ問題に行き着いてしまうね。

1. Ackermann関数の自然な拡張として、３項漸化式、さらには
　n項漸化式を考えるとどうなるか？
2. ３項漸化式と、２項漸化式を２回繰り返した関数はどちらが
　増加の程度が大きいか？３項漸化式と、２項漸化式をn回繰り
　返した関数はどちらが増加の程度が大きいか？
3. ふぃっしゅ関数をn項漸化式であらわすことは可能か？
　可能であるとすれば、どのように書くことができるか？

俺には手も足も出ないけど…誰か挑んでくれないかなあ。

手っ取り早くふぃっしゅ数を越えるなら、
・n変数アッカーマン関数にする
・SS変換の回数を増やす
・変換そのものを拡張していく
辺りだろう。釈迦の掌の上の猿という感があるけど。

>>804
どう見積もっても159!以下

とりあえずちょこっとやってみますた。

S変換の心臓部といえるB関数。これを、次のようにして
ｎ個の変数からなる関数B_n（a1,a2,...,an)に拡張する。

B_n(0,0,...,0,x)=f[n-1](x)
B_n(0,0,...ak+1,0,...,an)=B_n(0,0,...ak,1,...,an)
B_n(0,0,...ak+1,al+1,...,an)=B_n(0,0,...,ak,B_n(0,0,...,ak+1,al,...an),B_n(0,0,...,ak+1,al,...an),...,B_n(0,0,...,ak+1,al,...an)) [l=k+1]

３行目が見づらいので、右辺について説明すると
ai=0　　　　　　　　　　　　　　[i=1,2,...,k-1]
.　 ak　　　　　　　　　　　 　　[i=k]
　 B_n(0,0,...,ak+1,al,...an)　 [i=k+1,k+2,...,n]

このとき、f[n](x)=B_n(x,x,...,x) として、ふぃっしゅ数と同様にS_n変換を定義する。そしてSS変換を

　　　　SS:[m[j-1], f[j-1](x), S_n[j-1]] → [m[j], f[j](x), S_n[j]]

ただし n[j]=n[j-1]^f[j-1](m[j-1])　 　S_n[j]: [m[j-1], f[j-1](x)] → [m[j], f[j](x)]

と定義しなおすと、[m[0]=3, f[0](x)=x+1, S_n[0]=S_2]に
SS変換を63回繰り返すことにより、全く新しい数m[63]、関数f[63](x)、S変換S_n[63]が得られる
・・・・・・のですが、これは果たしてふぃっしゅ数よりも大きいのでしょうか？(聞くんかい)

ちなみに、SS変換1回目は
S_n[1]=S_16 , m[1]=f[1](3)=B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3){←x+1}
となりますが、この段階ですでに自分でも把握できてません(;´Д`)

ただ、>>541のふぃっしゅ予想が正しければ、
早くもこの段階で大幅にリードしてることになるのですが･･･
いやはや、これではまるでおんぶに抱っこですね。面目ない。

それにしてもふぃっしゅ数はすこぶる魅力的です。何が魅力的かって、
それはもう、爆発的な発散力を持つプロセスを自分自身に作用させることによって
更にとんでもないプロセスを生成するところでしょう。
それはまるで、強力なパワーを秘めたジェムをそれ自身に作用させた結果、
かの恐るべきブラックジェムが生み出されてしまったかのようであり、
見るものをあたかも魔道の真髄に触れたような気分にさせるのです。

>>818
すごいすごい！追って噛み砕いた表現を書こうと思います。
自分の手に余るかもしれませんが（藁

話は大幅に変わるんだけど(汗)、545などに書いてある委員会問題は、つまりこういうことではないでしょうか？

例えば3人の人がいたとして、彼らの属し方がおのおの異なる委員会を考える。
すなわち、3人のうち一人が属している委員会3つ、二人が属している委員会3つ、
3人全員が属する委員会、そして3人とも属していない委員会の8つである。

次に、この8つの委員会からできうるすべての「委員会のペア」を挙げてみる。
すると、(8*7)/2=28 のペアが考えられる。そしてこれらのペアを
二つのグループのどちらか一方に振り分けていく。

このとき、振り分け方がどのようなものであっても、
次の条件を満たす4つの委員会が常に1組以上存在するか調べる。

　１．それらの委員会からできるすべてのペア(6つ)が同じグループに属している
　２．各人がそれらのうちの偶数個の委員会の属している

委員会が8つの場合、条件1を確実につぶせる振り分け方が考えられる。
つまり3人では人数が足りないと言うことになる。

それでは最低何人そろえば良いのか？　その答えこそがグラハム数なのである。




と

（でも、ｎ人で成り立つからと言って、m＞ｎ なm人で成り立つものなのでしょうか･･･？）

なにやら相当ヤバそうな相手です。
ともかく一度触ってみました。

m[0]=3
f[0](x)=x+1
S_n[0]=S_2　が初めのブツです。

SS:[m[0],f[0](x),S_n[0]]→[m[1],f[1](x),S_n[1]]　を考えると

n[1]=n[0]^f[0](m[0])=n[0]^(3+1)=2^4=16　より、S_n[1]=S_16

S_16:[m[0],f[0](x)]→[m[1],f[1](x)]　より

f[1](x)=B(x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x)　これにm[0]=3を代入

m[1]=f[1](3)=B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3)

SS変換2回目いきます。

SS:[m[1],f[1](x),S_n[1]]→[m[2],f[2](x),S_n[2]]

n[2]=n[1]^f[1](m[1])
=16^(B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3))　より

S_n[2]
=S_16^(B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),
B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3))

S_n[2]:[B(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3),B(x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x)]→[m[2],f[2](x)]

これをどう扱えばいいのか分かりませんでした。

さらに話が飛ぶことをお許しください。(爆死)

>>357で、ak(x,y)=2↑^(x-2)(y+3)-3

とあるのですが、これって本当に正確な比較なんでしょうか？
当方の計算によると、ak(4,y)=2↑↑(y+2)-3 までは正確にできるんですが、

ak(5,0)=ak(4,1)=2↑↑3-3
ak(5,y+1)=ak(4,ak(5,y))
　　　　　 =2↑↑(ak(5,y)+2)-3

となって、一般項ak(5,y)がうまくまとまりません。近似的に

ak(5,y)≒(｛2↑↑｝^(y+1))3 となるようですが・・・・・。

６９５さん、さっそく挑んでいただき、ありがとうございます。

念のため確認させていただきますと、SS変換2回目では

n[2]=16^m[1] , f[2](x)=B(x,x,x,・・・16^m[1]個・・・) , m[2]=f[2](m[1])

となります・・・・・・。

自分で書き込んどいて言うのもなんですが、これ、一体どう評価すればいいんでしょう・・・？

>>826
なるほど、そうやって増加していくのですね。
ふぃっしゅ数との比較ですが、こちらは漸化式の項数が爆発的に増加
するのに対して、ふぃっしゅ数は２項漸化式の入れ子が爆発的に増加します。
だからどうなんだと言われるとわからんのですが、>>498でふぃっしゅ氏が
＞n項漸化式で2項漸化式を(n-1)回繰り返すだけの効果を
＞持つと予測する
と申しているので、その辺がカギなのかなーと、なんとなく。
漸化式の項数を増やしながら多重入れ子を作っていくのが最強でしょうか。

695さん！あんた最初のころは、グラハム数さえよくわからんと言ってたのに
すごい数学的な素養がありますね！
このスレで爆発的にそっちの才能が進化したの？だとしたらすごい

読解できるようになっただけで、自分では何も産み出すことが
できません。語り部としてまったり勉強しようと思います。