空間把握力を養うスレッド

a,p>0 とする。

2つの柱面 |x|^p+|y|^p=a^p, |y|^p+|z|^p=a^p とで
囲まれた領域の体積の計算…

3つの柱面 |x|^p+|y|^p=a^p, |y|^p+|z|^p=a^p, |z|^p+|x|^p=a^p とで
囲まれた領域の体積の計算…

よろしくお願いしまつ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162421138/98,138
さくらスレ２０４

>222

2つの柱面 |x|^p+|y|^p=a^p, |y|^p+|z|^p=a^p とで
囲まれた領域の体積は、
　V = (16/3p){Γ(2/p)Γ(1/p)/Γ(3/p)}a^3.

(略証)
　S(y) = 4(a^p-|y|^p)^(2/p),
　　(y/a)^p =Y とおくと、y=a･Y^(1/p), dy = (a/p)･Y^{(1/p)-1}
　V = 2∫[0,a] S(y)dy
　　= (8/p)(a^3)∫[0,1] (1-Y)^(2/p)･Y^{(1/p)-1}dY
　　= (8/p)Ｂ(1+(2/p),1/p)a^3
　　= (8/p){Γ(1+(2/p))Γ(1/p)/Γ(1+(3/p))}a^3
　　= (16/3p){Γ(2/p)Γ(1/p)/Γ(3/p)}a^3.

(例)
　p=2/3 (asteroid)のとき: V=(128/105)a^3.
　p=1 (正方形柱)のとき: V = (8/3)a^3
　p=2 (円柱面)のとき: V = (16/3)a^3.